Introducci on a la F sica Cu antica - Universidad de …...Introducci on a la F sica Cu antica Gonzalo Abal1 Instituto de F sica Facultad de Ingenier a Universidad de la Republica

Introduccion a la Fısica Cuantica

Gonzalo Abal1

Instituto de FısicaFacultad de Ingenierıa

Universidad de la Republica

version 1.31 de julio de 2013

1correo electronico: [email protected]

Sobre estas notas:

El objetivo principal de estas notas es proporcionar un material en espanol quesirva de guıa y apoyo para acompanar el curso de introductorio de Fısica Cuantica.Estas notas no sustituyen al texto de Griffiths1 en el que se basa el curso, sino quelo complementan. El curso se dirige especialmente a docentes de Fısica egresadosde los institutos de formacion de ANEP, pero esta abierto a todos los interesadosque tengan interes en la tematica y una formacion previa equivalente en Fısica yMatematicas.

Nuestra intuicion fısica y sentido comun se basan en nuestra percepcion del en-torno (escala macroscopica) y es afın al paradigma Newtoniano. La Fısica Cuanticadescribe sistemas a escala molecular, atomica y sub-atomica. A estas escalas, lossistemas son inaccesibles a la experimentacion sensorial directa y debemos realizarobservaciones indirectas. Los resultados, y nuestra interpretacion actual de los mis-mos, son frecuentemente anti-intuitivos. Por esto, la Fısica Cuantica se apoya enun solido formalismo matematico, que nos permite realizar afirmaciones concretassobre el resultado de un experimento fısico. En tanto no adquiere una “intuicioncuantica”, este formalismo es la guıa que nos permite formular y responder pre-guntas sobre sistemas cuanticos. Para realizar este curso es recomendable tener unmanejo de calculo diferencial e integral y de numeros complejos. No se asumenconocimientos previos de algebra lineal, pero si cierta familiaridad con operacionessencillas entre matrices. Debe tenerse siempre presente que para entender la Fısi-ca Cuantica no es suficiente con ser capaz de realizar cuentas con solvencia, sinoque hay que ser capaz de interpretar los resultados desde el punto de vista fısico.Este curso apunta simultaneamente a ambos objetivos: brindar herramientas paratrabajar con sistemas cuanticos y desarrollar la “intuicion cuantica”.

Luego de una introduccion dedicada a la dualidad onda-materia, comenzamosresolviendo los sistemas cuanticos mas simples. Introduciremos gradualmente lanotacion de Dirac, como una forma de realizar calculos con sencillez y claridadconceptual. Los contenidos abstractos se ilustran con ejemplos concretos, siempreque esto es necesario. Una vez comprendida la notacion y desarrollada cierta in-tuicion fısica introducimos los postulados de la Mecanica Cuantica y presentamosel formalismo que luego aplicaremos a sistemas simples. Las notas se acompanande un conjunto de ejercicios propuestos que familiarizan al lector con las nuevasnotaciones y conceptos. Es muy importante dedicar tiempo y esfuerzo para avanzarcon los ejercicios, ya que solo haciendo es que se aprende.

Estas notas iran creciendo y tomando forma a medida que avanzamos en elcurso, por lo que los Capıtulos iran apareciendo gradualmente a medida que avan-cemos. Espero que leerlas sea tan disfrutable como lo fue escribirlas.

Gonzalo AbalAbril 2013

1Introduction to Quantum Mechanics, D.J. Griffiths, 2nd Ed. Pearson, 2005.

2

3

Indice general

1. Dualidad Onda-Partıcula 7

1.1. Radiacion de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Modos normales de oscilacion . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Campo electromagnetico en una cavidad conductora . 10

1.1.3. Densidad de modos normales . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Energıa media de un modo normal . . . . . . . . . . . 12

1.1.5. Densidad (clasica) de energıa en la cavidad . . . . . . 13

1.1.6. Ley de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Ondas de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1. La hipotesis de L. de Broglie . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1. Interpretacion fısica para Ψ(x) . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1. Paquetes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Estados estacionarios 31

2.1. Preservacion de la norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3. Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Corriente de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Ec. de Schrodinger indep. del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.1. Separacion de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2. Estados estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.3. Solucion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4. Degeneracion en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.5. Simetrıa de paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.6. Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5. Escalon y barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1. Escalon de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.2. Barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.3. Modelo cuantitativo de la emision alfa . . . . . . . . . 55

4

Indice general Indice general

2.6. Estados confinados simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6.1. El pozo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6.2. El Pozo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. Formalismo 74

3.1. Espacios Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.1. Vectores de N componentes . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.2. Notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.3. Problema de autovalores de operadores hermıticos . . 84

3.2. Pozo infinito: estado general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1. Ortogonalidad de los estados estacionarios . . . . . . . 86

3.2.2. Solucion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.3. Conjugado Hermıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.4. Valor esperado de un observable A . . . . . . . . . . . 92

3.3. Evolucion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.1. Conmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3.2. Evolucion del valor esperado de un observable . . . . . 97

3.3.3. Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3.4. Teorema de Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4. Postulados de la Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.1. Descripcion de un sistema fısico . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.2. Medidas de un observable . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.3. Evolucion temporal de un sistema aislado . . . . . . . 101

3.5. El oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.5.1. Metodo analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.5.2. Metodo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6. Principio de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6.1. Desigualdad de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6.2. Incertezas de observables conjugados . . . . . . . . . . 112

3.6.3. Relacion de incertidumbre entre tiempo y energıa . . . 113

4. Cantidad de movimiento angular 115

4.1. Teorıa cuantica del momento angular . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.1. Relaciones de conmutacion fundamentales . . . . . . . 117

4.1.2. Espectro de autovalores de momento angular . . . . . 119

4.2. Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2.1. Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.2. Sistemas de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.3. Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5. Atomos Hidrogenoides 128

5.1. Potenciales con simetrıa esferica . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.1.1. Armonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1.2. Ecuacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5

Indice general Indice general

5.1.3. Orbitales atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2. Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2.1. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.2.2. Interaccion con un campo magnetico no uniforme . . . 1415.2.3. Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A. Algebra Lineal 144A.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144A.2. Terminologıa matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146A.3. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.4. Transformaciones hermıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6

Capıtulo 1

Dualidad Onda-Partıcula

Una nueva verdad cientıfica no suele imponerse convenciendo asus oponentes sino mas bien porque sus oponentes desaparecenpaulatinamente y son sustituidos por una nueva generacion fa-miliarizada desde el principio con la nueva verdad.Max Planck, citado en T.S. Kuhn,The Structure of Scientific Revolutions.

La dualidad entre el aspecto ondulatorio y corpuscular de la materia yla radiacion es la base sobre la cual, a partir de 1900, se comienza a cam-biar el paradigma clasico y a construir la Fısica Cuantica. Hoy, la MecanicaCuantica es la teorıa con mayor verificacion experimental de la Fısica, aun-que muchos de sus postulados son contrarios a nuestro “sentido comun” ointuicion.

Intentaremos desarrollar una nueva intuicion o forma de pensar sobre lamateria y la energıa, en la cual ambos conceptos se comporten en ocasionescomo una onda y en ocasiones como una partıcula. Se podrıa dar un cursocompleto sobre la rica historia de este cambio de paradigma, pero esto nosalejarıa de nuestro proposito actual. Elegimos, en cambio, concentrarnos endos episodios concretos de aquel escenario: el concepto de cuanto de energıaque se hace necesario para explicar varios fenomenos fısicos1 y la propues-ta radical de L. de Broglie, de asignar aspectos ondulatorios a partıculasmateriales.

1.1. Radiacion de cuerpo negro

El espectro de radiacion termica (es decir, la distribucion de la energıaradiada en intervalos de frecuencia) era un problema de interes practico enel siglo IXX, debido a la generalizacion de los motores y maquinas termicas

1Emision termica, efecto fotoelectrico y fotovoltaico, la inversion de poblacion que dalugar al laser, entre muchos otros que involucran interaccion entre la radiacion y la materia.

7

1.1. Radiacion de cuerpo negro 1. Dualidad Onda-Partıcula

Figura 1.1: Izquierda: esquema ilustrando porque el espectro de emision de un radiadorde cavidad se aproxima al de un cuerpo negro. El radiador es la pared interna de la cavidad,a temperatura T . Un foton externo incidente siempre es absorbido y no reflejado, sino re-emitido luego de termalizar con las paredes incandescentes a temperatura T . Derecha:espectro de radiacion de un cuerpo negro a temperatura T (ley de Planck).

consecuencia de la revolucion industrial. La radiacion termica de un objetomaterial a cierta temperatura depende de su composicion, forma y otrosdetalles, lo cual hace difıcil un estudio general. Sin embargo, pronto se ob-servo que la radiacion emergente de un objeto que absorbe toda la radiacionincidente sobre el, tiene caracterısticas universales. Se denomino a este tipode emision termica, emision de Cuerpo Negro2. Formalmente, se puede defi-nir el cuerpo negro como un objeto que absorbe toda la radiacion incidentey que ademas, emite con eficiencia 1 en todas las frecuencias.

Por ejemplo, la radiacion emitida por un hueco pequeno en la pared deun horno (Fig. 1.1, Izq.), es muy proxima a la de un cuerpo negro. Tambienel espectro de la radiacion que nos llega del Sol (fuera de la atmosfera) esmuy proximo al de un cuerpo negro. Estas situaciones se aproximan muchoal concepto de radiador ideal o cuerpo negro. Se puede encontrar un tra-tamiento mas detallado sobre el problema de radiacion de cuerpo negro en[1, 2], por ejemplo.

El espectro de un cuerpo negro a temperatura T , Fig. 1.1 (derecha), yaera conocido experimentalmente antes de 1900. A temperatura constante,para bajas frecuencias ν, la irradiancia espectral tiende a cero como ν2 ypara altas frecuencias tiende a cero exponencialmente en frecuencia, comoe−hν/kT . El espectro presenta un maximo a una frecuencia intermedia, νp,

2De acuerdo a la ley de Kirchoff, la emisividad de un objeto es igual a su absortivi-dad (ambas son cantidades espectrales y direccionales). En terminos generales, se pue-de pensar que un cuerpo que es buen emisor a cierta longitud de onda es tambien unbuen absorbedor a esa longitud de onda. De allı el nombre historico de Cuerpo Negro,que no deja de ser un poco confuso, ya que un cuerpo negro real puede ser muy bri-llante a nuestros ojos... Vea http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/black_

body_radiation.html por una descripcion (en ingles) cualitativa detallada del proceso deabsorcion/emision.

8

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/black_body_radiation.html

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/black_body_radiation.html


cuyo valor es proporcional la temperatura (ley de Wien).

La ley de Planck se suele expresar3 como una expresion para la densidadespectral de energıa en la cavidad, uν , que representa la energıa por unidadde volumen y por unidad de frecuencia,

uν =8πhν3

c3

1

ehν/kT − 1. (1.1)

Las unidades de uν son J/m3Hz. La constante de Planck es h = 6,62606×10−34J s, k es la constante de Boltzmann k = 1,38065× 10−23 J/K, c es lavelocidad de la luz en el vacıo, c = 2,99792× 108 m/s y T es la temperatu-ra en Kelvin. La densidad de energıa (J/m3) en la cavidad con frecuenciaentre ν y ν + dν es uν dν. Es usual agrupar estas magnitudes en la varia-ble adimensionada x = hν/kT , para tener una expresion sencilla y facil derecordar

uν ∝x3

ex − 1.

Esta expresion se grafica en la Fig. 1.1. Observe que, para una temperaturadada, x es proporcional a la frecuencia.

La teorıa clasica es incapaz de describir el espectro de radiacion de uncuerpo negro a altas frecuencias (catastrofe ultravioleta). Max Planck, parallegar a una expresion como la Ec. (1.1) debio asumir que la energıa enla cavidad solo podıa tomar ciertos valores discretos, es decir en terminosmodernos debio cuantizar la energıa en la cavidad.

En lo que sigue, repasamos el camino que lleva a obtener la densidadespectral de energıa en la cavidad, Ec. (1.1). Este camino pasa primero porcontar los modos normales (por unidad de volumen) de oscilacion del campoelectromagnetico en la cavidad para luego calcular su energıa media. Elresultado es revelador, ya que nos fuerza a asignar un caracter cuanticoa la radiacion electromagnetica para predecir el espectro de cuerpo negroobservado experimentalmente.

1.1.1. Modos normales de oscilacion

La energıa electromagnetica en una cavidad metalica conductora existecomo modos normales de oscilacion del campo electromagnetico. Este tienenodos en las paredes conductoras, por lo que, en esencia, el problema esformalmente identico a los modos de vibracion de una cuerda con ambosextremos fijos.

3Otra forma comun es en terminos de la radiancia espectral, Rν , que es la potenciapor unidad de area, por unidad de frecuencia que sale de la cavidad en todas las direc-ciones (W/m2 Hz). Un calculo sencillo muestra que estas cantidades son proporcionales,Rν = c

4uν , por un detalle de este calculo vea por ejemplo el texto de Greiner [2].

9


Sabemos que las longitudes de onda (y las frecuencias) de los modos nor-males de oscilacion toman solo ciertos valores, compatibles con la condicionde nodos en los extremos. Cada oscilador (o modo normal de oscilacion delcampo electromagnetico) tiene asociada cierta energıa E, que clasicamentepuede tomar cualquier valor4.

Figura 1.2: Modos normales deoscilacion en una cuerda con extre-mos fijos.

Por otro lado, si asumimos que la energıade un modo normal se vincula con su fre-cuencia por E = hν, la energıa del mis-mo solo toma valores que son multiplos delcuanto de energıa hν1, donde ν1 es la fre-cuencia fundamental del oscilador. La esen-cia de la cuestion es que la cantidad de mo-dos normales de oscilacion por unidad devolumen que pueden existir en la cavidad,con frecuencia5 ν es muy diferente, especial-mente a altas frecuencias, en un caso y enel otro.

La Fig. 1.2 muestra los primeros modosnormales de oscilacion en una cuerda conextremos fijos separados por una distanciaL. Las posibles longitudes de onda de lasondas estacionarias son tales que un numeroentero o semi-entero de longitudes de onda“cabe” en L. Es decir,

λ1 = 2L, λ2 = L, λ3 = 2L/3 . . . λ` = 2L/`

para ` entero positivo. El hecho de tener nodos en los extremos (condicionesde contorno) restringe las posibles longitudes de onda (o frecuencias) devibracion a los modos normales de oscilacion. Como veremos, este fenomenoclasico se manifiesta en los sistemas cuanticos confinados, que tienen soloalgunas energıas (modos de vibracion) permitidas.

1.1.2. Campo electromagnetico en una cavidad conductora

El campo electromagnetico en la cavidad (supuesta cubica de lado L parasimplificar, aunque la forma de la cavidad no es relevante) esta compuestode ondas estacionarias (o modos normales) en tres dimensiones espaciales.Una onda estacionaria de frecuencia ν en la direccion x puede describirse

4En un oscilador clasico, la energıa es una variable continua que depende de la intensi-dad de la oscilacion y no esta relacionada con la frecuencia, que solo toma algunos valoresdiscretos.

5Para no cansar al lector, evitaremos reiterar “en un intervalo de frecuencia entre ν yν + dν”, dejandolo implıcito.

10


como

A(x, t) = A0 sin(kxx) cos(2πνt),

con un numero de onda kx = 2π/λx = πL` que toma solo ciertos valores

para ` = 1, 2, 3 . . . Existen oscilaciones independientes de las componentesdel campo en las direcciones y, z, con numeros de onda ky = π

Lm y ky = πLn,

donde m,n son enteros positivos.

Figura 1.3: El campo electromagnetico es una oscilacion transversal. Los vectores ~E y ~Bno son independientes y forman siempre un angulo recto. El numero de onda ~k es normalal plano de oscilacion y determina la direccion de propagacion.

Recordamos que el campo electromagnetico es una onda transversal (di-reccion de oscilacion normal a la direccion de propagacion), como se indicaen la Fig. 1.3. La direccion de propagacion de la onda esta dada por el vectorde onda ~k = kxx + kyy + kz z. En este caso, el modulo del vector de ondase relaciona con la frecuencia angular, ω = 2πν, por c = ω/k, donde c esla velocidad de propagacion de la luz en el vacıo. Los posibles valores delmodulo del vector de onda

k =(k2x + k2

y + k2z

)1/2=π

L

(`2 +m2 + n2

)1/2(1.2)

quedan determinados por los valores de tres enteros positivos `,m, n.

Este es el primer ejemplo de numeros cuanticos que encontramos, si bienaun estamos describiendo un fenomeno clasico. La cuantizacion es, de hecho,un fenomeno clasico que tiene lugar siempre que restringimos espacialmenteun fenomeno ondulatorio. Las oscilaciones de una cuerda con extremos fijos,de la membrana de un tambor, o de la presion del aire en una flauta sonejemplos de sistemas clasicos cuantizados en frecuencia o longitud de onda(pero no en energıa).

1.1.3. Densidad de modos normales

Gracias a la Ec. (1.2), contar los modos normales por unidad de volumencon frecuencias entre ν y ν + dν que existen en la cavidad es un ejerciciosencillo. Usando ω = 2πν = kc, las posibles frecuencias de oscilacion en lacavidad son

ν =c

2L

(`2 +m2 + n2

)1/2(1.3)

11


para `,m, n enteros no negativos6. La polarizacion del campo electromagneti-co puede entenderse como la direccion del campo electrico en el plano deoscilacion (vea la Fig. 1.3). La orientacion de un vector en un plano impli-ca dos grados de libertad (sus componentes cartesianas), por lo que paracada terna (`,m, n) existen dos modos normales, con igual frecuencia perocorrespondientes a las dos posibles direcciones de polarizacion del campo.

Figura 1.4: Modos normalesde oscilacion del campo electro-magnetico en una cavidad.

El numero dNν de modos normales confrecuencias entre ν y ν+dν se calcula comoel volumen de un octavo de cascaron esfericode radio r y espesor dr (ver Fig. 1.4) inclu-yendo un factor 2 por los modos de polari-zacion del campo, es decir

dNν = 2× 1

84πr2 dr =

8πL3

c3ν2dν.

El conteo de modos se realiza usualmentedefiniendo una distanciar =

(`2 +m2 + n2

)1/2proporcional a ν, en

terminos de la cual

ν =c

2Lr, dν =

c

2Ldr, ν2dν =

c3

8L3r2dr.

Existen mas modos normales a frecuencias mas altas. La densidad de modosnormales con frecuencia entre ν y ν+dν en la cavidad (modos normales porunidad de volumen) es

dNν

L3=

8π

c3ν2dν . (1.4)

Este resultado es consecuencia de la discretizacion en frecuencias induci-da por las condiciones de borde (en este caso, nodos en las paredes de lacavidad).

1.1.4. Energıa media de un modo normal

¿Cual es la energıa tıpica de un modo normal de oscilacion?

Un primer paso para responder esta pregunta es que en la cavidad exis-te un equilibrio termodinamico a cierta temperatura T (la de las paredesinternas de la cavidad). Este equilibrio es posible dado que:

(i) existe una cantidad muy grande de entidades independientes (los mo-dos normales) como para poder aplicar nociones estadısticas.

6En tres dimensiones, algunos de estos enteros pueden ser cero, mientras no sean lostres nulos a la vez. Es decir, c/2L es la frecuencia fundamental.

12


(ii) existe un mecanismo mediante el cual estas entidades intercambianenergıa entre si. Este mecanismo involucra a las paredes de la cavidad,que continuamente absorbe y emite radiacion manteniendo el equilibriotermodinamico.

(iii) el orificio de salida es supuesto muy pequeno de modo que la radiacionsaliente es relativamente poca y podemos suponer que no afecta lascondiciones dentro de la cavidad.

Cuando contamos con un sistema en equilibrio termodinamico es posibleusar argumentos estadısticos para establecer algunas propiedades medias.Por ejemplo, en un gas ideal en equilibrio a temperatura T la energıa cineticamedia de una molecula es 3

2kT , donde k = 1,391×10−23 J/K es la constantede Boltzmann. Este resultado puede obtenerse de un analisis elemental de lacinetica del gas, pero tambien del hecho de que todos los estados del sistemason igualmente probables7, lo cual conduce al factor de Boltzmann,

P (E) ∝ e−E/kT (1.5)

que es proporcional a la probabilidad de que, en equilibrio termodinamico,uno de los componentes del sistema tenga energıa E. La normalizacion im-pone que

∫∞0 P (E) dE = 1, lo cual determina el factor de proporcionalidad.

Alternativamente, podemos dividir entre∫∞

0 P (E) dE y evitar la normali-zacion.

La energıa de un oscilador clasico a cierta frecuencia ν depende de laamplitud de la oscilacion y puede tomar cualquier valor positivo. Entonces,en equilibrio a temperatura T , la energıa Eν es una variable real no negativa,con una distribucion de probabilidad dada por el factor de Boltzmann. Elvalor medio de la energıa de un oscilador, Eν , se calcula como un promediode cada energıa ponderado por su probabilidad,

Eν =

∫∞0 Eν e

−E/kT dE∫∞0 e−Eν/kT dEν

= − ∂

∂βln

[∫ ∞0

e−Eν/kT dEν

]=

1

β= kT (1.6)

donde β = 1/kT . Por tanto, en equilibrio termico, la energıa media de cadaoscilador clasico es kT independientemente de su frecuencia y amplitud deoscilacion.

1.1.5. Densidad (clasica) de energıa en la cavidad

La densidad espectral de energıa con frecuencia ν en la cavidad, uν , seobtiene simplemente multiplicando el numero de modos de oscilacion confrecuencia ν por la energıa media de los modos,

uν dν = dNν × kT =8πkT

c3ν2 dν, (1.7)

7La relacion es directa, pero no la demostraremos aquı pues nos llevarıa lejos de nuestrosobjetivos. Se sugiere consultar un texto introductorio de fısica estadıstica como [3].

13


lo cual es una expresion de la ley de Rayleigh-Jeans. Para bajas frecuencias,uν → 0 como ν2 tal como se observa experimentalmente. Sin embargo, paraaltas frecuencias uν → ∞, en discrepancia frontal con las observaciones.Esto se conoce como la catastrofe ultravioleta por razones obvias y fue unode los disparadores de la crisis que dio origen a la teorıa cuantica moderna.

Este resultado se basa en la Ec. (1.4) para la densidad de modos norma-les y en la Ec. (1.6) para la energıa media de un modo normal en equilibriotermico, ambos resultados clasicos bien conocidos en 1900.

¿Que esta fallando entonces? El hecho de suponer que para el campoelectromagnetico confinado y en interaccion con las paredes de la cavidad,la energıa de un modo normal es independiente de la frecuencia.

1.1.6. Ley de Planck

Planck y sus contemporaneos recorrieron el camino que hemos esbozadohasta aquı antes de 1900. La intuicion genial de Planck fue percibir que sise admite la vinculacion

Eν = hν (1.8)

entre la energıa de un modo de oscilacion y su frecuencia, el mismo caminoconduce a la expresion correcta, Ec. (1.1). La constante h = 6,626×10−34 J.ses conocida modernamente como la constante de Planck y caracteriza todofenomeno cuantico.

La ec. (1.8) implica la cuantizacion de la energıa de los modos normales,que ya no puede asumir cualquier valor. Sin embargo, esto es consecuenciade asumir que la energıa es proporcional a la frecuencia de oscilacion queesta cuantizada (como es tıpico de sistemas clasicos) por las condiciones deborde del sistema8. La Ec. (1.8) es valida tambien desde el punto de vistarelativista y describe en general la relacion entre la energıa y la frecuenciade un foton9 o cuanto de energıa del campo electromagnetico.

A partir de las Ecs. (1.3) y (1.8), vemos que la energıa de un osciladorsolo puede tomar ciertos valores dados por multiplos enteros de

Eν = hν =hc

2L

(`2 +m2 + n2

)1/2, (1.9)

ya que la energıa en cada una de estas frecuencias, depende del numero deosciladores con esa frecuencia. No obstante, es importante entender que, aunsi hubiese un solo oscilador con cada frecuencia, la energıa en la cavidad ya

8A veces leemos que “el aporte de Planck fue cuantizar la energıa”, cuando en realidadfue vincular la energıa con la frecuencia de oscilacion.

9Modernamente, entendemos el foton como una partıcula sin masa, mediadora de lainteraccion electromagnetica.

14


estarıa cuantizada debido a la relacion Eν = hν. Para cada frecuencia dadapor la Ec. (1.9), las energıas posibles son Eν = hν, 2hν, . . . phν, con p entero.

La densidad de modos normales de oscilacion en la cavidad no se veafectada en absoluto por la hipotesis de cuantizacion (1.8), por lo que laEc. (1.4) sigue siendo valida. Pero en el calculo de la energıa media deun modo normal realizado en la Subseccion 1.1.4 se asumio que la energıaera una variable contınua y, como veremos, esto afecta drasticamente elresultado.

Repetimos el calculo de la energıa media de modos normales con fre-cuencia ν, asumiendo que la energıa Eν (de todos los modos con frecuenciaν) es una variable discreta que solo puede tomar los valores

Eν = nhν, n = 1, 2, 3, . . .

en forma consistente con (1.8). El factor de Boltzmann sigue describiendola probabilidad de que uno de los osciladores tenga energıa E, pero lasintegrales en la Ec. (1.6) deben ahora reemplazarse por sumas, dado que Etoma valores discretos. Este es, en esencia, el unico cambio en el calculo, quesigue basandose en un promedio ponderado por el factor de Boltzmann,

Eν =

∑∞n=0 nhν e

−nhν/kT∑∞n=0 e

−nhν/kT = − ∂

∂βln

[ ∞∑n=0

e−nβhν

]

= − ∂

∂βln(

1− e−βhν)−1

=hν

ehν/kT − 1

Donde se ha sumado la serie geometrica(∑∞

n=0 qn = (1− q)−1

)antes de

derivar.Este resultado es bien diferente a la Ec. (1.6), que asignaba una energıa

media kT a un modo normal, independientemente de su frecuencia. Ahora,la energıa media de un modo normal depende de su frecuencia,

Eν =hν

ehν/kT − 1(1.10)

Para frecuencias bajas (hν kT ), los niveles de energıa estan muyjuntos y tienden a parecer un continuo, por lo que este resultado se reducea

lımν→0

Eν → kT

en concordancia con el calculo clasico. Esto es de esperar, ya que para h→ 0la energıa vuelve a ser continua.

Sin embargo, para altas frecuencias (hν kT ), la energıa media deoscilacion es nula,

lımν→∞

Eν ≈ hν e−hν/kT −→ 0.

15

1.2. Ondas de materia 1. Dualidad Onda-Partıcula

Como la energıa media asociada a los modos normales de alta frecuenciatiende exponencialmente a cero, queda resuelto el problema de la catastrofeultravioleta (una divergencia cuadratica en frecuencia).

En efecto, la densidad de energıa en la cavidad es ahora,

uν dν =dNν

L3× hν

ehν/kT − 1=

8π

c3· hν3

ehν/kT − 1dν (1.11)

donde se ha usado la Ec. (1.4) para dNν/L3.

Hemos demostrado entonces la Ley de Planck, Ec. (1.1). Es importanteresaltar es que la unica diferencia entre la ley de Rayleigh-Jeans y la ley dePlanck, es que la ley de Planck asume la relacion E = hν entre la energıay la frecuencia de un modo de oscilacion del campo o foton. El conceptode foton no se establecio firmemente hasta 1905 cuando Einstein lo utilizacon exito para explicar las propiedades del efecto fotoelectrico [4]. Puedeencontrarse el punto de vista de la epoca en el libro de Planck de 1912 sobreradiacion termica [5]. La radiacion electromagnetica manifiesta propieda-des ondulatorias (difraccion, interferencia, refraccion) al propagarse, peropresenta propiedades tıpicas de una partıcula (foton) al interactuar con lamateria.

1.2. Ondas de materia

Si la radiacion parece a veces una onda y a veces una partıcula, ¿nosucedera lo mismo con la materia? Este es el tipo de pregunta que Louis deBroglie se hacıa alrededor de 1920, al comenzar sus estudios de doctoradoen Fısica. Ya eran bien conocidos la Teorıa de la Relatividad, el modelo delatomo de Bohr y otros resultados semiclasicos, hoy conocidos colectivamen-te como “Teorıa cuantica antigua”. Parece evidente que de Broglie estabamotivado por una idea subyacente de simetrıa entre las propiedades de lamateria y de la energıa, que ya se visualiza en el trabajo de Einstein que daorıgen a la Teorıa de la Relatividad Especial [6]. El trabajo de de Brogliesobre el tema se resume en un breve artıculo de su autorıa de 1923 [7].

Describiremos este proceso, buscando comprender que llevo a de Brogliea formular una hipotesis tan arriesgada para la epoca, como que la materiatiene un caracter ondulatorio. La primer evidencia experimental basada endifraccion de electrones, llego en 1927 pocos anos despues de formulada lahipotesis. Esta experiencia (realizada por Davisson y Germer) fue en realidadproducto del azar y no parte de una busqueda sistematica del efecto dedifraccion de ondas de materia10.

10Un texto introductorio que describe estos eventos es el de French [8], disponible enespanol.

16


1.2.1. La hipotesis de L. de Broglie

L. de Broglie comienza observando que la energıa transportada por unaonda electromagnetica (o por un foton) se vincula con su cantidad de movi-miento de la forma11 [8]

E = pc.

Si ademas anadimos la hipotesis de Planck-Einstein, que vincula la energıacon la frecuencia de vibracion, E = hν, obtenemos que para un foton delongitud de onda λ y frecuencia ν = c/λ, resulta

p = h/λ. (1.12)

Esta ecuacion vincula la cantidad de movimiento de un foton con su longitudde onda. Pero claro, un foton es una partıcula “especial”, es decir, sin masay cuya onda asociada (el campo electromagnetico) nos es familiar.

¿Que sucedera si la partıcula tuviese masa y asumimos valida la ecuacionE = hν ?

Esta es la pregunta que se realizo de Broglie en relacion al foton, supo-niendo que el mismo tenga cierta masa en reposo (muy pequena, pero nonula) y se desplazase a una velocidad v < c. Modernamente, consideramosal foton como una partıcula sin masa que se mueve a la velocidad de la luzc, por lo que presentaremos el argumento de de Broglie para una partıculacualquiera con masa en reposo m0 y que se desplaza en el laboratorio convelocidad v < c. Podrıamos igualmente pensar en un electron o un neutron,para fijar ideas.

De acuerdo a la Relatividad Especial, la cantidad de movimiento linealde esta partıcula es

p = mv = γm0v (1.13)

donde γ = (1− β2)−1/2 ≥ 1 y β = v/c ≤ 1. La masa inercial de la partıculaaumenta con su velocidad, m = γm0, indicando que su resistencia a seracelerada es cada vez mayor. La energıa total de una partıcula libre (energıaen reposo + energıa cinetica) es12

E = mc2 = m0c2 +K =

√(m0c2)2 + (pc)2 = γm0c

2 (1.14)

y la energıa cinetica es K = (γ − 1)m0c2. La relacion E = mc2 implica que

la masa inercial de la partıcula no es una caracterıstica esencial de la misma,sino que depende de su estado de movimiento (su velocidad en concreto).

11Este resultado puede obtenerse de las ecuaciones de Maxwell y del hecho de quela radiacion electromagnetica se propaga con la velocidad de la luz en el vacıo. Paracomprender que una onda electromagnetica transporta cierta cantidad de movimientobasta observar el fenomeno de presion de radiacion, en el cual un haz de luz intensa ejerceuna (pequena, pero medible) fuerza sobre una superficie especular.

12Por detalles sobre estas relaciones, consultar un texto introductorio de Relatividad,como por ejemplo [9].

17


Desde el punto de vista relativista podemos observar esta partıcula desdeun referencial (S0) en el cual esta en reposo. En este referencial propio,que se mueve con la partıcula, la misma tendra una energıa total moc

2. Si,ademas, asumimos valida la ecuacion de Planck-Einstein podemos asociaruna frecuencia ν0 a la partıcula,

ν0 =m0c

2

h. (1.15)

Es decir que habra una oscilacion asociada (en el orıgen x0 = 0) de la formaξ ∼ sin(2πν0t0), donde t0 es el tiempo propio13 de la partıcula.

¿Como se ve esta situacion desde el referencial del laboratorio (S) ?

Usamos la transformacion de Lorentz para relacionar el tiempo t medidoen el laboratorio con el tiempo propio de la partıcula,

t0 = γ(t− vx

c2

)(1.16)

donde x indica la posicion de la partıcula vista en S. La onda asociada, vistadesde el laboratorio, es

ξ ∼ sin[2πν0γ

(t− vx

c2

)]= sin

[2πν

(t− x

w

)]donde w = c2/v es la velocidad de fase de la onda de materia (λν = w) yν = γν0 es la frecuencia vista desde S, donde ν > ν0

14.Supongamos ahora que la relacion Planck-Einstein es valida para esta

partıcula, de modo que su energıa total es proporcional a la frecuencia de suonda asociada E = hν = γm0c

2. Tambien podemos expresar esta relacionen terminos de la longitud de onda λ = w/ν para obtener

λ =w

ν=c2

vν=

c2

vγν0=

h

γm0v=h

p. (1.17)

Es decir que hemos re-obtenido la Ec. (1.12), pero esta vez trabajando parauna partıcula con masa!

En suma, de Broglie propone que las relaciones

E = hν, λ = h/p

son validas tanto para partıculas con masa (electrones, neutrones, etc) comopara partıculas sin masa (fotones, neutrinos, etc). Por supuesto, esto implica

13Es decir, el tiempo medido en el referencial S0 en el cual la partıcula esta en reposo.14No debe confundirse este efecto relativista en la frecuencia de una onda de materia

con el efecto Doppler, que va en sentido contrario (corrimiento al rojo cuando una fuentese aleja) y se aplica a la luz. El postulado de Einstein establece que la luz se propagasiempre con velocidad c, vista desde cualquier referencial inercial.

18


que existe un aspecto ondulatorio asociado a la materia, ası como existe unaspecto corpuscular asociado a la radiacion.

Observe que ambas relaciones (la de Planck-Einstein y la de de Broglie)son consistentes con la velocidad de fase w = c2/v, ya que

λν =h

p× E

h=γm0c

2

γm0v=c2

v.

L. de Broglie mostro que su afirmacion de que a una partıcula material sele puede asociar una onda de materia era plausible, aplicandola al atomo deBohr. En este caso, la onda de materia tiene una longitud de onda tal que susmultiplos enteros “caben” exactamente en las orbitas circulares permitidasdel atomo de Bohr. En efecto, Bohr propuso heurısticamente en 1913 que soloaquellas orbitas que cumplen la condicion de que la cantidad de movimientoangular es un multiplo entero de ~,

`n = pr = mvr = n~, con n = 1, 2, 3 . . . (1.18)

son permitidas al electron en el atomo de Hidrogeno. Con esto y la hipotesisde Planck-Einstein, E = hν, consiguio explicar todas las series espectralesde emision y absorcion conocidas en la epoca para el Hidrogeno (pero nopara otros atomos mas complejos).

Si se sustituye la condicion p = h/λ en la Ec. (1.18) resulta

2πr = nλ.

Por lo tanto, en el estado fundamental (n = 1), cabe una longitud de onda,en el primer excitado (n = 2) caben dos y ası sucesivamente.

Para objetos macroscopicos, la longitud de onda de la onda de materiaasociada es demasiado pequena para ser observable. Es a nivel de electrones,nucleones, atomos, y pequenas moleculas donde podemos observar efectosondulatorios en la materia. Usando E = K+m0c

2, la relacion de de Brogliep = h/λ y la Ec. (1.14) se llega a la relacion entre la energıa cinetica K deuna partıcula relativista libre, su masa en reposo y la longitud de onda desu onda materia

λ =hc

(K2 + 2Km0c2)1/2=

λc

[(K/m0c2)2 + 2K/m0c2]1/2, (1.19)

donde λc = h/m0c es la longitud de onda de Compton para la partıcula.En la segunda forma, λ depende solo del cociente K/m0c

2 entre la energıacinetica y la energıa en reposo de la partıcula. En el lımite no relativista(K m0c

2) λ decrece como λ ∼ 1/√K al aumentar la energıa cinetica.

