ISTOSMJERNE STRUJE 31).pdf2. Izravna primjena Kirchhoffovih zakona – Električka mreža sastoji se od grana i čvorova – Općenito u mreži su struje nepoznate – Prema Kirchhoffovim

ISTOSMJERNE STRUJE

3

ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

Sadržaj predavanja

1.

Uvod2.

Izravna primjena Kirchhoffovih

zakona

3.

Metoda napona čvorova4.

Metoda konturnih

struja

5.

Metoda superpozicije6.

Theveninov

teorem

7.

Nortonov

teorem8.

Pretvorba trokut –

zvijezda

9.

Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora

Analiza linearnih električnih mreža

1. Uvod

Rješavanje linearnih mreža–

Postoji više metoda, a sve se temelje na

•

I Kirchhofovom

zakonu•

II Kirchhofovom

zakonu

•

Ohmovom

zakonu•

Ohmovom

zakonu za dio strujnog kruga

Medode

rješavanja ovise o broju nepoznanica i konfiguraciji mreže–

Izravna primjena Kirchhoffovih

pravila

–

Metoda napona čvorova–

Metoda konturnih

struja

–

Metoda superpozicije–

Theveninov

teorem

–

Nortonov

teorem–

Millmanov

teorem

–

pretvorba zvijezda -

trokut


2. Izravna primjena Kirchhoffovih

zakona

–

Električka mreža sastoji se od grana i čvorova–

Općenito u mreži su struje nepoznate

–

Prema Kirchhoffovim

zakonima postavljaju se jednadžbe koje sadrže nepoznanice

–

Jednadžbe se postavljaju za čvorove prema I

Kirchhoffovom

zakonu i za konture (zatvorene petlje) prema II Kirchhoffovom

zakonu

–

Potrebno je postaviti g jednadžbi s g

nepoznanica da bi se sustav jednadžbi mogao riješiti

•

Postupak–

pretpostave se smjerovi struja za svaku granu u mreži (g

– broj grana) !!!

–

odaberu se čvorovi (č

–broj čvorova) i postave jednadžbe prema I Kirchhoffovom

zakonu

•

ako je u mreži č

čvorova potrebno je postaviti č-1

nezavisnih jednadžbi–

proizvoljno se odabiru konture (zatvorene petlje) i postave jednadžbe prema II Kirchhoffovom

zakonu

•

potrebno je postaviti još

n=g

–

(č

– 1) nezavisnih jednadžbi –

rješava se sustav g

jednadžbi s g

nepoznanica i dobivaju se struje svih grana u

mreži

Primjer:

pretpostavka smjera struja

Zadano: R1

=4Ω, R2

=6Ω, R3

=5Ω, R4

=1Ω,

R5

=2Ω

R6

=10Ω, R7

=3Ω, E1

=12V, E2

=4V, E4

=12V, E5

=10V


Primjer

pretpostavka smjera struja

odabir čvorova: a,b,c

odabir kontura

Zadano: R1

=4Ω, R2

=6Ω, R3

=5Ω, R4

=1Ω,

R5

=2Ω

R6

=10Ω, R7

=3Ω, E1

=12V, E2

=4V, E4

=12V, E5

=10V

0 ačvor 321 =−−→ III

0 bčvor 461 =+−−→ III

0 cčvor 542 =−−→ III

0 1 kontura 31441151 =−−−−−→ RIRIRIEE

0 2 kontura 55632325 =+−−+→ RIRIRIEE

0 3 kontura 5544764 =−++→ RIRIRIE


sustav 6 jednadžbi s 6 nepoznanica

rješenje sustava jednadžbi - struje grana

•

Zadano: R1

=4Ω, R2

=6Ω, R3

=5Ω, R4

=1Ω,

R5

=2Ω

R6

=10Ω, R7

=3Ω, E1

=12V, E2

=4V, E4

=12V, E5

=10V

0321 =−− III0461 =+−− III

0542 =−− III

51314411 EERIRIRI −−=++

25556323 EERIRIRI +=−+

4554476 ERIRIRI =+−−

uvrste se poznate vrijednosti0321 =−− III

0461 =+−− III

0542 =−− III229 41 −=+ II

14216 53 =− II1232 654 =−+− III

AIIAIAI

AIAI

2 ;1 ;4 ;1

;3 ;2

65

43

21

−==−==

−=−=

negativna vrijednost struje znači da je pravi smjer struje suprotan od pretpostavljenog


3. Metoda napona čvorova

–

temelji se na određivanju potencijala čvorova u linearnoj mreži

–

POSTUPAK:•

u mreži se odabere jedan čvor kao referentni i dodijeli mu se potencijal nula

•

naponi svih ostalih čvorova prema referentnom čvoru jednaki su njihovim potencijalima

•

struja grane može se izraziti iz Ohmovog

zakona za dio strujnog kruga•

tako izražene struje grana uvrštavaju se u jednadžbe prvog Kirchhoffovog

zakona•

rješavanjem sustava jednadžbi dobivaju se potencijali čvorova u mreži

•

iz dobivenih potencijala računaju se struje

Analiza linearnih električnih mreža•

Metoda napona čvorova -

primjer

ab ERIRI ϕϕ =−−− 11131

referentni čvor c → ϕC=0V

iz Ohmovog zakona za dio strujnog kruga izraze se struje

31

11 RR

EI ab

+−−

=ϕϕ

bc RI ϕϕ =− 44

44 R

I bc ϕϕ −=

da RIRIE ϕϕ =−−+ 63232

62

23 RR

EI da

+−+

=ϕϕ

dc RI ϕϕ =− 55

55 R

I dc ϕϕ −−=

db ERI ϕϕ =−− 476

7

46 R

EI db ϕϕ −−=

(I1

)

(I3

)

(I4

)

(I5

)

(I6

)

(I2

) 312 III −=

R2E2E1

R1

R3

R4 R5

R7

E5

E4

a

b c d

I1

I2

I6

I4 I5

I3R4b cI4



primjer

struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu

31

11 RR

EI ab

+−−

=ϕϕ

7

4

31

1

317431 711111

RE

RRE

RRRRRRR dab ++

=−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+ϕϕϕ

44 R

I bc ϕϕ −=

62

23 RR

EI da

+−+

=ϕϕ

55 R

I dc ϕϕ −−=

7

46 R

EI db ϕϕ −−=

(čvor b)

312 III −=

0461 =+−− III

(čvor d) 0653 =++ III

struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu

7

4

62

2

6275627

11111RE

RRE

RRRRRRR adb −+

=+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++− ϕϕϕ



primjer

rješavanjem tih jednadžbi uz ϕa=E5=10V jer je ϕc=0V dobivaju se potencijali čvorova

A 231

11 −=

+−−

=RR

EI ab ϕϕ

7

4

31

1

317431 711111

RE

RRE

RRRRRRR dab ++

=−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+ϕϕϕ

A 44

4 −=−

=R

I bc ϕϕ

A 162

23 =

+−+

=RR

EI da ϕϕA 1

55 =

−−=

RI dc ϕϕ

A 27

46 −=

−−=

REI db ϕϕ

A 3312 −=−= III

uvrštenjem potencijala u izraze za struju dobijaju se struje

7

4

62

2

6275627

11111RE

RRE

RRRRRRR adb −+

=+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++− ϕϕϕ

Vb 4=ϕ

Vd 2−=ϕ


4. Metoda konturnih

struja–

Struje svih grana u mreži mogu se izraziti preko struja nezavisnih kontura

–

POSTUPAK:•

odabere se proizvoljno n=g-č+1

nezavisih

kontura

•

odabere se po volji smjer konturnih

struja•

za svaku konturu napiše se jednadžba prema II Kirchhoffovom

zakonu

–

za konturu k

ℑk

–

konturna

struja konture kRkk

–

vlastiti otpor konture (zbroj svih otpora u konuturi)ℑj

–

konturna

struja konture jRkj

–

zajednički otpori konture k i konture jEkk

–

ukupna suma naponskih izvora u konturi k

•

rješava se sustav n

jednadžbi sa n

nepoznanica da bi se dobile vrijednosti konturnih

struja

•

struje u pojedinim granama dobijaju

se superpozicijom

konturnih

struja

kk

n

kjj

kjjkkk ERR =ℑ+ℑ ∑≠=1


•

Metoda konturnih

struja -

primjer

( ) 51433411 EERRRR −−=ℑ−++ℑ

na shemi odabrane konture i smjerovi konturnih struja - jednadžbe

( ) 25536522 EERRRR +=ℑ−++ℑ

( ) 475435241 ERRRRR =++ℑ+ℑ−ℑ

rješavanjem jednadžbi dobiju se konturne struje

2210 31 −=ℑ−⋅ℑ

14518 32 =⋅ℑ−⋅ℑ

1262 321 =⋅ℑ+⋅ℑ−ℑ

A21 −=ℑ

A12 =ℑ

A23 =ℑ

struje grana superpozicijom konturnih struja

AI 211 −=ℑ=

AI 123 =ℑ=

AI 1235 =ℑ−ℑ=

AI 3212 −=ℑ−ℑ=

AI 4314 −=ℑ−ℑ=

AI 236 −=−ℑ=

5. Metoda superpozicije

–

U linearnoj mreži u kojoj ima više izvora struja

grane jednaka je zbroju svih struja koje bi u toj grani proizveli pojedini izvori

–

POSTUPAK:

•

odredi se grana gdje se traži struja•

ostavi se samo jedan izvor koji daje doprinos, a ostali se uklone

–

naponski se kratko spoje, a strujni odspoje

time da se njihovi otpori ostave priključeni

•

izračuna se doprinos tog izvora•

ponavlja se postupak dok se ne izračunaju doprinosi svih izvora

•

Metoda superpozicije-

primjer

traži se struja kroz otpor R

•

Zadano: R1

=2 Ω, R2

=3 Ω,R3

=4 Ω, R4

=5Ω, R=1 Ω

, E1

=12 V, E2

=12 V, Ik

=10 A


•


primjer

traži se struja kroz otpor R

( )Ω=++

+++

= 83124

24 RRRRRRRRRuk

•

Zadano: R1

=2 Ω, R2

=3 Ω,R3

=4 Ω, R4

=5Ω, R=1 Ω

, E1

=12 V, E2

=12 V, Ik

=10 A

I) ostavlja se naponski izvor E1

AREI

uk

5.111 ==-

struja izvora

( ) ( ) ARR

RRIEI IR 5.0

4

3111 =+

+−=

-

doprinos izvora E1 struji kroz otpor R


•


primjer

( )( )Ω=+

+++++

= 62431

314 RRRRRRRRRRuk

II) ostavlja se naponski izvor E2

AREI

uk

222 ==-

struja izvora

( ) ARR

RIEI IIR 1

4

222 =+−

=

-

doprinos izvora E1 struji kroz otpor R


•


primjer

Ω=

+++

+=

1321111

3124 RRRRRRuk

III) ostavlja se strujni izvor Ik

( ) ARR

RII ukk

IIIR 5.2

4

=+

=

-

doprinos izvora Ik

struji kroz otpor R

( ) ( ) ( ) AIIII IIIR

IIR

IRR 1=+−−=

Ω= 5.1ukR

ukupna struja kroz otpor R – superpozicijastruja

-

pretpostavit će se da je pozitivan smjer struju prema dolje, pa se sukladno dobivenim smjerovima piše jednadžba


6. Theveninov

teorem

–

Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža od stezaljki otpora nadomjesti jednim naponskim izvorom napona ET

i unutarnjeg otpora RT

•

ET -

Theveninov

napon je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama a i b•

RT - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen

otpor R, a

djelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)

RREI

T

TR +

=


7. Nortonov

teorem

–

Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža od stezaljki a i b nadomjesti jednim strujnim izvorom struje Ik

i unutarnje otpora RT

•

Ik

–

Nortonova

struja jest struja kratkog spoja stezaljnki

a i b, a određuje se tako da se umjesto otpora

R napravi kratki spoj između stezaljki a i b

•

RT - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen

otpor R, a djelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)

RRRII

T

TkR +

=


8. Pretvorba trokut –

zvijezdaprimjenjuje se kad pretvorbom dolazi do pojednostavljenja mreže

TROKUT ⇒

ZVIJEZDA

312312

12311 RRR

RRR++

⋅=

312312

23122 RRR

RRR++

⋅=

312312

31233 RRR

RRR++

⋅=

ZVIJEZDA ⇒

TROKUT

3

212112 R

RRRRR ⋅++=

1

323223 R

RRRRR ⋅++=

2

131331 R

RRRRR ⋅++=


9. Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora

–

struja u nekoj grani ili kroz neki otpor može se dobiti tako da se mreža postupno svodi na samo jedan naponski ili strujni izvor:

1.

serijski spojeni naponski izvori pretvaraju se u jedan naponski2.

paralelno spojeni strujni izvori pretvaraju se u jedan strujni

3.

paralelni naponski pretvaraju se u strujne, a zatim u jedan strujni4.

serijski strujni pretvaraju se u naponske, a zatim u jedan naponski

•

Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora -

primjer

•

Zadano: R1

=1Ω, R2

=1Ω, R3

=2Ω, R4

=2Ω,, E1

=12V, E2

=12V, E3

=12V, E4

=24V, RT

=8,5Ω•

Traži se struja kroz RT


•

Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora -

primjer

•

Zadano: R1

=1Ω, R2

=1Ω, R3

=2Ω, R4

=2Ω,, E1

=12V, E2

=12V, E3

=12V, E4

=24V, RT

=8,5Ω•

Traži se struja kroz RT

AREI 12

26

1

11 ===

AREI 12

112

2

22 ===

AREI 6

212

3

33 ===

AREI 12

224

4

44 ===

transformacija naponskih izvora u strujne (unutrašnji otpori ostaju isti)


AIII 242112 =+=

Ω=+

=21

21

2112 RR

RRR

spajanje paralelno spojenih strujnih izvora

AIII 64334 =+−=

Ω=+

= 143

4334 RR

RRR


VRIE 12121212 ==

pretvorba strujnih u naponske izvore

VRIE 6343434 ==


VEEE 183412 =+=

spajanje naponskih izvora

Ω=+=23

3412 RRR

struja kroz otpor RT

ARR

EIT

8.1=+

=

Documents

ISTOSMJERNE STRUJE 31).pdf2. Izravna primjena Kirchhoffovih zakona – Električka mreža sastoji se od grana i čvorova – Općenito u mreži su struje nepoznate – Prema Kirchhoffovim