Upload
eilis
View
391
Download
18
Embed Size (px)
DESCRIPTION
INVERS (PEMBALIKAN) MATRIKS. 1. SILABI. Pembalikan matriks Cara pembalikan matriks berordo dua Matriks transpos Kofaktor Adjoin matriks Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua. 2. PEMBALIKAN Matriks (Matriks Inverse). Berorde 2x2. Determinan |A|. 3. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
INVERS (PEMBALIKAN)
MATRIKS
1
SILABI
• Pembalikan matriks
• Cara pembalikan matriks berordo dua
• Matriks transpos
• Kofaktor
• Adjoin matriks
• Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua
2
PEMBALIKAN Matriks (Matriks Inverse)
12212211
1122
12212211
2121
12212211
1212
12212211
2211
2221
1211
2221
1211
2221
12111
2221
1211
10
01
I AB difinismenurut maka
dengan an dilambangk balikannyadan
A :Andaikan
aaaa
ab
aaaa
ab
aaaa
ab
aaaa
ab
bb
bb
aa
aa
bb
bbBA
aa
aa
-
Berorde 2x2
Determinan
|A|
3
Cara Pembalikan Matriks Berordo DuaMatriks A apabila dibalik disimbolkan dengan A-1
A . A-1 = I Hanya terdapat pada matriks bujur sangkar,
determinan ≠ 0 A = a11 a12 A-1 = b11 b 12
a21 a22 b21 b22
b11 = 1 0
b21 0 1
a11b11 + a12b21 = 1
a21 b11 + a22 b21 = 0
a11 b12 + a12 b22 = 0
a21b12 + a22b22 =1
a11 a12
a21 a22b22
b12
b11 = a22 b11 = a22
a11a22 – a21a12 A b12 = -a12 b12 = -a12
a11a22 – a21a12 A b21 = -a21 b12 = -a21
a11a22 – a21a12 A b22 = a11 b22 = a11
a11a22 – a21a12 A Tentukan balikan matriks A = 4 A = 24 – 20 = 5 b11 = 3 = 0,75 4 b21 = -5 = -1,25 A-1 = 0,75 -1 4 -1,25 2 b12 = -4 = -1 4 b22 = 8 = 2 4
483
Matriks transpos
Jika matriks B diperoleh dari matriks Amxn dengan menukar baris – baris menjadi kolom – kolom atau sebaliknya, maka B sisebut transpos matriks A yang dinyatakan dengan A+ atau A’
A = a11 a12 ……. …….a1n A’ = a11 a21…………………………………..am1
a21 a22 …………. a2n a12 a22…………………………………..am2
am1 am2………………… amn a1n a2n….. …………………amn
Contoh :
A = 2 3 1 A’ = 2 5
5 0 4 3 0
1 4
• Tanda kofaktor minor
ijji
ij MC 17
Kofaktor
Jika A matriks bujur sangkar dengan ordo n dan aij elemen pada bujur ke i kolom ke j , maka Kij adalah kofaktor dari aij.
Jika dibentuk maktriks baru K dengan elemen-elemen kofaktor dari senua elemen A maka :
K : (Kij) = K11 K12……………K1n
K21 K22……….….K2n
Kn1 Kn2…………..Knn
Kofaktor dapat dicari dengan cara
Nilai dari elemen Kij diperoleh dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j sehingga tersisa nilai yang tidak tercoret
Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3
4 1 K12 = -4 K22 = 2
K= 1 -4
-3 2
Adjoin matriks
Adjoin dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj (A) adalah matriks dengan elemen-elemen sama dengan tranpos matriks kofaktor dari aij :
Jadi Adj (A) = K’ = K11 K21 ………..….. Kn1
K12 K22………………Kn2
K1n K2n……………….Knn
Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3
4 1 K12 = -4 K22 = 2
K 1 -4 Adj A = K’ = 1 -3
-3 2 -4 2
A = 1 2 3
3 0 2
2 1 1
K11 = 0 2 = -2 K21 = - 2 3 = 1 K31 = 2 3 = 4
1 1 1 1 0 2
K12 =- 3 2 = 1 K22 = + 1 3 = -5 K32 = - 1 3 = 7
2 1 2 1 3 2
K13 = 3 0 = 3 K23 = - 1 2 = 3 K33 = 1 2 = -6
2 1 2 1 3 0
K = -2 1 3 Adj A = K’ = -2 1 4
1 5 3 1 5 7
4 7 -6 3 3 -6
Menentukan Kebalikan (Invers) Matriks Dengan Matriks Adjoin, jika A matriks bujur sangkar ordo n yang non singular dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka invers matriks A adalah A-1 dengan
A-1 = Adj (A)
A
Contoh :
1. A = 8 4 K11 = 3 K21 = -5
5 3 K12 = -4 K22 = 8
Adj A = 3 -4 A = 24 – 20 = 4 Jadi A-1 = 3 -4 = 3/4 -1
-5 8 -5 8 -5/4 2
4
Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua
2. A = 0 1 2
1 2 3
2 1 1
K11 = 2 3 = -1 K21 = - 1 2 = 1 K31 = 1 2 = -1
1 1 1 1 2 3
K12 = - 1 3 = +5 K22 = 0 2 = -4 K32 = - 0 2 = 2
2 1 2 1 1 3
K13 = 1 2 = -3 K23 = - 0 1 = 2 K33 = 0 1 = -1
2 1 2 1 1 2
Adj A = -1 1 -1 A = 0 1 2 0 1 A = 0+6+2 – 8-0-1
5 -4 2 1 2 3 1 2 = -1
-3 2 -1 2 1 1 2 1
A-1 = Adj (A) -1 1 -1
A = 5 -4 2
-3 2 -1
-1
= 1 -1 1
-5 4 -2
3 -2 1
+ + + - - -
Minor dan Kofaktor• Kofaktor Laplace Expansion ;
jika |A| = 0, kemudian |A| adalah tunggal,maka tidak dapat diidentifikasi
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aa
aaM
aa
aaM
aa
aaM
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
ijji
ij MC 1
n
jjj CaA
111
12
AC'
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
22212
12111
13
Matriks AC'
n
jnjnj
n
jjnj
n
jjnj
n
jnjj
n
jjj
n
jjj
n
jnjj
n
jjj
n
jjj
nxn
CaCaCa
CaCaCa
CaCaCa
CA
112
11
12
122
112
11
121
111
14
A
A
A
CA
00
00
00
nIAA
100
010
001
15
Inverse Matriks A
nIACA
IA
CA
IA
CA
IAA
CAA 11
1A
A
C
16
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
• Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk notasi Matriks.
• Bentuk umumnya :
A m x n X n x 1 = c m x 1
• Jika m = n dan A mempunyai inverse Matriks bujursangkar yang non-singular, maka :
A n x n X n x 1 = c n x 1
17
• Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan membalik Matriks A :
X n x 1 = A-1 n x n c n x 1
• Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer
18
Aturan Cramer
n
iinin
n
iii
n
iii
CdA
x
CdA
x
CdA
x
1
*
12
*2
11
*1
1
1
1
19
n
iiCdA
1111
n
iii CdA
x1
1*1
1
n
iii
n
iijij
CaA
CaA
111
1
A
Ax
A
Ax
nn
*
1*1
20
A
A
aad
aad
aad
Ax
nnnn
n
n
1
2
2222
1121
*1
1
1212111*1
1nn CdCdCd
Ax
21
Latihan
Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linier berikut dengan menggunakan matrix balikan (inverse matriz) dan kaídah Cramer
31235
3746
732
321
321
321
xxx
xxx
xxx
22