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Marcia Takagui Ed. Ala 1
sala 216
ramal 6811
Introdução às Medidas em Física 3a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2011/
* Baseada em Suaide/Munhoz 2006
2
Experiência II: Densidade de Sólidos
! Objetivos: – Medidas indiretas:
• Medida da densidade de sólidos;
– Análise de dados: • Propagação de Incertezas;
• Compatibilidade entre medidas
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Consolidando o conceito de incertezas
! Instrumentos de medição possuem limitações – Alguns instrumentos são mais recomendados que
outros para efetuar uma certa medida • Ex: micrômetro é mais adequado que uma régua
para medir espessura de uma folha de papel – Incerteza instrumental
• Nenhum instrumento possui precisão infinita – Incerteza: em geral, metade da menor divisão
(cuidado com o paquímetro!)
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Consolidando o conceito de incertezas
! Em alguns casos, o objeto a ser medido é construído de forma mais precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida – Ex: medir o comprimento de uma folha de sulfite
com uma régua plástica • O instrumento é um fator limitante: não detecta
variações nas medidas da folha de sulfite, e a incerteza da medida é limitada pela precisão do instrumento.
– Ex: medir o período do pêndulo do Exp. 1 com relógio analógico
5
Consolidando o conceito de incertezas
! Em outros casos, o objeto a ser medido é construído de forma menos precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida – Ex: medir a altura de uma mesa com a trena. As
flutuações na altura da mesa são maiores que a precisão da trena.
• Qual é a altura da mesa?
• Neste caso, a incerteza da medida é dominada pela incerteza estatística.
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Consolidando o conceito de incertezas
! Há casos em que o instrumento é preciso, o objeto tem dimensões razoavelmente precisas mas há dificuldades experimentais para realizar as medidas – Ex: Medir o período de oscilação do pêndulo. Nesse
caso, o cronômetro é um instrumento preciso e o período do pêndulo bem reprodutível. O fator limitante é a dificuldade experimental em registrar o início e fim do tempo de medida do período.
7
Como estimar a incerteza?
! Incertezas estão sempre presentes – Limitações instrumentais...
– Variações na grandeza medida...
– Dificuldades experimentais
! Muitas situações diferentes... – Em muitos casos, várias das situações mostradas
estão presentes ao mesmo tempo. O que fazer?
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Tipos de incerteza
! Instrumental – Aquela associada à precisão do instrumento utilizado para
realizar a medida direta de uma grandeza
! Estatística – Incerteza associada à flutuação no resultado de uma mesma
medida
! Sistemática – Aquela onde a medida é desviada em uma única direção,
tornando os resultados viciados
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Incertezas instrumentais
! Em geral é a metade da menor divisão – Cuidado com instrumentos que possuem nônio (ex:
paquímetro) onde a incerteza é a menor divisão do mesmo
– Em alguns casos, onde a definição do ponto do objeto a ser medido torna-se obscura pode-se considerar a incerteza instrumental maior que a menor divisão do instrumento de medida.
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Incertezas estatísticas
! O que acontece se eu repito a mesma medida, de forma independente, de um objeto? – Pode ser que cada medida apresente um valor
diferente.
– Nesse caso, a medida é a média de todas as medidas efetuadas
– A incerteza estatística é o desvio padrão da média.
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Incertezas sistemáticas
! Aquelas que falseiam a medida – Ex: uma régua onde o primeiro mm está faltando e o
experimentador não percebe. Todas as medidas serão 1 mm maiores do que deveriam
– Ex: uma balança descalibrada e/ou com o zero deslocado
! Esse tipo de incerteza, em geral, só é percebida quando um resultado difere do esperado.
! Uma vez detectado esse tipo de erro, as medidas devem ser corrigidas ou refeitas.
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Qual é a incerteza de uma medida?
! Suponha que o experimentador realize várias medidas do tamanho de uma mesa com uma régua. – Incerteza instrumental: σLinstr = 0,5 mm – Incerteza estatística: σLestat
– Caso um tipo de incerteza seja dominante, pode-se desprezar a outra.
• Ex: Período do pêndulo medido com o relogio de pulso. Neste caso, a incerteza instrumental é muito maior que a estatística.
• Ex: Período do pêndulo medido com cronômetro de 0,01s. Neste caso, a incerteza estatística é muito maior que a instrumental.
2 2instr estatL L Lσ σ σ= +
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Medidas indiretas
! Muitas vezes a medida em questão é feita de forma indireta – Ex: Determinar o período do pêndulo a partir do seu
comprimento
– Ex: Medir a área da sala a partir das medidas do comprimento e largura
– Ex: Medir a velocidade de um carro a partir do tempo que o mesmo leva para percorrer uma determinada distância
! Como eu avalio as incertezas em medidas indiretas?
