INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

M. Sc. Samuel Canchaya Moya

CONSULTOR

I N D I C E

Introducción

El concepto de autocorrelación

Introducción al análisis variográfico geoestadístico

La varianza de estimación o extensión

Introducción al krigeage

El concepto de Anisotropía

Bibliografía.

INTRODUCCION

Ya se han cumplido más de cuatro décadas del nacimiento de la Geoestadística Matheroniana (MATHERON

1962a, 1963); por lo que estos métodos, basados en la Teoría de la Variables Regionalizadas, están lo

suficientemente difundidos en la actualidad. Es por este motivo que la mayor parte de paquetes importantes de

software que se aplican a la minería, presentan módulos de evaluación por krigeage, que es el método de

estimación geoestadístico (MATHERON 1962b; DAVID 1976; DELFINER & DELHOMME 1973) superior a

cualquier otro por sus características de no sesgo y mínimo error. Sin embargo en la actualidad todavía se

realizan evaluaciones con métodos tradicionales. Las principales razones son: la simplicidad y rápida aplicación

de estos últimos, en comparación con el mayor grado de dificultad que implica la evaluación por krigeage;

además de la necesidad de tener un mínimo conocimiento especializado para aplicar el método geoestadístico.

En algunos países, entre ellos Estados Unidos de Norteamérica, se entiende por Geoestadística a cualquier

aplicación de la estadística en Geología y ramas afines, como Minería y Petróleo; en este trabajo estamos

considerando como tal sólo a la Geoestadística Matheroniana, cuya principal herramienta es el Variograma.

Con el tiempo es posible que la estimación de reservas por métodos tradicionales se circunscriba sólo a una

necesidad académica, histórica o a ciertos casos donde se sepa de una regionalización completamente aleatoria,

cosa muy rara en la naturaleza. En una encuesta estadística realizada por CHAMPIGNY & ARMSTRONG

(1993), involucrando a las 19 empresas de oro mas representativas del mundo, antes de la última década del

presente siglo sólo el 11% de ellas no está utilizando la geoestadística para la estimación de reservas.

Aquellas personas que sólo aplican métodos estadísticos tradicionales (univariables y multivariables) en el

análisis de variables regionalizadas (geo-referenciadas en el tiempo o el espacio) tienen y van a tener una serie

de problemas, la mayor parte de los cuales a veces no pueden explicar. La principal restricción de los métodos

estadísticos tradicionales es la abstracción que hacen de la ubicación de las muestras en el tiempo o el espacio.

El objetivo principal es utilizar los conceptos y parámetros de la caracterización variográfica geoestadística

para minimizar las limitaciones intrínsecas de los métodos tradicionales. Esto no es difícil de realizar ya que en

la actualidad, prácticamente todos los paquetes medianos y grandes de software aplicados a geología, minería y

metalurgia tienen en sus módulos de estimación de reservas alguna forma de hacer análisis variográfico

geoestadístico.

El presente trabajo ha sido preparado para que sirva de guía teórica del Curso que se va a dictar a varios

ingenieros de la Mina El Brocal S. A.

AUTOCORRELACION

Las denominadas variables regionalizadas son aquellas cuyos valores (realizaciones) están relacionados con

ubicaciones precisas en el tiempo o espacio (variables geo-referenciadas).

Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí

(autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre

toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es

al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrá

patrones de distribución idénticos. Lo mismo ocurre con la mayor parte de variables involucradas en procesos

de beneficio de minerales (Mineralurgia).

La estadística clásica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parámetros y funciones no toman en

cuenta la ubicación de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón no se modificará así

éstos se cambien de asiento una y otra vez.

Para explicar esto nos referiremos a la fig. 1, en

la cual hacia el borde izquierdo se está

representando dos tramos (puede ser de galería,

taladro, etc.) con las leyes que se han analizado

cada cierta distancia. Salta a la vista que los

valores del tramo A tienen un patrón de

distribución o estructura (los valores aumentan

hacia el centro y disminuyen hacia los flancos);

mientras que en el tramo B tenemos una

distribución al azar. Nótese que en ambos casos

estamos usando los mismos dígitos, por lo que

no sorprende que la media “m” la varianza “σσσσ2”

y el histograma en los dos tramos sean los

mismos; mas no así la función variograma

“γγγγ(h)” que en el tramo A muestra una clara

dependencia con respecto a “h”, que es la

separación entre las muestras; mientras que en

el tramo B dicha función es independiente de h,

lo cual es típico de distribuciones al azar,

prácticamente inexistentes en la naturaleza; ya

que por lo general, las variables cuantificables o

semicuantificables, relacionadas con los

yacimientos, se originan por determinados

procesos que les imprimen un patrón

característico, es decir todo lo contrario a una

distribución al azar.

