Introduzione ai derivati finanziari

Introduzione ai derivati finanziari

Introduzione ai derivati finanziari

https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495


Introduzione ai derivati finanziariGeneralità

Vienedenominatostrumentoderivato (ocontrattoderivato,osemplicementederivato)ognicontrattootitolo,ilcuiprezzoderividalvaloredimercatodiunaopiùattività(peresempio,azioni,indici,valute,tassidiinteresse,commodities).

Iderivatisonoprevalentementeutilizzati:(a) Perfinalitàdicopertura (hedging)diunrischiofinanziario(peresempio,fissazione

diunprezzocertoafrontediunasuavariazionealeatoria)(b) Perfinalitàarbitraggiste (peresempio,acquistodiun’attivitàquotatainunmercato

evenditadellastessainunmercatodifferente)(c) Perfinalitàspeculative (peresempio,scommessasuandamentirialzistioribassisti

delleattivitàsottostanti)



Introduzione ai derivati finanziariClassificazione

Azioni(Equity)

Tassi di interesse(Interest rate)

Indici(Indexes)

Valute(Forex/Currency)

Beni materiali(Commodity)

Credito(Credit)

ForwardFuturesSwap

Impegni condizionati al verificarsi di dati eventi

(Opzioni, CDS, Notes)

Contratti a termine

Contratti condizionati (contingent claim)

Reti di intermediari (Computer/Telefono)

«Grida» / Sistemi di negoziazione

elettronica

Accordi bilaterali(Over the Counter,

OTC)

Scambi regolamentati

(Exchange traded)

Natura del contratto

Attività sottostante Meccanismo di mercato

Derivati finanziari



Introduzione ai derivati finanziariPricing e copertura

Derivati finanziari(Forward, futures, swap, opzioni, derivati su tassi di interesse…)

Processi a tempo discreto

Processi a tempo continuo

Modello binomiale

Teorema di rappresentazione

binomiale

Modelli stocastici

Teorema di rappresentazione delle martingale

Modello di Black e Scholes

Modelli per le opzioni americane

Modelli per itassi di interesse

Calcolo di Ito (SD)

Prezzamento e copertura(Pricing & Hedging)



Introduzione ai derivati finanziariPricing e copertura



Introduzione ai derivati finanziariEvoluzione della modellistica

2c.SimulazioniMonteCarlo

1900

19641965

1973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991

1900

19641965

1973197419751976197719781979198019811982198319841985198619871988198919901991

2.IMODELLINUMERICI

1.IMODELLIANALITICI

1c.PrecursoridelmodellodiBlack-

Scholes

3.IMODELLI DIAPPROSSIMAZIONE

ANALITICA2B.METODOLOGIA ALLADIFFERENZE FINITE

2A.MODELLIBINOMIALI

1A.GENERALIZZAZIONI DELMODELLO DI BLACK-SCHOLES

1B.ESTENSIONI AL MODELLODI BLACK-SCHOLES

BLACK-SCHOLES

BACHELIER

SPRENKLE BONESSSAMUELSON

BOYLE SCHWARTSSHARPE

BLACK

COX/ROSS/RUBENSTEIN GESKE GOLDMAN/SOSIN/GATTORENDLEMAN/BARTTER

GARMAN/KOHLHAGEN GRABBE

MACMILLANBARONE-ADESI/WHALEY

HULL/WHITE SCOTT WIGGINS

HULL/WHITE BLACK/DERMAN/TOY

MERTONTHORPE

JARROW/RUDD

MERTON INGERSOLLCOX/ROSS

WHALEY

GESKE

ROLL

COURTADON

HO/LEE



Derivati

Categoria di rischio dei derivatiTotale (tutte le

categorie di rischio)Tassi diinteresse

ValuteDerivati creditizi

Fonte: BIS

Un quadrilione di dollari

In dollari USA

Un nozionale pari a116.500€ procapite*Include forex-swap, equity-linked swap e swap su commodities

Introduzione ai derivati finanziariLe dimensioni del mercato



Introduzione ai derivati finanziariLe implicazioni

Derivati

• Il mercato dei derivati OTC è opaco e gestito da «pochi» grandi dealerIl cd. G15 gestisce oltre il 90% del mercato globale dei derivati OTC:

Bank of America-MerrillLynchBarclays CapitalBNP ParibasCitigroupCommerzbank AG

Credit SuisseDeutsche Bank AGGoldman Sachs & Co.HSBC GroupJ.P. Morgan Chase

Morgan StanleyThe Royal Bank of Scotland GroupSociété Générale,UBS AGWachovia Bank

• Chi opera sul mercato OTC ha più informazioni e può condizionare l’andamento dei mercatiDal punto di vista dei modelli matematici, maggiore informazione equivale ad operare «nel futuro»

• Fragilità e rischi sistemiciNonostante l’accresciuta efficienza, i «cigni neri» nei mercati finanziari si verificano con una frequenza ed un’intensità non spiegate dalla teoria ma che possono essere invece causate dalla finanza derivata (mutui subprime, default-non-default della Grecia, CDS e spread…)



Introduzione ai derivati finanziariPrincipali derivati

• Forward

• Futures

• Swap

• Opzioni



Introduzione ai derivati finanziariForward e futures

Definizione (Forward)Contratto a termine attraverso il quale le parti si impegnano a scambiare un’attività sottostante ad unascadenza stabilita e al prezzo (prezzo forward) fissati alla stipula del contratto. Il contratto è di tipo OTC(over-the-counter), cioè non standardizzato.

Osservazioni• L’acquirente assume la posizione cd. lunga, il venditore la posizione cd. corta.

