Upload
riefard
View
91
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
metode numerik
Citation preview
METODE NUMERIK (C12040203) INTERPOLASI & REGRESI
| S1 TEKNIK MESIN |
SEMESTER GANJIL 2015/2016
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Pengantar
Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit.
Masalah yang cukup sering muncul dengan data tabel adalah menentukan nilai di antara titik-titik diskrit tersebut (tanpa harus melakukan pengukuran lagi).
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Sebagai ilustrasi, sebuah pengukuran fisika telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah.
rekayasawan ingin mengetahui waktu patah (y) jika tegangan (x) yang diberikan kepada baja adalah 12 kg/mm2.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Delapan nilai tegangan yang berbeda dicobakan, dan data yang dihasilkan adalah:
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Masalah ini tidak bisa langsung dijawab karena fungsi yang menghubungkan peubah y dengan peubah x tidak diketahui.
Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-titik data di dalam tabel tabel.
Pendekatan seperti ini di dalam metode numerik dinamakan pencocokan kurva (curve fitting).
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Pencocokkan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva (curve fitting) fungsi. Pencocokan kurva dibedakan atas dua metode:
1. Regresi
2. Interpolasi
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Regresi digunakan jika data hasil pengukuran umumnya mengandung derau (noise) atau galat yang cukup berarti.
Karena data ini tidak teliti, maka kurva yang mencocokkan titik data itu tidak perlu melalui semua titik.
Kurva tersebut cukup hanya mewakili kecenderungan (trend) titik data, yakni kurva mengikuti pola titik sebagai suatu kelompok.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva cocokannya dibuat melalui setiap titik.
Kita katakan di sini bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi.
Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinom, maka dinamakan polinom interpolasi.
Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi polinom.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Diberikan n+1 buah titik berbeda, (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn).
Tentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga:
yi= pn (xi) untuk i= 0, 1, 2, ,n
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Nilai yi dapat berasal dari fungsi f(x) sedemikian sehingga yi=f(xi), atau, yi berasal dari nilai empiris yang diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.
pn(x) disebut fungsi hampiran terhadap f(x).
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x=a, yaitu y=pn(a).
Bergantung pada letaknya, nilai x=a mungkin terletak di dalam rentang titik-titik data (x0
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Kita dapat menginterpolasi titik data dengan: polinom lanjar, polinom kuadratik, polinom kubik, atau polinom dari derajat yang lebih tinggi, bergantung pada jumlah titik data yang tersedia.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Contoh Soal
Kecepatan suatu roket diberikan dalam tabel berikut ini:
Tentukan kecepatan roket pada saat t=16 s
time
(s)
v(t)
(m/s)
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Linear (Direct Method)
taatv 10
78.3621515 10 aav
35.5172020 10 aav
Solusi dua persamaan tersebut adalah,
93.1000 a 914.301 a
.2015,914.3093.100 tttv
m/s 7.39316914.3093.10016 v
00, yx xf1
11, yx
x
y
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
2210 tataatv
04.227101010 2210 aaav
78.362151515 2210 aaav
35.517202020 2210 aaav
Solusi tiga persamaan tersebut adalah:
05.120 a 733.171 a 3766.02 a
00 , yx
11, yx 22 , yx
xf2
y
x
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Kuadratik (Direct Method)
2010,3766.0733.1705.12 2 ttttv
2163766.016733.1705.1216 v
m/s 19.392
Nilai |a| yang didapat berdasarkan polinom linear dan kuadratik adalah:
%38410.0
10019.392
70.39319.392
a
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
332
210 tatataatv
332
210 10101004.22710 aaaav
332
210 15151578.36215 aaaav
332
210 20202035.51720 aaaav
332
210 5.225.225.2297.6025.22 aaaav
2540.40 a 266.211 a 13204.02 a 0054347.03 a
y
x
xf3
33, yx
22 , yx
11, yx
00 , yx
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Kubik (Direct Method)
5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 tttttv
m/s 06.392
160054347.01613204.016266.212540.41632
v
Nilai |a| yang didapat berdasarkan polinom kuadratik dan kubik adalah:
%033269.0
10006.392
19.39206.392
a
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Penghitungan Jarak
Hitung jarak yang ditempuh pada t=11s sampai t=16s ?
