IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) · 2008. 1. 15. · K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

IV.

TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych.

Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to doznaje przyspieszenia i promieniuje, a wówczas traci energię.

IV.1. WIDMA PROMIENIOWANIA ATOMÓW

Rys. IV.1. Schemat spektrometru optycznego. Wiązka światła pada na pryzmat i zostaje rozszczepiona.

Rys.IV.2. Z Rys.IV.1. – na kliszy uzyskamy taki obraz padającej wiązki. Jest to widmo liniowe.

Rodzaje widm – podział:

I. według (ze względu na) długość fali λa) widma optyczne

– powstają w wyniku zmiany energii elektronów zewnętrznych

– 1 –


(100Å ≤ λ ≤ daleka podczerwień)– widma widzialne (VIS): 4000Å ≤ λ ≤ 8000Å– widma podczerwone (IR): λ ≥ 8000Å– widma nadfioletowe (UV): λ ≤ 4000Å

b) widma rtg (rentgenowskie)– powstają w wyniku zmiany energii elektronów wewnętrznych (najbliższych jądra atomowego)

II. według struktury linii

a) widma liniowe | | | || | || | : atomy (jony) swobodneb) widma pasmowe ||| |||| ||| |||| – gdy linie są zgrupowane bardzo gęsto obok

siebie: drobiny (jony drobin) np. CO2, NH3, CH4,...c) widma ciągłe – są charakterystyczne dla materii skondensowanej: ciała stałe

(metale), ciecze i gazy w wysokich ciśnieniach. Nie da się jednoznacznie przypisać konkretnej substancji.

a) i b) są charakterystyczne dla danej substancji – określają ją w sposób jednoznaczny

Dwie linie blisko siebie w widmie – dublet (np. widmo sodu).

III. ze względu na sposób obserwacji

a) widma emisyjne – obserwujemy promieniowanie wysyłane b) widma absorbcyjne – powstają gdy widmo ciągłe przepuścimy przez daną

substancję (np. gaz), różnica widma ciągłego i liniowego. Na podstawie analizy linii widmowych możemy stwierdzić przez jakie pierwiastki widmo zostało przepuszczone

– 2 –


Rys.IV.3. Przykłady widm.

IV.2. WIDMO ATOMU WODORU (DOŚWIADCZENIE)

Rys.IV.4. Widmo atomu wodoru – przedstawienie graficzne ilustrujące serię Balmera.

– 3 –


Balmer zaproponował wzór dzięki któremu możemy znaleźć położenie każdej z linii widmowych atomu wodoru.

n=B⋅n2

n2−4, n = 3,4,5,.... (IV.2.1)

λ3 = λα = 6563 [Å]

H∞ – granica serii Balmera ( λ =3646Å)Każda seria kończy się pewną linią graniczną.W serii Balmera wykryto 10 linii.

Rydberg wprowadził pewną modyfikację z której wynika, że wygodniej położenie linii opisywać przez tzw. liczbę falową k, którą wyrażają zależności (IV.2.2a) lub (IV.2.2b):

k = 1 (IV.2.2a)

lub

k = 2

(IV.2.2b)

k n=RH 122− 1n2 , n = 3,4,5,... (IV.2.3)gdzie:stała Rydberga – RH = 109677,58 cm-1

Znanych jest 6 serii linii widmowych, których linie opisuje uogólniony wzór Rydberga:

k=R∞Z2 1n12− 1n22 (IV.2.4)

n2 = n1+1, n1 = const dla danej serii i 1 ≤ n1 ≤ 6

– 4 –


SERIA ROK n1 ZAKRESLymana Balmera

Paschena

190618851908

123

UVVIS+UV

IRprzed teorią

Bohra

BrackettaPfunda

Humpkreysa

192219241952

456

po teorii BohraIRIRIR

Tabela IV.2. Serie widmowe atomu wodoru.

Model Bohra przewidział istnienie dalszych serii w podczerwieni zanim zostały praktycznie wykryte.Teoria Bohra wyprowadzona dla atomu z jednym elektronem – atomy wodoropodobne.

IV.3. TERMY I ZASADA KOMBINACJI RYDBERGA – RITZA (1908)

k=RHn12 − RHn22 k=T 1−T 1 , T 1=

RHn1

2 , T 2=RHn2

2

T n =df RH

n2 (IV.3.1)

Wzór (IV.3.1) – pojęcie termu, którego matematyczna postać jest inna dla każdego pierwiastka.

Położenie dla dowolnego widma (linii) możemy przedstawić jako różnicę dwóch termów:

kn=T n' −T n1

'

Wzory termów dla atomów innych niż wodór, mają inną postać.

