Conceptos esencialesAl finalizar el modulo de INTRODUCCION A LA MATEMATICAS

se hizo la descripción de varias definiciones que serán útiles durante el recorrido de aprendizaje del JUEGO DE VIDEO IMAGINARIO

LLAMADO : …. MATEMATICAS.Ahora iniciaremos el estudio de cómo funcionan algunos conceptos que en la escuela nadie les presta atención en asimilarlos en su esencia.Solo se realizan los procedimientos mecánicamente, se aprenden sin el análisis o entendimiento previo, y nos acostumbramos a hacerlos sin saber como funciona o que secuencia deben seguir .

POR ESTA RAZON LA SOCIEDAD CREE QUE :

LA MATEMATICAS ES UNA MATERIA SOLO PARA SERESDE MAYOR INTELIGENCIA QUE LA NORMAL,

!!!! NO ES ASI ¡¡¡¡¡

TODOS PODEMOS JUGAR ESTE JUEGO,lo importante es aprender los reglamentos de su base y algunos pocos que saldrán en el estudio de cada nivel.

Es tan simple como cuando se aprenden los reglamentos y trucos en los juegos de video

cada vez que cambian el nivel de dificultad.

ASI DE FACIL ES APRENDER MATEMATICAS,SOLO TIENEN QUE INVOLUCRARSE EN EL JUEGO

.

ALGEBRA es el segundo nivel de las matemáticas,

Es la GENERALIZACION DE LA ARITMETICA yla base FUNDAMENTAL del 3º nivel de la Matemáticas llamado CALCULO.

Su objetivo Es producir resultados generales que respondan a problemas prácticos para cualquier valor numérico.

El aprendizaje del algebra depende de COMPRENDER Y ASIMILAR nuevas definiciones, propiedades, convenios y conceptos esenciales en su utilización, como ser:

Valor numérico o absoluto, Valor constante o escalar, Valor variable, Valor vectorial, Término y expresión algebraica, Ecuación y función.

Pero más que todo lo anterior;

Es haber asimilado y poder identificar, todas las operaciones aritméticas , sus leyes y propiedades. ….no importando si son números, letras o cualquier otro símbolo.

Con esta herramienta estaremos listos para incursionar a resolver problemas naturales , sociales, y abstractos de la vida cotidiana o eventos que podrían suceder .

ALGEBRA: es un lenguaje matemático para resolver problemas

de la vida diaria. Estudia el comportamiento de valores variables, en las rectas numéricas

Reales y Complejas . Hace una simplificación de las operaciones aritméticas, representando

toda expresión numérica por medio de letras, que llamaremos VARIABLES.

¿Como se hace posible esta conversión de números a letras?El Algebra hace uso de la ANALOGIA, (Razonamiento lógico comparativo)

UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE IGUALDAD Y SUSTITUCION. Esto permite hacer el siguiente procedimiento:

1.- Comparar y Convertir una expresión numérica o algebraica en otra. Esto es intercambiar toda o parte de la expresión. por una sola variable para hacer mas simple la operación.

2.- Definir en un apartado el intercambio realizado; o sea … la igualdad entre la Variable y la expresión en cuestión,

3.- Seguir el esquema general para resolver operaciones aritméticas DEFINIDO EN LA INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS

( 1°.- potencias, 2° .- X , ÷, 3°… + , - 4.- inicio con las operaciones internas.) Respetando LEYES DE LOS SIGNOS, aplicando PROPIEDADES, LEYES Y PROCEDIMIENTO de cada operación

4.- Retornar la sustitución a su expresión inicial al finalizar la simplificación De las variables que la sustituyeron .

Haciendo este procedimiento nos tomara menor tiempo encontrar la solución.

“ todo lo que aplica en un nivel podrá ser aplicado en los siguientes.”

Ejemplo #1:Aplicación en la Suma y la Multiplicación

Si tenemos 3 productores de mesas y cada una fabrico 10 mesas , ¿cuantas mesas se produjeron en total?

Solución Definimos la multiplicación como una suma abreviada. Notemos que ya hicimos esta definición con letras, pero lo tomamos como algo lógico y que se tomo por entendido ; no sabíamos que estábamos utilizando el lenguaje general de la Matemáticas.

“EL ALGEBRA”Resolvamos traduciendo las palabras a lenguaje Matemático.

