Investigación: Carrera de baldesmath.kendallhunt.com/documents/daa2/CLS/DAA2CLS_011_08.pdf · El Ejemplo B de la Lección 8.1 ... lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya

Uso de la fórmula de la distancia

L E C C I Ó N

8.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 8 113©2010 Key Curriculum Press

(continúa)

En esta lección

● usarás el Teorema de Pitágoras como ayuda para minimizar distancias

● aprenderás cómo la fórmula de la distancia y el Teorema de Pitágoras te ayudan a resolver problemas reales

● usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugar geométrico de puntos

En esta lección, descubrirás y aplicarás una fórmula para la distancia.

Investigación: Carrera de baldesImagina que estás en una carrera en la cual debes llevar un

C 20 � xx

A

B

7 m5 m

Salida

Meta

20 m

balde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina, llenar el balde con agua y después llevarlo hasta un punto B. El punto A está a 5 metros de un extremo de la piscina, el punto B está a 7 metros del otro extremo y la piscina tiene 20 metros de largo.

Sea x la distancia desde el extremo de la piscina hasta un punto C situado en el borde de la piscina. Completa los Pasos 1–4 en tu libro para hallar el valor de x que da la trayectoria más corta posible de A a C y de C a B. Éstas son las respuestas a los Pasos 2 y 3.

Paso 2 A continuación están los datos de varios valores de x. AC y CB se calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedes hallarlos tomando medidas. Tus respuestas pueden ser levemente diferentes a éstas, dependiendo de cómo hayas redondeado o de la precisión de tus mediciones.

x (m) AC (m) CB (m) AC � CB (m)

0 5 21.19 26.19

2 5.39 19.31 24.70

4 6.40 17.46 23.87

6 7.81 15.65 23.46

8 9.43 13.89 23.33

10 11.18 12.21 23.39

x (m) AC (m) CB (m) AC � CB (m)

12 13 10.63 23.63

14 14.87 9.22 24.09

16 16.76 8.06 24.83

18 18.68 7.28 25.96

20 20.62 7 27.62

Paso 3

Método 1: La tabla anterior indica que un valor x de aproximadamente 8 minimiza la longitud de la trayectoria, lo cual significa que C debe estar a unos 8 m del extremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta más precisa intentando otros valores de x cercanos a 8.)

Método 2: Usando el Teorema de Pitágoras, AC es ��52 � x2 y BC � _____________

7 2 � (20 � x) 2 , por lo tanto la longitud, y, de la trayectoria puede representarse por:

y � ��52 � x2 � � _____________

7 2 � (20 � x) 2

Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes hallar que el valor y mínimo

Lección 8.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)

114 CHAPTER 8 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2010 Key Curriculum Press

de esta función, que es aproximadamente 23.32, se corresponde con un valor x de aproximadamente 8.33. Por lo tanto, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m del extremo de la piscina.

La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factor importante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidad de 1.2 m/s y que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidad de 0.4 m/s. Completa los Pasos 5 y 6 en tu libro para hallar la ubicación de C que minimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C y de allí al punto B. Después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 5 Usa el hecho de que tiempo � �vdeilsotacindcaiad .

x (m) Tiempo para AC (s) Tiempo para CB (s) Tiempo total (s)

0 4.17 52.97 57.14

2 4.49 48.28 52.77

4 5.34 43.66 49.00

6 6.51 39.13 45.64

8 7.86 34.73 42.59

10 9.32 30.52 39.83

12 10.83 26.58 37.41

14 12.39 23.05 35.44

16 13.97 20.16 34.12

18 15.57 18.20 33.77

20 17.18 17.50 34.68

Paso 6 Usando la tabla la mejor ubicación para C es a 18 m del extremo de la piscina. Ahora escribe las expresiones para cada tiempo para obtener una respuesta

más precisa. El tiempo requerido para ir de A a C es ��52 � x2

______ 1.2 y el tiempo requerido

para ir de C a B es ��72 � (20 � x)2��0.4

. Por lo tanto, el tiempo total, y, puede representarse

con la función:

y � ��52 � x2 ________ 1.2 � ��72 � (20 � x)2��

0.4

El valor de x que minimiza esta función es aproximadamente 17.63. El valor y para este valor x es aproximadamente 33.75. Por lo tanto, para minimizar el tiempo, el punto C debe estar a 17.63 m del extremo de la piscina. El tiempo mínimo será de unos 33.75 s. La distancia recorrida es aproximadamente 25.72 m. Esta distancia es mayor que la distancia que hallaste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB, es más corto.

Recuerda que la distancia entre dos puntos, �x1, y1� y �x2, y2�, se da por la

fórmula d � � ____________________

�x2 � x1� 2 � �y2 � y1� 2 . Repasa la fórmula de la distancia leyendo Refreshing Your Skills (Refrescando tus habilidades) para el Capítulo 8. La fórmula de la distancia y el Teorema de Pitágoras son útiles para resolver problemas reales. Lee el Ejemplo B de Refreshing Your Skills para el Capítulo 8 y lee el Ejemplo A de la Lección 8.1 en tu libro. Un lugar geométrico (locus) de puntos es un conjunto de puntos que cumplen una condición dada. El Ejemplo B de la Lección 8.1 muestra cómo hallar la ecuación de un lugar geométrico de puntos equidistantes entre dos puntos dados. Analiza el Ejemplo B atentamente.

