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INTRODUCCIÓN

Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico es el poder expresar, de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas inmersas tanto en la misma disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas algebraicas se puedan estudiar diferentes clases de relaciones entre objetos matemáticos, entre las que destacan las funciones. El álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de problemas usando propiedades de manera adecuada.

El uso de alguna computadora (software) o calculadora graficadora puede ser de utilidad para los estudiantes en el planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar, visualizar y entender el significado de ciertas relaciones matemáticas. En particular se recomienda el uso de la "hoja de cálculo" como herramienta, para que el estudiante desarrolle conceptos del álgebra tales como la búsqueda de patrones, funciones y modelación. Por supuesto, su uso depende de la disponibilidad de estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el profesor pueda recibir y generar durante su práctica.

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS

El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de cuatro temas o ejes fundamentales. Aun cuando cada eje se presenta por separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo del pensamiento algebraico; por ejemplo, las actividades que se mencionan en cada uno de los ejes, generalmente abordan temas de varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas estrategias como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas que los estudiantes deben emplear continuamente en sus experiencias de aprendizaje.

Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos tipificados que los maestros pueden utilizar para llevar a cabo el estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada bloque se identifica un conjunto de contenidos que el maestro debe atender durante la aplicación de las actividades; se pretende que los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o emerjan durante el proceso de solución de las actividades.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

La idea de problematizar el estudio de la disciplina

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

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EVALUACIÓN

Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes categorías:

• El desempeño actitudinal del participante (portafolio)

• El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje (actividades desarrolladas)

• El diseño del curso (alcance de los propósitos)

• El desempeño del maestro estudiante durante las clases presenciales (dominio de los contenidos)

En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis, las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento, habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas se realizan en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional, etcétera.

Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

PROPÓSITOS GENERALES

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas:

1. Utilicen herramientas algebraicas para resolver problemas en diversos contextos.

2. Adquieran elementos de tipo didáctico que les permitan analizar situaciones adecuadas para los alumnos de educación secundaria.

3. Adquieran elementos para analizar las dificultades con que tropiezan los alumnos de secundaria en el estudio del álgebra.

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BLOQUE I LA OBSERVACIÓN, GENERALIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE PATRONES

TEMAS

1. Procesos de generalización. 2. Expresiones algebraicas y sus operaciones. 3. Diagramas, tablas y gráficas. 4. Uso de variables.

El estudio de la aritmética elemental se enfoca, generalmente, al tratamiento de relaciones numéricas; en dicho estudio, un paso importante es la generalización de tratamientos aritméticos a procesos algebraicos. En la búsqueda de patrones, el álgebra aporta una herramienta importante: el empleo de símbolos que permiten identificar y explotar relaciones o casos generales.

Los procesos de generalización permiten extender el rango de razonamiento o comunicación más allá de los casos considerados; es decir, el individuo identifica y expone propiedades comunes de los casos analizados que van más allá de las situaciones mismas. En este proceso, el estudiante enfoca su atención a detectar patrones, procedimientos, estructuras y relaciones entre los casos particulares en donde se distingue el uso de algún lenguaje simbólico.

Las actividades que se presentan muestran aspectos relevantes relacionados con el desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes; en la mayoría éstas ilustran la relación entre varias representaciones. La idea es que el maestro formule otras actividades y motive a los estudiantes para que ellos mismos presenten situaciones parecidas o introduzcan algunos cambios en las ya formuladas.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

• SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México.

— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.

• Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica.

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN

Conviene que el tratamiento del bloque de trabajo precise algunos aspectos del pensamiento algebraico a través de “los distintos usos de la variable”, es decir, a). Como número, como incógnita y relación funcional, ver siguiente esquema:

RelaciónFuncional

IncógnitaNúmero

2b - 3

2m - 3m + 4m - 83 2

PERMITE DESCUBRIRLAS RELACIONES YPATRONES PARA LAOPERATIVIDAD DE LASEXPRESIONES POLINOMIALES

5x - 4x = 3x + 8

PERMITE DESCUBRIR LAS REGULARIDADES YPATRONES PARA ENCONTRAREL VALOR DE LA LETRA

PERMITE DESCUBRIRLA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE DOS SERIES NUMÉRICAS

12345

357911136

m n

n = 2m + 1

COMO: COMO:

DONDE:

DONDE:

x = - 4

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Para observar las regularidades y patrones, puede solicitar a los profesores estudiantes el llenado de la siguiente tabla:

Nombre del municipio del Estado

de Chihuahua

Extensión territorial

Se lee Not.

desarrollada Not.

exponencial Not.

algebraica

Y advierta la relación que guarda con los distintos usos de la variable, es decir, como número, como incógnita y como relación funcional

ACTIVIDADES SUGERIDAS

Actividad 1.

Cuatro estudiantes llegan puntuales al curso de pensamiento algebraico. Cada uno saluda de mano a los otros. ¿Cuántos saludos de mano ocurren? Después llega otro estudiante, después otro, etcétera, y todos realizan el mismo procedimiento que sus predecesores. ¿Cuántos apretones de mano se realizan en total, cuando han llegado 25 estudiantes? ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar el número de apretones de mano para cualquier número n de estudiantes?

Los estudiantes pueden trabajar en equipos en las fases de entendimiento de la situación. En particular, pueden simular la actividad y empezar a registrar el número de apretones a través de los medios que ellos consideren pertinentes. El maestro puede ayudar a orientar y controlar el trabajo de los estudiantes. Su papel incluye plantear preguntas que permitan a los estudiantes organizar y analizar el trabajo de manera sistemática. Por ejemplo, después de que los estudiantes resuelven el problema, el maestro puede presentar tres formas de representar la información relevante del problema y los estudiantes deben analizar y contrastar las ventajas que ofrecen estas maneras de organizar la información.

En la figura siguiente aparece una representación gráfica de la información relevante del problema.

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Con esta construcción se tienen algunos elementos que ayudan a lograr un mejor entendimiento de la situación. La tabla que aparece más abajo permite identificar un patrón entre los casos particulares que se ilustran con la figura. También permite identificar el patrón de comportamiento del caso general, con lo que se pueden contestar las preguntas planteadas.

Núm. de maestros

Nuevos saludos Total, otra forma

4 ss 6 = 1 + 2 + 3

5 4 10 = 1 + 2 + 3 + 4

6 5 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

7 6 21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

25 24 21= 1 + 2 + 3 +… + 24 = 25(24/2) = 150

N n-1 n(n-1)/2

Otra forma de representar este problema es por medio de un arreglo matricial donde 1 representa un saludo y 0 sin saludo (nadie se saluda a sí mismo).

A B C D . N

A

B

C

D

.

.

N

0

1

1

1

.

.

1

1

0

1

1

.

.

1

1

1

0

1

.

.

1

1

1

1

0

.

.

1

.

.

.

.

.

.

.

1

1

1

1

.

.

0

En la matriz se observa que si fueran N amigos, entonces se tendrían N2 - N saludos. Se observa que en la diagonal solamente aparecen ceros e indican que aquí no hay saludo. Hay N ceros sobre la diagonal, y como los saludos en la mitad de abajo de la diagonal son los mismos que la de arriba (es lo mismo que Juan salude a Pedro o que Pedro salude a Juan), entonces la cantidad total de saludos será: (N2 - N)/2

Actividad 2.

Resolver los problemas del tema 14 para tercer grado del Fichero de actividades didácticas.

Actividad 3.

Regularmente, a principios del año escolar los estudiantes tienen que comprar varios útiles escolares. José decide comprar cuadernos que cuestan $25.00 y plumas de $15.00. Se plantea la idea de hacer una tabla donde se muestren las diferentes combinaciones de estos artículos y el precio que tiene que pagar por ellos. Empieza a llenar una tabla como la siguiente:

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9 ss ss ss ss ss ss ss ss ss




5 ss ss ss ss ss 200 ss ss ss

4 60 ss ss ss ss 185 ss ss ss

3 45 ss ss ss ss 170 ss ss ss

2 30 55 80 105 130 155 ss ss ss

1 15 40 65 90 115 140 ss ss ss

0 0 25 50 75 100 125 150 ss ss

ss 0 1 2 3 4 5 ss ss ss

Los estudiantes pueden trabajar individualmente y después en equipos para discutir cada una de las siguientes preguntas. La idea central es identificar los distintos caminos que les ayuden a llenar la tabla y las formas de representarlos. Además, se sugiere que los estudiantes formulen problemas o situaciones similares.

Describe la forma en que José ha llenado las casillas. ¿Es ésta la única forma de llenarlas?

Completa la tabla y explica los cálculos que utilizaste para obtener la información de cada casilla.

Describe lo que significa cada término de la expresión 25x + 15y = 320 en relación con lo que José compra.

Observa la expresión 25x + 15y = 182. Si x y y representan el número de cuadernos y plumas respectivamente, entonces la parte del lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 5 (¿por qué?). Como 182 no es múltiplo de 5, entonces no existen dos valores enteros que cumplan la igualdad. Explica este hecho en términos de los cuadernos, plumas y el precio.

Determina para qué cantidades entre 200 y 300 (en pesos) es posible comprar una cantidad exacta de cuadernos y plumas.

Actividad 4.

Un papel importante en el uso de las variables es que funcionan como herramientas para expresar generalizaciones matemáticas. Se sugiere que los estudiantes expresen algunos resultados y observaciones de sus experiencias con números como actividad que les permita paulatinamente transitar de la aritmética al álgebra. ¿Qué ocurre si el triple de un número a es el doble de ese mismo número? ¿Se puede decir que la suma de dos números impares será necesariamente par o impar?

Existen muchos fenómenos que el estudiante puede discutir donde aparece el concepto de variable. Por ejemplo, puede observar que el costo (variable) que se reporta en una máquina despachadora de gasolina es una función (lineal) de la cantidad de gasolina que sale de la bomba (se sugiere que

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los estudiantes formulen una función que relacione la cantidad de gasolina con el costo.) Otro componente importante en el análisis de las expresiones con variables es la interpretación que puedan admitir dentro de algún contexto. Por ejemplo, la expresión: a/(a + 1) con a un entero positivo es susceptible de ser interpretada como:

Un valor particular, por ejemplo, 3/4 cuando a = 3.

Una expresión algebraica.

Un conjunto de valores 1/2, 2/3, 3/4, etcétera.

Una fracción que se acerca a 1 cuando se aumenta el valor de a.

Es importante que el estudiante identifique y exprese diversos tipos de patrones. Por ejemplo, en la secuencia 4, 6, 8, 10, 12, …, se observa un patrón de crecimiento que puede ser expresado como pn+1 = p n + 2 y donde p1 = 4 que se identifica con una idea central de crecimiento aritmético. Esta idea es base para el análisis de fenómenos que se comportan en forma lineal.

Otras ideas centrales son el crecimiento geométrico y el crecimiento exponencial que pueden servir de marco para que los estudiantes detecten patrones, formulen expresiones algebraicas que les permita predecir, controlar y entender la situación.

Argumentos geométricos también desempeñan un papel importante en la búsqueda de expresiones generales. ¿Puede encontrar la relación entre la suma 1 + 3 + … + (2n - 1) (números impares) y la siguiente figura?

Actividad 5.

Resolver los problemas que se plantean en el tema 7 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

BLOQUE II

EL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES Y RELACIONES

TEMAS

1. Concepto de función.

2. La idea de variación y sus diferentes representaciones.

3. Clasificación de funciones.

Las funciones y relaciones pueden ser expresadas a través de múltiples sistemas de representación y también ser la base para explorar diversos problemas. Por ejemplo, en el estudio del crecimiento de población, los alumnos pueden representar una función que describa el fenómeno vía una tabla, una gráfica o una fórmula. Una cierta transformación geométrica se puede representar a través de una matriz. Las definiciones recursivas de funciones son de utilidad para analizar fenómenos en varios contextos.

El concepto de función puede abordarse a partir del análisis de cantidades que cambian con el tiempo (peso, temperatura, precios, etcétera) y estableciendo sus representaciones gráficas. La idea de función involucra el uso de múltiples formas de representación (lista, tabla, gráfica, fórmula) y un proceso que permite generalizar. ¿Qué es lo que tienen en común todas estas instancias?

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En las actividades siguientes se sugiere que los alumnos se organicen en grupos pequeños y discutan la "calidad" de los argumentos en cada una de las respuestas. En todos los casos es importante que los estudiantes valoren la posibilidad de utilizar múltiples representaciones que les permitan analizar el comportamiento de la situación desde al menos tres ángulos diferentes: una tabla o lista ordenada, una gráfica y una fórmula. Además, resulta importante que la información que aparezca en las representaciones se interprete en términos del fenómeno o situación bajo estudio. Al final de la discusión grupal, es conveniente que el maestro promueva una discusión global con todo el grupo donde los estudiantes puedan conocer y contrastar el trabajo de todos los equipos o grupos pequeños. Se recomienda que los estudiantes desarrollen el hábito de buscar otras conexiones de la situación en estudio o de formular problemas relacionados.

Actividad 1.

Realizar los siguientes ejercicios sobre porcentaje.

I. Si el precio de un artículo se reduce en un 40% inicialmente y, más tarde, a este nuevo precio se le aumenta un 40%, ¿cómo es el último precio que se obtiene?:

a) Éste muestra un incremento comparado con el precio original.

b) Éste muestra una reducción con respecto al precio original.

c) Éste no muestra ninguna variación comparada con el precio original.

¿Qué significa calcular el porcentaje de cierta cantidad?

¿Cómo es la cantidad a la que se le aumenta el 40% comparada con la cantidad inicial?

Estas son algunas preguntas iniciales que pueden ayudar a identificar los elementos importantes de la situación.

El precio original se reduce en un 40%. La cantidad que después se aumenta es un 40% del nuevo precio. Como el nuevo precio es menor que la cantidad original, entonces el resultado muestra una reducción con respecto al precio original. (El aumento es una cantidad menor que la de la reducción inicial). En términos cuantitativos, se observa que:

La reducción del 40% equivale a multiplicar el precio original por .6.

Aumentarlo en un 40% equivale a multiplicar este nuevo precio por 1.4.

Realizar las dos operaciones es equivalente a multiplicar (.6)(1.4) = .84.

Esto significa que el precio original tuvo una reducción neta de un 16% del precio original

d) En una papelería el precio de lista de un cuaderno es $10.00.

El primer día que aparece a la venta reducen su precio en un 40%.

El segundo día se incrementa el precio del primer día en un 40%.

El tercer día, se reduce el precio del segundo día en un 40%.

Esta acción se repite cada día por un periodo prolongado.

Representar la información de tal manera que fácilmente se puedan leer las variaciones del precio del cuaderno durante las dos primeras semanas

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Una representación podría ser una tabla como la siguiente:

PI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10 6 8.4 5.04 7.06 4.23 5.93 3.56 4.98 2.99 4.18 2.51 3.51 2.11 2.95

Con los valores de la tabla se puede construir una representación gráfica:

¿Cómo se obtuvieron los valores de la tabla?

Día Precio Precio (otra representación)

1 10(.6) 10 (.6) = 6

2 10(.6)(1.4) 10 (.84)

3 10(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)

4 10(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (8.4)2

5 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)2

6 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (.84)3

7 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)3

8 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10(8.4)4

Analizando la tabla donde se indican los cálculos, se puede plantear la tarea de representar el precio para el caso en que el número de días sea par y para cuando sea impar.

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II. El precio inicial es $10.00 y cada dos días es multiplicado por (.6)(1.4) = .84. Si el número n de días es par, el precio será multiplicado por (.84) un total de n/2 veces. De aquí que la fórmula sea:

Precio después de n (n par) días = ($10.00)(.84)n/2.

III. Si el número n de días tomando como punto de partida $10.00, es impar, entonces el número de días comenzando con $6.00 será n-1 el cual es par. Aquí el precio $6.00 se multiplica cada dos días por (1.4)(.6) = .84. Este es el mismo factor que el caso anterior, pero con un precio diferente $6.00.

El resultado es que el precio de $6.00 será multiplicado por (.84) un total de (n-1)/2 veces.

El modelo será:

Precio después de n (n impar) días = (6.00)(.84)(n-1)/2

Otra pregunta: si decides comprar un par de zapatos que tiene un 12% de descuento y al pagarlos, el encargado de la caja plantea: ¿qué prefieres, que primero te haga el descuento del 12% del precio y después te aumente el IVA o primero te cargo el IVA y después te hago el descuento? Respalda tu respuesta con un argumento claro.

Actividad 2.

Cuando José cumplió 9 años, su padre le ofreció darle cierta cantidad de dinero cada año. Le ofreció que escogiera una opción de las siguientes dos ofertas:

I. José recibiría $1000.00 en su cumpleaños nueve; $1100.00 en su siguiente cumpleaños; $1200.00 en el siguiente y así sucesivamente. Es decir, José recibiría un regalo de $1000.00 y después se incrementaría en $100.00 cada año.

II. José recibiría $1.00 en su cumpleaños 9. Después, en su siguiente cumpleaños recibiría $2.00, en el siguiente $4.00, el siguiente $8.00 y así sucesivamente. Es decir, recibiría inicialmente $1.00 y cada año duplicaría la cantidad del previo.

¿Qué plan le recomendarías a José? Argumenta tu respuesta.

Edad Plan I Plan II

9 $1,000 $1

10 $1,100 $2

11 $1,200 $4

12 $1,300 $8

13 $1,400 $16

14 $1,500 $32

15 $1,600 $64

16 $1,700 $128

17 $1,800 $256

11

18 $1,900 $512

19 $2,000 $1,024

20 $2,100 $2,048

21 $2,200 $4,096

22 $2,300 $8,192

23 $3,400 $16,384

Se recomienda que el estudiante exprese gráficamente el comportamiento de la información. Además, escribir y discutir representaciones algebraicas como f(n) = 2n y f(n) = 1000 + (n-1)100.

Actividad 3.

Resolver las actividades del tema 17 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

Actividad 4.

La tecnología puede ser un recurso importante que permite a los estudiantes examinar la información relevante de un problema desde distintos ángulos. En esta actividad se emplea el software “Cabri geometre” para analizar el comportamiento de parámetros importantes a partir de su representación gráfica y numérica. El lado AC de un triángulo se divide en tres segmentos congruentes AD, DE, y EC. ¿Qué se puede decir de los tres ángulos que se forman en el vértice B?

Se observa que los tres ángulos nunca son congruentes.

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Actividad 5.

Otro ejemplo donde los estudiantes tienen oportunidad de analizar casos particulares y plantear una generalización y formalización tanto de las dimensiones de las figuras como de la cuantificación de atributos perímetro y área es: las figuras representan tres familias de rectángulos con medidas particulares. ¿Cuáles son las dimensiones del elemento enésimo de cada familia? Calcula el área y perímetro para algunos casos particulares de cada familia. ¿Qué se puede decir del valor del área del enésimo rectángulo de cada familia? ¿Es posible identificar a partir de qué rectángulo de alguna de las familias el área o el perímetro es mayor que los otros correspondientes rectángulos? ¿Cuándo el área y el perímetro son los mismos?

Representación gráfica de los perímetros correspondientes:

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Representación gráfica de las áreas correspondientes

¿Qué se puede decir del comportamiento del perímetro y área de las familias de rectángulos a partir de las gráficas anteriores?

Actividad 6.

Resolver las actividades del tema 1 y del tema 3 del Fichero de actividades didácticas de tercer grado.

BLOQUE III

ESTRUCTURAS Y TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TEMAS

1. Transformación de expresiones algebraicas.

2. Significado del algoritmo de la división.

3. Representación algebraica de procesos aritméticos.

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Una meta importante en el estudio del álgebra es que el estudiante trabaje problemas y relaciones a través de generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La organización del álgebra alrededor de estructuras implica discutir cómo funcionan los sistemas: ¿qué propiedades de un sistema permiten que las fracciones se operen o combinen, o que las ecuaciones se resuelvan? El poder de las matemáticas radica en abstraer y generalizar las propiedades comunes de un sistema y aplicar o extender esas ideas a otros. Por ejemplo, el entendimiento de la estructura de los enteros, permite buscar y reconocer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades de las operaciones que se definen en la estructura permiten realizar una serie de transformaciones en las expresiones, que pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones matemáticas. Una idea central en el proceso de transformar expresiones algebraicas es que el estudiante encuentre el sentido al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan en el entendimiento de cómo y cuando las representaciones simbólicas deben ser usadas para representar relaciones:

a) generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser invisibles o estar escondidas; y

b) habilidad para manipular y leer expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios para resolver problemas algebraicos.






Actividad 1.

Realizar las actividades del tema 6 del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.

Actividad 2.

Realiza las operaciones correspondientes en cada una de las expresiones de la izquierda para que se transformen en las expresiones de la derecha. En cada caso identifica los valores de A, B, C, D y E.

Reescriba la expresión En esta forma Escriba el valor de

-2(x + 3(x – 2(x + 1))) A(X + B) A = B =

-3(x – 2)2 + 4 C + X(B + AX) A = B = C =

4X - 3 + 8X + 4 - X - 3 2X - 3

AX +B (CX +D)(EX + D)

A = B = C = D = E =

El maestro puede pedir a los alumnos que procedan a llenar la tabla anterior y expliquen sus procedimientos. También puede pedirles que la extiendan, de manera que se incluyan diversas operaciones algebraicas.

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Actividad 3.

Significado del algoritmo de la división.

Generalmente cuando se trabajan las expresiones algebraicas se da mucha atención a los símbolos y reglas sintácticas para manipularlas y poca atención al posible significado que pueda otorgársele a determinadas representaciones. Uno de los algoritmos más útiles es el algoritmo de la división, el cual se presenta usualmente sin ningún referente que ayude a entender su significado. La idea geométrica de este algoritmo, que se remonta a Euclides, puede ser de utilidad para que los estudiantes identifiquen las ideas claves y sentido de los pasos que se realizan en este proceso. Se inicia con una representación geométrica.

Sea b un número mayor que cero, sobre el eje numérico se ubican puntos a una distancia b y también se ubica un punto de referencia, cero. Estos puntos se localizan como múltiplos enteros de b y se representan como en el caso de los números enteros sobre la recta numérica pero con un cambio de escala.

Cualquier número estará situado entre dos de estos números consecutivos o será uno de ellos. Si qb (con q un número entero) es el punto más cerca a la izquierda del punto a, entonces se tiene la siguiente representación:

Ahora restando qb se tiene:

0 < a – qb < b, si r = a – qb se tiene una interpretación geométrica del algoritmo de la división: el segmento b cabe q veces en el segmento a y sobra un segmento de longitud r. Es decir, si se fija un número real b > 0, entonces para cualquier número real a, existe un único entero q (cociente) y número real r (residuo), 0 < r < b, tal que a = qb + r.

Los estudiantes verificarán el significado de este algoritmo para algunos casos particulares de a y b. Con b = 10, y a = 5297, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 1.5 y a = 145.65, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b = 4/5 y a = 103/7, ¿cuáles son los valores de r y q?

Actividad 4.

En un triángulo rectángulo el perímetro mide 70 unidades de longitud y la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Determine las longitudes de los tres lados.

En una primera fase los estudiantes pueden discutir en equipo las ideas o conceptos fundamentales relacionados con triángulos. ¿Qué es un triángulo? ¿Qué es lo que caracteriza un triángulo rectángulo? ¿Cómo se calcula el perímetro o área de un triángulo?, etcétera. Posteriormente, estos mismos equipos pueden proponer caminos de solución a todo el grupo. De forma individual, los estudiantes pueden intentar resolver el problema a partir de las sugerencias de los equipos. Finalmente, en una discusión global, se invita a que un estudiante presente su respuesta al problema. El maestro identifica los conceptos e ideas importantes que aparecen durante el proceso de solución.

Una figura ayuda a entender los datos:

Se tiene que el perímetro vale 70, esto es a + b + c = 70. También que la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Es decir, a2 + b2 + c2 = 1682. Como se trata de un triángulo rectángulo también se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir, a2 + b2 = c2.

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Con esta información se tiene que 2c2 = 1682, de donde c2 = 2

1682 = 841=, de aquí c vale 29.

Utilizando la ecuación a + b + c = 70 y el valor de c se tiene que:

a + b = 41 (al sustituir el valor de c en la ecuación del perímetro)

a2 + b2 = 841; ahora, despejando b de la primera (b = 41 – a) y sustituyendo su valor en esta última ecuación se tiene: 2a2 – 82a + 1681 = 841, la cual se reduce a

a2 – 41a + 420 = 0

(a – 20)(a – 21) = 0

Con esta información se tiene que las medidas de los catetos del triángulo rectángulo son 20, 21 y con hipotenusa igual a 29. Para comprobar las condiciones que tienen que cumplir, se tiene que 20 + 21 + 29 = 70 (la condición del perímetro). Además, 202 + 212 + 292 = 400 + 441 + 841 = 1682. Esto verifica la justifica la validez del procedimiento.

Actividad 5.

Dimensiones y área de un rectángulo.

Considere cualquier rectángulo: ¿qué le ocurre a su área si una de las dimensiones se incrementa en un 10% y la otra disminuye en un 10%?

Sin realizar operaciones se sugiere que los estudiantes presenten algunas respuestas. Después se pueden analizar algunos ejemplos particulares. En una discusión con todo el grupo se pueden plantear algunas preguntas. ¿Cómo organizar la información que se obtenga al analizar algunos casos particulares? ¿Una tabla? ¿Qué elementos se deben mostrar en esta tabla? ¿Qué se observa en la tabla?

Largo (a) Ancho (b) Área Inicial 1.1a .9b Nueva Área Diferencia

60 40 2400 66 36 2376 24

40 60 2400 44 54 2376 24

90 80 7200 99 72 7128 72

80 90 7200 88 81 7128 72

100 50 5000 110 45 4950 50

Se observa que siempre que se disminuye una dimensión en un 10% y se aumenta la otra en un 10% el área inicial del rectángulo disminuye. Para cada caso se puede saber el valor de la diferencia entre las áreas correspondientes. Por ejemplo, para la primera fila se tiene que de 2400 el área se reduce a 2376, lo que significa que el área se reduce en un 1%, ya que 2400 – 2376 = 24

Usando una representación algebraica, la pregunta se puede traducir como:

Si a y b son las dimensiones, entonces, para calcular la nueva área se tendría que: (1.1)a x (.9)b = (1.1)b x (.9) a = .99(ab)

El área siempre disminuye, además se observa que disminuye un 1% (discutir aquí las ventajas o el poder de la representación algebraica).

El resultado es independiente del orden en que se seleccione la dimensión que se incremente o disminuya.

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BLOQUE IV

EL USO DE MODELOS PARA REPRESENTAR Y ENTENDER RELACIONES CUANTITATIVAS

TEMAS

1. Tratamiento de la información al resolver problemas.

2. Formulación de modelos para analizar el comportamiento de una situación.

El poder de los modelos radica en que permiten estudiar fenómenos o situaciones a través del uso de diversas representaciones. Las representaciones algebraicas de la situación o fenómeno que se modela es una manera efectiva de analizar la información y parámetros relevantes. En este proceso, los estudiantes pueden explotar sus experiencias previas y recursos algebraicos en la búsqueda de soluciones de problemas particulares. Las actividades que aquí se presentan involucran varios aspectos importantes que los estudiantes deben atender durante el proceso de solución. Un primer momento incluye el entendimiento de la situación o problema. Aquí es necesario identificar la información relevante que permita caracterizar o establecer relaciones entre parámetros de la situación. Una segunda fase es intentar representar la información a través de distintos medios que permitan analizar la información desde distintos ángulos. Esta fase está ligada a la adopción de un modelo que permita analizar el comportamiento de la situación.




• Rojano, T. y S. Ursini (1997), Enseñando álgebra con hojas electrónicas de cálculo, Grupo Editorial Iberoamérica.


Actividad 1.

Resuelva el problema de la página 319 del Libro para el maestro.

Actividad 2.

Un alumno en la clase de educación física se lastima una rodilla. El médico de la escuela le receta una medicina anti-inflamatoria (tabletas) para reducirle la hinchazón. El médico le explica al paciente la frecuencia en que se tomará las tabletas y como actuará la tableta en su organismo.

1. La dosis en cada suministro será de 16 unidades (cantidad de sustancia activa)

2. Cuando el paciente recibe un suministro de medicamento, su organismo inmediatamente inicia un proceso para asimilar las 16 unidades, y este proceso culmina 10 minutos después. Es decir, 10 minutos después del primer suministro, el cuerpo del paciente habrá asimilado la cantidad total de sustancia activa que le fue suministrada.

3. Al momento que el organismo del paciente asimila el total de la sustancia activa que le fue suministrada, se inicia un proceso de eliminación del medicamento.

4. Cuando la cantidad máxima de medicamento previa a un suministro se ha reducido a la mitad, tiene lugar el siguiente suministro, en este momento se inicia un aumento de la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente. Para este medicamento en particular, la reducción se logra cada 4 horas a partir del suministro. Por ejemplo, el segundo suministro tendrá lugar cuando la cantidad de sustancia activa sea de 8 unidades (la mitad de 16), lo cual ocurrirá después de cuatro horas de haber recibido el primer suministro.

5. El paciente recibirá varios suministros durante el tratamiento.

¿Cómo se comporta la cantidad de sustancia activa en el organismo del paciente? Por ejemplo, ¿cuánto medicamento tendrá el paciente después de dos días de tratamiento?

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Los estudiantes, trabajando en grupos pequeños o en forma individual representarán la información usando diferentes formas. Por ejemplo, el uso de una tabla puede ayudar a detectar el comportamiento de ciertas relaciones entre los datos a partir de un análisis cuantitativo. Un camino para determinar las entradas de la tabla es tratar de incluir las "formas de asignación" que determinan la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente en diferentes momentos.

Suministro (núm.) cada

4 horas

Horas transcurridas al momento del

suministro

Cantidad de sustancia activa en el organismo en el momento de cada

suministro

Cantidad de sustancia activa en el

organismo, 10 minutos después de

cada suministro

1 0 0 16

2 4 8 24

3 8 12 28

4 12 14 30

5 16 15 31

6 20 15.5 31.5

7 24 15.75 31.75

8 28 15.875 31.875

9 32 15.9375 31.9375

10 36 15.96875 31.96875

La información de la tabla ilustra algunos aspectos de cómo varía la cantidad de sustancia activa en el organismo después de que el paciente ha recibido cierto número de suministros. De hecho, nos permite observar una tendencia de la cantidad de medicamento en el cuerpo del paciente.

Los datos de la tabla, en su representación gráfica, confirman de manera visual el comportamiento que se había observado en los números. Se nota que después de cierto suministro la cantidad de

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sustancia activa se mantiene en un intervalo con un valor mínimo y máximo. Se puede decir que la cantidad no pasa cierto límite para no producir efectos colaterales en el paciente, pero para que surta efecto tiene que estar por arriba de cierta cantidad.

En la construcción de la tabla se detecta cierta regularidad en la forma en que se comporta la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del paciente. ¿Cómo describir esas regularidades en forma algebraica? Una forma es reescribir los valores de la tabla de tal manera que las operaciones se dejen indicadas. Esto se ilustra en la siguiente tabla:

Suministro número

Cantidad de sustancia activa en el organismo al momento de cada suministro

1 0

2 0 + 16 = 16 2 2

3 16 + 16 2 = 16 +2 x 16 2 22

4 =

5 =

6 =

Se observa que en el suministro n > 2, la cantidad de sustancia es la que había en el suministro anterior, n -1, más 16; todo dividido entre dos.

El comportamiento que se presenta en la tabla se puede escribir como:

Con esta última expresión se pueden verificar los datos que se obtuvieron en la primera tabla respecto a la cantidad de sustancia en el organismo del paciente después de cada suministro. También se observa que 10 minutos después del n-ésimo suministro, el cuerpo del paciente habrá acumulado la cantidad que tenía en ese momento, más la que acaba de ser asimilada (16 unidades). Si esta cantidad la denotamos por An, entonces también se puede obtener una expresión para esta cantidad:

An = Cn + 16 = 16

− −12

11 n + 16

− −12

12 n

Es claro que la representación algebraica ofrece ciertas ventajas comparada con las otras representaciones. Por ejemplo, con la ayuda de las expresiones algebraicas resulta fácil calcular la cantidad de medicamento en cualquier suministro.

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Tarea de extensión.

En la situación anterior cambie la dosis que es suministrada a r unidades y conteste las mismas preguntas.

Actividad 3.

Una situación que incluya solamente atributos matemáticos también puede ser modelada a partir de algún software dinámico que permita explorar el comportamiento de sus parámetros importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el rectángulo con mayor área de todos aquellos que tienen el mismo perímetro? Es una pregunta que se puede abordar a partir de una representación dinámica que permita establecer conexiones y examinar el comportamiento o variación continua del área.

En la figura se observa el valor del área (tabla) de varios rectángulos con perímetro fijo y estos valores se pueden identificar en la gráfica de la función que representa el área. Esto permite visualizar dónde se encuentra el rectángulo con mayor área.

21

MATERIAL

DE

APOYO

22

23

FICHERO DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS

INTRODUCCIÓN

El Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria es un material de apoyo, dirigido a los maestros de este nivel educativo, en el que se sugieren actividades de estudio para realizarlas con los alumnos.

Para el diseño de las actividades se consideraron, como punto de partida, el enfoque didáctico para el estudio, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, diversos problemas que se proponen en el Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, la propuesta presenta en la Secuencia y organización de contenidos y algunas sugerencias de otros materiales que se consultaron. El fichero consta de 18 fichas por cada grado, las cuales representan una base sólida para que los profesores de matemáticas, a partir de su experiencia, puedan incorporar otras fichas y organicen el trabajo con sus alumnos de manera creativa e interesante durante el año lectivo.

El enfoque didáctico actual revalora el trabajo profesional del maestro, en tanto que su labor no se limita a transmitir información y calificar el desempeño de los alumnos, sino que implica también analizar situaciones relacionadas con los contenidos, organizar secuencias que favorezcan la evolución de los procedimientos de los alumnos, plantear problemas, socializar diferentes estrategias de solución y evaluar diferentes aspectos del proceso de estudio. La realización de las actividades que se proponen en el fichero favorece la práctica de estas tareas, de manera que este material de apoyo es una contribución más para la actualización del maestro.

Con base en su creatividad, el profesor puede modificar, enriquecer y llevar a cabo en su salón de clases las actividades propuestas, a partir de las cuales podrá planear otras situaciones que aborden los contenidos señalados en los programas de estudio.

Estructura de las fichas

Cada ficha inicia con un recuadro en el que se anotan los propósitos, los contenidos y, en algunos casos, el material. Los dos primeros se tomaron de la propuesta oficial de

Secuencia y organización de contenidos. Por lo genera, las fichas constan de dos o tres actividades después de las cuales se sugieren algunas variantes. En cada actividad se describen las indicaciones que el profesor debe dar inicialmente a los alumnos.

Posteriormente se mencionan algunos posibles procedimientos para resolver las situaciones, aunque es muy probable que los alumnos generen otros. Es importante que el profesor favorezca la confrontación de las diferentes alternativas que proponen los alumnos, al margen de que conduzcan o no al resultado correcto.

Sugerencias metodológicas para trabajar con las fichas

Cada uno de los problemas que se presentan en las fichas ha sido seleccionado para que los alumnos lo resuelvan con sus propios medios. Los procedimientos que se describen son únicamente un apoyo para que el profesor tenga oportunidad de prever lo que se espera. En ocasiones, sólo después de que los alumnos hayan resuelto los problemas, conviene agregar alguna información.

Antes de trabajar con una ficha es conveniente que el profesor la lea y resuelva los problemas que se plantean. Seguramente se le ocurrirán nuevas preguntas que ayuden a enriquecer la actividad.

Conviene dar el tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan los problemas, de acuerdo con los conocimientos, destrezas y habilidades que posean.

Es necesario que mientras los alumnos intentan resolver los problemas, el profesor observe atentamente el trabajo que desarrollan, y que analice las conjeturas, las estrategias, los conocimientos que ponen en juego y el tipo de errores que cometen. Esto le permitirá apreciar lo que saben hacer y, en función de esto, dar sugerencias, hacer preguntas para profundizar en los temas o quizás plantear otros problemas. Este trabajo también aportará elementos que le ayuden a evaluar de manera formativa y continua.

Cuando la mayoría de los alumnos termine, el profesor debe animar a los equipos para que expliquen sus conjeturas, estrategias y resultados. Hay varias maneras de lograr que esta fase de la actividad provoque interés, en lugar de que se convierta en una carga repetitiva y monótona. Por ejemplo, cuando haya resultados distintos conviene anotarlos

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en el pizarrón y animar a los alumnos a averiguar cuáles son los correctos.

Para culminar las actividades, el profesor debe hacer las precisiones necesarias, ya sea para formalizar los conocimientos generados por los alumnos, dar a conocer un procedimiento más o aclarar posibles confusiones.

Es posible que los alumnos no estén acostumbrados a trabajar en equipos, ni a expresar o escuchar puntos de vista, pero si de manera sistemática se crea un ambiente de libertad y respeto, así como de autonomía en el trabajo, en poco tiempo se notará una actitud muy positiva hacia el estudio de las matemáticas.

Los alumnos tienen la última palabra en cuanto al interés que despierten las actividades. Ojala que esta material anime a los profesores a elaborar otras fichas, así como a compartir experiencias con otros compañeros o compañeras, después de llevar a cabo las actividades con los alumnos.

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PRIMER GRADO

TARJETAS NUMÉRICAS

Tema 1: Números naturales: lectura y escritura, orden y comparación, adición y sustracción

Enseguida, los representantes de equipo escribirán en el pizarrón (con cifras) los números hallados. Pida a los alumnos que determinen cuál es el número de menor valor y cuál el de mayor.

Si analizan los resultados escritos en el pizarrón notarán que existen doce números diferentes que pueden formarse.

Ocho millones seis mil tres

Tres millones ocho mil seis

Seis mil ocho millones tres

Ocho millones tres mil seis

Tres millones seis mil ocho

Seis mil tres millones ocho

Seis millones ocho mil tres

Ocho mil seis millones tres

Tres mil ocho millones seis

Seis millones tres mil ocho

Ocho mil tres millones seis

Tres mil seis millones ocho

1. Organice al grupo en equipos de cuatro alumnos y pídales que preparen, por alumno, cinco tarjetas como las que se muestran.

Luego escriba en el pizarrón el siguiente problema:

Encuentren todos los números que puedan obtenerse combinando las cinco tarjetas y anótenlos en su cuaderno en orden de menor a mayor, con letra y con número.

Los equipos empezarán a explorar las diferentes maneras en que pueden combinarse las tarjetas para escribir números que tengan sentido, por ejemplo:

Es probable que algunos equipos no encuentren todos los números que se pueden escribir con estos cinco nombres. Promueva un análisis colectivo para ver que equipos encuentren más números distintos y cuáles tienen sentido y cuáles no.

Esta actividad permite que los alumnos exploren, conjeturen, validen ante sus compañeros la escritura y lectura de números, así como la comparación y el orden de los mismos. Además se inician en el trabajo con técnicas de conteo, aunque éstas no se hagan explícitas.

De los doce números el de mayor valor es:

8 006 00 003

Y el de menor valor:

3 006 008

2. Pida a los alumnos que, nuevamente por equipos, reúnan las cinco tarjetas de la actividad 1 y agreguen una sexta con la palabra ciento(s). Enseguida comente:

Encuentren la mayor cantidad posible de números que puedan formarse combinando de diferentes maneras las seis tarjetas y escríbanlos en su cuaderno con letra y número. Al finalizar veremos qué equipo encontró más números y cuál encontró el mayor y menor posible.

Aclare que los paréntesis indican que pueden usar el singular ciento o el plural cientos.

Resulta interesante que al agregar la tarjeta con la palabra ciento(s) el número de combinaciones posibles aumenta considerablemente. Por esta razón conviene establecer un tiempo límite para la actividad o bien establecer algunas restricciones como, por ejemplo, encontrar los mayores a mil millones o los menores a diez millones. Algunos números que construirán los alumnos son los siguientes:

Los alumnos podrán constatar que esta actividad da lugar a combinaciones con

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos.

Contenidos Lectura, escritura, orden y comparación de

números naturales.

Material Seis tarjetas de cartulina de 7 cm. x 4 cm. por alumno.

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números del orden de los cientos de miles de millones, por ejemplo:

Éste es el número más grande que se puede formar con las seis tarjetas. Puede organizarse una competencia para ver qué equipo lo encuentra. Se sugiere que usted no valide las respuestas para que sean los alumnos quienes decidan cuál de los números propuestos por cada equipo es el mayor.

VARIANTE

DDAANNDDOO TTUUMMBBOOSS

Tema 2: Dibujos y trazos geométricos

1. Organice al grupo en equipos de cinco integrantes y dibujen en el pizarrón la figura que se muestra en el planteamiento del problema. Explique a sus alumnos que la actividad consiste en encontrar y colorear diseños geométricos.

Luego plantee el siguiente problema:

Hay que girar y trasladar una caja en forma de cubo de tal forma que en el primer movimiento la artista DC quede en la parte superior, en el segundo quede a la derecha, luego abajo, después a la izquierda y así sucesivamente. Observen la trayectoria que sigue el punto B en cada movimiento. Dibujen la trayectoria y remárquenla con color. Comparen las figuras que obtuvieron.

Mientras los estudiantes exploran el problema, observe sus acciones, cuestiónelos sobre la figura que están obteniendo y anímelos a continuar. Una vez que la mayoría haya terminado, confronte las diversas formas de solución.

Una estrategia de solución puede ser que recorten un cuadrado de papel o cartulina para representar la cara de la caja y lo hagan girar sobre una recta marcando con puntos la trayectoria del punto B.

Otra estrategia de solución puede ser que los alumnos utilicen directamente escuadra y compás, considerando que todas las trayectorias están formadas por arcos de circunferencia debido a que la caja gira en todos los casos en función de una de sus aristas.

Lo importante es considerar las soluciones que aporten los estudiantes, sólo a partir de ellas introduzca los términos geométricos apropiados tales como circunferencia, centro, radio, ángulo, arista, puntos u otros que surjan.

2. Una vez obtenida la figura básica al trasladar el punto B, dibújela en el Pizarrón y pida a los estudiantes que la reproduzcan varias veces en su cuaderno sobre una línea recta utilizando su juego geométrico y la coloreen a su gusto. Cuando la mayoría haya terminado pida que algunos estudiantes pasen al frente a mostrar su diseño y comenten cómo obtuvieron la figura.

Propósito Practicar trazos geométricos. Desarrollar la imaginación espacial.

Contenidos Utilización de la regla graduada, compás y

escuadras en la reproducción y trazo de diseños, patrones y figuras geométricas. Familiarización con el vocabulario y los trazos geométricos. Cálculo de áreas.

Material Juego de geometría, una caja en forma de cubo

y colores.

En vez de palabra, en las tarjetas pueden aparecer números. Por ejemplo:

Además de hallar las combinaciones posibles y el número de mayor valor, los alumnos pueden buscar el de menor valor, los números pares, los nones, los divisibles entre 5, entre 3, etcétera.

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Lo importante es que a partir de las estrategias de reproducción, introduzca y precise la idea de regularidad o patrón geométrico, y que confronte las diversas maneras de utilizar las escuadras y el compás.

3. Una vez clarificada la idea de patrón o de regularidad geométrica escriba en el pizarrón este problema:

Suponiendo que la caja siguiera dando tumbos en línea recta. ¿En qué posición quedará el letrero de la caja en el décimo tumbo? ¿Y en el centésimo tumbo? ¿Y en el milésimo primer tumbo?

Indíqueles que individualmente intenten resolver el problema de la manera que quieran y después comparen y comenten sus resultados en el equipo. Finalmente deben elegir el procedimiento que consideraron más adecuado. Cuando la mayoría haya terminado, un representante de cada equipo pasará al frente a explicar su estrategia de solución. Por ejemplo, un equipo pudo haber observado que en las diferentes orientadores del letrero existe una regularidad numérica; el letrero está a la derecha en los tumbos 2, 6, 10…

Otro equipo pudo haber representado la regularidad utilizando los puntos cardinales:

En ambas estrategias se puede apreciar que cuando el letrero está a la derecha aparecen múltiplos de cuatro más dos: 4, 8, 12…

De tal manera que para saber la posición del décimo tumbo de la caja basta dividir 10 entre cuatro y ver el residuo, con lo que se determina que 10 es múltiplo de cuatro más dos, y por tanto el letrero está a la derecha.

4. Pida a los alumnos que calculen el área de la figura básica que se obtiene en la actividad 2.

VARIANTES

¿¿QQUUÉÉ TTAANN CCEERRCCAA??

Tema 3: Números naturales: multiplicación

1. La actividad se realiza entre pares de equipos de cuatro alumnos cada uno. Solicite a dos alumnos (A y B), de dos equipos, que pasen al frente con su calculadora. Después explique la actividad.

A propone a B que estime el resultado de una multiplicación de cantidades de dos dígitos y que la anote en el pizarrón; por ejemplo 18x73.

Mientras B hace su estimación, A resuelve con la calculadora la operación (18x73=1314). Si, por ejemplo, B considera que el resultado es 1400. a efectúa con la calculadora la resta 1400 – 1314= 86; esta diferencia se traduce en puntos a favor de A, quien propuso la operación.

Enseguida se invierten los papeles, es decir, ahora es B quien propone una multiplicación y A quien lleva a cabo la estimación; en este caso la diferencia entre el resultado exacto de la multiplicación propuesta y la estimación se

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones. Utilizar la calculadora como auxiliar en la resolución de problemas y practicar cálculo mental y la estimación de resultados.

Contenidos Practicar la estimación, el cálculo mental de

resultados y los algoritmos, así como el uso de la calculadora.

Material Calculadora.

Dependiendo del tiempo y las condiciones del grupo, proponga a los alumnos otras variantes de estas actividades aumentando el nivel de complejidad. 1. ¿Qué camino sigue el punto medio de la arista AB? Hagan

lo mismo que en las actividades 1, 2, 3 y 4. 2. ¿Qué camino sigue el centro de la cara ABCD? Hagan lo

mismo que en las actividades 1, 2, 3 y 4. 3. Construyan un pentágono regular. Investiguen la

trayectoria que describe el punto medio de uno de sus lados al rotarla a lo largo de una línea recta.

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considerará como puntos a favor de B. Después de que cada equipo proponga cinco operaciones, gana el que obtiene más puntos.

Una vez ejemplificada la actividad, los alumnos la realizarán por pares de equipos (uno contra otro).

Al inicio del juego las estimaciones de los alumnos estarán alejadas del resultado exacto, pero seguramente en el transcurso del juego afinarán sus estrategias para estimar.

Para hacer sistemático el desarrollo de la estimación pregunte a un alumno o al equipo cómo procedió. Si lo considera conveniente, primero los miembros de cada equipo pueden comentar entre sí sus estrategias y después los equipos que se enfrentarán pueden comparar sus procedimientos. Posteriormente los equipos pueden comentar con todo el grupo la o las estrategias que siguieron para hacer su estimación; algunas estrategias posibles son:

Primero se redondea y luego se multiplica, es decir:

18 x 73 = 20 x 70 = 1 400

Primero se redondea, se opera y luego se compensa, esto es:

18 x 73 = 20 x 70 = 1 400; 1 400 + 18 = 1 418.

Agregan 18 porque disminuyen en 3 a 73 y aumentan sólo en 2 al 18.

2. Organice al grupo en equipos y comente que para esta actividad también se requiere una calculadora. Aclare que se enfrentarán pares de equipos. Explique:

Los equipos van a hacer estimaciones combinadas de resultados de multiplicaciones, sumas y restas. El equipo que proponga las operaciones debe anotar la cadena de operaciones, por ejemplo:

23 + 78 x 37, o bien 23 – 78 x 37

El equipo que propuso las operaciones anotará como puntos a su favor la diferencia entre el resultado exacto y el estimado por el equipo contrario.

Después de cinco rondas, gana el equipo que obtiene más puntos.

Al igual que en la actividad 1, es conveniente que observe y cuestione a los equipos o alumnos para que expliquen los procedimientos utilizados para estimar.

Seguramente para estimar la cadena 23 + 78 x 37 algún equipo procederá como sigue:

23 + 78 x 37 = 20 + 80 x 30 = 100 x 30 = 3 000

También sucederá que una vez hecha la estimación se proceda a comprobar el resultado utilizando una calculadora que respete la jerarquía de las operaciones; se obtendrá:

23 + 78 x 37 = 2 909

Esta situación puede aprovecharse para mostrar la necesidad de usar los paréntesis a fin de que las expresiones no se presten a diferentes interpretaciones, de manera que la operación se escriba (23 + 78) x 37, para indicar que primero debe hacerse la suma, o bien 23 + (78 x 37) si se quiere hacer primero la multiplicación.

Algunos alumnos pueden estimar 23 + (78 x 37) como se indica a continuación.

Redondean todas las cantidades y luego operan:

23 + (37 x 78) = 20 + (40 x 80) = 3 220

En otros equipos sólo redondean los números que intervienen en la multiplicación:

23 + (37 x 78) = 23 + (40 x 80) = 3 223

En otros equipos redondean a cantidades que pueden operarse mentalmente:

23 + (37 x 78) = 23 + (35 x 80) = 23 + (2 800) = 2 823

3. Comente que para realizar esta actividad utilizarán la calculadora y que de nueva cuenta van a trabajar entre pares de equipos; después explique:

Un equipo propone un número terminado en ceros, por ejemplo, 1300. El otro equipo debe estimar una multiplicación de dos o de tres factores de manera que al efectuar las operaciones el resultado se aproxime al número dado.

La diferencia entre el número dado y el resultado de las multiplicaciones se adjudica como puntos a favor al equipo que propuso el número.

Para realizar esta actividad, los alumnos pueden utilizar diferentes estrategias; por ejemplo, para 1300 es posible que se den soluciones como las siguientes:

1 300 = 700 x 2

1 300 = 600 x 2

29

1 300 = 800 x 2

1 300 = 10 x 10 x 10

1 300 = 100 x 13

En el desarrollo de esta actividad los alumnos se darán cuenta de que siempre es posible encontrar factores que den el resultado exacto. En el caso del ejemplo, pueden obtenerse a partir de multiplicaciones como las siguientes:

1 300 = 100 x 13

1 300 = 10 x 10 x 13

VARIANTES

MMÚÚLLTTIIPPLLOOSS YY DDIIVVIISSOORREESS

Tema 4: Números naturales: división, múltiplos y divisores

1. Organice el grupo en parejas y después explique la siguiente situación:

a) Representen con el material cantidades de tres cifras y dos cifras como las siguientes: 345, 178, 99, 38, 36, 17, 72…, como se indica:

b) Utilizando rectángulos de 9 cm. x 1 cm., traten de cubrir los recuadros, rectángulos y cuadrados pequeños que representa cada número; por ejemplo, el número 72

puede cubrirse así: para cubrir las decenas, se utilizan 7 rectángulos de 9 cm. x 1 cm., con lo cual restan 7 cuadritos para llegar al número 70; utilizando otro rectángulo de 9 cm. x 1 cm. se completan las decenas hasta 70, y sobran 2 cuadritos. En consecuencia, el número 72 se cubre con 8 rectángulos de 9 cm. x 1 cm.

¿Qué clase de números se pueden cubrir con los rectángulos de 9 cm. x 1 cm.? Encuentren una regla que les permita decir cuándo un número se puede cubrir sin necesidad de representarlo con material.

La idea central es que los alumnos observen que al cubrir una centena, ésta siempre se puede cubrir con 11 rectángulos de 9 cm. x 1 cm. y sobra un cuadrito; asimismo al cubrir una decena también sobra un cuadrito.

Lo anterior llevará a los alumnos a tomar en cuenta el número de cuadritos que sobran y ver si estos pueden ser cubiertos con los rectángulos de 9 cm. x 1 cm.; por ejemplo, al cubrir con rectángulos el número 345, sobran 3 cuadritos (uno de cada centena); 4 cuadritos (uno de cada decena) y 5 cuadritos, lo que hace un total de 12 cuadritos. De estos sólo se pueden cubrir 9, por lo que 345 no se puede cubrir con los rectángulos de 9 cm. x 1 cm.

Proponga varios números y solicite a los alumnos que hagan un registro de aquellos que se pueden cubrir, de esta manera al analizarlos podrán responder a la última pregunta.

Es posible que algunos alumnos consideren que los números que se pueden cubrir son los múltiplos de 3. Para mostrar que no es cierto, solicite que propongan varios múltiplos de 3 para que observen que esto no siempre es correcto, aunque sí sucede que todo número que es divisible entre 9 también es divisible entre 3.

Finalmente, si es que los alumnos no pueden expresar la regla que permite saber cuándo un número es divisible entre 9, oriéntelos para que lo hagan entre todo el grupo.

El mismo problema puede plantearse para que los alumnos encuentren la regla de divisibilidad entre 3, con la variante siguiente: determinar qué clase de números pueden cubrirse con rectángulos de 3 cm. x 1 cm.

Propósito Enriquecer el significado de los números naturales. Uso de la calculadora.

Contenidos Problemas para que los alumnos exploren la

relación entre múltiplos y divisores.

Material *Calculadora, cuadrados de 20 cm. x 20 cm., rectángulos de 20 cm. x 2 cm., cuadrados de 2 cm. x 2 cm. y rectángulos de 18 cm. x 2 cm

Las actividades se realizan entre pares de equipos: 1. Un equipo propone multiplicaciones como 23 x 45 x 72 y el

otro equipo hace la estimación del producto. 2. Un equipo propone multiplicaciones como (23 + 36) x (45

+ 72) y el otro equipo hace la estimación. 3. Un equipo dice: al multiplicar 27 sor otro número resultó

950, ¿qué número es el que multipliqué por 27? En cada una de las variantes, la diferencia entre el resultado exacto y el estimado se anotan como puntos para aquel equipo que haya propuesto la operación.

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2. Organice al grupo en equipos de cuatro alumnos. Comente que van a utilizar una calculadora para resolver la siguiente situación:

c) Consideren números con cualquier cantidad de dígitos. Dividan a cada uno de estos números entre 2. ¿Qué características tienen los números cuyo residuo es cero al dividirse entre 2?

d) Consideren números con cualquier cantidad de dígitos. Dividan a cada uno de estos números entre 5 ¿Qué características tienen los números cuyo residuo es cero al dividirse entre 5? Encuentren una regla que les permita saber cuándo un número es divisible entre 5.

*si no es posible disponer del material, esta actividad puede llevarse a cabo proponiendo que la realicen con dibujos.

Cuando la mayoría de los equipos haya formulado sus reglas, anótelas en el pizarrón, analice con el grupo las diferencias y en caso necesario verifique si son correctas o no.

3. Con la misma organización de la actividad 2, plantee a los alumnos los siguientes problemas:

e) Si consideran números que son divisibles entre 2 y también son divisibles entre 3, ¿entre qué otro número también son divisibles esos números?

f) Si consideran números que son divisibles entre 3 y también son divisibles entre 5, ¿entre qué otro número también son divisibles esos números?

g) Si consideran números que son divisibles entre 2, entre 3 y entre 5 respectivamente, ¿entre qué otro número también son divisibles esos números?

Para responder las preguntas de los incisos c) y d), los alumnos pueden multiplicar (con la calculadora o con lápiz y papel) el número 8 por otros números hasta dar con el 64, y después multiplicar éste por 6 para obtener el múltiplo que se pide.

Otros alumnos se darán cuenta de que si dividen 512 entre 8 obtienen el lugar en el que está colocado ese múltiplo de 8. Puede aprovechar esta situación para hacer la relación entre múltiplo y divisor.

La última pregunta lleva a los alumnos a la idea de mínimo común múltiplo. En este momento no se pretende que los alumnos lo obtengan mediante la descomposición en primos, sino a partir de una lista de los múltiplos de cada uno de los números. Si lo considera conveniente, puede proponer otros pares de números que tengan ciertas relaciones; por ejemplo, que uno sea múltiplo del otro, que sean primos relativos, etcétera.

VARIANTE

GEOMETRÍA CON PAPEL

Tema 5: Figuras básicas y ángulos

1. Organice el grupo en equipos de cinco alumnos y coménteles que en esta actividad realizarán trazos geométricos con sólo doblar hojas de papel. Luego escriba el siguiente problema en el pizarrón:

En la primera hoja marquen dos puntos cualesquiera, A y B. Sólo con dobleces construyan un rectángulo cuya base sea el segmento AB.

Propósito Explorar las propiedades de las figuras. Apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría.

Contenidos Actividades y problemas que lleven a utilizar

las definiciones y a trazar figuras básicas. Uso de escuadras para verificar perpendicularidad y paralelismo.

Material Dos hojas blancas tamaño carta, escuadras y

compás (por alumno)

Puede proponer a los alumnos la siguiente actividad: Digan si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas. En cada caso den ejemplos que confirmen o contradigan su respuesta. a) Si un número es divisible entre 2, también es divisible

entre 4. b) Si un número es divisible entre 3, también es divisible

entre 9. c) Si un número es divisible entre 9, también es divisible

entre 3. d) Cualquier múltiplo común de 3 y 5 es divisible entre 15. e) El menor múltiplo común de dos números siempre se

obtiene multiplicando dichos números.

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Se sugiere dejar en completa libertad a los alumnos para que exploren el problema mientras usted observa el trabajo del grupo. Cuando la mayoría haya terminado, pasará al frente un miembro del equipo que haya encontrado el resultado y explicará a sus compañeros cómo procedieron. Cabe esperar más de un procedimiento.

Una condición necesaria para esta actividad es saber trazar rectas perpendiculares por medio del doblado de papel. Es posible que algún equipo haya encontrado la siguiente manera de hallar perpendiculares sólo con dobleces:

En este caso puede aprovechar la situación para explicar la idea de perpendicularidad y ángulo recto, así como el uso de escuadras para comprobar que los dobleces que han quedado marcados son perpendiculares.

Mientras los alumnos explican los procedimientos que utilizaron es conveniente que pregunte si la figura encontrada es realmente un rectángulo y en su caso comprobarlo (a los alumnos se les puede ocurrir, por ejemplo, hacerlo con ayuda de escuadra).

Cabe señalar que este problema tiene muchas soluciones (rectángulos con base AB y diferentes alturas).

Éste puede ser el momento para precisar lo que son rectas paralelas, rectángulo y algunas de sus propiedades y características.

2. Para la segunda hoja, indique:

Marquen dos puntos cualesquiera (A y B) y hagan los dobleces necesarios para encontrar un cuadrado cuya diagonal sea el segmento AB.

El tratamiento de este problema es el mismo que en la actividad anterior.

Existen varias formas para hallar el cuadrado; a continuación se muestra una de ellas:

a) Se dobla el papel hacia atrás para marcar la recta que pasa por A y por B. las letras deben quedar a la vista.

b) Se dobla a.C. atrás por A para marcar una perpendicular.

c) Se dobla por B para marcar otra perpendicular.

d) Se dobla para marcar la bisectriz del ángulo A. Se deshace este doblez y se marca la bisectriz del ángulo B.

e) Se desdobla toda la hoja. El cuadrado cuya diagonal es AB queda marcado como se muestra en la figura.

Nótese que esta construcción permite explorar los conceptos bisectriz y diagonal así como algunas propiedades del cuadrado. Es necesario insistir en que las soluciones propuestas por los alumnos (correctas o erróneas) serán las que guíen la introducción de conceptos.

Si se proponen otras soluciones habrá que analizar los términos, nociones, conceptos, etcétera, que se pueden retomar o introducir.

Los alumnos pueden cometer distintos errores entre los que se encuentran el trazar a ojo las figuras) lo que sería equivalente, por ejemplo, al trazar paralelas sin un procedimiento que garantice que son paralelas), que los dobleces no se hayan hecho con precisión, o bien que siguiendo incluso una secuencia correcta no se llegue al resultado esperado, en este último caso usted debe animar a sus alumnos a obtener con mayor precisión las figuras.

32

VARIANTES

EELL CCOORRRREEDDOORR

Tema 6: Números decimales: Lectura y escritura, orden y comparación, adición y

sustracción

1. Organice al grupo en equipos de tres alumnos y proponga que resuelvan el siguiente problema:

Carlos es un corredor que entrena diariamente; no sabe de manera exacta cuántos kilómetros corre, pero según cree:

El lunes corrió ente 3.4 km. y 4.1 km.,

El martes entre 2.9 km. y 3.2 km.,

Y el miércoles entre 3.1 km. y 3.8 km.

Contesta:

a) Si sumas lo que corrió el lunes y el martes, ¿entre qué números estará el total?

b) Y si sumas lo que corrió los tres días, ¿entre qué números estará el total?

Dé tiempo suficiente para que los alumnos comenten en equipo, hagan conjeturas, traten de hallar la respuesta a la pregunta a) y encuentren los intervalos que se piden en las dos preguntas.

Para la pregunta a), los equipos notarán que existen varias respuestas correctas, debido a los datos con los que se cuenta.

Si a algún equipo se le ocurre considerar un número cualquiera, pero que esté entre los intervalos especificados, la respuesta no puede desecharse como incorrecta.

Por ejemplo:

3.5 km. el lunes + 3 km. el martes = 7.5 km.

O bien:

4 km. el lunes + 3.1 km. el martes = 7.1 km.

Ambas pueden ser correctas. Éste será un buen ejemplo de problemas en los cuales la solución no es única. Lo que se debe cuidar es que, cuando los alumnos pasen a confrontar sus resultados, argumenten ante sus compañeros que su respuesta es factible.

Para saber entre qué números está el total, posiblemente a uno o más equipos se les ocurra sumar los límites que se están dando y razonen así:

Lunes 3.4 km. y 4.1 km.

Martes 2.9 km. y 3.2 km.

Entonces lo que corrió lunes y martes corrió en total una distancia de entre 6.3 km. y 73 km. Lo cual es correcto.

Una forma de validar esta respuesta es comparándola con la de otros equipos.

También se pueden dar algunos ejemplos tomando números entre los intervalos señalados para los días lunes y martes.

