ATTENTO … a cosa vedi, a cosa leggi e a cosa dici. La logica nella matematica

INTRODUZIONE

“MATEMATICA” …. “scoglio insormontabile” … “bestia nera” … “odiosa” … “difficile” …. “fredda” …

Non è, forse, che è necessario avviare quanto prima i ragazzi ad acquisire il corretto metodo di studio?

Non è, forse, che spesso i ragazzi non riescono a capire “ cosa un problema richieda”?

Non è .forse, che si è legati dalla falsa equazione matematica=calcolo?

Non è, forse, che i ragazzi hanno difficoltà a “decodificare” ciò che vedono e leggono?

La matematica è affascinante se intesa come ….

“capacità” che è già “una parte di se stessi” se solo si ha la volontà di potenziarla

“capacità” che fornisce alla mente la disciplina, l’equilibrio, l’arte di ragionare

“capacità” che permette di arrivare a delle conclusioni risolutive nei più svariati ambiti

“capacità” di utilizzare la “logica” come un mirabile strumento di trasformazione

“capacità” di far scaturire da poche premesse una serie di conseguenze inaspettate, così lontane dalle ipotesi fatte, da costituire vere conquiste del pensiero

Con passione ed entusiasmo mi sono posta l’ambizioso scopo di “diffondere il bello della matematica”, svelare ai ragazzi che la matematica nasconde tanti aspetti esteticamente interessanti, strettamente legati alla natura e all’arte ma … è “uno strumento delicatissimo”

Utilizzarlo in modo impreciso e grossolano, con contorni nebbiosi, potrebbe portarci alle più strane ed assurde conseguenze tanto che “il nostro ragionamento” lungi dal dissipare tali nebbie arriverebbe ad addensarle rendendo impossibile distinguere ciò che è “vero” da ciò che è “falso”.

Nunzia Chiello

ATTENTO … a cosa vedi, a cosa leggi e a cosa dici. La logica nella matematica

START!!!

a cosa vedia cosa leggie a cosa dici

LA LOGICA NELLA MATEMATICA

ATTENTO…..

Le difficoltà con l’approccio alla matematica sono dovute, spesso, al fatto che non si comprende fino in fondo cosa un problema richieda.

E’ importante, quindi, avvicinarsi alla matematica sentendola come una “parte di se stessi” da potenziare adeguatamente: essa non è una semplice disciplina ma un modus ragionandi.

“Anche quando certe conoscenze matematiche si sono obliate del tutto, rimane saldo l'abito del rettamente

ragionare, il gusto per le dimostrazioni eleganti, il disinteresse e l'indipendenza nel giudicare, il pensiero logico

disciplinato, lo spirito scientifico acuito, la precisione dell'espressione, la saldezza dei convincimenti, il senso del

vero.”

Giovanni Antonio Colozza

La matematica non è scienza del calcolo, ma una disciplina che potenzia le capacità di analisi ed elaborazione.

Tali capacità sono utili non solo come approccio allo studio di ogni disciplina, ma in tutti i campi dell’esperienza umana e quindi, nel nostro vissuto quotidiano.

L’essere umano ha una potenzialità unica che gli consente di “elaborare logicamente” tutto

ciò che vede, che legge e che sente.

La conoscenza e l’esperienza partono da ciò che vediamo ma … ATTENTI! … c’è differenza fra vedere e guardare:

si “vede” tutto ciò che cade nel nostro campo visivo (quante volte ci passa accanto un amico ma noi non lo percepiamo? : -Ops, scusami ma non ti avevo visto! …. È solo perché tutto ciò che passava nel nostro campo visivo non lo avevamo elaborato con la “mente”.)

1. Attento a cosa vedi

Osserviamo queste figure: da una prima visione sommaria ci sembrano immagini che non hanno nulla di particolare ma …

quante zampe ha?

fanciulla o megera?

Che disposizione hanno?eppure è la stessa

immagine capovolta

??? cerchi o spirale? dove porta la scala?

eppure sono parallele

circonferenze congruenti e segmenti congruenti

Quando cerchiamo di “mettere a fuoco con la mente” ciò che osserviamo ci rendiamo conto che non sempre le

immagini che percepiamo sono “coerenti” con la realtà e … tentare di “razionalizzarle” è praticamente impossibile

quindi … NON TUTTO CIO’ CHE VEDIAMO CORRISPONDE AL VERO!

