Upload
trinhthu
View
302
Download
23
Embed Size (px)
Citation preview
PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM
(PPDU) TELKOM UNIVERSITY
KALKULUS IMUG1A4
IV. TURUNAN
KONSEP TURUNAN
cxcfxfmPQ
)()(
Turunan di satu titikPendahuluan (dua masalah dalam satu tema )
a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :
c
f(c) P
x
f(x)Q
x-c
f(x)-f(c)
Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan
cxf(c)f(x)m
cx
lim
b. Kecepatan SesaatMisal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinatsehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan posisi
s
f(c)
f(c+h)
hcfhcfv ratarata)()(
Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dankecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebutberada dalam satu tema, yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi
didefinisikan sebagai bila limit diatas ada
hcfhcfvv
hrataratah
)()(limlim00
cxf(c)f(x)v
cx
lim
)(' cf
'( ) limx c
f(x) f(c)f cx c
Notasi lain :
Contoh : Diketahui tentukan
)(',)( cydx
cdf
x)x(f 1
3 3
3 3
3
1 13 33 lim lim
3 33 ( 3)lim lim
3 3 3 31 1lim
3 9
x x
x x
x
f(x) f( ) xf'( )x x
x xx(x ) x(x )
x
)3('f
1. '( ) limx c
f(x) f(c)f cx c
0
0
0
0
0
3 33 lim
1 13 3lim
3 (3 )3(3 )lim
3(3 )lim
1 1lim3(3 ) 9
h
h
h
h
h
f( h) f( )f'( )h
hh
hh
hh
hh
h
0
( ) ( )2. '( ) limh
f c h f cf ch
TURUNAN SEPIHAKTurunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di catau jika
Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
)c(f)c(f ''
cxcfxfcf
cx
)()(lim)('
cxf(c)f(x)(c)f
cx
'
lim
)(' cf
)c(f)c(f)c('f ''_ dan
Contoh : Diketahui
1,211,3
)(2
xxxxx
xf
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukanJawab :a.
b.
Jadi, f diferensiabel di x = 1 .1)1(dan ' f
)1('f
2'
1 1
2
1 1
( ) (1) 3 (1 2 1)(1) lim lim1 1
( 1)lim lim 11 1
x x
x x
f x f x xfx x
x x x xx x
'
1 1
1 1
( ) (1) 1 2 (1 2 1)(1) lim lim1 1
2 2 1lim 2 lim 11 ( 1)( 1)
x x
x x
f x f xfx xx x
x x x
Teorema : Jika f diferensiabel di cf kontinu di c.• Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
• Perhatikan bahwa
• Maka
• Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
)()(lim cfxfcx
cxcxcx
cfxfcfxf
,).()()()()(
)()()()(lim)(lim cxcx
cfxfcfxfcxcx
)(lim.)()(lim)(lim cxcx
cfxfcfcxcxcx
0).(')( cfcf = f(c). Terbukti.
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 JawabAkan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
0,
0,||)(
xxxx
xxf
)x(flimx 0
0)(lim0
xx
)x(flimx 0
0lim0
x
x 0)(lim0
xfx
)0()(lim0
fxfx
f(0) = 0
f kontinu di x = 0
00
00
x
)(f)x(flim)(f
x
' 1lim0lim00
x
xx
xxx
000
0
x)(f)x(flim)(f
x
' .1lim0lim00
x
xx
xxx
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0
1)0()0(1 '' ffKarena
maka f tidak diferensiabel di 0.
Contoh :Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1.
1,
1,)(
2
xaxxbx
xf
).(lim)(lim)1(11
xfxffxx
Jawab :
f(x) mempunyai turunan di x = 1 jikaa. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau
11limlim1
2
1
ababaaxbxa
xx
2'
11
2 2
1 1 1 1
( ) (1)(1) lim lim1 1
( 1) 1 ( 1)( 1)lim lim lim lim 1 21 1 1
xx
x x x x
f x f x b afx x
x a a x x x xx x x
Maka a = 2 dan b = 1
'
1 11
' '
( ) (1) 1(1) lim lim lim1 1 1
(1) (1)2
x xx
f x f ax a xf a ax x x
f fa
b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup)
Soal Latihan
1. Apakah fungsi 2
2
3 , 1( )
4 2 , 1
x x xf x
x x x
diferensiabel di x = 1?
2. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?)1|(|)( xxxf
3. Apakah fungsi diferensiabel di x = 2?
2,12
2,1)(
2
xxxx
xf
4. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?
5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di x = 3
)3|1(|)( 2 xxxf2 1 ; 3
( )2 ; 3x x
f xax b x
ATURAN PENCARIAN TURUNANFungsi Turunan PertamaDefinisi Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain , bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
xxt
xftfxfxt
,)()(lim)('
xh
xfhxfxfh
,)()(lim)('0
)(,,)(,,' xfDyDdx
xdfdxdyy xx
dxdy
)(' xf
• Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka
2.
3.
4.
5. dengan
Rrxrdxxd r
r
;1
(x)g(x)fdx
g(x)f(x)d ''
)()()()()()( '' xgxfxgxfdx
xgxfd
)(
)()()()(2
'')(
)(
xgxgxfxgxf
dxd xg
xf ( ) 0g x
0)(' xf
Bukti formula 4 Misalkan h(x) = f(x)g(x)
0 0
0
0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( )
( ) ( )lim ( )lim lim ( )lim
h h
h
h
h h h h
h x h h x f x h g x h f x g xh xh h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xh
g x h g x f x h f xf x h g xh h
g x h g xf x h g xh
( ) ( )
( ) '( ) ( ) '( )'( ) ( ) ( ) '( )
f x h f xh
f x g x g x f xf x g x f x g x
13)( 2
xxxf
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1.( 1) 2 ( 3) 1 6 2 6 1'( )( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x xf xx x x
3.Tentukan turunan pertama dari
Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 xxxfJawab :
02.33)(' 2 xxxf xx 63 2
2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 xxxxfJawab :
)22)(1()32(3)(' 322 xxxxxxf
2222963 34234 xxxxxx
22985 234 xxxx
Jawab :
Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari
)12()1()( 3 xxxxf
11)( 2
2
xxxf
1)( 3 22/1 xxxf1.
2.
3.
xxfxxfa cos)('sin)(. xxfxxfb sin)('cos)(.
02
2 cos sinsin sin 2 2'( ) lim lim
sin( )2lim cos( ). lim
2 ( )2
cos .1 cos
t x t x
t xt x
t x t xt xf xt x t x
t xt x
t x
x x
TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS
BUKTIa. Misal f(x) = sin x, maka
b. Misal f(x) = cos x, maka
hxhxxf
h
cos)cos(lim)('0
0
cos cosh sin sinh coslimh
x x xh
hxx
h
sinhsin)1(coshcoslim0
hx
h
hx
h
sinhsin)
2sin(cos
lim
2
0
)sinhsin4)2/(
)2
sin(cos(lim 2
2
0 hx
h
hhx
h
hxh
hhx
hh
sinhlimsin42/
)2/sin(limcos0
2
0)2/(
xxx sinsin0.cos
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperolehdengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnyaturunan bentuk u/v
dx
ddx
xdc xx
cossintan. x
xx2
22
cossincos
x2cos
1 x2sec
dx
ddx
xdd xx
sincoscot.
xxx
2
22
sincossin
22
1 cscsin
xx
dx
ddx
xde xcos1sec.
xx
2cossin
xx
xcos
1cossin
sec tanx x
dx
ddx
xdf xsin1csc.
