Intervalli musicali in ordine di consonanza - ge.infn.itmusenich/conferenza/numerimusica.pdf · Generazione del Mi per . sequenza di intervalli di quinta. Giorgio Dillon – Riccardo

Giorgio Dillon – Riccardo Musenich I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni

Intervalli musicali in ordine di consonanza

1 Unisono

2 Ottava

3 Quinta

4 Quarta

5 Sesta maggiore

6 Terza maggiore

7 Terza minore

8 Sesta minore

2 3/2 4/3 5/3 5/4 6/5 8/5

Gli intervalli consonanti corrispondono

a rapporti tra le frequenze di due note

che contengono piccoli numeri interi.

f2/f1


fondamentale

II armonica

III armonica

IV armonica


ampie

zza

tempo


ampie

zza

tempo

ampie

zza

tempo

ampie

zza

tempo


ampie

zza

frequenzaf0

2f0

3f0


Le armoniche sono responsabili del “timbro”

ampie

zza

tempo

ampie

zza

tempo

Vivaldi: magnificat

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1000 2000 3000 4000 5000

ampi

ezza

frequenza

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1000 2000 3000 4000 5000

ampi

ezza

frequenza

Variazione di intensità di un’armonica

La (440 Hz) sinusoide

La (440 Hz) dente di sega


023

f 029

f

5a

3/2

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00

Intervallo:

Rapporto tra frequenze:

Coincidenza tra le armoniche


4a

4/3

034

f 038

f 038

f

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00

Intervallo:



3a

5/4

045

f 025

f 0415

f04

25f

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f00

Intervallo:



Misura degli intervalli musicali

Intervallo (Cent)=

Intervallo (gradi angolari)=

In questo modo invece di moltiplicazioni e divisioni avremo a che fare con addizioni e sottrazioni

)(log1200)( 12212 ffff =I

)(log360)( 12212 ffff =I


Fa

210° 36’

( ) )23(log360 2=a5I

generazione pitagorica delle note

Do


Fa

Do

Sol


Fa

Do

Sol

Re

eccetera


Fa

Do

Sol

Re

La

Mi

Si

Fa #

Do #

Sol #

Re #

La #

Si #

Mi #

Si b

Comma pitagorico


mn

223

≠

Il processo può andare avanti all’infinito ma non

si torna mai alla nota di partenza

Non esiste una sequenza di intervalli di quinta

che coincida con una sequenza di ottave


Comma pitagorico

524288531441

2

23

7

12

=

=PC

: #

#

##

#

##

#

##

#

# #

Saliamo di 12 quinte e scendiamo di 7 ottave:

I(CP)=23.5 cent =7°


Problema della scala pitagorica:

l’ intervallo di terza maggiore (81/64) è crescente

rispetto a quello perfetto (5/4)


Do

Mi perfetto

115° 53’


Do

Sol

Mi perfetto

Generazione del Mi per sequenza di intervalli di quinta


Sol

Do

Mi perfetto

Re


Do

Sol

Re

Mi perfetto

La


Do

Sol

Re

MiMi perfetto

La


Comma di Zarlino

8081

45

223

2

4

=

=ZC

:

I(CZ)=21.5 cent =6°27'

Saliamo di 4 quinte e scendiamo di 2 ottave:

Mi pitagorico Mi “perfetto”


I(5a) + I(4a) = I(8a)702 c + 498 c = 1200 c

149° 24’

4a

210° 36’

5a

Do

Mi

Sol


I(3aM)+I(3am)=I(5a)386 c + 316 c = 702 c

94° 42’

3a m

115° 54’

3a M

Do

Mi

Sol


I(3aM) + I(6am) = I(8a)386 c + 814 c = 1200 c

115° 54’

3a M

Do

Mi

Sol

244° 06’

6a m


I(3am)+I(6aM)=I(8a)316 c + 884 c = 1200 c

94° 42’

3a m

Do

Mi

Sol

265° 18’

6a M


Scala naturale o scala di Zarlino

Nella costruzione della scala si prende in considerazione

anche il rapporto 5/4

:

23/2

5/4

Si utilizzano i rapporti tra i numeri primi 2, 3, 5 e i loro multipli


p

z

do silasolfamire do

9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 21

81/64 243/12827/16

Confronto tra la scala pitagorica (p) e la scala naturale (z)

Comma di Zarlino (81/80)

tono piccolo

tono grande


do silasolfamire do

9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 21

La scala di Zarlino non permette trasposizioni e modulazioni


Come possiamo risolvere questi problemi?