INTRODUCCION AL ANALISIS VARIOGRAFICO GEOESTADISTICO

El variograma es una de las herramientas más poderosas que tiene la geoestadística. Vamos a definirla tomando

el caso de un depósito D, el cual consiste de una infinidad de puntos xi, cada uno de ellos con un valor

determinado de la variable Z(xi) que nos interesa estudiar (puede ser ley de Au, contenido de As, intensidad de

una alteración, peso específico, dureza, porosidad etc.). Estas entidades son denominadas variables

regionalizadas porque sus valores corresponden a ubicaciones precisas en el tiempo o espacio.

Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí

(autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre

toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es

al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrán

patrones de distribución idénticos.

La estadística clásica no puede reconocer dichas

estructuras ya que sus parámetros y funciones que no

toman en cuenta la ubicación de los datos. Por

ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón

no se modificará así éstos se cambien de asiento una

y otra vez.

Para explicar esto nos referiremos a la fig. 2, en la

cual hacia el borde izquierdo se está representando

dos tramos (puede ser de galería, taladros, etc.) con

las leyes que se han analizado cada cierta distancia.

Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un

patrón de distribución o estructura (los valores

aumentan hacia el centro y disminuyen a los

flancos); mientras que en el tramo B tenemos una

distribución al azar. Nótese que en ambos casos

estamos usando los mismos dígitos, por lo que no

sorprende que la media “m” la varianza “σσσσ2” y el

histograma en los dos tramos sean los mismos; mas

no así la función variograma “γγγγ(h)” que en el tramo

A muestra una clara dependencia con respecto a “h”,

que es la separación entre las muestras; mientras que

en el tramo B dicha función es independiente de h, lo

cual es típico de distribuciones al azar,

prácticamente inexistentes en la naturaleza.

El variograma puede ser estimado a partir de datos experimentales (por ejemplo las leyes provenientes de una

campaña de muestreo) empleando la fórmula general :

donde: Z : es la variable estudiada

Z(x) : es el valor de dicha variable en el punto x

Z(x+h) : es el valor de la variable en el punto (x+h)

h : es el paso entre las muestras (distancias iterativas)

n : número de pares de valores

2 γ(h) : valor de la función variograma para un valor h.

γ(h) : valor de la función semivariograma (denominada usualmente variograma)

Todos los paquetes de “software” aplicados a minería utilizan esta fórmula para el cálculo de los variogramas

experimentales; las respectivas facilidades gráficas nos mostrarán variogramas con apariencia similar a la que

se a idealizado en la fig. 3, que nos servirá para explicar los principales parámetros de la función variograma.

n-h

∑ Z (x i + h) - Z(x i) 2

i = 1

2 γ (h) =

= ( n - h )

( 1 )

Dentro de la distancia a (alcance), la variable es totalmente estructurada, es decir depende, o está controlada,

por la función γγγγ (h). Mas allá de a la variable es aleatoria, o sea independiente de la función variograma: la

curva se transforma en una meseta (C+Co) cuyo valor teóricamente debe coincidir con la varianza estadística de

todos los datos involucrados en el cálculo del variograma, lo cual no siempre es el caso.

Para h = 0 la función variograma debería dar cero y

pasar por el origen; sin embargo la función a veces

presenta una “discontinuidad al origen” simbolizada

como Co (efecto pepita), que nos da cuenta de

cambio bruscos de los valores a pequeña escala, lo

cual generalmente sucede cuando se sobrepasa

subestructuras por debajo de la escala de trabajo. Este

valor también puede aparecer debido a errores

sistemáticos: en el muestreo o durante el proceso de

análisis químico.

En la fig. 3 se muestra algunos ejemplos de

variogramas experimentales (sucesión de puntos),

debidamente ajustados a variogramas teóricos (curvas

continuas), algunos de los mas importantes se

muestran en la fig. 4. Al ajustar un variograma

experimental a uno teórico, se debe determinar los

parámetros mencionados en los párrafos anteriores.

Tales parámetros y la forma misma del variograma

ajustado nos serán de ayuda para optimizar los

principales métodos de estimación de reservas.

