Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudo Luiz Fernando Provenzano UFMT Verso 03/2010 Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando ndice Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria...............................................................3 A Natureza das Equaes Diferenciais ...........................................................................8 Definio e Notaes...................................................................................................8 Resoluo de uma Equao Diferencial ....................................................................10 Tipos de Solues de uma Equao Diferencial........................................................11 Interpretao Geomtrica da Soluo de uma Equao Diferencial..........................12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno..............................13 Teorema de Existncia e Unicidade ..........................................................................14 Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau............................................18 Classificao..............................................................................................................18 1o Tipo: Equaes Diferenciais de Variveis Separveis.......................................18 Sobre a Curva Tractriz ...........................................................................................20 2o Tipo: Equaes Diferenciais Homogneas ........................................................21 3o Tipo: Equaes Diferenciais Redutveis s Homogneas ou s de Variveis Separveis .............................................................................................................25 4o Tipo: Equaes Diferenciais Exatas...................................................................27 Fator Integrante......................................................................................................30 Pesquisa de um Fator Integrante ...........................................................................30 5o Tipo: Equaes Diferenciais Lineares................................................................32 Algumas Aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias......................................35 de 1a Ordem e 1o Grau ..............................................................................................35 Exerccios Gerais de Aplicaes ............................................................................39 Equaes Diferenciais Ordinrias de Ordem Superior Primeira.................................43 Tipos Especiais de Equaes Diferenciais de 2a Ordem...........................................43 Problema de Perseguio(Uma aplicao) ..........................................................47 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N............................................................52 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................53 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, No-Homogneas e de Coeficientes Constantes.................................................................................................................57 Determinao de uma Soluo Particular Experimental (yp) .....................................58 Mtodo dos Coeficientes a Determinar (ou Mtodo de Descartes)............................58 Famlia de uma funo...........................................................................................58 Construo de uma Soluo Particular Experimental (yp)......................................59 Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.................................................................................................................64 Vibraes Mecnicas e Eltricas............................................................................64 Sistemas de Equaes Diferenciais ..............................................................................73 Exerccios ..................................................................................................................77 Noes de Equaes Diferenciais Parciais ...................................................................82 Sobre a Resoluo ....................................................................................................83 Determinao de uma Equao Diferencial Parcial a partir de uma Soluo dada. ..84 O Problema de Conduo de Calor e o Mtodo de Separao de Variveis ............86 Anexos ..........................................................................................................................90 Frmulas Bsicas ..........................................................................................................91 Sistemas de Unidades...................................................................................................93 Bibliografia.....................................................................................................................95 2Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria Devriasmaneiras,asequaesdiferenciaissoocoraodaanliseedo clculo,doisdosmaisimportantesramosdamatemticanosltimos300anos. Equaesdiferenciaissoumaparteintegralouumdosobjetivosdevrioscursosde graduaodeclculo.Comoumaferramentamatemticaimportanteparacincias fsicas,aequaodiferencialnotemigual.Assimamplamenteaceitoqueequaes diferenciais so importantes em ambas: a matemtica pura e a aplicada. A histria sobre este assunto rica no seu desenvolvimento e isto que estaremos olhando aqui. Osfundamentosdesteassuntoparecemestardominadospelascontribuiesde um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a histria deste assunto comea e terminacomele.Naturalmente,istoseriaumasimplificaogrosseiradoseu desenvolvimento.Existemvrioscontribuintesimportantes,eaquelesquevieramantes deEulerforamnecessriosparaqueelepudesseentenderoclculoeaanlise necessriosparadesenvolvermuitasdasidiasfundamentais.Oscontribuintesdepois deEulerrefinaramseutrabalhoeproduziramidiasinteiramentenovas,inacessveis perspectivadosculoXVIIIdeEuleresofisticadasalmdoentendimentodeapenas uma pessoa.Estaahistriadodesenvolvimentodasequaesdiferenciais.Daremosuma pequena olhada nas pessoas, nas equaes, nas tcnicas, na teoria e nas aplicaes. Ahistriacomeacomosinventoresdoclculo,Fermat,Newton,eLeibniz.A partirdomomentoqueestesmatemticosbrilhantestiveramentendimentosuficientee notao para a derivada, esta logo apareceu em equaes e o assunto nasceu. Contudo, logodescobriramqueassoluesparaestasequaesnoeramtofceis.As manipulaessimblicasesimplificaesalgbricasajudaramapenasumpouco.A integral (antiderivada) e seu papel terico no Teorema Fundamental do Clculo ofereceu ajudadiretaapenasquandoasvariveiseramseparadas,emcircunstnciasmuito especiais.OmtododeseparaodevariveisfoidesenvolvidoporJakobBernoullie generalizadoporLeibniz.Assimestespesquisadoresiniciaisdosculo17focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e tcnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do incio do sculo XVIII, a prxima onda de pesquisadores de equaes diferenciaiscomeouaaplicarestestiposdeequaesaproblemasemastronomiae cinciasfsicas.JakobBernoulliestudoucuidadosamenteeescreveuequaes diferenciais para o movimento planetrio, usando os princpios de gravidade e momento desenvolvidosporNewton.OtrabalhodeBernoulliincluiuodesenvolvimentoda catenriaeousodecoordenadaspolares.Nestapoca,asequaesdiferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemtica e cincias para resolver problemas aplicadossignificativos.Halleyusouosmesmosprincpiosparaanalisaratrajetriade umcometaquehojelevaseunome.OirmodeJakob,JohannBernoulli,foi provavelmente o primeiro matemtico a entender o clculo de Leibniz e os princpios de mecnicaparamodelarmatematicamentefenmenosfsicosusandoequaes diferenciais e a encontrar suas solues. Ricatti (1676--1754) comeou um estudo srio deumaequaoemparticular,masfoilimitadopelasteoriasdoseutempoparacasos especiaisdaequaoquelevahojeseunome.OsBernoullis,Jakob,Johann,eDaniel, todos estudaram os casos da equao de Ricatti tambm. Na poca, Taylor usou sries para "resolver" equaes diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas sries para 3Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando vriospropsitos.Contudo,odesenvolvimentodeTaylordediferenasfinitascomeou umnovoramodamatemticaintimamenterelacionadoaodesenvolvimentodas equaesdiferenciais.NoinciodosculoXVIII,esteemuitosoutrosmatemticos tinham acumulado uma crescente variedade de tcnicas para analisar e resolver muitas variedadesdeequaesdiferenciais.Contudo,muitasequaesaindaeram desconhecidas em termos de propriedades ou mtodos de resoluo. Cinqenta anos de equaes diferenciais trouxeram progresso considervel, mas no uma teoria geral. Odesenvolvimentodasequaesdiferenciaisprecisavadeummestrepara consolidar e generalizar os mtodos existentes e criar novas e mais poderosas tcnicas paraatacargrandesfamliasdeequaes.Muitasequaespareciamamigveis,mas tornaram-sedecepcionantementedifceis.Emmuitoscasos,tcnicasdesolues iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou cena das equaes diferenciais. Euler teve o benefcio dos trabalhos anteriores, mas a chave para seuentendimentoeraseuconhecimentoepercepodefunes.Eulerentendeuo papeleaestruturadefunes,estudousuaspropriedadesedefinies.Rapidamente achouquefuneseramachaveparaentenderequaesdiferenciaisedesenvolver mtodosparasuasresolues.Usandoseuconhecimentodefunes,desenvolveu procedimentos para solues de muitos tipos de equaes. Foi o primeiro a entender as propriedadeseospapisdasfunesexponenciais,logartmicas,trigonomtricasede muitasoutrasfuneselementares.Eulertambmdesenvolveuvriasfunesnovas baseadasemsoluesemsriesdetiposespeciaisdeequaesdiferenciais.Suas tcnicasdeconjecturareencontraroscoeficientesindeterminadosforametapas fundamentaisparadesenvolveresteassunto.Em1739,desenvolveuomtodode variao de parmetros. Seu trabalho tambm incluiu o uso de aproximaes numricas e o desenvolvimento de mtodos numricos, os quais proveram "solues" aproximadas para quase todas as equaes. Euler ento continuou aplicando o trabalho em mecnica quelevouamodelosdeequaesdiferenciaisesolues.Eleeraummestrequeeste assuntonecessitavaparasedesenvolveralmdeseuincioprimitivo,tornando-seum assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemtica aplicada moderna. Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os mtodos de Euler para ajud-lo a estudar oscilaes e as equaes diferenciais que produzem estes tipos de solues. O trabalhodeD'Alembertemfsicamatemticaenvolveuequaesdiferenciaisparciaise exploraesporsoluesdasformasmaiselementaresdestasequaes.Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados emmecnica,especialmenteequaesdemovimento(problemadostrscorpos)e energiapotencial.AsmaiorescontribuiesdeLagrangeforamprovavelmentena definio de funo e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar mtodos eanalisarnovasfamliasdeequaesdiferenciais.Lagrangefoiprovavelmenteo primeiromatemticocomconhecimentotericoeferramentassuficientesparaserum verdadeiroanalistadeequaesdiferenciais.Em1788,eleintroduziuequaesgerais demovimentoparasistemasdinmicos,hojeconhecidascomoequaesdeLagrange. OtrabalhodeLaplacesobreaestabilidadedosistemasolarlevouamaisavanos, incluindotcnicasnumricasmelhoreseummelhorentendimentodeintegrao.Em 1799,introduziuasidiasdeumlaplacianodeumafuno.Laplaceclaramente reconheceuasrazesdeseutrabalhoquandoescreveu"LeiaEuler,leiaEuler,ele nossomestre".OtrabalhodeLegendresobreequaesdiferenciaisfoimotivadopelo movimentodeprojteis,pelaprimeiravezlevandoemcontanovosfatorestaiscomo resistnciadoarevelocidadesiniciais.Lacroixfoioprximoadeixarsuamarca. Trabalhouemavanosnasequaesdiferenciaisparciaiseincorporoumuitodos avanos, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuio principal de Lacroix foi 4Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando resumirmuitosdosresultadosdeEuler,Lagrange,Laplace,eLegendre.Oprximona ordemfoiFourier.Suapesquisamatemticafezcontribuiesaoestudoeclculosda difuso de calor e soluo de equaes diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analtica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fezusoextensivodasriequelevaseunome.Esteresultadofoiumaferramenta importante para o estudo de oscilaes. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemticadestasrie,aqualerabemconhecidaanteriormenteporEuler,Daniel Bernoulli,eLagrange.AscontribuiesdeCharlesBabbagevieramporumarota diferente. Ele desenvolveu uma mquina de calcular chamada de Mquina de Diferena que usava diferenas finitas para aproximar solues de equaes. OprximoavanoimportantenesteassuntoocorreunoinciodosculoXIX, quando as teorias e conceitos de funes de variveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equaesdiferenciaisparamelhorarasteoriasdasrbitasplanetriasegravitao. Gaussestabeleceuateoriadopotencialcomoumramocoerentedamatemtica. Tambmreconheceuqueateoriadasfunesdeumavarivelcomplexaeraachave paraentendermuitosdosresultadosimportantesdasequaesdiferenciaisaplicadas. Cauchyaplicouequaesdiferenciaisparamodelarapropagaodeondassobrea superfcie de um lquido. Os resultados so agora clssicos em hidrodinmica. Inventou omtododascaractersticas,oqualimportantenaanliseesoluodevrias equaesdiferenciaisparciais.Cauchyfoioprimeiroadefinircompletamenteasidias deconvergnciaeconvergnciaabsolutadesriesinfinitaseiniciouumaanlise rigorosadeclculoeequaesdiferenciais.Tambmfoioprimeiroadesenvolveruma teoriasistemticaparanmeroscomplexoseadesenvolveratransformadadeFourier para prover solues algbricas para equaes diferenciais. Depois destas grandes contribuies de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estasteoriaspoderosaseaplic-lasavriosramosdacincia.Ostrabalhosiniciaisde PoissonemmecnicaapareceramemTraitdemcaniqueem1811.Aplicouseu conhecimentodeequaesdiferenciaisaaplicaesemfsicaemecnica,incluindo elasticidadeevibraes.Muitodeseutrabalhooriginal foi feito na soluo e anlise de equaesdiferenciais.OutroaplicadordestasteoriasfoiGeorgeGreen.Otrabalhode Greenemfundamentosmatemticosdegravitao,eletricidadeemagnetismofoi publicadoem1828emAnEssayontheApplicationofMathematicalAnalysisto ElectricityandMagnetism.AmatemticadeGreenproveuabasenaqualThomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construram a teoria atual do magnetismo. Bessel era umamigodeGausseaplicouseuconhecimentosobreequaesdiferenciais astronomia.SeutrabalhosobrefunesdeBesselfoifeitoparaanalisarperturbaes planetrias.Posteriormenteestasconstruesforamusadaspararesolverequaes diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquantousavaequaesdiferenciaisparadesenvolverteoriassobreaconduodo calor.JosephLiouvillefoioprimeiroaresolverproblemasdecontornoresolvendo equaes integrais equivalentes, um mtodo refinado por Fredholm e Hilbert no incio da dcadade1900.OtrabalhodeLiouvillesobreateoriadeintegraisdefunes elementares foi uma contribuio substancial para solues de equaes diferenciais. As investigaestericaseexperimentaisdeStokescobriramhidrodinmica,elasticidade, luz,gravitao,som,calor,meteorologiaefsicasolar.Eleusoumodelosdeequaes diferenciais em todos os campos de estudo. NametadedosculoXIX,umanovaestruturaeranecessriaparaatacar sistemasdemaisdeumaequaodiferencial.Vriosmatemticosvieramemsocorro. Jacobidesenvolveuateoriadedeterminantesetransformaesemumaferramenta poderosa para avaliar integrais mltiplas e resolver equaes diferenciais. A estrutura do 5Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hbil e umperitonumavariedadedecamposaplicados.Cayleytambmtrabalhoucom determinantes e criou uma teoria para operaes com matrizes em 1854. Cayley era um amigodeJ.J.SylvesterefoiparaosEstadosUnidosparalecionarnaUniversidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas reasdamatemtica,dinmicatericaeastronomia.Cayleycriouanoodematrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas dcadas posteriores. Josiah Gibbsfezcontribuiestermodinmica,aoeletromagnetismoemecnica.Porseu trabalhonosfundamentosdesistemasdeequaes,Gibbsconhecidocomoopaida anlise vetorial. medidaqueofinaldosculoXIXseaproximava,osprincipaisesforosem equaesdiferenciaissemoveramparaumplanoterico.Em1876,Lipschitz(1832--1903)desenvolveuteoremasdeexistnciaparasoluesdeequaesdiferenciaisde primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funes e solues de equaes.medidaqueateoriasedesenvolveu,asseisfunestrigonomtricas bsicasforamprovadastranscendentais,assimcomoasinversasdasfunes trigonomtricaseasfunesexponenciaiselogartmicas.Hermitemostrouquea equaodequintaordempoderiaserresolvidaporfuneselpticas.Enquantoseu trabalhoeraterico,ospolinmiosdeHermiteeasfunesdeHermitesemostraram posteriormentemuitoteispararesolveraequaodeondadeSchrdingereoutras equaesdiferenciais.OprximoaconstruirfundamentotericofoiBernhardRiemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientao de Gauss, na teoria de variveis complexas. Riemann tambm teve o benefcio de trabalhar com o fsico Wilhelm Weber. O trabalho deRiemannemequaesdiferenciaiscontribuiupararesultadosemdinmicaefsica. No final da dcada de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergncia e o "fenmenodeGibbs"dasriedeFourier.Oprximocontribuintetericoimportantefoi Kovalevsky,amaiormatemticaantesdosculoXX.Depoisdevencerdificuldades considerveisporcausadadiscriminaodeseugnero,elateveoportunidadede estudarcomWeierstrass.Noinciodesuapesquisa,completoutrsartigossobre equaesdiferenciaisparciais.NoseuestudodaformadosanisdeSaturno,elase apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevskyerasobreateoriadeequaesdiferenciaisparciaiseumresultadocentral sobreaexistnciadesoluesaindalevaseunome.Elapublicouvriosartigossobre equaesdiferenciaisparciais.Posteriormente,nosculoXX,trabalhostericosde Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificaes paraoentendimentoposteriordealgumasdasmaiscomplicadasfamliasdeequaes diferenciais. O prximo impulso foi no desenvolvimento de mtodos numricos mais robustos e eficientes.CarlRungedesenvolveumtodosnumricospararesolverasequaes diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atmico. Estes mtodos numricos aindasousadoshoje.Eleusoutantamatemticaemsuapesquisaquefsicos pensaramquefossematemtico,efeztantafsicaqueosmatemticospensaramque fossefsico.HojeseunomeestassociadocomosmtodosdeRunge-Kuttapara resolverequaesdiferenciais.Kutta,outromatemticoaplicadoalemo,tambm lembrado por sua contribuio teoria de Kutta-Joukowski de sustentao de aeroflios emaerodinmica,baseadaemequaesdiferenciais.NaltimametadedosculoXX, muitos matemticos e cientistas da computao implementaram mtodos numricos para equaesdiferenciaisemcomputadoresparadarsoluesrpidaseeficientespara sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforo. 6Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equaesnolinearesforamoprximograndeobstculo.Poincar,omaior matemtico de sua gerao, produziu mais de 30 livros tcnicos sobre fsica matemtica emecnicaceleste.Amaioriadestestrabalhosenvolveuousoeanlisedeequaes diferenciais.Emmecnicaceleste,trabalhandocomosresultadosdoastrnomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das rbitas e iniciou a teoria qualitativa deequaesdiferenciaisnolineares.Muitosresultadosdeseutrabalhoforamas sementesdenovasmaneirasdepensar,asquaisfloresceram,taiscomoanlisede sries divergentes e equaes diferenciais no lineares. Poincar entendeu e contribuiu emquatroreasprincipaisdamatemtica-anlise,lgebra,geometriaeteoriade nmeros.Eletinhaumdomniocriativodetodaamatemticadeseutempoefoi, provavelmente,altimapessoaaestarnestaposio.NosculoXX,GeorgeBirkhoff usou as idias de Poincar para analisar sistemas dinmicos grandes e estabelecer uma teoriaparaaanlisedaspropriedadesdassoluesdestasequaes.Nadcadade 1980, a teoria emergente do caos usou os princpios desenvolvidos por Poincar e seus seguidores. Fonte: http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm em setembro de 2008. ...................................................................... 7Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando A Natureza das Equaes Diferenciais Muitasdasleisgeraisdanatureza,nafsica,naqumica,nabiologia,na astronomiaencontramasuaexpressomaisnaturalnalinguagemdasequaes diferenciais.Aplicaestambmsurgemnamatemticaemsi,especialmentena geometria,naengenharia,naeconomia,eemmuitosoutroscamposdacincia aplicada. fcildeentenderasrazesqueestopordetrsdestagrandeutilizaode equaes diferenciais. Para tanto, bom relembrar que se( ) y f x = uma dada funo, ento a sua derivada dydx pode ser interpretada como a taxa (ou razo) de variao de em relao a yx .Emqualquerprocessonatural,asvariveisenvolvidasesuastaxasdevariao estointerligadascomumaououtraspormeiodeprincpiosbsicoscientficosque governamoprocesso.Quandoestarelaoexpressaemsmbolosmatemticos,o resultado freqentemente uma equao diferencial. Para ilustrar estas observaes vejamos o exemplo que se segue. DeacordocomaSegundaLeideNewtondomovimento,aaceleraoadeum corpodemassamproporcionalforatotalFagindosobreele,com 1mcomoa constante de proporcionalidade, assim, Fam=ouma . F =(1) Suponhamos,porhiptese,queumcorpodemassamcailivrementesobrea influncia da gravidade. Nesse caso a nica fora que age sobre ele m.g onde g a acelerao devido gravidade. Se y(t) a distncia abaixo do corpo para alguma altura fixada, ento sua acelerao 22d ydt, e (1) torna-se22.d ym mdt= g ou22d ygdt= (2) Sensalterarmosasituaoassumindoqueoarexerceuma fora de resistncia proporcional velocidade, ento a fora total exercida sobre o corpo .dym g kdt e(1) torna-se

