Upload
phungliem
View
709
Download
41
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA
TURUNAN FUNGSI
KELAS : XI MIA
SEMESTER : 2 (DUA)
SMA Santa Angela
Bandung
Tahun Pelajaran 2016 - 2017
h
xfhxf )()( 0h
lim
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 3
TURUNAN FUNGSI
PENGANTAR :
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar
untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah.
Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha
mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan
matematika akan makin terasa kegunaannya dalam
kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI :
6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR :
6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam
perhitungan turunan fungsi
6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah
6.3 Merancang model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi
6.4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya
TUJUAN PEMBELAJARAN :
1. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.
2. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan
menggunakan definisi turunan
3. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi
4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat turunan
5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai
6. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan
menggunakan konsep turunan pertama
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 4
7. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi
8. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi
9. Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaikan
dengan konsep ekstrim fungsi
10. Merumuskan model matematika dari masalah ekstrim
fungsi
11. Menyelesaiakan model matematika dari masalah ekstrim
fungsi
12. Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim
KEGIATAN BELAJAR :
I. Judul sub kegiatan belajar :
1. Pengertian Turunan Fungsi
2. Rumus-rumus Turunan Fungsi
3. Turunan Fungsi Trigonometri
4. Dalil Rantai
5. Garis Singgung
6. Fungsi Naik dan Turun
7. Menggambar grafik fungsi
II. Uraian materi dan contoh
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai
turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy = df(x) dan di
definisikan : dx dx
y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x)
h→0 h dx h→0 h
Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 5
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3
Jawab
f(x) = 4x – 3
f( x + h) = 4(x + h) – 3
= 4x + 4h -3
Sehingga: f’(x) = 0
limh h
xfhxf )()(
= h
xhx
h
)34()344(lim
0
= h
xhx
h
)34344lim
0
= h
h
h
4lim
0
= 4lim0h
= 4
Contoh 2;
Tentukan turunan dari f(x) = 3x2
Jawab :
f(x) = 3x2
f(x + h) = 3 (x + h)2
= 3 (x2 + 2xh + h2)
= 3x2 + 6xh + 3h2
Sehingga : f’(x) = h
xfhxf
h
)()(lim
0
= h
xhxhx
h
222
0
3)363(lim
= h
hxh
h
2
0
36lim
= 36lim0
xh
h
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 6
= 6x+ 3.0
= 6x
Latihan
Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:
1. f(x) = 6 – 2x
2. f(x) = 5x2 +2x
3. 2
1)(
xxf
4. xxf )(
5. f(x) = 2x3
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau dx
dy= anxn-1
2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan
Rasional berlaku
a. y = v± u → y’ = v’ ± u’
b. y = c.u → y’ = c.u’
c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’
d. 2
' ''
v
uvvuy
v
uy
e. y = un → y’ = n. un-1.u’
Contoh: 3
Soal ke-1
Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah ….
Pembahasan
f(x) = 3x2 + 4
f1(x) = 3.2x
= 6x
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 7
Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)3 + 12x2 – 8x + 4 adalah
…
Pembahasan
f(x) = 2x3 + 12x2 – 8x + 4
f1(x) = 2.3x2 + 12.2x – 8
= 6x2 + 24x -8
Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah …
Pembahasan
f(x) = (3x-2)(4x+1)
f(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2
f(x) = 12x2 – 5x – 2
f1(x) = 24x – 5
Soal ke- 4
Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …
Pembahasan
f(x) = (2x – 1)3
f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)
f1(x) = 6(2x – 1)2
f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)
f1(x) = 24x2 – 24x + 6
Soal ke- 5
Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah …
Pembahasan
f(x) = (5x2 – 1)3
f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x)
f1(x) = 20x (5x2 – 1)
f1(x) = 100x3 – 20x
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 8
Soal ke- 6
Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah …
Pembahasan
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal : U = 3x2 – 6x
U1 = 6x – 6
V = x + 2
V1 = 1
Sehingga:
f’(x) = U’ V + U V’
f1(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1
f1(x) = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x
f1(x) = 9x2 – 12
Cara 2:
f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)
f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x
f1(x) = 9x2+12x –12x – 12
f1(x) = 9x2 – 12
Latihan soal.