Los variogramas experimentales se pueden calcular a

partir de una sucesión lineal de puntos, como por

ejemplo a lo largo de un taladro de perforación

(variograma monodimensional); también se pueden

calcular a partir de un conjunto de datos ubicados en

un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una veta, un manto angosto, un banco o una

sección cualquiera.

En la actualidad existen programas que permiten el

cálculo de variogramas a partir de una distribución

tridimensional (variograma 3D), lo que antes sólo

se podía realizar subdividiendo en cuerpo

tridimensional en tajadas (bancos o secciones). Los

detalles de cálculo de los variogramas

experimentales escapan al sentido del presente

trabajo.

Se puede calcular el variograma de prácticamente

cualquier variable; lo único que necesitamos es un

conjunto de datos experimentales con su ubicación

en el tiempo o el espacio. Esto quiere decir que no

sólo vamos a poder trabajar con leyes, sino que

también podemos procesar otras variables menos

comunes como: peso específico, porosidad,

densidad de fracturamiento, potencia de la

estructura, precio del oro, etc. Sólo necesitamos

una forma de cuantificarlas para luego procesarlas

con la fórmula (1) de manera similar como se hace

con las leyes.

En el análisis variográfico, la única restricción que se debe atender es la “hipótesis de estacionariedad”, que

exige que el variograma se calcule para un dominio con un determinado patrón de distribución constante. Lo

cual automáticamente implica tener en cuenta las discontinuidades geológicas: fallas, cambios de litología,

alteración, etc. La solución mas práctica es circunscribirse a dominios estacionarios, es decir realizar el análisis

variográfico respetando las discontinuidades geológicas. Es por eso que la correcta aplicación de la

geoestadística nos obliga a tener muy en cuenta la información geológica, lo cual en buena cuenta es lograr el

tan ansiado equilibrio entre los métodos determinísticos y probabilísticos; siendo difícil que una aplicación

geoestadística se haga de espaldas a la información geológica y mineralógica.

LA VARIANZA DE ESTIMACION O EXTENSION

Estamos obligados a explicar este concepto, ya que

está involucrado en cualquier estimación de reservas,

que no es otra cosa que la “extensión” del valor de

una o mas muestras relativamente puntuales (volumen

v), a un volumen mayor V (panel o bloque); extensión

que irremediablemente implica un error, que no es

otra cosa que la diferencia entre el valor estimado y el

valor real.

En la estadística clásica y por ende en todos los

métodos de estimación de reservas tradicionales, no es

posible estimar tal error, ya que primero es necesario

conocer el valor real, cosa que es imposible incluso al

final de la vida de la mina. Esto es una de las

principales diferencias entre los problemas

industriales, técnicos o científicos puros, donde

generalmente es posible conocer el valor real y por

ende el error.

Para aplicaciones en ciencias naturales y sus

derivados (geoelogía, ingeniería forestal, batimetría,

minería, etc.) la geoestadística tiene una alternativa

para determinar este error: la varianza de estimación

σσσσ , la cual no depende de los valores reales de la

información v utilizada ya que se expresa en función

del variograma por la fórmula:

donde :

γ (V, v) : designa el valor medio de γ(h) = γ (MM’) cuando los dos puntos de apoyo M y M’

del vector h describen independientemente uno del otro, los dos volúmenes o conjuntos V y v.

γ (V2) : designa el valor medio de γ(h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h

describen, independientemente uno del otro, el volumen V.

γ ( v2) : designa el valor medio de γ (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h

describen, independientemente uno del otro, el volumen v.

= 2 γ ( V, v ) - γ ( v 2

) - γ ( V2 )

σ 2

E (2)

2

E

5

6

1

5

P 4

P* = 4.0 P* =

A

B

D C

4

6+5+4+1

FIG. 6 FIG. 6

Por lo general, en configuraciones sencillas a veces es suficiente con emplear ábacos para estimar esta varianza

de dispersión y con ese conocimiento tomar decisiones a priori, tan trascendentales que pueden comprometer

los resultados de una campaña de exploración o la decisión de abandonar un proyecto rentable.

Por ejemplo en el ábaco de la fig. 5 se comparan dos configuraciones por tramos, una con las muestras en los

extremos y la otra con la muestra en el centro del tramo. Resulta obvio que el error involucrado al estimar

(extender) la ley de un tramo desde la ley centrada es mayor que el error que resulta al asignar la ley a partir de

puntos de muestreo en los extremos del tramo; esto es válido para distancias de muestreo mayores que los del

alcance del variograma respectivo.