La soluzione?

Il Tono Medio – (Pietro Aron -1523)

Ovvero: La gran rinuncia!

Si temperano le quinte di ¼ di comma di Zarlino.

In questo modo abbiamo un solo tono e le terze pure


battimenti

banda critica

suono aspro

1f

2f

suono aspro

Dalla consonanza alla dissonanza e ai battimenti

ascolta


È meglio una quinta giusta e una terza (molto) crescente

ovvero una terza giusta e una quinta (un pò) calante?

I battimenti sono provocati dalla non perfetta coincidenza degli armonici

Pitagora: 5 armonico del Do contro il 4 del Mi

(battimento rapido)

Tono medio: 3 armonico del Do contro il 2 del Sol

(battimento lento)

Triadi a confronto

Pitagora

Tono medio


Nella rappresentazione circolare fissiamo come origine il Do

Gli angoli sono contati positivamente se si gira in senso orario. Quando si superano i 360 si riparte da zero. Ciò equivale a scendere di una ottava e ritornare al punto di partenza.

Partendo dal Do, una sequenza di 4 quinte pure porta al Mi(pit) = 122.4 , più alto del Mi naturale =115.9 (Mi(pit) - Mi = 6.5 = Comma di Zarlino)

La stessa differenza c’è fra il La di Zarlino e il La pitagorico.

Solo l’ottava è fissata.Gli altri intervalli potranno essere diversi da quelli “naturali”


Poiché il Si#(pit) è più alto di 3 Commi di Zarlino rispetto al Si# ottenuto con una sequenza di

terze pure, si ha:

Il Comma del lupo

Se si fanno 3 terze maggiori pitagoriche in sequenza, a partire dal Do, si arriva a un Si# (pitagorico) di poco più alto del Do (Comma pitagorico≈7 )

C’è una relazione fra i 3 Commi

3 Commi di Zarlino -1 Comma pitagorico =

Comma del lupo

Se si fanno 3 terze maggiori pure in sequenza, a partire dallo stesso Do, si arriva a un Si# (naturale) di poco più basso del Do di partenza.

Questo intervallo è detto Comma del lupo ( ≈12 )


Una sequenza di 12 quinte ristrette di ¼ di comma di Zarlino (209 ) porta a due note separate dal comma del lupo (12 )

Ad es. 8 in senso orario →Sol# e 4 in senso antiorario →Lab

In una tastiera con 12 note si rinuncia a Re#

e Lab. L’ intervallo Sol# - Mib

che dovrebbe chiudere il giro

è dettoQuinta del Lupo

Scala cromatica naturale temperata con Tono medio

E’ possibile suonare solo nelle tonalità

senza lupi


Il temperamento equabile a 12 note

Se ogni quinta pura (210.6 ) viene temperata di 1/12 di comma pitagorico (pari a 0.6 ) diventa esattamente 210 .

12 di queste quinte (12x210 ) riportano al punto di partenza e la circonferenza viene divisa in 12 parti eguali.

Nota: Si ha un’ ottima approssimazione alla scala

pitagorica.

l’intervallo di terza maggiore diventa 120 e ogni successione di 3 terze maggiori forma un triangolo equilatero.

Non c’è differenza fra diesis e bemolli


Temperamenti equabili

di ordine superiore a 12

Non esistono motivi teorici per limitare a 12 la divisione dell’ottava.

Le ragioni sono solo di ordine pratico.

In passato sono stati realizzati strumenti con più di 12 tasti per ottava


Se si divide l’ottava in m parti uguali, i diversi intervalli

consonanti (quinta, terza maggiore, terza minore,….) saranno

approssimati più o meno bene a seconda del valore di m.