Por ejemplo:

Una vez comentada la solución a la pregunta a), la pregunta b) constituye una extensión de la anterior y es casi seguro que los alumnos propongan que deben sumarse los límites dados para los tres días. La respuesta es:

(3.4 km. + 2.9 km. + 3.1 km.) y (4.1 km. + 3.2 km. +3.8 km.)

Por lo tanto, la distancia que corrió en los tres días está entre:

9.4 km. y 11.1 km.

Durante el desarrollo de esta actividad, además de que el alumno explora, conjetura y argumenta sus respuestas, se practica la acotación de números decimales, así como el orden, la comparación y el algoritmo de la suma de este tipo de números.

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar en la solución de problemas.

Contenidos Orden y comparación de números decimales.

Acotación de un número decimal entre dos naturales y entre dos números con una cifra decimal. Adición y sustracción de números decimales.

Material Calculadora (opcional).

1. Puede solicitar a los alumnos que, con sus instrumentos de geometría, reproduzcan las figuras que encontraron con dobleces.

2. Cada alumno describe por escrito la secuencia que siguió para construir alguna de las figuras y uno de sus compañeros lleva a cabo la construcción siguiendo sus pasos. Debe verificarse que, efectivamente, se obtiene la figura deseada. De no ser así, se debe discutir en dónde estuvo la falla (en las instrucciones o en la ejecución de las mismas).

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2. Nuevamente organizados en equipos, invite a sus alumnos a responder la siguiente pregunta, tomando como base los datos de la actividad 1.

¿Entre qué números estará la diferencia de lo que corrió Carlos el lunes con respecto a lo que corrió el martes?

Como los alumnos se basan en los datos de la actividad 1 quizá crean que la diferencia está entre:

(3.4 km. – 2.9 km.) y (4.1 km. – 3.2).

Es decir: 0.5 km. y 0.9 km.

Bastará un ejemplo para demostrar que el razonamiento anterior es falso. Ayude a los alumnos a descubrirlo.

Por ejemplo, si suponemos que el lunes corrió 4 km. y el martes 3 km. (ambos números están en los intervalos de los datos) tenemos que:

La diferencia (1km.) no se encuentra en el intervalo de 0.5 km. y 0.9 km.

Una vez que se haya demostrado que la respuesta anterior no es correcta, dé más tiempo a los alumnos para que sigan explorando la solución.

Un buen razonamiento es el siguiente: si primero supongo que el lunes corrió el menor número de kilómetros (3.4) y el martes el mayor (3.2 km.), restando ambos números encontramos la diferencia mínima (p.2 km.); de la misma manera, si suponemos que el lunes corrió el mayor número de kilómetros (4.1 km.) y el martes el menor (2.9 km.) hallamos la diferencia máxima (1.2 km.).

La diferencia que se pide está entre los números 0.2 km. y 1.2 km.

VARIANTE

¿¿CCÓÓMMOO EESS YY DDÓÓNNDDEE EESSTTÁÁ??

Tema 7: Representación gráfica

1. Organice al grupo en parejas o en equipos de cuarto y proponga la siguiente actividad:

Uno de ustedes construirá en su geoplano un polígono irregular de más de cuatro lados e indicará, por escrito, la manera de construir la figura para que, sin verla, su compañero la reproduzca exactamente y en la misma posición en otro geoplano. Al finalizar la construcción compararán ambos polígonos. No se aceptan polígonos donde la liga se cruce, por ejemplo:

Es probable que los alumnos den indicaciones poco precisas, por lo que será difícil que su compañero reproduzca el polígono exactamente. Sin embargo, cabe la posibilidad de que algún alumno utilice expresiones parecidas a las coordenadas para ubicar los vértices del polígono. Por ejemplo: Coloca la liga en el clavo que está arriba y al centro, lévala hasta el clavo que está en el extremo derecho y al centro, etcétera.

Si alguna pareja logra que los polígonos sean iguales o muy semejantes, invítelos a que platiquen ante el grupo cuáles fueron las indicaciones.

En esta actividad se promueve la habilidad de comunicación en matemáticas, lo que permite precisar el manejo del lenguaje propio de la geometría.

2. Nuevamente organizados por parejas, indique:

Uno de ustedes construirá en su geoplano un polígono irregular de más de cuatro lados.

Propósito Explorar algunas propiedades de las figuras. Apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría.

Contenidos Iniciación al plano cartesiano. Coordenadas de

un punto en el primer cuadrante.

Material Geoplano y ligas (por alumno).

La misma actividad resulta interesante si se piden no sólo sumas y diferencias sino también productos, cocientes y combinación de estas operaciones (que se estudian en los temas 8 y 10). Por ejemplo: A está entre 2.4 y 5.6

B está entre 3.1 y 7.6 Entre qué números están: A+B,A – B,AB.

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Escribe las indicaciones para que tu pareja lo reproduzca exactamente y en la misma posición en su geoplano. Gana el que logre el mensaje más breve y que funcione.

No se permite decir:

• El nombre del polígono

• El número de lados

• La longitud de los lados

• La posición de los lados

Se pretende que esto lleve al alumno a la localización de puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Es probable que algunas parejas numeren los puntos y utilicen el número que corresponde a cada punto para describir la posición en que se encuentra la figura.

En este caso haga notar a los alumnos que este procedimiento sería difícil de aplicar si el geoplano fuera más grande, por ejemplo, de 11 x 11 puntos.

Otras parejas quizás utilicen expresiones como las siguientes, con un referente fijo o variable:

5 a la derecha

3 a la izquierda

Quizá algunos alumnos utilicen lo que saben sobre el plano cartesiano para llevar a cabo esta actividad.

De esta manera darán las indicaciones a partir de las coordenadas que determinan los vértices del polígono; por ejemplo, un vértice está en el punto (2, 4), el siguiente está en el punto (4, 3), el siguiente vértice se localiza en (4, 1), etcétera.

Es importante que una vez que los alumnos hayan finalizado la actividad, confronten las diversas estrategias que utilizaron y discutan la funcionalidad de cada una. El propósito fundamental es que lleguen a ubicar los vértices de la figura y tracen la misma utilizando coordenadas cartesianas. Así podrán comparar este recurso con otros que tal vez resulten menos eficientes.

VARIANTES

MMAAGGIIAA CCOONN DDEECCIIMMAALLEESS

Tema 8: Números decimales: multiplicación

1. Organice a los alumnos en parejas y proponga el siguiente problema:

Escriban los números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 dentro de las casillas del siguiente cuadrado, de tal manera que la suma de cada columna, renglón o diagonal sea 21.

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar en la solución de problemas. Practicar los algoritmos de las operaciones, así como el cálculo y la estimación mental de resultados.

Contenidos Uso de la calculadora y revisión del algoritmo de

la multiplicación. Problemas que conducen a multiplicar dos o más decimales, o bien a multiplicaciones combinadas con adiciones y sustracciones.


Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades: 1. Escriban un mensaje con el que se pueda construir un

polígono irregular de seis lados. 2. Escriban mensajes con los que no se pueda construir un

pentágono irregular. 3. Escriban mensajes que produzcan una línea recta.

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Puede sugerir a los alumnos que elaboren nueve tarjetas y escriban en ellas los números para que, de esta manera, puedan manipularlos fácilmente, esto ayudará a no estar borrando sus intentos de resolución (las tarjetas pueden ser de cualquier tamaño).

Espere un tiempo suficiente para que los alumnos exploren diferentes maneras de colocar los números hasta que den con la solución.

Una vez que hayan terminado, los equipos expondrán la solución encontrada al grupo. Algunos arreglos que pueden surgir son los siguientes:

Un análisis cuidadoso de las diferentes respuestas hará que los alumnos observen que en realidad se trata de la misma solución pero rotando los números que están en la superficie del cuadrado.

2. Organice en parejas, como continuación de la actividad 1 y utilizando como base el cuadrado mágico construido, proponga a los alumnos la siguiente situación:

¿Qué sucederá si sumamos el mismo número a cada uno de los números de un cuadrado mágico? Tomemos como ejemplo el cuadrado que ya construimos.

Deje que los alumnos trabajen y descubran qué pasa. Lo más probable es que, para explorar, los alumnos hayan elegido sumar números naturales y hayan obtenido cuadrados como los siguientes:

Se espera que los estudiantes observen que se genera otro cuadrado mágico. Será interesante que analicen cuál es la suma del nuevo cuadrado y qué relación guarda con la suma del cuadrado original.

Sería ideal que a algún equipo se le hubiera ocurrido sumar un número decimal, por ejemplo 0.5, y que obtengan:

Con lo cual ya estaríamos trabajando con los números que queremos tratar en este tema. Si a ningún equipo se le ocurre trabajar con decimales, entonces plantee la posibilidad:

• ¿El cuadro funcionará también sumando decimales?

• ¿Podremos generar cuadrados mágicos con números decimales?

Dé tiempo para que los alumnos exploren el problema, hagan conjeturas y discutan en grupo qué sucede con los números decimales en este problema.

3. Forme ternas. Los alumnos seguirán explorando la construcción de cuadrados mágicos. Ahora se tomará como base alguno de los cuadrados con números decimales que hayan resultado en la actividad 2. Invite a los alumnos a que investiguen:

¿Qué pasará si multiplicamos por un número decimal cada uno de los números de un cuadrado mágico con decimales?

Cada terna escogerá cualquiera de los cuadrados mágicos que hayan surgido en la actividad anterior y también escogerá el número decimal que será el multiplicador.

En este proceso se dejará que los alumnos utilicen la calculadora para hacer las multiplicaciones y, en general, las operaciones necesarias; no obstante, se podrá aprovechar también para repasar el algoritmo.

Un ejemplo de lo que pueden hacer es el siguiente, que se ha obtenido tomando como

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base el cuadrado mágico que se ilustra arriba –resultado de sumarle un número decimal (0.5) al cuadrado original de la actividad 2- y multiplicando por 0.2 cada uno de los números.

En este ejemplo también será interesante averiguar cuál es la suma en el nuevo cuadrado mágico (4.5 en este caso) y qué relación guarda con la suma en el cuadrado del cual se originó (22.5) y con el número que se escogió como multiplicador.

VARIANTES

¿¿CCUUÁÁNNTTOOSS EEJJEESS??

Tema 9: Simetría axial

1. Organice a los alumnos en cuatro equipos. A manera de ejemplo, formen en el geoplano un triángulo con un solo eje de simetría y señalen el eje. Enseguida plantee una de las siguientes actividades a cada equipo.

Formen, en el geoplano:

a) Triángulos distintos que tengan sólo un eje de simetría.

b) Cuadriláteros distintos que tengan sólo un eje de simetría.

c) Pentágonos distintos que tengan sólo un eje de simetría.

d) Hexágonos distintos que tengan sólo un eje de simetría.

Después digan que características tienen esas figuras.

Pida que se busque el mayor número posible de figuras con esas características. Ganará el equipo que lo consiga.

El problema a) es el más sencillo, y seguramente la mayoría de los equipos trazarán triángulos isósceles acutángulos. Oriéntelos y anímelos para que encuentre triángulos rectángulos u obtusángulos que tengan sólo un eje de simetría.

En el problema b) los alumnos tendrán algunas dificultades para encontrar cuadriláteros con sólo un eje de simetría. Algunos equipos, al azar, encontrarán que los trapecios isósceles cumplen con es propiedad. Otros equipos quizás encuentren que los papalotes también cumplen con la condición.

Es poco probable que los alumnos descubran cuadriláteros cóncavos con un eje de simetría. Propicie una actitud de búsqueda para que los encuentren.

Así puede sugerirles que, una vez construida una determinada figura en el geoplano, coloquen el espejo de manera que observen que la figura es simétrica con respecto a la línea donde se coloca el espejo; esto ayudará a los alumnos a comprobar si la figura tiene un eje de simetría. Abajo se muestran tres cuadriláteros que tienen un eje de simetría.

Si los alumnos han encontrado los tres tipos de cuadrilátero con un eje de simetría, es posible que encuentren alguna estrategia para construir pentágonos y hexágonos con un eje de simetría. Lo importante es que organice una discusión entre los equipos en la que se comente la estrategia seguida para construir figuras con sólo un eje de simetría. Las figura que se muestran a continuación son pentágonos y hexágonos que tienen un eje de simetría.

Propósito Explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría. Practicar los trazos geométricos mediante el uso de instrumentos de dibujo.

Contenidos Determinación y trazado de los ejes de simetría

de una figura.

Material Geoplano, ligas y espejo por cada equipo.

1. Organice por parejas a los alumnos. Cada uno debe construir un cuadrado mágico sin que su compañero lo vea. Después cada alumno entrega a su compañero la lista de números utilizados y el cuadrado mágico, en el que sólo ha anotado algunos de ellos, para que su compañero lo complete y resuelva.

2. Después de que hayan estudiado fracciones (tema 16) los alumnos pueden expresar los cuadrados mágicos con decimales como fracciones comunes simplificadas, y de esa manera generar cuadrados mágicos con fracciones.

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Es importante que organice una discusión acerca de las propiedades de los triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos que cumplen con la condición (de tener un solo eje de simetría); por ejemplo: igualdad de lados, paralelismo, ángulos.

3. Indique a los alumnos que para resolver los siguientes problemas van a utilizar el geoplano. En el pizarrón anota:

Construyan en el geoplano, al menos:

a) Cuatro cuadriláteros que tengan sólo dos ejes de simetría. Después digan qué características tienen esos cuadriláteros.

b) Cuatro hexágonos que tengan dos ejes de simetría. Después digan qué características tienen esos hexágonos.

c) Cuatro octágonos que tengan dos ejes de simetría. Después digan qué características tienen esos octágonos.

Aunque los alumnos hayan podido resolver los problemas de la actividad 1, algunos equipos tratarán por ensayo de encontrar los cuadriláteros que tengan dos ejes de simetría. Como una manera de ayudar a estos alumnos se les puede sugerir que utilicen el espejo, el cual les permitirá determinar si la figura es simétrica.

Algunos equipos tratarán de encontrar cuadriláteros cóncavos que tienen dos ejes de simetría. Esto puede dar lugar a que los alumnos descubran que no hay cuadriláteros cóncavos con dos ejes de simetría.

Si observa que los alumnos enfrentan dificultades para encontrar hexágonos y octágonos con dos ejes de simetría, puede sugerir que tomen como punto de partida figuras, como el rectángulo y rombo, para que a partir de ellas construyan los hexágonos u octágonos con dos ejes. A continuación se ilustra cómo se puede proceder:

En el caso del primer hexágono se trazó primero un rombo; para determinar los cuatro

puntos que no están sobre el perímetro del rombo se tomó un punto cualquiera y luego se colocó perpendicularmente el espejo sobre los dos ejes de simetría.

Para construir el segundo hexágono se trazó un rectángulo y luego se procedió como en el primer caso.

La construcción de los octágonos con dos ejes de simetría se hizo mediante el mismo proceso indicado anteriormente. Las siguientes figuras son algunas de las que se pueden obtener.

VARIANTES

¿¿CCUUÁÁNNTTOO SSOOBBRRAA??

Tema 10: Problemas de división

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos. Utilizar la calculadora como un auxiliar en la solución de problemas. Practicar algoritmos de las operaciones, así como el cálculo y la estimación mental de resultados.

Contenidos Problemas que conducen a una división con

residuo. Problemas que requieren de un resultado decimal exacto o aproximado. Práctica de la división entre números naturales.

Material Calculadora.*

Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades: 1. Encuentren al menos dos eneágonos distintos que tengan

sólo un eje de simetría. 2. Tracen con regla y compás las figuras construidas en las

actividades 1 y 2.

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1. Organice a los alumnos en equipos y propóngales el siguiente problema:

Encuentren 10 divisiones que tengan como residuo 43.

Es probable que algunos alumnos usen su calculadora para resolver este problema, pero pronto se darán cuenta de que no es posible, ya que la máquina calcula el resultado con decimales y en ningún momento aparece el residuo.

De esta manera los alumnos empezarán a explorar el problema usando papel y lápiz y resolviendo diferentes divisiones para ver si el residuo es 43. En esa búsqueda al tanteo el estudiante se dará cuenta de que una primera condición para hallar las soluciones al problema es que el divisor debe ser mayor que el residuo.

Cuando lo considere pertinente solicite a varios equipos que escriban una o más de sus divisiones en el pizarrón:

Pida a los equipos que expliquen ante el grupo cómo hallaron las divisiones tomando en cuenta la condición pedida. Un análisis del algoritmo de la división posiblemente los lleve a saber que si:

* En caso de que algún alumno cuente con una calculadora de las que dan el cociente y el residuo, se le pedirá que no ocupe esas funciones para solucionar el problema.

Es decir, multiplicando dos números (que serán el cociente y el divisor) y sumando 43 (residuo) a su producto, obtenemos el dividendo. Por ejemplo:

57 x 21 = 1 197

1 197 + 43 = 1 240

Por lo que la división de 1 240 entre 57 –o entre 21- dará como residuo 43.

Nótese que en la resolución de este problema el alumno repasará los algoritmos de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. También será necesario aclarar a qué se le llama dividendo, divisor, cociente y residuo, así como sus significados y la relación entre ellos:

Divisor x cociente + residuo = dividendo

2. Proponga a los alumnos el siguiente problema:

Usen la calculadora para encontrar el cociente entero y el residuo de las siguientes divisiones:

98 ÷ 35

196 ÷ 39

819 ÷ 115

3496 ÷ 47

Acláreles que no se permitirá hacer el algoritmo tradicional con papel y lápiz, sino que sólo usarán su calculadora y que deberán lograr que el residuo aparezca en la pantalla haciendo las operaciones necesarias.

Deje que los alumnos traten de hallar la solución explorando y conjeturando hasta que se den cuenta de la relación siguiente:

Dividendo = divisor x cociente + residuo

Y que, despejando el residuo:

Residuo = dividendo – cociente x divisor

Es decir, basta con multiplicar el divisor por la parte entera del cociente y restar ese producto del dividendo para obtener el residuo. Por ejemplo:

En la calculadora 98 ÷ 35 da como resultado 2.8; la parte entera es 2, por lo tanto:

residuo = 98 – (35 x 2)

residuo = 98 – 70

residuo = 28

Ésta no es la única forma de encontrar la solución; quizá algún equipo haya tenido la experiencia de tratar la división como una sucesión de restas; en este caso, otra forma de saber el residuo es restando 35 de 98, volver a restar 35 del resultado obtenido, y así sucesivamente hasta que quede un número menor que 35. Ese número es el residuo.

98 – 35 = 63

63 – 35 = 28

El número de veces que se restó 35 es, precisamente, la parte entera del cociente (en este caso, 2).

Otra forma de resolver el problema es la siguiente: se hace la división con el algoritmo tradicional sólo para ver la relación que guarda el residuo con la parte decimal del

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cociente. Al hacer la división con papel y lápiz de 98 ÷ 35 se tiene:

¿De dónde resultó el .8? El .8 es el resultado de dividir el residuo entre 35:

28 ÷ 35 = .8

Por lo que el residuo se puede calcular multiplicando la parte decimal del conciente por el divisor:

28 = .8 x 35

No es necesario volver a teclear la parte decimal, basta con que una vez que se tenga el cociente se reste la parte entera y lo que queda se multiplique por el divisor.

Cabe aclarar que el inconveniente de esta última solución es que si el cociente tiene más decimales que los que caben el la pantalla (por ejemplo 1 ÷ 3 = 0.333…), es posible que la calculadora no guarde todos en la memoria y entonces se obtenga una aproximación del residuo, pero no el residuo exacto (esto no pasa si la parte decimal sale completa en la pantalla).

Este problema permite a los alumnos el análisis de la división, el repaso de su algoritmo y el uso de la calculadora, así como explorar la relación entre las operaciones y repasar los nombres de los elementos de la división. No desaproveche la oportunidad de reafirmar los contenidos pertinentes.

VARIANTE

LLIISSTTOONNEESS YY VVAARRAASS

Tema 11: Fracciones y porcentajes

1. Proponga el siguiente problema para que los alumnos lo resuelvan individualmente:

Se tienen tres pizzas para cinco niños. ¿Qué parte de pizza le toca a cada niño si se debe repartir toda la pizza y a cada uno le debe tocar lo mismo?

Los alumnos han resuelto problemas de este tipo en la escuela primaria, por lo que se espera que no encuentren ninguna dificultad. Una vez que lo considere pertinente invite a varios alumnos a que digan el resultado al que llegaron y sobre todo a que justifiquen y validen su respuesta ante el grupo.

Algunos alumnos procederán partiendo cada pizza en mitades. Darán una mitad a cada niño, la sexta mitad la dividirán en cinco partes y le darán la quinta parte de esa mitad a cada niño. A cada niño 1/2 + 1/10 de pizza.

Probablemente otros alumnos encuentren la solución partiendo cada pizza en cinco partes y dando una parte de cada pizza a cada uno, por lo que a cada niño le tocan 1/5 + 1/5 +1/5 de pizza.

También es probable que algunos alumnos sepan de inmediato que a cada niño le tocan 3/5 de pizza.

De cualquier manera, lo interesante será que en la validación de resultados se verifiquen las

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.

Contenidos Revisión de los usos y significados de las

fracciones en distintos contextos. Operaciones y problemas.

Material Un carrete de cuerda y una cartulina (por grupo,

para la actividad 2).

Una variante para la actividad 2 consiste en pedir el cociente hasta décimos y el residuo. Por ejemplo: Calculen el residuo al dividir 394 ÷ 37, una vez que el resultado se aproxima a décimos (con la calculadora). Veamos lo que pasa al hacer la división con papel y lápiz (sólo con objeto de analizar el residuo, pues el problema pide que se realice con calculadora):

El residuo no es 18, pues, fijándonos en la posición que ocupa el 18, realmente equivale a 1 entero 8 décimos.

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equivalencias de las respuestas correctas, por ejemplo:

Un medio más un quinto de un medio equivale a tres quintos.

Pregunte: ¿Qué es un quinto de un medio?

Y repase la suma de fracciones al comprobar que:

2. Organice al grupo en equipos de cuatro y plantee el siguiente problema:

Cinco pedazos de listón del mismo tamaño unidos cabo a cabo miden tres varas. ¿Cuánto mide un solo pedazo de listón?

Si algún alumno pregunta cuánto mide una vara, indíquele que esa información no es necesaria, puesto que deben sacar la medida de un pedazo de listón tomando como unidad de medida la vara.

Mientras los equipos tratan de resolver el problema recorra el salón para observar el trabajo.

Es probable que los alumnos inicien la solución al problema por medio de estimaciones, usando expresiones como:

Un listón es más o menos tres cuartos de una vara.

Un listón mide un poco más de la mitad de una vara.

En esos casos pida que sean más precisos en sus respuestas.

A aquellos equipos que lo soliciten proporcióneles un trozo de listón y otro de cartulina (para representar las varas); déjelos en completa libertad para que ellos decidan de que longitud cortar los pedazos de listón y las tiras de cartulina que simulen las varas. Es probable que en este proceso de elegir las medidas de listones y varas los alumnos lleguen a la respuesta correcta.

Otros equipos quizás prefieran trabajar haciendo representaciones de los listones y las varas con segmentos.

Algunos alumnos pueden razonar de la siguiente manera:

Un pedazo de listón es la quinta parte de tres varas, es decir: 1_ de 3 varas.

5

Que puede expresarse como:

1_ de una vara + 1_ de una vara + 1_ de una vara

5 5 5

Lo que da: 3_ de vara

5

Y habrá quienes lo resuelvan directamente encontrando que la respuesta es 3/5 y, más aún, haciendo la división 3 ÷ 5 y dando la solución:

Un pedazo de listón mide 0.6 varas.

Se sugiere analizar la equivalencia de las respuestas correctas.

3. Organizados en equipos de cuatro alumnos, plantee el siguiente problema:

Un segmento tiene en el extremo izquierdo el número cero y en el derecho el número siete. El segmento ha sido dividido en cinco partes iguales. ¿Qué número corresponde a la tercera marca de la división?

De ser necesario, y para comprobar que todos los alumnos han comprendido el problema, sugiera que alguno de ellos pase al pizarrón a trazar el segmento con las características indicadas.

Usted puede notar que este problema es una extensión del anterior (en otro contexto) y que para resolverlo posiblemente las estrategias que surjan serán similares a las de la actividad 2.

Es probable que algunos equipos infieran que la quinta parte de siete es 7/5 y que, por lo tanto, el número que corresponde al punto pedido es:

41

VARIANTE

LLAA FFIIEESSTTAA DDEE CCUUMMPPLLEEAAÑÑOOSS

Tema 12: Cálculo de perímetros y áreas

1. Organice al grupo en equipos de cinco alumnos y pídales que resuelvan el siguiente problema:

Ana Laura invitó a sus amigos a su fiesta de cumpleaños. Acomodó 16 pequeñas mesas cuadradas para que ella y sus 15 invitados pudieran tener lugar para sentarse.

A la hora de la fiesta llegaron cuatro amigos más. ¿Cómo podrían colocar las 16 mesas pequeñas de tal manera que formaran otra mesa (sin huecos) para que todos pudieran sentarse sin que sobre espacio?

Es probable que algunos alumnos presenten respuestas erróneas como las siguientes:

Que dibujen arreglos rectangulares con huecos:

Que realicen arreglos no rectangulares:

Cuando esto suceda conviene propiciar la confrontación de resultados.

Observe cómo trabajan los equipos mientras exploran el problema. Cuando la mayoría haya terminado pida a los equipos que expongan ante el grupo sus resultados y los confronten.

En un equipo pudieron hacer, por ejemplo, dibujos de sus posibles arreglos con base en el ensayo-error.

Otro equipo pudiera recortar 16 cuadrados de papel y acomodarlos de tal manera que formaran diferentes rectángulos.

2. Escriba en el pizarrón el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor número de personas que pueden sentarse en las 16 mesas colocadas de tal manera que formen una mesa rectangular?

Al explorar el problema de acuerdo con la experiencia de la actividad anterior, los alumnos se darán cuenta de que solamente hay tres posibles arreglos.

4 x 4; 2 x 8; 1 x16.

A cada arreglo le corresponden, respectivamente, 16 personas, 20 personas y 34 personas. Esta última es la solución.


¿Cuáles serían los distintos grupos de personas que podrían sentarse en 24 mesas cuadradas colocadas de tal manera que formen otras mesas rectangulares? ¿Y en 36 mesas cuadradas?

Nuevamente propicie que los alumnos exploren el problema con las estrategias que ellos elijan. Se darán cuenta de que hay

Propósito Resolver problemas que conduzcan implícitamente al cálculo de perímetros y áreas de figuras usuales.

Contenidos Revisión y enriquecimiento de las nociones del

perímetro, área y sus propiedades. En particular, determinación del área en figuras regulares.

Material Papel cuadriculado, tijeras y pegamento.

En las actividades propuestas en esta ficha se ha manejado básicamente el significado de fracción como cociente. Otro problema interesante relacionado con el tema consiste en encontrar la medida del grosor de una hoja. Deje que los alumnos busquen la manera de resolverlo hasta que surja la idea de colocar muchas hojas encima de otras y medir su grosor. Una vez que se tiene la medida se divide entre el número de hojas.

42

cuatro maneras de arreglar mesas rectangulares con 24 mesas cuadradas.

4x6 � 4+6+4+6 � 20 personas

3x8 � 8+3+8+3 � 22 personas

2x12 � 2+12+2+12 � 28 personas

1x24 � 1+24+1+24 � 50 personas

Hay cinco arreglos distintos para 36 mesas cuadradas formando mesas rectangulares.

6x6 � 6+6+6+6 � 24 personas

4x9 � 4+9+4+9 � 26 personas

3x12 � 3+12+3+12 � 30 personas

2x18 � 2+18+2+18 � 40 personas

1x36 � 1+36+1+36 � 74 personas

VARIANTE

¿¿EESS PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL??

Tema 13: Proporcionalidad: primeros pasos

1. La actividad se realiza en equipos. Proponga a los alumnos el siguiente problema:

Un albañil sabe que con 4 botes de arena y 5 botes de grava hace una buena mezcla: ¿Cuántos botes de arena necesita para tener 27 botes de mezcla? ¿Y cuántos botes de arena y grava necesita si requiere de 3, 12, 18, 21, 27, 30, 33, 36 y 45 botes de mezcla? Para responder a las preguntas utilicen la tabla siguiente:

a) Con los datos obtenidos hagan una gráfica como se indica:

b) Hagan las gráficas siguientes y compárenlas con la anterior. ¿Qué observan?

Para llenar la tabla algunos equipos pueden concluir que para obtener 18 botes de mezcla necesitan el doble de los botes de arena y el doble de los botes de grava, porque 18 es el doble de 9.

Para conocer el número de botes de arena y grava que se necesitan para tener 12 botes de mezcla, algunos equipos pueden primero llenar en la tabla los valores correspondientes a 27 y 36. Después considerar que como 12 es la tercera parte de 36, entonces necesitarán tomar la tercera parte de los botes de arena y de grava necesarios para tener 36 botes de mezcla, esto es 16/3 (5 botes y 1/3 de bote) y 20/3 (6 botes y 2/3 de bote).

Es probable que otros equipos apliquen la regla de tres; por ejemplo: para conocer cuántos botes de arena y de grava se necesitan para tres botes de mezcla se establecen:

9 = 3 y 9 = 3

4 x 5 x

(La regla de tres es un procedimiento que a los alumnos se les dificulta entender y utilizar, por esta razón conviene que primero participen quienes hayan utilizado otros procedimientos).

Para elaborar las gráficas los equipos pueden utilizar escalas diferentes, sin embargo encontrarán que, si prolongan las semirrectas, éstas pasan por el origen.

Propósito Desarrollar el razonamiento proporcional. Utilizar tablas y gráficas para organizar y presentar información.

Contenidos Ejemplos para introducir la noción de razón entre

dos cantidades. Tablas de números que varían proporcionalmente.

Invierta las condiciones del problema. Ahora permanecerá constante el número de personas (por ejemplo 40). Haga las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas mesas cuadradas se requieren? b) ¿Cómo es el arreglo rectangular?

43

2. Señale que la actividad se va a realizar en equipos de cinco alumnos. Anote en el pizarrón:

Cada cantidad es la medida del lado de un cuadrado: 1 cm., 2 cm., 3 cm., 4 cm., 5 cm., 6 cm., 7 cm.

a) Calculen el perímetro y el área de cada uno de los siete cuadrados.

b) Escriban los resultados obtenidos en tablas como las siguientes:

c) Con la información obtenida, elaboren dos gráficas como las que se muestran. ¿Serán similares a las gráficas obtenidas en la actividad anterior?

d) Con la información anotada en cada tabla, escriban todas las razones que se pueden establecer con los pares de números y compárenlas entre sí.

e) ¿Qué relación encuentran entre las gráficas y las razones establecidas?

Antes de que tracen las gráficas puede ser interesante pedir a los equipos que propongan una hipótesis acerca de cómo resultarán, es decir, si al unir los puntos se trazará una recta o una línea curva, si la gráfica pasará por algún punto en particular, etcétera, para que después verifiquen sus hipótesis al hacer la gráfica.

Los equipos que expresan la razón en la forma a/b se enfrentarán con dificultades para compararlas. En esta situación pueden comparar las razones considerándolas fracciones, esto es, a través de la búsqueda de fracciones equivalentes, o bien se les puede sugerir que obtengan el cociente.

Otros equipos probablemente usen los productos cruzados para comparar. Es importante que finalmente haga las precisiones convenientes para que los alumnos aclaren sus dudas respecto de las nociones involucradas con la proporcionalidad directa.

VARIANTES

EELL MMEEJJOORR CCAARRRRIILL

Tema 14: Experimentos aleatorios

1. Organice al grupo en equipos de cinco o seis estudiantes. Entregue a cada equipo dos dados y un cuadro como el que se muestra a continuación.

Propósito Familiarizarse con la noción de azar. Registro y enumeración de resultados de experimentos aleatorios.

Contenidos Familiarización con algunas situaciones ideales

de la probabilidad. Registro y tratamiento de los resultados de un experimento aleatorio que se repite varias veces.

Material Para cada equipo, un par de dados y un cuadro

como el que se muestra abajo.

Puede proponer las siguientes actividades: 1. Consideren las siguientes tablas. Con los datos de cada tabla

hagan una gráfica. ¿En qué casos se trata de una variación proporcional?

2. En las siguientes tablas hacen falta algunos datos: complétenlos, algunos son proporcionales. Después hagan una gráfica con los datos de cada tabla. Establezcan las razones entre los datos de cada tabla ¿Cuáles son proporcionales?

44

P(1)=

Después explique en qué consiste la actividad:

Cada alumno debe elegir un carril y poner una ficha. Por turnos tirarán los dados; avanzará un cuadro quien se halle en el carril del número que coincida con:

• La diferencia de los puntos de los dados (cuando los puntos de los dados sean distintos).

• La suma de los puntos de los dos dados (cuando los dos dados marquen el mismo número de puntos).

Ganará el alumno que llegue primero a la meta. Realicen tres juegos. Después de cada juego pueden cambiar de carril si así lo consideran conveniente.

Hagan un registro del resultado de cada una de las tiradas, de manera que al final de los tres juegos cada equipo muestre, en un cuadro como el siguiente, el número de veces que avanzó cada carril.

En un primer juego los alumnos escogerán el carril al azar, pero después seguramente elegirán alguno de los que tienen más posibilidades para ganar. En el transcurso de la actividad es conveniente que observe si los alumnos escogen el carril o los carriles que más convienen.

2. Cuando los alumnos hayan realizado los tres juegos, pídales que elaboren una gráfica con los datos obtenidos (en el eje vertical el número de veces que avanzó cada carril y en el eje horizontal el número del carril), y que con base en la información que proporciona la gráfica contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué carril o carriles conviene elegir para ganar?

b) ¿Hay algún carril que no conviene elegir si se quiere ganar? ¿Por qué?

c) Escriban las siguientes razones:

Total de veces que un carril avanzó

Total de veces que se tiraron los dados

Ordenen de menor a mayor las 12 razones.

d) Tomando en cuenta el resultado de la ordenación de las razones, contesten de nuestro las preguntas de los incisos a) y b). ¿Sus respuestas coinciden con las respuestas que dieron primero?

En el desarrollo de la primera de estas actividades, seguramente cada equipo elaborará la gráfica tomando distintas unidades en el eje vertical. Para efecto de la comparación, es conveniente que sugiera la utilización de una unidad común, por ejemplo de 5 en 5. Oriéntelos en el caso de que algún equipo tenga dificultad para elaborar la gráfica.

Una vez ordenados los cocientes, aproveche para indicar a los alumnos que, por ejemplo, la probabilidad frecuencial de obtener 1 al sumar o restar los puntos de los dos dados es precisamente la razón:

Total de veces que un carril avanzó


4. Indique a los alumnos que van a obtener la probabilidad a partir de otro tipo de análisis. Para ello pídales que resuelvan las siguientes situaciones:

d) Se sabe que al tirar dos dados hay 36 eventos posibles. Encuéntrenlos.

e) Tomando como base las reglas del juego de la actividad 1, registren en una tabla como la que se muestra el número posible de eventos de cada carril. Por ejemplo, el carril 4 tiene 5 de 36 eventos posibles.

f) Con los datos obtenidos, elaboren una gráfica de manera que en el eje vertical anoten la frecuencia absoluta y en el eje horizontal el número del carril.

45

P(1)=

g) Comparen las gráficas elaboradas en esta actividad ye n la actividad 2.

Es conveniente que algunos equipos muestren sus conclusiones, así encontrarán que las gráficas elaboradas en las actividades 2 y 3 son similares.

Para finalizar, explique que la probabilidad, por ejemplo, de obtener el número 1, es la razón:

Total de veces que salió el uno


VARIANTES

LLOOSS HHEEXXAAMMIINNÓÓSS

Tema 15: Sólidos

1. Organice al grupo en equipos de cinco y explique que en esta actividad van a buscar figuras en una cuadrícula al unir cuadrados lado con lado. Por ejemplo: ¿cuántas formas diferentes se pueden lograr al unir, lado con lado, tres cuadrados? Los alumnos encontrarán solamente dos:

Las siguientes figuras son en realidad la misma, sólo hay que girarlas para darse cuenta de que coinciden:

Una vez aclarada la actividad, escriba en el pizarrón el siguiente problema:

¿Cuántas figuras diferentes se pueden lograr al unir lado con lado cuatro cuadrados?

Algunos alumnos pueden trabajar con base en el ensayo. Otros buscarán alguna estrategia sistemática y otros combinarán el ensayo con distintas estrategias. En este proceso de búsqueda algunos alumnos pueden mostrar figuras que no cumplan con la condición de ser diferentes. Por ejemplo, las siguientes figuras son iguales. Una es el reflejo de la otra.

En estos casos no debe descalificar el trabajo de los alumnos, sino cuestionarlos para que sean ellos mismos quienes se den cuenta de que se trata de figuras iguales. Cuando la mayoría haya terminado, propicie la confrontación colectiva de resultados. En total encontrarán que hay solo cinco figuras distintas.


¿Cuántas formas diferentes se pueden lograr al unir lado con lado cinco cuadrados?

¿Cuáles de estas formas se pueden doblar para formar una caja sin tapa?

Con base en la experiencia de la actividad anterior, algunos alumnos dispondrán de alguna estrategia más sistemática y ordenada, otros continuarán utilizando el ensayo y el error e incluso es posible que se desanimen por no encontrar todas las figuras que cumplan con las condiciones del problema. Procure infundirles seguridad.

Una estrategia que implica orden puede ser la siguiente. Iniciar con cinco cuadrados en un renglón:

Después dejar cuatro cuadrados en el renglón y el faltante colocarlo en todas las posiciones posibles.

Propósito Propiciar el desarrollo de la imaginación espacial.

Contenidos Desarrollo, armado y representación plana de cubos. Construcción de modelos geométricos.

Material Hoja cuadriculada, tijeras y pegamento.

Las variantes que se anotan a continuación pueden desarrollarse de manera similar a las actividades anteriores. 1. Tomen dos dados y elijan un carril. Avanzará un cuadro la

ficha del carril cuyo número coincida con la suma de los puntos de los dos dados. Gana el que llegue primero a la meta.

2. Tomen un dado común y un dado en forma de tetraedro; elijan un carril. Avanzará un cuadro la ficha del carril que coincida con la suma de los puntos de los dados. Gana el que llegue primero a la meta.

3. Tomen dos dados en forma de tetraedro y elijan un carril. Avanzará un cuadro la ficha del carril que coincida con la suma de los puntos de los dos dados. Gana el que llegue primero a la meta.

46

Luego dejar tres cuadrados en un renglón para ver dónde se pueden poner los dos cuadrados faltantes, etcétera.

Mediante la confrontación de resultados los alumnos llegarán a encontrar las 12 figuras (pentaminós).

Para encontrar cuáles de estas figuras forman una caja sin tapa, los alumnos pueden recurrir a múltiples procedimientos, pero el armado de las figuras permitirá corroborar sus hipótesis y se darán cuenta de que solamente ocho de ellas cumplen esta condición.

3. Escriba el siguiente problema en el pizarrón:

¿Cuántas figuras diferentes se pueden lograr al unir lado con lado seis cuadrados?

¿Cuántas y cuáles de estas figuras se pueden doblar para formar una caja con tapa?

Para encontrar todas las figuras (hexaminós) los alumnos tendrán que ser muy ordenados. Una manera ya sugerida es empezar con seis cuadrados en un renglón.

Después cinco cuadrados en un renglón y el faltante en todas las posiciones posibles. Luego seguir con cuatro cuadrados en un renglón para ver dónde se pueden poner los dos cuadrados faltantes, y así sucesivamente.

Hay 35 figuras (hexaminós), 11 de las cuales pueden formar una caja con tapa. Los alumnos pueden observarlas primero y luego corroborar con el armado del cubo.

Estos hexaminós forman un cubo:

Estos hexaminós no forman un cubo:

VARIANTES

LLAASS FFRRAACCCCIIOONNEESS EEGGIIPPCCIIAASS

Tema 16: Fracciones: simplificación, reducción a un común denominador,

adición y sustracción

Puede iniciar la actividad comentando algunas de las ideas que se plantean a continuación.

Un aspecto interesante de la aritmética egipcia es el cálculo con fracciones. Todas las fracciones eran reducidas a sumas con fracciones unitarias; es decir, fracciones cuyo numerador es 1. El numerador era un punto arriba del denominador, como se muestra:

Las únicas excepciones eran 1/2 y 2/3, para las cuales existían símbolos especiales. Todas las demás fracciones eran expresadas como una suma de fracciones unitarias. Por ejemplo:

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos.

Contenidos Adición y sustracción de dos fracciones previa

reducción a un común denominador: aplicaciones y problemas.


Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades y preguntas: 1. Encuentren, entre todos los hexaminós, la(s) figura(s) de

mayor, menor o igual perímetro. 2. Formen rectángulos con 2, 3, 4… hexaminós. 3. ¿Qué hexaminós tienen un eje de simetría? ¿Y dos ejes de

simetría?

47

No es claro el principio que sustenta esta reducción, ni se sabe por qué los egipcios preferían unas combinaciones en vez de otras.

1. Organice al grupo en equipos de tres alumnos y proponga la siguiente actividad:

Completen la tabla escribiendo en la columna derecha una suma de dos fracciones unitarias diferentes que dé como resultado la fracción de la columna de la izquierda.

Es probable que algún equipo encuentre una regularidad o patrón numérico y, aunque no llegue a expresarla con literales, habrán descubierto que:

Lo que permite encontrar la suma con las condiciones necesarias para cualquier fracción unitaria, por ejemplo:

Lo importante es que los alumnos, al tratar de verificar sus conjeturas, practiquen sumas y restas con diferente denominador. Por ejemplo, de acuerdo con la conjetura arriba mencionada, se tiene:

Y al comprobarla:

De esta manera, al hacer las comprobaciones, el alumno se verá en la necesidad de repasar el algoritmo de la suma de fracciones, las fracciones equivalentes y el común denominador.

2. A continuación proponga a los alumnos la siguiente actividad.

Analicen la siguiente tabla. Traten de descubrir la regularidad que siguen los denominadores de los sumandos con respecto al denominador de la fracción de la izquierda y completen la tabla hasta 1/30.

Un análisis cuidadoso de la tabla nos lleva a descubrir que la relación entre la fracción y sus sumandos es:

Es necesario que los alumnos, por sí mismos, perciban la relación perdida y, aunque no lleguen a la expresión anterior, sean capaces de explicitarla con palabras o bien aplicarla correctamente para el llenado de la tabla. Al confrontar resultados, los alumnos deben comprobar a sus compañeros que la suma propuesta efectivamente da como resultado la fracción unitaria que se está trabajando.

48

VARIANTES

EELL PPEERRRROO GGUUAARRDDIIÁÁNN

Tema 17: Longitud de la circunferencia y área del círculo

1. Organice al grupo en equipos de cuatro o cinco alumnos y plantee el siguiente problema:

Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2 m, unida a una argolla, que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2 m y 4 m.

La argolla de la cadena puede desplazarse por toda la barra, en ambos lados.

Sombreen toda la región en la que el perro puede estar y contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es el área de la región que abarca el perro?

Los alumnos tratarán de resolver las cuestiones haciendo conjeturas y comentando en el equipo. Recomiende instrumentos geométricos para trazar a la escala las regiones que abarca el perro.

Una buena escala es 1 cm.: 1 m, sin embargo será el alumno quien lo decida. Si escoge 1 cm.: 1 m el territorio de alcance resultará así:

El perro parado en alguno de los extremos de la barra, o en el vértice del ángulo, alcanza a cubrir regiones circulares de 2 m de radio. Y cuando la cadena se desliza por las barras cubre regiones rectangulares. Aproveche este momento para afirmar el uso correcto de los instrumentos geométricos en el trazado de estas figuras.

El área total es:

En el cálculo de áreas se podrá comentar lo que representa (relación entre el diámetro y la circunferencia) y el redondeo de cantidades.

2. Organizados de la misma manera, plantee a los alumnos el siguiente problema:

Si se mantiene constante la cadena y la barra tiene la forma y medidas abajo indicadas

El área que cubre el perro es:

Propósito Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y de perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición. Resolver problemas que conduzcan al cálculo de áreas de figuras usuales.

Contenidos Área del círculo. Ejercicios y problemas sobre

cálculo de áreas.

Material Escuadras y compás.

Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas: 1. ¿Pueden escribir fracciones unitarias como la suma de tres

o más fracciones unitarias diferentes? Por ejemplo:

2. Obtenga el número 1 como la suma de 3, 4 o más fracciones unitarias.

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De lo que se deduce que las áreas son iguales.

Al resolver esta parte del problema puede repasarse la noción de círculo como conjunto de puntos equidistantes de otro punto, así como la noción de recta paralela como conjunto de puntos equidistantes de una recta. Si los alumnos cometen errores en los cálculos es el momento para reafirmar los algoritmos de las operaciones.

VARIANTES

FFRRAACCTTAALLEESS

Tema 18: Números con signo

1. Organice al grupo en equipos de cinco y dibuje en el pizarrón la siguiente figura. Diga a sus alumnos que en esta actividad van a jugar con números con signo y a obtener figuras que colorearán a su gusto.

Escriba en el pizarrón las instrucciones siguientes:

a) Dibujen la figura siguiente.

b) Escriban dentro de los círculos cualquier número entero positivo o negativo.

c) Sobre el punto medio de cada segmento escriban la diferencia de los números que están a los lados.

d) Unan con líneas de color rojo los puntos medios para formar un nuevo cuadrado.

e) Escriban sobre cada línea de color rojo la diferencia entre los números que están a los lados.

f) Continúen con este proceso hasta que las diferencias lleguen a ser cero.

Para comprobar que las reglas del juego han sido comprendidas, pida a uno o dos niños que ejecuten lo primeros pasos. Por ejemplo:

Si se consideran -3 y +7, el número 7 es mayor, por tanto la diferencia se plantea así: 7-(-3), que puede ser resuelta de diferentes maneras.

En este momento puede recomendar el uso de las regletas (Ay B) para restar los números enteros de la siguiente manera:

Colocar +7 de la regleta A sobre el -3 de la regleta B. buscar el 0 (cero) de la regleta B y leer la respuesta sobre la regleta A, como se muestra en la figura siguiente:

Al explorar el problema los alumnos se darán cuenta de que, dependiendo de los números que se hayan escrito dentro de los círculos, repetirán el proceso 2, 3, 4 o más veces,

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos. Practicar los algoritmos de las operaciones, así como el cálculo y la estimación de resultados.

Contenidos Orden y comparación de números con signo.

Suma y resta de números con signo. Material Juego de geometría, colores y dos tiras de

cartulina (tira de sumar y restar números con signo). Dos regletas numeradas como la siguiente:

1. Cambiando alguna de las variables del problema, como el largo de la cadena, las medidas de la barra o incluso su forma, se obtienen interesantes regiones de alcance. Por ejemplo: considerando una cadena de 2 m y una barra semicircular como la que se ilustra, ¿cuál es la región de alcance del perro? ¿Es mayor o menor que las anteriores?

2. Si se quiere repasar el cálculo de perímetros, pueden aprovecharse las figuras obtenidas.

50

hasta que obtengan una diferencia común de cero.

Una vez que la mayoría haya terminado, solicite que un representante por equipo pase al pizarrón a mostrar y defender sus hallazgos. Por ejemplo: un niño puede acompañar su figura con las operaciones que haya hecho.

En el primer paso tendrá:

En el siguiente paso se tendrá:

En el tercer paso se tiene:

Centre la discusión sobre las siguientes cuestiones aprovechando los ejemplos de los alumnos:

• Usando este procedimiento para cualquier número con signo, ¿se obtendrá siempre una diferencia común de cero?

• ¿Cuántas veces se necesita repetir el proceso para obtener una diferencia común de cero?

• Que tipo de números se obtienen al efectuar las diferencias: ¿negativos?, ¿positivos?, ¿positivos y negativos?


Empleando el mismo procedimiento de la actividad 1, encuentren un grupo de cuatro números enteros (con signo), de manera que, en el cuarto paso, las cuatro diferencias sean cero.

Esta actividad se realiza de manera similar a la actividad 1, pero en este caso los alumnos son los que proponen los primeros cuatro números que se colocan dentro de los círculos.

Una manera de resolver el problema es proponiendo números al azar, luego obtener las diferencias y ver si se necesitan cinco pasos para que las cuatro diferencias sean ceros. Otro procedimiento que puede ser utilizado por algunos alumnos consiste en iniciar con las cuatro diferencias (ceros) y colocar los números convenientes hasta llegar a los círculos.

En el desarrollo de las actividades los alumnos pueden cometer diferentes errores, por lo que deberá estar atento para dar las orientaciones que considere convenientes; según el error que observe, puede proponerles ejemplos o contraejemplos. Algunas causas de los errores pueden ser:

• Que no sepan comparar números con signo.

• Que no entiendan el concepto de diferencia.

• Que no sepan restar números con signo.

VARIANTE

Dibuja un triángulo equilátero y en sus vértices anota tres números enteros (números con signo). Después realiza el mismo procedimiento que en el caso del cuadrado.

¿Qué regularidades encuentra? ¿En cuántos pasos?

51

SEGUNDO GRADO PPUUNNTTOOSS CCEERRCCAANNOOSS

1. Organice a los alumnos en parejas. Dibuje en el pizarrón tres puntos que no estén alineados y proponga resolver la siguiente situación:

Marquen al centro de una hoja en blanco tres puntos como los que he marcado en el pizarrón.

Observe que el punto P está más cerca del punto A que del punto B.

a) Marquen con rojo la mayor cantidad de puntos que estén más cerca del punto A que del punto B. con azul marquen la mayor cantidad de puntos que estén más cerca del punto B que del punto A.

b) Iluminen con rojo la región de la hoja donde se encuentren todos los puntos que estén más cerca del punto A que del punto B. marquen con azul la región de la hoja donde se encuentren todos los puntos que están más cerca del punto B que del punto A.

c) Encuentren 10 puntos que estén a la misma distancia del punto A que del punto B.

d) Si unen los 10 puntos, ¿qué observan?

Los alumnos no tendrán dificultad alguna en marcar puntos que cumplan con la condición indicada en el inciso a). El punto P sirve como referencia; los alumnos notarán que el punto P está más cerca del punto A que del punto B. Sin embargo usted puede proponer algún punto R que a simple vista no se pueda decir que cumple con las condiciones.

La situación anterior hará que los alumnos busquen alguna manera para comprobar; por ejemplo, pueden tomar la regla y medir la distancia de R con respecto a los puntos A y B.

Otros alumnos pueden utilizar el compás y con él tomar la distancia entre el punto R y el punto A, y después comparar la distancia respecto del punto B para verificar si está más cerca de A que de B.

Una dificultad que se puede presentar para realizar las indicaciones señaladas en el inciso b) es que los alumnos no comprendan lo que se entiende como región. Puede suceder que iluminen puntos que cumplen con la condición pedida, pero que en realidad no constituyen la totalidad de los puntos; en tal situación puede proponer que algunos alumnos expliquen lo que tomaron en cuenta para iluminar o dejar de iluminar ciertas partes de la hoja. A partir de ello, usted puede precisar lo que se entiende como región.

A continuación se muestra como podrían quedar iluminadas las hojas de los alumnos.

Las preguntas c) y d) tienen que ver con la localización de la mediatriz. Después de haber resuelto las primeras actividades, los alumnos no tendrán dificultad para localizar los puntos que se solicitan, asimismo se darán cuenta de que todos están sobre una misma recta. Aproveche esta situación para pedir a los alumnos que elijan otros puntos que estén

Propósito Practicar el dibujo y los trazos geométricos. Avanzar hacia la adquisición permanente del uso de instrumentos de dibujo.

Contenidos Exploración de las propiedades de la mediatriz

como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos A y B.

Material Colores y una hoja en blanco por alumno.

Tema 1: Trazos geométricos y figuras básicas

52

sobre la recta y que comprueben que están a la misma distancia del punto A y del punto B.

Por otra parte, será conveniente que dé a conocer a los alumnos la terminología propia de la geometría, esto es, que la recta trazada es la mediatriz del segmento AB. Finalmente muestre cómo se traza la mediatriz utilizando regla y compás.

2. Explique a los alumnos que van a trabajar en parejas y plantee la siguiente situación:

Dibujen al centro de una hoja en blanco un triángulo como el que he marcado en el pizarrón.

a) Localicen los puntos que están a la misma distancia del punto A y del punto B.

b) Localicen los puntos que están a la misma distancia del punto A y del punto C.

c) Localicen los puntos que están a la misma distancia del punto B y del punto C.

d) Localicen un punto que esté a la misma distancia del punto A, del punto B y del punto C respectivamente.

Se espera que a través de estas actividades los alumnos observen que están localizando las mediatrices de un triángulo cualquiera, y que existe un punto, precisamente donde se intersectan las tres, que tiene la propiedad de que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

Para responder a las tres primeras indicaciones los alumnos no tendrán dificultades, ya que seguramente utilizarán los conocimientos adquiridos en la actividad 1.

Para localizar el punto que está a la misma distancia de los tres puntos, puede hacer reflexionar a los alumnos acerca de la

propiedad que tiene el punto que es intersección de las tres mediatrices que los alumnos habrán trazado a partir de las actividades a), b) y c).

Finalmente, en una actividad en la que participe todo el grupo, indique a los alumnos que el punto encontrado se llama circuncentro.

Si lo considera conveniente, puede proponer a los alumnos que tracen otros triángulos y sus mediatrices, así, de manera empírica, observarán que las mediatrices de cualquier triángulo siempre se intersectan en un punto.

VARIANTES

EEXXPPLLOORRAANNDDOO CCOONN LLOOSS DDIIVVIISSOORREESS

1. Organice al grupo en equipos de cinco alumnos. Escriba en el pizarrón la siguiente tabla y plantee la siguiente situación:

En la tabla de la derecha se muestran los divisores de algunos números.

Encuentren los divisores de los números 7, 8, 9… hasta el 40, y anótenlos en la tabla.

Propósito Enriquecer el significado de los números y explorar relaciones numéricas.

Contenidos Números primos y compuestos. Factorización en

primos y ejemplos de aplicación. Material Calculadora.

Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades: 1. Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm.,

después elijan puntos sobre la mediatriz y únanlos con los extremos del segmento. ¿Qué tipo de triángulos observan? ¿Pueden elegir un punto sobre la mediatriz de manera que al unirlo con los extremos del segmento formen un triángulo equilátero?

2. Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm. ¿Pueden elegir un punto sobre la mediatriz de manera que al unirlo con los extremos del segmento formen un triángulo isósceles rectángulo?

3. Tracen la mediatriz de un segmento AB que mida 6 cm. Elijan dos puntos sobre la mediatriz de manera que al unirlos con los extremos del segmento formen un cuadrado, un papalote y un rombo.

Tema 2: Problemas de aritmética

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Para resolver esta actividad los alumnos pondrán en juego sus conocimientos acerca de la divisibilidad; podrán utilizar la calculadora o hacer las divisiones con lápiz y papel. Para verificarlos, los alumnos deben confrontar sus resultados.

2. Explique a los alumnos que van a seguir trabajando en equipo y, apoyándose en la tabla anterior, plantee el siguiente problema:

Observen en la tabla que el número 4 tiene como divisores a 1, 2 y 4. Si quitan el 1, entonces todos los divisores que quedan son pares. Hagan una tabla como la siguiente y anoten ahí los números que cumplen con la condición de tener sólo divisores pares (si no consideran el 1).

¿Qué clase de números son aquellos cuyos divisores son todos pares (sin tomar en cuenta el número 1)?

Seguramente los alumnos encontrarán diversas formas de resolver la situación, lo importante es que las confronten de manera que enriquezcan, afirmen o corrijan sus conocimientos. Algunos procedimientos pueden ser los siguientes:

Algunos equipos escribirán en la tabla los primeros cinco números (2, 4, 8, 16, 32) y considerarán que sólo esos cinco cumplen con la condición señalada. En este caso puede solicitar que encuentren otros números y que además traten de encontrar alguna característica común.

En otros equipos quizás identifiquen algunos números (por ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32) cuyos divisores son pares y, con base en sus observaciones, concluyan que todos los números pares son los que cumplen con la condición. En esta situación puede solicitar o dar algunos contraejemplos (6, 24…) para que los alumnos observen que la caracterización no es correcta. Así, aunque 6 y 24 son números pares tienen a 3 como divisor, que no es un número par.

Algunos equipos podrán identificar una sucesión más grande de números que cumplen con la condición y probablemente observen que cada número de la sucesión se obtiene duplicando el número que le precede. Los alumnos pueden comprobar que efectivamente es así, y pregúnteles si eso es independiente del número con el que se inició la sucesión, esto con el fin de que observen que se requiere partir del número 2.

En este caso puede pedir a los alumnos que encuentren la expresión algebraica que permite encontrar cualquier número que cumple con la condición del problema, es decir, 2n, que representa a los números cuyos divisores, excepto el uno, son pares.

3. Organice al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos. Anote el siguiente problema en el pizarrón:

Los divisores del número 6 son 1, 2, 3 y 6. Observen que la mitad de estos divisores son pares (2 y 6) y la otra mitad son impares (1 y 3). Anoten en una tabla, como la que se muestra, los números que cumplan con la condición de que la mitad de sus divisores sean pares y la otra mitad sean impares.

¿Qué característica tienen aquellos números tales que la mitad de sus divisores son pares y la otra mitad son impares?

Al igual que en la actividad anterior, los alumnos llegarán a plantear distintos caminos para resolverla. Lo fundamental es que sean

54

ellos mismos, guiados por las preguntas o sugerencias de usted, quienes validen o invaliden los resultados obtenidos (por ejemplo: 2, 6, 10, 14, 18).

Ciertos equipos encontrarán los primeros números que satisfacen las condiciones del problema y se concretarán a señalar que esos números son los que cumplen con lo pedido. Puede cuestionarlos para que encuentren otros números y que además los analicen para determinar alguna característica que tengan en común.

Otros equipos considerarán que los números que satisfacen la condición son números pares; un contraejemplo (8, 20, 50, etcétera) puede ayudar a los alumnos a observar que su caracterización no es suficiente, ya que los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8, los divisores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20 y los divisores de 50 son 1, 2, 4, 5, 10, 25 y 50. En ningún caso el número de divisores pares es igual al número de divisores impares.

Es posible que otros equipos, después de observar una lista relativamente grande de números que tienen la mitad de sus divisores pares y la otra mitad impares, establezcan que la respuesta tiene que ver con aquellos números que van de 4 en 4. Nuevamente, un contraejemplo (3, 7, 11, 15…) ayudará a que los alumnos encuentren que se requiere partir de 2 y luego, efectivamente, ir de 4 en 4.

En este grado puede ser difícil que los alumnos encuentren que cualquier término de la sucesión de números que tienen la propiedad señalada en el problema se obtiene a partir de la expresión: 4x + 2, donde x toma los valores 0, 1, 2, 3…, o de la expresión 4x – 2, si x toma los valores 1, 2, 3, 4… Por lo que usted puede darla a conocer y, a partir de esto, los alumnos podrán obtener otros números y comprobar que, efectivamente, cumplen con la condición establecida.

VARIANTES

CCAAMMBBIIAANNDDOO LLAA UUNNIIDDAADD

1. Organizados los alumnos en equipos de cuatro, plantee la siguiente actividad:

Formen con ligas en su geoplano un cuadrado como éste:

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida lo que se muestra en los siguientes incisos:

Los alumnos notarán que para los incisos a) y b) sólo requieren trabajar con números enteros para el cálculo del perímetro y del área.

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones a través de la solución de problemas diversos.

Contenidos Revisión de la adición de más de dos fracciones.

Problemas asociados a la multiplicación de fracciones. Algoritmo de la multiplicación.

Material Geoplano de 5 x 5 y ligas (por alumno).

Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades: 1. Observen que el número 2 tiene exactamente dos

divisores: 1 y 2. ¿Qué números son aquellos que tienen exactamente dos divisores?

2. Observen que el número 9 tiene exactamente tres divisores: 1, 3 y 9. ¿Qué clase de números son aquellos que tienen exactamente tres divisores?

3. Observen que 8 tiene exactamente 4 divisores: 1, 2, 4 y 8. ¿Qué clase de números son aquellos que tienen exactamente 4 divisores?

Tema 3: Fracciones: multiplicación y división

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No así para el inciso c), en el que se requiere hacer uso de fracciones debido a que la unidad es mayor que la medida del lado del cuadrado. Se dejará que sean los alumnos quienes calculen el perímetro y el área. Después del tiempo que usted juzgue pertinente pasarán representantes de los equipos a exponer ante el grupo los resultados y procedimientos que utilizaron. Es probable que a algún equipo se le ocurra dividir la unidad en tercios y concluya que cada lado del cuadrado mide dos tercios de la unidad, por lo que se tiene:

O bien, sabiendo que el perímetro del cuadrado se calcula multiplicando la medida de un lado por 4, se tiene: P = 4x 2 u

3

Y de ahí concluyan que 4 veces 2/3 es 8/3, es decir: 4x 2 u = 8 u = 2 2 u

3 3 3

Para el área es probable que algún equipo, si marca con ligas el cuadrado cuyo lado es la unidad, logre apreciar los novenos en que éste queda dividido, de tal forma que el cuadro que nos interesa ocupa un área de cuatro de estos novenos, por lo que:

Por otro lado, como los alumnos saben que para calcular el área de un cuadrado se emplea la fórmula: A= 1s x 1. Y para este cuadrado 1 = 2/3 u, entonces: A = 1 x 1 = 2/3 u x 2/3 u.

Y el resultado se obtiene mediante la multiplicación:

2 u x 2 u = 4 u²

3 3 9

Propicie que los alumnos noten que en numerador es el producto de los numeradores de los factores, y el denominador es el producto de los denominadores de los factores.