Para casos algo mas complicados debemos utilizar la fórmula (2), que sólo se basa en el variograma y en las

características geométricas de los paneles, mas no en los valores que puedan tener los taladros. Lo cual nos

permite estimar el error a priori: ¡antes de perforar el primer metro!

INTRODUCCION AL KRIGEAGE

La forma más simple y más errónea de calcular valores desconocidos a partir de valores conocidos es el

promedio aritmético simple. Es erróneo porque no se tiene consideración alguna de la posición relativa de los

valores conocidos con respecto al punto, panel o bloque a estimar. Se dio un gran paso histórico cuando se

consideró necesario ponderar los valores de las muestras que participan en la asignación de un promedio a un

punto, bloque o panel; estos métodos se clasifican como métodos de distancias ponderadas.

Los métodos de ponderación por el inverso de

la “n” potencia de la distancia (IPD) son los

mas difundidos de todos los métodos

tradicionales. Sin embargo, debido a que

también involucran una serie de suposiciones e

imposiciones empíricas y arbitrarias, su

aplicación encuentra una serie de problemas,

algunos de los cuales se pueden minimizar con

ayuda de la información que brinda el

variograma. Para ello vamos a referirnos a la

fig. 6, en la cual tenemos cuatro puntos (A, B, C

y D) con sus respectivas leyes (6, 4, 1 y 5). Se

trata de estimar el valor desconocido en el

punto P. La forma mas simple es sumar los

cuatro datos y dividirlos entre cuatro. En este

caso a cada valor le estamos asignando

arbitrariamente en mismo peso; independiente

de su cercanía o lejanía al punto P.

Intuitivamente sentimos que esto no es correcto, que de alguna manera, las muestras más cercanas deben influir

mas que las lejanas; y que por lo tanto, debe haber una distancia mas allá de la cual, dicha influencia debe ser

despreciable. Esto último da origen a la denominada “área de influencia”, que se suele aplicar en todos los

métodos IPD. En el caso de una configuración bidimensional, dicha área de influencia es un círculo; mientras

que en el caso de una tridimensional es una esfera. Hay dos problemas que resultan como consecuencia

inmediata de esto; por un lado el uso de una figura isométrica, implica que estamos idealizando al considerar

una regionalización isótropa; por otro lado el radio de dicha área de influencia es seleccionado en forma

completamente arbitraria. Salta a la vista de que manera podemos mejorar la calidad de los métodos IPD

aplicando un área de influencia a partir del análisis variográfico realizado en varias direcciones,

convenientemente seleccionadas.

En la fig. 7 se muestra paso a paso la estimación del valor de P usando el método del Inverso del Cuadrado de

la Distancia ICD; nótese que se ha aplicado un radio de influencia (R=70); el cual arbitrariamente ha dejado

fuera de cálculo al valor del punto A. Si hubiéramos escogido R=90, el punto A se incluiría en los cálculos;

mientras que con R=60; sólo entrarían los puntos B y C. Los resultados obviamente dependerán de esta

selección; lamentablemente el método por si mismo no cuenta con la posibilidad de resolver este problema.

Algunos variogramas

experimentales como el de

la fig. 3A, presentan

bajadas súbitas de su

meseta, en este caso a la

altura de h = 40. Esto es lo

que se denomina efecto

hoyo y corresponde a

subregionalizaciones

alternadas, como la

alternancia de zonas ricas y

pobres. En la mina de

donde proviene el ejemplo

se tienen clavos auríferos

separados unos 40 metros

entre si. Estas

discontinuidades también

deberían ser consideradas al

momento de la

configuración de los

paneles y bloques.

Otro aspecto importante es el denominado “drift” o tendencia que presentan ciertos variogramas después de

alcanzar la meseta. Tal es el caso del variograma de la fig. 3C, en el cual se nota una subida constante de los

puntos del variograma, a partir de h = 160.

La presencia de “drifts” es señal de no-estacionariedad, producto de la presencia de tendencias muy marcadas

en la distribución de las variables. De lo único que hay que tener cuidado en este caso es de no configurar

paneles con dimensiones que nos comprometan con este drift; que para el caso de la fig. 3C sería 160 metros. Si

tuviéramos variogramas con una tendencia mas marcada o dominante, es preferible primero ajustar a los datos

una superficie de tendencia (“trend surface”) y luego trabajar con los residuos; de lo contrario en lugar de

realizar la estimación por krigeage simple, hacerlo por el llamado krigeage universal (MATHERON 1969).