m 1605
40054347.0
313204.0
2266.212540.4
0054347.013204.0266.212540.4
1116
16
11
432
16
11
32
16
11
tttt
dtttt
dttvss
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 tttttv
Penghitungan Percepatan
5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 ttttt Hitung percepatan pada saat t=16s
5.2210 ,016382.026130.0266.21
0054347.013204.0266.212540.4
2
32
ttt
tttdt
d
tvdt
dta
2
2
m/s 665.29
16016304.01626408.0266.2116
a
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Newtons Divided Difference Method (NDDP)
Interpolasi Linear: Diketahui
dimana:
),,( 00 yx ),,( 11 yx
)()( 0101 xxbbxf
)( 00 xfb
01
01
1
)()(
xx
xfxfb
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
,150 t 78.362)( 0 tv
,201 t 35.517)( 1 tv
)( 00 tvb 78.362
01
01
1
)()(
tt
tvtvb
914.30
)()( 010 ttbbtv
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
)()( 010 ttbbtv
),15(914.3078.362 t 2015 t
At 16t
)1516(914.3078.362)16( v
69.393 m/s Metode Numerik - Semester Ganjil
2015/2016
Diketahui ),,( 00 yx ),,( 11 yx and ),,( 22 yx
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
)( 00 xfb
01
01
1
)()(
xx
xfxfb
02
01
01
12
12
2
)()()()(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Kuadratik (NDDP)
10 12 14 16 18 20200
250
300
350
400
450
500
550517.35
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
2010 x s range x de sire d
,100 t 04.227)( 0 tv
,151 t 78.362)( 1 tv
,202 t 35.517)( 2 tv Metode Numerik - Semester Ganjil
2015/2016
)( 00 tvb
04.227
01
01
1
)()(
tt
tvtvb
1015
04.22778.362
148.27
02
01
01
12
12
2
)()()()(
tt
tt
tvtv
tt
tvtv
b
1020
1015
04.22778.362
1520
78.36235.517
10
148.27914.30
37660.0 Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
))(()()( 102010 ttttbttbbtv
),15)(10(37660.0)10(148.2704.227 ttt 2010 t
At ,16t
)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16( v 19.392 m/s
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Bentuk Umum NDDP
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
dimana:
Dapat dijabarkan menjadi:
))(](,,[)](,[][)( 1001200102 xxxxxxxfxxxxfxfxf
)(][ 000 xfxfb
01
01
011
)()(],[
xx
xfxfxxfb
02
01
01
12
12
02
0112
0122
)()()()(
],[],[],,[
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxfxxxfb
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Diketahui )1( n jumlah titik data, nnnn yxyxyxyx ,,,,......,,,, 111100 sehingga
))...()((....)()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf
dimana:
][ 00 xfb
],[ 011 xxfb
],,[ 0122 xxxfb
],....,,[ 0211 xxxfb nnn
],....,,[ 01 xxxfb nnn
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Polinom orde ke-3, jika diketahui ),,( 00 yx ),,( 11 yx ),,( 22 yx ),,( 33 yx adalah
))()(](,,,[
))(](,,[)](,[][)(
2100123
1001200103
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxf
0b
0x )( 0xf 1b
],[ 01 xxf 2b
1x )( 1xf ],,[ 012 xxxf 3b
],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf
2x )( 2xf ],,[ 123 xxxf
],[ 23 xxf
3x )( 3xf
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv
Harus diketahui 4 (empat) titik data yang berdekatan dengan 16t
,100 t 04.227)( 0 tv
,151 t 78.362)( 1 tv
,202 t 35.517)( 2 tv
,5.223 t 97.602)( 3 tv
Hasil yang didapatkan dari perhitungan:
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347103
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347103
0b
100 t 04.227 1b
148.27 2b
,151 t 78.362 37660.0 3b
914.30 3104347.5
,202 t 35.517 44453.0
248.34
,5.223 t 97.602
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv
)20)(15)(10(105347.5
)15)(10(37660.0)10(148.2704.227
3
ttt
ttt
,16t
)2016)(1516)(1016(105347.5
)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16(
3
v
m/s 06.392
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Kelebihan NDDP
Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polinom derajat yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering digunakan khususnya pada kasus yang derajat polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu.
Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu apakah penambahan suku-suku yang lebih tinggi tidak lagi secara berarti memperbaiki nilai interpolasi, atau malahan menjadi lebih buruk.
Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada nilai x yang berlainan.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Polinom Lagrange
Interpolasi polinom menggunakan metode Lagrange adalah sebagai berikut:
dimana:
adalah fungsi bobot yang merupakan perkalian hingga suku n 1 dengan menghilangkan j = i.
n
i
iin xfxLxf0
)()()(
n
ijj ji
j
ixx
xxxL
0
)(
)(xLi
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
)()()(1
0ii
i
tvtLtv
)()()()( 1100 tvtLtvtL
78.362,15 00 tt
35.517,20 11 tt
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Linear (Metode Lagrange)
1
00 0
0 )(
jj j
j
tt
tttL
10
1
tt
tt
1
10 1
1 )(
jj j
j
tt
tttL
01
0
tt
tt
)()()( 101
0
0
10
1 tvtt
tttv
tt
tttv
)35.517(
1520
15)78.362(
2015
20
tt
)35.517(1520
1516)78.362(
2015
2016)16(
v
)35.517(2.0)78.362(8.0
7.393 m/s.
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Untuk interpolasi polinom kuadrat menggunakan metode Lagrange, fungsi kecepatan adalah:
2
0
)()()(i
ii tvtLtv
)()()()()()( 221100 tvtLtvtLtvtL
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
Interpolasi Polinom Kuadratik (Metode Lagrange)
10 12 14 16 18 20200
250
300
350
400
450
500
550517.35
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
2010 x s range x de sire d
,100 t 04.227)( 0 tv
,151 t 78.362)( 1 tv
,202 t 35.517)( 2 tv
2
00 0
0 )(
jj j
j
tt
tttL
20
2
10
1
tt
tt
tt
tt
2
10 1
1 )(
jj j
j
tt
tttL
21
2
01
0
tt
tt
tt
tt
2
20 2
2 )(
jj j
j
tt
tttL
12
1
02
0
tt
tt
tt
tt
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
m/s19.392
35.52712.078.36296.004.22708.0
35.5171520
1516
1020
101678.362
2015
2016
1015
101604.227
2010
2016
1510
151616
2
12
1
02
01
21
2
01
00
20
2
10
1
v
tvtt
tt
tt
tttv
tt
tt
tt
tttv
tt
tt
tt
tttv
%38410.0
10019.392
70.39319.392
a
Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016
REGRESI LINIER Hampiran metode kuadrat terkecil yang paling sederhana adalah pencocokan garis lurus terhadap sekumpulan pasangan data (x1,y1) (x2,y2),,(xn,yn). Persamaan matematis yang digunakan adalah ; y=a0 + a1x + e Dengan metode kuadrat terkecil, a0 dan a1 diberikan oleh :
2r
10
221
)yy(S
xaya
x)(xn
xyxyna
Pengukuran Galat (1) Deviasi standart : yang menandai
kesalahan untuk harga y yang bersesuaian dengan harga x tertentu
(2) Koefisien determinasi (r2) dan koefisien korelasi, r yang diberikan oleh :
(3) Model dianggap baik, jika :
n
)y)(x(xyS
)S(aSS ,2n
SS
xy
xy1trr2
x/y
n
)y(yS,
S
S1r
22
tt
r2
1n
SS,SS t2yyx/y
CONTOH KASUS Hubungan antara harga jual, dan jumlah produk diberikan oleh data berikut :
Berdasarkan data-data diatas diperoleh :
2,295
)53(591
n
)x(xS
1545
)250)(53(2496
n
yxxyS
505
250
n
yy;6,10
5
53
n
xx
2222
x
xy