2. Organizados de la misma manera que en la actividad 1, plantee la siguiente situación:

Formen con ligas en su geoplano un rectángulo como este:

Calculen su área y perímetro considerando como unidad de medida:

Nuevamente otorgue tiempo suficiente para que los alumnos exploren y encuentren la solución del problema. Cuando lo considere pertinente, pase a algunos alumnos al frente para que den las respuestas a los tres incisos y platiquen cómo las encontraron. Como el problema es muy similar al de la actividad 1, los procedimientos serán parecidos y servirán para reafirmar y precisar nociones y procedimientos. Los alumnos notarán que para el inciso a) nos es necesario emplear fracciones, y que la respuesta es:

P = 2u + 3u + 2u + 3u = 10u

A = b x h = (2u) (3u) = 6u²

Para el inciso b) el ancho mide una unidad, mientras que para expresar el largo se emplean fracciones. Quizá algunos equipos la consideren como 1 1/2 u y otros como 3/2 u. Los equipos podrán calcular el perímetro de varias maneras, por ejemplo:

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P = 1u + 3u + 1u + 3u = 5u

2 2

P = 2 x 1u + 2 3u = 5u

2

Si algún equipo propone esta última forma, aproveche para recordar la multiplicación de un entero por una fracción.

El área puede calcularse de manera concreta: al formar con ligas el cuadrado que corresponde a una unidad se observará que el rectángulo tiene una unidad cuadrada de área y un medio de la misma, es decir, 1 1/2 u².

O bien, aplicando la fórmula:

P = 1u + 3u + 1u + 3u = 2 1u

2 4 2 4 2

Esto se ve objetivamente en el geoplano contando cuántas veces cabe la unidad en el contorno de la figura. Puede notarse que, efectivamente, cabe dos veces y media.

Para el área, al formar un cuadrado de una unidad de lado, se tiene que el rectángulo ocupa 6/16 partes de la unidad cuadrada, por lo que su área es: 6/16 u², y simplificando, 3/8 u².

Si algún equipo resolvió el problema por fórmula, entonces obtuvo: A = 1u x 3u = 3u²

2 4 8

La comparación de ambos procedimientos servirá para que el alumno vea la representación gráfica de la multiplicación de fracciones.

VARIANTE

LLAASS PPOOTTEENNCCIIAASS

1. Explique brevemente lo que significa elevar un número a una potencia, por ejemplo: 25, 210, etcétera. Después de organizar a los alumnos en equipos de tres o cuatro integrantes, proponga el siguiente problema:

Observen que al calcular 25 el número que se obtiene es 32, que termina en 2. Al calcular 210 el número que se obtiene es 1 024, y este número termina en 4.

a) ¿En qué cifra termina 225?

b) ¿En qué cifra termina 260?

c) ¿En qué cifra termina 21999?

En esta situación no se busca que los alumnos muestren su habilidad para operar con lápiz y papel, sino su habilidad para encontrar cierto tipo de patrones y, por esta razón, la calculadora es un instrumento que les permitirá agilizar los cálculos.

Dado el tipo de calculadora que normalmente utilizan, los alumnos podrán responder sin mucha dificultad el inciso a), ya que el número que se obtiene está formado por ocho dígitos y en consecuencia cabe en la pantalla de la calculadora. En cambio no podrán

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones a través de la solución de problemas.

Contenidos Potencias sucesivas de un número (construcción

de una tabla de potencias de 2 o de 6). Material Calculadora.

Es posible seguir cambiando las unidades (incluso estos cambios pueden ser propuestos por los alumnos). Por ejemplo:

Calcular el área y el perímetro considerando que el segmento marcado es 1/7 de la unidad.

Tema 4: Uso de exponentes y notación científica

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responder a los incisos b) y c). Una estrategia consiste en hacer una lista de las potencias de 2 hasta donde la calculadora dé el resultado, y después seguir con lápiz y papel hasta obtener el número correspondiente a 260. Ahora bien, este procedimiento ya no es adecuado para conocer en qué cifra termina 21999, pero a partir de la lista que los alumnos hagan usted puede formular algunas sugerencias, por ejemplo: que en una tabla como la que sigue anoten algunas de las potencias del número 2.

Sugiera a los alumnos que observen la relación entre el exponente y la cifra en que termina la potencia de 2. Así, algunos alumnos observarán que si el exponente es par entonces el número termina en 4 o en 6, y si es impar el número termina en 8 o en 2. En consecuencia encontrarán que la última cifra al elevar 21999 es 2 u 8, pero aún faltará encontrar un procedimiento que ayude a saber cuál de las dos es la cifra correcta. Otros alumnos se darán cuenta de que la sucesión de números 2, 4, 8 y 6, en que terminan las potencias de 2, se repite en el mismo orden y que, por ejemplo, los números 2², 26, 210, etcétera, terminan en 4, por lo que se darán cuenta de que no es necesario realizar las operaciones para saber en qué cifra terminan 214, 218, 222, ya que podrán contar los exponentes de 4 en 4 a partir de 2² para determinar que terminan en 4.

A partir de que los equipos expongan las distintas formas que utilizaron para determinar en qué cifra terminan 260 y 21999, usted puede mostrar otro procedimiento:

Cuando los exponentes de 2n son múltiplos de 4 (4, 8, 12…) el número que se obtiene termina en 6. Si el exponente es múltiplo de 4 más 1 (5, 9, 13…) los números terminan en 2. Si el exponente es múltiplo de 4 más 2 (6, 10, 14, 18…) entonces los números terminan en 4, y si es múltiplo de 4 más 3 (7, 11, 15, 19…) el número termina en 8. A partir de lo anterior, para saber en qué cifra termina 21999 hay que determinar si 1999 es de la forma: 4n, 4n + 1, 4n + 2 o 4n + 3.

Para ello se puede proceder de varias maneras, por ejemplo, dar valores a n hasta encontrar que: 4 x 499 + 3 = 1999.

O bien, si los alumnos están en posibilidades, pueden resolver las siguientes cuatro ecuaciones y ver en cuál se obtiene un valor entero de n:

4n = 1 999

4n + 1 = 1 999

4n + 2 = 1 999

4n + 3 = 1 999

Así encontrarán que la última ecuación proporciona el resultado deseado y, por tanto, concluirán que n = 499.

2. Proponga trabajar en equipos de tres o cuatro alumnos. A continuación pida que resuelvan el siguiente problema:

Observen que al elevar 64 el número que se obtiene es 1 296, cuyos dos últimos dígitos son 9 y 6. Y que al elevar 65 el resultado es 7 776, cuyos dos últimos dígitos son 7 y 6.

a) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 627?

b) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 660?

c) ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 61999?

Los alumnos se darán cuenta de que la calculadora no va a serles de mucha utilidad, por lo que tendrán que recurrir a otras estrategias. Sugiera nuevamente que recurran a una tabla como la anterior, y que en ella anoten algunas potencias de 6.

Con la finalidad de ayudar a los estudiantes, inicie esta tabla con 6² y no con 6¹, ya que es más fácil observar la sucesión que se genera con las dos últimas cifras, es decir, 36, 16, 96, 76, 56, 36…

Es importante que observe el trabajo de los diferentes equipos y, en caso necesario, les ayude a reflexionar sobre el problema. Pregunte por ejemplo: ¿Cómo van cambiando las dos últimas cifras de los resultados? Esas

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dos últimas cifras, ¿con qué exponentes están relacionados? Pídales que hagan una lista de aquellos exponentes de 6 que terminan en el mismo par de números.

Así, ciertos equipos encontrarán que los números formados con las dos últimas cifras de las potencias de 6 se van repitiendo de cinco en cinco. Al analizar la lista de números, ciertos equipos encontrarán que si elevan el 6 a cualquiera de los siguientes exponentes: 2, 7, 12, 17, 22… el número termina en 36, por tanto determinarán que 627 termina en esa cifra.

Otros equipos encontrarán que al elevar 6 a alguno de los exponentes de la sucesión 3, 8, 13, 18… el número termina en 16.

Que al elevar 6 a alguno de los exponentes de la sucesión 5, 10, 15, 20… el número termina en 76.

Que al elevar 6 a alguno de los exponentes de la sucesión 4, 9, 14, 19… el número termina en 96.

En consecuencia determinarán en qué cifra terminará 627 y 960. Además se darán cuenta de que para saber en qué cifra termina 61999 necesitan saber en qué sucesión de exponentes va a aparecer 1 999.

Como un procedimiento más para contestar las preguntas del problema, puede dar a los alumnos (si es que no lo hacen por sí solos) la expresión algebraica que genera cada una de las cinco sucesiones de exponentes y, a partir de ellas, determinar a qué sucesión pertenece cada uno de los exponentes a que hace referencia el problema, es decir: 25, 90 y 1 999.

A continuación anote las expresiones para cada una de las sucesiones de los exponentes:

• Números que terminan en 36: 5n + 2, si se empieza a evaluar en cero, y 5n – 3 si se evalúa a partir de uno.

• Números que terminan en 16: 5n + 3, si se empieza a evaluar en cero, y 5n – 2, si se evalúa a partir de uno.

• Números que terminan en 96: 5n + 6, si se empieza a evaluar en cero, y 5n + 1 si se evalúa a partir de uno.

• Número que terminan en 76: 5n.

• Números que terminan en 56: 5n + 7, si se empieza a evaluar en cero, y 5n + 2 si se evalúa a partir de uno.

VARIANTE

EELL AABBEECCEEDDAARRIIOO YY LLAA SSIIMMEETTRRÍÍAA

1. Organice al grupo en equipos de cuatro o cinco alumnos. Proporcione a cada equipo varias hojas cuadriculadas y una copia del anexo A. Dibuje en el pizarrón las letras A y Z y señale lo siguiente:

La letra A tiene simetría axial, porque si trazan la línea m (que es su eje de simetría) y doblan la letra sobre ese eje, las partes de la izquierda y de la derecha en que el eje divide a la letra A, coinciden una con otra.

Ahora observen la letra Z. Ésta no tiene simetría axial, pero si tiene simetría central, esto es, el punto O tiene la siguiente propiedad: si escogen un punto B cualquiera sobre la letra y trazan una línea que pase por ese punto y el punto O, dicha línea tocará un punto C sobre la letra; si fijan el punto O y giran la letra 180º observarán que B pasará al lugar del punto C, y viceversa.

Propósito Practicar los trazos geométricos. Utilizar el lenguaje propio de la geometría.

Contenidos Simetría axial: construcción del simétrico de un

punto respecto a una recta. Simetría central: reflexión de un punto y de una figura respecto a un punto. Determinación, si existe, el centro de simetría de una figura.

Material Hojas cuadriculadas, espejos y copias del anexo

A (p. 122).

En qué dígito terminan las siguientes potencias: 827, 890, 81999.

Tema 5: Reflexión respecto a una recta. Reflexión respecto a un punto

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En hojas de papel cuadriculado tracen las letras mayúsculas del abecedario y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué letras del abecedario tienen sólo simetría axial? Compruébenlo.

b) ¿Qué letras del abecedario tienen sólo simetría central? Compruébenlo.

c) ¿Cuáles tienen simetría axial y central? Compruébenlo.

Los equipos no tendrán dificultades para encontrar las letras del abecedario que cumplen con las condiciones indicadas en el inciso a). Quizá algunos equipos consideren que si una línea divide en dos partes congruentes cierta letra, esa línea es un eje de simetría. En este caso sugiérales que utilicen un espejo para que verifiquen si la línea es, o no, un eje de simetría.

Algunos alumnos pueden tener dificultades para determinar las letras que tienen simetría central. Oriente a esos alumnos indicándoles, por ejemplo, que copien otra letra igual, la superpongan a la original y la giren, de esta manera observarán si la figura tiene o no centro de simetría.

2. Indique a sus alumnos que van a seguir trabajando en equipos, con las mismas letras del abecedario. A continuación explique en qué consiste la actividad.

a) La letra L no tiene ejes de simetría. Observen cómo se procedió para construir una nueva figura que tiene un eje de simetría.

Se trazó la línea s, de modo que ésta fuera el eje de simetría de al figura.

Elige al menos cinco letras que no tengan eje de simetría y construye figuras de sólo un eje de simetría.

b) A partir de la letra L construye una figura con dos ejes de simetría.

c) La letra A tiene un solo eje de simetría; con esta letra se puede construir otra figura que tenga simetría central y dos ejes de simetría. En la figura construida el centro de simetría es el punto O.

Construyen la figura y comprueben que tiene dos ejes de simetría, y que el punto O es el centro de simetría de la figura.

¿Qué letras del abecedario permiten construir otra figura que tenga dos ejes de simetría y además simetría central? Constrúyanlas y verifiquen que cumplen con las condiciones.

Ciertos equipos encontrarán que la línea que será eje de simetría de la letra L puede ser trazada en otra posición, por ejemplo:

Algunos equipos trazarán la línea de manera que tendrán como resultado dos figuras separadas por el eje de simetría. Esta situación puede llevar al grupo a discutir si la figura resultante, en su conjunto, es una sola o se trata de dos figuras.

Otros alumnos tal vez ensayen diferentes posiciones para colocar el espejo y trazar la línea de simetría para formar una nueva figura.

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Para construir figuras con dos ejes de simetría y simetría central, es probable que ciertos equipos tracen al azar el segundo eje de simetría y en consecuencia la figura no cumplirá con las condiciones especificadas. En este caso ofrezca alguna orientación, por ejemplo, comente que pueden colocar el espejo sobre algún borde de la letra y comprobar si la figura resultante cumple con las condiciones especificadas.

VARIANTES

LLAASS VVEENNTTAANNAASS DDEELL CCAALLEENNDDAARRIIOO

1. La actividad se realiza en equipos de tres

o cuatro alumnos. Solicite previamente a cada equipo que lleve una hoja de un calendario; de preferencia todos los equipos deben llevar la hoja del mismo mes. Plantee a los alumnos la siguiente actividad:

Recorten en tarjetas las siguientes cuatro ventanas que servirán para mirar una parte del calendario:

Cada tarjeta se colocará sobre la hoja de calendario. En el ejemplo anterior se ha colocado la tarjeta I. Por la ventana se pueden mirar los siguientes tríos de números: 3, 10, 17; 12, 19, 26; 8, 15, 22.

a) Encuentren la manera de obtener la suma de los tres números con una sola multiplicación, o una multiplicación y una suma.

b) Encuentren una expresión algebraica que les permita obtener la suma de los tres números que se ven por la ventana, conociendo sólo uno de ellos.

c) Coloquen la ventana II en cualquier lugar del calendario. Observen que abarca cinco números. Como si sólo conocieran uno de los números que se ven por la ventana, encuentren la manera de obtener la suma de los cinco números mediante una multiplicación y una suma.

d) Encuentren una expresión algebraica para obtener la suma de los cinco números, supongan que conocen sólo uno de los números.

e) Encuentren la expresión algebraica que les permita obtener la suma de los números que se ven por las ventanas III y IV, respectivamente; piensen que sólo conocen uno de los números de cada ventana.

Buscar la solución de los problemas planteados llevará a los alumnos a proponer estrategias aritméticas que los conducirán a la aplicación del álgebra. Por ejemplo:

Propósito Familiarizarse con diversos medios de expresión matemática: la estructura simbólica. Plantear y resolver problemas sencillos que conduzcan a ecuaciones lineales.

Contenidos Introducción y uso de la incógnita. Situaciones

derivadas de diversos contextos. Material Una hoja de calendario.

Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades: 1. En una hoja en blanco tracen una letra que tenga un eje

de simetría. A partir de esta línea construyan con regla y compás una figura que tenga dos ejes de simetría.

2. En papel cuadriculado tracen las letras V, X y T como se indica. Consideren que cada línea es un eje des simetría. Construyan figuras simétricas respecto a cada una de las dos rectas.

Tema 6: Ecuaciones lineales: uso de la incógnita (primeros ejemplos)

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Para resolver el primer problema algunos alumnos se darán cuenta de que basta con multiplicar el número que se encuentra en el centro de la ventana por 3, pero no podrán expresar algebraicamente ese hecho. Para ayudarlos, comente que si llaman x o z al número del centro encontrarán la manera de expresar algebraicamente el procedimiento para encontrar lo que se pide.

Algunos equipos encontrarán relaciones entre los números pero quizá no puedan expresarlas algebraicamente. Si colocan la ventana de manera vertical y consideran el número de arriba (3), verán que los otros dos números pueden obtenerse a partir de aquél, sumando 7 y 14; de la misma forma, si colocan la ventana horizontalmente, dejando el número 3 a la izquierda, se darán cuenta de que sumando a éste 1 y 2 obtienen los dos números restantes, es decir el que aparece en el centro y el de la derecha. De nuevo, ayude a los alumnos a expresar esta relación mediante unas preguntas: Si llaman b al número de arriba, ¿cómo se obtienen los otros dos? ¿Cómo obtendrán la suma de los tres números? En este caso, es posible que los alumnos lleguen a la expresión: b + (b + 7) + (b + 14). Sugiera entonces que simplifiquen la expresión. Al simplificarla los alumnos obtendrán: 3b + 21. Si se factoriza, la expresión será 3 (b + 7).

Para encontrar la expresión algebraica que permite obtener la suma de los números de las ventanas II, III y IV, los alumnos pueden proceder de manera similar. Una dificultad que los propios alumnos pueden plantearse es la siguiente. Si en la ventana I, por ejemplo, llaman x al número que se encuentra en la parte inferior de la ventana, tendrán que operar con números negativos y llegarán a la expresión: 3x – 21.

De manera que se obtienen tres expresiones distintas para la misma suma dependiendo del lugar en que se ubicó la incógnita. Esto es:

• 3x al ubicar x al centro.

• 3x + 21 al ubicar x en la parte superior.

• 3x – 21 al ubicar x en la parte inferior.

Esta situación dará lugar a una discusión que lleve a los alumnos a concluir que las expresiones dependen del lugar en que se ubicó a la incógnita. Si la ventana fue

colocada horizontalmente, dos expresiones que se pueden obtener son:

• 3x + 3 al colocar x en el extremo izquierdo.

• 3x – 3 al colocar x en el extremo derecho.

De manera similar, se espera que los alumnos encuentren expresiones algebraicas para las ventanas II, III y IV. Por ejemplo:

• 5x + 49, para la ventana II.

• 4x + 16, para la ventana III.

• 4x + 42, para la ventana IV.

2. Esta actividad se realiza en equipos de tres o cuatro estudiantes. Indíqueles que van a utilizar las mismas cuatro ventanas y plantee el siguiente problema:

El número 63 corresponde a la suma que se obtuvo utilizando una de las cuatro ventanas, ¿cuál es la ventana que se utilizó?

Algunos equipos resolverán el problema mediante ensayo y error, es decir, tomarán cada una de las ventanas y las colocarán sobre el calendario hasta localizar la que sume 63. Otros equipos pondrán en práctica las expresiones algebraicas obtenidas y empezarán a probar con cada una, esto es, tomarán valores y los sustituirán en las expresiones hasta encontrar aquella en la que resulta 63. Otros equipos se darán cuenta de que cada expresión se puede igualar a 63 y obtener en consecuencia cuatro ecuaciones, pero sólo una de éstas tiene solución entera y corresponde a la ventana que se utilizó. Si no surgieran los dos últimos procedimientos es conveniente que usted los sugiera.

Una dificultad que se puede presentar a los alumnos es la manera de proceder para resolver una ecuación. Aproveche la situación para resolver ecuaciones de primer grado.

3. Indique a los alumnos que van a trabajar en equipos de tres o cuatro integrantes y plantee la siguiente situación.

Inventen cinco ventanas diferentes a las cuatro que hemos utilizado hasta ahora.

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Encuentren las expresiones algebraicas que permitan conocer la suma de los números que se ven en cada ventana de acuerdo con el siguiente arreglo de números:

Dado que la situación es similar a las actividades 1 y 2, es probable que los alumnos no tengan dificultades para proponer las ventanas y encontrar las expresiones algebraicas.

VARIANTES

DDIIAAGGRRAAMMAASS YY EECCUUAACCIIOONNEESS

1. Explique al grupo que iniciarán una actividad para la cual será necesario entender diagramas como el siguiente:

En el diagrama anterior se debe entender que el número 11 es la entrada, el – (+3) es una operación, y el número 8 aparece en la salida.

Podrán ponerse algunos ejemplos para ilustrar la forma en que se usarán estos diagramas. Es conveniente dejar que los alumnos llenen algunos valores de salida que se dejen en blanco (como en el tercer diagrama que se muestra a continuación).

Después de esta breve explicación, organice al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos y proponga la siguiente actividad:

En cada diagrama, encuentren el valor de entrada (a).

En un primer intento es muy probable que los alumnos traten de encontrar los valores de entrada sustituyendo a por cualquier valor y haciendo las operaciones indicadas para verificar si llegan o no al valor de salida señalado. Podrán intentarlo varias veces hasta encontrar el valor correcto, lo cual, de no correr con suerte, les podría llevar mucho tiempo.

Se espera que a algunos equipos se les ocurra empezar por el valor de salida y aplicar las operaciones inversas. Por ejemplo, para el cuarto diagrama se puede hacer lo siguiente (mentalmente o por escrito):

Propósito Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas diversos. Plantear problemas sencillos que conduzcan a ecuaciones.

Contenidos Solución de ecuaciones de las formas a + x = b,

ax + b = c, donde a, b, c y la incógnita x representan números con signo.

Puede proponer a los alumnos las siguientes actividades:

1. Si en el arreglo de la actividad 3 colocan la ventana I, de la actividad 1, sobre los números 1, 8 y 15, la suma es 24, si la colocan sobre los números 2, 9 y 16, la suma es 27, si la colocan en los números 3, 10 y 17, la suma es 30, etcétera. Si siguen colocando la ventana en el mismo orden, ¿cuál será la suma al colocar la ventana en el número 50? ¿Y si colocan la ventana en el lugar 1007?

2. La expresión algebraica 5x corresponde a una ventana que se colocó sobre el arreglo de la actividad 3. Si x representa uno de los números que se ven en la ventana, ¿cuál es la forma de dicha ventana?

Tema 7: Números con signo

63

Los alumnos presentarán sus ideas y soluciones ante el grupo y discutirán sobre las distintas estrategias usadas. Puede observarse que esta actividad permite repasar las operaciones de números con signo (suma, resta, multiplicación y división), así como practicar el cálculo mental y la idea de operaciones inversas (suma-resta, multiplicación-división).

2. Organice a los alumnos de la misma manera que en la actividad 1 y proponga el siguiente ejercicio:

Traten de escribir los siguientes diagramas como ecuaciones y encuentren el valor de a empleando los diagramas en la forma que ya conocen.

Después de dar el tiempo suficiente y dejar que los alumnos escriban como ecuaciones los diagramas, pase a representantes de los equipos para que:

a) Escriban en el pizarrón sus ecuaciones.

b) Encuentren el valor de la incógnita por dos métodos:

• Con operaciones inversas en el diagrama.

• Resolviendo la ecuación.

Lo interesante de escribir como ecuación lo que está en el diagrama es el uso correcto de la simbología algebraica; por ejemplo, para el primer diagrama, es posible que algún equipo escriba: a + (-3) x (-2) = -7.

Se espera que a través de la discusión los equipos analicen las diferentes maneras de escribir la ecuación que corresponde a cada diagrama. Algunas posibles respuestas correctas son:

[a + (-3) x (-2) = -7

-2 [a + (-3)] = -7

-2 (a -3) = -7

Esta será una excelente oportunidad para repasar el uso de signos de agrupación y la simplificación de ecuaciones.

VARIANTES

BBAALLAANNZZAA YY EECCUUAACCIIOONNEESS

1. Organice al grupo en equipos. Después plantee el problema:

Observen las siguientes balanzas. ¿Cuál es el peso del objeto representado por el rectángulo en cada caso?

Propósito Resolver ecuaciones lineales utilizando procedimientos algebraicos.

Contenidos El modelo de la balanza. Solución de ecuaciones

de la forma ax b= cx+d; ax+bx+d = cx+dx+ƒ.

1. Pida a los alumnos que dada una ecuación elaboren su diagrama correspondiente.

2. Pida que llenen tablas dando valores diferentes de entrada a un diagrama y que grafiquen en un sistema cartesiano los pares de datos (entrada, salida).

Tema 8: Ecuaciones lineales. Introducción a los métodos algebraicos de solución

64

Encontrar el peso del objeto representado por el rectángulo en cada uno de los incisos anteriores es relativamente sencillo y quizá la mayoría de los equipos resuelva ambos problemas mentalmente.

2. Plantee ahora los siguientes problemas. Señale que sólo se permite utilizar pesas de 50, 100, 500 y 1000 g.

¿Cuál es el peso de los rectángulos que se encuentran en las balanzas?

En estos problemas los alumnos, de manera intuitiva, empezarán a operar con las incógnitas, es decir, llevarán a cabo la eliminación de incógnitas en ambos platillos, representadas por los rectángulos.

Para resolver estos problemas algunos alumnos pueden utilizar un modelo de tipo algebraico que puede aprovecharse para

introducir la notación usual del álgebra. Por ejemplo:

Los alumnos pueden proceder de manera similar para resolver el segundo problema. Es importante que usted permita que los alumnos expongan ante el grupo las estrategias que idearon para resolver problemas.

3. Comente a los alumnos que el siguiente problema será resuelto en equipos.

Utilizando sólo pesas de 50, 100 y 500 g. encuentren el valor del trapecio que aparece en la balanza.

Este problema plantea el manejo de dos incógnitas representadas por el rectángulo y el trapecio, de las cuales una (el rectángulo) puede eliminarse. Para resolver el problema los alumnos procederán como en los problemas de la actividad 2, esto es, empleando algún diagrama o alguna representación cercana al lenguaje algebraico.

Comente con el grupo los procedimientos que utilizaron los equipos para resolver el problema, y aproveche para mostrar un procedimiento algebraico relacionado con el modelo de la balanza; por ejemplo:

65

Más adelante los alumnos se darán cuenta de que es posible simplificar el proceso.

VARIANTES

RROOMMPPEECCAABBEEZZAASS

1. Escriba en el pizarrón las siguientes instrucciones. Pida a los alumnos que las lleven a cabo usando un cuarto de cartulina.

Tracen la siguiente figura siguiendo las instrucciones.

a) Tracen un triángulo rectángulo cualquiera.

b) Construyan sobre cada uno de sus lados un cuadrado.

c) Localicen el centro del cuadrado del cateto mayor (llamen A a este punto).

d) Tracen una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A.

e) Tracen una perpendicular a la hipotenusa que también pase por el punto A.

Una vez que tengan la figura completa, recorten los cuadrados de los catetos. Corten el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas. Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor traten de cubrir el cuadrado de la hipotenusa.

• ¿Se pudo formar el cuadrado de la hipotenusa?

• ¿Cuál es la relación entre el área del cuadrado de la hipotenusa y las áreas de los cuadrados de los catetos?

Una vez que tengan su figura armada puede pedir que la coloreen y la peguen en su cuaderno.

Mientras los alumnos trabajan, recorra el salón supervisando a los equipos: observe el uso correcto de los instrumentos geométricos y el seguimiento de las instrucciones. Al finalizar pida que comenten las respuestas de las preguntas. Durante la actividad precise los términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área, paralela, perpendicular, centro de un cuadrado (y cómo encontrarlo), etcétera.

2. Organice a los alumnos en parejas; reparta después en fotocopia la siguiente figura o trácela en el pizarrón y pida a los alumnos que la reproduzcan en un cuarto de cartulina. Explique que por los puntos A, G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triángulo ABC.

Una vez que hayan terminado, recorten todos los triángulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y, a manera de rompecabezas, traten de cubrir el cuadrado de la hipotenusa.

Puede plantear a sus alumnos los siguientes problemas: 1. Consideren que el signo igual (=) corresponde al fiel de la balanza

cuando ésta mantiene el equilibrio, y que las expresiones algebraicas que están a su derecha e izquierda reposan sobre los platillos. En cada caso encuentren el valor que representa la incógnita x.

x + 5 =20 5x + 5 = 4x + 20

2. Encuentren el valor de la incógnita utilizando el modelo de la balanza.

6x + y = 2x + y + 8

Propósito Resolver problemas que conduzcan a calcular el área de las figuras comunes y de otras formadas por su combinación. Iniciarse gradualmente en el razonamiento deductivo en situaciones escogidas por el profesor.

Contenidos Demostración del teorema de Pitágoras por

descomposición y equivalencia de áreas. Material Juego e geometría, un pliego de cartulina y

tijeras.

Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas

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Los alumnos notarán que:

• Se trata de un triángulo rectángulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior).

• Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa.

• En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales (observar cuál).

• Por cada uno de los vértices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior, se traza una paralela a la hipotenusa.

Serán los alumnos quienes tendrán que descubrir en la figura las propiedades arriba mencionadas. Al igual que en la actividad anterior, ésta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geométricos para el trazo de paralelas, perpendiculares, el triángulo rectángulo, los cuadrados, etcétera, así como reafirmar algunas nociones como paralelismo, perpendicular, etcétera.

Plantee preguntas como las siguientes:

• ¿Fue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa?

• ¿El triángulo rectángulo era diferente al de la actividad 1? ¿Son iguales los triángulos que construyeron las distintas parejas?

• ¿Esto se cumplirá en todos los triángulos? ¿Esto se cumplirá en todos los triángulos rectángulos? Como una manera de verificar, puede solicitarse que realicen la actividad anterior con otro triángulo rectángulo.

3. Los alumnos han tenido dos experiencias en las que, por medio de superposición de figuras, han verificado que “la suma de los cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa”. Para esta actividad se sugiere que organice al grupo en equipos de cuatro; reparta la siguiente figura o reprodúzcala en el pizarrón y pida a los alumnos que sigan las instrucciones.

Analicen las siguientes figuras y busquen la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compañeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes, ayudándose con los cuadrados y triángulos rectángulos del material, busquen argumentos para verificar el teorema de Pitágoras por medio de la equivalencia de áreas.

En este caso, para le cuadrado I, el área es: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Para el cuadrado II, el área es:

c² + 4ab = c² + 2ab 2

Y como ambos son iguales: a² + 2ab + b² = c² + 2ab

De donde:

a² + b² = c²

VARIANTES

¿¿CCÓÓMMOO CCOORRTTAARR??

1. Otra actividad consiste en que los alumnos construyan triángulos de medidas dadas (3, 4 y 5; 5, 12 y 13, etcétera), tracen los cuadrados sobre los lados y los cuadriculen para comprobar las relaciones entre las áreas.

2. Se puede hacer la actividad anterior con triángulos rectángulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el área de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo.

Tema 10: Sólidos

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1. Pida a sus alumnos que construyan dos cubos con cartulina y dos con plastilina. En caso de que se les dificulte construir los cubos de plastilina, muestre a los alumnos el procedimiento que se ilustra a continuación.

Una vez que los alumnos hayan elaborado los cubos, dibuje en el pizarrón la siguiente secuencia y plantee el problema:

Con una segueta corten un cubo en dos partes en la dirección que muestra el primer dibujo. Observen que al separar las dos partes en que se ha dividido el cubo, quedan a la vista dos cuadrados.

a) ¿De qué otra forma se puede cortar el cubo de manera que, al separar las dos partes en que queda dividido, las nuevas caras también tengan forma cuadrada? Primero analicen en el cubo hecho de cartulina dónde harían el corte; después háganlo en el cubo de plastilina.

b) ¿Cómo cortarían el cubo de manera que al separar las dos partes las caras tengan forma de rectángulo? ¿Cómo harían el corte de manera que el rectángulo sea el de mayor área?

Al realizar estas actividades los alumnos desarrollarán su imaginación espacial, por lo

que conviene dar un tiempo para que analicen en el cubo hecho en cartulina la manera de realizar el corte.

La primera actividad es relativamente sencilla y con seguridad los alumnos efectuarán cortes como el que se ha ilustrado. En este caso será conveniente que sugiera a los alumnos practicar cortes en otro lugar del cubo.

Una dificultad que puede presentarse en algunos equipos es que no coloquen la segueta de manera perpendicular a la cara por lo que al separar las partes no se verá exactamente un cuadrado. Si esto no ocurre comente con el grupo acerca de la necesidad de colocar perpendicularmente la segueta.

La segunda actividad es más difícil porque los alumnos tendrán que hacer un análisis más cuidadoso para determinar cómo hacer el corte. Un primer procedimiento que los alumnos pueden seguir consiste en realizar un corte al azar y después ajustar poco a poco hasta obtener el rectángulo.

Otros equipos se darán cuenta de que obtienen un rectángulo si la segueta pasa por dos puntos que estén a la misma distancia de uno de los vértices.

Al igual que en el caso del cuadrado, una dificultad que se puede presentar es que, al cortar, la segueta no se coloque perpendicularmente a la cara del cubo. Es conveniente que los alumnos expliquen al grupo cómo procedieron para resolver el problema.

2. Para realizar esta actividad se requieren tres o cuatro cubos de plastilina, uno de cartulina y una segueta. Plantee el siguiente problema:

a) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de manera que al separar las partes, las caras tengan forma de triángulo isósceles?

Propósito Desarrollar la imaginación espacial por medio de la observación de las secciones que se forman al cortar un sólido por un plano (casos sencillos).

Contenidos Actividades para explorar y observar las

secciones que se forman al cortar un cubo o un paralelepípedo recto por un plano.

Material Plastilina, cartulina y una segueta.

68

b) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de manera que al separar las partes, las caras tengan forma de triángulo equilátero?

c) ¿Cómo cortarían el cubo en dos, de manera que al separar las partes, las caras tengan forma de triángulo escaleno?

Tal vez la primera dificultad que los alumnos enfrenten sea la inclinación con la que deben colocar la segueta para hacer el corte. Los estudiantes se darán cuenta de que si colocan la segueta en forma perpendicular con respecto a la cara, al hacer el corte no obtendrán en ningún caso un triángulo. Será necesario que brinde a los alumnos alguna ayuda. Puede plantear, por ejemplo, algunas preguntas: Cuando obtuvieron un cuadrado y un rectángulo, ¿Cuántas caras cortaron? Dado que se quiere ver una cara triangular, ¿cuántas caras será necesario cortar? Si colocan la segueta perpendicularmente, ¿podrán cortar tres caras? ¿Por qué si? ¿Por qué no?

A partir de este tipo de consideraciones, puede pedir a los alumnos que analicen en el cubo de cartulina cómo hacer el corte y que después verifiquen en el cubo de plastilina si su análisis fue correcto o no.

Aunque en la primera pregunta se pide que obtengan triángulos isósceles al cortar el cubo, es posible que los alumnos obtengan otro tipo de triángulos. En cualquier caso se recomienda pedirles que den argumentos para verificar qué tipo de triángulos obtuvieron. Algunos posibles cortes son los siguientes.

Para el triángulo isósceles

Para el triángulo escaleno

Una situación que se puede desprender del problema anterior es la siguiente:

• ¿Dónde y cómo cortar el cubo para obtener el triángulo equilátero de mayor área?

En este caso es necesario que la segueta se incline 45° con respecto a la cara en que se apoya.

Triángulo equilátero

VARIANTES

CCOOSSTTOO DDEE LLOOSS DDIISSCCOOSS CCOOMMPPAACCTTOOSS

1. Inicie la clase viendo el video: Costo de los discos compactos.

Al terminar comente el contenido del video y organice al grupo en equipos de cuatro alumnos. Pídales que resuelvan el primer problema planteado.

Propósito Conocer y acostumbrarse al uso de cantidades absolutas y relativas. Uso de tablas, gráficas y otras formas comunes de organizar y presentar la información.

Contenidos Ejemplos de interpolación gráfica. Material Video 1 de la serie “El mundo de las

matemáticas”, escuadras, dos pliegos de papel bond (para trazar gráficas) y calculadora (opcional).

Puede plantear a los alumnos las siguientes situaciones: 1. ¿Cómo cortarían el cubo en dos de manera que al separar las

partes, las caras tengan forma de trapecio isósceles? 2. Consideren un paralelepípedo recto:

¿Cómo cortarían el paralelepípedo en dos de manera que, al separar las partes, las caras tengan forma de rectángulo?

¿Cómo cortarían el paralelepípedo en dos de manera que, al separar las partes, las caras tengan forma de triángulo?

Tema 11: Uso de tablas, gráficas, porcentajes, promedios y densidades

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Recuérdeles la tabla que se presenta en el video (si no cuenta con el video, presente la siguiente tabla comentando que se trata del reporte de costos de producción de una empresa de discos compactos):

Pida que con estos datos construyan una gráfica en el plano cartesiano y que a partir de la gráfica encuentren el costo de 7 200 discos compactos.

Se pretende que los alumnos empleen las escuadras para trazar la gráfica en papel bond y que después la muestren a sus compañeros. Es importante que sea el equipo que resuelva libremente el problema y el que decida la escala para ambos ejes. Después de un tiempo suficiente, algunos equipos mostrarán su gráfica al grupo y comentarán sobre la escala usada y la manera en que hallaron el costo. Se espera que (tomando en cuenta lo que vieron en el video) la mayoría haya encontrado el resultado. Es probable que algunos sigan el procedimiento correcto pero no lleguen al resultado debido a que su gráfica no esté bien elaborada. Aproveche el momento para hacer notar la importancia de escoger una escala adecuada y de hacer el trabajo con el debido cuidado.

Puede aprovechar la misma gráfica para pedir a los alumnos costos que no están en la tabla, por ejemplo: el costo de 5 500 discos compactos, de 8 000, 12 000, 14 500, etcétera.

Una gráfica que algunos equipos pueden hacer es la siguiente: *

* En estas gráficas, así como en otras que aparecen en el fichero, se han unido los puntos mediante una recta para facilitar la interpolación gráfica; sin embargo, las gráficas no son propiamente rectas ya que, por ejemplo, no tiene sentido hablar de 8.3 discos compactos.

El costo de los 7 200 se puede investigar mediante interpolación gráfica, que consiste en localizar en el eje correspondiente el 7 200 y trazar una perpendicular a este eje. Desde el punto de intersección de esta perpendicular con la gráfica, se traza otra perpendicular al eje donde están determinados los costos, de manera que el pie de esta última perpendicular es el dato buscado.

2. Organizados nuevamente en equipos pida a los alumnos que den solución al segundo problema planteado en el video.

Si cada disco compacto va a venderse a 20 dólares, ¿Cuántos discos compactos necesita vender la compañía para cubrir sus gastos?

Deje en completa libertad a los alumnos para que busquen la solución. Es posible que algunos utilicen una tabla para comparar los gastos de producción con las ventas (utilizando la tabla que ya se tiene de la actividad 1); por ejemplo:

Gracias a la tabla podrán observar que el resultado está entre 10 000 y 15 000 (vendiendo sólo 10 000 todavía tendrán pérdidas, con 15 000 ya que tendrían

70

ganancias). Los alumnos deben tener claro que el número de discos que están buscando es aquel donde el costo de producción es igual a lo ganado en las ventas.

La tabla no permite conocer el resultado exacto. Una forma de buscar la solución es trazando la gráfica correspondiente a las ventas sobre la de costos de producción (de la actividad 1) y encontrar el punto en que se cortan. Si los alumnos deciden hacer esto deben tener presente la importancia de una gráfica precisa.

Trazando una perpendicular desde el punto donde los costos y las ventas se cortan hasta el eje que indica el número de discos, se encuentra la solución (13 000).

Es probable que algunos alumnos se den cuenta de que la solución se encuentra en recuperar los $104 000 de inversión inicial y que, sabiendo que por cada disco:

Costo de venta – costo de producción = $8

Lo que tienen que encontrar es el número de discos que requieren vender para alcanzar la inversión inicial, es decir, cuántas veces cabe $8 en $104 000. Esto es:

104 000 = 13 000

8

Habrán encontrado así la respuesta correcta.

Tanto la actividad 1 como la 2 permiten al alumno practicar el manejo de tablas y gráficas, así como la presentación de datos y

la búsqueda de información para resolver un problema.

VARIANTES

¡¡AATTÍÍNNAALLEE!!

1. Organice al grupo en equipos de cuatro o cinco alumnos. A continuación explique:

Llenen la cubeta con agua hasta el borde y coloquen el vaso dentro de la cubeta, en la parte central, como se muestra.

a) Desde una posición vertical respecto al nivel del agua, y con la punta hacia abajo. Tiren una aguja cada vez. Deben tirar las agujas siempre desde la misma posición, sin que toquen el agua antes de ser soltadas.

b) Antes de llevar a cabo el experimento hagan una predicción sobre el número de agujas que caerán dentro y fuera del vaso.

Propósito Explorar la noción frecuencial de la probabilidad.

Contenidos Situaciones que favorezcan el registro y el tratamiento de experimentos aleatorios. Ejemplos para ilustrar el uso de la probabilidad frecuencial.

Material Un recipiente (cubeta) con capacidad entre 15 y

20 litros.

1. Otra pregunta interesante relacionada con el trabajo de estas gráficas es pedir a los alumnos que obtengan el porcentaje de ganancias en relación con los costos de producción. Por ejemplo: ¿Cuál es el porcentaje de ganancias en la venta de 15 000 discos? ¿Y en la de 20 000? Etcétera.

2. Pueden plantearse otras preguntas a los alumnos como: ¿Cuántos discos necesita vender la fábrica para obtener una ganancia mayor a cierta cantidad ($10 000, $20 000, etcétera)?

3. Cuando se estudie el tema 14 (Sistemas de ecuaciones lineales) podría retomar este problema y analizar como puede resolverse algebraicamente.

Tema 12: Noción frecuencial y noción clásica de la probabilidad

71

c) Realicen el experimento. A partir de la información obtenida hagan una nueva predicción sobre el número de agujas que caerán dentro y fuera del vaso al tirar de nuevo las 50 agujas.

d) Realicen otras ocho veces la experiencia. En una tabla anoten el número de agujas que cayeron dentro y fuera del vaso. En cada ocasión prevean cuántas agujas caerán dentro y fuera del vaso.

e) A partir de la información registrada, contesten las siguientes preguntas:

• Si tiran 100 agujas dentro de la cubeta, ¿cuántas caerán dentro del vaso y cuántas fuera?

• ¿Y si tiran 150, 200, 300, 500, 1 000, 2 000, 3 000, 5 000… agujas?

Algunos alumnos creerán que al tirar agujas todas entrarán en el vaso, sin embargo, al realizar la experiencia, se darán cuenta de que no es así.

En otros equipos creerán que el hecho de que la aguja caiga dentro del vaso tiene que ver con el lugar y la habilidad para tirarla. Por esta razón, para que los alumnos observen que la habilidad no interviene, recuérdeles que siempre deben tirar las agujas desde el mismo lugar y colocándolas en la misma posición.

Después de realizar la experiencia varias veces, los alumnos se irán dando cuenta de que se puede observar una cierta regularidad, es decir, siempre que se tiran las 50 agujas, aproximadamente la misma cantidad de éstas cae dentro del vaso y la diferencia cae fuera. Esta situación les permitirá afinar sus predicciones.

En cuanto a las últimas preguntas, algunos equipos notarán que los registros de la tabla les permiten responder para 100, 150, 500 o más agujas.

A partir de la situación anterior muestre a los alumnos la forma de obtener la probabilidad de un evento a partir del modelo frecuencial. Explique que la probabilidad de un evento se obtiene de la siguiente forma:

VARIANTES

AADDIIVVIINNAA EELL PPUUNNTTOO

1. En el juego del náufrago, un alumno elige un punto en el plano cartesiano para ubicar al otro náufrago y trata de adivinar las coordenadas hasta que lo encuentra.

Formen parejas. Cada uno trace en su cuaderno dos ejes de coordenadas como las siguientes:

Propósito Familiarizarse con los diversos medios de expresión matemática (la escritura simbólica, las tablas y las gráficas) y utilizarlos en la solución de problemas.

Contenidos Representación en el plano cartesiano de

regiones y conjuntos de puntos que satisfacen condiciones algebraicas sencillas.

Material Escuadras para trazar ejes coordenados.

Cada situación se realiza al menos ocho veces, de manera que los alumnos pueden determinar de manera confiable la probabilidad de que una aguja caiga dentro del vaso, según las especificaciones que se dan a continuación. 1. Tiren 50 agujas, cada aguja se tira como se indicó en la actividad

1, pero ahora entra primero al agua el ojo de la aguja. Al igual que en la actividad 1 hagan un registro que les permita hacer predicciones. Finalmente establezcan la probabilidad de que una aguja que es tirada bajo estas condiciones caiga dentro del vaso.

2. Cambien el vaso por otro cuyo diámetro sea mayor al que se utilizó en la actividad 1 y realicen el mismo tipo de actividades.

3. Con la cubeta y el vaso utilizados en la actividad 1 realicen las mismas actividades, pero en esta ocasión disuelvan en el agua, previamente, medio kilo de sal.

Nota: Es conveniente solicitar a los alumnos que comenten con el profesor de física las razones que existen para que al tirar las agujas en el agua, éstas se desvían de la vertical al ir cayendo.

Tema 13: Actividades en el plano cartesiano

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Uno de ustedes, sin que su compañero vea, elija en el plano un punto cuyas coordenadas sean números enteros. Su compañero deberá encontrar el punto planteando el menor número de preguntas posible, que puedan responderse con un sí o un no. Una vez que encontró el punto. Intercambien los papeles. Gana el juego quien haya utilizado menos preguntas para encontrar el punto del compañero.

(Preguntas como: “¿es el punto (4, 3)?”, sí se contabilizan.

Se sugiere que el juego se lleve a cabo varias veces con el propósito de que el alumno construya estrategias y descubra las preguntas que permiten descartar el mayor número de puntos. Finalmente pida que hagan comentarios sobre las estrategias que utilizaron.

2. Esta actividad se trabajará con todo el grupo. Cada alumno trazará en su cuaderno dos ejes de coordenadas como los de la actividad 1 y usted hará lo mismo en el pizarrón. Pase al frente a un alumno y éste, sin que nadie lo vea, debe elegir en el plano de su cuaderno un punto cualquiera cuyas coordenadas sean números enteros.

Pida a los demás alumnos que, en forma voluntaria, hagan las preguntas que quieran (siempre y cuando den lugar a las respuestas si o no). El compañero que esté al frente contestará. Nuevamente se trata de encontrar el punto con el menor número de preguntas. Algunas preguntas que pueden surgir son:

¿Es el punto (4,3)? ¿La ordenada es mayor que 5?

¿Está en el primer cuadrante?

¿La abscisa es positiva?

¿La abscisa es impar?

¿El punto está en uno de los ejes?

Se recomienda que si los alumnos se refieren a las coordenadas como el primer número o el segundo número, usted repita las preguntas que hicieron diciendo la abscisa o la x, la ordenada o la y. Las preguntas se irán anotando en el pizarrón con sus respectivas respuestas y usted localizará en el plano cartesiano los puntos que satisfagan las preguntas y las respuestas. Cada alumno irá haciendo lo mismo en el plano que trazó en su cuaderno.

Ejemplo:

a) ¿La abscisa es positiva?

Si la respuesta es sí, entonces el punto está en el semiplano derecho (se marca de alguna forma la región donde no está).

b) ¿La ordenada es positiva?

Si la respuesta es no, se tacha entonces la región en la que el punto no puede estar.

c) ¿La abscisa es par?

Si el alumno contesta que sí, entonces el punto se encuentra sobre una de las siguientes rectas punteadas:

73

Y así sucesivamente se eliminan puntos hasta llegar a las coordenadas que se buscan.

Como puede notarse, la idea es que el alumno identifique puntos que cumplan con una característica (la enunciada en cada pregunta). La primera vez usted puede localizar esos puntos, pero es recomendable que después sea un alumno quien lo haga. La actividad puede repetirse las veces que considere conveniente.

3. Explique a los alumnos que van a continuar el juego pero ahora tratando de localizar un conjunto de varios puntos que cumplen con una condición.

Escriba un mensaje en el pizarrón en el que aparezcan las pistas necesarias para que los alumnos encuentren los puntos que buscan.

Puede escribir, por ejemplo, el siguiente mensaje:

El problema para los alumnos será localizar los puntos que cumplen con esas características.

En este caso se tiene:

Los puntos pueden ser:

(-3, 3), (-6, 6), (-9, 9)…

Después pida a los alumnos (organizados por parejas) que sean ellos mismos quienes elaboren mensajes, utilizando el menor número de palabras y sin escribir directamente las coordenadas, para que su compañero localice un punto.

VARIANTES

¿¿CCUUÁÁNNTTOO PPEESSAA UUNNAA MMAANNZZAANNAA??

1. Plantee el siguiente problema y proponga a los alumnos que lo resuelvan por parejas.

El peso de una manzana es igual al peso de una naranja más 100 gramos. El peso de dos manzanas es igual al peso de tres naranjas más 100 gramos. ¿Cuántos gramos pesa una manzana y cuántos pesa una naranja?

Pida a los alumnos que busquen una manera de resolver el siguiente problema. Cuando termine la mayoría, pídales que expliquen sus procedimientos. En caso de que no usen el modelo de la balanza, proponga lo siguiente:

Suponiendo que todas las manzanas tienen el mismo peso, y que sucede lo mismo con todas las naranjas entre sí, ¿Cuánto pesa cada manzana y cada naranja?

Propósito Plantear problemas sencillos que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos utilizando procedimientos algebraicos (sólo por sustitución en el caso de sistemas de ecuaciones lineales).

Contenidos Problemas que conducen a sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas.

1. Puede utilizarse un plano cartesiano de 10 x 10, o bien pueden emplearse coordenadas fraccionarias o decimales y realizar el mismo tipo de actividades.

2. Otra variante es que, en vez de punto, un alumno elija una recta, un semiplano, una franja, etcétera, y que los demás, mediante preguntas, traten de encontrar la recta, semiplano o franja que el alumno haya elegido.

Tema 14: Sistemas de ecuaciones lineales; problemas y método de

sustitución

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Dé tiempo suficiente para que las parejas encuentren la solución al problema. Después pida a algunos alumnos que pasen a explicar ante el grupo el procedimiento que usaron. Es muy probable que los alumnos hayan deducido que si una manzana pesa lo mismo que una naranja más 100 g (balanza 1), este valor puede trasladarse a la balanza para sustituir dos manzanas.

Enseguida pueden retirar pesos iguales en ambos platillos de la balanza, de tal manera que la balanza quede así:

Por lo que el peso de cada naranja es igual a 100 g.

Se sabe (balanza 1) que el peso de la manzana es igual al peso de la naranja más 100 g, de ahí se concluye qué el peso de cada manzana es de 200 g. Lo que se ha hecho (sin evidenciarlo) es resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere que una vez que varias parejas hayan pasado al frente a explicar la forma en que calcularon los pesos, escriba algebraicamente la analogía entre lo que se hizo en la balanza y la resolución de un sistema de ecuaciones, repasando los contenidos y propiedades que surjan en el transcurso de la actividad. Para este caso podemos convenir:

a � peso de una manzana

b � peso de una naranja

Simbolizando algebraicamente lo que se tiene en cada balanza se llega al sistema de ecuaciones:

Balanza 1: a = b + 100

Balanza 2: 2a = 3b + 100

Y simplificando esta última ecuación se obtiene el valor de b: 100 = b

El peso de una manzana (valor de a) se obtiene sustituyendo en la primera ecuación del sistema (a = b + 100) el valor de b.

a = b + 100

a = 100 + 100

a = 200

Los alumnos comprobarán que se obtiene el mismo resultado que ellos habían encontrado.

2. Nuevamente organice a los alumnos por parejas y plantee el siguiente problema:

Tres manzanas más dos naranjas más 100 gramos pesan lo mismo que cinco manzanas. Por otro lado, dos manzanas más tres naranjas pesan lo mismo que cuatro naranjas más 250 gramos ¿Cuántos gramos pesa una manzana y cuántos una naranja?

Nuevamente deje en libertad a los alumnos para que resuelvan el problema. Una vez que encuentren algún resultado, proponga que utilicen el modelo de la balanza como se explica a continuación.

¿Cuánto pesa cada manzana y cada naranja, suponiendo que todas las naranjas tienen un mismo peso entre sí y las manzanas también?

Los alumnos han trabajado ya el modelo de la balanza y es probable que para resolver el problema formulen las ecuaciones, aunque quizás tengan dificultades para resolverlas. Si después de un tiempo razonable los alumnos no saben qué hacer, sugiérales que primero simplifiquen cada balanza.

75

Después de simplificar las dos balanzas usted puede preguntar: ¿cómo podríamos representar en una sola balanza lo que hay en las dos anteriores?

Se espera que los alumnos infieran la siguiente representación:

Lo que resta es simplificar esta última balanza para encontrar el peso de una naranja. Podemos cambiar la pesa de 250 g por dos de 100 g y una de 50 g.

El peso de una naranja = 150 g.

Para calcular el peso de una manzana se deben sustituir las naranjas por su peso equivalente en gramos en cualquiera de las balanzas que tengan naranjas y manzanas. Por ejemplo:

Dos manzanas pesan 400 g, entonces:

El peso de una manzana = 200 g

Es conveniente que nuevamente se haga la analogía de lo que se hizo en la balanza con el lenguaje algebraico; por ejemplo: x � peso de una manzana, y � peso de una naranja

1) Se tiene: Balanza 1. 3x + 2y + 100 = 5x

Balanza 2. 2x + 3y = 4y + 250

2) Simplificando las ecuaciones se obtiene:

2y + 100 = 2x……(1)

2x = y + 250 …….(2)

3) Sustituyendo en la ecuación 2 el valor de 2 x que se obtuvo en la ecuación 1, se obtiene:

2y + 100 = y + 250

4) Restando y en ambos miembros de la ecuación anterior, se obtiene: y + 100 = 250

5) Y de ahí: y = 150

6) Para encontrar el valor de x, se sustituye el valor de y en la ecuación 2 que, al ser resuelta como se indica, de cómo resultado x = 200.

y = 150

2x = y + 250

2x = 150 + 250

2x = 400

X = 200

7) La naranja pesa 150 g y la manzana 200 g. Pida a los alumnos que comprueben estos valores en las balanzas originales.

VARIANTE

GGEEOOMMEETTRRÍÍAA YY AAZZUULLEEJJOOSS

Propósito Practicar el dibujo y los trazos geométricos.

Contenidos Recubrimiento del plano con polígonos regulares e irregulares.

Material Juego de geometría, hojas blancas, cartulina,

colores y tijeras.

Una vez que hayan trabajado con el modelo de la balanza, plantee problemas a los alumnos y pídales que traten de resolverlos trabajando algebraicamente los sistemas de ecuaciones que resulten de los problemas.

Tema 15: Ángulos entre paralelas

76

1. Inicie la clase con el siguiente relato:

A un fabricante se le ocurrió producir azulejos en forma de pentágonos regulares.

Una persona que visitó su establecimiento vio esos azulejos y le gustaron mucho. Compró los suficientes para cubrir las paredes de su baño, sin embargo, a pesar de que los azulejos eran de excelente calidad, regresó con el fabricante sumamente molesto y le dijo que sus azulejos no servían. El fabricante sorprendido le preguntó por qué.

Deje abierta la pregunta para que, en una lluvia de ideas, los alumnos digan los posibles motivos por los que los azulejos en forma de pentágono regular no sirvieron. Se espera que lleguen a la conclusión de que los pentágonos regulares, puestos uno al lado de otro, no permiten cubrir totalmente un plano. Se recomienda que hagan un pentágono regular en cartulina y que lo utilicen como plantilla para calcar varios pentágonos. Pídales que con los pentágonos traten de cubrir totalmente un plano y que ellos mismos vean lo que sucede.

Puede plantearles una nueva pregunta: ¿Qué tiene que hacer el fabricante para que su producción de azulejos pentagonales pueda utilizarse para cubrir paredes?

Mirando las figuras que formaron, los alumnos notarán que se requiere fabricar rombos o alguna otra figura para cubrir los huecos que dejan los pentágonos, por ejemplo:

2. Para esta actividad organice a losa

alumnos en equipos de cuatro y plantee el siguiente problema:

Busquen polígonos regulares que puedan servir como moldes para fabricar azulejos que cubran totalmente una superficie, bajo las siguientes condiciones:

a) Sólo se permiten figuras del mismo tipo.

b) Se permiten figuras de varios tipos.

En cada caso hagan dibujos que muestren cómo cubrieron la superficie.

Contesten las preguntas:

• ¿Qué característica común tienen los polígonos que dan solución al inciso a)?

• ¿Qué característica común tienen los polígonos que no dan solución al inciso a)?

Se sugiere que por equipos utilicen su juego de geometría para trazar polígonos regulares en cartulina y usarlos como plantillas. De esta manera los alumnos seguirán practicando el trazo de figuras con sus instrumentos geométricos.

Después de un tiempo suficiente, un representante de cada equipo pasará a mostrar las figuras que dan la respuesta a los incisos a) y b). Los equipos encontrarán, después de explorar las posibilidades, que el inciso a) sólo tiene solución para tres figuras regulares: hexágono, cuadrado y triángulo equilátero.

El inciso b) admite varias soluciones diferentes. A continuación se muestran algunos ejemplos de combinaciones que pudieran ser halladas por los equipos.

77

El análisis está determinado por la respuesta a las preguntas. Los alumnos tratarán de descubrir la característica común entre los hexágonos regulares, los cuadrados y los triángulos equiláteros. Es probable que al menos un equipo se dé cuenta de que la medida de un ángulo interno en cualquiera de estos tres polígonos regulares es un divisor de 360º, mientras que los demás polígonos regulares no cumplen con esta condición y, por lo tanto, no cubren el plano totalmente por sí solos.

Para cerrar esta actividad puede pedir a los alumnos que, individualmente, realicen un teselado* en una hoja blanca tamaño carta y lo coloreen a su gusto.

3. Pida a los alumnos que de manera individual encuentren diferentes figuras que no sean polígonos regulares y que cubran totalmente el plano. Pídales que realicen la siguiente actividad:

Hagan un teselado con algunas de las figuras encontradas para este problema y coloréenlo a su gusto.

Lo ideal es dejar que sean los alumnos, motivándolos a que sean originales, quienes en completa libertad encuentren sus teselados, de esta manera se darán cuenta de que se puede teselar con cualquier tipo de triángulo y cualquier cuadrilátero.

VARIANTES

* Teselado: Del latín tessellatus, nombre que daban los antiguos romanos a los azulejos que usaban para cubrir sus pavimentos y muros. Un teselado se hace repitiendo la misma forma una y otra vez.

CCIIRRCCUULLAANNDDOO

1. Después de organizar al grupo en parejas, pida a los alumnos que tracen un cuadrado de 10 cm. x 10 cm. y plantee el siguiente problema:

Juan y Pedro sostienen por sus extremos una varilla. Del punto medio de la varilla cuelga un cordel, en cuyo extremo hay un metal con punta. Los dos niños caminan sobre el perímetro de un cuadrado. Al caminar, la punta del metal va dejando una huella.

¿Qué forma tiene la huella cuando los niños recorren todo el perímetro?

Propósito Explorar algunas propiedades del círculo. Determinar la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Contenidos Determinación de un círculo por su centro y su

radio. Posiciones relativas de un círculo y una recta: cuerdas, tangente exterior al círculo.

Material Juego de geometría.

1. Se sugiere platicar a los alumnos sobre Maurits Cornelius Escher (artista gráfico holandés) y de ser posible mostrar algunos de sus trabajos, como el que se muestra a la derecha.

2. A continuación se explica una técnica que permite encontrar figuras totalmente irregulares que teselan el plano. Decida si es conveniente darla a conocer a los alumnos para que encuentren otros teselados como los de Escher.

Se empieza con un polígono regular (hexágono, cuadrado o triángulo equilátero). Se quita un pedazo de uno de sus lados y se añade al lado opuesto; la acción se repite cuantas veces se quiera, de esta forma se obtiene una figura que también tesela el plano. La figura puede convertirse en el dibujo de un objeto, persona o animal.

Tema 16: Primeras exploraciones en el círculo

78

Algunos alumnos creerán que la forma de la huella es un cuadrado; otros considerarán que se forman un octágono. Otros alumnos pueden plantear por ejemplo, que dentro del cuadrado se forma una línea cuya curvatura está dirigida hacia el vértice del cuadrado.

En estos casos habrá que sugerir a los alumnos que modelen la situación en el cuadrado que trazaron. Pida que utilicen la orilla de una tarjeta que mida, por ejemplo, 6 cm., en vez de la varilla. Sugiera que coloquen la orilla de la tarjeta en diferentes posiciones, siempre haciendo coincidir los dos extremos con los lados del cuadrado. Pídales que marquen los puntos que coinciden con el punto medio de la orilla.

Es conveniente que usted propicie que diferentes equipos expliquen a sus compañeros lo que hicieron para verificar sus conjeturas.

Seguramente algunos equipos hallarán que la figura que se forma es como la que se muestra a continuación:

2. Organice en parejas a los alumnos y con base en la figura trazada en la actividad 1 plantee las siguientes preguntas:

a) Si se 6

Después de haber realizado la primera actividad, los alumnos no tendrán dificultades para responder a las preguntas a) y b), es decir, contestarán que el centro de los círculos se encuentra en los vértices del cuadrado y que el radio es igual a la mitad de la longitud de la varilla.

La pregunta c) llevará a los alumnos a probar con distintas medidas (que dependerá del lado del cuadrado que propongan). De esta manera encontrarán que la medida de la varilla tiene que ser igual a la medida del lado del cuadrado.

3. Organice a los alumnos en parejas. Pídales que hagan un círculo de 5 cm. de radio y después plantee la siguiente situación:

Supongan que sobre la circunferencia caminan dos alumnos que sujetan por sus extremos un instrumento como el de la actividad 1.

a) ¿Qué figura geométrica describirá la punta del metal cuando los niños hayan recorrido toda la circunferencia?

b) Indiquen el punto que es centro de la figura que describe la punta del metal.

Es conveniente que propicie que los alumnos comenten la manera que siguieron para darse cuenta de que la forma de la huella es una circunferencia. Si algunos alumnos tuvieran dificultades, puede sugerirles que modelen la situación de forma similar a la actividad 1; en este caso encontrarán que se forma una circunferencia y que su centro es el mismo que el de la circunferencia original.

4. Comente a los alumnos que van a seguir trabajando en parejas. Después plantee la siguiente situación:

Observen los siguientes círculos. El círculo menor es la huella que dejó el punto medio de una varilla que dos niños sostenían por sus extremos al ir caminando por la circunferencia del círculo mayor.

Tracen un segmento que tenga la misma longitud que la varilla que utilizaron los niños.