Círculos y elipses


(continúa)

L E C C I Ó N

8.2CONDENSADA

En esta lección

● revisarás ecuaciones estándares de un círculo y una elipse

● aprenderás definiciones de lugares geométricos de un círculo y una elipse

● localizarás focos de una elipse

● aprenderás cómo se relaciona la excentricidad de una elipse con su forma

Los círculos, elipses, parábolas e hipérbolas se llaman secciones cónicas porque se pueden crear rebanando un cono doble.

Círculo Elipse Parábola Hipérbola

Cada sección cónica se puede definir también como un lugar geométrico de puntos. Por ejemplo, un círculo es el conjunto de todos los puntos situados a una distancia fija de un punto dado. Lee el texto en tu libro desde la definición de un círculo hasta el Ejemplo B. Este material repasa lo que has aprendido sobre círculos en los capítulos anteriores. Para hallar la ecuación en el Ejemplo B, primero debes hallar el punto dónde se intersecan el círculo y la recta tangente. Asegúrate de que entiendes cada paso de la solución.

Recuerda del Capítulo 4, que puedes trasladar y dilatar el círculo unitario y

x

(h, k)

ba

para crear una elipse. En general, si una elipse tiene el centro (h, k), el factor de escala horizontal a y el factor de escala vertical b, entonces su ecuación en forma estándar es:

��x �a

h��

2

� ��y �b

k��

2

� 1

Como el círculo, una elipse puede definirse como un lugar geométrico.

PP

P

d1

d1 d2d2

d1

F1 F2

d2

Sin embargo, mientras que la definición de lugar geométrico de un círculo implica un solo punto fijo (a saber, el centro), la definición de lugar geométrico de una elipse implica dos puntos fijos. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya suma de sus distancias desde dos puntos fijos es siempre constante. En el diagrama, los dos puntos fijos o focos se rotulan F1 y F2. Para todos los puntos de la elipse, las distancias d1 y d2 suman el mismo valor.

La página 455 de tu libro muestra cómo puedes construir una elipse usando una cuerda, un lápiz y dos alfileres. Si tienes estos materiales, puedes intentar lo siguiente.

Lección 8.2 • Círculos y elipses (continuación)

(continúa)



La longitud de la mitad del eje horizontal de una elipse es el factor de escala horizontal. De modo similar, la longitud de la mitad del eje vertical es el factor de escala vertical.

y

xc

a

b

c

a

b

y

x

El segmento que conforma la dimensión más grande de una elipse, y que contiene los focos, es el eje mayor. El segmento que va a lo largo de la dimensión más pequeña es el eje menor.

y

x

2a

2b

y

x

Eje mayorEje mayor

Eje menor

Cuando el eje mayor esvertical, d1 � d2 � 2b.

Cuando el eje mayor eshorizontal, d1 � d2 � 2a.

Eje menor

d1

d1d2

d2

Si conectas un extremo del eje menor con los focos, formas dos triángulos congruentes. Debido a la definición de una elipse (piensa en la técnica de la cuerda para dibujar una elipse), la distancia desde un foco a un extremo del eje menor es la misma que la mitad de la longitud del eje mayor. De estos hechos puedes concluir que la distancia entre el centro y un foco, c, se relaciona con a y b por medio del Teorema de Pitágoras. Para la elipse de la izquierda, b2 � c2 � a2. Para la elipse de la derecha, que tiene un eje mayor vertical, a2 � c2 � b2.

y

xF1 F2

a ab

c c

x

F1

F2

a

b

bc

c

y



(continúa)

Las coordenadas de los focos están a c unidades de distancia del centro de la elipse, (h, k), sobre el eje mayor y se las puede hallar sumando o restando c a la coordenada del centro apropiada.

(h, k)(h, k)

(h � c, k)

(h, k � c)

(h � c, k) c

c

(h, k � c)

El Ejemplo C en tu libro muestra cómo usar las relaciones entre a, b, y c para localizar los focos de una elipse y cómo trazar una elipse a mano. Analiza el Ejemplo C atentamente.

Éste es otro ejemplo. Intenta resolverlo por tu cuenta antes de leer la solución.

EJEMPLO Localiza los focos de la elipse.

x

y

7

–7

–7 7

� Solución La elipse tiene un eje mayor horizontal, por lo tanto b2 � c2 � a2. En este caso, b � 4 y a � 6, por lo tanto c2 � 62 � 42 � 20, y por consiguiente c � ��20� � �2�5�. Entonces los focos son �2�5�, 0� y ��2�5�, 0�, o aproximadamente (4.47, 0) y (�4.47, 0).

Investigación: Una rebanada de luzLee la investigación en tu libro incluido el Paso 2. Si tienes una linterna y alguien que te ayude, completa los pasos.




La excentricidad es una medida de la elongación de una elipse. Para una elipse con un eje mayor horizontal, la excentricidad es �a

c�. Para una elipse con un eje

mayor vertical, es �bc

�. La excentricidad de una elipse está siempre entre 0 y 1. Cuanto más cerca esté la excentricidad a 0, más circular será la elipse. Cuanto más cerca esté a 1, más elongada será la elipse.

x

y

5

Excentricidad � 0.18

–5

–5 5

x

y


–5 5

6

–6

x

y


6

–6

6–6

Si puedes, completa los Pasos 3 y 4 en tu libro. Debes hallar que cuando la excentricidad se vuelve demasiado grande, la elipse se convierte en una parábola y después en una sola rama de una hipérbola.

