Introducción a La Metrología Mediante Speckle - Clase1

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FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 1Introduccin a la metrologa mediante speckleOrgenes y descripcin conceptual del speckle.Modelo de suma aleatoria de fasoresEstadstica de primer orden de la intensidad

Laboratorio de Ingeniera ptica

Clase 11FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 21. Orgenes y descripcin conceptual del speckle


1.1 Qu es el speckle?La interferencia debida a la superposicin de todos las ondas que llegan al plano de observacin con fases aleatorias debido a la rugosidad de la superficie reflectora (o transmisora, en un medio transparente)[1,2][1] Ridgen and Gordon, The granularity of scattered optical maser light. Proc. IRE, 50, 2367 (1962)[2] Oliver, B. M. Sparkling spots and random diffraction. Proc. IEEE, 51, 220 (1963)2FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 31. Orgenes y descripcin conceptual del speckle


1.2 Cmo se forma? Propagacin Libre Speckle objetivolPlano de observacin

3FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 41. Orgenes y descripcin conceptual del speckle


1.3 Cmo se forma? Speckle imagenSpeckle subjetivol

4FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 52. Modelo de suma aleatoria de fasores


2.1 Tratamiento fasorial onda plana

Sin tener en cuenta la polarizacin y suponiendo propagacin en el eje z:



Para describir una situacin ms general que una onda plana, la distribucin del campo elctrico en un plano (x,y) dado, tendremos:



Haremos en lo que sigue las siguientes suposiciones:Las amplitudes y fases an y fn son independientes de am y fm siempre que n m.Para cada n, an y fn son independientes una de otra.Las fases fn estn distribuidas uniformemente entre (-p,p).El fasor asociado al speckle (sea de propagacin libre o por formacin de imagen) estar dado por la suma de muchos fasores. 2.2 Suma aleatoria de N fasores 7FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 82. Modelo de suma aleatoria de fasores


Valores esperados:



Varianzas:

Slo son distintos de cero los trminos con n = m, por lo tanto



Por ltimo, la correlacin entre las partes real e imaginaria

La funcin densidad de probabilidad conjunta queda entonces igual al producto de las funciones de cada variable aleatoria.

Donde s 2 es la varianza, indistintamente, de la parte real o imaginaria de Aa A se la llama variable compleja circular gaussiana 10FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 112. Modelo de suma aleatoria de fasores


La densidad de probabilidad conjunta de A y F se obtiene haciendo un cambio de variables

Lo que da



Que puede ser integrado para obtener la distribucin en funcin de A y F solamente.

De donde concluimos que la longitud y la fase del fasor resultante son variables aleatorias estadsticamente independientes12FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 132. Modelo de suma aleatoria de fasores




2.3 Suma aleatoria de N fasores + un fasor constante conocido(rugosidad < long. de onda)

La funcin densidad de probabilidad conjunta quedar





Que de nuevo puede ser escrita en funcin de A y F

Y ser integrado para obtener





18FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 193. Estadstica de primer ordende la intensidad


Estadstica de Primer Orden = Estadstica en un instante y un punto

Para un campo linealmente polarizado tendremos (no escribimos las constantes de proporcionalidad por simplicidad)

Haciendo entonces el cambio de variable de la densidad de probabilidad19

FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 203. Estadstica de primer ordende la intensidad


Reemplazando entonces en la expresin de la dens. de prob. de A

3.1 Nmero grande de fasores aleatoriosSpeckle completamente desarrollado20FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 213. Estadstica de primer ordende la intensidad


Los momentos de la distribucin se obtienen integrando directamente y de all obtener la varianza y la desviacin estndar de la intensidad.

Definimos ac el contraste C del speckle, de manera intuitiva



Para uso futuro calculamos ac la funcin caracterstica (transformada de Fourier) de la distribucin de intensidad

3.2 Suma aleatoria de N fasores + un fasor constante conocido(rugosidad < long. de onda)



Haciendo como antes el cambio de variable se obtiene

Donde se debe tener en cuenta que representa la intensidad promedio de la parte aleatoria. Se us tambin la notacin.IB0 es la funcin de Bessel modificada de orden cero.





Los momentos, como antes, para este tipo de speckle quedan

De donde obtenemos la desviacin estndar de la intensidad

Y el contraste







3.3 Suma de N patrones de speckle independientesLa suma (en amplitud) de patrones de speckle no reduce el contraste (de hecho slo equivale a tener un nmero mayor de fasores)Un teorema fundamental de la teora de la probabilidad establece que la funcin densidad de probabilidad (pdf) de una suma de variables indepepndientes es la convolucin de las pdf de cada variable. Por lo tanto la funcin caracterstica de la suma ser igual al producto de las funciones caractersticas de cada variable. 28FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 293. Estadstica de primer ordende la intensidad


Si todos los valores medios de los distintos spekcles coinciden, entonces la inversin de Fourier de la expresin anterior daDonde es la intensidad media total.

El contraste para este caso se puede calcular analticamente y da



30FPQ Metrologa Speckle Chile Clase 1 31Resumen


Speckle = Suma de fasores aleatoriosSpeckle Completamente DesarrolladoSpeckle ParcialmenteDesarrollado , circular gaussiana

, uniforme

, exponencial negativa

Contraste: 1 , uniforme delta (misma fase)

, exponencial negativa delta (misma I)

Contraste: 1 0 circ. gaussiana, circ. gaussiana.

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