Trazar un segmento que tenga la misma longitud que la varilla que utilizaron los niños es el problema inverso a los que se plantearon en las actividades 1 y 3. Quizás algunos alumnos en un primer momento apliquen alguna estrategia de ensayo y error; probablemente tracen algunas cuerdas del círculo mayor cuyo punto medio más o menos

79

toque al círculo menor, y después tracen un segmento que mida lo mismo que alguna de esas cuerdas. Otros alumnos pueden considerar un punto cualquiera del círculo menor y, como saben que es el punto medio de un segmento, unan este punto con otro del círculo mayor y después tracen el doble de ese segmento.

Es difícil que los alumnos tracen el segmento requerido, sin embargo, a partir de los procedimientos utilizados, usted puede proponer algunas preguntas que lleven a considerar las características que tiene el segmento que se quiere trazar; por ejemplo, ¿puede ser que dos puntos del segmento toquen a la circunferencia menor?; ¿puede ser que los segmentos sean de diferente tamaño?, ¿por qué si? ¿por qué no?, etcétera. Como se observa, el problema se resuelve a partir de trazar tangentes a la circunferencia menor.

VARIANTES

EEXXPPEERRIIMMEENNTTOOSS

1. Organice al grupo en equipos y dé las instrucciones para llevar a cabo los siguientes experimentos.

Llenen el recipiente 2 con agua (o bien arena cernida o sal refinada) y vacíen el contenido en el recipiente 1. Midan la altura.

Recipiente 1

Vuelva a llenar el recipiente 2 y vacíen su contenido en el recipiente 1. Nuevamente midan la altura alcanzada.

Repitan el procedimiento cinco o seis veces y anoten las mediciones en la siguiente tabla. Empiecen con capacidad 0.

Grafiquen los valores obtenidos.

Pida a los alumnos que contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué tipo de relación existe entre h y c?

b) ¿Cómo es la gráfica que se obtuvo?

c) ¿Cuál es la relación matemática entre h y c?

Es necesario hacer notar que probablemente habrá errores de medición en las alturas que se vayan obteniendo. Mientras los alumnos trabajan es importante que usted supervise; en caso de que note errores (los podrá vislumbrar si observa que los datos que anotaron en la tabla no van en proporción directa), pídales que realicen nuevamente la medición, recordándoles que la lectura de la regla debe hacerse siempre desde la misma posición (para evitar lo que se llama error de paralaje) y que el recipiente 2 debe llenarse siempre con el mismo criterio.

Propósito Familiarizarse con diversos medios de expresión matemática: la escritura simbólica, las tablas y las gráficas, y utilizarlos en la solución de problemas.

Contenidos Por equipo: Un recipiente cilíndrico transparente (es

importante que sea exactamente un cilindro recto). Le llamaremos recipiente 1.

Un recipiente que tenga aproximadamente una quinta o sexta parte del volumen del recipiente 1 y cuya capacidad se conozca (250 ml, 200 ml, 100 ml, etcétera.). Le llamaremos recipiente 2. Un envase de leche (de cartón). Un clavo grueso. Una regla graduada. Agua (puede ser sustituida por arena cernida o sal refinada).

Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas: 1. Si la varilla que sostienen Pedro y Juan, como en la actividad 1,

mide 2 m de largo, y el cuadrado sobre el que caminan mide 5 m de lado, calculen el área y el perímetro de la figura que se forma en el cuadrado.

2. En el caso del problema 3 ¿qué describirá el punto medio si la varilla mide 10 cm.?

Tema 17: Tablas y gráficas de variación. Funciones

80

Como los alumnos tienen ya algunas experiencias con proporcionalidad se espera que su respuesta a la pregunta a) sea precisamente que entre h y c hay una relación de proporción directa, sin embargo, son válidas respuestas como: cuando c se duplica h también se duplica, o bien, c aumenta siempre en la misma cantidad y h también se comporta igual, o algunas similares.

La respuesta a la pregunta b) es: una línea recta que pasa por el origen. Puede aprovechar esta situación para recordar a sus alumnos que la gráfica de una relación de proporcionalidad directa siempre da lugar a una línea recta que pasa por el origen.

La respuesta a la pregunta c) es, quizás, la más compleja, pues el alumno debe pasar de la tabla y la gráfica a la expresión algebraica. Además, como cada equipo ha llevado un recipiente de diferente capacidad (es decir, tienen valores diferentes para c y por consiguiente para h) la discusión de la respuesta a esta pregunta dará lugar a interesantes comentarios dentro de la clase.

Supongamos que un equipo tiene en su tabla los siguientes datos:

Para ayudar a encontrar la expresión algebraica, podrá sugerir a los alumnos que, por ejemplo, dividan c/h (excepto en h = 0) y observen qué sucede. La expresión algebraica podrá ser dada como: c/h = 250 , c = 250 h, o bien h = c / 250.

La discusión a nivel grupal sobre el trabajo hecho en cada equipo será conveniente para establecer las conclusiones generales.

2. Organizados en equipos, proponga a sus alumnos la siguiente actividad.

• Hagan un orificio con el clavo (de dentro hacia fuera) en la base del envase de leche.

• Llenen el envase de leche con agua (o arena cernida o sal refinada) tapando el orificio hecho.

• Dejen que el agua salga por el orificio y midan el tiempo (t) necesario para que el recipiente se vacíe.

• Con el mismo clavo hagan otro orificio. Vuelvan a llenar el envase (a la misma altura que en el paso 2) y midan el tiempo que tarda en vaciarse el recipiente por los dos orificios.

• Repitan el experimento haciendo que el envase se vacíe por tres, cuatro y cinco orificios respectivamente.

Con los datos obtenidos llenen la siguiente tabla, donde A es el área total por donde escurre el agua, a es el área de cada orificio y t es el tiempo (en segundos) que tarda en vaciarse el envase.

Hagan la gráfica correspondiente:

Con base en lo observado y registrado, contesten:

a) ¿Qué tipo de relación existe entre A y t?

b) ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?

c) ¿Cuánto tardaría el contenido en vaciarse para 4.5 a?

d) ¿Cuál es la expresión matemática que relaciona A con t?

81

Las consideraciones para la supervisión y detección de errores son las mismas que para la actividad 1; en este caso, el error puede estar en la medición del tiempo, lo que dependerá de la persona que la haga (se recomienda que sea siempre el mismo alumno en cada equipo). Usted notará que en esta actividad se obtiene un ejemplo de proporción inversa, por lo que la gráfica corresponde a una rama de una hipérbola. Lógicamente los alumnos no sabrán el nombre y lo más probable es que la llamen simplemente curva (usted puede introducir el término hipérbola, y sus características, si lo consideran pertinente).

La respuesta a la pregunta c) es un repaso de la interpolación gráfica que los alumnos ya estudiaron en el tema 11. Finalmente, en la respuesta a la pregunta d), los alumnos tratarán de encontrar una expresión algebraica que relacione A con t. Podrá sugerir a los alumnos que observen los productos At para cada caso. Cuando los equipos hayan terminado se llevará a cabo una discusión en el grupo para establecer conclusiones sobre la variación proporcional directa e inversa.

VARIANTES

JJUUEEGGOOSS CCOONN DDAADDOOSS

1. Organice al grupo en parejas y pídales que hagan el siguiente material:

En seis tarjetas, escriban los polinomios:

Volteen las tarjetas y numérenlas al azar del 1 al 6.

Con tres dados y estas tarjetas, puestas con el número hacia arriba, realizarán el siguiente juego.

Por turno cada alumno:

a) Lanza un dado y, según el número que marque, toma la tarjeta correspondiente y la voltea para ver el polinomio que le tocó.

b) Después lanza los tres dados al mismo tiempo y elige cual número (de los que marcan los dados) será el valor de a, cuál de b y cuál de c.

c) Con estos valores evalúa el polinomio que tiene en la tarjeta, cuyo resultado serán los puntos que se anotará en la jugada. Se sugiere llevar la anotación de puntos en una hoja con dos columnas, cada una encabezada con el nombre del alumno correspondiente.

d) Ganará el juego quien después de 10 tiradas haya acumulado más puntos.

Mientras juegan las parejas observe la actividad. En caso necesario reafirme lo que significa evaluar el polinomio. Promueva preferentemente el cálculo mental, pero si el alumno lo desea podrá hacer uso de lápiz y papel o, inclusive, calculadora. Es probable que al inicio algunos alumnos elijan sin pensar los valores de a, b, y c. por ejemplo:

Un alumno obtiene en los dados 1, 2 y 4, respectivamente, y tiene que evaluar el polinomio de la tarjeta 5. Elige: a = 1

b = 2

c = 4

Propósito Familiarizarse con los diversos medios de expresión matemática: la escritura simbólica, las tablas y las gráficas, y utilizarlos en la solución de problemas.

Contenido Evaluación de un polinomio para valores dados

de la variable. Construcción de una tabla de valores de un polinomio (uso de la calculadora). Primeras operaciones con polinomios.

Material Tres dados, 12 tarjetas (seis para la actividad 1

y seis para la actividad 2), papel, lápiz y calculadora (opcional).

Pueden planearse otros experimentos en los que se aprecie si existe o no proporción, y si es inversa o directa. Por ejemplo: 1. ¿Qué sucede si se vacía un envase a través de un círculo al cual

se va aumentando la medida del radio? 2. ¿Qué sucedería en la actividad 1 si en vez de un cilindro recto se

emplea un cono recto invertido?

Tema 18: Polinomios en una variable

82

Entonces obtiene:

¡Con lo cual obtendría un puntaje negativo!

Sin embargo, después de algunas tiradas, se darán cuenta de que conviene detenerse un poco a elegir los valores que los hagan obtener el mayor puntaje posible. Para el ejemplo antes citado, al alumno le convendría tomar el 4 como el valor de a.

Este juego permite desarrollar el cálculo mental, las operaciones con enteros y la evaluación de polinomios.

2. Pida a los alumnos que preparen el siguiente material con las otras seis tarjetas:

En seis tarjetas escriban los polinomios:

Volteen las tarjetas y numérenlas al azar del 1 al 6.

Con los tres dados y este juego de tarjetas, colocadas con el dígito hacia arriba, los alumnos realizarán el siguiente juego.

Por turno, cada alumno:

a) Lanza los tres dados y de los tres números indicados elige uno para que sea el valor de a.

b) Los dos números restantes corresponderán a dos tarjetas que tomará. Sumará los dos polinomios correspondientes.

c) Una vez sumados los polinomios evaluará el polinomio resultante para el valor de a que eligió.

d) El resultado serán los puntos que se anote a su favor.

e) Gana el juego quien después de 10 tiradas haya acumulado más puntos.

Al igual que en la actividad anterior, supervise el trabajo de las parejas y, en caso necesario, disipe dudas sobre la suma y evaluación de polinomios. Los alumnos podrán usar papel y lápiz, o bien calculadora, para hacer sus operaciones.

Este juego permitirá a los alumnos reafirmar la suma y evaluación de polinomios, el cálculo mental y el uso de la calculadora.

3. Organice a los alumnos en parejas y explíqueles que van a realizar el mismo juego de la actividad 1 pero con dos variantes:

a) En vez de usar tres dados del mismo color para los valores de a, b y c, ahora usarán dos dados de un cierto color y uno blanco. Los valores que marquen los dados de color serán considerados como números negativos.

b) En vez de que gane el que acumule más puntos, ahora ganará el que al final tenga el número menor; este número puede ser un número negativo.

Se pretende que los alumnos evalúen polinomios con valores negativos para las variables y que además observen cómo se comportan los números negativos al elevar al cubo, al cuadrado, al multiplicar dos números negativos, etcétera, y de esta manera encuentren estrategias que les permitan ganar el juego.

VARIANTES

1. Los polinomios escritos en las tarjetas pueden variar en complejidad. Usted podrá decidir aquellos que considere pertinentes para trabajar con sus alumnos.

2. una variante para la actividad 2 podría ser que la operación sea una multiplicación, cambiando las tarjetas por otras con los polinomios convenientes. Por ejemplo:

Para que los alumnos multipliquen las expresiones entre sí y evalúen el producto.

83

Propósito Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática (lenguaje algebraico, tablas y gráficas) en el planteamiento y solución de problemas muy diversos y, en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otros.

Contenido Ejemplos de variación lineal. Uso de una tabla y

una gráfica para explorar si dos cantidades varían linealmente. En casos sencillos, paso de una tabla o gráfica y la expresión algebraica de una función.

Material Un geoplano y ligas por cada alumno.

TERCER GRADO

LLOOSS CCLLAAVVOOSS YY LLAASS ÁÁRREEAASS

1. Organice al grupo en equipos de cuatro

alumnos y propóngales que realicen la primera parte de la siguiente actividad. Una vez que se haya discutido en grupo esta primera parte, lleve a cabo (con los mismos equipos) la segunda.

Primera parte:

Formen en el geoplano polígonos que cumplan con estas condiciones:

a) El polígono debe tener en su interior un clavo.

b) La liga no debe cruzarse consigo misma.

Cuando la mayoría de los equipos termine, pida que, por cada polígono construido, calculen el área* y cuenten el número de clavos que hay en el perímetro. Anote los datos en el pizarrón y destaque lo siguiente: Todos los polígonos tienen un clavo en el interior. No todos tienen el mismo número de

* Se recomienda que, antes de llevar a cabo las actividades propuestas en esta ficha, los alumnos, si no lo han hecho, trabajen con el cálculo de áreas en el geoplano.

clavos en el perímetro. No todos tienen igual área.

Segunda parte:

Con las mismas condiciones a) y b), formen en el geoplano polígonos con el número de clavos indicado por x en la tabla.

X = número de clavos en el perímetro.

y = área del polígono resultante.

Polígonos con un clavo en el interior

Una vez que hayan completado la tabla, planteen y respondan lo siguiente:

• ¿Se reconoce algún patrón en la forma de variación de y cuando varía x?

• Localicen en un plano cartesiano los puntos de la tabla anterior.

• ¿Son colineales estos puntos?

• Construyan una expresión algebraica que relacione y con x.

Los alumnos, al haberlo explorado en su geoplano, se darán cuenta de que a un determinado número de clavos en el perímetro le corresponde una cierta área. La tabla, ya completa, debe quedar así:

Polígonos con un clavo en el interior.

Tema 1: Proporcionalidad y funciones lineales

84

Localizando estos puntos:

Si los alumnos han tabulado y graficado correctamente, observarán que los puntos son colineales (éste es un buen momento para repasar o explicar en qué consiste la colinealidad de puntos). Aproveche para mencionar que la relación entre x y y en este problema es una relación lineal.

Finalmente promueva el análisis de la tabla y de la gráfica para que sean los alumnos quienes encuentren la expresión que relaciona ambas variables. Es probable que lleguen a alguna de las siguientes ecuaciones:

Es posible que algunos alumnos lleguen a expresiones que son válidas sólo para alguna pareja. En este caso propicie que los alumnos se den cuenta de que la expresión debe ser válida para todas las parejas.

2. En esta actividad se propone llevar a cabo un análisis semejante al de la actividad 1 pero cambiando una de las condiciones del problema. Plantéelo así:

El polígono debe tener en su interior dos clavos. Hagan lo mismo que se propone para la actividad 1 segunda parte (la tabla y gráfica correspondientes, etcétera), agregando la siguiente pregunta:

• ¿Es lineal la relación? ¿Por qué?

La tabla correspondiente será ahora:

Polígonos con dos clavos

En su interior.

Analizando la tabla, y comparándola con la anterior, se espera que los alumnos noten que para cada valor de x el valor de y es uno más que en la tabla anterior, por lo que las expresiones correctas a las que pueden llegar los alumnos son:

Al localizar los puntos notarán que son colineales, por lo que podrá concluirse que la relación entre x y y es lineal.

VARIANTE

Si se quiere profundizar más en este problema, puede analizar con el grupo qué sucede si se pide que dentro del polígono queden 3 clavos, 4 clavos… o ningún clavo, y llegar a la generalización buscando la expresión para calcular el área con n clavos dentro. Esta expresión corresponde al teorema de Pick, según el cual el área de un polígono en el geoplano es igual a: número de clavos que toca la liga + número de clavos en el interior -1

2 Podrá observar que la fórmula de Pick es una función de dos variables, sin embargo, en cada una de las actividades propuestas en esta ficha, una de las variables se considera constante (el número de clavos en el interior).

85

Propósito Despejar literales en diferentes tipos de fórmulas. Relacionar una fórmula con la tabla de datos que genera y con su gráfica.

Contenido Actividades sencillas de despeje de literales; por

ejemplo: despejar y de xy = c; despejar x de xy - 1 = 1, etcétera.

Material Hojas de papel milimétrico.

FFÓÓRRMMUULLAASS

1. Señale que los siguientes problemas se van a resolver en equipos de tres o cuatro integrantes.

a) El perímetro de un cuadrado mide 6 m, ¿cuánto mide un lado del cuadrado?

b) Escriban la expresión algebraica que relaciona el valor de un lado del cuadrado con el valor del perímetro.

c) Una vez que hayan escrito la expresión, propongan al menos 10 valores para el perímetro: calculen el valor de un lado y registren los resultados en una tabla como la que se muestra.

d) Con los valores obtenidos construyan una gráfica en el plano cartesiano, en cuyo eje vertical anoten los valores de un lado del cuadrado y en el eje horizontal los valores del perímetro. ¿Qué pueden decir de la gráfica? ¿Qué tipo de relación representa la gráfica?

e) Realicen las actividades de los incisos a), b), c) y d) considerando polígonos regulares de 5, 6, 7, 8, 9… lados. ¿Qué observan?

Las actividades propuestas en los incisos d) y e) llevarán a los alumnos a observar que la relación que se establece es proporcional. Aproveche el momento para recordar las propiedades de este tipo de relación.

Las actividades del inciso e) permitirán a los alumnos observar que la expresión I = P/k es siempre una relación proporcional, donde k

representa el número de lados de un polígono regular.

2. Organice a los alumnos en equipos y proponga las siguientes actividades:

Las expresiones °F = 1.8 °C + 32, o bien, °F = (9/5) °C + 32, permiten calcular la temperatura en grados Fahrenheit si se conoce la temperatura en grados centígrados.

a) De las dos expresiones, elijan la que deseen y propongan al menos 10 valores distintos para los grados centígrados y, a partir de ellos, determinen los valores en grados Fahrenheit.

En cada caso registren los resultados en una tabla. Tomando en cuenta los datos obtenidos, ¿cómo creen que será la gráfica? ¿Qué tipo de relación representaría? Para verificar sus hipótesis construyan una gráfica.

b) Escriban la expresión algebraica que permita obtener los grados centígrados en función de los grados Fahrenheit. Después propongan al menos 10 valores distintos para los grados Fahrenheit y determinen, a partir de ellos, su equivalencia en grados centígrados. En cada caso registren los resultados en una tabla. Si con los datos obtenidos trazan la gráfica, ¿cómo creen que será? ¿Qué tipo de relación representaría? Para verificar sus hipótesis, construyan la gráfica.

Las actividades que se pide realizar en el inciso a) pretender llevar a los alumnos a que identifiquen que la relación corresponde a una función lineal. Si ningún equipo eligió la expresión que incluya 9/5, usted puede proponer que la usen para verificar que en ambos casos se obtienen los mismos resultados.

Una vez que los alumnos elaboren las gráficas correspondientes, es conveniente que expongan sus trabajos ante el grupo, de manera que observen la equivalencia de las expresiones algebraicas.

Puede resultar de interés que proponga a los alumnos que encuentren semejanzas o diferencias entre las gráficas obtenidas en la

Tema 2: Ecuaciones y problemas

86

actividad 1 y las gráficas que se obtienen en esta actividad.

Al realizar las actividades del inciso b) quizá algunos alumnos que hayan elegido la expresión °F = (9/5) °C + 32 obtengan una expresión incorrecta cuando la despejen; por ejemplo:

°C = (5°F – 32)

9

En estos casos conviene comparar las expresiones incorrectas, y sus resultados, con diferentes expresiones para que los alumnos descubran los errores.

Una vez que los alumnos hayan despejado adecuadamente, podrán proponer valores en grados Fahrenheit y obtener su equivalencia en grados centígrados, por lo que sin dificultades elaborarán la tabla y la gráfica correspondientes.

Es conveniente que los alumnos esbocen la gráfica que piensan obtener antes de marcar los puntos. Esto le permitirá a usted observar la comprensión que tienen de la relación entre expresión algebraica, la tabla de datos que genera y su gráfica.

3. Organice a los alumnos en parejas y proponga el siguiente problema.

a) Consideren que conocen el área de un triángulo y la base del mismo. Escriban la expresión algebraica que les permita conocer la altura del triángulo.

b) Para un triángulo de 20 cm.² de área, propongan al menos 15 valores distintos para la base y calculen la altura. En cada caso registren los resultados en una tabla.

c) Si con los datos obtenidos construyen una gráfica, ¿cómo creen que será? ¿Qué tipo de relación representaría? Para verificar sus hipótesis, constrúyanla.

Cuando la mayoría de los alumnos termine la actividad a), puede solicitar que algunos expliquen cómo procedieron, de manera que esto ayude a corregir sus errores a aquellos que se equivocaron.

Las actividades y las preguntas propuestas en los incisos b) y c), requieren el uso de la calculadora para simplificar los cálculos, así como el trazo adecuado de la gráfica. Si la gráfica se ve como una poligonal, puede solicitar a los alumnos que obtengan más puntos, así observarán que la gráfica es una curva continua.

Para responder a la última pregunta los alumnos tendrán que recordar las propiedades de la proporcionalidad inversa. Si hay dificultades puede plantear actividades como las siguientes:

• Elaboren una nueva tabla y coloquen en ella, de menor a mayor, los valores propuestos para la base del triángulo.

• Analicen los datos. ¿Cómo varían?

• Comparen los productos que se obtienen al multiplicar el valor de la base por la altura. ¿Qué observan?

• Lo anterior ayudará a los alumnos a establecer que se trata de una variación inversamente proporcional.

Si lo considera conveniente, puede proponer que realicen las actividades planteadas en los incisos b) y c) utilizando las expresiones que permiten calcular el área de un rombo, un rectángulo y un trapecio (en este caso se requiere fijar la base menor o la base mayor).

VARIANTES

La expresión °K = °C + 273 permite conocer la temperatura en grados Kelvin a partir de valores en grados centígrados. 1. ¿Cómo será la gráfica de la expresión °K = °C + 273 (propongan al

menos 10 valores para los grados centígrados y calculen los valores en grados Kelvin)? ¿Qué tipo de relación representa la gráfica?

2. Escriban la expresión algebraica que permite conocer los grados centígrados en función de los grados Kelvin.

3. ¿Cómo será la gráfica de la expresión que permita conocer los grados centígrados en función de los grados Kelvin? ¿Qué tipo de relación representa la gráfica?

87

Propósito Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática (lenguaje algebraico, tablas y gráficas) en el planteamiento y solución de problemas diversos y, en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otros.

Contenido Ejercicios de graficación de funciones y su

aplicación en la solución de problemas. Estudios de familias de la forma y = mx + b.

LLOOSS CCOOSSTTOOSS CCAAMMBBIIAANN

1. Organice al los alumnos en equipos de cuatro y propóngales la siguiente actividad:

El costo de impresión de un periódico escolar depende del número de ejemplares.

De acuerdo con la siguiente tabla, donde n es el número de ejemplares y C el costo en pesos:

a) ¿Cuándo cuesta menos producir un periódico: cuando se imprimen 10 o cuando se imprimen 20? ¿Por qué?

b) Calculen el costo de impresión para 80, 100, 500, 1 000 y n ejemplares.

c) Representen algebraica y gráficamente la función que relaciona n con C.

d) ¿Qué interpretación tiene en este problema la pendiente de la recta?

e) ¿Qué interpretación tiene en este problema la ordenada al origen?

Se dará tiempo suficiente para que los equipos lleven a cabo las actividades sugeridas y contesten las preguntas planteadas. Mientras tanto supervise el trabajo aclarando las dudas que surjan.

Como podrá notar, las respuestas al inciso b) presuponen que el alumno debe encontrar el patrón que genera la tabla. En este caso, observará que por cada 10 ejemplares el aumento es de $30, por tanto, calcular el

costo para 80 y 100 ejemplares puede hacerse continuando la tabla:

Sin embargo, para 500 y 1 000 ejemplares los alumnos tendrán que buscar otra estrategia que no sea la de tabular, ya que resultaría poco práctica. Se espera que, en equipo, los alumnos descubran que si por cada 10 ejemplares el aumento es de $30, esto significa que el costo de cada ejemplar es de $3. Ahora bien, ¿por qué se marcan $50 para los primeros 10 ejemplares? Porque hay un costo inicial extra (gastos de producción del original del cual se derivan las copias) de $20. Lo que responde al inciso a) de la actividad.

Por lo tanto, para 500 ejemplares:

$3x500=$1 500

Más $20 de gasto inicial:

$1 500+$20=$1 520

Y para 1 000 ejemplares:

$3x1 000=$3 000


$3 000+$20=$3 020

Para n: $3 por n ejemplares = 3n


3n+$20

De hecho, el cálculo para n ejemplares ya forma parte de la respuesta al inciso c): C = 3n + 20.

Cuya gráfica es:

Para los incisos d) y e) es probable que usted tenga que intervenir recordando o dando a conocer lo que es la pendiente y la ordenada

Tema 3: Regiones en el plano cartesiano y gráficas de funciones

88

Propósito Platicar los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones 2 x 2 y ecuaciones cuadráticas. Aplicar los productos notables para factorizar polinomios de segundo grado.

Contenido Planteamiento de problemas que conducen a un

sistema 2 x 2 de ecuaciones lineales simultáneas: su solución por el método de sustitución.

al origen y cómo, a partir de la ecuación algebraica, pueden identificarse. En este problema los alumnos notarán, por un lado, que la pendiente es el costo de cada ejemplar y, por otro, que la ordenada al origen representa el gasto inicial de producción. Es importante aclarar que todo el análisis anterior no debe ser explicado por usted (excepto para introducir nuevos términos como pendiente y ordenada al origen), sino que debe ser constituido por los alumnos con auxilio de su asesoría.

2. Organizados nuevamente en equipos de cuatro o cinco alumnos, y recordando lo que en la gráfica de la función C = 3n + 20 representa la pendiente (3) y la ordenada al origen (20), plantee las siguientes actividades.

a) Encuentren la expresión algebraica y grafiquen, en un mismo plano cartesiano, las funciones que representa la siguiente situación: Si se mantienen $20 como costo inicial de producción pero ahora varía el costo por ejemplar: $1, $2, $4, $5, y $6. ¿qué tienen en común y en qué son diferentes las gráficas construidas?

b) Encuentren la expresión algebraica y grafiquen, en un mismo plano cartesiano, las funciones que representa la siguiente situación: Si se mantiene fijo el costo de $3 por ejemplar, pero varía el costo inicial: $5, $10, $15, $25 y $30, ¿en qué se parecen y en qué son diferentes las gráficas construidas?

Los alumnos, al graficar (dependiendo de las escalas que hayan elegido, encontrarán gráficas como las siguientes:

Para el problema a), las rectas obtenidas son concurrentes. Tienen en común la ordenada al origen (20) y varía su pendiente (inclinación):

Para el problema b), las rectas obtenidas tienen todas la misma pendiente (3); es decir, son paralelas y varía su ordenada al origen:

Aproveche la ocasión para mencionar a sus alumnos que, en el primer caso, tiene una familia de rectas que pasan por un mismo punto y, en el segundo caso, se trata de una familia de rectas que tienen la misma pendiente. Una recta está determinada por dos valores (en este caso se habla de la pendiente y la ordenada al origen), cuando uno de esos valores varía mientras el otro se mantiene constante se dice que se tiene una familia de rectas.

VARIANTE

LLAA VVEELLOOCCIIDDAADD YY LLAASS MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS

1. Organice a los alumnos en equipos de cuatro y plantee el siguiente problema:

Dos muchachos se dirigen uno hacia el otro separados por una distancia de 50 m: uno corriendo y otro caminando. El que va corriendo lo hace a una velocidad constante de 2.5 m/s y el que va caminando lleva una velocidad de 1 m/s. ¿Cuántos metros habrá

Muchas situaciones cotidianas pueden ser aprovechadas para estudiar, con este mismo tratamiento, funciones de la forma y = mx + b. Por ejemplo:

a) Costo por el uso del teléfono:

Costo = Precio de cada llamada x Número de llamadas + Renta fija.

b) Costo del servicio de taxi en la ciudad de México:

Costo = Precio por kilómetro x Kilómetros recorridos + Banderazo. Costo = Precio por minuto x Número de minutos + Banderazo.

Tema 4: Ecuaciones y problemas (continuación)

89

recorrido el compañero que va caminando cuando se encuentre con el que va corriendo?

Se sugiere que, antes de resolver el problema, hagan una estimación del resultado esperado. A continuación deje que los alumnos busquen un procedimiento para resolverlo.

Es probable que algunos alumnos intenten hacer un diagrama en el que se aprecie lo que cada persona avanza en cada segundo. Por ejemplo:

En el primer segundo:

En el segundo número 2:

En el segundo número 3:

Y así sucesivamente hasta obtener un diagrama como el siguiente:

Con ello se darán cuenta de que el muchacho que va caminando habrá recorrido poco más de 14 metros.

Otros equipos posiblemente elaboren una tabla para registrar lo que cada uno avanza en cada segundo y busquen aquel segundo en el que los recorridos de ambos sumen o se aproximen a 50 metros.

Con esta tabla podrán observar que cuando el que va caminando lleva 14 metros, el que va corriendo ha recorrido 35 metros, lo que representa 49 metros; es decir. Los muchachos están a un metro de distancia y, por tanto, se encontrarán poco después. Como puede apreciarse, este método no permite encontrar la solución exacta, sólo una buena aproximación.

Un procedimiento menos laborioso es el que surge al plantearse la siguiente pregunta. En un segundo ambos compañeros avanzan 2.5 m + 1m = 3.5 m, por tanto, ¿en cuánto tiempo cubrirán los 50 metros? De donde surge la operación:

50 m ÷ 3.5 m = 14 2 s

S 7

En 14 2/7 segundos uno de los compañeros avanza 14 2/7 metros, mientras el otro compañero avanza 35 5/7 metros.

Este mismo procedimiento puede realizarse apoyándose en la fórmula para calcular la velocidad constante: v = d/t. Como se conoce la velocidad (3.5 m/s de ambos compañeros) y la distancia que deben cubrir (50 m), hay que despejar el tiempo:

T = d = 50 m = 14 2 s

v 3.5 m/s 7

Otra forma de encontrar el resultado es haciendo el siguiente planteamiento que hace uso de la fórmula: v = d

t

Tenemos que:

90

Propósito Practicar el razonamiento deductivo en situaciones extraídas de la geometría y de otras partes de las matemáticas.

Contenido Aplicaciones del estudio de las propiedades de

los triángulos. Material Una caja de palillos, un pliego de papel bond y

tres dados (por equipo).

V corriendo = 2.5 m

s

V caminando = 1m

s

Si llamamos x a la distancia que ha recorrido el que va caminando y y a la distancia que ha recorrido el que va corriendo:

Sustituyendo, en la fórmula v = d/t, las velocidades y las variables x y y, tenemos:

2.5 = y

T

1 = x

1

Despejando t en ambas:

t = y

2.5

t = x

1

Y como el instante (t) en que se encuentran es el mismo, entonces podemos igualar: y = x, es

25 1

decir, y = 2.5 x

Con lo que obtenemos una relación entre x y y. la otra ecuación es la que marca la suma de las distancias que recorrieron ambos: x + y = 50. Resolviendo el sistema tenemos:

X = 14 2 m

7

Que es la distancia que ha recorrido el que va caminando en el momento de encontrarse con

el otro compañero, quien habrá recorrido 35 5/7 metros.

VARIANTES

TTRRIIÁÁNNGGUULLOOSS CCOONN PPAALLIILLLLOOSS

1. Organice al grupo en equipos de cuatro personas y proponga la siguiente actividad:

¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con un mismo número entero de palillos? Para saberlo, van a construir triángulos y a llenar la siguiente tabla. Los palillos serán usados en el perímetro, todos a la vez.

Los alumnos empezarán a explorar la forma de construir triángulos usando palillos. Notarán que con uno o dos palillos, por

Existen muchos problemas relacionados con la verdad que dan lugar a sistemas de ecuaciones. Pueden trabajarse en equipo o con todo el grupo. 1. Dos personas se dirigen de un pueblo a otro, entre los cuales hay

una distancia de 40 km. Una de ellas va a 2 km por hora más rápido que la otra y llega una hora antes. Calculen la velocidad y el tiempo que cada una de las personas invierte en su recorrido.

2. Durante un sismo las ondas primaria y secundaria viajan a una velocidad de 8 km/s y 4.8 km/s, respectivamente. Si a una estación sísmica la onda primaria llegó 15 segundos antes que la secundaria, ¿a qué distancia se encontraba el epicentro del temblor?

Tema 5: Triángulos y cuadriláteros

91

ejemplo, es imposible formar un triángulo, y que con tres palillos se puede formar sólo un triángulo:

Mientras que con 11 palillos pueden formarse cuatro triángulos diferentes.

Después de un tiempo suficiente, los representantes de algunos equipos pasarán al frente a mostrar sus resultados (pueden hacer sus tablas en pliegos de papel bond y pegarlas en el pizarrón). Una vez que se tengan varias tablas, deben compararlas, y en aquellos renglones donde haya resultados diferentes los equipos implicados validarán su solución ante el grupo.

Es probable que no todos los equipos encuentren todos los triángulos que pueden formarse con cierto número de palillos, pero de manera grupal pueden formar y completar llegando a formar una tabla como la siguiente:

Además de la exploración de los diferentes triángulos, lo importante de la actividad es que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no. Haciendo preguntas como: ¿por qué con 15 palillos no pudieron formar un triángulo cuyos lados midieran 8, 4 y 3?, se pretende que los alumnos lleguen a enunciar (con sus propias palabras) que la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la medida del tercer lado, o bien que la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor.

2. Con objeto de practicar los trazos con regla y compás pida a los alumnos que, de manera individual, realicen la siguiente actividad:

a) Escojan cinco triángulos de los que formaron para llenar la tabla 1 y trácenlos utilizando regla y compás (cambien la unidad de medida: si un lado mide 5 palillos, trácenlo de 5 centímetros).

b) Traten de trazar cinco de los triángulos que no se pudieron hacer en la actividad 1; demuestren que no existen triángulos con esas medidas (con 10 palillos por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 6-3-1).

3. Para reafirmar la conclusión a la que se llegó en la actividad 1, se sugiere llevar a cabo el siguiente juego en equipos de cuatro o cinco alumnos.

a) Por turno cada alumno lanza los tres dados.

b) Si con los números de los dados es posible formar un triángulo, el jugador debe sumarlos y anotar ese puntaje a su favor. Si no es posible formar un triángulo, el puntaje para es tirada es cero.

c) Gana quien haga más puntos en 10 tiradas.

Cuando haya discrepancia entre si es o no posible formar un triángulo con los números que indican los dados, invite a los alumnos a que traten de construirlo utilizando regla y compás o, en su defecto, con los palillos.

VARIANTE

Puede sugerir la siguiente actividad: Clasifiquen los triángulos obtenidos en la actividad 1: por la medida de sus lados y por el número de ejes de simetría.

92

Propósito Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada.

Contenido Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos.

Material Calculadora.

RRAAÍÍZZ CCUUAADDRRAADDAA

1. Organice a los alumnos en parejas. Explique que para llevar a cabo esta actividad van a emplear la calculadora pero sin utilizar la función raíz cuadrada. Plantee el siguiente problema:

Las cantidades que aparecen en cada uno de los siguientes cuadrados representan su área. Calculen la medida de un lado de cada cuadrado.

Esta actividad presupone que los alumnos no utilizarán algoritmos para calcular la raíz cuadrada. El propósito es que traten de estimar la medida del lado de cada cuadrado y, con ayuda de la calculadora, prueben si la estimación es correcta o no.

Es relativamente sencillo determinar el lado del primer cuadrado, no así el segundo, cuya medida sólo puede aproximarse. Ésta es quizás la dificultad que enfrentarán los alumnos, ya que tendrán que aplicar sus conocimientos relacionados con los decimales para aproximarse al valor de la raíz.

Algunos alumnos encontrarán que la raíz de 13 se encuentra entre:

2. Organizados en parejas, comente a los alumnos que van a calcular la raíz cuadrada con otro procedimiento que consiste en proponer rectángulos que

tengan como área el número cuya raíz cuadrada se quiere calcular, y que estos rectángulos se deben ir transformando hasta que resulte un cuadrado o lo más cercano a un cuadrado. Formule el siguiente problema:

Calculen la medida de un lado del cuadrado siguiente proponiendo rectángulos que tengan igual área.

Es recomendable que los alumnos pongan a consideración del grupo las estrategias que utilizaron para obtener la base y la altura de los rectángulos. Algunos equipos se darán cuenta de que basta con proponer la base o la altura y despejar cualquiera de ellas empleando la fórmula: A = b x h.

Para calcular la medida del lado del cuadrado, los alumnos pueden enfrentar algunas dificultades que tienen que ver con la siguiente pregunta:

¿Cómo verificar que los rectángulos propuestos son cada vez más cuadrados?

Puede ayudar a los alumnos a clarificar la idea anterior preguntando, por ejemplo: ¿Cómo son las diferencias entre la base y la altura de los rectángulos propuestos? ¿Cuándo se parece más un rectángulo a un cuadrado?

Lo importante es que los alumnos observen que cuando la diferencia es pequeña, entonces el rectángulo se parece más a un cuadrado. Una tabla como la que se muestra a continuación puede ayudar a comprender mejor lo dicho anteriormente.

Tema 6: Raíz cuadrada y métodos de aproximación

93

Propósito Conocer ejemplos de crecimiento exponencial o geométrico. Comparar este modo de crecimiento con el aritmético o lineal.

Contenido Crecimiento exponencial o geométrico en

comparación con el crecimiento aritmético o lineal. Ejemplos ilustrativos.

Calculadora.

A partir de esta información los alumnos podrán observar que la raíz que se quiere calcular está entre 4.35 y 4.36781.

Es posible que algunos alumnos utilicen la función raíz cuadrada de la calculadora (aunque la indicación haya sido la contraria). Esta situación puede servir para sugerirles que utilicen la información de la calculadora para ir verificando que las medidas del largo y ancho de los rectángulos propuestos se van aproximando al valor de la raíz que se busca.

3. Indique a los alumnos que van a seguir trabajando en parejas. Señale que van a obtener la raíz cuadrada de un número mediante un procedimiento propuesto por los babilonios.

Observen la siguiente secuencia de rectángulos:

En cada rectángulo se muestra cómo obtener aproximadamente de la raíz cuadrada de 19. Escriban una expresión algebraica para calcular cada una de las siguientes aproximaciones de la raíz cuadrada de 19.

Para que los alumnos observen que la secuencia permite obtener una aproximación de la raíz de 19, puede pedirles que efectúen los cálculos.

A partir de este hecho los alumnos tendrán una cierta seguridad de que el procedimiento funciona y podrán obtener otras aproximaciones.

Dada la secuencia mostrada anteriormente, en un primer momento algunos alumnos pueden expresar oralmente el procedimiento; otros estudiantes pueden anotar expresiones como las siguientes:

Y así sucesivamente.

En cada paso puede invitar a los alumnos a que sustituyan los valores anteriores y efectúen los cálculos para comprobar si la expresión propuesta funciona o no.

VARIANTE

¿¿QQUUÉÉ TTEE CCOONNVVIIEENNEE??

1. Después de organizar al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos, plantee el siguiente problema:

Imaginen que han ganado un premio y tienen que elegir entre dos opciones: Recibir 1 000 pesos diarios durante 20 días, o bien, recibir 1 peso el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero, 8 el cuarto y así sucesivamente hasta el día número 20. ¿Qué conviene más? Justifiquen su respuesta.

Deje que los alumnos discutan en su equipo cuál es la mejor opción. Es muy común que piensen que la propuesta de $1 000 diarios

Puede sugerir la siguiente actividad: Calculen la raíz cuadrada de 6 241 y de 71 utilizando dos procedimientos distintos.

Tema 7: Presentación y tratamiento de la información

94

conviene más, sin embargo, debe pedirles que traten de comprobar su resultado.

Cuando la mayoría de los equipos tenga una respuesta justificada, pida que algunos alumnos expliquen su procedimiento ente el grupo. Después, para visualizar la situación proponga que llenen una tabla como la siguiente:

Para el caso de la segunda opción es posible que algunos alumnos noten que la suma acumulada por día es, precisamente, una unidad menos que la cantidad que se recibirá al día siguiente. Por ejemplo, para el día 12, la suma acumulada es $4 095, y la cantidad a recibir el siguiente día (13) es $4 096, lo cual facilitará el llenado de la tabla, ya que calculando la columna de la cantidad recibida pueden llenar la columna de la cantidad acumulada.

Con su ayuda los alumnos podrán deducir una fórmula que permite calcular la cantidad acumulada para cada día. Notarán que lo que se recibe el primer día es 2º, el segundo es 2¹, el tercero es 2², el cuarto es 2³, y así sucesivamente. Esto se puede expresar en una tabla como la siguiente:

Así, para 20 días tenemos que recibe:

220-1 = 219 = 524 288,

y acumula: 220 – 1 = 1 048 575

Esta operación puede efectuarse fácilmente en una calculadora científica (aproveche la oportunidad para repasar el uso de exponentes en la calculadora). Por otro lado, puede comentar con los alumnos que algunas calculadoras no científicas permiten elevar a cualquier potencia tecleando.

Donde n es el número que se quiere elevar a una potencia. El signo igual se teclea las veces que sea necesario.

Al comentar en grupo el ejercicio insistía en que los alumnos deben observan el crecimiento de las cantidades en cada una de las propuestas. Haga el comentario de que en la primera opción el crecimiento es lineal o aritmético, y en la segunda exponencial o geométrico.

2. Continuando el trabajo en equipos, plantee la siguiente situación:

La siguiente tabla muestra la población aproximada (expresada en millones) de una colonia de bacterias. El registro se ha hecho cada hora.

De acuerdo con esta información:

a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 8 horas? ¿Y después de 10?

b) ¿Cuántas bacterias habría una hora antes de la primera observación?

c) Encuentren la función que les permita calcular el número de bacterias para cada hora.

95

Propósito Practicar el razonamiento deductivo en situaciones extraídas de geometría.

Contenido Ángulo inscrito en una circunferencia. Ejemplos

para ilustrar el lugar geométrico. Material Juego de geometría

Teniendo como antecedente la actividad 1, los alumnos notarán que se trata de una función que crece exponencialmente. La solución a la pregunta a) la encontrarán fácilmente al descubrir el patrón y continuar la tabla:

Lo mismo para la pregunta b):

Finalmente, para encontrar la respuesta al punto c), requieren analizar cómo varía el número de bacterias. Debe ser paciente y permitir que sean los alumnos quienes, en equipo o en grupo, lleguen a la expresión de la función que se ha pedido. Podría ser que, vinculándola con la actividad anterior, intuyan que se trata de un número que se eleva a un cierto exponente. Es probable que piensen que es 6, pero fácilmente descubrirán que no es así (el crecimiento sería 3, 36, 216…).

Probablemente, al ver que son múltiplos de 6, noten que:

6 = 6; 12 = 6 x 2; 24 = 6 x 4; 48 = 6 x 8; 96 = 6 x 16; etcétera. Y que reconozcan a los factores 2, 4, 8, 16… como potencias de 2. De esta manera, encontrarán que la función perdida es:

Y = 6 x 2n

Donde y es el número de bacterias y n la hora (los alumnos podrían usar otras letras).

VARIANTE

EELL CCÍÍRRCCUULLOO

1. Organice a los alumnos en parejas, entrégueles un dibujo como el que aparece enseguida y comente lo siguiente:

El dibujo que observan es el croquis de un teatro. Las letras señalan algunos de los asientos y las líneas punteadas el ángulo de visión de los espectadores que ocupan esos asientos.

¿Cuál de los espectadores (a, b, c, d, e, f) tiene mayor ángulo de visión?

Seguramente los alumnos trazarán los ángulos de visión de los espectadores y algunos medirán con el transportador cada uno de ellos. Otros alumnos utilizarán como auxiliar una hoja y copiarán en ella uno de los ángulos para superponerlo y compararlo con los otros. En cualquier caso concluirán que los ángulos de visión de cada uno de los espectadores son congruentes.

Una situación que usted puede plantear es la siguiente: ¿Qué sucede si el escenario (círculo) es más grande o más pequeño? A partir de los resultados que los alumnos encuentren, puede utilizar el lenguaje propio de la geometría para concluir que si los ángulos inscritos en el mismo círculo (aquellos que tienen su vértice en la circunferencia y sus dos lados son cuerdas) abarcan el mismo arco de circunferencia, entonces miden lo mismo.

Una variante que puede proponer es la siguiente:

¿Qué sucede si el escenario (círculo) es más grande o más pequeño? A partir de los resultados que los alumnos encuentren, puede

1. Se sugiere que los alumnos grafiquen en un mismo plano las funciones y = 2x, y = x2, y = 2x, para que noten sus diferencias.

2. El interés compuesto es otro ejemplo de función exponencial que pueden trabajar.

Tema 8: El círculo

96

utilizar el lenguaje propio de la geometría para concluir que si los ángulos inscritos en el mismo círculo (aquellos que tienen su vértice en la circunferencia y sus dos lados son cuerdas) abarcan el mismo arco de circunferencia, entonces miden lo mismo.

Una variante que puede proponer es la siguiente:

¿Cómo serán los ángulos de visión si un espectador x observa dos escenarios en los que la medida de los arcos que abarcan son iguales?, como se ve en el dibujo siguiente:

2. Nuevamente organizados en parejas, proponga a los alumnos resolver la siguiente situación:

Una persona se encuentra situada en el centro del teatro (que tiene la misma forma que el de la actividad 1). Localicen algún lugar del teatro en el que otro espectador tenga la mitad del ángulo de visión que la que se encuentra en el centro.

Seguramente los alumnos escogerán puntos al azar y medirán cada ángulo para ver si cumple con la condición que se ha solicitado. Observarán que si los puntos elegidos se encuentran cerca de la circunferencia, la medida del ángulo se va acercando a la medida del ángulo central, y que si el punto elegido se encuentra sobre cualquier parte de la circunferencia, entonces la medida del ángulo cumple con la condición señalada.

3. Organizados en parejas, indique a sus alumnos que van a utilizar sus escuadras y propóngales la siguiente situación:

Tracen un segmento de 8 cm. de longitud.

Después tracen al menos 8 rectángulos diferentes en los cuales una de sus diagonales sea el segmento que trazaron.

a) ¿Qué figura geométrica forman los vértices de todos los rectángulos que trazaron?

b) ¿Por qué se forma la figura geométrica que encontraron?

Es conveniente que observe el trabajo de los alumnos y, si es necesario, exponga las explicaciones pertinentes para que comprendan el problema y utilicen adecuadamente los instrumentos geométricos. Cuando la mayoría de los alumnos haya terminado, puede solicitar que algunos pasen al pizarrón para que indiquen:

• Cómo trazaron los rectángulos.

• Qué figura geométrica se forma con los vértices de los rectángulos.

• Qué relación tiene el segmento original con la circunferencia que se forma.

• ¿Cuánto mide un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y abarca su diámetro?

Los trazos de los alumnos serán similares a los siguientes:

97

Propósito Utilizar adecuadamente diversos medios de expresión matemática: Lenguaje algebraico.

Contenido Simplificación de términos semejantes.

Extracción de un factor común. Evaluación de polinomios.


VARIANTES

LLAA MMAAGGIIAA DDEE LLOOSS PPOOLLIINNOOMMIIOOSS

1. Organice al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos y después plantee la siguiente actividad:

Observen la tabla que se muestra. Si se factorizan estas expresiones:

a) ¿Cuál es el factor común a todas las expresiones?

b) Hagan en su cuaderno una tabla como la anterior, pero en ella anoten la factorización de cada una de las expresiones. Deben escribir cada expresión en el lugar que le corresponde de acuerdo con la tabla anterior.

c) A partir de la tabla que elaboraron, construyan otra en la que ahora anoten la

expresión que resulta de eliminar el factor que es común a todas las expresiones.

Se espera que los alumnos construyan, para el inciso b), la siguiente tabla:

Tal vez el término x², por ser el único monomio, no les parezca que deba ser factorizado: la visión general de la tabla puede ayudar a que se factorice. Una vez que hayan construido la tabla 2, la construcción que se pide en el inciso c) resultará algo sencillo.

2. Indique que van a seguir trabajando en equipos. A continuación recuérdeles qué se entiende como un cuadrado mágico y plantee la siguiente situación:

La tabla que se muestra es la que obtuvieron a partir del inciso c) de la actividad 1.

a) Comprueben que se trata de un cuadrado mágico.

b) La tabla 1, ¿es un cuadrado mágico? Compruébenlo.

c) ¿Qué relación existe entre la expresión que se encuentra en la casilla central y la suma de la tabla?

Las tablas 1 y 3 pueden ser consideradas como cuadrados mágicos. La suma de la tabla 1 es 3x², y la de la tabla 3 es 3x. Se espera que los alumnos descubran que la suma de las tres expresiones que se encuentran dispuestas diagonalmente así como la suma de las expresiones que se encuentran en la misma fila, horizontal o verticalmente, es triple de la expresión colocada en el centro del cuadrado mágico.

Puede proponer actividades como las siguientes: 1. Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen A a uno de los

extremos y B al otro, tracen 10 rectas que pasen por el punto A. tracen líneas perpendiculares a cada una de las 10 recetas, las cuales deben pasar por el punto B.

Si unen los vértices de los ángulos rectos que trazaron, ¿qué figura geométrica formarán?

2. Escriban los argumentos necesarios para mostrar que los ángulos marcados en los polígonos regulares siguientes son todos congruentes.

Tema 9: Operaciones con polinomios de una variable

98

3. Aprovechando las propiedades de los cuadrados mágicos, plantee la siguiente actividad.

Consideren los cuadrados mágicos siguientes:

Construyan una tabla como las anteriores. En cada espacio anoten las expresiones que se obtengan de la suma de las casillas respectivas de las tablas 4 y 5; por ejemplo:

(x² + 3) + (x² + 3) = x² + 4x + 3

• ¿El cuadrado que resulta será mágico?

Deja que los alumnos trabajen y descubran qué es lo que sucede. Se espera que construyan la siguiente tabla:

Al realizar las sumas en forma horizontal, vertical y diagonal, el resultado será igual a 3x² + 3x, lo cual quiere decir que la tabla 6 también es un cuadrado mágico.

Usted podrá seguir explotando las propiedades de los cuadrados mágicos para lograr que sus alumnos operen con una gran variedad de polinomios. Por ejemplo, puede pedirles que multipliquen cada expresión de la tabla 3 por el factor: (3x + 2), con lo que obtendrán el siguiente cuadrado mágico.

En este cuadrado mágico, el resultado de las sumas es 9x² + 6x.

4. Organice a los alumnos en equipos e indíqueles que realicen la siguiente actividad:

Observen el siguiente cuadrado:

Evalúen cada polinomio del cuadrado según los valores que se indican para x:

x= 3, x = -2, x = 1

2

a) Comprueben que en cada caso se obtiene un cuadrado mágico.

b) Asignen a x otros valores y comprueben que se obtienen cuadrados mágicos.

c) ¿Qué relación existe entre el número que se encuentra en la casilla central y la suma del cuadrado?

Dé tiempo suficiente para que cada alumno opere con los polinomios y construya sus tres tablas a partir de la tabla 8.

Posteriormente los alumnos realizarán las sumas necesarias para descubrir si se trata de cuadrados mágicos o no.

Si lo cree conveniente, puede tomar cualquiera de los cuadrados mágicos que se hayan construido con expresiones algebraicas y lleve a cabo la evaluación de los polinomios asignando valores a x que los mismos alumnos pueden proponer.

99

Propósito Aplicar los productos notables en la factorización de polinomios de segundo grado.

Contenido Productos notables: (x + a)² = x + 2ax + a²; (x – a)²

= x² - 2ax + a² Material Copias, para cada alumno, de los anexos B (p.

123) y C (p. 124).

VARIANTES

CCUUAADDRRAADDOOSS AALLGGEEBBRRAAIICCOOSS

1. Entregue a los alumnos la fotocopia (si no es posible la fotocopia, puede pedirles que tracen los cuadrados y rectángulos indicándoles las medidas). Pídales que de manera individual:

Calculen el área de cada figura y escriban el resultado en el centro de cada una. Por ejemplo:

Después recorten y peguen cada figura en cartulina.

Hágales saber que el objetivo es preparar el material que utilizarán en la siguiente actividad. Una vez que hayan terminado, invítelos a confrontar los resultados que obtuvieron al calcular el área de cada figura.

2. Organice por parejas a los alumnos y propóngales la siguiente actividad:

Con ayuda de su material formen cuadrados (a manera de rompecabezas) cuyos lados sean los indicados, y calculen el área en cada caso.

Cabe mencionar que una vez que se haya construido un cuadrado, y calculado su área, éste puede desbaratarse para construir otros.

Mientras los alumnos trabajan recorra el salón y resuelva dudas. Deje que los alumnos registren el área de cada cuadrado como deseen. Es probable, por ejemplo que para el primer inciso se obtengan resultados como:

Cuando lo considere pertinente pida la confrontación de resultados de manera grupal. Si surgen diferentes maneras de expresar sus cálculos, éstos se analizarán para que los alumnos observen que se trata de expresiones equivalentes (reduciendo términos semejantes y ordenando los términos).

Se pretende que sean los alumnos quienes encuentren la siguiente regla, aunque no la expliciten de la misma manera:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

En este momento puede pedir a los alumnos que exploren lo que sucede cuando, en vez de ser x + 1, el valor del lado del cuadrado es x – 1 (haciendo la multiplicación x – 1 por x – 1).

Puede proponer alguna de las siguientes actividades: 1. Escriban las expresiones algebraicas que faltan para obtener un

cuadrado que sea mágico.

2. Anoten en los cuadros vacíos las expresiones que hacen falta para que el cuadrado sea mágico.

3. Comprueben que el siguiente cuadrado es mágico. Si multiplican cada expresión del cuadrado por (x – 1), ¿se obtendrá un nuevo cuadrado mágico? Efectúen la multiplicación y comprueben su conjetura.

Tema 10: Productos notables y factorización

100

Propósito Aplicar la simulación para resolver problemas. Contenido Solución por simulación de problemas de

probabilidad. Material Una caja (urna) y cuatro canicas del mismo

material y tamaño: tres del mismo color (blancas) y una de otro color (roja). Una hoja que contenga números del 1 al 20 (en columna) y debajo de cada número los incisos A, B, C y D; los números designarán los reactivos y las letras las opciones.

Si es necesario puede probar con otras expresiones.

3. Pida a los alumnos que hagan lo que se indica a continuación (de manera individual):

a) Piensen en un número del 1 al 10.

b) Súmenle 2.

c) Eleven el resultado al cuadrado.

d) Réstenle cuatro veces el número que pensaron

Pida a varios alumnos que digan el resultado al que llegaron y adivine el número que pensaron.

Proponga que, después de hacer la actividad varias veces, se organicen en ternas y sigan la siguiente instrucción:

Encuentren el truco que permite adivinar el número.

¿Cómo hacerlo?

Llamemos x al número que piensa cada alumno.

Entonces:

Para adivinar el número pensado bastará con restar 4 al resultado y después extraer su raíz cuadrada.

Veamos un ejemplo numérico:

Cuando un alumno diga que obtuvo 68, reste 4 a 68, cuyo resultado es 64, y extraiga su raíz cuadrada: 8.

El rango de 1 al 10 para pensar un número se deja a criterio de usted. Si el número fuera mayor, entonces puede permitir que los alumnos utilicen calculadora; los números incluso pueden ser negativos o racionales (aunque con estos últimos los cálculos podrían complicarse). También puede modificarse el paso b) (sumando o restando otro número), con lo cual deberá cambiarse, obviamente, el paso d).

Si a ningún alumno se le ocurre, puede sugerir que, como el número pensado no se conoce, pueden expresarlo con una letra. Se espera que con esta pista los alumnos harán un análisis similar al descrito que les permitirá saber por qué se puede adivinar el número pensado.

Si el tiempo lo permite y lo juzga conveniente, haga la siguiente sugerencia a los alumnos:

Inventen otras secuencias de Piensa un número con las que se pueda adivinar el número pensado.

4. Para seguir trabajando con el cuadrado de un binomio se sugiere que los alumnos hagan tarjetas para elaborar un dominó y jugarlo en equipos de cuatro (fotocopia el anexo B de este fichero).

VARIANTES

¿¿AAPPRROOBBAARR EELL EEXXAAMMEENN SSIINN EESSTTUUDDIIAARR??

1. Las actividades 3 y 4 pueden ser realizadas para estudiar el producto de dos binomios con un término común.

2. Se sugiere aprovechar los productos notables para actividades de cálculo mental.

Tema 11: Problemas de probabilidad

101

1. Comente que en la zona metropolitana del Distrito Federal los alumnos deben presentar un examen para ingresar a una escuela del nivel medio superior, la cual es asignada a cada alumno en función del número de aciertos que obtienen en el examen. Después de organizarlos en equipos de tres o cuatro alumnos, entrégueles la hoja numerada y plantee el siguiente problema:

Para ser aceptado en la escuela que prefiere, Juan necesita contestar correctamente 17 reactivos o más; para simplemente ser aceptado, aunque sea en otra escuela, necesita obtener al menos 10 aciertos; y si contesta correctamente nueve reactivos o menos, no podrá ingresar a ninguna escuela. El examen que Juan resolverá consta de 20 reactivos; cada reactivo tiene cuatro opciones, de las cuales sólo una es correcta. Considerando que contestará todo el examen al azar:

a) ¿Entrará Juan en la escuela que prefiere?

b) ¿Entrará aunque sea en otra escuela?

c) ¿Juan no ingresará a ninguna escuela?

Una estrategia que los alumnos pueden utilizar es la siguiente: en cada reactivo elegirán la opción que consideran correcta, y después preguntarán a usted si las opciones elegidas fueron acertadas o no. Otra manera de investigar la suerte de Juan consiste en simular la situación utilizando las canicas y la urna. Si no se les ocurre la manera de utilizar ese material, puede dar algunas orientaciones; por ejemplo:

• ¿Cómo utilizarán las canicas y la caja para conocer la suerte de Juan?

• Si meten las cuatro canicas en la urna y extraen al azar una de ellas, ¿a qué conclusión podrían llegar si la canica es blanca?, ¿y si la canica extraída es roja?

Con las preguntas anteriores, los alumnos podrán concluir que el hecho de meter las cuatro canicas y extraer una al azar es equivalente a lo que Juan y ellos mismos hicieron al contestar el examen, sólo que ahora sabrán si la respuesta es correcta o no, esto es, si sale una canica blanca la respuesta será incorrecta, y si sale roja querrá decir que acertaron.

Conviene que los alumnos realicen la experiencia varias veces y registren en una tabla, como la que se muestra a continuación, los resultados obtenidos, de esta manera observarán que, al contestar al azar un examen de esa naturaleza, es muy probable que Juan no entre a estudiar a ninguna de las escuelas.

2. Organice a los alumnos en pareja y comente que para resolver el siguiente problema van a considerar que otro alumno (Luis) ha presentado el examen para ingresar a una escuela del Distrito Federal.

Después de haber resuelto el examen, Luis comentó que está seguro de haber contestado acertadamente la mitad de los 20 reactivos, aunque reconoció que la otra mitad la había resuelto al azar. De acuerdo con lo anterior:

a) ¿Entrará Luis a la escuela que prefiere?

b) ¿Entrará aunque sea a otra escuela?

Después de haber realizado la primera actividad, seguramente los alumnos pondrán en juego el modelo de la urna para resolver el problema. Es conveniente que sugiera a los alumnos que anticipen una respuesta en torno a la probabilidad que tiene Luis de ingresar a la primera o la segunda opción, de manera que confronten su pronóstico con los resultados que obtengan.

Por otra parte, es conveniente que, en una tabla similar a la realizada en la actividad 1, con el control de los reactivos correctos e incorrectos, los alumnos registren los resultados que obtengan después de realizar varias veces la experiencia. Los resultados mostrarán que lo más probable es que Luis quede ubicado en la segunda opción.

A manera de conclusión, los alumnos seguramente observarán que lo mejor que pueden hacer para aprobar un examen de este tipo es estudiar mucho, ya que contestar al azar incrementa en gran medida las posibilidades de reprobar.

102

Propósito Desarrollar la imaginación espacial al realizar trazos a partir de homotecias y determinar algunas propiedades de las mismas, por ejemplo: paralelismo, congruencia de ángulos, etcétera.

Contenido Estudio informal de las homotecias. Imagen bajo

una homotecia de un triángulo, un cuadrilátero o un polígono.

Material Pantógrafo. Se anexa un instructivo para

construir esta herramienta. Véase anexo C.*

3. Organice al grupo en parejas y plantee el siguiente problema:

Supongan que al contestar un examen de 10 reactivos, en el que cada reactivo tiene sólo dos opciones, están seguros de haber contestado bien cinco preguntas, mientras que las otros cinco fueron resueltas al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que aprueben el examen?

En esta situación, después de haber resuelto las actividades 1 y 2, los alumnos se darán cuenta de que el problema puede abordarse por medio de la simulación con la urna y, aunque en este caso sólo necesitarán una canica de cada color, procederán de manera similar. Como en las actividades 1 y 2, es conveniente que los alumnos registren en una tabla los resultados que obtengan después de realizar en varias ocasiones la experiencia.

Es importante señalar que la probabilidad en este caso estará expresada en término de la probabilidad frecuencial, es decir:

Número de casos que al ser observados fueron favorables

Total de observaciones

Sin embargo, puede orientar a los alumnos para que obtengan la probabilidad en términos del modelo clásico. Esto se puede hacer si primero pide que supongan que el examen tenía cinco reactivos, con dos opciones cada uno, y que fue contestado al azar.