En el lımite ultrarelativista,(K m0c2) λ decrece mas rapidamente, como

λ ∼ 1/K, al aumentar la energıa cinetica. En la Fig. 1.5 se muestra estadependencia en escalas logarıtmicas y se observa que la transicion entreambos regimenes se da en la region 1 < K/m0c

2 < 10.

19


Figura 1.5: Longitud de onda λ de las ondas de matera, en unidades de λc = h/mc vs.energıa cinetica K en unidades de m0c

2. De la Ec. (1.19) en escalas log-log.

20

1.3. Ecuacion de Schrodinger 1. Dualidad Onda-Partıcula

Queda establecida entonces la dualidad onda-partıcula a nivel de la Fısi-ca. El resto de este curso tratara sobre las consecuencias de esta dualidadpara las partıculas materiales. Una serie de fenomenos ondulatorios, como ladiscretizacion de frecuencias ante el confinamiento espacial, ahora se trasla-dan a las partıculas, causando la discretizacion de variables como la energıao la cantidad de movimiento. El primer paso para tratar estos fenomenosondulatorios es discutir la ecuacion de ondas que los describe.

1.3. Ecuacion de Schrodinger

'

&

$

%

¿Ondas de materia? No se de que esta hablando. Para tratar apropiada-mente con ondas, debemos tener una ecuacion de ondas...

comentario de Debye al final de un coloquio en el cual Schrodinger expusolas ideas de L. de Broglie.

Quedando establecido que existe una perturbacion ondulatoria,

Ψ(x, t) = A sin(kx− ωt), (1.20)

que describe una onda progresiva (o viajera) asociada a una partıcula y quesu frecuencia y longitud de onda se relacionan con la energıa y cantidad demovimiento de acuerdo a la propuesta de de Broglie, intentamos hallar laecuacion de ondas que las describe.

Schrodinger derivo esta ecuacion en 1925, basandose en una analogıaoptica y en las ecuaciones de Hamilton para describir la dinamica de laspartıculas. Nosotros adoptaremos un enfoque diferente. Trabajaremos conlas relaciones de de Broglie y Planck-Einstein, expresadas en terminos denumero de onda, k = 2π/λ, y frecuencia angular, ω = 2πν,

E = ~ω, p = ~k, (1.21)

donde ~ = h/2π = 1,0546× 10−34 J s.Consideramos una partıcula libre de masa m que se mueve a velocidades

no relativistas en cierto potencial V (x). En este caso, la relacion entre laenergıa y la cantidad de movimiento lineal es

E =p2

2m+ V (x). (1.22)

Esta ecuacion describe la conservacion de la energıa de la partıcula, peroademas implica que debe satisfacerse una relacion entre sus propiedadesondulatorias,

~ω =~2k2

2m+ V (x). (1.23)

21


Estas expresiones (1.22) y (1.23) son dos caras de la misma moneda, siadmitimos valida la hipotesis de de Broglie. La ec. (1.23) se conoce comorelacion de dispersion15 no relativista para las ondas de materia.

Para una onda armonica como la descrita por la ec. (1.20),

∂Ψ

∂t= −ωA cos(kx− ωt), ∂2Ψ

∂t2= ω2Ψ

y, derivando con respecto a la posicion,

∂Ψ

∂x= kA cos(kx− ωt), ∂2Ψ

∂x2= −k2Ψ.

Analizemos primero el caso de una partıcula libre, V (x) = 0. En este caso,la ec. (1.23) indica que ω = ~k2/2m, por lo que esperamos que nuestraecuacion incluya una derivada primera en el tiempo y una derivada segundaen posicion. Un candidato podrıa ser algo como

−~∂Ψ

∂t=

~2

2m

∂2Ψ

∂x2pero ~ω cos(kx− ωt) 6= ~2k2

2msin(kx− ωt)

salvo por el hecho de que cambio la fase de la funcion trignonometrica.Se requiere o bien considerar una fase o una combinacion lineal de senos

y cosenos, para encontrar soluciones de este tipo. Supongamos que conside-ramos una onda plana,

Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) (1.24)

donde i =√−1 es la unidad imaginaria. Este tipo de funcion de onda se

usa para describir ondas armonicas (electromagneticas, mecanicas y de otrostipos) en el entendido de que es una forma conveniente para calcular, peroal final del calculo es a la parte real: <[Ψ] = A cos(kx − ωt), a la que se leasigna un sentido fısico.

Nosotros usaremos la ec. (1.24) para describir nuestras ondas de materia,pero en un sentido diferente, ya que no sera la parte real la que tenga sentidofısico, sino el modulo al cuadrado |Ψ|2. Para esta funcion de onda se cumple,

∂Ψ

∂t= −iωΨ,

∂2Ψ

∂x2= −k2Ψ

de modo que la ecuacion de onda de materia para una partıcula libre es

i~∂Ψ

∂t= − ~2

2m

∂2Ψ

∂x2. (1.25)

La funcion de onda plana (1.24) es solucion de esta ecuacion, siempre quese cumpla la relacion de dispersion no relativista, ec. (1.23). La presencia de

15En todo fenomeno ondulatorio existe una relacion de dispersion que vincula su fre-cuencia y su numero de onda. Para ondas mecanicas, depende del medio en que se propagala onda.

22


la unidad imaginaria en esta ecuacion se debe a que tratamos con ondas demateria y tenemos una derividad de primer orden en t, en oposicion a lasecuaciones de ondas “usuales” que involucran una dervada segunda en t yson reales.

En el caso mas general16 de una partıcula que se mueve en un potencialV (x), es inmediato verificar que la onda plana Ψ(x, t) satisface la ecuacionde Schrodinger,

i~∂Ψ

∂t= − ~2

2m

∂2Ψ

∂x2+ V (x, t)Ψ(x, t). (1.26)

Esta ecuacion en derivadas parciales de primer orden en el tiempo, de se-gundo orden en posicion tiene la muy especial particularidad de tener untermino complejo y aplicarse a una funcion compleja, a diferencia de la ecua-cion de ondas convencional. La Ec. (1.26) tiene la importante propiedad delinealidad: una combinacion lineal de soluciones es una solucion. De mo-do que un paquete de ondas construido con ondas planas ei(kx−ωt) que sonsolucion, sera tambien una solucion.

La Ec. (1.26) es lineal17 y la hemos construido de modo que una on-da plana cualquiera ei(kx−ωt) la satisface. El paquete de ondas dado por laEc. (1.33) describe la onda de materia asociada a una partıcula libre. Estaexpresion puede entenderse como el lımite al contınuo de una combinacionlineal de ondas planas, cada una con numero de onda k, frecuencia ω y am-plitud g(k). En ese sentido, no es dıficil ver que el paquete (1.33) satisfacela Ec. de Schrodinger. Debemos enfatizar que no hemos “demostrado” laecuacion de Schrodinger, sino mas bien aportado un argumento de plausibi-lidad basado en la relacion de dispersion de las ondas de materia, Ec. (1.23).Como veremos, la ecuacion de Schrodinger y la interpretacion fısica de lafuncion de onda Ψ son tomados como postulados en la Mecanica Cuantica,avalados por una impresionante evidencia empırica.

Gran parte de nuestro trabajo en este curso consistira en encontrar so-luciones apropiadas para esta ecuacion en diferentes circunstancias y desa-rrollar cierta intuicion sobre las propiedades fısicas de sus soluciones.

1.3.1. Interpretacion fısica para Ψ(x)

La interpretacion ortodoxa para la funcion de onda asigna un significadofısico al modulo al cuadrado |Ψ(x, t)|2, que es una magnitud real y no nega-tiva. Se interpreta el esta cantidad como una densidad de probabilidad de

16Restingimos por ahora el movimiento a una dimension. Ademas, describimos sistemasconservativos, es decir que la fuerza sobre la partıcula es F = −∂V/∂x.

17Esto significa que si dos funciones independientes Ψ1 y Psi2 la satisfacen, entoncesuna combinacion lineal arbitraria Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2 tambien sera solucion, para cualquiervalor de las constantes c1 y c2.

23


encontrar a la partıcula en el punto x en el instante t. Mas especıficamente,

|Ψ(x, t)|2 dx = probabilidad de encontrar a la partıcula entre x y x+ dx.

esta interpretacion implica la condicion de normalizacion∫ ∞−∞|Ψ(x, t)|2 dx = 1 (1.27)

ya que la partıcula debe encontrarse en algun lugar en todo momento.Esta interpretacion es conocida como interpretacion de Born o interpre-

tacion de Copenhage, debido a que fue propuesta por Max Born en 1926y defendida y propagada por Bohr desde Copenhage. Es importante com-prender que al hablar de probabilidad, estamos introduciendo un elementoestocastico en la teorıa y entrando en un ambito no determinista. Esta in-determinacion ha generado muchas resistencias en fısicos prominentes comoEinstein e incluso el propio Schrodinger. Durante mucho han existido otrasinterpretaciones posibles para el significado de Ψ.

Supongamos que no conocemos la posicion de la partıcula y la medimosen t, encontrandola en el punto x = x0.¿Donde se encontraba la partıcula en el instante previo t = t−0 a la medida?

Hay diferentes corrientes de pensamiento para responder a esta pregunta.

1. Realismo: La partıcula estaba en x = x0. Esto implica que la Mecani-ca Cuantica es una teorıa incompleta, ya que si en t = t−0 la partıculaestaba en x = x0, la teorıa no nos permite deducirlo. Einstein y elfısico ingles David Bohm se cuentan entre los principales defensoresde esta lınea de pensamiento. Existirıan variables ocultas que, una vezconocidas, nos darıan toda la informacion sobre la partıcula.

2. Copenhage: La posicion de la partıcula no esta definida en t =t−0 . Al medir, forzamos una definicion de la posicion y el resultadoconcuerda estadısticamente con la densidad de probabilidad |Ψ(x, t)|2.Inmediatamente despues de la medida, la funcion de onda pasa a estarlocalizada en x = x0, en un proceso algo extrano, y del cual sabemospoco, que se conoce como el colapso de la funcion de onda. El resultadode la medida no es determinista, puede caer en cualquier punto en queΨ 6= 0.

3. Muchos universos. La interpretacion18 propuesta por Everett en1957 y ampliada por de Witt en la decada del 70 es algo extrana (to-das lo son), pero no hay evidencia en su contra (tampoco a su favor).

18Ver Everett, H., (1957) Relative State Formulation of quantum mechanics, Reviewof Modern Physics 29, pp. 454-462; o tambien The Theory of the Universal Wave Fun-ction, en B. De Witt and N. Graham (eds.), The Many-Worlds Interpretation of QuantumMechanics, Princeton NJ: Princeton University Press, 1973.

24

1.4. Principio de incertidumbre 1. Dualidad Onda-Partıcula

En esencia, supone que ante una medida (una interaccion) que causaun colapso, se crean nuevos universos, en cada uno de los cuales elobservable toma un valor diferente. Como estos diferentes universosevolucionan sin comunicarse entre si, no hay posibilidad de confir-macion experimental de estas ideas, que quedan en el ambito de lafilosofıa.

Hay numerosas variantes de estas lıneas de pensamiento, inclusive existe unaInterpretacion de Montevideo, debida al fısico uruguayo Rodolfo Gambini,Jorge Pullin y colaborardores19, en la cual se analiza el impacto de consideraral tiempo como un observable cuantico mas y no como una variable clasica,cosa que se hace en la teorıa ortodoxa.

La inmensa mayorıa de los fısicos adhieren hoy a la interpretacion deBorn, dado que permite trabajar con la teorıa y responder preguntas concre-tas, aunque al costo de una indeterminacion intrınseca y de aceptar efectosno locales en la teorıa, como la accion a distancia. La evidencia experimen-tal acumulada entre 1970 y 2000 ha permitido descartar las interpretacionesrealistas de la teorıa [?] y ha establecido fuera de toda duda que la MecanicaCuantica es no local. Trataremos de este asunto en mas detalle sobre el finaldel curso. En concreto, en este curso nos manejaremos con la interpretacionortodoxa dada por la Ec. (1.27).

1.4. Principio de incertidumbre de Heisemberg

En las secciones anteriores hemos visto que existe una relacion, resumidaen la relacion p = ~k, entre las propiedades corpusculares y ondulatorias deun objeto. Por otro lado, hemos visto como es posible localizar un fenomenoondulatorio en una region ∆x, superponiendo ondas progresivas con numerosde onda que varıan en un rango ∆k, siempre que se cumpla la restriccion∆k > 1/∆x.

Con estos dos elementos, llegamos al Principio de incertidumbre de Hei-semberg, que en una dimension se expresa,

∆p×∆x & ~ (1.28)

Es posible escribir una relacion similar en las otras dimensiones espaciales,o con la energıa E de la partıcula y el tiempo,

∆E ×∆t & ~. (1.29)

Esta segunda forma se obtiene de la primera, trivialmente para el caso de unfoton, E = pc. En el caso de una partıcula no relativista, E = p2/2m+V , se

19Por detalles, ver Gambini, Rodolfo; Pullin, Jorge (2009). ”The Montevideo interpre-tation of quantum mechanics: frequently asked questions”. Journal of Physics: ConferenceSeries 174: 012003. Bibcode 2009JPhCS.174a2003G. doi:10.1088/1742-6596/174/1/012003o http://www.montevideointerpretation.org/.

25

http://www.montevideointerpretation.org/


puede ver que ∆E = v∆p y v∆t = ∆x, por lo que se cumple la Ec. (1.29).Para una partıcula relativista se puede hacer un analisis similar. Nosotrosprobaremos una forma generalizada de este resultado mas adelante.

En 1927 Heisemberg enuncio este resultado en como un “principio” in-dependiente. No obstante, es el resultado natural de combinar las hipotesisde de Broglie-Planck-Einstein con propiedades ondulatorias (paquetes deondas) bien conocidas. Las implicaciones fısicas de las relaciones de Hei-semberg son muy importantes. Existen magnitudes (como la posicion y lacantidad de movimiento, o la energıa y la coordenada temporal) que no po-demos conocer simultaneamente con precision arbitraria20. Las llamaremosmagnitudes conjugadas.

1.4.1. Paquetes de onda

Las ondas de materia son una caracterıstica asociada a una partıcula.Una partıcula esta localizada en el espacio y se desplaza en el con ciertavelocidad. Serıa deseable que una onda de materia pueda compartir estosatributos. Para ello, no puede ser una simple onda plana, sino que debemossuperponer varias ondas de numeros de onda cercanos.

Esta subseccion es de naturaleza completamente clasica. Mostraremoscomo la superposicion de dos o mas ondas progresivas con frecuencias onumeros de onda proximos, da lugar a una perturbacion que puede estar lo-calizada llamada “paquete de ondas”. Comenzamos con dos ondas armonicasde frecuencias y numeros de onda proximos que se propagan en direccion x,

y1 = A sin(kx− ωt) (1.30)

y2 = A sin [(k + ∆k)x− (ω + ∆ω) t]

donde ∆k/k 1 y ∆ω/ω 1.Las velocidades de fase de las ondas indicadas en la Ec. (1.31) son pare-

cidas entre si,

w1 =ω

k, w2 =

ω + ∆ω

k + ∆k=ω

k

[1 + ∆ω/ω

1 + ∆k/k

].

La superposicion de ambas ondas es21

y = y1 + y2 = 2A sin(kx− ωt

)cos

(∆k

2x− ∆ω

2t

)(1.31)

con k = k + ∆k/2 y ω = ω + ∆ω/2. La fase del primer factor cambia conuna velocidad de fase,

w =ω

k=ω

k

[1 + ∆ω/2ω

1 + ∆k/2k

]20Esto no tiene relacion con las limitaciones experimentales. Ambas magnitudes no estan

definidas simultaneamente, salvo dentro de los lımites de las relaciones de intertidumbre.21Usando la identidad trigonometrica sin a+ sin b = 2 sin[(a+ b)/2] cos[(a− b)/2].

26


Figura 1.6: (a) Paquete de ondas formado por una cantidad de ondas progresivas dediferentes amplitudes. (b) Resultado de superponer las dos ondas indicadas en la Ec. (1.31)

muy parecida a la de las ondas componentes. Por otro lado, el ultimo factortiene una frecuencia mucho menor a la del primero y es el que describe lamodulacion (envolvente) tal como se muestra en la Fig. 1.6. Si nos centramosen este factor, el mismo avanza a una velocidad vg = ∆ω/∆k, que llamamosvelocidad de grupo. En el lımite en que ∆k → 0 y ∆ω → 0, la velocidad degrupo del paquete se calcula derivando la relacion ω(k),

vg =∆ω

∆k→ ∂ω

∂k. (1.32)

¿Cual sera la velocidad de grupo de las ondas de de Broglie?De la seccion anterior sabemos que la frecuencia angular vista del labo-

ratorio es

ω = γω0 =ω0

(1− β2)1/2⇒ ∂ω

∂β=

ω0β

(1− β2)3/2

donde ω0 es la frecuencia angular vista desde el referencial propio de lapartıcula y β = v/c. Por otro lado, la velocidad de fase de las ondas demateria22 es ω/k = c2/v, de modo que

k =v

c2ω =

ω0

c

β

(1− β2)1/2⇒ ∂k

∂β=ω0

c

1

(1− β2)3/2

Por lo tanto la velocidad de grupo de las ondas de materia resulta,

vg =∂ω

∂k=∂ω

∂β· ∂β∂k

= βc = v

22Es interesante observar que esta velocidad de fase w = c2/v es siempre mayor que c.Esto no es un problema, ya que w la velocidad con que cambia la fase de una onda y no estaasociada al transporte de masa, limitado por la relatividad a velocidades sub-lumınicas.

27


igual a la velocidad de la partıcula, lo cual permite asignarles un sentidofısico concreto. Mas adelante, tendremos ocasion de confirmar este resultadopara el caso de partıculas no relativistas, usando la Ec. de Schrodinger.

La idea anterior se puede generalizar, superponiendo ondas de frecuen-cias (y numeros de onda) proximos, con amplitudes variables g(k). Para ob-tener una perturbacion ondulatoria localizada23 las amplitudes deben estarcentradas en torno de cierto valor de k = k0, como se indica esquemati-caemnte en la Fig. 1.7 (izquierda).

Ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

g(k) ei(kx−ωt) dk. (1.33)

Figura 1.7: Sup. Esquema que muestra una eleccion de amplitudes g(k) localizadas entorno a cierto valor k0. de la ref. [12]. Inf. Esquema del paquete de ondas resultante,Ec. (1.33). De la Ref. [1]. La envolvente del paquete es la transformada de Fourier de g(k).

Evaluando en t = 0, Ψ(x, 0) = φ(x) y resulta el par de transformadas de

23Es conveniente usar la notacion compleja para ondas, ya que la funcion de ondassera compleja.

28


Fourier24,

φ(x) =1√2π

∫ ∞−∞

g(k) eikx dk

g(k) =1√2π

∫ ∞−∞

φ(x) e−ikx dx. (1.34)

Es una propiedad bien conocida de las trasnformadas de Fourier que existeuna relacion entre los anchos caracterısticos de las transformadas,

∆k ×∆x ≈ 1.

O sea, si queremos un paquete bien localizado (∆x 1) debemos superpo-ner ondas con muchos numeros de onda. Por el contrario, una onda planaei(kx−ωt) tiene un numero onda bien definido, pero esta completamente des-localizada en el espacio.

Esta es una propiedad de las ondas, no tiene relacion con la Mecanicaondulatoria, hasta que suponemos valida la relacion de de Broglie, p = ~k,entre cantidad de movimiento y numero de onda. Entonces, se convierte enel Principio de Incertidumbre de Heisemberg.

24Solo para quien tenga curiosidad, lo anterior sigue de multiplicar por e−ik′x e integrar

en x ambos lados de (1.33), evaluada en t = 0,∫ ∞−∞

e−ik′xφ(x) dx =

1√2π

∫ ∞−∞

g(k)

[∫ ∞−∞

ei(k−k′)x dx

]dk =

√2π g(k′)

El termino entre corchetes es proporcional a la funcion delta de Dirac,∫ ∞−∞

ei(k−k′)x dx = 2πδ(k − k′)

y la integral en k de esta funcion por g(k) es proporcional a g(k′).

29


Ejemplo 1

En este ejemplo, construimos el paquete de ondas asociado

a una partıcula libre en reposo. En este caso, p = ~k0 = 0,por lo que tomaremos amplitudes gaussianas centradas en

k = 0,g(k) = C e−a

2k2/4 (1.35)

donde a es una constante con unidades de longitud y C es

una constante que se determinara mas adelante.

a) Calcular la funcion de onda φ(x) = Ψ(x, t = 0) y bosquejar

|φ(x)| y |g(k)|.b) Hallar el producto de los anchos caracterısticos, ∆k y

∆x, bajo estas funciones.

a) La amplitud de la onda de materia es

φ(x) =C√2π

∫ ∞−∞

dk e−(ka/2)2 eikx =C√

2

ae−x

2/a2 .

La integral se calcula completando el cuadrado,

−k2a2

4+ ikx =

(ika

2+x

a

)2

− x2

a2

lo cual reduce la integral a la forma gaussiana∫∞−∞ e

−u2 =√π, con u = ika

2 + xa. La transformada de Fourier

de una funcion gaussiana es otra funcion gaussiana.

b) Los anchos caracterısticos bajo las funciones g(k) y φ(x)son

∆k =2

a, ∆x = a.

y su producto (para este ejemplo) es ∆k ×∆x = 2. Usamos

como ancho caracterıstico el valor para el cual la amplitud

cae a 1/e ≈ 0,37 de su valor maximo.

El ejemplo anterior muestra que si deseamos localizar un paquete enuna region de extension ∆x, se deben superponer ondas en una region denumeros de onda del orden de 1/∆x. Cuanto mas localizada, mas numerosde onda son necesarios en la superposicion. Este resultado es una propiedadgeneral de los paquetes de ondas. La Fısica cuantica entra cuando asociamosp = ~k y damos una interpretacion fısica para la funcion de onda, tras locual este resultado de sistemas ondulatorios se convierte en el Principio deIncertidumbre.

30

Capıtulo 2

Estados estacionarios

Hemos llegado al final de nuestro viaje por los abismos de lamateria. Buscabamos un suelo firme y no lo hemos encontrado.Cuanto mas profundamente penetramos, tanto mas inquieto, masincierto y mas borroso se vuelve el Universo.Max Born, Physics in my Generation. Springer, Nueva York,1969, p. 166.

En el capıtulo anterior hemos recorrido los argumentos historicos quellevaron al concepto de ondas de materia y hemos dado argumentos de plau-sibilidad para llegar a la ecuacion de ondas que las describe en el caso norelativista. En este capıtulo, veremos algunas de las consecuencias mas im-portantes de esta ecuacion de ondas1 y la aplicaremos a los casos mas sen-cillos. A traves de estos ejemplos, veremos algunos resultados que tienen uncaracter general y seran formalizados en el capıtulo siguiente.

2.1. Preservacion de la norma

Al asumir la interpretacion de Born para la funcion de onda, quedaimplıcito que debe cumplirse la condicion de normalizacion, Ec. (1.27), entodo instante. La evolucion de Ψ(x, t), una vez fijada una condicion inicialΨ(x, 0), queda determinada por la Ec. de Schrodinger (1.26). No es au-tomatico que esta evolucion sea tal que la norma de Ψ(x, t) se mantengaconstante en el tiempo2.

Podemos ver que la norma no cambia en el tiempo realizando el calculoexplıcito de su derivada temporal y viendo que la misma es nula,

d

dt

∫ ∞−∞|Ψ(x, t)|2 dx =

∫ ∞−∞

[Ψ∗

∂Ψ

∂t+ Ψ

∂Ψ∗

∂t

]dx

?= 0.

1Para lo cual no nos sera necesario abandonar el caso unidimensional, salvo en contadasocasiones.

2Si esto no fuese ası, simplemente la ecuacion de Schrodinger no serıa adecuada paradescribir la evolucion de las ondas de materia.

31

2.2. Valores esperados 2. Estados estacionarios

La derivada temporal ∂∂tΨ(x, t) esta dada por la Ec. de Schrodinger en termi-

nos de su derivada segunda con la posicion, de modo que usando la Ec. (1.26)y su conjugada, obtenemos luego de simplificar el termino del potencial,

d

dt

∫ ∞−∞|Ψ(x, t)|2 dx =

i~2m

∫ ∞−∞

[Ψ∗

∂2Ψ

∂x2−Ψ

∂2Ψ∗

∂x2

]dx

=i~2m

∫ ∞−∞

∂

∂x

[Ψ∗

∂Ψ

∂x−Ψ

∂Ψ∗

∂x

]dx

=i~2m

[Ψ∗

∂Ψ

∂x−Ψ

∂Ψ∗

∂x

]∞−∞

= 0. (2.1)

El ultimo termino es nulo, ya que para que la funcion de onda sea normali-zable, el area bajo Ψ∗Ψ debe ser finita. Para ello se debe cumplir que

Ψ(x→ ±∞, t)→ 0

con rapidez suficiente3. Esta propiedad de la ecuacion de Schrodinger es laque nos permite asignar en forma consistente el significado fısico a |Ψ|2 dx,como una densidad de probabilidad de encontrar a la partıcula en [x, x+dx].

Mas adelante volveremos sobre esta expresion, ya que nos sera de utilidadpara ver como cambia la probabilidad de encontrar la pertıcula en ciertaregion del espacio.

2.2. Valores esperados

Al hablar de probabilidad, hablamos de indeterminacion. En la MecanicaCuantica, el resultado de una medida no esta indeterminado a priori. Solonos es dado saber la probabilidad relativa de las diferentes resultados. Para“medir” probabilidades, debemos repetir una experiencia muchas veces yconstruir un histograma con la fraccion de veces que observamos cada resul-tado. En la medida en que el numero de observaciones sea muy grande, nosaproximaremos a la distribucion de probabilidad de nuestra variable.

En Mecanica Cuantica, al medir se produce el “colapso” de la funcionde onda. Supongamos que realizamos una medida en t = t0 y obtenemosel resultado x = x0. En el instante inmediatiamente posterior a la medida,t = t+0 , sabemos que la funcion de onda es

Ψ(x, t = t+0 ) =

1 x = x0

0 x 6= x0.

A partir de este instante, la funcion evoluciona nuevamente con la Ec. deSchrodinger. Es a este proceso discontınuo que sufre Ψ(x, t) como resultadode una medida, al que nos referimos por colapso de la funcion de onda.

3El area bajo |Ψ|2 sera finita si Ψ tiene a cero mas rapido que |x|−1/2 con x→ ±∞.

32


Para medir muchas veces y obtener una estadıstica de medidas, es evi-dente que no podemos medir Ψ(x, t) una vez colapsada. Existen dos posibi-lidades para hacer N 1 medidas de posicion sobre Ψ(x, t):

i. Se preparan N copias identicas de Ψ(x, t) (a esto se le llama un ensem-ble) y se mide la posicion en cada una de ellas de forma simultanea.

ii. Se prepara Ψ(x, t), luego se mide la posicion y se registra el resultado.Luego se prepara nuevamente Ψ(x, t), se mide y se registra. Luego deN repeticiones obtendremos la misma estadıstica que en el caso (i).

De cualquiera de estas formas, podemos “medir” |Ψ(x, t)|2, pero no podemosmedir la fase α de Ψ(x, t) = |Ψ|eiα. Esto no es problema, ya que un cambiode fase en Ψ no afecta en nada la densidad de probabilidad, que depende de|Ψ(x, t)|2 solamente.

En Mecanica Cuantica llamamos observable a cualquier variable que po-demos medir. Si medimos un observable en un ensemble de sistemas, obte-nemos un estimativo de su valor medio y una dispersion. El estimativo seaproxima al valor real cuando el numero de integrantes del ensemble, N ,se hace muy grande, es decir N → ∞. Por otro lado, el valor esperado (opromedio) de un observable se puede calcular a partir de la funcion de onday tambien es posible estimar la dispersion en las medidas.

2.2.1. Posicion

Si |Ψ| dx es la probabilidad de medir x, el valor medio del observable xestara dado por

〈x〉 =

∫ ∞−∞

x|Ψ(x, t)|2 dx. (2.2)

Esta expresion no es otra cosa que el promedio ponderado de una variablecontınua. Es decir, la suma de sus valores ponderados por pesos |Ψ|2 dx.Observe que la suma de los pesos es 1 si la funcion de onda esta normalizada.

El valor medio de cualquier funcion f(x) se calcula de la misma forma,

〈f〉 =

∫ ∞−∞

f(x)|Ψ(x, t)|2 dx. (2.3)

Observe que los valores medios son reales y dependen, en general, del tiempo.Un caso particular de interes es cuando f(x) = x2, entonces

〈x2〉 =

∫ ∞−∞

x2|Ψ(x, t)|2 dx. (2.4)

Cuando contamos con muchas medidas de una variable estocastica Xi

para i = 1 . . . N , ademas del valor medio < X > interesa saber su dispersion

33


o desviacion estandar σ. La varianza σ2 se definide por

σ2 =1

N

2∑i=1

(X− < X >)2 = 〈X2〉 − (〈X〉)2 ≥ 0 (2.5)

es decir, es el valor medio del cuadrado de las desviaciones del promedio. Lasegunda expresion se obtiene inmediatamente luego de desarrollar el cuadra-do en la primera. La desviacion estandar se obtiene tomando la raız cuadradade estas expresiones.

Si conocemos los valores esperados de x y de x2, podemos calcular ladesviacion estandar como

σx =√〈x2〉 − 〈x〉2.

Esta cantidad nos da una medida de que tan bien definida esta la posicionen el estado Ψ(x, t).

2.2.2. Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de una partıcula es proporcional al numero deonda, p = ~k. En la Seccion 1.3 vimos que multiplicar por k una onda planaes equivalente a realizar una derivada espacial (a menos de una constante),ya que

∂

∂xei(kx−ωt) = ikei(kx−ωt)

de modo que multiplicar por p = ~k a una onda plana equivale a

pei(kx−ωt) = −i~ ∂∂xei(kx−ωt).

En Mecanica Cuantica asociamos a la cantidad de movimiento un operadordiferencial4, que en una dimension es

p→ −i~ ∂∂x. (2.6)

En el Capıtulo siguiente veremos que a cada observable fısico le corres-ponde un operador con ciertas caracterısticas especiales. Podemos calcularel valor esperado de los observables haciendo actuar los operadores asociadosen la funcion de onda,

〈p〉 =

∫ ∞−∞

Ψ∗pΨ dx = −i~∫ ∞−∞

Ψ∗∂Ψ

∂xdx. (2.7)

4En general, un operador es algo que realiza una operacion sobre la funcion de onda.Es decir, la multiplica por un numero, la deriva o la integra o le toma la raız cuadrada,por ejemplo.

34


Del mismo modo, la dispersion de una serie de medidas de cantidad demovimiento, se obtiene despues de calcular

〈p2〉 =

∫ ∞−∞

Ψ∗p2Ψ dx = −~2

∫ ∞−∞

Ψ∗∂2Ψ

∂x2dx. (2.8)

Observe que en este contexto, el cuadrado implica dos aplicaciones del ope-rador, es decir p2 ≡ p p, de modo que p2 → −~2∂2/∂x2. La desviacionestandar en las medidas de p se obtiene de

σp =√〈p2〉 − 〈p〉2.

2.2.3. Energıa

La energıa cinetica de una partıcula esta dada por K = p2/2m, de modoque su operador asociado es

K → − ~2

2m

∂2

∂x2. (2.9)

Por otro lado, los operadores asociados a x y a funciones de x como el poten-cial, son simplememte multiplicativos como se mostro en la Subseccion 2.2.1.De modo que el operador asociado a la energıa total de una partıcula no re-lativista en un potencial conservativo V (x), es

H = K + V → − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x, t). (2.10)

Este operador, asociado a la energıa total E de la partıcula, se conoce comooperador Hamiltoniano. Observe que la Ec. de Schrodinger puede escribirseen terminos del operador Hamiltoniano como

i~∂Ψ

∂t= HΨ ≡

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x, t)

]Ψ. (2.11)

y por tanto, una forma alternativa para este operador es

H → i~∂

∂t. (2.12)

Todos estos operadores estan asociados a los correspondientes observa-bles y se puede calcular su valor medio y dispersion en forma similar a lo que

35

2.3. Corriente de probabilidad 2. Estados estacionarios

ya se explico para la posicion y la cantidad de movimiento. En el siguientecuadro resumimos los operadores mas comunes.

observable sımbolo operador

posicion x xcantidad de movimiento p −i~ ∂/∂xenergıa cinetica K − ~2

2m ∂2/∂x2

energıa total H i~ ∂/∂t

2.3. Corriente de probabilidad

Cuando comprobamos que la evolucion que predice la Ec. de Schrodin-ger preserva la norma de la funcion de onda, observamos que la cantidadΨ∗∂Ψ/∂x−Ψ∂Ψ∗/∂x tenıa un rol importante, ver Ec. (2.1), en esta demos-tracion. De hecho, podemos hacer el mismo calculo para preguntarnos comovarıa la probabilidad Pab de encontrar a la partıcula en cierto intervalo deposicion [a, b], con a < b. En este caso (solo varıan los lımites de integracioncon respecto a la Ec. (2.1)), tenemos

d

dtPab =

d

dt

∫ b

a|Ψ(x, t)|2 dx =

i~2m

[Ψ∗

∂Ψ

∂x−Ψ

∂Ψ∗

∂x

]ba

= J(a, t)− J(b, t)

donde J(x, t) es una cantidad real5 definida como

J(x, t) ≡ −i~2m

[Ψ∗

∂Ψ

∂x−Ψ

∂Ψ∗

∂x

](2.13)

que representa una corriente o flujo de probabilidad. En el caso unidimen-sional J tiene las unidades de T−1, pero en el caso tridimensional J tiene lasunidades usuales de flujo, L−2T−1. Por ejemplo, una onda plana Aei(kx−ωt)

puede representar un flujo de partıculas con un flujo de probabilidad aso-ciado J = v|A|2, donde v = ~k/m es la velocidad del flujo de partıculas.

Figura 2.1: La probabilidad Pab de encontrar a la partıcula entre a y b es el area bajola funcion |Ψ|2 comprendida entre a y b. En rojo, se indican la corriente entrante, Ja, ysaliente, Jb. Si el saldo neto Ja − Jb > 0 entonces Pab aumenta.

5Observe que J es la suma de un termino y su complejo conjugado.

36


Es posible expresar esta ley de conservacion de la probabilidad en formadiferencial. Si llamamos ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 a la densidad de probabilidad ytomamos b = a+ ∆x, podemos expresar la relacion anterior como

∂

∂tρ∆x = J(x, t)− J(x+ ∆x, t)→ ∂ρ

∂t+J(x+ ∆x, t)− J(x, t)

∆x= 0

en el lımite en que ∆x→ 0, el termino de la derecha es ∂J/∂x y se obtiene

∂ρ

∂t+∂J

∂x= 0. (2.14)

Este tipo de relacion entre una densidad y una corriente de una cantidadconservada es bastante comun en fısica y se le conoce como Ecuacion deContinuidad. La ec. (2.14) expresa que, dado que la cantidad se conserva,cambios en la densidad (cantidad/volumen) deben compensarse con aumen-to o disminucion del flujo en ese punto. La masa de un fluido y la corrientede flujo satisfacen este tipo de ecuacion. Otro ejemplo, es la carga electrica,cuya densidad de carga y corriente de carga satisfacen esta ecuacion. En elcaso que nos ocupa, la cantidad conservada es la probabilidad de encontrara la partıcula en alguna region del espacio. La misma solo puede cambiar sihay un flujo neto (entrante o saliente) de probabilidad en esa region.