22.d y dym m g kdt dt= ou 22.d y dym kdt dt+ = m g(3) Asequaes(2)e(3)soasequaesdiferenciaisque expressam as atribuies essenciais dos processos fsicos considerados. Definio e Notaes Definio:Umaequaoenvolvendoasderivadas(oudiferenciais)deumaoumais 8Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando variveisdependentesemrelaoaumaoumaisvariveisindependenteschamada de equao diferencial. Exemplos:1.1 3 = xdxdy ; 6.() () x y y y y y 5 ' ' 3 ' '3 5= + +; 2.; 7. 0 . . = dx y dy x y xdtdydtdx+ = + 2 ; 3.0 6 522= + ydxdydxy d; 8. 21 1'xyxy = + ; 4.1 2222= |.|

\|+dxdydxy dey;9.u vy x = ; 5. 32224. . 8. 0d s dst s sdt dt| | + |\ .= ; 10.02222=+yzxz . Observao: A notao de Leibnizdxdy, 22dxy d, 33dxy d, ... ,xw, 22yz, ... , nos parece ser maisvantajosasobreanotao,...,pois,explicitaclaramenteasvariveis dependentes e as independentes. ' ' ' , ' ' , ' y y y Ordem de uma Equao Diferencial Aordemdeumaequaodiferencialdadapelaordemdaderivadademais alta ordem que nela aparece. Grau de uma Equao Diferencial Ograudeumaequaodiferencial,admitindo-seamesmaescritanaforma racionalinteiraemrelaosderivadas,dadopelograudaderivadademaisalta ordemquenelaaparece,ouseja,omaiordosexpoentesaqueestelevadaa derivada de mais alta ordem contida na equao. Exemplo: 133 33= dxy dydxy d 33233dxy dydxy d= ||.|

\| 3a ordem e 2o grau. Preenchaoquadroabaixo,comrespeitoordemeograu,dosdezexemplos apresentados anteriormente: ExemploOrdemGrauExemploOrdemGrau 1 6 2 7 3 8 49 510 9Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Classificao das Equaes Diferenciais As equaes diferenciais so classificadas em: a)EquaesDiferenciaisOrdinrias:soaquelascuja(s)funo(es)incgnita(s) depende(m) de uma nica varivel, e portanto, s apresentam derivadas ordinrias (os oito primeiros exemplos); b)EquaesDiferenciaisParciais:soaquelascuja(s)funo(es)incgnita(s) depende(m)demaisumavarivel,eportanto,asderivadassoparciais(osdois ltimos exemplos). Resoluo de uma Equao Diferencial Resolver ou integrar uma equao diferencial significa determinar todas as funes que substitudasconjuntamentecomassuasderivadasnaequaodiferencialdada,a verificamidenticamente.Taisfuneschamam-sesolues,primitivasouintegraisda equao. Exemplos: 1)Afuno,ondex sen c x c y cos2 1+ = 2 1, c c ,soditasconstantesarbitrrias, soluo da equao diferencial0 =22+ ydxy d , pois,x c x sen cdxdycos2 1+ = e x sen c x cdxy dcos2 122 = . Substituindo na equao diferencial dada vem, 0 cos cos?2 1 2 1= + + x sen c x c x sen c x c 0 0 = (Verdadea igualdade se verificou). 2)Afunosoluodaequaodiferencial 2 2y x z + = 0 =yzxxzy ,pois,xxz2 = e y 2yz=. Substituindo estas derivadas parciais na equao dada vem,0 2 2?= xy xy0 0 = (Verdade). 3)Jafunonosoluodaequaodiferencial 2x y = 3 2 + = xdxdy,pois,xdxdy2 = esubstituindonaequaodiferencialdadavem,2 3 2 + x x .Logo,nose verificou a igualdade. 10Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Tipos de Solues de uma Equao Diferencial Umaequaodiferencialpodeserabordadadetrsmaneirasdiferentes:a analtica, a qualitativa e a numrica.Aformaanalticaaquelatradicionalondeasoluo,umafunoexplcitaou implcita,encontradapelousodiretodoclculodiferencialeintegral.Numprimeiro cursodeEquaesDiferenciais,geralmente,dadoprioridadeaesteprocesso analtico na busca da soluo de uma equao diferencial.Aqui,jcomeaaficarclaroqueporesteprocessoanalticonosempre possvel encontrar a soluo de todas as equaes diferenciais, pois com j sabemos, existem muitas funes que no so integrveis. Jpeloprocessoqualitativo,discute-seocomportamentodassolueseos aspectosdascurvasintegraisdescritospormeiodecamposdedirees,isto, graficamente. Este procedimento, no estudo das equaes diferenciais ordinrias de 1a ordem, no envolve clculos complicados e baseado na interpretao da derivada. Finalmente,naabordagemnumrica,mtodosnumricossoutilizadospara aproximar solues de problemas de valor inicial de equaes diferenciais de 1a ordem. Nocasodasequaesdiferenciaisordinrias,asoluoanalticapodeserdos seguintes tipos: a) Soluo Geral: uma soluo que contm tantas constantes arbitrrias essenciais quantas forem as unidades da ordem da equao considerada. Exemplo:(ondex sen c x c y cos2 1+ = 2 1, c c )soluogeraldaequao diferencial022= + ydxy d, pois, o nmero de constantes arbitrrias essenciais 2, igual s unidades da ordem da equao diferencial considerada. b)Soluo Particular: a soluo que se obtm atribuindo-se valores particulares s constantes arbitrrias, que figuram na soluo geral. Exemplo:x y cos = umasoluoparticulardaequao022= + ydxy d,pois, uma soluo obtida da soluo geral acima,quando11 = c e . 02 = cc)SoluoSingular:umasoluodesprovidadeconstantesarbitrriasequeno podeserobtidadasoluogeral.Tambmsochamadasdesoluesperdidas. Sendoassim,apenasalgunstiposdeequaesdiferenciaisapresentamessa soluo.Exemplo:SejaaequaodeClairaut|.|