A continuación vamos a presentar, de manera muy simplificada, el método de krigeage. Para una explicación

mas amplia referirse a: DAVID (1976, 1977), JOURNEL & HUIJBREGTS (1978: 303-343) y GUIBAL &

TULCANAZA (1974: 16-32).

Básicamente el método de krigeage nos da la posibilidad de asignar un ponderador exacto λλλλ i a cada valor Zi

que participa en la estimación de un valor desconocido P*

(punto, panel o bloque). De manera similar a los

métodos IPD, el valor estimado de P se calcula de ecuaciones lineales de la forma :

P*

= ∑ λ i Z i

Cada valor del ponderador λi se calcula de un sistema de ecuaciones denominado sistema de Matheron; la

forma general de presentar este sistema de ecuaciones es como sigue:

( 3 )

FIG. 7 ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA

DISTANCIA:

R

P*ICD = 3.67

6

4P

5

1

A

B

D

C

R = 70 RADIO DE INFLUENCIA

d (1/d) (1/d)2 Ley

PA 90 6

PB 20 0.050 0.0025 0.81 4

PC 50 0.020 0.0004 0.13 1

PD 65 0.015 0.0002 0.06 5

0.095 0.0031 1.00

P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67

λifuera de R

∑ λi γ ij = λpi - µ

∑λ j =1

Donde :

i, j : 1, 2, 3 .... , n.

γ ij : es el valor promedio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M recorre

la muestra n = i y N recorre independientemente la muestra j.

λpi : es el valor medio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M se mueve

sobre el panel P y N se mueve independientemente sobre la muestra i.

µ : es el parámetro de Lagrange.

Lo que se obtiene es un sistema con (n+1) ecuaciones y (n+1) incógnitas (los n ponderadores λi y el parámetro

de Lagrange µ), que se resuelven para encontrar el valor de cada ponderador λi , éstos son luego reemplazados

en la ecuación ( 3 ) para finalmente encontrar el valor estimado P* de la variable en estudio.

Tal sistema de Matheron tiene a su vez la propiedad de otorgar una varianza de estimación mínima, cuya

expresión matemática general es :

σ ∑ λi γpj + µ - γ pp

la cual representa la medida de la precisión de la estimación, y que no depende de los valores reales de la

información utilizada.

Volviendo a la fig. 6, vemos

como la aplicación de la

ecuación (4) nos permite

configurar un sistema de 5

ecuaciones con 5 incógnitas

(entre ellas los λi). Para resolver

este sistema sólo necesitamos

calcular por computadora o

estimar por ábacos los

variogramas γi y γip, basados en el

análisis variográfico; para luego

reemplazarlos en el sistema de

ecuaciones y resolverlo.

Procediendo de esta forma se

obtuvieron los valores λi que se

dan en la fig. 8. Nótese que el

mayor ponderador es λD, que

concentra el 55% del peso;

mientras que el más bajo es λB,

con sólo el 10%.

n

j =1

n

j =1

n

j =1

( 4 )

( 5 ) 2

k

=

FIG. 8 ESTIMACION POR KRIGEAGE:

6

4

5

1

ANISOTROPIA

P

A

B

D

C

R = 80

r = 40

γAAλA + γABλB +γACλC + γADλD + µ = γAP

γBAλA + γBBλB +γBCλC + γBDλD + µ = γBP

γCAλA + γCBλB +γCCλC + γCDλD + µ = γCP

γDAλA + γDBλB +γDCλC + γDDλD + µ = γDP

λA + λB + λC + λD = 1

λA = 0.20

λB = 0.10 P*K = AλA + BλB + CλC + DλD

λC = 0.15 P*K = 3.10

λD = 0.55

ERROR DE ESTIMACION = 2

K = ∑ γiP λi + γPP - µ

Estos resultados podrían parecer contrarios a lo que nos dicta nuestra intuición, sobre todo si estamos

acostumbrados a los métodos IPD; puesto que los valores mas lejanos tienen mas peso que los mas cercanos. Lo

que pasa es que existe un marcado ”trend” de mineralización en dirección NW, por lo que es de esperar una

mejor continuidad de los valores en dicha dirección y consecuentemente una mayor variabilidad en la dirección

ortogonal. Esta característica del patrón de distribución se refleja en el peso de los ponderadores.

