Introduccion a La Termodinamica

APUNTES DE TERMODINAMICA

Introduccin a La Termodinmica

U N A A P R O X I M A C I N D I D A C T I C A Y P R O F E S I O N A L

Introduccin a La Termodinmica

C/ Santiago de Chile

Tabla de contenidoINTRODUCCIN 1

C A P T U L O 1

MEDICIN Y TEORA DE ERROR 6

1.1 INTRODUCCION

Acerca de El proceso de Medicin 9 6 5

1.2 POTENCIAS DE 10 Y NOTACIN

CIENTFICA 9

1.3. SISTEMA DE MEDIDAS 12 7

Acerca de El origen del sistema

mtrico 15 9

1.4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y

ERRORES 16

Acerca La medicin de la carga

elctrica del electrn 19 10

1.4.1 Error nominal 21 en las cifras significativas. 10

1.4.2 Influencia del Error en las cifras

significativas 23 23Precisin y exactitud. 11

1.4.3 Precisin y Exactitud 24

1.4.4 Propagacin del Error 24

1.5 RECTIFICACION DE GRAFICOS Y

AJUSTE POR MNIMOS CUADRADOS 29

C A P T U L O 2

CONCEPTOS BSICOS DE LA

TERMODINMICA. 35

2..1 INTRODUCCIN 35

2..2 PRIMEROS CONCEPTOS 37

2.3 LEY CERO DE TERMODINMICA 40

2.3.1 La temperatura 41

Acerca de la escala de temperatura 43

2..4 CALOR Y TRABAJO 45

2.4.1 El equivalente mecnico del

calor 51

C A P T U L O 3

PROPIEDADES DE LAS

SUBSTANCIAS PURAS. 53

3.1 ECUACIN DE ESTADO DEL GAS

IDEAL 53

3.2 COMPRESIBILIDAD Y COEFICIENTE

ISOTRMICO DE COMPRESIBILIDAD 58

3.3 DILATACIN TRMICA DE LOS

MATERIALES 60

3.4 CAPACIDAD CALORFICA 63

3.5 TRANSFERENCIA DE CALOR 65

3.6 TRANSICIONES DE FASE 70

3.7 PRESION PARCIAL DEL VAPOR DE

AGUA (HUMEDAD) 76

C A P T U L O 4

CALOR Y LA 1a LEY DE

TERMODINMICA. SISTEMAS

CERRADOS 82

4.1 INTRODUCCIN 82

4.2 PRIMERA LEY DE TERMODINMICA 84

4.2.1 Funciones de estado y proceso 86

4.2.2 Procesos Cuasiestticos 91

4.3 ANLISIS DE LA 1A LEY DE

TERMODINMICA 92

C A P T U L O 5

ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LA

PRIMERA LEY DE LA

TERMODINMICA 95

5.1 INTRODUCCIN 95

5.2 CAPACIDAD CALORFICA DE LOS

GASES IDEALES 96

5.3 TRABAJO DURANTE EL CAMBIO

ISOTRMICO Y ADIABTICO DEL

VOLUMEN DE UN GAS IDEAL 99

5.3.1 Trabajo durante la dilatacin

isotrmica (T = Constante) 99

5.3.2 Trabajo durante la dilatacin

adiabtica 100

5.3.3 Volmenes de control 104

C A P T U L O 6

TEORA CINTICA DE LOS

GASES 110

6.1 INTRODUCCIN 110

6.2 LA ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA

CINTICA DE LOS GASES 113

6.3 LA ECUACIN DEL GAS IDEAL

DESDE UN PUNTO DE VISTA

MICROSCPICO 116

C A P T U L O 7

LA 2a LEY DE TERMODINMICA.

7.1 INTRODUCCIN 120

7.2 PROCESOS REVERSIBLES 123

7.3 SEGUNDA LEY DE LA

TERMODINMICA 125

7.4 RENDIMIENTO DE UNA MQUINA

TRMICA Y CICLO DE CARNOT 129

7.4.1 Teorema de Carnot 134

C A P T U L O 8

ENTROPA Y ENTALPA 140

8.1 LA ENTROPA 140

8.2 ENTROPA Y REVERSIBILIDAD 144

8.2.1 Procesos reversibles y entropa 145

8.2.2 Entropa y procesos irreversibles146

8.3 LA ENTALPA 149

8.3.1 Movimiento Estacionario de un

Fluido 151

8.3.2 Calor Latente 153

C A P T U L O 9

ANLISIS DE LA 2a LEY DE LA

TERMODINMICA: SISTEMAS DE

INGENIERA. 155

9.1 INTRODUCCIN 155

9.2 EL CICLO DEL MOTOR DIESEL DE

CUATRO TIEMPOS 156

9.3 TURBINAS Y TOBERAS 161

C A P T U L O 1 0

INTERPRETACIN ESTADSTICA DE

LA TERMODINMICA. 164

10.1 INTRODUCCIN 164

10.2 Funcin de distribucin de

Maxwell 169

INDICE DE MATERIAS 177

I N T R O D U C C I N A L A T E R M O D I N M I C A

1

INTRODUCCIN

a termodinmica es la rama de la fsica que estudia la relacin entre energa, trabajo y calor. Est basada en varios principios o leyes universales, que son el resultado de las investigaciones de un nmero importante

de cientficos. La particularidad esencial de la termodinmica y que la diferencia de otras

ramas de la ciencia es que ella incorpora el concepto de calor o energa trmica,

como parte importante en el balance energtico de los sistemas. La naturaleza del calor no siempre fue clara. Hoy conocemos que el movimiento desordenado de las molculas es la esencia del calor.

Algunos aspectos de la termodinmica son tan generales y profundos que versan incluso sobre temas filosficos. Alguna consideracin, sin embargo, merecen estos temas, antes de enfrentarse a los detalles tcnicos. La razn para ello es simple antes de hacer cualquier cosa, uno debe comprender por qu quiere hacerlo.

Por qu es necesario e importante estudiar la

termodinmica?.

La respuesta a esta pregunta puede tener al menos dos enfoques. El primero de ellos est basado en la utilidad y el segundo en la belleza de las concepciones empleadas. Justificar la utilidad es una tarea ms fcil, justificar la belleza es algo ms complicado, teniendo en cuenta que hay un componente subjetivo en la apreciacin de sta.

L

Una mirada ms cercana al vapor de agua caliente que sale de la tetera muestra que el calor es la energa del movimiento catico de las molculas.


2

El efecto invernadero

Estamos rodeados de creaciones tcnicas que hubiesen sido imposibles sin el empleo de la termodinmica. Por ejemplo el automvil, el refrigerador, el termo, el motor de combustin interna, el calefont, las turbinas, la plancha, los calentadores solares, la calefaccin, el aire acondicionado, termmetros y muchsimas otras invenciones que de una manera u otra emplean el conocimiento aportado por la termodinmica.

Por otra parte la explicacin de muchos fenmenos de la naturaleza est basada en el estudio de las leyes de la termodinmica. Por ejemplo, la termodinmica esta presente en el denominado efecto invernadero que causa el calentamiento global de la tierra, la capa de inversin trmica que provoca que la ciudad de

Santiago en ciertos das invernales incremente sus niveles de contaminacin, o en las respuesta a preguntas tales como: por qu en una playa durante la maana sentimos la brisa que proviene del mar y durante la noche el viento viene de la tierra?, por qu el aire se enfra al incrementarse la altura, por qu el calor pasa de los cuerpos ms caliente a los ms fros y no viceversa?, por qu sentimos una moneda ms fra que un pedazo de madera a pesar de que ambos se encuentran a la misma temperatura?, por qu el aire caliente asciende?, etc.

El conocimiento de la termodinmica puede ser vital para un ingeniero o un arquitecto. Efectivamente el correcto manejo de los conceptos de conveccin de

los gases y del aislamiento trmico en el diseo de la evacuacin de gases

en los edificios evitara la acumulacin de gases txicos, producto de la combustin de los calefn, con la consiguiente prevencin de accidentes fatales. El empleo del concepto de conductividad trmica le permite al ingeniero elegir los materiales

adecuados para la construccin de viviendas. El tener en cuenta las propiedades de dilatacin de los cuerpos, permite asegurar que no ocurran deformaciones de las

estructuras que daen irremediablemente obras tales como puentes, carreteras, rieles de trenes etc.

El Termo y las Neveras usan las propiedades de mala conductividad trmica de ciertos materiales para conservar la temperatura de las bebidas y alimentos.


3

El establecimiento de la termodinmica como una de las ramas ms lograda de la ciencia y con un alto nivel de aplicabilidad, es el resultado de una larga historia de trabajo, invenciones y experimentaciones de muchos cientficos.

Desde los tiempos de la Grecia antigua, la naturaleza del calor intrig a los

hombres de ciencia. El poder comprender esta naturaleza tuvo una dramtica historia, ntimamente ligada al desarrollo de la propia termodinmica. Las primeras ideas sobre la interpretacin del calor fueron esbozadas por los griegos, entre ellos Demcrito,

Epicuro y Lucrecio. Para ellos el calor era una especie de sustancia.

El nombre calrico fue introducido por el qumico Lavoisier en su Trait

lmentaire de chimie en el ao 1789. En el siglo XVII el calor era visto como una forma de movimiento. Algunos destacados cientficos se haban acercado considerablemente a la explicacin de la naturaleza del calor, asocindolo al movimiento desordenado de las molculas. Sin embargo durante el siglo XVIII esta explicacin correcta fue abandonada y retomada la idea errnea sobre el calor como una forma de materia, que pasaba de los cuerpos ms calientes a los ms fros.

En 1738 la Academia de Ciencia Francesa ofreci un premio a quien lograra dar una explicacin sobre la naturaleza del calor. En esa ocasin venci la teora del calor como una clase de materia. Entre los ganadores se encontraba el gran cientfico alemn Leonard Euler.

Este hecho es una magnifica ilustracin de que el paso de la ciencia no siempre es directo y las nuevas ideas, en ciertos casos, representan una involucin en lugar de una evolucin del conocimiento.

