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U P C I.O.E. dística
U P CMIOPD.FIB
INTRODUCCIÓN A LOS PROBLEMAS NO LINEALES
• RASGOS DISTINTIVOS DE LOS PNL. Forma de un problema de optimización no lineal. Concepto de óptimos locales y globales. Estrategia de los algoritmos de descenso.
• PROBLEMAS SIN RESTRICCIONES: Ejemplos. Problema de lote óptimo de pedido en un inventario. Ajuste no lineal.
• PROBLEMAS CON RESTRICCIONES: Ejemplos. Localización de torres de transmisión. Problema de equilibrio de mercados.
U P C I.O.E. ca
U P C MIOPD. FIB
PPR OGRAMACIÓN NO LINEAL SIN RESTRICCIONES
CONCEPTOS BÁSICOS. Definición de mínimo local y global Representación a lo largo de una dirección de f. Concepto de dirección de descenso. f. Dif.
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Necesarias de 1er orden. Funciones convexas dif. Propiedades básicas. Funciones cuadráticas y funciones 2-dif. Necesarias y suficientes de 2º orden
MÉTODO DEL GRADIENTE Y EXPLORACIÓN LINEAL.
U P C I.O.E. de Estadística U P C MIOPD. FIB
A
B
x1
x2
x3
VÉRTICE A
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x1
x2
x3
VÉRTICE B
VÉRTICE C
BC
ÓPTIMOS ALTERNATIVOS
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x1
x2
x3Recorriendo las diferentes basesencontraríamos los puntos C, D, E, F.En todos ellos la f.obj. tiene igualvalor: z* = 220/15.
C
D
E
F
G
Cualquier punto G sobre lacara tendrá igual valor para laf.obj.
( COMPROBADLO)
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EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX
• En el ejemplo anterior se examinan sólo 3 de los 9 vértices delpoliedro.
• Hay ejemplos en los que el algoritmo debe examinarlos TODOS(Klee-Minty, 1972). ⇒ PEOR CASO POSIBLE.
x1
x2
x3
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Introducción a los Problemas No Lineales (P.N.L.)
• Un P.N.L. es un problema de programaciónmatemática donde la F.O. o alguna restricción és nolineal.
• Las propiedades y características de estosproblemas son distintas a los de P.L.
• En consecuencia: Los algoritmos de optimizaciónque se utilizan para resolver PNL's son muydiferentes a los utilizados en los P.L.
• La utilización de "RESOLVEDORES" (Solvers) enlenguajes de modelización como AMPL esconde lasdiferencias entre P.L. y P.N.L.'s.
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Forma General de un P.N.L
Max (Min): f0(x1, x2, …, xn) s. a: f1(x1, x2, …, xn)≤0
: fk(x1, x2, …, xn)≥0 .),( cteji
x
f
j
i ≠∂∂∃
: fm(x1, x2, …, xn)=0
• fj(x1, x2, …, xn) diferenciable ∀ j• xi continua ∀ i
43
PROBLEMA DE OPTIMIZACI ON NO LINEAL SIN RESTRICIONES
Min x∈IRn f (x)
f : IRn→ IR, f diferenciable
∇f (x) =
∂f
∂x1...
∂f
∂xn
(x)
Curvas de nivel de
44 CAPITULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Definici on de m ınimo local x∗ de f .
∃δ0 t.q. ∀x, ‖x∗ − x‖2 ≤ δ, δ < δ0:
f (x) ≥ f (x∗)Definici on de m ınimo local estricto x∗ de f .
∃δ0 t.q. ∀x = x∗, ‖x∗ − x‖2 ≤ δ, 0 < δ < δ0:
f (x) > f(x∗)Definici on de m ınimo global x∗ de f .
∀x ∈ IRn, f (x) ≥ f (x∗)Definici on de m ınimo global estricto x∗ de f .
∀x ∈ IRn, x = x∗, f (x) > f(x∗)
Ejemplo: P.N.L. sin restricciones
y
t
Min
– Una empresa de telefonía móvil suministraservicio a varias ciudades.
– Quiere mejorar su servicio instalando unanueva torre.
– La nueva torre tendrá un radio de transmisiónde 40 km y aprovechará las torres existentesen las cuatro ciudades.