En tres dimensiones (3D), es mas facil visualizar el flujo de una cantidadconservada. La corriente de probabilidad en este caso se define como el vectorde tres componentes

~J = − i~2m

[Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗]

donde ∇ = ex∂/∂x + ey∂/∂y + ez∂/∂z es el operador derivada en tres di-mensiones usual. En este caso, se satisface una Ec. de continuidad en tresdimensiones,

∂ρ

∂t+∇ · ~J = 0

donde ρ = |Ψ(~r, t)|2 es la densidad de probabilidad en 3D. Si nos pregun-tamos como varıa la probabilidad PV =

∫V ρ dV de encontrar a la partıcula

en cierta region de volumen V , el resultado es la version integral6 de la Ec.de continuidad,

d

dtPV +

∮~J · d~S = 0

6Para llegar a esta expresion se usa el Teorema de la Divergencia (o teorema de Gauss),que establece que la integral de volumen de la divergencia de un flujo es igual al flujo netoque atraviesa la superficie:

∫V∇ · ~J =

∮~J · d~S. Si no le es familiar, no se preocupe; no

haremos incapie en estos tecnicismos en este curso.

37


Figura 2.2: El flujo ~J que atraviesa una superficie cerrada. Por convencion, en estecontexto el vector superficie se toma saliente del volumen definido por S, de modo que~J · d~S < 0 cuando el flujo es entrante al volumen. Se elijen 3 elementos de superficierepresentativos y se muestran en detalle.

38

2.4. Ec. de Schrodinger indep. del tiempo 2. Estados estacionarios

lo cual expresa la misma idea: la probabilidad PV (t) aumenta si hay un flujoneto entrante en el volumen, y disminuye si hay un flujo neto saliente ypermanece constante en caso contrario.

Ejemplo 2

Sabemos que con una onda plana Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) describimos

a la onda de materia de una partıcula completamente

deslocalizada, con velocidad perfectamente definida,

v = ~k/m.

La densidad de probabilidad de encontrar la partıcula es

uniforme: |Ψ|2 = A2. No es posible normalizar esta funcion

de onda, ya que |Ψ|2 no tiene a cero con x→ ±∞.

¿Cual es el flujo se probabilidad asociado a esta

partıcula?

Evaluando la Ec. (2.13), obtenemos

J = v|A|2

por lo cual el flujo a traves de cualquier punto x es

constante. La ecuacion de continuidad en este caso esta

asegurada porque el flujo es uniforme (en x) y la densidad

constante (en t). Es posible por lo tanto usar esta onda

plana para describir un haz de partıculas identicas que se

mueven con velocidad v bien definida.

2.4. Ecuacion de Schrodinger independiente deltiempo

Cuando el potencial V = V (x) y no depende del tiempo7, la Ec. deSchrodinger puede resolverse parcialmente, extrayendo la dependencia tem-poral de las funcion de onda que es, en cierta forma, trivial. De este modopodemos concentrarnos en la parte de la ecuacion que es afectada por elpontencial V (x).

2.4.1. Separacion de Variables

Usaremos el metodo de separacion de variables. Suponemos que la fun-cion de onda, cuando el potenicial no depende del tiempo, puede escribirse

7Este es el caso mas comun cuando se trabaja con aplicaciones.

39


como el producto de una funcion del tiempo, por una funcion de la posicion,

Ψ(x, t) = Φ(x)× Γ(t). (2.15)

Al sustituir en la Ec. de Schrodinger, (1.26), luego de dividir ambos terminosentre Φ(x)Γ(t) y reordenar, se obtiene

i~1

Γ

dΓ

dt= − ~2

2m

1

Φ

d2Φ

dx2+ V (x).

En esta expresion, el primer termino es funcion del tiempo solamente y elsegundo, es funcion solamente de la posicion8. El unico modo en que estoes posible, es que ambos terminos sean iguales entre si y no dependan ni dex ni de t, es decir, sean iguales a una constante. Llamamos E a esta cons-tante, anticipando su significado fısico, por lo que obtenemos dos ecuacionesseparadas9,

i~dΓ

dt= E Γ(t)

− ~2

2m

d2Φ

dx2+ V (x)Φ(x) = E Φ(x)

La primera admite la solucion inmediata

Γ(t) ∼ e−iEt/~ (2.16)

a menos de una constante. La segunda ecuacion es la Ec. de Schrodingerindependiente del tiempo

− ~2

2m

d2Φ

dx2+ V (x)Φ(x) = E Φ(x) (2.17)

y no puede resolverse sin especificar los detalles del potencial V (x) y lacondiciones de contorno para Φ(x).

Observe que, en terminos del operador Hamiltoniano (2.10), esta ecua-cion puede expresarse en forma compacta,

HΦ(x) = E Φ(x). (2.18)

2.4.2. Estados estacionarios

La funcion de onda total queda entonces de la forma

Ψ(x, t) = AΦ(x) e−iEt/~ (2.19)

8Observe que esto es cierto solo si el potencial no es funcion del tiempo.9Que son ecuaciones diferenciales ordinarias, en tanto la ecuacion de Scrodinger era

una ecuacion diferencial en derivadas parciales.

40


donde Φ(x) esta determinada por la Ec. (2.17) con las condiciones de bordedel problema y, como veremos, E es la energıa del estado y esta bien definida.La constante A se determina por normalizacion, que no es afectada por laparte temporal, que es una fase compleja,∫ ∞

−∞|Ψ(x, t)|2 dx = A2

∫ ∞−∞|Φ(x)|2 dx = 1.

Resta mostrar que E es el valor esperado de la energıa total,

〈H〉 =

∫ ∞−∞

Φ∗(x)HΦ(x) dx = E

∫ ∞−∞

Φ∗(x)Φ(x) dx = E

donde usamos (2.18). Observe que los valores esperados pueden calcularsetanto con Ψ(x, t) como con Φ(x), con el mismo resultado ya que la fasee−iEt/~ no juega ningun rol. Esta energıa esta bien definida, ya que10

〈H2〉 =

∫ ∞−∞

Φ∗(x)H2Φ(x) dx = E2

∫ ∞−∞

Φ∗(x)Φ(x) dx = E2

y por lo tanto la dispersion (desviacion estandar de las observaciones en unensemble) es

σE =

√〈H2〉 − 〈H〉2 = E2 − E2 = 0.

El nombre “estados estacionarios” sugiere que hay algo que no cambia enestos estados al pasar el tiempo. Supongamos que O representa el operadorde algun observable fısico, como los indicados en el cuadro de la Subsec-cion 2.2.3. Solo pediremos que O no dependa explıcitamente del tiempo. Enese caso,

d

dt〈O〉 =

d

dt

∫ ∞−∞

Φ∗(x)OΦ(x) dx = 0.

Es decir que en un estado estacionario, el valor esperado de cualquier obser-vable no depende del tiempo.

2.4.3. Solucion general de la Ec. de Schrodinger

Dado que la Ec. (2.18) es lineal, toda combinacion lineal de soluciones esuna solucion. En particular, si Φ es solucion cΦ tambien lo es, para cualquierc complejo no nulo, por lo cual Φ esta definida a menos de una fase global11.

Si se cuenta con un conjunto de estados estacionarios, Φj(x)e−iEjt/~ j =1, 2 . . ., que son soluciones particulares de la Ec. de Schrodinger correspon-dientes a un caso en que la partıcula esta espacialmente confinada y las

10En este contexto, H2 = H H, es decir el cuadrado en un operador implica suaplicacion sucesiva dos veces.

11El modulo del complejo c queda fijado por la condicion de normalizacion.

41


energıas posibles forman un conjunto discreto, E1, E2 . . .. La solucion gene-ral a la Ec. de Schrodinger es de la forma

Ψ(x, t) = c1Φ1(x)e−iE1t/~ + c2Φ2(x)e−iE2t/~ + . . . cnΦn(x)e−iEnt/~

donde las constantes complejas c1, c2 . . . se determinan a partir de la condi-cion inicial y las condiciones de borde del problema.

Si el espectro de energıa es continuo, se combinan las soluciones inte-grando y la solucion general es

Ψ(x, t) =

∫ ∞0

c(E)ΦE(x)e−iEt/~ dE. (2.20)

Esta expresion es similar12 a la Ec. (1.33), para un paquete de ondas. Eneste caso las amplitudes c(E) se pueden obtener de la condicion inicial ydeterminan la forma del paquete para t > 0.

2.4.4. Degeneracion en 1D

Se dice de un conjunto de estados que son degenerados, cuando compar-ten la misma energıa E. En problemas tridimensionales es comun encontrarestados degenerados. En una dimension, en cambio, mostraremos que si dossoluciones normalizables de la Ec. de Schrodinger indep. del tiempo tienen lamisma energıa, entonces son proporcionales entre si y por lo tanto, describenel mismo estado cuantico.

A partir de ahora usamos primas (′) para indicar derivadas de posicion.Comenzamos suponiendo que Φ1(x) y Φ2(x) son soluciones de la Ec. (2.17)con la misma energıa,

− ~2

2mΦ′′1(x) + V (x)Φ1(x) = E Φ1(x)

− ~2

2mΦ′′2(x) + V (x)Φ2(x) = E Φ2(x).

Multiplicando la primera de estas ecuaciones por Φ2(x) y la segunda porΦ1(x) y restandola de la primera, se obtiene una relacion entre ambas solu-ciones que es independiente del potencial V (x) y del valor de la energıa E.Esta relacion es,

− ~2

2m

[Φ′′1(x)Φ2(x)− Φ1(x)Φ′′2(x)

]= 0

d

dx

[Φ′1(x)Φ2(x)− Φ1(x)Φ′2(x)

]= 0

Φ′1(x)Φ2(x)− Φ1(x)Φ′2(x) = C1,

12Tener en cuenta que E = ~2k2/2m y dE = ~2mdk para una partıcula libre.

42


donde constante C1 (no depende de x) puede evaluarse. En el lımite x→ ±∞,sabemos que Φ1,2(x)→ 0 y sus derivadas son acotadas13, por tanto C1 = 0y la relacion entre ambas soluciones es

1

Φ1

dΦ1

dx=

1

Φ2

dΦ2

dx.

Integrando esta expresion se obtiene

Φ1(x) = eiϕ Φ2(x), (2.21)

donde, nuevamente se ha usado que ambas soluciones son normalizables,por tanto la constante compleja que las vincula debe tener modulo 1 (es unafase).

La Ec. (2.21) implica que la densidad de probabilidad de ambos estadoses la misma, |Φ(x)|2 = |Φ(x)|2 y, de hecho, ambas funciones representan elmismo estado fısico. En otras palabras, en una dimension no puede haberdos estados fısicos normalizables diferentes con la misma energıa14.

2.4.5. Simetrıa de paridad

Por simetrıa de paridad indicamos como transforma una funcion bajola inversion de coordenadas. En tres dimensiones esta inversion implica queun vector ~r se transforma como ~r → −~r. La discusion siguiente se formulaen una dimension, por simplicidad, pero sus resultados son validos en tresdimensiones.

En una dimension, es simplemente x→ −x. Una funcion cualquiera f(x)tiene paridad definida si transforma de una de las dos formas

f(−x) = f(x) funcion par

f(−x) = −f(x) funcion impar.

Si la funcion f(x) transforma de otro modo, decimos que no tiene paridaddefinida.

Cuando la funcion de interes es la funcion de onda, vemos que si tieneparidad definida, entonces la densidad de probabilidad |Φ(x)|2 es invariantebajo la transformacion x → −x. Mostraremos que si el potencial es unafuncion par, V (−x) = V (x), entonces los estados estacionarios Φ(x) tienenparidad definida (y la densidad de probabilidad resultante es par).

Comenzamos observando que si el potencial es par, la Ec. de Schrodingerindep. del tiempo dada por la Ec. (2.17), es invariante bajo la transformacion

13De lo contrario, las funciones Φ1(x) y Φ2(x) no serıan normalizables.14No obstante, la ondas planas ei(±kx−Et/~) que describen a una partıcula libre des-

localizada, representan dos soluciones fısicamente diferentes (cantidad de movimiento endirecciones opuestas) con la misma energıa E = ~2k2/2m. Estas soluciones no son norma-lizables por lo que no se contradice el resultado obtenido.

43


x→ −x, ya que la derivada segunda es invariante bajo esta transformacion.Es decir que se cumple

− ~2

2mΦ′′1(x) + V (x)Φ1(x) = E Φ1(x)

− ~2

2mΦ′′2(x) + V (x)Φ2(x) = E Φ2(x).

con Φ1(x) = Φ(x) y Φ2(x) = Φ(−x). Al ser soluciones de la Ec. (2.17)con igual energıa estas soluciones solo pueden diferir en una fase (ver laSeccion 2.4.4)

Φ(x) = eiϕΦ(−x). (2.22)

Esta ecuacion es un primer ejemplo de una ecuacion de autovalores15.

Resta mostrar que la fase puede ser ϕ = 0 o ϕ = π y por tanto Φ(x) tieneparidad definida. Para ello, es conveniente usar el lenguaje de operadores.Definimos un operador de paridad P que actua sobre una funcion f(x) atraves de la siguiente relacion:

P f(x) = f(−x). (2.23)

Es evidente que dos aplicaciones sucesivas de P dejan a la funcion invariante,es decir P 2 = I, el operador identidad y

P 2f(x) = f(x).

Por otro lado, hemos demostrado que si P se aplica en un estado solucionde la Ec. de Schrodinger indep. del tiempo (con V par) entonces (Ec. (2.22))

PΦ(x) = e−iϕΦ(x).

Aplicar dos veces el operador deja invariante la funcion, por lo que

P 2Φ(x) = e−2iϕΦ(x) = Φ(x)

y el factor debe ser e−2iϕ = 1, es decir ϕ = 0 o ϕ = ±π. De modo que laEc. (2.22) se traduce en

Φ(x) = ±Φ(−x) (2.24)

y el estado Φ(x) tiene paridad definida.

15en este contexto, la funcion f(x) es autoestado o estado propio de P y eiϕ es elautovalor o valor propio de P .

44


2.4.6. Condiciones de continuidad

El hecho de que |Φ(x)|2 tenga un significado fısico como densidad deprobabilidad, hace que Φ(x) sea una funcion contınua. Ademas, como vi-mos, debe tender a cero suficientemente rapido en x → ±∞ como para sernormalizable.

Finalmente, el hecho de que Φ(x) sea solucion de la ecuacion de Schrodin-ger independiente del tiempo, Ec. (2.17), impone ciertas restricciones rela-tivas a la continuidad de sus derivadas.

La Ec. (2.17) es una expresion para la derivada segunda de Φ(x),

Φ′′ =2m

~2[E − V (x)] Φ(x), (2.25)

por lo que Φ′′(x) sera contınua si V (x) lo es. En puntos de discontinui-dad acotada de V (x), la funcion Φ′′ sera discontınua. En puntos donde elpotencial se hace infinito, debe ser Φ(x) = 0 para que Φ′′(x) sea finita.

Sabemos que una discontinuidad finita en una funcion, da lugar a unaderivada infinita. Recıprocamente, si su derivada es acotada (no infinita) en-tonces la funcion es contınua. Por lo tanto en puntos donde V (x) es acotado(o sea, no infinito) Φ′ sera contınua y en puntos donde V se hace infinito, laderivada Φ′ sera discontınua.

Resumiendo, las alternativas son:

Para V (x) acotado y contınuo

• Φ(x) es continua y normalizable

• Φ′(x) es acotada y continua

• Φ′′(x) es acotada y continua

por ejemplo, el oscilador armonico (Fig. 2.3 - C).

Para V (x) acotado y discontınuo (salto finito, fuerza impulsiva)

• Φ(x) es continua y normalizable

• Φ′(x) es continua

• Φ′′(x) es acotada y discontinua

por ejemplo, los potenciales escalon (Fig. 2.3 - B) o el pozo finito.

Para V (x) no acotado (infinito) y discontınuo

• Φ(x) = 0, continua y normalizable

• Φ′(x) es discontinua y acotada donde V (x) =∞• Φ′′(x) es discontinua acotada.

por ejemplo, el pozo infinito (Fig. 2.3 - A)

En las siguientes secciones se tratan los efectos de fuerzas impulsivas(potenciales discontinuos) sobre un flujo de partıculas.

45

2.5. Escalon y barrera de potencial 2. Estados estacionarios

Figura 2.3: Propiedades de continuidad de potenciales y funciones de onda. (A) Pozoinfinito (discontinuidad infinita), (B) escalon de potencial (discontinuidad finita) y (C)potencial continuo. En azul, se muestra una densidad de probabilidad tıpica.

2.5. Escalon y barrera de potencial

2.5.1. Escalon de potencial

Cuando un flujo de partıculas incide sobre la discontinuidad de un po-tencial escalon de altura V0 como el de la Fig. 2.4, se produce una reflexionde parte del flujo, incluso si la energıa del flujo incidente es E > V0. Si lapartıcula fuera clasica, en este caso no habrıa reflexion.

Energıa mayor que el escalon (E > V0)

Consideramos primero el caso de un escalon de potencial como el quese indica en la Fig. 2.4 cuando la energıa de la partıcula incidente es ma-yor al escalon. El escalon de potencial sirve para modelar situaciones deconfinamiento en regiones bien delimitadas. Por ejemplo, los electrones deconduccion en un metal deben vencer un potencial bien definido (la funcionde trabajo) para poder salir del metal. La discontinuidad en el potencialrepresenta una fuerza impulsiva16 (dirigida a la izquierda) en x = 0, deacuerdo a la relacion F = −dV/dx. Este impulso frena a la partıcula, y tan-to desde el punto de vista clasico como cuantico la partıcula tendra menorvelocidad en la region x < 0.

La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo se reduce a la deuna partıcula libre en cada region de potencial constante,

Φ′′1 + k21Φ1(x) = 0 x < 0 con k1 =

√2mE

~2(2.26)

Φ′′2 + k22Φ2(x) = 0 x ≥ 0 con k2 =

√2m

~2(E − V0) (2.27)

ambos numeros de onda son reales no negativos.

16Matematicamente, podemos describir la derivada de una funcion escalon como unafuncion delta de Dirac: δ(x) = dV/dx y F (x) = −δ(x) es la fuerza impulsiva.

46


Figura 2.4: Potencial escalon con energıa sobre el escalon, E > V0.

Para determinar las porciones del flujo incidente reflejadas y transmi-tidas, se consideran por separado soluciones oscilatorias en las regiones depotencial constante,

Φ1(x) = Aeik1x +Be−ik2x x < 0

Φ2(x) = Ceik2x x ≥ 0.

Como la funcion de onda esta definida a menos de una fase global, po-demos suponer A real. El flujo incidente desde la izquierda esta asocia-do a Aeiαx y es jA = v1A

2, donde v1 = ~k1/m es la velocidad de laspartıculas en la region 1. El flujo reflejado en el escalon esta asociado aBe−iαx y es jB = −v1|B|2. El flujo transmitido esta asociado17 a Ceik2x yes jC = v2|C|2 = ~k2

m |C|2.

Las dos componentes de la solucion para x < 0 interfieren entre si dandolugar a una modulacion de la densidad de probabilidad en x < 0. Estadensidad puede expresarse como

|Φ1(x)|2 = A2 + |B|2 + 2A|B| cos(2k1x− ϕ) (2.28)

donde B = |B|eiϕ, es decir, ϕ es la fase de la constante compleja B quedepende de las energıas E y V0. El flujo neto de probabilidad en la regionx < 0 es

j1 = jA + jB = v1(A2 − |B|2) (2.29)

es decir, la superposicion de las corrientes de probabilidad incidente y re-flejadas18. En la region x ≥ 0 la densidad de probabilidad es |C|2, o seauniforme (no hay interferencia).

Las condiciones de continuidad de Φ(x) y su derivada en x = 0 implican,

A+B = C

k1(A−B) = k2C. (2.30)

17La onda plana que se desplaza hacia la izquierda desde +∞ no tiene sentido fısico eneste problema, por lo que D = 0.

18Es decir, se pueden superponer flujos o corrientes, pero no densidades de probabilidad.

47


Dos ecuaciones reales y dos incognitas (B y C) ya que A se supone deter-minada por el flujo jA y la velocidad v1 (o energıa E) de las partıculasincidentes. Por ser las ecuaciones reales y A real, los coeficientes B y Cseran, en este caso, tambien reales. Los cocientes B/A y C/A estan asocia-dos a las porciones de flujo incidente que son reflejadas y transmitidas en ladiscontinuidad del potencial en x = 0.

Resolviendo (2.30) se obtiene

B

A=

k1 − k2

k1 + k2

C

A=

2k1

k1 + k2.

El coeficiente de reflexion R es la razon entre el (modulo del) flujo refle-jado jr = − ~k1|B|2/m y el flujo incidente ji = ~k1A

2/m,

R ≡ |jr|ji

=|B|2

A2=

(k1 − k2

k1 + k2

)2

=

(√ε−√ε− 1

√ε+√ε− 1

)2

(2.31)

donde ε = E/V0 > 1. El coeficiente de transmision T es la razon entre elflujo transmitido jt = ~k2|C|2/m y el flujo incidente ji, de modo que

T ≡ |jt|ji

=k2

k1

|C|2

A2=

4k1k2

(k1 + k2)2 =4√ε(ε− 1)

(√ε+√ε− 1)2

. (2.32)

Es facil ver que se cumple R + T = 1. Ambos coeficientes dependen unica-mente del cociente ε = E/V0, por lo cual pueden representarse en funcion dela energıa del flujo incidente en unidades del salto de potencial unicamen-te. En la Fig. 2.5 se muestra la dependencia del coeficiente de transmision(2.32) con la energıa. Cuando E V0, no se percibe el efecto del escalon yse transmite esencialmente todo el flujo incidente. Cuando E & V0, el flujotransmitido es practicamente nulo, en contraste con el caso clasico dondeT = 1 si E > V0.

Energıa menor que la barrera, E < V0

Cuando la energıa del haz incidente es menor que la del escalon, E < V0,clasicamente no hay transmision posible hacia la region x > 0. En el casocuantico, tampoco hay flujo transmitido pero existe una probabilidad no nu-la de encontrar la partıcula en la region clasicamente prohibida (penetracionde barrera).

Este caso es similar al caso E > V0 con la salvedad de que la constantek2 =

√2m(E − V0)/~2 es ahora imaginaria. Todos los calculos realizados

para el caso anterior son validos, y si se define la constante real κ de modoque k2 = iκ, resulta

κ =

√2m

~2(V0 − E). (2.33)

48


Figura 2.5: Coeficiente de transmision T en funcion de E/V0, la energıa en unidadesdel salto de potencial. En azul a trazos, el coeficiente de transmision clasico. Tambien semuestra el coeficiente de reflexion R = 1−T . Para E < V0 los resultados clasico y cuanticoson identicos. Figura de Wikipedia.

La solucion en la region x > 0 es ahora de caracter exponencial19

Φ2(x) = Ce−κx x > 0.

El cuadrado de la exponencial decreciente es la densidad de proba-bilidad de encontrar a la partıcula en la region clasicamente prohıbida:|Φ2|2 = |C|2e−2κx. Esta funcion tiene un ancho caracterıstico

d =1

2κ=

~√8m(V0 − E)

.

Lo cual muestra que, ademas de la diferencia E−V0, la masa es importante:partıculas mas masivas penetran menos bajo la barrera.

El flujo transmitido es nulo

jt =i~2m

[Φ2∂Φ∗2∂x− Φ∗2

∂Φ2

∂x

]= 0

por ser la exponencial e−κx una funcion real. Por lo tanto, en este caso T = 0y R = 1, tal como en el caso clasico. Esto se representa en la Fig. 2.5 porlas lıneas horizontales para E < V0.

19Se debe tomar D = 0 porque esta componente corresponde a una exponencial crecienteque no es normalizable.

49


2.5.2. Barrera de potencial

Consideramos ahora la incidencia de un flujo de partıculas sobre unabarrera de potencial de altura V0 y ancho a, como se muestra en la Fig. 2.6.La barrera es una situacion que se encuentra frecuentemente en problemasreales. Por ejemplo, el diodo de efecto tunel o la emision de partıculas alfapor un nucleo radioactivo pueden explicarse con potenciales de barrera. Enel caso E < V0, la funcion de onda es no nula bajo la barrera y si la mismano es muy ancha, es posible tener un flujo transmitido hacia el otro lado dela barrera.

Resonancias de Transmision (E > V0)

Es conveniente analizar primero el caso en que la energıa del flujo inci-dente es E > V0 > 0. Clasicamente, la barrera siempre se atraviesa y todoel flujo es transmitido. Cuanticamente, una parte del flujo es reflejado porlas dos discontinuidades en el potencial. El potencial es constante a trozos

Figura 2.6: Una barrera de potencial de altura V0 y ancho a.

en las regiones 1 (x < 0), 2 (0 ≤ x ≤ x) y 3 (x > a). En las regiones 1 y 3 sesatisfacece la ec. (2.26) y en 2 la ec. (2.27). Considerando que el flujo incidedesde la izquierda, las soluciones oscilatorias son,

Φ1(x) = Aeik1x +Be−ik1x x < 0

Φ2(x) = Ceik2x +De−ik2x x ∈ [0, a] (2.34)

Φ3(x) = Feik3x x > a,

con k3 = k1, k1 y k2 dados por

k1 ≡√

2mE

~2, k2 ≡

√2m(E − V0)

~2.

Imponiendo condiciones de continuidad en x = 0 y x = a sobre la funcion

50


de onda y su derivada se obtiene el sistema lineal

A+B = C +D

k1(A−B) = k2(C −D) (2.35)

Ceik2a +De−ik2a = Feik1a

k2

(Ceik2a −De−ik2a

)= k1Fe

ik1a.

Resolviendo para |F |/A, se obtiene el coeficiente de transmision (para E > V0),

T =k3

k1

|F |2

A2=

4ε(ε− 1)

4ε(ε− 1) + sin2 (k2a), (ε ≥ 1) (2.36)

donde ε = E/V0 es la energıa de la partıcula incidente en unidades del altode la barrera y

k2a =

√2ma2(E − V0)

~2= Γ ·

√ε− 1 (2.37)

el parametro adimensionado

Γ =

√2ma2V0

~(2.38)

es la “opacidad” de la barrera. Una barrera opaca tiene Γ 1, y esto puedeser porque la partıcula es muy masiva, o la barrera es muy ancha o alta.

El coeficiente de reflexion es R = 1 − T por lo que es suficiente condiscutir el comportamiento de T . Para energıas altas, ε 1 se observa queT → 1 y hay transmision completa y el efecto de la barrera es pequeno. Paraenergıas E ∼ V0, ε→ 1 y

lımTε→1+ =4

4 + Γ2.

Para ciertas energıas (que dependen de Γ) resulta T = 1 y la barrerase vuelve transparente a dichas energıas. Este fenomeno cuantico se conocecomo “Resonancia de transmision”. La condicion para ello es

sin(k2a) = 0⇒ k2a = nπ, n = 1, 2, . . .

en otras palabras, aquellas energıas para las cuales nλ2/2 = a y un numeroentero de medias longitudes de onda “cabe” en la barrera. Una forma deentender esto es que en este caso la funcion de onda tiene nodos en x = 0y x = a, por lo cual no percibe el efecto de la fuerza impulsiva que actuaen estos puntos. Como resultado, todo el flujo incidente es transmitido. Elcomportamiento de T para E > V0 se puede apreciar en la Fig. 2.7. Esinteresante observar que las energıas a las cuales tiene lugar la resonanciade transmision son

En = V0 +n2π2~2

2ma2, (2.39)

siendo n un entero positivo. Estas energıas se corresponden exactamente conlos niveles de energıa de la partıcula en un pozo infinito de ancho a.

51


Tunelamiento (E > V0)

Consideramos ahora el caso en que la energıa de la partıcula es menorque la barrera, E < V0. En este caso, k2 es imaginario y es convenienteintroducir la constante real k2 = iκ donde

κ =√

2m(V0 − E)/~2.

La forma de la solucion en las regiones x < 0 y x > a no cambia, pero bajola barrera las ondas planas se transforman en exponenciales reales,

Φ2(x) = Ce−κx +Deκx.

Se preserva la exponencial creciente porque la funcion Φ2(x) esta definida enun rango finito x ∈ [0, a] y no hay divergencia. Las condiciones de continui-dad que conducen al sistema de ecuaciones (2.35) se mantienen incambiadasde modo que la ec. (2.36) es validas con el reemplazo k2 = iκ. De este modo,se obtiene la expresion para el coeficiente de transmision en el caso E < V0,

T =|F |2

A2=

4ε(ε− 1)

4ε(ε− 1) + sinh2 (κa), (ε ≤ 1) (2.40)

donde ε = E/V0. Para obtener esta expresion hemos usado el hecho de quepara un argumento complejo z,

sin z =ez − e−z

2i.

Teniendo en cuenta que la definicion del seno hiperbolico es sinh(u) = 12(eu − e−u),

con z = iκa resulta sin(iκa) = i sinh(κa). Por lo tanto,

sin2(iκa) = − sinh2(κa).

Para bajas energıas, ε 1, el coeficiente de transmision T → 0 comose esperarıa. Por otro lado, cuando E → V0, o ε → 1− la transmision esT = 4/(4 + Γ2). Por lo tanto, las expresiones (2.36) y (2.40) construyen unafuncion contınua de la energıa E. El coeficiente de transmision dado por(2.36) y (2.40) se grafica en la Fig. 2.7 como funcion del cociente E/V0.

Barrera opaca (Γ 1)

Un caso de interes practico es el de tunelamiento a traves de una ba-rrera opaca, para la cual Γ 1. En este caso, κa 1 el sinh2(κa) en eldenominador de la Ec. (2.40) tiene un comportamiento dominante que esexponencial,

sinh2(k2a) ∼ 1

2e2κa

52


Figura 2.7: Coeficiente de transmision para la barrera de potencial de la Fig. 2.6, basadoen las Ecs. (2.36) y (2.40). Se muestran curvas para barreras con tres opacidades (Γ = 2(rojo), Γ = 5 (azul) y Γ = 10 (violeta)). El caso clasico se indica en naranja.

53


Figura 2.8: Reflexion en un pozo de potencial.

y el coeficiente de transmision se puede aproximar por

T ≈ 16ε(1− ε) e−2κa ≈ e−2κa (ε ≤ 1) (2.41)

donde κa = Γ√

1− ε 1. En la ultima aproximacion se ha usado el hechode que la exponencial es extremadamente pequena y el factor 16ε(1− ε) esde orden 1. Si bien la probabilidad de transmision bajo una barrera opacaresulta ser extremadamente pequena, al multiplicarla por los intentos detunelar por unidad de tiempo, se obtienen tasas de transmision importantes.Un ejemplo de esto es el caso de la emision alfa por nucleos inestables.

Reflexion en pozos de potencial

Cuando una partıcula con E > 0 atraviesa una region en la cual hay unpozo de potencial de profundidad −V0, como se muestra en la Fig. 2.8, seproduce una reflexion parcial del flujo de probabilidad en la discontinunidaddel potencial y tambien en este caso hay resonancias de transmision. Laexpresion (2.36) obtenida para E > V0 sigue siendo valida en este caso, yaque en la region del pozo la funcion de onda esta compuesta de dos ondasplanas como Φ2(x) en en la Ec. (2.34). Si reemplazamos V0 → −V0 en laEc. (2.36) se obtiene el coeficiente de transmision,

T =4ε(ε+ 1)

4ε(ε+ 1) + sin2(Γ√ε+ 1

) (2.42)

una expresion valida tanto para ε = E/V0 < 1 como para ε > 1.En el panel superior de la Fig. 2.9 se muestra la dependencia de T con

la energıa relativa E/V0 para varios valores del parametro Γ. El compor-tamiento de T a bajas energıas E V0 muestra marcadas resonancias alvariar Γ = ka, como se ve en el panel inferior de esta figura.

54


Figura 2.9: Coeficiente de transmision para el caso de la transmision en un pozo depotencial, Fig. 2.8. En el panel superior, la curva cercana a ka = Γ ≈ π muestra un com-portamiento resonante a bajas energıas. En el panel inferior se muestra el comportamientoa bajas energıas (E V0) como funcion del parametro ka. Cuanto mas baja la energıa,mas pronunciadas son las oscilaciones.

2.5.3. Modelo cuantitativo de la emision alfa

La emision de partıculas alfa por nucleos radioactivos es un clasicoejemplo de tunelamiento cuantico por debajo de una barrera de poten-cial, en este caso Coulombiano. El problema se trata en detalle, por ejem-plo, en el texto de French [8]. Otra fuente de informacion es el sitio webhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html.

Las partıcula α son nucleos de Helio, es decir se componen de dos pro-tones y dos neutrones. Cuando un nucleo emite esta combinacion de nu-cleones, pierde algo de su masa nuclear y el producto del decaimiento esotro elemento, probablemente mas estable. Para fijar ideas, describiremosel caso concreto del decaimiento α del Polonio (A=212, Z=84), que emiteuna partıcula α y deja un residuo de Plomo (A=208, Z=82), donde A es elındice de masa (numero de nucleones) y Z el numero atomico (numero deprotones) en el nucleo,

21284 Po→ 208

82 Pb+ 42α.

Las vidas medias (o las tasas de emision) observadas para partıculas alfavarıan enormemente, como se indica en la Fig. 2.10.

55

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html


Figura 2.10: Vidas medias de decaimiento α, para varios elementos radioactivos enfuncion de la energıa cinetica de las α. Observe la variacion de casi 24 ordenes de magnitud.

En este proceso, se determina la tasa de emision α (partıculas/seg) ysu energıa cinetica cuando se han alejado del producto, que es de K =8.78 MeV. Esta energıa es insuficiente para escapar al potencial nuclear, porlo que se esta ante un proceso de tunelamiento cuantico. Como veremos,es posible a traves de un modelo sencillo obtener predicciones cuantitativasque se ajustan bien a las observaciones para muchos nucleos radiactivos.

Emision radioactiva

El proceso de emision radiactiva puede modelarse cualitativamente porun potencial unidimensional20 de barrera como el que se indica en la Fig. 2.11.Este potencial es el percibido por una partıcula α ubicada en el nucleo y losparametros R y a son distancias que representan el tamano del pozo nuclear(de profundidad −V1) y el ancho de la barrera, de altura V0.

La energıa E de la partıcula es igual a la energıa cinetica K, medidacuando sale del pozo. Dentro del pozo, la energıa cinetica es algo mayor,K1 = E+V1. El problema es similar al discutido en la Seccion 2.5.2, pero condiferentes niveles de energıa en la region 1 (x < R) y la region 3 (x ≥ R+a).

20Si bien el potencial nuclear es tridimensional, asumiendo simetrıa esferica es posiblereducir el problema a una dimension, en el cual una funcion u(x), relacionada en formasimple con la componente radial de la funcion de onda, satisface la Ec. de Schrodingerindependiente del tiempo. Vea la Ref. [8] por mas detalles.

56


Figura 2.11: Barrera de potencial para analisis de la emision alfa.

La funcion de onda efectiva u(x) es de la forma

u1(x) = Aeik1x +Be−ik1x x < R

u2(x) = Ce−κx +Deκx x ∈ [R,R+ a] (2.43)

u3(x) = Feik3x x > R+ a,

donde

k1 =

√2m(E + V1)

~2, κ =

√2m(V0 − E)

~2, k3 =

√2mE

~2. (2.44)

La probabilidad de encontrar la partıcula en el pozo es P (t) =∫ R

0 |u1(x)|2 dxy depende del tiempo. Al salir flujo de probabilidad por tunelamiento haciala region x > R+a, se reduce la probabilidad P (t) de encontrar la partıculaen el pozo. Este proceso esta descrito por una ecuacion de continuidad21,

dP

dt= −j(R+ a, t) = −~k3

mαF 2. (2.45)

El flujo saliente, se calcula en base a la funcion u3(x) y es el responsable dela reduccion de P (t). Esta probabilidad se puede expresar como

P (t) =

∫ R

0|u1(x)|2 dx = (A2 + |B|2)R+ 2A|B|

∫ R

0cos(k1x− ϕ) dx

21Aplicada al intervalo x ∈ [0, R + a], donde x = 0 representa el centro del nucleo yR+ a el punto donde se atraveso la barrera. La probabilidad P = P1 +P2, pero P2 P1,ya que tratamos con una barrera muy opaca. Por lo tanto P ≈ P1.