Anche quando leggiamo dobbiamo stare molto attenti alle congiunzioni, alle disgiunzioni, alle negazioni, agli avverbi o

locuzioni avverbiali usati: Francesco e Maria sono andati al cinema

Mi piacciono Solamente le rose

Per ottenere la borsa di studio bisogna avere sulla pagella o 9 in matematica o 8 in italiano

2. Attento a cosa leggi

Domani andrò al mare o in montagna

o studi o sarai punito

La o che usiamo comunemente ha però due significati diversi come fare per differenziarli?

Ci aiuta il latino da cui la nostra lingua deriva

VERO True 1 On Acceso

FALSO False

0 Off

Spento

corrispondenze logiche

^“e” - sia… sia… - in comune - contemporaneamente -

intersezione - sistema - circuito “AND” in serie

V “aut … aut” - “o dura-esclusiva” - scelta – minaccia – bivio -

o solo questo o solo quello

V“Vel” - “o dolce-inclusiva” - o solo uno o solo l’altro o

entrambi - e\o - insieme - unione - circuito “OR” in parallelo

.

ma … non possiamo considerare frasi qualsiasi …Proviamo a dare il valore di verità a queste frasi:

“ Che bella giornata” “Ieri sei uscito?”

“Ma deciditi!” “Andiamo via!”

“Sono buoni gli gnocchi!” “Luca è alto”

Quindi partendo da frasi semplici (atomiche) a cui possiamo universalmente stabilire se sono vere o false possiamo formare, grazie ai connettivi logici, frasi composte (molecolari) stabilendo, anche per esse, il loro valore di verità.

DEVONO ESSERE VERE O (aut … aut) FALSE PER TUTTI

Quantificatore universale

Quindi … non possiamo considerare frasi interrogative, esclamative ed imperative ma soltanto alcune frasi dichiarative quelle, cioè, che non contengono “gusti personali o poco indicativi”, che sono senza ambiguità

Silvia studia l’inglese e lo spagnolo

Non è vero che Silvia studi l’inglese e contemporaneamente lo spagnolo

COSA VUOL DIRE?

Silvia non studia l’inglese oppure non studia lo spagnolo

Negare una frase composta quindi nega le due proposizioni atomiche e inverte il connettivo “e” nel connettivo “o” e viceversa.

Abbiamo “scoperto” le leggi di De Morgan

Se proviamo a formare frasi composte dai connettivi logici e poi a negarle … che significato hanno?

Tutti gli uomini sono mortali (vero)

Non è vero che tutti gli uomini siano mortali

COSA VUOL DIRE?

Esiste almeno un uomo che non è mortale (falso)

Abbiamo “scoperto” un altro quantificatore

E se proviamo a negare una proposizione che contenga il quantificatore universale:

quantificatore esistenziale

Devi colorare le caselle con 3 colori, rosso, nero e bianco, sapendo che:

• c’è una colonna tutta bianca;• in ogni riga c’è una e una sola casella nera;• nessuna riga ha più di una casella rossa;• se una casella è rossa, almeno una attigua è nera (due caselle

sono attigue se hanno un lato in comune);• se in una colonna una casella è nera, allora in quella colonna c’è

almeno una casella rossa.

Proviamo ora a giocare con la matematica ma stai attento a leggere bene cosa ti viene richiesto

Hai a disposizione la tabella seguente, in cui le caselle sono già colorate.

1) Enuncia almeno 4 condizioni analoghe alle precedenti che siano soddisfatte dalla colorazione delle caselle nella tabella

2) Inventa un altro gruppo di condizioni, da proporre per sfida ai tuoi compagni, facendo sempre riferimento allo schema seguente

3) Sostituisci numeri ai colori e riproponi la sfida ai tuoi compagni enunciando opportune condizioni aritmetiche

Tutti i numeri sono interi;nessun numero è negativo tutte le caselle nei vertici contengono un numero dispari

(tieni presente che lo 0 si considera pari) solo le caselle nei vertici contengono un numero dispari la somma dei numeri di ogni riga dà lo stesso risultato la somma dei numeri in ogni colonna è un multiplo di 4

Le condizioni precedenti sono tutte necessarie? Possono dar luogo a soluzioni diverse?

Lo schema seguente, costruito con un quadrato 3x3, rispetta le condizioni date.