\| =dxdydxdyx y lny ln 1.Elapossuisoluogeral dada por e soluo singular dada por c cx y ln = x + =(verifique!). fcil notar que a soluo singular no pode ser obtida da soluo geral. No caso das equaes diferenciais parciais as solues analticas so dos seguintes tipos: a) Soluo Geral: uma soluo que contm funes arbitrrias.Exemplo:Dadaaequaodiferencialparcial0 =yzxxzy ,afunoarbitrriasoluogeraldaequaodiferencial,pois,fumafunode argumento u x , isto ,) (2 2y x f z + =2y = +2) (u f z = , sendou ,e derivando z em relao a 2 2y x + =11Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando xeay,tem-sex u fxz2 ). ( ' =ey u fyz2 ). ( ' =.Substituindo-senaequao diferencial dada vem, 0 = 0 2 ). ( ' 2 ). ( ' .?= y u xf x u f y 0(Verdade). b) Soluo Completa: uma soluo que contm constantes arbitrrias.Exemplo:Dada a equao diferencial parcial yzxzyzyxzx z++= . ,a funo, ondeebso constantes arbitrrias, soluo completa da equao dada(Verifique). b a y b x a z . . . + + = ac) Soluo Particular: a soluo obtida da soluo completa, atribuindo-se valores s constantes arbitrrias. d)SoluoSingular:umasoluoquenoresultanemdasoluogeral,nemda soluo completa. Assim,umadasmaisimportantesdiferenasentreassoluesdasequaes diferenciaisordinriaseassoluesdasequaesdiferenciaisparciais,aquelaque, enquantoasoluogeraldeumaequaodiferencialordinriadeordemncontmn constantes arbitrrias de integrao, a soluo geral de uma equao diferencial parcial contm funes arbitrrias. Outraparticularidadequeexiste,dequenemsempreonmerodefunes arbitrrias ou de constantes arbitrrias traduz a ordem da equao diferencial parcial. Interpretao Geomtrica da Soluo de uma Equao Diferencial Sobopontodevistageomtricoasoluogeraldeumaequaodiferencial ordinria representa uma famlia de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais. Uma soluo particular representada por uma curva desta famlia. Exemplo: Seja a equao diferencialxdxdy2 = , cuja soluo geral dada por .c x y + =2EstasoluogeralnadamaisdoqueumaFamliadeParbolas,todasde concavidadevoltadaparacimaesimtricasemrelaoaoeixoy,conformemostraa figura abaixo, para alguns valores de. 3 , 5 , 1 , 1 , 0 , 1 ,5 4 3 2 1= = = = = c c c c c c 12Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Observao:Existeminfinitasparbolasnestafamlia,ondecadaumadelas representa uma soluo particular (uma para cada determinado valor de ). c Exemplos: 1)Verifique sey soluo da equao diferencial3 2 1). ( c e x c cx+ + =0 22233= + dxdydxy ddxy d. Soluo: 2)Dadoc xxy + =232determineaequaodiferencialdemenorordempossvel que no contenha nenhuma constante arbitrria. Soluo: 3)Dadodetermineaequaodiferencialdemenorordem possvel que no contenha nenhuma constante arbitrria. x sen c x c y 2 2 cos2 1+ =Soluo: Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno Na resoluo de equaes diferenciais, estamos interessados no somente nas suassoluesgerais,mastambmnaquelassoluesquesatisfazemcertas condies.Aquitrataremosdaquelascondiesquesoconhecidascomocondies iniciais e condies de fronteira (contorno) de equaes diferenciais ordinrias. Umacondioinicialumacondio,nasoluodeumaequaodiferencial, emumnicoponto;condiesdefronteira(contorno)socondies,nasoluode uma equao diferencial, em dois ou mais pontos. AequaodiferencialcomcondioinicialserchamadadeumProblemade Valor Inicial; aquela que envolve suas condies de fronteira (contorno) ser chamada de um Problema de Valores de Fronteira (contorno). 13Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exemplos de Problemas de Valor Inicial:a)==2 ) 0 ( ykydxdy , b)=== 3 ) 0 ( '0 ) 0 (0 . 2 ' ' 'yyy y y Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno): 224. 0(0) 1' 22d yydxyy+ ==| |= | \ . Teorema de Existncia e Unicidade sempreimportanteter-sealgunsteoremasbsicosquenoshabilitema determinarseumadadaequaodiferencialcomcondiesiniciaistemounouma soluo nica. Afortunadamente, existem teoremas que nos ajudaro (nem sempre, contudo) a responderestasquestes.AquinsabordaremososTeoremasdaExistnciapara equaesdiferenciaisordinriasde1a e2aordem,semnospreocuparmoscomas demonstraes dos mesmos. Teorema 1:Sejam as funesfeyfcontnuas num domnio D do plano xy contendo o ponto (xo , yo). Ento, existe um intervalo Io :0x x h < ,(h>0)[ouxo h < x < xo + h ], no qual h uma soluo nica , y = y(x),satisfazendo a equao diferencial) , ( y x fdxdy= e a condio inicialy(xo) = yo. Exemplo:Dado o problema de valor inicial2.(1) 1dyxdxy== . Seja uma regio (cinza) no planoD xyque contm o Fig. I ponto( , . Como 0 0) (1,1) x y = ( , ) 2. f x y x = e 0fy= so contnuasem ,existealgumintervaloI Do: 1 x h < ,(h>0),noqualhumasoluo nica, satisfazendo a equao diferencial 2( y x = ) 2.dyxdx =e a condio inicial(1) 1 y =(Fig.I). Teorema 2:Sejamasfunesf, yfe zfcontnuasnumdomniotridimensionalD contendo o ponto (xo , yo , zo). Ento, existe um intervalo Io : 0x x h 0) , no qual 14Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando h uma soluo nica , y = y(x),satisfazendo a equao diferencial e as condies iniciais y(x) ' , , ( ' ' y y x f y =o) = yoe0 0) ( ' z x y = . kyy x f= ) , (yf01 x x x h = [ ( ). '] 0d yr x ydx x+ = . .................................................... 17Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau Como j foi citado anteriormente, nem todas as equaes diferenciais possuem soluoanaltica[podemosatafirmarquenosomuitosostipos(classes)de equaes diferenciais que as possuem]. Assimsendo,aquivamosabordarsomentealgunspoucostiposdeequaes diferenciaisordinriasde1aordeme1ograu,paraosquaisforamcriados procedimentos analticos para se encontrar as suas respectivas solues.Muitosdessesprocedimentosforamdescobertospelanecessidadedese conhecer a soluo de uma determinada equao diferencial, a qual, na realidade, era omodelomatemticodeumproblemareal,outrosprocedimentos,foramcriadospor mera curiosidade matemtica.Ahabilidadeparaseencontrarasoluoanaltica(exata)deumaequao diferencialdependedahabilidadeemsereconheceraquetipo(classe)aequao diferencialemquestoseenquadraedaaplicaodeummtodoespecficoparao clculodasoluo,pois,omtodoqueseaplicapararesolverumtipodeequao diferencial, no necessariamente serve para resolver outro. Definio:Diz-sequeumaEquaoDiferencialOrdinriade1aOrdeme1o Grau se a mesma pode ser escrita na forma ) , ( y x Fdxdy= ou0 ). , ( ). , ( = + dy y x N dx y x M . Classificao Comearemosagoranossoestudosobreametodologiaderesoluode algumas classes ou tipos de equaes diferenciais ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau: 1o Tipo: Equaes Diferenciais de Variveis Separveis a)Equaes Diferenciais de Variveis Separadas: So aquelas equaes diferenciais que podem ser expressas da forma 0 ) ( ) ( = + dy y N dx x M . Se as funes M e N so integrveis, obtemos imediatamente a soluo geral da equaodiferencialpropostaaplicando-seooperadorintegral(queumoperador linear) a ambos os membros da equao diferencial. Assim, resulta |= + c dy y N dx x M ) ( ) ( | = + c dy y N dx x M ) ( ) ( . Observe que ocrepresenta a soma algbrica de todas as constantes de integrao. Exemplo: Determine a soluo geral da equao diferencial.0 . . = + dy y dx xSoluo: 18Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando b)Equaes Diferenciais Redutveis s de Variveis Separveis: Umaequaodiferencialdaforma0 ). ( ). ( ). ( ). (2 2 1 1= + dy y N x M dx y N x M ,pode serreduzidaaumaequaodiferencialdevariveisseparadas,mediantea multiplicaodaequaopelaexpresso 1 21( ). ( ) N y M xchamadafatorde integrao. Assim,temos0) () () () (1221= + dyy Ny Ndxx Mx M,queumaequaodiferencialde variveis separadas. Observao: Este tipo de equao diferencial pode tambm aparecer escrito na formadederivada,isto,) ( ). ( y h x gdx =dy.Assim,multiplicando-seambosos membrosdaequaopor ) ( y h1easeguirpor(pordefinio,dx x dx = o acrscimo da varivel independente, ento, seu valor constante e diferente de zero), tem-se dx x g dxdxdyy h) () (1= (4) Como dy dxdxdy=(ou, isto , a diferencial da varivel dependente igualaoprodutodaderivadadafunopeladiferencialdavarivel independente) de (4) resulta,dx x f dy ). ('=dx x g dy ) ( =y h ) (1 0) (1) ( = + dyy hdx x g ,que uma equao diferencial de variveis separadas, cuja soluo poder ser obtida por integrao, se as funese ) (x g) (1y hforem integrveis. Exemplos: Resolva as seguintes equaes diferenciais: 1)0 = + xdy ydx; Soluo: 2) 1 3 + = xdxdy ; Soluo: 3) 04= dyyxxdx; Soluo: 19Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4)y xydxdy). 1 (122++= . Soluo: Sobre a Curva Tractriz Suponhamos que um ponto P arrastado ao longo do plano xy por um fio PT de comprimento constante a, ou seja, T desloca-se a partir da origem na direo positiva doeixoxeParrastadoapartirdoponto.Nestascondies,determinaro caminho percorrido pelo ponto P ?) 0 , (aAcurvadescritapelatrajetriadestepontoPchamadadeTractriz(dolatim tractum que significa arrastar) ou curva Equitangencial. O Modelo matemtico: Das condies do problema e observandoa sua representao grfica ao lado, conclui-seque o segmento de retaPT tangente curvano ponto P, e portanto, sua inclinao dada por QPQTdxdy = ou2 2dy a xdx x= que uma equao diferencial de variveisseparveis em x e y. A Resoluo: Separando-se as variveis, integrando e usando o fato de quequando 0 = y a x = [condio inicial], obtemos0 ) ( = a y 2 22.lna a xy a a xx| | = | |\ .2 ou 2 22 2.lna a xy a a xx| |+ = | |\ . que a equao da Tractriz.20Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Esta curva de considervel importncia, pois, sua revoluo em torno do eixo y geraasuperfciequeummodeloparaaversodageometriano-Euclidianade Lobachevski. SoluoSingular(ouSoluoperdida):Dadaumaequaodiferencialde variveis separveis, digamos( ). ( )dyg x h ydx = , devemos ter cuidado quando estivermos separandoasvariveis,umavezqueosdivisorespodemseanularemumoumais pontos.Especificamente,serforumzerodafuno,substituir( ) h y y r = em( ). ( )dyg x h ydx =torna nulo ambos os membros; em outras palavras, uma soluo constantenaequaodiferencial.Mas,apsaseparaodasvariveis,oprimeiro membrodaequao y r =( ).( )dyg x dxh y = ficaindefinidoemr.Conseqentemente,y r =pode no aparecer na famlia de solues (soluo geral) obtidas aps a integrao e simplificao. Lembre-se que essa soluo chamada de soluo singular. Exemplo:Resolver 24dyydx = . Soluo:Separandoasvariveistemos 24dydxy=ou 1 14 4.2 2dy dxy y ( = ( + e integrandovem 11 1ln 2 ln 24 4y y + = + x c 2ln 4.2yx ky = ++4.22x kyey+= +4.2.2xyc ey =+4.4.1 .2.1 .xxc eyc e+= (Soluo Geral). Agora, se fatorarmos o segundo membro da equao diferencial 24dyydx = , teremos( 2).( 2dyy ydx = + )e fcil verificar que2 y = e 2 y = so duas solues constantes. Asoluoumasoluoparticular,pois,podeserobtidaapartirdasoluo geral, atribuindo-se para a constante arbitrria co valor zero. J, a soluo 2 y =2 y = umasoluosingular,pois,nopodeserobtidaapartirdasoluogeral,mediantea atribuio de um valor constante arbitrriac. Isto indica que esta soluo foi perdida noinciodoprocessodesoluo.Ainspeodaequaodiferencial1 14 4.2 2dyy y (

