3. 8. 2003 1

IV–3 Energie magnetického pole

3. 8. 2003 2

Main Topics

• Transformátory

• Energie magnetického pole

• Hustota energie magnetického pole

• Obvod RC

• Obvod RL

• Obvod RLC - Oscilace

3. 8. 2003 3

Transformátor I

• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární.

• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a k přizpůsobení vnitřního odporu.

3. 8. 2003 4

Transformátor II

• Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.

• Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí 1 :

1 = - d/dt

3. 8. 2003 5

Transformátor III

• Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:

U1 = N11

• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:

U2 = N21

3. 8. 2003 6

Transformátor IV

• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů :

U1/N1 = U2/N2

• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%.

3. 8. 2003 7

Transformátor V

• Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízké 1.

• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.

P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2

I1N1 = I2N2

R1/N12 = R2/N2

2

3. 8. 2003 8

Energie magnetického pole I

• Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole, které nám ji vrací, když proud snižujeme.

• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

3. 8. 2003 9

Energie magnetického pole II

• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunovat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :

P = I = ILdI/dt dW = Pdt = LIdI

• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat :

W = LI2/2

3. 8. 2003 10

Hustota energie magnetického pole I

• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.

• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :

• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l

B = 0NI/l I = Bl/0N

3. 8. 2003 11

Hustota energie magnetického pole II

• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme

pokládat za hustotu energie magnetického pole.• Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v

nehomogenních polích.

SlB

N

Bl

l

SNW

0

22

0

20

2)(

0

2

2B

w

3. 8. 2003 12

RC, RL, LC a RLC obvody

• Obvody obsahující cívky a kondenzátory dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přes odpor.

• U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi.

3. 8. 2003 13

Obvod RC I

• Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0 přes rezistor R.

• V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem a platí 2. Kirchhoffův (nebo Ohmův) zákon :

I(t) = Uc(t)/R • To vede na diferenciální rovnici.

3. 8. 2003 14

Obvod RC II

• Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou = RC.

• Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona:

I(t)R + Vc(t) = V0

což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

3. 8. 2003 15

Obvod RC III

• Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jeko v předchozím případě. Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časové konstanty = RC.

3. 8. 2003 16

RL obvod I

• Obdobná situace nastane zaměníme-li kondenzátor za cívku L.

• Když proud roste, bude mít indukované napětí na cívce stejnou orientaci jako napětí na odporu a s použitím druhého Kirchhoffova zákona můžeme psát:

RI(t) + LdI/dt = V0 • To je diferenciální rovnice podobná rovnici

předchozí.

3. 8. 2003 17

RL obvod II

• Cívka brání okamžitému nárustu proudu. • I poroste od nuly až dosáhne exponenciálně

své maximální hodnoty. • Indukované napětí na cívce má zpočátku

svou maximální hodnotu, rovnou V0, a exponenciálně klesá k nule. Když proud dosáhne konstantní hodnoty napětí na cívce zmizí.

3. 8. 2003 18

LC obvod I

• Ke kvalitativně nové situaci dojde, připojíme-li nabitý kondenzátor C k cívce L.

• Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenému periodickému pohybu.

3. 8. 2003 19

LC obvod II

• Tento obvod se nazývá LC oscilátor, který produkuje elektromagnetické kmity.

• Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon:

L dI/dt – Uc = 0• To je opět diferenciální rovnice, ale

vyššího řádu.

3. 8. 2003 20

LC obvod III

• Co se děje kvalitativně:

• Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátku nulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proto zvolna roste.

3. 8. 2003 21

LC obvod IV

• Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust proudu a tím i indukované napětí na cívce.

• V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívka brání jejímu okamžitému poklesu.

3. 8. 2003 22

LC obvod V

• Na cívce nyní poroste napětí opačné polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se těž nabíjí polaritou, která je opačná, než byla původní.

• V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proud nulový a celý děj se opakuje.

3. 8. 2003 23

LRC obvod

• Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude obvod kmitat tlumenými kmity. Elektrická energie se bude měnit na rezistoru v tepelnou.

3. 8. 2003 24

Homework

• No homework today!

3. 8. 2003 25

Things to read and learn

• Chapter 29 – 5, 6; 30 – 1, 2

RC obvod I• Použijeme definici proudu I = –dQ/dt a

vztahu mezi nábojem a napětím na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

RC

tQ

dt

dQ

R

tUtI c )()()(

• Znaménko mínus znamená, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Tuto homogenní diferenciální rovnici prvního řádu snadno vyřešíme separací proměnných.

RC obvod II

• Zde jsme definovali časovou konstantu = RC. Můžeme integrovat obě strany rovnice:

dt

Q

dQ

• Integrační konstantu nalezneme uvážením okrajových podmínek Q0 = CVc0 :

)exp()()ln( 0 t

QtQkt

Q

RC obvod III

• Podělením C a následně R obdržíme časovou závislost napětí a proudu v obvodu:

)exp()( 0 t

CUtQ c

^

R

UtI

tUtU

tc

cc

)exp()(

)exp()(

0

0

RC obvod IV• Dosadíme za proud I = +dQ/dt a napětí a

rovnici trochu přeorganizujeme:

0

)(U

C

tQ

dt

dQR

• Získáváme podobnou rovnici, ale nyní nehomogenní. Na pravé straně není nula. Zde se řeší napřed rovnice homogenní a poté se přičte jedno partikulární řešení, například konečný náboj Qk = CU0 .

RC obvod V• Použijeme řešení předchozí homogenní

rovnice a můžeme psát:

00 )exp()( CUt

QtQ

Integrační konstantu opět získáme uvážením okrajových podmínek

Q(0) = 0 Q0 = -CU0.

RC obvod VI

• Podělením C získáme časovou závislost napětí na kondenzátoru:

)]exp(1[)( 0 t

CUtQ

)]exp(1[)( 0 t

UtU c

RC obvod VII

• Časovou závislost proudu vypočteme z časové derivace náboje:

^

R

U

dt

dQtI

t )exp()( 0

RL obvod I

• Nejprve vyřešíme homogenní rovnici a poté přičteme partikulární řešení, např. konečný maximální proud Im = V0/R:

0)( Udt

dILtRI

0)( dt

dILtRI

RL obvod II• Homogenní rovnice se opět řeší separací

proměnných. Zde definujeme časovou konstantu = L/R . Po přičtení partikulárního řešení dostáváme:

mIt

ItI

)exp()( 0

• Použijeme okrajové podmínky I(0) = 0 I0

= -Im a dostáváme:

RL obvod III

• Časovou závislost napětí získáme z definice indukčnosti U = LdI/dt :

)]exp(1[)(

tItI m

)exp()( 0 t

UtU L

^

LC obvod I• Dosadíme opět za proud I = –dQ/dt a vztah

mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

0)(

2

2

LC

tQ

dt

Qd

• Opět bereme v úvahum že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení.

LC obvod II

• Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje:

)cos()( 0 tQtQ

• Řešením jsou netlumené harmonické kmity.

LCtQ

LCtQ

10)(

1)(2

^