ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO

ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE

Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia

Anno scolastico 2008/2009

• Introduzione

• Definizione di limite, definizione topologica e grafico

•Definizione limite destro e limite sinistro e grafico

Per limite di una funzione Y = f(x) per X tendente ad un certo valore che indichiamo con X0, si intende il valore che

la funzione tende a raggiungere quando alla variabile indipendente X attribuiamo i valori che si avvicinano sempre

più a X0.

Lim f(x)= Lx→xo

Una funzione ammette limite L per x→xo quando, preso un qualsiasi

intorno di L, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del

quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto

intorno di L.

∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL

Y

a

l

0 a X0 b X

Una funzione ammette limite L per x→ + quando, preso un qualsiasi

intorno di L, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del

quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto

intorno di L.

∀ILƎI+:f(I+)CIL

Lim f(x)= Lx→ +

0 X

Y

Il

l

+

Una funzione ammette limite L per x→ - quando, preso un qualsiasi

intorno di L, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del

quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto

intorno di L.

∀ILƎI-:f(I-)CIL

Lim f(x)= Lx→ -

Y

X

0

-

Il l

Una funzione ammette limite L per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste

almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L.

∀ILƎI :f(I )CIL

Lim f(x)= Lx→

Y

X0

I - I +

Una funzione ammette limite + per x→ xo quando, preso un

qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di xo, per tutte

le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti

nel predetto intorno di +.

∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+

Lim f(x)= +x→xo

I xo

0

Y

X

I +

Una funzione ammette limite + per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste

almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +.

Lim f(x)= +x→ +

∀I+ƎI+:f(I+)CI+

Y

X0

I +

I +

Una funzione ammette limite + per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste

almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +.

∀I+ƎI-:f(I-)CI+

Lim f(x)= +x→ -

0X

Y

I +

I -

Una funzione ammette limite + per x→ quando, preso un

qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di , per tutte

le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti

nel predetto intorno di +.

∀I+ƎI:f(I)CI+

Lim f(x)= +x→

0

I +

I +I -

Y

X

Una funzione ammette limite - per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste

almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.

∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-

Lim f(x)= -x→ xo

0

Y

Xxo

I xo

I -

Una funzione ammette limite - per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste

almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.

∀I-ƎI+:f(I+)CI-

Lim f(x)= -x→ +

Y

X0

I -

I +

Una funzione ammette limite - per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste

almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.

∀I-ƎI-:f(I-)CI-

Lim f(x)= -x→ -

Y

X0

I -

I -

Una funzione ammette limite - per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste

almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.

∀I-ƎI:f(I)CI-

Lim f(x)= -x→

Y

X0

I -

I -

I +

Una funzione ammette limite per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste

almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .

∀IƎIxo:f(Ixo)CI

Lim f(x)= x→ xo

Y

X0

I -

I +

I xo

Una funzione ammette limite per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste

almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .

∀IƎI+:f(I+)CI

Lim f(x)= x→ +

X

Y

0

I +

I -

I -

Una funzione ammette limite per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste

almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .

∀IƎI-:f(I-)CI

Lim f(x)= x→ -

Y

X 0

I +

I -

Una funzione ammette limite per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste

almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti

valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .

∀IƎI:f(I)CI

Lim f(x)= x→

Y

X

0

I -

I -

I +

I +

Essendo L1≠L2 diremo che per x→xo contemporaneamente da destra e da sinistra, la

funzione non presenta un unico limite.Una funzione può ammettere un certo limite per

x→xo quando esiste il limite destro, esiste il limite sinistro e i due valori sono coincidenti.

Y

X0

Y= f(X)n

m

a xo

I xo

I n

Y

X0

Y= f(X)

L2

L1

f (xo) = n

a xo b

I xo

I L2

• Introduzion

• Definision di limits, definision topologiche e grafiche

• Definision di limit diestri e sinistri e grafiche

Par limit di une funzion Y = f(x) par X tindint a un cert valôr che indichin cun X0, si intindt il valôr che le funzion tind a raggiungi cuànt a le variabile indipendent X e attribuin i

valôrs che si avisinin simpri di pui a X0.

Lim f(x)= Lx→xo

∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL

Une funzion e amet el limit L par x→ xo cuànd, cjapat un cualsiasi

intorn di L, esist amàncul un intorn di xo, par dutes les x dal qual i

corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L.Y

a

l

0 a X0 b X

Lim f(x)= Lx→ +

∀ILƎI+ :f(I+)CIL

Une funzion e amet el limit L par x→ + cuànd, cjapat un cualsiasi

intorn di L, esist amàncul un intorn di +, par ducje le x del

qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L.

0 X

Y

Il

l

+

Lim f(x)= Lx→ -

∀ILƎI- :f(I-)CIL

Une funzion ammet limit L par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di L, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L.

Y

X0

-

Il l

Lim f(x)= Lx→

∀ILƎI:f(I)CIL

Une funzion ammet limit L par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di L, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di L.

X0

I - I +

Y

Lim f(x)= + x→ xo

∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+

Une funzion ammet limit + par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un

intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di +.

I xo

0

Y

X

I +

Lim f(x)= + x→ +

∀I+ƎI+:f(I+)CI+

Une funzion ammet limit + par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di +, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +.Y

X

I +

I +

0

Lim f(x)= + x→ -

∀I+ƎI-:f(I-)CI+

Une funzion ammet limit + par x→ - cuànd, cjapat un

cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di -, par

ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a

son ducj nel predet intorn di +.

0X

Y

I +

I -

Lim f(x)= + x→

∀I+ƎI:f(I)CI+

Une funzion ammet limit + par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un

intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di +.

0

I +

I +I -

Y

X

Lim f(x)= - x→ xo

∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-

Une funzion ammet limit - par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di -, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di -.

0

Y

xo

I xo

I -

X

Lim f(x)= - x→ +

∀I-ƎI+:f(I+)CI-

Une funzion ammet limit - par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di -, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -.Y

X0

I -

I +

Lim f(x)= - x→ -

∀I-ƎI-:f(I-)CI-

Une funzion ammet limit - par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di -, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -.

Y

X0

I -

I -

Lim f(x)= - x→

∀I-ƎI:f(I)CI-

Une funzion ammet limit - par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un

intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a

son ducj nel predet intorn di -.Y

X0

I -

I -

I +

Lim f(x)= x→ xo

∀IƎIxo:f(Ixo)CI

Une funzion ammet limit par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di , esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di .Y

X0

I -

I +

I xo

Lim f(x)= x→ +

∀IƎI+:f(I+)CI

Une funzion ammet limit par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di , esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di .

X

Y

0

I +

I -

I -

Lim f(x)= x→ -

∀IƎI-:f(I-)CI

Une funzion ammet limit par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di , esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del

qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di .

X 0

I +

I -

Y

Lim f(x)= x→

∀IƎI:f(I)CI

Une funzion ammit limit par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi

intorn di , esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son

ducj nel predet intorn di .Y

X

0

I -

I -

I +

I +

Essind L1≠L2 e disin che par x→ xo contemporaneamentri di diestri e di sinistre, le funzion

no presente un unic limit.Une funzion e po ameti un cert limit par x→ xo cuànt cal

esist el limit diestri,esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens.

X0

Y= f(X)

xo

I n

Y

X0

Y= f(X)

L2

f (xo) = n

a xo b

n

m

I xo I xo

Y

I n

I L2

a

L1

• Introduction

• Definition of limit, definition topologies and graph

•Definition of right limit, left and graph

For limit of a function Y = f(x) for X tending about at some value to denote by X0, means the value that the function

tends to reach when we attach to the independent variable X values that were close to more X0.

Lim f(x)= Lx→xo

One function admits limit L for x→ xo when, taken any around

of L, there is at least one around of xo, for all x which the

corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.

∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL

Y

a

l

0 a X0 b X

One function admits limit L for x→+ when, taken any around

of L, there is at least one around of +, for all x which the

corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.

∀ILƎI+:f(I+)CIL

Lim f(x)= Lx→ +

0 X

Y

Il

l

+

One function admits limit L for x→- when, taken any around

of L, there is at least one around of -, for all x which the

corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.

∀ILƎI-:f(I-)CIL

Lim f(x)= Lx→ -

Y

X0

-

Il l

One function admits limit L for x→ when, taken any around of L,

there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in

that around of L.

∀ILƎI:f(I)CIL

Lim f(x)= Lx→

Y

X0

I - I +

One function admits limit + for x→xo when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in

that around of +.

∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+

Lim f(x)= +x→xo

I xo

0

Y

X

I +

One function admits limit + for x→+ when, taken any around of +, there is at least one around

of +, for all x which the corresponding values of f(x) are

all contained in that around of +.

Lim f(x)= +x→ +

∀I+ƎI+:f(I+)CI+

Y

X0

I +

I +

One function admits limit + for x→- when, taken any around of +, there is at least one around

of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of

+.

∀I+ƎI-:f(I-)CI+

Lim f(x)= +x→ -

0X

Y

I +

I -

One function admits limit + for x→ when, taken any around of

+, there is at least one around of , for all x which the

corresponding values of f(x) are all contained in that around of +.

∀I+ƎI:f(I)CI+

Lim f(x)= +x→

0

I +

I +I -

Y

X

One function admits limit - for x→xo when, taken any around of -, there is at least one around

of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are

all contained in that around of -.

∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-

Lim f(x)= -x→ xo

0 Xxo

I xo

I -

Y

One function admits limit - for x→ + when, taken any around of -, there is at least one around of

+, for all x which the corresponding values of f(x) are all

contained in that around of -.

∀I-ƎI+:f(I+)CI-

Lim f(x)= -x→ +

Y

X0

I -

I +

One function admits limit - for x→ - when, taken any around of -, there is at least one around of

-, for all x which the corresponding values of f(x) are all

contained in that around of -.

∀I-ƎI-:f(I-)CI-

Lim f(x)= -x→ -

Y

X

I -

I -

0

One function admits limit - for x→ when, taken any around of -, there is at least one around

of , for all x which the corresponding values of f(x) are

all contained in that around of -.

∀I-ƎI:f(I)CI-

Lim f(x)= -x→

Y

X0

I -

I -

I +

One function admits limit for x→ xo when, taken any around of , there is at least one around of

xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of .

∀IƎIxo:f(Ixo)CI

Lim f(x)= x→ xo

Y

X0

I -

I +

I xo

One function admits limit forx→ + when, taken any around of , there is at least one around of

+, for all x which the corresponding values of f(x) are all

contained in that around of .

∀IƎI+:f(I+)CI

Lim f(x)= x→ +

X

Y

0

I +

I -

I -

One function admits limit for x→ - when, taken any around

of , there is at least one around of -, for all x which the

corresponding values of f(x) are all contained in that around of .

∀IƎI-:f(I-)CI

Lim f(x)= x→ -

Y

X 0

I +

I -

One function admits limit for x→ when, taken any around of , there is at least one around of

, for all x which the corresponding values of f(x) are all

contained in that around of .

∀IƎI:f(I)CI

Lim f(x)= x→

Y

X

0

I -

I -

I +

I +

Being L1≠L2 say that for x→ xo simultaneously from right and left, the function doesn’t have a single limit.

A function can admit to a certain limit forx→ xo when there is a limit right, there is the left limit and

the two values are coincident.

Y

X0

Y= f(X)n

m

a xo

I xo

I n

Y

X0

Y= f(X)n

m

a xo

I xo

I n

Y

X0

Y= f(X)

L2

L1

f (xo) = n

a xo b

I xo

I L2

• Einführung

• Definition der Limit, Definition topologica und Chart

•Definition der Limit Rechts, Limit Links und Chart

Limit für eine Funktion Y = f(x) für X Tendenz zu einem bestimmten Wert zur Bezeichnung von X0, ist der Wert, dass

die Funktion der Regel zu erreichen wenn auf die unabhängige Variable X befestigen die Werte, die sich

immer enger zu X0.

Lim f(x)= Lx→xo

Eine Funktion räumt Limit L für x→ xo wann, getroffen beliebig eine

Runde von L, es gibt mindestenseine Runde von xo, für alle x welcher

der entsprechenden Werte für dief(x) sind alle darin enthaltenen

in dieser Runde der L.

∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL

Y

a

l

0 a X0 b X

Eine Funktion räumt Limit L für x→ + wann, getroffen beliebig eine

Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x

welcher der entsprechenden Werte für die

f(x) sind alle darin enthaltenenin dieser Runde der L.

∀ILƎI+:f(I+)CIL

Lim f(x)= Lx→ +

0 X

Y

Il

l

+

Eine Funktion räumt Limit L für x→ - wann, getroffen beliebig

eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden

Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L.

∀ILƎI-:f(I-)CIL

Lim f(x)= Lx→ -

Y

X0

-

Il l

Eine Funktion räumt Limit L für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens

eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte

für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L.

∀ILƎI:f(I)CIL

Lim f(x)= Lx→

Y

X0

I - I +

Eine Funktion räumt Limit + für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens

eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in

dieser Runde der +.

∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+

Lim f(x)= +x→xo

I xo

0

Y

X

I +

Eine Funktion räumt Limit + für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens

eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser

Runde der +.

Lim f(x)= +x→ +

∀I+ƎI+:f(I+)CI+

Y

X0

I +

I +

Eine Funktion räumt Limit + für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens

eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in

dieser Runde der +.

∀I+ƎI-:f(I-)CI+

Lim f(x)= +x→ -

0X

Y

I +

I -

Eine Funktion räumt Limit + für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens

eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser

Runde der +.

∀I+ƎI:f(I)CI+

Lim f(x)= +x→

0

I +

I +I -

Y

X

Eine Funktion räumt Limit - für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens

eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in

dieser Runde der -.

∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-

Lim f(x)= -x→ xo

0 Xxo

I xo

I -

Y

Eine Funktion räumt Limit - für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens

eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte

für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -.

∀I-ƎI+:f(I+)CI-

Lim f(x)= -x→ +

Y

X0

I -

I +

Eine Funktion räumt Limit - für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens

eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in

dieser Runde der -.

∀I-ƎI-:f(I-)CI-

Lim f(x)= -x→ -

Y

X

I -

I -

0

Eine Funktion räumt Limit - für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens

eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte

für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -.

∀I-ƎI:f(I)CI-

Lim f(x)= -x→

Y

X0

I -

I -

I +

Eine Funktion räumt Limit für x→ xo wann, getroffen beliebig

eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden

Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .

∀IƎIxo:f(Ixo)CI

Lim f(x)= x→ xo

Y

X0

I -

I +

I xo

Eine Funktion räumt Limit für x→ + wann, getroffen beliebig

eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von +,

für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x)

sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .

∀IƎI+:f(I+)CI

Lim f(x)= x→ +

X

Y

0

I +

I -

I -

Eine Funktion räumt Limit für x→ - wann, getroffen beliebig

eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden

Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .

∀IƎI-:f(I-)CI

Lim f(x)= x→ -

Y

X 0

I +

I -

Eine Funktion räumt Limit für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens

eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte

für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .

∀IƎI:f(I)CI

Lim f(x)= x→

Y

0

I -

I -

I +

I +

X

Wobei L1≠L2 sagen dassx→ xo gleichzeitig von der rechten

und links, die Funktion nicht ein einziges Limit.Eine Funktion kann Einige Limit zugeben für

x→ xo wenn es ist eine Limit rechts, es ist die linke Limit und die beiden Werte sind gleichzeitig.

Y

X0

Y= f(X)

L2

L1

f (xo) = n

a xo b

I xo

I L2

Y

X0

Y= f(X)n

m

a xo

I xo

I n