INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA APLICADA

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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICAAPLICADA

Definição: Técnica de recolha, organização, sintetização e apresentação de dados numéricos (E. descritiva). Compreende, ainda, as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população, baseadas unicamente na observação de amostras , pelo uso de conceito de probabilidade (E. inferencial).

Exemplos:

1. E. descritiva: estudo da idade da população dos alunos da ESTV.

2. E. inferencial: a partir da pesquisa amostral da população escolar, inferir a sua estrutura etária.

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ESTATÍSTCA DESCRITIVA

1. Distribuição de Frequência- Definir um n.º de classes ímpar

- Amplitude da classe = R / n.º de classes

R – Amplitude (Range)

R = Maior valor (H) – Menor valor (L)

- Quadro de distribuição de frequência

Numa coluna as classes e na outra o n.º de casos correspondentes.

- Histograma

Gráfico de barras com classes nas abcissas e n.º casos nas ordenadas.

- Polígono de frequências

Linha constituída por segmentos de recta que unem os pontos médios dos topos das barras.

- Curva de frequência

Suavização curvilínea do polígono de freq.

- Distribuição de frequência acumulada

Identifica o .º de casos (%) até cada classe.

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Numa turma do 10º ano foram perguntou-se a cada aluno a sua idade.

Idade (em anos) Frequência

14 4

15 7

16 5

17 2

18 1

19 1

Total 20

Os dados classificados e agrupados numa tabela de frequências

Os dados não classificados são:

14, 15, 16, 17, 18, 19, 14, 15, 16, 17, 14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 16, 15, 15


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Frequência absoluta ou efectiva (fi) de um valor da variável é o numero de vezes que esse valor foi observado

Frequência relativa (fri) de um valor da variável é o quociente entre a frequência absoluta do valor da variável e o número total de observações

Frequência (relativa ou absoluta) acumulada de um valor da variável é igual à soma das frequências anteriores com a frequência desse valor

Xi fi fri Fi – Freq. Absoluta acumulada

Fri – Freq. relativa acumulada

14 4 0,20 4 0,20

15 7 0,35 11 0,55

16 5 0,25 16 0,80

17 2 0,10 18 0,90

18 1 0,05 19 0,95

19 1 0,05 20 1


5

012345678

141516171819

Gráfico de barras - frequências absolutas

0

5

10

15

20

25

141516171819

Gráfico de barras - frequências absolutas acumuladas


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Na mesma turma do 10º ano perguntou-se a cada aluno a sua altura em centímetros: 147, 167, 171, 172, 151, 154, 150, 155, 156, 160, 160, 164, 163, 159, 158, 162, 169, 170, 174

Para 20 observações vamos usar 6 classes. Consideram-se ainda as seguintes convenções:

-O extremo esquerdo do intervalo (classe) será fechado e o extremo direito aberto;

- aos extremos do intervalo chamam-se limites da classe; à diferença dos limites, amplitudes do intervalo da classe; à semi-soma dos limites chama-se ponto médio ou marca da

classe

Xi fi fri Fi – Freq. Absoluta acumulada

Fri – Freq. relativa acumulada

[145 , 150[ 1 0,05 1 0,05

[150 , 155[ 3 0,15 4 0,20

[155 , 160[ 4 0,20 8 0,40

[160 , 165[ 5 0,25 13 0,60

[165 , 170[ 2 0,10 15 0,75

[170 , 175[ 5 0,25 20 1


7

0

2

4

6

[145 , 150[ [150 , 155[ [155 , 160[[160 , 165[ [165 , 170[ [170 , 175[

Histograma das frequências absolutas


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2. Medidas de Posição*

Valor calculado para um grupo de dados, usado para o descrever.

-Média aritmética-Para dados não classificados

μ - M. A. da população μ = Σ X / N

x - M. A. amostral x = Σ x / n- Para dados classificados

X = (f1x1+f2x2+…fnxn)/n =

-Mediana

Corresponde ao valor do item médio quando todos os valores foram organizados de forma crescente ou decrescente.