Tentukan turunan dari:
1. f(x) = 2x -3
2. f(x) = 5
3
x
3. f(x) = 43x
4. f(x) = xxx 3
2
24
5. f(x) = (2x + 1) (3x – 2)
6. f(x) = x
x 2)2(
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 9
7. f(x) = 3
4
2 )3( x
8. f(x) = xx 52
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan
turunan dari :
1. f(x) = sin x
Yaitu :
f(x) = sin x
f(x + h) = sin (x + h)
f’(x) = h
xfhxf
oh
)()(lim
= h
xhx
h
)sin()sin(lim
0
= h
hhx
h
2
1sin)2(
2
1cos2
lim0
= h
h
hxhh
2
1sin
lim)2(2
1cos2lim
00
= 2 cos 2
1).2(
2
1x
= cos x
2. f(x) = cos x
Yaitu :
f(x) = cos x
f(x + h) = cos ( x + h )
f’(x) = h
xfhxf
oh
)()(lim
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 10
= h
xhx
h
)cos()cos(lim
0
= h
hhx
h
2
1sin)2(
2
1sin2
lim0
= )2
1sin
lim)2(2
1sin2(lim
00 h
h
hxhh
= - 2 sin 2
1).2(
2
1x
= - sin x
Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :
1. a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x
b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x
2. a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )
b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )
dan jika u suatu fungsi maka:
3. a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u
b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u
Contoh 4:
Tentuka turunan dari:
a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x
b. f(x) = sin (5x – 2)
c. f(x) = tan x
jawab:
a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x
f’(x) = 3 cos x - 2 sin x
b. f(x) = sin (5x – 2)
f’ (x) = 5 cos (5x – 2 )
c. f(x) = tan x = x
x
cos
sin
missal : u = sin x → u’ = cos x
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 11
v = cos x → v’ = - sin x
f’ (x) = 2
''
v
uvvu
= x
xxxx2cos
)sin.(sincos.cos
= x
xx2
22
cos
sincos
= x2cos
1
= sec2 x
Latihan soal :
Tentukan turunan dari fungsi berikut :
1. f(x) = sin x – 3 cos x
2. f(x) = sin 3x
3. f(x) = cos (3x + )
4. f(x) = tan 32
1 x
5. f(x) = sec x
6. f(x) = sin x. cos x
7. f(x) = cos2x
8. f(x) = x
x
2sin
DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN
Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Jika g(x) = u→ g’ (x) = dx
du dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) →
du
dy = f’(u) = f’(g(x))
Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz
menjadi
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 12
dx
du
du
dy
dx
dy.
Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v))
maka:
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy..
Contoh 5:
Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari :
a. y = (x2 – 3x) 3
4
b. y = cos5 ( x23
)
Jawab:
a. y = (x2 – 3x) 3
4
missal : u = x2 – 3x → dx
du = 2x – 3
y = u 4
3
→ 3
1
3
4u
du
dy
= 3
1
2 )3(3
4xx
Sehingga :
dx
du
du
dy
dx
dy. = 3
1
2 )3(3
4xx .(2x – 3)
= 3
12 34
8xx
x
b. y = cos5 (x23
)
Misal: v = x23
→
dx
dv = -2
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 13
u = cos v → dv
du = - sin v = - sin ( x2
3
)
y = u5 → du
dy = 5u4 = 5(cos v)4
Sehingga :
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy. = 5(cos v)4 . - sin ( x2
3
) . -2
= 10 (cos v)4 sin ( x23
)
= 10 (cos( x23
) )4 sin ( x2
3
)
Latihan soal :
1. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adalah f’ (x) = f’(g(x) ).
g’(x)
Tentukan turunan dari:
a. y = ( 4x + 5) 2
3
b. y = sin ( 3x - 3
)
2. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut :
a. y = ( 6 – x 2 )3
b. y = cos ( 4x - )
c. y = sin -3 (2x + 3
)
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 14
GARIS SINGGUNG PADA KURVA
1. Gradien garis singgung
Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan
bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi
garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan
gradient
)('
)()(lim
0
afm
h
afhafm
g
hg
y
x
B((a+h),f(a+h))
x=a x=a+h
A(a,f(a)) g
y=f(x)
Perhatikan gambar di bawah ini
Gradien garis AB adalah
mAB
= 12
12
xx
yy
= aha
afhaf
)(
)()(
= h
afhaf )()(
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 15
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik
A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah
y – y1 = m (x – x1)
Contoh 6:
Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)
a. Tentukan gradien garis singgung di titik A.