Ejemplo de P.N.L. con restricciones no lineales
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C 1
C 2C 3
C 4
x=5, y=45
x=12, y=21
x=17, y=5
x=52, y=21
0 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
010
Nueva Torrex=?, y=?
x-1
x0,5 1 1,5 2
0,5
1
f(x)1-x
x/2 NO DIFERENCIABLE !!
REFORMULACIÓN
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U P C MIOPD. FIB
(3.d) PROGRAMACIÓN NO LINEAL SIN RESTRICCIONES
CONCEPTOS BÁSICOS. Definición de mínimo local y global Representación a lo largo de una dirección de f. Concepto de dirección de descenso. f. Dif.
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Necesarias de 1er orden. Funciones convexas dif. Propiedades básicas. Funciones cuadráticas y funciones 2-dif. Necesarias y suficientes de 2º orden
MÉTODO DEL GRADIENTE Y EXPLORACIÓN LINEAL.
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PROBLEMA DE OPTIMIZACI ON NO LINEAL SIN RESTRICIONES
Min x∈IRn f (x)
f : IRn→ IR, f diferenciable
∇f (x) =
∂f
∂x1...
∂f
∂xn
(x)
Curvas de nivel de
44 CAPITULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Definici on de m ınimo local x∗ de f .
∃δ0 t.q. ∀x, ‖x∗ − x‖2 ≤ δ, δ < δ0:
f (x) ≥ f (x∗)Definici on de m ınimo local estricto x∗ de f .
∃δ0 t.q. ∀x = x∗, ‖x∗ − x‖2 ≤ δ, 0 < δ < δ0:
f (x) > f(x∗)Definici on de m ınimo global x∗ de f .
∀x ∈ IRn, f (x) ≥ f (x∗)Definici on de m ınimo global estricto x∗ de f .
∀x ∈ IRn, x = x∗, f (x) > f(x∗)
α
h(α)
d
xz=f(x1,x2)
x1
x2
46 CAPITULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
h(α) = f (x + αd) es derivable y
h(α) = h(0) + h′(0)α + o(α) con �imα→0+o(α)
α= 0
Por la regla de la cadena: h′(0) = d�∇f (x):
f (x + αd) = f (x) + α · d�∇f (x) + o(α)
Direcci on d de descenso (d.d.) para f en x
∃α0 > 0, t.q. ∀ 0 < α < α0, es f (x + αd) < f(x).
Si f es diferenciable en x:
(a) d es d.d. en x ⇒ d�∇f (x) ≤ 0.
(b) d es d.d. en x ⇐ d�∇f (x) < 0.
Si ∇f (x) = 0 entonces d = −∇f (x) es d.d. en x para f :
d�∇f (x) = −∇f (x)�∇f (x) = −‖∇f (x)‖2 < 0
x1 x2
f(x,y)=5x2+10yconvexa
estrict. convexa
0 α
x0
x1
x2x*
COMPORTAMIENTO DEL MÉTODO DEL GRADIENTE(Exploración Lineal exacta)
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )xxxxxaA
aA
x
xk
Tkk
k
k QEEE **, −−=≤
+
−+
2
21
( ) xbQxxxf TT −=
α
h(α)
α
h(α)
1ª Regla 2ª Regla
( h'(0) < 0 )
0
τ2
11-τ
Determinarintervalo deincertidumbre
00 τ 11-τ
Ejemplo: P.N.L. sin restricciones
Exeini # Carga los vectores t, yn=5x0ini # Carga la solución inicial en x0[x,OPTIONS,F,J]=leastsq('fexe',x0,OPTIONS,'gexe',t,y,n)t1=0:0.1:8.0y1=x(1)*exp(x(2)*t1)plot(t,n1,'x',t1,y1)
'fexe.m'
function f = FUN(x,t,y,n)for i=1:n f(i) = 0.5*(x(1)*exp(x(2)*t(i)) - y(i) );end
'gexe.m'
function gf = GRADFUN(x, t, y,n)for i = 1:n gf(1,i) = 0.5*exp(x(2)*t(i)); gf(2,i) = 0.5*t(i)*x(1)*exp(x(2)*t(i));end
y
t
Min
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OBJETIVO:
Estudiar lascondiciones que
verifican los óptimoslocales de (P)
Notación:
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CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T
MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS
Oferta
Demanda
Transporte 0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
( Pero puede existir zj > 0 !! )
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PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON RESTRICCIONES
• CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER.