Son tres grupos con un mismo numero (10 ) entonces por medio de la suma tenemos:

10 + 10 +10 = 30

Ahora definamos con algebra :si a cada productor le llamamos “P” (por sustitución) tenemos que en total se produjeron

P + P + P = 3P

Dándole valores a la letra “P” que en este caso es 10Tenemos la misma expresión numérica con que iniciamos por medio de la suma:

10 + 10 +10 = 3 ( 10 )

de aquí comprando las expresiones se deduce que

30 = 3 (P ) = 3( 10)

Si observamos hemos definido que la Multiplicación es una suma y que:

EL ALGEBRA ES UN LENGUAJE MATEMATICOPARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA VIDA DIARIA.

CONCEPTOS IMPORTANTES Debemos aprender y asimilar estos conceptos al igual que los hicimos con los colores Para después identificar sus distintas tonalidades

NUMERO…. Es el valor que le corresponde a cada conjunto con una cantidad determinada de elementos

VALOR……...Es significado que se da a un determinado símbolo, acción , actividad etc.

Los valores Numéricos pueden tener varios significados, según su aplicación, estos Valores pueden ser:

VALORES NUMERICOS O ESCALARES ( MAGNITUD )…. REPRESENTAN CADA UNO DE LOS PUNTOS EN LA RECTA NUMERICA.DE LAS CANTIDADES ASIGNADAS A ESE SIMBOLO acompañados por un denominador dimensional como por ejemplo:

10 metros, 5 newton 18 libras etc VALORES VARIABLES CONSTANTES….Son valores numéricos o

Escalares representados por símbolos alfabéticos y representan valores que no cambian por factores, posicionales de tiempo u otra dimensión analizada. Se les asignan letras minúsculas desde la ”a” hasta la “m”

VALORES VARIABLES CAMBIANTE…… A contrario de los valores variables constantes esto si pueden cambiar por factores de posición , tiempo, espacio temperatura ,etc. Se les asignan letras mayúsculas desde la “P” hasta la “Z”.

VALOR VECTORIAL…… Lo definiremos como un Valor variable que representa el cambio de posición de un punto en el espacio. Este es un valor que se definió por la necesidad de poder representar y predecir matemáticamente la posición en el espacio de una partícula en movimiento.

Es producto de los estudios físicos del movimiento de partículas.Se caracteriza por contar con tres elementos:MAGNITUD …. Valor numérico o Escalar

(es un numero acompañado por una unidad de medida) 5 Km 45 Lb, 17 N, 23°C, 4 Oz etc.

DIRECCION….. Nos indica hacia adonde va. Puede ser una coordenada o un Angulo)SENTIDO……… Nos indica si es positivo o negativo, a partir de un punto sistema de referencia

Estos son los valores que encontraremos en todo el lenguaje Matemático

TERMINO ALGEBRAICO…. Esta compuesto por un valor numérico, una o varias variables que esta representado por una operación de producto o su inverso Ejemplos:

17, a, ab2 , ( X3 Y2 ) 1/3

EXPRESION ALGEBRAICA…… ES UNA MULTITUD DE TERMINOS RELACIONADOS POR UNA O VARIAS OPERCIONES ARITMETICAS.

aX3 + bX2 +cX +d , todo se considera una expresión

XY + Z ( X2 + Y2 ) 1/2

ECUACION ALGEBRAICA…….esta formado por una expresión algebraica que contiene una o mas incógnitas y una igualdad con un valor numérico o un valor constante. Que llamaremos IMAGEN.También le podríamos llamar FUNCION si esta igualdad es la evaluación de una ecuación dando valores numéricos a su variables.

0 = aX3 + bX2 +cX +d …….ECUACION

F(x) = aX3 + bX2 +cX +d …….FUNCION

IMAGEN …. se le llama lugar geométrico en el espacio y es unarepresentación Geométrica de un valor numérico. También es el resultado de la evaluación de una variable cualquiera en una Ecuación algebraica

FUNCION….. Es una relación que existe entre una expresión algebraica y su resultado. Puede ser graficada en un plano mediante dos ejes perpendiculares.Al eje horizontal le llamaremos EJE DE LA RECTA REAL “X” o ABSCISAAl eje vertical le llamaremos EJE DE LA RECTA REAL “Y” o “F(x)” u ORDENADOA F(x) tambien se le llama IMAGEN DE “X” Representa todos los valores “Y” que toma el resultado de una expresión Algebraica evaluada para cada valor de “X”Para que se le pueda llamar FUNCION debe cumplir que :a cada valor de la recta numérica de X le corresponde solamente un valor de Y en la representación graficaLa función puede ser definida por una o varias variables simultaneas.Ejemplo: F(x), F(x, y), F(x, y, z), F(x, y , z , w…..), pero esto es matemáticas de alto nivel para ser entendido. Avanzaremos un paso a la vez.