Dengan demikian : Kesalahan estimasi
x 274,5904,105 y
liniernya, regresi Persamaan
904,105 )6,10)(274,5(50a
274,52,29
154a
0
1
no x y x2 xy y2
1 8 80 64 640 6400
2 9 55 81 495 3025
3 10 44 100 440 1936
4 11 36 121 396 1296
5 15 35 225 525 1225
Jml 53 250 591 2496 13882
7666,0r
;5877,01382
808,5961r
588,1815
1382S
782,1325
808,569S
808.569
)154)(274.5(1382S
13825
)250(13882S
2
y
x/y
r
2
t
TERAPAN REGRESI LINIER : MODEL EKSPONENSIAL
Model ekponensial ini, diberikan oleh persamaan, Model ini misalnya pertumbuhan populsi atau peluluhan radiaktif. Perilaku model eksponensaial lihat gambar. Dengan mengambil logaritma aslinya diperoleh ; In z= ln b0 + b1x ln e = ln b0 + b1x Andaikan, y=ln z, dan a0=ln b0, a1=b1 maka persamaan regresinya y=a0 + a1x
xb0
1ebz
xb0
1ebz
Gambar : Model eksponensial
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8 10 12
CONTOH : MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL
Cocokan model pertumbuhan eskponensial dengan data-data sebagai berikut : Berdasarkan data-2 diatas diperoleh hasil :
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 2 4 6 8 10
No x z y=lnz X2 XY Y2 1 2 55 4.01 4 8.01 8.01 2 3 75 4.32 9 12.95 12.95 3 4 105 4.65 16 18.62 18.62 4 5 140 4.94 25 24.71 24.71 5 6 200 5.30 36 31.79 31.79 6 7 270 5.60 49 39.19 39.19 7 8 375 5.93 64 47.42 47.42
Jml 35 1220 34.74 203 182.69 182.69 Rata2 5 174.29 4.96
Sxy= 8.965 a1= 0.320 b1= 0.320
Sx= 28.000 a0= 3.363 b0= 28.863
St= 10.235 sr= 7.365 sy/x= 1.214
r2= 0.280 r= 0.530 sy= 1.306
Persamaan model eksponensialnya adalah :
x 320.0e 863,28z
MODEL PANGKAT SEDERHANA MODEL LAJU PERTUMBUHAN JENUH
Model persamaannya : Lihat gambar
1b0tbz
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 2 4 6 8 10 12
Model regresi liniernya, y=a0 + a1x dimana : y=ln z, a0=ln b0, x=ln t
1b0tbz
Model linier
Model persamaannya : Lihat gambar
tb
tbz
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 10 20 30 40 50
Model regresi liniernya, y=a0 + a1x dimana :
t
1x,
b
ba,
b
1a,
z
1y
0
11
00
CONTOH : Data berikut digunakan untuk menghitung konstanta model laju pertumbuhan junuh kinetika kuman, yaitu :
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 25 50 75 100 125 150 175
fk k x=1/fk y=1/k
7 0.29 0.143 3.448
9 0.37 0.111 2.703
15 0.48 0.067 2.083
25 0.65 0.040 1.538
40 0.80 0.025 1.250
75 0.97 0.013 1.031
100 0.99 0.010 1.010
150 1.07 0.007 0.935
Sxy= 0.327 a1= 18.036 b1= 22.193
Sx= 0.018 a0= 0.813 b0= 1.230
St= 5.927 sr= 0.022 sy/x= 0.061
r2= 0.996 r= 0.998 sy= 0.920
Berdasarkan data diatas diperoleh hasil sebagai berikut :
x193.22
x230.1y
x193.22
x230.1y
REGRESI POLINOMIAL
Prosedur metode kuadrat terkecil dapat diperluas untuk mencocokan kurva polinomial orde-n yaitu : Konstanta a0, a1, a2, ,am diperoleh dari sistem persamaan linier yang berbentuk :
exa...xaxaay mm2
210
yx
...
yx
xy
y
a
...
a
a
a
x...xxx
...............