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Jawab:
y = x2 – 3x + 4
y = 2x – 3
a. Gradien di titik A (3,4)
m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3
b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 3 (x – 3 )
y – 4 = 3x – 9
y = 3x – 5
Latihan soal
1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:
a. y = x2 – 6x di titik (-1,7)
b. y = sin 2x di titik )22
1,
2(
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
a. y = x2 – 2x – 3 di titik (3,1)
b. y = x -2x2 di titik dengan absis 1
c. y = (2-x)(2x +1) di titik dengan ordinat 2
3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar
dengan garis 4x + y = 3,
tentukan :
a. Titik singgung
b. persamaan garis singgung
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 16
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Gb. 1 gb. 2
1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika
untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) > f(x1) (gb. 1)
2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika
untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 f(x2) < f(x1) (gb. 2)
3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika
f (a) > 0
4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika
f (a) < 0
Contoh 7 :
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
merupakan :
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
0
f(x1)
f(x2)
x
y
f(x1)
f(x2)
x1 x2 x1 x2 x
y
0
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 17
Jawab:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
f’(x) = 3x2 + 18x + 15
a. Syarat fungsi naik
f (x) > 0
3x2 + 18x + 15 > 0
x2 + 6x + 5 > 0
(x+1) (x+5) > 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
x < - 5 atau x > -1
Latiha soal
1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan
fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = x2 – 6x
b. f(x) = 3
1x3 + 4x2 – 20x + 2
c. f(x) = (x2 -1) (x+1)
2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak
pernah turun.
-5 -1
b. Syarat fungsi turun
f (x) < 0
3x2 + 18x + 15 < 0
x2 + 6x + 5 < 0
(x+1) (x+5) < 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
-5 < x < -1
-5 -1
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 18
NILAI STASIONER
Jenis – jenis nilai stasioner
1. Nilai stasioner di titik A.
Pada : x < a diperoleh f (x) > a
x = a diperoleh f (x) = a
x > a diperoleh f (x) < a
Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x)
mempunyai nilai
stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut
titik balik maksimum.
A B
C
D y
x 0 x=a x=b x=c x=d
Perhatikan grafik fungsi y
= f(x) disamping
Pada titik A,B,C dan D
dengan absis berturut-turut
x = a, x = b, x = c dan x =
d menyebabkan f (x) = 0
maka f(a), f(b), f(c) dan
f(d) merupakan nilai –
nilai stasioner.
a
0 + +
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 19
2. Nilai stasioner di titik B dan D.
a. Pada : x < b diperoleh f (x) < 0
x = b diperoleh f (x) = 0
x > b diperoleh f (x) < 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b)
pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.
b. Pada : x < d diperoleh f (x) > 0
x = d diperoleh f (x) = d
x > d diperoleh f (x) > d
fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada
x = dan titik (d,f(d))
disebut titik belok
Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.
3. Nilai stasioner di titik C
Pada : x < c diperoleh f (x) < 0
x = c diperoleh f (x) = 0
x > c diperoleh f (x) > 0
d
0 + +
0
b
- -
- + 0
c
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 20
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(c) pada x =c
dan titik (c,f(c))
disebut titik balik minimum.
Contoh 7:
Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 +2x
Jawab : f(x) = x2 + 2x
f (x) = 2x + 2
= 2(x + 1)
Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0
2(x + 1) = 0
x = -1
f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1
Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)
x -2 - 1 0
f (x)2 ( x + 1 ) - 0 +
Bentuk grafik
Titik balik minimum
Dengan menggunakan uji turuna kedua :
a. 0 cf , maka f(c) adalah nilai balik maksimum fungsi f
b. 0 cf , maka f(c) adalah nilai balik minimum fungsi f
c. 0 cf , maka belum dapat disimpulkan, berarti f
mungkin mencapai nilai balik maksimum, nilai balik
minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam kasus
ini 0 cf penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali
menggunakan uji turuna peprtama.
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 21
Latihan
1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut :
a. f(x) = x2 – 6x
b. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x
c. f(x) = 24
2
1
4
1xx
d. f(x) = x4 – 8x2 -9
e. f(x) = 4
)1( 2
x
x
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa
langkah sebagai berikut :
1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika
mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh
dari x = 0.
3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan
untuk x yang besar negative.
Contoh 8:
Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan :
a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.
b. Nilai stasioner dan titik stasioner.
c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.
d. Titik Bantu
Jawab:
a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.
Y = 0 = 3x – x3
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 22
↔ 0 = x (3 – x2)
↔ 0 = x ( 3 - x ) ( 3 + x)
Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 ,0), (- 3 ,0)
ii. memotong sumbu y, jika x = 0
y = 3x – x3
y = 3.0 - 03
y = 0
titik potong sumbu y adalah (0,0)
b. Syarat stasioner adalah : f (x) = 0
f (x) = 3 – 3x2
↔ 3 (1 - x 2)
↔ 3 (1 – x) (1 + x)
x = 1, x = -1
untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2
x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2
nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2
titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)
c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat
diabaikan terhadap x, sehingga y = -x3. Jika x besar
positif maka y = besar negative dan jika x besar
negative maka y besar positif.
