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Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Introdução
Objectivo: Determinar as forças que se exercem
sobre um corpo imerso num
escoamento
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Introdução
Peso
Sustentação
Resistência
Força Propulsiva
Aeronave a voar a altitude e velocidade constantePeso = Sustentação
Força Propulsiva = Resistência
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Introdução
Força de Sustentação é a componente da força aerodinâmica na direcção perpendicular ao escoamento de aproximação.
Força de Resistência é a componente da forçaaerodinâmica na direcçãodo escoamento de aproximação.
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Introdução
Origem da força aerodinâmica:
1. Pressão na superfície do corpo
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Introdução
Origem da força aerodinâmica:
2. Tensão de corte na superfície do corpo
Transição
TurbulentoTensão de
corte na parede
0=
∂
∂=
y
wy
Uµτ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:
a) Experimental
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
IntroduçãoDeterminação da força aerodinâmica:
b) Teórica (Solução numérica de um modelo matemático)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Descrição do campo do escoamento
Variáveis a determinar:
• Pressão (1)
• Velocidade (3)
• Massa específica (1)
• Temperatura (1)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Descrição do campo do escoamento
• Fluido é tratado como um meio contínuo
• Equação de estado(1)
- Fluido Incompressível ρ=constante
- Gás Perfeito p=ρRT
• Princípio de Conservação da Massa (1)
• Segunda lei de Newton (Balanço de quantidade de movimento)(3)
• 1ª Lei da Termodinâmica (Balanço de energia)(1)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Descrição do campo do escoamento
• Metodologia Euleriana
- Análise do escoamento num volume fixo no espaço
- Derivada temporal inclui duas parcelas
1. Variação com o tempo num ponto fixodo espaço
2. Variação de ponto para ponto no espaço,num determinado instante de tempo
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Conceitos Básicos
• Derivada Material
Propriedade genérica→= ),,,( tzyxqq
z
qw
y
qv
x
qu
t
q
Dt
Dq
t
z
z
q
t
y
y
q
t
x
x
q
t
q
Dt
Dq
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Conceitos Básicos
• Teorema da divergência de Gauss
Balanço do campo vectorial a um volume infinitesimal
zyx
SV
ez
ey
ex
dSnQdVQ
rrrr
rrrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
⋅=⋅∇ ∫∫
→⋅∇ Qrr
Qr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Conceitos Básicos
• Transformação da derivada temporal de um volume
variável (V) no tempo para um volume fixo (Vo)
Propriedade genérica por unidade de massa
( ) ( )∫∫∫ ⋅+∂
∂=
oo SVVdSnvdV
tdV
Dt
D rrρξρξρξ
→ξ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
• Volume variável no tempo
fontes/poços da propriedade
∫∫ =VV
dVfdVDt
Dξρξ
→ξf ξ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
• Volume fixo
• Como Vo é arbitrário
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
=−⋅∇+∂
∂
=
−⋅∇+
∂
∂
=⋅+∂
∂
∫
∫∫ ∫
ξ
ξ
ξ
ρξρξ
ρξρξ
ρξρξ
fvt
dVfvt
dVfdSnvdVt
o
oo o
V
VV S
rr
rr
rr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de uma propriedade genérica
(“Equação de conservação”)
Propriedade ξ fξ
Massa 1 —
Quantidade de movimento
Forças
EnergiaCalor
Trabalho
vr
gzv
ue ++=2
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Forma integral
• Forma diferencial
( ) 0=⋅+∂
∂∫ ∫
o oV SdSnvdV
t
rrρ
ρ
( )
( ) 0
0
0
=⋅∇+
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=⋅∇+∂
∂
vDt
D
z
w
y
v
x
u
zw
yv
xu
t
vt
rr
rr
ρρ
ρρρρρ
ρρ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Fluido incompressível (ρ=constante)
• Forma integral
• Forma diferencial
( ) 0=⋅∫oV
dSnvrr
0
0
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=⋅∇
z
w
y
v
x
u
vrr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma integral
Soma da forças aplicadas ao fluido novolume de controle Vo
( ) FdSnvvdVt
v
o oV S
rrrrr
=⋅+∂
∂∫ ∫ ρ
ρ
→Fr
• Forças de pressão + tensões normais
• Tensões de corte
• Forças mássicas (força da gravidade)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação das forças com as variáveis que caracterizam
o escoamento
( )
∫
∫
∫
∫
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
+⋅∇+∇−=
o
o
o
o
V
zzyzxzz
V
zyyyxy
y
V
zxyxxxx
Vij
zyxz
pF
gzyxy
pF
zyxx
pF
gpF
τττ
ρτττ
τττ
ρτrrrrr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma diferencial
(Navier-Stokes)
zyxz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gzyxy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyxx
p
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uw
y
uv
x
uu
t
u
gpz
vw
y
vv
x
vu
t
v
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
+⋅∇+∇−=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
τττρρρρ
ρτττρρρρ
τττρρρρ
ρτρρρρ rrrrrrrr
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
• As tensões são linearmente proporcionaisàs derivadas das componentes da velocidade
• As constantes de proporcionalidade sãoindependentes da direcção. Fluido isotrópico
• As tensões não dependem explicitamente daposição no espaço e da velocidade do fluido
• O tensor é simétrico, τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy
(Navier-Stokes)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
z
w
y
v
x
u
y
w
z
vA
z
w
x
w
z
uA
y
v
x
v
y
uA
x
u
zyyzzz
zxxzyy
yxxyxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
µττµµλσ
µττµµλσ
µττµµλσ
23
2
23
2
23
2
(Navier-Stokes)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
• µ, λ e A são parâmetros independentes dos gradientesdas componentes do vector velocidade
z
w
y
v
x
u
y
w
z
vA
z
w
x
w
z
uA
y
v
x
v
y
uA
x
u
zyyzzz
zxxzyy
yxxyxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
∂
∂+
∂
∂==+
∂
∂+Θ
−=
µττµµλσ
µττµµλσ
µττµµλσ
23
2
23
2
23
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
- Escoamento Uniforme
- Pressão média (average pressure),
th
zzyyxx
pA
A
−≡
=== σσσ
( )
th
zzyyxx
pp
p
+Θ−=
++−=
λ
σσσ3
1
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido(modelo de Newton)
• As constantes λ e A desaparecem das relações entre tensões e gradientes das componentes do vector velocidade
z
w
y
v
x
u
y
w
z
v
z
wp
x
w
z
u
y
vp
x
v
y
u
x
up
zyyzzz
zxxzyy
yxxyxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Θ
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−=
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−=
∂
∂+
∂
∂==
∂
∂+Θ−−=
µττµµσ
µττµµσ
µττµµσ
23
2
23
2
23
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
( )
( )
( )
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
Θ∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
zy
w
z
v
yx
w
z
u
x
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p
z
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y
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v
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v
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x
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p
z
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y
vv
x
vu
t
v
x
w
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u
zx
v
y
u
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u
x
xx
p
z
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y
uv
x
uu
t
u
µµµ
µρρρρ
ρµµµ
µρρρρ
µµµ
µρρρρ
2
3
2
2
3
2
2
3
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ=constante
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
zy
w
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w
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z
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u
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y
u
yx
u
xx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νννρ
νννρ
νννρ
21
21
21
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ=constante
Viscosidade constante, ν=constante
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
w
y
w
x
w
z
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gz
v
y
v
x
v
y
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νρ
νρ
νρ