+ dx(=indica claramente que precisamos omitir nessas etapas. 2 y = 2o Tipo: Equaes Diferenciais Homogneas a)FunoHomognea:Diz-sequeumafuno,digamos,umafuno homogneadegraudehomogeneidaden,paraalgumn ,emrelaos variveis x e y, se tiver para todo ) , ( y x f*+ ) , ( . ) . , . ( y x f y x fn =21Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exemplos:Verifiqueseasfunesabaixosohomogneasedograude homogeneidade: 1)2 2) , ( y x y x f + =2)y xy xy x f.) , (3 3= 3)xy xy x g25) , (+= 4)xye y y x h . ) , ( = 5)) 1 ln .(ln ) , (3 = y x x y x f b)EquaoDiferencialHomognea:todaequaodiferencialquepodeserescrita daforma0 ). , ( ). , ( = + dy y x N dx y x M ,ondeMeNsofuneshomogneasede mesmo grau, em relao axey. Assim, se a equao diferencial homognea ela pode ser transformada, mediante asubstituiox v y . = (ouy v x . = ),emumaequaodiferencialdevariveis separveis em v e x (ou v e y), que depois de encontrada a sua soluo geral faz-se asubstituio xyv = (ou yx= v )paraseobterasoluogeraldaequao diferencial inicial. Observao:Umaequaodiferencialtambmpodeseridentificadacomo homognea se ela puder ser escrita da forma|.|

\|=xyFdxdyou ||.|

\|=yxFdxdy. Exemplos:Encontreasoluogeraldecadaumadasequaesdiferenciaisdadas abaixo: a)0 ). ( ). .( 22 2= + + + dy y x dx y x xSoluo: 22Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando b)dxdyy xdxdyx y .2 2= +Soluo: 23Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios I)Achar a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais: a)R:0 ). 3 ( ). 2 ( = + dy x dx y c x y = + ) 3 ).( 2 (b) R:c y 0 ). 1 ( .2= + dy x dx xy2 2. 1 x = +c) R:0 ). 3 2 .( ). 3 .( = + + dx x y dy x x . .( 3) y c x x = +d)0 . 1 . 12 2= + dx y dy xR: 21 .( ln x x c y sen arc + + =e) 0 . . = + d tg dR: cos . c =f)( R:0 ). 12= dx y dy x 1 ) 1 .( ln . = x c yg) ( 2 R:). (2 3 ). x y dx x y dy + + 0 = c y xy x = +2 23 4h) (R:( 0 ). 6 4 ( ). 5 3 = + + + dy y x dx y x c y x y x = + + ) 2 .( )2i)R:0 . ). ( 2 = + + dy y dx y x cxy xtg arc y xy x =+ + +2 22 2 ln21 j)R:0 ). 7 5 ( ). 10 8 ( = + + + dy x y dx x y c y x y x = + +3 2) 2 .( ) (k) (R:0 ). 3 ( ). 2 = + + + dy y x dx y x c y xy x = + +2 23 2 2l)0 ). 2 1 ( ). 1 3 .( 2 = + + dz w dw z z R:( z c z w . ) 3 1 ).( 1 2 = + m)dx z x dx z dz x . 4 . 2 .2 2+ = 2 R: 1 0 42 2= + x c czn) (R:0 . 2 ). 4 = + + dy x dx y x c y x x = +2 36o)21. ln . |.|

\| +=xydydxx yR:c y y y x x x + + + = ln 22191ln312 3 3 II)Achar a equao da curva que passa pelo pontoe cujo coeficiente angular , em qualquer ponto igual a) 0 , 1 (x xy+12. R: x x y = + 1 ) 1 .( III) Achar a soluo particular que determinada pelos valores dexeydados. a)0 4 = +xdyydx, ,4 = x 2 = y R:32 42 2= + y xb) ,,dy xy dx y x . 2 ). (2 2= + 1 = x 0 = y R:x x y =2 2 ..................................................... 24Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 3o Tipo: Equaes Diferenciais Redutveis s Homogneas ou s de Variveis Separveis Soasequaesdiferenciaisdaforma ||.|

\|+ ++ +=2 2 21 1 1c y b x ac y b x aFdxdy,onde ecso constantes. 2 2 1 1 1, , , , b a c b a2Para este tipo de equaes temos a consideram dois casos: a)Sedet aequaodiferencialsereduziraumaoutraequao diferencial homognea.02 21 1((

b ab aPara tanto, forma-se o sistema, cuja soluo admitamos ser = + += + +002 2 21 1 1c y b x ac y b x a = x e = y .Aseguir,realizamosnaequaodiferencialconsideradaasseguintes substituies,comasquaisvamosobterumaequao diferencial homognea em u e v.

= + == + =dv dy v ydu dx u xEstamudanadevariveis,geometricamente,equivaleaumatranslaodos eixos coordenados para o ponto( ) , , que a interseo das retas do sistema acima. Desse modo, as retas com variveis u e v se interceptaro na origem ( ). 02 1= = c cExemplo:Resolver a equao diferencial2 31 3 2 + =y xy xdxdy

Soluo: 25Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando b)Sedet ,aequaodiferencialsereduziraumaoutradevariveis separveis. 02 21 1=((

b ab aParatanto,faz-set y b x a = +1 1(out y b x a = +2 2),sendotumafunodex. Ento, derivando-se em relao a x vem, |.|

\| =111adxdtb dxdy

Substituindoestesresultadosnaequaodiferencialdada,obtm-seumaequao diferencial de variveis separveis em t e x. Exemplo: Resolva a equao diferencial 1 3 61 2 + =y xy xdxdy. Soluo: 26Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios Calcular a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais: 1)0 ). 1 3 ( ). 3 2 ( = dy y x dx y x R: c x y x y = |.|

\| + |.|

\| |.|

\| |.|\2 273272.73. 672

| 2)0 ). 2 3 2 ( ). 1 3 2 ( = + + + + dy y x dx y x R:3 3 9.ln 2 3 7 x y x y c + = + + 3)0 ). 5 2 ( ). 4 2 ( = + + + dx y x dy y xR:( ) 3 .( ) 13+ = + y x c y x 4) 3 4 21 2+ ++ +=y xy xdxdy R:c x y y x = + + + 4 8 5 8 4 ln 5)0 ). 5 6 ( ). 3 4 ( = dy y x dx y x R:) 2 3 .( ) 1 2 (2 = y x c y x 6)0 ). 3 2 ( ). 4 2 ( = + + dy y x dx y xR:|.|

\| + = 37. ) 13y x c y x ( 7) y xy xdxdy+ + =13 3 1 R:c y x y x = + + + 1 ln . 2 3 ................................................ 4o Tipo: Equaes Diferenciais Exatas Uma equao diferencial ordinria de 1a ordem escrita da forma 0 ). , ( ). , ( = + dy y x N dx y x M (5) dita exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata), isto ,dyyUdxxUdU+=(6) de uma funo U .) , ( y xNestecasoaequaodiferencial(5)podeserescritaemediante integrao obteremos a soluo geral de (5) que da formaU(x,y) = c. 0 = dUComparando(5)e(6)vemosque(5)umadiferencialexataseexisteuma funo U(x,y)tal que,xUM=(I)eyUN=(II),ento,x yUyM =2 e 2N Ux x y = 27Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando epeloTeoremadeSchwartzcomo 2 2

U Uy x x y = xNyM=(Condio necessriaparaqueaequaodiferencial0 ). , ( = ). , ( + dy y x M y x N dx sejauma equao diferencial exata). ParacalcularmosaexpressodeU(x,y)vamosintegrar(I)emrelaoax. Portanto, U , onde Q(y) uma funo s de y (III) + = ) ( . ) , ( y Q dx M y xPara determinarmosQ(y), derivamos (III) em relao aye usamos(II). Assim, ( ) N y Q dx My yU= +=) ( ' . ( ) = ) . ) ( ' dx MyN y Q(funo s de y). Fazendo,= P dx M.yPN y Q = ) ( 'dyyPN y Q ||.|

\| = . ) ( e substituindo em (III) vem, ( , ) . y M dx N = + .Pdyy| | |\ .P U x , onde = dx M.ComoU(x,y) = c, ento a soluo geral da equao diferencial exata0 ). , ( ). , ( = + dy y x N dx y x M ser dada por c dyyPN dx M =||.|

\| + . . . Exemplos:Calcular a soluo geral de cada uma das equaes dadas: 1) ( 0 ). 4 6 ( ). 6 33 2 2 2= + + + dy y y x dx xy xSoluo: 2) 0 . 2 ). (2 2= dy xy dx y xSoluo: 28Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios I) Calcular a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais: 1) 0 ). 2 3 ( ). 1 2 ( = + + dy y x dx y xR:c y y x xy x = + + 2 23 4 2 2 2 2)R:0 ). 2 . ( . = + dy y e x dx ey yc y e xy= 2.3) R: 0 ). cos 2 ( ). (2 3= + + + dy y xy dx y x c y sen x yx= + +424 4) 0 .1. 2 ) ( cos . . ) ( cos . =((