UNA FUNCION es una representación grafica de eventos de la vida natural o sucesos variados que actúan simultáneamente. donde uno depende del comportamiento respecto al otro. ( u de otros cuando se analizan mas dimensiones) EJEMPLO:

1) en una grafica de posición, el movimiento de la partícula depende del tiempo en que se movió.

o sea que para un determinado tiempo corresponde un punto de ubicación a la altura del valor de posición a esta Partícula. de esta misma grafica se puede sacar la velocidad y aceleración que tenia la partícula en ese tiempo “t “ en que fue medido.

2) también podemos graficar el tipo de mentalidad de una persona en función del la visión y el tiempo. esta grafica dará una proyección de cómo es el comportamiento de una persona dependiendo si su mentalidad es creciente o decreciente.

EN GENERAL PODEMOS GRAFICAR TODO LO QUE SE NOS OCURRA.

MONOMIO. Es una expresión algébrica con un solo termino. Con exponente de numero natural.

POLINOMIO.- Es una expresión algebraica con varios términos ordenados y exponentes de un NUMERO NATURAL, que se relacionan con una operación de suma o resta .

Ejemplo:aXn+ bXn-1 + cXn-3+………….kX0

N es un numero natural ,( nunca puede ser negativo, decimal , fracción etc)

Aplicaciones del algebra

Establecimos que es la generalización y simplificación de operaciones aritméticas valiéndose de todas sus operaciones, leyes, propiedades, procedimientos, y condiciones para ser ejecutados correctamente en el orden establecido. Por lo tanto es aplicable en todas las matemáticas.Como es la continuación de la aritmética, por lo tanto se aplica a toda término matemático, llámese como quiera.

Algebra real.- trata del estudio de l sistema de números reales

Algebra vectorial .- trata del estudio de los números reales y complejos aplicados en el area vectorial y matricial.

Geometría. O estudio de las figuras planas y espaciales, se utiliza el algebra para generalizar y definir las formulas que describen cada cuerpo dimensional.

Geometría analítica. Es la aplicación de ecuaciones algebraicas para definir cuerpos en el espacio.

F(x)= mX + b representa una recta en el espacio.R2 = aX2 + bY2 representa un circulo en el espacio.

Trigonometría.- es la rama de la geometría que estudia las relaciones existentes entre los lados y ángulos de un triangulo

Calculo real, diferencial e integral, vectorial

Ecuaciones diferenciales .- es el estudio del comportamiento de variables Diferenciales

Variable Compleja que es el ultimo peldaño de la escalera.No quiere decir que allí termina el estudio de la matemática , solo que asta ahí esta definida en el termino del estudio físico palpable.

Hay otros nivel pero a un nivel científico puro. Que es donde se analizan conceptos como ser los viajes atreves de la dimensión tiempo y espacio, la existencia de dimensiones o mundos paralelos, y otras cosas tan complicadas que solo caben en la ciencia ficción , ( por el momento)

Estos son los conceptos mas esenciales que debemos aprender, asimilar e identificar con tan solo mirarlos al igual que los colores.

El párrafo anterior No quiere decir que no existen mas conceptos básicos, pero estos son los mas importantes. Y los que siguen son un cantidad menor.

A medida que vamos subiendo los niveles debemos tener presente que todo los conceptos de los niveles inferiores deben estar mas presentes que nunca en nuestra mente para facilitar su aprendizaje

Métodos para solucionar problemas algebraicos.

Son muy pocos realmente solo son tres:

FACTORIZACION: Es una operación aritmética generalizada, donde se busca encontrar el factor que se repite en cada termino.Es como buscar en varias cajas llenas de frutas distintas y sacar una fruta en particular que este en cada caja. Entonces esa fruta será el factor común , porque era común encontrar esa fruta en cada caja.