La verdadera explicacin de los fenmenos calricos tuvo que esperar el desarrollo de los primeros principios de la termodinmica y la teora estadstica fundada en el siglo XIX. Sin embargo la experiencia acumulada por cientficos como Robert

Boyle (1627 - 1761) y Edme Mariotte (1620 - 1684) en la teora de los gases,

Gabriel Daniel Fahrenheit (1686 - 1736) en la construccin de termmetros

meteorolgicos, el escocs James Watt (1736- 1819) quien mejor notoriamente el

motor de vapor, John Dalton (1766 -1844) quien investig la expansin de los

James Watt (1736 - 1819)


4

Nicols Carnot (1796 - 1832)

La Revolucin Industrial

gases y despus se convirti en el fundador de la teora atmica y muchos otros, fueron dando forma a la actual ciencia que hoy conocemos como termodinmica.

La ciencia de la termodinmica tuvo su origen en los intentos de determinar matemticamente cunto trabajo til poda obtenerse a partir de un motor de vapor. James Watt hizo importantes aportes en este sentido, haciendo que el pistn de una mquina de vapor se moviera bajo la accin del vapor mismo y no por el uso de gas comprimido como se hacia antes. Durante sus experimentos era asistido por Joseph Black, (1728 - 1799) el

descubridor del calor latente. Este ltimo junto a Pierre Simon Laplace (1749 -

1827) determinaron los calores especficos de un nmero de sustancias y establecieron las bases de la actual calorimetra.

El primer y gran impulso en expresar de manera matemtica el estudio de las mquinas fue desarrollado por Nicols Leonard Sadi Carnot (1796 - 1832), quien

en 1824 introdujo la idea de las Transformaciones Cclicas. Tambin obtuvo notables resultados con el denominado Principio de Reversibilidad. Asumiendo la imposibilidad de la existencia del mvil perpetuo, l concluy que no puede haber una mquina con mayor rendimiento que aquella que trabaje con procesos reversibles. La importancia de los trabajos de Carnot fue reconocida cuando William Thomson (ms

conocido como Lord Kelvin) demostr que el principio cclico de Carnot conduce al concepto de escala absoluta de temperatura.

En febrero de 1850 Rudolph Clausius (1822 - 1888) comunic a la

Academia de Berln, a travs de un artculo, lo que sera el prototipo de la segunda ley de la termodinmica El calor no puede por si solo pasar de un cuerpo ms fro a otro ms caliente.

Barcos a vapor .


5

Orden en el Universo

En el mismo mes William John M. Ranking (1820 - 1872), profesor de la

escuela de ingeniera de Glasgow, lee ante la Royal Society of Edinburg un artculo donde declaraba que el calor consiste en el movimiento rotacional de las molculas y llega mediante esta idea a los resultados obtenidos por Clausius. En marzo de 1851 aparece un artculo de William Thomson que contena la primera prueba rigurosa de la segunda ley de la termodinmica.

La teora estadstica de la termodinmica fue desarrollada en los trabajos pioneros de James Clerc Maxwell (1831 - 1879), Ludwig Boltzmann (1844 -

1906) y Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903). Los trabajos de estos cientficos

mostraron que revertir los fenmenos denominados irreversibles no es imposible sino que simplemente improbable. De este modo, la segunda ley de la termodinmica no es absoluta sino que simplemente es una ley altamente probable.

Si la Primera Ley de la Termodinmica indica cuales fenmenos y

procesos pueden o no ocurrir de acuerdo con el balance energtico (conservacin de la energa), la Segunda Ley de la Termodinmica muestra la direccin en que

estos ocurren. Lo mostrado por Boltzmann, con su trabajo, es que los sistemas termodinmicos con una gran probabilidad siguen un determinado patrn de comportamiento caracterizado por el incremento o conservacin de la entropa, aunque no es imposible del todo que ocurra lo contrario. De hecho el surgimiento de la vida esta basado precisamente en esta posibilidad de que ocurra lo contrario, es decir, la disminucin de la entropa o del grado de desorden.

La idea de que la segunda ley de la termodinmica solo tiene un carcter probabilstico es especialmente til cuando se establece que el universo como sistema termodinmico evolucionara hacia el incremento de la entropa y por tanto hacia la denominada muerte trmica. Este hecho contradice las observaciones astronmicas que muestran una evolucin del universo hacia la formacin de estructuras ordenadas

James Clerc Maxwell (1831 - 1879)

La probabilidad de que estos edificios se vuelvan a construir por si solos es muy baja ciertamente. As de precisa es la prediccin de la II Ley de la Termodinmica.


6

como galaxias, nebulosas, sistemas planetarios, etc. y no hacia la muerte trmica o total desorden.

En algunas partes, el Universo evoluciona hacia estructuras ms organizadas.


7

MEDICIN Y TEORA DE ERROR Si cerris la puerta a todos los errores, tambin la verdad se quedar fuera.

Rabindranath Tagore.

1.1 Introduccin.

esde los primeros tiempos el hombre estuvo interesado en comprender todo lo que le rodeaba. Buscar explicacin sobre la estructura de las cosas y los fenmenos constituy una de sus actividades ms importantes. Esta actividad,

que inicialmente parti con observaciones cualitativas (aquellas que no se expresan mediante nmeros), permiti sobre la base de los atributos particulares de los cuerpos y fenmenos, introducir magnitudes que eran susceptibles de ser medidas, las magnitudes fsicas. El objetivo es la caracterizacin cuantitativa de los objetos y

fenmenos del universo, en busca de patrones que revelen relaciones recurrentes

Captulo

1

D


8

entre los datos obtenidos y por medio de los cuales podamos establecer las leyes que revelen la esencia y funcionamiento de las cosas.

La fsica es la rama de la ciencia que estudia la materia y los fenmenos con ella asociados, est estructurada sobre la base de Magnitudes fundamentales:

aquellas que pueden ser definidas o expresadas por s mismas ( masa, tiempo, longitud, carga, ...) y las Magnitudes derivadas: aquellas que pueden ser

definidas o expresadas a partir de otras ( velocidad, aceleracin, presin .... ). Para obtener los valores de las magnitudes fsicas necesitamos instrumentos de

medicin, mtodos de medicin y es necesario adems definir unidades de medidas. Por ejemplo si deseamos establecer la duracin de cierto fenmeno fsico, debemos utilizar un cronmetro como instrumento de medida y debemos tener una unidad de medida, que si elegimos el Sistema Internacional de Medidas (S. I.), es el segundo. El cronmetro deber estar calibrado apropiadamente con el uso de esta unidad, fracciones o mltiplos de ella y se determinar el nmero de veces que esta unidad o sus fracciones estn contenidas en el intervalo de tiempo que queremos medir. Esto ltimo ser nuestro mtodo de medicin. Existen dos maneras en que la fsica y la ciencia en general generan nmeros, una es como resultado de la medicin y el otro es mediante clculos. En cada uno de los casos Cunta precisin en los nmeros debemos considerar?. Para responder

a esta pregunta necesitaremos introducir el concepto de cifra significativa,

adems de explicar claramente a qu llamamos precisin. Cunta informacin fsica est contenida en un nmero depende de cuntas cifras significativas este posea, por ejemplo los nmeros 538.123 y 0.00467130 son claramente muy diferentes, pero la informacin desde el punto de vista fsico es similar, en el sentido que ambos poseen el mismo nmero de cifras significativas: 6 cifras significativas. Para determinarlas, contamos las cifras sin considerar los ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero. Los ceros de la derecha indican tambin cifras significativas. En la seccin 1.4 estudiaremos ms sobre este tema.

Los nmeros 0.1456032 y 0.004445550 poseen ambos la misma cantidad de cifras significativas. 7 cifras significativas


9

El conteo de las cifras significativas es tan solo un ndice de la precisin del nmero. No es el nico y por lo dems en algunos casos no nos ofrece una informacin til. Por ejemplo los nmeros 0.999 y 1.000 son prcticamente los mismos nmeros y ambos son conocidos con incertidumbre del orden de 0.001. Sin embargo el

primero posee 3 cifras significativas, mientras que el segundo 4. Aclaremos el trmino incertidumbre con un par de ejemplos. Dado el nmero 13.3 , podemos suponer que este nmero es el resultado de una medicin de una magnitud fsica cuyo valor se encuentra entre 13.25 y 13.35, la incertidumbre o lmite

de la precisin sera en este caso de 0.1 (no tenemos una completa certeza de la veracidad de la primera cifra despus del punto decimal). Si tenemos el nmero 8.60

que se encuentra entre los nmeros 8.595 y 8.605, su incertidumbre ser 0.01. La incertidumbre o los errores estn presente en todos los aspectos de la medicin de magnitudes fsicas. Debemos aclarar que el concepto de error o incertidumbre (usaremos a partir de ahora cualquiera de estos trminos indistintamente) , usado en ciencias tiene un significado muy diferente al uso habitual de este trmino, no es equivocacin como se entendera en el lenguaje coloquial. En ciencia tiene un significado ms profundo y esta asociado a la indeterminacin de los valores de las magnitudes fsicas, causada por mltiples razones que van desde la propia equivocacin del que mide hasta la definicin apropiada de lo que estamos midiendo. Con ms detalles estudiaremos este tema en la seccin 1.4

No todos marcamos, con un cronmetro, el comienzo y el trmino de un intervalo de tiempo de igual manera. Durante la medicin cometemos errores debido a los distintos tiempos de reaccin.


10

Acerca de ... El Proceso de Medicin

Toda medicin en fsica es una comparacin entre dos cantidades fsicas semejantes, de ah que usemos las medidas patrones. As por ejemplo si medimos la longitud de una garrocha aceptamos que la regla de un metro es vlida para medir su longitud.

Para ser vlido, un dispositivo de medicin debe calibrarse con ayuda de un Patrn de aceptacin general. La medicin debe tener la exactitud suficiente y el procedimiento a utilizar debe ser estable. Los mtodos de medicin son dos:

a) Por comparacin directa. El patrn es comparado directamente con la magnitud ( por ejemplo medir el largo de una mesa).

b) Por comparacin indirecta. Se usa cierto mecanismo que transforma la seal de entrada en otra seal, que es funcin de la primera ( por ejemplo la deflexin de una aguja que indica rapidez del vehculo).

1. 2 Potencias de 10 y notacin cientfica.

Supongamos que tenemos el nmero 83 000 la receta dada ms arriba para el clculo de las cifras significativas nos dara 5, lo que no parece ajustarse a la informacin contenida en el nmero, que nos ofrece 2 dgitos significativos, el 8 y el 3. Una manera de resolver el

problema es escribir el nmero en la forma 8.3 104 con la conveccin de que 10n no posee cifras significativas. Junto con hacer la precisin del nmero ms clara, esta notacin permite escribirlo de un modo ms compacto. Esta manera de escribir los nmeros se denomina notacin cientfica.