Parábolas


(continúa)

L E C C I Ó N

8.3CONDENSADA

En esta lección

● aprenderás la definición de lugar geométrico de una parábola

● hallarás el foco y la directriz de una parábola basándote en su ecuación

● usarás la definición de lugar geométrico de una parábola para construir una parábola usando papel de calcar

En capítulos anteriores, aprendiste que la parábola es una transformación

d1

d2

�

F

P

d1

d2

P

de la gráfica cuya ecuación estándar es y � x2. Una parábola también se puede definir como un lugar geométrico de puntos.

Una parábola es un lugar geométrico de puntos P en un plano cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, F, es la misma que la distancia

desde una recta fija, llamada directriz. Es decir, d1 � d2. En el diagrama,

F es el foco y l es la directriz.

Si la directriz de una parábola es una recta horizontal, entonces la parábola tiene orientación vertical. Si la directriz es una recta vertical, entonces la parábola tiene orientación horizontal.

Si una parábola se orienta horizontalmente, con el vértice en (0, 0), entonces

x

y

d1

d2

F(f, 0)

Dir

ectr

iz

su foco se ubica dentro de la curva en el punto (f, 0), como se muestra a la derecha. Debido a que la directriz está a la misma distancia del vértice que el foco, su ecuación es x � �f. El texto en la página 464 de tu libro muestra cómo puedes usar esta información, junto con la definición de lugar geométrico, para derivar la ecuación y2 � 4fx para la parábola. Lee el desarrollo atentamente. Por lo tanto, cuando la ecuación de una parábola está en la forma y2 � 4fx, sabes que la distancia desde el vértice hasta el foco es f, un cuarto del coeficiente de x.

La siguiente parábola tiene orientación vertical con vértice (0, 0), foco (0, f )

y directriz y � �f. Según la definición de lugar geométrico, sabes que d1 � d2.

Es decir, ��(x � 0)2 � (y � f )2 � ��(x � x)2 � (y � f )2. Puedes usar el álgebra

para volver a escribir esta ecuación como x2 � 4fy, ó y � �41f� x2. Por lo tanto

cuando la ecuación de una parábola esté en cualquiera de estas dos formas,

puedes hallar la distancia, f, desde el vértice hasta el foco.

(x, y)

(0, 0)y � �f

(x, �f )

(0, f )d1

d2

y

x

Lee el ejemplo en tu libro atentamente y después lee el ejemplo en la página siguiente. Intenta responder cada parte por tu cuenta, antes de leer la solución.

Lección 8.3 • Parábolas (continuación)



EJEMPLO Considera la ecuación madre, y � x2, de una parábola con orientación vertical.

a. Escribe la ecuación de la imagen de la gráfica después de una dilatación horizontal por un factor de 2, una dilatación vertical por un factor de 0.5 y después una traslación de 3 unidades a la izquierda.

b. ¿Dónde está el foco de y � x2? ¿Dónde está la directriz?

c. ¿Dónde están el foco y la directriz de la parábola transformada?

� Solución Recuerda las transformaciones de funciones que estudiaste en el Capítulo 4.

a. Empieza por la ecuación madre y lleva a cabo las transformaciones.

y � x2 Ecuación original.

�0y.5� � ��2

x��2

Dilata horizontalmente por un factor de 2 y verticalmente por un factor de 0.5.

�0y.5� � ��

x +2

3��2

Traslada 3 unidades a la izquierda.

b. Usa la forma general, x2 � 4fy. El coeficiente de y es

x

y

5

–5

–5 5

(–3, 2) 8y � (x � 3)2

y � �2

4f en la forma general y 1 en la ecuación x2 � y. Por lo tanto, 4f � 1, ó f � �

14�. De este modo, el foco es

�0, �14�� y la directriz es y � ��

14�.

c. Primero, vuelve a escribir la ecuación �0y.5� � ��x �

2 3��2

como 8y � (x � 3)2. El coeficiente de y es 8, por lo tanto 4f � 8, ó f � 2. Tanto el foco como la directriz estarán a 2 unidades del vértice, que es el punto (�3, 0), en la dirección vertical. Por consiguiente, el foco es (�3, 2) y la directriz es y � �2.

El recuadro en la página 466 de tu libro resume la forma estándar de la ecuación para las parábolas tanto con orientación vertical como horizontal. Lee este material atentamente.

Investigación: Pliega una parábolaSigue las instrucciones en tu libro para construir una parábola usando

x

y

–2 4 6 8

–4

–2

2

4papel de calcar y halla su ecuación. Éste es un ejemplo:

Supón que se pusiera esta parábola encima de una hoja de papel cuadriculado y se la trazara con el foco en (3, 0) y su directriz x � 1. La forma general de la parábola es y2 � 4fx. La distancia desde el foco hasta el vértice es 1, por lo tanto f � 1 y la ecuación general de la parábola es y2 � 4x. Sin embargo, la parábola se trasladó 2 unidades a la derecha, por lo tanto la ecuación final es y2 � 4(x � 2).

Hipérbolas


(continúa)

L E C C I Ó N

8.4CONDENSADA

En esta lección

● aprenderás la definición de lugar geométrico de una hipérbola

● usarás las asíntotas de una hipérbola como ayuda para dibujar la curva

● localizarás los focos de una hipérbola usando los factores de escala horizontal y vertical

Una hipérbola es un lugar geométrico de los puntos P de un plano cuya diferencia de las distancias entre dos puntos fijos es siempre una constante. Es decir, ⏐d2 � d1⏐ es siempre una constante. En el siguiente diagrama, los dos puntos fijos, F1 y F2, se llaman focos. Los puntos en los que las dos ramas de la hipérbola están más cerca entre sí se llaman vértices. El centro de una hipérbola es el punto medio entre los vértices.

d1

d2

P

Centro

Vértice

Vértice

d1

d1

d2

d2

F2

F1

P

P

Nota que la diferencia constante ⏐d2 � d1⏐ es igual a la distancia entre los vértices.

