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sistemas integrales activación y concepto así como partes generales
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Universidad Autonoma Del Estado De Mexico
Centro universitario valle de mexico
Israel Roa Mora
CALCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL
(PROYECTO DE INTEGRALES)
TURNO: MATUTINO F:23
Ing. En Sistemas y Comunicaciones
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1-……………………………….Definición d e integral
2-……………………………….Fórmulas integrales
3-………………………………Integral de una constante
4-………………………………Integral de x
5-…………………………….. Integración por partes
6-………………………………Integrales racionales
7-………………………………Integración por sustitución
8-…………………………….. Integrales trigonométricas
9-…………………………….. Integral definida
10-……………………………Función integral
11-…………………………..Teorema fundamental del cálculo
12-…………………………Regla de Barrow
13-………………………………Teorema de la media
14-……………………Área de una función y el eje de
abscisas
15-……………………Área comprendida entre dos funciones
2-FORMULAS INTEGRALES
1. La integral de una suma de funciones es igual a
la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Sean a , k , y C constantes (números reales) y consideremos
a u como función de x y a u' como la derivada de u.
3- INTEGRAL DE UNA CONSTANTE
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Ejemplo
4- INTEGRAL DE X
Si la función a integrar es x , las fórmulas de integración
son:
5-INTEGRACION POR PARTES
El método de integración por partes se basa en la
derivada de un producto y se uti l iza para resolver
algunas integrales de productos .
Tenemos que derivar u e integrar v' , por lo que será
conveniente que la integral de v' sea inmediata .
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se
eligen como u .
Las funciones exponenciales y trígonométricas del t ipo seno
y coseno, se eligen como v' .
Ejercicios
6-INTEGRALES RACIONALES
En la integración de funciones racionales se trata de
hallar la integral , siendo P(x) y Q(x) polinomios.
En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor
que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.
C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor
grado que numerador, descomponemos el denominador en
factores.
7-INTEGRACION POR SUSTITUCION
El método de integración por sustitución o cambio de
variable se basa en la regla de la cadena.
El método se basa en identif icar una parte de lo que se va a
integrar con una nueva variable t , de modo que se obtenga
una integral más sencil la.
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los
dos términos:
Se despeja u y dx , sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencil la, procedemos a
integrar:
3º Se vuelve a la variable inical :
8-INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
El seno y coseno del ángulo mitad son:
Si n es par, entonces se pueden escribir sen n y cosn en
forma de potencias de y respectivamente.
Ejemplos
9- INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo
[a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área
l imitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las l íneas
verticales x = a y x = b.
Se representa por .
∫ es el signo de integración.
a l ímite inferior de la integración.
b l ímite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
10-FUNCION INTEGRAL
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b] . A
partir de esta función se define la función integral :
que depende del l ímite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la
variable de f, se la l lama t, pero si la referencia es a la variable
de F, se la l lama x.
Geométricamente la función integral , F(x), representa
el área del recinto l imitado por la curva y = f(t), el eje de
abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral , F(x), también se le l lama función de
áreas de f en el intervalo [a, b].
11-TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
La derivada de la función integral de la función
continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la
derivación y la integración son operaciones inversas: si una
función continua primero se integra y luego se deriva, se
recupera la función original.
Ejemplos
Calcular la derivada de las funciones:
12- LEY DE BARROW
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya
aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del
cálculo diferencial e integral.
La regla de Barrow dice que la integral definida de una
función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la
diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x)
de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
13-TEOREMA DE LA MEDIA
El teorema de la media o teorema del valor medio
para integrales dice que:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b],
existe un punto c en el interior del intervalo tal que:
Ejemplos
1. Hallar el valor de c, del teorema de la media , de la
función f(x) = 3x 2 en el intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se
puede aplicar el teorema de la media .
La solución positiva no es válida porque no pertenece al
intervalo.
14- AREA DE UNA FUNCION Y EL EJE DE ABSCISAS
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la
gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área
de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX,
haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la
función que tiene como límites de integración los puntos de
corte.
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 4x
− x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX
para representar la curva y conocer los l ímites de integración.
En segudo lugar se calcula la integral:
2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la
curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de
abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de
abscisas.
15-AREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de
la función que está situada por encima menos el área de la
función que está situada por debajo.
Ejemplos
1. Calcular el área l imitada por la curva y = x 2 − 5x + 6 y
la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos
funciones para conocer los l ímites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
2.Calcular el área l imitada por la parábola y 2 = 4x y la
recta y = x.
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
3.Calcular el área l imitada por las gráficas de las funciones
3y =x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del
vértice y los puntos de corte con los ejes.
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que
nos darán los l ímites de integración.
e usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numéricade integración numéricacaso de dos o más dimensiones (