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 23
d. Titik Bantu
x -2 2 -3 3 …
, y 2 -2 18 -18 …
Soal latihan
Gambarlah grafik :
1. y = x2 + 9
2. y = x4 – 2x2
3. y = (x2 – 1)2
4. x3 (8 – x)
√3 x
1
2
-√3
y
-1
-2
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 24
Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai
1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = ….
a. 2√3
b. 2
c. √3
d. ½√3
e. ½√2
Soal Ujian Nasional tahun 2007
2. – 2 ) adalah f’(x) =
….
a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 )
b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 )
c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 )
d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 )
e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 )
Soal Ujian Nasional tahun 2006
3. Turunan dari f(x) = 3 22 )53(cos xx adalah f’(x) = ….
a. )53sin().53(cos2
3 223
1
xxxx
b. )53(cos).56(2
3 23
1
xxx
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 25
c. )53sin().53(cos3
2 223
1
xxxx
d. 3 222 )53(cos )53tan( )56(3
2xxxxx
e. 3 222 )53(cos )53tan( )56(3
2xxxxx
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
4. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah ….
a. xxxf 2sincos2
3)('
b. xxxf 2sincos2
3)('
c. xxxf cossin3)('
d. xxxf cossin3)('
e. xxf 2cos3)('
Soal Ujian Nasional tahun 2005
5. Jika f(x) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’(x) = ….
a. 4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 )
b. 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 )
c. ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 )
d. ( 2x – 1 ) ( 6x + 11 )
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 26
e. ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 )
Soal Ujian Nasional tahun 2004
6. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x)
= 53 2 x adalah f ’, maka f’(x) = ….
a. 53
3
2 x
x
b. 53
3
2 x
c. 53
6
2 x
d. 53 2 x
x
e. 53
6
2 x
x
Soal Ujian Nasional tahun 2004
7. Diketahui f(x) = 94 2 x , Jika f’(x) adalah turunan
pertama dari f(x), maka nilai f’(2) = ….
a. 0,1
b. 1,6
c. 2,5
d. 5,0
e. 7,0
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 27
Soal Ujian Nasional tahun 2003
8. Diketahui x
xxf
1
42)( , Nilai f’(4) = ….
a. 1/3
b. 3/7
c. 3/5
d. 1
e. 4
Soal Ujian Nasional tahun 2002
9. Jika f(x) = 21 x , maka .... )) x (sin( f
dx
d
a. x2sin1
xsin
b. x2sin1
xcos
c. x2sin12
xsin
d. x2sin1
2x sin
e. x2sin1
x x.cossin
Soal Ujian Nasional tahun 2002
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 28
10. Turunan pertama fungsi f9x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah
f’(x). Nilai dari f’(1) = ….
a. 18
b. 24
c. 54
d. 162
e. 216
Soal Ujian Nasional tahun 2001
11. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f
adalah f’(x) = ….
a. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
b. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
c. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
d. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
e. –3 sin² (3 – 2x) sin (6 – 4x)
Soal Ujian Nasional tahun 2000
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 29
Materi Pokok : Aplikasi Turunan
12. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai
maksimum jika koordinat titik M adalah ….
a. ( 2,5 )
b. ( 2,5/2 )
c. ( 2,2/5 )
d. ( 5/2,2 )
e. ( 2/5,2 )
Soal Ujian Nasional tahun 2007
13. Persamaan garis singgung kurva y = ³√( 5 + x ) di titik
dengan absis 3 adalah ….
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 30
a. x – 12y + 21 = 0
b. x – 12y + 23 = 0
c. x – 12y + 27 = 0
d. x – 12y + 34 = 0
e. x – 12y + 38 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2006
14. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan
biaya ( 4x – 160 + 2000/x )ribu rupiah per hari. Biaya
minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah
….
a. Rp. 200.000,00
b. Rp. 400.000,00
c. Rp. 560.000,00
d. Rp. 600.000,00
e. Rp. 800.000,00
Soal Ujian Nasional tahun 2006
15. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat
diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800
+ 120/x ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka
produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.
a. 40
b. 60
c. 100
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 31
d. 120
e. 150
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
16. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s
= f(t) = 13 t ( s dalam meter dan t dalam detikk ).
Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.
a. 3/10
b. 3/5
c. 3/2
d. 3
e. 5
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004
17. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap
barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x –
x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum,
banyak barang yang harus diproduksi adalah ….
a. 120
b. 130
c. 140
d. 150
e. 160
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 32
Soal Ujian Nasional tahun 2005
18. Persamaan garis inggung pada kurva y = –2x + 6x + 7 yang
tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah ….
a. 2x + y + 15 = 0
b. 2x + y – 15 = 0
c. 2x – y – 15 = 0
d. 4x – 2y + 29 = 0
e. 4x + 2y + 29 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2004
19. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah
432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum,
maka panjang rusuk persgi adalah … cm.