La distancia desde

P a F1 es d1.

La distancia desde P a F2

es d2.

La distancia entrelos vértices es iguala la diferencia

constante �d2 � d1�.

d1

F1

F2

d2 �d2 � d1�

P

Lección 8.4 • Hipérbolas (continuación)

(continúa)



El Ejemplo A en tu libro deriva la ecuación x2 � y2 � 1 de la hipérbola unitaria como se muestra a continuación. Lee este ejemplo atentamente, resolviéndolo con papel y lápiz.

x

y

–4 –2

(– 2, 0) ( 2, 0)

(x, y)

2 4

–4

–2

2

4

Cada rama de una hipérbola se aproxima a dos rectas llamadas asíntotas

x

y

–4 –2 2 4

–4

–2

2

4(asymptotes). Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica se aproxima cuando aumentan los valores x ó y en dirección positiva o negativa. Las asíntotas de la hipérbola unitaria son y � x e y � �x. Observa que estas asíntotas pasan por los vértices de un cuadrado con esquinas en (1, 1), (1, �1), (�1, �1) y (�1, 1). Si aumentas la gráfica de una hipérbola, finalmente se parecerá a la letra X. Las rectas que forman la X son las asíntotas.

La gráfica de y2 � x2 � 1 también es una hipérbola. Esta hipérbola tiene la misma forma que la gráfica de x2 � y2 � 1, pero tiene orientación vertical.

La forma estándar de la ecuación de una hipérbola centrada en el origen es

��ax

��2 � ��b

y��

2 � 1 ó ��b

y��

2 � ��a

x��

2 � 1

donde a es el factor de escala horizontal y b es el factor de escala vertical. El Ejemplo B en tu libro muestra cómo representar gráficamente una hipérbola trazando primero sus asíntotas. Lee este ejemplo atentamente.

Los focos de una hipérbola están a la misma distancia del centro que los vértices del rectángulo de asíntotas. En el siguiente diagrama, esta distancia es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes a y b. Puedes usar la fórmula pitagórica, a2 � b2 � c2, para localizar los focos. El ejemplo está en la página siguiente.

x

y

a

b c

(0, 5)

(0, �5)

–5 5



(continúa)

EJEMPLO Traza la gráfica de ��2x

��2 � y2 � 1 y da las coordenadas de los focos.

� Solución De la ecuación, puedes ver que se trata de una hipérbola

x

y

2

–2–4 4

y � x1_2

y � � x1_2

con orientación horizontal y un factor de escala horizontal de 2. Empieza por dibujar las asíntotas. Para hacerlo, traza un rectángulo centrado en el origen que mida 2 � 2, ó 4 unidades horizontalmente y 2 � 1, ó 2 unidades verticalmente, y después traza rectas que pasen por los

vértices opuestos. �O usa las ecuaciones de las asíntotas,

y � ��12�x.� Los vértices de la hipérbola están en (2, 0) y

(�2, 0). Usa esta información para trazar la hipérbola.

Para localizar los focos, usa la relación a2 � b2 � c2. En este caso, a � 2 y b � 1, entonces c � �

_______ 2 2 � 1 2 � �5�. Por lo tanto, los

focos están a �5� unidades del centro en ��5�, 0� y ��5�, 0�, o aproximadamente (2.24, 0) y (�2.24, 0).

Investigación: De pasoLee la investigación en tu libro y asegúrate de entender el procedimiento. Éstos son algunos datos de muestra. Completa la investigación usando estos datos y después compara tus respuestas con las siguientes.

Tiempo (s) Distancia (m)

0 5.000

0.2 4.720

0.4 4.381

0.6 4.016

0.8 3.688

1.0 3.558

1.2 3.302

1.4 3.078

1.6 2.709

1.8 2.410

2.0 2.249

2.2 1.969

2.4 1.770


2.6 1.605

2.8 1.525

3.0 1.291

3.2 1.022

3.4 0.901

3.6 0.882

3.8 0.926

4.0 0.966

4.2 1.056

4.4 1.240

4.6 1.387

4.8 1.568

5.0 1.673


5.2 1.978

5.4 2.251

5.6 2.478

5.8 2.748

6.0 3.099

6.2 3.284

6.4 3.533

6.6 3.820

6.8 4.116

7.0 4.379

7.2 4.695

7.4 4.955

Paso 1 Ésta es una gráfica de los datos:




Paso 2 Las asíntotas y � 1.3(x � 3.8) e y � �1.3(x � 3.8) funcionan bien.

Las asíntotas tienen pendientes de ��ab

�, de modo que �ab

� � 1.3. El centro de la hipérbola es (3.8, 0) y, según los datos de muestra, el vértice se ubica en aproximadamente (3.8, 0.9). Entonces el valor b, el factor de escala vertical, es 0.9, y el valor a es �

01

.

.93�, o aproximadamente 0.7. Por consiguiente, la ecuación

de la hipérbola es:

��0y.9��

2 � ��x �

0�. 73.8�

2 � 1

Paso 3 Las distancias desde el centro a los focos se determinan por 0.92 � 0.72 � c2, por lo tanto c � 1.14, y los focos son (3.8, 1.14) y (3.8, �1.14). El cálculo de d2 � d1 para dos puntos diferentes da aproximadamente 1.80 unidades. Las diferencias en las distancias son iguales. Ésta es la definición de lugar geométrico de una hipérbola.

y

x

d1d1

d2 d2

–2–4 2 6 8

–4

–2

2

4

10

El texto en el recuadro Equation of a Hyperbola (Ecuación de una hipérbola) en la página 474 de tu libro da la ecuación estándar de una hipérbola.