57


donde B = |B| eiϕ. La barrera es opaca, por lo cual la probabilidad detunelamiento sera muy baja y la reflexion R = |B|/A es practicamente 1.Es decir que |B| ≈ A y se obtiene

P (t) ' 2RA2(t)(1 + I) ' 2RA2(t)

donde I = R−1∫ R

0 cos(k1x − ϕ) dx es el valor medio de una funcion os-cilatoria y por lo tanto despreciable frente a 1. Sabemos que hay variasoscilaciones en [0, R] porque k1R =

√2mR2(E + V1)/~2 1 (la partıcula

α a ser emitida debe estar en un estado de alta energıa del pozo, no en elestado fundamental). Por lo tanto, la Ec. (0) implica,

d

dtA2(t) = − v3

2R|F |2

donde v1 = ~k1/mα es la velocidad de la partıcula en la region 1. Dividiendoambos terminos por A2, se obtiene una ecuacion diferencial para A2(t), enterminos del coeficiente de transmision T = v3|F |2/v1A

2, dado para unabarrera opaca por la Ec. (2.42),

dA2

A2= − v1

2RT dt. (2.46)

Como A2 y P (t) son proporcionales, esta ecuacion implica un decaimientoexponencial para la probabilidad de encontrar la partıcula en el pozo,

P (t) = P (0)e−λt (2.47)

donde se define la tasa de decaimiento (en 1/seg)

λ = f · T (2.48)

con f = v1/2R. Este factor (con unidades de 1/seg) se puede interpretarclasicamente, ya que es la cantidad de veces por unidad de tiempo que unapartıcula con velocidad v1 “choca” contra la barrera en x = R e intentatunelar por debajo de la barrera. Es una frecuencia de choques o cantidadde intentos de tunelamiento por unidad de tiempo.

El decaimiento radioactivo se suele caracterizar no solo por la tasa dedecaimiento λ sino por la vida media τ1/2. Este es el tiempo que demorauna muestra de N nucleos radioactivos en reducirse a la mitad. En otraspalabras,

1

2=P (τ1/2)

P (0)= e−λτ1/2

y la relacion es

τ1/2 =ln 2

λ' 0,693

λ. (2.49)

58


Estimacion de la vida media del decaimiento

Para estimar la vida media es necesario evaluar λ y por tanto T partirde la Ec. (2.42) adecuada para una barrera opaca (Γ 1),

T ≈ 16ε(1− ε)e−2κa

donde ε = E/V0 < 1 y κa = Γ√

1− ε. Es necesario entonces calcular laopacidad de la barrera

Γ =

√2ma2V0

~2

adecuada para este caso. Antes, deberemos refinar un poco el potencial yaque el representado en la Fig. 2.11 es demasiado esquematico. En realidad,una partıcula alfa tiene carga electrica y ve la superposicion del pozo nucleary un potencial de repulsion Coulombiana con el resto de los protones en elnucleo, como se muestra en la Fig. 2.12. Esquematicamente, supondremosque el potencial visto por una alfa es de la forma

V (x) =

−V1 si x < RZ1Z2e2

4πε0xsi x ≥ R

tal como se muestra en el panel Derecho de la Fig. 2.12. El potencial derepulsion Coulombiana es entre los dos fragmentos con Z1 = Z−2 y Z2 = 2,de modo que

V (x) =2(Z − 2)e2

4πε0x(x ≥ R)

donde e = 1,6 × 10−29 C es la carga elemental y ε0 = 8,85 × 10−12 F/m esla permitividad electrica del vacıo y Z = 84 para el Po.

El radio de un nucleo depende de su masa, por r = 1,2 fm×A1/3, dondeun Fermi es 1 fm = 10−15 m. La distancia de separacion x = R se tomacuando x = r208 + rα, es decir cuando ambos productos aun “se tocan” y noha comenzado el alejamiento. De modo que

R = r208 + rα = 1.2 fm (2081/3 + 41/3) ' 9.0 fm.

A esta distancia, el potencial tiene un valor V0 que fija la altura de la barrera(vea la Fig. 2.12) de modo que

V0 = V (x = R) = 26.2 MeV.

La energıa en unidades de V0 es ε = E/V0 ' 0,335. Resta calcular el anchoa de la barrera. Una partıcula con energıa total E supero la barrera cuandoV (x) = E y a partir de ese punto tendra energıa cinetica positiva. Por lotanto,

E = 8.78 MeV = V (R+ a)⇒ R+ a = 26.9 fm

59


Figura 2.12: Izquierda: la suma del potencial nuclear ∼ 1/r y la repulsion Coulombianaforma una barrera. Der: Representacion esquematica del potencial, incluyendo la barreraCoulombiana, visto por una partıcula alfa confinada en el nucleo. Los valores son para elcaso del Polonio 212 (adaptado de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/).

y la barrera tiene un ancho a = 17.9 fm. La masa de una partıcula alfa es

mα = 2(1836,12 + 1838,65)me = 6,696× 10−27 kg

usando me = 9,11 × 10−34 kg para la masa en reposo de un electron. Conestos datos es posible evaluar la opacidad de la barrera,

Γ =

√2mαa2V0

~2' 40,2

que resulta ser bastante opaca.Para calcular la tasa de decaimiento, Ec. (2.48), es necesario conocer,

ademas de T , la frecuencia de choques22 f que puede expresarse en terminosde la energıa E y el fondo de potencial V1 como

f =v1

2R=

√E + V1

2mαR' 1,67× 1021 s−1

para V1 ≈ 10 MeV, un valor tıpico. En este punto analizamos diferentesescenarios para calcular el coeficiente de transmision T :

A) Calculo ingenuo basado en barrera cuadrada de altura V0.Suponiendo –ingenuamente– una barrera cuadrada de altura V0 (talcomo se indica en la zona oscura de la Fig. 2.12), obtenemos para laprobabilidad de tunelamiento,

T ≈ 1,15× 10−28.

22Se asume una partıcula no relativista, para la cual 12mαv

21 = K1, ya que resulta que

v1 ≈ 3× 107 m/s, es el 10 % de la velocidad de la luz en el vacıo.

60

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/


Este valor lleva a una tasa de decaimiento λ = 1,9× 10−7 s−1 y a unavida media de τ1/2 ' 3,6×106 s. El valor observado para la vida mediaes de 0.3 microsegundos o

τ∗1/2 ' 3× 10−7 s

por lo que hay varios ordenes de magnitud de diferencia.

B) Calculo mejorado, usando una barrera de altura V .Refinamos el calculo usando, en lugar de V0, el promedio de la barrera

V =1

a

∫ R+a

RV (x) dx = V0

R

aln(

1 +a

R

)' 14.4 MeV

En este caso, la opacidad es menor, de Γ ' 29,8 y, usando ε = E/V '0,610, se obtiene una probabilidad de transmision de

T ' 2,57× 10−16

unos de 12 ordenes de magnitud mayor! Lo cual nos muestra que Tes extremadamente sensible a los detalles de la funcion de potencialy a como se evalua el factor κa. A partir de esto, se obtiene una tasade decaimiento mucho mayor, de λ = 3,7 × 105 s−1 y una vida mediamenor, de τ1/2 ' 1,9× 10−6 s, lo cual esta mucho mas cerca del valorobservado, pero aun es unas seis veces mayor.

C) En 1928 G. Gamow sugiere calcular el factor exponencial en T teniendoen cuenta el potencial Coulombiano, y define el factor de Gamow,

G ≡∫ R+a

Rdx

√2m

~2(V (x)− E).

Este integral puede realizarse analıticamente, pero no entraremos aquı enlos detalles (vea la Ref. [8]). Para el caso del Polonio, resulta queG ' 16,785 y

T = e−2G ' 2,6× 10−15.

Esta probabilidad de tunelamiento lleva a λ ' 3,0 × 106 s−1 y a unavida media de τ1/2 ' 2,3 × 10−7 s, lo cual difiere solo en ∼ 23 % delvalor observado.

En definitiva, existe una gran sensibilidad de la probabilidad de tunela-miento a la forma de la barrera, pero el modelo simple de barrera unidimen-sional captura sorprendentemente bien la esencia del problema de la emisionalfa, como se muestra en la Fig. 2.13.

61

2.6. Estados confinados simples 2. Estados estacionarios

Figura 2.13: Tasas de decaimiento observadas para varios nucleos radioactivos en funcionde 1/

√E. En particular, se observa el decaimiento del Polonio, con una de las tasas mas

altas.

2.6. Estados confinados simples

Hasta ahora hemos discutido mayormente ejemplos de estados estacio-narios en los cuales no hay confinamiento y por lo tanto la energıa es una va-riable contınua. En esta seccion discutimos los primeros ejemplos de estadosconfinados y veremos como esto limita las posibles energıas de la partıcula.

Hemos visto en la Seccion 2.4.5 que los estados estacionarios, solucionesde la ecuacion de Schrodinger Ec. (2.17), presentan una simetrıa de paridad:cuando el potencial es una funcion par las funciones tienen paridad definida[10]. Utilizaremos esta propiedad para resolver el problema bien conocidodel pozo infinito de potencial.

2.6.1. El pozo infinito

Un pozo infinito de potencial representa una forma de confinar unapartıcula a una region en el caso cuantico. Para aprovechar la simetrıa deparidad, definimos la funcion V (x) por

V (x) =

0 si |x| < a/2∞ si |x| ≥ a/2 .

En la Fig. 2.14 mostramos la forma del potencial. Clasicamente, una partıcu-la estarıa confinada a moverse en la region |x| < a/2, con cualquier energıa

62


E positiva. Cuanticamente, las ondas de materia tendran nodos en los extre-mos y por lo tanto, los numeros de onda y las energıas estaran cuantizadas.

Figura 2.14: Pozo infinito de potencial, ubi-cado de modo que su paridad resulte evidente.

En la region |x| > a/2, la fun-cion de onda es nula (la partıculano puede encontrarse allı). Dentrodel pozo, la Ec. de Schrodinger in-dep. del tiempo se reduce a

Φ′′ +2mE

~2Φ = 0

que admite soluciones de tipoΦ ∼ sin(kx) (impar) yΦ ∼ cos(kx) (par),con numero de onda

k =√

2mE/~.

Las funciones deben ser nulas en x = ±a/2. Los numeros de onda per-mitidos para las funciones pares son

cos(kx) = 0→ ka

2= n

π

2con n impar→ k = n

π

a

y para las impares,

sin(kx) = 0→ ka

2= n

π

2con n par→ k = n

π

a.

En suma, los numeros de onda permitidos son

kn =nπ

a, n = 1, 2, 3 . . .

y la energıa del nivel n es

En =~2k2

n

2m=

~2π2

2ma2n2 (2.50)

y las ondas de materia de los estados estacionarios son

Ψn(x, t) = Φn(x)e−iEnt/~ (2.51)

donde

Φ(x) =

√2

a

cos(knx) n = 1,3,5. . .sin(knx) n = 2,4,6. . .

(2.52)

En la Fig. 2.15 se muestran las primeras funciones Φ2n(x).

63


Figura 2.15: Densidad de probabilidad |Φn(x)|2 de algunos estados estacionarios delpozo infinito. En el eje horizontal se representa x/a y n = 1, 2, 3, 10 con un offset (1,4,6,8)por claridad. El estado Φn tiene n − 1 nodos (exluyendo los extremos) que representansitios “prohibidos”, donde la partıcula no sera encontrada nunca.

Propiedades de los estados estacionarios Φn(x)

1. Normalizacion:La constante de normalizacion se obtiene de

∫|Φn|2 dx = 1, es decir

A−2 =

∫ a/2

−a/2cos2(knx) dx =

∫ a/2

−a/2sin2(knx) dx =

a

2

en el entendido de que n es un entero par o impar, segun el caso. Porlo tanto A =

√2/a, y es independiente de n.

2. Ortogonalidad:En este contecto, dos funciones f(x) y g(x) se dicen ortogonales, sicumplen la condicion

∫g∗(x)f(x) dx = 0. Los estados estacionarios

con diferentes energıas son ortogonales entre si.

Si n,m son enteros no negativos con diferente paridad (uno par, el otroimpar), esto es inmediato∫ a/2

−a/2Φn(x)Φm(x) dx = 0, (n,m con paridad diferente)

ya que ambas funciones tienen paridades diferentes y el productoΦnΦm es siempre una funcion impar (un seno por un coseno) de x.

64


En el caso en que n,m tienen igual paridad (son ambos pares o im-pares) el integrando es una funcion par, pero usando u = x/a, lasintegrales se reducen a

2

a

∫ a/2

−a/2cos(knx) cos(kmx) dx = 4

∫ 1/2

0cos(nπu) cos(mπu) du = 0

2

a

∫ a/2

−a/2sin(knx) sin(kmx) dx = 4

∫ 1/2

0sin(nπu) sin(mπu) du = 0

para (n,m) impares o pares respectivamente.

De modo que, para todo n,m, se cumple∫Φ∗n(x)Φm(x) dx = δnm (2.53)

donde23 δnm = 1 si n = m y δnm = 0 si n 6= m. Como veremos, estaes una caracterıstica general de los estados estacionarios.

Medidas de la posicion

Si medimos la posicion de la partıcula en un ensemble, obtendremosvalores x ∈ [−a/2, a/2] con probabilidad |Φn(x)|2 dx. En general, todo valorx ∈ [−a

2 ,a2 ] es posible y la posicion x no esta cuantizada. El valor esperado

es

〈x〉 =

∫ a/2

−a/2|Φ(x)|2x dx = 0

por paridad, ya que |Φ(x)|2 es siempre par y el producto x|Φ(x)|2 es impar.Por el tipo de confinamiento, esperamos que la dispersion tıpica de las me-didas de posicion sea de orden a. Para calcularla, hallamos el valor esperadode x2. Para estados con n impar,

〈x2〉 =

∫ a/2

−a/2|Φn(x)|2x2 dx = 4a2

∫ 1/2

0cos2(nu)u2du =

a2

12

(1− 6

π2n2

).

El calculo para n par reemplaza el coseno por un seno, pero da el mismoresultado, de modo que la dispersion en medidas de posicion es

σx =√〈x2〉 − 〈x〉2 =

a√12

(1− 6

π2n2

)1/2

<a

3.

La dispersion σx varıa entre un mınimo (para n = 1) de ≈ 0,181 a y unmaximo (para n 1) de a/

√12 ≈ 0,289 a.

23Esta funcion de dos argumentos enteros se conoce como la funcion delta de Kroneckery es un an;alogo discreto de la Delta de Dirac.

65


Medidas de la cantidad de movimiento

En un estado estacionario, la energıa de la partıcula En = ~2k2n/2m

esta bien definida. Sin embargo, la cantidad de movimiento (o velocidad)puede tomar diferentes valores. El valor esperado de una serie de medidasde cantidad de movimiento se calcula directamente como

〈p〉 = −i~∫ a/2

−a/2Φ∗n

∂Φn

∂xdx = 0.

La integral es nula por paridad. Para cualquier valor de n el integrando esun producto de un seno (impar) por un coseno (par), que es siempre unafuncion impar de x.

Para tener la distribucion de probabilidad de una medida de p = ~k,es necesario realizar la transformada de Fourier de la funcion de onda, talcomo se muestra24 en [11],

gn(k) =1√2π

∫ ∞−∞

dx e−ikxΦn(x)

=1√πa

∫ a/2

−a/2dx e−ikx

cos(knx)sin(knx)

=

1

2√πa

∫ a/2

−a/2dx

e−i(k−kn)x + e−i(k+kn)x

−i[e−i(k−kn)x − e−i(k+kn)x

] donde las expresiones superiores corresponden a n par y las inferiores a nimpar25. Las exponenciales complejas son una suma de senos y cosenos. Lossenos no contribuyen por ser funciones impares, de modo que para n impar,

gn(k) =1√πa

∫ a/2

0dx cos [(k − kn)x] + cos [(k + kn)x]

y para n par,

gn(k) =−i√πa

∫ a/2

0dx cos [(k − kn)x]− cos [(k + kn)x] .

Estas son integrales elementales, por lo que se obtiene la distribucion deprobabilidad para medidas de cantidad de movimiento con valor ~k,

|gn(k)|2 =1

πa

[sin [(k − kn)a/2]

k − kn± sin [(k + kn)a/2]

k + kn

]2

(2.54)

donde el signo superior es para n impar y el inferior para n par. Esta dis-tribucion presenta picos en p = ±~kn, que son los valores mas probables de

24Agradecemos al Prof. A. Suarez por indicarnos esta referencia.25Se ha usado las relaciones 2i sin θ = eiθ − e−iθ y 2 cos θ = eiθ + e−iθ.

66


Figura 2.16: Densidad de probabilidad de medir la cantidad de movimeinto ~k en funcionde ka/2. Se muestran los primeros estados pares (n = 1, 3) [Izq.] e impares (n = 2, 4) [Der.].

p. Pero se pueden observar otros valores. La densidad de probabilidad paralos primeros estados estacionarios se representa graficamente en la Fig. 2.16.En el lımite a→∞ de un pozo muy ancho, la distribucion de probabilidadse corresponde con la de una partıcula libre en un estado de superposicionde dos ondas planas e±ikx, es decir dos funciones delta de Dirac,

lıma→∞

g(k) =1√πa

[δ(k − kn)± δ(k + kn)]

centradas en k = ±kn. Solo en este lımite es que la cantidad de movimientopuede tomar los dos valores p = ±~kn consistentes con la energıa En = ~2k2

n

de los estados estacionarios.

En suma:

i) Los estados estacionarios con n impar tienen funciones pares. Los es-tados estacionarios con n par, tienen funciones impares. La paridaddefinida de las funciones facilita la evaluacion de varias integrales y lamisma es consecuencia de que el potencial es una funcion par de x.

ii) La menor energıa posible es E1 = ~2π2/2ma2. La partıcula no puedeestar quieta en el pozo.

iii) La funcion de onda del estado estacionario n tiene n− 1 nodos (omi-tiendo los de los extremos en x = ±a/2. La partıcula no puede serencontrada nunca en estos puntos (Fig. 2.15).

iv) Si bien la energıa esta bien definida en un estado estacionario, el re-sultado de una medida de cantidad de movimiento es incierto y existeuna distribucion de probabilidad |g(k)|2.

67


2.6.2. El Pozo finito

El pozo finito es una aproximacion a diversos problemas reales. Por ejem-plo, puede describir el confinamiento de los neutrones en el nucleo debido ala interaccion fuerte o en fısica del estado solido (en este contexto se les deno-mina puntos cuanticos o quantum dots), donde se usan para describir diodoslaser, transistores de alta movilidad de electrones (HEMT) o fotodetectoresinfrarrojos, entre otras aplicaciones.

Figura 2.17: Pozo de potencial de profundidad V0. Con E < 0 la partıcula esta enestados confinados. El caso E > 0 corresponde a estados no confinados y se trata por losmetodos discutidos en la seccion 2.5.2.

En esta seccion obtendremos los niveles de energıa de una partıcula con-finada en un pozo de profundidad finita −V0. Una vez mas, veremos comoel confinamiento espacial de una partıcula impone un espectro discreto deenergıa de los estados estacionarios. El potencial considerado se muestra enla Fig. 2.17, donde supondremos por ahora que la energıa de la partıcula esE < 0, de modo que clasicamente estarıa confinada a la region x ∈ [0, a].Las energıas E > 0 corresponden a estados no confinados que forman uncontınuo (todos los valores de E > 0 son posibles).

La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, Ec. (2.17), paraeste problema se reduce a

Φ′′ − γ2Φ = 0 para x < 0 y x > a,

Φ′′ + k2Φ = 0 para x ∈ [0, a],

donde las constantes γ y k (un numero de onda) son (−V0 ≤ E < 0),

γ ≡√−2mE

~2(2.55)

k ≡√

2m

~2(E + V0). (2.56)

Las soluciones en las regiones clasicamente prohibidas, x < 0 y x > a, sonexponenciales reales. Dentro del pozo, la funcion de onda es una oscilacion

68


Figura 2.18: Esquema que muestra la densidad de probabilidad de encontrar a la partıcu-la cuando E < 0 (estado confinado). Observe que hay una probabilidad P > 0 de hallarlaen la regiones clasicamente prohibidas (x > a y x < 0). La extension caracterıstica deestas regiones es 1/γ = ~/

√−2mE.

con numero de onda k. Las soluciones normalizables son de la forma

Φ(x) = Aeγx x < 0

Φ(x) = Beikx + Ce−ikx x ∈ [0, a]

Φ(x) = De−γx x > a.

Las restricciones a las posibles energıas con que la partıcula puede existirdentro del pozo aparecen por las condiciones de continuidad.

Imponiendo la continuidad de la funcion Φ(x) y de su derivada en enx = 0 y x = a, obtenemos un sistema homogeneo de (4 × 4) ecuacioneslineales

A = B + C

γA = ik(B − C)

Beika + Ce−ika = De−γa

ik(Beika − Ce−ika

)= −γDe−γa. (2.57)

El sistema admite solucion no trivial solo si su determinante es nulo, demodo que imponemos∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 0γ −ik ik 00 eika e−ika −e−γa0 ikeika −ike−ika γe−γa

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (2.58)

Desarrollando el determinante, esta condicion se traduce en

(γ + ik)2eika = (γ − ik)2e−ika. (2.59)

69


Al radicar la ec. (2.59) esto da orıgen a dos condiciones

(γ + ik)eika/2 = ±(γ − ik)e−ika/2

que se pueden expresar como26

tan(ka/2) = −k/γ (2.60)

tan(ka/2) = γ/k. (2.61)

Las ecs. (2.60) y (2.61) son incompatibles entre si y dan orıgen a dos fa-milias de soluciones. Ambas son ecuaciones trascendentes y requieren unasolucion numerica. Graficamente, se puede tener una idea de la naturalezade sus soluciones. Definimos la variable auxiliar u ≡ ka/2 y, definiendo laconstante adimensionada Γ ≡

√2ma2V0/~2 (la opacidad de la barrera en

otro contexto), se tiene que

Γ2 = (ka)2 + (γa)2 =2ma2V0

~2. (2.62)

donde se ha usado las ecs. (2.55) y (2.56).Se buscan los puntos de corte de la funcion y0(u) ≡ tanu con las funcio-

nes

y1(u) ≡ −k/γ = − 2u√Γ2 − 4u2

(2.63)

y2(u) ≡ γ/k =

√Γ2 − 4u2

2u. (2.64)

Estas funciones se grafican en la Fig. 2.19. Las soluciones estan acotadassuperiormente por ka < Γ, de modo que hay un numero finito de ellas. Esfacil ver que el numero de soluciones N acota el valor de Γ segun

(N − 1)π < Γ ≤ Nπ. (2.65)

Observe que siempre existe al menos una solucion27. El primer nivel deenergıa es E1 > −V0.

Una vez determinados los posibles valores de u se obtienen los niveles deenergıa −V0 < En < 0 de los estados estacionarios de la partıcula en el pozo.El sistema (2.57) puede ser resuelto para cada uno de estos valores y, usandola condicion de normalizacion

∫∞−∞ |Φ(x)|2 dx = 1, se pueden determinar

las constantes A,B,C y D para cada energıa. El resultado son funciones

26Recordando que tan(u) = sinucosu

= −i eiu−e−iu

eiu+e−iu .27La solucion u = k = 0 corresponde al caso E = −V0 y es la solucion trivial A =

B = C = D = 0, sin significado fısico. Como en el pozo infinito, encontramos que lapartıcula no puede existir con energıa igual al “piso” del potencial, ya que en ese casotendrıamos confinamiento espacial con la partıcula en reposo, lo que viola el Principio deIncertidumbre.

70


Figura 2.19: Resolucion grafica de las ecs. (2.60) y (2.61). Los puntos indican las solu-ciones para el caso particular Γ = 15 en el cual hay cinco soluciones.

similares a las mostradas en la Fig. 2.20. Observe que siempre hay una parteexponencial de la funcion de onda en la region clasicamente prohibida. Estaparte de la funcion de onda tiende a cero si el confinamiento es estricto, esdecir en el lımite V0 →∞.

En el lımite de confinamiento estricto, V0 → ∞, tenemos Γ → ∞ yel numero de niveles de energıa ya no esta acotado, hay infinitos nivelesposibles (aunque siguen siendo niveles discretos y no cualquier energıa esposible). En este lımite, las condiciones (2.60) y (2.60) se convierten en

tan(ka/2)→

0 si n impar∞ si n par

de modo que la condicion sobre la energıa es kna = nπ para n = 1, 2, 3, . . .igual que en el pozo infinito. Los niveles de energıa son (a menos de laconstante V0) los del pozo infinito, Ec. (2.50), en este caso.

Solucion utilizando la simetrıa de paridad

El pasaje de la Ec. (2.58) a la Ec. (2.59) implica el desarrollo de undeterminante de una matriz de dimension 4 y esta cuenta es trabajosa. Sicentramos el potencial en x = 0 como se indica en la Fig. 2.21, podemosaprovechar la simetrıa de paridad para resolver el problema con mucho me-nos trabajo.

71


Figura 2.20: El esquema muestra los tres primeros estados estacionarios de un pozofinito de potencial (Derecha), comparados con los correspondientes a un pozo infinito(Izquierda). Observe en el primer caso, la penetracion de la funcion de onda en la regionclasicamente prohibida x < 0 y x > a.

Figura 2.21: Pozo de potencial centrado en x = 0 para aprovechar la simetrıa de paridad.

72


Sabemos que ahora los estados estacionarios seran funciones de paridaddefinida. Buscando por separado los estados pares y los impares, se reduceel problema a dimension 2x2, como veremos.

Distinguimos tres regiones segun se muestra en el Cuadro 2.1 y elegimossoluciones acotadas con la paridad requerida. Ahora, bastara imponer lascondiciones de continuidad en uno solo de los puntos x = ±a/2 porque lassoluciones cumplen Φ(±x) = ±Φ(x).

Sol. par Sol impar region

1) Φp(x) = Aeγx Φi(x) = Ceγx x ≤ a/22) Φp(x) = B cos(kx) Φi(x) = D sin(kx) |x| < a/23) Φp(x) = Ae−γx Φi(x) = −Ce−γx x ≥ a/2

Cuadro 2.1: Soluciones pares, Φp(−x) = Φp(x), e impares, Φi(−x) = −Φi(x),para los estados estacionarios del pozo finito.

Las condiciones de continuidad de Φ(x) y su derivada en x = a/2 resultanen

B cos(ka/2) = Ae−γa/2

−Bk sin(ka/2) = −γAe−γa/2

para las soluciones pares y en

D sin(ka/2) = −Ce−γa/2

Dk cos(ka/2) = γCe−γa/2

para las impares. Estas ecuaciones implican una relacion entre las cons-tantes y por tanto, limitan los valores posibles de la energıa para estadosestacionarios en el pozo de potencial.

En ambos casos podemos expresar esto como una condicion sobre latangente tan(ka/2). Definiendo u = ka/2 y usando la opacidad Γ, definidaen la Ec. (2.62), estas condiciones se expresan como

tan(u) =

yp(u) = γa

ka =√

Γ2−4u2

2u estados pares

yi(u) = −kaγa = − 2u√

Γ2−4u2estados impares.

(2.66)

Recuperamos por tanto las condiciones representadas en las Ecs. (2.60) y(2.61), pero con un costo algebraico bastante menor. Observe que las funcio-nes que representan las soluciones son diferentes en ambos casos (despues detodo hemos desplazo el potencial en el eje Ox), pero es claro que la densidadde probabilidad y otros observables fısicos tendran los mismos valores.

73

Capıtulo 3

Formalismo

Todas las cualidades del atomo de la fısica moderna, que solopuede simbolizarse mediante una ecuacion en derivadas parcialesen un espacio abstracto multidimensional, son inferidas; no se lepuede atribuir directamente propiedad material alguna. Ası pues,cualquier representacion suya que pueda crear nuestra imagina-cion es intrınsecamente deficiente; la comprension del mundoatomico de ese modo primario y sensorial... es imposible.Werner Heisemberg

Hemos visto hasta ahora algunos ejemplos de como trabajar con el as-pecto ondulatorio de la materia utilizando ecuaciones diferenciales comopropuso Schodinger en 1926, con enfasis en describir los estados estaciona-rios. Comenzamos describiendo los estados genericos en un caso simple (elpozo infinito de potencial), para mostrar que para describir estados gene-rales necesitaremos herramientas mas potentes. Tambien en 1926, W. Hei-semberg propone una teorıa matricial como alternativa para describir losestados cuanticos. Rapidamente quedo claro que ambas formulaciones de laMecanica Cuantica son equivalentes, pero la formulacion de Schrodinger sebasa en la representacion espacial de las funciones de onda, en tanto la deHeisemberg es mas general, permitiendo representar estados cuanticos sinrelacion con el espacio tridimensional1. La teorıa de Heisemberg es una for-mulacion mas general, elegante y compacta de la Mecanica Cuantica y es ellenguaje preferido para describir los sistemas cuanticos. La misma se apoyafuertemente en resultados de algebra lineal para espacios vectoriales, por loque daremos un resumen de estos resultados para introducir la notacion yconceptos fundamentales. Luego presentaremos la teorıa cuantica en la for-mulacion de Heisemberg y obtendremos algunos resultados generales, comoel Principio de Incertidumbre generalizado.

1Como por ejemplo, el spin de los electrones, o el isospin de los nucleones entre otraspropiedades.

74

3.1. Espacios Lineales 3. Formalismo

3.1. Espacios Lineales

Los estados cuanticos son vectores pertenecientes a espacios vectorialeslineales. El concepto es familiar a quienes estudian y trabajan con fısica, yaque deben manejar vectores en el espacio tridimensional usual. El algebralineal formaliza el estudio de estos espacios familiares y lo extiende a otrassituaciones, en especial la que nos interesa aquı: pasar de tres a N dimen-siones y pasar de constantes reales a constantes complejas. En MecanicaCuantica, trabajeremos sobre un espacio vectorial N-dimensional llamadoespacio de Hilbert2, al cual pertenecen los estados cuanticos. En esta sub-seccion damos algunos elementos basicos del lenguaje y notacion utilizadosen este contexto.

3.1.1. Vectores de N componentes

Un espacio vectorial lineal E consiste en un conjunto de vectores3

|α〉, |β〉, |γ〉 . . . y un conjunto de escalares complejos (a, b, c . . .) que es ce-rrado4 bajo dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicacion por unescalar.

Suma de vectores: la suma de dos vectores es otro vector en E y esconmutativa, |α〉 + |β〉 = |β〉 + |α〉. Existe el vector nulo |0〉 tal que|0〉 + |α〉 = |α〉. Es usual, en este caso, omitir el sımbolo de vector yreferirse al vector nulo por 0. Existe tambien el inverso en la suma (uopuesto), |α〉, tal que |α〉+ |α〉 = 0.

Multiplicacion por un escalar: esta operacion es distributiva conrespecto a la suma vectorial, a(|α〉+|β〉) = a|α〉+a|β〉, para a complejo.Tambien es distributiva con respecto a la suma escalar, (a + b)|α〉 =a|α〉+ b|α〉. Finalmente, es asociativa con respecto a la multiplicacionescalar, a(b|α〉) = (ab)|α〉.

Combinacion lineal: una combinacion lineal de los vectores|α〉, |β〉, |γ〉 . . . es la expresion

a|α〉+ b|β〉+ c|γ〉 . . .

y es un vector de E . Un vector |λ〉 es linealmente independiente delconjunto |α〉, |β〉, |γ〉 . . ., si no es posible escribirlo como una combi-nacion lineal de estos vectores. Un conjunto de vectores es linealmenteindependiente (l.i), si cada uno de ellos es l.i. de los demas.

2Tecnicamente, las funciones f(x) para las cuales∫ ba|f(x)|2dx < ∞ (es decir, norma-

lizables en cierto intervalo [a, b]) pertenecen a un espacio de Hilbert.3Puede pensarse, por el momento, en el sımbolo |α〉 como una notacion alternativa a

~α, es decir indica que hablamos de un vector en cierto espacio lineal E .4Cerrado significa en este contexto que el resultado de estas operaciones sobre vectores

del espacio da otro vector del espacio.

75


Base: un conjunto de vectores l.i. |e1〉, |e2〉, |e3〉 . . . , |eN 〉 es una basedel espacio E (o genera el espacio) si cualquier vector |v〉 del espaciose puede expresar como una combinacion lineal de este conjunto,

|v〉 =N∑n=1

cn|en〉. (3.1)

La cantidad de vectores l.i. en la base es la dimension N del espacio5.Otro nombre para este conjunto de vectores l.i. es conjunto completo,en el sentido en que generan todos los vectores del espacio E .

Componentes: el conjunto de escalares (c1, c2, . . . cN ) son las compo-nentes del vector |v〉 en la base |en〉. Este vector es representado enesta base en forma unica por el conjunto ordenado de sus componentes,

|v〉 ↔ (c1, c2, . . . cN ).

Se puede utilizar las componentes en lugar del vector para cualquieroperacion. La unica limitacion es que al usar componentes, estamoslimitados a una base concreta. El mismo vector tiene componentesdiferentes en bases diferentes.

Producto escalar: el producto escalar entre dos vectores del espacio,|a〉 = (a1, a2, . . . , aN ) y |b〉 = (b1, b2, . . . , bN ), se define en terminos desus componentes por

〈a|b〉 =

N∑i=1

a∗i bi. (3.2)

Observe que las componentes del primer vector aparecen conjugadas.De esta definicion se desprende que el producto escalar no es, en ge-neral, conmutativo: 〈a|b〉∗ = 〈b|a〉. La excepcion es cuando el mismoes real. Dos vectores |a〉 y |b〉 son ortogonales si su producto escalar esnulo. La norma de un vector |a〉 se define como la raız del productoescalar consigo mismo,

||a|| =√〈a|a〉 =

(N∑i=1

|ai|2)1/2

.

5Los espacios lineales de dimension infinita, que presentan ciertas peculiaridades ma-tematicas. En fısica, podemos limitarnos a espacios de dimension finita sin problema.

76


Figura 3.1: Espacio vectorial lineal de dimension 3. El vector ~r es una combinacion linealde la base cartesiana, ~r =

∑3i=1 ciei, y los reales (c1, c2, c3 son las coordenadas de ~r en

esta base.

Ejemplo 3

En el espacio usual en tres dimensiones, los vectores

unitarios e1, e2, e3 son linealmente independientes entre

si (por ejemplo, no es posible expresar e3 como una

combinacion lineal de e1 y e2). Los vectores de la forma

ae1 + be2 estan en el plano (x, y).Un vector ~r asociado a un punto cualquiera del espacio se

puede expresar como la combinacion lineal

~r = c1e1 + c2e2 + c3e3,

como se indica en la Fig. 3.1. Los reales ci son las

coordenadas del punto en esta base. Los versores (e1, e2, e3)generan todos los vectores del espacio tridimensional y son

por tanto una base del mismo. La dimension de este espacio

es 3.

El producto escalar entre dos vectores de componentes

reales ~u = (a1, a2, a3) y ~v = (b1, b2, b3) es simplemente

~u · ~v = a1b1 + a2b2 + a3b3 = uv cos θ

donde u =√a2

1 + a22 + a2

3 es la norma (o modulo) de ~u, v es la

norma de ~v y θ es el angulo entre ambos vectores, como se

indica en la Fig. 3.2

3.1.2. Notacion de Dirac

En este punto es conveniente introducir una notacion mas compactapara realizar los calculos. Esta notacion se la debemos a P.A.M. Dirac y

77


Figura 3.2: (a) Dos vectores en el espacio cartesiano real de dimension 3. Los vectoresdefinen un plano y θ es el angulo entre ellos, medido en este plano. (b) El producto escalarentre dos vectores puede interpretarse como proporcional a la proyeccion de uno sobre elotro.

se ha impuesto como un lenguaje muy potente para trabajar con sistemaslineales en general y sistemas cuanticos en particular. En este punto paranosotros, sera simplemente una abreviatura de las integrales que involucran ala funcion de onda en la representacion de posicion. En secciones posteriores,iremos dotando a esta notacion de su verdadero significado, que trasciendea una representacion particular.