• Gli obblighi contrattuali del forward (futures) possono essere onorati:(a) acquistando (vendendo) realmente il sottostante a scadenza (il che accade il 2% delle volte), o(b) prendendo una posizione di mercato opposta a quella iniziale.

• Se alla scadenza iI prezzo del sottostante è maggiore del prezzo forward (future), la posizione lunga hasaldo positivo, altrimenti negativo (caso speculare per la posizione corta).

• La differenza principale tra futures e forwards risiede nel fatto che, mentre i forward sono scambiatiover-the-counter (OTC), i futures sono contratti standardizzati scambiati in mercati istituzionali. Ingenerale, la standardizzazione riguarda le date di consegna ed il meccanismo implementato percontenere il rischio di default di una delle parti.

Definizione (Futures)Contratto a termine attraverso il quale le parti si impegnano a scambiare un’attività sottostante ad una scadenza stabilita e al prezzo (delivery price) fissati alla stipula del contratto. Il contratto è standardizzato nelle sue caratteristiche principali (sottostante, dimensione, termini di quotazione dei prezzi, scadenza, luogo diconsegna del sottostante e determinazione del prezzo).



Prezzodelsottostante !(#)

Profitto o perdita

%(#) =Prezzo diacquisto delcontratto forward(future)

! & > %(#)Posizionelungaguadagna

! & < %(#)Posizionelungaperde

Payoff della posizione lunga

Prezzodelsottostante!(#)

Profitto o perdita

%(#) =Prezzo diacquisto delcontratto forward(futures)

! & > %(#)Posizionecortaperde

! & < %(#)Posizionecortaguadagna

Payoff della posizione cortaCoeff. ang. = 1

Coeff. ang. =−1

Payoff della posizione lunga! & − % # !(&) − +

Payoff della posizione corta% # − ! & . + − !(&)

Sia %(#) il prezzo all’epoca # del contratto, !(#) il prezzo all’epoca # del sottostante e & lascadenza del contratto. Il payoff del contratto è descritto dalle Figure che seguono.




• Alla stipula di un future, viene richiesto il deposito di un margine, generalmente corrisposto ad unintermediario indipendente (Clearing House) con funzione di garante per entrambe le parti controun'eventuale inadempienza del contratto.

• I futures sono marked to market: al termine di ogni giorno di contrattazione il contratto viene liquidatoattraverso l’adeguamento del margine ed un nuovo contratto viene riscritto. Ogni variazione(profitto/perdita) giornaliera viene registrata nei conti delle parti.

• Se il saldo del deposito scende al di sotto della soglia minima, viene richiesto un versamentointegrativo (la c. chiamata di margine o margin call).

• La standardizzazione dei futures riguarda:• Il sottostante: viene definito esattamente il bene oggetto di scambio a scadenza. Nel caso si tratti dicommodities, occorre indicarne la qualità, le caratteristiche specifiche, le modalità di trasferimento edi stoccaggio e così via.

• Le dimensione del contratto: specifica la quantità di sottostante che costituisce l’oggetto delloscambio

• Le condizioni di consegna: nella generalità dei casi a scadenza ha luogo la cd. cash settlement(cioè la liquidazione del controvalore anziché del sottostante in termini fisici). Nel caso in cui abbialuogo effettivamente la consegna del sottostante (physical settlement), occorre stabilire il tipo diconsegna (il luogo ed i termini)

• Le condizioni di quotazione: si specifica l’entità delle variazioni di prezzo del sottostante in terminidi tick e/o di eccesso di variazione.

• I limiti di posizione: il massimo numero di contratti che può aprire uno speculatore. Vuole evitareche la speculazione possa “dirigere” il mercato; da tale limite sono esclusi gli hedgers

Introduzione ai derivati finanziariMeccanismi operativi dei futures



• I futures non prevedono esborsi iniziali e pertanto sono soggetti al rischio di insolvenza di una delle due parti.

• A tutela delle parti opera la Cassa di Compensazione (Clearing House), un organismo che:• raccoglie i depositi che garantiscono il buon fine dell’operazione;• elimina il rischio di insolvenza da inadempimento.

• La Cassa di Compensazione, per tutelarsi a sua volta, adegua il deposito di garanzia giornalmente per tenere conto del valore delle posizioni in essere.

• L’intermediario presso il quale si opera apre un conto apposito per il deposito dei margini di garanzia. Al momento dell’apertura del contratto deve essere depositata una somma variabile (dipende dall’intermediario) non inferiore al 7.5% (in Italia) del valore sottostante al contratto stesso.

• In genere gli intermediari richiedono un versamento che va dal 10% al 15% del valore del contratto. In nessun caso il saldo del conto margini deve scendere al di sotto della percentuale minima pari al citato 7.5%.

• Ogni fine giornata si chiude la posizione in essere, si calcolano gli eventuali profitti o perdite che verranno accreditati o addebitate sul conto margini; contestualmente si riapre la posizione al nuovo prezzo. Se per effetto di perdite continuate il saldo del deposito scende al di sotto della soglia minima, è richiesto un versamento integrativo (la cd. chiamata al margine o margin call).

