Isbn6413 7 Demo

5/13/2018 Isbn6413 7 Demo - slidepdf.com

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Probabilità e Statistica per le Scienze e l’Ingegneria, 3/ed, P. Erto - Copyright © 2008, The McGraw-Hill Companies srl

PROBABILITÀ



Probabilità 2


EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀMolto spesso ci troviamo di fronte a fenomeni regolati da leggi non note, o

non completamente note. In questo ambito ci capita di dovere esaminare

delle asserzioni logiche (che chiamiamo eventi) che, in tutta coscienza, non

possiamo definire né vere né false, ma solo possibili.

Dire che un’asserzione (evento) è possibile, costituisce un’esplicita

ammissione di essere in uno stato di incertezza che è indubbiamente utile

per non commettere errori, più di quanto non lo sia un’affermazione dicertezza che invece mascheri una sostanziale mancanza di informazioni.

Solo i fatti successivi possono affermare o smentire un evento formulato in

precedenza. I fatti rappresentano le circostanze che permettono di verificaregli eventi e, a differenza di questi ultimi, non ammettono le proprie

negazioni.

Consideriamo un ben definito fenomeno, quale l’età di una autovettura.



Probabilità 3


“L'età di questa autovettura è superiore ai 200 anni” costituisce

un'affermazione (evento) che è manifestamente falsa.

“Quest'autovettura ha un'età superiore ai 200000 km (a giudicarladall'esterno)” costituisce solo un evento possibile, che si rivelerà vero o

falso soltanto dopo aver controllato il suo contachilometri.

L'età è per noi un numero aleatorio ossia sconosciuto, sebbene già fissato.

In generale, gli eventi sono espressi mediante asserzioni che riguardano

un ente (ad es. un numero, un parametro, una funzione) aleatorio, cioè

qualcosa non conosciuto ma ben determinato (ovvero individuato senza

possibilità di fraintendimenti).



Probabilità 4


Ad un evento noi associamo una certa probabilità, la quale esprime ilgrado di fiducia che noi attribuiamo al suo verificarsi (ossia al fatto che

esso sia vero).

L'insieme di tutte le alternative possibili (ossia di tutti gli eventi elementari

possibili in rapporto ad un ben definito fenomeno ed in rapporto ad un

preciso stato di conoscenza o ipotesi H ) costituisce il nostro spazio di

riferimento o spazio campione S.

Lo spazio campione S rappresenta un evento certamente vero, nel senso che

l'asserzione che “esprime” tale insieme risulterà certamente vera, in quanto

almeno uno degli eventi elementari in esso compresi certamente siverificherà.



Probabilità 5


EVENTI. STATO DI CONOSCENZA. PROBABILITÀLo spazio campione S costituisce il nostro spazio di riferimento: ogni

nostra valutazione di probabilità risulta condizionata dalla iniziale

individuazione dello spazio campione S .

S E

{ } {Pr Pr 1 E p E p= ⇔ = − ; E è la negazione di E .

Se E 1, E 2,..., E n costituiscono una partizione dell'evento certo (o spazio

campione) S , le rispettive probabilità p1,…, pi, ..., pn devono essere tali che:

1

1n

i

i

p=

=∑



Probabilità 6


Operazioni con gli eventiL’unione (o somma logica) di due eventi A e B è un evento, indicato con

B∪ , che si verifica quando almeno uno dei due eventi risulta vero.

L’intersezione (o prodotto logico o concomitanza) di due eventi A e B è unevento, indicato con B∩ oppure con B , che si verifica quando entrambi

gli eventi risultano veri.

Gli eventi A e B sono detti incompatibili (o disgiunti o alternativi) se è

impossibile che risultino veri entrambi, ossia quando B∩ = ∅ .

Il complementare (o negazione) di un evento E è un evento, indicato con

E , che si verifica quando e solo quando E risulta falso.

L’unione di eventi numerabili e tra loro incompatibili 1 2, , , n E E E …

costituisce una partizione di S se necessariamente ne risulta vero uno per

volta.



Probabilità 7


Per costruire lo spazio campione S (ossia l'evento certo) applichiamo la

Tecnica del Prodotto Logico di tutti gli eventi considerati, in unione ai loro

rispettivi eventi complementari.

Fissati gli eventi , , B C ed i loro rispettivi complementari , , B C , è detto

prodotto logico il seguente:

( )( )( ) =

=

A A B B C C

BC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

∪ ∪ ∪

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

Gli eventi che compongono le unioni sono detti costituenti di S (relativamente agli eventi A, B, C )

La definizione può essere generalizzata al caso di n eventi ottenendo un

numero totale di costituenti pari a 2n .



Probabilità 8


ESEMPIO Consideriamo un aereo in fase di decollo, dopo il rilascio dei

freni e sino alla fine della pista. Siamo interessati ai seguenti eventi:

A) l'aereo decolla;

B) l'aereo abortisce il decollo;

C ) l'aereo si disintegra.

( ) ( ) ( ) =

=

S A A B B C C

ABC = ∪ × ∪ × ∪

ABC ABC ABC ∪ ∪ ∪ BC ABC ABC ABC ∪ ∪ ∪ ∪



Probabilità 9


Regole di coerenza: I regola:

La probabilità Pr{ E ⏐ H } di un evento E è il livello di fiducia che

attribuiamo al verificarsi di E condizionatamente al nostro stato diconoscenza H .

H costituisce il riferimento delle nostre valutazioni, e se cambia (o evolve)

dobbiamo tassativamente rivedere dette valutazioni.

II regola:

Attribuiamo al verificarsi dello spazio campione S l'intera nostra fiducia,

viceversa, per un evento certamente falso la fiducia è nulla:

{ { }Pr 1; Pr 0S = ∅ =



Probabilità 10


III regola:La probabilità di un qualsiasi evento E appartenente ad S risulta essere

sempre positiva ed al più pari ad 1 (essendo pari a una frazione di }Pr S ).

{0 Pr 1 E ≤ ≤

IV regola:

La probabilità dell'unione di due o più eventi mutuamente incompatibili (il

verificarsi dell'uno esclude quello dei rimanenti) è pari alla somma delle probabilità attribuite ai singoli eventi:

S A

B

{ } { {, Pr Pr Pr B A B A B∩ = ∅ ∪ = +

continua...

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