Para el estudio de este tema será necesario haber aprendido a identificar la LEY DE LOS SIGNOS, LEY DE EXPONENTES y RAÍCES APLICAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES…..

(distributivas, asociativas, conmutativas , elemento neutro, propiedad de identidad ….)

Todo lo demás solo será aplicar los procedimientos aritméticos generalizados correspondientes a cada operación .

Este procedimiento ( FACTORIZAR) es como el martillo para el carpintero, en algebra ,calculo, geometria, trigonometria etc. es el procedimiento mas utilizado Existen varios procedimientos estos son:

TIPOS DE FACTORIZACIONProductos notables

Trinomio cuadrado perfecto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de cuadrados a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Cubo de una suma (a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2+b3 Cubo de una diferencia (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Teorema del binomio (a + b)n = an + nan-1b1 + [n(n-1)/1*2] an-2 b2 +…….nabn +bn

Factorización por tanteo:Si tenemos un trinomio de la forma: x2 + px + q donde debemos hallar dos factores (x+ a)(x+b) entonces debemos hallar dos números a y b tal que:

Que sumados den cómo resultado el numero “p” y multiplicado den el numero “q”

entonces p= a+b y q =abejemplo:

factorice el trinomio x2 +10x +21 (x )( x )

buscamos dos números cuya suma sea +10 y su producto sea +21

esos números son +7 y +3 porque 7+3= 10 y 7*3 = 21

La factorización nos queda:

(x+7)(x+3) = x2 +10x +21

Completacion de cuadradosSe busca dejar la ecuación en forma de un trinomio cuadrado perfecto mas una constante. por ejemplo : factorizar por completacion de cuadrados 4x2 + 8x - 7 = 0

debemos buscar que la ecuación se convierta en un trinomio cuadrado perfecto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

comparando observamos que:a2 = 4 entonces a = 2 , b2 = - 5 pero estos no cumplen cumple con la definición, por lo tanto forzaremos a que se cumpla. De la siguiente forma:comparando la ecuación general con la ecuación a factorizar sabemos que : 2ab = 8 entonces b = 8/2a y que el coeficiente a = 2 sustituyendo tenemos que b=( 8/ 2)*2 ….. b = 2

Como la ecuación no puede ser modificada usamos la PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO para no tener resultados erróneos asi que decimos que la ecuación será: 4x2 + 8x + b2 – b2 - 5 = 0 y agrupamos los tres primeros términos [ 4x2 + 8x + b2 ] – b2 - 5 = 0 como encontramos que

b = 2 SUSTITUIMOS y tenemos

[ 4x2 + 8x + 22 ] – 22 - 5 = 0[ 4x2 + 8x + 4 ] – 4 - 5 = 0 (2x + 2 )(2x + 2 ) – 4 - 5 = 0(2x + 2 )2 - 9 = 0 entonces (2x + 2 )2 = 9 sacando raíz cuadrada a ambos lados tenemos la soluciónQue: ±(2x + 2 ) = ±3 resolviendo ambas ecuaciones tenemos:

1)…. (2x + 2 ) = 3 2)…. -(2x + 2 ) = -3

X = (3 – 2)/2 x = (-3 + 2)/ (-2)

X = ½ X = ½

X = ½ es única solución de la ecuacion

RACIONALIZACION.Cuando tenemos resultados que es una potencia fraccionaria o raíz en el denominador se utiliza la propiedad de identidad para convertir ese denominador en un número real.Ejemplo:

5ab/ ( a+b) = 5ab * 1/ ( a+b) como;

( a+b) ½ / ( a+b) ½ =1 (elemento neutro)

de aquí que

5ab * 1/ ( a+b) ½ multiplicado por ( a+b) ½ / ( a+b) ½ = 5ab ( a+b) ½ / ( a+b)

hemos convertido en Numerador Radical del denominador en un numero real.

A este procedimiento se le llama RACIONALIZACION.

Es de suma importancia tenerlo presente porque sirve para simplificar operaciones que de no hacerlo complicarían el procedimiento (algoritmo ) de resolución del problema ; tanto que a veces la solución PARECIERA QUE NO EXISTE O NO ESTA DEFINIDA.