Los siguientes ejemplos muestran cmo escribir un nmero en notacin cientfica, adems de darnos una clara visin de la economa y claridad en la escritura, ganados con esta notacin:


11

Ejemplos El nmero 300 000 000 puede escribirse en notacin cientfica colocando el punto

decimal 8 lugares a la izquierda y multiplicando por una potencia de 10 cuyo exponente es igual al nmero de veces que se desplaz el punto decimal, con signo positivo.

El nmero 0.0000024 se escribe en notacin cientfica desplazando el punto decimal 6 veces a la derecha y multiplicando por una potencia de 10 cuyo exponente es igual al nmero de veces que se desplaz el punto decima,l con signo negativo.

Algunas de las potencias del 10 son aplicadas con mucha frecuencia en la prctica, por lo que ha sido de mucha utilidad el uso de un sistema de prefijos y smbolos que

Centsimas

Dcimas

241022.6 Notacin Cientfica

8100.3.000000300 =

6104.20024000.0 =

8 veces a la izquierda

6 veces a la derecha

Note el signo negativo

Note que el exponente es positivo

Exponente

Enteros


12

1 kilmetro 1 km =103 m 1 micrmetro 1m =10-6m 1 milisegundo 1ms = 10-3 s 1 nanosegundo 1ns = 10-9 s

indiquen los valores del exponente o potencia del 10. La tabla 1.1 muestra estos prefijos y smbolos: Prefijo Smbolo = Potencia Prefijo Smbolo = Potencia

deca da = 10 deci d = 10-1

hecto h = 102 centi c = 10-2

kilo K = 103 mili m = 10-3

mega M = 106 micro = 10-6 giga G = 109 nano n = 10-9

tera T = 1012 pico p = 10-12

peta P = 1015 femto f = 10-15

exa E = 1018 atto a = 10-18

Tabla 1.1. Prefijos y smbolos que indican las potencias del 10.

Como veremos en la prxima seccin, donde estudiaremos con ms detalles las unidades de medidas, el metro denotado por m y el segundo denotado por s son

las unidades de medida establecida por el Sistema Internacional - S. I. para medir la longitud de los cuerpos y el tiempo respectivamente. Diferentes unidades de medida de la longitud y de tiempo se obtienen convenientemente a partir del metro y del segundo respectivamente, mediante la multiplicacin o divisin de potencias de 10.

Algunos ejemplos del uso de prefijos junto a las unidades de medida.


13

El metro patrn

1. 3 Sistema de Medidas.

La unidad de medida estndar para la longitud es el metro (la abreviatura oficial es

m). Hasta hace relativamente poco tiempo atrs, el patrn o prototipo del metro se

encontraba construido mediante una barra de metal, para ser usado en condiciones de temperatura muy especficos. Este patrn se conserva en el Bur

Internacional de Pesos y Medidas en Svres, Francia. En la actualidad,

aunque este prototipo y sus duplicados esparcidos por el mundo poseen an utilidad, han sido sobrepasados en precisin y disponibilidad por el uso de rayos de luz estndar que producen un patrn de ondas con espaciamiento conocido.

El metro fue originalmente elegido (durante la Revolucin Francesa ) de modo tal que

4107 metros fuera igual al permetro de una circunferencia trazada a lo largo de un meridiano terrestre a nivel del mar.

En este manual usaremos fundamentalmente las unidades de medidas del sistema S. I. Systme International de las que el metro forma parte. Algunas de las unidades de medida que se aplican con mayor frecuencia son:

El metro m: Es una medida de longitud y se

define como la distancia ocupada por 1.650.763,73 longitudes de onda de la radiacin roja-anaranjada emitida por el criptn 86. Otra forma de definirlo es como la distancia recorrida por la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo de 1 / 299 792 458 segundos. Esta ltima definicin fue adoptada en 1983. El kilogramo kg: Es una medida de masa y se define como la masa de un

cilindro particular de platino-iridio conservado en Sevres, Francia desde 1889. El kilogramo es igual a 1000 gramos. Un gramo es la masa de 1 cm3 de agua a

Los patrones de medida deben de cumplir ciertas propiedades: 9 Deben ser inmutables 9 Se debe disponer de ellos

con facilidad. 9 Deben ser precisos. 9 Deben haber sido

acordados previamente con carcter universal.


14

El kilogramo patrn

temperatura de 4 Celsius. Hoy el kilogramo es la masa que contiene 5,018 x 10 2 5

tomos de carbono 12. El segundo s: Es una medida de tiempo. Hasta 1956 se defina en trminos del

da solar medio, el que se dividi en 24 horas, cada hora se dividi en 60 minutos y cada

minuto en 60 segundos, es decir es 1 / 86400 del da solar medio. En 1964 se redefini y corresponde al tiempo que demoran en ocurrir 9.192.631.770 oscilaciones de cierta radiacin luminosa emitida por los tomos Cesio 133. El newton N: Es una unidad de medida de la fuerza, se define como la fuerza

necesaria para acelerar una masa de 1 kilogramo en un metro por segundo por segundo (por segundo al cuadrado).

El joule J: Es la cantidad de trabajo que realiza una fuerza de 1N que acta

sobre una distancia igual a 1m. En 1948 se adopt el joule como la unidad estndar de la

energa. El calor especfico del agua a 15 C es de 4185.5 J / kg

El ampere A: Se define como la corriente elctrica que circula por dos

alambres paralelos separados a una distancia de un 1m uno del otro, cuando estos se

repelen con una fuerza de 2 x 10-7 N por cada metro del alambre. Cuando existe una

corriente de un ampere (1 A) en un alambre conductor, la carga que pasa por un punto

en el alambre en 1 segundo es el coulomb c.

El pascal pa: Es una unidad de medida de la presin. Se define como la razn

entre la fuerza ejercida por un newton y una superficie de rea igual a un metro cuadrado.


15

El Kelvin K : Es una medida de la temperatura, que se define como 1 / 273.15

de la temperatura termodinmica del punto triple del agua ( es el punto donde coexisten en equilibrio el agua lquida, el vapor de agua y el hielo ). En 1968 se decidi usar el kelvin en lugar del grado Kelvin K. En este manual, por razones de costumbre usamos indistintamente ambas denominaciones.

Junto con las unidades de medida definidas por el sistema internacional, en la actualidad los pases de habla inglesa (Estados Unidos, Inglaterra y Australia principalmente ) emplean otro sistema, denominado precisamente el sistema

ingls. Este sistema posee sus propios patrones de medida, por ejemplo se utiliza el

pie como la unidad de longitud, la libra como la unidad de peso o de fuerza y el segundo como unidad de tiempo. En la tabla 1. 2 se recogen algunas conversiones entre el metro y algunas de las ms comunes unidades de medida de la longitud en el sistema ingls.

Unidades de longitud 1 metro 1 pie 1 pulgada 1 milla

1 metro 1 3.28083 39.370 6.2110-4 1 pie 0.30480 1 12 1.8910-4 1 pulgada 0.02540 0.08333 1 1.5810-5 1 milla 1609.34 5280 63 360 1

Tabla 1.2 Conversiones del metro y las unidades de longitud del sistema ingls.


16

Acerca de ... El origen del sistema mtrico

Bajo el imperio romano se realizaron esfuerzos para definir un sistema nico de medidas que fuera empleado en los bastos territorios que dominaban. Sin embargo durante la Edad Media volvi el desorden en esta materia, proliferando un sin nmero de unidades de medida. Incluso algunas de ellas, a pesar de que conservaban el mismo nombre, tenan valores diferentes. Todo lo que se hizo para poner remedio a esta situacin constituy un fracaso. Sin embargo, la idea de establecer un sistema de unidades coherente fue cobrando forma de esta manera.

Llegado el siglo XVIII, existan muchsimas unidades de pesos y medidas empleadas fundamentalmente en el comercio. Por ejemplo la fruta para sidra se venda por barricas, la lea se venda por cuerdas, el carbn de piedra por sacos, el carbn vegetal por cestos, la madera por marcas o vigas, la sal por moyos, por sextarios, por minas, por minotes y por medidas; la cal se venda por barricas y el mineral por espuertas. Se compraba la avena por picotines y el yeso por sacos; se comparaba el vino por pintas, jarras, pasmos, galones y botellas. El aguardiente se venda por cuartillos, el trigo por moyos y escudillas. Los paos, cortinas y tapices se compraban por alnas cuadradas; los bosques y prados se contaban en prtigas cuadradas, la via en cuarteras. Tambin se usaba el jornal que expresaba el trabajo de un hombre en un da, igual que la peonada. Los boticarios pesaban en libras, onzas, dracmas y escrpulos. La libra vala doce onzas, la onza ocho dracmas, la dracma tres escrpulos y el escrpulo veinte granos.

Las unidades de longitud eran tan variadas y proliferas que resultaban abrumadoras. Por ejemplo se utilizaban las toesas, pies del Per, la loa, el pie del rey Filicteras de Macedonia, el antiguo pie del Francocondado, de Maine y de Perche y el pie de Burdeos para los agrimensores, as como la cuerda de Marchenoir en Dunois, en Marsella se usaba la caa, etc. etc. etc.

Durante la Revolucin Francesa, tras suprimir los derechos feudales referentes a los pesos y medidas (15 de marzo de 1790). Se propuso instaurar un sistema de medidas nico y uniforme, basado en el uso exclusivo de la escala decimal, asegurando as la facilidad en los intercambios y la integridad en las operaciones comerciales. La Academia de Ciencias trat de excluir todos los elementos arbitrarios, recurriendo a elementos de la naturaleza. De este modo en marzo de 1791, se decidi que el cuarto de meridiano terrestre se convirtiera en la unidad real de medida, y la diezmillonsima parte de esa longitud fuera la unidad estndar. Esta unidad recibi el nombre de "metro" (del griego metron, "medida"), sus divisiones se denominaran con prefijos latinos (decmetro, centmetro, milmetro) y sus mltiplos, con griegos (decmetro, hectmetro, kilmetro).

El meridiano elegido fue el que va desde Dunkerque hasta Barcelona y la medicin fue encomendada a dos astrnomos: Jean-Baptiste Delambre, que comenzara en Dunkerque, y Pierre Mechain, que lo hara en Barcelona, ambos deberan encontrarse en Rodez, partiendo en junio de 1792.