Introduzione ai derivati finanziariMeccanismi operativi dei futures



EsempioSi acquista un contratto future sull’indice di borsa FTSE MIB, il FIB. Il valore del contratto è calcolato attribuendo ad ogni punto indice il valore di 5€. Se il valore di acquisto iniziale fosse 18.800, il valore del contratto sarebbe 18.800€ · 5 = 94.000€. Con un deposito iniziale (margin requirement) del 10%, 9.400€, e un minimo (margin manteinance) del 7.5%, 7.050€, una situazione tipica è riassunta nella seguente tabella:

Giorno FIB Variazione punti

Variazione valore

G/Pcumulate Conto margini Chiamata al

margine

1 18.800 9.400

2 18.650 (150) (750) (750) 8.650

3 18.300 (350) (1.750) (2.500) 6.900 2.500

4 18.400 100 500 (2.000) 9.900 ( = 6.900+2.500+500)

5 18.600 200 1.000 (1.000) 10.900

6 18.650 50 250 (750) 11.150

7 18.350 (300) (1.500) (2.250) 9.650

8 18.200 (150) (750) (3.000) 8.900

9 18.400 200 1.000 (2.000) 9.900

10 18.300 (100) (500) (2.500) 9.400




Short HedgeSi supponga che un operatore abbia in portafoglio un’attività (che assumiamo unitaria) che dovràvendere ad una data futura.Per coprirsi dal rischio che il prezzo dell’attività scenda, l’operatore può attuare uno short hedge(copertura short) vendendo un contratto future scritto sull’attività. In questo modo:(a) Se il prezzo dell’attività scende, l’operatore perderà nel vendere l’attività, ma guadagnerà

sulla posizione corta assunta nel contratto future;(a) Se il prezzo dell’attività sale, l’operatore guadagnerà dalla vendita dell’attività, ma perderà

sulla posizione corta assunta nel contratto future.

Long HedgeSi supponga che un operatore debba acquistare un’attività (che assumiamo unitaria) ad unacerta data futura. Per coprirsi dal rischio che il prezzo dell’attività salga, l’operatore può attuare unlong hedge (copertura long) acquistando un contratto future scritto sull’attività. In questo modo:(a) Se il prezzo dell’attività scende, l’operatore perderà dalla posizione lunga assunta nel

contratto future, ma guadagnerà dall’acquisto dell’attività;(a) Se il prezzo dell’attività sale, l’operatore guadagnerà dalla posizione lunga assunta nel

contratto future, ma perderà dall’acquisto dell’attività.

OsservazioneLa copertura attraverso i futures non migliora il risultato finanziario complessivo, ma limita l’esposizione al rischio dell’operatore.

Introduzione ai derivati finanziariHedging



Open interest: è la somma di tutte le posizioni lunghe (o corte) che risultano in essere nel mercato in un specifico istante.

Incremento dell’open interest à incremento del numero di operatori con aspettative oppostecirca il futuro andamento del sottostante.

Decremento dell’open interest à incremento del numero di chiusure dei contratti, spia di unadiffusa convergenza di aspettative.

1 2 3Trader1 1 Future – L 1 1 1 Future – S 0

Trader2 1 Future – S 1 1 1 Future – L 0

Trader3 2 Futures – L 2 2

Trader4 2 Futures – S 2 2

Posizioni aperte (P) 2 6 4

Open Interest (P/2) 1 3 2

1 2 3Trader1 1 Future – L 1 1 1 Future – S 0

Trader2 1 Future – S 1 1 1

Trader3 2 Futures – L 2 2

Trader4 2 Futures – S 2 2

Trader5 1 Future – L 1

Posizioni aperte (P) 2 6 6

Open Interest (P/2) 1 3 3

Introduzione ai derivati finanziariL’Open interest



Relazione tra il prezzo spot ed il prezzo forward (future)

Notazione:• ! epoca di scadenza del contratto (in unità di tempo);• " epoca corrente (in unità di tempo);• #(") prezzo spot del sottostante all’epoca "• & prezzo forward pattuito• ' valore del contratto forward (future) (alla data di stipula). Tale valore viene posto

uguale a zero, in modo che assumere la posizione lunga o corta dipenda solo dalle aspettative delle parti.

• ((", !) prezzo forward (future) all‘epoca " di un contratto con scadenza !• * tasso privo di rischio per unità di tempo, assunto costante tra " e !

Ilprincipiodiarbitraggio stabiliscecheilprezzoforward all’epoca" èugualea:

( ", ! = # " ,-(./0)

OsservazionePer " → !, ,-(./0) → 1. Quindi, il prezzo forward (future) tende al prezzo spot quando il tempotende all’epoca di scadenza, cioè ((", !) → #(!) per " → !.

Introduzione ai derivati finanziariPricing di forward e futures



Per dimostrare la relazione !(#, %) = ((#))*(+,-), consideriamo i due seguenti portafogli

Portafoglio Contenuto Valore

A Posizione lungasuunforward .Liquidità /),* (+,-)

B Una unità delsottostante ((#)• Investendoin# altassoprivodirischio0 laliquidità/),* (+,-),allascadenza% lasomma

varrà/,importochegarantiscel’acquistodelsottostanteall’epocadiscadenzadelcontrattoforward (future).

• Allascadenza%,siailPortafolio AsiailPortafoglioBvarranno((%) (cioèunaunitàdelsottostante)equindi,perilprincipiodiarbitraggio,entrambidevonoaverelostessovaloreall’epoca#,cioè

. + /),* (+,-) = ((#)dacui

. = ( # − /),* (+,-)

Poichéall’epocadistipulailvalore. delcontrattoforward (future)èugualeazero,siha!(#, %) ≔ / = ( # )* (+,-)





Stessa conclusione può essere raggiunta assumendo che l’uguaglianza ! ", $ = &("))*(+,-)non valga. Infatti:

1° Caso:! ", $ > &("))*(+,-)Strategia " $Prendere a prestito l’importo &(") tra " e $ al tasso / +&(") −&("))*(+,-)Acquistare il sottostante −&(")Vendere il forward +!(")Profitto 0 +3(4, 5) − 6(4)78(5,4)

2° Caso:! ", $ < &("))*(+,-)Strategia " $Vendere allo scoperto il sottostante +&(")Investire l’importo &(") tra " e $ al tasso / −&(") &("))*(+,-)

Acquistare il forward −!(")Profitto 0 6 4 78 5,4 − 3(4, 5)

In entrambi i casi, se l’uguaglianza non valesse, si verificherebbe un arbitraggio.



