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Dibujo I, Geometría
Tema 6
Inversión
ETSINhttp://debin.etsin.upm.es/~geometria/Copyright © 2008. All rights reserved.
Objetivos
Aprender esta nueva transformación
Aplicar sus propiedades para resolver problemas de tangencias entre circunferencias, rectas y puntos
Con este objeto de aprendizaje conseguirás:
Contenidos 1
Definición
Figuras dobles de la inversión
Rectas antiparalelas
Obtención de puntos inversos
Inversa de una recta
Inversa de una circunferencia
Resumen de la inversión
Problemas de tangencias CPR, CCP, CCR y CCC
C: Circunferencia, P: Punto, R: Recta
Contenidos 2
Ampliación
Inversión y potencia
Cadenas de Steiner
El Arbelos
Definición de inversión
Concepto de inversión
Su ecuación, definición de centro y razón de inversión
Con ayuda de la web, aprende
La inversión fue inventada por Jacob Steiner en 1830. Sorprendióa muchos matemáticos utilizando sus propiedades en la resolución de problemas difíciles de resolver sin esta transformación
La inversión fue inventada por Jacob Steiner en 1830. Sorprendióa muchos matemáticos utilizando sus propiedades en la resolución de problemas difíciles de resolver sin esta transformación
Figuras dobles en la inversión
Tres tipos de figuras dobles
Circunferencia de puntos dobles (c.p.d.)
Con ayuda de la web, aprende
No existen muchas transformaciones que tengan figuras que se transformen en sí mismas
No existen muchas transformaciones que tengan figuras que se transformen en sí mismas
Rectas antiparalelas
Las rectas antiparalelas del Tema 1
Propiedades de los ángulos cruzados
Con ayuda de la web, repasa
Las rectas antiparalelas pueden utilizarse para calcular puntos inversos
Las rectas antiparalelas pueden utilizarse para calcular puntos inversos
Obtención de puntos inversos
Distintas maneras de obtener el inverso de un punto a partir de una primera pareja de puntos inversos
Calcular inversos con la c.p.d.
Calcular inversos para distintas posiciones del punto
Con ayuda de la web, aprende
La construcción para obtener el inverso es la misma que se usa para obtener la polar de un punto
La construcción para obtener el inverso es la misma que se usa para obtener la polar de un punto
Inversa de una recta
Dibujar la inversa de una recta para distintas posiciones de la misma
Con ayuda de la web, aprende
Si la recta corta a la c.p.d., su inversa es inmediataSi la recta corta a la c.p.d., su inversa es inmediata
Inversa de una circunferencia
Dibujar la inversa de una circunferencia para distintas posiciones de la misma
Con ayuda de la web, aprende
Si la circunferencia corta a la c.p.d., su inversa es más rápida de calcular
Si la circunferencia corta a la c.p.d., su inversa es más rápida de calcular
Resumen de la inversión
Inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión
Inverso de una recta que sí pasa por el centro de inversión
Inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión
Inverso de una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión
Con ayuda de la web, recuerda
Estos cuatro conceptos permiten resolver problemas de tangencias complejosEstos cuatro conceptos permiten resolver problemas de tangencias complejos
Problemas de tangencias: CPR
Utilizar la inversión para resolver este problema
Recuerda la mecánica de resolver los problemas de tangencias
Con ayuda de la web, aprende
La inversión mantiene los ángulos entre las figuras originales y sus inversas
La inversión mantiene los ángulos entre las figuras originales y sus inversas
Cuando no sea posible dibujar alguna de las rectas tangentes, existirán menos soluciones
Cuando no sea posible dibujar alguna de las rectas tangentes, existirán menos soluciones
Problemas de tangencias: CCP
Utilizar la inversión para resolver este problema
Observa que los pasos son iguales que en el caso anterior CPR
Con ayuda de la web, aprende
Observa cuantas soluciones hay en función de la posición de los elementos
Observa cuantas soluciones hay en función de la posición de los elementos
Problemas de tangencias: CCR
Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente
Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente
Con ayuda de la web, aprende
Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones
Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones
Si no hay un punto que tomar como centro de inversión, se tiene que transformar el problema antes
Si no hay un punto que tomar como centro de inversión, se tiene que transformar el problema antes
Problemas de tangencias: CCC
Utilizar la inversión para resolver este problema, que se ha transformado previamente
Observa como se deshacen las transformaciones ordenadamente
Con ayuda de la web, aprende
Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones
Observa la posición de las soluciones para cada una de las cuatro transformaciones
Con dos circunferencias “pequeñas” iguales, en vez de inversión se utilizaría las propiedades del eje radical
Con dos circunferencias “pequeñas” iguales, en vez de inversión se utilizaría las propiedades del eje radical
Obtención de puntos
inversos con la c.p.d.
Obtención de puntos
inversos con la c.p.d.
Problemas de tangencias:CPR, CCP, CCR y CCC
Problemas de tangencias:CPR, CCP, CCR y CCC
Definición, figuras
dobles, c.p.d.
Definición, figuras
dobles, c.p.d.
Inversos de recta y
circunferencia
Inversos de recta y
circunferencia
Resumen
Rectas antiparalelas
Rectas antiparalelas
La inversión mantiene los
ángulos
La inversión mantiene los
ángulos
Inversión y potencia
Invertir dos circunferencias en símismas
Invertir tres circunferencias en símismas
Invertir dos circunferencias en otras dos concéntricas
Con ayuda de la web, aprende:
De esta forma es posible resolver algunos problemas de forma más sencilla
De esta forma es posible resolver algunos problemas de forma más sencilla
Cadenas de Steiner
Como se dibuja una cadena de Steiner
Relación entre los radios de las circunferencias concéntricas
Con ayuda de la web, aprende
Las cadenas de Steinerpueden utilizarse para alojar cables o tuberías en conductor cilíndricos
Las cadenas de Steinerpueden utilizarse para alojar cables o tuberías en conductor cilíndricos
El Arbelos
Propiedades de esta figura
Cadena de Papus
Con ayuda de la web, aprende
Estas propiedades fueron descubiertas por los matemáticos griegos sin ayuda de la inversión
Estas propiedades fueron descubiertas por los matemáticos griegos sin ayuda de la inversión
Observa lo fácil que es resolver una cadena de Papus mediante inversión
Observa lo fácil que es resolver una cadena de Papus mediante inversión
Inversión y potencia
Inversión y potencia
Resumen ampliación
Cadenas de Steiner
Cadenas de SteinerEl arbelosEl arbelos
Auto evaluación y problemas
¿Obligatorio?
¿Nota?
Preguntas
Puedes realizar en la web unas preguntas de auto evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos.
No
No
5
Problemas 2
Aprobado 50%
Siguiente tema …
El siguiente tema retoma la geometría Euclidea estudiando las cónicas
Aplicaremos todo lo visto hasta ahora en ese último tema