La determinacin de la unidad estndar de peso, denominada kilogramo la asumira el qumico Lavoisier. Para ello emplea agua destilada y utiliza para pesarla un cilindro (un cuerpo cuyo volumen se puede conocer con precisin) y una balanza de un solo brazo (para evitar una posible desigualdad entre los brazos de una balanza convencional). El 7 de abril de 1795 la Convencin decreta que habr un solo patrn de pesos y


17

medidas para toda Francia e invita a los ciudadanos "a dar una prueba de su afecto por la unidad e indivisibilidad de la Repblica utilizando, a partir de ahora, las nuevas medidas". El 25 de septiembre del mismo ao el uso del metro sustituye al del alna en el municipio de Pars.

Despus de varias interrupciones en la medicin del meridiano, en noviembre de 1798, tras seis aos de arduos trabajos, tiene lugar la ltima medicin. Todas las mediciones fueron estudiadas y verificadas por los miembros de la Comisin Internacional reunida en Pars. A partir de ellas se efectuaron los distintos clculos y se estableci la longitud del metro: 3 pies, 11 lneas, 296/1.000 de la toesa del Per. El Kilogramo, por su parte, pesa 2 libras, 5 gruesas y 35 granos.

El 22 de junio de 1799 los patrones del metro y del kilogramo son depositados en los Archivos de la Repblica. Ambos, una barra y un cilindro, se haban moldeado en platino para resistir los estragos el tiempo.

Finalmente el 1 de enero de 1840 el sistema mtrico decimal se hace oficial y obligatorio en territorio francs; Espaa lo declara obligatorio el 19 de julio de 1849.

Una Conferencia Internacional instituy en 1875 la Oficina Internacional de Pesas y Medidas; otra adopt en 1889 una definicin ms exacta del metro. Por ltimo, el 14 de octubre de 1960, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas abandon la referencia al meridiano terrestre (insuficientemente exacta en el mbito de la ciencia moderna) y defini el metro con relacin a un fenmeno fsico natural que es constante, preciso, indestructible y reproducible en todo lugar: "la longitud del metro es igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vaco de la radiacin correspondiente a la transicin entre los niveles 2p10 y 5d5 del tomo de criptn 86".

1.4 Cifras significativas y errores.

Las cifras significativas son los dgitos necesarios para expresar la magnitud de una medida. No se consideran los ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero. Los ceros de la derecha indican tambin cifras significativas. Algunos ejemplos que ilustran la determinacin de cifras significativas se recogen en la tabla 1. 3.


18

Tabla 1.3 Determinacin de las cifras significativas.

Durante el proceso de medicin de una magnitud fsica inevitablemente se

cometen errores, por lo que siempre est presente cierta incertidumbre durante este

proceso. Existen muchas y variadas causas que provocan incertidumbre en los valores que medimos de las magnitudes, pertinentes al observador, al instrumento de medicin, al propio objeto de medicin, al mtodo empleado para medir y al efecto que produce el acto mismo de medicin en lo que queremos medir. Por ejemplo, un observador puede equivocarse contando las divisiones en una regla, o simplemente tiene dificultades de visin que no le permiten ver estas divisiones correctamente. Puede que el instrumento de medicin no fuera calibrado de manera apropiada o su precisin sea inadecuada o insuficiente para lo que queremos medir. Por otra parte no siempre se cuenta con una definicin completa del objeto o fenmeno que queremos medir. Por ejemplo si queremos medir la longitud de una tabla de madera con una gran precisin debemos considerar que la tabla posee muchas irregularidades y cada medicin con instrumentos ms precisos arrojar distintos valores para la longitud.

Magnitud Nmero de cifras significativas

15.7 kg 3

33.4062 s 6

0,028 cm 2

0,0280 m 3

3x 10 5 K 1

3,0 0 x 10-5 J 3

Los errores pueden ser: Sistemticos: Se repiten de igual forma en cada medicin.

Accidentales: Varan de medicin en medicin de manera aleatoria.


19

Por ejemplo la medicin de la masa M de cierto cuerpo durante un experimento con el uso de una balanza dio como resultado: M = (3,784 + 0,009 ) kg de igual manera su longitud, medida con una huincha arroj un resultado igual a: L = (256 + 2 ) mm

Otro aspecto que debemos considerar es que durante el proceso de medicin tenemos que interactuar con el objeto que queremos medir. En ocasiones el fenmeno a considerar es muy inestable y el solo hecho de intentar medirlo hace que este cambie radicalmente su estructura. El acto de medir puede incluso cambiar la naturaleza del objeto. Este hecho adquiere una extrema importancia en el estudio de las partculas subatmicas y fija lmites a nuestra capacidad de medir. Por ejemplo supongamos que poseemos un microscopio tan preciso que nos de la oportunidad de tratar de determinar la posicin de un electrn. Para esto debemos alumbrar el electrn con luz y recibir su reflejo, para saber donde est. La luz est compuesta de partculas denominadas fotones que al chocar con el electrn simplemente lo barren de su camino y por tanto nunca recibimos su reflejo. Es por esta causa que nadie ha podido ver un electrn o incluso un tomo ( esta es una de las razones por la que se desarroll la mecnica cuntica, que se encarga del estudio del mundo microscpico). Teniendo en cuenta todas estas dificultades surge una pregunta:

Cmo sabemos cul es el valor ms exacto posible de una

magnitud y cunto podemos confiar en l ?.

La respuesta a esta pregunta es sin duda el tema de estudio de la denominada teora de errores, sobre la que daremos algunos elementos a continuacin. Durante las mediciones, junto con obtener el valor de una magnitud, estamos interesados en determinar las cotas o lmites probabilsticos de la incertidumbre en su determinacin. El resultado obtenido se expresa mediante la siguiente notacin:

Donde x es el valor ms representativo de nuestra medicin, x se denomina error absoluto y caracteriza la incertidumbre o error de la medicin. Por lo general se

xxxxx +( )1.1


20

usa una manera compacta de expresar el hecho de que durante el proceso de medicin mas que un valor estamos interesados en determinar un intervalo alrededor

del mejor valor x con semiancho definido por error absoluto x: Adems del error absoluto se emplean muy frecuentemente en la prctica las

definiciones de el error relativo = x / x y el error porcentual % = x 100%.

Acerca de ... La medicin de la carga elctrica del electrn

R. A. Millikan en su famoso experimento de la gota de aceite, midi directamente el valor de la carga del electrn observando el movimiento de pequeas gotas de aceite cargadas que flotaban en el aire bajo la accin combinada de la gravedad y el campo elctrico*. El resultado de la medicin fue [ 1,591 + 0,002] x 10 -19 coulomb. Hoy su valor es [1,60210 + 0,00002] x 10 19 coulomb.

*R. A. Millikan The isolation of an Ion a Precision Measurement of the Charge and correction of Sokes law The Physical Review 32, 349, (1911).

Cuando se realizan N mediciones de una magnitud x dada, para determinar el valor representativo se emplea el valor medio (valor promedio, valor ms probable, valor estimado, ....) que se calcula mediante la siguiente frmula: xi denota cada uno de los valores de las N mediciones hechas, i = 1 ... N

Es muy importante considerar las desviaciones xi = x - xi que cada una de las mediciones individuales presenta en comparacin con el valor medio. Si los errores de

xx ( )2.1

( )NNi

i xxxNx

Nx +++==

="21

1

11( )3.1


21

medicin son fortuitos estas desviaciones tienen igual probabilidad de ser positivas o negativas en la medida que el nmero N de mediciones crezca. Este hecho implica que la suma: Bsicamente, porque podemos encontrar con una igual probabilidad iguales trminos con signos diferentes que se cancelaran. Por esta razn se define una magnitud que da una idea global de las desviaciones respecto al valor ms probable, usando para ello la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas desviaciones:

Sx se denomina desviacin estndar o desviacin cuadrtica

media. La desviacin estndar determina el ancho o dispersin de la distribucin

de puntos alrededor del valor estimado o valor promedio. Como Sx tiene las mismas unidades de medida que x se de puede definir la razn Sx / x , que es un ndice

independiente del nmero de mediciones N y una caracterstica del proceso de medicin. Si realizamos varias series de experimentos para la determinacin del valor de la magnitud fsica x, podemos en cada uno de ellos determinar el valor promedio x .

Estos valores no tienen porque coincidir unos con otros, de hecho presentaran cierta distribucin, pero con una menor dispersin que en el caso de las mediciones individuales. La ciencia de la estadstica demuestra que cuando el nmero de mediciones N crece la distribucin de las x est completamente definida (distribucin

normal) y la desviacin estndar est dada mediante la siguiente relacin:

( )( )= =

N

i

ix n

xS1

2

1

01

=

N

iix( )4.1

( )5.1

La calidad del proceso de medicin ser mayor en la medida que la

razn Sx / x sea menor.

( )( ) N

SNNx xN

i

ix =

= =1

2

1( )6.1


22

x es la desviacin estndar del valor medio y es una medida de la incertidumbre estadstica durante el proceso de medicin de la magnitud x. La frmula (1.6) nos muestra que si aumentamos el nmero N de mediciones, podemos hacer que se reduzca notoriamente la dispersin de los datos y con ello ganaremos una medicin ms exacta. Indudablemente incrementar el nmero de mediciones es una buena prctica. Sin embargo existe una limitante importante a considerar, a parte del error estadstico. Esta limitante est asociada a la denominada incertidumbre nominal.

1.4.1 Error nominal

El error o incertidumbre nominal es producido por mltiples causas

algunas de ellas son: 1. Errores introducidos por el instrumentos de medida:

a. Error de exactitud ex: Es el error absoluto cometido durante la calibracin del instrumento, con el uso de patrones confiables.

b. Error de apreciacin ap: es la mnima variacin discernible que apreciamos en el instrumento. A menudo se define como la mnima cantidad que el instrumento puede detectar. Sin embargo puede ocurrir que un observador inexperto o con cierta discapacidad (por ejemplo problemas de visin), no aprecie la mnima variacin del instrumento.

2. Error de definicin del objeto de medicin def : Los fenmenos y objetos por lo general no estn definidos con infinita

precisin. Dentro del error nominal pueden incluirse otras causas que surgen durante un

proceso de medicin en particular. Por ejemplo deben considerarse diferentes tiempos de reaccin para distintos operadores de un cronometro durante la medicin de un intervalo de tiempo.

