INTRODUCCION A LOS LIMITES

Limites

El concepto límite proviene del idioma latín, en el que significa ‘borde’.

En primer lugar, conviene referirse a su concepción geográfica,

que lo entiende como la línea real o imaginaria que separa a dos territorios contiguos. Pueden estar demarcados a través de convenciones políticas establecidas entre las autoridades de dichos territorios, o puede fijarse de modo coincidente con un accidente geográfico natural, como un río, un mar o una cordillera.

Limites Sobre la base de los límites fijados de común acuerdo los Estados vecinos

acuerdan claramente las competencias (políticas, militares, económicas, etc.) de cada uno. Si no se respetaran correctamente, podría existir un conflicto entre países. En el caso de la convivencia entre los habitantes de esos lugares, aparece un

nuevo concepto, que es el de ‘frontera’, con el que suele confundirse el de límite. Mientras que el límite es una línea en muchos casos imaginaria, la frontera es un punto concreto que separa formalmente a dos países o espacios internacionales. Normalmente a través de las fronteras se ingresa a los países y se egresa de ellos, tras exhibir la documentación exigida por las autoridades pertinentes en cada caso. Además de esa acepción geográfica, la palabra límite hace referencia a la condición de extremo (de fuerza física o de tiempo, por ejemplo), que no es posible sobrepasar.

Limites

Ya que se ha estudiado el concepto de limite y su aplicación a otras ciencias, nos será posible trasladar la misma a las matemáticas donde el limite representa el valor “L” obtenido por una F(x) cuando la variable “X” se acerca a un determinado valor “C”, o lo que conocemos como evaluar la función.

Limites

Sabemos por cursos anteriores que las funciones de acuerdo a la forma que posea, tendrá un determinado dominio y en algunos casos asíntotas. Es por eso que cuando evaluamos una función con valores fuera del domino y dentro de la asíntota, obtenemos indeterminaciones que pueden ser de la forma:

0/0, ∞/∞, ∞-∞

Limites Presentaremos la noción de límite mediante un ejemplo.

Supongamos que analizamos el comportamiento de la función:

en las cercanías del punto x=4, pero sin llegar a tomar

exactamente ese valor, ya que en ese punto f(x) tiene la forma 0/0, que carece de significado.

Para tener una idea del comportamiento de la gráfica de f(x) cerca de x=4, usaremos dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime al 4 por la izquierda ( x < 4 ) y otro por la derecha ( x > 4 ), a este metodo se le conoce como LIMITES LATERALES

Limites Se observa claramente que, independientemente de cómo

nos acerquemos al valor 4, la función se aproxima progresivamente a 8. En realidad, aunque x no puede ser igual a 4, podemos acercarnos cuanto queramos al 4 y como resultado f(x) se aproxima al 8, es decir, f(x) tiende a 8 cuando x tiende a 4. Diremos entonces que “el límite de f(x) cuando x tiende a 4 es 8” y lo denotamos como

Limites

“f(x) se sitúa arbitrariamente próximo a L” y “x se acerca a c”

La frase “f(x) se sitúa arbitrariamente próximo a L” significa que f(x) está en el intervalo (L −ε ,L +ε )donde ε representa un número positivo (pequeño). En términos de valor absoluto, escribimos eso así:

Limites Análogamente, la frase “x se acerca a c” significa que existe un

número δ < 0 tal que x está en el intervalo (c −δ ,c) o en el intervalo (c,c +δ ). En términos de valor absoluto eso quiere decir que

Nótese que nada decimos con relación a c. La función f ni siquiera necesita estar definida en c; no lo estaba en el ejemplo recién considerado. La noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cerca de c, no en c.

Limites

De unir los conceptos anteriores se obtiene la DEFINICION DE LIMITES: Si y sólo si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 , tal que se cumpla

0 <| x − c| <δ siempre que 0 <| f (x)− L | < ε

Ejercicios aplicando la definición de limites

Ejercicios aplicando la definición de limites

0/0, ∞/∞, ∞-∞

0/0 Para poder eliminar este tipo de indeterminaciones nos apoyaremos en los siguientes pasos: • Primero se sustituye el valor de “X” para verificar el tipo de indeterminación. •De obtener 0/0, debemos observar que estructura posee, si solo tenemos polinomios se aplicaran operaciones algebraicas ( consultar el link: ALGEBRA DE BALDOR como lo es: productos notables, Factorizar…) •Si hay por lo menos una raíz, se debe racionalizar , tomando como prioridad aquellas que estén en el denominador

0/0 En este ejemplo la sustitución conduce a la expresión indefinida (0/0) , que llamaremos una forma

indeterminada. Cuando se intenta evaluar un límite y uno se topa con esta forma, debe modificarse la fracción de manera que en el nuevo denominador no tenga límite cero.

0/0