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 16
Soal Ujian Nasional tahun 2004
20. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1,0 )
adalah ….
a. y = x – 1
b. y = –x + 1
c. y = 2x – 2
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 33
d. y = –2x + 1
e. y = 3x – 3
Soal Ujian Nasional tahun 2003
21. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada
interval –1 < x < 5. Nilai a + b = ….
a. – 21
b. – 9
c. 9
d. 21
e. 24
Soal Ujian Nasional tahun 2003
22. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas
tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm.
a. 23
8
b. 3 24
c. 3 216
d. 3 28
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 34
e. 3 238
Soal Ujian Nasional tahun 2003
23. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan
menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung
garis l pada kurva tersebut adalah ….
a. – 12
b. – 4
c. – 2
d. 2
e. 4
Soal Ujian Nasional tahun 2002
24. Persamaan garis singgung kurva y = x x2 di titik pada
kurva dengan absis 2 adalah ….
a. y = 3x – 2
b. y = 3x + 2
c. y = 3x – 1
d. y = –3x + 2
e. y = –3x + 1
Soal Ujian Nasional tahun 2001
25. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval ….
a. x < 0 atau x > 1
b. x > 1
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 35
c. x < 1
d. x < 0
e. 0 < x < 1
Soal Ujian Nasional tahun 2001
26. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval
–3 ≤ x ≤ 2 adalah ….
a. 25
b. 27
c. 29
d. 31
e. 33
Soal Ujian Nasional tahun 2001
27. Nilai maksimum dari 2100 xy pada interval –6 ≤ x ≤
8 adalah ….
a. 164
b. 136
c. 10
d. 8
e. 6
Soal Ujian Nasional tahun 2000
28. Persamaan garis yang menyinggung kurva f(x) = 2x3- 4x +
3 pada titik yang berabsis -1 adalah ....
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 36
a. y = 2x + 3
b. y = 2x + 7
c. y = -2x -3
d. y = -2x -1
e. y = -2x -2
29. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x3 -6x2 + 9x + 2
turun pada interval ...
a. -1 < x < 2
b. 0 < x < 2
c. 1 < x < 6
d. 1 < x < 4
e. 1 < x < 3
30. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x3 + 2x2 –
12 x – 2. Nilai minimum fungsi f dalam interval 0 ≤ x ≤ 2
adalah …
a. – 18
b. – 9
c. 2
d. 11
e. 18
31. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 + 5x2 - 4x dalam interval -3
≤ x ≤-1 adalah …
a. 28
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 37
b. 27
c. 19
d. 12
e. 7
32. Turunan pertama dari y = x2 cos2 x adalah …
a. 2x cos x( cos x – x sin x )
b. 2x cos 2x + 2x2 cos x – sin x
c. 2x ( cos 2x – x sin 2x)
d. 2x cos2 x – x2 sin 2x
e. 2x ( cos 2x – x sin x )
33. Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x – 12 pada
titik (2, 12) adalah ...
a. y = 32 – 22x
b. y = 22x – 32
c. y = 22x – 262
d. y = 22x + 262
e. y = 22x + 32
34. Grafik fungsi f(x) = x(6 – x)2 naik dalam interval ...
a. 2 < x < 6
b. 6 < x < 2
c. x < 2 atau x > 6
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 38
d. x <2
1 atau x > 6
e. x < 6
1 atau x > 2
35. Jika f(x) = x4- 7x3 + 2x2 + 15 maka f ’’( 32
1) = ...
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
36. Jika k, l, m adalah konstanta serta f(x) = 2k – 5mx maka f
’(l) = ...
a. 2k
b. 2k – 5ml
c. -5ml
d. -5m
e. l
37. Jika y = xsin
1, maka
y
1
dx
dy= ...
a. tan x
b. cot x
c. sin x
Turunan
XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017 39
d. –cos x
e. – sin x
38. Jika f(x) = tan2( 3x – 2 ), maka f’’ = ...
a. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2)
b. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec2(3x-2)
c. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2)
d. 18 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 36 sec4(3x-2)
e. 18 tan(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2)
39. Jika y = sin3 ( 1-2x ) maka dx
dy= …
a. 3sin2 (1-2x)
b. -2cos3 (1-2x)
c. -6sin2 (1-2x)
d. -6cos2(1-2x)
e. -6sin2(1-2x) cos (1-2x)