La compravendita in forward o futures (mediante l’apertura di posizioni a termine contrarie a quelle sorte dalle contrattazioni a pronti) può avere due finalità prevalenti:

• di copertura, per eliminare o ridurre un rischio sorto nel corso di un’attività economica (p.es. un’azienda esportatrice si copre dal rischio di cambio o dal rischio d’interesse);

• di speculazione, per speculare su eventuali differenze fra le sue aspettative concernenti i movimenti futuri dei prezzi e le attese correnti del mercato.

Quasi sempre non si ha una copertura perfetta (perfect hedge), nel senso che il rischio generalmente non viene eliminato del tutto. Ciò in quanto:

• la durata della copertura può differire dalla scadenza naturale del futures;

• L’asset il cui rischio che si vuole coprire non coincide con il sottostante il futures;

• non è nota esattamente la data di acquisto/vendita dell’asset

Introduzione ai derivati finanziariHedging con i futures



Tali fattori generano il cosiddetto rischio base, definito come la differenza tra prezzo dell’assete prezzo del futures ad esso relativo. Cioè

!"#$(&) = ) & − +(&),essendo, con la notazione già introdotta, ) & il prezzo a pronti dell’attività da proteggere e +(&) il prezzo del contratto futures da usare.

• L’oscillazione dei due prezzi fa variare il rischio base. Un suo aumento è detto rafforzamento della base, una sua riduzione è detta indebolimento della base.

• In presenza di un long hedge (acquisto del future), il costo effettivo del future sarà

) & + 1 − + & + 1 − + & = ) & + 1 − + & + 1 + + &= + & + ) & + 1 − + & + 1= + & + !"#$(& + 1)

• In presenza di un short hedge (vendita del future), il ricavo effettivo dal future sarà

) & + 1 + + & − + & + 1 = + & + ) & + 1 − + & + 1= + & + !"#$(& + 1)




Denotando con !" # + 1 il prezzo al tempo # + 1 dell’attività sottostante il futures, la base è suscettibile di essere interpretata come

&'() # + 1 = " # + 1 − , # + 1

= " # + 1 − !" # + 1 + !" # + 1 − , # + 1

= " # + 1 − !" # + 1 + !" # + 1 − , # + 1

In questa:

• " # + 1 − !" # + 1 è la base che deriva dalla differenza fra le due attività

• !" # + 1 − ,(# + 1) è la base che si avrebbe se l’attività da coprire fosse uguale a quella sottostante il contratto futures




Il rischio base è influenzato molto dalla scelta del contratto futures.

Problemi operativi

• Scelta del future. Non esistendo future per ogni asset, se nel mercato non esiste un future con un’attività sottostante uguale a quella da coprire, occorre scegliere il future statisticamente più «simile» all’attività da coprire (p.es. analisi di correlazione). Si sceglie il future con la maggiore correlazione con l’asset sul quale si effettua l’hedge

• Mese di consegna. I corsi diventano più erratici nel mese di consegna. In generale, maggiore è la distanza temporale fra la scadenza della copertura e la data di scadenza del future più grande è il rischio base. Per ridurre l’esposizione al rischio si acquista o vende un futures con scadenza il più possibile vicina al mese della scadenza della copertura, ma comunque più lontana nel tempo rispetto a questa. Il problema è che non sempre la liquidità del mercato lo consente (i mercati più liquidi sono quelli con le scadenze più brevi). Per ovviare a questo problema si ricorre sovente alla tecnica del roll the hedge forward




Qual è il numero ottimale di contratti futures da comprare/vendere per la copertura?

Per una copertura ideale, le variazioni del prezzo future dovrebbe uguagliare quelle del prezzo spot dell’asset, cioè

∆" = ∆$ciò che non si realizza nella generalità dei casi.

Per calcolare il numero ottimale di contratti futures è pertanto necessario determinare il rapporto di copertura ottimale che minimizza la varianza della posizione dell’hedger. La soluzione del problema di ottimizzazione min( ) ∆" − ℎ , ∆$ - fornisce il cosiddetto hedge ratio

ℎ = ./.01/,0

Essendo:• ./ la deviazione standard delle variazioni del prezzo spot;• .0 la deviazione standard del prezzo del future• 1/,0 la correlazione tra le variazioni del prezzo spot e le variazioni del prezzo future.




Definizione (Swap)Accordo bilaterale OTC che prevede lo scambio di futuri flussi di cassa alle condizionidefinite nel contratto.

Osservazioni

1) L’accordoènonstandarizzato enonèpertantoregolamentatodanessunaautoritàdelmercato.

2)Ifuturiflussidicassa– riferitiaduncapitalelacuientitàèstabilitanelcontratto(ilcd.nozionale)– possonointerpretarsi,perentrambeleparti,comeportafogliobbligazionari oportafoglidicontrattiforward.

3)Loscopoprincipaledelloswapconsistenelmodificarelatipologiadiunaposizionedebitoria(p.es.trasformareunapassivitàcontrattaatassofissoinunapassivitàatassovariabile,oviceversa)

4)Loswapèestremamentediffusonellapraticafinanziaria.Ilmercatodegliswapammontaacentinaiadimiliardidieuro.