+ + +((

+ dyyx xy x dxxyxy y R:c y x y xy sen = + + ln . 2 ) (5)y x yxy xdxdy22++ = R:c y y x = + +2 2 2) 1 .(6) 0 ). cos 1 ( ). . 1 ( = + + dy x dx x sen yR:c x y y x = + cos .7) 03 242 23=+ dyyx ydxyx R:cy yx= 132 8)R:0 ). 2 cos . . 2 ( ). cos . (2 2= + + dy y xy x e x dx xy y ey y 2 2.yx e sen xy y c + =9) R:0 ). 4 2 ( ). 3 2 (2 2= + + dy y x dx xy c y x y x = + 4 32 210) 22 . 6xdyx x e y xdx = + R:c x e e x xyx x= + 32 2 . 2 II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a soluo particular):1) ( ) 0 . . . cos . 22= dy y sen x dx e y xx ,0 = x R: 1 cos .2 = ye y x2)22cos. .(1 )dy xy x sen xdx y x=, 2 ) 0 ( = yR: c x x y = 2 2 2cos ) 1 .(3) e y dy y x x sen y dx x y x x y = = + + ) 0 ( , 0 ). ln . 2 ( ). 2 3 cos . (3 2 2R:2 3 2. .ln y sen x x y x y y y 0 + = ............................................................... 29Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Fator Integrante Quandomultiplicamosumaexpressody y x N dx y x M ). , ( ). , ( + ,queno diferencial exata, isto , x y N M , por uma funo) , ( y x e ela se transforma em uma expressodiferencial exata, a esta funo chamamos de Fator Integrante. Exemplo:Sejaaequaodiferencial0 . . = dy x dx y ,ondey y x M = ) , ( e ,tem-se,x y x N = ) , ( 1 1 = = x y N M,eportanto,aequaonoumaequao diferencial exata. Porm,semultiplicarmosessaequaodiferencialpor 21x ou 21y ou 2 21y x +, ela se converter em uma equao diferencial exata (Verifique!). Logo, 21x , 21y e 2 21y x + so fatores integrantes da equao diferencial dada. Pesquisa de um Fator Integrante Vamossuporque( y) , x sejaumfatorintegrantedaequaodiferencial .Semultiplicarmosambososmembrosdestaequaopor0 ). , ( ). , ( = + dy y x N dx y x M) , ( y x , temos0 . . . . = + dy N dx M (7) Comoporsuposio,fatorintegrantedaequao(7),ento,elauma equao diferencial exata e, portanto, xNyM= ) ( ) ( . Calculando as derivadas parciais temos xNxNyMyM+=+

||.|

\|=yMxNxNyM . (8) Aequao(8)umaequaodiferencialdederivadasparciaisde1aordemem ,e porenquantoasuasoluonopodesercalculada.Assim,parasimplificaresta equao vamos supor que apenas uma funo dexou.ySupondo queseja uma funo apenas dex , 0 =ye(8) se transforma em

||.|

\|=yMxNxN . (9) Dividindo ambos os membros de (9) porN . , temos ||.|

\|=xNyMN x1 1 (10) Aequao(10)stersentidoseo2omembroforfunosdex .Dessemodo, ) (1xdxd= dx xd). ( = = dx xd). ( = dx x). ( ln . =dx xe). ( 30Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Analogamente, supondo queseja uma funo apenas de,y 0 =y e (8) se transformaem ||.|

\|=yMxNM y1 1 ,questersentidoseo2omembroforfuno s de. Desse modo,y ) (1ydyd= dy y). ( = = dx x). ( dd= dy y). ( ln . =dy ye). ( Observemosque,peloprocessoadotado,podemosdeterminarumfator integrante e no todos os fatores, de modo que as restries adotadas no prejudicam a pesquisa desse fator. Exemplos:Resolverasseguintesequaesdiferenciais,transformando-asem equaes diferenciais exatas, atravs da multiplicao por um fator integrante. 1) 0 ). 1 ( .2= + + dy xy dx ySoluo: 2) ( 0 . 2 ).2 2= + dy xy dx y xSoluo:31Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios I)Verifiquesecadaumadasequaesdiferenciaisdadasnoexata.Aseguir, pesquise um fator integrante e calcule a soluo geral de cada uma delas. 1) R:dx e x dx y dy xx. . . .2= xe x x c y . .+ =2) R:dy x dx y dy y . .2= +2. y x c + = y3) 0 ). ln (3= + dy x y dxxyR:y c y x . ln .3= + 24) ( R:0 ).2 2= + dy x dx xy x lnyx cx =5) ( R:dy x x dx y ). ( ). 12 2+ = + cxxy tg ++=1ln arcNota:Nestaltimaequaonopossvelencontrar,poresteprocesso,umfator integrantequesejafunoapenasdexoudey.Identifiqueaqualtipoesta equao diferencial pertence e resolva-a. II)Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante: ,0 ). 4 ( .2= + + dy y y x dx x 0 ) 4 ( = y R:20 ) 4 (22= + x ey ......................................................... 5o Tipo: Equaes Diferenciais Lineares SoaquelasquepodemserescritasnaformaQ y Pdxdy= + . ,ondePeQso funes dex . Se Q = 0, denominada a equao diferencial linear homognea ou incompleta. Observao:Aqui o sentido de homognea diferente daquele descrito nas equaes diferenciais do 2o tipo. Encontra-se a soluo geral de uma equao deste tipo, utilizando-se o Mtodo daSubstituio(ouMtododeLagrange)outransformando-a,emumaequao diferencial exata, por meio da multiplicao de um fator integrante. Mtodo da Substituio ou Mtodo de Lagrange Seja a equao diferencialQ y Pdxdy= + .(11) Antes vamos examinar dois casos particulares: 1o)Se P = 0 Qdxdy= dx Q dy . = + = c dx Q y .32Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2o)Se Q = 0 0 . = + y Pdxdy dx Pydy. =c dx P y + = . ln. P dx cy e += ..P dxcy e e= . = dx Pe k y..Emcadaumdestescasospercebe-sequeaequaodiferencialresultantesempre uma equao diferencial de variveis separveis. Agora, vamos nos ater para o caso geral, quando P e Q so ambas funes no nulas.Nestecaso,peloMtododaSubstituio,vamosfazer,ondezetso funes de x, sendo z a nova funo incgnita e t a funo a determinar.t z y . = Assim, dxdztdxdtzdxdy. . + = e substituindo em (11) vemQ t z Pdxdztdxdtz = + + . . . . Qdxdzt t Pdxdtz = + |.|

\|+ . . (12) Se conseguirmos obter os valores de z e t, obviamente teremos a soluo geral de (11) queumaequaodiferenciallinearditacompleta,jque.Assim, pesquisaremosem(12)ummododecalcularestasduasfunes,zet.Istopodeser feito impondo-se as seguintes condies, em (12): t z y . === +Qdxdztt Pdxdt0 . Resolvendoaequaodiferencial0 . = + t Pdxdt,resultat elevando-seeste resultadoem = dx Pe k.1.Qdxdz= t temosQdxdze kdx P=. ..1Q ek dxdz dx P. .1 .1= Qdx ekdzdx P. .1 .1=e integrando,2.1. .1k dx Q ekzdx P+=. Como, t z y . =|.|

\| ||.|

\|+=dx P dx Pe k k dx Q eky.1 2.1. . . .1 |.|

\|+ =c dx Q e e ydx P dx P. . .. .que a soluo geral de (11). Exemplos: Resolva as equaes diferenciais: 1) xxydxdy= ; Soluo: 33Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2) 0cot= +xx gxydxdy. Soluo: Exerccios 1)Resolver as seguintes equaes diferenciais: a) 2 = xxydxdyR: ) ln . 2 .( c x x x y + =b) x sen x tg ydxdy. = R:||.|

\|+ = cx senx y2. sec2 c) x y x tgdxdycos ). ( + = R:1 1 2 .sec2 4y x sen x c| |= + + |\ .xd)44' x yxy = + R:5491xxcy + =e) R: 0 . 5 ' = y yxe c y5. = 2)Resolva os problemas de valor inicial: a)0 = +xe ydxdyx ,R: b a y = ) (xe ab eya x +=b),x sen y y ' = + 1 ) ( = yR: ( ) x x sen e yxcos21 + = 3)PesquiseumfatorintegranteparaaequaodiferenciallinearQ y Pdxdy= + . .A seguir resolva o exerccio 1) a) por este processo. 34Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Algumas Aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau Comfreqncia,desejamosdescreverocomportamentodealgumsistemaou fenmeno do mundo real em termos matemticos, quer sejam eles fsicos, econmicos, sociolgicosemesmobiolgicos.Arepresentaoidealizadadestesistemaou fenmenoenvolvendosmbolosmatemticoschamadademodelomatemticoou simblico. A construo de um modelo matemtico que represente o comportamento de um sistema ou fenmeno pode no ser uma tarefa fcil, pois, o mesmo deve envolver um grandenmerodevariveis,ecabeaquemestivermodelandoidentificarquaisdelas sorealmentesignificativasaocomportamentodosistema,bemcomo,saberquala relao que deve existir entre elas.svezes,tambmsefaznecessrioquecertasimposiessejamagregadas para facilitar a construo do modelo, bem como a sua resoluo. Assim,podemosconcluirque,aquelesquequiseremsededicaraestatarefade modelardeveropossuirmuitaexperinciaeumaboacapacidadedeanlisee sntese,qualidadesestasquepodemcomearaseradquiridasapartirdoestudode alguns modelos clssicos. 1)ProblemasdeVariaodeTemperatura:Aleiempricadevariaode temperaturadeNewtonafirmaqueataxadevariaodetemperaturadeumcorpo diretamente proporcional diferena de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. SejaTatemperaturadocorpoeTmatemperaturadomeioambiente(constante). Ento, a taxa de variao da temperatura do corpo em relao ao tempo dtdT, e a lei deNewtonrelativavariaodetemperaturadeumcorpopodeserformuladacomo ) (mT T kdtdT = , onde k uma constante de proporcionalidade.Exemplo:Coloca-seumabarrademetaltemperaturade100Cemumquartocom temperaturaconstantede0C.Se,aps20minatemperaturadabarrade50C, determine: a)o tempo necessrio para a barra chegar temperatura de 25C e, b)a temperatura da barra aps 10 min. Soluo: 35Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2)ProblemasdeCrescimentoeDecrescimento:SejaN(t)aquantidadede substncia (ou populao) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se admitirmosque dtdN,taxadevariaodaquantidadedesubstnciaproporcional quantidadedesubstnciapresente,entoN kdtdN. = ,ondekaconstantede proporcionalidade. Observao:Umadasprimeirastentativasdemodelagemmatemticaparao crescimentopopulacionalhumanofoirealizadapeloeconomistainglsThomas Malthus,em1798.Omodeloporelecriadofoiestedescritoacima,masnose mostrouconfivelparaseestimarocrescimentodepopulaeshumanasemlongos intervalosdetempo.Sorarasaspopulaesquecrescemsegundoessemodelo; entretanto, pode ser usado para o crescimento de pequenas populaes em um curto intervalo de tempo, por exemplo, crescimento de bactrias. Exemplos: 1)Sabe-sequeamassadecertasubstnciaradioativadiminuiaumataxa proporcional quantidade de massa presente. Se, inicialmente, a quantidade de massa dematerialradioativode50mg,eobserva-seque,aps2 horas, perderam-se 10% da massa original, determine: a)a funo para calcular a massa de substncia restante em qualquer tempo t; b)a massa restante aps 4 horas; c)o tempo necessrio para que a massa inicial fique reduzida metade.Soluo: 2) Sabe-se que a populao de um bairro cresce a uma taxa proporcional ao nmero dehabitantesexistentes.Senosegundoanodeexistnciadobairroapopulaoo dobro da inicial, e no terceiro ano de 20.000 habitantes, determine a populao inicial. Soluo: 36Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 3)ProblemasdeDiluio:Consideremosumtanque,comonafiguraabaixo,com umaquantidadeinicialdeVo litros de salmoura contendoa gramas de sal. Despeja-se no tanque uma outra soluo de salmoura com b gramas de sal por litro, taxa (razo) de e litros por minuto, enquanto, simultaneamente, a soluo resultante, bem misturada, se escoa do tanque taxa de flitros por minuto. O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no tanque no instante t. SejaQaquantidadedesal(emgramas)presente notanqueemuminstantequalquer.Ataxadevariao deQ, dtdQ,igualtaxaaqualosalentranotanque, menos a taxa a qual o sal se escoa do tanque. Ora, o sal entranotanquetaxab.elitrosporminuto.Para determinarataxadesadadosal,devemosprimeiro calcularovolumedesalmourapresentenotanqueno instantet,queovolumeinicialVo maisovolume adicionadoe.tmenosovolumeescoado,f.t.Assim,o volume de salmoura no instantet V t f t e . .0 +A concentrao de sal no tanque, em um instante qualquer, dada por t f t e VQ. .0 +e, portanto, o sal sai do tanque taxa det f t e VQ f. ..0 +gramas por minuto. Logo, t f e VQf e bdtdQ). (.0 + = ,cujasoluoQ(t)determinaaquantidadedesal presente no tanque em qualquer instante t.Exemplo: Um tanque contm inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. No instante t = 0, comea-se a deitar (derramar) no tanque gua pura taxa de 5 litros porminuto,enquantoamisturaresultanteseescoadotanquemesmataxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. Soluo: 37Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4)CircuitosEltricos:SejaumcircuitosimplesdotipoRL(Fig.I),consistindode umaresistnciaR(emohms),umindutorL(emhenries)eumaforaeletromotriz (f.e.m)E(emvolts).Aplicando-seasegundaleideKirchhoffobteremosaequao diferencial que rege a quantidade de corrente I (em ampres) neste circuito