El Ejemplo C en tu libro te pide escribir una ecuación para una hipérbola dada. Intenta hacerlo por tu cuenta antes de leer la solución. (Sugerencia: Necesitarás escribir una ecuación que contenga b y después usar un punto de la curva para resolver para b.)

La cuadrática general


(continúa)

L E C C I Ó N

8.5CONDENSADA

En esta lección

● convertirás ecuaciones cuadráticas de forma general a forma estándar

● resolverás para y ecuaciones cuadráticas de modo que puedan representarse gráficamente en una calculadora

● hallarás todas las maneras posibles en que dos secciones cónicas puedan intersecarse

● hallarás los puntos de intersección de dos secciones cónicas

Los círculos, parábolas, elipses e hipérbolas se llaman curvas cuadráticas, o curvas de segundo grado, porque en sus ecuaciones la potencia más alta en cualquier variable es 2. Las ecuaciones de cualquiera de estas curvas pueden escribirse en forma cuadrática general

Ax2 � Bxy � Cy2 � Dx � Ey � F � 0

donde A, B y C no son todas cero.

En todas las curvas que has visto hasta ahora en este capítulo, B es igual a 0 (es decir, no hay término xy). Si B no es igual a 0, la curva está rotada (su orientación no es ni horizontal ni vertical).

Para representar gráficamente a mano una ecuación cuadrática dada en forma general, resulta útil escribirla primero en forma estándar. Y, para representar gráficamente la ecuación en tu calculadora, primero debes resolverla para y. En esta lección practicarás la conversión de ecuaciones cuadráticas generales a estas formas.

Lee el Ejemplo A en tu libro. La ecuación es relativamente fácil de resolver porque no tiene términos en x, y, ó xy. Si una ecuación tiene estos términos, entonces debes usar el proceso de completar el cuadrado para volver a escribirla en su forma estándar. Esto se demuestra en el Ejemplo B de tu libro. Lee ese ejemplo y después lee el siguiente.

EJEMPLO A Describe la forma dada por la ecuación 25x2 � 4y2 � 150x � 16y � 109 � 0.

� Solución Completa el cuadrado para convertir la ecuación a forma estándar.

25x2 � 4y2 � 150x � 16y � 109 � 0 Ecuación original.

25x2 � 150x � 4y2 � 16y � �109 Agrupa los términos x y los términos y, y pasa las constantes al otro lado.

25�x2 � 6x� � 4�y2 � 4y� � �109 Factoriza los coeficientes de x2 y de y 2.

25�x2 � 6x � 9� � 4�y2 � 4y � 4� � �109 � 25(9) � 4(4) Completa el cuadrado para x e y. Suma los

mismos valores al lado derecho de la ecuación.

25(x � 3)2 � 4(y � 2)2 � 100 Escribe la ecuación en forma de cuadrado perfecto.

�(x �

4 3)2

� �(y �

25 2)2

� 1 Divide ambos lados por 100.

��x �2

3�2

� ��y �5

2�2

� 1 Escribe la ecuación en forma estándar.

Lección 8.5 • La cuadrática general (continuación)

(continúa)



La ecuación es la de una hipérbola de orientación horizontal con el centro en (�3, 2), el factor de escala horizontal 2 y el factor de escala vertical 5.

En el ejemplo anterior, antes de que convirtieras la ecuación a forma estándar, pudiste haber usado pistas de forma general de la ecuación para predecir que la gráfica sería una hipérbola. Dado que la ecuación tiene un término x2, un término y2, y ningún término xy, la gráfica debe ser una elipse, una hipérbola o un círculo. El coeficiente de x2 es positivo y el de y2 es negativo, por lo tanto la gráfica es una hipérbola.

La ecuación en el Ejemplo C de tu libro tiene un término y2 pero ningún término x2 y ningún término xy. Esto indica que su gráfica es una parábola. La segunda parte del Ejemplo C te muestra cómo usar la fórmula cuadrática para resolver para y la ecuación. Resuelve el Ejemplo C usando papel y lápiz.

Investigación: Sistemas de ecuaciones cónicasExisten cuatro secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Los diagramas en la página 485 de tu libro muestran que una elipse y una hipérbola se pueden intersecar en 0, 1, 2, 3 ó 4 puntos. Existen otros nueve pares posibles de dos secciones cónicas:

Elipse y elipse

Elipse y parábola

Elipse y círculo

Parábola y parábola

Parábola e hipérbola

Parábola y círculo

Hipérbola e hipérbola

Hipérbola y círculo

Círculo y círculo

Para cada par, considera todos los números posibles de puntos de intersección y traza cada posibilidad. Cuando hayas terminado, compara tus respuestas con las siguientes.

Círculo y círculo: 0, 1, 2, número infinito

Elipse y elipse: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Parábola y parábola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Hipérbola e hipérbola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito

Todas las demás combinaciones: 0, 1, 2, 3 ó 4

Para hallar los puntos donde se intersecan dos secciones cónicas, primero representa gráficamente las curvas para ver el número de puntos de intersección y su ubicación aproximada. Después, usa el álgebra para hallar los puntos exactos de intersección. Esta técnica se ilustra en el Ejemplo D de tu libro. La página siguiente presenta otro ejemplo. Necesitarás completar algunos detalles de la solución por tu cuenta.