5)Latipologiadicontrattoswapmaggiormentediffusaèloswapplain vanilla,nelqualeloscambioriguardapostediammontarefissocontropostediammontarevariabile.

6)Dinormaloswapèalal netto,cioèadogniscadenzafissatadalcontrattolepartiliquidanoladifferenzatraiflussienonl’interoflusso.

Introduzione ai derivati finanziariSwap



Esempio (swap su merci). Un’azienda elettrica acquista mensilmente ! barili di petrolio peralimentare i propri impianti di produzione. In tal modo, l’azienda è esposta alla fluttuazionedel prezzo spot del petrolio "($) che di mese in mese si osserverà sul mercato. Il flusso dicassa dell’azienda è variabile, essendo pari a ! · "($).Temendo un aumento del prezzo del petrolio, l’azienda decide di modificare la tipologia delflusso, trasformando la successione di pagamenti variabili (!×"($'), $'= 1,2, … , -) in unasuccessione di pagamenti fissi (!×. ad ogni scadenza $').Chiaramente l’azienda dovrà trovare una controparte disposta ad accettare lo scambio, cioè apagare fisso contro variabile.

Aziendaelettrica

Mercatospotdelpetrolio

ContropartePagamentifissi!×.

Pagamentivariabili!×"($')Pagamenti

variabili!×"($') PetrolioAd ogni epoca $/ le parti liquidano la differenza0 $' = !×" $' − !×. = ! · [" $' – .].

Se 0 $' > 0 l’azienda elettrica guadagnaSe 0 $' < 0 l’azienda elettrica perde.

Introduzione ai derivati finanziariSwap



Problema.Come valutare il contratto, cioè qual è il «giusto» prezzo fisso ! e come lo si determina?Seguendo la notazione dell’esempio, ad ogni scadenza "# (% = 1,2, … , +) sappiamo che ilsaldo è

ma all’epoca iniziale non è noto il prezzo spot che il sottostante avrà all’epoca "#. Tale prezzopuò essere stimato attraverso il suo prezzo forward - ", "# .

Quindi, all’epoca t di stipula dello swap, il saldo stimato per ciascuna delle scadenze "# è

ed il valore dello swap all’epoca t è dato dalla somma dei futuri saldi attualizzati. Cioè:

Il valore dello swap all’epoca di stipula viene uguagliato a zero in modo che assumerela posizione lunga o corta nello swap dipenda solo dalle aspettative delle parti.Pertanto, il valore / (entità del pagamento fisso unitario) che verifica la

determina quanto la gamba fissa dello swap deve pagare ad ogni scadenza "# (cioè qual è il«giusto» prezzo dell’assicurazione).

0#123 4 ", "# 5 - ", "# − / = 0 ⟹ / = ∑#123 4 ", "# - ", "#∑#123 4 ", "#

: "# = 5 ; < "# − /

: "# = 5 ; - ", "# − /

= = 0#123 4 ", "# : "# = 0#123 4 ", "# 5 - ", "# − /

Introduzione ai derivati finanziariPrincipio generale di valutazione di uno swap



SchemaConriferimentoalloscadenzario!", !$, … !&,adogniscadenza!$ (' = 0,… , *)

suundatonozionale+.

Osservazioni• Comunemente, come tasso variabile negli IRS viene assunto il London Interbank Offer Rate

(Libor), cioè il tasso di interesse interbancario riconosciuto sui depositi.• In genere è la sola differenza + · (./ − 1) ad essere liquidata ad ogni scadenza.

ParteA ParteBcorrispondeiltassodiinteressefissor

corrispondeiltassodiinteressevariabile.'

Graficamente,sulloscadenzario! = !0 , !1 , … , !*

t t1 … ti … tnStipulaIRS

C(c1 - r) C(ci - r) C(cn - r)C(c0 - r)

Introduzione ai derivati finanziariSwap su tassi di interessi (IRS, Interest Rate Swap)



Per valutare il tasso IRS (tasso swap), per il quale – a differenza dei tassi interbancari a breve(Euribor, Libor, tasso di rifinanziamento BCE ecc.) – non esiste un fixing ufficiale per le diversedurate dello swap, si ragiona in modo analogo all’esempio prima considerato, calcolando:(a) il valore attuale della gamba fissa, al tasso IRS incognito,(b) il valore della gamba variabile, ai tassi dedotti dalla curva dei rendimenti generata dai tassiosservati sul mercato (p.es. Euribor)e uguagliando i due valori al momento della stipula dello swap. Cioè(*)

!"# $ 1 + '( )*)+ + !"# $ 1 + ', )*)- + ⋯+ !"# $ 1 + '/ )*)0 == 2(4, 4() $ 1 + '( )*)+ + 2(4, 4(, 4,) $ 1 + ', )*)- + ⋯+ 2(4, 4/*(, 4/) $$ 1 + '/ )*)0

!"# = 2(4, 4() $ 1 + '( )*)+ + 2(4, 4(, 4,) $ 1 + ', )*)- + ⋯+ 2(4, 4/*(, 4/) $ 1 + '/ )*)0

1 + '( )*)+ + 1 + ', )*)- + ⋯+ 1 + '/ )*)0 =

= ∑89(/ 2(4, 48*(, 48) $ 1 + '8 )*):

∑89(/ 1 + '8 )*):

essendo:• IRS il tasso IRS che rende uguali, alla stipula, i valori attuali della gamba fissa e variabile