LEILRdtdI= + Fig. I SejaumcircuitodotipoRCconsistindodeumaresistnciaR,umcapacitorC(em farads),umaforaeletromotrizE,esemindutncia(Fig.II),ligadosemsrie.Pela segunda lei de Kirchhoff temos que ECqRI = + . Como a relao entre qeI dada por dtdqI = , substituindo-se este resultado na equao anterior obteremos a equao diferencial que rege a quantidade de carga eltrica q (em coulombs) no capacitor

REqRC dtdq= +1Fig. II

Exemplo:Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistncia de 50 ohms e indutncia de 1 henry. A corrente inicial zero. Determine a corrente no circuito no instante t. Soluo: 38Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios Gerais de Aplicaes 1)Umcorpotemperaturade50Fcolocadoaoarlivre,ondeatemperatura ambiente de 100F. Se aps 5 min a temperatura do corpo de 60F, determine: a) o tempo necessrio para a temperatura do corpo atingir 75F; R:15,4 min. b) a temperatura do corpo aps 20 min. R: 79,5 F. 2)Coloca-seumcorpocomtemperaturadesconhecidaemumquartomantido temperatura constante de 30F. Se, aps 10 min, a temperatura do corpo 0F e aps 20 min 15F, determine a temperatura inicial.R: 30F. 3)Sabe-se que certa substncia radioativa diminui de massa a uma taxa proporcional quantidadepresente.Se,inicialmente,aquantidadedematerial50mg,eaps2 horas se observa a perda de 10% da massa original, determine: a) a expresso para a massa de substncia restante em um tempo arbitrrio t;b) a massa restante aps 4 horas;R: a) ;R:b). 0,053.( ) 50.tN t e= mg N 5 , 40 =c) o tempo necessrio para que a massa restante fique reduzida metade. R: 13 horas. 4) Sabe-se que uma cultura de bactrias cresce a uma taxa proporcional quantidade presente. Aps 1 hora, observaram-se 1.000 ncleos de bactrias na cultura, e aps 4 horas, 3.000 ncleos. Determine:a) uma expresso para o nmero de ncleos presentes na cultura no tempo arbitrrio t; b) o nmero de ncleos inicialmente existentes na cultura.R: a) . 0,366.( ) 694.tN t e = R: b) 694. 5)Umtanquecontminicialmente100litrosdesalmouracomumagramadesal.No instante,adiciona-seoutrasoluodesalmouracom1gramadesalporlitro, razode3litrospormin,enquantoamisturaresultanteseescoamesmataxa. Determine: 0 = ta) a quantidade de sal presente no tanque no instante t;R: Q t . 0,03.( ) 100 99.te= b) o instante em que a mistura restante no tanque conter 2 gramas de sal. R:0,338 min 6) Um tanque de 50 gales de capacidade contm inicialmente 10 gales de gua pura. Quando,adiciona-seaotanqueumasoluodesalmouracom1libra ( )desalporgalo,razode4galespormin,enquantoquea mistura se escoa razo de 2 gales por min. Determine: 0 = t gramas 453, 95 a) o tempo necessrio para que ocorra o transbordamento;R: 20 min. b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasio do transbordamento. R: 48 libras 7)UmcircuitoeltricoRLtemf.e.m.(emvolts)dadapor,resistnciade10 ohms, indutncia de 0,5 henry e corrente inicial de 6 ampres. Determine a corrente no circuito no instante t. R: t sen . 2 . 320.30101t609 3 2. cos2.101 101I e s = + en t t . 8) Um circuito RCtem f.e.m. (em volts) dada por, resistncia de 100 ohms e capacitnciade10t . 2 cos . 400-2farad.Inicialmente,noexistecarganocapacitor.Determinea corrente no circuito no instante t. R:t sen t et. 258. 2 cos51654 + =t I ) ( . 39Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 9) Coloca-se um corpo temperatura de de 0F em um quarto mantido temperatura constante de 100F. Aps 10 min a temperatura do corpo de 25F, determine: a) o tempo necessrio para que a temperatura do corpo atingir 50F; R:23,9 min. b) a temperatura do corpo aps 20 min.R:44F. 10) Um corpo com temperatura desconhecida colocado em um refrigerador mantido temperatura constante de0F. Se aps 20 min a temperatura do corpo 40F e aps 40 min 20F, determine a temperatura inicial do corpo.R: T(0 )= 80F. 11)Umcorpotemperaturade50Ccolocadoemumfornocujatemperatura mantidaa150C.Seaps10minatemperaturadocorpo75C, determine o tempo necessrio para o corpo atingir a temperatura de 100C. R: 23,9 min. 12) Certa substncia radioativa decresce a um taxa proporcional quantidade presente dasubstncia.Se,paraumaquantidadeinicialdesubstnciade100mg,seobserva um decrscimo de 5% aps dois anos, determine: a) uma expresso para a quantidade restante no tempo t; R: . 0,026.( ) 100.tN t e=b) o tempo necessrio para uma reduo de 10% da quantidade inicial.R:4,05 anos 13)Certasubstnciaradioativadecresceaumataxaproporcionalquantidade presente. Observa-se que apsuma hora, houve uma reduo de 10% da quantidade inicial da substncia, determine a meia-vida da substncia. R: 6,6 horas. Observao:Meia-vidaotemponecessrioparaqueamassadasubstnciase reduza pela metade. 14)Sabe-sequeapopulaodeumadeterminadacidadecresceaumataxa proporcionalaonmerodehabitantesexistentes.Se,aps10anos,apopulao triplica, e aps 20 anos de 150.000 habitantes, determine a populao inicial. R: 16.620 habitantes. 15) Um tanque contm inicialmente 10 gales de gua pura. No instante, comea-se a adicionar ao tanque uma soluo de salmoura com 0,5 libra de sal por galo, razo de 2 gales por min, enquanto a mistura se escoa do tanque mesma taxa. Determine: 0 = ta) a quantidade de sal no tanque no instante t; R:Q t . 0,2.( ) 5. 5te= +b) a concentrao de sal no tanque no instante t. R:( )0,2.112tQeV= . 16) Um tanque contm inicialmente 80 gales de soluo de salmoura com 1/8 libra de salporgalo.Noinstante,comea-seaadicionaraotanqueoutrasoluode salmoura com 1 libra de sal por galo, a taxa de 4 gales por min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque taxa de 8 gales por min. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contm exatamente 40 gales de soluo.0 = tR:Qlibras.5 , 22 ) 10 ( = 17)UmcircuitoRCtemf.e.m.de5volts,resitnciade10ohms,capacitnciade102 farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine: a) a corrente transitria; R: 10.992te . b) a corrente estacionria. R: 0 . 40Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 18) Um circuito RL sem fonte de f.e.m. tem uma corrente inicial dada por Io. Determine a corrente no instante t.R: ..RtLoI I e= . 19)Umcircuitotemf.e.m.dada(emvolts)por,resistnciade100ohms, indutncia de 4 henries, e corrente inicial zero. Determine a corrente no instantet . t sen. 4 R:( ) t t sen etcos . 256261. 25 +. 20) Um indivduo encontrado morto em seu escritrio pela secretria, que afirma ter ligado imediatamente para a polcia.Quandoapolciachega,2horasdepoisdachamada,examinaocadver.Umahora depois o detetive prende a secretria. Por qu?Dados:Atemperaturadoescritrioerade20C.Quandoapolciachegou,mediua temperaturadodefunto,achando35C;umahoradepois,mediunovamenteobtendo 34,2C. E por ltimo suponhamos que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5C. 21) Uma cidade abastecida de gua por um lago cujo manancial de 108 litros e que alimentadoporumriocujavazode200litrosporminuto.Algumasfbricas localizadasbeiradesserioopoluem(hmuitotempo)naordemde60gramaspor litro.Aquantidademximadepoluenteadmissvel,pordecisodasautoridades sanitrias,daordemde25g/l.OPrefeitoMunicipal,muitopreocupadocomas constantes reclamaes da populao que coloca em xeque a sua reeleio, pede ao engenheiro responsvel pelo abastecimento de gua da cidade, que resolva este grave problemaemumprazomximode4meses(paraquenoultrapasseodiadas eleies).Oengenheiroresolvedesviarocursodeoutrorio(considerando-seque condies impeam que seja desviado o curso rio poludo) cujas guas esto com um grau de poluio de 10 g/l, fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vazo de 800 l/min. Desprezando-se a evaporao, chuvas e outros fatores que viessem a alterar o volume domanancial(considerando-o,portanto,constante),pergunta-se:OPrefeitose reeleger? R: 144 dias. 22)Apopulaodeumacidadede1.000.000habitantes.Houveumaepidemiae 10% da populao contraiu o vrus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. Ovrussepropagaporcontatodiretoentreosindivduosenfermosesos(logo proporcionalaonmerodecontatos).Apartirdestesdadosesupondoqueomodelo sejafechado,isto,apopulaomantendo-seconstante,semnascimento,morteou migrao, e os indivduos tendo toda a liberdade de interagir, calcule: a) a proporo de indivduos enfermos e sos, como uma funo do tempo; b) o tempo necessrio para que a porcentagem de indivduos enfermos seja de 50%. Sugestes: x proporo de indivduos enfermos proporo de indivduos sos ytotalidade da populao1 = + y x 23)Umatordecinemaquepesa120Kgprecisafazerumseveroregimepara emagrecer,emvirtudedoseunumnovofilmeaserrodado.Odiretorexigequeele perca a tera parte do seu peso no mximo em trs meses, segundo uma dieta racional que o emagrea proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condies, sabendo-41Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando seque,iniciadaadieta,oartistaemagreceu20Kgem40dias,quantotemposer necessrio para que ele comece a atuar no filme?R: 87 dias. 24) Um investidor aplicou na bolsa de valores determinada quantia que triplicou em 30 meses.Emquantotempoessaquantiaestarquadruplicada,supondo-sequeo aumento proporcional ao investimento feito, e continuando neste mesmo ritmo? R: 37,8 meses. 25)Umacontabancriaganhajuroscontinuadamenteaumataxade5%docrdito corrente, por ano. Suponha que o depsito inicial foi deR$ 1.000,00 e que no foram feitos outros depsitos ou retiradas.a) Escreva a equao diferencial satisfeita pelo crdito em conta; b) Resolva a equao diferencial e faa um grfico da soluo. 26)Ocidovalpricoumadrogausadaparacontrolarepilepsia;suameia-vidano corpo humano de cerca de 15 horas. a) Use a meia-vida para achar a constante k na equao diferencialQ kdtdQ. = . b) Qual o tempo para que restem 10% da droga? 27) O birtartarato de hidrocondone usado para suprimir a tosse. Depois que a droga foicompletamenteabsorvida,aquantidadedadroganocorpodecresceaumataxa proporcionalquantidadequerestanocorpo.Ameia-vidadobirtartaratode hidrocondone no corpo de 3,8 horas e a dose 10 mg. a) Escreva uma equao diferencial para a quantidade Q da droga no corpo no tempo t, desde que a droga foi completamente absorvida; b) Resolva a equao dada no item (a); c) Use a meia-vida para achar a constante de proporcionalidadek; d) Quando da dose de 10 mg resta no corpo aps 12 horas? 28) A morfina uma droga que alivia a dor. Use o fato de ser a meia-vida da morfina no corpode2horasparamostrarqueamagnitudedaconstantedeproporcionalidade para a taxa qual a morfina deixa o corpo 347 , 0 k . 29) O corpo de uma vtima de assassinato encontrado, ao meio dia, numa sala com temperaturaconstantede20C;2horasdepoisatemperaturadocorpode33C. Quando o corpo foi encontrado, ao meio dia, a sua temperatura era de 35C. a) Ache a temperatura T do corpo como funo de t, o tempo em horas desde que foi encontrado; b) Esboce um grfico de T(t);c)Oqueacontececomatemperaturadocorpoaolongodotempo?Mostreistono grfico e algebricamente; d) hora do assassinato o corpo da vtima tinha a temperatura normal, 37C. Quando ocorreu o crime? 30) Foi encontrado um osso fossilizado que contm um milsimo da quantidade original de C14 (istopo carbono 14). Faa uma estimativa para a idade deste osso.Dado: A meia-vida do C14 de aproximadamente 5.600 anos.R: 55.800 anos. ............................................................ 42Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equaes Diferenciais Ordinrias de Ordem Superior Primeira Tipos Especiais de Equaes Diferenciais de 2a Ordem a) Equao Diferencial do Tipo: ) (22x fdxy d=Para encontrar a soluo geral de uma equao diferencial que pode ser escrita desta forma, faz-se a substituiodxdyp = , sendop uma funo dex . Assim, 22dxy ddxdp= esubstituindonaequaodiferencialdadavem) (x fdxdp=queumaequaodiferencialde1aordemedevariveisseparveisempex. Portanto,1) ( ). (). ( c x F p dx x f dp dx x f dp + = = = , se for integrvel.) (x fSubstituindo dxdyp = noresultadoanterior,obtm-se 1) ( c x Fdxdy+ = que tambmumaequaodiferencialde1aordemedevariveisseparveisemyex. Resolvendo esta equao diferencial tem-se | | | |2 1 1 1. ). (. ) ( c x c F(x).dx y dx c x x F dy dx c x F dy + + = + = + = . Exemplo:Resolver a equao diferencial222cos2xd ye xdx= + . Soluo: 43Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando b) Equao Diferencial do Tipo: |.|