Lección 8.5 • La cuadrática general (continuación)


EJEMPLO B Halla los puntos de intersección de x2 � �y9

2

� 1 y (y � 2)2 � x2 � 1.

� Solución Resolver para y ambas ecuaciones da y � �3��1 � x2 e y � �2 � ��1 � x2. (Asegúrate de verificar esto.) Representar gráficamente las ecuaciones muestra que hay tres puntos de intersección. Uno parece ser (0, �3). Usando la gráfica, puedes hallar que los otros dos puntos son aproximadamente (0.98, �0.6) y (�0.98, �0.6).

Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica, resuelve para x2

la primera ecuación para obtener x2 � 1 � �y9

2

, después sustituye x2 por 1 � �y9

2

�

en la segunda ecuación.

(y � 2)2 � x2 � 1 Segunda ecuación original.

(y � 2)2 � �1 � �y9

2

�� 1 Sustituye x2 por 1 � �y9

2

�.

y2 � 4y � 4 � 1 � �y9

2

� � 1 Desarrolla el binomio al cuadrado.

�190� y2 � 4y � 2 � 0 Combina términos semejantes.

y � �4 � �

____________

42 � 4 ��190��(2)

��2��

190��

Usa la fórmula cuadrática.

y � �0.6 ó y � �3 Evalúa.

Para hallar los valores de x correspondientes, sustituye ambos valores en

x � � � ______

1 � ��y9

2

, que se obtiene de la primera ecuación.

x � � � __________

1 � �(�0

9.6)2

� �0.980

x � � � __________

1 � �(�

93)2

� 0

Los puntos de intersección son aproximadamente (�0.980, �0.6), (0.980, �0.6) y (0, �3).

A veces es suficiente usar las gráficas para hallar los puntos de intersección aproximados. Lee el Ejemplo E en tu libro.

Introducción a las funciones racionales

L E C C I Ó N

8.6CONDENSADA


(continúa)

En esta lección

● modelarás datos reales con una función racional

● examinarás transformaciones de f(x) � �1x�, la función madre de la curva

de variación inversa

● volverás a escribir ecuaciones de funciones racionales para ver cómo se relacionan con y � �

1x�

● escribirás una ecuación para la gráfica de una función racional

● usarás expresiones racionales para resolver un problema que implica soluciones ácidas

En la investigación verás cómo la longitud de un poste se relaciona con el peso que puede soportar. Antes de hacer la investigación, lee la introducción en la página 490 de tu libro y observa las curvas A, B y C. ¿Qué curva crees que se asemeje más a la relación entre la longitud del poste y la “masa de ruptura”; es decir, la masa mínima que causará que el poste se rompa?

Investigación: El punto de rupturaLee la lista de materiales, el Procedure Note (Nota del procedimiento) y el Paso 1 de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, reúne 10 ó 15 valores de datos por tu cuenta y usa tus datos para completar la investigación. Si no tienes los materiales, usa estos datos de muestra. Los siguientes resultados se basan en los datos de muestra.

Longitud (cm)x

Masa (número de monedas)

y

16 6

16 5

15 7

15 6

14 6

13 7

13 6

12 8

Longitud (cm)x

Masa (número de monedas)

y

12 7

11 8

10 9

9 10

8 11

7 13

6 16

Paso 2 Parece que la gráfica no es lineal. Es una curva que disminuye rápidamente al principio y lentamente después.

Lección 8.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)

(continúa)



Paso 3 Una ecuación posible es y � �9x0�.

La relación entre longitud y masa en la investigación es una variación inversa. La función madre para una curva de variación inversa es f(x) � �

1x�. Ésta es la

función racional más sencilla.

Una función racional es cualquier función que se puede escribir de forma

f(x) � �pq(

(xx))

�, donde tanto p(x) como q(x) son polinomios. El polinomio

denominador no puede ser igual a la constante 0.

Observa que la gráfica de y � �1x�, que se muestra a la derecha, es una

x

y

–5 5

–5

5hipérbola rotada 45° con los vértices (1, 1) y (�1, �1). Los ejes x e y son las asíntotas. La función no tiene valor en x � 0 porque �

10� es indefinido.

A medida que los valores x se acercan a cero desde la izquierda, los valores y son cada vez más negativos. A medida que los valores x se acercan a cero desde la derecha, los valores y son cada vez más positivos. A medida que los valores x se acercan más a los valores extremos, tanto en la izquierda como en la derecha, la gráfica se aproxima al eje horizontal. Las características de la gráfica de y � �

1x� se describen con más detalle en

la página 492 de tu libro.

Las funciones como y � �1x� � 4, y � 1

____ x � 1 e y � 2��1x�� son funciones

racionales transformadas. Usa tu calculadora para experimentar con diferentes transformaciones de y � �

1x�.

El Ejemplo A en tu libro muestra cómo una función racional puede volver a escribirse de modo que quede claro cómo se relaciona con la función madre, y � �

1x�. Lee este ejemplo atentamente. Después intenta resolver el problema en

el siguiente ejemplo antes de leer la solución.

EJEMPLO Describe la función y � �3xx ��

13

1 como una transformación de la función madre, y � �

1x�. Después representa la gráfica.

Lección 8.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)


� Solución Debido a que el numerador y el denominador tienen el mismo grado, puedes usar la división para volver a escribir la expresión.