Esempio di condizioni relative ad una tabella 3×3.

Prova ora a costruire un quadrato magico come questo proposto cioè una tabella quadrata di ordine n in cui compaiono una e una sola volta i numeri interi da 1 ad n*n;

i numeri sono disposti in modo tale che la somma di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali dia sempre lo stesso risultato; tale risultato è detto costante magica del quadrato.

Conoscete il sudoku ? E’ una tabella quadrata di ordine 9, divisa in 9 quadrati 3×3. Si chiede di collocare in ogni casella un numero compreso fra 1 e 9, in modo che in ogni riga, in ogni colonna e in ogni quadrato 3×3 ciascun numero compaia una e una sola volta. Si parte da alcuni numeri già scritti.

Quindi…

Trova le proposizioni equivalenti all’interno dei due gruppi seguenti:

Al gioco si vince o si perde Al gioco si vince o si perde, e non è vero che si vince e si perde nello stesso tempo Non è vero che al gioco si vince e si perde nello stesso tempo Al gioco si vince o non si perde

Giovanni non abita a Forlì e non lavora a Cesena Non è vero che Giovanni abita a Forlì o lavora a Cesena

Giovanni non abita a Forlì o non lavora a Cesena Non è vero che Giovanni abita a Forlì e lavora a Cesena

Lo stesso concetto può essere espresso con frasi diverse ma che hanno lo stesso significato … tali frasi sono dette

proposizioni equivalenti (dal latino aequus-a-um=uguale e valeo,-es , valui, -ere=significare, aver significato, valere

quanto, equivalere a).

Non è sempre facile rispondere? Alcune frasi potrebbero essere “non oggettive”? Infatti … il

linguaggio comune è spesso ambiguo!

Proviamo a formare frasi ipotetiche-deduttive del tipo se … allora …

Se Fulmine è un cavallo allora è un quadrupede (Vera) [frase di partenza detta diretta]

Proviamo ad invertire tale frase Se Fulmine è un quadrupede allora è un cavallo (Falsa)

[frase inversa]

E se la rendiamo contraria? Se Fulmine non è un cavallo allora non è un quadrupede (Falsa)

[frase contraria] 

E se trasformassimo quest’ultima frase contraria, invertendola? Se Fulmine non è un quadrupede allora non è un cavallo (Vera)

[frase contro inversa o contronominale]

Creiamo ora un modello matematico che semplifichi:A = Fulmine è un cavallo B = Fulmine è un quadrupede

La frase (1) diventa: A B (A è condizione sufficiente per B) (B è

condizione necessaria per A) La frase (2) diventa: B A  La frase (3) diventa: A B  La frase (4) diventa: B A

“Se un triangolo è isoscele allora ha gli angoli alla base congruenti”

Gli enunciati dei teoremi sono proposizioni ipotetiche-deduttive:

IPOTESI TESI

Per dimostrare un teorema si parte da una certezza:

l’ipotesi è vera

dimostrazione direttaattraverso conseguenze logichesi arriva a dedurre che èvera la tesi

dimostrazione per assurdosi presuppone che la tesi sia falsa e attraverso conseguenze logiche si arrivaa dedurre che risulta essere falsa anche l’ipotesi.Si arriva così ad una contraddizione che non può esistere nella logica che ha i suoi principi facilmente intuibili

Principio di identità: ogni “ente” è identico a se stesso 

Principio di non contraddizione: una proposizione non può essere contemporaneamente

vera e falsa

Principio del terzo escluso (tertium non datur): una proposizione o è vera o è falsa (aut … aut)

  Proprietà transitiva:se una proposizione ne implica una

seconda e questa, a sua volta, ne implica una terza, allora la prima implica la terza

PRINCIPI DELLA LOGICA

Leggi attentamente questa storia creando un modello logico-matematico:

“Il re di un lontano paese ha condannato a morte tre uomini. Concede però loro una possibilità di salvezza: da un gruppo di tre

cappelli bianchi e due cappelli neri sceglie tre cappelli e ne fa mettere uno ad ognuno di loro. Nessuno è in grado di vedere il proprio cappello, ma tutti, tranne uno che è cieco, vedono quello degli altri due. Chi indovina il colore del proprio cappello viene liberato, chi non risponde è condannato,ma chi risponde in modo errato viene torturato prima di essere condannato. Sono interrogati uno alla volta: il primo e il secondo, i due non ciechi, non rispondono perché non sono sicuri e temono di essere torturati.