(cosiddetto «mark to market» nullo)• '8 il tasso zero coupon vigente nel periodo 48-esimo (; = 1,… , =)• 2(4, 48*(, 48) il tasso di rendimento forward vigente tra 48*( e 48 (p.es. l’Euribor) (evidentemente

2(4, 4() è il tasso spot osservato al momento della stipula dello swap)

(avendo posto 4 = 4>)

(*) Si osservi che, comparendo come fattore in entrambi i membri dell’uguaglianza, il nozionale ? è stato semplificato

Introduzione ai derivati finanziariValutazione di un IRS



LasocietàApuòindebitarsisecondoleduealternative:(a1)Tassofissoparial4%(b1)TassovariabileparialLibor semestrale(L6m)

LasocietàB,chehaunostandingcreditiziomenoelevato,puòindebitarsisecondoleduealternative:(a2)Tassofissoparial6%(b2)TassovariabileparialLibor semestrale+50bp(L6m+0,50)

SupponiamochelasocietàAintendaavvalersidelfinanziamentoatassovariabile(b1),mentrelasocietàBintendefinanziarsiatassofisso(a2).

Seinfattisupponiamoche

Seleduesocietàsi“accontentassero”dellecondizionilorooffertedalmercatopagherebberoilfinanziamentorispettivamenteuntassoparialLibor semestrale(A)euntassofissoparial6%(B).Maentrambelesocietàpossonospuntarecondizioni miglioriattraversolastipuladiunopportunoIRS.

• lasocietàAcontraggailprestitoatassofisso(pagandoadogniscadenzail4%)

• lasocietàBcontraggailprestitoatassovariabile(pagandoadogniscadenzailL6m+50bp)

• leduesocietàstipulanounIRSinbasealqualelasocietàAcorrispondeadogniscadenzaallasocietàBilL6m-75bpincambiodelpagamento,dapartedellasocietàB,deltassofissoparial4%.

Introduzione ai derivati finanziariEsempio di IRS



Calcoliamo,perunnozionaleunitario,ilsaldoperleduesocietàallagenericascadenzati:

Paga Incassa Saldo

SocietàA4%

L6m- 0,754%

4% - (4%+L6m- 0,75)=- (L6m- 0,75)

SocietàBL6m+0,50

4%L6m- 0,75 L6m- 0,75- (L6m+0,50+4%)=-

5,25%

Concludendo

• LasocietàA,chevuoleindebitarsialtassovariabile,pagauntassoparialLibor semestralemeno75bp (senzastipulareloswapavrebbepagatoilLibor semestrale)

• LasocietàB,chevuoleindebitarsialtassofisso,pagauntassoparial5,25% (senzastipulareloswapavrebbepagatoil6%)

Lastipuladell’IRSconvieneadentrambelesocietà.

Introduzione ai derivati finanziariEsempio di IRS



Definizione (Opzione)Una opzione call [put] sul sottostante !" è il diritto di comprare [vendere] il sottostante alprezzo contrattualmente stabilito # (prezzo di esercizio, strike price).

Tale diritto può essere esercitato: $alla scadenza - ./01.23 345./36

3275. la scadenza - (./01.23 69351:626)

Il costo <" (= < -) dell’opzione call [put] è detto premio dell’opzione.

Osservazioni

• I forwards e i futures obbligano il detentore del contratto a consegnare o ad accettare laconsegna del sottostante alla scadenza. Le opzioni conferiscono al detentore il diritto, nonl’obbligo, di acquistare o vendere il sottostante.

• Uno dei problemi principali consiste nel calcolare il premio <" in modo che esso non generiarbitraggi. Al momento della scrittura dell’opzione all’epoca =, <" non è noto. Anche nel corsodella vita dell’opzione (quando il premio <" viene stabilito dal mercato attraverso ladomanda e l’offerta), l’opzione può non essere scambiata frequentemente. D’altro canto, unoperatore potrebbe avere l’esigenza di conoscere il valore giornaliero di <", per esempio pervalutare i suoi rischi o per avvantaggiarsi di un possibilemispricing.

Introduzione ai derivati finanziariOpzioni



Graficamente, il profitto/perdita può essere descritto come segue:

!(#)

P/P

Pro(itto

X - c

XPerdita

c

Posizione corta put

Posizione lunga put

CALL PUT

!(#)

P/P

Pro(itto

X + c

X

Perdita

c

Posizione corta call

Posizione lunga call

Introduzione ai derivati finanziariPayoff di un’opzione (a scadenza)



Acquisto di

- 100 opzioni call con sottostante Apple Inc. (AAPL)

- Scadenza (maturity): T = 3 mesi

- Prezzo di esercizio (Strike price): X = 480$- Premio : c = 9.83$ (*)

Il prezzo dell’Apple Inc. sia 460$.

Se alla scadenza (3 mesi)

(a) Il prezzo di Apple Inc. è !(#) > 480$, il compratore eserciterà l’opzione e, per ogni opzione inportafoglio, il saldo sarà S(T) – X – c.

*(+) Saldounitario N° Saldototale

481$ 481-480-9.83=-8.83 100 -883$

482$ 482-480-9.83=-7.83 » -783$

483$ 483-480-9.83=-6.83 » -683$

484$ 484-480-9.83=-5.83 » -583$

485$ 485-480-9.83=-4.83 » -483$

486$ 486-480-9.83=-3.83 » -383$

487$ 487-480-9.83=-2.83 » -283$

S(T) Saldounitario N° Saldototale

488$ 488-480-9.83=-1.83 100 -183$

489$ 489-480-9.83=-0.83 » - 83$

490$ 490-480-9.83=0.17 » +17$

491$ 491-480-9.83=1.17 » +117$

492$ 492-480-9.83=2.17 » +217$

493$ 493-480-9.83=3.17 » +317$

494$ 494-480-9.83=4.17 » +417$

(*) Il prezzo c è stato calcolato usando la formula di Black e Scholes (per un supporto online si veda, p.es., il software disponibile

online all’indirizzo: http://www.cboe.com/LearnCenter/OptionCalculator.aspx)

Introduzione ai derivati finanziariEsempio di opzione


http://www.cboe.com/LearnCenter/OptionCalculator.aspx


(b) Il prezzo di Apple Inc. è !(#) < 480$, il compratore non eserciterà l’opzione ed il saldocomplessivo sarà – 100 · - = – 100 · 9.83$ = –983$.