Calculando el valor de γPP,

y reemplazándolo en la

ecuación (5), junto con los

ya conocidos µ y λiP, se

calcula la varianza de

krigeage σk2; que nos

permite tener una idea

concreta de nuestro error de

estimación; parámetro que

no se puede calcular en

ninguno de los otros

métodos de estimación.

En la Fig. 9 se muestra

cómo los ponderadores

adquieren valores diferentes

dependiendo de la

“estructura” de cada

distribución, característica

que se encuentra reflejada

en su respectivo

variograma. Se trata de

estimar por krigeage la ley

media de la porción entre los puntos S2 y S3. Zi es la ley correspondiente al punto de muestreo i; y λi el

ponderador respectivo.

Estamos empleando una función variograma de la forma: γ (h) = hω en la cual le asignamos a ωωωω diferentes

valores (columna de la izquierda de la figura en cuestión).

Vemos que el único caso en que pueden tener

validez los métodos empíricos clásicos, es en el

caso A; donde el variograma nos informa que

en tal distribución existe plena independencia

entre las leyes, es decir una distribución al azar

(efecto de pepita puro). Los ponderadores en

este caso tiene el mismo peso o valor λi = 0.25.

Sólo en algunos yacimientos aluviales de oro se

encuentra este tipo de distribuciones; quizás

debido a la relativa violencia con que se

deposita el material aluvional, de tal forma que

la naturaleza no tiene tiempo para imponer un

patrón de distribución, por lo que las partículas

de oro se encuentran diseminadas prácticamente

al azar.

Para ω = ½, el variograma corresponde a una

distribución de regularidad media, por lo tanto,

los puntos mas cercanos al segmento estimado

tendrán mas peso (λ2 y λ3 6 veces mayores que

h

γ ( )h

VARIOGRAMA:

EFECTO DE

PEPITA PURO

γ ω( )h h= 1λ 2λ 3λ 4λZ1 Z2

Z4

S1S2 S3

S4

ωωωω COMENTARIOS:

0.25 0.25 0.25 0.25

0 0.50 0.50 0

0.07 0.43 0.43 0.07

MEJOR ESTIMADOR:

LEY MEDIA

UNICO CASO DE VALIDEZ DE

LOS METODOS CLASICOS

REGULARIDAD

MEDIA

VARIOGRAMA

LINEAL

GRAN

REGULARIDAD

- 0.03 0.53 0.53 - 0.03

LOS DOS PUNTOS MAS

CERCANOS AL

SEGMENTO ESTIMADO

TIENEN MAS PESO

NO INTERVIENEN LOS PUNTOS

LEJANOS

PROPIEDAD CARACTERÍSTICA

DEL VARIOGRAMA LINEAL

LOS PONDERADORES DE Z1

Y Z4 SON NEGATIVOS

DEBIDO A LA EXTREMA

CONTINUIDAD DE LA

MINERALIZACION

3/2

1/2

1

0

FIG. 9 ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3

γ ( )h

γ ( )h

γ ( )h

h

h

h

Z3

10 10

λ1 y λ4). Los variogramas de este tipo por lo general se obtienen en yacimientos diseminados tipo pórfido, en

oro diseminado en rocas volcánicas y en algunas vetas hidrotermales de alcance epitermal.

Para ω = 1, el variograma es lineal; por lo tanto el peso se concentra casi totalmente en los puntos mas cercanos

(λ2 = λ3 = 0.5); de tal forma que los puntos mas lejanos prácticamente no intervienen en la estimación (λ1 = λ4 =

0). Variogramas de este tipo son frecuentes en vetas hidrotermales, meso- a hipotermales.

Para ω = 3/2, el variograma corresponde a una distribución de gran regularidad, es decir con una continuidad

extrema de la mineralización, a tal punto que las muestras mas lejanas al segmento estimado tendrán pesos

negativos (λ1 = λ4 = - 0.03). Este tipo de variogramas se encuentran en yacimientos estratiformes o de origen

sedimentario. También en le caso de mantos de carbón; o cuando se evalúa la potencia de cuerpos tabulares o el

peso específico en zonas de litología homogénea.

EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA

Raras veces las distribuciones resultan isótropas (Fig. 11), lo cual quiere decir que los variogramas en todas

sus direcciones son similares. Esto es inusual, ya que casi siempre los procesos geológicos son “direccionales”,

es decir, por lo general tienen una dirección o componente preferencial, concepto relacionado principalmente al

flujo o flujos de mineralización.

Para aclarar esto vamos a referirnos a la fig. 10 (simplificada a partir de CANCHAYA & BERNUY 1983), en

la cual se muestra varios tramos de muestreo a lo largo de galerías y chimeneas sobre una veta. Como los flujos

mineralizantes generalmente son sub-verticales, el patrón de distribución a lo largo de las chimeneas será

diferente al de las galerías; lo cual quedará expresado en los respectivos variogramas y principalmente en el

alcance a. Para el caso se ha obtenido ah = 10 y av = 20.

Por lo tanto tenemos una distribución anisótropa y

consecuentemente debemos definir una elipse de

influencia, tomando como ejes los valores de ah y av.

Cualquier variable está estructurada dentro del alcance

a de su respectivo variograma, mas allá de él, su

comportamiento, por ser al azar, será impredecible. Por

lo tanto para cubicar reservas probadas se configura

paneles con dimensiones menores o iguales que 2a, tal

como se ha procedido en la Fig. 10. Si quisiéramos

cubicar más reservas probadas, deberíamos diseñar

subniveles cada 40 metros (dos veces el alcance en av );

mientras que la separación ideal entre chimeneas deberá

ser 20 metros (dos veces el alcance en ah ). Estos

conceptos se pueden aplicar también para dimensionar

el reconocimiento con taladros diamantinos desde las

labores subterráneas.

Hay dos tipos de anisotropía: zonal y geométrica.

Cuando los variogramas en varias direcciones presentan

diferentes alcances tenemos anisotropía geométrica;

mientras que cuando presentan diferentes mesetas se

trata de anisotropía zonal.

En la figura 12 estamos mostrando otro ejemplo ilustrativo. Se trata de una sección, perpendicular al rumbo, de

un manto tufáceo potente que contiene mineralización del tipo diseminada, la cual aumenta paulatinamente del

techo al piso. Este patrón de distribución queda claramente expresado en los variogramas direccionales, que se

obtuvieron a partir de muestras de este manto, los cuales están graficados en la mitad inferior de la fig. 12. Tal

como era de esperar, los tres variogramas son diferentes, presentando no sólo diferentes mesetas (anisotropía

zonal) sino además anisotropía geométrica (diferentes alcances).

FIG. 11

REGIONALIZACION ISOTROPA

La dirección E-W corresponde a un variograma casi de efecto de pepita puro y con la mas alta varianza;

podríamos percibir esta irregularidad de la mineralización imaginando que recorremos el manto, con un

analizador químico portátil, a lo largo de cualquier línea horizontal paralela a la dirección E-W indicada.

Por el contrario, si recorremos el manto a

lo largo de una línea perpendicular a la

hoja (N-S) notaremos una gran

continuidad de los valores y una mínima

variación estructural de los mismos; lo

cual está plenamente expresado en el

variograma respectivo, que muestra la

mejor estructuración y el mayor alcance de

los tres mostrados en la fig. 12. Un

recorrido similar en dirección vertical,

permite comprender porqué el variograma

en esa dirección tiene mejor estructura y

menos varianza que el de la dirección E-

W.

Es una idealización muy peligrosa suponer

que los patrones de distribución son

isótropos, ya que los millares de estudios

variográficos de diferentes tipos de

yacimientos, en la bibliografía mundial,

nos indican que la mayor parte de los

patrones de distribución son anisótropos.

El concepto de anisotropía geométrica

tiene relación directa con el denominado

”radio de alcance” de los métodos

tradicionales; que como ya hemos visto

sólo se podrá usar en regionalizaciones

isótropas. Es mas apropiado hablar de

elipse (para bloques bidimensionales) o

elipsoide de alcance (para bloques

tridimensionales). Consecuentemente, y

salvo en justificadas excepciones, las

mallas de perforación deberían ser

rectángulos o paralelepípedos; y no

necesariamente cuadrados o cubos, como

generalmente se usa.

S. Canchaya/Dic. 2005

BIBLIOGRAFIA

Aquí se está consignando no sólo la bibliografía citada en el presente trabajo, sino además, bibliografía

adicional seleccionada con la intención de dar a loa participantes la posibilidad de profundizar los temas que

más le interesan.

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