Ad es., nella divisione m =12

L’intervallo di quinta risulta ristretto di 0.6°

I12(∆5a) ≡ 5a(pura) – 5a(m=12) = 210.6°-210° =0.6°=2cent

e l’intervallo di terza maggiore è più largo di 14°

I12(∆3aM) ≡ 3aM (pura) - 3aM(m=12) =115.9°- 120° =-4.1°=-14 c


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 100 200 300 400 500

I m[c

ent]

m


Per limitare il numero di temperamenti equabili e per non modificare la notazione musicale in uso imponiamo la seguente condizione condizione:

L’intervallo di terza maggiore deve essere ottenuto

da una sequenza di 4 quinte ascendenti e 2 ottave

discendenti (do-sol-re-la-mi)

Questa condizione implica che la terza sia ottenuta da una

sequenza di due toni (condizione di tono medio)


-15

-10

-5

0

5

10

15

I [c

ent]

m

12 19 31 43 11745

5055

7469

6781 98

10588

La condizione sulle terze limita il numero di sistemi temperati possibili a 28

Pallini=Quinte

Quadratini= Terze Maggiori

Le differenze algebriche fra pallini e quadratini danno le analoghe distanze Im per gli intervalli di terza minore. Per m=19 si hanno terze

minori perfette!

Distanze Im fra intervalli naturali e temperati


CRITERI DI CONSONANZA

Possiamo cercare il numero più conveniente in cui dividere l’ottava seguendo un criterio di consonanza.

Definiamo:

Em(x,y)=|Im(∆5a)|+x|Im(∆3aMag)|+y|Im(∆3amin)|

fissati x e y a nostro “gusto”, scegliamo m in modo che Em(x,y) sia minimo

x=y=0 vuol dire privilegiare solo l’intervallo di 5a (e di 4a) e non preoccuparsi se gli altri intervalli risultano stonati.

x=y=1 vuol dire dare egual peso all’intonazione dei tre intervalli (5a, 3aMag, 3amin)


31

12

1988

81

x

y

Mappa di consonanza nel piano xy (con 0 ≤ x,y ≤ 1)


31

12

19

x

y

mappa di consonanza per temperamenti con meno di 50 note per ottava


Il temperamento equabile a 31 divisioni è quello che meglio

concilia la consonanza degli intervalli con le esigenze di

semplicità esecutiva e di costruzione degli strumenti


Il ciclo 31 Christian Huygens (1629-1695)- Lemme Rossi (1666)

In quante parti eguali dobbiamo dividere l’ottava per approssimare al meglio la scala naturale con il temperamento del tono medio?

Analizziamo in dettaglio la sequenza

Sol - Sol# - La b - La

Riprendiamo la sequenza di 12 quinte ristrette di ¼ di

comma di Zarlino.


Sol# - Lab = “intervallo enarmonico”

Sol - Sol# = La b - La = “semitono cromatico”

Sol - La b = Sol# - La = “semitono diatonico”

Sol# - Lab = comma del lupo ~ 1/5 tono medio

Sol - Sol# - La b - La


Perciò possiamo dividere il tono medio in 5 parti e attribuire 3 parti al semitono diatonico e 2 a quello cromatico.

Poichè in una ottava ci sono 5 toni medi e 2 semitoni diatonici, l’ottava sarà suddivisa in

5·5+2·3=31 parti eguali


Le terze maggiori non sono pure ma

risultano allargate di una quantità

impercettibile (0.24 )

Diesis, bemolli, doppi diesis e doppi bemolli sono tutti distinti

Ciclo 31


Nei secoli XVI e XVII furono costruiti diversi

strumenti “enarmonici”

Cembali con “tasti spezzati”

con 14 e 19 note per ottava .

e anche…

Della suddivisione in 31 parti eguali possiamo prendere un sottoinsieme


Cembalo a 31 tasti per ottava di Guido Trasuntin (sec XVII)


Organo di Adriaan Fokker (1887 – 1972)


La pratica però dice 12 note

•La divisione dell’ottava in 12 parti eguali si è tuttavia imposta solo in tempi relativamente recenti.

La Storia•Temperamento del tono medio (con quinta del lupo)

•Temperamenti “circolari” ma non equabili:

WerkmeisterRameauBach (?)KirnbergerVallotti


Il mistero del temperamento di Bach sembraessere racchiuso nel ghirigoro in alto delfrontespizio del clavicembalo ben temperato.


S’io guardo quel che hanno

ritrovato gli uomini nel

compatir gl’intervalli musici,

nello stabilir precetti e

regole per potergli

maneggiar con diletto

mirabile dell’udito, quando

potrò io finir di stupire?

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