Esto será aplicado en el momento de buscar EL LIMITE ( o numero que le corresponde) de una expresión algebraica cuando esta se aproxima a un numero seleccionado.

Estos conceptos se utilizan para buscar solución a problemas de física, química u otra ciencia.

IGUALDAD Y SUSTITUCION

Aplicación de LA PROPIEDAD Y PROCEDIMIENTO DE LA IGUALDAD Y SUSTITUCION.Ya hemos hablado de SUSITUCION en varios ejemplos anteriores, pero para que observen que es aplicable en cualquier tema Haremos un problema sencillo de CALCULO o sea del siguiente nivel en la pirámide Después del algebra.

Dada la función F(Ø) = Sen Ø Cos Ø Hallar la integral indefinida de esta función: ( es la sumatoria de segmentos de área bajo una curva generada por la

función F(Ø) respecto al eje Ø )

Encontrar ∫F (Ø ) dØ

Solucion : como F(Ø) = Sen Ø Cos Ø

Entonces ∫ Sen Ø cos ØdØ Por definición :

1) la integral de cualquier funcion es: ∫U n du = Un+1 /( n+1)) + c

2) La derivada de una funcion f(Ø) ; df(Ø) = G(∅ ) d∅

ejemplo: d(Sen Ø) = Cos Ø dØ

Paso:#1 (COMPARACION Y SUSTITUCION) Convertir una expresión numérica o algebraica en otra VARIABLE; Comparando las integrales diremos que:

∫U n du = Un+1 /( n+1)) + c Ahora la compararemos con el problema a resolver ∫ Sen Ø cos ØdØ

paso #2 ( Hacer un apartado de igualdades de variables sustituidas) si hacemos U = Sen Ø ; y n = 1 tenemos que;

du = d(sen Ø) ; d(sen Ø) = Cos Ø dØ Entonces

du = Cos Ø dØ Paso #3 Siguiendo el esquema general

Observamos que podemos hacer la sustitucion en la definicion de la integral y tenemos:

Como ya definimos:

∫U n du = [ Un+1 / ( n+1) ] + c por lo tanto como n=1

∫U du = [ U1+1 / (1 +1 ) ] + c

∫U du = ½ U2 + c esta es la solución general

Paso #4 : Dejar la expresión en términos iníciales Ahora la convertiremos en la solución que nos piden sabiendo del apartado en el paso #2 que:

U = Sen Ø y n = 1

Sustituimos en la solución general y tenemos que la respuesta es:

½ * Sen2 Ø + c o sea que

∫ Sen Ø Cos Ø dØ = ½* Sen2 Ø + c

Después de estos procedimientos,

El ALGEBRA solo se dedica a aplicaciones de lo que representa

LA GENERALIZACION DE LA ARITMETICASUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR polinomios; utiliza el mismo procedimiento de la ARITMETICA con números REALESConocer los nombres de ecuaciones polinómicas, su forma o grafica, tipo de funciones simétricas que existen que son las mas comunes en la naturaleza.El valor absoluto en una grafica , Geometría, Trigonometría, Vectores y Matrices, Estadísticas, Variable Compleja y las demás ramas de la matemáticas …….y por lo tanto de TODAS LAS CIENCIAS.

EL TIEMPO QUE SE USA PARA APRENDER ALGEBRA ES LA INVERSIÓN MAS FRUCTÍFERA QUE SE PUEDE HACER. Porque usando todas sus propiedades nos dará la capacidad de facilitar la visualización de soluciones a los problemas de la vida cotidiana.

Si aprovechamos este entrenamiento mental:

El resto del esfuerzo solo es APRENDER LAS NUEVAS DEFINICIONES EXISTENTES EN CADA TEMA, IDENTIFICAR PROCEDIMIENTOS, LEYES ETC. QUE YA SABEMOS Y LUEGO APLICARLAS, SEGUIENDO EL PROCEDIMIENTO ALGEBRAICO PARA CADA OPERACIÓN. y así podremos resolver el problema. Por mas complicado que este sea,

SI APLICAMOS LOS PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS CORRECTAMENTE TENDREMOS LA SOLUCIÓN CORRECTA A CUALQUIER PROBLEMA matemático

que se nos presente….NO IMPORTA EN QUE NIVEL DE LA MATERIA ESTEMOS SIEMPRE SERAN APLICABLES.