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Medida da Densidade de Sólidos
! O objetivo deste experimento é identificar os diferentes tipos de plásticos que compõem um conjunto de objetos.
! Essa identificação pode ser feita medindo-se a densidade dos diferentes objetos, e considerando-se os valores obtidos com suas incertezas a fim de associar cada objeto com um tipo de plástico.
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Densidade de sólidos
! Depende da massa e do volume
! O Volume pode ser obtido pela medida das dimensões do objeto.
– Exemplo, um cilindro de raio R e altura H
2V R Hπ=
mV
ρ = ?ρσ =
?Vσ =
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Atividades ! Equipes de 2 alunos. Anotem o número da caixa para
pegar a mesma caixa na aula que vem. ! Cada aluno da equipe escolhe 2 dos cilindros da caixa
(necessariamente o menor e o maior devem ser pegos – não pegar o cilindro escavado, se houver), medindo quantas vezes julgar necessário (justificando): – A massa dos objetos
• Utilizar a balança digital.
– As dimensões dos objetos • Medir as dimensões necessárias para o cáculo do volume utilizando uma
régua simples.
! Anotar todos os valores com as respectivas incertezas ! Tabela na lousa
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Cálculo do volume ! Volume de um cilindro
! Como calcular a incerteza do volume sabendo a incerteza de R e de H? – Poderíamos calcular o volume do cilindro, fixando o diâmetro, e variando a altura,
para H + σH e H – σH, obtendo V(H+σH) e V(H-σH). Poderíamos dizer que a incerteza em V devido à incerteza em H é σV(H) = [V(H+σH) - V(H-σH)]/2.
– Analogamente, calculando o volume do cilindro, fixando a altura e variando o diâmetro, para D + σD, D – σD, teríamos σV(D) = [V(D+σD) - V(D-σD)]/2.
A incerteza em V seria a combinação das duas contribuições:
2 2
4V R H D Hπ
π= =
( ) ( )22 )()( DH VVV σσσ +=
18
Propagação de incertezas ! Volume de um cilindro
! Como uma variação na medida de raio afeta o volume?
! Essa variação é a mesma, independente da medida do raio?
2V R Hπ=
A mesma incerteza no raio acarreta em
incertezas diferentes no volume
RRVVR Δ∂
∂=Δ
( ) RV RVR σσ∂
∂=
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Teoria de erros
! Teoria na qual estuda-se o comportamento das incertezas de medidas, como elas influenciam outras medidas, e como elas se propagam no caso de uma medida indireta.
! Propagação de erros – Método para calcular a incerteza de uma medida
indireta
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Propagação de erros: fórmula geral
! Seja uma grandeza G, dependente de duas variáveis, A e B. O valor da incerteza em G, σG, pode ser expressa em termos das incertezas em A e B (σA e σB, respectivamente) através da fórmula:
2 2
G A BG GA B
σ σ σ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Derivada parcial de G em relação
a A
Não conte aos matemáticos puristas mas a derivada parcial nada mais é do que a derivada comum onde todo o resto da equação pode ser
considerado constante
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Vamos fazer um exemplo simples
! Volume de um cilindro
! O Volume depende tanto do diâmetro D , cuja incerteza é σD, e da altura H, com incerteza σH. Assim, a incerteza do volume é dada por:
2 2
V D HV VD H
σ σ σ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
4V D Hπ=
22
Como calcular as derivadas
! Suponha que todo o resto da expressão é uma constante....
22
(2 )4 4
(4 2
)DV D H H H D DHD DD
π π π π∂
∂
∂ ∂ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
2 2 2 2
4 4( ) (1
4 4)V D H D D DH
HH Hπ π π π∂∂ ∂ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂
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Desse modo...
! Incerteza do volume do cilindro
2 2
2 22 22
2
2
2
22 4 4
2
V D H
D H
D H
H
V
D
V D H
V VD H
DH D D HD H
σ σ σ
σ σ σ
σ σπ π πσ σ
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎠
⎠ ⎝
24
Será que preciso fazer esse montão de derivadas e contas toda vez?