Zasada kombinacji Rydberga – Ritza

Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich termów. Termy te poprzez kombinacje z innymi termami mogą służyć do obliczania liczb

– 5 –


falowych innych linii tego samego widma.

Podsumowanie:Widma atomowe nie są ciągłe – są liniowe, a więc skwantowane!

IV.4. POSTULATY BOHRA

Teoria Bohra oparta jest na następujących postulatach:I. Elektron porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki klasycznej

(równowaga zapewniona przez prawo Coulomba i II zasadę dynamiki Newtona). Siła przyciągająca między ładunkiem a jądrem jest równoważona przez siłę odśrodkową.

II. Zamiast nieskończonej liczby orbit , które dozwolone są z punktu widzenia mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których orbitalny moment pędu L spełnia warunek:

L = n⋅ħ , n = 1,2,3,...

ħ =df h2 (IV.4.1)

L =∣L∣ – kręt orbitalny

L = r×p , p = m⋅v

Jest to tzw. postulat kwantowy.

III. Całkowita energia na danej orbicie stacjonarnej jest stała:E=const

A zatem Bohr przyjął, że elektron nie traci energii!

IV. Przy przejsciu elektronu z jednej orbity na drugą atom wysyła promieniowanie.

E2→ E1 < E2

– 6 –


f 21=E2−E1

h – częstość wyemitowanego

promieniowania

Rys.IV.5. Promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą.

Postulat analogiczny do postulatu Einsteina!Bazując na tych postulatach można wyprowadzić wzór Rydberga.

IV.5. WYPROWADZENIE WZORU RYDBERGA.

F e=Fo

F c=k' Ze2

r 2

F o=mv2

r

Rys. IV.6. Elektron krążący po orbicie wokół jądra atomu.

1

40układ (SI)

k'= 1 układ (Gaussa)

założenie: k'=1

Ze2

r2 =

mv 2

r , z czego i ze wzoru (IV.5.3) wynika, że

– 7 –


r= Ze2

mv2 (IV.5.4)

L=nħ (IV.5.1)

v= nħmr

(IV.5.3)

L=mvr (IV.5.2)

A zatem:

r n=ħ2

Ze2⋅m⋅n2 n = 1,2,3, (IV.5.5)

r 1: r 2: r3: ...=1: 4 :9: ...

z wzoru (IV.5.5) możemy wyliczyć promień wodoru na pierwszej orbicie (w stanie podstawowym) – promień Bohra:

r 1=5,3 ⋅10−9 cm

Z (IV.5.3) i (IV.5.5) wynika, że prędkość na n-tej orbicie wynosi:

vn=Ze2

ħ⋅1

n (IV.5.6)

Z wzoru (IV.5.6) możemy wyliczyć, że:

v1=2 ⋅108 cm

s < 1% c

A zatem jak widać, nie ma efektu relatywistycznego.

v k~1n , czyli

v1 :v2 : v3 =1 :1 2

: 1 3

Jak wynika z powyższych obliczeń, największą prędkość uzyskuje elektron na 1 orbicie.

Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep:

E=E kE p (IV.5.7)

– 8 –


E k=mv2

2= Ze

2

2r (IV.5.8)

E p=∫ Ze2

r2dr=−Ze

2

r (IV.5.9)

E=− Ze2

2r (IV.5.10)

Z zależności (IV.5.7) – (IV.5.10) wynika, że:

E=−Ek

Czyli, że energia całkowita elektronu jest ujemna, a więc elektron jest związany.

En=−Z 2 e4

2ħ 2⋅ 1n2 (IV.5.11)

En – całkowita energia elektronu na n–tej orbicie.

Z zależności (IV.5.11) można obliczyć E1=−13,6 eV , stąd wynika, że najsilniej związany jest elektron na pierwszej powłoce.

E1=−13,6 eV – taką energię trzeba dostarczyć ,aby oderwać elektron z 1 orbity(zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym).

En=−me4 Z 2

2ħ2⋅ 1n2 (IV.5.12)

Rys.IV.7. Przejście między stanami E2 – E1.

– 9 –


Rys.IV.8. Drabina poziomów energetycznych.

Znając energię dowolnego poziomu energetycznego, możemy wyznaczyć częstość f:

f 21=E2−E1

h=me

4 Z2

4ħ3 1n12− 1n22 (IV.5.13)Wprowadzamy liczbę falową k daną wzorem (IV.2.2a):

k=1λ= f

c (IV.5.14)

Po podstawieniu częstości danej wzorem (IV.5.13) do wzoru (IV.5.14) otrzymujemy:

k=R∞ Z2 1n12− 1n22 (IV.5.15)

R∞=df me4

4ℏ3 c

Po wstawieniu wartości liczbowych można wyliczyć, że:

R∞=109737,3128cm−1

Wzór (IV.5.15) określa położenie dowolnej linii. Dla Z=1 jest on zgodny ze wzorem Rytberga.