\|=dxdyx fdxy d,22 Aqui tambm, para se encontrar a soluo geral de uma equao diferencial que pode ser escrita desta forma, faz-se a substituio dxdyp = , sendopuma funo dex . Assim,22dxy ddxdp= e substituindo na equao diferencial dada vem ) , ( p x fdxdp=que uma equao diferencial de 1a ordem emp e x. Exemplo:Resolver cada uma das equaes diferenciais: a) 2224 |.|

\|= dxdydxy d Soluo: b) 0 ) 122= + +dxdydxy dx (Soluo: 44Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando c) Equao Diferencial do Tipo: ) (22y fdxy d=Aqui,paraseencontrarasoluogeraldeumaequaodiferencialquepode ser escrita desta forma, faz-se tambm a substituiodxdyp = , sendop uma funo dex . Assim, dydppdxdydydpdxdpdxy d= = =22esubstituindonaequaodiferencialdada resulta) ( y fdydpp = queumaequaodiferencialde1aordemedevariveis separveis em p e y. Resolvendo esta equao diferencial tem-se 12) (2 . ) ( . ). ( . c y Fpdy y f dp p dy y f dp p + = = = . Substituindo dxdyp = noresultadoanterior,obtm-se 12) (21c y Fdxdy+ = |.|

\| 12) ( . 2 k y Fdxdy+ = |.|

\|1) ( . 2 k y Fdxdy+ =que so duas equaes diferenciais de 1aordemedevariveisseparveisemyex,ambaslevandoamesmasoluogeral. Portanto, basta resolvermos uma delas, digamos, aquela com sinal positivo.Exemplo:Resolver a equao diferencial 0 .222= + y kdxy d. Soluo: 45Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando d) Equao Diferencial do Tipo: |.|

\|=dxdyy fdxy d,22 De maneira anloga ao tipo anterior, tiramos) , ( p y fdydpp =que uma equao diferencial de 1a ordem empe. Resolvendo-a em relao ay pe substituindopelo seuvalor dxdy,obtm-seumaoutraequao de diferencial de 1a ordem e de variveis separveis em y e x. Exemplo: Resolver a equao diferencial 2222. |.|

\|+ =dxdydxdyydxy dy . Soluo: Exerccios I)Calcule a soluo geral de cada uma das seguintes equaes diferenciais: 1)x e xdxy dxcos .22+ = R: 2 1. cos . 2 . c x c x e e x yx x+ + =2) x dxy d 122= R: 2 1. ln . c x c x x y + + =3)adxdyxdxy dx = +222R: 2 12ln . ln .21c x c x a y + + =4) 222|.|

\|=dxdydxy dy R: x ce c y.12. =5) R:0 ' ' ' . = + + x y y x2 12ln .41c x c x y + + = ....................................................... 46Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Problema de Perseguio(Uma aplicao) Suponhamosqueumalebrecomeaacorrerapartirdaorigemdosistemaxy, nadireopositivadoeixoycomvelocidadeconstantea.Nomesmoinstante,uma raposapartedoponto(c,0)comvelocidadebeestconstantementecorrigindoseu rumo,demodoqueacadainstantecorrediretamenteemdireoaopontoemquea lebre se encontra (Fig. I). Qual o caminho a ser percorrido pela raposa? Soluo: i) O Modelo Matemtico No tempot, a partir do instante em que ambos comeam a correr, a lebre estar no ponto(0, . ) R a t =e a raposa em ( , ) P x y = (Fig. I). Uma vez que, a reta que passa pelos pontos e P R tangente ao caminho percorrido pela raposa, ns temos . dy y a tdx x=ou . '' . x y y a = t(1) A seguir, vamos eliminar t. Para tanto, diferenciamos (1) em relao ax , eobtemos. '' ' 'dtx y y y adx+ = ouFig. I . ''dtx y adx= (2)Desde que dsbdt =1 (velocidade da raposa), aplicando a regra da cadeia, temos dt dt dsdx ds dx= (3)Mas,(Fig. II) 2 2( ) ( ) ( ) ds dx dy = +2+2 22 2( ) ( )1( ) ( )ds dydx dx= + ou 21ds dydx dx| |= |\ . (4) Assim, substituindo (4) em (3), vem2.dt dybdx dx| |= + |\ .1

(5) (o sinal de menos aparece porque a curva decrescente, s cresce enquantox decresce). Fig. II A seguir, substituindo (5) em (2) temos, 1 s = s(x) o comprimento do arco da curva y = y(x), medido entre dois pontos dados [como na Fig. II ].47Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2. '' 1 ( ')ax y yb= +Assim, obtemos o problema de valor inicial, 2'' 1.a dyyb x dx| |= + |\ .; ( ) ( ) 0dyy c cdx= =(6) ii) A Resoluo Aequaodiferencialdadaem(6)umaequaodiferencialde2aordemdotipo (especial)22,d y dyf xdx dx| |= |\ .. Jsabemosquepararesolverumaequaodiferencialdestetipo,devemosfazer dypdx = , sendopuma funo dex e, portanto, 22d y dpdx dx= .Substituindo em (6) fica21.dp apdx b x= + , que uma equao diferencial de 1a ordem de variveis separveis empex. Assim, separando as variveis, temos xdxbapdp=+21 e integrando, vem 21dp a dxb xp=+

Resolvendo por substituio trigonomtrica, obtemos( )211 lnaln p p xbk + + = + (7) Como dypdx =e0dydx =quandox c =[condio dada (Fig. I), a curva tangencia o eixox], logo, e, de (7) obtemos, 0 p =10 lnac kb= +b 1lnak cb= . Portanto, substituindo em (7), fica 1k( )21 ln lna aln p p xb b+ + = c

( )21 lna xp pb c+ + = ln ( )21 lnablnxp pc+ + = .Comox ecso no negativos, ( )2ln 1 lnabxp pc| |+ + = |\ . 21abxp pc| |+ + =|\ .. (8) Masdypdx= e, de (8) vem,21abdy dy xdx dx c| | | |+ + = ||\ . \ . 21abdy x dydx c dx| | | |+ = ||\ . \ . 22abdy x dydx c dx (| | | | (+ = || (\ . \ . 1 22 21 2.a ab bdy x x dy dydx c c dx dx| | | | | | | |+ = + ||||\ . \ . \ . \ . 2.2. 1a abx dy xc dx c| | | |= ||\ . \ .b 48Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2.112.ababdy xdx cxc (| | (= | (\ .| | |\ . 12a abdy x cdx c xb (| | | | (= || (\ . \ . , que uma equao diferencial de variveis separveis em x e y. Separando as variveis e integrando, obtemos,1.2a ab bx cy dc xx (| | | | (= || (\ . \ . . (9) Paraencontramosycomoumafunoexplcitadex,devemosterinformaes adicionais sobre a e b. Por exemplo, se a=b(ou1ab = ), isto , se a velocidade da lebre for igual a velocidade da raposa, (9) ficar da forma1.2x cyc x| |= |\ .dx,e integrando o 2o membro, vem 22ln4. 2x cycx k = + . (10) Como[condiodada(Fig.I)],de(10)temos( ) 0 y c =220 ln4. 2c cc kc= + 2ck = ln2 4cc , e substituindo em (10), vem21ln ln4. 2 2x cy xc| |= + |\ .c+. Porhiptese,e,assim,quando,significando,portanto, que a raposa nunca alcanar a lebre (Fig. III).0 c > 0 x > 0 ,x y+ Acurvadogrficoabaixomostraocaminhoaserpercorridopelaraposa,em perseguiolebre,quandoamboscorremmesmavelocidade,alebrepartindoda origem dos eixos e se deslocando na direo positiva do eixo y e a raposa partindo do ponto (5, 0). 25ln ln520 2 2xy x|= +

\ .1 ||[curva que descreve o caminho percorrido pela raposa]

Fig. III 49Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Aseguir,analisaremosasituaoemqueasvelocidadesdaraposaedalebreso diferentes, isto ,a b (ou1ab ). Assim, de (9)1.2a ab bx cy dc x (| | | |

= ||

\ . \ . x(( 1 1.22.a a ab b baby x dx c x dxc= . 1 121 121 12.a aab bbabx xy ca acb b+ += + +k + 21 122.a b a bab bbabx xy ca b a bcb b+ +k = ++ + 222.a bab bbabb xy ca bc+ += + +a ba bb xk +Mas como (condio inicial),( ) 0 y c =

222.a b a bab bbabb c b cca b a bc+ += + +0k + 222.b a a bab bbabb c b cb a a bc += +k c2 22. 2.a b a b b a a ba ab b bb ba ab bb x b x b c b cy c ca b a b b a a bc c+ + = + + + b++ .2( ).a b a b ab b ba b a bb babc c xb x cyb aa b c + + (| | (| ( \ .= + ( (+ ( O grfico ao lado mostra o caminho percorrido pela raposa, quando esta parte do ponto ) 0 , 5 (e sua velocidade o dobro da velocidade da lebre [ c eb ]. Note-se que, a curva 5 = a . 2 =que descreve este caminho, no intervalo [0,5], 21212323) . 5 ( 55 35xxy += . Logo, a raposa alcanar a lebre no ponto|.|

\|310, 0 . 50Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando J, o grfico ao lado, mostra o caminho percorrido pela raposa quando esta parte do ponto(e ) 0 , 5sua velocidade a metade da velocidade da lebre[ c e5 =2a= b ]. Assim, a curva que descreve este caminho, no intervalo (0,5],

||.|

\|+ =xxy223 3555 3521 e, quando,[a raposa nunca alcanar0 x + ya lebre]. Como conseqncia do que foi visto anteriormente, a raposa s alcanar a lebre se a sua velocidade for maior que a velocidade da lebre, isto ,.a b > ..................................................................... 51Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N So as equaes diferenciais da forma: B y AdxdyAdxy dAdxy dAdxy dAn nnnnnnn= + + + + +. ...1222111 0(13) ondee nA A A A , ... , , ,2 1 0Bso funes apenas dex . Nota:Aequaodiferenciallinear(13)ditahomogneaseB identicamentenula ( ) e no-homognea no caso contrrio.0 BdySe0 = B , temos0 . ...1222111 0= + + + + +y AdxAdxy dAdxy dAdxy dAn nnnnnnn (14) que uma equao linear e homognea de ordem n. Asoluogeraldestaequaodiferencialcontmnconstantesarbitrrias.Se foremsoluesparticularesdaequao(14)edesignarem constantes, a expressony y y , ... , ,2 1 nc c c , ... , ,2 1n ny c y c y c y . ... . .2 2 1 1+ + + = tambm ser soluo de (14). Este o chamado Princpio da Superposio. Defato,porhiptese,cadan i yi, ... , 2 , 1 , = umasoluoparticularde(14) ento, = + + += + + += + + + 0 . ............ .......... .......... .......... .......... ................... .......... .......... .......... .......... ..........0 . ...0 . ...111 021211201111110n nnnnnnnnnnnnnnnnny Adxy dAdxy dAy Adxy dAdxy dAy Adxy dAdxy dAMultiplicando-seessasequaes,ordenadamenteporc esomando membro a membro resulta nc c , ... , ,2 1( ) ( )... . ... . . . ... . .2 2 1 1111 2 2 1 1 0+ + + + + + + +y c y c y cdxdA y c y c y cdxdAnnnnnn ( ) 0 . ... . . . ...2 2 1 1= + + + + y c y c y c An n Logo, tambm soluo da equao diferencial (14).n ny c y c y c y . ... . .2 2 1 1+ + + =Observao:Seforemsoluesparticularesdaequao(14),a expresso ny y y , ... , ,2 1 n ny c y c y c y . ... . .2 2 1 1+ + + =(15) sersoluogeralde(14)desdequeasfunessejamlinearmente independentes,isto,desdequenosetenha ny y y , ... , ,2 1 ... .2 2+ 0 . .1 1= + +n ny c y y c c , a no ser para todas as constantes nulas. 52Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Defato,nessecasoasoluo(15)contmnconstantesarbitrrias,nmero essequenopodeserreduzidoporqueasfunessolinearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinao linear das demais.ny y y , ... , ,2 1 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogneas e de Coeficientes Constantes So as equaes diferenciais que tem a forma 0 . ...1222111 0= + + + + +y AdxdyAdxy dAdxy dAdxy dAn nnnnnnn,(16) ondeso constantes. nA A A A , ... , , ,2 1 0Paradeterminarmosasoluogeralde(16),vamosconsiderar,inicialmente,o casoemquen .Assim,temos1 = 0 .1 0= + y AdxdyA queumaequaodiferencialde variveisseparveis,cujasoluogeral 10.AxAy c e= efazendorAA= 01resulta. x re c y.. =Paranqualquer,consideremosagoraaexpressoederivemosem relao a x re c y.. =xat a n-sima ordem: x re c rdxdy.. . =; x re c rdxy d. 222. . =;x re c rdxy d. 333. . =;... ; x r nnne c rdxy d.. . = . Levando-se esses resultado na equao (16) e colocando o termo em evidncia, obteremos: x re c..( ) 0 ... . . . .11 0.= + + +nn n x rA r A r A e cDa, conclumos que sendoc , ento (17)0 ..x re 0 ... . .11 0= + + +nn nA r A r AA equao (17) chamada de equao caracterstica de (16). Exemplo:Determinar a equao caracterstica da equao diferencial linear abaixo:

225 6.d y dyydx dx + = 0 equao caracterstica: Umavezqueasoluode(16)obtidaapartirdasrazesde(17),faz-se necessrio examinarmos trs casos: 1o Caso:A Equao Caracterstica Admite Razes Reais e DistintasSe r , , so as razes reais e distintas da equao caracterstica, ento a soluo geral da equao diferencialcorrespondente nr r , ...2 1x rnx r x rne c e c e c y. .2.1. ... . .2 1+ + + =onde cso as constantes arbitrrias. nc c , ... , ,2 153Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exemplos:Resolver as seguintes equaes diferenciais: 1)225 6d y dyydx dx + = 0Soluo: 2)0 36 132244= + ydxy ddxy d Soluo: 3)0 12 4 32233= + ydxdydxy ddxy d Soluo: 4) 0 12 722= + ydxdydxy d Soluo: ............................................... 2o Caso:A Equao Caracterstica Admite Razes Complexas DistintasConsideremos a equao diferencial homognea de 2a ordem 0 .2 1220= + + y AdxdyAdxy dAonde i b a rp. + =e i b a rq. =so as razes da equao caracterstica, ento,54Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando soluo da equao diferencial dada. x i b aqx i b ape c e c y). . ( ). . (. . ++ =Agora, x i b x aqx i b x ape e c e e c y. . . . . .. . . .+ = ( )x i bqx i bpx ae c e c e y. . . . .. . .+ = Pelas frmulas de Euler temos: =+ = . cos. cos..sen i esen i eii)] . . . .(cos ) . . . .(cos .[.x b sen i x b c x b sen i x b c e yq px a + + =bx sen c c i x b c c e yq p q px a). .( . cos ). .[(. + + = ] ) . . . cos . .(2 1.x b sen k x b k e yx a+ =soluo geral Exemplos:Resolver as seguintes equaes diferenciais: 1)022= + ydxy d Soluo: 2) 044= ydxy d Soluo: 3) 0 5 42233= + dxdydxy ddxy d Soluo: 4) 0 7 52233= + dxdydxy ddxy d Soluo: 3o Caso:A Equao Caracterstica Admite Razes MltiplasConsideremos a equao diferencial homognea de 2a ordem0 .2 1220= + + y AdxdyAdxy dA(18) e sejame as duas solues desta equao. 1y2y55Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Estassoluessoditaslinearmenteindependentessenumdeterminado intervaloIarelao 21yynoconstante 12yky| |\ . |.Casocontrrio,assoluesse denominam linearmente dependente||.|

\|= =2 121. ouy k y kyy. Suponhamosagoraqueaequaocaractersticade(18)apresentaraizduplaesuponhamosquesejaumasoluoparticularde(18),calculada do modo visto no 1r r r = =2 1x re y.1 =o caso. Precisamosencontraroutrasoluoparticular,aqual,juntamentecoma soluo forme um conjunto linearmente independente. x re y.1 =Assim, procuramos uma segunda soluo particular, da forma (20)x re x u y.2). ( =sendo uuma funo incgnita a se determinar.) (xA soluo geral de (18) ser 2 2 1 1. . y c y c y + = . Para encontraru , derivemos (20) at a ordem da equao dada:) (xx r x re u r e udxdy. . 2. . '. + = ; x r x r x re u r e u r e udxy d. 2 . .222. . '. . . 2 '. ' + + =) . ' .( ) . ' . . 2 ' ' .(120+ + + + + u r u A u r u r u A, que substituindo em (18) vem, [ 0 ]. ..2=x re u AComo0 ee ordenando temos, .x r(21) 20 0 1 0 1 2. '' (2. . ). ' ( . . ). 0 A u r A A u A r A r A u + + + + + =Observando(21)percebemosque,pois,aprpriaequao caracterstica.Resolvendoestavem, 0 . .2 120= + + A r A r A21 104.2.A ArA =0. A A2.Comoporsuposior raiz dupla,21 0 24. . 0 A A A = e, portanto,01. 2 AAr=que substituindo no 2o termo de (21) resulta0 . 21 0= + A A r. 22 .011 0= +AAA A . Assim,comooscoeficientesdeu eu sonulos,ento,de(21)resulta .Como '0 ' ' .0= u A 00 A [paraqueaequao(18)sejade2aordem]temos0 ' ' = u

1' k u = . 2k +1.x k u =Logo, . x re k x k y.2 1 2.). . ( + =Agora,comoasoluogeralde(18) 2 2 1 1. . y c y c y + = x r x re k x k c e c y.2 1 2.1). . .( . + + = ou. x r x re x c e c y. *2. *1. . . + =* *1 2( . )r xy c c x e = +..A propriedade se estende s equaes de ordem superior. Assim, para a equao diferencial 0 . ...1222111 0= + + + + +y AdxdyAdxy dAdxy dAdxy dAn nnnnnnn1 2 1..., , ..., p p nr r r r r+, onde as razes da equao caracterstica so: = = = , sua soluo geral ser . x rnx rpx r ppx r x rnpe c e c e x c e x c e c y..1. 1 .2.1 ... . . ... . . .11 1 1+ + + + + + =++56Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exemplos:Resolver as seguintes equaes diferenciais: 1)0 4 422= + ydxdydxy d Soluo:

2)0 9 622= + + ydxdydxy d Soluo:

3)0 16 20 82233= + ydxdydxy ddxy d Soluo: 4) 0 22244= + + ydxy ddxy d Soluo: Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, No-Homogneas e de Coeficientes Constantes So, como j sabemos, as equaes diferenciais da forma: B y AdxdyAdxy dAdxy dAdxy dAn nnnnnnn= + + + + +. ...1222111 0 ,ondeso constantes e B uma funo de nA A A A , ... , , ,2 1 0x ;). (x h B =57Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando A soluo geral de tais equaes diferenciais dada por: y = yh + yp ondeyhsoluo geral da equao diferencial homognea associada) 0 ( = B , e apartedasoluogeralyquetemporobjetivoprincipalsupriras constantes arbitrrias. yp

uma soluo particular, e a parte da soluo geralyque vai satisfazer o 2o membro da equao diferencial. Determinao de uma Soluo Particular Experimental (yp) Mtodo dos Coeficientes a Determinar (ou Mtodo de Descartes) Consisteemutilizandoaprpriaequaodiferencial,instituirumasoluo particular,aprioriconhecida,amenosdecertasconstantesquesocalculadaspor aplicao do Mtodo dos Coeficientes a Determinar. Estemtodosutilizadoparaequaesdiferenciaislinearesdeordemn com coeficientes constantes e quando) (x h B =for constitudo de um nmero finito de termosdaforma( m einteiro),ou,ou,oucos ,ouuma composio na forma de soma e/ou produto de duas ou mais destas funes. mx 0 x a.e x b sen . x k.Para o emprego deste mtodo ser til o conceito exposto a seguir. Famlia de uma funo Denomina-sefamliadeumafunoaoconjuntoconstitudoporesta funo e suas derivadas sucessivas, a menos de coeficientes, com as quais podemos formar combinaes lineares de funes linearmente independentes. ) (x fPortanto, para as funes descritas acima temos, ) (x f Famlia de) (x fmx } 1 , , ... , , {1x x xm m x ae.} {.x aex b sen . } . cos , . { x b x b senx k. cos } . , . {cos x k sen x k Observao: A famlia de uma constante {1}.

Exemplo: Determinar a famlia de cada uma das funes dadas abaixo: ) (x f Famlia de) (x f2. 2 x xe. 2. 3 x . 3 cos . 5 x sen7 58Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Afamliadeumafunoprodutodenfunesdostiposcitadosacima constituda dos produtos den fatores obtidos associando-se cada elemento da famlia de um dos fatores aos elementos das famlias de cada um dos outros fatores. Exemplo:Determinar a famlia da funo x sen x x f . 3 . . 3 ) (2=Soluo: Construo de uma Soluo Particular Experimental (yp) Tendo-seobtidoasoluogeralyhdaequaodiferencialhomognea associada, institui-se uma soluo particular experimental yp do seguinte modo: a) Determina-se a famlia de cada termo de) (x h B =e suprime-se a famlia que estiver contida em outra. Exemplo:x x sen e x x hxcos . 4 . 5 3 . 2 ) ( + + + = b)Seumelementodeumafamliapertencerayhmultiplica-secadaelementodessa famliapelamenorpotnciadex ,comexpoenteinteiroepositivo,detalmodoque desfaa esta situao. Exemplo:Admitamos que para uma dada equao diferencial linear se tenha: e, ento,x e x x hxcos . 4 . 5 2 . 3 ) (2 + + =x xhe c e c x c y+ + = . . .3 2 1c)Toma-secomoexpressoexperimentalyp ,umacombinaolineardetodosos elementosdasfamliasresultantesdotadosdecoeficientesliteraisaserem determinadospelacondiodequeessaexpressoverifiqueaequaodiferencial dada. Assim para o exemplo acima tomaramos: yp = Exemplos:Resolver as equaes diferenciais: 1)1 . 2 6 5222 = + x ydxdydxy d Soluo: 59Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2) xe x xdxdydxy d. 2 cos . 4 1 . 233+ + = Soluo: 3) x sen e y yx. . 10 ' ' = +Soluo: 60Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4) 32.34 3. 2.2xd y dye x sendx dx+ = .x Soluo: 5)( )xe x ydxy d3 222. 2 9 + = +Soluo: 61Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 6)x sen e ydxdydxy dx. 9 622= + Soluo: 7) Resolva o problema de valor inicial: ; ; 0 ' ' ' ' ' = +y y 2 ) 0 ( = y 1 ) 0 ( ' = y ; .1 ) 0 ( ' ' = ySoluo: 62Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exerccios I) Resolver as seguintes equaes diferenciais lineares: a)R:0 ' . 3 ' ' . 2 ' ' ' = y y y3.1 2 3. .x xy c c e c e= + +2 3y d y db)0 10 62 3= + +dxdydx dxR: ) . cos . .(3 2. 31x sen c x c e c yx+ + =c)x xe e x y y y3. 2 . 2 . 3 ' . 2 ' ' + = R: x x x xe x e x x e c e c y. 3 . 32 1.21.419432. . + + = d)x sen ydxdydxy ddxy d. 42233= + R: x sen x c x x c e c yx). ( cos ). ( .3 2 1 + + + =e) R: 2 . 2. ' . 4 ' ' ' x x sen e x y yx+ + = + + + + =8 12cos51. .3. 23. 22 1x xx e c e c c yx x ) . 3 . 2 (3222x xex +f)R:x sen y y2. 10 ' ' = x e c e c yx x. 2 cos 5 . .