! A rigor deve-se sempre calcular as derivadas
! Na prática, com o tempo, desenvolve-se técnicas que simplificam a nossa vida
! Alguns casos muito comuns: – Soma e subtração
– Multiplicação e divisão • Multiplicação ou divisão por constante
– Potenciação
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Alguns casos comuns
! Soma e subtração – A incerteza da soma (ou
subtração) é a raiz da soma dos quadrados das incertezas individuais
! Multiplicação e divisão – A incerteza percentual do
produto (ou divisão) é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais individuais
2 2
, ou
C A B
C A B C A B
σ σ σ
= + = −
= +
2 2
, ou
C A B
AC AB CB
C A Bσ σ σ
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
26
Alguns casos comuns
! Multiplicação ou divisão por constante – A incerteza do resultado fica
multiplicada ou dividida por aquela constante.
! Potenciação – A incerteza percentual do
resultado é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais dos potenciandos multiplicadas pelas potências..
cAB
cAB
cA
BcAB
AAB
AA
B
σσσ
σσ
σ
==→=
==→=
.
..
22
.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
BAC
BAC
BAC σβ
σα
σ
βα
27
Aplicação: obtenção de σρ
€
ρ =mV
σρ = ρσm
m⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+σV
V⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
cilindro : σV
V⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
= 2σD
D⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+σ H
H⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
e σρcilindro = ρ
σm
m⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+ 2σD
D⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+σ H
H⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
28
Atividades
! Obtenha a densidade do plástico e a sua incerteza para cada cilindro medido.
! Complete a tabela na lousa.
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Quando medidas são compatíveis entre si?
! Intervalo de confiança – Significa o intervalo onde o experimentador espera
que o valor verdadeiro de uma medida esteja situado.
– Duas medidas são compatíveis quando os seus intervalos de confiança [x-σx, x+σx] se superpõem.
• O Intervalo de confiança não é absoluto. Lembre-se que, em uma distribuição aleatória de dados que podem ser descritos por uma função de Gauss (ver aula passada) somente ~70% das medidas vão cair nesse intervalo.
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Distribuição Normal de erros
212( ) y y
G y e σ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎝ ⎠
−
∝
Média
2σ
Max
0,
6 M
ax
[ ][ ][ ] %
% %
7,993,3952,2
68,
=+−
=+−
=+−
σσ
σσ
σσ
oo
oo
oo
xxPxxPxxP
31
Como comparar os resultados de duas medidas?
! É preciso se levar em consideração sempre a incerteza de medida.
! Como devemos considerar a incerteza, nos perguntamos se as medidas são compatíveis ao invés de “iguais”;
! Por exemplo, 2,74 ± 0,02 mm é compatível com 2,80 ± 0,05 mm ?
2,70 2,75 2,80 2,85
32
Critério de compatibilidade
! No exemplo anterior vimos que se os intervalos (a ± σa) e (b ± σb) tem uma superposição, então eles são compatíveis.
! Mas se não tiverem superposição eles ainda podem ser compatíveis ao nível de 2σ se (a ± 2σa) e (b ± 2σb) tiverem superposição ou compatíveis ao nível de 3σ se (a ± 3σa) e (b ± 3σb) tiverem superposição.
! O teste Z permite de uma maneira mais direta verificar a compatibilidade:
n=1, compatíveis ao nível de 1σ
n=2, compatíveis ao nível de 2σ
n=3, compatíveis ao nível de 3σ
n>3, discrepantes
€
Z =| a − b |σa
2 +σb2≤ n
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Exemplo: diâmetro de um fio de cobre
! Quais medidas são compatíveis entre si?
! Quais medidas são compatíveis com o valor nominal fornecido pelo fabricante?
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Atividades
! Gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.
! Quantos grupos diferentes conseguimos identificar?
! Para as peças do mesmo grupo, como obter um valor representativo da densidade?
35
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d (g
/cm
3)
peças
Densidade de Sólidos dados da lousa
G1
G2
G3
G4
G5
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Média ponderada
! Em situações onde eu tenho um conjunto de medidas com incertezas diferentes o valor médio é calculado através da média ponderada pelo inverso da incerteza quadrática.
! Média para um conjunto de n medidas yi + σi.
12
1 1
1 1 e com
n
i ii
y in ni
i ii i
y py p
p pσ
σ=
= =
= = =∑
∑ ∑
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Densidade de sólidos
Material Densidade
(g/cm3)
Acrílico 1,17 – 1,20
Nylon 1,09 – 1,14
Polietileno 0,941 – 0,965
PVC 1,35 – 1,45
Polipropileno 0,900 – 0,915
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Próxima Aula
! Trazer gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.
! Quantos grupos diferentes de peças conseguimos identificar na sala toda?
! Cada equipe: para as peças da sua caixa, obter um valor representativo da densidade com a respectiva incerteza.
! Pensar numa forma de se melhorar a incerteza.