El error de apreciacin por lo general corresponde a la mitad de la menor divisin del instrumento, por ejemplo, con una huincha mtrica, la menor divisin es 1 mm, entonces el error es 0.5 mm = 5 10-4 m


23

Otros tipos de errores a considerar son los errores espurios, que se

comenten debido al descuido o equivocacin. Volviendo al comentario hecho inmediatamente despus de la frmula (1.6). El

aumentar el nmero de mediciones puede reducir la incertidumbre estadstica, pero por ejemplo si contamos con una regla que posea divisiones del orden del milmetro es imposible obtener precisiones del orden del micrmetro, por ms que aumentemos el nmero de mediciones. Es decir el error nominal establece una cota a la precisin de la medicin.

El error o incertidumbre absoluta x en (1.2) recibe contribuciones del error estadstico y del error nominal:

Donde xn es la incertidumbre nominal:

El error nominal puede reducirse utilizando instrumentos de medicin ms precisos y exactos (mejor calibracin), definiendo el objeto o fenmeno a medir de una manera tambin ms precisa, diseando un apropiado mtodo de medicin, siendo cuidadoso para no cometer errores espurios, entre otras recomendaciones.

Por lo general un alumno recibe un instrumento ya calibrado y con una precisin definida (error de apreciacin), por lo que su trabajo durante la realizacin de un experimento debe ser cuidadoso para no cometer equivocaciones (errores espurios) y deber realizar un nmero de mediciones apropiados para disminuir el error estadstico. Lo ptimo sera hacer tantas mediciones de modo tal que el error estadstico sea del orden del error nominal.

En 1999 la NASA perdi un satlite de investigacin del clima de Marte. El Mars Climate Orbiter debido a un error espurio, al confundir las unidades de medidas del sistema ingls y el mtrico en una de los clculos del diseo de navegacin.

22xnxx +=

"222int22 exacdefapnx +++=

( )7.1

( )8.1


24

1.4.2 Influencia del error en las cifras significativas

Cuando se escribe el resultado de la medicin en la forma:

El nmero de cifras significativas contenidas en x y x debe ser consecuente. Debemos conservar en el resultado de la medicin, el nmero de dgitos que estn a la izquierda de la primera cifra afectada por el error, incluyendo este dgito. El dgito ms a la izquierda es el ms significativo y el de ms a la derecha el menos significativo. Resulta superfluo incluir ms cifras a la derecha del digito para el que ya existe incertidumbre.

En la prctica una vez calculada la incertidumbre de la medicin se redondea el valor del estimador, de modo tal que el nmero de cifras significativas sea consecuente con dicho error.

Ejemplos En la medicin de la masa M = 63.56435 + 0.05 kg, el error afecta al segundo

dgito despus del punto decimal, todos los dgitos a la derecha de este son superfluos. Por tanto lo correcto sera escribir M = 63.56 + 0.05 kg

No es correcto escribir L = 1.135 + 0.2; lo correcto sera escribir L = 1.1 + 0,2.

xx

1.3564 0.001 posee 4 cifras exactas en el sentido estricto.

Se dice que un nmero positivo x escrito en notacin decimal posee n cifras decimales exactas en el sentido estricto si el valor absoluto del error de este nmero no excede de del dgito decimal de orden n.


25

1.4. 3 Precisin y exactitud

La precisin de un instrumento de medicin esta definida sobre la base de la menor variacin que pueda percibir dicho instrumento, mientras que la exactitud tiene que ver con la correcta calibracin del mismo. Por ejemplo un reloj que mida hasta las milsimas de segundo es evidentemente ms exacto que un reloj comn que solo mide hasta las centsimas de segundo. Sin embargo puede ocurrir que el primer reloj este mal calibrado y est por ejemplo adelantado en 10 minutos, mientras que el segundo reloj marque las hora correctamente. En este caso decimos que el reloj comn es ms exacto que el primero.

Como habamos visto en la seccin anterior la precisin del instrumento esta asociada al error de apreciacin mientras que el error de exactitud est relacionado con el error de exactitud.

1.4.4 Propagacin del error.

La propagacin del error se produce debido a la existencia de medidas

indirectas, es decir, aquellas que dependen de otras, con las cuales estn

relacionadas, habitualmente mediante una cierta funcin. Por ejemplo para determinar el rea de un rectngulo deben medirse primeramente sus lados as esta rea es una funcin de los lados; para medir aceleraciones medias de un auto en un cierto intervalo de tiempo debe de tomarse primeramente la suma de todas las velocidades y dividirlas por el intervalo de tiempo en cuestin, esto hace que la aceleracin sea una funcin de las velocidades y del tiempo; el volumen de un cono es funcin del rea de la base y de su altura, etc. Como ya sabemos todo acto de medicin lleva intrnsecamente la posibilidad del error. Los errores cometidos, por ejemplo, durante la medicin de los lados de un rectngulo influyen en la determinacin de su rea. En estos casos se plantea que el error se propaga. Veamos algunos casos donde el error se propaga:

( )a

( )b

( )c

Pegarle al crculo es exactitud : (a) Preciso, pero no exacto. (b) Ni preciso ni exacto. (c) Exacto y preciso.


26

Error propagado en el caso de la suma de nmeros que poseen errores:

Dados los nmeros A = A m + A; B = B m + B; C = Cm + C, donde Am, Bm, y Cm son los valores medios o estimadores de las variables A, B y C respectivamente.

Tenemos: A + B + C = ( A m + B m + Cm) + ( + B + C) Para que el resultado de la suma tenga todas las cifras exactas en el sentido estricto se recomienda la siguiente recta en tres pasos: 9 Debe tomarse el nmero de cifras significativas exactas del trmino que posea

el menor nmero de ellas. 9 Se redondea el resto de los nmeros para que tengan todos el mismo nmero

de cifras significativas, dejando una cifra de reserva. 9 Se efecta la suma y en el resultado se redondea la ltima cifra.

Por ejemplo:

El error propagado en el caso de una funcin de varios argumentos: La formulacin general de este problema requiere del conocimiento de la derivada,

no obstante a eso con ayuda de una simple tabla de derivadas de funciones elementales o el empleo de una calculadora simblica como la Texas, Casio o HP, pueden realizarse la mayora de los clculos.

8.2504.21)8(1.14)1(2.2154.21182.1421.215 =++=++

Este es el nmero con menos cifras exactas.

Dgitos de reserva

El error absoluto de una suma algebraica de nmeros es igual a la suma de los errores absolutos de cada trmino


27

Supongamos que tenemos una funcin de las magnitudes A1, A2....., AN que

poseen errores absolutos A1, A2, .... AN respectivamente: Para determinar el error absoluto de la magnitud f se utiliza la frmula aproximada:

El error relativo se determina mediante: Donde las barras representan el valor absoluto o positivo de la magnitud contenida en

su interior, A1 , A2... AN corresponden a los errores relativos de las magnitudes A1, A2....., AN respectivamente. La expresin entre las barras dada por:

Indica la derivada parcial de la funcin f con respecto a la magnitud A1. Esta notacin se usa cuando la funcin f depende de varias variables o magnitudes. La receta bsica para calcular las derivada parcial con respecto a A1, por ejemplo, es considerar el resto de las dems variables A2....., AN como constantes y calcular la derivada ordinaria de una funcin de una nica variable A1 , que a su vez puede obtenerse de una tabla ya previamente preparada. Para ilustrar el uso de las frmulas (1.9) y (1.10) vamos a calcular el error relativo propagado por el producto de dos nmeros con errores.

Supongamos tenemos la funcin definida por el producto:

La funcin f podra indicar por ejemplo el rea de un rectngulo de lados A y B calculamos las derivadas parciales:

( )NAAAff ",, 21=

NN

AAfA

AfA

Aff

+++

= "22

11

fA

Af

fA

Af

fA

Af

ff N

Nf

++

+== "2

2

1

1

1Af

( )9.1

( )10.1

BAf =


28

Empleando la relacin (1.9) tenemos: Dividiendo esta expresin por el valor absoluto de f, obtenemos la relacin: De este modo hemos mostrado que el

Si A = A m + A; B = B m + B son dos magnitudes, y sus errores relativos entonces se tienen las siguientes relaciones de utilidad en la prctica:

9 La resta A B = (A m B m ) + ( + B) 9 El producto A B =(A m B m) [ 1 + ( + )] 9 La divisin A / B = (A m / B m) [ 1 + ( + )] 9 Exponencial A n = ( Am ) n [ ( 1 + n ) ] 9 Radicacin n A = A 1/ n = ( A m) 1/ n [ 1 + 1/n ]

BBdAdAB

Af ===

1

AAdBdBA

Bf ===

1

BAABBBfA

Aff +=

+=

BAf ABBA

ABAB +=+=

El error relativo de un producto es la suma de los errores relativos de los factores.


29

Ejemplos

1) 16.3 cm 4.5 cm = 73.35 cm 2 = 73 cm2. 2) 123 + 5.35 = 128 (no 128.35). 3) rea y permetro de radio (3.5 + 0.2) cm

Permetro C = 2 r = 2 3.5 = 21.99115 cm El radio tiene dos cifras significativas por tanto C = 22 cm

El rea se calcula mediante la relacin: A = r2 = 3.14159 ( 4.65)2 = 67.92903 cm2 El radio tiene 3 cifras significativas luego A = 67.9 cm 2.

4) V = A B C Como sabemos el error relativo del producto es la suma de los errores relativos de su factores:

V = A + B + C Supongamos que = 19.39, = 1.13, C = 296.3 y sus errores absolutos estn dados por = B = 0.07 y C = 0.5. De este modo tenemos:

V = 0.036 +0.062 + 0.017 = 0.067 V = 204 102 0.067 V = 14 10 2 mm3 V = 20384 + 1400

V =( 204 + 14 ) 10 2


30

1.5 Rectificacin de grficos y Ajuste por mnimos cuadrados.

Supongamos que hemos efectuado la medicin de dos magnitudes y queremos establecer si existe una relacin lineal entre ellas. Es decir queremos mostrar que las variables X e Y satisfacen la siguiente relacin:

Esta es la ecuacin de una recta, donde (0,a) es el punto del eje vertical Y por el que pasa la recta y b es su pendiente.