3 x � 3 )

________ 3x � 11

3x � 9 2

y � 3 � �x �2

3

La función madre se dilató verticalmente por

x

y

7

–7

–7 7

un factor de 2 y después se trasladó 3 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Las asíntotas también se trasladaron. La asíntota vertical se trasladó 3 unidades hacia la izquierda hasta x � �3, y la asíntota horizontal se trasladó 3 unidades hacia arriba hasta y � 3.

Supón que tienes la gráfica de una función racional transformada y que debes hallar su ecuación. Puedes identificar las traslaciones si miras la ubicación de las asíntotas: Una asíntota horizontal de y � k indica una traslación vertical de k unidades y una asíntota vertical de x � h indica una traslación horizontal de h unidades.

Para identificar los factores de escala, escoge un punto, como un vértice, cuyas coordenadas conocerías después de la traslación. Después halla un punto en la gráfica dilatada que tenga la misma coordenada x. La razón entre las distancias verticales desde las asíntotas horizontales a estos dos puntos es el factor de escala vertical. A continuación se muestra un ejemplo. Encontrarás otro ejemplo en la página 493 de tu libro.

x

y

7

–7

–7 7

El problema en el Ejemplo B de tu libro usa expresiones racionales para modelar una situación que implica una solución ácida. Analiza el ejemplo atentamente.

Gráficas de funciones racionales


(continúa)

L E C C I Ó N

8.7CONDENSADA

En esta lección

● predecirás huecos y asíntotas en la gráfica de una función racional, basada en su ecuación

● escribirás ecuaciones para las gráficas de funciones racionales

● convertirás funciones racionales de una forma a otra

Las gráficas de funciones racionales tienen una variedad de formas. La introducción a la lección en tu libro muestra algunos ejemplos. Observa que las gráficas tienen asíntotas o huecos en valores donde las funciones son indefinidas. En esta lección verás cómo puedes predecir asíntotas, huecos y otras características de una gráfica basada en su ecuación.

Investigación: Predicción de asíntotas y huecosCompleta el Paso 1 en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

a. B. La gráfica tiene una asíntota vertical en x � 2, que es el valor donde el denominador es 0. A medida que x se acerca a 2 por la izquierda, los valores y se vuelven números negativos con cada valores vez más extremos. A medida que x se acerca a 2 por la derecha, los valores y se vuelven números positivos cada vez mayores.

b. D. La gráfica tiene un hueco en x � 2, que es el valor donde tanto el numerador como el denominador son 0. Para cualquier valor x excepto 2, la función se reduce a y � 1, por lo tanto la gráfica se parece a la de y � 1 en todos los puntos menos en ése.

c. A. La gráfica tiene una asíntota vertical en x � 2, que es el valor donde el denominador es 0. A medida que x se acerca a 2 desde cualquier lado, los valores y se vuelven números positivos cada vez más grandes.

d. C. La gráfica tiene un hueco en x � 2, que es el valor donde tanto el numerador como el denominador son 0. Para cualquier valor x excepto 2, la función se reduce a y � x � 2, por lo tanto la gráfica se parece a la de y � x � 2 en todos los puntos menos en ése.

Ahora, usa lo que aprendiste en el Paso 1 para completar los Pasos 2 y 3. Después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 2

a. y � �x �1

1. Ésta es la gráfica de y � �1x� trasladada 1 unidad hacia la izquierda

(por lo tanto la asíntota vertical de y � �1x�, a saber, el eje y, ha sido

trasladada 1 unidad hacia la izquierda a x � �1).

b. y � �2(

xx ��

11)

. La función es indefinida en x � �1, pero se reduce a y � 2 para todos los demás valores x. De este modo la gráfica se parece a la gráfica de y � 2, con un hueco en x � �1.

c. y � �(x �1 1)2 . La función es indefinida en x � �1. A medida que los valores x

se acercan a �1 desde cualquier dirección, (x � 1)2 se vuelve un número positivo cada vez más pequeño, por lo tanto �(x �

1 1)2 se vuelve un número

positivo cada vez más grande. Por consiguiente, x � �1 es una asíntota.

Lección 8.7 • Gráficas de funciones racionales (continuación)



d. y � �(x

x ��

11)2

. La función es indefinida en x � �1 pero se reduce a y � x � 1 para los demás valores x. De este modo, la gráfica se parece a la gráfica de y � x � 1, con un hueco en x � �1.

Paso 3 Las asíntotas verticales se presentan en ceros que aparecen solamente en el denominador, o en ceros que aparecen más en el denominador que en el numerador. Si una asíntota está en x � a, entonces la ecuación tendrá (x � a) como factor de su denominador. Los huecos están en los valores que convierten tanto el numerador como el denominador en 0, a condición de que no haya asíntota vertical en esos valores. Para escribir una ecuación de una gráfica con un hueco en x � a, imagina que la gráfica no tiene huecos y escribe su ecuación. Después multiplica el resultado por �xx

��

aa.

Paso 4 La gráfica tiene una asíntota vertical x � 2. Cuando un factor está tanto en el numerador como en el denominador, pero está más veces en el denominador, indica que hay una asíntota vertical en lugar de un hueco.

Piensa atentamente qué te dicen acerca de su gráfica las pistas de una ecuación de una función racional. Después lee el Ejemplo A en tu libro. El Ejemplo B muestra cómo la factorización del numerador y del denominador de una función racional puede ayudarte a determinar las características de su gráfica. Analiza ese ejemplo y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Describe las características de la gráfica de y � �xx2

2

��

5xx ��

66.

� Solución Si se factorizan el numerador y el denomimador se obtiene y � �((xx ��

22

))((xx ��

33

)).