Para referirnos a un estado cuantico con una funcion de estado Ψ(x, t),es decir en la representacion de posicion, usamos

|Ψ〉 ↔ Ψ(x, t)

y nos referimos al objeto de la izquierda como un “ket” o vector en el espaciode Hilbert, que representa un estado de un sistema cuantico. Como x puedeen general tomar un contınuo de valores, la representacion de posicion esun ejemplo de representacion contınua, donde las sumas asociadas a unarepresentacion discreta se transforman en integrales.

Producto Escalar

El producto escalar entre dos kets, |Φ〉 y |Ψ〉, es un numero (complejoen general) definido por

〈Φ|Ψ〉 ≡∫ b

aΦ∗(x)Ψ(x) dx. (3.3)

en cierto intervalo [a, b]. Observe la similitud con la definicion (3.2), queexpresa el producto escalar en terminos de componentes discretas. Tambiense cumple, a partir de la defincion anterior, que conjugar un producto escalarequivale a cambiar el orden de los factores,

〈Φ|Ψ〉∗ = 〈Ψ|Φ〉. (3.4)

78


A cada ket |Φ〉 le corresponde un “bra” 〈Φ|. El bra no es un vector delespacio de Hilbert, sino que es un elemento asociado a la regla del productoescalar. Cuando aplicamos un “bra” por la izquierda sobre un ket |Ψ〉 obte-nemos un numero complejo a traves de la regla del producto escalar. Por lotanto, en la representacion de posicion, al bra le corresponde la operacion6

〈Φ| ↔∫

dxΦ∗(x, t)× . . .

de modo que

〈Φ|Ψ〉 =

[∫dxΦ∗(x)

]·Ψ(x) =

∫Φ∗(x)Ψ(x) dx.

El producto escalar es un braket, lo que justifica los nombres de bra y deket. El producto escalar 〈Φ|Ψ〉 puede entenderse como proporcional a laproyeccion de un estado sobre el otro, o una medida de que tan proximosentre si estan dos estados dados, en el sentido indicado en la Fig. 3.2.

El producto escalar por si misma es la norma (al cuadrado) del estado|Φ〉

〈Φ|Φ〉 =

∫ b

a|Φ(x)|2 dx

y sera uno si |Φ〉 esta normalizado.Dos estados |Φn〉 y |Φm〉 son ortogonales, si su producto escalar es nulo,

es decir 〈Φn|Φm〉 = 0 para n 6= m. Si ademas estan normalizados, se cumple

〈Φn|Φm〉 = δnm (3.5)

donde δnm = 1 si n = m y δnm = 0 si n 6= m (esta funcion se conoce comodelta de Kronecker). En este caso, decimos que los estados |Φn〉 forman unconjunto ortonormal.

Si cualquier vector del espacio, |Ψ〉, puede ser representado como unacombinacion lineal de un conjunto de vectores

|Ψ〉 =∑n

cn|Φn〉

decimos que el conjunto |Φn〉 es un conjunto completo. Si ademas, el con-junto es ortonormal7 podemos calcular los coeficientes a partir del productoescalar

cn = 〈Φn|Ψ〉

en este sentido, los cn son las “coordenadas” del estado |Ψ〉 en la represen-tacion de estados |Φn〉 (que son una base del espacio).

6Desde el punto de vista matematico, esta operacion mapea un vector en un escalar, yse conoce como un funcional lineal.

7Este punto no es esencial, ya que existen metodos generales para transformar unconjunto de vectores en ortonormal, como el metodo de Gram-Schmidt.

79


Operadores Hermıticos y Observables

En Mecanica Cuantica las magnitudes observables estan asociadas a cier-to tipo8 de operadores lineales. La accion de un operador A sobre un estado(ket) del espacio, nos da otro estado, que indicamos por A|Ψ〉 y que esta enel mismo espacio lineal.

El valor esperado de un operador A asociado a un observable (el pro-medio de un gran numero de medidas de la magnitud A) sobre el estado|Ψ〉 es el producto escalar del estado con su transformado bajo la accion deloperador A, es decir

〈A〉 = 〈Ψ|AΨ〉 ≡ 〈Ψ|A|Ψ〉 ↔∫

Ψ∗(x)AΨ(x) dx. (3.6)

Por ejemplo, para un estado estacionario |Φn〉 normalizado, se cumpleque H|Φn〉 = En|Φn〉 y el valor esperado de H es

〈H〉 = 〈Φn|H|Φn〉 = En〈Φn|Φn〉 = En.

El valor esperado de un observable es un promedio de medidas fısicas ydebe ser real. Esto impone una restriccion sobre los operadores que puedenser usados para describir observables fısicos. Como el producto escalar es elproducto del estado de partida |Ψ〉 con el estado de llegada A|Ψ〉 y el mismodebe ser real, resulta que

〈Ψ|AΨ〉∗ = 〈Ψ|AΨ〉.

Por otro lado, conjugar un producto escalar es invertir sus factores de modoque

〈Ψ|AΨ〉∗ = 〈AΨ|Ψ〉

y A debe cumplir la condicion

〈Ψ|AΨ〉 = 〈AΨ|Ψ〉

para cualquier estado |Ψ〉 del espacio. Es decir A actua indistintamente sobreel ket o sobre el bra asociado. Operadores con esta propiedad se denominanoperadores hermıticos y son los que pueden usarse para describir observablesfısicos. Se puede mostrar que la Ec. (3.7) implica que

〈Φ|AΨ〉 = 〈AΦ|Ψ〉, A hermıtico (3.7)

para cualquier par de estados (ver por ejemplo, el Ej. 3.3 del texto [10]).

8Los operadores hermıticos, que como veremos tienen autovalores reales.

80


Ejemplo 4

a) Es el operador posicion X hermıtico en la recta real ?

Evaluamos para cierto f(x)

〈f |Xf〉 =

∫ ∞−∞

f∗(x) [xf(x)] dx =

∫ ∞−∞

[xf∗(x)] f(x) dx = 〈Xf |f〉

la identidad es trivial porque X actua simplemente como

un factor multiplicativo real (x) en la representacion de

posicion.

b) Es el operador cantidad de movimiento p = −i~ ddx

hermıtico en la recta real ?

En este caso, evaluamos

〈f |pf〉 = −i~∫ ∞−∞

f∗(x)

[d

dxf(x)

]dx = i~

∫ ∞−∞

[d

dxf∗(x)

]f(x) dx

donde usamos la integracion por partes∫ ∞−∞

dxu(x)v′(x) +

∫ ∞−∞

dxu′(x)v(x) = [uv]∞−∞ = 0

teniendo en cuenta que las funciones f(x) son integrables y

deben tender a cero con x→ ±∞. Por otro lado,

〈pf |f〉 =

∫ ∞−∞

[−i~ d

dxf(x)

]∗f(x) dx = i~

∫ ∞−∞

[d

dxf∗(x)

]f(x) dx

por lo cual resulta que p es un operador hermıtico.

Adjunto conjugado

Un operador cualquiera A, actua en un ket |Ψ〉 y lo transforma en |Ψ′〉.Esta correspondencia se refleja a nivel de los bras correspondientes, lo cualpermite definir un operador asociado, A†,

A|Ψ〉 = |Ψ′〉 ↔ 〈Ψ′| = 〈Ψ|A†

Observar que el operador adjunto actua sobre un bra a la izquierda. A esteoperador A† se le denomina el conjugado hermıtico9 de A.

9La conjugacion hermıtica es el analogo para operadores de la conjugacion complejapara escalares.

81


La notacion de Dirac tiene algunas sutilezas: es lo mismo poner un ope-rador que actua sobre un ket dentro o fuera del ket,

|A〉 = A|Ψ〉

y no hay ambiguedad, es el ket asociado al resultado de aplicar A al ket |Ψ〉.Por otro lado, si nos referimos a la accion en el espacio dual,

〈A| = 〈Ψ|A†

es decir, al “sacar” un operador fuera de un bra, debemos tomar el conjugadohermıtico.

Al conjugar un producto escalar, debemos reemplazar A por su conju-gado hermıtico,

〈Ψ|A|Φ〉∗ = 〈Φ|A†|Ψ〉.

Algunas propieades basicas del adjunto conjugado10 [12]:

(A†)† = A

(λA)† = λ∗A† donde λ es un complejo

(A+ B)† = A† + B†

(AB)† = B†A†

La ultima propiedad merece un comentario, porque al tomar el adjuntode un producto se cambia el orden de los operadores. Para ver porque estoes ası, definimos |Φ〉 = AB|Ψ〉 = A|χ〉 con |χ〉 = B|Ψ〉. Ahora, usando ladefinicion de operador adjunto,

〈Φ| = 〈Ψ|(AB)† = 〈χ|A† = 〈Ψ|B†A†.

es decir que, (AB)† = B†A†.Finalmente, para un operador hermıtico se cumple A = A† (o sea,

hermıtico es sinonimo de autoadjunto). Esto puede verse usando la pro-piedad (A†)† = A como sigue.

〈A†Φ| = 〈Φ|(A†)† = 〈Φ|A

Aplicando el termino de la izquierda sobre un ket |Ψ〉 cualquiera tenemos

〈A†Φ|Ψ〉.

Por otro lado, el termino de la derecha resulta en

〈Φ|AΨ〉10La demostracion es inmediata a partir de la definicion y queda como ejercicio.

82


y ambos son identicos por lo que se cumple11

〈Φ|AΨ〉 = 〈A†Φ|Ψ〉. (3.8)

A partir de esta relacion y la definicion de un operador hermıtico, es evidenteque A = A†.

Ejemplo 5

a) ¿Cual es el adjunto conjugado del operador cantidad de

movimiento?

Usando la expresion P = −i~ ddx y la Ec. (3.8) resulta,

integrando por partes (asumiendo funciones integrables) que

〈P †Φ|Ψ〉 = 〈Φ|PΨ〉 = −i~∫dxΦ∗(x)

[d

dxΨ(x)

]= i~

∫dx

[d

dxΦ∗(x)

]Ψ(x) =

∫dx

[−i~ d

dxΦ(x)

]∗Ψ(x)

por lo cual

P † = −i~ ddx

= P

y resulta que P es hermıtico (menos mal).

b) ¿Cual es el adjunto conjugado del operador ddx ? Usando

la primera de las propiedades mencionadas, tenemos que

(λA)† = λ∗A†, por lo tanto

P † = i~(d

dx

)†= −i~ d

dx

a partir de lo cual, deducimos que(d

dx

)†= − d

dx

y esta derivada no es un operador hermıtico (no puede

asociarse a un observable).

Problema de autovalores

Vemos que, para un operador dado A, existen estados para los cuales laaccion del operador es especialmente simple, y se reduce a una multiplicacion

11A veces se toma esta relacion como definicion de operador adjunto.

83


por un escalar,

A|Φn〉 = an|Φn〉. (3.9)

Este es un ejemplo de una ecuacion de autovalores con espectro discreto.El ket |Φn〉 es un vector propio (o autovector) del operador A y el escalaran es el valor propio (o autovalor) correspondiente. El conjunto de auto-valores a1, a2, . . . de un operador se denomina (por razones historicas) elespectro del operador. Estos conjuntos pueden ser discretos o contınuos. Yahemos mencionado que la ecuacion de Schrodinger independiente del tiem-po es una ecuacion de este tipo, H|Φn〉 = En|Φn〉 donde H es el operadorhamiltoniano, los reales En son los niveles de energıa (H tiene un espectrodiscreto si hay confinamiento), y los kets |Φn〉 son los estados estacionarioscorrespondientes. La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo esun problema de autovalores.

Los problemas de autovalores tienen un rol central en MecanicaCuantica porque los posibles resultados de una medida de un ob-servable son los autovalores del operador hermıtico correspondientey, luego de la medida, el sistema estara en el autoestado del operadorconsistente con el resultado de la medida.

3.1.3. Problema de autovalores de operadores hermıticos

Supongamos que A es un operador hermıtico asociado a un observable (esdecir, satisface la condicion (3.7)) y consideramos el problema de autovalores,Ec. (3.9), para este operador. Se demuestran dos resultados importantes:

i) Los autovalores de un operador hermıtico son reales

Suponemos que se cumple A|ϕ〉 = λ|ϕ〉. Si proyectamos esta expresionsobre el ket |ϕ〉,

〈ϕ|Aϕ〉 = λ〈ϕ|ϕ〉

Por ser A hermıtico, Ec. (3.7), puede actuar en el bra indistintamente,

〈Aϕ|ϕ〉 = λ∗〈ϕ|ϕ〉

Por lo tanto, con 〈ϕ|ϕ〉 = 1, resulta λ = λ∗ y los autovalores de un operadorhermıtico son reales. Esta propiedad es la que permite asociar un operadorhermıtico a un observable fısico, ya que los resultados de las medidas sonsus autovalores y estos deben ser reales.

84

3.2. Pozo infinito: estado general 3. Formalismo

ii) Autoestados de diferentes autovalores son ortogonales entre si.

Supongamos que se tienen dos ecuaciones de autovalores para el mismooperador hermıtico,

A|ϕ〉 = λ|ϕ〉A|χ〉 = µ|χ〉

donde los autovalores (reales) son diferentes entre si: λ 6= µ. Mostraremosque los autoestados correspondientes deben ser ortogonales entre si.

Para ello, proyectamos la primer ecuacion sobre el ket |χ〉 y la segundasobre el |ϕ〉 de modo de que aparezca el producto escalar 〈χ|ϕ〉 en ambasecuaciones,

〈χ|Aϕ〉 = λ〈χ|ϕ〉〈ϕ|Aχ〉 = µ〈ϕ|χ〉

Si conjugamos la segunda, teniendo en cuenta que µ es real, obtenemos

〈Aχ|ϕ〉 = µ〈χ|ϕ〉.

Restandola de la primera resulta,

〈χ|Aϕ〉 − 〈Aχ|ϕ〉 = (λ− µ)〈χ|ϕ〉 = 0,

donde el primer termino de la izquierda es nulo por ser A hermıtico. Comolos autovalores son diferentes, resulta

〈χ|ϕ〉 = 0

y los autoestados correspondientes son ortogonales entre si.Estos resultados son importantes, porque muestran que el conjunto de

autovectores de un operador hermıtico es un conjunto ortonormal (una vezque los estados estan normalizados). De hecho, forman un conjunto completo,ya que cualquier vector del espacio puede ser representado como combinacionlineal de autovectores de un operador hermıtico12. Por lo tanto, asumimosque este conjunto de estados configuran una base (o representacion) en lacual los resultados de una medida del observable son especialmente sencillosde describir.

3.2. Pozo infinito: estado general

En la Seccion 2.6.1 consideramos los estados estacionarios de una partıcu-la de masa m en un pozo infinito de potencial de ancho a, centrado en x = 0.

12Esto se acepta en forma axiomatica, porque que la demostracion solo rige para espaciosde dimension finita. No entraremos en este detalle matematico en estas notas.

85


A modo de ejemplo, consideramos ahora un estado generico de una partıculaeste pozo infinito, utilizando la notacion de Dirac.

Recordamos que los estados estacionarios del pozo infinito son de laforma (2.51),

Ψn(x, t) = Φn(x) e−iωnt

con ωn = En/~ = ~π2n2/2ma2 para n entero positivo y las funciones

Φn(x) =

√2

a

cos(knx) n = 1,3,5. . .sin(knx) n = 2,4,6. . .

(3.10)

estan normalizas a 1. Los numeros de onda son kn = nπ/a, donde a es elancho del pozo. Estas funciones tienen ademas paridad bien definida: si n esimpar, Φn(x) es una funcion par. Si n es par, Φn(x) es una funcion impar.Estos estados satisfacen la ec. de Schrodinger independiente del tiempo,

H|Φn〉 = En|Φn〉 (3.11)

donde H = p2/2m+ V es el operador hamiltoniano. En notacion de Dirac,los estados estacionarios son

|Ψn(t)〉 = e−iωnt|Φn〉.Como vimos, los estados estacionarios conforman un base ortonormal en lacual podemos representar cualquier estado del sistema.

3.2.1. Ortogonalidad de los estados estacionarios

Verificamos que los estados estacionarios del pozo infinito son ortonor-males13 entre si, es decir

〈Ψn|Ψm〉 = 〈Φn|Φm〉 = δnm. (3.12)

El producto escalar entre dos cualesquiera de ellos, Ec. (3.3), resulta

〈Φn|Φm〉 =

∫ ∞−∞

Φ∗n(x)Φm(x) dx. (3.13)

Si n y m tienen la misma paridad (son ambos pares o impares) entonces lasfunciones Φn(x) y Φm(x) tienen la misma paridad y su producto escalar escero, por paridad.

Si n y m tienen diferente paridad, la Ec. (3.13) es la integral (en |x| ≤a/2) de una funcion par (un producto de dos funciones pares o impares),

〈Φn|Φm〉 =2

a

∫ a/2

−a/2dx

cos(knx) cos(kmx)sin(knx) sin(kmx)

= 4

∫ 1/2

0du

cos(nπu) cos(mπu)sin(nπu) sin(mπu)

= 2

[sin [(n−m)π/2]

(n−m)π± sin [(n+m)π/2]

(n+m)π

]= 0

13Es decir, son ortogonales entre si y ademas, tienen norma 1.

86


donde u = x/a y las expresiones de arriba refieren al caso n,m impar, entanto las de abajo refieren a n,m par14.

3.2.2. Solucion general

Una solucion general de la Ec. de Schrodinger es una combinacion linealde estados estacionarios,

|Ψ(t)〉 =∞∑n=1

cn e−iωnt|Φn〉. (3.14)

Es decir, este ket cumple i~ ∂∂t |Ψ(t)〉 = H|Ψ〉.

Normalizacion

La normalizacion de estos estados generales se expresa en terminos deuna condicion sobre los coeficientes cn. Para obtenerla, debemos calcular lanorma (al cuadrado) del ket ketΨ. Comenzamos por expresar el bra asociadocomo15

〈Ψ(t)| =∞∑n=1

c∗n eiωnt〈Φn|.

La norma16 del estado |Ψ〉 es entonces,

〈Ψ|Ψ〉 =

( ∞∑n=1

c∗n eiωnt〈Φn|

)( ∞∑m=1

cm e−iωmt|Φm〉

)=

∑n,m

c∗ncm ei(ωn−ωm)t 〈Φn|Φm〉

=∑n,m

c∗ncm ei(ωn−ωm)t δnm =

∞∑n=1

|cn|2

14Se cumple que sin [(n±m)π/2] = 0 porque n±m es par y (n±m)/2 es entero cuandon,m tienen igual paridad. Las primitivas utilizadas son:∫

cos(au) cos(bu) du =sin[(a− b)u]

2(a− b) +sin[(a+ b)u]

2(a+ b)∫sin(au) sin(bu) du =

sin[(a− b)u]

2(a− b) − sin[(a+ b)u]

2(a+ b).

15Toda expresion que contiene kets puede convertirse en una expresion que contienebras, conjugando los numeros complejos que contenga. Mas adelante veremos como tratara los operadores en este tipo de conversiones.

16En un abuso de lenguaje que es comun, nos referimos a la norma, cuando en realidades la norma al cuadrado. Esto no deberıa generar confusion.

87


donde se ha usado17 la relacion de ortogonalidad de los estados estacionarios,Ec. (3.12). De modo que basta con imponer la condicion

∞∑n=1

|cn|2 = 1 (3.15)

para que el estado general Ec. (3.14) este normalizado. Como veremos, loscoeficientes cn tienen un rol importante en cuanto a determinar el resultadode una medida de la energıa.

Coeficientes cn en terminos de la condicion inicial

Conociendo la forma inicial de la funcion de onda, f(x) = Ψ(x, 0), po-demos calcular los coeficientes complejos cn. en t = 0 el ket generico (3.14)es

|Ψ(t = 0)〉 =∞∑n=1

cn |Φn〉. (3.16)

Aprovechando la ortogonalidad de los estados estacionarios, Ec. (3.12), po-demos “despejar” el coeficiente cm, simplemente proyectando sobre un ketcualquiera |Φm〉, es decir

〈Φm|Ψ(0)〉 =∞∑n=1

cn 〈Φm|Φn〉 = cm.

Por lo tanto, los coeficientes pueden calcularse a partir de

cn = 〈Φn|Ψ(0)〉 =

∫ a/2

−a/2Φ∗n(x)Ψ(x, t = 0) dx =

∫ a/2

−a/2Φ∗n(x)f(x) dx. (3.17)

Esta relacion permite hallar la evolucion de la funcion de onda Ψ(x, t) apartir de su forma inicial f(x), como la proyeccion en representacion deposicion de la Ec. (3.14),

Ψ(x, t) =∞∑n=1

cn e−iωntΦn(x). (3.18)

Medidas de la energıa

Los estados estacionarios satisfacen la Ec. de Schrodinger independientedel tiempo, Ec. (3.11), y la energıa es su autovalor. Por lo tanto, una me-dida de la energıa resultara en E = En con certeza. Sin embargo, en unasuperposicion como (3.18), la energıa ya no tiene un valor definido y una

17Al combinar este tipo de expresiones con sumatorias, debemos tener la precaucion derenombrar los ındices de las sumas para que no se repitan.

88


Figura 3.3: [Ejemplo 6] Funcion Ψ(x, 0) = f(x) que da la forma inicial de la funcion deonda en un pozo infinito entre x = −a/2 y x = a/2.

medida de H resultara en uno de los valores estacionarios18 En, con ciertaprobabilidad.

Como veremos, el promedio (valor esperado) de una serie de medidas es

〈H〉 =∑n

|cn|2En. (3.19)

Como los factores |cn|2 son reales no negativos y suman 1, pueden ser inter-pretados como probabilidades. En este caso, las probabilidades de observarel valor En en una medida de H. De este modo, el valor medio es un pro-medio ponderado de las energıas de los estados estacionarios y los pesos sonlos coeficientes |cn|2, asociados a la proyeccion del estado inicial sobre cadauno de los estados estacionarios.

Para demostrar la ec. (3.19) calculamos el valor esperado de H, usandoel estado generico |Ψ(t)〉 dado por la ec. (3.14),

E = 〈Ψ|H|Ψ〉 =

( ∞∑n=1

c∗n eiωnt〈Φn|

)( ∞∑m=1

cm e−iωmtH|Φm〉

)=

∑n,m

c∗ncm ei(ωn−ωm)t 〈Φn|H|Φm〉

=∑n,m

c∗ncm ei(ωn−ωm)tEmδnm =

∞∑n=1

|cn|2En.

Los detalles de la cuenta son similares a los de la normalizacion que realiza-mos antes, pero se ha usado la Ec. (3.11).

Es importante destacar que esto no significa que podamos observar elvalor E en una medida de la energıa. El resultado de una medida de laenergıa es En, con probabilidad |cn|2. Una serie de medidas de energıa (sobreun ensemble preparado en el mismo estado) tendra un valor medio E.

Ejemplo 6

18Los unicos permitidos por las condiciones de borde del problema.

89


Supongamos, a modo de ejemplo, que la forma inicial de

la funcion de onda en el pozo es como la indicada en la

Figura 6, de modo que la funcion f(x) es de la forma

Ψ(x, 0) = f(x) =

B(x+ a/2) (x ≤ 0)B(a/2− x) (x ≥ 0)

Se pide:

a) Determinar la constante B.

b) Hallar Ψ(x, t).

c) Hallar las probabilidades P1 y P2 de que una medida

de la energıa de la partıcula resulte en E1 y en E2,

respectivamente.

d) Hallar el valor esperado de la energıa.

a) Hallamos la constante B de modo que Ψ(x, 0) este normalizada∫ a/2

−a/2f(x)2 dx = 2B2

∫ a/2

0(a/2− x)2 dx = 2B2 a

3

24= 1

por lo tanto B =√

12a3

.

b) La funcion Ψ(x, t) esta dada por la ec. (3.14) con coeficientes dados porla Ec. (3.17). La funcion f(x) tiene paridad definida (es par). Para n =2, 4, 6 . . . sabemos que los estados estacionarios Φn(x) son funciones impares(la conjugacion no afecta la paridad), por lo que el producto Φn(x)f(x) esimpar y el integral es nula. Entonces,

cn = 0, para = 2, 4, 6 . . .

y con una condicion inicial par solo habra estados estacionarios pares (nimpar) en la funcion de onda.

Para n impar, los coeficientes se calculan a partir de la Ec. (3.17),

cn =

√2

a

∫ a/2

−a/2cos(knx)f(x) dx (n = 1, 3, 5, . . . )

= 2

√2

aB

∫ a/2

0cos(knx)(a/2− x) dx =

4√

6

π2n2.

donde hemos usado que el integrando es par. Observe que los coeficientes sehacen progresivamente menores a medida que aumenta la energıa, tendiendo

90


a cero como ∼ 1/n2. En otras palabras, la probabilidad de encontrar lapartıcula con energıa En cae como 1/n4.

Si hemos hecho bien las cosas, debe cumplirse la relacion de normaliza-cion (3.15), de modo que Ψ(x, t) este normalizada. Chequeamos sumandodirectamente,

∞∑n=1impar

(4√

6

π2n2

)2

=96

π2

∞∑n=1impar

1

n4= 1.

Ya que la suma infinita sobre los numeros impares es precisamente π2/96.El estado Ψ(x, t) se expresa entonces, con kn = nπ/a, como

Ψ(x, t) =4

π2

√12

a

∞∑n=1impar

cos (knx)

n2e−iωnt

donde la suma solo incluye terminos con n impar.

c) De acuerdo a la discusion previa, el resultado de una medida de la energıasera uno de los valores E1, E3, E5, . . . (solo con n impar, estados estadosestacionarios pares). La probabilidad con que obtenemos cada uno de ellosesta dada por |cn|2.

La probabilidad de obtener el estado fundamental, E1, es bastante ele-vada (esto es porque hemos elegido una funcion inicial f(x) bastante similaral estado fundamental, cos(πx/a)),

c21 =

(4√

6

π2

)2

≈ 0,9855

La energıa E3 puede aparecer con probabilidad c23 = c2

1/34 ≈ 0,0122 o en

una de cada 82 medidas aproximadamente. La energıa E5 puede aparecercon probabilidad c2

5 = c21/5

4 ≈ 0,0016 (o aproximadamente unas 16 vecescada 10000 medidas!).

d) Completamos el analisis evaluando el valor esperado de la energıa

E = 〈H〉 =

∞∑n=1impar

|cn|2En =

(4√

6

π2

)2

E1

∞∑n=1impar

1

n2=

(4√

6

π2

)2

E1π2

8=

12

π2E1.

donde la suma vale π2/8. El valor esperado E ≈ 1,216E1 es algo mayorque E1, ya que se incluyen todas las energıas de n impar, con probabilida-des decrecientes. Finalmente, observamos que el valor esperado es solo unpromedio y no coincide con una de las energıas observables.

91


3.2.3. Conjugado Hermıtico

El operador conjugado hermıtico de un operador A se indica por A†. Laoperacion de conjugacion hermıtica sobre operadores (o matrices) es analogaa la conjugacion para los numeros complejos. Se define el conjugado hermıti-co de un operador A como el operador A† que satisface la relacion

〈Φ|A|Ψ〉∗ ≡ 〈Ψ|A†|Φ〉 (3.20)

para cualquier par de kets del espacio.

Para entender esta relacion conviene recordar que refiere a un numerocomplejo, que puede ser conjugado y que el conjugado de un producto escalarinvierte sus factores: 〈u|v〉∗ = 〈v|u〉. Lo que estamos diciendo es que si

|Ψ〉 A−→ |Ψ′〉 = A|Ψ〉

entonces

〈Ψ| A†−→ 〈Ψ′| = 〈Ψ|A†.

Si A lleva un ket |Ψ〉 en otro, A|Ψ〉, entonces A† es el operador que lleva elbra correspondiente, A〈Ψ|, en el correspondiente19 bra 〈Ψ|A†.

3.2.4. Valor esperado de un observable A

Se pueden obtener expresiones generales para los valores esperados deobservables para los cuales no se satisface una ecuacion de autovalores comola Ec. (3.11), por ejemplo, para la posicion y la cantidad de movimiento denuestro estado general dado por la Ec. (3.14).

El valor esperado de cualquier observable A esta dado por

〈A〉 = 〈Ψ|A|Ψ〉 =∑n,m

c∗mcne−iωnmt〈Φm|A|Φn〉 (3.21)

donde ωnm = ωn − ωm = (En − Em)/~ y la expresion clave es el numerocomplejo

〈Φm|A|Φn〉 =

∫ ∞−∞

Φ∗m(x)AΦn(x) dx.

que se conoce como elemento de matriz del operador A, por razones que ve-remos mas adelante. Es evidente que el valor esperado dependera del tiempo,en general, a traves de los factores e−iωnmt.

El valor esperado de una magnitud observable debe ser real, porque es unpromedio de cantidades medidas (reales). Si conjugamos la expresion (3.21)

19Observe que los operadores actuan sobre los kets de izquierda a derecha, pero sobrelos bras lo hacen de derecha a izquierda.

92


obtenemos,

〈A〉∗ = 〈Ψ|A|Ψ〉∗ = 〈Ψ|A†|Ψ〉=

∑n,m

c∗mcne−iωnmt〈Φm|A†|Φn〉

comparando con la Ec. (3.21), vemos que si A† = A, se cumple 〈A〉∗ = 〈A〉y el valor esperado es real.

Los operadores que son invariantes bajo la conjugacion hermıtica, esdecir, que cumplen la condicion

A = A† (3.22)

se denominan operadores hermıticos. Estos operadores son de gran impor-tancia en Mecanica Cuantica, ya que son los que podemos asociar con lasmagnitudes observables.

Medidas de la posicion

El resultado de una serie de medidas de la posicion tendra un valor mediodado por

〈x〉 = 〈Ψ|x|Ψ〉 =∑n,m

impares

c∗mcne−iωnmt〈Φm|x|Φn〉

donde

〈Φm|x|Φn〉 =

∫ ∞−∞

Φ∗m(x)xΦn(x) dx = 0.

La integral es nula porque ambos estados estacionarios tienen igual paridad20

y su producto es una funcion par. Multiplicado por x, que es impar, resultaque el integrando es impar. Por tanto,

〈x〉 = 0.

Intuitivamente, podemos esperar esto: si la funcion de onda tiene paridaddefinida (en este caso, par), la distribucion de probabilidad es una funcionpar y el valor medio en un intervalo simetrico en torno a x = 0 debe ser nulo.Debe tenerse presente que este no es un resultado general, sino que dependede que la condicion inicial f(x) sea una funcion de paridad definida. En esecaso, solo aparecen estados estacionarios con la misma paridad de f(x). Sila funcion f(x) no tiene paridad definida, apareceran estados estacionariosde ambas paridades y habran en general terminos no nulos de la formaxnm = 〈Φm|x|Φn〉. Estos terminos, representan interferencia entre ondas demateria y son responsables de muchos efectos cuanticos.

20Para la condicion inicial elegida cn = 0, si n es par, por lo tanto solo n y m imparescontribuyen a la suma y las funciones son cosenos y tienen igual paridad.

93


Por otro lado, los posibles resultados de una medida de la posicion sonvalores de x con |x| < a/2. La distribucion de probabilidad estara dada porP (x, t) = |Ψ(x, t)|2. Usando la expresion general, Ec. (3.18), restringida eneste caso a n,m impares

P (x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) =∑n,m

impares

cmcne−iωnmt Φm(x)Φn(x)

donde se ha tenido en cuenta que los coeficientes cn y las funciones Φn(x)son en este caso reales. Esta expresion depende del tiempo y presenta efectosde interferencia, pero es una funcion par, P (x, t) = P (−x, t), porque ambosestados estacionarios lo son.

Medidas de la cantidad de movimiento

La situacion con la cantidad de movimiento es similar, salvo por el hechode que el operador correspondiente es una derivada en la representacion deposicion.

〈p〉 = 〈Ψ|p|Ψ〉 =∑n,m

impares

c∗mcne−iωnmt〈Φm|p|Φn〉

donde

〈Φm|p|Φn〉 = −i~∫

Φ∗mdΦn

dxdx = 0.

En este caso, el argumento de paridad opera de la siguiente forma: los ıni-dices n,m son impares y las funciones Φm(x) y Φn(x) son funciones pares(cosenos). Pero la derivada cambia la paridad, de modo que dΦn/dx es unafuncion impar (seno). Por lo tanto el integrando es una funcion impar y elelemento de matriz es nulo, y resulta

〈p〉 = 0.

De nuevo, este es un resultado que tiene lugar cuando f(x) es una funcion deparidad definida. En general, para una funcion inicial cualquiera, habra in-terferencia entre componentes de diferente paridad y los valores esperadosno seran cero.

Cabe preguntarse, ¿Cuales son los posibles resultados de una medida dep y cual es la distribucion de probabilidad de encontrar a la partıcula concada cantidad de movimiento?

En la Seccion 2.6.1 vimos que en un estado estacionario la energıa estabien definida, pero existe una distribucion de probabilidad para los resul-tados de una medida de cantidad de movimiento. Cuando el estado es unasuperposicion de estados estacionarios, podemos suponer que sucedera lomismo y debemos evaluar la transformada de Fourier de la funcion de on-da Ψ(x, t). Utilizando la Ec. (3.14), podemos construir esta transformada

94

3.3. Evolucion temporal 3. Formalismo

multiplicando Ψ(x, t) por e−ikx e integrando en x,

G(k, t) =1√2π

∫ ∞−∞

e−ikxΨ(x, t) dx

=∑n

cne−iωnt 1√

2π

∫ ∞−∞

e−ikxΦn(x) dx

=∑n

cne−iωnt gn(k)

donde gn(k) es la transformada de Fourier del estado estacionario Φn(x). Ladensidad de probabilidad buscada es

|G(k, t)|2 =∑n,m

cnc∗me−iωnmt gn(k)g∗m(k)

y contiene terminos de interferencia, tal como la probabilidad de econtrar lapartıcula en determinada posicion.

3.3. Evolucion temporal

En el Cap. 2 mostramos, usando funciones de onda en representacion deposicion, que la Ec. de Schrofinger preserva la norma. La misma demostra-cion puede hacerse en forma abstracta usando la notacion de Dirac, en formamucho mas economica. Suponemos un estado |Ψ〉 que satisface la ecuacionde Scrodinger y por lo tanto su expresion en el espacio dual (bras)

i~∂

∂t|Ψ〉 = H|Ψ〉 (3.23)

−i~ ∂∂t〈Ψ| = 〈Ψ|H†

donde H = H†, por ser un operador hermıtico (el observable asociado es laenergıa total). Es facil ver que esta evolucion preserva la norma,

∂

∂t〈Ψ|Ψ〉 =

(∂

∂t〈Ψ|)|Ψ〉+ 〈Ψ|

(∂

∂t|Ψ〉)

=1

i~[〈Ψ|H|Ψ〉 − 〈Ψ|H|Ψ〉] = 0.

Comparando esta deduccion con la realizada en las primeras paginas delCap. 2, se aprecia el poder de sıntesis que aporta la notacion de Dirac,permitiendonos concentrarnos en las relaciones entre estados cuanticos y losoperadores que actuan sobre ellos.

95


3.3.1. Conmutadores

Dos operadores A y B pueden ser aplicados en diferente orden, y elresultado es en general diferente21. En otras palabras, para operadores

AB 6= BA

salvo casos especiales en que no importa el orden de aplicacion. Esto defineun nuevo operador llamado el conmutador entre A y B,

[A, B] ≡ AB − BA

En el caso especial en que los operadores conmutan [A, B] = 0. Los con-mutadores tienen un rol importante en Mecanica Cuantica: por ejemplo, losoperadores que conmutan con H estan asociados a las constantes de movi-miento del sistema y dos operadores que conmutan entre si son operadorescompatibles, y pueden medirse simultaneamente con precision arbitraria.

Ejemplo 7

Calculamos el conmutador entre x y p = −ı~d/dx.Para calcular los conmutadores es siempre conveniente

aplicar los operadores. En este caso, consideramos una

funcion cualquiera de la posicion f(x) y le aplicamos los

operadores en diferente orden

xp f(x) = −i~xf ′(x)

px f(x) = −i~ ddx

[xf(x)] = −i~[xf ′(x) + f(x)

]Por lo tanto

[x, p]f(x) = xpf(x)− pxf(x) = i~f(x).

y el conmutador es un escalar (el operador solo multiplica

por la constante i~)

[x, p] = i~. (3.24)

Esta relacion es muy importante en Mecanica Cuantica, ya

que implica que la posicion y la cantidad de movimiento son

operadores conjugados (o no compatibles) y no es posible

medir ambas magnitudes simultaneamente con precision

arbitraria, es decir, estan vinculadas por un Principio

de incertidumbre.

21Por ejemplo, supongamos que en un sistema cartesiano un operador Rz rota un objeto90 grados en sentido horario en torno al eje z. Otro Rx lo rota 90 grados en torno al ejex. Es facil ver que el producto RxRz lleva al punto (1,0,0) al punto (0,0,1). En cambio, elproducto RzRx lo lleva a (0,1,0).

96


Es facil a partir de la definicion, verificar que el conmutador de dosoperadores cumple las siguientes propiedades:

[A,B] = − [B,A]

[λA, µB] = λµ [A,B]

[A,B + C] = [A,B] + [A,C]

[A,BC] = B [A,C] + [A,B]C

[A,B]† =[B†, A†

]donde λ y µ son constantes complejas. De estas merece la pena mencionaren detalle la tercera,

[A,BC] = A(BC)− (BC)A = ABC −BCA= ABC −BCA+BAC −BAC = B [A,C] + [A,B]C.

El resto se demuestra en forma similar.

3.3.2. Evolucion del valor esperado de un observable

El valor esperado de un observable puede depender del tiempo a travesde la dependencia temporal del estado |Ψ(t)〉 o porque el operador puededepender explıcitamente del tiempo, A(t). Por ejemplo, este serıa el caso deloperador Hamiltoniano si el potencial varıa con el tiempo.

Mostraremos que la dependencia temporal de un valor esperado es pro-porcional al conmutador [A, H] entre el operador asociado y el Hamiltonianodel sistema. Suponemos un estado |Ψ〉 que satisface la Ec. de Schrodinger(3.23). La evolucion de su valor esperado es

d

dt〈Ψ|A|Ψ〉 =

(∂

∂t〈Ψ|)A|Ψ〉+ 〈Ψ|A

(∂

∂t|Ψ〉)

+ 〈Ψ|∂A

∂t|Ψ〉

=1

i~〈Ψ|[A, H]|Ψ〉+ 〈Ψ|∂A

∂t|Ψ〉,

donde se han usado las Ecs. (3.23) para sustituir las derivadas temporales y[A, H] = AH − HA. Lo mas usual es que el operador A no dependa explıci-tamente del tiempo, en este caso la variacion temporal de su valor esperadoes proporcional al valor esperado de su conmutador con el Hamiltoniano,

d

dt〈A〉 =

i

~〈Ψ|[H, A]|Ψ〉. (3.25)

Esta relacion es extremadamente importante, ya que nos da una formasencilla de saber que cantidades estan bien definidas en el sistema. Tambien

97


nos permite comprobar que la evolucion de los valores esperados sigue reglasclasicas, lo cual vincula naturalmente la Mecanica Cuantica con el mundoclasico.

3.3.3. Constantes de movimiento

Cuando un operador22 conmuta con el Hamiltoniano, su valor esperado,por la Ec. (3.25), no depende del tiempo

d

dt〈A〉 = 0.

En este caso, el observable asociado es una Constante del Movimiento.Se puede probar que si un observable conmuta con el Hamiltoniano,

los estados estacionarios son autoestados simultaneos de ambos observables.En otras palabras, ambos observables pueden medirse simultaneamente conprecision arbitraria. Nosotros consideraremos el caso de autovalores no dege-nerados y espectros discretos, por una discusion mas general ver por ejemplola Ref. [12, Cap. III-D]).

En el caso de espectros discretos, los estados estacionarios verifican

H|Φn〉 = En|Φn〉.

donde En son los autovalores de la energıa y |Φn〉 los autoestados correspon-dientes. Aplicando A a ambos lados de esta ecuacion, teniendo en cuentaque [A,H] = 0, resulta

AH|Φn〉 = EnA|Φn〉

H(A|Φn〉

)= En

(A|Φn〉

)y por lo tanto A|Φn〉 tambien es autoestado de H con energıa En. Si Enno es degenerado, A|Φn〉 y |Φn〉 representan el mismo estado, por lo que losvectores deben ser proporcionales,

A|Φn〉 = a|Φn〉.

Esto significa que los |Φn〉 son tambien autoestados de A con autovalor a.Por ejemplo, la cantidad de movimiento p sera una constante de movi-

miento si conmuta con H = p2/2m + V . Como p conmuta con la energıacinetica, todo depende de si conmuta o no con el potencial V . Se puedever que [p, V ] = 0 solo si V =cte y en este caso, la fuerza neta es nula:F = −dV/dx = 0. En otras palabras, la cantidad de movimiento lineal esuna constante de movimiento si la fuerza neta es nula, igual que en el ca-so clasico. Otro ejemplo, es el caso de un potencial con simetrıa esferica

22Hermıtico y que no depende explıcitamente del tiempo.

98

3.4. Postulados de la Mecanica Cuantica 3. Formalismo

v = V (r), como el potencial Coulombiano en un atomo hidrogenoide. Estoconfigura un problema de fuerzas centrales, donde la cantidad de movimien-to angular ~L es una cantidad conservada. En Mecanica Cuantica, tendremos[~L, H] = 0 y ~L sera una constante de movimiento. Este caso sera tratado enel Cap. 5.

3.3.4. Teorema de Ehrenfest

Podemos aplicar el resultado (3.25) a los valores esperados de la posicion,A = X, y de la cantidad de movimiento, A = P . El Hamiltoniano es de laforma H = P 2/2m+ V , (termino cinetico mas termino potencial) por lo que

d

dt〈X〉 =

i

~〈[H, X]〉 =

i

2m~〈[P 2, X]〉 =

1

m〈P 〉

d

dt〈P 〉 =

i

~〈[H, P ]〉 =

i

~〈[V , P ]〉 = −〈∂V

∂x〉 = 〈F 〉.

Se han usado los conmutadores (queda como ejercicio verificarlos)[H, X

]=

1

2m

[P 2, X

]+[V , X

]= − i~

mP[

H, P]

=1

2m

[P 2, P

]+[V , P

]= i~

∂V

∂x= −i~F .

La fuerza se relaciona con el potencial de la forma usual para un sistemaconservativo, F = −dV/dx y la relacion se traslada a operadores cuanticos.

Los valores esperados de posicion y cantidad de movimiento siguen, porlo tanto, ecuaciones de movimiento clasicas (ley de Newton):

〈P 〉 = md

dt〈X〉

〈F 〉 =d

dt〈P 〉

con lo cual se hace contacto con el mundo clasico. Una partıcula cuanticaseguira, en media, una trayectoria clasica, pero sujeta a toda la indetermi-nacion cuantica en cuanto al valor real que resulte de una medida de suposicion y cantidad de movimiento. Esto se ilustra en la Fig. 3.4.

3.4. Los postulados de la Mecanica Cuantica

En este punto, es conveniente resumir lo aprendido sobre la descripcioncuantica de la naturaleza en la forma de unos pocos postulados, cuyas con-secuencias hemos ido explorando en los ultimos capıtulos. Organizamos lainformacion en tres postulados: (I) Descripcion de un sistema fısico, (II)Medidas y (III) Evolucion temporal.

99


Figura 3.4: Evolucion clasica del valor esperado de posicion de una partıcula clasicadescrita por un paquete de ondas, vincula la descripcion clasica (basada en trajectorias)con la descripcion cuantica, basada en funciones de onda.

3.4.1. Descripcion de un sistema fısico

El estado de un sistema fısico queda determinado por un vector |Ψ〉en un espacio de Hilbert E . Toda magnitud fısica observable es des-crita por un operador hermıtico A que actua en los vectores de E .

Este postulado implica un Principio de Superposicion. Como E es unespacio lineal, toda combinacion lineal λ1|Ψ1〉 + λ2|Ψ2〉 es tambien un ketde E y representa un posible estado del sistema.

3.4.2. Medidas de un observable

El resultado de la medida del observable A solo puede ser unode sus autovalores λ.

La medida de un observable causa el colapso no deterministadel estado |Ψ〉 en ela autoestado correspondiente al autovalorλ.

La probabilidad de obtener el resultado λ esta dada por elmodulo al cuadrado de la proyeccion del estado del sistema|Ψ〉 previo a la medida en el autoestadoa asociado al autovalorλ.

aSi hay degeneracion, en el subespacio asociado al autovalor λ.

Supongamos que el sistema se encuentra en un estado descrito por el ketnormalizado |Ψ〉, de modo que 〈Ψ|Ψ〉 = 1. Si A es un observable, tiene un

100


conjunto de autovalores reales y correspondientes autovectores,

A|ϕn〉 = λn|ϕn〉 (3.26)

que forman una base en E . El resultado de una medida de A solo puede seruno de estos autovalores23

Dado que A es un observable, se puede expresar el estado antes de lamedida como

|Ψ〉 =∑n

cn|ϕn〉 (3.27)

con 〈ϕn|ϕm〉 = δnm y cn = 〈ϕn|Ψ〉. La probabilidad pn de que la medidaresulte en el autovalor λn es

pn = |cn|2 = |〈ϕn|Ψ〉|2. (3.28)

Observe que∑

n pn = 1 ya que 〈Ψ|Ψ〉 =∑

n |cn|2 = 1. En suma, en unproceso de medida:

Es imposible determinar a priori el resultado de la medida24 por loque es un proceso intrınsecamente no determinista. El estado del sis-tema luego de la medida es el correspondiente autovector. Si la medidaresulta en el autovalor no degenerado λn, entonces |Ψ〉 → |ϕn〉 y nosreferimos a este proceso como el “colapso” del estado |Ψ〉.

Es imposible reconstruir el ket |Ψ〉 a partir del resultado de la medida,ya que se desconocen los coeficientes cn en (3.27). En otras palabras,la medida es un proceso irreversible (se perdio informacion) y no esposible medir precisamente un estado cuantico.

A diferencia del caso clasico, es absolutamente imposible observar unsistema cuantico sin modificar drasticamente su estado.

3.4.3. Evolucion temporal de un sistema aislado

La evolucion temporal del ket |Ψ(t)〉 esta dada por la ecuacion deSchrodinger

i~d

dt|Ψ(t)〉 = H|Ψ(t)〉

donde H (operador Hamiltoniano) es el operador asociado a laenergıa total del sistema.

Es decir que la evolucion dinamica de un sistema cuantico aislado es deter-minista y reversible. Es la medida lo que lo hace irreversible.

23Los autovalores λn pueden o no ser degenerados. Por claridad, discutimos el caso enque no hay degeneracion; la generalizacion es inmediata.

24Salvo en el caso especial en que el estado del sistema antes de la medida este en unautoestado de A.

101

3.5. El oscilador armonico 3. Formalismo

3.5. El oscilador armonico

En esta seccion nos ocuparemos de un problema de gran importancia,tanto en fısica clasica, como en fısica cuantica. El oscilador armonico es elprototipo de sistemas oscilatorios. Una partıcula de masa m en un potencialparabolico, V (x) = 1

2kx2, experimenta una fuerza restauradora lineal (k

es la constante de fuerza). Clasicamente, el oscilador tiene una frecuencianatural ω2 = k/m y la partıcula tiene oscilaciones con esta frecuencia, y sucoordenada y velocidad estan dadas por

x(t) = A sin(ωt+ ϕ), x(t) = −Aω cos(ωt+ ϕ).

La energıa de la partıcula es

E = K + V =1

2mx2 +

1

2mω2x2 =

A2mω2

2

o sea, constante y proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilacio-nes. No hay limitaciones en cuanto al valor de la energıa E.

En el caso cuantico, al quedar la partıcula confinada a una cierta regionesperamos que aparezcan niveles de energıa permitidos. Veremos la formaen que surgen estos niveles. Comenzamos por observar que el potencial esuna funcion par V (x) = V (−x), por lo que esperamos estados estacionarioscon paridad bien definida, en forma similar al caso del pozo infinito.

3.5.1. Metodo analıtico

La ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo es

− ~2

2m

d2Φ

dx2+

1

2mω2x2 Φ(x) = EΦ(x). (3.29)

Teniendo en cuenta que a =√

~/mω es una longitud caracterıstica, es con-veniente expresar el problema en terminos de la variable adimensionada

ξ =x

a=

√mω

~x. (3.30)

En terminos de ξ la ec. (3.29) toma la forma mas simple25

d2Φ

dξ2= (ξ2 − E)Φ(ξ) (3.31)

donde E = 2E/~ω es la energıa en unidades de ~ω/2.

25Deberıamos usar una nueva funcion Φ(ξ), pero dejamos esto implıcito para no com-plicar la notacion.

102


Para ξ 1 y energıas bajas E ≈ 1, observamos que Φ′′ ≈ ξ2Φ, una ecua-cion que admite soluciones aproximadas (para ξ 1) de la forma e±ξ

2/2. Laforma eξ

2/2 diverge para ξ → ±∞ y no es normalizable. La forma gaussianae−ξ

2/2 en cambio tiende a cero y tiene la forma asintotica adecuada para lassoluciones que buscamos. Proponemos entonces soluciones de la forma

Φ(ξ) = e−12ξ2 h(ξ)

e intentamos determinar las funciones h(ξ). Sustiyendo en la ec. de Schrodin-ger (3.31) obtenemos la ecuacion que satisface h(ξ),

d2h

dξ2− 2ξ

dh

dξ+ (E − 1)h(ξ) = 0. (3.32)

Es usual resolver este tipo de ecuaciones por el metodo de series de poten-cia26. Expresamos h(ξ) como la serie

h(ξ) =∞∑j=0

ajξj

y sustituimos en la ec. (3.32). Encontramos para los coeficientes aj la relacionde recurrencia de segundo orden

aj+2 =2j + 1− E

(j + 1)(j + 2)aj . (3.33)

Con esta relacion, dada a0, se genera una serie de aj con j par. Dada a1, segeneran los aj con j impar. Si las series continuan hasta infinito, se obtiene

una funcion h con un comportamiento asintotico de la forma eξ2, lo cual

conduce a Φ ∼ eξ2/2 que diverge y no es normalizable. Por lo tanto, las

series deben terminar en cierto valor maximo de j = n, donde n = 0, 1, 2 . . .es un entero no negativo.

Esto ocurre cuando E = 2n + 1, de modo que a partir de j = n, an+2

y todos los coeficientes posteriores son nulos. En otras palabras, para tenersoluciones normalizables, los niveles permitidos de energıa son de la forma

En = ~ω(n+1

2), n = 1, 2, 3, . . . (3.34)

Las correspondientes funciones de onda para los estados estacionariosson productos de polinomios de grado n por el factor exponencial e−ξ

2/2.

26La presentacion aquı es compacta y sigue a [10], pero se puede consultar cualquiertexto de Fısica Moderna o Mecanica Cuantica por mas detalles.

103


Estos polinomios, conocidos como los polinomios de Hermite27, son

H0(ξ) = 1

H1(ξ) = 2ξ

H2(ξ) = 4ξ2 − 2ξ

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12

...

Estos polinomios tienen paridad definida dada por la paridad de n. Esto esası, porque un polinomio dado solo tiene potencias pares o impares de ξ, porla forma de la relacion de recurrencia, ec. (3.33). El factor exponencial esuna funcion par, por lo que los estados estacionarios Φn(ξ) tienen paridaddefinida, dada por n como se muestra en la Fig. 3.5.

Los estados estacionarios del oscilador armonico, con la dependencia tem-poral y normalizados son de la forma

Ψn(x, t) = CnHn(ξ) e−ξ2/2 (3.35)

con a =√~/mω y Cn = (

√πa 2n n!)−1/2.

Los niveles de energıa (Fig. 3.5) estan equiespaciados, con dos nivelesconsecutivos cualesquiera separados por una energıa ~ω. Esto es una propie-dad particular del potencial armonico. La energıa del estado fundamental es~ω/2, la mas baja posible en un potencial armonico. Como ya sabemos, elconfinamiento hace imposible que la partıcula este en el origen en reposo.

Existe un metodo basado en operadores que es mucho mas elegante ypractico para resolver el problema del oscilador armonico y para calcular va-lores esperados sin realizar integrales explıcitamente. Lo discutimos a conti-nuacion. Antes, desarrollamos el concepto de conmutador de dos operadores.

3.5.2. Metodo algebraico

En esta seccion usaremos la notacion de Dirac28 para una presentacionmas compacta.

La ec. de Schrodinger independiente del tiempo se expresa como

H|Φ〉 = E|Φ〉

donde el hamiltoniano es

H(x, p) =1

2mp2 +

1

2mω2x2 =

1

2m

[p2 + (mωx)2

].

27Por convencion se normalizan de modo que su coeficiente de grado n sea 2n.28Aunque se puede evitar, vea por ejemplo el tratamiento de Griffiths [10], Seccion 2.3.1

en la 2nda edicion.

104


Figura 3.5: Representacion esquematica de las primeros estados estacionariosdel oscilador armonico, cada uno centrado en torno al nivel de energıa quele corresponde, en unidades de ~ω. El eje horizontal es la posicion.

Factorizacion del Hamiltoniano

Observando que el Hamiltoniano es la suma de dos terminos al cuadra-do, el metodo se basa en la idea de factorizarlo, teniendo en cuenta queu2 + v2 = (u+ iv)(u− iv).

Mostraremos que H puede expresarse de las formas equivalentes

H = ~ω(a−a+ −

1

2

)= ~ω

(a+a− +

1

2

)(3.36)

en terminos de los operadores

a+ =1√

2m~ω(−ip+mωx)

a− =1√

2m~ω(ip+mωx). (3.37)

Recordando que p = −i~ ddx , cuando estos operadores se aplican a una fun-

cion de posicion generan una combinacion lineal de la funcion por x y de suderivada. Por razones que quedaran claras mas adelante, estos operadoresse denominan operadores escalon.

105


Para demostrar la relacion (3.36), calculamos el producto a−a+ teniendoen cuenta que x y p no conmutan entre si,

a−a+ =1

2m~ω[p2 + (mωx)2 − imω [x, p]

]=

1

2m~ω[p2 + (mωx)2 +m~ω

]donde se ha usado la relacion de conmutacion (3.24). La primera de lasecs. (3.36) queda entonces demostrada.

Para la segunda forma, lo mas facil es observar que el conmutador entrea− y a+ es29

[a−, a+] = 1 (3.38)

y luego sustituir a−a+ = a+a− + 1 para obtener

a+a− + 1 =1

2m~ω[p2 + (mωx)2 +m~ω

]=

1

2m~ω[p2 + (mωx)2

]+

1

2.

de donde

a+a− +1

2=

1

2m~ω[p2 + (mωx)2

]=

1

~ωH.

y queda demostrada la segunda de las ecs. (3.36). La primera de ellas seobtiene usando el conmutador (3.38). Podemos ahora escribir la ecuacion deSchrodinger independiente del tiempo en terminos de los operadores escalon,(

a+a− +1

2

)|Φn〉 = εn|Φn〉 (3.39)

donde εn = En/~ω es la energıa adimensionada y n = 0, 1, 2, 3, . . . es unnumero cuantico que numera los estados estacionarios.

Accion de los operadores escalon en |Φn〉

Mostraremos que los operadores escalon actuan en un estado estacionariopara generar el siguiente (o el anterior), segun

a+|Φn〉 =√n+ 1|Φn〉

a−|Φn〉 =√n|Φn〉. (3.40)

Estas relaciones significan que si |Φn〉 es solucion de (3.39) con energıa εn,entonces a±|Φn〉 es solucion con energıa εn ± 1. Es decir, los operadoresa± nos permiten movernos por la serie de estados estacionarios, como sisubieramos o bajasemos una escalera, de allı su nombre. Conociendo el es-tado fundamental, |Φ0〉 es posible generar todos los demas por aplicacionsucesiva de a+.

29Verificarlo usando las definiciones (4.8) y el conmutador (3.24).

106


Probaremos que a+|Φn〉 es autoestado de H con energıa εn + 1 y deja-remos el caso similar a−|Φn〉 como ejercicio para el lector. Para ello usamosel conmutador (3.38) para “avanzar” hacia la derecha al operador H,

Ha+|Φn〉 =

(a+a− +

1

2

)a+|Φn〉

=

[a+a−a+ +

1

2a+

]|Φn〉 =

[a+(a+a− + 1) +

1

2a+

]|Φn〉

= a+

[a+a− +

3

2

]|Φn〉 = a+

[H + 1

]|Φn〉

= a+ [εn + 1] |Φn〉 = (εn + 1)a+|Φn〉.

Por lo tanto, hemos establecido la relacion

H (a+|Φn〉) = (εn + 1) (a+|Φn〉)

lo cual es lo mismo que decir que a+|Φn〉 es autoestado de H con energıaεn+ 1. O sea, que es proporcional a |Φn+1〉. En forma similar, se prueba quea−|Φn〉 es autoestado de H con energıa εn − 1 (salvo que n = 0) y debe serproporcional a |Φn−1〉. En suma,

a+|Φn〉 = cn|Φn+1〉 (3.41)

a−|Φn〉 = dn|Φn−1〉 n > 0

donde cn y dn son constantes que determinaremos mas adelante. Para elcaso n = 0 la segunda ecuacion implica

a−|Φ0〉 = 0. (3.42)

Esta ecuacion nos permitira determinar el estado fundamental del osciladorΦ0(x).

Niveles de energıa

Usando la Ec. (3.42) vemos que la ec. de Schrodinger aplicada al estadofundamental se reduce a(

a+a− +1

2

)|Φ0〉 =

1

2|Φ0〉 = ε0|Φ0〉

por lo que E0 = 12~ω es la energıa del estado fundamental (o de punto cero).

Las sucesivas aplicaciones de a+ van generando estados con energıas quese incrementan en ~ω, por lo que obtenemos los niveles de energıa unifor-memente espaciados

En =

(n+

1

2

)~ω (3.43)

caracterısticos del oscilador armonico.

107


Estado fundamental

Expresando (3.42) en la representacion de posicion resulta,

(ip+mωx) Φ0(x) = 0⇒ dΦ0

dx+mωx

~Φ0(x) = 0

Es conveniente adimensionar esta ecuacion usando la longitud caracterısticaa =

√~/mω y definir la longitud adimensionada ξ = x/a para obtener

dΦ0

dξ+ ξΦ0(ξ) = 0.

La solucion de esta ecuacion es una curva gaussiana,

Φ0(ξ) = Ae−ξ2/2,

donde la constante A = (mω/~π)1/4 se determina por normalizacion.

Determinacion de las constantes

Conociendo el espectro de energıas, estamos ahora en condiciones dedeterminar las constantes cn y dn en las Ecs. (3.41) y obtener una relacionde recurrencia para las funciones de onda de los estados estacionarios.

A partir de la Ec. de Schrodinger, usando εn = En/~ω = n+1/2, tenemos(a+a− +

1

2

)|Φn〉 = (n+

1

2)|Φn〉

por lo que se cumple para los estados estacionarios,

a+a−|Φn〉 = cn−1dn|Φn〉 = n|Φn〉

donde hemos usado las relaciones (3.41). Hemos establecido que las cons-tantes cn y dn cumplen la condicion

cn−1dn = n

que se satisface si cn =√n+ 1 y dn =

√n. Las ecs. (ec:escalon2) se comple-

tan entonces como

a+|Φn〉 =√n+ 1 |Φn+1〉 (3.44)

a−|Φn〉 =√n |Φn−1〉.

Estas relaciones son importantes, ya que nos permiten trabajar directa-mente sobre los estados estacionarios con los operadores escalon. Un primer

108


beneficio de las mismas es la posibilidad de expresar los esatdos estacioanriosen forma recurrente, a partir del estado fundamental como

|Φn〉 =1√n!an+|Φ0〉. (3.45)

Dejaremos la verificacion de esta relacion a partir de la primera de las rela-ciones (3.44) como ejercicio.

Finalmente, mencionamos que los estados estacionarios |Φn〉 son autoes-tados de los operadores a+a− y a−a+ con los autovalores

a+a−|Φn〉 = n|Φn〉a−a+|Φn〉 = (n+ 1)|Φn〉.

La primera de estas expresiones se deriva de la Ec. de Schrodinger (ya laestablecimos) y la segunda se obtiene, por ejemplo, usando el conmutador(3.38). Tambien se pueden obtener inmediatamente de las Ecs. (3.44).

Valores esperados de posicion y cantidad de movimiento

Para calcular valores esperados de los operadores de posicion y cantidadde movimiento por el metodo algebraico, es conveniente expresar estos ope-radores en funcion de los operadores escalon, para los cuales contamos contoda la informacion sobre como actuan en estados estacionarios, lo que nosahorrara mucho trabajo.

A partir de la definicion de los operadores escalon, Ecs. (4.8), se obtienenlas relaciones

X =

√~

2mω(a+ + a−)

P = i

√m~ω

2(a+ − a−) .

Para calcular las incertezas asociadas a un conjunto de medidas, es nece-sario calcular valores esperados del cuadrado des estos operadores. Usandolas relaciones anteriores, se puede expresar (queda como ejercicio sencillo)

X2 =~

2mω

(a2

+ + a2− + a+a− + a−a+

)P 2 = −m~ω

2

(a2

+ + a2− − a+a− − a−a+

).

Con estas relaciones es posible obtener los valores esperados rapidamentey con practicamente ninguna cuenta.

Ejemplo 8

109


a) Calcular la dispersion σx en una serie de medidas de

la posicion en el estado estacionario |Φn〉 del oscilador

armonico.

b) Calcular la dispersion σp en una serie de medidas de la

cantidad de movimiento en el estado estacionario |Φn〉 del

oscilador armonico.

c) ¿ Cual es el estado estacionario de mınima

incertidumbre?

a) El valor esperado de la posicion es

〈X〉 =

√~

2mω〈Φn|a+ + a−|Φn〉 = 0

porque estados estacionarios diferentes son ortogonales entre si. Tambienpodrıamos haber usado el argumento de paridad que implica que |Φn(x)|2es una funcion par y por lo tanto 〈X〉 = 0. En el caso de X2 se obtiene

〈X2〉 = a2 [〈Φn|a+a−|Φn〉+ 〈Φn|a−a+|Φn〉] = a2

(n+

1

2

).

Esto implica una dispersion en medidas de posicion σx = a√n+ 1/2 que

aumenta a medida que aumenta la energıa.

b) En forma similar, se obtiene el valor esperado de la cantidad de mo-vimiento como

〈P 〉 = i

√m~ω

2〈Φn|a+ − a−|Φn〉 = 0

ya que estados estacionarios diferentes son ortogonales entre si. Para el valoresperado de P 2 tenemos

〈P 2〉 = −m~ω2〈Φn|−a+a− − a−a+|.〉Φn = m~ω

(n+

1

2

)Por lo tanto la dispersion en medidas de cantidad de movimiento es σp =(~/a)

√n+ 1/2.

c) El producto de las dispersiones en el estado estacionario |Φn〉 es

σx · σp = ~(n+ 1/2).

El estado de mınima incertidumbre es por lo tanto el estado fundamental(n = 0), para el cual se cumple el mınimo permitido por el Principio deIncertidumbre,

σx · σp = ~/2.

Esperamos haber mostrado la conveniencia del metodo algebraico. Pienseel lector cuantos integrales serıan necesarios para responder las preguntas

110

3.6. Principio de Incertidumbre 3. Formalismo

planteadas utilizando las funciones de onda. mencionamos ademas que elmetodo algebraico tiene semejanzas formales con los metodos utilizados enla teorıa del movimiento angular y de operadores de spin.

En el siguiente seccion generalizamos el Principio de incertidumbre paracualquier par de observables conjugados (es decir, que no conmutan).

3.6. Principio de Incertidumbre generalizado

En esta seccion generalizamos al Principio de Incertidumbre a cualquierpar de observables conjugados (es decir, cuyos operadores asociados no con-mutan entre si). La demostracion se apoya en un resultado valido en espaciosvectoriales lineales, conocido como desigualdad de Schwartz.

3.6.1. Desigualdad de Schwartz

Para dos vectores ~r1 y ~r2 en el espacio cartesiano tridimensional, comolos indicados en la Fig. 3.2(a), se cumple trivialmente que el producto de susmodulos al cuadrado es mayor o igual que su producto escalar al cuadrado

r21r

22 ≥ (~r1 · ~r2)2 = r2

1r22 cos2 θ

y la igualdad se da solamente si ambos vectores tienen igual direccion (soncolineales). Esto es una forma de la desigualdad de Schwartz en un espacioque nos es familiar.

En forma similar, en un espacio de Hilbert de estados cuanticos se cumple

〈α|α〉〈β|β〉 ≥ |〈α|β〉|2. (3.46)

La demostracion de esta relacion es un buen ejercicio en el uso de la notacionde Dirac. Se define un estado auxiliar |γ〉 y su correspondiente bra,

|γ〉 = |β〉 −(〈α|β〉〈α|α〉

)|α〉

〈γ| = 〈β| −(〈β|α〉〈α|α〉

)〈α|.

La norma de cualquier vector es un numero real no negativo, por lo que〈γ|γ〉 ≥ 0. Calculamos esta norma y resulta la desigualdad,

〈γ|γ〉 = 〈β|β〉 − |〈α|β〉|2

〈α|α〉≥ 0,

y se verifica por tanto la Ec. (3.46) para cualquier par de vectores del espaciode Hilbert.

111


3.6.2. Incertezas de observables conjugados

Consideramos un estado |Ψ〉 normalizado y dos observables A y B. Lavarianza asociada a una serie de medidas de A es

σ2A = 〈A2〉 − 〈A〉2 = 〈A2〉 − a2,

Donde a ≡ 〈A〉 es simplemente el valor esperado del observable A. Definiendoel ket auxiliar |f〉 ≡ (A− a)|Ψ〉, la varianza se puede expresar como

σ2A = 〈f |f〉 = 〈Ψ|(A− a)(A− a)|Ψ〉 = 〈A2〉 − a2

por ser A un operador hermıtico y suponiendo 〈Ψ|Ψ〉 = 1. De la mismaforma, definiendo |g〉 ≡ (B − b)|Ψ〉 con b = 〈B〉, resulta

σ2B = 〈g|g〉 = 〈B2〉 − b2.

Para cualquier numero complejo, z = x+ iy, se cumple la relacion

|z|2 = x2 + y2 ≥ y2 = [Im(z)]2 =

(z − z∗

2i

)2

.

En virtud de la desigualdad de Schwartz, Ec. (3.46), el producto de lasvarianzas satisface la desigualdad,

σ2Aσ

2B = 〈f |f〉〈g|g〉 ≥ |〈f |g〉|2 ≥ [Im(〈f |g〉)]2 . (3.47)

Resta evaluar la parte imaginaria del producto escalar 〈f |g〉

Im(〈f |g〉) =〈f |g〉 − 〈g|f〉

2i=

1

2i〈Ψ|[A,B]|Ψ〉

donde se han usado las relaciones

〈f |g〉 = 〈Ψ|[A, B]|Ψ〉 − ab〈g|f〉 = 〈Ψ|[B, A]|Ψ〉 − ab.

En definitiva, sustituyendo en la Ec. (3.47), se obtiene la desigualdad

σA · σB ≥∣∣∣∣ 1

2i〈Ψ|[A, B]|Ψ〉

∣∣∣∣ (3.48)

donde las barras verticales indican valor absoluto30. Este resultado se conocecomo el Principio de Incertidumbre generalizado.

30Puede mostrarse facilmente que que el conmutador C = [A,B] de dos operadoreshermıticos es antihermıtico, es decir C† = −C. En este caso, su valor esperado es siempreimaginario, por lo que el valor esperado de 1

2iC es un real no negativo.

112


Podemos evaluar esta expresion para los observables A = X y B = Ppara recuperar el Principio de incertidumbre que liga medidas de posicion ycantidad de movimiento. Sabemos que [X, P ] = −~, por lo que

σxσp ≥∣∣∣∣ i~2i 〈Ψ|Ψ〉

∣∣∣∣ =~2.

No obstante, ahora podemos ir mas alla. Dados dos observables, su con-mutador nos indica si son compatibles entre si ([A,B] = 0) o si son conju-gados entre si ([A,B] 6= 0). Se resume esto en el siguiente esquema:

[A,B] = 0 obs. compatibles medidas simultaneas, precision arbitraria

[A,B] 6= 0 obs. conjugados producto de incertezas satisface σAσB ≥ c

Mas adelante usaremos esta relacion para mostrar que cuando una de lascomponentes de spin (o cantidad de movimiento angular) esta bien definida,las otras dos satisfacen una relacion de incertidumbre.

3.6.3. Relacion de incertidumbre entre tiempo y energıa

Una manifestacion especial de las relaciones de incertidumbre vincula laincerteza en la energıa σE = ∆E con cierto intervalo de tiempo ∆t de modoque

∆E ×∆t ≥ ~2. (3.49)

En una teorıa relativista, podrıa entenderse la relacion (3.49) como uncomplemento de las relaciones de incerteza entre posicion y cantidad de mo-vimiento. Al final, el tiempo y la posicion forman parte de un cuadrivector deposicion que fija un punto en el espacio–tiempo y la cantidad de movimien-to lineal y la energıa total forman el cuadrivector cantidad de movimientorelativista. Sin embargo, en la teorıa cuantica no relativista que tratamos, laEc. (3.49) es de una naturaleza completamente diferente que la relacion deincerteza entre posicion y cantidad de movimiento. Puede consultar la Ref.[10] por una discusion mas completa de este punto.

La Ec. (3.49) debe interpretarse con cuidado, porque... a que corresponde∆t ? No puede ser la incerteza asociada a una serie de medidas del observable“tiempo”, ya que en nuestra teorıa no relativista el tiempo es un parametro.No medimos el tiempo de una partıcula como medimos su posicion o suenergıa. No hay un observable hermıtico que describa el resultado de medirel tiempo. Podemos usar la formulacion general del Ppio. de incerteza (3.48)para asignar un significado fısico concreto al intervalo de tiempo ∆t queaparece en la Ec. (3.49).

Supongamos que A es un operador asociado a un observable. Usandola Ec. (3.25) expresamos la relacion entre las incertidumbres asociadas a

113


medidas de la energıa, σE , y medidas de A, σA, como

σE × σA ≥~2

∣∣∣∣ ddt〈A〉∣∣∣∣

donde hemos supuesto que A no depende explıcitamente del tiempo. Defi-niendo ∆E = σE y

∆t ≡ σA∣∣∣ ddt〈A〉∣∣∣ (3.50)

recuperamos la relacion de incertidumbre tiempo-energıa (3.49).Como ∆t es una variacion en las medidas de A, dividido la tasa a la

que varıa el promedio de estas medidas, concluimos que ∆t es el tiemponecesario para que la variacion del observable A sea igual a una desviacionestandar de sus medidas. En otras palabras, ∆t es el tiempo caracterısticoen el cual varıa el observable A. Podemos interpretar la Ec. (3.49) como unarelacion entre la dispersion en las medidas de la energıa y el tiempo tıpicoen el cual varıa un observable del sistema.

Si A es casi una constante de movimiento, [H,A] ≈ 0 y se intenta eva-luar (3.49) para un estado estacionario (cosa bastante absurda), el producto∆E × ∆t = 0. En este caso ∆E = 0, pero el observable varıa muy lenta-mente y ∆t→∞. El otro extremo es cuando A describe un observable quevarıa muy rapidamente, en cuyo caso ∆t→ 0 y podemos obtener muy pocainformacion al medir la energıa (∆E →∞).

114

Capıtulo 4

Cantidad de movimientoangular

Si tuviese que resumir en una frase lo que significa la interpre-tacion de Copenhague para mi, esta serıa: “Callate y calcula!”David Mermin,en Physics Today, Abril 1989, p. 9, doi:10.1063/1.2810963

Una paradoja es solamente un conflicto entre la realidad y nues-tra sensacion de lo que la realidad “debiera ser”.Richard P. Feynman,en The Feynman Lectures on Physics (1964) Volumen III, p.18

La cantidad de movimiento angular de un sistema fısico (o momentoangular) es importante en fısica clasica, ya que es una cantidad conservada enausencia de momento de fuerza neto. Por ejemplo, en un sistema conservativode fuerza central, como el sistema solar en primera aproximacion, la energıay la cantidad de movimiento angular son las constantes de movimiento.En Mecanica Cuantica, el momento angular tiene aun mas relevancia, yaque sus propiedades se manifiestan en la interaccion de sistemas atomicoso de partıculas cargadas en general, con campos electricos o magneticosexternos. Ademas, existe un momento angular intrınseco (spin) asociado alas partıculas elementales y sus propiedades pueden afectar los niveles deenergıa de sistemas cuanticos.

En este capıtulo, describimos las propiedades basicas del momento angu-lar y luego nos enfocaremos en el caso partıculas con spin 1/2 (sistemas dedos niveles), como es el caso del electron. Estos resultados seran de interesen la descripcion del atomo de Hidrogeno, que es el objeto del Capıtulo 3de estas notas.

115

4.1. Teorıa cuantica del momento angular4. Cantidad de movimiento angular

4.1. Teorıa cuantica del momento angular

Partimos del caso de una partıcula de masa m en movimiento en elespacio tridimensional. Su posicion esta dada, con respecto a cierto sistemade coordenadas, por un vector ~r y su cantidad de movimiento lineal por unvector ~p = m~v. Su cantidad de movimiento angular es

~L = ~r × ~p

y tiene componentes cartesianas

Lx = ypz − zpy, Ly = zpx − xpz, Lz = xpy − ypx. (4.1)

Desde el punto de vista cuantico, el observable cantidad de movimiento an-gular tiene asociado un operador vectorial L con estas tres componentescartesianas. Si tenemos en cuenta la representacion de posicion para la can-tidad de movimiento,

px = −i~ ∂∂x, py = −i~ ∂

∂y, pz = −i~ ∂

∂z

podemos obtener las componentes de L en la representacion de posicioncomo

Lx = i~(z∂

∂y− y ∂

∂z

)Ly = i~

(x∂

∂z− z ∂

∂x

)Lz = i~

(y∂

∂x− x ∂

∂y

).

En Mecanica Cuantica la cantidad de movimiento angular tambien es unacantidad especialmente importante cuando el potencial tiene simetrıa esferi-ca. Se puede ver (Cap. 5) que en este caso, [L2, H] = [Lz, H] = 0 por loque existiran estados estacionarios simultaneos del Hamiltoniano y de unade las componentes de momento angular y de su modulo al cuadrado. Enotras palabras, en estados estacionarios, ademas de la energıa total, L2 y Lzestan bien definidos.

En este capıtulo no nos preocuparemos del operador Hamiltoniano sinoque analizaremos el espectro de autovalores de momento angular en general.Es posible trabajar en la representacion de posicion y obtener los resulta-dos asociados a la teorıa de momento angular, pero las cuentas se vuelvenbastante engorrosas y ademas, los resultados se limitan al momento angularorbital. Nosotros utilizaremos en cambio el metodo algebraico para obtenerlas propiedades del momento angular sin tener que recurrir a ninguna re-presentacion en particular. El metodo es similar al utilizado para resolver elproblema del oscilador armonico.

116


4.1.1. Relaciones de conmutacion fundamentales

Partiendo de las componentes cartesianas del operador L, Ecs. (4.1), yusando las relaciones de conmutacion fundamentales para posicion y canti-dad de movimiento,

[x, px] = i~, [y, py] = i~, [z, pz] = i~ (4.2)

calculamos los conmutadores entre las componentes de L.Usando la idea de permutacion cıclica1 de 1,2,3, podemos expresar las

Ecs. (4.1) en forma mas compacta. Renombrando las coordenadas comox→ x1, y → x2 y z → x3 las componentes cartesianas de L son

Li = xjpk − xkpj (i, j, k) una permutacion cıclica de 1,2,3. (4.3)

donde no debe confundirse i con la unidad imaginaria√−1. Alternaremos

entre esta notacion y la usual, cuando sea necesario.El conmutador de dos de ellas, por ejemplo [Lx, Ly] se calcula usando

las reglas de los conmutadores (Cap. 3) como

[Lx, Ly] = [ypz − zpy, zpx − xpz]= [ypz, zpx]− [zpy, zpx]− [ypz, xpz] + [zpy, xpz]

= [ypz, zpx] + [zpy, xpz].

Se ha usado que las diferentes componentes cartesianas conmutan entre si:[x, y] = [x, z] = [y, x] = 0, [px, py] = [px, pz] = [py, px] = 0 y lo mismo sucedesi cruzamos operadores de diferentes coordenadas

[x, py] = [x, pz] = [y, px] = 0.

Por lo tanto [zpy, zpx] = [ypz, xpz] = 0. Los conmutadores restantes secalculan explıcitamente usnado los conmutadores fundamentales,

[ypz, zpx] = ypx [pz, z] = −i~ypx[zpy, xpz] = xpy [z, pz] = i~xpy

por lo tanto[Lx, Ly] = i~ (xpy − ypx) = i~Lz.

Esta relacion se cumple para las permutaciones cıclicas de las variables(x, y, z). Es decir que el conmutador de dos componentes de momento an-gular es proporcional a la otra componente. Explıcitamente, las relacionesde conmutacion del momento angular en Mecanica Cuantica son

[Lx, Ly] = i~Lz, [Ly, Lz] = i~Lx, [Lz, Lx] = i~Ly. (4.4)

1Las permutaciones cıclicas de 1,2,3 son (1, 2, 3) → (2, 3, 1) → (3, 1, 2). Las permuta-ciones anticıclias son (2, 1, 3)→ (1, 3, 2)→ (3, 2, 1).

117


Las relaciones (4.4) son la base de todo el desarrollo de las propiedades demomento angular en Mecanica Cuantica. De hecho, se define un operadorde momento angular a un operador vectorial cuyas componentes cumplenlas relaciones de conmutacion (4.4).

La primer consecuencia de estas relaciones es que, de acuerdo al Principiode Incerteza generalizado (Cap. 3), las incertezas asociadas a una serie demedidas de las componentes cartesianas de momento angular satisfacen,

σLxσLy =

∣∣∣∣ 1

2i〈[Lx, Ly]〉

∣∣∣∣ =~2|〈Lz〉|

σLyσLz =

∣∣∣∣ 1

2i〈[Ly, Lz]〉

∣∣∣∣ =~2|〈Lx〉|

σLzσLx =

∣∣∣∣ 1

2i〈[Lz, Lx]〉

∣∣∣∣ =~2|〈Ly〉|.

Es decir que decir que si una de ellas esta bien definida, las otras dos quedanvinculadas por una relacion de incerteza.

Por otra parte, se puede mostrar que el operador L2

L2 = L2x + L2

y + L2z (4.5)

conmuta con las componentes de momento angular

[L2, Lx] = [L2, Ly] = [L2, Lz] = 0.

En efecto, tomando la tercera relacion a modo de ejemplo,

[L2, Lz] = [L2x, Lz] + [L2

y, Lz] + [L2z, Lz]

= [L2x, Lz] + [L2

y, Lz]

= Lx[Lx, Lz] + [Lx, Lz]Lx + Ly[Ly, Lz] + [Ly, Lz]Ly

= −i~LxLy − i~LyLx + i~LyLx + i~LxLy = 0

donde se han usado las relaciones fundamentales (4.4). de la misma forma,puede mostrarse que las otras dos componentes conmutan con L2.

Tenemos entonces un conjunto de cuatro operadores escalares L2, Lx, Ly, Lz,de los cuales todos conmutan con uno de ellos (L2), pero las tres compo-nentes no conmutan entre si. Recordando que si dos operadores conmutan,tienen autoestados comunes, vemos que hay autoestados comunes a L2 ycualquiera de las componentes por separado. Pero no hay autoestados co-munes a dos de las componentes. En suma, podemos tomar una componentecomo bien definida (es usual hablar de Lz, pero arbitrario, podrıa ser cual-quiera de las otras dos) y tendremos tambien L2 bien definido. Pero las doscomponentes restantes (Lx y Ly) quedan indefinidas.

118


4.1.2. Espectro de autovalores de momento angular

Buscamos definir la forma del espectro del problema de autovalores demomento angular

L2|Φ〉 = λ~2|Φ〉 (4.6)

Lz|Φ〉 = µ~|Φ〉 (4.7)

donde λ y µ son los autovalores (adimensionados) de L2 y Lz respectiva-mente. Comenzamos por observar que el autovalor λ es un numero real nonegativo. En efecto,

〈L2〉 = λ~2

= 〈L2x〉+ 〈L2

y〉+ 〈L2z〉

= 〈Φ|Lx · Lx|Φ〉+ 〈Φ|Ly · Ly|Φ〉+ 〈Φ|Lz · Lz|Φ〉= ‖Lx|Φ〉‖2 + ‖Ly|Φ〉‖2 + ‖Lz|Φ〉‖2 ≥ 0.

La ultima expresion es no negativa por ser la suma de las normas al cuadradode vectores del espacio de Hilbert.

Para proseguir, definimos los operadores escalon,

L± = Lx ± Ly (4.8)

cuyas propiedades son muy utiles para trabajar con estados de momentoangular. Es facil ver que

[L2, L±] = 0 (4.9)

ya que L2 conmuta con cada una de las componentes y por lo tanto con suscombinaciones lineales. Por otro lado,

[Lz, L±] = ±~L± (4.10)

Para demostrarlo basta sustituir la definicion (4.8) y usar las relaciones deconmutacion fundamentales. La propiedad mas importante de estos opera-dores (y que da origen a su nombre) es que aplicados en un autoestado demomento angular con autovalores (λ, µ), dan otro autoestado de momentoangular con autovalores (λ, µ± 1). Para ver esto, aplicamos L± sobre la ec.de autovalores (4.15),

L± · L2|Φ〉 = λ~2L±|Φ〉L2 (L±|Φ〉) = λ~2 (L±|Φ〉)

donde usamos la Ec. (4.9). Es decir que L±|Φ〉 es autoestado de L2 con elmismo autovalor λ que |Φ〉.

119


Por otro lado, aplicando L± sobre la Ec. de autovalores (4.17) y usando(4.10) resulta que

L± · Lz|Φ〉 = µ~L±|Φ〉(LzL± ∓ ~L±) |Φ〉 = µ~ (L±|Φ〉)(Lz ∓ ~) (L±|Φ〉) = µ~ (L±|Φ〉)

Lz (L±|Φ〉) = (µ± 1)~ (L±|Φ〉) .

Por lo tanto L±|Φ〉 es autoestado de Lz con autovalor µ±1. Estos operadoresL± nos permiten recorrer el espacio de autoestados de momento angular, ensentido ascendente (L+) o descendente (L−) de autovalores de Lz, lo quemotiva su nombre de operadores escalon.

La desigualdad evidente 〈L2〉 ≥ 〈L2z〉 se traduce en la desigualdad entre

autovalores λ ≥ µ2. Por lo tanto, existe un valor maximo de µ y la aplica-cion sucesiva de L+ no puede continuar indefinidamente. En realidad, losautovalores µ deben satisfacer la condicion

|µ| ≤√λ

por lo que tambien debe existir un mınimo µ y la aplicacion reiterada deL− debe terminar. En otras palabras, existen autoesatdos terminales, talesque L±|Φ〉 = 0 y el conjunto de autovalores de Lz es finito. Si llamamos` = µmax y `′ = µmin, los autoestados correspondientes cumplen

Lz|Φt〉 = `~|Φt〉, L+|Φt〉 = 0

Lz|Φ′t〉 = `′~|Φ′t〉, L−|Φ′t〉 = 0.

Para determinar la relacion entre ` y `′ reescribimos L2 en las formas

L2 = L2z ∓ ~Lz + L±L∓. (4.11)

Estas relaciones pueden verificarse facilmente a partir de la definicion de L±.Usando la segunda de ellas en la Ec. (4.15) para el estado terminal superior,obtenemos

L2|Φt〉 = λ~2|Φt〉(L2z + ~Lz + L−L+

)|Φt〉 = λ~2|Φt〉(

L2z + ~Lz

)|Φt〉 = λ~2|Φt〉

~2(`2 + `

)|Φt〉 = λ~2|Φt〉

En forma similar, usando la primera de las Ecs. (4.11) en la ecuacion deautovalores (4.15) para el estado terminal inferior, obtenemos

~2((`′)2 − `′

)|Φ′t〉 = λ~2|Φ′t〉

120

4.2. Spin 4. Cantidad de movimiento angular

Como ambos estados terminales tienen el mismo autovalor λ resulta que

`(`+ 1) = `′(`′ − 1) = λ.

Esta es una ecuacion de segundo grado en `′ que admite soluciones

`′ = `+ 1, `′ = −`

pero solo la segunda satisface el requisito µmin = `′ ≤ µmax = `. Por lo tanto,los autovalores µ varıan entre −` y ` en pasos de 1. En otras palabras, µpuede tomar 2` + 1 valores discretos. Este numero debe ser entero (es unnumero de estados) ası que

` = 0, 1, 2, . . . (entero), o ` =1

2,3

2,5

2. . . (semi-entero)

El numero cuantico de momento angular solo puede ser entero o semi-enteroy es no negativo.

En suma, el espectro de autovalores de momento angular es discreto y secaracteriza por dos numeros cuanticos `,m, de modo que Buscamos definirla forma del espectro del problema de autovalores de momento angular

L2|Φ`,m〉 = `(`+ 1)~2|Φ`,m〉 (4.12)

Lz|Φ`,m〉 = m~|Φ`,m〉 (4.13)

donde ` es un entero (o semi-entero) no negativo y donde el numero cuanticomagnetico m toma los 2`+ 1 valores,

m = −`,−`+ 1, . . . , `− 1, `.

Es claro que el numero ` determina el modulo de L, en tanto que m (numerocuantico magnetico, por razones que veremos mas adelante) determina lamagnitud de una de sus componentes cartesianas, Lz. En Mecanica Cuanticacualquier operador vectorial hermitico cuyas tres componentes satisfacenlas relaciones de conmutacion (4.4), es un momento angular y tendra esteespectro de autovalores.

4.2. Spin

En fısica clasica, un objeto en movimiento, como por ejemplo la Tierra,tiene un momento angular asociado a su desplazamiento y otro momento an-gular asociado a la rotacion sobre su eje. Ambos son cantidades vectoriales,cuya suma es aproximadamente2 constante, al ser el movimiento dominado

2Las influencias de otros cuerpos en el Sistema Solar pueden causar pequenas variacio-nes.

121


por la fuerza central de atraccion del Sol. Puede referirse al momento an-gular propio del objeto, como “Spin” y este es la suma de los momentosangulares de sus partes en rotacion.

En Mecanica Cuantica, ocurre algo parecido, y distinguimos entre lacantidad de movimiento angular orbital de una partıcula L y la cantidadde movimiento angular intrınseca o spin S. Ambos observables son descritospor operadores hermıticos (vectoriales, ya que son vectores en tres dimensio-nes) y tienen unidades de cantidad de movimiento angular. Sin embargo, adiferencia del caso clasico, hay una diferencia fundamental entre la cantidadde movimiento orbital y el Spin. Este ultimo no puede visualizarse como elmomento angular de una (pequena) masa en rotacion, ni puede tomar cual-quier valor como en sistemas clasicos. El Spin es una propiedad intrınsecade la partıcula y tiene un valor fijo caracterıstico de cada partıcula. Porejemplo, los fotones tienen numero cuantico de spin s = 1, los electrones,protones y neutrones s = 1/2, los gravitones s = 2 y los mesones π tienens = 0.

Los operadores de Spin satisfacen las relaciones de conmutacion de unmomento angular,

[Sx, Sy] = i~Sz, [Sy, Sz] = i~Sx, [Sz, Sx] = i~Sy. (4.14)

y todo el desarrollo de la seccion anterior es aplicable al espacio de estadosde spin. En general el problema de autoestados de spin se describe con dosnumeros cuanticos de spin s,ms,

S2|s,ms〉 = s(s+ 1)~2|s,ms〉Sz|s,ms〉 = ms~|s,ms〉

donde s es un entero (o semi-entero) no negativo y donde el numero cuanticomagnetico de spin ms toma los 2s+ 1 valores,

ms = −s,−s+ 1, . . . , s− 1, s.

Los auotestados de spin |s,ms〉 no pueden representarse como funciones dela posicion.

El spin de una partıcula es una propiedad esencial a la misma, como sucarga o su masa. De hecho, podemos clasificar las partıculas entre aquellasque tienen spin entero (bosones) y las que tienen spin semi-entero (fermio-nes) y esto se manifiesta en sus propiedades fısicas. Muchos bosones puedenocupar un mismo estado cuantico, pero solo es posible tener un fermion enun estado cuantico dado3 Los sistemas de varios bosones deben ser descri-tos por funciones de onda simetricas (invariantes) bajo el intercambio dedos de ellos, en tanto que los sistemas de fermiones deben ser descritos porfunciones de onda antisimetricas bajo el intercambio de dos de ellos.

3Propiedad que da lugar al Principio de Exclusion de Pauli, a la estructura de capasde los atomos, y en definitiva a las propiedades que se manifiesta en la Tabla Periodica delos elementos.

122


4.2.1. Spin 1/2

Para partıculas con spin 1/2, como el electron, proton o neutron, hay dosposibles autoestados de spin y el espacio de estados es muy simple. De hecho,este es el prototipo de un sistema de dos niveles (o cubit) y es el sistemacuantico mas simple posible. Para s = 1/2, las relaciones de autoestados despin se reducen a

S2|12,ms〉 =

3

4~2|1

2,ms〉

Sz|1

2,ms〉 = ms~|

1

2,ms〉

donde ms solo toma los dos valores ms = −1/2,−1/2. En otras palabras,una medida de la componente de spin de un electron en cualquier direccionz, resulta en uno de dos valores ±~/2. Es usual referirse a estos autoestadospor la notacion mas compacta

|12,+

1

2〉 → |+〉, |1

2,−1

2〉 → |−〉.

En la siguiente seccion, discutiremos en general el sistema de dos niveles,aprovechando para mostrar como trabajar con representacion matricial (veael Apendice A, por mas detalles).

4.2.2. Sistemas de dos niveles

Para describir un sistema de dos niveles, comenzamos por especificar eloperador Hamiltoniano, que debe cumplir

H|Φ1〉 = E1|Φ1〉H|Φ2〉 = E2|Φ2〉 (4.15)

para dos energıas E1 y E2. Si no es degenerado (E1 6= E2) los dos estadosestacionarios seran ortogonales entre si, es decir 〈Φ1|Φ2〉 = 0, y ademas cons-tituyen una base para representar los vectores del espacio. En otras palabras,cualquier vector del espacio (que tiene dimension 2) se puede representar co-mo

|Ψ〉 = α|Φ1〉+ β|Φ2〉 (4.16)

con 〈Ψ|Ψ〉 = α2 + β2 = 1. Estas relaciones pueden expresarse en terminosmatriciales (2x2 en este caso). Asignamos a los kets de la base los vectorescolumna

|Φ1〉 →[

10

], |Φ2〉 →

[01

]y, asignando a los bras los correspondientes vectores fila, vemos que se cum-ple la ortogonalidad

〈Φ1|Φ2〉 =

[10

]× [0 1] = 0.

123


De acuerdo con (4.16), un vector arbitrario del espacio se expresa como

|Ψ〉 →[αβ

]y su norma (al cuadrado) es α2 + β2 = 1. En esta representacion, al unoperador A le corresponde una matriz hermıtica 2x2 ya que aplicada a unket, debe dar otro ket. En general, podemos escribir

A→ A =

[A11 A12

A21 A22

]donde Aij = 〈Φi|A|Φj〉 es el elemento de matriz de A entre los estadosestacionarios (i, j). Si este operador representa un observable, sera Hermıtico(A = A†) y sus elementos de matriz cumplen la propiedad4

Aij = A∗ji.

Esto implica, ademas, que los elementos de la diagonal (i = j) de una matrizque representa a un operador hermıtico son reales.

Si conocemos la base propia de H

Si el operador a describir es el propio Hamiltoniano, la matriz asociadaes diagonal (en la representacion de sus autoestados):

H → H =

[E1 00 E2

]ya que si los elementos fuera de la diagonal no son nulos, no se cumplen lasecuaciones de autovalores (4.15). Este operador puede representarse tambiencomo

H = E1|Φ1〉〈Φ1|+ E2|Φ2〉〈Φ2|.

El ket |Ψ(t)〉 tendra coefientes que varıan con el tiempo en la forma usual

|Ψ(t)〉 →[αe−iω1t

βe−iω2t

]donde ~ω1 = E1 y ~ω2 = E2. Observe que si g = 0, el resultado de unamedida de la energıa no depende del tiempo: hay una probabilidad |α|2 demedir E1 y otra 1− |α|2 de medir E2.

4La matriz de Adagger es la traspuesta conjugada de la matriz de A. Si no queda claroporque esto es ası, utilice la definicion de operador Hermıtico del Cap. 3 para mostrarlo.

124


Si no conocemos la base propia de H

En el caso mas general, en el que los estados |Φ1〉 y |Φ2〉 son una base,pero no son autoestados de H, la matriz resulta

H → H =

[e1 gg∗ e2

]donde e1,2 son reales y g es un elemento de matriz complejo, en general. Eloperador H se puede escribir tambien como

H = e1|Φ1〉〈Φ1|+ e2|Φ2〉〈Φ2|+ g|Φ1〉〈Φ2|+ g∗|Φ2〉〈Φ1|.

y en caso que g = 0 solo quedan los terminos diagonales, indicando que eneste caso estamos en la representacion de estados propios de H. Para verque sucede con las medidas de la energıa en el caso g 6= 0, debemos resolverel problema de valores y vectores propios de H.

En terminos matriciales, un valor propio E debe satisfacer[e1 gg∗ e2

] [ab

]= λ

[ab

]o, lo que es equivalente,[

e1 − λ gg∗ e2 − λ

] [ab

]= 0.

Este sistema homogeneo (2x2) tiene solucion no trivial solo el determinantede la matriz es nulo,

det

[e1 − λ gg∗ e2 − λ

]= 0⇒ (e1 − λ)(e2 − λ) = |g|2.

Las dos soluciones a esta ecuacion de segundo grado son los autovalores dela energıa,

λ1,2 =e1 + e2

2± 1

2

√(e1 − e2)2 + 4|g|2. (4.17)

Para g = 0, esto se reduce al resultado esperado e1 y e2. Cuando g 6= 0, estaexpresion da los nuevos niveles de energıa.

Los autoestados correspondientes se calculan en la forma usual. Por ejem-plo, para λ1, se cumple[

e1 − λ1 gg∗ e2 − λ1

] [ab

]= 0

o sea que los nuevos autoestados son, a menos de una constante5

|ϕ1〉 → C1

[g

λ1 − e1

].

5Los autovectores estan definidos a menos de una constante, que se determina pornormalizacion.

125


En forma similar, se obtiene el autovector correspondiente a λ2 (signo demenos en (4.17)), es a menos de una constante

|ϕ2〉 → C2

[g

λ2 − e1

].

Para conocer las probabilidades de observar λ1 o λ2 al medir la energıa deun estado |Ψ〉 cualquiera, calculamos las probabilidades con los autovectores|ϕ1,2〉. Por ejemplo, la probabilidad P1 de medir λ1 es (g 6= 0)

P1 = |〈ϕ1|Ψ〉|2 = |C1|2|g∗α+ (λ1 − e1)β|2 =|g∗α+ (λ1 − e1)β|2

|g|2 + (λ1 − e1)2.

4.2.3. Matrices de Pauli

Para una particula de spin s = 1/2, en una representacion formada porlos autoestados de Sz,

|+〉 →[

10

], |−〉 →

[01

]con autovalores ~/2 y −~/2 respectivamente, las matrices 2 × 2 asociadasson Sx = ~

2σx, Sy = ~2σy, Sz = ~

2σz, donde

σx =

[0 11 0

], σy =

[0 −ii 0

], σz =

[1 00 −1

]son las matrices de Pauli. La tercera de estas relaciones es evidente, ya quepor definicion

〈+|Sz|+〉 =~2, 〈−|Sz|−〉 = −~

2

y 〈+|−〉 = 0, por ser auto-estados de un operador hermıtico con autovaloresdiferentes, por lo tanto

〈+|Sz|−〉 = 〈−|Sz|+〉 = 0.

Para hallar las matrices asociadas a σx y σy, es conveniente definir losoperadores escalon,

σ± = σx ± iσyde modo que

σx =1

2(σ+ + σ−), σy =

1

2i(σ+ − σ−).

En este espacio de dos autoestados, los estados |±〉 son ambos estados ter-minales, por lo que

S+|+〉 = 0 S+|−〉 =~2σ+|−〉 = ~|+〉

S−|+〉 =~2σ− = ~|−〉 S−|−〉 = 0.

126


Los elementos de matriz son entonces, para σx,

〈+|σx|+〉 =1

2〈+|σ+ + σ−|+〉 = 0, 〈−|σx|−〉 =

1

2〈−|σ+ + σ−|−〉 = 0

〈+|σx|−〉 =1

2〈+|σ+ + σ−|−〉 = 1, 〈−|σx|+〉 =

1

2〈−|σ+ + σ−|+〉 = 1.

En forma similar, para σy se obtiene,

〈+|σy|+〉 =1

2i〈+|σ+ − σ−|+〉 = 0, 〈−|σy|−〉 =

1

2i〈−|σ+ − σ−|−〉 = 0

〈+|σy|−〉 =1

2i〈+|σ+ − σ−|−〉 = −i, 〈−|σy|+〉 =

1

2i〈−|σ+ − σ−|+〉 = i.

Con las tres matrices de Pauli y la identidad se puede representar cual-quier operacion este espacio lineal. Las matrices de Pauli satisfacen las si-guientes propiedades,

σ2x = σ2

x = σ2x = 1

σxσy + σyσx = 0

[σx, σy] = 2iσz

σxσy = iσz

y las que resultan de cambiar (x, y, x) por una permutacion cıclica. Es decirque aplicadas dos veces, son la identidad. Ademas, anticonmutan entre siy cumplen las relaciones de conmutacion de una cantidad de movimientoangular.

127

Capıtulo 5

Atomos Hidrogenoides

En este capıtulo1 analizamos los estados estacionarios del electron en ato-mos hidrogenoides. Los atomos hidrogenoides consisten de un unico electronen interaccion Coulombiana con un nucleo masivo de carga Ze. Dado que ladiferencia de masas entre el nucleo y el electron es muy grande,M/m & 1861,se puede suponer que el nucleo permanece estacionario y el problema de doscuerpos se reduce al movimiento del electron en un campo de fuerza centralde tipo Coulombiano.

En la Seccion 5.1 mostramos que la dependencia angular de las funcionesde onda esta dada por los Armonicos Esfericos y este hecho no depende delos detalles de la interaccion, sino solamente de su simetrıa central. Parapotenciales centrales, el problema puede ser reducido a una ecuacion radial,que trataremos en la Seccion 5.1.2. Algunos de los estados estacionarios pre-sentan simetrıa central, pero otros no. Estos estados se describen brevementeen la Seccion 5.1.3.

El momento angular del electron es una de las cantidades, juega un rolimportante en la estructura fina de los niveles de energıa del atomo. Enla Seccion 5.2 se mestra como la interaccion entre el Spin del electron y losefectos magneticos asociados a su carga electrica dan orıgen a una separacionde los niveles de energıa.

5.1. Potenciales con simetrıa esferica

En esta seccion usamos el metodo de separacion de variables para ob-tener la dependencia angular de la funcion de onda del electron cuando elpotencial tiene simetrıa esferica. Por el momento, no es necesario especificarlos detalles del potencial, sino que basta suponer que V = V (r). Como el po-tencial no depende del tiempo, la funcion de onda de un estado estacionarioes de la forma Ψ(r, θ, ϕ; t) = Φ(r, θ, ϕ)e−iEt/~. La parte espacial, Φ, satisface

1Adaptado de las Notas del Curso de Fısica Moderna de Facultad de Ingenierıa, edicion2004. No hay que pedirle pedirle mucho...

128

5.1. Potenciales con simetrıa esferica 5. Atomos Hidrogenoides

la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, que en coordenadasesfericas es[

− ~2

2m∇2 + V (r)

]Φ(r, θ, ϕ) = HΦ(r, θ, ϕ) = EΦ(r, θ, ϕ). (5.1)

El operador Laplaciano en esfericas esta dado por

∇2 =1

r

∂2

∂r2r +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2. (5.2)

5.1.1. Armonicos Esfericos

Buscando una solucion de la forma Φ(r, θ, ϕ) = R(r)P (θ)Q(ϕ), se susti-tuye en la ec. (5.1) y, luego de multiplicar por r2 sin2 θ/Φ, se obtiene

r sin2 θ

R

∂2

∂r2(rR) +

2m

~2r2 sin2 θ [E − V (r)] +

sin θ

P

∂

∂θ

(sin θ

∂P

∂θ

)= − 1

Q

∂2Q

∂ϕ2= m2.

(5.3)

El termino de la izquierda no depende de ϕ y el de la derrecha es solo funcionde ϕ por lo que ambos deben ser iguales a una constante, m2. La funcion Qsatisface la ecuacion

∂2Q

∂ϕ2+m2Q = 0 (5.4)

de modo que Q(ϕ) = eimϕ. Dado que ϕ es una variable angular definida en[0, 2π) y la funcion de onda debe ser univaluada se tiene Q(ϕ) = Q(ϕ+ 2π)y m debe ser un entero. Este es el primer numero cuantico del problema yse denomina “numero cuantico magnetico” por su rol en la separacion de losniveles de energıa del atomo en presencia de un campo magnetico (Seccion5.2.1).

La otra ecuacion resultante de (5.3), luego de dividir entre sin2 θ, sereescribe como

r

R

∂2

∂r2(rR) +

2m

~2r2 [E − V (r)] = − 1

P sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂P

∂θ

)+

m2

sin2 θ= λ.

(5.5)De nuevo, como el primer miembro depende solo de r y el segundo es solofuncion de θ ambos deben ser iguales a una constante, λ = l(l+ 1) (la formaelegida para estas constantes esta dictada por su uso posterior). Usando lavariable auxiliar x = cos θ, la ecuacion en θ se reduce a la ecuacion asociadade Legendre [13],

d

dx

[(1− x2)

dP

dx

]+

[l(l + 1)− m2

1− x2

]P (x) = 0. (5.6)

Se puede probar, usando la tecnica de series de potencias, que esta ecuacionsolo tiene soluciones acotadas si l es un entero no negativo tal que

l ≥ |m| (5.7)

129


es decir que, para cada m, el numero l toma los valores l = |m|, |m|+ 1 . . ..Este es el segundo numero cuantico, denominado “numero cuantico orbital”por su relacion con el momento angular del electron. Las soluciones acotadasde (5.6) son las funciones asociadas de Legendre, definidas por

Plm(x) ≡ (−1)m

2ll!(1− x2)m/2

dl+m

dxl+m(x2 − 1)l. (5.8)

Para m = 0 estas funciones son los familiares polinomios de Legendre,P 0l (x) = Pl(x).

La dependencia angular de la funcion de onda, Pml (cos θ)eimϕ, se expresamas convenientemente en terminos de los armonicos esfericos [13]

Ylm(θ, ϕ) ≡

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Plm(cos θ)eimϕ. (5.9)

Estas funciones forman un conjunto ortonormal completo en la esfera uni-taria. Es decir que la constante en (5.9) se ha elegido de modo que∫ 2π

0dϕ

∫ π

0sin θdθ Y ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) = δll′δmm′ (5.10)

donde δij es la funcion delta de Kroneker. A continuacion se listan los pri-meros armonicos esfericos,

Y00(θ, ϕ) =1√4π

Y10(θ, ϕ) =

√3

4πcos θ

Y1,±1(θ, ϕ) = ∓√

3

8πsin θe±iϕ

Y20(θ, ϕ) =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)(5.11)

Y2,±1(θ, ϕ) = ∓√

15

8πsin θ cos θ e±iϕ

Y2,±2(θ, ϕ) =

√15

2πsin2 θe±2iϕ.

El hecho de que la ec. (5.6) solo depende de m2, hace que la dependecia deestas funciones en el signo de m sea en cierto modo trivial. De hecho, estasfunciones satisfacen la relacion Yl,−m = (−1)mY ∗lm.

5.1.2. Ecuacion radial

Hasta el momento no ha sido necesario especificar la forma detallada delpotencial V (r). La ec. (5.5) implica que la parte radial de la funcion de onda

130


satisface1

r

d2

dr2(rR) +

2m

~2

[E − V (r)− ~2l(l + 1)

2mr2

]R = 0 (5.12)

de modo que, en problemas con simetrıa esferica, es usual definir el potencialefectivo

Vef ≡ V (r) +~2l(l + 1)

2mr2= V (r) +

L2

2mr2. (5.13)

En problemas de fuerzas centrales en Mecanica Clasica, el termino centrıfugoes L2/2mr2, donde L es el momento angular constante del movimiento.La ecuacion (5.12) se conoce con el nombre de “ecuacion radial” y es laque es necesario resolver en problemas con simetrıa esferica. Esta ecuaciondetermina, ademas, los posibles niveles de energıa del electron.

Para describir atomos hidrogenoides especificamos el potencial Coulom-biano

V (r) = −kZe2

r(5.14)

donde e es la carga elemental, Z el numero atomico y k una constante quedepende del sistema de unidades elegido. En unidades gaussianas k = 1 y enunidades internacionales (S.I.), k = 1/4πε0. Nos interesan lso estados ligadosasociados al potencial Coulombiano, por lo que E < 0. Los estados con E > 0forman un contınuo y corresponden a electrones libres que interacuan conla carga positiva en el orıgen.

Es conveniente expresar la ecuacion radial en terminos de variables adi-mensionadas para lo cual definimos, para E < 0,

α =√−2mE/~2

ρ = 2αr (5.15)

γ = kmZe2

~2α. (5.16)

En terminos de la posicion adimensionada ρ, la ecuacion radial para el po-tencial Coulombiano se reduce a la ecuacion de Laguerre [13]

1

ρ

d2

dr2(ρR) +

[−1

4− l(l + 1)

ρ2+γ

ρ

]R(ρ) = 0. (5.17)

De nuevo, el hecho de que R sea solucion acotada de esta ecuacion im-pone ciertas restricciones. Usando la tecnica de series de potencias, se puededemostrar que solo existen soluciones acotadas si γ es un entero positivo demodo que

γ = n = l + 1, l + 2, . . . (5.18)

Es decir, que aparece el tercer numero cuantico n del problema. En este caso,cuando n > l es un entero positivo, las soluciones a (5.17) son las funcionesasociadas de Laguerre

Rnl(ρ) = Cne−ρ/2ρlFn(ρ) (5.19)

131


Figura 5.1: Distribucion radial p(r) definida en la ec. (5.25). En orden descendente, lascurvas corresponden al estado fundamental (n,l)=(1,0) y los estados excitados (2,0),(2,1)y (3,0),(3,1),(3,2) respectivamente.

donde Fn(ρ) es un polinomio de grado n − 1 y Cn es una constante denormalizacion.

La funcion de onda completa del electron es entonces de la forma

Φ(r, θ, ϕ) = Rnl(2αr)Ylm(θ, ϕ). (5.20)

Dado que los armonicos esfericos estan normalizados de acuerdo a (5.10), lanormalizacion de la funcion de onda requiere que las funciones Rnl tambienesten normalizadas de acuerdo a∫ ∞

0r2dr R2

nl(r) = 1. (5.21)

Esta condicion determina el valor de la constante Cn en (5.19).La condicion γ = n cuantiza los niveles de energıa del electron en el

atomo. En efecto, usando (5.15) y (5.18), las energıas permitidas son

En = −k2mZ2e4

2~2n2= −Z

2E0

n2. (5.22)

132


Donde E0 corresponde a la energıa del estado fundamental del atomo deHidrogeno2 . El numero cuantico n determina el valor de la energıa y tambienlos posibles valores de los numeros l y m cuando el electron tiene energıaEn. Por esta razon se denomina “numero cuantico principal”.

Es conveniente definir el radio de Bohr

a0 =~2

kme2= 0,529 A (5.23)

de modo que E0 = ~2/2ma20 y, en terminos de a0, los niveles de energıa son

En = −~2Z2/2ma20n

2. El radio de Bohr es una distancia caracterıstica delatomo. Observe que la variable adimensionada ρ se puede expresar como

ρ =2r

a0n(5.24)

por lo que la escala ρ depende de la energıa a traves de n.

5.1.3. Orbitales atomicos

Forma de los orbitales

La densidad de probabilidad radial p(r) es la probabilidad de encontraral electron en un “cascaron” esferico de radios en [r, r+ dr]. La densidad deprobabilidad p(r) se calcula integrando angularmente la densidad de proba-bilidad espacial |Φ|2. Observe que la dependencia en ϕ de la funcion de ondaes simplemente una fase eimϕ y entonces |Φ|2 no depende de ϕ. Definiendoel diferencial de angulo solido dΩ ≡ sin θdθdϕ se tiene

p(r) =

∫esfera

dΩ |Φ|2 = r2Rnl(r), (5.25)

donde se ha usado la condicion de normalizacion (5.10) para los armonicosesfericos. Esta es una distribucion de probabilidad porque la normalizacionde la funcion de onda asegura que

∫∞0 p(r)dr = 1. En la Figura 5.1 se muestra

la distribucion radial de varios estados estacionarios en escala absoluta, r/a0.Observe que a mayor energıa, el electron tiene mas chance de estar lejos delncleo. Los valores esperados de la distancia al orıgen (posicion radial) secalculan a partir del integral

< r >=

∫ ∞0

r3R2nl dr. (5.26)

En forma similar se puede calcular < r2 > y obtener la desviacion estandarσr =

√< r2 > − < r >2. La posicion del electron no esta bien determina-

da (es una variable aleatorea con distribucion p(r)) pero sus propiedadesestadısticas estan implıcitas en la funcion de onda.

2La que coincide con la energıa de ionizacion, o la energıa que es necesario suministrarlepara liberar al electron. Evaluando resulta E0 = 13,6 eV.

133


Figura 5.2: Distribucion angular p(θ) definida en el texto. Arriba: estados con l = 0 . . . 4y |m| = l, para los cuales el orbital es cercano al plano xy. Abajo: estados con l = 3.Observe que para l = 3,m = 0 el orbital es cercano al eje z.

134


Figura 5.3: Distribucion de probabilidad conjunta p(r, θ) ∝ r2R2nl [Plm(θ)]2 sin θdθ para

varios valores de los numeros cuanticos (n, l,m). En orden descendente por columna, deizquierda a derecha, son: (1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0), (2, 1,±1), (2, 1, 0), (3, 1,±1), (3, 1, 0) y(3, 2,±2), (3, 2,±1), (3, 2, 0).

La dependendencia angular p(θ) de la densidad de probabilidad se puedeobtener integrando en la coordenada radial de modo que, usando la norma-lizacion de la funcion radial (5.21),

p(θ) =

∫ ∞0|Φ|2 r2dr = |Ylm(θ, ϕ)|2 ∝ [Plm(θ)]2 (5.27)

y la dependencia angular queda dada por las funcines generalizadas de Le-gendre al cuadrado. En la Fig. 5.2 se muestra esta dependencia para variosestados estacionarios. Antes de sacar mas conclusiones sobre la dependenciaangular es necesario establecer algunos hechos sobre el momento angular.Finalmente, en la Fig. 5.3 se muestra la densidad de probabilidad espacialcompleta p(r, θ) ∝ r2R2

nl [Plm(θ)]2 sin θdθ para varios estados estacionarios.

135

5.2. Momento Angular 5. Atomos Hidrogenoides

Degeneracion

Los estados estacionarios del electron quedan determinados por los tresnumeros cuanticos n, l,m, pero la energıa depende solo del numero cuanticoprincipal. Es decir que diferentes estados comparten la misma energıa. Es-tos estados se denominan “degenerados”. El nivel de energıa En, comun avarios estados degenerados, tambien se denomina nivel degenerado. La de-generacion gn de un nivel de energıa es el numero de estados diferentes quetienen esa energıa. En el caso de los atomos hidrogenoides, para un n dadol = 0, 1, 2 . . . n−1 y para cada l el numero cuantico magnetico m toma 2l+1valores de modo que la degeneracion del nivel En es3

gn =n−1∑l=0

(2l + 1) = n2. (5.28)

Es decir que, por ejemplo, el nivel E10 es compartido por 100 estados cuanti-cos diferentes4.

Podemos preguntar porque no depende la energıa de los numeros m y l.La independencia de m es consecuencia de la simetrıa esferica del potencial.Despues de todo, la ecuacion radial determina los niveles de energıa y nodepende de m. Como se vera en la Seccion 5.2.1, si rompemos la simetrıaesferica del problema colocando el atomo en un campo magnetico uniformeen la direccion z, los niveles de energıa pasan a depender del numero m. Laindependencia de l responde a algo mas sutil. Despues de todo, la ecuacionradial (5.17) depende del valor de l. De hecho, los niveles de energıa asociadosa esta ecuacion para cualquier potencial no Coulombiano, dependerıan de l.Es decir que la degeneracion en l es una consecuencia (y una particularidad)de la dependencia 1/r del potencial Coulombiano. En el caso de los atomosmultielectronicos, la interaccion entre los electrones hace que el potencialse desvıe un poco de la forma Coulombina (apantallamiento). Si bien estoes en general un efecto pequeno, es suficiente para romper la degeneracionen l y en atomos multielectronicos los niveles de energıa son diferentes paradiferentes valores de l.

5.2. Momento Angular

En esta seccion recuperamos los resultados demostrados en general en elCap. 4, para el caso particular de las funciones de onda de un problema consimetrıa esferica. Las componentes cartesianas del momento angular orbital,

3Recordando que la suma de los primeros k enteros positivos es k(k + 1)/2.4Si ademas incluimos la degeneracion de spin, este numero se duplica.

136


se obtuvieron en el Cap. 4 como5,

Li = −i~(xj

∂

∂xk− xk

∂

∂xj

)(5.29)

donde (i, j, k) es una permutacion cıclica de (1, 2, 3). Estas componentespuden expresarse en coordenadas esfericas como

Lx = i~(

sinϕ∂

∂θ+ cot θ cosϕ

∂

∂ϕ

)Ly = i~

(− cosϕ

∂

∂θ+ cot θ sinϕ

∂

∂ϕ

)Lz = −i~ ∂

∂ϕ. (5.30)

Es llamativa la simplicidad de la componente z del momento angular. Dehecho, dado que la dependencia de la funcion de onda en ϕ es simplementeeimϕ, es evidente que se cumple

LzΦnlm = m~Φnlm. (5.31)

Es decir que la funcion de onda hallada, eimϕ, es autofuncion del operadorLz con autovalor m~. Si calculamos el valor esperado de la componente zdel momento angular, obtenemos

< Lz >=

∫dr3Φ∗nlmLzΦnlm = m~

∫dr3Φ∗nlmΦnlm = m~. (5.32)

Es decir que el numero cuantico m fija el valor esperado la componente z delmomento angular. Se puede verificar directamente que la funcion de ondano es autofuncion de las otras componentes cartesianas de ~L.

Sin embargo el operador L2 = L2x + L2

y + L2z si tiene una accion simple

sobre los estados estacionarios del electron. La forma de este operador sepuede obtener de las ecs. (5.30) como

L2 = −~2

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

](5.33)

Es un ejercicio sencillo mostrar, usando la ec. (5.5) que la funcion de ondaΦnlm es autofuncion de L2 con autovalor ~2l(l + 1), es decir que

L2Φnlm = l(l + 1)~2Φnlm. (5.34)

La consecuencia directa de esto es que el valor esperado del modulo de ~L es

< L >=√< L2 > =

√l(l + 1)~. (5.35)

137


Figura 5.4: Lugar geometrico del vector momento angular para l = 2 y los posiblesvalores de m = 0.± 1,±2. Observe que la eleccion de la direccion z es arbitraria.

Tambien es evidente que los operadores Lz y L2 conmutan con el ope-rador hamiltoniano H definido en (5.1). Basta observar que H se puedeescribir como

H = − ~2

2m∇2 + V (r) = − ~2

2mr

∂2

∂r2r +

L2

2mr2+ V (r) (5.36)

y como [L2, Lz] = 0 resulta que [H,L2] = [H,Lz] = 0. Esto significa queambos operadores L2 y Lz son constantes del movimiento.

Los estados estacionarios Φnlm del electron tienen tres magnitudes biendefinidas: una energıa En, una componente6 (z) de momento angular m~y un modulo del momento angular

√l(l + 1)~. No estan bien definidos en

cambio la posicion, la cantidad de movimiento lineal, las otras componentesde momento angular o la energıa cinetica. Para estas magnitudes solo esposible conocer sus valores medios.

5.2.1. Efecto Zeeman

Al colocar un atomo en un campo magnetico uniforme los niveles deenergıa se desdoblan de acuerdo al valor del numero cuantico magnetico.Esto se conoce como el efecto Zeeman. Para ver por que esto es asi, debemoscalcular el momento magnetico asociado a la circulacion del electron.

Momento magnetico del electron

En general, una corriente I que recorre un circuito plano que encierraun area ~A tiene asociado un momento magnetico ~µ = I ~A. El electron esuna carga en movimiento y tiene asociada una corriente y un momentomagnetico. El calculo cuantico del momento magnetico esta fuera del alcancede este curso. Afortunadamente un argumento clasico elemental da el mismoresultado.

5Usando por el momento la notacion (x1, x2, x3) para las componentes cartesianas(x, y, z) del vector posicion.

6Recordamos, una vez mas, que z es una direccion arbitraria en el caso de un problemacon simetrıa esferica.

138


Supongamos que el electron, de carga −e, se desplaza en una orbitacircular de radio r con velocidad v. Su momento angular es ~L = mvrzsiendo z la direccion normal al plano de su orbita. La corriente asociadaa esta circulacion de carga es simplemente I = −ev/2πr. Por lo tanto elmomento magnetico es ~µl = Iπr2z = −evr/2z. Expresando esto en terminosdel momento angular se tiene la relacion entre operadores vectoriales

~µl = −glµ0

~~L (5.37)

donde µ0 = e~/2m es una constante conocida como el magneton de Bohr ygl = 1 es el factor giromagnetico orbital del electron. Su presencia, inocuaen la ec. (5.37), quedara justificada cuando se trate el caso del spin.

Es decir que el momento magnetico asociado a la corriente electronica esantiparalelo y proporcional en magnitud al momento angular del electron.

Interaccion con un campo magnetico uniforme

La interaccion entre un momento magnetico ~µ y un campo magnetico~B es bien conocida de los cursos previos de electromagnetismo. Aparece untorque (momneto de fuerza) ~µ× ~B que tiene a alinear el momento magneticoen la direccion del campo ~B aplicado. En otras palabras, el plano de la orbitatiende a ser perpendicular a la direccion definida por el campo. Nos interesaen particular la energıa potencial de orientacion

U = −~µl · ~B. (5.38)

Esta energıa es mınima si ~µ y ~B son colineales. Admitiremos sin mas jus-tificacion que las relaciones entre operadores vectoriales (5.37) y (5.38) sonvalidas.

Cuando el atomo de encuentra en una region donde hay un campomagnetico uniforme ~B el operador hamiltoniano se modifica, de su forma(5.36) con simetria esferica, a

H = H0 − ~µl · ~B (5.39)

donde H0 se refiere al operador hamiltoniano (5.36) en ausencia de campoB.

Evidentemente, las funciones Φnlm obtenidas en la seccion 5.1 para elcaso con simetrıa esferica son autofunciones de H0 pero no de H. Ahora elcampo ~B define una direccion privilegiada en el espacio y rompe la simetrıaesferica del problema. Sin embargo, admitamos que para campos magneticosno muy intensos el efecto en las funciones de onda es pequeno de modo quea primer orden puede ser ignorado.

Calculemos entonces el valor esperado de la energıa del electron usando7

los estados estacionarios Φnlm correspondientes al caso B = 0. El valor

7Esto corresponde formalmente a realizar un calculo perturbativo de los niveles deenergıa primer orden no nulo.

139


E

m= 0

m=-1

m=+1

Figura 5.5: Ejemplo del Efecto Zeeman. Al colocar un atomo en un campo magneticoun nivel de energıa con l = 1 se desdobla en tres niveles, de acuerdo a los posibles valoresdel numero cuantico magnetico ml = 0,ml = ±1. La separacion entre los niveles es µ0B.

esperado de la energıa es approximadamente

E =< H >=< H0−~µl· ~B >=< H0 > − < µlB >≈ − ε0

n2− < ~µl· ~B > (5.40)

donde los niveles ε0/n2 son los del electron en ausencia del campo magnetico.

Usando el hecho de que el momento magnetico es proporcional al momentoangular y eligiendo la direccion z como la direccion del campo ~B, se tieneque

− < ~µl · ~B >= glµ0

~< ~L · ~B >= gl

µ0

~B < Lz >= mlµ0B. (5.41)

Por lo tanto, obtenemos el resultado de que en presencia de un campomagnetico los niveles de energıa del electron pasan a depender del numerocuantico m

Enml = −E0

n2+mlµ0B. (5.42)

Observe que para el nivel fundamental n = 1 se tiene l = ml = 0 y no haydesdoblamiento. Este es un nivel con simetrıa esferica y momento magneticonulo en la direccion del campo. El nivel n = 2, se desdobla en tres nivelescon una separacion ∆E = µ0B entre ellos. El efecto es pequeno, inclusopara campos relativamente grandes como B ∼ 1 Tesla. En efecto, usandoµ0 = 5,794× 10−5 eV/Tesla se tiene µ0B/E2 ≈ 1,8× 10−5 1.

Ademas de desdoblar los niveles de energıa, el campo ~B tiene el efec-to de ordenar la dependencia temporal del momento angular. El momentomagnetico (y el momento angular) experimentan un torque

~τ = ~µl × ~B =d~L

dt(5.43)

que causa que precesionen en torno al eje z con una frecuencia determinada,como se muestra en la Fig. 5.6. Descomponiento el momento magnetico ensus componentes, ~µl = ~µz + ~µ⊥, resulta que la componente a lo largo del

140


x

y

z

µ

µz

µ

ϕ

Figura 5.6: Descomposicion del momento magnetico en sus componentes ortogonales. Lafrecuencia angular de precesion, ωL, esta asociada a la variacion de este vector, ec. (5.44).

campo magnetico (direccion z en la Fig. 5.6) no varıa. Entonces la variaciondel momento magnetico es

d~µl = d~µ⊥ = µ⊥dϕeϕ = µ⊥ωLdteϕ. (5.44)

De lo anterior, usando las ecs. (5.37) y (5.43), se obtiene la frecuencia deprecesion

ωL =µ0B

~(5.45)

conocida como frequencia de Larmor. Una medida de esta frecuencia es unamedida de la separacion energetica entre estados con diferente m.

5.2.2. Interaccion con un campo magnetico no uniforme

En 1922, Stern y Gerlach hacen pasar un haz de atomos con momentomagnetico conocido a traves de un campo magnetico no uniforme y observanla cuantizacion de las componentes z del momento magnetico y del momentoangular.

Un momento magnetico en un campo ~B no uniforme experimenta unafuerza neta

~F = (~µ · ∇) ~B. (5.46)

Un dipolo electrico en un campo electrico no uniforme experimenta unafuerza analoga. En el caso particular en que el campo es en la direccion zy solo depende de z, esta ecuacion implica que la fuerza tambien es en ladireccion z y esta dada por

Fz = µz∂B

∂z. (5.47)

Es decir que un haz de atomos con un estado (n, l,ml) experimentan unafuerza vertical Fz = −µ0ml dB/dz que depende del signo y la magnitudde ml. Esta fuerza se manifiesta en una deflexion vertical medida por la

141


distancia vertical a la cual impacta el haz en la pantalla. Esta experienciapermite comprobar directamente la cuantizacion del momento angular.

Sin embargo, en el caso de la plata (Ag) que en su estado fundamentaltiene simetrıa esferica y momento magnetico orbital nulo, se observa queel haz se descompone en dos haces que se desvıan verticalmente. El mismoefecto, observan Phipps y Taylor en 1925, trabajando con un haz de atomosde Hidrogeno en su estado fundamental.

5.2.3. Spin

El electron tiene un grado de libertad adicional ademas de los tres gradosde libertad asociados a su posicion espacial (r, θ, ϕ). En otras palabras, sonnecesarias cuatro coordenadas independientes para especificar el estado deun electron. El cuarto grado de libertad es de naturaleza cuantica (no tieneanalogo clasico) y se denomina spin. En el caso del electron, esta coordenadaadicional puede tomar solo dos valores que convencionalmente se tomancomo sz = ±1/2.Afortuadamente esto hace que la descripcion del spin delelectron, una variable discreta y binaria, sea extremadamente sencilla.

El spin ~S es un momento angular intrınseco del electron. Tiene todaslas caracterısticas de un momento angular. En particular tiene un operadorasociado S que actua sobre la funcion de onda del electron que ahora dependede cuatro numeros cuanticos nlm,ms

S2Φnlm,ms = s(s+ 1)~2Φnlm,ms =3

4~2Φnlm,ms . (5.48)

Es decir que el valor del numero cuantico s es fijo: s = 1/2. El electron es unapartıcula de spin 1/2. El modulo del vector de spin tiene el valor bien definidoy constante |S| =

√3~/2. Ademas, la funcion de onda es autofuncion de la

componente z del vector de spin,

SzΦnlm,ms = ms~Φnlm,ms = ±1

2~Φnlm,ms (5.49)

Se llega a los dos valores ms = ±1/2 a partir de la condicion |ms| ≤ s = 1/2y suponiendo que ms varıa de a una unidad.

Por supuesto, si el momento magnetico de un atomo en un estado conl = 0 es medido, lo que se observa son los dos valores del momento magneti-co asociado al spin. Este momento magnetico se vincula al spin por unaecuacion similar a (5.50),

~µ = −gsµ0

~~S (5.50)

En particular, de (5.49) resulta que la componente z del momento magneticode spin toma los valores ±gsµ0/2. Las deflexiones obervadas en experienciascomo las de Stern–Gerlach y Phipps y Taylor son consistentes con µz = ±µ0,de modo que el factor giromagnetico de spin para el electron es el doble queel orbital, es decir gs = 2.

142


En suma, el electron tiene un momento angular intrınseco (spin) demodulo bien definido y constante. En un estado estacionario la componentez del spin esta bien definida y puede tomar solo los dos valores ±~/2. Losefectos magneticos sobre el spin se perciben a traves del momento magneticode spin µs, que se relaciona con ~S con un factor giromagnetico gs = 2. Lafuncion de onda pasa a depender de un numero cuantico adicional, ms, quetoma los valores ±1/2. Evidentemente, en ausencia de un campo magnetico,la degeneracion de un determinado nivel de energıa aumenta en un factor 2debido al grado de libertad de spin.

El momento magnetico orbital representa una corriente asociada al mo-vimiento orbital del electron. Esta corriente produce efectos magneticos queinteractuan con el momento magnetico de spin. Se puede pensar que en elcaso del electron, hay una interaccion entre dos corrientes, la orbital y laintrınseca. Esta interaccion se conoce con el nombre de acoplameinto ~L · ~Sy da orıgen a un desdoblamiento de niveles de energıa como el discutidoen el efecto Zeeman, solo que esto ocurre en ausencia de campo magneticoexterno. Esta es la estructura fina del espectro del atomo.

143

Apendice A

Algebra Lineal

El algebra lineal trata del estudio de los espacios vectoriales. El concep-to es familiar a quienes estudian fısica, ya que deben manejar vectores enel espacio tridimensional usual. El algebra lineal formaliza estos conceptosfamiliares y permite extenderlos a otras situaciones: en especial, pasar detres a n dimensiones y pasar de constantes reales a constantes complejas.Resumiremos los principales conceptos del algebra lineal, usando la notacionde Dirac para ello. En Mecanica Cuantica, trabajeremos sobre un espaciovectorial n-dimensional (espacio de Hilbert).

A.1. Transformaciones lineales

Supongamos que, en el espacio usual tridimensional, rotamos cada vec-tor en un cierto angulo θ en torno de un eje, por ejemplo z. O multiplicamostodos los vectores por el escalar 20. Estos son ejemplos familiares de trans-formaciones lineales que llevan un vector ~r en otro ~r ′. Podemos expresarestas acciones con un operador T que actua sobre cada vector del espacio,llevandolo a otro vector T |α〉 = |α′〉.

La transformacion es lineal, si se cumple que el transformado de unacombinacion lineal es la combinacion lineal de los transformados

T (a|α〉+ b|β〉) = aT |α〉+ bT |β〉 = a|α′〉+ b|β′〉.

Si conocemos como actua una transformacion en los elementos de una base,entonces podemos asociarle una matriz que nos indica como actua sobrecualquier vector del espacio E .

Supongamos que tenemos una base e1, e2, . . . en y sabemos que la

144

A.1. Transformaciones lineales A. Algebra Lineal

transformacion lineal T actua sobre la misma de modo que

T |e1〉 = t11|e1〉+ t12|e2〉+ . . .+ t1n|en〉T |e2〉 = t21|e1〉+ t22|e2〉+ . . .+ t2n|en〉

...

T |en〉 = tn1|e1〉+ tn2|e1〉+ . . .+ tnn|en〉.

O en forma breve, para j = 1, 2, . . . n,

T |ej〉 =n∑i=1

tij |ei〉 (A.1)

Si tenemos un vector arbitrario de calE,

|α〉 =

n∑j=1

aj |ej〉

el transformado bajo T sera

|α′〉 = T |α〉 =

n∑j=1

aj T |ej〉 =

n∑j=1

aj

[n∑i=1

tij |ei〉

]=

n∑i=1

n∑j=1

tijaj

|ei〉.Es decir que |α′〉 =

∑ni=1 a

′i|ei〉 con componentes

a′i =n∑j=1

tijaj . (A.2)

Esta expresion es la usada en el producto matricial, para hallar el resultadode aplicar una matriz n×n a un vector n× 1 (n filas, una columna). Existepor lo tanto una correspondencia entre el operador lineal T y una matrizn× n,

T ↔ T =

t11 t12 . . . t1nt21 t22 . . . t2n...

......

tn1 tn2 . . . tnn

. (A.3)

de modo que actuando sobre un vector columna formado por las componen-tes de |α〉, resulte en otro vector columna, formado por las componentes delket transformado |α′〉. En efecto, si asociamos

|α〉 →

a1

a2...an

, |α′〉 →

a′1a′2...a′n

145

A.2. Terminologıa matricial A. Algebra Lineal

Se cumple que |α′〉 = T |α〉 en forma matricial,a′1a′2...a′n

=

t11 t12 . . . t1nt21 t22 . . . t2n...

......

tn1 tn2 . . . tnn

×a1

a2...an

de acuerdo con la Ec. (A.2). Si la base es ortonormal (〈ei|ej〉 = δij , entonceslos elementos de matriz de T son

tij = 〈ei|T|ej〉. (A.4)

Observe que estos elementos son, en general, numeros complejos. Es facilverificar1 que la suma de dos transformaciones lineales T + S es otra trans-formacion lineal, cuya matriz es la suma de matrices T + S. La composicionde dos transformaciones lineales T S es otra transformacion lineal cuyamatriz resulta del producto matricial T× S.

¿Si a un ket |α〉 le corresponde un vector columna con sus componentes,que le corresponde a un bra 〈α| en esta representacion?Recordamos que la propiedad basica es que 〈α|β〉 =

∑i a∗i bi, de modo que

〈α| ↔[a∗1 a∗2 . . . a∗n

]y se cumple que

〈α|β〉 =[a∗1 a∗2 . . . a∗n

]×

b1b2...bn

=n∑i=1

a∗i bi.

De modo que se puede obtener la representacion del bra, trasponiendo yconjugando el vector columna del ket correspondiente.

A.2. Terminologıa matricial

Concluimos esta seccion con un listado de la terminologıa usada comunmen-te al trabajar con matrices.

matriz traspuesta: se intercambian filas y columnas

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

−→ AT =

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2...

......

a1n a2n . . . ann

1No probaremos estos resultados aquı, ya que son inmediatos y no es este un curso de

algebra lineal.

146

A.2. Terminologıa matricial A. Algebra Lineal

matriz simetrica: una matriz cuadrada (n× n) que cumple

A = AT , o aij = aji.

matriz antisimetrica: una matriz cuadrada que cumple

A = −AT , o aij = −aji.

matriz conjugada: una matriz B cuyos elementos son los conjugadosde la original A, es decir bij = a∗ij .

matriz real: sus elementos son reales y A = A∗.

matriz imaginaria: sus elementos son imaginarios y A = −A∗.

matriz adjunta o conjugada hermıtica:es la traspuesta conjugada de A,

B = A† = (A∗)T = (AT )∗

con elementos bij = a∗ji. Es sencillo probar (a partir de la representa-cion matricial) que la conjugacion hermıtica cumple las propiedades

(A+ B)† = A† + B†, (cA)† = c∗A†, (AB)† = B†A† (A.5)

Observe en particular la inversion en el orden del producto de opera-dores al tomar el conjugado hermıtico.

La propiedad mas importante del adjunto es que para dos kets cuales-quiera se cumple

〈α|T|β〉∗ = 〈β|T†|α〉 (A.6)

la prueba de esta relacion es una verificacion de lo eficiente que es lanotacion de Dirac. En efecto, si |β′〉 ≡ T |β〉, el bra asociado es

|β′〉 = T |β〉 −→ 〈β′| = 〈β|T †.

Por otro lado, al conjugar el producto escalar, se invierten los factores

〈α|β〉∗ = 〈β|α〉

de modo que 〈α|T|β〉∗ = 〈α|β′〉∗ = 〈β′|α〉 = 〈β|T†|α〉.

matriz hermıtica o autoconjugada:Es aquella que es igual a su conjugada hermıtica,

A† = A

y sus elementos satisfacen aij = a∗ji. Observe que si la matriz es real,el conjugado hermıtico y el simetrico coinciden. Observe que el vectorfila asociado a un bra 〈α| es el conjugado adjunto del vector columnaasociado al ket |α〉. Mas adelante discutimos las propiedades de estasmatrices, especialmente relevantes para la Mecanica Cuantica.

147

A.3. Autovalores y autovectores A. Algebra Lineal

matriz identidad: In, es la matriz cuadrada con 1 en la diagonal yceros fuera de la diagonal. por ejemplo en dimension 3,

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.Sus coeficientes son dados por la delta de Kronecker, Iij = δij .

matriz inversa: matriz la inversa2 de A tiene la propiedad de queA−1 A = I

matriz unitaria: la matriz unitaria es aquella en que la inversa coin-cide con la conjugada hermıtica, es decir:

A† A = I

o, lo que es lo mismo, A−1 = A†.

A.3. Autovalores y autovectores

Bajo una transformacion lineal, existen algunos vectores que transformanen forma especialmente simple. Por ejemplo, en una rotacion de eje ez entres dimensiones, los vectores a lo largo del eje permanecen invariantes. Elproblema de autovalores se presenta en muchas aplicaciones, por ejemplo,al considerar modos normales de oscilacion en estructuras o al considerartransformaciones lineales sobre imagenes. Este problema tiene un rol centralen Mecanica Cuantica.

En una transformacion T existen ciertos vectores que transforman siendomultiplicados por un escalar λ,

T |α〉 = λ|α〉 (A.7)

Estos vectores3 se denominan autovectores de T y los complejos λ son los au-tovalores. Como veremos, estos vectores tienen gran importancia en Mecani-ca Cuantica.

Veremos como es posible hallar los autovalores y autovectores de unadada transformacion. En representacion matricial,

Ta = λa

y por lo tanto, se cumple(T− λI) a = 0.

2Para ver como calcular los elementos de la matriz inversa, consultar un texto dealgebra lineal.

3Se excluye el vector nulo |α〉 = 0 que satisface la Ec. (A.7) en forma trivial.

148


Esta expresion representa un sistema lineal homogeneo de n ecuaciones yn incognitas a1, a2, . . . an. El mismo solo admite solucion no trivial si eldeterminante es nulo,

det(T− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣t11 − λ t12 . . . t1nt21 t22 − λ . . . t2n...

......

tn1 tn2 . . . tnn − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Al expandir este determinante se obtiene un polinomio de grado n en λ,cuyas raıces son los valores propios de la transformacion. Es decir,

Pn(λ) =n∑i=0

ciλi = 0

donde los coeficientes ci dependen de los coeficientes de la transformacionlineal tij . Esta ecuacion se denomina ecuacion caracterıstica del problemade autovalores. Esta ecuacion tiene n raıces complejas, pero no tienen por-que ser todas diferentes. De hecho, podrıan ser todas iguales entre si. Demodo que en general hay entre 1 y n autovalores diferentes. Cuando dos omas autovalores coinciden decimos que el problema es degenerado.

149


Ejemplo 9

Supongamos que consideramos la transformacion lineal (2 × 2)descrita por la matriz real

A =

[13 52 4

]y queremos hallar sus autovalores y autovectores.

Comenzamos por calcular el polinomio caracterıstico e

igualarlo a cero,

det(A− λI) =

∣∣∣∣13− λ 52 4− λ

∣∣∣∣ = λ2 − 17λ+ 42 = 0

De modo que los dos autovalores son

λ1 = 3, λ2 = 14.

¿Cuales son los correspondientes autovectores?

Para λ1 = 3, el sistema homogeneo queda[10 52 1

]×[a1

a2

]= 0 ⇒ 10a1 + 5a2 = 0

2a1 + a2 = 0

Observe que ambas ecuaciones no son independientes, por

lo que los autovectores quedan determinados a menos de una

constante. Por ejemplo, tomando a1 = 1, resulta a2 = −2.En Mecanica Cuantica la constante se ajusta para que el

autovector este normalizado.

En forma similar, el otro autovector, para λ2 = 14 resulta

de resolver[−1 52 −10

]×[a1

a2

]= 0 ⇒ −a1 + 5a2 = 0

2a1 − 10a2 = 0

por lo que si a1 = 1, a2 = 1/5. Tambien sirve a1 = 5 y a2 = 1.De modo que los autovectores son proporcionales a

v1 =

[1−2

], y v2 =

[51

].

150

A.4. Transformaciones hermıticas A. Algebra Lineal

A.4. Transformaciones hermıticas

En la seccion anterior definimos una transformacion hermıtica4 comoaquella para la cual T † = T . Estas transformaciones lineales son extremada-mente importantes en la Mecanica Cuantica. Como veremos, a un observablefısico se le asocia un operador o transformacion lineal hermıtica descrita poruna matriz hermıtica. Como consecuencia todo lo que podemos observar almedirlo son los autovalores de esta trasformacion que son reales.

Mostramos tres propiedades de las transormaciones hermıticas.

a) Los autovalores son reales.Para un vector no nulo cualquiera,

T |α〉 = λ|α〉 ⇒ 〈α|T|α〉 = λ〈α|α〉〈α|T|α〉∗ = 〈α|T|α〉 = λ∗〈α|α〉

la segunda lınea es la conjugada de la primera, donde se ha usado lapropiedad () y el hecho de que T = T †. Como 〈α|α〉 6= 0 es real, resultaque

λ∗ = λ

y por lo tanto, el autovalor es real.

b) Los autovectores correspondeintes a diferentes autovaloresson ortogonales entre si.Supongamos que λ y µ son dos autovalores diferentes (µ 6= λ) de T .Se cumple

T |α〉 = λ|α〉 ⇒ 〈β|T|α〉 = λ〈β|α〉T |β〉 = µ|β〉 ⇒ 〈α|T|β〉 = µ〈α|β〉

En la primer lınea se ha proyectado la relacion de autovalores sobreel vector β, en la segunda fila sobre el vector α. Como los autovaloresson reales, conjugando la segunda relacion obtenemos

µ〈β|α〉 = 〈α|T|β〉∗ = 〈β|T|α〉 = λ〈β|α〉

donde se uso T = T †. Siendo µ 6= λ, la unica forma de que se cumplaesta relacion es que

〈β|α〉 = 0,

o sea, los respectivos autovectores son ortogonales entre si.

4O sea, trasponer y conjugar la matriz asociada la deja invariante. Su matriz es auto-adjunta.

151

A.4. Transformaciones hermıticas A. Algebra Lineal

c) El conjunto de autovectores de un operador hermıtico es unconjunto completo5.

Supongamos que |αi〉 para i = 1 . . . N son los N autovectores de T conrespectivos autovalores λi supuesto diferentes6. Se cumple que

T |αi〉 = λi|αi〉.

Mostramos que un vector cualquiera |β〉 ∈ E se expresa como combi-nacion lineal de los |αi〉,

|β〉 =

N∑i=1

ci|αi〉.

Para lo cual hallamos lo cj , proyectando sobre un autovector generico|αj〉.

〈αj |β〉 =N∑i=1

ci〈αj |αi〉 = cj

donde se ha usado que 〈αi|αj〉 = δij por ser λi 6= λj .

Estas propiedades son el sustento matematico de la Mecanica Cuantica.

5Es decir genera el espacio o es una base para el espacio.6Se cumple tambien en el caso degenereado en el que dos o mas autovalores coinciden,

pero no lo consideramos aquı.

152

Bibliografıa

[1] R.M. Eisberg, Fundamentals of Modern Physics, John Wiley & Sons,1966.

[2] W. Greiner, Quantum Mechanics: an introduction, 4th Ed., Springer,2000

[3] C. Kittel, Thermal Physics, John Wiley & Sons; 1st edition, 1969.ISBN-10: 047149030.

[4] A. Einstein, On a Heuristic Point of View about the Creation andConversion of Light, disponible en http://eva.unorte.edu.uy/file.

php/158/articulos/einstein1905lightquantum.pdf.

[5] M. Planck, The theory of Heat Radiation, 2nd Ed. 1912, Blakiston’s &Son http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/Planck.

pdf

[6] A. Einstein, On the Electrodynamics of moving bodies,http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/

einstein1905specrel.pdf. Por una discusion y una version enespanol, ver http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/

Einstein-ajp-espanol.pdf.

[7] L. de Broglie, RADIATION — Waves and Quanta, Comptes Ren-dus, Vol. 177, 1923, pp. 507-510. Disponible en ingles en http://eva.

unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/deBroglie_en.pdf

[8] A.P French, Introduccion a la Fısica Cuantica, MIT Physics Course,Ed. Reverte, 1982.

[9] A.P French, Introduccion a la teorıa Especial de la Relatividad, MITPhysics Course, Ed. Reverte, 1982.

[10] D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Ed.,Pearson-Prentice Hall, 2005.

[11] F. L. Markley, Probability Distribution of Momenta in an infinite squarewell potential, American Journal of Physics, 40, p. 1545, (1972).

153

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/einstein1905lightquantum.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/einstein1905lightquantum.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/Planck.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/Planck.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/einstein1905specrel.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/einstein1905specrel.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/Einstein-ajp-espanol.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/Einstein-ajp-espanol.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/deBroglie_en.pdf

http://eva.unorte.edu.uy/file.php/158/articulos/deBroglie_en.pdf

Bibliografıa Bibliografıa

[12] Cohen, Tannoudji, Diu, Laloe, Quantum Mechanics, Vol. 1, Ed. Her-mann, Paris, 1977, ISBN-10: 0471569526.

[13] Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions

154

Documents

Introducci on a la F sica Cu antica - Universidad de …...Introducci on a la F sica Cu antica Gonzalo Abal1 Instituto de F sica Facultad de Ingenier a Universidad de la Republica