x...xxx
x...xxx
x...xxn
m
2
m
2
1
0
m22m1mm
2m432
1m32
m2
Seperti hanya regresi linier, galat error untuk regresi polinomial dapat diukur dengan error simpangan baku dan koefisien korelasi yaitu :
t
rt2rx/y
2r
S
SSr dan ;
)1m(n
SS ;)yy(S
CONTOH : Tentukan polinomial orde dua untuk data-data berikut ini :
x y
2 55
3 75
4 105
5 140
6 200
7 270
8 375
7 35 203 a0 1220
35 203 1295 a1 7545
203 1295 8771 a2 50505
0
50
100
150
200
250
300
350
400
2 3 4 5 6 7 8
Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah : a0=85, a1= 28,75 dan a2=8.0375
Error dan koefisien regresinya adalah
9989.0r ,9978.0r
5937,115S ;80171S
6143.6)12(7
175S
2
yt
x/y
2x 0375.8x 75.2885y
CONTOH : Tentukan polinomial orde tiga untuk data-data berikut ini :
Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah a0= 16.3405; a1=20.2357 a2= 7.7257 ; a3=0.8222 Error dan koef korelasinya adalah :
32 x 8222.0x 7257.7
x 2357.203405.16y
8589.0r ,7377.0r
9598,8S ;5.722S
6202.5)13(10
522.189S
2
yt
x/y
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7
n x
1 1.1
2 1.6
3 2.2
4 2.9
5 3.5
6 4.1
7 4.6
8 5.3
9 5.9
10 6.7
10 37.9 175 905 a0 -5
37.9 175 905 4998 a1 43.1
175 905 4998 28845 a2 542.7
905 4998 28845 171593 a3 4591
REGRESI LINIER BERGANDA
Regresi Linier Berganda untuk kasus umum dirumuskan oleh Dengan metode kuadrat terkecil, koefisien-koefisien ditentukan dengan cara menyelesaikan secara simultan sistem persamaan linier :
exa...xaxaay mm22110
yx
...
yx
yx
y
a
...
a
a
a
x...xxxxx
...............
xx...xxxx
xx...xxxx
x...xxn
m
2
1
m
2
1
0
2m2m1mm
m222122
m121211
m21
t
rt2rx/y
2r
S
SSr dan ;
)1m(n
SS ;)yy(S
Seperti hanya regresi linier biasa, galat error untuk regresi linier berganda l dapat diukur dengan error simpangan baku dan koefisien korelasi yaitu :
CONTOH : Tentukan prediksi penjualan Q, berdasarkan biya promosi A, dan pangsa pasar X berdasarkan data berikut ini
No x1=A x2=X Y=Q
1 4.3 26.2 10.8
2 3.9 32.2 12.6
3 4.1 17.3 8.3
4 4.6 16.7 9.2
5 5.5 18.9 11.1
6 4.5 13.2 10.9
7 4.3 14.4 7.9
8 2.8 27.1 11.6
9 2.6 20.8 8.2
10 3.1 20.2 9.1
Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah a0= 1.9689 ; a1=0.8538 a2= 0.2228 Persamaan garis regresi liniernya adalah Y=1.9689 +0.8538 A + 0.2228 X Error dan koef korelasinya adalah :
10 39.7 207 a0 99.7
39.7 164.9 803.8 a1 398.0
207 803.8 4615.4 a2 2122.1
Sr = 9.096 Sy = 1.632
Sy/x = 1.231 r2 = 0.620
St = 23.961 r = 0.788
CONTOH : Hubungan antara diameter pipa-D, kemiringan-S dan aliran-Q , diberikan oleh persamaan : Dengan data berikut tentukan persamaan pangkat dimaksud
21 aa0 SDaQ
n D S Q
1 1 0.001 1.4
2 2 0.001 8.3
3 3 0.001 24.2
4 1 0.01 4.7
5 2 0.01 28.9
6 3 0.01 84.1
7 1 0.05 11.2
8 2 0.05 69.3
9 3 0.05 200.2
Dengan mengambil nilai logaritma persamaan pangkat, dihasilkan : Konstanta b0, a1, dan a2 diperoleh dari : Dengan metode invers solusi SPL adalah : b0=1.7517, a0=56.45 a1=2,6138, a2=0,5379 Persamaan pangkatnya adalah Q=56,45 D2,614 S0,538
22110
210
xaxaby
SlogaDlogaalogQlog
9 2.334 -18.903 a0 11.698
2.334 0.955 -4.903 a1 3.947
-18.903 -4.903 44.078 a2 -22.217