Concepto de cono normal del conjunto factible. Condiciones necesarias de 1er orden y regularidad. Caso de problema convexo. Condiciones suficientes. Lagrangiano del problema. Ejemplos. Método de conjuntos activos. Ejemplos.
• MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO. Caso de restricciones lineales. Variables básicas y no básicas. Algoritmo del gradiente reducido.
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OBJETIVO:
Estudiar lascondiciones que
verifican los óptimoslocales de (P)
Notación:
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Índices de las restricciones activas:
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de pleno rango
CONDICIONES NECESARIAS DE K-K-T
Regularidad en x* :
x*x
y
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CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T
62 CAPITULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
CONDICIONES DE 1er ORDEN EN FUNCI ON DEL LAGRANGIANO
Para el problema:Min f (x)s.a : h(x) = 0 v
g(x) ≥ 0 u
Se define el Lagrangiano L(x, v, u) = f (x) − v�h(x) − u�g(x)
De forma que las condiciones de 1er orden se expresan:
∇xL(x, v, u) = ∇f (x) −
∂g
∂x
�u −
∂h
∂x
�v = 0
∇vL(x, v, u) = h(x) = 0
∇uL(x, v, u) = g(x) ≥ 0
u�g(x) = 0, u ≥ 0.
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En el óptimo se verifica:
También en cualquier otropunto; p.ej: (!!!)
MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS
Oferta
Demanda
Transporte 0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
( Pero puede existir zj > 0 !! )
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PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS EN P.N.L.
Semana 13.
• Sesión de teoría. Problemas de transporte.
Problemas con demanda estocástica.Equilibrio de mercados. Análisis mediante lascondiciones de KKT (Práctica 6)
x*x
y
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CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T
MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS
Oferta
Demanda
Transporte 0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
U P C I.O.E. Diplomatura de U P C MIOPD. FIB
0
1
2
j
dj dj
t1j
t2j
MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS
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PRÁCTICA 6
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
p(d)
d
d
d = Cota superior de la demanda
d = d +δ
δ
q(δ )
d
p(d) = p( d - δ ) = q(δ )
Precio = p(demanda)
Exceso de demanda
Demanda absorbida porel mercado
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
set FACT;set MERC;set ARCTR within (FACT cross MERC);set ORIGEN;set ARC_FACT within (ORIGEN cross FACT);set ARC_EXC within (ORIGEN cross MERC);param CTRANS {(i,j) in ARCTR} >=0;param a {j in MERC}>=0;param b {j in MERC};param dmax {j in MERC}>0;param alfa {i in FACT}>0;param beta {i in FACT};
let dtotal:= sum {j in MERC} dmax[j];node OR {l in ORIGEN} net_out = dtotal;node P {i in FACT};node MR {j in MERC} net_in = dmax[j];arc fict {(l,j) in ARC_EXC} >= 0, from OR[l], to MR[j];arc xij {(i,j) in ARCTR} >= 0, from P[i], to MR[j];arc si {(i,j) in ARC_FACT} >=0, from OR[i], to P[j];
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
minimize F: sum{(i,j) in ARC_FACT} alfa[j]*si[j]+0,5*beta[j]*si[j]^2 + sum{(p,q) in ARCTR} CTRANS[p,q]*xij[p,q]+ sum{(r,s) in ARC_EXC} a[s]*fict[s] + 0,5*b[s]*fict[s]^2;
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
q(δ )=a+bδ
δ
π(s )=α+βs
s
set FACT:= P1 P2;set MERC:= M1 M2 M3;set ARCTR:= (P1,M1) (P1,M2) (P1,M3) (P2,M1) (P2,M2)(P2,M3);set ORIGEN:= O;set ARC_FACT:= (O,P1) (O,P2);set ARC_EXC:= (O,M1) (O,M2) (O,M3);param CTRANS:= P1 M1 1 P1 M2 2 P1 M3 1.5 P2 M1 3 P2 M2 2 P2 M3 2.5;param a:= M1 10 M2 12 M3 9;param b:= M1 3 M2 2 M3 4;param dmax:= M1 200 M2 200 M3 200;param alfa:= P1 600 P2 600;param beta:= P1 -0.5 P2 -0.5;
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
0
1
2
1
2
3
d1
d2
d3
d1
d2
d3
tijsi
δ1
δ3
δ2
15,91
61,55
Precio en M1
Precio en M3
Precio en M2; no se vende