Utilizando un diagrama de árbol, los alumnos podrán analizar diferentes casos.

Por ejemplo, la probabilidad de que los cinco reactivos se contesten correctamente es 1/32, puesto que sólo uno de los 32 caminos tiene cinco letras b.

La probabilidad de que tenga cuatro correctas y una incorrecta es 5/32, porque se presentan cinco casos de los 32:

bbbbm

bbbmb

bbmbb

bmbbb

mbbbb

VARIANTES

EELL PPAANNTTÓÓGGRRAAFFOO

1. Explique brevemente a los alumnos cómo

utilizar el pantógrafo. Después plantee la siguiente situación, que realizarán en parejas:

Tracen un triángulo equilátero de 3 cm. por lado.

Con el pantógrafo, armado a escala 2 a 1, tracen un segundo triángulo.

Puede proponer a los alumnos los siguientes problemas: 1. Si un alumno no estudió y le dan a escoger entre resolver un

examen que consta de cinco reactivos, cada uno con dos opciones, o resolver otro examen que consta de dos reactivos, cada uno con cinco opciones, ¿qué examen le conviene resolver, si suponemos que lo hará al azar? Fundamenten su respuesta.

2. La compañía Chocolates baratos tiene la siguiente promoción: Una de cada cuatro envolturas de chocolate tiene grabada en su interior una estrella: si juntas tres envolturas con estrella, puedes canjearlas por una pluma, ¿Cuál es el menor número de chocolates que hay que comprar para tener cierta seguridad de reunir tres estrellas?

Tema 12: Dibujo a escala y homotecias

103

a) ¿Cómo es el triángulo resultante con respecto al triángulo original?

b) ¿Cómo son entre sí los lados correspondientes de estos triángulos? ¿Cómo son entre sí los ángulos correspondientes de los triángulos? Verifiquen su respuesta.

c) Considerando los vértices correspondientes de los triángulos, ¿están alineados respecto al punto fijo del pantógrafo?

d) ¿Cómo son las razones de las distancias entre el punto fijo del pantógrafo y los vértices correspondientes?

Indique a los alumnos que tengan cuidado al momento de realizar el trazo, de esta manera la medida de los lados del triángulo resultante será el doble de la medida original.

Es posible que algunos alumnos observen a simple vista la semejanza de las figuras. En este caso invíteles a que den argumentos relacionados con las propiedades de la semejanza, a partir de la comparación de las razones de los lados correspondientes. Esta situación puede ser propicia para recordar a los alumnos las propiedades de la semejanza. Por otra parte, para que las razones de los lados correspondientes sean iguales, se requiere medir con cierta precisión, por lo que es posible que los cocientes sean distintos a 1/2 o 2; en este caso usted puede generar una discusión en torno a la medición, de manera que los alumnos noten que la medición directa siempre es aproximada y, en consecuencia, es necesario realizar varias mediciones para obtener el promedio y así lograr una aproximación más exacta.

Para responder las preguntas del inciso b) los alumnos utilizarán diferentes estrategias. Algunos, por ejemplo usarán las escuadras para determinar el paralelismo de los lados correspondientes, algunos determinarán la congruencia de los ángulos utilizando el

transportador, en tanto que otros podrán aplicar sus conocimientos de la semejanza. Para responder la pregunta d) también se requiere precisión en la medición, por lo que usted debe estar atento y observar cómo se realiza. Las preguntas c) y d) pueden ser el punto de partida para que dé a conocer a los alumnos las propiedades básicas de la homotecia.

2. Organice al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos o plantee la siguiente situación:

Dibujen un triángulo isósceles (con medidas, respectivamente, de 3, 4 y 4 cm. en sus lados). Marquen un punto O fuera del triángulo y tracen rectas, que unan el punto exterior con cada uno de los vértices del triángulo. Marquen un punto D, en una de las rectas, como se indica a continuación.

El punto D, marcado en la línea, es uno de los vértices de un triángulo que es nomotético al triángulo ABC:

a) Utilicen sus instrumentos de geometría y tracen la figura geométrica que es nomotética al triángula ABC:

b) ¿Cuál es la razón de homotecia?

Construir un triángulo homotético al triángulo dado, de acuerdo con las indicaciones señaladas, plantea algunas dificultades: algunos alumnos, por ejemplo, podrían considerar que basta con medir la distancia que va del punto A al punto D, y luego llevar dicha distancia sobre cada una de las otras dos rectas tomando como un punto de partida los vértices B y C. En este caso los alumnos se darán cuenta de que la figura que resulta no es semejante, ya sea porque se observe a simple vista, o bien porque las razones de los lados correspondientes al ser comparados, no serán iguales.

104

Propósito Utilizar las fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, así como los teoremas de semejanza, de Pitágoras y trigonometría para resolver numerosos problemas de cálculo geométrico.

Contenido Aplicaciones de los teoremas de semejanza y de

Pitágoras en la solución de problemas de cálculo geométrico.

Material Calculadora, geoplano de 5 x 5 y ligas (por

alumno).

Otros alumnos considerarán que la figura homotética se consigue llevando la distancia OD a las otras dos rectas a partir de los vértices B y C; al trazar el triángulo los alumnos se darán cuenta de que la figura no es semejante, ya sea a simple vista o mediante la comparación de las razones.

Otros alumnos tomarán en cuenta los resultados obtenidos en la actividad 1, es decir, considerarán que en una figura homotética los lados son paralelos a los correspondientes de la figura original. Entonces, a partir del punto D, trazarán paralelas a los lados AB y AC, de manera que obtendrán los puntos B’ y C’, trazarán paralelas a los lados AB y AC, de manera que obtendrán los puntos B’ y C’ que se encuentran en la intersección de las otras dos rectas.

La razón de homotecia se puede obtener de dos formas:

Estableciendo la razón de los lados homólogos de los triángulos, esto es:

DB’ = DC’ = B’C’

AB AC BC

Estableciendo la razón entre la distancia del punto O al punto A y la distancia del punto O al punto D, es decir:

OD = OB’ = O’C’

OA OB OC

De cualquier manera es necesario considerar que, dado que el punto D se elige

arbitrariamente, los alumnos obtendrán razones distintas. Por otra parte, es necesario

que recuerde a los alumnos hacer una medición lo más exacta posible, de manera que en una misma figura las razones sean

iguales.

VARIANTE

PPIITTÁÁGGOORRAASS EENN EELL GGEEOOPPLLAANNOO

1. Una vez que haya organizado en equipos de cuatro a los alumnos, propóngales la siguiente actividad:

Encuentren en su geoplano todos los segmentos de diferentes longitudes que pueden formarse y calculen la longitud de cada uno redondeada a centésimos (tomen como unidad a la distancia horizontal o vertical entre dos clavos).

Puede sugerir la actividad que se plantea a continuación: Utilizando el pantógrafo, armado a escala 3 a 1, obtengan la figura homotética de un hexágono regular que mida 4 cm. por lado. Después contesten la siguiente pregunta;

¿Cuál es la razón de homotecia?

Tema 13: Semejanza y teorema de Pitágoras

105

Se debe aclarar que los segmentos pueden estar en cualquier posición: horizontal, vertical o inclinada.

Se espera que los alumnos encuentren todos los segmentos y calculen sus longitudes. Dé el tiempo suficiente y, cuando lo considere conveniente, pida a los equipos:

a) Que digan el número de segmentos de diferente longitud que encontraron.

b) Un representante del equipo que haya encontrado el mayor número de segmentos pasará a mostrarlos en su geoplano y anotará en el pizarrón las diferentes longitudes calculadas.

Los resultados se confrontarán con los encontrados por otros equipos y se discutirá hasta llegar a un acuerdo sobre el número de segmentos y sus respectivas longitudes calculadas correctamente.

En caso de que no se llegue a descubrir que son 14 segmentos, promueva que continúen con la discusión (mostrando, por ejemplo, si se afirma que son menos de 14, algún segmento que ningún equipo haya encontrado y si se dice que son más de 14, mostrando los segmentos con la misma longitud).

Una manera sistemática de hallar todos los segmentos pedidos es la siguiente:

Se podrá comprobar que cualquier otro segmento tiene la misma longitud que alguno

de los 14 mostrados. Las longitudes, en orden ascendente y redondeadas a centésimos, son:

1, 1.41, 2, 2.24, 2.83, 3, 3.16, 3.6, 4, 4.12, 4.24, 4.47, 5 y 5.66.

La actividad permite practicar el cálculo de longitudes aplicando el teorema de Pitágoras, así como usar la calculadora para encontrar raíces cuadradas y redondear cantidades. Aproveche para reafirmar aquellos contenidos en los que los alumnos tengan deficiencias.

2. Con la misma organización y los materiales de la actividad 1, plantee lo siguiente:

Encuentren el hexágono de mayor perímetro posible en el geoplano de 5 x 5.

Los alumnos se darán cuenta de que pueden formar diferentes hexágonos en un geoplano de este tamaño:

Promueva una competencia para ver cuál equipo encuentra el hexágono de mayor perímetro. Para los hexágonos anteriores, los perímetros son:

Con lo que se muestra que, de esos cuatro hexágonos, el que tiene el mayor perímetro es el número 4. Esto no significa que el hexágono 4 sea el de mayor perímetro que se puede formar, pues es probable que haya otros.

Esta actividad permitirá a los alumnos repasar el cálculo de perímetros, así como usar la calculadora para resolver operaciones, comparar números decimales, etcétera.

3. Nuevamente organizados en equipos de cuatro, proponga a los alumnos una extensión del problema anterior.

106

Propósito Obtener y resolver ecuaciones cuadráticas. Contenido Solución de ecuaciones cuadráticas de las

formas: ax² = 0; ax² + bx = 0 Material Cubos, hojas que contengan la secuencia de

cubos que se muestra en la actividad 1 y geoplano de 8 x 8.

Encuentren el polígono de mayor perímetro posible que se puede formar en un geoplano de 5 x 5.

Es conveniente recordar a los estudiantes que la liga no debe cruzarse consigo misma. Al tratar de resolver el problema, los alumnos explorarán los diferentes polígonos que pueden formarse, por ejemplo:

Cuando el perímetro de los cuatro polígonos anteriores, tenemos:

El polígono que muestra el geoplano número 4 es el de mayor perímetro de los cuatro aquí mostrados, no obstante, es probable que los alumnos encuentren otros de mayor perímetro.

Al igual que la actividad anterior, ésta puede ser aprovechada para reafirmar lo que son los polígonos convexos y cóncavos, los ángulos convexos y cóncavos, así como para utilizar el teorema de Pitágoras en el cálculo de longitudes, usar la calculadora para resolver operaciones con decimales (básicamente raíz cuadrada y suma) y comparar números decimales.

VARIANTES

PPAATTRROONNEESS YY EECCUUAACCIIOONNEESS

1. Organice al grupo en equipos de tres o cuatro alumnos. A continuación propóngales que resuelvan el siguiente problema:

Observen la sucesión numerada de dibujos que se muestra a continuación.

a) Construyan (con los cubos o mediante dibujos) las figuras 4 y 5 que siguen en la sucesión

b) ¿Cuántos cubos tendrá la figura 100 de la sucesión?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

d) Si se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

La pregunta a) tiene la finalidad de que los alumnos centren su atención en la manera como se construyó la sucesión, por lo que no tendrán dificultad para construir las figuras 4 y 5. Para las preguntas b) y c) tal vez sea necesario dar a los alumnos alguna orientación, por ejemplo, indicarles que elaboren una tabla como la que se muestra enseguida y pedir que en ella anoten el número de cubos que tienen las primeras figuras de la sucesión.

A partir del análisis de la tabla, algunos alumnos encontrarán que la sucesión se genera con la expresión n². El inciso d) es el caso inverso de la pregunta b). Algunos alumnos podrán hacer uso de la estimación

1. La actividad 2 puede plantearse con otro tipo de figuras: cuadriláteros, pentágonos, etcétera.

2. Para las actividades 2 y 3 puede pedir que calculen el área de los hexágonos o polígonos formados.

Tema 14: Ecuaciones cuadráticas completas

107

para encontrar que la figura 52 es la que tiene 2 704 cubos. Otros quizás se den cuenta de que la solución se obtiene al encontrar la raíz cuadrada de 2 704. Es conveniente que oriente a los alumnos para que observen que de una u otra forma están resolviendo la ecuación n² = 2 704.

2. Organice al grupo en equipos de cuatro alumnos. Pídales que construyan en el geoplano la secuencia de trapecios que se observa a continuación y después plantee las siguientes preguntas:

a) Observen cómo se han construido los trapecios que se muestran en el geoplano. Construyan los dos trapecios que siguen en la sucesión.

b) Calculen el área de cada uno de los seis trapecios.

c) Si continúan con la construcción de los trapecios, ¿cuál será el área del trapecio que ocupe el lugar 100?

d) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el área de cualquier trapecio que esté en la sucesión?

e) Si se sabe que el área de uno de los trapecios es de 588 u², ¿qué número corresponde, en la sucesión, a ese trapecio?

A partir de los incisos a) y b), los alumnos observarán la sucesión con la que se construyen los trapecios, y por otra parte encontrarán alguna estrategia para calcular su área. Los incisos c) y d) llevarán a los alumnos a la generalización, esto es, a partir del análisis de algunos casos tendrán que determinar un procedimiento algebraico. Así, es probable que ciertos alumnos descompongan el trapecio en dos figuras: un cuadrado, cuyo lado es la base menor del trapecio, y un triángulo, de altura b y de base una unidad (u), de manera que el área se puede calcular como: A = b² + b/2, donde b es la base menor del trapecio.

Posiblemente otros alumnos hallen una expresión equivalente si aplican la fórmula para calcular el área de un trapecio, considerando que la base mayor es igual a la base menor más 1, y que la altura es igual a la base menor, la expresión quedaría:

A = (B + b) h

2

Sustituyendo

[(b + 1) + b] b = (2b + 1) b = 2b² + b

2 2 2

El inciso e) es el caso inverso. La respuesta esencialmente tiene que ver con la solución de la ecuación: b² + b/2 = 588. Una estrategia que algunos pueden emplear es la estimación, es decir propondrán un valor para b y, al sustituirlo en la expresión, lo ajustarán hasta obtener 588.

Posteriormente puede poner algún otro procedimiento para resolver ecuaciones de ese tipo, por ejemplo, la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, o bien la factorización del trinomio.

3. Organice a los alumnos en equipos y plantee las siguientes preguntas.

a) Observen, a partir de la actividad 1, que en la figura 1 es posible ver tres caras del cubo, y que en la figura 2 se pueden ver nueve caras de los cubos que la forman. ¿Cuántas caras es posible ver en la figura 3? ¿Cuántas en la figura 4?

b) Si se continúa con la construcción de las figuras, ¿cuántas caras sería posible ver en la figura que ocupe el lugar 15?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras será que es posible ver en cualquier figura que esté en la sucesión?

d) ¿Qué número corresponde en la sucesión a la figura en la que es posible ver 153 caras de los cubos que la forman?

Una manera que puede facilitar el conteo de las caras es que los alumnos construyan con cubos cada figura. Seguramente algunos alumnos, después de analizar los primeros términos de la sucesión de números que

108

Propósito Desarrollar la imaginación espacial mediante la generación de sólidos de revolución y el cálculo de volúmenes.

Contenido Cilindros y conos de revolución. Material Por equipos: un rectángulo de 12 x 16 cm.

(pueden ser otras medidas), un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 10 cm., y un triángulo rectángulo cuyos lados midan 9, 12 y 15 cm. respectivamente.

indican las caras que se ven, podrían anotar los siguientes términos, sin embargo será difícil que encuentren la expresión algebraica que genera la sucesión. Por esta razón es pertinente que los oriente, como se indica a continuación.

Señale que la expresión que se busca es una expresión de segundo grado, ya que la segunda diferencia de los términos de la sucesión es constante, como se muestra en la tabla siguiente:

A continuación demuestre que a partir de la expresión ax² + bx + c van a generar una sucesión y a obtener las diferencias respectivas.

Combinando estas relaciones con los resultados obtenidos en la sucesión generada por el conteo de las caras que son visibles, pueden establecer cualquiera de los tres siguientes sistemas de ecuaciones:

Al resolver el primer sistema de ecuaciones se obtiene:

2a = 2, entonces a = 1.

3a = b = 6; 3(1) + b = 6, entonces b = 3.

a + b + c = 3; 1 + 3 + c = 3, entonces c = -1.

De manera que la ecuación buscada es:

x² + 3x – 1.

Una vez que los alumnos conozcan la expresión algebraica que permite conocer el número de caras que se pueden ver, podrán abordar la última pregunta y, en

consecuencia, aplicarán sus conocimientos para resolver ecuaciones de tipo ax² + bx + c = d.

VARIANTE

SSÓÓLLIIDDOOSS DDEE RREEVVOOLLUUCCIIÓÓNN

1. Organice al grupo en equipos de cuatro alumnos. Pídales que tomen el rectángulo y que lo giren como se muestra en las siguientes figuras. A continuación plantee el siguiente problema:

a) Al girar el rectángulo como se indica en la figura 1, ¿qué cuerpo se forma?

b) Al girar el rectángulo como se indica en la figura 2, ¿qué cuerpo se forma?

c) ¿Cuál de los dos cuerpos tiene mayor volumen? Anoten en su cuaderno lo que hayan considerado y después, para verificar su respuesta, calculen el volumen de cada uno de los cuerpos.

Puede plantear a sus alumnos el problema que se expone a continuación: Observen la siguiente tabla, en ella se muestra una sucesión de números, así como el lugar que ocupa cada término.

a) ¿Qué expresión algebraica permite obtener cualquier número que forma parte de la sucesión?

b) El número 730 forma parte de la sucesión, ¿qué lugar ocupa en dicha sucesión?

Tema 15: Sólidos

109

Para determinar que, al girar el rectángulo como se ha indicado, se genera un cilindro recto, los alumnos pondrán en juego su imaginación espacial.

El inciso c) seguramente deparará a los alumnos alguna sorpresa, pues muchos creerán que el cilindro más alto es el que tiene mayor volumen, y esto no es cierto.

El cálculo del volumen requiere de la determinación del radio del círculo y de la altura de cada cilindro: esta situación será una de las dificultades que los alumnos enfrenten. En un principio algunos considerarán que no se tiene suficiente información para calcular el volumen, pero seguramente se percatarán de que en el primer caso el largo del rectángulo corresponde al radio del círculo y el ancho a la altura del cilindro.

2. Para realizar esta actividad solicite a los alumnos que tomen el triángulo isósceles y que lo giren como se indica a continuación:

a) Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 1, ¿qué cuerpo se forma?

b) Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 2, ¿qué cuerpo se forma?

c) ¿Cuál de los dos cuerpos tiene mayor volumen? Anoten en su cuaderno lo que hayan considerado y después, para verificar su respuesta, calculen el volumen de cada uno de los cuerpos.

Como se puede observar, en el primer caso se genera un cono recto en el que la medida del cateto del triángulo corresponde a la altura del cono y también al radio de la base del mismo. Seguramente, a partir de la experiencia de la primera actividad, los alumnos observarán este hecho. Si algunos tuvieran dificultad para observarlo, puede proponer que tomen una escuadra de 45º y pedirles que la giren como

se indicó, de esta manera podrán visualizar el cuerpo que se genera.

Para determinar el volumen del cono se requiere conocer la altura y el radio de la base, por lo que los alumnos no tendrán problemas para calcular el volumen.

En el segundo caso, para reconocer el cuerpo que se genera al girar el triángulo, se requiere de una observación más cuidadosa. Quizás los alumnos tendrán dificultad para observar que se trata de dos conos que tienen una base común, como se muestra en la figura:

Si los alumnos no pueden reconocer el cuerpo, puede sugerirles, al igual que en el primer caso, que utilicen la escuadra de 45º y que la giren como se ha indicado.

El cálculo del volumen es una tarea que también puede complicárseles, ya que en este caso se requiere determinar, mediante algún procedimiento, el radio de la base común de los dos conos y la altura de los mismos. Si los alumnos no encuentran alguna estrategia, puede plantear algunas preguntas que los oriente. Por ejemplo: ¿Qué datos son los que requieren para calcular el volumen de los dos conos? ¿A qué medidas del triángulo corresponden la altura y el radio de la base de los conos? ¿Pueden calcular el área del triángulo? ¿Qué datos requieren para calcular el área del triángulo si consideran como base la hipotenusa del triángulo? ¿Pueden calcular la medida de la hipotenusa?, etcétera.

De esta manera algunos alumnos se darán cuenta de que el triángulo es rectángulo, pueden calcular su área, pues conocen la base y la altura del mismo (medida del cateo), y de igual manera pueden calcular la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.

110

Propósito Utilizar la trigonometría para resolver problemas de cálculo geométrico.

Contenido Primeros ejemplos para motivar el estudio de la

trigonometría. Tangente de un ángulo agudo. Material Juego de geometría y calculadora.

Este conocimiento les permitirá calcular el radio de la base del cono (que corresponde a la altura del triángulo, si se considera como base la hipotenusa) de la siguiente manera:

A = (10 · 10) = 50 cm.²

2

Por lo que:

50 cm.² = (x · y)

2

Al despejar y se obtiene:

Otros alumnos se darán cuenta de que y se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras.

Otros observarán que la altura de cada cono tiene la mitad de la longitud de x, que corresponde al valor de la hipotenusa del triángulo. Esto se puede ver si se dobla el triángulo sobre la longitud y una vez que los alumnos hayan respondido las preguntas de los dos primeros incisos, el inciso c) será respondido sin mayor problema. Sin embargo será conveniente que los alumnos confronten su respuesta con la estimación que anotaron al principio en sus cuadernos.

VARIANTE

RRAAMMPPAASS PPAARRAA PPAATTIINNEETTAASS

1. Organizados en equipos de cuatro a cinco alumnos, plantee el siguiente problema:

Se quieren construir rampas para una competencia de patinetas. Par medir el ángulo de inclinación de cada rampa, se considerarán dos medidas:

De acuerdo con las medidas especificadas, elijan aquella rampa cuyo ángulo de inclinación sea mayor en cada caso (las medidas están dadas en metros).

Dé tiempo suficiente a los alumnos para que elijan la rampa que consideren tiene mayor ángulo de inclinación en cada caso. Una vez que los equipos tengan las respuestas, pida que algún integrante pase al frente a darlas a conocer y que, además, explique el por qué eligieron tal o cual rampa.

Los equipos podrán hacer uso de diversas estrategias para resolver el problema. Una de ellas podrá ser el trazar los triángulos que representan las rampas a una escala adecuada, por ejemplo: 1 cm.: 1m.

Puede sugerir la siguiente actividad: Consideren un triángulo rectángulo con medidas 9, 12 y 15 cm., y gírenlos como se indica. Contesten las preguntas que aparecen debajo de las figuras.

a) Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 1, ¿qué cuerpo se forma?

b) Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 2, ¿qué cuerpo se forma?

c) Al girar el triángulo rectángulo como se indica en la figura 3, ¿qué cuerpo se forma?

d) ¿Cuál de los tres cuerpos tiene mayor volumen? Anoten en su cuaderno lo que consideren y después, para verificar su respuesta, calculen el volumen de cada uno de los cuerpos.

Tema 16: Trigonometría: razones trigonométricas de un ángulo agudo

(cálculo y primeras aplicaciones)

111

Con lo que podrán notar (probablemente) la inclinación de cada rampa. Es posible que se les ocurra medir el ángulo de inclinación �.

Otros equipos podrán notar que para los casos 1 y 2 es suficiente con analizar las medidas. Si a es igual en ambas rampas, la de mayor ángulo de inclinación es aquella en la que b es menor; si b es igual, entonces la de mayor ángulo de inclinación es aquella en la que el valor de a es mayor.

Para el caso 3 se espera que los alumnos hagan uso de lo visto en el tema 13 (semejanza) y noten que la inclinación de las rampas es la misma.

El caso 4 es el que ofrece mayor dificultad, incluso si se hace el trazo a escala. Posiblemente los alumnos lleguen por azar a la respuesta correcta, sin embargo, el hecho de que tenga que validar sus respuestas hará que busquen argumentos lógicos.

Lo ideal sería que a ciertos equipos se les ocurriera establecer la relación o razón que existe entre la altura de la rampa y la distancia horizontal recorrida:

a = altura de la rampa

b distancia horizontal

Y comparar estos cocientes para saber cuál rampa tiene mayor ángulo de inclinación. Por ejemplo, para el caso 4:

Con lo que se aprecia que la rampa 1 tiene mayor ángulo de inclinación.

Si no se les ocurriese, es conveniente que proponga este procedimiento y aproveche este momento para mencionar a los alumnos que esa razón se llama tangente del ángulo �.

Tangente del ángulo � = a

b

Y que ésta es una medida que permite calcular el ángulo de inclinación de la rampa. Dicho ángulo de inclinación puede calcularse, mediante la división a/b, haciendo uso de la calculadora o de las tablas para encontrar la medida del ángulo �. Se sugiere que en este momento defina a sus alumnos la tangente de un ángulo agudo como la razón del cateto opuesto entre el cateto adyacente, y que les muestre cómo calcularla, así como ilustrar el caso de cómo calcular el ángulo dada la tangente.

El caso 3 y los conocimientos que sobre semejanza tienen los alumnos, pueden ser utilizados para que exploren el hecho de que el valor de la tangente es el mismo para ángulos con la misma medida, aun cuando pertenezcan a triángulos rectángulos con catetos de diferente medida (la razón se conserva).

2. Nuevamente organizados en equipos, plantee el siguiente problema:

Se quiere construir una rampa cuya altura sea de 2 m y que forme un ángulo de 40º con el piso. ¿Cuál será la distancia horizontal que tendrá la base de la rampa?

Esta actividad es una extensión de la anterior y supone que al alumno:

112

Propósito Utilizar las relaciones trigonométricas para resolver problemas de cálculo geométrico. Estudio de los polígonos regulares.

Contenido Resolución de triángulos rectángulos y sus

aplicaciones. Estudio de los polígonos regulares. Material Juego de geometría y calculadora.

• Sabe que la tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

• Sabe calcular la tangente de un ángulo dado haciendo uso de la calculadora o de las tablas.

Se trabajará bajo la misma dinámica que en el problema anterior: dé tiempo suficiente para que los equipos busquen la respuesta correcta, socialicen sus estrategias y validen los resultados en forma grupal.

3. Plantee a los equipos el siguiente problema:

Calculen la longitud c de la siguiente rampa:

Básicamente el tratamiento es análogo al de los problemas anteriores, pero en este caso los alumnos tendrán que hacer uso (además de la función tangente) del teorema de Pitágoras.

Este último problema puede ser aprovechado para introducir la función coseno.

VARIANTE

PPAARRAA MMEEDDIIRR PPOOLLÍÍGGOONNOOSS RREEGGUULLAARREESS

1. Proponga al grupo resolver el siguiente problema en equipos de cuatro o cinco alumnos:

a) Calculen el perímetro y el área de un pentágono regular que mide 10 cm. por lado.

b) Utilizando funciones trigonométricas, calculen el perímetro y el área de un heptágono, un octágono, un eneágono, etcétera, cuyos lados midan 20 cm. respectivamente.

El cálculo del perímetro del pentágono no representará dificultad para los alumnos, mas no así el cálculo del área.

Para calcular el área, algunos equipos pueden construir el polígono considerando las medidas reales. Una vez hecho lo anterior, obtendrán las medidas necesarias para efectuar los cálculos.

Otros equipos pueden construir a escala el pentágono y después, aplicando sus conocimientos relacionados con la semejanza, obtendrán el área.

A partir de las soluciones de los alumnos, puede orientarlos para resolver el mismo problema utilizando funciones trigonométricas, en particular la función tangente. Así, la apotema del pentágono se puede expresar en función de uno de los ángulos del triángulo rectángulo OEL, como se muestra enseguida:

Se sugiere trabajar el problema 2 de la página 268 del Libro para el maestro, con el fin de complementar el uso de la tangente cuando se requiera determinar la pendiente o el ángulo de inclinación.

Tema 17: Problemas de trigonometría

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Propósito Practicar procedimientos algebraicos. Usar el lenguaje algebraico al operar con literales.

Contenido Revisión y expresión simbólica de operaciones

con fracciones algebraicas (casos sencillos: multiplicación, división y suma).

Por otra parte, para calcular el valor de la tangente del ángulo _, que mide 54, pueden utilizar la calculadora o las tablas. Una vez que se obtiene el valor de la apotema, el área se calcula utilizando la fórmula correspondiente.

Para responder el inciso b), los alumnos tendrán que aplicar sus conocimientos de geometría para determinar el ángulo central o el ángulo interno de los polígonos. Si los alumnos tienen dificultades, pueden hacer un breve recordatorio o dar algunas orientaciones para salvar este obstáculo. Por otra parte, quizás sea necesario que los oriente en el uso de las funciones trigonométricas para encontrar el área de cada polígono.

2. Para resolver los siguientes problemas, organice al grupo en equipos de cuatro o cinco alumnos.

Utilizando los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º, en función del radio (r) expresen: el valor de un lado (c), la apotema (a) y el área (S) de los polígonos irregulares siguientes:

Al igual que en los problemas anteriores, los alumnos deben determinar el valor del ángulo central o interior de cada uno de los polígonos.

Es conveniente que observe el trabajo de los alumnos, de manera que, en caso necesario, haga las orientaciones que considere convenientes.

En el caso del triángulo, si se considera el ángulo de 30º, las siguientes son expresiones que los alumnos podrán encontrar.

C = 2r (cos 30); a = r (sen 30);

S= 3r² (cos 30)(sen 30).

Con la finalidad de que los alumnos observen que las expresiones encontradas son correctas, puede asignar un valor al radio y pedir que determinen la medida de un lado, la apotema y el área utilizando las expresiones encontradas. Después pida que calculen dichas medidas con otro procedimiento.

VARIANTES

CCAALLCCUULLAANNDDOO ÁÁRREEAASS

1. Organice a los alumnos en parejas y plantee el siguiente problema:

Observen la siguiente figura.

Calculen el área de la parte sombreada, considerando que el valor de p es mayor a 1.

1. En la tabla que se muestra a continuación están dadas las medidas de un lado, así como la apotema, el perímetro y el área de los polígonos regulares de tres lados (triángulo equilátero) y seis lados (hexágono regular) inscritos en un círculo que tiene 10 cm. de radio. Completen la tabla para los polígonos regulares de 12, 24 y 48 lados que también están inscritos en un círculo que mide 10 cm. de radio. ¿Qué relaciones descubren después de que han completado la tabla? Coméntenlo con sus compañeros y escriban sus conclusiones.

2. Un polígono regular de 12 lados tiene de área 24 unidades

cuadradas. ¿Cuánto miden sus lados? ¿Cuánto miden los radios de los círculos inscrito y circunscrito? ¿Y si el polígono regular tuviera 8, 9, 10, 18…lados?

Tema 18: Fracciones algebraicas

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Para determinar el área de la parte sombreada, los alumnos pueden proceder de dos formas. Algunos encontrarán primero el área del rectángulo completo (6p), después el área del rectángulo blanco, y finalmente las restarán para obtener el área sombreada.

Otros alumnos primero obtendrán la medida del ancho del rectángulo sombreado y después calcularán su área.

En cualquiera de los dos procedimientos es posible que algunos alumnos se equivoquen al efectuar las operaciones. Si es así, usted y los propios alumnos pueden dar algunas ideas para corregir los errores.

El área de la parte sombreada es igual a:

2. Plantee a los alumnos el siguiente problema. Pídales que lo resuelvan en parejas y advierta que deben tener cuidado al realizar las operaciones.

Calculen el área de la parte sombreada.

Al igual que en la actividad anterior los alumnos pueden seguir dos procedimientos para encontrar el área de la parte sombreada. En cada caso pueden cometer errores que será necesario analizar con ayuda de usted.

Cualquiera que sea el procedimiento que utilicen, encontrarán que el área de la parte sombreada es igual a:

3. Organice al grupo en parejas y proponga el siguiente problema:

Calculen el área de los rectángulos I, II, III, IV, V y VI. Comprueben que la suma corresponde al área total del rectángulo.

El problema es similar a los dos anteriores, sin embargo ahora los alumnos tendrán que efectuar mucho más operaciones y esto aumenta la probabilidad de que se equivoquen.

Una gran ventaja de este problema es que los alumnos por sí solos pueden controlar el resultado, puesto que la suma de las áreas parciales debe coincidir con el resultado de multiplicar p (p + 2), que es muy fácil de obtener.

Una tarea importante de usted en esta actividad es animar a los alumnos para que no desistan de efectuar los cálculos.

4. Una vez que los alumnos se encuentren organizados en equipos, proponga la siguiente situación:

A continuación se ilustra otra manera de calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de un número m, utilizando el método babilónico. Escriban las dos siguientes aproximaciones. Tomen en cuenta que para escribir la siguiente aproximación deben considerar las expresiones del segundo rectángulo.

Si lo considera conveniente, explique a los alumnos cómo se procedió para determinar la segunda aproximación, esto es, dado que el área del rectángulo se calcula con la expresión m = bh, en el segundo rectángulo la base es el promedio de la base y la altura del primer rectángulo, es decir; b = (m + 1) /2.

115

Al sustituir este valor en la expresión m = bh, resulta m = (m + 1) /2(h), y al despejar h, se obtiene el valor correspondiente en el segundo rectángulo.

Para obtener las siguientes dos aproximaciones, los alumnos tendrán que operar con fracciones algebraicas. Es necesario que observe el trabajo de los alumnos para que detecte las dificultades y errores que cometan.

Una vez que los alumnos hayan obtenido las expresiones algebraicas que se requieren, es conveniente que tome en cuenta casos particulares para verificar que las expresiones obtenidas permiten calcular la raíz cuadrada correspondiente.

La calculadora es un buen auxiliar para verificar las aproximaciones que se hagan.

VARIANTE

Puede proponer a los alumnos la siguiente actividad: Consideren que r es una medida mayor o igual a 2. Calculen el área de la parte sombreada.

116

ANEXO A

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

117

ANEXO B

118

ANEXO C

119

ANEXO D

El pantógrafo se puede construir con cuatro tablitas de madera que midan 19 cm. de largo y 1 cm. de ancho, y que se articulen como se muestra en el dibujo.

Cada tablita tiene seis agujeros, colocados a la distancia que se indica.

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LA IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS GENERALES Y PARTICULARES EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La importancia del uso de estrategias generales y particulares en la resolución de problemas ha propiciado diversas discusiones relacionadas con el énfasis o tendencias en cuanto a su papel en la educación. Por un lado, existe la idea de poner en un primer plano el desarrollo de estrategias con amplio margen de aplicación en la resolución de problemas; mientras que por el otro lado, se argumenta que para que una estrategia pueda realmente asimilarse tiene que estar necesariamente ligada a un contexto o a un contenido específico. En este capítulo, se presentan las ideas generales desarrolladas por estas dos tendencias y se identifica una dirección en la que ambas pueden ser vistas como complementarias.

LA RELACIÓN DE LO PARTICULAR Y LO GENERAL EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS:

El argumento de la transferencia

En la década pasada se vio un cambio radical en las teorías del aprendizaje que en gran medida fue producto del desarrollo de las ciencias cognitivas. Por ejemplo, en 1970 las teorías del aprendizaje se inclinaban por caracterizar principios generales donde los detalles de la disciplina no se consideraban importantes en el aprendizaje. Sin embargo, conforme avanzaban las ciencias cognitivas, se empezó a cuestionar la propuesta de aprendizaje independientemente del contenido específico de la disciplina (Shulman, 1986). Es decir, el estudiar matemáticas implica asimilar conceptos, métodos y principios que poseen diferencias fundamentales con los que se estudian en otras áreas del conocimiento.

En un contexto general, la propuesta de aprendizaje que identifica a la resolución de problemas como una actividad esencial aparece en varios campos incluyendo a la física, la psicología, la historia y el aprendizaje del lenguaje. Además, esta propuesta ha estado íntimamente relacionada con lo que se identifica como desarrollo de la inteligencia o desarrollo de un pensamiento crítico. En áreas como la psicología hay grupos que han

explorado el desarrollo de un pensamiento crítico a través de estrategias similares a las que aparecen en la resolución de problemas matemáticos (Perkins, Jay, y Tishman, 1993; De Bono, 1983; Nickerson, Perkins y Smith, 1985). En seguida se presentan aspectos relacionados con la importancia del contexto en la resolución de problemas y su papel en la transferencia.

La transferencia es un componente importante en el aprendizaje de las estrategias para resolver problemas matemáticos: ¿hasta qué punto puede transferir el estudiante su experiencia de resolver problemas en ciertos contextos a otros problemas establecidos en contextos diferentes? Esto es, ¿cuál es el papel del contenido en la transferencia? Para ubicar la discusión y aportar algunos elementos de reflexión se presentan algunos puntos de vista y resultados de lo que puede ser un argumento a favor o en contra de la existencia de la transferencia.

La transferencia, los métodos, y el desarrollo de la inteligencia

La relación entre métodos heurísticos generales y la importancia del contenido específico ha sido un tema de controversia cuando se aborda la discusión del desarrollo de la inteligencia. El dilema de enfocar el aprendizaje en lo general o particular puede tomar diversas formas: Si una idea o heurística aprendida es demasiado específica, entonces no se puede esperar una transferencia fácil a otras situaciones. Por otro lado, si la idea se presenta en forma general, no parece claro cuándo realmente el dominio de esta idea se ha logrado. Así, por ejemplo, la estrategia de dibujar una figura puede ser útil para resolver una variedad de problemas, pero siempre se discute en un contexto específico o para un contexto específico.

Huter (1986) argumenta que el desarrollo de una inteligencia general es influenciado por el dominio de algún tipo de conocimiento. Así, la gente con alta inteligencia general, tiende a ejecutar actividades de manera adecuada porque poseen un rico conocimiento básico, el determinante directo de la ejecución. Entonces, ¿cuál es el tipo de conocimiento que debe enfatizarse más en el aprendizaje: el conocimiento general de cómo pensar bien, o el conocimiento específico de los detalles internos y externos de determinado campo de estudio?

Como lo indica Perkins (1981), un conocimiento general incluye estrategias

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ampliamente aplicables para resolver problemas, para tomar decisiones, para desarrollar un pensamiento inventivo y para regular o monitorear el proceso de solución de un problema. Mientras que un conocimiento específico incluye aspectos particulares de cada disciplina.

Así, se tiene que discutir la cuestión de qué es lo esencial para lograr una habilidad notable en el dominio de un campo o área de conocimiento. En la discusión se pueden identificar dos direcciones: ¿descansa en adquirir un conocimiento profundo en el campo específico, es decir, dar énfasis a las cuestiones particulares del área y esto es suficiente para que cualquiera pueda aprender las estrategias generales de pensamiento que se necesitan?, ¿o radica en llegar a ser reflexivo y en cultivar el uso de estrategias generales, y esto garantiza que cualquiera puede aprender las particularidades o especificidades del campo?

Las cuestiones anteriores producen y sustentan posiciones fundamentales acerca de la educación, es decir, sobre lo que se debe enfocar o en qué aspecto se debe centrar la enseñanza.

Tres posiciones se identifican en este sentido. Una, la que asegura que se debe enseñar completamente para el desarrollo de un conocimiento local, es decir materia por materia.

El otro sentido está a favor de que se deben invertir una gran cantidad de recursos en el desarrollo de habilidades generales para resolver problemas, autorregularse en el proceso de aprendizaje, y evaluar el propio aprendizaje.

Una tercera posición afirma que, en realidad, esta dicotomía oscurece algunos aspectos importantes. Es decir, se debe apuntar a una combinación de estrategias generales y particulares. Aquí, la pregunta obligada es ¿cuáles estrategias generales se deben estudiar y a qué nivel?

Para ubicar los aspectos a favor y en contra de estas posiciones revisaremos algunos trabajos sobre ello.

El trabajo de Polya: La edad de oro de los métodos heurísticos

Polya (1945) establece que las formalidades de una prueba matemática y su derivación tienen poco que ver con el trabajo real de resolver problemas en matemáticas.

Schoenfeld (1992) señala que la presentación de unas matemáticas acabadas, pulidas y formalizadas oculta las diversas estrategias y ajustes que ocurren en su desarrollo. Aun cuando tales formalidades eran el vestido de noche para publicar en revistas, el encontrar soluciones a problemas dependía de un repertorio de métodos heurísticos. Es decir, estrategias generales para atacar un problema que no garantizaban una solución pero que ayudaban. Polya discute el potencial de los métodos heurísticos como descomponer el problema en subproblemas, resolver problemas más simples que reflejen aspectos del problema principal, usar diagramas para representar un problema en formas diferentes, y examinar casos especiales para tener una idea del problema.

Las heurísticas identificadas por Polya se enmarcan en comunicar su propia experiencia como matemático al resolver problemas. Polya compartía que las estrategias y preguntas de un experto al resolver problemas podían ser modeladas por los maestros en el salón de clases. Así, Polya creía que bajo la guía del maestro, los estudiantes podían en algún momento internalizar el proceso de cómo un matemático dialoga consigo mismo durante el proceso de solución, y usarlo naturalmente sin ayuda externa.

Así, el trabajo de Polya se desarrolló alrededor de la resolución de problemas matemáticos específicamente, pero muchas de las heurísticas que enfatizó eran aplicables a la resolución de problemas podría ser vista como una habilidad general y la resolución de problemas matemáticos simplemente como un caso especial. En el proceso de resolver problemas, Polya identifica etapas fundamentales en las que el uso de los métodos heurísticos juega un papel importante. De manera general, estas etapas son:

1. Entendimiento del problema. En esta fase se ubican las estrategias que ayudan a representar y entender las condiciones del problema. Por ejemplo, ¿cuál es la información dada en el problema (datos)?, ¿cuál es la incógnita?, y ¿cuáles son las condiciones que relacionan los datos en el problema? son algunas preguntas que merecen atención en la fase de entendimiento del problema.

Otras heurísticas importantes aquí son el dibujar una gráfica o diagrama, e introducir una notación adecuada.

En campos como la inteligencia artificial el entendimiento del problema se refiere a

122

estar seguro de que uno entiende la naturaleza de la meta, el estado inicial y las operaciones permitidas.

2. Diseño de un plan. En esta etapa se recomienda pensar en problemas conocidos que tengan una estructura análoga a la del que se quiere resolver y así establecer un plan de resolución. En la psicología, la habilidad de establecer relaciones se identifica como un indicador de la inteligencia. Es importante que, como métodos de solución, el individuo diferencie propiedades estructurales profundas de características superficiales, como por ejemplo, la existencia de palabras comunes de los posibles métodos de solución (Santos, 1995).

Algunas estrategias que pueden ayudar a construir un plan de solución incluyen:

I. Pensar en un problema conocido que involucre la misma clase de incógnitas pero que sea más simple. Por ejemplo, un problema de tres dimensiones puede pensarse en el plano o en la recta. Esto además puede ayudar a visualizar el problema gráficamente.

II. Simplificar el problema por medio de una transformación a casos especiales. Esto es muy usual por ejemplo en la búsqueda de patrones que incluyan números naturales. O también al resolver desigualdades de números con varias variables, a veces ayuda el reducir el número de parámetros.

3. Ejecución del plan. Aquí se contemplan aspectos que ayudan a monitorear el proceso de solución. Una idea fundamental es tratar de resolver el problema en una forma diferente y analizar o evaluar la solución obtenida. De hecho, esta etapa tiene conexión con lo que Polya denomina una visión retrospectiva del proceso de solución. También es importante establecer conexiones y extensiones del problema original en otros contextos.

Los trabajos iniciales en el campo de la inteligencia artificial también se apoyaron en el uso de estrategias generales. En esta línea se incluye el diseño de programas para llevar a cabo procesos tales como un juego de ajedrez o una prueba de algún teorema. La estrategia del diseño se basaba en describir los estados inicial y final del proceso y a partir de esto se realizan ciertas operaciones (reglas en el ajedrez y axiomas en matemáticas) utilizando una notación compacta. Muchos de

los acertijos y problemas en lógica pueden atacarse con este principio.

Los programas podían realizar una serie de operaciones para transformar el estado inicial del problema en un estado final. Esto se llevaba a cabo comparando y contrastando el inicio con el estado final y aplicando una operación que podía reducir aún más el contraste. Por supuesto, el programa incluía otras operaciones más sofisticadas; sin embargo, las ideas de Polya respecto al uso de principios generales aplicados sistemáticamente sin importar el conocimiento base eran eficientes.

Algunas heurísticas identificadas como necesarias en la resolución de problemas incluían estrategias para memorizar, para tomar decisiones, para pensar creativamente y para razonar adecuadamente. En este contexto, el conocimiento específico del dominio (matemáticas, ajedrez) no se identificaba como muy importante. Había que conocer ciertas reglas como el ajedrez, o algunos axiomas como el caso de las matemáticas; pero no parecía que fuese suficiente el poseer el conocimiento base para el desarrollo del pensamiento.

En la enseñanza de las matemáticas, las ideas de Polya empezaron a implantarse significativamente alrededor de 1980. Las estrategias heurísticas como dibujar diagramas, buscar submetas, considerar casos particulares y resolver problemas más simples se consideraban como parte esencial en la instrucción matemática. Sin embargo, como se discutirá más adelante, los resultados de este tipo de instrucción no mostraban una diferencia notable en el aprovechamiento matemático de los estudiantes. Como Begle (1979) mencionó: “…Esfuerzos simplistas para mejorar las habilidades de los estudiantes para resolver problemas no serán suficientes” (p. 144).

La relación entre heurísticas generales y el aprendizaje de un contenido específico ha sido un asunto de discusión en varias disciplinas. El dilema se puede describir como “Si una idea aprendida es muy específica, entonces no se espera una transferencia de esta idea a otras situaciones; pero si ésta es presentada en forma muy general, entonces no parece claro cuándo esta idea o estrategia se ha aprendido”. Así, por ejemplo, el dibujar una figura puede ser útil en una gama amplia de situaciones, pero nadie realmente aprende esta estrategia en un sentido general sino que la restringe a un contexto o contenido específico.

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El papel del contexto: La presencia de lo particular

La idea de que los métodos generales son aspectos importantes en la resolución de problemas y de que estos desempeñan un papel importante en la adquisición y el uso de habilidades relacionadas con el desarrollo de la inteligencia del individuo empezó a cuestionarse en base a ciertos resultados. Tres líneas de investigación aportan elementos que refuerzan dicho cuestionamiento:

a) el estudio de los expertos; b) el estudio de los métodos débiles, y c) el estudio de la transferencia.

En relación a los estudios donde se observaba a los expertos de diferentes dominios en acción se intentaba identificar los componentes esenciales que influían en la resolución de ciertas tareas o problemas. Por ejemplo, algunos experimentos realizados en juegos como el ajedrez mostraron que la habilidad para recordar diversas posiciones dependía en gran medida de la experiencia propia del individuo acerca de este juego. Un gran maestro se estima que posee un repertorio de aproximadamente 50 mil configuraciones o esquemas que le dan esa habilidad para pensar. Así, empezó a definirse un perfil general del experto. Algunas características incluían:

I. Un conocimiento base amplio de patrones del campo específico. Es decir, conocimiento de situaciones muy específicas del campo en donde se es experto. Por ejemplo, un experto en ajedrez reconocía configuraciones típicas en un juego fácilmente, un físico reconocía los usos de las leyes de conservación en la solución de problemas, y un matemático reconocía la aplicación de ciertos principios como la inducción matemática, la contradicción o la analogía.

II. Un reconocimiento rápido de situaciones donde estos patrones se aplican.

III. Un razonamiento que va del reconocimiento directo a la solución a través del trabajo con los patrones.

Por otro lado, este tipo de estudios también indicaban que los novicios tienden a no ver los patrones relevantes, porque no los saben o porque carecen de un camino para tener acceso a ellos rápidamente. Estos resultados comenzaron a señalar la importancia de los aspectos particulares asociados a las

disciplinas (Rabinowittz y Glaser, 1985; Larkin, 1982; Schoenfeld 1985).

Otros estudios que empezaron a cuestionar el papel de las estrategias generales se relacionan con el uso de los métodos débiles (weak methods). Se relacionan con los métodos utilizados en el diseño de programas en inteligencia artificial. Así, el trabajo en esta área, que inicialmente apoyaba la idea de que heurísticas generales conducían al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas, empezó a ser cuestionado. Por ejemplo, Programas como “The General Problem Solver” podían resolver problemas formales muy simples, como los de lógica simbólica elemental. Pero estos programas parecían inútiles para resolver problemas complejos en otros dominios como el ajedrez, integración de expresiones matemáticas, o en el diagnóstico médico (Gardner, 1985).

En contraste, programas diseñados para esos dominios mostraban éxito notable. Los investigadores en inteligencia artificial se referían a las heurísticas generales como métodos débiles. Al enfrentarse a un dominio nuevo, una computadora o un humano mostraban métodos débiles que llevaban a resultados débiles. Un poder real en la resolución de problemas surgía con el tiempo: la aplicación de métodos débiles creaba la oportunidad de aprender y almacenar las ramificaciones y movidas particulares en el dominio y construía una rica base de datos (Rich, 1983). Esta base dependía de un contexto específico. En matemáticas ocurría que algunos estudiantes conocían los métodos de Polya, pero no sabían cuándo utilizarlos (Schoenfeld, 1985).

Otra línea que también contribuyó en el cuestionamiento de las estrategias generales es la relacionada con la transferencia. Las investigaciones en esta línea sugieren que pensar efectivamente depende de un contexto específico, que las habilidades son acotadas contextualmente y que poseen poca aplicación en otros dominios. Thorndike (1901) mostró que entrenarse en campos como el latín o en las matemáticas no tiene influencia medible en otras funciones cognitivas. Así, negaba la creencia en el entrenamiento de las facultades mentales.

Otros estudios aportaron resultados similares. Por ejemplo, Pressley, Zinder y Cariclia-Bull (1987) reportaron que enseñar a los estudiantes el uso de estrategias generales independientes de un dominio específico no producía beneficios fuera del contexto en que eran enseñados.

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Los argumentos sobre el papel del contexto en perspectiva

Antes de descartar o disminuir el potencial de las estrategias generales, conviene reflexionar sobre algunos casos que hacen evidente la importancia de su papel o influencia. Por ejemplo, algunas personas parecen inteligentes, no solamente conocedoras, sino hábiles sin importar la materia. Los filósofos, al usar contraejemplos, caen en esta categoría. Un filósofo parece haber desarrollado una estrategia general en el uso de contraejemplos. Así, en una discusión, generalmente echa mano de esta estrategia sin importar la materia. Es decir, se puede estar hablando de contaminación, de política, de economía, o de cualquier otro tema y la presencia de esta estrategia se hace notar claramente en sus argumentos (Perkins, 1981).

Toulmin (1958) sostuvo que dominios diferentes pueden compartir muchas estructuras de argumento, pero traen consigo algo diferente en cuanto a criterios de evidencia. Aun cuando estos puntos se pueden aceptar existe un señalamiento importante en cuanto a que consideran lo general y lo contextualizado como dos cosas exclusivas. Como reto a esta dicotomía, existen habilidades cognitivas generales, pero siempre funcionan en formas contextualizadas a lo largo de líneas articuladas que considera los hábitos de pensar de los filósofos.

La búsqueda misma de contraejemplos parece jugar un papel importante en el razonamiento de los filósofos: les permite encontrar puntos débiles en aseveraciones que de otra forma no encontrarían. La búsqueda de contraejemplos parece ser transferible: aparentemente, los filósofos la obtienen de sus estudios y la aplican a otros dominios. La acción de buscar contraejemplos parece estar ausente en la enseñanza formal. La experiencia diaria sugiere que la mayoría de la gente no busca reflexivamente contraejemplos (Perkins, 1985). Por supuesto, el uso de contraejemplos se puede ver como un caso aislado que no puede sostener la presencia de estos métodos. Las áreas de investigación en este sentido incluyen aspectos relacionados con:

a) el papel de los expertos ante problemas no rutinarios;

b) la metacognición y los métodos débiles, y

c) la evidencia de transferencia.

Algunos resultados no muestran consistencia en el reconocimiento de que las habilidades de los expertos están directamente relacionadas con un rico conocimiento base de esquemas en un contexto específico. Como consecuencia, los argumentos del experto, los de los métodos débiles y los de transferencia han empezado a ser cuestionados. Estos resultados parecen señalar una nueva perspectiva en cuanto a la presencia de los métodos generales en la resolución de problemas.

Al trabajar con problemas no típicos, el experto ciertamente usa su conocimiento base del área tratando de ver la estructura del problema y usa principios como la conservación de la energía en física o el método de reducción al absurdo en matemáticas. En virtud de que los problemas no rutinarios o no familiares no se enmarcan en un enfoque dirigido, los expertos aplican muchas estrategias de carácter general. Algunas de las actividades que llevan a cabo incluyen:

I. Búsqueda de analogías con sistemas que entienden mejor.

II. Exploración de la existencia de analogías falsas dentro de la analogía.

III. Hacer referencia a los modelos intuitivos mentales para tratar de entender cómo se comportaría el sistema.

IV. Investigación de los sistemas que se quiere alcanzar con casos extremos (tender a cero infinito).

V. Construcción de problemas más simples con la misma estructura, con la idea de importar la solución al problema original.

Este comportamiento sugiere que un buen número de heurísticas generales (que no aparecen cuando el experto confronta problemas típicos) juegan un papel importante en el proceso de resolver problemas no rutinarios. Es decir, cuando los problemas se establecen en contextos específicos como los que se encuentran en los libros de texto, parece que el conocimiento específico de la materia relacionada juega un papel determinante. Sin embargo, cuando el problema es no familiar, la presencia de estrategias generales se hace más notable en el proceso de solución.

Shoenfeld (1989) ha mostrado que las heurísticas de Polya pueden ser importantes en el aprendizaje de los estudiantes si se discuten a un nivel contextualizado. Por ejemplo, cita la necesidad de hacer notar que

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la estrategia de “considerar casos particulares” debe tomar en cuenta ejemplos en los cuales se señalen diversos caminos. Es decir, al encontrar una fórmula que involucre a los números naturales conviene experimentar con 1, 2, 3,…; si el problema incluye el análisis de raíces de polinomios es conveniente pensar en casos donde los polinomios sean fácilmente factorizables; y si el problema incluye una serie recursiva, se puede iniciar con n = 0 y 1. Además, el uso de estrategias metacognitivas ayuda al estudiante a utilizar estrategias generales eficientemente. En general, este tipo de estrategias se refieren al monitoreo constante del proceso de solución. Schoenfeld afirma que el reflexionar acerca de lo que uno está haciendo ayuda a relacionar el conocimiento base de los estudiantes y aplicarlo adecuadamente. Algunas preguntas que Schoenfeld recomienda a los estudiantes para pensar o reflexionar al resolver problemas son: ¿Qué estoy haciendo ahora? ¿Me está llevando esto a algún lugar? ¿Qué otra cosa puedo hacer en lugar de continuar con esto? Además, la reflexión alrededor de estas preguntas ayuda al individuo a evitar que se persevere o se explore un solo camino en forma improductiva. Los resultados que Schoenfeld ha reportado en cuanto a la enseñanza de algunos métodos heurísticos han sido alentadores. Por ejemplo, en un grupo de estudiantes a nivel universitario donde él participó como coordinador de un curso intensivo. “Técnicas para Resolver problemas”, encontró que los estudiantes no sólo mostraban avances en cuanto al uso de las estrategias al final del curso, sino que también identificó huellas de la transferencia del uso de estas estrategias al resolver problemas totalmente diferentes a los discutidos en el curso. Es importante mencionar que en el desarrollo del curso de Schoenfeld destaca la componente del control o monitoreo constante por parte de los estudiantes al trabajar los problemas. Se han encontrado resultados parecidos en la enseñanza de habilidades cognitivas generales que incluyen la toma de decisiones, estrategias de lectura y el uso de diagramas (Nickerson, et al. 1985).

Perkins (1985) señala que cuando la gente se enfrenta a una situación nueva, trata de aplicar conocimientos, habilidades y estrategias de otros dominios familiares. De hecho, la gente ignora lo nuevo en una situación asimilándola o trasportándola a un esquema familiar.

Algunos estudios muestran que cuando se enseñan principios generales conjuntamente con prácticas de autoevaluación y aplicaciones potenciales en una variedad de contextos, se logra la transferencia. Así, la transferencia ocurre cuando:

I. Se le muestra al alumno cómo se relacionan los problemas entre sí.

II. La atención de los estudiantes es dirigida a resaltar la estructura de problemas comparables.

III. Los alumnos están familiarizados con los problemas del campo o dominio específico, es decir, matemáticas, física, química, u otra disciplina.

IV. Los ejemplos se acompañan de reglas (formuladas por los mismos estudiantes).

V. El aprendizaje se lleva a cabo en un contexto social (formuladas por los mismos estudiantes).

VI. El aprendizaje se lleva a cabo en un contexto social (enseñanza recíproca) donde las justificaciones, los principios y las explicaciones son socialmente promovidas, generadas y contrastadas (Browny Kane, 1988).

Perkins y Salomon (1987) indican que una baja transferencia depende de una práctica variada y extensiva de una habilidad. Por ejemplo, manejar varios tipos de autos en condiciones variadas permite manejar un camión fácilmente. Por otro lado, una alta transferencia depende de que el alumno lleve a cabo una abstracción de un principio. La gente algunas veces abstrae principios por adelantado, los almacena en la mente con anticipación a algunas oportunidades de aplicación. O en situaciones nuevas regresa a sus experiencias previas y abstrae de ellas principios que pueden ser relevantes.

Por supuesto que con la presentación hasta aquí hecha de algunos resultados que indican la relación de las estrategias generales y particulares en la resolución de problemas, la discusión no está concluida. Algunos elementos que le han dado relevancia a los métodos generales son la presencia de problemas no rutinarios y las estrategias metacognitivas o de monitoreo. En este contexto, quizás la complementariedad de lo general y lo particular debe estar presente en la solución de problemas. Perkins y Salomón (1989) indican que:

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Las habilidades cognitivas generales no funcionan tomando el lugar del conocimiento del dominio específico, ni operando de la misma forma de un dominio a otro dominio. Funcionan como herramientas generales de la misma manera que funciona una mano humana. Es decir, las manos solas no son suficientes: se necesitan objetos que sujetar… se necesita aprender a sujetar apropiadamente diversos objetos. Es decir, no se sujeta de la misma forma a un bebé y a una silla (p. 23).

Así, cuando los métodos heurísticos no se relacionan con el contenido base de la disciplina, éstos parecen débiles. Por ejemplo, el estudiante puede memorizar las estrategias generales pero no saber cuándo ni cómo usarlas. También, cuando el dominio base de la disciplina opera sin heurísticas generales, ocurre que los estudiantes desarrollan sólo habilidades para operar fórmulas o reglas.

Muchas veces el desarrollo de habilidades para resolver problemas en diversos campos se ha vinculado con el desarrollo del pensamiento o razonamiento de alto nivel. Aun cuando no existe un común acuerdo, entre los que han trabajado en esta dirección, en cuanto al significado o caracterización de estas habilidades, es importante señalar que la mayoría coincide en que las habilidades de alto grado de pensamiento incluyen el desarrollo de:

a) Un pensamiento no algorítmico. Es decir, aquel en el que no existe un camino determinado a seguir y éste se pueda anticipar.

b) Un pensamiento en el que el individuo tenga que contemplar varias formas de solución las cuales presenten ventajas y desventajas vinculadas directamente con el problema o situación en estudio.

c) Un pensamiento que involucre el uso de diversos criterios los cuales algunas veces pueden estar en conflicto.

d) Un pensamiento que algunas veces implica cierta incertidumbre. Es decir, no siempre se conoce lo que se tiene al alcance en una situación o tarea.

e) Un pensamiento que incluye un monitoreo constante del proceso de solución (Resnick, 1987).

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PRINCIPIOS GENERALES EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Desde los tiempos de Descartes siempre ha existido un gran interés por identificar métodos generales para resolver diversos problemas. Así, en “Reglas para la Dirección de la Mente” se sugerirá transformar cualquier problema a una forma matemática de donde pudiera obtenerse una representación algebraica para resolverlo. En el proyecto de resolver cualquier problema surge el desarrollo de la geometría analítica. Polya, en esta perspectiva, también identifica los métodos heurísticos como un componente fundamental en la resolución de problemas. En este capítulo se revisa el trabajo de otro matemático notable (Melzak) que intenta aislar y aplicar algunos principios generales en la resolución de problemas. Además, se ilustran algunas estrategias que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas.

MELZAK Y ALGUNOS PRINCIPIOS DE TRABAJO

El objetivo fundamental en este capítulo es examinar algunas estrategias básicas de trabajo que se utilizan en el quehacer matemático. A pesar de que el campo de las matemáticas es amplio y existen gran variedad de métodos y estrategias que se identifican al resolver problemas, es importante identificar e ilustrar estos aspectos en cuanto a su vinculación con la enseñanza. Muchas veces un problema matemático puede ser resuelto utilizando varios métodos que pueden ser cualitativamente diferentes. La discusión de las cualidades de los métodos de resolución también se considera en este capítulo. Es importante mencionar que la evaluación de las estrategias también conlleva un sello personal del que analiza el problema más que un valor intrínseco asociado a cada método o estrategia.

El análisis de algunos métodos concretos, identificados más frecuentemente en el estudio del contenido matemático, puede ser de gran utilidad en el desarrollo de habilidades para decidir cuándo y cómo usarlos al resolver problemas.

Melzak (1983), en un intento por aislar y describir algunos de los principales principios metodológicos usados en el quehacer

matemático, ilustra el llamado principio del “desvío”. Este principio se refiere al desplazamiento del problema original a otro dominio conveniente en el cual sea más fácil de resolver. Durante esta transferencia de un domino a otro, se reconoce las propiedades de la estructura esencial del problema que juegan un papel importante en dicha transferencia. Así, si se desea resolver un problema difícil (M), se traslada a otro contexto (S) que oculte su naturaleza difícil; se resuelve el problema (T) en el contexto (S), donde es un problema más sencillo. Después se reinterpreta (S-1) la solución en términos del contexto original. El principio del “desvío” se puede representar en símbolos como M = STS-1.