La hiptesis inicial de que las variables X e Y satisfacen la relacin (1.11) esta basada por lo general en principios fsicos, que la experimentacin pretende corroborar o desechar. Como vimos en las secciones anteriores el proceso de medicin conlleva a errores, por lo tanto es muy poco probable que encontremos una relacin de linealidad (1.11) de manera exacta. La idea entonces en encontrar la recta, o lo que es lo mismo, los coeficientes a y b, que mejor se ajuste a las mediciones obtenidas.

No existe nica manera para hacer esto. Uno de los procedimientos ms utilizado es el denominado Mtodo de mnimos cuadrados, que consiste bsicamente en encontrar los valores de los coeficientes a y b de modo tal que la suma de todos los cuadrados de las desviaciones de las mediciones Yi con respecto a los Y dados por la recta al reemplazar Xi en (1.11) sea mnima. Este mtodo produce las siguientes frmulas para los coeficientes:

XbaY +=( )11.1

( )( ) ( )

= 22m

mm

XNX

YXNYXb

mm XbYa =

( )12.1

( )13.1


31

Donde Xm y Ym son los valores promedio de las variables X e Y respectivamente, N es el nmero de mediciones y adems hemos usado las notaciones:

Para determinar cuan apropiada fue nuestra hiptesis sobre la validez de la relacin lineal (1.7) entre las variables debemos usar el denominado coeficiente de correlacin r. Este coeficiente se determina mediante la frmula:

Donde hemos usado las desviaciones cuadrtica media Sx y Sy para las magnitudes X e Y respectivamente, calculadas mediante las frmulas:

El coeficiente de correlacin r posee algunas importantes propiedades. En primer lugar puede mostrase que satisface la siguiente desigualdad:

Por otra parte r2 muestra la fraccin de la desviacin cuadrtica media (Sy)2 que ha

sido eliminada de la desviacin cuadrtica media (SY )2 para la magnitud Y = Yi Ym , al usar el ajuste logrado mediante la recta (1.11) con los coeficientes b y a calculados por las

NN YXYXYXYX +++= "2211

( ) ( ) ( )222212 NXXXX +++= "

( )yx

mm

SSYXN

XYr

=

( )=

=N

imix XXN

S1

21

( )=

=N

imiY YYN

S1

21

11 r

( )14.1

( )15.1

( )16.1

( )17.1

( )18.1

( )19.1


32

frmulas (1.12) y (1.13) respectivamente. Es costumbre decir que r2 es la fraccin de (Sy)2 explicado por el ajuste dado por la recta.

Si r > 0 la recta posee pendiente positiva (crece hacia la derecha) , si r < 0 la recta posee pendiente negativa (crece hacia la izquierda) , si r = 0 la recta es horizontal.

Este ltimo caso no implica que no exista relacin entre las variables X e Y, lo que realmente significa es que no existe ninguna relacin lineal del tipo (1.7) entre ellas.

Para ilustrar los conceptos aqu introducidos. Tomemos los resultados de las mediciones de dos variable X e Y, convenientemente organizados en la tabla 1. 4.

Tabla 1.4 Datos de las mediciones de dos magnitudes X e Y.

Reemplazamos los datos las de la tabla 1. 4 en la frmula (1.12) para determinar el valor de la pendiente b:

X Y X2 XY (X-Xm)2 (Y-Ym)2 27,1 19,7 734,41 533,87 29,5768639 27,683787 20,9 18,0 436,81 376,2 135,453787 48,4630178 33,4 26,1 1115,56 871,74 0,74224852 1,29609467 77,6 44,9 6021,76 3484,24 2030,54225 397,542249 37,0 26,1 1369 965,7 19,9053254 1,29609467 21,6 19,9 466,56 429,84 119,649941 25,6191716 17,6 15,7 309,76 276,32 223,157633 85,7760947 35,1 27,6 1232,01 968,76 6,56147929 6,96147929 32,6 24,9 1062,76 811,74 0,00378698 0,00378698 26,0 23,4 676 608,4 42,7514793 2,43840237 27,6 23,1 761,76 637,56 24,3884024 3,46532544 38,7 31,3 1497,69 1211,31 37,9645562 40,1760947 27,8 23,8 772,84 661,64 22,4530178 1,3491716

Totales x =423,0 y =324,5 xx =16456,92 xy =11837,32 (X-Xm)2 = 2693,15077

(Y- Ym)2 = 642,070769

Promedios Xm= 32,54 Ym = 24,96 Sx =14,39324 Sy= 7,027806

( )( ) 475.0)54.32(1392.16456

96.2454.321332.118372 =

=b


33

El valor aqu obtenido de b lo usamos en la frmula (1.13) para determinar el coeficiente a.

De este modo hemos determinado que la recta que mejor se ajusta a las mediciones est definida por la ecuacin:

Figura 1.1 Ajuste por mnimos cuadrados.

Para calcular el coeficiente de correlacin r, empleamos los datos de la tabla 1.4 en la frmula (1.16) para obtener:

La correlacin es positiva (el grfico crece hacia la derecha como lo muestra la figura 1.1) y del 97%.

( )( ) 504.954.32475.096.24 ==a

XY += 475.0504.9

0,05,0

10,015,020,025,030,035,040,045,050,0

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0

X

Y

( ) ( )( )( )( ) 97.003.739,14

96.2454.321332.11837

===

yx

mm

SS

YXNXY

r


34

Ejercicios:

1) Indique el nmero de cifras significativas en cada uno de los siguientes valores: a) 0.0570 b) 120.470200 c) 1745.0300

d) 1.1 10 2 e) 0.05 10 15 f) 19 10 19 g) 0,001 h) 18745.0

i) 18774.510 2

2) Al medir una longitud con un pie de metro se obtiene los siguientes valores en milmetros.

L(mm) 10.8 10.7 10.9 10.8 10.7 10.8 Determine el valor medio y el error estndar.

3) Se desea calcular el volumen de un tubo del cual se tienen la siguientes medidas:

9 Radio interno: r = 9.13 + 0,03 mm, 9 Radio externo: R =10.26 + 0,04 mm


35

9 Altura h = 296,3 + 0.5 mm. 9 Se emplea la frmula: V = ( R2 r2 ) h

Respuesta: 20400 + 1400 mm3.

4) Efecte las siguientes operaciones aritmticas de los nmeros 756 37.2 0.83 2.5 :

i. Su suma.

ii. El producto de 3.2 3.563 . iii. El producto de 5.6 .

Respuesta. a) 797 b) 11 c) 18

5) Si el radio de una esfera slida es 6.50+ 0.20 cm y su masa es 1.85+ 0.02 kg. Determine la densidad de la esfera y la incertidumbre en la densidad.

Respuesta . (1,61 + 0.167) 103 kg/m3


36

Conceptos Bsicos de Termodinmica

Un viaje de mil kilmetros comienza con el primer paso.

-Proverbio chino

2 . 1 Introduccin

a termodinmica es una parte importante de la fsica y es quizs una de sus ramas con mayor grado de terminacin. La tarea de la termodinmica es el estudio de los objetos macroscpicos, es decir aquellos que estn formados por un nmero grande

de otros objetos ms diminutos que denominaremos molculas. Para tener una idea

correcta de lo que llamamos nmero grande observemos, por ejemplo, que 1 cm3 de un gas

contiene 2,7 1019 molculas. Esto es un nmero enorme que escapa a todo lo que estamos acostumbrados a manejar en la vida cotidiana.

Captulo

2

L


37

Si suponemos que el movimiento de las molculas es puramente mecnico y se rige por las leyes de la mecnica clsica, entonces la descripcin completa del movimiento de una de ests molculas est dado, si conocemos su posicin y su velocidad en cada instante de tiempo. Necesitamos, por tanto, tres nmeros que indican sus coordenadas y tres ms para las componentes de la velocidad . Si tenemos por ejemplo N molculas,

debemos seguir la evolucin de 6 N nmeros en el tiempo. Por lo general la evolucin en fsica es descrita mediante el empleo de una ecuacin de movimiento, por lo que tendramos

que resolver, por ejemplo 6 2,7 1019 ecuaciones para describir correctamente el comportamiento de un 1 cm3 de gas. Esta es una tarea desesperada si reconocemos que los computadores actuales realizan del orden de los millones (106) de operaciones por segundo. Es decir en este trabajo emplearamos aproximadamente 317 mil aos.

La enormidad de este nmero hace imposible y adems de innecesario dedicarse a seguir el movimiento detallado de cada partcula integrante del sistema macroscpico, por lo que es conveniente y muy til, limitarse al conocimiento de valores promedios de ciertas magnitudes que caracterizan el estado del sistema. Por ejemplo, en el caso del gas podemos trabajar con su densidad, temperatura, presin, etc., las que permiten definir completamente su estado macroscpico.

En este captulo daremos los primeros pasos para el estudio de la termodinmica. Para ello definiremos los conceptos fundamentales usados en termodinmica, tales como: sistema, variable termodinmica, medio exterior, temperatura, trabajo, calor, etc.

Es imposible describir el comportamiento detallado e individual de cada una de las molculas de un gas, porque el nmero de ellas es extremadamente grande.


38

2.2 Primeros conceptos.

Al analizar las situaciones fsicas enfocamos nuestra atencin en alguna porcin de materia que separamos, en la mente, del medio externo que la rodea. A esta porcin la llamamos sistema. Ms exactamente, cuando hablamos de sistema en termodinmica nos

referimos a una cierta cantidad de materia, acotada por una superficie cerrada. Esta superficie puede ser real, como la de un globo que encierra una cierta masa de gas helio, o puede ser imaginaria como el lmite de una cierta masa de pulpa de celulosa que circula a lo largo de una caera y cuyo progreso se sigue mentalmente. La superficie lmite puede no estar determinada claramente, ni en su forma ni en su volumen. Por ejemplo, cuando un gas se expande su superficie exterior no tiene una forma definida.

Una clase muy importante de problemas en termodinmica se refiere a los sistemas en los cuales hay intercambio de materia y energa, a travs de la superficie que los limita, con el medio exterior, tales sistemas se denominan abiertos. Cualquier medio

que intercambie energa y/o materia con el sistema en que estamos interesados estudiar, lo denominamos medio ambiente o medio exterior a dicho sistema. Es todo el

Universo excluyendo el sistema en cuestin. Por ejemplo, en el caso de una pelota que cae libremente, la pelota puede ser el sistema y el ambiente puede ser el aire y la tierra. En tal caso nos interesar saber cmo afectan en el movimiento de la pelota el aire y la tierra.