Prezzo ascadenza delsottostante!(#)

P/PPro5itto

489,83(X+c)

480(X)

Perdita

9.83(c )

Graficamente, il profitto/perdita può essere descritto come segue:

Introduzione ai derivati finanziariEsempio di opzione



ObiettivoDeterminare una formula chiusa in grado di esprimere !" come una funzione del prezzo delsottostante e di altri parametri rilevanti.

Al tempo #, la sola “formula” conosciuta per !" è quella che restituisce !$.Infatti, assumendo che• Non ci siano commissioni e/o costi aggiuntivi• Sia uguale a zero lo spread bid-ask (denaro-lettera) su %" e !",allora a scadenza !$ può assumere solo due valori:

Out-of-money: %$ < ' ⇒ !$ = 0 (Inquesto caso,il sottostante può essere compratonel mercato per%$ < '.Nessundetentorerazionalediopzionieserciterebbeildirittodicomprareilsottostantealprezzo')

In-the-money: %$ > ' ⇒ !$ = %$ − ' (Inquesto caso,l’opzione verrebbe banalmenteesercitata perché il sottostante può esere acquistatoalprezzo ' evenduto alprezzo %$,inmododaguadagnareunprofittonettougualea%$ − ')

In breve, !$ = max[%$ − ', 0] ≔ (%$ − ')6

Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni



!"

Valore opzione in #:max[) − +,, 0]

Valore opzione in 0

Valore opzione in 0 + 1

) +

!"

Valore opzione in #:max[+, − ), 0]

Valore opzioni in 0

Valore opzionein 0 + 1

) +

I grafici mostrano il valore di una call (sx) e di una put (dx) in vari momenti prima dellascadenza. Si osservi che per 0 < # il valore dell’opzione è una funzione continua e smooth. Soloa scadenza il valore dell’opzione diviene una funzione lineare spezzata con un punto angolosoin corrispondenza del prezzo di esercizio.

Opzione Call Opzione Put




Problema:Comecalcoliamo il premio !"?(Ingenerale:Comeprezziamo un’opzione?)Sia# = 30$ ilprezzodelsottostanteeassumiamodiconoscerechetraquattromesiessosarà# = 32$ o# = 28$.Inoltre,sia* = 0.05 (5%) iltassoprivodirischio.Vogliamovalutareilprezzodiun’opzioneEuropeascrittasutaletitoloedaventeprezzodiesercizio0 = 31$ escadenzaaquattromesi.Sappiamocheallascadenzal’opzionevarrà

max # − 0, 0 = 7max 32 − 31,0 = max 1,0 = 1 89 # = 32$

max 28 − 31,0 = max −3,0 = 0 89 # = 28$

Graficamente,

S=30

S=32

S=28

Valoredell’opzione=1

Valoredell’opzione=0




Pervalutarel’opzioneprocediamonelmodoseguente:

1. Costruiamounportafogliodiopzionieazionitalecheilsuovaloreallascadenzasianotoecerto;

2. Poichéilportafogliodefinitiin1)èprivodirischio(cioè,ilsuovaloreènotooggiqualechesialostatodelmondoascadenza),iltassodiinteressecheutilizziamoperattualizzareèquelloprivodirischio

3. Sfruttandola2)calcoliamoilcostodelportafoglioe,poichéessoincludel’opzione,ilvaloredell’opzionestessa.

EsempioCostruiamounportafogliocheabbiaunaposizionelungasuD azionieunaposizionecortasuunacall.Cichiediamo:esisteunvalorediD perilqualeilportafogliocosìcostruitosiaprivodirischio?Inquestocaso,comelodeterminiamo?

Separiamoiduecasi:

Ilprezzodelsottostantesaleda$30 a$32 Þ Ilportafogliovale$32×D− $1;Ilprezzodelsottostantescendeda$30 a$28 Þ Ilportafogliovale$28×D.




Quanteazionioccorrerebbecomprarepergarantirsicheilvaloredelportafogliononcambi,qualechesiailprezzodelsottostante?

Richiediamoche$32 $ ∆ − $1 = $28 $ ∆

dallaqualesegue∆= 0,25.

Quindi,ilportafogliocompostoda:

. ./012345 62 7. 89 .:25;2< =>;624. 62 ? 5@:25;>

èprivodirischio!

Infatti,• Seilsottostantesalea$32 (membrosinistrodell’uguaglianza),ilportafogliovarrà$7• Seilsottostantescendea$28 (membrodestrodell’uguaglianza),ilportafogliovarrà

ugualmente$7.

Poichéilportafoglioèprivodirischio,assumendol’assenzadiopportunitàdiarbitraggio,essodeverenderetantoquantoiltassoprivodirischio.Ciòimplicacheilvaloredelportafoglio($7tra4 mesi)deveesserescontatoaltassoprivodirischio,cioè

$7BCD,DE$FGH = $6,8843




PoichéilprezzodelsottostanteèS=$30,ilvalore(presente)delportafoglioè

! " ∆ − % = $30 " 0,25 − % = $7,5 − %% essendoilprezzodell’opzione(ilpremio).Neconsegueche:

$7,5 − % = $6,8843cioè:

% = $7,5 − $6,8843 = $0,6157

Conclusione

Inipotesidiassenzadiarbitraggio,l’opzionedevevalere$0,6157.