Una aplicación del principio del “desvío” se ilustra en el cálculo del producto (M) de los números romanos XIX y LXXVII. Dado que no existe un algoritmo para multiplicar en este sistema de números, se lleva este problema al contexto arábigo (S), donde la multiplicación es fácil de obtener. Es decir, se lleva a la forma conocida de multiplicar 19 x 78, dando como resultado 1482 (T). Finalmente, se regresa a los números romanos (S-1) para dar la solución del problema original: MCDLXXXII.

Un análisis e interpretación de las relaciones entre el principio del desvío y los métodos y estrategias presentados por Polya revelan aspectos comunes. Por ejemplo, ambos incluyen la consideración de diversos caminos cuando se presentan dificultades en la resolución de problemas. Melzak ilustra el principio del desvío en diversos campos como la ingeniería, la física, las comunicaciones y las matemáticas. En cada uno de los ejemplos, el cambio de un dominio a otro y la consideración de la estructura del problema se ilustran claramente. A partir de esto se pueden generar elementos firmes que ayuden a decidir qué estrategias son más convenientes y cuándo puede usarse.

Otro principio de trabajo identificado por Melzak es el “principio de alineamiento”. Este se refiere a la transformación de un problema geométrico que incluya la suma de dos, tres o más segmentos a una forma más fácil de trabajar. Para ilustrar este principio se utilizará el siguiente ejemplo:

“Si los puntos k y b se localizan en un mismo lado de una línea recta L, encontrar el punto x en la recta L de tal manera que la suma de ax + bx sea la mínima”.

Sea x el punto que se desea determinar. Se alinean la suma ax + bx reflejando b en b1 la imagen reflejada de b con respecto a L. Se

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tiene que ax + bx = ax + xb1 claramente es un mínimo cuando los tres puntos a, x y b1 están sobre la misma línea. Por lo tanto, los segmentos ax y xb forman ángulos congruentes con respecto a L. En términos ópticos, para que el camino sea mínimo, el ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión, como en la figura.

Es importante mencionar que muchas veces el conocimiento de estrategias generales puede permanecer inerte al menos que explícitamente se sugiera su uso. Santos (1992) argumenta que los estudiantes necesitan entender cómo cierta información nueva puede funcionar como herramienta y hacer más fácil la resolución de nuevos problemas.

Al resolver problemas, el individuo o grupo de personas muestran aspectos relacionados con el análisis del problema, la toma de decisiones, el monitoreo del progreso, y la evaluación completa de la solución o soluciones. Es decir, el individuo que resuelve el problema primeramente tiene que obtener una representación apropiada del mismo. En esta fase, es importante considerar las condiciones del problema y analizar las metas u objetivos. También es necesario identificar los hechos relevantes del problema y entender qué tan restringidas son las condiciones y qué tan claras son las metas. Así, al obtenerse la solución, es necesario realizar una evaluación respecto a las condiciones del problema y las metas. Es decir, resolver un problema implica que el individuo entienda lo que hizo y pueda explicar por qué sus acciones fueron correctas o apropiadas.

Polya (1945) sugiere una serie de estrategias asociadas con los diversos momentos que se identifican en el proceso de resolver problemas. Por ejemplo, es importante analizar lo que en el problema se identifica como pregunta y como información dada. Algunas preguntas iniciales que pueden guiar esta discusión en la fase de análisis son las siguientes: ¿son las metas viables?, ¿cuáles son los principios relevantes o apropiados relacionados con los datos y las metas del problema?, ¿qué contenido matemático encaja en el plan de solución? En esta discusión, el uso de algún método heurístico puede ser importante y estar relacionado con el tipo de

problema a resolver. En esta fase de análisis algunas heurísticas que pueden ayudar a entender el problema son:

I. Dibujar un diagrama o algún tipo de representación pictórica que ayude a identificar los componentes del problema.

II. Ejemplificar el problema con casos especiales con el propósito de identificar el comportamiento de la información o algún patrón, o resolver casos particulares que ayuden a resolver el problema.

III. Identificar algunas simplificaciones preliminares. Es decir, si un problema, por ejemplo, involucra figuras geométricas, es conveniente seleccionar inicialmente figuras fáciles de analizar (triángulos equiláteros, isósceles, cuadrados, círculos unitarios).

En el diseño de un plan se intenta tener una perspectiva global de lo que se va a hacer e identificar cierto orden o jerarquía. Por ejemplo, es importante pensar en un plan a nivel cualitativo para posteriormente detallar el proceso de resolución. Por ejemplo, es importante no involucrarse en cálculos u operaciones complejas hasta ejemplo, es importante no involucrarse en cálculos u operaciones complejas hasta que (I) se hayan evaluado varias alternativas; (II) exista una clara justificación de que los cálculos son necesarios, y (III) exista un avance notable y se haya llegado a un punto donde los resultados de los cálculos sean necesarios.

La exploración es el camino natural después del análisis y el diseño de un plan. En la etapa de exploración se pueden identificar dos momentos:

a) El problema y sus equivalentes. Aquí se intenta identificar algún problema similar y realizar algunos ajustes que puedan ayudar a avanzar en la resolución. Por ejemplo, se pueden reemplazar algunos datos usando sus equivalentes (paralelogramo con lados opuestos iguales y paralelos, o cerrado con complemento abierto, o que contiene todos sus puntos límites) o tratar de reformular el problema usando una notación más adecuada o arreglando la información en una forma diferente (usando diagramas). Aquí también se puede pensar en identificar algunas submetas o eliminar algunas alternativas o posibilidades identificadas originalmente.

b) El problema modificado ligeramente. Aquí se trata de resolver problemas relacionados más sencillos que resulten al

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agregar más información o eliminando algunas condiciones. También esta fase incluye el intentar problemas más complicados al eliminar algunas restricciones de los datos o al considerar aspectos más generales.

Esto ayuda a analizar el papel que juegan las condiciones dadas en el problema. Por ejemplo, en lugar de demostrar que una sucesión converge, uno puede intentar explorar a qué converge y esto puede aclarar alguna información que en principio no se veía.

PRESENTACIÓN DE ALGUNOS MÉTODOS Y ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Existen problemas matemáticos en los que los desarrollos o enunciados pueden sugerir qué método o técnica utilizar. Por ejemplo, un problema que involucre máximos o mínimos puede sugerir la búsqueda de un modelo funcional del problema y aplicar una serie de técnicas para determinar el máximo o mínimo. Sin embargo, la mayoría de los problemas no pueden ser resueltos a través del uso directo de alguna regla o procedimiento único, sino que éstos necesitan ser trasformados, representados en diferentes formas, o requieren ser transportados a otros dominios para finalmente resolverlos. Por ejemplo, el principio del desvío, en el cual se resalta la transferencia del problema original a otro dominio o contexto como un medio para obtener la solución, es usado frecuentemente en la resolución de problemas. En la transferencia resalta el reconocimiento explícito de la estructura del problema original. Dicha estructura puede ser amplificada, reducida o simplemente interpretada desde perspectivas diferentes con la intención de resolver dificultades inmediatas asociadas con el problema original.

Por supuesto, en el reconocimiento de las cualidades del problema aparecen varias componentes que pueden sugerir algunas direcciones. Por ejemplo, si el problema contempla relaciones entre enteros positivos, entonces se puede pensar en la consideración de casos particulares que incluyan a los primeros naturales, con la idea de identificar algún patrón.

Algunos métodos que se han identificado como importantes en la resolución de problemas se ilustran con algunos ejemplos. Pro supuesto, éstos no son exhaustivos: lo que se intenta es mostrar su utilidad y se

espera que el lector identifique otros problemas que puedan resolverse por medio de estos métodos.

El método de los dos caminos. El objetivo de este método es expresar el problema dado por medio de dos expresiones algebraicas e igualarlas. El proceso de trabajar esta igualdad regularmente conlleva a la solución del problema. Para ilustrar el uso de este método resolveremos el siguiente problema.

Dado un triángulo equilátero, se selecciona un punto interior aleatoriamente. Desde este punto se trazan líneas perpendiculares a cada uno de los lados. Pruebe que la suma de los segmentos que forman estas líneas perpendiculares es igual a la altura del triángulo.

Sea P un punto interior del triángulo equilátero ∆ABC de lado x. si Pa Pb y Pc son las líneas perpendiculares a los lados AB, BC y AC, respectivamente, entonces:

Área de ∆APB = (Pa)(x)/2, área de ∆BPC = (Pb) (x)/2, y área de ∆APC = (Pc)(x)/2.

Una forma de expresar el área del triángulo ABC es:

Área de ∆ABP + área de ∆APB + área de ∆APC.

La misma área del ∆ABC puede ser expresada como x h/2. Igualando estas dos expresiones del área se tiene que:

(1/2)(x)(h) = (1/2){(x) (Pa + Pb + Pc)}.

Que h = Pa + Pb + Pc, que es lo que se quería probar.

Otro ejemplo del método de los dos caminos es una prueba del teorema de Pitágoras. Según Melzak (1990), existe evidencia de que la prueba original del teorema tuvo como referencia alguna de las dos siguientes figuras.

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Para aplicar el método de los dos caminos se calcula el área del cuadrado grande de dos maneras: Una, en forma directa, y la otra como suma de las áreas de las figuras interiores. Así, para la figura a se tiene que

(a + b)² = c² + 4(ab/2)

Mientras que para la figura b se tiene:

c² = (b–a)² + 4(ab/2)

En ambos casos resulta que a² + b² = c²

El método de cancelación. Este método consiste en reordenar los términos de un problema dado de tal forma que algunos se eliminarán. Su uso aparece frecuentemente en los cálculos de sumas. Por ejemplo, al calcular la suma:

(4)/1(3)+(4)/3(5)+(4)/5(7)+(4)/7(9)

Es conveniente escribir la expresión como:

{(2/1)-(2/3)}+{(2/3)-(2/5)}+{(2/5)-(2/7)}+{(2/7)-(2/9)}

La cual da como resultado 2 – (2/9)=16/9.

El método de casos especiales. Un problema que incluya el análisis de las raíces de polinomios puede intentarse a partir de la consideración de casos éstas sean fáciles de determinar. Por ejemplo, trabajar con polinomios con raíces enteras puede ayudar a resolver ciertos problemas sobre comportamiento de las raíces. Por ejemplo, si

P(x)=a0+a1x+a2x²+…anxn

y

Q(x)=an+an-1x+an-2x²+…+a0xn

¿Cuál es la relación entre las raíces de P(x)y las de Q(x)?

El análisis de casos particulares puede ayudar a resolver el problema. En este caso se trabaja con polinomios que sean fáciles de factorizar:

a) Dados P(x)=x²+6x+8 y Q(x)=8x²+6x+1, las raíces correspondientes de P(x) y de Q(x) son, respectivamente:

X1=-2 y x2=-4; x1=-(1/2), x2=-(1/4)

b) P(x)=x²+5x+6 y Q(x)=6x²+5x+1

Las raíces de P(x) y Q(x) son, respectivamente:

x1)-2, x2=-3; x1)-(1/2), x2=-(1/3)

Al considerar polinomios como los anteriores, fáciles de factorizar, se obtiene información que ayuda a encontrar la relación que se busca. Es decir, sean

P(x)=a0+a1x+a2x²+…anxn

y

Q(x)=an+an-1x+an-2x²+…+a0xn

Los dos polinomios dados. Las raíces de P(x) son recíprocas de las raíces de Q(x). Para probar esto, supongamos que r es una raíz de p(x); así que P(r)=0. Observemos que r_0, ya que a0_0. Además,

Q(1/r)=an+an-1(1/r)²+…+a0(1/r)n=

(1/rn)(a0+ar+…+anrn)=(1/rn)P®=0

De aquí que (1/r) es una raíz de Q(x). Inversamente, si s es una raíz de Q(x), se tiene que P(1/s)=0.

Reducción de un problema a casos más simples. Esta estrategia aparece frecuentemente en la resolución de problemas matemáticos. La idea es considerar casos más simples que se deriven del problema original. Estos casos ayudan a atacar el problema por partes. Posteriormente, al considerar las soluciones parciales como un todo se obtendrá la solución del problema. Así, por ejemplo, al resolver la desigualdad (x²+1)(y²+1)(z²+1)>8xyz (con x, y y z números positivos), es conveniente iniciar con casos más simples como:

I. x² + 1 > 2x;

II. y² + 1 > 2y;

III. z² + 1 > 2z.

Cada caso se puede resolver fácilmente. Por ejemplo, (I) se puede expresar como x²-2x+1>0, es decir, (x-1)²>0 lo cual siempre se cumple. Ahora multiplicando (I), (II), y (III), se obtiene la solución total.

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Sumar cero. Cuando un problema se debe expresar en cierta forma, es conveniente sumar y restar el mismo número (sumar cero). Por ejemplo, dada la expresión ƒ(x)g(x) – ƒ(a)g(a) suponiendo que nos interesa trabajar con las expresiones:

ƒ(x) – ƒ(a) y g(x) – g(a), entonces es conveniente escribir:

ƒ(x)g(x)-ƒ(a)g(a)=[ƒ(x)-ƒ(a)]g(x)+ƒ(a)g(x)-ƒ(a)g(a)=

[ƒ(x)-ƒ(a)]g(x)+[g(x)-g(a)]ƒ(a).

La estrategia de “sumar cero” se usa también en problemas que requieren encontrar la forma “estándar” de ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Por ejemplo, para encontrar el centro y la longitud del radio de una circunferencia cuya ecuación es x²+y²+6x-8y+21=0, se procede a completar los cuadrados. Es decir, la ecuación puede expresarse como: x²+6x-3²+y²-8y+4²-4²=-21; lo que implica que (x+3)²+(y-4)²=2². De donde se obtiene que el centro tiene coordenadas C(3,4) y el radio es 2.

Otra estrategia importante que se utiliza ampliamente en la resolución de problemas es la multiplicación por uno. Es decir, multiplicar y dividir por la misma expresión.

Dibujar una figura o diagrama cuando sea posible. Una representación gráfica puede ser útil en la identificación de componentes importantes del problema. en la fase de comprensión del problema, el pensar en una figura o un diagrama muchas veces no solamente ayuda a identificar los elementos importantes del problema sino que también puede sugerir alguna estrategia para resolverlo.

Por ejemplo, ¿para qué valores de a el sistema de ecuaciones x²-y²=0 y (x-a)²+y no tiene solución, tiene una, dos, tres, cuatro, o cinco soluciones? La dificultad de resolver el sistema surge inmediatamente al intentar los primeros cálculos algebraicos. Sin embargo, la representación gráfica ofrece un panorama alentador para determinar la solución del problema.

La representación gráfica del sistema claramente muestra los casos que se consideran en el planteamiento del problema.

Otro ejemplo del potencial de usar diagramas o representaciones gráficas se ilustra en el siguiente problema:

Un recipiente de forma semiesférica de radio 20 cm. contiene agua hasta llenar 4 cm. ¿Hasta qué ángulo se puede inclinar el recipiente sin que se derrame el agua?

En la figura 3 se observa que sen _ = (12)/20. De aquí puede obtenerse fácilmente el ángulo de inclinación requerido.

El método de sustitución. La transformación de la expresión de un problema a una forma más fácil de operar es una estrategia importante en la resolución de problemas. Por ejemplo, para encontrar los valores de x que satisfagan la ecuación

8(4x+4-x)-54(2x+2-x)101=0

es conveniente observar que

4x=(2x)² y 4-x=(2x)-2

Esto sugiere hacer la sustitución y=2x, la cual transforma la ecuación original en la expresión

8(y²+1/y²)-54(y+1/y)+101=0.

Empleando otra sustitución (= = y + 1/y), la expresión anterior se puede escribir como 8z²-54z+85=0 la cual representa una ecuación cuadrática fácil de resolver. Al obtener la solución se observa que z=5/2 y z=17/4; entonces, y=2, 1/2, 4, 1/4. Finalmente, las soluciones para x serán 1, -1, 2, -2.

Correspondencia de condiciones iniciales. Es común encontrar problemas en donde el

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análisis de los datos puede sugerir un camino eficiente para resolver el problema. Particularmente, el análisis de la información inicial puede ayudar a evitar caminos largos y tediosos. Por ejemplo, en el problema “La suma de dos números es 28 y el producto de estos números es 7. Encontrar la suma de los recíprocos de los números”, es conveniente analizar y escribir las condiciones iniciales del problema. Estas condiciones pueden expresarse como a+b=28 y ab=7. Ahora, en lugar de resolver el sistema de ecuaciones, es importante notar lo que se pide en el problema. Es decir, la suma de los recíprocos de los números. Ésta suma se puede representar como (1/a) + (1/b). Esta relación puede expresarse de la forma (b+a)/ab. Ahora, usando las condiciones iniciales del problema, la suma deseada se obtiene fácilmente: (28)/7=4.

Otro ejemplo en esta categoría es encontrar el valor (x+y) si x²+y²=36 y xy=-10. Aquí es conveniente analizar las condiciones del problema y explorar algún camino para resolverlo. Por ejemplo, relacionar el problema con el cuadrado de un binomio parece un camino adecuado para resolverlo.

X²y² = 36

2xy=-20

x²+2xy+y²=16

Esto es, (x+y)² = 16 y por lo tanto x+y = ±4.

Como un ejemplo final con esta estrategia, supongamos que se quiere probar que no existe un número real x tal que x12+x8+x6+x4+x²+9 = 0.

La resolución de este problema puede iniciarse con la suposición de que existe un número real z que satisface la ecuación. Se observa que la sustitución de z en la ecuación genera una contradicción, ya que 9 más la suma de los otros términos siempre da como resultado un número mayor que cero. Por lo tanto, no existe número real que satisfaga la ecuación.

Los ejemplos que se han presentado en este capítulo ilustran algunas estrategias que se usan frecuentemente en el proceso de resolver problemas. Además de resaltar la importancia de que los estudiantes explícitamente identifiquen otros ejemplos en donde puedan utilizarse tales estrategias, también es importante tratar de identificar otros métodos o formas de resolución de otros problemas.

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y SUS

CONEXIONES CON OTRAS ÁREAS DEL CONOCIMIENTO

La necesidad de estudiar determinado fenómeno desde varias perspectivas se ha vuelto muy importante en los últimos años. En la resolución de problemas matemáticos, los avances en áreas del conocimiento como la psicología, la antropología, la inteligencia artificial y la filosofía han contribuido notablemente en el entendimiento del proceso de cómo un individuo resuelve problemas. En este capítulo se revisan ideas de las ciencias cognitivas que han tenido influencia en la resolución de problemas; se presentan algunas tendencias en cuanto al interés por implantar actividades asociadas con la resolución de problemas en el salón de clases y se discuten algunas direcciones para su uso.

LAS MATEMÁTICAS Y OTRAS DISCIPLINAS

El desarrollo de las matemáticas siempre ha influenciado el desarrollo de las ciencias en general. Así, en momentos particulares la ciencia se ha ligado al estado de las matemáticas en diversos momentos históricos. Por ejemplo, el estudio de las cónicas en el año 200 a. C. contribuyó al establecimiento de las leyes del movimiento de los planetas en 1609 (Leyes de Kepler). Gardner (1985a) indica que el científico requiere de las matemáticas porque el cuerpo de hechos es ingobernable. El conjunto de relaciones abstractas que puede obtenerse de las matemáticas es una herramienta importante en la tarea de ordenar estos hechos. Por otro lado, el matemático también necesita de otras ciencias para no solamente aplicar algunos resultados sino también para entender las actividades relacionadas con el quehacer matemático.

Un aspecto esencial en el entendimiento de cómo el individuo resuelve problemas ha sido el observar, codificar y analizar los procesos utilizados por los expertos de determinada área al resolver problemas. Observar a los estudiantes en acción, resolviendo problemas también ha ayudado a caracterizar algunos factores que aparecen cuando realizan esta actividad. En este sentido, es importante considerar métodos de observación, de codificación de datos y de organización que

ayuden a analizar la información que se obtiene al caracterizar el proceso observado en el estudiante y el experto al resolver problemas. Es aquí donde el trabajo de otras áreas del conocimiento desempeña un papel importante al tratar de modelar los aspectos relacionados con la resolución de problemas.

Schoenfeld (1987) revisó algunos estudios realizados en las ciencias cognitivas y particularmente en el área de inteligencia artificial. Encontró que en estas disciplinas se han producido programas que son capaces de resolver problemas de ajedrez, lógica simbólica, y cálculo integral con mucho éxito. Las ideas empleadas en estos programas incorporan estrategias usadas por expertos al resolver problemas. Para describir y posteriormente codificar las actividades usadas por los expertos, se emprende una observación sistemática del proceso que ellos utilizan al resolver los problemas. Generalmente, estas observaciones se organizan en conjuntos de procedimientos descriptivos que las computadoras usan para producir resultados.

Schoenfeld (1987) mencionó que para entender el proceso llevado a cabo por quienes resuelven problemas matemáticos y poder proponer líneas a seguir en la instrucción matemática, es necesario tomar en cuenta la disciplina, la dinámica del salón de clases y el aprendizaje junto con el proceso de pensar. Es decir, es importante la incorporación del conocimiento de los matemáticos, profesores de matemáticas, educadores, y especialistas de las ciencias cognitivas.

En cuanto a los matemáticos, es importante considerar la información acerca del tipo de estrategias que utilizan inicialmente al resolver un problema, los cambios que ocurren durante el proceso, los aspectos metacognitivos, y la evaluación continua del proceso de solución.

Reflexiones acerca de qué son las matemáticas y su desarrollo están ampliamente documentadas en los trabajos de Polya (1945), Lakatos (1976), Kline (1980), Davis y Hersh (1981), y Kitcher (1983).

Los profesores de matemáticas son agentes importantes en la implantación de diversas actividades de aprendizaje, por lo cual su opinión es importante para determinar las ventajas y limitaciones que ofrece el salón de clases. En la práctica de la enseñanza sus puntos de vista acerca del tipo de interacciones grupales en el desarrollo o implantación de actividades dentro y fuera de

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la clase son esenciales. Los educadores desarrollan un papel fundamental en el uso de métodos y propuestas específicas en el aprendizaje de las matemáticas. Sus investigaciones han sido importantes tanto en la caracterización de cómo el individuo resuelve problemas, como en la implantación de algunos resultados de investigación en el salón de clases. Forman un punto de apoyo entre las ideas de los instructores y las propuestas que emanan de la observación sistemática del quehacer matemático. La experiencia de los especialistas de la cognición acerca de cómo la gente resuelve problemas ha sido de gran utilidad para entender el proceso utilizado por los estudiantes al resolver problemas matemáticos. En el área de la inteligencia artificial, por ejemplo, ha habido gran interés por entender y simular el proceso que muestra un experto al resolver problemas. En la observación sistemática del comportamiento del experto es importante considerar métodos donde se observe con detalle el proceso que utiliza. Es aquí donde la experiencia de la gente que trabaja en antropología puede contribuir a la realización de estas observaciones. Gardner (1985) sugiere que para entender el proceso de resolver problemas se tiene que considerar información de áreas como psicología, filosofía, inteligencia artificial, lingüística y antropología. Es decir, los diversos estudios donde las ciencias cognitivas intentan responder cuestiones relacionadas con la adquisición del conocimiento. Entre los elementos esenciales que Gardner identifica en las ciencias cognitivas destacan los siguientes.

a) Las representaciones. Quienes se dedican a las ciencias cognitivas ponen atención al análisis de los niveles de representación. Las entidades de representación que interesan incluyen símbolos, reglas e imágenes. Además se explora la forma en que estas entidades interactúan, se transforman, o contrastan entre sí. Esto es de utilidad para explicar el pensamiento, la acción y el comportamiento humano. La premisa fundamental para el estudio de las representaciones es aceptar que la actividad cognitiva humana debe ser descrita en términos de símbolos, esquemas, imágenes, ideas y otras formas de representación mental.

b) Las computadoras. La presencia de las computadoras en las ciencias cognitivas ha sobresalido en dos direcciones. Una, como modelo del pensamiento humano; otra

como herramienta para analizar datos y para incrementar el número de ensayos que simulen el proceso cognitivo. La inteligencia artificial, la ciencia construida que trata de la simulación computarizada, es una de las ciencias cognitivas centrales. Sin embargo, para muchos científicos cognitivos las computadoras son solamente el último de una serie de modelos inadecuados de la cognición.

c) Menos atención al efecto, contexto, cultura e historia. Aun cuando abiertamente los estudiosos de las ciencias cognitivas no estén en contra de incorporar el campo afectivo, el contexto que rodea alguna acción del pensamiento, o en contra de análisis históricos y culturales, en la práctica, en los análisis y relaciones que utilizan, la influencia de estos factores se reduce al mínimo, a favor de la viabilidad del análisis. “Si uno quisiera tomar en cuenta estos elementos, el desarrollo de las ciencias cognitivas sería imposible. En un esfuerzo por explicar todo, se termina explicando nada” (Gardner, 1982, p. 41).

d) La creencia en estudios interdisciplinarios. Existe la creencia entre los estudiosos de las ciencias cognitivas que un trabajo interdisciplinario puede lograr avances más notables que una sola disciplina. Por ejemplo, el trabajo en percepción visual y en procesamiento lingüístico se ha relacionado con áreas como la psicología, la neurociencia y la inteligencia artificial.

e) Las raíces en problemas clásicos de la filosofía. Gardner (1985) señala que los problemas clásicos de la filosofía son elementos claves de la ciencia cognitiva contemporánea. El papel de la filosofía puede ser polémico entre los científicos cognitivos respecto a si las preguntas importantes fueron bien formuladas o examinadas por los filósofos; sin embargo, vale la pena revisar las diversas posiciones, en particular, las relacionadas con el pensamiento humano.

Schoenfeld (1987) destaca que en la educación matemática es importante que las contribuciones de las ciencias cognitivas se discutan y ajusten a las condiciones propias de la disciplina. Aun cuando a los psicólogos les interese explorar cómo se almacena y se tiene acceso al conocimiento usando problemas aritméticos verbales, o a los que trabajan en inteligencia artificial les interese diseñar programas que simulen el

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pensamiento humano, existen aspectos metodológicos que de hecho ya han estado influyendo en el desarrollo de la educación matemática. La posición de Schoenfeld se ilustra en el siguiente diagrama:

Principales contribuidores al progreso de la instrucción matemática

(Schoenfeld 1987b, pág. XIX)

TENDENCIAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Y LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

En los últimos veinte años, a nivel internacional, la propuesta de aprender matemáticas a través de la resolución de problemas ha estado presente en el ambiente educativo. Sin embargo, en la práctica se han podido identificar diversas posiciones acerca de su significado. Por ejemplo, muchos profesores enfocan esta propuesta a partir del uso de métodos heurísticos; mientras que para otros la esencia es centrarse en los cuatro pasos sugeridos por Polya (entendimiento, diseño, implantación, y visión retrospectiva). Esto ha producido incluso diversas presentaciones del currículo matemático: Por ejemplo, la resolución de problemas aparece como una unidad final de determinado tema, como un enfoque a través del curso, o como una serie de actividades. La falta de información acerca de la propuesta ha contribuido a la divergencia de significados. En México, el proceso de revisión de los planes y programas de estudio de los niveles básico y medio tratan de incorporar las ideas vinculadas con la resolución de problemas, y como consecuencia es necesario entender las diversas posiciones relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas.

El trabajo de Polya (1945) ha sido esencial para el desarrollo de esta propuesta. Por ejemplo, la NCTM (1980) recomienda abiertamente que el aprendizaje de las

matemáticas se base en la resolución de problemas. Las ideas de Polya juegan un papel rector en los materiales que acompañan a la presentación e implantación de esta propuesta en la práctica de la enseñanza de las matemáticas (NTCM., 1980a). Sin embargo, es importante señalar que al llevar al salón de clases esta propuesta hubo diversas interpretaciones. Algunas características que dominaban los enfoques de la enseñanza de las matemáticas y la resolución de problemas incluyen:

I. La existencia de un apartado ubicado al final de una unidad o de un curso que se identificaba como “resolución de problemas”. En esta parte se generaba una discusión explícita de algunas estrategias y su papel en la resolución de problemas.

II. La presentación de los contenidos a los estudiantes con la posterior selección de un problema donde se aplicarían los contenidos estudiados. En la resolución de este problema donde se discutían los pasos identificados en el modelo de Polya. Es decir, se diseñan una serie de preguntas relacionadas con cada una de las fases (entendimiento, diseño e implantación de un plan, y visión retrospectiva) para que los estudiantes las discutieran. Frecuentemente, el proceso de seguir el modelo de Polya se volvía rígido y rutinario para el estudiante. Muchas veces era obligado a seguir las fases aun cuando podía resolver el problema inmediatamente.

III. Los maestros decidían iniciar el estudio de determinado contenido matemático a través de la resolución de algún problema. Es decir, el encontrar la solución del problema justificaba la necesidad de estudiar el contenido matemático.

IV. La resolución de problemas se presentaba como un arte que daba lugar a que los estudiantes discutieran una variedad de problemas incluyendo los no rutinarios. Es decir, aquí los estudiantes tenían que discutir sus propias ideas, hacer conjeturas, usar ejemplos y contraejemplos, y proponer diversos métodos para encontrar la solución de un problema. Esta era una actividad permanente en el desarrollo.

Kilpatrick (1988) resume el uso de la resolución de problemas en tres direcciones:

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I. Los problemas se analizan como un vehículo para lograr algunas metas curriculares. Estas metas pueden incluir aspectos relacionados con la motivación, recreación, justificación, o práctica (resolución de problemas como contexto);

II. La resolución de problemas se considera como una de tantas habilidades que se deben enseñar en el currículo y

III. La resolución de problemas se ve como un arte en el sentido del simular la actividad matemática dentro del salón de clases, lo que Schoenfeld (1985) identifica como el desarrollo de un “microcosmos matemático” en el salón de clases.

HACIA UNA INSTRUCCIÓN DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la discusión sobre las diversas interpretaciones que pueden generarse a partir del uso de actividades relacionadas con la resolución de problemas es importante identificar los elementos que le dan forma a la práctica de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Es decir, la forma de concebir o aceptar las matemáticas delimita o afecta las actividades que se deben implantar en el salón de clases. Así, un aspecto esencial para identificar el potencial del uso de la resolución de problemas es caracterizar a las matemáticas y la forma en que el estudiante aprende esta disciplina.

En opinión del “Nacional Research Council” las matemáticas revelan patrones escondidos que ayudan a entender el mundo que nos rodea. Actualmente, más que aritmética y geometría, las matemáticas muestran una gran diversidad que trata con datos, medidas y observaciones; con inferencias, deducciones y demostraciones y con modelos matemáticos de fenómenos naturales, del comportamiento humano y de sistemas sociales. Por lo tanto, el proceso de desarrollar o producir matemáticas va más allá de sólo realizar cálculos y deducciones. Es decir, este proceso también incluye la observación de patrones, la prueba de conjeturas y la estimación de resultados (NRC 1989; p. 31).

En esta misma dirección, el punto de vista del NCTM (1990) considera que las matemáticas son una disciplina que busca las regularidades o patrones de diversos fenómenos. En relación al aprendizaje de esta disciplina, el NCTM establece que es importante que el estudiante aprenda más allá de las reglas y sea capaz de expresar relaciones en el lenguaje matemático. Schoenfeld (1989) menciona que

la principal meta en el aprendizaje de las matemáticas. Para lograr estas metas los estudiantes tienen que discutir sus ideas, negociar sus puntos de vista, especular acerca de los posibles resultados, y usar diversos ejemplos y contraejemplos que ayuden a confirmar o a ajustar sus ideas. Schoenfeld (1988) menciona que:

Para que los estudiantes vean a las matemáticas como una disciplina con sentido, es necesario que interactúen e internalicen los principios asociados a esta disciplina. Los estudiantes necesitan aprender matemáticas en un salón de clases que presente un microcosmos de la cultura matemática, esto es, clases donde los valores de las matemáticas como una disciplina con sentido sean reflejados en la práctica cotidiana (pp. 87-88).

Entre los principios importantes que Schoenfeld menciona para el aprendizaje de las matemáticas, incluyen que el estudiante reconozca que:

I. Encontrar la solución de un problema matemático no es el final de la empresa matemática, sino el punto inicial para encontrar otras soluciones, extensiones y generalizaciones del problema. Además, en el desarrollo de las matemáticas el proceso de formular o rediseñar problemas se identifica como un componente esencial en el quehacer matemático.

II. Aprender matemáticas es un proceso activo que requiere de discusiones sobre conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los estudiantes al desarrollo de nuevas ideas matemáticas. Es decir, el planteamiento de preguntas, la búsqueda de respuestas y de justificaciones son actividades que se pueden practicar desde la enseñanza elemental y su práctica cotidiana pueden producir resultados matemáticos nuevos.

Entre las actividades de aprendizaje asociadas con estos principios resalta el propósito de ayudar a los estudiantes a explotar lo que ellos saben y usar sus conocimientos en forma efectiva. Algunas actividades compatibles con la propuesta de aprender matemáticas a través de la resolución de problemas incluyen actividades como:

I. Que el maestro resuelva periódicamente problemas nuevos (uno cada semana) en el salón de clases. Es decir, es importante que los alumnos observen las diversas estrategias que se utilizan cuando uno se

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enfrenta a problemas no estudiados o resueltos antes de la clase. Aquí, el maestro modela ante los alumnos el proceso real de resolver problemas ya que se pueden ilustrar aspectos como la selección y cambios de estrategias a través del proceso de resolución.

II. Mostrar a la clase filmaciones o trabajos de otros estudiantes resolviendo problemas. Esto es con la finalidad de discutir las destrezas y debilidades mostradas por esos estudiantes en el proceso de resolver problemas. Aquí se intenta criticar los métodos de resolución y además proponer y evaluar algunas alternativas.

III. Actuar como moderador mientras los estudiantes discuten problemas. Es decir, aun cuando los estudiantes son motivados a que seleccionen y traten ideas que consideren verosímiles, el maestro (como moderador) puede sugerir algunas direcciones que sean de valor para la discusión. Schoenfeld recomienda que la clase se organice en grupos pequeños y que constantemente respondan a preguntas como: ¿Qué estás haciendo? ¿Puedes describirlo en una forma precisa? ¿Cómo se relaciona eso con la solución? ¿Qué harás con el resultado que obtengas?

IV. Discutir con los estudiantes problemas que involucren el uso de varios métodos de solución o que incluyan varias soluciones. En este contexto, es importante que los estudiantes discutan las cualidades de las diversas formas de resolver un problema y notar que muchas veces la calidad del método de resolución también es importante en las matemáticas.

V. Es importante que los estudiantes participen en el proceso de formular o rediseñar problemas. Así, el estudiante tendrá la oportunidad de evaluar y contrastar las estrategias y contenidos asociados con la resolución del problema con sus compañeros.

Schoenfeld reconoce la importancia de relacionar las actividades de aprendizaje en el salón de clases con las actividades que los matemáticos y expertos en el área llevan a cabo cuando desarrollan matemáticas. Así, Schoenfeld afirma:

Si uno desea que los estudiantes salgan del salón de clases con el sentido real de las matemáticas, entonces el medio ambiente del

salón de clases tiene que reflejar actividades en las que los estudiantes tomen parte en el desarrollo de las matemáticas de tal manera que le encuentren sentido al estudio de las matemáticas… es decir, que exista motivación para que los estudiantes continúen estudiando matemáticas fuera del salón de clases (citado en Vobejda, 1987).

Como consecuencia, un objetivo esencial en la instrucción matemática es ayudar a que los estudiantes desarrollen habilidades y estrategias que usen en su estudio de las matemáticas independientemente de la presencia del maestro. Schoenfeld indica que la instrucción matemática debe incorporar estrategias para que el estudiante aprenda a leer, a conceptualizar y a escribir argumentos matemáticos. El estudiante debe tener en cuenta que en la aceptación de algún argumento matemático debe inicialmente convencerse a sí mismo, debe convencer a un amigo y, finalmente, debe convencer a un enemigo.

En relación a la presencia de los métodos heurísticos en la instrucción, Schoenfeld sugiere que es importante que los estudiantes discutan con detalle las estrategias generales y las subestrategias asociadas a cada una de ellas. En todo el proceso de resolución, el estudiante debe reflexionar constantemente acerca de los aspectos vinculados con las distintas fases de resolución. Así, algunos elementos importantes que pueden servir de guía para la discusión durante la resolución de un problema o el aprendizaje de algún concepto incluyen:

ANÁLISIS

1. Dibujar un diagrama siempre que sea posible.

2. Examinar casos especiales:

a) Seleccionar valores particulares para ejemplificar el problema y encontrarle el sentido;

b) Examinar casos límite para explorar el rango de posibilidades (sobre el comportamiento de los números enteros, ensayar con algunos para encontrar algún patrón).

3. Tratar de simplificar el problema por medio de:

a) El uso de simetría, o

b) Argumentos en los que no haya pérdida de generalidad (e.g. un

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triángulo con base horizontal, un círculo de radio unitario).

EXPLORACIÓN

1. Considerar problemas equivalentes:

a) Reemplazar algunas condiciones por otras equivalentes;

b) Recombinar los elementos del problema en diferentes formas;

c) Introducir elementos auxiliares, y

d) Reformular el problema usando:

I algún cambio de perspectiva o notación;

II consideraciones que involucren el método de contradicción, y

III el hecho de que el problema está resuelto y en base a esto determina sus propiedades.

2. Considerar problemas sustancialmente modificados:

a) Seleccionar submetas (considerando parcialmente las condiciones), y

b) Descomponer el dominio del problema y trabajarlo caso por caso.

3. Considerar problemas sustancialmente modificados:

a) Diseñar un problema semejante con menos variables;

b) Fijar todas las variables, excepto alguna de ellas y analizar qué pasa, y

c) Tratar cualquier problema relacionado que tenga semejanza con:

I la forma;

II los datos, y

III las conclusiones.

VERIFICAR LA SOLUCIÓN

1. ¿Cumple la solución las siguientes pruebas?

a) ¿Usa los datos pertinentes?

b) ¿Concuerda con las predicciones o estimaciones originales?;

c) ¿Resiste pruebas de simetría, dimensión, o escalas?;

d) ¿Puede obtenerse de otro modo diferente?;

e) ¿Puede ser reforzada con otros casos especiales?;

f) ¿Puede reducirse a resultados conocidos?;

g) ¿Puede ser generada a partir de algo que tú sabes?

La idea general es que el estudiante, en su aprendizaje de las matemáticas, construya un marco de referencia que le ayude a entender y a resolver problemas matemáticos. Los puntos anteriores pueden servir de guía en el proceso de resolución; sin embargo, en ningún momento se espera que el estudiante las mecanice o las utilice rígidamente. Por el contrario, deben ajustarse y discutirse en función al tipo de problemas que se estudien (Schoenfeld, 16985, p. 109).

La implantación de la resolución de problemas en la instrucción matemática

Cuando los maestros de matemáticas analizan el potencial de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas inmediatamente empiezan a cuestionar la viabilidad de llevar a la práctica estas ideas en el salón de clases. Para discutir estos puntos es necesario identificar los principios fundamentales de la instrucción y analizar cómo las ideas de la resolución de problemas pueden funcionar en este sentido.

I. Un aspecto crucial en la instrucción matemática es ayudar a los estudiantes a ser autónomos en su aprendizaje de las matemáticas. Así, un estudiante que se desarrolle en un ambiente matemático donde se utilicen naturalmente estrategias para leer, conceptualizar y escribir argumentos matemáticos será más capaz de aprender en otros dominios y adquirir nuevas habilidades. En este sentido, no es importante cubrir amplios contenidos sino centrar el aprendizaje en las ideas básicas del programa. El propósito principal de una instrucción basada en la resolución de problemas no es equipar a los estudiantes con un bagaje de estrategias y habilidades, sino permitirles pensar por sí mismos. El valor de las estrategias, habilidades y procesos radica en que favorecen en el estudiante una forma flexible e independiente de pensar.

II. La discusión y presentación de las ideas entre los estudiantes y el maestro son ingredientes fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas. Estas dinámicas deben aparecer regularmente

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dentro del salón de clases. Sin embargo es importante que las tareas o problemas de discusión presenten un potencial que permita a los estudiantes proponer conjeturas, usar ejemplos o contraejemplos, o discutir las formas de solución. La frecuencia de este tipo de actividades dependerá de cómo se desarrolle el trabajo de los estudiantes. Schoenfeld (1985) menciona algunos elementos que justifican el uso de discusiones en grupos pequeños de estudiantes donde el instructor actúa como guía y coordinador de la discusión:

a. Las discusiones en grupos pequeños de estudiantes le proporciona al maestro una oportunidad única de intervenir directamente cuando los estudiantes resuelven problemas y no solamente enfrentarse a un producto terminado.

b. El resolver problemas en grupos pequeños provoca discusiones acerca de los caminos potenciales para resolver los problemas. Cuando un estudiante se enfrenta a un problema a nivel individual, la primera opción que se le ocurre siempre se lleva a cabo. Las discusiones grupales permiten evaluar el potencial de varias alternativas, que es precisamente lo esencial en el desarrollo de las ideas matemáticas.

c. La resolución de problemas no es una tarea solitaria. En el salón de clases, las discusiones grupales ofrecen a los estudiantes la oportunidad de trabajar en colaboración y desarrollar estrategias para defender sus ideas matemáticas.

d. Los estudiantes se sienten inseguros acerca de sus habilidades matemáticas, especialmente cuando se enfrentan a diversos problemas. El trabajar problemas con otros estudiantes les muestra que la mayoría de las veces también sus compañeros deben batallar con las ideas matemáticas. Además, la participación dentro del grupo les muestra que sus ideas son importantes en el proceso de resolución de los problemas.

III. Los estudiantes deben proponer o formular sus propios problemas y deben trabajar en actividades donde el proceso de completar una tarea de resolver un problema incluya la necesidad de

consultar datos o de preguntar a otros especialistas. La idea es que el estudiante interactúe con las diversas formas de problemas que aparecen frecuentemente en las matemáticas. Esto puede contribuir a que desarrolle una concepción más consistente de lo que son las matemáticas.

Un aspecto importante en la instrucción matemática es la identificación de diversas fases que describen acciones importantes en el proceso de aprendizaje del estudiante. Por ejemplo, se puede identificar inicialmente en la instrucción una fase de familiarización donde el estudiante conoce aspectos generales del campo que se estudia y un vocabulario de trabajo. Una segunda fase incluye actividades donde el maestro guía al estudiante con situaciones o problemas que le ayudan a explorar una red de relaciones que se forman en el área de estudio. En una tercera fase, el estudiante intenta verbalizar explícitamente las relaciones que ha observado en la fase guía y así aprender eficientemente el leguaje técnico del dominio. La siguiente fase se identifica cuando el estudiante aprende a resolver problemas que involucran varios pasos o métodos de solución. Éstos sirven de vehículo para que el estudiante encuentre su propio camino en la red de relaciones vinculadas al proceso de resolución. Finalmente, existe la fase de integración donde el estudiante construye una estructura de lo que ha aprendido del área de estudio donde se identifica una red de relaciones nuevas que pueden trasladarse o aplicarse a otros dominios. El papel del instructor en el salón de clases incluye:

a. Ayudar a los estudiantes a que acepten los retos de resolver problemas. Hay que tener en cuenta que un problema es un problema hasta que el estudiante muestra algún interés por resolverlo.

b. Construir una atmósfera que le dé confianza al estudiante para atacar problemas no rutinarios y no sentirse mal al enfrentarse a alguna dificultad durante el proceso de solución.

c. Permitir que los estudiantes (y motivarlos) seleccionen e implementen sus propios caminos de solución y proporcionarles ayuda cuando ésta sea necesaria.

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Preguntas acerca de la resolución de un problema

En el desarrollo de este trabajo se ha concebido el resolver problemas como una forma de pensar donde el estudiante muestra una serie de estrategias tanto cognitivas como metacognitivas. El uso de estas estrategias se relaciona directamente con las ideas o concepciones que el individuo tenga acerca de las matemáticas. Se ha enfatizado que el estudiante tiene que ser un participante activo en el estudio y desarrollo de las ideas matemáticas. Un aspecto esencial para ello es el desarrollo de habilidades que le ayuden al estudiante a cuestionar los diversos aspectos del problema y formas de resolución. Una forma de trabajar en esta dirección es discutir ideas alrededor de ciertas preguntas. Algunos aspectos que pueden servir tanto para detectar ciertas dificultades como para avanzar y evaluar en la resolución de un problema giran alrededor de las siguientes preguntas:

1. ¿Piensas que el problema va a ser difícil para ti? Explica por qué.

2. ¿Tienes alguna dificultad para entender alguna parte del problema? explica qué es lo que no entiendes.

3. ¿Tiene el problema alguna información que no es necesaria? Explica.

4. ¿Has resuelto algún problema similar a éste antes? Describe ese problema.

5. ¿Puedes dibujar algún diagrama que ilustre el problema?

6. ¿Qué estrategias podrían ayudar a resolver el problema?

Después de resolver el problema:

1. ¿Escribiste la respuesta completa? 2. ¿Tu respuesta tiene sentido con respecto a

las condiciones del problema? 3. Qué estrategias utilizaste? Explica su uso. 4. ¿Piensas que tu solución es correcta?

Explica. 5. ¿Fue el problema fácil o difícil para ti?

Explica. 6. ¿Podrías haber resuelto el problema en

otra forma? Explica cómo lo harías sin necesidad de que lo resuelvas otra vez.

Por supuesto, las preguntas no deben ser discutidas estrictamente en ese orden ni deben abarcarse todas. Se espera que existan ajustes y se identifiquen otro tipo de preguntas de acuerdo al problema que se quiera resolver. Según lo indican Stacy y Groves (1985), es importante que los estudiantes hablen del proceso que utilizan al usar las matemáticas y desarrollarlas de tal manera que puedan construir un vocabulario

para pensar y aprender esta disciplina. Los estudiantes aprenden más efectivamente cuando el maestro pone atención explícitamente a las estrategias y al proceso que muestran al resolver problemas.

Finalmente, el objetivo fundamental en la enseñanza de las matemáticas es que el alumno en algún momento se responsabilice de su propio aprendizaje. Es decir, desarrolle una autonomía en cuanto a su relación directa con un instructor. En el presente trabajo se han identificado componentes fundamentales que pueden ayudar al estudiante a desarrollar una forma de pensar consistente con el quehacer matemático. Schoenfeld (1992) afirma que lo importante en el estudio de las matemáticas es que el alumno actúe como un experto en su interacción con las ideas matemáticas. En este contexto, se espera que si un estudiante cotidianamente reflexiona abiertamente acerca de las estrategias cognitivas y metacognitivas vinculadas a las ideas matemáticas y a la resolución de problemas, entonces estará en el camino de desarrollar un pensamiento matemático consistente con las actividades asociadas al quehacer en esta disciplina y su desarrollo. Es recomendable que el estudiante interactúe con una variedad de problemas en donde pueda analizar la calidad de los diversos métodos de resolución. Muchas veces no sólo es importante resolver un problema sino ser eficiente en la forma de resolverlo. Además, como se ha venido enfatizando, es importante que el estudiante mismo diseñe o reformule sus propios problemas. Brevemente, la implantación de este tipo de actividades en el salón de clases en principio se relaciona con el potencial que el maestro identifique en su práctica de la enseñanza. Estar convencido de estas ideas, ofrece una perspectiva diferente sobre el aprendizaje de los estudiantes: puede ser el punto inicial para incorporar algunas actividades en la instrucción. Sin embargo, es importante que junto a estas actividades se desarrollen materiales que sirvan de apoyo y como un medio para implantar la resolución de problemas dentro del salón de clases. Un cambio en la forma de trabajar dentro del salón de clases toma su tiempo, y no se debe esperar un resultado radical favorable inmediatamente. Sin embargo, existe evidencia de que los estudiantes muestran claros avances cualitativos en algún momento de su aprendizaje (Santos, 1992).

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HACIA EL DESARROLLO DE UNA COMUNIDAD

MATEMÁTICA EN EL SALÓN DE CLASES

Entre las premisas fundamentales de la propuesta de aprender matemáticas dando énfasis a la resolución de problemas, está que el salón de clases ofrezca oportunidades a los estudiantes para reconstruir o desarrollar ideas matemáticas. En este contexto, el papel de los problemas y las ideas que se discuten durante el proceso de resolución son parte sustancial que ayuda a crear una comunidad matemática entre los estudiantes. En este capítulo se presentan algunos ejemplos donde se ilustran tanto algunas propiedades de los problemas como las ideas matemáticas potenciales que se pueden discutir durante los procesos de resolución.

COMPETENCIA MATEMÁTICA

Hasta hace algunos años, dominar las operaciones aritméticas y aprender una serie de algorítmicos era un indicador fundamental de ser competente en matemáticas. Así, quien repetía las tablas de multiplicar y podía hacer operaciones aritméticas largas gozaba del prestigio de ser bueno en matemáticas. El enfoque de sólo dar importancia a la parte mecánica o algorítmica de esta Disciplina ha sido cuestionado y ahora se le da gran énfasis a que el estudiante discuta el sentido y aplicación de las ideas matemáticas. Como Sternberg y Wagner (1994) lo indican, “la importancia de las habilidades de cálculo en matemáticas está decreciendo tan rápidamente como la habilidad de usar el caballo para transportarse de un lugar a otro” (pág. IX). Las matemáticas, al igual que otras disciplinas, han estado cambiando constantemente debido en gran parte al gran desarrollo de los medios tecnológicos. Por ejemplo, una calculadora puede ser útil al estudiante no sólo para realizar grandes operaciones aritméticas sino también para representar gráficamente ciertos fenómenos y explorar con más detalle el comportamiento de éstos. Así, en nuestro mundo cambiante, el ser flexible y el desarrollar habilidades que permitan entender y valorar los avances son aspectos fundamentales que el estudiante debe considerar no sólo en su aprendizaje escolar, sino también para interactuar en el medio donde vive.

En este contexto, un elemento crucial asociado con la competencia matemática es que el estudiante desarrolle diversas estrategias que le permitan resolver problemas que requieran de cierto grado de independencia y creatividad. Por ejemplo, Romberg (1992) describe una situación donde alumnos de quinto año participaron en la resolución de problemas a partir de observar el video de la carrera de 100 metros en las olimpiadas. El problema consistía en contar el número de pasos de cada participante, estimar la longitud de cada uno, y estimar el tiempo que recorrió en cada paso el ganador de la carrera. Después, compararon el promedio de la longitud de los pasos y el tiempo de recorrido promedio para los tres primeros lugares. Así, los estudiantes tuvieron oportunidad de relacionar sus recursos matemáticos con situaciones reales y presentar varias estrategias en sus intentos de solución.

Nuestra concepción de las matemáticas en este trabajo considera que se debe identificar al estudiante como un sujeto activo que necesita una comunidad para discutir sus ideas matemáticas y así comunicarlas de manera eficiente. Para ilustrar la importancia de motivar una discusión entre los estudiantes, se presenta un ejemplo (situación problemática) donde se señala el potencial matemático que los estudiantes pueden desarrollar si se les presentan condiciones donde se valore sus puntos de vista. Este aspecto es fundamental para que los estudiantes desarrollen una disponibilidad para el estudio de las matemáticas y la resolución de problemas.

LA NECESIDAD DE ESTABLECER UNA COMUNIDAD MATEMÁTICA EN EL SALÓN

DE CLASES

Una idea muy popular, pero muy cuestionada recientemente, acerca de las matemáticas es que esta disciplina se puede desarrollar en forma individual usando una hoja de papel y lápiz; las críticas parten de la evidencia de que el trabajo de los matemáticos es un trabajo conjunto que además tiene que ser validado o aceptado dentro de una comunidad. El ejemplo más reciente es el proceso que ha seguido la demostración del teorema de Fermat. La conjetura fue propuesta por Fermat, en 1637, planteó la conjetura de que no existen números naturales que cumplan la relación xn + yn = zn para n mayor o igual que 3. El doctor Andrew Wiles trabajó por más de ocho años

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en un intercambio constante de ideas con otros matemáticos de diferentes partes del mundo y finalmente presentó la prueba en Junio de 1993. Después de dos años de haber presentado la prueba, la comunidad que la analizó detectó un detalle: Wiles no justificaba un resultado donde utilizaba una cota superior sobre la magnitud de una estructura particular conocida como el grupo de Selmer. Sin embargo, a fines de Octubre de 1994, Wiles anunció que con la ayuda de uno de sus estudiantes (Richard L. Taylor) se había resuelto el problema. A finales de 1995, los expertos estuvieron de acuerdo que la prueba revisada era correcta y que Wiles había probado el último teorema de Fermat.

Como Tymoczko (1986) afirma, una demostración no es tal hasta que ha sido aceptada por la comunidad de matemáticos. Además, como Schoenfeld (1993) lo señala, los problemas centrales en matemáticas son demasiado amplios para que la gente los resuelva aisladamente. Una de las grandes implicaciones pedagógicas del trabajo cooperativo es que el salón de clases debe ser una comunidad donde el estudiante discuta y defienda sus ideas matemáticas.

Así, cuando los estudiantes encuentran un ambiente en el salón de clases que les permita pensar y razonar acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros en base a argumentos, se enfrentan a la necesidad de organizar y presentar sus ideas en forma convincente. Por ejemplo, trabajando en parejas o en pequeños grupos, los estudiantes tienen oportunidad de validar sus razonamientos y sus conjeturas. Pueden discutir sus puntos de desacuerdo y argumentar el sentido de sus soluciones. Los estudiantes aprenden matemáticas sólo cuando ellos mismos construyen sus propias ideas matemáticas. Además, las ideas matemáticas se aprenden por medio de un proceso de comunicación. Los estudiantes necesitan oportunidades no sólo para escuchar sino para comunicar sus ideas matemáticas. Es decir, necesitan discutir lo que observan, explicar por que ciertos procedimientos funcionan y por qué piensan que la solución a un problema es correcta. Cuando el aprendizaje es visto como una construcción y reorganización de conocimientos, entonces el maestro puede identificar las diferentes formas en que cada estudiante aprende. Es importante que el profesor reconozca los diversos estilos de aprender entre sus estudiantes y así promueva actividades de aprendizaje compatibles con tales formas de aprender o

interactuar con el contenido matemático. Por ejemplo, habrá estudiantes que necesitan mayor orientación en aspectos de visualización o representación que otros, o estudiantes que se inclinen más por tratamientos algebraicos que por un análisis de casos particulares.

La historia de las matemáticas nos muestra que la comunicación y la interacción social juegan un papel fundamental en el desarrollo de las ideas matemáticas. Sin embargo, la idea de que las matemáticas reflejan valores culturales generalmente no es conocida entre los estudiantes. Existe evidencia de que los estudiantes necesitan discutir las dimensiones sociales de las matemáticas que les permitan darle contexto a las ideas matemáticas. Por ejemplo, uno de los movimientos más importantes en el currículum es identificar las ideas fundamentales de las matemáticas (cambio, patrones, formas, tamaño y herramientas) y discutirlas dentro de contextos familiares para los estudiantes desde la enseñanza elemental (Santos, 1994).

Las matemáticas no son solamente actividades que el estudiante aprende dentro del salón de clases: los cursos de matemáticas deben convertirse en comunidades donde la gente toma acuerdos, se comporte de cierta forma y donde existe un gran diálogo para construir argumentos que sustenten alguna idea o se planteen contraejemplos para refutar algún resultado. Muchos maestros comparten la opinión de que los cursos de matemáticas tendrán más éxito si se organizan de tal manera que los estudiantes tengan un papel mas activo y si las matemáticas que se estudian se sitúan en un contexto sensible para los estudiantes.

Polya, en su video “Let us teach guessing”, afirma que las ideas en matemáticas se originan a partir de alguna conjetura. Ilustra además la necesidad de discutir y desarrollar un argumento que sostenga y posteriormente ayude a probar la validez de tal conjetura. Caracteriza el enseñar como el darle oportunidades al estudiante para que descubra relaciones matemáticas, e indica que muchas de las actividades en matemáticas parten de situaciones en donde en primera instancia hay que conjeturar para posteriormente buscar un argumento donde se pruebe la conjetura o un contraejemplo que la refute.

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TIPOS DE PROBLEMAS QUE PROMUEVEN LA DISCUSIÓN EN EL SALÓN DE CLASES

Una cuestión que siempre inquieta a los profesores se cómo diseñar problemas interesantes para la discusión en el salón de clases. Existen varios caminos y fuentes donde se pueden encontrar ideas o problemas para los estudiantes. Santos (1994) analiza varios ejemplos en los que una exploración simple de alguna actividad puede transformarse en una situación que incluya la discusión de varios conceptos matemáticos.

Una forma es transformar los ejercicios típicos de los libros de texto en situaciones más abiertas y también el tratar de que el estudiante utilice diferentes métodos para resolver un problema. Santos y MacDuff (1995) muestran cómo una situación donde la actividad de “tostar rebanadas de pan” puede transformarse en un contexto para discutir una pregunta de opción múltiple. En la discusión se observa que las respuestas constituyen un conjunto de distinciones, en donde quién resuelve el problema muestra el uso de representaciones, la búsqueda de conexiones, la flexibilidad en los métodos de solución y la confianza en los resultados. En la misma línea, Silver, Kilpatrick y Schlesinger (1990) presentan un ejemplo que ilustra las ideas generadas por los estudiantes al discutir la solución y presentarla al grupo. En ese sentido, se ilustra cómo ejercicios de carácter rutinario pueden resultar un vehículo interesante para que los estudiantes identifiquen y discutan varias formas y estrategias de solución.

El siguiente problema muestra algunos desarrollos que los estudiantes utilizaron durante el proceso de resolución. La idea es que el maestro reconozca, valore y motive la discusión en el salón de clases.

En tu tarea de geometría hay un ejercicio donde tienes que trazar la bisectriz de un ángulo dado (figura izquierda). Sin embargo, al guardar tu cuaderno no te diste cuenta de que parte de la hoja de la tarea se rompió y al empezar la tarea te percataste de que le faltaba el vértice al ángulo (figura derecha). ¿Cómo puedes hacer la tarea a partir de la información que tienes?

Al trabajar con este problema, estudiantes del nivel medio superior mostraron varias formas de resolverlo. Además, tuvieron la oportunidad de discutirlas y evaluarlas en términos de sus recursos.

1. El método “simple”

Al enunciar el problema, algunos estudiantes observaron que una forma fácil de resolverlo era colocando una hoja debajo de la hoja mutilada y prolongando cada uno de los lados del ángulo con el auxilio de una regla. Así, el vértice aparecería en el dibujo y después había que usar el procedimiento rutinario para bisectar un ángulo.

Es importante mencionar que, después de presentar esta solución, varios estudiantes preguntaron cómo se resolvería el problema si no estuviese permitido usar la hoja de abajo. De hecho, este comentario se convirtió en una condición más del enunciado del problema original.

2. El método de las paralelas

La idea fundamental de este método se relaciona con la definición de bisectriz de un ángulo y la noción de distancia. Es decir, los estudiantes observaron que al trazar una paralela a cada lado del ángulo, a una misma distancia a partir de cada lado del ángulo, éstas se intersectan en un punto de la bisectriz. Así, al construir dos paralelas a cada lado determinaban dos puntos por donde pasaba la bisectriz y eso permitía construir la bisectriz del ángulo dado.

El trabajo de los estudiantes fue el siguiente:

a. Construir dos paralelas m y n, a la recta AB a una distancia a y b respectivamente;

b. Construir dos paralelas, p y q, a la recta CB a una distancia a y b respectivamente;

c. Las rectas m y p se intersectan en R mientras que las rectas n y q se intersectan en S, y

d. La bisectriz es la recta que pasa por los puntos R y S.

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3. El método de las transversales. La idea es similar a la del método de las paralelas; la diferencia básicamente radica en la construcción a partir de la transversal. Los pasos son los siguientes:

a. Construir una transversal p que corte a AB y BC en A y C, respectivamente;

b. Construir una transversal q que corte a AB y BC y que sea en D y E respectivamente, paralela a la transversal p;

c. Trazar la bisectriz de los ángulos A y C del triángulo ABC;

d. La intersección de las bisectrices, el punto F, debe ser un punto de la bisectriz del ángulo B;

e. Trazar la bisectriz de los ángulos D y E del triángulo DBE;

f. Sea G de intersección de las bisectrices, el cual es otro punto de la bisectriz del ángulo B, y

g. La línea que pasa por F y G es la bisectriz del ángulo B.

4. El método de la circunferencia. Una idea fundamental en este método es identificar el punto de intersección de las bisectrices (incentro) y a partir de ello justificar la construcción del bisector.

a. Trazar el segmento AC;

b. Trazar los bisectores de los ángulos A y C;

c. El punto D es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es decir, el incentro.

d. Trazar una línea que pase por el punto D y que sea perpendicular al lado AB, y otra línea que pase por D y que sea perpendicular a CB;

e. Trazar los radios DE y DF, y

f. Bisectar el ángulo central EDF, y ésta bisectriz será también la del ángulo B ya que los triángulos DEB y DFB son congruentes.

A continuación se presentan otros ejemplos donde los estudiantes tienen la oportunidad de discutir varias ideas matemáticas:

I. Al ir de visita a casa de unos amigos, accidentalmente te tropiezas con una silla de la sala y rompes el vidrio (que tenía forma de círculo) de la mesa de centro. Al recoger los pedazos observas que el único pedazo completo que quedó tiene la forma de la figura de abajo. ¿Qué procedimiento puedes utilizar para saber el radio del círculo y así poder conseguir un vidrio nuevo del mismo tamaño?

II. En una feria existe un juego donde hay un tablero parecido al de ajedrez. De lo que se trata es de que el jugador arroje una moneda sobre el tablero, si al caer la moneda toca una de las aristas de uno de los cuadrados entonces la moneda se pierde. Si la moneda cae fuera del tablero, el jugador vuelve a intentarlo; pero si la moneda cae totalmente dentro de un cuadrado del tablero, el jugador gana un premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar este juego?