Se n é ímpar Med = Xk com K = (n+1)/2

Se n é par Med = (Xk+ Xk+1 )/2 com K = n/2

-Moda

Valor mais frequente.

*ou de tendência central

n

i

n

i

n

i friXiXin

fi

n

fiXi

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1

9

1. Calcule a média de idade da turma do 10º ano

2. Calcule a média das alturas da turma

3. Calcule a mediana das idades da turma

4. Calcule a moda das idades da turma


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ANÁLISE

As diferenças de valores assumido pela média aritmética, mediana e moda indicam-nos o tipo de curva de distribuição de frequência, sem a desenhar.

Coeficiente de Pearson

Dá-nos informação sobre a simetria da curva de distribuição de frequência (Medida de simetria).

C. Pearson = 3 (μ – Med) / σ

ou

= 3 (x – Med) / s

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3. Medidas de Variabilidade

- Amplitude total

R = H - L

H – Maior valor da população (ou amostra)

L – Menor valor da população (ou amostra)

- Variância e desvio padrão

σ^2 = (Σ(X- μ)^2) / N s^2 = (Σ(x - x)^2) / n

σ = (Σ(X- μ)^2) / N s= (Σ(x - x)^2) / n

σ^2 – Variância populacional

s^2 – Variância amostral

σ - Desvio padrão populacional

s - Desvio padrão amostral

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Uma variável aleatória utiliza-se para expressar os resultados de uma

experiência aleatória. Em algumas situações, o conjunto de valores que

uma variável toma confunde-se com o próprio conjunto de resultados, isto é,

com o espaço amostral.

Experiência aleatória: Medição da altura de uma pessoa escolhida ao acaso

Espaço amostral: Conjunto de todas as alturas atribuíveis a uma pessoa

Variável aleatória: Altura (que pode tomar qualquer um dos valores que

constituem o espaço amostral

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Uma variável quantitativa classifica-se como discreta ou contínua, conforme os

elementos do contradomínio da aplicação que a define forem

numeráveis ou não numeráveis.

Exemplo:

A variável resultado do lançamento de um dado é discreto (podendo tomar os valores 1,2,3,4,5 ou 6)

A variável distância a percorrer diariamente por um vendedor será

contínua, se se admitir que tal distância é medida com precisão

absoluta.

ESTATÍSTCA INFERENCIAL

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE

μσ = 5

σ = 10

f(X)

X

Maior precisão

f(X)

Xμ μ-3σ

μ-2σ μ-1σ μ-3 σμ-2σμ-1σ

68,27%

95,45%

99,73%

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A distribuição normal é importante:

- Grande número de fenómenos e processos

segue esta distribuição;

- Pode ser usada com aproximação a outras

distribuições (binomial e de Poisson);

- A distribuição estatística de amostras, tais

como a média, seguem a D. normal.

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Distribuição Normal Padronizada

- Tem por finalidade potenciar o uso de tabelas;

- Obtém-se pela introdução de

Z = (X – μ) / σ

f(Z)

Z 0

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APROXIMAÇÃO PELA NORMAL À PROB. BINOMIAL

Esta aproximação é possível sempre que o número de observações ou tentativas for relativamente elevado.

n ≥ 30 e n p ≥ 5

μ = n p

σ = n p (1 – p)

n – N.º de provas

p – Probabilidade de sucesso

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INTERVALOS DE CONFIANÇA

0 -1,96 -1,96 z

95%

Interpretação:

Para um determinado nível de confiança (α) será calculado o intervalo que contém a verdadeira média da população (μ).

[ I α ] μ = X ± Z σ / n

P. e., temos 95% de confiança que a verdadeira média da população está contida no intervalo.

[ I 0,95 ] μ = X ± 1,96 σ / n

A dimensão do intervalo depende do nível de confiança e do tamanho da amostra.

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