Existe un hueco en x � 3 porque es un cero que ocurre con la misma frecuencia tanto en el numerador como en el denominador.

Si x � 2, el denominador (pero no el numerador) es 0, entonces existe una asíntota vertical en x � 2. Si x � �2, el numerador (pero no el denominador) es 0, entonces existe una intersección x en x � �2. Si x � 0, entonces y � �1. Ésta es la intersección y.

Para hallar las asíntotas horizontales, considera lo que sucede a los valores y cuando los valores x se alejan mucho de 0.

x �10,000 �1,000 �100 100 1,000 10,000

y 0.99960 0.99601 0.96078 1.04082 1.00401 1.00040

La tabla muestra que los valores y se acercan cada vez

y

x6–4

6

–4

más a 1 a medida que x se aleja de 0. Por lo tanto y � 1 es una asíntota horizontal.

La gráfica de la función confirma estas características.

El Ejemplo C en tu libro muestra cómo convertir una función de una forma que muestra las transformacones de y � �

1x� a una forma de función

racional. Lee este ejemplo atentamente.

Operaciones con expresionesracionales


(continúa)

L E C C I Ó N

8.8CONDENSADA

En esta lección

● harás operaciones con expresiones racionales

Hacer operaciones con expresiones racionales es muy parecido a hacer operaciones con fracciones de números enteros. Por ejemplo, para sumar o restar dos expresiones racionales, primero debes volver a escribir las expresiones de modo que tengan un denominador común. Para repasar la suma de fracciones, lee el texto en la página 505 de tu libro. Analiza el Ejemplo A en tu libro y después suma las expresiones racionales en el siguiente ejemplo. Después de que hayas hallado la suma, compara tu trabajo con la solución.

EJEMPLO A Suma las expresiones racionales para volver a escribir el lado derecho de la ecuación como una sola expresión racional en forma factorizada.

y � �(x � 4)

7(x � 3)

� �2xx ��

35

� Solución El mínimo denominador común es (x � 4)(x � 3).

y � �(x � 4)

7(x � 3)

� �2xx ��

35

Ecuación original.

y � �(x � 4)

7(x � 3)

� �2xx ��

35

� �((xx ��

44

))

Multiplica la segunda fracción por un equivalente de 1 para obtener un denominador común.

y � �(x � 4)

7(x � 3)

� �(2xx

2

� �

3 )3(xx ��

240) Multiplica el numerador de la segunda fracción.

y � �(2xx

2

� �

3 )3(xx ��

143) Suma los numeradores.

El numerador no se puede factorizar con raíces racionales.

Para restar las expresiones racionales, también debes hallar un denominador común. Esto se muestra en el Ejemplo B de tu libro. Analiza el Ejemplo B atentamente.

El texto entre los Ejemplos B y C en tu libro repasa cómo multiplicar y dividir las fracciones. Lee ese texto si es necesario. Utilizas el mismo procedimiento para multiplicar y dividir las expresiones racionales. Cuando multiplicas o divides las expresiones racionales, primero factoriza todas las expresiones. Esto facilitará la reducción de los factores comunes y la identificación de las características de la gráfica. Analiza el Ejemplo C. Después halla el producto en el ejemplo en la página siguiente. Después de que hayas hallado el producto, compara tus resultados con la solución.

Lección 8.8 • Operaciones con expresiones racionales (continuación)



EJEMPLO B Multiplica �xx

2

2 ��

75

xx ��

66

� �2x

x

2

��

12x

.

� Solución �((xx ��

66

))((xx ��

11

)) � �

2(xx( x� �

1 1)

) Factoriza todas las expresiones que puedas.

(x � 6)(x � 1)2x(x � 1)��

(x � 6)(x � 1)(x � 1) Combina las dos expresiones.

(x � 6)(x � 1)2x(x � 1)��(x � 6)(x � 1)(x � 1) Reduce los factores comunes.

2x Vuelve a escribir.

Observa que las gráficas de y � �(((xx ��

66

))�((xx ��

11

)) �

2x(x � 1) _______

(x � 1) y de y � 2x se verán

iguales, excepto que la gráfica de y � �(((xx ��

66

))�((xx ��

11

)) �

2x(x � 1) _______

(x � 1) tendrá huecos

en x � �6, x � 1 y en x � �1.

Lee el Ejemplo D en tu libro y después halla el cociente del ejemplo siguiente.

EJEMPLO C Divide �x2 �

x ��8x

2 � 9

��xx2

2

��

72�xx ��

138

.

� Solución x 2 � 8x � 9 ___________ x � 2 � x 2 � 7x � 18 ____________ x 2 � 2x � 3

Invierte la fracción en el denominador y multiplica.

�(x �

(x 9 �)�(x 2 �)

1) � �

((xx ��

93

))�((xx ��

21

)) Factoriza todas las expresiones.

(x � 9)(x � 1)(x � 9)(x � 2)��

(x � 2)(x � 3)(x � 1) Multiplica.

�(x �

(x 9 �)�(x 3 �)

9) Reduce todos los factores comunes.

Puedes verificar tu respuesta, comparando las gráficas de

y � �x2 �

x ��8x

2 � 9

��xx2

2

��

72�xx ��

138

e y � �(x �

(x 9 �)�(x 3 �)

9)

Las gráficas deben ser idénticas, excepto los huecos.

Documents

Investigación: Carrera de baldesmath.kendallhunt.com/documents/daa2/CLS/DAA2CLS_011_08.pdf · El Ejemplo B de la Lección 8.1 ... lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya