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  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    c

    A massa inercial mede a dificuldade em se alterar o

    estado de movimento de uma partcula.

    Analogamente, o momento de inrcia de massa mede

    a dificuldade em se alterar o estado de rotao de um

    corpo rgido. No caso de uma esfera, o momento de

    inrcia em torno de um eixo que passa pelo seu centro

    dado por I = MR

    2

    , em que M a massa da es-

    fera e R seu raio. Para uma esfera de massa M = 25,0kg

    e raio R = 15,0cm, a alternativa que melhor representa

    o seu momento de inrcia

    a) 22,50 10

    2

    kg . m

    2

    b) 2,25 kg . m

    2

    c) 0,225 kg . m

    2

    d) 0,22 kg . m

    2

    e) 22,00 kg . m

    2

    Resoluo

    Dados:

    M = 25,0kg

    R = 0,15m

    O momento de inrcia dado por

    I = M R

    2

    I = . 25,0 . (0,15)

    2

    (SI)

    c

    Em um experimento verificou-se a proporcionalidade

    existente entre energia e a freqncia de emisso de

    uma radiao caracterstica. Neste caso, a constante

    de proporcionalidade, em termos dimensionais, equi-

    valente a

    a) Fora.

    b) Quantidade de Movimento.

    c) Momento Angular.

    d) Presso.

    e) Potncia.

    Resoluo

    Para uma partcula com quantidade de movimento

    Q ,

    ocupando uma posio P, define-se quantidade de

    movimento angular

    L, em relao a um ponto O, como

    sendo o produto vetorial entre

    Q e o vetor posio

    r = P O.

    2

    I = 0,225kg . m

    2

    2

    5

    2

    5

    2

    5

    1

    FSICA

  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    O mdulo de

    L dado por

    |

    L | = |

    Q | |

    r | sen

    Em relao s grandezas fundamentais massa (M),

    comprimento (L) e tempo (T), temos

    [

    L] = M LT

    1

    . L = M L

    2

    T

    1

    Por outro lado, a energia E relaciona-se com a freqn-

    cia f por

    E = h f h = [h] =

    [h] = ML

    2

    T

    1

    Portanto [

    L] = [h]

    c

    Uma rampa rolante pesa 120N e se encontra inicial-

    mente em repouso, como mostra a figura. Um bloco

    que pesa 80N, tambm em repouso, abandonado no

    ponto 1, deslizando a seguir sobre a rampa. O centro

    de massa G da rampa tem coordenadas: x

    G

    = 2b/3 e y

    G

    = c/3. So dados ainda: a = 15,0m e sen = 0,6. Des-prezando os possveis atritos e as dimenses do bloco,

    pode-se afirmar que a distncia percorrida pela rampa

    no solo, at o instante em que o bloco atinge o ponto

    2,

    a) 16,0m b) 30,0m c) 4,8m

    d) 24,0m e) 9,6m

    Resoluo

    O sistema formado pelo bloco e pela rampa isolado

    de foras horizontais e, portanto, a quantidade de movi-

    mento horizontal do sistema vai permanecer constante

    e nula. Q

    h

    1

    +

    Q

    h

    2

    =

    O

    m

    1

    V

    1

    h

    + m

    2

    V

    2

    h

    =

    O

    m

    1

    V

    1

    h

    = m

    2

    V

    2

    h

    3

    M L

    2

    T

    2

    T

    1

    E

    f

  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    m

    1

    |

    V

    1

    h

    | = m

    2

    |

    V

    2

    h

    |

    m

    1

    = m

    2

    m

    1

    a cos m1

    x

    2

    = m

    2

    x

    2

    x

    2

    (m

    2

    + m

    1

    ) = m

    1

    a cos

    x

    2

    =

    x

    2

    = (m)

    b

    Um sistema composto por duas massas idnticas

    ligadas por uma mola de constante k, e repousa sobre

    uma superfcie plana, lisa e horizontal. Uma das mas-

    sas ento aproximada da outra, comprimindo 2,0cm

    da mola. Uma vez liberado, o sistema inicia um movi-

    mento com o seu centro de massa deslocando com ve-

    locidade de 18,0cm/s numa determinada direo. O

    perodo de oscilao de cada massa

    a) 0,70s b) 0,35s c) 1,05s d) 0,50s

    e) indeterminado, pois a constante da mola no co-

    nhecida.

    Resoluo

    1) A velocidade do centro de massa dada por:

    Q

    total

    = m

    total

    V

    CM

    m V

    1

    + m V

    2

    = 2m V

    CM

    V

    1

    + V

    2

    = 2 V

    CM

    (1)

    2) A energia cintica do sistema dada por:

    E

    C

    = (V

    1

    2

    + V

    2

    2

    ) (2)

    De (1): V

    1

    = 2V

    CM

    V

    2

    Em (2): E

    C

    = [(2 V

    CM

    V

    2

    )

    2

    + V

    2

    2

    ]

    E

    C

    = (4 V

    2

    CM

    + V

    2

    2

    4 V

    CM

    V

    2

    + V

    2

    2

    ]

    E

    C

    = (2 V

    2

    2

    4 V

    CM

    V

    2

    + 4 V

    2

    CM

    )

    Esta funo ser mnima quando V

    2

    = V

    CM

    = V

    1

    3) A energia cintica mnima corresponde energia

    elstica mxima.

    m

    2

    m

    2

    m

    2

    m

    2

    4

    x

    2

    = 4,8 m

    80

    . 15,0 . 0,8

    g

    200

    g

    m

    1

    a cos

    m

    2

    + m

    1

    x

    2

    t(a cos x

    2

    )

    t

  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    Portanto:

    E

    m

    = E

    cin

    min

    + E

    e

    mx

    E

    m

    = 2 V

    CM

    2

    +

    b) No instante t

    1

    em que a mola est em seu tamanho

    natural (sem deformao) um dos blocos estar em

    repouso (V

    1

    = 0) e outro ter velocidade V

    2

    dada por:

    m V

    1

    + m V

    2

    = 2 m V

    CM

    No instante t

    1

    a energia mecnica ser dada por:

    E

    m

    = = 4 V

    CM

    2

    = 2m V

    CM

    2

    5) Usando-se a conservao da energia mecnica vem:

    mV

    CM

    2

    + = 2mV

    CM

    2

    = mV

    CM

    2

    = ww =

    = (SI) = (SI)

    6) Por outro lado o sistema vai oscilar com cada bloco

    realizando um MHS em relao ao centro de massa

    do sistema

    Cada metade da mola ter constante elstica igual a

    2k e o perodo de oscilao de cada bloco dado

    por:

    T = 2pi ww = . (s) = (s)

    a

    Um pequeno camundongo de massa M corre num pla-

    no vertical no interior de um cilindro de massa m e eixo

    horizontal. Suponha-se que o ratinho alcance a posio

    indicada na figura imediatamente no incio de sua corri-

    da, nela permanecendo devido ao movimento giratrio

    5

    T 0,35s

    pi

    9

    1

    9w2

    2pi

    w2

    m

    2k

    1

    9 w2

    0,02

    w2 . 0,18

    m

    k

    x

    w2VCM

    m

    k

    x

    2

    2 V

    CM

    2

    m

    k

    kx

    2

    2

    kx

    2

    2

    m

    2

    m V

    2

    2

    2

    V

    2

    = 2 V

    CM

    k x

    2

    2

    m

    2

  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    de reao do cilindro, suposto ocorrer sem resistncia

    de qualquer natureza. A energia despendida pelo rati-

    nho durante um intervalo de tempo T para se manter

    na mesma posio enquanto corre

    a) E = g

    2

    T

    2

    . b) E = M g

    2

    T

    2

    .

    c) E = g

    2

    T

    2

    . d) E = m g

    2

    T

    2

    .

    e) n.d.a.

    Resoluo

    O momento de inrcia I de um cilindro oco, em rela-

    o a um eixo que passa pelo seu centro, dado por

    I = m R

    2

    ,

    em que m a massa e R, o raio do cilindro.

    A energia cintica de rotao do cilindro (E

    C

    ) dada por

    E

    C

    = = . 2

    Como . R = V (velocidade tangencial do cilindro), vem

    Isso significa que podemos imaginar o cilindro subs-

    titudo por um ponto material de massa m com veloci-

    dade escalar V.

    Para se manter em repouso, o camundongo deve tro-

    car com o cilindro uma fora vertical de intensidade

    igual de seu peso, Mg.

    Aplicando-se a 2 lei de Newton:

    Mg = m a a = (constante)

    A velocidade escalar V dada por

    V = V

    0

    + a T

    Para V

    0

    = 0 e a =

    ,

    vem

    Mg

    m

    Mg

    m

    m V

    2

    E

    C

    =

    2

    m R

    2

    2

    I 2

    2

    m

    2

    M

    M

    2

    2m

  • ITA (1 Dia) Dezembro/2001

    OBJETIVO

    V = T

    Portanto, E

    C

    = =

    A energia cintica adquirida pelo cilindro corresponde

    energia dispendida pelo camundongo.

    d

    Um dos fenmenos da dinmica de galxias, consi-

    derado como evidncia da existncia de matria es-

    cura, que estrelas giram em torno do centro de uma

    galxia com a mesma velocidade angular, independen-

    temente de sua distncia ao centro. Sejam M

    1

    e M

    2

    as

    pores de massa (uniformemente distribuda) da ga-

    lxia no interior de esferas de raios R e 2R, respec-

    tivamente. Nestas condies, a relao entre essas

    massas dada por

    a) M

    2

    = M

    1

    . b) M

    2

    = 2M

    1

    .

    c) M

    2

    = 4M

    1

    . d) M

    2

    = 8M

    1

    .

    e) M

    2

    = 16M

    1

    .

    Resoluo

    Como as pores de massa da galxia no interior das

    esferas so uniformemente distribudas, a densidade

    das esferas a mesma e a massa proporcional ao

    volume.

    M

    1

    = k pi R1

    3

    M

    2

    = k pi R2

    3