Infatti,se:

• % > $0,6157,ilportafogliocosterebbemenodi$6,8843 (quindirenderebbepiùdeltassoprivodirischio);

• % < $0,6157,sipotrebbevenderealloscopertoilportafoglio(ilcheequivarrebbeaprendereaprestitodeldenaroaduntassodiinteressepiùbassodeltassoprivodirischio).




• Generalizziamol’esempio.• Sia:

• !:ilprezzodelsottostante• ":ilprezzodell’opzione• #:lamaturity• $ > 1• 0 < ) < 1.

Loschemadiviene

!

!$"*

"!)"+

Comenell’esempio,ilportafoglioprivodirischioècostruitomedianteunaposizionelungasuDunitàdelsottostanteedunaposizionecortasull’opzione.Seilprezzodelsottostantesale,ilportafogliovarrà!$ , ∆ − "*Seilprezzodelsottostantescende,ilportafogliovarrà!) , ∆ − "+

Introduzione ai derivati finanziariPricing di opzioni. Valutazione neutrale al rischio



DigressioneComesivedrànelseguito,loschemavieneestesonell’ambitodeimodellilattice(modellibinomiali),chedefinisconounastrutturaadalberoicuinodisonoindividuatiunavoltachesiastatafissataunaunitàdimisuradeltempo(!).

Loschemageneraleèilseguente

Fissataunavariazionerialzistaoribassistaper",siprocedeinavantifinoadarrivareallamaturitydell’opzione.Unavoltacalcolatoilvalorediciascunnodoterminale,siprocedearitrosoperdedurreilvaloredelderivatoadogniscadenzaintermediafinoadarrivareall’epocainiziale#.

""!

"$

"!%

"$%

"!$ = "$!

"$'

"!'

"$%!

"!%d

"$(

"!(

"$'!

"!'$

"!%$%

# # + ! # + 2! # + 3! # + 4!

……

…

……

…




Uguagliandoiduevalori!" # ∆ − &' = !) # ∆ − &*

segue

∆= &' − &*!" − !)

L’acquistodiD unitàdelsottostanterendeilportafoglioprivodirischio(delta-hedging).Neconseguecheilsuorendimentodeveessereugualealtassoprivodirischio+:

(!" # ∆ − &')./01 = ! # ∆ − &

Valoreattualedelportafoglio Costoinizialedelportafoglio

SostituendoD,siha

!" # &' − &*!" − !) − &' ./01 = ! # &' − &*!" − !) − &

dallaquale,riducendoopportunamente,& = ./01 2&' + (1 − 2)&* ,

dove2 = 678/*'/* .




Riconsideriamola! = #$%& '!( + (1 − ')!. ,

con' = 012$.($. .

Notiamoche0 ≤ #%& − 6

7 − 6 ≤ 1 ⟺ 6 ≤ #%& ≤ 7.

Ladisuguaglianza6 ≤ #%& èbanalmentevera,essendoequivalentealn 6 ≤ ;< .

Poiché0 < 6 < 1,ln 6 < 0mentre;< > 0.

Ladisuguaglianza#%& ≤ 7 èequivalentea;< ≤ ln 7 .

Maln 7 = ln ?(? ,cherappresentailrendimentologaritmodelsottostantetra0 e<.Poichéiltitoloèrischioso,talevalorenonpuòessereinferiorealrendimentoprivodirischiovalutatonellostessoperiodo(premioperilrischio).




Quindi,concludiamoche0 ≤ # = %&' − )

* − ) ≤ 1

laqualeconsentediinterpretare , comelaprobabilitàcheilprezzodelsottostantesalga.

Così,1 − # = 1 − -./01201 = 20-./

201 èinterpretabilecomelaprobabilitàcheilprezzodelsottostantescenderà.

Quindi,sipuòinterpretarelaquantità#32 + (1 − #)31

Comeilvaloreattesodelvalorefinaledelderivato.Inquestomodo,larelazione3 = %0&' #32 + (1 − #)31

puòesserelettacomesegue:

Ilprezzodell’opzioneèugualealvaloreattuale,calcolatoaltassoprivodirischio,delvaloreattesodelvalorefinaledelderivato.




Datalaprecedenteinterpretazionedi! comeprobabilità,ilvaloreattesodelprezzodelsottostantealtempo" è

# $% = !$' + 1 − ! $+ ⇔ # $% = !$(' − +) + $+dallaquale,sostituendo!,siha

# $% = /0% − +' − + $ ' − + + $+ = /0%$

Concludendo,• ilvaloreattesodelprezzodelsottostantealtempo" èugualealprezzocorrentedel

sottostantecapitalizzatoaltassoprivodirischio(cioè,ilprezzodelsottostantecresceinmediaaltassoprivodirischio).

• Interminidiversi,assumereche1 sialaprobabilitàdirialzodelprezzodelsottostanteèequivalenteadassumerecheiltassodirendimentodelsottostantesiaugualealtassoprivodirischio.

• Ilmercatocheobbedisceaquestaleggeèdettoneutralealrischio elavalutazionecheitraderfannoèdettavalutazioneneutralealrischio.

• Lamisura! èdettamisuradiprobabilitàneutralealrischio.




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Introduzione ai derivati finanziari