xx
2sincos
cos 1 csc cotsin sin
x x xx x
ATURAN RANTAI
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,maka
Contoh : Tentukan dariJawab :Misal sehingga bentuk diatas menjadiKarena
dan
maka
dxdu
dudy
dxdy
dudy
dxdu
dxdy )1sin( 2 xy
12 xu
xdxdu 2
uy sin
ududy cos
2 2cos( 1)2 2 cos( 1)dy x x x xdx
dxdv
dvdu
dudy
dxdy
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandxdv
dvdu
dudy ,, ada, maka
Contoh : Tentukandxdy
)5( 34 xSinydari
53 xv 23xdxdv
Jawab :
Misal )5cos(cos 3 xv
dvdu
4y u )5(44 333 xSinududy
sehingga
)5()5(12.. 3332 xCosxSinxdxdv
dvdu
dudy
dxdy
sin
Atau bisa dengan cara langsung,
)5( 34 xSiny 3 3 3 2' 4. ( 5) ( 5).3y Sin x Cos x x
2 3 3 312 ( 5) ( 5).x Sin x Cos x
72 3y x
y x sin3
xxy 24 4cos2
11
xxy
Tentukan fungsi turunan pertama dari
Soal Latihan
2 21
xyx
1.
2.
3.
4.
5.
6. 2 1y sin x tan x
TURUNAN TINGKAT TINGGI• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
• Turunan pertama
• Turunan kedua
• Turunan ketiga
• Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
2
2
3
3
'( )
"( )
"'( )
( )n
nn
df xf x
dxd f x
f xdx
d f xf x
dxd f x
f xdx
)()( )1()( xfdxdxf nn
xxy sin4 3
xxy cos12' 2 xsinx''ymaka 24
''y
y x sin 2 1
y x 2 3 4
yx
x
1
y x cos2
f c"( ) 0 f x x x x( ) 3 23 45 6
g x ax bx c( ) 2
3)1(' g 4)1('' g
A. Tentukan turunan kedua dari
B. Tentukan nilai c sehingga bila
C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,
dan
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x), maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y fungsi implisit dari x.
Contoh :
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
10.1 223 yxyx
1)sin(.2 22 yxxy
Jawab:
)10()()()( 223xxxx DyDxDyxD
2 2 3(3 2 ' ) 2 ' 0x y y y x x y 223 32')12( yxxyyx
1232' 3
22
yx
yxxy
3 2 21. ( ) (10)x xD x y x y D
10.1 223 yxyx 1)sin(.2 22 yxxyContoh: Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
cos( )(1. ' ) 2 2 ' 0xy y y x x yy
)cos(2')2)cos(( xyyxyyxyx
yxyxxyyxy2)cos(
)cos(2'
2 22. (sin( ) ) ( 1)x xD xy x D y
y xy sin 1
x x y y3 2 23 0
Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari bentuk implisit
Soal Latihan
xyxyx )sin(2
1.
2.
3.
4.
2 0tan xy y
GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL
• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah
• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.
• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
).(100 xx
myy
0 0– –( ), 'y y yx x mm
42.42.3)6,2('43' 22 yxxy
24 xy)2(46 xy
21
416)2(
416 xyxy
1 134 2
y x
Jawab :
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalfungsi di (2,6). 62 23 xxy
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva0622 xyyx di titik dengan absis (x) = 1
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaangaris singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)
Hitung terlebih dahulu dengan menggunakan turunan fungsi implisit'y
2 6 0 ( 3)( 2) 0 3 2y y y y y dan y
2 2 2 2( 6) (0) 2 2 ' ( ') 0 0x xD x y xy D xy x yy y xy 2 22 2 ' ' 0xy x yy y xy 2 2(2 ) ' 2x y x y y xy
xyxxyyy
2
2
22'
Di titik (1,3)
3515
13.1.29.1.23|' )3,1(
y
Persamaan garis singgung33)1(33 xxy
63 yx
Persamaan garis normal
31
31)1(
313 xxy
83 yx
Di titik (1,-2)
25
101)2.(1.24.1.22|' )2,1(
y
Persamaan garis singgung22)1(22 xxy
42 yx
Persamaan garis normal
21
21)1(
212 xxy
32 yx
Soal Latihan
sin xy y
1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di ,12
2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
2 2 3 10x y xy y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 1)
Terima Kasih