El intercambio de energa con el medio exterior puede consistir en la produccin de trabajo mecnico o en flujo de calor. Si las condiciones son tales que no se intercambia energa, el sistema se dice que est aislado o cerrado. Para ello se

requiere que el sistema se halle trmicamente aislado, de manera que el flujo de calor sea nulo y que adems no realice ni reciba trabajo.

En cualquier caso que estemos analizando debemos elegir ciertas cantidades para describir el comportamiento del sistema. Podemos adoptar para ello dos puntos de vista, el macroscpico y el microscpico. La termodinmica toma el segundo punto de vista, en el


39

sentido que no le interesa el comportamiento detallado de cada integrante del sistema, sino el comportamiento colectivo de un gran nmero de molculas. Mientras mayor es el nmero de componentes del sistema, mayor es la exactitud de la descripcin termodinmica.

La especificacin del estado de un sistema termodinmico depende de su naturaleza, por ejemplo el estado de un gas encerrado en un cilindro queda determinado por su presin, volumen, temperatura y masa. Conocida la masa

y el volumen puede tomarse su relacin, definiendo de esta manera una magnitud de suma utilidad, la densidad. Obviamente existen sistemas ms complicados que

necesitan de un mayor nmero de variables para su descripcin. Las cantidades fsicas cuyos valores determinan el estado de un sistema y que permiten una descripcin macroscpica razonable del sistema termodinmico, se denominan coordenadas termodinmicas o variables de estado.

Una propiedad muy importante observada en los sistemas aislados, que quedan abandonados a si mismos sin la intervencin del medio exterior, es que la rapidez de variacin de sus variables termodinmicas, como la temperatura y presin, se hace cada vez menor, hasta que estas toman valores constantes en toda la extensin del sistema. Este estado final estacionario, que no evoluciona en el tiempo, se denomina estado de equilibrio termodinmico. En equilibrio termodinmico

los valores de las variables de estado de un sistema homogneo son los mismos en todos los puntos. Mientras las variables de estado posean valores constantes, el sistema permanecer en estado de equilibrio.

Las variables de estado de un sistema pueden cambiar al interaccionar con el medio exterior, por ello, para el estudio de un sistema en particular, conviene aislarlo. En la prctica no existen los sistemas cerrados o aislados totalmente del medio. Un sistema de este tipo es una abstraccin de la realidad, es lo que denominamos un modelo construido para estudiar las propiedades fsicas del sistema en cuestin. Bajo ciertas condiciones, podemos pensar que tenemos un sistema que no intercambia calor con el medio exterior, colocando para ello una barrera que impida este intercambio. Esta barrera se denomina pared adiabtica. Por ejemplo, podemos emplear para

La termodinmica estudia el comportamiento colectivo de un gran nmero de molculas.

Un sistema en equilibrio termodinmico no evoluciona, sus variables de estado permanecen constante en todos los puntos.


40

esto una capa gruesa de un material aislante como el poliestireno que impedir el intercambio de calor.

Si por otra parte estamos interesados en estudiar la interaccin trmica entre dos sistemas podemos colocar una pared diatrmica (lmina delgada de metal) que facilita

la interaccin trmica entre dos sistemas.

En termodinmica haremos empleo frecuente de experimentos mentales que junto al razonamiento lgico y principios fundamentales basados en la observacin nos permitir estudiar con asombrosa exactitud la complejidad de una gama amplia de sistemas fsicos.

La termodinmica ofrece incluso un importante aporte en el estudio de sistemas tan complejos como las clulas vivas.

Preguntas:

Los sistemas termodinmicos cerrados poseen la propiedad de que al cabo de un

tiempo sus variables termodinmicas se hacen invariantes. Cuando sucede esto se dice que el

sistema se halla en equilibrio termodinmico. Equilibrio significa que no hay evolucin, el

sistema llego a la muerte trmica. Basado en esto que cree usted Una clula es un sistema

abierto o cerrado?, y un ser vivo?. Justifique su respuesta.


41

2 . 3 Ley cero de la Termodinmica.

Supongamos que se permite interaccionar a los sistemas A y B a travs de una pared diatrmica como se muestra en la figura 2.1 Las paredes adiabticas que rodean el recinto que contiene ambos sistemas evitan cualquier interaccin trmica con otros sistemas exteriores al recinto.

Entre A y B habr interaccin cambiando algunas de las variables de estado de cada sistema. Al final, estas variables tomarn valores constantes y cada sistema estar en estado de equilibrio termodinmico. Dos sistemas estn en equilibrio trmico s,

cuando se ponen en contacto a travs de una pared diatrmica, sus variables de estado no cambian.

Figura 2.1. Intercambio de calor entre dos sistemas a travs de una pared diatrmica.

La figura 2.2 muestra dos sistemas A y B separados por una pared adiabtica

y ambos en contacto con un tercer sistema C a travs de una pared diatrmica. Despus de un tiempo suficientemente largo, las variables de estado de cada sistema se hacen constantes. Los sistemas A y C estn equilibrio trmico y anlogamente los sistemas B y C. En consecuencia los estados A y B estn en equilibrio trmico. Este resultado constituye la ley cero de la termodinmica:

A BPared diatrmica

Pared adiabtica

Dos sistemas que estn en equilibrio con un tercero estn, a su vez, en equilibrio trmico entre s.


42

Figura 2.2 Intercambio de calor entre tres sistemas a travs de paredes diatrmicas. por medio del cual alcanzan su estado de equilibrio termodinmico.

2.3.1 La temperatura.

En nuestra vida cotidiana la temperatura es una magnitud que distingue lo caliente de lo fro. La primera representacin sobre la temperatura se origin precisamente de esta sensacin.

La temperatura ocupa un lugar especial entre la serie de variables de estado que caracterizan al sistema. Esto no es extrao teniendo en cuenta que en la poca cuando apareci esta magnitud en la ciencia no era conocido qu procesos internos originan en la substancia la sensacin de fro o calor.

La particularidad de la temperatura como magnitud fsica consiste ante todo que ella, a diferencia de muchas otras magnitudes, no es aditiva . A consecuencia de

esto no se puede medir la temperatura del cuerpo directamente como se mide la longitud o la masa, es decir, usando el mtodo de comparacin con un patrn. Si podemos decir que la longitud de una barra dada es tantas veces mayor que la longitud de otra, la pregunta sobre cuntas veces una temperatura se contiene en otra no tiene sentido.

Pared diatrmica

Pared adiabtica

A B

C


43

Para medir la temperatura se usa el hecho de que las propiedades de la substancia cambian con la variacin de la temperatura. Un termmetro es el instrumento que se usa para medir la temperatura y el grado es su unidad de medida. La magnitud del grado se elige arbitrariamente y se define de la manera siguiente: Se toman arbitrariamente, dos temperaturas, que se denominan puntos de referencias, por lo general son la temperatura de fusin del hielo y de ebullicin del agua a la presin atmosfrica (ver tabla 2.1, para ms ejemplos ) y se divide este intervalo de temperatura en partes iguales estableciendo de esta manera una escala de

temperaturas . Es claro que mediante este mtodo pueden construirse muchas

escalas de temperatura, sin embargo algunas han sido adoptadas internacionalmente y son de uso comn en la prctica. Aqu usaremos fundamentalmente la escala de grados Celsius (C) y la de grados Kelvin (K).

El concepto de temperatura est ntimamente relacionado con el estado de

equilibrio trmico entre dos sistemas. As de esta manera, dos sistemas en equilibrio trmico tienen la misma temperatura. Si dos sistemas se ponen en contacto y sus variables comienzan a cambiar, entonces los dos sistemas no estarn a la misma temperatura, sin embargo llegarn a tener una temperatura comn cuando se alcance el equilibrio trmico.

Un ejemplo ilustra esta situacin, si uno de los sistemas es un termmetro y se pone en contacto con otro sistema, cuando alcance el equilibrio trmico, tendrn una temperatura comn, en otras palabras el termmetro ha medido la temperatura del otro sistema. Si el termmetro determina que dos sistemas A y B tienen la misma temperatura diremos que A y B estn en equilibrio trmico, en cambio si el termmetro indica que A y B tienen distinta temperatura diremos que ambos sistemas no estn en equilibrio entre s.

Al medir la temperatura, el termmetro debe dejarse un cierto tiempo en contacto con el sistema, despus del cul ambos alcanzan el equilibrio trmico. Una vez que esto sucede la temperatura deja de variar.


44

Acerca de ... La escala de temperatura

La termometra actual est basada en la escala del gas ideal, establecida con ayuda

del termmetro de gas. Este consiste en un recipiente que contiene un gas y posee un

manmetro para medir la presin. El gas se usa como sustancia termomtrica ya que la

presin cambia con la variacin de la temperatura si el volumen del recipiente permanece

constante. Se considera una proporcionalidad directa entre la presin del gas y la

temperatura. Tal suposicin, avalada por muchos experimentos, conduce a la relacin entre

las presiones para las temperaturas de ebullicin (Pe ) y de fusin del hielo (P0) es igual a la relacin de estas temperaturas:

La relacin Pe / P0 se determina experimentalmente mediante las lecturas de las presiones en el manmetro. Un gran nmero de mediciones indicaron:

La medida del grado se obtiene dividiendo la diferencia Te - T0 en 100 partes:

De las dos ltimas igualdades se obtiene que la temperatura de fusin del hielo

T0 =273.15 grados y la temperatura de ebullicin del agua es Te =373.15 grados. Esta escala de temperatura se denomina Escala de Kelvin y abreviadamente se escribe

K o simplemente K.

00 TT

PP ee =

00

3661.1TT

PP ee ==

1000 =TTe


45

En la tcnica y en la vida domstica, frecuentemente se utiliza otra escala de

temperatura que se diferencia de la anterior en que la temperatura de fusin del hielo

se le asocia el valor 0 grados y por tanto el de la ebullicin es 100 grados. Esta escala

se denomina Escala de Celsius y abreviadamente se escribe C. La escala Celsius

se relaciona con la de Kelvin mediante la obvia expresin:

En lo sucesivo usaremos con mucha frecuencia estas dos escalas de

temperaturas. Sin embargo en la resolucin de problemas usando la ecuacin de

estado del gas ideal es imprescindible trabajar con la escala de Kelvin. Junto a las temperaturas de fusin del hielo y ebullicin del agua el Comit

Internacional de Pesos y Medidas, defini una escala de temperatura llamada Escala

Internacional de Temperaturas, basado en temperaturas o puntos de referencia

reproducibles para diferentes substancias. La siguiente tabla muestra algunos puntos

de referencia y a presin P = 1 atm.