En el proceso de resolver este problema los estudiantes pueden tratar de simular el juego y analizar lo que pasa después de varios intentos. Otra forma es pensar en casos particulares. Así, por ejemplo, si se supone que el cuadro mide 10 x 10 cm. por lado y que el radio de la moneda es de 3 cm., se observa que para ganar, el centro de la moneda debe estar a 3 cm. de cada lado, ya

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que de otra manera el borde de la moneda cruzará el cuadrado. Ahora, como el cuadrado mide 10 cm. por lado entonces la moneda puede caer en el cuadrado de cuatro por cuatro. Así, la probabilidad será 16/100 o sea existe un 16% de probabilidad de ganar.

De manera general, si el cuadrado tiene como lado L y la moneda como radio R, entonces la probabilidad de ganar está dada por la expresión:

III. La diagonal de un rectángulo de 3 x 5 pasa por 7 de los 15 cuadrados interiores de este. Si se considera el caso general de un rectángulo de N x M, ¿Por cuántos de los NM cuadrados pasa la diagonal de este rectángulo?

En este capítulo se ha abordado la necesidad de transformar el salón de clases en una comunidad donde se valoren actividades de discusión y comunicación de las ideas matemáticas de los estudiantes. En este trabajo de colaboración es importante que el estudiante como miembro de la comunidad, aprenda a escuchar a los demás y que tenga responsabilidad en cuanto al progreso de cada uno de los integrantes de la comunidad. Así, es necesario que se discutan los conocimientos básicos o recursos asociados al contenido además de las diversas estrategias o herramientas que ayuden a encontrar el sentido y que son parte del marco de referencia matemático. El problema que se presente debe ser un ejemplo de cómo puede analizarse una situación o involucrar diversas ideas por parte de los estudiantes. Así, este tipo de actividades puede ser un elemento fundamental para el desarrollo de una comunidad matemática en el salón de clases. Además, un elemento esencial en el

aprendizaje de los estudiantes es que se presenten diferentes métodos o formas de resolver un problema. También, es importante que se discutan las ventajas y las limitaciones de los métodos así como las conexiones de éstos y las extensiones o aplicaciones de los problemas.

Santos (1996b) presenta algunos ejemplos de problemas que involucran varias formas o caminos de solución. El trabajo de las soluciones anticipadas o potenciales puede servir de guía para que en el salón de clases se promueva una discusión acerca de las ventajas y desventajas de cada forma de resolución.

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ACTIVIDADES INSTRUCCIONALES EN LA


Durante el aprendizaje de las matemáticas los estudiantes tienen que desarrollar cierta disposición hacia el estudio de esta disciplina. Así, el ofrecerles la oportunidad de explorar y discutir abiertamente contenidos matemáticos contribuye a fomentarles una disposición matemática consistente con el quehacer de esta disciplina. En este capítulo se presentan algunas estrategias didácticas en cuanto a la presentación de las definiciones matemáticas, el uso de los métodos heurísticos y el estudio de las construcciones geométricas.

EL DESARROLLO DE UNA CLASE CON ÉNFASIS EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Muchos profesores al implantar actividades de resolución de problemas en la clase se preguntan cuál es el papel de ellos durante el desarrollo de la clase. Para contestar esta pregunta, intentaré revivir algunos detalles que un experto en esta área (Alan Schoenfeld) muestra durante una clase con énfasis en la resolución de problemas. En este contexto, se toman tres episodios como guía para ilustrar los puntos importantes que se discuten durante una sesión de resolución de problemas. El objetivo es ilustrar ideas esenciales sobre la implantación de la resolución de problemas tanto en el estudio de contenidos particulares como en el tratamiento de problemas en general. El primer ejemplo se refiere al papel de las definiciones en matemáticas, el segundo a la importancia del uso de las estrategias heurísticas, y el último está relacionado con el papel de las construcciones en geometría.

A. Las definiciones. En general, en un curso normal de matemáticas, las definiciones son dadas a los alumnos, ya sea por el profesor o en el libro de texto o referencia. La discusión de la importancia y la evolución de las definiciones raramente se mencionan y muy pocas veces tiene el estudiante la oportunidad de participar en el proceso de construcción de definiciones matemáticas. Bajo el acercamiento de resolución de problemas se intenta que el alumno desarrolle habilidades y estrategias que le ayuden no sólo a entender

el contenido matemático sino también a participar en el desarrollo de las ideas matemáticas.

El punto interesante en la discusión de los estudiantes (en el curso de Shoenfeld) es que ellos mismos podían evaluar los alcances y limitaciones de las definiciones que presentaban. Además, fue posible documentar que en las diversas propuestas y ejemplos discutidos existe una evolución en la que los estudiantes intentan mejorar la definición inicial dada. Los contraejemplos forman parte fundamental en la evaluación de las propuestas de los estudiantes.

El problema que fue parte de una de las sesiones con estudiantes de primer año de la universidad es el siguiente:

En la figura se muestra una colección de rectángulos;

a) Define matemáticamente una medida que te permita decir qué rectángulo es el “más cuadrado” y cual es el “menos cuadrado”;

b) Define otra medida diferente a la primera que te dé el mismo resultado, y

c) ¿Es una medida “Matemáticamente superior” que la otra? Argumenta tu respuesta.

Los estudiantes trabajaron en grupos de cuatro o cinco miembros durante aproximadamente 20 minutos. Entre las ideas que se discutieron durante este período se incluyeron:

I. ¿Qué pasa cuando la medida involucra solamente la longitud de los lados 1,w? ¿Es suficiente que la diferencia entre los lados sea cero, es decir cuando (1-w) = 0? ¿Son igual de “cuadrados” un rectángulo que mida 2 x 3 que otro que mida 2 x 6?

II. En la discusión también se abordó el uso de la razón de los lados como otra medida. En algún momento surgió la necesidad de introducir alguna notación para tal relación; por ejemplo, tomar el máximo número entre la razón de los

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lados max{(1/w), (w/1)}, y compararlo con la unidad. También hubo preguntas acerca de las limitaciones de esta definición al considerar casos extremos (como rombos) y fue necesario usar representaciones simbólicas.

III. Otra medida fue la de los ángulos que se forman con las diagonales. Se observó que conforme la medida de los ángulos se aproximaba a 90, la figura se parecía más a un cuadrado.

IV. Finalmente también se usó la idea de área al comparar y la del rectángulo original (ab) con la del cuadrado de lado (a + b)/2.

Estos puntos emanaron de las discusiones de los grupos pequeños y posteriormente fueron presentados ante todo el grupo. Al final, el grupo decidió la definición que ellos consideraban la más adecuada desde el punto de vista matemático. Es importante mencionar que los alumnos trabajaron este problema en la cuarta clase del curso. Al identificar algunas extensiones del problema, se propuso discutir situaciones similares. Por ejemplo, matemáticamente que es lo que se parece más a un disco: una moneda, una lata de atún, o una lata de sopa. La tarea esencial al trabajar con estos ejemplos fue establecer un argumento matemático que justificara la respuesta.

Un aspecto importante en el estudio de las matemáticas es que el estudiante desarrolle estrategias que le permitan utilizar argumentos matemáticos en sus afirmaciones. Los ejemplos anteriores ilustran aspectos de cómo los estudiantes pueden iniciar sus explicaciones con ideas sencillas y paulatinamente analizarlas y someterlas a diferentes argumentos de modo que tales ideas se puedan ir refinando. El uso de contraejemplos juega un papel fundamental en el establecimiento de argumentos matemáticos y es una actividad que los estudiantes necesitan practicar constantemente. Fawcett (1938), en un curso de geometría, intentó que sus estudiantes desarrollaran varias estrategias a partir de promover actividades de clase en las que los estudiantes mismos proponían y defendían algunos resultados geométricos. Por ejemplo, la presentación típica de algún resultado tenía la siguiente forma:

Es decir, en lugar de pedir “Probar que X es verdadero” lo cual generalmente el estudiante lo toma como “Sabemos que X es verdadero, y ahora tu trabajo es confirmarlo por medio de una demostración”, se plantea una situación más abierta donde los estudiantes mismos encuentran las relaciones y los medios para defenderlas. Los ejemplos anteriores ilustran una forma de discutir que las diagonales en un paralelogramo se bisectan una a la otra (pero no necesariamente son perpendiculares) y que las diagonales en un rombo son perpendiculares entre sí.

B. Las heurísticas. Se ha mencionado que las estrategias heurísticas juegan un papel importante en la resolución de problemas. Schoenfeld en gran parte de su curso discute y evalúa el potencial de estas estrategias en varias fases del proceso de resolución y extensión de los problemas. Un ejemplo que ilustra algunos aspectos del uso de estas estrategias es el siguiente:

¿Se pueden colocar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en el cuadrado de la figura de tal manera que la suma de cada fila, de cada columna, y de cada diagonal sea la misma?

El tipo de interacción (después de que los estudiantes trabajaron en grupos pequeños) se describe a continuación (P = profesor; E = estudiante):

P: ¿Qué pieza o parte de la información haría que el problema se resolviera de manera más simple?

E. ¿Cuál es la suma?

P. Así que una pieza de información importante es que la suma de cada fila, columna, y diagonal debe ser la misma. Parece que sería muy bueno conocer cuál es esa suma (escribe en el pizarrón ¿Cuál es la

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suma?). Déjenme decirles que a esto se le llama “establecer submetas” (y lo escribe en el pizarrón). En particular, la idea de establecer submetas se relaciona con establecer un resultado parcial que ayude a avanzar en la resolución del problema. Además en este caso se usa como punto de partida de algunos caminos de resolución.

Ahora se establece una discusión con los estudiantes acerca de cuál podría ser esa suma. Se observa que debe ser menor que la suma de los tres números más grandes (9, 8 y 7) y menor que la suma de los tres menores números (3, 2 y 1). Es decir, se lleva a cabo el análisis de los casos extremos.

P: ¿Existe otra forma de atacar esta pregunta que no sea por tanteo?

E. La suma de las tres filas del cuadrado debe ser igual a la suma de los números del uno al nueve.

Esto es, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35. De donde se obtiene que S=15. En esta parte se mencionó la idea de Gauss para encontrar esta suma. Esta idea se relaciona con la estrategia comúnmente usada en matemáticas que consiste en considerar que el problema está resuelto y se analiza qué propiedades llevan a la solución. En este caso, el suponer que el cuadrado estaba completo permite establecer que la suma de 9 números es tres veces la suma parcial.

La segunda submeta se establece a partir de identificar los puntos o lugares importantes del cuadrado. Por ejemplo, ¿Qué número debe colocarse en el centro?, es una pregunta que plantea uno de los estudiantes y es analizada considerando varios casos. ¿Puede el 9 colocarse en el centro? ¿Qué pasa con 1, 8, etc.? Es decir, se exploran los casos extremos. Así, a partir de esta discusión sólo queda el 5 como único candidato. Después, se analiza dónde puede colocarse el 1. Se observa que sólo existen dos posiciones: en una esquina o en un costado. Aquí, aparece otra heurística la simetría. Se observa que no puede colocarse en las esquinas. Esto es, si se colocara el 1 en la esquina superior izquierda, el 9 iría en la esquina inferior izquierda. Ahora, por simetría, existe solamente un lugar para colocar el 2: en el espacio central del costado derecho del cuadrado. Esto lleva a colocar al 4 en la esquina superior derecha, lo cual causa problemas ya que se necesita un 10 en la casilla central de la fila superior para completar la suma. Esto deja al 1 como candidato para la casilla del centro de arriba. Con este arreglo, el 9 queda ahora en la casilla central de la fila inferior; así, esta

discusión lleva a los alumnos a resolver el problema.

La pregunta inmediata después, de haber resuelto un problema, es: ¿Hemos terminado? Un estudiante contesta: “nunca terminamos”. Esto lleva a trabajar el problema bajo otra heurística: trabajando retrospectivamente. Es decir, es importante analizar qué se puede obtener de las combinaciones de los objetos que ya se tienen.

La pregunta importante ahora es: ¿Cuáles son las triadas de números que suman 15?

Con la participación de los estudiantes, se enlistan algunas: {1, 5, 9}, {2, 9, 4}, {2, 5, 8}, {1, 6, 8}, {3, 5, 7}. Pero, ¿cómo se puede dar cuenta uno de que están todas? Y esta discusión lleva a presentar una lista sistemática. Es decir, enlistar las triadas en orden creciente y empezar con las triadas que inician con 1, 2, etc. ({1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5 7}, {4, 5, 6}.

Cuando la lista se ha generado, empieza la discusión acerca de cuál es el número más importante y cuántas veces aparece en la lista. ¿Qué pasa con los números que aparecen solamente dos y tres veces?

Esta discusión los lleva a resolver el problema.

Al final de la sesión aparecen otras preguntas relacionadas: ¿Qué pasa si se empieza con otro número que no sea el uno, por ejemplo, 40, 43, 46,…, 67? ¿Se podrá formar otro cuadrado mágico? ¿Qué pasa si se suma una constante a cada entrada? También se hace una evaluación de las estrategias usadas durante el proceso de resolución. Entre los resultados que se discuten se incluyen: Si M es un cuadrado mágico entonces ¿aM (el cuadrado que se obtiene cuando se multiplica cada elemento de M por la constante a) y M + b (el cuadrado que se obtiene cuando se le

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suma la constante b a cada entrada de K) son también cuadrados mágicos?

El problema del cuadrado mágico se puede discutir en el contexto de un “juego” donde se colocan nueve fichas con dígitos del 1 al 9 sobre una mesa.

Dos jugadores, A y B, seleccionan (alternadamente una ficha en cada turno. El primer jugador que logre juntar tres fichas cuya suma sea 15 es el ganador. Por ejemplo, si en el noveno turno el jugador A tomó un 7 para completar el conjunto {2, 3, 6, 9, 7}, entonces A es el ganador, ya que B tiene {1, 4, 5, 8} y de estas fichas ninguna tercia suma 15, mientras que el jugador A tiene la tercia {2, 6, 7} que suma 15. Surge la pregunta: ¿Existe para algún jugador, A o B, una estrategia que asegure ganar el juego? ¿A qué juego se parece? Sin duda que tiene semejanza con el siguiente esquema:

Además de ilustrar el potencial del uso de varias heurísticas, un aspecto importante en el desarrollo de la clase es que los problemas pueden tener varias soluciones y resolver un problema es solamente el punto inicial del quehacer matemático.

C. Las construcciones. Un tema importante de geometría, muchas veces no es abordado en el nivel medio superior, es el de las construcciones. Schoenfeld (1992) menciona que generalmente el estudiante separa una construcción de una demostración y pocas veces tiene la oportunidad de discutir la importancia y pausibilidad de una construcción. Recomienda que los alumnos deben participar en actividades en las que tenga que hacer construcciones y decidir cuando una construcción no es posible. Así, por ejemplo el argumentar que si no existe un triángulo con lados a, b y c, es un ejemplo de situaciones que los estudiantes deben analizar regularmente.

En problemas que involucren triángulos es conveniente usar la siguiente notación:

Se plantea la tarea de construir un triángulo en el que se identifique la notación anterior. Es importante discutir algunas ambigüedades en su uso. Por ejemplo, a denota tanto el lado (segmento de recta) como la longitud del lado. Para hacer la distinción, es necesario considerar el contexto donde se le asocia el significado.

Algunos de los problemas que los estudiantes pueden discutir a partir de la información anterior son los siguientes:

1. Dado los lados a, b y c construir un triángulo. Además, argumentar en qué casos es imposible esta construcción.

2. Construir un triángulo dados

I) a, b, ma

II) a, ha, ma;

III) a, ma, _

IV) a, _, r.

A partir de este tipo de construcciones, los estudiantes en algún momento empiezan a plantearse problemas. Por ejemplo, resolver el problema: “En un círculo dado, inscribir tres círculos iguales de tal manera que cada uno sea tangente a los otros dos y también al círculo dado”. (véase la figura siguiente).

Una forma de resolver este problema consiste en empezar a trazar algunas líneas en la

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figura con el propósito de identificar alguna construcción familiar. Se observa que las líneas rectas que parten del centro del círculo son perpendiculares a las rectas tangentes a la circunferencia en los puntos donde aquellas la intersectan. En particular al trazar tres líneas como se muestra en la siguiente figura, se obtiene un triángulo con un ángulo de 120 grados. El punto de tangencia en la parte superior de la circunferencia es la intersección del círculo inscrito en el triángulo con el bisector del ángulo vértice. Obsérvese que el círculo interior que se quiere construir es simplemente el círculo inscrito en el triángulo bosquejado.

En los ejemplos anteriores se ha ilustrado la importancia de realizar en el salón de clases actividades propias del quehacer matemático. Una idea central es el mostrar que la selección de los problemas no es una situación complicada para el profesor. De hecho, la parte más interesante radica en el tipo de comunicación o discusión que se promueva en el salón de clases. Un aspecto notable es que los alumnos deben participar activamente en la construcción del conocimiento y plantearse preguntas que impliquen una búsqueda constante de conexiones entre los métodos de resolución y el contenido de los problemas. Como ya se ha mencionado, la participación de los estudiantes en grupos pequeños y de todo el grupo son actividades que deben aparecer frecuentemente en la instrucción. Muchos de los problemas de clase no podrán ser abordados en sólo una sesión y se espera que los estudiantes continúen con la discusión fuera del aula. Además, es importante que periódicamente los alumnos reporten por escrito (y verbalmente) algunos avances o desarrollos que hayan encontrado en sus intentos de solución. Como Schoenfeld (1992) sugiere, es importante que los estudiantes vivan en un ambiente similar al que viven los matemáticos al trabajar o desarrollar las ideas en esta disciplina.

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La tecnología y la resolución de problemas

El uso de la tecnología ha estado influyendo tanto en la forma de hacer o desarrollar matemáticas como en la forma de aprender esta disciplina. En la actualidad existen programas o “software” que pueden ayudar al estudiante a explorar y desarrollar el potencial de conjeturas y resultados matemáticos. En este capítulo se discute el papel que puede desempeñar el uso de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas. Además, se presentan algunos ejemplos en los que se vinculan aspectos de la resolución de problemas con el uso de la herramienta tecnológica.

INTRODUCCIÓN

En los últimos años el desarrollo de la tecnología ha sido un factor importante para mejorar tanto aspectos de comunicación como también la forma de presentar e interactuar con diversos tipos de información. Por ejemplo, el uso del correo electrónico, como medio de intercambio de información, permite conocer, discutir y difundir las ideas de algún individuo o grupo de cualquier parte del mundo casi en el mismo instante de su producción.

Además, muchos de los avances tecnológicos que hace algunos años eran costosos y complicados, en la actualidad son cada vez más accesibles no solamente en cuando al costo sino también en cuanto a la facilidad de manejo y operación. En esta línea se encuentra el uso de la computadora.

Hade algunos años, cuando la computadora empezó a vislumbrarse como un instrumento importante capaz de realizar diversas operaciones de manera eficiente y rápida, también se empezó a vislumbrar su potencial en la educación. En esta discusión hubo varias posiciones donde se señalaba la necesidad de tener más información acerca de cómo este instrumento podría utilizarse en el aprendizaje de varias disciplinas.

En matemáticas, por ejemplo, muchos profesores no permitían a sus estudiantes el uso de la calculadora en la resolución de problemas; esto era porque creían que la calculadora le restaba al estudiante posibilidades de desarrollar habilidades básicas necesarias en matemáticas (cálculos aritméticos, manipulaciones algebraicas,

análisis discreto del comportamiento de las relaciones o funciones matemáticas, etc.).

La discusión acerca de si los estudiantes deben o no usar instrumentos como la calculadora o la computadora en sus experiencias de aprendizaje está relacionada directamente con la pregunta: ¿qué es lo que importa que el estudiante aprenda en la disciplina? Esta pregunta ha estado presente desde el primer capítulo de este libro; se ha reiterado que al estudiar matemáticas (y en general otras disciplinas) el estudiante debe ser escéptico, proponer conjeturas, buscar evidencias, utilizar ejemplos y contraejemplos, y apoyar sus ideas con argumentos.

En este capítulo se presentan ejemplos donde el uso de la tecnología juega un papel importante en el desarrollo de habilidades matemáticas por parte del estudiante. Es decir, la tecnología ayuda a que el estudiante no sea sólo un espectador o receptor del conocimiento, sino que pase a ser un ente activo vinculado directamente con el quehacer matemático.

Es importante aceptar que los avances de la tecnología han sido tan rápidos y sustanciales en los últimos años que es imperativo que el estudiante adquiera habilidades y estrategias que le permitan constantemente ajustarse a estos avances y cambios. Es decir, la formación o educación del estudiante debe contemplar aspectos que le ayuden a conocer el potencial y uso de los avances tecnológicos e incorporarlos naturalmente a su práctica.

Afortunadamente, parece que se ha reconocido la importancia del uso de la computadora en el aprendizaje y ahora el asunto es determinar cómo debe usarse este instrumento en las experiencias de aprendizaje de los estudiantes.

EL POTENCIAL DE LA TECNOLOGÍA

El uso de la computadora ha influenciado notablemente la forma de desarrollar matemáticas. Por ejemplo, en la búsqueda de patrones o comportamientos de fenómenos, la computadora ha resultado ser un gran instrumento que ayuda a representar y organizar información que antes era difícil de sistematizar. Además, en algunos casos resulta relativamente simple variar los valores de una expresión algebraica para estudiar con detalle lo que pasa geométricamente (representaciones gráficas).

En cuanto al desarrollo mismo de las matemáticas, la demostración del teorema de

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los cuatro colores se basa en el uso de la computadora. Básicamente, la idea de la demostración consiste en reducir el problema general de colorear cualquier mapa con cuatro colores a un problema particular de colorear un conjunto finito de mapas que pertenecen a cierta clase.

El problema se transforma entonces en verificar cada uno de los mapas de esta clase. Este proceso de verificación está más allá de poder realizarse con procedimientos de lápiz y papel. Así, una computadora IBM 360 realizó este proceso y la respuesta fue de que cuatro colores son suficientes para colorear un mapa sin que dos países con frontera común compartan el mismo color. Esta prueba, basada en el uso de la computadora ha causado controversia en el medio matemático en cuanto a su aceptabilidad y en cierta forma ha hecho repensar los fundamentos de las matemáticas (Tymoczko, 1979).

En el terreno del aprendizaje, Papera (1993) afirma que la computadora ha estado transformando significativamente la forma de aprender. Describe un ejemplo en que una niña de cuatro años “Jennifer”, le pregunta cómo duermen las jirafas. Papera indica que en la actualidad no existe obstáculo para que Jennifer por sí misma investigue, con la ayuda de la computadora (conocimiento de máquina), la respuesta a esta pregunta.

Así, tocando la pantalla, haciendo gestos, o hablando podrá manejar la computadora e identificar lo que le interesa. Esto lo puede hacer más rápido que la tarea de buscar esta información en una enciclopedia. Además, Jennifer todavía no sabe leer, pero es capaz de usar la computadora de igual manera que muchos niños de su edad como cuando juegan “nintendo”. Jennifer podrá así estudiar el comportamiento de jirafas, panteras, tigres o lo que ella desee simplemente interactuando con la computadora.

Esto que Papert identifica como “conocimiento de máquina” cambiará radicalmente la forma de aprender de los niños ya que les presenta oportunidades de explorar selvas, ciudades, océanos, pueblos antiguos, etc., similarmente a los juegos de video que algunos niños usan regularmente.

Una línea esencial que Papera identifica es que los niños desde temprana edad se pueden desarrollar independientemente y aprender naturalmente vía la exploración y así asimilar experiencias directamente del mundo que los rodea.

Las ideas de Papert quizás sean un poco avanzadas respecto a lo que en la actualidad ocurre con el uso de la computadora; sin embargo, es innegable que la presencia de esta herramienta ha estado transformando la forma de aprender en varias disciplinas.

En esta línea, Hitt (1996) presenta ejemplos sobre el uso de la tecnología en el aprendizaje. El ambiente Logo, aspectos e ideas ligadas a la actividad de programar, y el uso de determinado software son líneas que ha influido en el aprendizaje de las matemáticas. Una idea central en el trabajo de Hitt es que para que el uso de la tecnología pase a ser importante en la educación, es necesario desarrollar una cultura tecnológica entre los maestros y estudiantes.

En este capítulo se presentan varios ejemplos sobre el potencial de la tecnología. En general, se explora la idea de considerar a las computadoras como elementos fundamentales en la transformación de funciones cognitivas del individuo y no sólo como instrumentos que amplifican y facilitan tales funciones.

Al final se plantea la necesidad de un estudio más profundo del contenido matemático en lugar de una cobertura amplia y superficial. Aquí el uso de la computadora ofrece un gran potencial en esta dirección, además puede ayudar al estudiante a desarrollar estrategias y habilidades que puede usar en su estudio independiente de esta disciplina.

TRANSFORMACIÓN Y EXTENSIÓN DE HABILIDADES COGNITIVAS

De acuerdo con Millar (1956) la capacidad de manejar información en la memoria de trabajo es aproximadamente de 7 ± 2 unidades. Otras limitaciones cognitivas se relacionan con la comunicación de ideas y con el potencial de trabajar diversos tipos de información. Sin embargo, el tener acceso a la escritura permite aumentar el potencial cognitivo y disminuir las limitaciones. Por ejemplo, algunos cálculos u operaciones que no es posible realizar mentalmente se pueden llevar a cabo en forma escrita y eliminar esta dificultad. Lo importante es que el material escrito puede servir de base para trabajar otras ideas y establecer otras conexiones que tienden a expandir el conocimiento.

Existen diversos ejemplos donde el desarrollo de la tecnología no sólo ha ampliado la forma de trabajar ciertas ideas, sino que también ha transformado la forma de trabajo. Por ejemplo, el uso del procesador de textos ha hecho más sencillo el trabajo que antes se

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hacía con la máquina de escribir (por ejemplo, es fácil corregir las faltas de ortografía). Sin embargo, no es sólo la facilidad de hacer las cosas sino que también el proceso de escribir posee ciertas diferencias fundamentales.

Por ejemplo, ha contribuido en la forma de organizar las ideas y su libre expresión sin necesidad de preocuparse por el formato final (ya que éste puede hacerse al término del trabajo).

Otro ejemplo es el software “Green Globs” en el cual los estudiantes disparan a blancos (globos u otros objetos) con ecuaciones algebraicas: después de que el estudiante define una curva algebraicamente, aparece la gráfica de esta curva y un globo explota cuando la curva pasa por él.

El estudiante desarrolla cierta destreza en el juego a través de entender como una curva hace lo que ellos quieren. Es decir, aprenden a seleccionar los coeficientes que producirán cierta forma. La computadora ofrece un medio donde el estudiante puede estudiar empíricamente el comportamiento de una ecuación, conjeturar ciertos resultados y, finalmente, probar la verosimilitud de éstos.

SOPORTE ESTRUCTURAL EN EL DESARROLLO DE HABILIDADES

COGNITIVAS

En el aprendizaje de las matemáticas es importante que el estudiante explícitamente relacione las ideas o resultados matemáticos con situaciones que le permitan estructurar y organizar sus conocimientos. El uso de la tecnología juega un papel importante en esta dirección. Por ejemplo el software “Green Globs” ayuda a los estudiantes a reconocer las relaciones entre las fórmulas de una ecuación y las representaciones gráficas de tales formas. Es decir, el estudiante tiende a reconocer que ciertas características de los parámetros importantes de una expresión se comportan de cierta forma en las representaciones gráficas. Esto permite tener una visión global del comportamiento y no solamente un análisis puntual para cada ecuación. Por ejemplo, en el análisis de la ecuación y = ax² + bx + c, es posible enfocar la discusión sobre la manera en que el coeficiente a determina la abertura y dirección de la parábola y en que a variaciones de c resultan en traslaciones verticales de la parábola. Las variaciones en b dejan la abertura constante pero afectan o mueven el vértice. Por otro lado, los cambios en el parámetro a modifican la abertura y

posiblemente la dirección de la parábola y mueven el vértice.

Ahora, al trabajar la forma y = a(x – b)² + c es posible identificar fácilmente el vértice. Además, los cambios en a, b y c producen modificaciones en la abertura y dirección de la parábola, en el movimiento sobre el eje horizontal, y en el movimiento a lo largo del eje vertical en la representación gráfica respectivamente.

En el caso de que la ecuación de la parábola se pueda factorizar, entonces se analiza la forma y = a(x – b)(x – c), a partir de la cual se pueden identificar las raíces de la ecuación.

La función de la computadora o de la calculadora al trabajar ejemplos como el de la ecuación cuadrática no es proporcionar rápidamente toda la información al estudiante, sino que es un recurso para analizar con detalle diversos comportamientos de la ecuación. Además, la computadora puede ayudar al estudiante a explorar tanto la gráfica de una ecuación dada como la ecuación de una gráfica. Por ejemplo, el software “Green Globs” ofrece un ambiente de juego donde el estudiante trata de predecir el comportamiento de la gráfica a partir de identificar los puntos (globos) por donde pasa.

Cuando el estudiante acierta, los globos (o puntos) por donde pasa explotan. Similarmente ocurre cuando el estudiante propone la ecuación que corresponde a la gráfica dada. La práctica y discusión de lo que ocurre al realizar estas actividades ayuda a que los estudiantes mejoren constantemente sus estrategias y enfoquen la exploración a ecuaciones más complejas.

EL APRENDIZAJE DE LOS RECURSOS

Un aspecto importante en el estudio de los hechos básicos, reglas, algoritmos y procedimientos con el uso de la tecnología radica en que los estudiantes pueden desarrollar un soporte cognitivo en el aprendizaje de estos recursos. Por ejemplo, con la ayuda de la computadora es posible analizar situaciones en una forma dinámica y usar representaciones múltiples que permiten establecer conexiones entre los recursos. Con la ayuda de la computadora es posible establecer simulaciones de fenómenos donde simultáneamente se analice tanto la situación real como varias de sus representaciones (fórmula, tabla, gráfica). Es aquí donde el estudiante puede analizar diversas conexiones entre tales representaciones. Como consecuencia, es posible discutir aspectos del

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problema o situación que se estudie relacionados con:

I. Las diferentes relaciones entre las representaciones;

II. Las conexiones específicas entre determinada representación y la discusión de aspectos específicos del fenómeno. Por ejemplo, es posible analizar cómo cierta representación es funcional para identificar algunas propiedades del fenómeno (puntos de optimización, por ejemplo) y otras ayudan a identificar exactamente el valor de algunos puntos críticos del fenómeno.

Kaput (1992) muestra cómo las diversas representaciones de un fenómeno pueden ayudar a analizar otros fenómenos y así los estudiantes desarrollan estructuras cognitivas que ayudan a explorar el fenómeno en forma cualitativa y cuantitativa.

ATENCIÓN AL PROCESO Y ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Uno de los avances en el uso de la tecnología es que ayuda a realizar actividades tediosas en forma eficiente y rápida. En este sentido, es posible que el estudiante enfoque su atención al análisis del proceso de resolución de problemas. Por ejemplo, un software que ayuda en esta dirección es el “Geometric Supposer” (Yerushalmy y Houde, 1986). Este software ayuda al estudiante a definir construcciones geométricas sobre objetos dados (e.g., bisectar un segmento) y después reproducir estas construcciones en otros objetos. Si un estudiante ha definido un procedimiento para bisectar un segmento, entonces el “Supposer” repetirá la construcción en otros segmentos dados (por ejemplo los lados de un triángulo), lo que le permite al estudiante observar si la construcción funciona y explorar otras propiedades de las figuras (intersecciones o distancias). Schwarts (1994) explica la idea central del “Geometric Supposer”:

El usuario puede seleccionar o construir una forma primitiva, como por ejemplo un trapezoide, o un triángulo escaleno, y así realizar una serie de construcciones euclidianas como paralelas, perpendiculares, bisectores de ángulos, etc. sobre la figura. El software preserva las construcciones como procedimientos, que pueden repetirse sobre otra figura del mismo tipo. Las mediciones en la figura original pueden también repetirse en la misma forma.

El uso de este software ayuda a los estudiantes a proponer conjeturas y explorar varios casos en donde identifiquen elementos para presentar una demostración de la validez de alguna proposición. En este sentido el software contribuye a que los estudiantes acepten que la geometría (y las matemáticas en general) no es un producto terminado, sino que es posible que ellos mismos desarrollen o descubran nuevas ideas.

Por ejemplo, un alumno de nivel medio superior al trabajar con el problema de dividir un triángulo en cinco partes de igual área, utilizó la siguiente construcción con la ayuda del software:

La construcción anterior resultó novedosa tanto para el profesor como para muchos matemáticos que la examinaron. Así, parece ser evidente que este tipo de software es una herramienta que le permite al estudiante establecer un diálogo entre la deducción y la experimentación. Es decir, le permite explorar hipótesis empíricamente, descubrir nuevas relaciones y pensar cómo pueden ser demostradas éstas. En este sentido, la tecnología se emplea como una herramienta potente en el análisis y uso de estrategias.

Otro ejemplo importante es el uso de programas que pueden calcular raíces de ecuaciones de grado mayor que 20 o invertir matrices grandes, y calcular integrales fácilmente. Al realizar este trabajo, el estudiante tiene la oportunidad de trabajar con preguntas conceptuales asociadas con estos contenidos. En esta dirección, dado que es relativamente fácil encontrar valores numéricos con la ayuda de la computadora, el estudiante tiene que pensar qué aspectos del fenómeno ayudan a entender las características más importantes para su estudio. Por ejemplo, analizar la función racional P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x) tienen grados 22 y 23 respectivamente.

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Con la ayuda del software, los estudiantes abordan este tipo de problemas en base a una serie de estrategias donde el encontrar valores de la función no es un problema, sino el seleccionar valores interesantes que le ayuden a encontrar el comportamiento en la función.

CONTROL Y MONITOREO DEL PROCESO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la actualidad existen algunos intentos de que el estudiante observe y evalúe su trabajo al interactuar con algunos problemas o contenidos matemáticos. Por ejemplo, el software “Grapher” es un medio donde es posible contrastar las soluciones propuestas por los estudiantes con las de la computadora. Así, al analizar las representaciones gráficas propuestas por los estudiantes, es posible ponerle atención a los métodos y estrategias que emplearon en este proceso. Esto ayuda a que los estudiantes critiquen sus estrategias y constantemente evalúen sus resultados. El hecho de que se pueda tener acceso al trabajo de los estudiantes ayuda a que éste pueda ser analizado junto con otros compañeros o con el maestro. Como consecuencia, esto puede ser un punto crítico para desarrollar algunas estrategias cognitivas en la resolución de problemas.

SISTEMA DE CREENCIAS

El uso de la computadora permite al estudiante explorar diversos casos y tener acceso a situaciones en donde es posible encontrar el sentido de algunas ideas matemáticas. Por ejemplo, una de las creencias acerca de las matemáticas es que es una disciplina donde la certeza se muestra a su nivel más alto.

En el trabajo de Papera (1993) se ilustran resultados que no necesariamente siempre son correctas (programas en Logo) pero pueden ser modificadas.

Como consecuencia, los estudiantes tienden a conceptualizar que el estudiar y desarrollar matemáticas es un proceso dialéctico, en donde uno puede lograr algún progreso, refinar ciertas ideas y finalmente, resolver o entender determinada situación o problema. Además, software como “Green Globs” y “Geometric Supposer” permiten a los estudiantes establecer una interacción grupal donde es posible discutir las diversas estrategias y evaluar las propuestas con varios estudiantes.

El hecho de que el software pueda evaluar inmediatamente las sugerencias de los estudiantes, permite que éstos puedan analizar los alcances y limitaciones de sus ideas. Como consecuencia, los estudiantes aceptan que el comunicar y defender sus ideas en una parte esencial en el estudio de las matemáticas.

Shoenfeld (1988) identifica tres formas en que la tecnología puede ayudar a modificar las creencias de los estudiantes acerca de las matemáticas y la resolución de problemas:

(I) La computadora permite vincular el trabajo empírico con lo formal en áreas como la geometría. Por ejemplo, el uso del software “Geometric Supposer” permite a los estudiantes realizar construcciones geométricas fácilmente y analizar varios casos que les permite conjeturar algunos resultados.

El siguiente paso es tratar de explorar si estas conjeturas se cumplen en diversas situaciones. En este sentido, el uso del software también ayuda al estudiante a realizar el trabajo empírico y proporciona bases para realizar una demostración formal.

El software “Grapher” también ofrece al estudiante la oportunidad de explorar diversos casos empíricamente (el comportamiento de funciones lineales) los cuales le ayudan a analizar el comportamiento de los parámetros importantes de la ecuación de la línea recta (pendiente e intersección con el eje Y). Es decir, existe una vinculación estrecha entre el establecimiento de conjeturas, la verificación empírica y la demostración formal.

(II) Un aspecto esencial de las matemáticas es el analizar información estadísticamente. En la actualidad existen diversos programas para computadora que permiten realizar un análisis estadístico completo.

Esto permite que el estudiante lleve a cabo proyectos en donde considere información real y la procese e interprete estadísticamente. Además, el estudiante puede analizar conexiones y aplicaciones en otros contextos.

Otro aspecto fundamental es el uso de las calculadoras. En la actualidad es posible hacer manipulaciones simbólicas fácilmente de modo que el estudiante puede centrar más su atención en la parte cualitativa de las expresiones.

(III) Otra área importante en las matemáticas es la modelación de fenómenos. En esta dirección, la computadora ofrece un potencial para modelar fenómenos como el movimiento de una partícula o del automóvil. Así, el

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estudiante tiene la oportunidad de demostrar sus conjeturas y analizar algunas concepciones falsas con datos representativos.

LA TECNOLOGÍA Y EL CONTENIDO MATEMÁTICO

El aprendizaje de cualquier disciplina se lleva a cabo en un contexto social específico en el cual la educación juega un papel importante para el desarrollo de la sociedad misma.

En particular, el contenido matemático que se tiene que estudiar y los métodos de aprendizaje tienden a estar estrechamente vinculados con ciertos valores de la sociedad. La propuesta de la matemática moderna se fundamentaba en la necesidad de que el alumno estudiara los principios formales de esta disciplina desde la educación elemental.

Se suponía que tal estudio ayudaría a entender la estructura formal de las matemáticas y consecuentemente el estudiante tendría un conocimiento sólido en áreas prioritarias como la ingeniería. Oteen (1990) afirma que desarrollos importantes en la tecnología han motivado cambios no sólo en el contenido para estudiar sino también en la forma de aprender. Nickerson (1988) ofrece un panorama de lo que la tecnología puede ofrecer en los próximos 35 años:

(I) Muchas de las tareas que se realizan con la presencia del ser humano se realizarán por medio del uso de una máquina.

(II) Será posible viajar a cualquier parte del mundo en menos de dos horas.

(III) En medicina, será posible transplantar órganos fácilmente y la gente podrá vivir más tiempo. La ingeniería genética habrá avanzado sustancialmente en direcciones como el control de genes específicos.

(IV) El software disponible será más versátil y poderoso que el que existe ahora. Los estudiantes podrán interactuar con software con voz y otros atributos que ahora sólo el ser humano posee.

Nickerson presentó estas ideas hace nueve años y es claro que muchas de sus especulaciones han empezado a dar señales de concreción. En este sentido, es importante ubicar la dirección en cuanto al contenido matemático que se debe estudiar y la forma de aprendizaje.

Dada la explosión del conocimiento, el estudiante tiene que enfrentarse a nuevas ideas y desarrollar habilidades que le permitan

constantemente ajustarse a nuevos desarrollos.

Di Sessa (1988) afirma que en virtud de las limitaciones en las capacidades cognitivas del individuo, una forma de mantenerse al corriente con el desarrollo del conocimiento es que el estudiante se convierta en un constructor de teorías, un sintetizador de ideas y un inventor de estrategias que le permitan avanzar de forma independiente en su conocimiento.

Algunas ideas en cuanto al potencial que ofrece la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas han sido presentadas en el desarrollo de este capítulo.

Específicamente, en relación al contenido es esencial darle más atención a la profundidad del estudio que a la extensión o variedad del contenido.

La idea de profundidad se refiere a entender los principios centrales de la disciplina que permiten organizar y tener acceso a otros aspectos. Es decir, es importante atender el aprendizaje profundo de algunos aspectos de la disciplina y no solamente recorrer superficialmente todo el contenido. Esto implica que muchos de los hechos y procedimientos de la disciplina que en la actualidad se estudian quedarán fuera del currículo.

La idea es que el aprendizaje de los estudiantes a nivel profundo de algunos aspectos de la disciplina los ayudará a apreciar el potencial de las habilidades y estrategias que aprendan. En este contexto, posteriormente podrán usarlas independientemente en el estudio de otros contenidos.

Así, eventualmente ocurrirá en que el estudiante también pueda cubrir más contenido. Por ejemplo, cuando el estudiante logre una competencia en cierta área de la disciplina se espera que esto lo motive a que continúe su estudio.

El aprendizaje profundo de un tópico en la disciplina lo pondrá en contacto directo con los principios y métodos de ésta. Como consecuencia, se le facilitará aprender más en esta área.

La tecnología ofrece un potencial para ayudar al estudiante a profundizar en su aprendizaje. Por ejemplo, en el estudio de la ecuación cuadrática, la computadora ofrece un medio para que el estudiante explore, conjeture, analice y pruebe varias ideas relacionadas con este contenido.

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En particular, existe el medio para que desarrolle habilidades y estrategias que pueden posteriormente ser importantes en otros contextos como la geometría o el cálculo.

El aprendizaje profundo de aspectos relacionados con la programación ha permitido que algunos estudiantes conozcan más de programación que sus propios profesores.

Esto ocurre ya que después de asimilar los principios de la programación, existen varios contextos en donde el estudiante se puede especializar y así avanzar independientemente de la instrucción formal.

Además, dado que las matemáticas se han estado desarrollando exponencialmente, particularmente en este siglo (con similares avances en otras ciencias), es importante que el estudiante sea un participante activo de este desarrollo.

Una forma de promover esta participación es profundizar en algunos aspectos del estudio de las matemáticas y ofrecer las herramientas para que independientemente de una educación formal, el estudiante pueda continuar su estudio de esta disciplina. La tecnología parece que puede contribuir en esta dirección.

Finalmente, es importante mencionar que la tecnología es vista como un gran apoyo en el aprendizaje de los estudiantes, pero en ningún momento se presenta como un sustituto del maestro.

Además, el estudiante al usar algún software o una calculadora, debe entender los principios matemáticos que emerjan de determinada exploración y tener presente que muchas veces la tecnología puede dar una representación gráfica incompleta. Por ejemplo, Dubinsky (1995) da un ejemplo que ilustra la necesidad de usar ideas de cálculo para finalmente presentar e interpretar la gráfica de una función representada en la computadora que necesita el uso de varias escalas.

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HACIA UNA PROPUESTA DE EVALUACIÓN EN LA


Una preocupación natural por parte de la gente interesada en implantar la resolución de problemas en el salón de clases se relaciona con la forma de evaluar el trabajo de los estudiantes. En la discusión de los elementos asociados con esta propuesta se destaca la importancia del proceso que muestran los estudiantes al resolver problemas. Por lo tanto, la evaluación necesariamente debe contemplar formas de analizar las diversas fases del proceso de resolución. En este capítulo se presentan algunas propuestas de cómo se pueden desarrollar algunos instrumentos que tiendan a este tipo de evaluación.

LA EVALUACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La resolución de problemas, en términos generales, es una forma de pensar en la que el estudiante muestra una diversidad de estrategias en los diferentes momentos del proceso de resolver algún problema. Por ejemplo, el estudiante puede usar diagramas, tablas o gráficas para representar la información y entender el problema. El diseño de un plan y su implantación puede incluir el uso de métodos algebraicos, el descomponer el problema en otros más simples, o el transportar el problema a otro contexto (geométrico o numérico). En la fase de revisión, es importante analizar el significado de la solución. Verificar las operaciones y pensar en conexiones o extensiones del problema. Además, la presencia de estrategias metacognitivas ayuda a que el estudiante explore algunos caminos más eficientemente. En este sentido será importante que la evaluación del proceso proporcione información relacionada con las diversas actividades que el estudiante desarrolla al resolver problemas.

Un modelo de evaluación que intenta analizar el proceso utilizado por los estudiantes al resolver problemas incluye tres componentes:

(I) El primer momento se centra en la parte relacionada con el entendimiento del problema. Es decir, el estudiante debe mostrar que ha entendido el problema. Por ejemplo, se debe enunciar el problema (con

palabras propias) o representar el problema usando diversos caminos. El estudiante debe juzgar cuándo las condiciones dadas del problema son razonables y si es posible estimar alguna solución.

(II) Un segundo momento se relaciona con la habilidad del estudiante para seleccionar y usar estrategias de resolución así como el presentar un plan y llevarlo a cabo.

(III) Finalmente, es importante revisar los aspectos relacionados con lo razonable de la solución y la extensión del problema.

En los tres componentes mencionados, la presencia de aspectos metacognitivos también debe incorporarse al modelo. Schoenfeld (1987) menciona que la metacognición se relaciona con tres aspectos:

(I) El conocimiento del proceso propio de solución. ¿Qué tan preciso el estudiante describe su propio proceso de pensar?

(II) Control o autorregulación. ¿Qué tan bien se puede seguir o evaluar lo que se hace?

(III) Creencias e intuiciones. ¿Qué ideas acerca de las matemáticas aparecen en la interacción del estudiante con la disciplina? ¿Cómo le dan forma éstas al proceso que se utiliza el resolver problemas?

La evaluación de los aspectos mencionados no puede ser realizada usando solamente ejercicios para resolver con lápiz y papel. Es decir, es importante diseñar actividades adecuadas que capturen información de los momentos identificados en el modelo. Las entrevistas desempeñan una herramienta importante en esta forma de evaluación.

Davis (1986) describe lo que llama entrevista a través de un problema y la define como sigue:

Un grupo de estudiantes se sienta alrededor de una mesa, se les proporciona papel, lápiz, calculadora, u otros instrumentos. Se les presenta un problema para resolver. Una o más personas están presentes para recabar información. Normalmente, antes de empezar a trabajar se le pide a los estudiantes que hablen en voz alta y expliquen tan detalladamente como puedan lo que están haciendo y por qué deciden hacerlo. Todo este proceso puede ser grabado o incluso filmado. El observador toma nota durante el transcurso de la sesión e inmediatamente después puede añadir algunos comentarios que hayan resultado importantes durante el desarrollo de ésta (Davis, 1986, pp. 87-88).

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Davis también sugiere que algunos aspectos relacionados con la estructura y desarrollo de este tipo de entrevistas pueden variar. Por ejemplo, el grado en que se les pide a los estudiantes describir sus ideas, el tiempo de verbalización y la profundidad de las ideas; el tipo de materiales o equipo que se le proporciona al estudiante y el formato preparado por el observador o evaluador antes de la entrevista, y el nivel de intervención por parte del observador son aspectos que determinan el desarrollo de una entrevista.

Perkins (1981) sugiere algunas ideas que pueden ser de utilidad en el uso de este tipo de entrevistas. Antes de comenzar la entrevista se le recomienda al estudiante que:

(I) Diga lo que esté en su mente. No te guardes, lo que tú consideres como conjeturas, ideas vagas, imágenes o intensiones.

(II) Habla tan continuamente como puedas. Di algo al menos cada cinco segundos, aún si dices “estoy en blanco”.

(III) Habla con un tono que se escuche.

(IV) Habla tan telegráficamente como puedas. No te preocupes si tus oraciones no son completas ni elocuentes.

(V) No expliques o justifiques demás. Trata de analizar las cosas como normalmente lo haces.

(VI) No trates de describir eventos pasados. Describe lo que haces en el momento y luego trates de describir lo que pensaste.

En este plan general para realizar una entrevista es importante señalar que un ingrediente importante es el tipo de problema que el estudiante trabajará. Algunas características que estos problemas deben presentar son:

(I) Que sea un reto, que sean difíciles pero accesibles.

(II) Que demanden un plan y una reflexión. Es decir, que no se puedan resolver instantáneamente.

(III) Que permitan diferentes métodos (estrategias) de solución.

(IV) Que algunos incluyan varias soluciones. Así, una solución completa puede requerir encontrar todas las soluciones o decidir cuántas soluciones existen.

(V) Que incluyan una variedad de procesos matemáticos y operaciones pero no en formas obvias o rutinarias.

(VI) Que cuando un estudiante lo resuelva, debe ser posible identificar los procesos y operaciones empleadas; así como, el plan para resolverlos y las estrategias empleadas.

Al seleccionar los problemas y realizar las entrevistas, el reporte de las cualidades mostradas por los estudiantes debe discutirse alrededor de los siguientes puntos:

(I) El nivel de desarrollo de las fases de entendimiento, diseño de un plan y su implantación, y de la visión retrospectiva.

(II) El tipo de estrategias usadas en la resolución del problema.

(III) La presencia de conceptos y procedimientos matemáticos. Cuando un problema puede ser resuelto por medio de la aplicación de diferente contenido matemático, es importante mencionar qué contenido fue usado y qué tipo de conexiones fueron explotadas.

(IV) El tipo de control y automonitoreo mostrado por el estudiante al resolver el problema.

(V) La participación por parte del entrevistador. Es decir, el tipo de intervenciones y los efectos producidos en el trabajo del estudiante.

Finalmente, se debe reportar si el estudiante obtuvo la respuesta correcta del problema, si lo hizo con o sin ayuda del entrevistador. Indicar la cantidad de tiempo en cada fase para obtener la solución y los comentarios pertinentes adicionales.

Las ideas anteriores resaltan los aspectos cualitativas de la evaluación. Sin embargo, para aspectos de carácter cuantitativo también es posible diseñar un instrumento que se le asocie a algún número determinado. Es importante mencionar que en la construcción del instrumento se analizaron diversos trabajos que muestran interés por cuantificar el proceso de resolución (Charles, Lester, y O’Daffer, 1987; Szetela, 1987; Santos, 1992). El instrumento puede incluir las siguientes componentes:

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Además, en el proceso de evaluación se pueden identificar algunos indicadores asociados con la solución del problema, el desarrollo de la solución, y con respecto a identificar las estrategias principales empleadas en cada solución.

En este instrumento se han identificado algunos componentes que pueden ayudar al instructor a tener una idea global del proceso de solución del problema. Además, de la identificación de los diversos momentos genera información relacionada con las dificultades que puedan mostrar en cada una de las fases. Es decir, entendimiento, uso de estrategias y evaluación de la solución.

Es importante mencionar que estos instrumentos pueden ser ajustados por el instructor de acuerdo a los tipos de problemas que considere en la evaluación. Por ejemplo, si se destaca la importancia de que el estudiante muestre diversos métodos de resolución o diversas soluciones entonces será necesario cuantificar esta componente.

EJEMPLO DE UN PROBLEMA Y EL TIPO DE INSTRUMENTOS PARA LA ENTREVISTA

A continuación se presenta un problema que puede servir de guía para preparar una entrevista. En la presentación se destacan algunas cualidades como el empleo de diversos métodos o formas de resolución. Sin embargo, los métodos discutidos no son exhaustivos ni tampoco se espera que los estudiantes necesariamente seleccionen alguno de estos caminos. El trabajo con el problema ayuda al maestro a valorar el potencial del problema y a preparar una serie de instrumentos para recabar información del proceso utilizado por los estudiantes al resolverlo.

Pedro y María visitaron una granja el fin de semana donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras que María dijo que había 60 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?

SOLUCIONES ANTICIPADAS

Es importante que antes de realizar la entrevista se trabaje el problema con cierto detalle. La idea es que se encuentren algunas soluciones anticipadas. Esto ayudará a entender el trabajo de los estudiantes. Hay que aclarar que no se espera que el estudiante necesariamente siga algunas de estas formas de solución. Sin embargo, el trabajar el problema ayuda incluso a orientar al estudiante durante el proceso. A continuación se plantean algunas posibles soluciones al problema planteado.

(I) El método pictórico. Este incluye el uso de figuras, dibujos o diagramas como medio pare representar el problema. El estudiante puede dibujar los animales o representarlos mediante un diagrama y usarlos como referencia para aumentar la cantidad o eliminar algunos de acuerdo al número de patas.

(II) El método de ensayo y error. Este método puede ser usado originalmente por el estudiante. En su desarrollo puede incluir varias direcciones de acuerdo con el tipo de ensayo que se seleccione. Por ejemplo, el estudiante puede usar:

(a) Un método de intercambio en el cual fija un número determinado de cerdos o gallinas y los empieza a intercambiar de acuerdo al número de patas. Así, el estudiante puede iniciar con 19 cerdos y calcular el número de patas y disminuir el número de cerdos de uno en uno compensando cada cerdo con las gallinas correspondientes. Repitiendo este procedimiento se llega a la solución del problema.

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(b) Un método de conteo puede iniciarse con cualquier número de gallinas y cerdos. Por ejemplo, 10 gallinas y 9 cerdos. Contando el total de patas que se tiene que 2 + 36 = 56; se nota que faltan cuatro patas. Entonces la siguiente selección puede ser 9 gallinas y 10 cerdos; esto lleva a 18 + 40 = 58 patas. En este caso faltan, 2 patas. Naturalmente la siguiente selección conlleva a considerar 8 gallinas y 11 cerdos lo que produce la solución deseada.

(c) La construcción de una tabla puede también ayudar al estudiante a seleccionar los números sistemáticamente. Por ejemplo, iniciando con los casos extremos (sólo gallinas o cerdos) y tomando en cuenta la información se puede generar una tabla como la siguiente:

(III) El método de correspondencia. Este método puede también aparecer en la solución del problema. La idea es pensar en una correspondencia entre el número de patas y cabezas. Dos formas similares ilustran este procedimiento:

(a) Supongamos que las gallinas se sostienen sólo con una pata y que los cerdos sólo con dos patas. Entonces estarían pisando tierra solamente la mitad de las patas es decir, 30 patas.

En este número la cabeza de una gallina se cuenta solamente una vez, mientras que la cabeza de los cerdos se cuentan dos veces. Restándole a 30 el número de cabezas (19), resulta el número de cabezas de cerdo. Esto es 30 – 19 = 11 cerdos. Con esta información se tiene que hay 8 gallinas.

(b) Otra variante del método de correspondencia es imaginarse que todos los animales se sostienen con dos patas. Entonces habría 38 patas y 60 – 38 = 22, que serían las patas de cerdo que faltan, entonces hay 11 cerdos.

(IV) Un método semi-algebraico. Éste se puede identificar cuando el estudiante, por ejemplo, utilice g = cantidad de gallinas y c = cantidad de cerdos; de aquí puede escribir que g + c = 19 o g = 19 – c. Tomando esto como base, el estudiante puede explorar las

posibles combinaciones que puedan satisfacer la expresión del número de patas.

(V) El método algebraico. El álgebra también puede ayudar a resolver el problema. Una forma puede ser representando la información dada con un sistema de ecuaciones. Este sistema, que incluye dos ecuaciones con dos incógnitas, se puede resolver utilizando los procedimientos rutinarios:

(VI) El método gráfico

El estudiante puede también usar una representación algebraica donde se incluya solamente una variable. Por ejemplo, x puede representar el número de gallinas y (19 – x) el número de cerdos; esto lleva a que 2x + 4 (19 – x) = 60, es decir, 2x + 76 – 4x = 60, de donde x = 8.

PREGUNTAS POTENCIALES PARA AYUDAR AL ESTUDIANTE EN EL DESARROLLO DE LA ENTREVISTA (EN CASO DE QUE SE

REQUIERA)

¿De qué trata el problema?

Entendimiento general del enunciado del problema:

• ¿Puedes explicar con tus propias palabras de qué se trata el problema?

• ¿Qué es lo que sabes? ¿Qué es lo que se quiere encontrar?

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Entendiendo la relación entre el número de cabezas y patas:

• ¿Qué número de patas le corresponde a cada cabeza?

Diseño de un plan y su implantación

Exploración:

• ¿Tienes alguna idea sobre qué tipo de estrategia puedes usar para resolver este problema?

Selección y uso de “estimación”:

• ¿Puedes pensar un número determinado de gallinas y cerdos?

Selección y uso de “ensayo y error”:

• ¿Con qué números puedes iniciar?

• ¿Qué números siguen ahora?

Selección y uso de “eliminación de posibilidades”:

• ¿Podrías tener 10 gallinas (cerdos)?

• ¿Por qué? ¿Te podría ayudar una tabla?

Selección y uso de un método algebraico:

• ¿Podrías usar álgebra para resolver este problema?

• ¿Cuáles son las variables? ¿Cómo las representarías?

• ¿Qué ecuaciones puedes escribir para representar el problema?

• ¿Cómo podrías resolver o encontrar el valor de alguna de las variables?

VISIÓN RETROSPECTIVA

Búsqueda de conexiones y otras formas de resolver el problema:

• ¿Cómo sabes que la solución que obtuviste es correcta?

• ¿Puedes pensar en otra forma o método para resolver este problema?

• ¿Te ayudaría a resolver el problema si pensaras que todos los animales se sostienen únicamente en dos patas? ¿Cuántas patas estarían en el aire y de quién serían? ¿Por qué?

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HOJA DE CAPTURA DE INFORMACIÓN:

EVALUACIÓN DEL PROCESO DE LOS ESTUDIANTES AL RESOLVER PROBLEMAS

Nombre(s)____________________________

Escuela____________________________________________________________________

Fecha de nacimiento____________________

Grado_________

Curso_________

Maestro___________________

Entrevistador__________________________________ Fecha______________ Tiempo_______________

Problema: Pedro y María visitaron una granja el fin de semana donde se crían gallinas y cerdos. Pedro observó que en total había 19 cabezas, mientras María dijo que había 60 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos había en la granja?

Herramientas disponibles:

• Enunciado del problema

• Calculadora (5 funciones)

• Papel, lápiz, colores

Entendimiento

__ Problema entendido rápidamente

Evidencia:____________________________

Dificultad con __“identificación del número de patas” __”relación entre el número de cabezas y el número de patas” __ Otro:________________________________

_____________________________________

Preguntas, tipo de ayuda y comentarios:

Selección de estrategias

Estrategia pictórica: usada __ exclusivamente __ algunas veces __ lo

guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda.

Dibujos o representación sistemática del problema __ con ayuda __ sin ayuda.

Comentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Método de ensayo y error: usado __ inicialmente __ exclusivamente __ algunas veces __ lo guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda.

Dibujos o representación sistemática del problema __ con ayuda __ sin ayuda

Ensayos razonables: __ siempre __ algunas veces.

Comentarios:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conteo __ siempre __ algunas veces __ con ayuda __ sin ayuda.

Construcción de tabla __ siempre __ algunas veces __ con ayuda __ sin ayuda.

Método de conteo __ siempre __ algunas veces __ con ayuda __ sin ayuda.

Posibilidades descartadas (19 gallinas o cerdos) __ siempre __ algunas veces __ con ayuda __ sin ayuda.

Comentarios, evidencias:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ejemplos de ensayos y comentarios:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Método de correspondencia usado __ inicialmente __ exclusivamente __ algunas veces __ lo guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda __

Comentarios:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Método algebraico usado __ inicialmente __ exclusivamente __ algunas veces __ lo guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda __

Variables utilizadas __ x __ y representación de __ una ecuación __ un sistema de ecuaciones __

__ Método usado para resolver el sistema de ecuaciones

Comentarios:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Monitoreo o autoevaluación

__ Planes alternativos mencionados o considerados.

Comentarios:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__ Progreso con la estrategia seleccionada. Evidencia:_________________________________________

Comentarios:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__ Conexiones matemáticas consideradas o discutidas:

__________________________________________________________________________

Comentarios:____________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resumen

__ El estudiante resolvió el problema sin ayuda.

__ El estudiante resolvió el problema, pero necesitó ayuda.

__ El estudiante no resolvió el problema aun con ayuda.

Tiempo de trabajo:_____________________________________________________________________

Solución: min__________________________ visión retrospectiva: min___________________________

Descripción de los métodos usados y el orden. Estimación del tiempo.

_____________________________________________________________________________________

Otros aspectos importantes que deben contemplarse en la evaluación del aprendizaje de los estudiantes son:

(I) La participación del estudiante en el diseño de problemas proyectos. Es decir, problemas en donde el estudiante tenga que colectar cierta información de fuentes diversas como periódicos, censos, reportes climáticos o de centros especializados. Esta información le servirá para resolver problemas en contextos que involucren datos específicos.

(II) La escritura de un diario personal. Aquí el estudiante reportará semanalmente sus experiencias en la resolución de problemas y el aprendizaje de las matemáticas. Identificará, por ejemplo, cuáles fueron las dificultades encontradas al resolver los problemas en ese periodo. Además, se reportarán los aspectos matemáticos que les fueron de mayor o menor interés.

(III) Es importante que el estudiante participe en el proceso de formular problemas durante y fuera de la instrucción. En esta dirección, se sugiere que reformule o diseñe problemas que involucren las siguientes variables:

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a) Se le dé un problema al estudiante y en base al enunciado se le pide que formule un problema similar y que lo resuelva.

b) Se le proporcione una información incompleta, se le pide que complete la información y que plantee un problema y que lo resuelva.

c) Se les pide que diseñen sus propios problemas, en donde ellos mismos tienen que seleccionar información adecuada. Aquí, se les puede indicar el contexto del problema, es decir, un problema de precios, de tiempo, de patrones, de demostración, etcétera.

d) Se les dan problemas con un exceso de información y se les pide que identifiquen y reestructuren el problema y que lo resuelvan.

e) Se colocan semanalmente en algún lugar del salón de clases una lista de 2 o 3 problemas para que se resuelvan (los problemas de la semana); la responsabilidad de diseñar estos problemas puede ser por equipos y se puede dar un espacio en la clase para discutir sus soluciones.

f) Se proporciona un problema resuelto. La solución presenta un problema conceptual o de procedimiento. Se le pide al estudiante que identifique el error y que lo resuelva correctamente.

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EJEMPLOS DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES

En este capítulo se presenta una lista de problemas que pueden servir de ejemplos para discutir aspectos relacionados con las estrategias, el uso de representaciones y el contenido matemático. Varios de estos ejemplos fueron diseñados teniendo en cuenta ideas generales de las matemáticas y no un contenido curricular específico. Sin embargo, se espera que el lector también diseñe su propia lista de problemas teniendo como punto de partida los que se incluyen aquí. Es importante mencionar que el nivel de dificultad de los problemas es amplio. Es decir; abarcan desde el nivel primario hasta el nivel de los primeros semestres de universidad.

ALGUNOS PROBLEMAS CON DIVERSOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN O VARIAS

SOLUCIONES

Una preocupación constante de los maestros que identifican un potencial en el uso de la resolución de problemas para el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de problemas para el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de problemas que deben considerar en la instrucción.

Bajo este capítulo se presenta una lista de problemas que pueden ser un vehículo para la discusión de aspectos relacionados con el contenido matemático, estrategias de solución, representaciones, análisis de información y viabilidad de la solución o soluciones.

Un propósito, al enlistar estos problemas, es mostrar que en seleccionar o formular problemas con un potencial de discusión tanto para clase como para el trabajo fuera de clase no es un proceso sofisticado.

Es importante mencionar el contenido matemático de los problemas incluye desde el nivel elemental hasta los primeros semestres de universidad. Sin embargo, los problemas no están enlistados en ese orden y en gran parte se presentan algunas de las soluciones.

Se espera que el lector encuentre otras soluciones a estos problemas. Además, se invita al lector a que hagan su propia lista de problemas y discutan las ideas y estrategias de resolución con sus compañeros porque, como ya se ha recalcado anteriormente, es

fundamental que los estudiantes formulen o rediseñen sus propios problemas.

Problema 1. ¿Puedes obtener el número 525 a partir de una suma de números consecutivos? Justifica tu respuesta.

Solución: Un camino para resolver este problema puede ser el considerar la suma

1 + 2 + 3 +… + 32 = 528.

Como el resultado es mayor que 525, es necesario hacer algunos ajustes teniendo en cuenta la información del enunciado. Como la diferencia entre 528 y 525 es tres, es pertinente quitar 1 + 2 para que se cumpla la condición de que sean consecutivos.

Otra forma puede ser el pensar si existen dos (o tres, cuatro, cinco, etc.) números consecutivos que sumados den 525. La siguiente tabla puede ayudar a organizar la información asociada a esta idea.

Al observar la tabla, se puede conjeturar que no existe solución cuando el número de términos es divisible entre 4. Lo cual es cierto, ya que si el número de términos es divisible entre 4, entonces habrá un número par de números consecutivos tales como [a + (a + 1)] + [(a + 2) + (a + 3)] cuando se tengan cuatro términos [a + (a + 1)] + [(a + 2) + (a + 3)] + [(a + 4) + (a + 5)] + [(a + 6) + (a + 7)], en el caso de tener ocho términos. Cada suma de dos números consecutivos será impar, independientemente de que a sea par o impar y toda la suma será la de un número par de números impares, la cual siempre es par. Así, la suma no puede ser 525, ya que ésta es impar.

Problema 2. Encontrar los valores de a y b de tal manera que la línea recta 2x + 3y = a sea tangente a la gráfica de f(x) = bx² en el punto donde x = 3.

Solución: La ecuación 2x + 3y = a representa una familia de líneas rectas con la misma pendiente, m = 2/3. Al escribir la ecuación como y= (-2/3)x + a/2, se obtiene explícitamente tal pendiente, y a/2 es la ordenada de la intersección de la línea con el

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eje y. La expresión f(x) = bx² representa una familia de parábolas con vértice en el origen; el signo de b determina la dirección hacia donde se abre la parábola (hacia arriba o hacia abajo). El valor de b determina el tamaño de la abertura.

Cualquier línea recta tangente a f(x) en x tendrá f’(x) = 2bx como pendiente (interpretación geométrica de la derivada). Por lo tanto, esta pendiente debe ser la misma que la de la línea recta dada, esto es, (-2,3). Como x = 3, 2b(3) = -2/3 y por lo tanto b = -1/9.

Cuando x = 3 y b = -1/9, se obtiene que f(3) = -1; como la línea recta tangente toca a la gráfica de f en el punto (3, – 1), al sustituir los valores x = 3 y y = -1 en la ecuación de la recta se obtiene que a = 3. Por lo tanto, los valores a = 3 y b = -1/9 dan como ecuación de la recta 2x + 3y = 1 y de la parábola f(x) = (-1/9) x². Es conveniente graficar ambas ecuaciones para verificar los resultados.

Problema 3. Encontrar todos los rectángulos cuyas medidas de sus lados estén dados en números enteros (positivos) y cuya área y perímetro sean numéricamente iguales.

Solución:

(a) Método algebraico. Si a y b representan los lados de los rectángulos entonces: A = a x b y P = 2a + 2b. Ahora, como A debe ser igual a P, se tiene que a x b = 2a + 2b, al despejar a se obtiene que a = (2b)/(b-2). El problema ahora es decidir para qué valores enteros de b se obtienen valores enteros de a. 2b/(b-c) se puede escribir como 1 + (b + 2)/(b – 2); para que esta expresión sea un entero, (b + 2)/(b – 2) debe ser un entero. Se observa que los candidatos deben ser mayores que 2. Al explorar con 3, 4, 5, 6, 7 y 8, se observa que 3, 4 y 6 dan un valor entero para a, y de 7 es imposible obtener un entero. Esto se debe a que la diferencia entre el numerador y el denominador es una constante.

(b) Método de tabulación:

En virtud de que el área aumenta más rápida que el perímetro, no se necesita avanzar más.

Problema 4. En el rectángulo de la siguiente figura se selecciona un punto P arbitrario sobre la diagonal. A partir de P se trazan perpendiculares a los lados del rectángulo. Estas perpendiculares cortan a los lados en los puntos E, F, G y H respectivamente. ¿Qué se puede decir del área del rectángulo AEPG con respecto al área del rectángulo DFPH?

Solución: En la representación gráfica se nota que la diagonal del rectángulo lo divide en dos regiones con áreas iguales. De donde se observa que el ∆GPC es congruente al ∆HPC y que el ∆EBP es congruente al ∆FBP. De aquí que el área de AEPG es la misma que el área de DFPH (en este ejemplo resalta el poder de la representación).

El siguiente es otro ejemplo donde es importante analizar la representación del problema:

Problema 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 30 estudiantes haya al menos dos que tengan la misma fecha de cumpleaños?

Solución: La probabilidad se puede calcular asumiendo que cada fecha es igualmente probable. El procedimiento se basa en calcular la probabilidad de que 30 gentes escogidas al azar tengan diferente fecha de cumpleaños, y esta probabilidad se le resta a 1. Es decir,

Problema 6. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.00 cada uno, (o $30.00 en

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total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.00. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.00 entre los tres y decide darles $1.00 a cada viajero y quedarse con los $2.00 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.00 por cada viajero ($27.00 en total). Los $27.00 pagados por el cuarto más los $2.00 que el ayudante tomó son $29.00. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.00 originalmente ¿Qué pasó con el peso faltante?

Solución: Cada viajero pagó originalmente $10, lo que equivale a un total de $30. Después cada uno recibió $1, lo que da un total de $27. Ahora, de los $27 pagados, $25 fueron para el hotel y $2 para el ayudante. Por lo tanto, decir que $27 fueron para el hotel y $2 para el ayudante no es correcto. Los $27 incluyen también los $2 que tomó el ayudante.

Problema 7. José trabaja en una librería después de sus horas de clase. Su salario es de $6.00 por hora si trabaja 15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, se le paga su salario más la mitad por cada hora extra. ¿Cuántas horas debe trabajar José para que gane $135.00 durante una semana?

Solución: Por 15 horas que trabaje José en una semana se le pagarán 90 pesos (6 x 15 = 90). Si desea ganar $135 debe trabajar horas extras, las cuales se pagan a $9 cada una. Como 135 – 90 = 45, José necesita trabajar 5 horas más. Es decir, para ganar $135 necesita trabajar un total de 20 horas a la semana.

Problema 8. Un granjero amarra un chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros. La cuerda con que lo ata es de 25 metros. El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del establo hasta donde la cuerda alcance. ¿Cuál es la medida del área donde el chivo puede pastar?

Solución (se deja al lector). Sugerencia: Trate de representar el problema gráficamente.

Problema 9. Explica el siguiente patrón y generalízalo:

321 – 123 = 198

432 – 234 = 198

543 – 345 = 198

Solución (se deja al lector). Sugerencia: El primer número se puede representar como (k = 2) 100 + (k + 1) 10 + k y el segundo como k(100) + (k + 1) 10 + (k +2), donde k puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ó 7.

Problema 10. Pruebe que si n es un entero entonces n(n4 – 1)/5 es un entero.

Solución: se construye la siguiente tabla.

El residuo de dividir n entre 5 puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. En cada caso, el residuo de dividir n4 entre 5 es 0, 1, 1, 1, 1. Así, n es divisible entre 5 (y también n(n4 -1)/5) ó n4 – 1 es divisible entre 5 (y aquí también n(n4 – 1)/5). Por lo tanto, n(n4 – 1)/5) siempre será un entero.

Problema 11. Uri Geller, un famoso “adivinador”, puede decir el resultado de cualquier partido de fútbol antes de que empiece el juego. ¿Puedes explicar cuál es su secreto?

Solución. Sugerencia: Analizar la información.

¿Cuál es el marcador del partido antes de que empiece el juego?

El marcador siempre es 0-0.

Problema 12. En la papelería de la escuela hubo una oferta para vender dos tipos de lapiceros. Algunos se vendieron a $4.00 y otros a $5.00 En 15 minutos, se vendieron 21 lapiceros. (A tu maestro se le olvidó dar más información; tampoco escribió la pregunta. Completa la información del problema y resuélvelo). Este es un ejemplo de problemas en los que no se plantea una pregunta o no existe un hecho relevante.

I. Después de que el estudiante resuelva el problema, pedirle que diseñe uno similar o relacionado.

II. Plantear al estudiante un problema que contenga un error conceptual o de procedimiento y pedir al estudiante que encuentre ese error.

III. Plantear problemas para que el estudiante los explique sin necesidad de resolverlos (método del teléfono).

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Problema 13. Diez presidentes se reúnen para discutir asuntos económicos de sus países. Antes de empezar la reunión, cada presidente se saluda con cada uno de los otros estrechándose la mano. Un periodista quiso contar cuántos saludos de mano ocurrieron pero no le dio tiempo de contarlos. Dile al periodista cómo contar todos los saludos de mano entre estos presidentes.

Solución (se deja al lector). Sugerencia: Representa el problema gráficamente (usa una circunferencia).

Problema 14. Una compañía de bebidas refrescantes empaca sus productos en cajas. Las empaca como se muestra en la figura de tal manera que entran exactamente 40 botellas. Un trabajador le sugiere al gerente de la compañía que se pueden acomodar 41 botellas en la misma caja con sólo reordenar las botellas. Demuéstrale al gerente que el trabajador está en lo cierto o que está equivocado.

Solución (se deja al lector). Sugerencia: Piensa en otro arreglo y mide las dimensiones de la caja. El teorema de Pitágoras te puede ayudar a encontrar las dimensiones.

Problema 15. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge a un estudiante; en la segunda recoge dos; en la tercera tres, y así sucesivamente. Si ningún estudiante se baja del autobús, ¿después de qué parada se llenará el autobús?

Solución: Una tabla puede ayudar a representar la información.

Se observa que el autobús se llenará en la octava parada.

Problema 16. Dos postes de teléfono de 10 m y 25 m de altura respectivamente se colocarán a una distancia de 40 m uno del otro. Los postes deben ser sujetados a un punto de apoyo situado entre ambos. ¿Dónde debe situarse el punto de apoyo para que la suma de las longitudes del cable de cada poste al punto de apoyo sea mínima?

Solución (se deja al lector), sugerencia: Use el principio de alineamiento descrito anteriormente).

b) Uso del cálculo: La longitud de cada cable se puede expresar como:

y

La longitud total del cable, se puede expresar en función de la distancia x desde el poste de 25 m. Es decir, w = BC + AC; de donde

Ahora, derivando se obtiene que:

Para encontrar el valor de la distancia mínima, se iguala la derivada a cero y se obtiene que x = 28 (4/7), lo que indica que el punto de apoyo se colocará a 28(4/7) m de distancia del poste de 25 m.

Problema 17. Un cubo de madera que mide 10 cm. por lado se pinta de rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm. por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm. por lado no tienen pintada ninguna cara?

Solución (se deja al lector). Algunas preguntas que pueden ayudar:

1. ¿Dónde se ubican los cubos con tres caras pintadas?

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2. ¿Dónde están los cubos con dos caras pintadas?

3. ¿Dónde están los cubos con una sola cara pintada?

4. ¿Dónde están los cubos que no tienen ninguna cara pintada?

Problema 18. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas en que se abrió el libro es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro?

Solución: Algunas maneras de resolver este problema son:

I. Ensayo y error o aproximaciones sucesivas. Es decir, se intenta establecer un rango que contenga a la solución. Por ejemplo, al observar que y 50 x 50 = 2500 y 60 x 60 = 3600, determina que la respuesta se ubica entre los 50s. 54 x 55 y 55 x 56 se eliminan porque estos productos contienen ceros. 56 x 57 contiene el dígito 2 en las unidades; el resultado requerido se obtiene al hacer la multiplicación de estos números.

II. Otra forma de resolver este problema es por medio de una factorización. Por ejemplo, 3192 puede factorizarse como 2 x 2 x 2 x 7 x 57. de donde se observa que 56 x 57 da la solución requerida.

III. Otra forma es pensar en la raíz cuadrada de 3192. Es decir, dos números iguales cuyo producto sea 3192. Con la calculadora se obtiene que la raíz cuadrada de 3192 es 56.4977. Como queremos los números consecutivos, esto nos da una indicación de que los números pueden ser 56 y 57.

Problema 19. ¿Puedes encontrar dos números enteros positivos a y b cuyo producto sea un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación?

Solución:

(a) Factorización:

(b) Casos más simples: Considerar números más pequeños y encontrar sus factores de acuerdo a las condiciones del problema. Por ejemplo, la siguiente tabla nos orienta hacia la solución:

En la tabla se observa el patrón entre el número de ceros y la potencia de los factores. De aquí que 1 000 000 se puede representar como 26 x 56.

Otro medio de resolución puede implicar el encontrar los factores primos del número 1 000 000 como punto de partida y esto produce la solución directamente.

Problema 20. En un pueblo, 2/3 de las mujeres están legalmente casadas con 3/5 de los hombres del pueblo. Todos los demás adultos no están casados. ¿Qué fracción de los adultos en el pueblo están casados?

Solución:

(a) Método de ensayo y error: La idea es buscar fracciones equivalentes a 2/3 y a 3/5 que tengan el mismo numerador. Por ejemplo, 6/9 y 6/10. En efecto, 6 mujeres casadas de un total de 9 y 6 hombres casados de un total de 10 cumplen las condiciones del problema y da un total de 12 personas casadas en un total de 19 adultos. Es decir, la fracción 12/19 corresponde a la población adulta que es casada.

(b) Método de fracciones equivalentes: La idea es enlistar las fracciones equivalentes a 2/3 y 3/5 fijarse en las que tengan el mismo numerador. Por ejemplo, 6/9 y 6/10; 12/18 y 12/20, e incluso y (n x 6)/(n x 9) y (n x 6)/(n x 10). Todos estos pares cumplen las condiciones del problema. Así:

F = (6+6)/(9+10)=12/19; F = (12+12)/(18+20)=(24/38)=12/19

(c) Existe una solución algebraica que se deja al lector.

Problema 21. ¿Cuál(es) de las siguientes pelotas no pertenece?

Una bola de billar.

Una pelota de béisbol.

Una pelota de baloncesto.

Una pelota de fútbol americano.

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Solución: En este tipo de problemas lo que interesa es el argumento que el estudiante puede presentar para defender su solución y su disposición a aceptar que existen varias soluciones. Por ejemplo, la respuesta puede involucrar la forma, material, tamaño o consistencia de la pelota.

Problema 22. Los estudiantes de un grupo de sexto año se forman para abordar el medio de transporte que los llevará de excusión. Cada coche puede transportar a 5 estudiantes. Pedro ocupa el lugar 16 de la fila y Javier el 19. ¿Abordarán Pedro y Javier el mismo coche? Si el total de alumnos es 32, ¿cuántos coches se necesitan para transportar a todos los alumnos?

Solución: Una tabla puede ayudar a presentar la información del problema adecuadamente y a identificar la solución.

Se observa que Pedro y Javier se irán en el mismo coche y que se necesitan 7 coches para transportar a los 32 alumnos.

Problema 23. Para celebrar el inicio de las clases, los alumnos de sexto año deciden organizar una fiesta en la casa de María. Su hermano observa que al abrir la puerta por primera vez llega un invitado, la segunda vez llegan 3 invitados, al abrir por tercera ocasión la puerta entran 5 invitados, y así sucesivamente. ¿Cuántos invitados habrán entrado en la novena vez que abre la puerta? ¿Cuántas veces se ha abierto la puerta cuando han entrado 23 invitados?

Solución (se deja al lector).

Problema 24. José tiene menos de 10 canicas. Si las arregla en grupos de tres, se da cuenta de que no le sobre ninguna. Sin embargo, cuando las agrupa de cuatro en cuatro se da cuenta de que le sobra una. ¿Cuántas canicas tiene José?


Problema 25. Pedro y María salen de la escuela a las dos de la tarde. Sus casas están sobre la misma calle pero en direcciones contrarias. Pedro vive a 5 km. de la escuela y María sólo vive a 3 km. de la escuela. ¿Qué

tan lejos está la casa de pedro de la escuela de María?


Problema 26. En la cafetería de la escuela, una torta cuesta $2.00; un refresco, cuesta 85 centavos, y un chocolate, 40 centavos. ¿Cuánto tienen que pagar en total cuatro alumnos si cada quien compra una torta, un refresco y un chocolate?


Problema 27. Una barra de chocolate se va a dividir en 5 pedazos iguales. ¿Cuántos cortes se tienen que hacer? ¿cuántos cortes y si se quiere dividirla en 8 pedazos, n pedazos?

Solución (se deja al lector). Un diagrama puede ser útil para resolver este problema.

Problema 28. Encuentra los términos que siguen de la serie 2, 4, 6,…


Problema 29. Continúa la siguiente sucesión de nombres y explica tu razonamiento:

Antonio, Bertha, Carlos…


Este tipo de problemas (28 y 29) son apropiados para que los estudiantes analicen cuidadosamente la información y justifiquen sus respuestas. Lo importante, es que los estudiantes expliquen por qué la respuesta que dan puede ser la solución del problema. Además, es importante considerar que puede haber otras respuestas diferentes y vale la pena discutir la información del problema que sustenta cada respuesta (calidad de la solución).

Problema 30. Luis pesa 40 kg, José y Mateo pesan juntos 80 kg. Si mateo pesa más que José, ¿quién es el que pesa menos y quién es el que pesa más de los tres?

Solución: Es importante observar que si Mateo pesa más que José entonces pesa más de 40 kg. Esto es porque juntos pesan 80 kg. Ahora, como Luis pesa 40 kg, éste pesa más que José pero menos que Mateo. Por lo tanto,

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el que pesa menos es José y el que pesa más es Mateo.

Problema 31. Manuel, José y Pedro recibieron un salario por limpiar un jardín. En una semana, Manuel trabajó 10 horas, José trabajó 12 horas y Pedro 18 horas.

(a) ¿Qué porcentaje de total de horas trabajó Manuel?

(b) En esa semana el total de dinero recibido por los tres jóvenes fue de $225300. ¿Cuánto dinero recibió Manuel?

Solución: Total de horas trabajadas por los tres 10 + 12 + 18 = 40. Por lo tanto, el porcentaje de tiempo trabajado por cada uno es:

Manuel: 100 (10/40)% = 25%;

José: 100 (12/40)% = 30% y

Pedro: 100 )18/40)% = 45%.

Como el total de dinero que recibieron los tres fue $225.00, Manuel debió haber ganado (.25)(225) = 56. Es decir, $56.00.

Problema 32. El señor Alarcón manejó su coche cuatro horas a 80 km./h. Manejó 1 hora más en tráfico pesado a una velocidad de 40 km./h. ¿Cuál fue el promedio de velocidad de su viaje?

Solución: La velocidad promedio se calcula dividiendo con el total de kilómetros recorridos entre el total de horas. Para este problema se observa que la velocidad promedio es:

(En este problema muchos estudiantes tienen dificultades para contar el número total de horas).

Problema 33. Podemos escribir cualquier número entero usando los dígitos del 0 al 9. Por ejemplo:

59 tiene 2 dígitos: el 5 y el 9;

708 tiene tres: el 7, el 0 y el 8;

4633 tiene 4 dígitos: el 4, el 6 y el 3, que se repite dos veces.

Al enumerar las páginas de un libro, se usaron 777 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?


Problema 34. En una tienda de discos, las cintas (cassettes) se venden a $5, $10 y $15. Si planeas gastar 30 pesos en la compra de cintas, muestra todas las combinaciones de cintas que puedes comprar.

Solución: En este problema, el uso de una estrategia donde se ordenen las combinaciones es importante. Tabulando:

Problema 35. Tina y Luisa corren y caminan en una pista de atletismo. Tina corre la mitad de la pista y camina la otra mitad; Luisa corre la mitad del tiempo y camina la otra mitad del tiempo.

Siempre que corren, Tina y Luisa van a la misma velocidad. Cuando disminuyen su velocidad para caminar, caminan a la misma velocidad.

¿A quien le toma menos tiempo recorrer la pista completa?

Justifica tu respuesta.


Problema 36. Un litro de pintura de asfalto alcanza a cubrir 6 m² de superficie. La pintura se vende en botes de 5 litros solamente. ¿Cuántos botes se necesitan para pintar un camino de 15 m de largo y 3 m de ancho? Roberto trató de resolver el problema de la siguiente manera:

Se necesitan 7.5 botes.

Contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Muestra la solución de Roberto que ha entendido el problema y que usa adecuadamente la información del mismo? Explica por qué si o por qué no.

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b. ¿Es la respuesta de Roberto correcta? Explica por qué si o por qué no.

Problema 37. Un avión despegó con el tanque de gasolina lleno, cuya capacidad era de 116 000 litros. El avión usó 900 litros por hora.

Si voló a una velocidad promedio de 800 km./h y cuando aterrizó le quedaban 44 000 litros de gasolina, ¿qué tan largo fue el vuelo?


Problema 38. En un concierto de Luis Miguel se vendieron 10 000 boletos. Los boletos fueron enumerados del 1 al 10 000. A cada persona que tenía un boleto numerado con un dígito repetido al menos tres veces se le obsequió un pase gratis para otro concierto. ¿Cuántas personas obtuvieron el pase gratis?


Problema 39. Observa el patrón de los mosaicos blancos y negros de la figura.

a. ¿Cuántos mosaicos blancos debe haber en la figura décima?

b. Si los mosaicos blancos cuestan $5 cada uno y los negros a $1, ¿cuánto costará un piso de 20 mosaicos por lado?


Problema 40. La compañía Mexicana de aviación tiene 24 aviones con 2, 3 o 4 motores. Se tienen 70 motores. 10 de los aviones tienen 2 motores cada uno. ¿Cuántos aviones tienen 4 motores cada uno?


Problema 41. Un libro contiene 222 páginas. ¿Cuántas veces aparece el dígito 7 en la numeración de las páginas?

Solución: Es importante pensar en una lista ordenada donde aparezca el dígito 7. Por ejemplo, se puede empezar con los números comprendidos entre 7 y 100; es decir, 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97; después, los

números entre 70 y 80; es decir 70, 71, …, 70 y, finalmente, los números comprendidos entre 107, y 222, esto es 107, 117, …, 197, 207, 217. Ahora, contando y restando los que se repiten se tiene que el número de veces que ser repite el 7 es 42.

Problema 42. Encontrar el valor de x que satisfaga cada una de las siguientes ecuaciones:

Solución:

Esto es,

Solución: sen(arcsen (3x) – arccos (2x)) = x ahora, usando la identidad

Sen (A +B) = sen A cos B + cos A sen B

Se tiene que:

[sen(arcsen(3x))][cos(arccos)2x))] + [cos(arcsen(3x))][sen(arccos(2x))] = x;

Así el problema se reduce a un problema algebraico.

Problema 43. Muestre que no existen soluciones reales de la ecuación:

Solución: Por contradicción. Suponemos que existe una solución real, la cual puede ser positiva, negativa o cero. Ahora, para cualquier caso, se observa que al sustituir la solución en la ecuación siempre se obtendrá un número mayor que cero. Por ejemplo, en el caso de que la solución sea positiva o negativa, cada sumando será positivo y por lo tanto la suma será mayor que cero. Si la solución fuera cero entonces la suma daría 2, que es mayor que cero. Así en ambos casos, no es igual a cero. Por lo tanto esta ecuación no tiene soluciones reales.

Problema 44. En el siguiente arreglo, calcule la suma de 60ava y la 121ava filas:

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Solución: en el arreglo se observa el que si el número de la fila es par, hay igual números de unos positivos que negativos, lo que la hace que la suma sea cero. Así, en la 60ava fila la suma será cero. Para el caso de las filas impares, se observa que la suma resulta uno. Así, en la 121ava fila la suma será uno.

Problema 45. Si cos A = 1/2, ¿a qué es igual cos 2A?

Solución: Se puede construir la siguiente figura.

Nótese que:

cos2A= cos (A + A) = cos A cos A - sen A sen A= cos ² A - sen² A =

Problema 46. En un círculo se seleccionan dos o más puntos sobre la circunferencia y se conectan los pares con segmentos de recta. Para un número dado de puntos, ¿cuál es el mayor número de regiones que se forman al trazar estos segmentos? ¿Existe una conexión entre este problema y el triángulo de Pascal?

Solución: Consideremos algunos casos especiales.

Al comparar el número de regiones con los números del triángulo de Pascal se observa que existe cierta relación: Por ejemplo, el número de regiones, al seleccionar 7 puntos, es la suma de los números subrayados en el siguiente triángulo de Pascal.

Problema 47. Encontrar la suma de los primeros 100 números naturales. Es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100.

Solución: Existe la anécdota de que Gauss (1777-1885) calculó esta suma cuando tenía la edad de 9 años. Gauss entró a la escuela en 1784 y en segundo grado su maestro, J.G. Büttner, pidió a los estudiantes encontrar la suma de los números naturales del 1 al 100. Gauss intuitivamente se dio cuenta de que si se quiere calcular, por ejemplo, la suma de los primeros 7 números naturales entonces, al escribirlos en orden ascendente y descendente y sumando verticalmente siempre se obtiene el mismo número.

Nótese que se ha considerado dos veces la misma suma. Así que sólo hay que multiplicar 8 por 7 y dividir entre 2 para obtener 28.

Observe que esta idea se puede generalizar para cualquier suma de los primeros números naturales. Es decir, si se quiere encontrar la suma S desde 1 hasta n, S = n(n + 1). Esta fórmula se 2 puede probar por inducción. Así, la suma de los primeros 100 números naturales es 100 (101)/2 = 5050.

Usando esta misma idea, trata de encontrar la suma de los primeros 100 números de las siguientes sucesiones:

(a) 2, 4, 6, 8, …,

(b) 16, 18, 20, 22, …,

(c) 1, 3, 5, 7, …

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Problema 48. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

Solución: Considerar algunos casos particulares.

I. Si el tablero fuera de 2 x 2 entonces habría cuatro cuadrados de uno por uno y un cuadrado de 2 x 2.

II. Si el cuadrado fuera de 3 x 3 entonces se tendría lo siguiente:

9 cuadrados de 1 x 1

4 cuadrados de 2 x 2 y

1 cuadrado de 3 x 3.

Es decir, habría 14 cuadrados.

III. Con esta información se puede conjeturar cuántos cuadrados hay en un tablero de 5 x 5:




4 cuadrados de 4 x 4 y

1 cuadrado de 5 x 5.

Esto es, en total serían 55 cuadrados.

Así, para el tablero de ajedrez se tiene que el número de cuadrados sería:

En general, se puede demostrar por inducción matemática que para un tablero de n x n el número de cuadrados es:

Problema 49. Un cuadrado negro de uno por uno es encerrado por 8 cuadrados blancos como se muestra en la figura.

(a) ¿Cuántos cuadrados blancos de x se necesita para encerrar un cuadrado negro de 2 x 2?


Problema 50. El cuadrado ABCD mide 8 cm. por lado.

I. Calcula el área de la parte sombreada.

II. Discute qué pasa con el área de la parte sombreada si el punto E se mueve a lo largo de DC.

Solución:

I. Una forma de resolver este problema es usando simetría. Es decir, reconociendo que el área de cada triángulo sombreado es igual al área del triángulo correspondiente que se forma al trazar la perpendicular de E al lado AB. De aquí que área (∆ADE) = área (∆AEF) y área (∆BCE) = área (∆BEF); entonces, el área sombreada es la misma que el área del triángulo AEB. Ésta se puede calcular fácilmente con los datos del problema.

II. (se deja al lector). Pruebe que el resultado anterior no se altera.

Problema 51. Una compañía que fabrica calculadoras está promoviendo un concurso bajo las siguientes reglas:

I. Únicamente una calculadora se puede usar con las siguientes teclas sólo una vez:

II. Tú decides en qué orden se deben usar estas teclas.

III. El premio será la cantidad que muestre la calculadora al final de la operación. ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que se puede ganar en este concurso?

Solución: Considerando el valor posicional de los factores, se puede concluir que los factores

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deben iniciar con 6 ó 5. Por lo tanto, se necesita comparar los siguientes productos:

De aquí que la mayor cantidad que se puede obtener es 542 x 63 = 34146.

Problema 52: ¿Por qué todos los números de la forma prima son divisibles entre 13?

Solución: Explorar un caso específico. Es decir, seleccionar un número aleatoriamente y ver qué pasa con este número. Por ejemplo 294294, el cual puede sugerir la representación:

294 (1000) + 294 = 294 (1001), siendo 1001 un múltiplo de 13.

Considerar casos simples y buscar algún patrón. Por ejemplo abc =001, lo cual da el número abcabc = 001001; el siguiente número puede ser abc = 002, el cual produce 2002; después 3003, y así sucesivamente. Con estos casos se puede identificar al 1001 como factor.

Explorar las condiciones del problema. Es decir, ¿cómo se pueden representar los números de la forma abcabc?

De donde se observa que 13 es factor de 1001.

Problema 53. Probar que si para cualesquiera números reales a, b, c y d, tales que a² + b² + c² + d² + = ab + bc + cd + da entonces a = b = c = d.

Solución: Al multiplicar por 2 la expresión a² + b² + c² + d² + = ab + bc + cd + da; lo cual puede escribirse como:

[a²+b²]+{b²+c²]+[c²+d²]+[d²+a²]=2ab+2bc+2cd+2da ó

(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-z)²=0

Como en esta expresión la suma de cuadrados es cero entonces cada sumando debe ser cero. Lo que implica que a=b, b=c, c=d, y d=a.

Problema 54. En una competencia atlética celebrada en una preparatoria hubo diez

eventos (natación, tenis, ciclismo, fútbol, etc.). Una medalla de oro y tres puntos se le daba una a cada primer lugar una medalla de plata y dos puntos a cada segundo lugar y una medalla de bronce y un punto a cada tercer lugar, tres equipos, A, B y C, participaron en la competencia. El equipo C ganó más medallas que el equipo A o que el equipo B. El número total de medallas ganadas por el equipo C es una más que el total de medallas ganadas por B y es dos más que el total de medallas ganadas por A. Sin embargo, el equipo A obtuvo el primer lugar con un punto más que B y dos puntos más que C. Determine el número de medallas de cada tipo ganadas por cada equipo.

Solución: La información dada en el problema se puede resumir en la siguiente tabla:

Resolviendo para x y para y obtenemos la siguiente tabla

Ahora, por medio de ensayo y error junto con la información del problema se puede completar la solución:

Problema 55. Inscribir un cuadrado en un triángulo dado. Dos vértices del cuadrado deben estar sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado, uno en cada uno de los otros lados del triángulo.

Solución:

En el ∆ABC se tiene que tan A = a/x; de donde x = a/tan A. De la misma manera, y = a/tan B. De aquí que b = (a/tan A) + a +

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(a/tan B); de donde se puede despejar el valor de a y así resolver el problema.

Problema 56. Dé una fórmula para la siguiente serie:

Donde k toma los valores desde 1 hasta n.

Solución:

I. 1/k(k + 1) = (1/k) – (1/(k + 1)) para todo k; de aquí que la serie puede escribirse como:

II. Otra manera es darle valores a k y tratar de encontrar el patrón. Es decir, para k = 1, 2, 3, 4 y 5, el valor de la serie sería respectivamente : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 y 5/6. De donde se puede intuir el patrón inmediatamente.

Problema 57. En una tienda de útiles escolares todos los productos tienen un descuento de 20%. Sin embargo, al comprar un producto se tiene que pagar 15% de impuesto (IVA). El cajero pregunta: ¿Qué prefieres que se te aplique primero a los productos que compras: el descuento o el impuesto?

Solución: Se observa que un descuento de 20% es lo mismo que pagar 80% del precio total, lo cual es lo mismo que multiplicar el precio por 0.08. Ahora, si el precio total es P, pedir el descuento primero y luego el impuesto da (1.15)[(.8)(P)]. Lo que indica que no importa el orden en que se apliquen el impuesto y el descuento.

Problema 58. Tres estudiantes asisten a un club deportivo en diferentes días. El primero va cada tres días; el segundo, cada cuatro días y el tercero, cada cinco días. La última vez que se vieron en el club fue un martes. ¿En cuántos días más se volverán a ver y qué día de la semana será?

Solución: Al calcular el mínimo común múltiplo de 3, 4 y 5 se tiene que 3 x 4 x 5 = 60. Ahora, 60/7 = 8 con residuo 4. De aquí que el día será sábado. Otra forma de resolver este problema es enlistando las visitas de cada estudiante y buscando la coincidencia.

Problema 59. ¿Cuáles son los dígitos para las unidades, decenas y centenas del número 5123456789.

Solución: La búsqueda de algún patrón resulta adecuada.

Se observa que las unidades y las decenas siempre serán 5 y 2, respectivamente, y que cuando la potencia es par, las centenas son 6 mientras que cuando la potencia es impar, son 1.

Problema 60. En una fiesta, el anfitrión le dice a uno de los invitados: “tengo tres hermanas y te diré sus edades en la siguiente información: El producto de sus edades es 72. La suma de sus edades coincide con el número de mi casa”. El invitado corrió a ver el número de la casa y le dijo al anfitrión que necesitaba más información. “Oh”, el anfitrión contestó, “a la mayor le gusta el helado de fresa”. El invitado le dijo qué edad tenía cada una de ellas. ¿Cuál es la edad que reportó el invitado?

Solución: Una tabla puede ayudar a resolver el problema. En la columna de la izquierda se enlistan todas las tercias de números cuyo producto sea 72; en la columna de la derecha se escribe la suma. La idea es identificar la solución en base al análisis de la información.

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Se observa que dos tercias de números suman 14 y por esto el invitado no pudo determinar las edades. Sin embargo, con la información de que había una mayor, se concluye que las edades deben de ser 3, 3 y 8 años respectivamente.

Problema 61. (a). Un pedazo de lámina se puede enrollar de dos maneras para formar un recipiente en forma de un cilindro circular recto: En una tendría una altura de 21 cm.; mientras que de la otra forma, una altura de 28 cm. ¿Cómo son los volúmenes? Si no son iguales ¿Cuál contiene el mayor volumen?

Solución: Una representación gráfica nos ayuda a resolver el problema.

(a) Para el primer cilindro se tiene que 2_r = 28, de donde r = 4.45 y el volumen es igual a 1305; mientras que para el cilindro largo se tiene que 2_r = 21; de donde r = 3.34 y el volumen es 981. También se puede trabajar directamente sin usar la calculadora para determinar que el volumen del cilindro largo es solamente tres cuartos del bajo.

(b) En un recipiente que guarda pelotas de tenis, ¿qué es lo que mide más, la longitud del recipiente o la longitud de la circunferencia de uno de los extremos? Justifique.

Solución: La longitud del recipiente es el diámetro de tres bolas, es decir, 6r, mientras que la longitud de una circunferencia es 2_ r. Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es mayor que la longitud del recipiente.

Problema 62. El sistema de ecuaciones:

2.3x + 1.5y = 3.8

4.3x + 2.8y = 7.1

¿Cómo influyen en el valor de la solución estos cambios?

Solución: La mayoría de la gente predice que habrá un cambio pequeño en la solución. Parece que la experiencia previa sugiere que un cambio pequeño en lo que entra (variación de los coeficientes) producirá un cambio menor en la solución. Es decir, que x y y se mantendrán próximos a 1. Sin embargo, la solución del sistema modificado es (x, y) = (-24.1, 39.4). Para entender esto, se puede usar la regla de Cramer, en la cual la solución se expresa como una razón de dos determinantes.

Problema 63. Encuentre el área de la región no sombreada de la siguiente figura donde el lado del cuadrado es 10 cm.

Solución: El área no sombreada se puede calcular a partir del área del cuadrado (100 cm.) menos el área de la circunferencia.

Problema 64. En el triángulo ABC, determine el punto P de tal manera que las áreas de los tres triángulos que se forman tengan áreas iguales.

Solución: Se observa que cada triángulo tendrá 1/3 del área del triángulo ABC. Así, el triángulo APC tendrá como área b(h/3)/2. Mientras que para el triángulo APB, el área será c(h1/3)/2 y para el triángulo CPB, será a(h2/3)/2. Se observa este punto que está a 1/3 de las bases sobre las alturas es el punto P. Se puede demostrar por argumentos de congruencia de triángulos. Este punto se llama baricentro del triángulo.

Problema 65. ¿Puedes construir un triángulo, (usando regla y compás, si se te da la longitud del lado a, la altura del lado ha, y la longitud de la mediana?

Solución: La construcción es la siguiente:

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Se traza la mediatriz del lado a de extremos A y B, la cual determina el punto medio P. Sobre la perpendicular del lado a por P, se toma una distancia igual a la altura dada, determinando el punto Q. Por este punto se traza una paralela al lado a. Ahora, con centro en P se traza una circunferencia de la longitud de la mediana, que intersecta a la línea paralela por Q en el punto A. Así, el triángulo ABC cumplirá con los datos del problema.

Problema 66. Sean P1 y P2 dos números primos consecutivos. Demuestre que si P1 + P2 = 2Q entonces Q es un número compuesto.

Solución: Supongamos que Q no es un número compuesto (demostración por contradicción). Q se puede expresar como (P1 + P2)/2, lo que implica que Q está entre P1 y P2. Pero esto contradice el hecho de que P1 y P2 son primos consecutivos. Por lo tanto, Q debe ser compuesto.

Problema 67. Sean C1 y C2 dos regiones convexas en el plano. Muestre que existe una línea recta que bisecta el área de ambas regiones.

Solución: (En algunos problemas matemáticos es a veces más sencillo probar la existencia de determinada propiedad que construir o señalar tal propiedad). Trace una línea recta que intersecte a las áreas y mueva la recta en determinada dirección. Observe qué pasa con el comportamiento de tales áreas al mover la recta.

Problema 68. Para cada una de las expresiones dadas, reportar por escrito una

discusión acerca de cada una de las preguntas planteadas. Para la evaluación se tomará en cuenta la calidad de los argumentos matemáticos, la claridad de exposición y los diversos métodos que se utilicen. Es importante que en las soluciones se incluyan algunas representaciones:

(a) En la forma cuadrática f(x) = x² + cx + d,

I. ¿Cuántos puntos críticos existen para cada selección de c y d?

II. ¿Cómo se comporta la función en estos puntos críticos (máximo, mínimo,…)

III. ¿Cómo seleccionarías c y d para estar seguro de que todos los puntos críticos ocurren en valores enteros de x?

(b) En funciones cúbicas de la forma

I. ¿Cuántos puntos de inflexión existen?

II. Da ejemplos donde todos los puntos de inflexión y los puntos críticos ocurren en valores enteros de x, donde g(x) tenga: 0 puntos críticos; 1 punto crítico, o 2 puntos críticos.

III. ¿Cuáles son las reglas para elegir b, c y d de tal manera que produzcan familias de ejemplos para cada uno de los casos de la pregunta II?

Problema 69. ¿Qué se puede decir acerca del producto de cuatro números enteros consecutivos?

Solución: (se deja al lector).

Problema 70. Prueba que el producto de n enteros consecutivos es siempre divisible por n!


Problema 71. Se seleccionan tres puntos de la circunferencia de un círculo de radio: trace el triángulo que pasa por estos tres puntos. ¿Cómo se deben seleccionar los puntos de tal manera que el triángulo que se construya tenga la máxima área? Justifique su respuesta.


Problema 71. Se seleccionan tres puntos de la circunferencia de un círculo de radio: trace

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el triángulo que pasa por estos tres puntos. ¿Cómo se deben seleccionar los puntos de tal manera que el triángulo que se construya tenga la máxima área? Justifique su respuesta.


Problema 72. Trisectar el área de un triángulo dado. Es decir, encuentre un punto X dentro del triángulo ∆ABC de tal manera que el ∆XBC, ∆XCA y ∆XAB tengan la misma área.


Problema 73. En la figura, ABCD es un cuadrado con ECD = EDC = 150. Muestre que el triángulo AEB es equilátero.


Problema 74. Dada la siguiente matriz con 25 elementos, seleccione cinco de éstos de tal manera que no haya dos que provengan de la misma columna o fila. En esta selección el mínimo de los cinco elementos debe se el mayor posible. Pruebe el resultado.


Problema 75. Encontrar la suma 1 + 4 + 9 + 16 +… + n².

Solución: Un método es buscar cierta similitud con la suma de los primeros n naturales. Por ejemplo,

Ahora ¿qué pasa con el cociente de las sumas de cuadrados entre las sumas naturales?

Esto es, 3/3 5/3 7/3 9/3 11/3 13/3 de donde se puede deducir que

Finalmente, usar inducción matemática para probar esta fórmula.

Problema 76. Encontrar la fórmula para

Solución: Al calcular algunos casos particulares inmediatamente se observará que la fórmula es

Problema 77. ¿Existe un triángulo rectángulo cuyas medidas de sus lados sean números enteros y cuya hipotenusa sea un entero dado n?

Solución: Supongamos que x representa el número mayor entre los dos catetos, xy. Si n es la hipotenusa entonces lo que se busca son enteros x, y que cumplan:

Utilizando la estrategia de casos particulares, se tiene que para n = 12, 144 = x² + y²; ahora, ¿cuáles son los posibles candidatos para x²? 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121. Como y < x, 144 = x² + y ² < 2x², es decir, x² > 72. Por lo tanto, los candidatos que quedan son 121, 100 y 81. Con esto se muestra que para n = 12 no existen tales números. De manera similar se puede explorar para 13, concluyendo que 169 = 144 + 25. El lector puede explorar con otros números.

Problema 78. Se desea construir una pista de atletismo con la forma que se ilustra en el diagrama y con los siguientes requerimientos:

La distancia entre cada carril es 1 m la longitud de cada recta de la pista es 25m y la parte curva tiene forma de semicírculo. Se requiere además que el primer carril interior tenga una longitud de 100 m. La distancia se

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mide sobre la línea que limita la parte interior del carril.

I. Calcule la longitud de los carriles 2, 3 y 4.

II. Dibuje un diagrama de la pista, a escala donde se muestren los cuatro carriles.

III. Suponga que habrá una competencia de 125 m en la que participarán cuatro corredores. Cada atleta correrá sobre un carril en dirección contraria a las manecillas del reloj y la meta final estará sobre la línea que se ubica al final de la parte recta (como se muestra en el diagrama). Encuentre dónde se ubicarán los puntos de los atletas con respecto a la meta.

Solución:

Es importante que para cada problema exista una discusión de algunas posibles soluciones. Se pretende que el grupo de alumnos junto con el profesor analicen las cualidades matemáticas que cada problema puede mostrar. Además, será útil identificar qué contenido matemático se asocia a ese problema. Esta actividad no sólo ayuda a evaluar el potencial del problema y su relación con el currículum, sino que también desempeña un papel importante en la fase de implantación del problema en la instrucción. Por ejemplo, el investigador posee un marco de referencia acerca de qué tipo de dificultades pueden mostrar los estudiantes o cómo proporcionar una ayuda adecuada ante los obstáculos que aparezcan durante los intentos de solución.

I. Se sabe que la longitud total del carril 1 es de 100 metros. A partir de esta información se puede calcular la distancia de los otros carriles. Por ejemplo, de estos 100 metros, 50 representan la distancia que hay en las dos partes rectas; lo que deja 50 metros para la parte curva.

Con esta información se observa que cada semicírculo es de 25 metros. Así, __R1 = 25, donde R1 es el radio de la parte curva del primer carril.

Ahora, como la longitud de cada carril es de 1 metro, entonces R2 = R1 + 1. Lo que significa

que π R2 = π R1 + π = 25 + π. Significa que las dos partes curvas del segundo carril

suman 50 + 2 π. Como las dos partes rectas suman 50 metros, entonces la longitud total

del carril dos es 100 + 2 π.

Para el carril 3 se observa que R3 = R2 + 1.

Lo que significa que π R3 = π R2 + π = 25 +

2 π metros. Se observa que las partes curvas

del carril 3 suman 50 + 4 π. Así, la longitud

total será de 100 + 4 π.

Para el carril 4, de la misma manera, se obtiene que la longitud total es de 100 + 6__.

Resumiendo, se tiene que:

II. Para el diagrama a escala, es conveniente

usar 4 mm = 1 m. Así, R1 = (25/ π) = 7.96 m = 3184 mm. Los otros radios aumentan en un 1 m, lo que representa 4 mm en el dibujo a escala. Es decir:

Radios de los semicírculos:

III. Localización de los puntos de partida:

Problema 79. Clasificación de cuadriláteros. Construya, cuando sea posible (justifique el porqué cuando no exista tal construcción), el cuadrilátero que cumpla las condiciones pedidas. (a). Ningún ángulo recto y ningún

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par de lados paralelos, (b). Ningún ángulo recto y un par de ángulos paralelos, (c). Ningún ángulo recto y dos pares de lados paralelos, (d). Un ángulo recto y un par de lados paralelos; etcétera…

Solución: Una tabla ayuda a presentar la solución

Problema 80. ¿Qué tanto se “reduce” la longitud de una cuerda cuando se le hace un nudo en el centro?


Problema 81. Cinco candidatos se han presentado para elegir al representante del grupo. La elección se ha realizado y los estudiantes votaron mostrando su nivel de preferencias. Es decir, su primera opción, segunda, tercera, etc. Los resultados de los votos de los 55 estudiantes se muestran en la tabla siguiente:

¿Quién debe ser el ganador?

Solución: (se deja al lector). Déle una ponderación a cada uno de los lugares. Por ejemplo, se le puede asignar 1 punto a cada voto por el quinto lugar, 2 a los del cuarto lugar, 3 a los del tercer lugar, 4 a los del segundo y 5 a los del primer lugar. Al sumar los puntos se observa que a acumula 127; b, 156; d, 211 y e, 189. Esto indica que d quedaría en primer lugar.

Problema 82. Una curva es convexa en el plano si toda línea recta que se trace entre dos puntos de la curva se encuentra contenida totalmente dentro de ella. Supongamos que C es una curva convexa en el plano. Muestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están sobre la curva C.

Solución: Lo que se pide en el problema es probar la existencia de un triángulo equilátero con vértices sobre la curva. Se eligen dos puntos distintos sobre la curva convexa C. tomando la longitud PQ, se traza un triángulo equilátero cuya base sea PQ. El tercer vértice puede ser un punto interior de la curva, un punto sobre la curva, o un punto exterior a ésta. Si el vértice resulta estar sobre la curva entonces se tiene el triángulo pedido. Ahora, si tal vértice resulta estar dentro de la curva, entonces aumente la longitud del segmento base y repita la construcción. En caso de que se ubique en el exterior, disminuya la longitud de la base y repita el mismo procedimiento. Con este procedimiento se pasa de un triángulo equilátero que está dentro (fuera) de la curva a uno que está fuera (dentro) de la curva. Ahora, empleando el argumento de la continuidad, debe existir un triángulo equilátero con vértices sobre la curva C. Observe que la existencia no dice nada acerca de cómo construir tal triángulo.

Problema 83. Alguien afirma que no existen triángulos equiláteros en el plano cartesiano con la propiedad de que todos los vértices tengan coordenadas enteras. ¿Es esta afirmación correcta? Da una prueba si éste es el caso, si no es así entonces da un contraejemplo.

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Problema 84. Se dan dos puntos arbitrarios A y B, una línea recta L, y un círculo c como se muestra en la figura. Explica cómo construir un círculo S que pase por A y B y que su cuerda común con C sea paralela a L.

Solución: (se deja al lector). Construya la mediatriz de AB; trace una cuerda de C que sea paralela a L. Ahora construya la mediatriz de esta cuerda. ¿Por qué el punto de intersección de estas mediatrices es el centro del círculo requerido?

Problema 85. Supongamos que tenemos dos triángulos equiláteros. ¿Puede construir un tercer triángulo equilátero cuya área sea igual a la suma de las áreas de los dos triángulos dados?

Solución: Si l y m son los lados de los triángulos equiláteros dados, entonces se necesita construir otro triángulo equilátero de lado p cuya área sea la suma de las áreas de los triángulos dados. Usando la información, se obtiene que l² + m² = p²; de donde se puede determinar la longitud del lado del tercer triángulo.

Problema 86. Considere el conjunto de cuadriláteros inscritos en un semicírculo, con un lado sobre el diámetro. Un ejemplo de tal cuadrilátero se muestra en la figura. De todos estos, ¿cuál es el cuadrilátero que tiene la mayor área? (Demuestre su solución):

Solución: (se deja al lector). El hexágono inscrito tiene alguna relación con la solución del problema.

Los cuatro ejemplos que siguen representan problemas que algunos investigadores los catalogan como “mal estructurados o mal

definidos”. En general, es común encontrar este tipo de problemas en situaciones de la vida real. De hecho, hay una línea de investigación donde se ha estudiado la importancia de tener experiencias en el tratamiento de este tipo de problemas. Por ejemplo, el entender y estructurar las condiciones dadas en el problema representa un primer reto para pensar maneras de resolverlo.

Problema 87. Después de haber terminado de construir un hotel, los clientes se quejaron de que el elevador era demasiado lento. El dueño del hotel pasó la queja al arquitecto que lo había construido y éste inmediatamente tomó cartas en el asunto. La tarea se redujo a “encontrar la forma de aumentar la velocidad del elevador”. Después de investigar cómo hacer esto, la respuesta fue unánime: “no había forma alguna de incrementar la velocidad dadas las condiciones de la construcción”. La siguiente idea fue entonces encontrar un lugar dónde instalar otro elevador y se empezaron a hacer los planes pertinentes para esta solución. Sin embargo, afortunadamente para el dueño, después de iniciar los arreglos con la compañía para el nuevo elevador, se descubrió lo siguiente: El problema se resolvió al quitarles de la mente a los clientes de que lo de la lentitud del elevador era una dificultad. Los clientes ya no volvieron a quejarse al colocar espejos en cada piso frente al elevador.

Problema 88. Un estudiante y su profesor salieron a una exploración a la sierra. De pronto cuando caminaban, un animal desconocido los empezó a perseguir. Los dos empezaron a correr, pero ven claro que el animal pronto los alcanzará. El estudiante empieza a sacar sus zapatos de deportes (tenis) para así poder correr más rápido. Entonces su profesor le preguntó: ¿Te has dado cuenta de que aun con los tenis no le podrás ganar al animal? A lo que el estudiante respondió: No necesito ganarle al animal, ¡lo único que necesito es correr más rápido que usted, profesor!

Problema 89. Los medidores de fluidos como los que se utilizan en las bombas de gasolina para determinar la cantidad de gasolina que se vende son aparatos muy comunes en la industria. Hace tiempo se instaló un medidor en una planta química para medir el flujo de

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salida de un fluido corrosivo. Después de unos meses de instalación, el fluido corrosivo desgastó parte del medidor y el líquido empezó a gotear sobre el piso. Las instrucciones que se dieron para resolver el problema fueron: “Encontrar un material para construir un medidor que no sea corrosivo”. Después de una búsqueda exhaustiva se encontró que no existía tal material. Sin embargo, el problema se resolvió al tratar de evitar que el medidor llegara a tal punto de corrosión. La solución consistió en implantar un programa de reemplazo del medidor regularmente antes de que fallara. Este problema es similar al sistema de mantenimiento de las lámparas que se usan en algunas instituciones en Estados Unidos. Se cambian todas las lámparas cada determinado tiempo y no se sustituye individualmente cada lámpara cuando deja de funcionar.

Problema 90. Cuando muchos de los aviones estadounidenses empezaron a ser derribados por el enemigo en la segunda guerra mundial, una primera idea fue analizar los aviones que se habían salvado y regresaban a la base de lanzamiento. Inmediatamente se notó que estos aviones presentaban impactos de bala en la parte de la cola. En este análisis surgió la idea de que se blindara parte del avión (por razones de peso y aerodinámica no era viable blindar el avión completo). ¿Qué parte del avión debía ser blindada para aumentar la seguridad en los campos de batalla?

Solución: La parte delantera. Después de todo, los aviones que recibieron los impactos en la parte posterior habían podido regresar en forma segura a la base. Es decir, el haber recibido los impactos en la parte posterior no los había afectado y había que ponerle atención a la parte delantera.

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Conclusiones

Al haberse abordado en este trabajo diversos aspectos sobre la relación entre la resolución de problemas y el aprendizaje de las matemáticas es importante presentar una visión retrospectiva que identifique las conexiones de las ideas fundamentales que pueden considerarse en un ambiente que propicie el aprendizaje matemático de los estudiantes bajo la perspectiva de la resolución de problemas.

Así, un punto fundamental es vincular el estudio de las matemáticas en el salón de clases con el desarrollo de las matemáticas mismas. Es decir, las actividades propias del quehacer matemático que muestran los expertos al trabajar y desarrollar las ideas matemáticas (conjeturar, modelar, discutir, ejemplificar, criticar, comunicar) se debe estructurar el desarrollo de la clase. En esta dirección, es importante que los alumnos acepten la necesidad de reflexionar constantemente acerca de las diversas representaciones y estrategias (cognitivas y metacognitivas) que aparecen tanto en el entendimiento de las ideas matemáticas como en la resolución de diversos tipos de problemas.

Un aspecto sobresaliente en la resolución de problemas se relaciona con el manejo de los recursos matemáticos. Es decir, es importante que el estudiante no sólo se centre en el entendimiento de las ideas asociadas a las definiciones, hechos básicos, notaciones, o conceptos fundamentales sino que desarrolle una serie de experiencias donde se refleje un manejo eficiente de estos recursos. Esto está íntimamente ligado con el uso de diversas estrategias.

En el estudio de las matemáticas es necesario que el alumno represente la información de algún concepto o problema matemático, que reformule el problema o que utilice algún problema similar para avanzar en una propuesta de resolución, que use tablas o diagramas, o que descomponga el problema en casos más simples. Estas estrategias no son solamente importantes en la fase de entendimiento del problema, sino también en el diseño de un plan de solución y su implantación Schoenfeld (1992) indica que el uso eficiente de recursos y estrategias al resolver un problema o entender un concepto matemático debe estar acompañado de un monitoreo constante o autorreflexión del proceso que utiliza el individuo al trabajar en

su intento de resolución (reflexión metacognitiva).

En este contexto, es importante que el estudiante se enfrente a diversos tipos de problemas, incluyendo los no rutinarios. Además, el encontrar una manera de resolver un problema debe acompañarse de una evaluación de los otros métodos de resolución. Así, muchas veces al intentar resolver un problema no solamente es necesario obtener la solución sino seleccionar el método más adecuado para encontrar esa solución.

Todos estos componentes ubican a las matemáticas no como un cuerpo de conocimientos fijo, pulido y acabado, sino como una disciplina en donde es posible que el estudiante desarrolle ideas novedosas y reformule o diseñe sus propios problemas. Esta concepción no sólo debe promoverse en el salón de clases sino también relacionarse con las actividades que el estudiante desarrolle fuera de la escuela.

En una perspectiva más amplia, el aprendizaje de las matemáticas puede verse como una práctica que se desarrolla dentro de una comunidad en una interacción constante. Así, los estudiantes deben tener la oportunidad de participar como miembros de esa comunidad.

La noción de aprendiz (cognición situada o aprendizaje situado) describe la idea de que el estudiante debe estar en un ambiente matemático donde desarrolle los valores, métodos, y formas de razonamiento de la disciplina en un proceso gradual y continuo. Es decir, el salón de clases debe ser un lugar donde se promuevan actividades que ayuden al estudiante en la práctica del quehacer matemático, además de desarrollar la disposición de los estudiantes a realizar actividades que incluyan la formulación y evaluación de preguntas, problemas, conjeturas, argumentos y explicaciones como aspectos de una práctica social de encontrar el sentido y conexiones de las ideas matemáticas.

Existen varios ejemplos donde este tipo de práctica puede implantarse en el salón de clases (Santos, 1994; Santos, 1994c, Schoenfeld, 1994).

La implantación de estas ideas en el salón de clases conlleva una serie de ajustes, tanto en la forma de estructurar las actividades de aprendizaje como en el tipo de problemas y situaciones para discutir.

La discusión por parte de los estudiantes es fundamental para motivar su participación en el desarrollo de las ideas matemáticas. Se han

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identificado cuatro actividades instruccionales que han mostrado ser importantes en la implantación de las ideas asociadas a la resolución de problemas (Santos, 1996).

Cada una contribuye a que el estudiante desarrolle una disposición matemática y una forma de pensar consistente con el quehacer matemático:

(I) Exposición por parte del instructor. Un aspecto fundamental es que el maestro ilustre los “movimientos reales” que emplea cuando interactúa con o resuelve problemas matemáticos. Así, en lugar de presentar un conocimiento acabado, y pulido; el maestro debe mostrar a los estudiantes las ideas y estrategias que intervienen durante todo el proceso de resolución.

Al resolver los problemas, los alumnos deben tener en todo momento la oportunidad de observar y construir modelos conceptuales de los elementos que intervienen en la solución. Por supuesto, es importante que se incluyan las “falsas movidas” y las técnicas de recuperación que generalmente ocurren durante la solución.

Es común, por ejemplo, que el instructor al preparar el tema o los problemas de clase proponga varias formas de solución antes de tomar un camino determinado. Este proceso, que el maestro realiza antes de llegar a la clase, generalmente no lo observan los estudiantes; sin embargo, puede jugar un papel importante en el desarrollo de un pensamiento matemático en los estudiantes. También, de vez en cuando, el maestro puede intentar resolver problemas que sean nuevos para él frente a sus alumnos, así podría ilustrar de manera más realista tales procesos; algunos de estos problemas pueden ser sugeridos por los propios estudiantes.

(II) Discusión en grupos pequeños. Otra variante instruccional que resulta muy efectiva en la resolución de problemas es que los estudiantes trabajen en grupos pequeños durante la clase. Cuando esto ocurra, participan activamente sugiriendo y explorando conjeturas y pueden evaluar constantemente sus ideas.

En esta actividad, es común que los estudiantes logren construir o desarrollar por si mismos las matemáticas necesarias para trabajar los problemas particulares.

El papel del maestro durante esta actividad es observar el trabajo de sus alumnos, ofrecer alguna ayuda cuando se necesite, y presentar algunas preguntas que favorezcan la articulación de las ideas.

Como Schoenfeld (1994) lo indica: Los estudiantes durante la interacción grupal desarrollan un sentido particular de lo que es la empresa matemática. Este sentido se basa en que la gente desarrolla sus valores y creencias como resultado de una interacción social. Reynolds et al. (1995) afirman que el trabajar cooperativamente implica que los miembros del grupo comparten una responsabilidad por el desarrollo de cada uno de sus integrantes.

(III) Presentaciones individuales por parte de los estudiantes. En esta actividad los estudiantes presentan sus ideas a todo el grupo. Un aspecto importante en este renglón es que aprendan a comunicar sus ideas y desarrollarlas alrededor de un argumento. En esta fase es común que el estudiante tenga que recurrir a diversos ejemplos, a contraejemplos, o a utilizar diferentes representaciones para convencer que lo que está presentado posee estructura o consistencia. Convencer, de hecho, debe ser una prioridad en la presentación de los estudiantes.

(IV) Participación grupal. Esta variante instruccional aparece cuando la clase en su conjunto intenta resolver algún problema. El maestro, en cierta manera, coordina y evalúa las ideas sugeridas por los estudiantes.

En algunos casos el maestro también debe saber cuestionar y promover la participación de sus estudiantes.

En el proceso de la instrucción, es necesario que exista una retroalimentación constante durante el desarrollo de todas estas actividades. Por ejemplo, durante la discusión en grupos pequeños, las ideas que emergen durante la interacción entre ellos son evaluadas por los integrantes del grupo.

Posteriormente, cuando los estudiantes presentan sus ideas a todo el grupo, tanto el grupo en su conjunto como el maestro interactúan y evalúan las ideas y pueden sugerir alternativas de solución.

La retroalimentación de las ideas, aparece entonces como un aspecto esencial en todas las fases de la instrucción.

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Como se ha mencionado antes, en general, los problemas que se discuten durante la clase deben ser considerados como puntos de partida para una exploración más global de las ideas matemáticas.

El aprendizaje en la resolución de problemas posee diferentes objetivos:

I. Los estudiantes llegan a entender los propósitos y usos de conocimiento que están aprendiendo;

II. Aprenden activamente utilizando un conocimiento y no pasivamente sólo recibiéndolo.

III. Aprenden las diferentes condiciones bajo las cuales sus conocimientos pueden ser aplicados, aprender cuando utilizar cierta estrategia y cuando no utilizarla;

IV. Aprender en contextos múltiples induce una abstracción de los conocimientos ligada a sus usos, esto ayuda a que los estudiantes enfoquen su atención a la estructura profunda de la situación o problema (Shoenfeld, 1994).

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