Può il cieco dare una risposta logica in modo da salvarsi?”

Ora proviamo ad applicare la logica-deduttiva in una questione che non riguarda la matematica in senso

stretto ma alla quale si può rispondere solo utilizzando le procedure della matematica.

In un quadrato 4x4 sistema nelle caselle i 4 re, le 4 regine, i 4 fanti e i 4 assi di un mazzo di carte, facendo in modo che in nessuna riga e in nessuna colonna compaia due volte una stessa figura. Descrivi poi alcune condizioni che definiscono la configurazione che hai trovato.

Esprimi ciascuna delle seguenti proposizioni nella forma “se P allora Q”.

a. “i cittadini di età superiore ai 18 anni possono sostenere l’esame per la patente”

b. “i piemontesi e i toscani sono italiani”

c. “il prodotto di un numero pari e di un numero dispari è un numero pari”

d. “il quadrato di un multiplo di 3 è un multiplo di 9”

e. “i quadrati sono parallelogrammi”

f. “le diagonali di un rombo sono perpendicolari”

Riscrivi le seguenti proposizioni usando nell'ordine i termini “condizione necessaria”, “condizione sufficiente”, “condizione necessaria e sufficiente”:

a. “se un numero è multiplo di 6, allora è pari”

b. “se un triangolo è equilatero, allora è isoscele”

c. “avrò il motorino se e solo se sarò promosso”

[Per esempio, nel primo caso si può scrivere: "essere pari è condizione necessaria perché un numero sia ..."]

Ora che hai scoperto che la nostra mente ha delle capacità notevoli, prova a metterle a frutto rispondendo a questi

quesiti:

Riscrivi, usando l’espressione “essere sufficiente”

a. “essere nati a Milano implica essere italiani”

b. “se P allora Q”

c. “A è condizione necessaria per B”

Costruisci la contronominale e l’inversa delle seguenti implicazioni. Le implicazioni seguenti sono tutte vere; che cosa si può dire delle implicazioni contronominali e inverse?

a. “se un numero è negativo allora è minore di 2”

b. “se due segmenti giacciono su due distinte rette parallele, allora la loro intersezione è vuota”

c. “se un numero è divisibile per 5 allora termina con lo 0 o con il 5”

d. se non ho i soldi allora non posso andare al cinema

Nei due casi seguenti una proposizione vera è seguita da altre quattro proposizioni quantificate in modo diverso. Quali di esse risultano equivalenti a quella iniziale?

a. Non ogni x ∈ N è un quadrato perfetto

Nessun x ∈ N è un quadrato perfetto

Esiste un x ∈ N che è un quadrato perfetto

Esiste un x ∈ N che non è un quadrato perfetto

Non esiste un x ∈ N che è un quadrato perfetto

b. Esiste qualche italiano che non è romano

Non esiste un italiano che non è romano

Non è vero che ogni italiano è romano

Non è vero che ogni romano è italiano

In ciascun caso, scrivi una proposizione equivalente a quella data usando il quantificatore “per ogni” al posto del quantificatore “esiste” e viceversa.

a. Tutti sono andati al cinema

(Suggerimento: Non esiste uno che non sia …)

b. Esiste qualche maggiorenne che non ha la patente

c. Non tutti sono romanisti

d. Non esiste qualcuno che non legga i giornali

e. Ogni rettangolo ha due diagonali

f. Esistono numeri primi

(Suggerimento: Non tutti i numeri sono ...)

Di un gruppo di giovani italiani si sa che: 21 parlano inglese; 24 parlano tedesco; 5 conoscono sia l’inglese che il tedesco.

Rappresenta mediante i diagrammi di Eulero-Venn e stabilisci quanti, oltre all’italiano, parlano:

a. almeno una lingua (ossia inglese o tedesco)

b. soltanto una lingua

c. l’inglese e non il tedesco

d. il tedesco e non l’inglese

Il sillogismo (dal greco συλλογισμός, syllogismòs, formato da σύν, syn, "insieme", e λογισμός, logismòs, "calcolo": quindi, "ragionamento concatenato") è un tipo di ragionamento dimostrativo che fu teorizzato per la prima volta da Aristotele (Stagira,384 a.C.- Calcide, 322 a.C.), il quale partendo da due premesse(una "maggiore" ed una “minore”) classificate in base al rapporto contenente - contenuto, giunge ad una conclusione collegando i suddetti termini attraverso brevi enunciati. Per avere un sillogismo, cioè, occorre che le due premesse abbiano in comune un termine detto medio. Il medio dovrebbe essere nella prima premessa il soggetto,nella seconda fungere da predicato.