– 10 –


RH=109677,58 cm−1

R∞≃RH ± 0,05%

Teoria Bohra jest w stanie wyjaśnić położenie linii w tych wszystkich 6 seriach widmowych wodoru. Potwierdziła bardzo dokładnie położenie linii widmowych w znanych 3 seriach oraz przewidziała istnienie 3 kolejnych. Każda seria odpowiada przejściu elektronu z dowolnej powłoki n2 = (n1 + n) na powłokę n1.

IV.6. POPRAWKA NA SKOŃCZONĄ MASĘ JĄDRA, M≠ ∞

W rzeczywistości, w atomie wodoropodobnym, oba ciała jądro i elektron poruszają się wokół środka masy CM.

Rys.IV.9. Schematyczne przedstawienie środka masy w układzie jądro – elektron (nie w skali). Masa jądra atomowego M jest skończona i wynosi niecałe 200 me, im lżejsze jądro atomowe tym większe przesunięcie środka ciężkości CM w stronę elektronu. M – masa elektronu, r – odległość elektronu od jądra atomowego, x – odległość środka ciężkości atomu od środka jądra atomowego.

Można pokazać, że kręt elektronu w takim przypadku (tzn. gdy masa elektronu jest skończona) wynosi:

L= mMmM

⋅r2⋅=mr 2 11 mM mr2

(IV.6.1)

A zatem możemy stosować wszystkie wyprowadzone wcześniej wzory, tyle ze za masę wstawiamy tzw. masę zredukowaną μ.

– 11 –


=df mMmM (IV.6.2)

Uwzględniając to, że jądro ma skończoną masę, wzór Rydberga ma poniższą postać:

k=RM Z2 1n12− 1n22 (IV.6.3)

RM=e4

4e ℏ3 (IV.6.4)

RM – stała Rytberga dla atomów ze skończoną wartością masy jądra.

IV.7. DOŚWIADCZENIE FRANCKA- HERTZA (1914)

Eksperymentalne potwierdzenie punktu IV.6.

Doświadczenie Francka – Hertza dotyczy zderzania się elektronów z dowolnymi atomami metali (np. rtęci).Jeżeli poszczególne poziomy energetyczne w atomie są skwantowane, to poziomy całego atomu powinny być skwantowane (suma).

Rys.IV.10. Ilustracja doświadczenia Francka – Hertza. Bańka została wypełniona atomami Hg. S – siatka (aby elektrony z katody K mogły przelecieć do anody A) służąca jako dodatkowa elektroda. Pomiędzy siatką

– 12 –


S a anodą A – potencjał hamujący V'.

Rys.IV.11. Wykres niebieski – jeżeli stany atomów są skwantowane możliwe jest tylko pokazanie odpowiedniej dawki energii (ukazuje jak zmieniałoby się natężenie gdyby w bańce była próżnia i elektrony nie zderzały się z atomami Hg, lub też gdyby te zderzenia były sprężyste). Wykres czerwony – ilustruje rzeczywisty przebieg zależności (przy zderzeniach niesprężystych część energii jest przekazywana przez elektrony atomom rtęci.)

Ek ≠ ∆ E10

E k=eV

∆ Ek=∆ E10

eV 1=∆ E10 eV 2=∆ E20

V 1=4,9 eV

Rys.IV.12. Schemat poziomów energetycznych układu skwantowanego.

– W charakterystyce i – V obserwujemy skoki (piki) związane ze wzbudzeniem atomów Hg do coraz wyższych potencjałów energetycznych

– doświadczenie pokazuje w sposób jakościowy oraz ilościowy (można wyliczyć), że atom jest układem skwantowanym

Przy napięciu V1 wzbudzenie do E1, przy V2 wzbudzenie do E2.

– 13 –


Jeżeli znamy napięcie pierwszego piku V 1=4,9 eV , to możemy obliczyć częstość f1:

eV 1=hf 1 → f 1=eV 1h

A ponieważ f 1=c1

, to możemy obliczyć długość fali λ1:

1=hceV 1

Z teorii dostajemy 1=2530 Å UV

Z doświadczenia Francka – Hertza 1FH=2537 Å

A zatem∆

≈0,3%

Doświadczenie to potwierdza słuszność teorii Bohra.

– 14 –

A zatem

Documents

IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) · 2008. 1. 15. · K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)