Tabla 2.1 Puntos de referencia para varias substancias.

.

Puntos de referencias, Temperatura de equilibrio Temperatura C

Oxgeno lquido y su vapor -182.97 Hielo y agua saturada de hielo 0,00

Agua lquida y su vapor 100,00 Azufre lquido y su vapor 444,60

Plata slida y lquida 960,80 Oro slido y lquido 663,00

15.273 = KTCT


46

Preguntas:

1. La escala de un termmetro de mercurio coincide con la de un termmetro de

alcohol?

2. En qu difieren el punto triple del agua y el punto del hielo?

2 . 4 Calor y trabajo.

Por mucho tiempo fue un misterio para los hombres de ciencia, la causa de los fenmenos calricos. En el siglo XVIII creyeron encontrar una explicacin acertada al formular la teora de un fluido que pasa de los objetos calientes a los fros y lo llamaron calrico. Pero en el ao 1798, el fsico Benjamn Thompson observ que al taladrar

un can de hierro sumergido dentro del agua, se originaba tal cantidad de calor que el agua herva. Este hecho le hizo pensar que la teora del fluido no era vlida, porque el calor en este caso pareca provenir del trabajo que se haca al perforar el can.

En el ao 1808 el qumico John Dalton formul la teora de que la materia est compuesta de partculas muy pequeas llamadas molculas, que a su vez estn formadas por otras partculas ms pequeas llamadas tomos. La molcula es la menor parte de la sustancia que conserva todas sus propiedades qumicas. No tiene

Respuestas


47

sentido, por ejemplo, hablar de media molcula de agua y no porque no sea posible dividirla sino que al hacerlo, las partculas que obtenemos ya no sern de agua. Ests molculas estn en constante movimiento. En los gases por ejemplo una serie de experimentos han mostrado que este movimiento, por lo general, es catico. Las molculas poseen un rango amplio de velocidades y las direcciones de movimiento son arbitrarias. Sin embargo, como veremos en el captulo 11, existen algunos valores para las velocidades que son ms probables de encontrar que otros.

El movimiento catico de las molculas est ntimamente ligado a las nociones de caliente y fro. Las molculas de un gas, por ejemplo, en su vagar chocan constantemente entre ellas y con las otras partculas del recipiente que las contiene, comunicndole cierta cantidad de energa. Si aumenta la energa de las molculas mediante algn procedimiento, el movimiento de ests es ms rpido y el nmero de choques se incrementar, con lo que se crea la sensacin de que el gas es ms caliente. El calor se asocia al movimiento desorganizado o catico de las molculas, mientras que la temperatura es una medida de la energa cintica promedio de ests partculas.

El incremento de energa cintica promedio de las partculas (incremento de la temperatura) conduce al aumento del calor en la sustancia, hacindola ms caliente. El calor es entonces una forma de energa producida por el movimiento catico de las molculas que puede transferirse (irreversiblemente) desde los objetos de mayor temperatura hacia los de menor temperatura, si estos se ponen en contacto, logrando con ello el equilibrio termodinmico.

Otra manera de transferir energa, indistintamente de la temperatura, entre los cuerpos es a travs del trabajo mecnico.

En el curso de mecnica se define el trabajo realizado por una fuerza F al

trasladar un cuerpo una distancia z como el producto:

zFW =( )1.2


48

Utilicemos esta relacin para determinar el trabajo ligado a la dilatacin y

compresin de un gas. Supongamos que el pistn se desplaza a una distancia z segn indica la figura 2.3. Si el rea de la seccin trasversal del pistn es S, entonces

podemos relacionar la fuerza con la presin P del gas mediante F = PS de este modo el trabajo se determina mediante la relacin:

Figura 2.3. Trabajo realizado durante el desplazamiento de un mbolo en un pistn que contiene un gas.

Aqu hemos introducido la variacin de volumen V = S z. Si el mbolo comprime al gas V < 0 W < 0 (El trabajo es realizado por el medio sobre el sistema).

Si el gas se dilata expandiendo en mbolo del pistn V > 0 W > 0 (El sistema realiza trabajo sobre el medio ). La tabla 2.2 resume de manera compacta este anlisis:

W < 0 Compresin del gas. W > 0 Dilatacin del gas.

VPzSPzFW ===

Sz

z

F

( )2.2


49

Tabla 2.2 Signos del trabajo. Si el medio exterior realiza trabajo este es negativo,

si el sistema realiza trabajo sobre el medio, este se considera positivo.

La frmula W =PV funciona correctamente mientras las variaciones de volmenes asociadas al desplazamiento del mbolo sean pequeas. Efectivamente la presin del gas en esta frmula es considerada constante, sin embargo es obvio que la presin del gas esta cambiando en la medida que cambia el volumen por el movimiento del mbolo. De acuerdo a esto lo correcto es decir que la presin es una funcin del volumen P =P(V) . El sentido comn, junto a un gran nmero de experimentos, muestran que a medida que el volumen disminuye la presin del gas aumenta en una relacin inversamente proporcional, mientras se mantiene constante la temperatura (ver figura 2.4). En el captulo 3 profundizamos en esta relacin cuando estudiemos las propiedades del gas ideal.

Figura 2.4. Relacin funcional (proporcionalidad inversa) entre la presin y el volumen cuando la temperatura permanece constante.

Si Tomando intervalos muy pequeos Vi de modo tal que la presin no alcance a cambiar significativamente podemos usar la frmula Wi =P(Vi)Vi en cada uno de estos intervalos para determinar el trabajo realizado o recibido por el

P

VFinalVinicialV


50

sistema en cada intervalo. Aqu hemos usado el subndice i para etiquetar el intervalo. La figura 2.5 muestra el sentido geomtrico de la frmula para el trabajo

elemental Wi que bsicamente es el rea del rectngulo cuya base tiene una longitud Vi y la altura es P(Vi).

Figura 2.5. Interpretacin geomtrica de la frmula para el trabajo elemental.

Supongamos que tomamos N de estos pequeos intervalos entre Vinicial y VFinal, el trabajo total es la suma ( sumatoria ) de todos estos trabajos elementales realizados en cada uno de los intervalos.

La figura 2.6 muestra el caso en que tomamos 10 de estos intervalos.

P

VFinalVinicialV

( )iVP

iV

Wi =P(Vi)Vi

( )==

==+++=N

iii

N

iiN VVPWWWWW

1121 "

P

( )3.2


51

Figura 2.6. El valor numrico del trabajo es la suma de las reas de los rectngulos.

En la medida que tomamos un mayor nmero de rectngulos, la aproximacin de que la presin en cada intervalo sea constante se hace ms exacta y de este modo, como lo indica la figura 2.7 el trabajo total realizado es exactamente el rea bajo la curva dibujada en un diagrama de presin versus volumen.

En matemticas el paso al lmite N , que es exactamente lo mismo que exigir el lmite V 0 , significa que hemos tomado la integral definida :

Figura 2.7 La suma de las reas de los rectngulos tiende al rea bajo la curva en la medida que su nmero crece.

( ) =

==N

i

V

ViiN

Final

inicial

dVVPVVPlimW1

)(

P

( )4.2


52

2.4.1 El equivalente mecnico del calor.

Como hemos visto en este captulo, el mecanismo de transmisin de energa cuando dos objetos a diferentes temperaturas entran en contacto, consiste en que las partculas de ambos, durante los choques entre s, intercambian energa de modo tal que las partculas del cuerpo ms caliente pierden energa, entregndola al cuerpo menos caliente. El mismo resultado se logra mediante cierta cantidad de trabajo realizado por uno de estos cuerpos sobre el otro. El trabajo y el calor son energa y se miden en la mismas unidades de medida. Sin embargo fundamentalmente por razones histricas en el desarrollo de la fsica, cuando el cambio de temperatura del cuerpo es decir su energa interna (en el captulo 6 cuando estudiemos la teora cintica de los gases veremos la relacin entre la temperatura y la energa interna del sistema) se realiza por contacto, se plantea que existe cierto flujo de calor desde el cuerpo ms caliente hacia el menos caliente. Esta cantidad de calor que pasa de un cuerpo a otro es precisamente energa. La nica diferencia entre trabajo y calor esta dada porque el primero lo realiza el objeto macroscpico como un todo, mediante un movimiento ordenado, mientras que la transmisin de energa por calor ocurre debido al movimiento catico de las molculas.

En el sistema internacional de medida (S.I.) se utiliza el joule para la medicin de la energa, pero como decamos anteriormente, por razones histricas se continua usando las caloras y las kilocaloras. La kilocalora se define como la cantidad

de calor cuya entrega (o extraccin) origina el calentamiento (o enfriamiento) de un kilogramo de agua en un grado Kelvin a la presin atmosfrica.

La equivalencia entre calor y energa fue mostrada por J. Joule en 1842, quien demostr mediante una serie de experimentos rigurosos que el calentamiento


53

producido por una kilocalora es el mismo que el dado por un trabajo igual a 4186.8 Joules (J). En otras palabras tenemos la equivalencia:

Una vez definidos los conceptos bsicos de la termodinmica est todo listo

para dar los primeros pasos en el estudio y aplicacin de esta rama importante de la fsica. Lo prximo ser encontrar cmo estn relacionadas las magnitudes termodinmicas que caracterizan el estado de un sistema termodinmico. Cules son las propiedades observables que pueden medirse y que nos permiten describir, desde un punto de vista macroscpico, a los sistemas termodinmicos. Estos y algunos ms sern los temas de estudio del prximo captulo.

JKcal 8.41861 =


54

Propiedades de las substancias puras.

3.1 Ecuacin de estado del gas ideal

l estado de un gas como sistema termodinmico queda definido mediante las variables termodinmicas: temperatura (T), presin (P) y el volumen (V) que ocupa que ocupa cierta cantidad de masa del gas. Estas magnitudes no son

independientes cada una de ellas es funcin de las otras dos. Esta relacin funcional se expresa matemticamente mediante la ecuacin de estado:

Captulo

3

E

( ) 0,, =VTPF( )1.3


55

La ecuacin de estado para los gases ideales conocida tambin como la ecuacin de Capleyron Mendeleiev es el resultado de un minucioso trabajo

experimental. Result que durante los experimentos se mostr que a

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Introduccion a La Termodinamica