Per fare un esempio:(premessa maggiore) Tutti gli uomini sono mortali

(premessa minore) Tutti i greci sono uomini(conclusione) Dunque tutti i greci sono mortali

Una procedura logica “nata” oltre 300 anni prima di Cristo è chiamata sillogismo.

Aristotele illustrò anche un secondo tipo di ragionamento, chiamato induzione che troveremo, in seguito, affrontando altri argomenti.

Tuttavia nel corso dei secoli, specie fra la fine del XIX secolo e l’inizio del XX , ci sono stati numerosi dibattiti riguardanti qualche limite proprio nel rapporto fra logica e matematica.

Proviamo ora a riflettere su questa proposizione:“Epimenide, cretese, dice che tutti i cretesi sono mentitori”.

- Se Epimenide è cretese allora è un mentitore quindi dice il falso , perciò: non è vero che i cretesi sono mentitori e

quindi …. Epimenide dice il vero in quanto cretese; - Se Epimenide dice il vero allora i cretesi sono bugiardi ma …. Epimenide è cretese come tale, mentitore

Questa proposizione è chiamata paradosso o antinomia (dal greco αντι,preposizione che indica una contrapposizione, e νομος, legge)

ed indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate. In questa situazione non è ovviamente possibile applicare il principio di non contraddizione.

Famoso è il paradosso del barbiere di Russell

“ In un villaggio c'è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e solo) gli uomini che non si radono da sé. Chi rade il barbiere?”

Si possono fare due ipotesi:

il barbiere rade sé stesso, ma ciò non è possibile in quanto, secondo la definizione, il barbiere rade solo coloro che non si radono da sé;

il barbiere non rade sé stesso, ma anche ciò è contrario alla definizione, dato che questa vuole che il barbiere rada tutti e solo quelli che non si radono da sé, quindi in questa ipotesi il barbiere deve radere anche sé stesso.

In entrambi i casi si giunge ad una contraddizione.

Abbiamo notato che … il linguaggio comune è spesso ambiguo!

Quindi … attento a come parli!!!

Se diciamo: ” Al cinema non c’era nessun amico”

cosa vogliamo dire? … Che non abbiamo incontrato amici? Ma … abbiamo visto che due negazioni “affermano”! Quindi è giusto dire

” Al cinema non c’era alcun amico” 

3. Attento a cosa dici

Attento ora a questi enunciati … dove è l’errore? … perché??? 

“Il triangolo è isoscele se ha due lati uguali ed il terzo disuguale”

    “Nel triangolo un lato è sempre maggiore della differenza degli

altri due e minore della loro somma”   “ Una bisettrice di un angolo” 

“Un punto medio di un segmento”

In conclusione, riflettiamo che il desiderio di ricercare, di conoscere, è l’espressione concreta di uno degli istinti più profondi dell’ essere umano, che ci caratterizza in quanto

tali: la “curiosità”.

E’ la “curiosità” che ha guidato tutto il processo di evoluzione, che ha portato l’uomo a uscire dalle caverne …

… e a conquistare la Luna

… e la forma più pura di curiosità è il bisogno istintivo di comprendere e di farsi comprendere, senza fraintendimenti.

Per poter “comprendere”, per poter farsi capire, per essere capiti in quello che intendiamo trasmettere, dobbiamo , prima di tutto, imparare a “vedere”, “leggere”, “comunicare” correttamente ma anche … imparare ad ascoltare e capire … i nostri vari interlocutori.

“È proprio delle menti eccelse far capire molte cose con poche parole: le menti

anguste hanno il dono di parlar molto e non dire nulla.”

François de La Rochefoucauld

“Se sai leggere devi capire; se sai scrivere devi sapere qualcosa; se sei in grado di credere devi comprendere; quel che desideri dovrai saperlo fare; se esigi non otterrai niente, se hai esperienza devi renderti utile” - Goethe

“ Tutti vogliono esser capiti, ma pochi sanno farsi capire” Roberto Gervaso

FINE