Embed Size (px)
Citation preview
Çizge Kesit Yöntemi ile Hiperspektral GörüntülerdeAnomali Tabanlı Hedef Tespiti
Anomaly based Target Detection in HiperspectralImages via Graph Cuts
Emrecan Batı∗†, Acar Erdinç‡, Davut Çesmeci§, Akın Çalıskan∗†,Alper Koz∗, Selim Aksoy‡, Sarp Ertürk§, A. Aydın Alatan∗†∗ODTÜ Görüntü Analizi Uygulama ve Arastırma Merkezi (OGAM),† ODTÜ Elektrik ve Elektronik Mühendisligi Ankara, TürkiyeEmail: {ebati, akinc, koz}@metu.edu.tr, [email protected]‡Bilkent Üniversitesi Bilgisayar Mühendisligi, Ankara, Türkiye
Email: [email protected], [email protected]§Kocaeli Üniversitesi Elektronik ve Haberlesme Mühendisligi, Kocaeli, Türkiye
Email: [email protected], [email protected]
Özetçe —Hiperspektral hedef tespiti için yürütülen çalısmalargenel olarak iki sınıfta degerlendirilebilir. Ilk sınıf olan anomalitespit yöntemlerinde, hedefin görüntünün geri kalanından farklıoldugu bilgisi kullanılarak görüntü analiz edilmektedir. Digersınıfta ise daha önceden bilgisi edinilmis hedefe ait spektral imzaile görüntüdeki herbir piksel arasındaki benzerlik bulunarakhedefin konumu tespit edimektedir. Her iki sınıf yöntemin deönemli bir dezavantajı hiperspektral görüntü piksellerini bagım-sız olarak degerlendirip, aralarındaki komsuluk iliskilerini gözardı etmesidir. Bu makalede anomali tespit ve imza tabanlıtespit yaklasımlarını, pikseller arası komsuluk iliskilerini degöz önünde bulundurarak birlestiren çizge yaklasımına dayalıyeni bir yöntem önerilmistir. Hedeflerin hem imza bilgisinesahip olundugu hem de anomali sayılabilecek ölçülerde olduguvarsayılarak önerilen çizge yaklasımında önplan için imza bilgisikullanan özgün bir türev tabanlı uyumlu filtre önerilmistir. Arka-plan için ise seyreklik bilgisi kullanarak Gauss karısım bilesenikestirimi yapan yeni bir anomali tespit yöntemi gelistirilmistir.Son olarak komsular arası benzerligi tanımlamak için ise spektralbir benzerlik ölçütü olan spektral açı eslestiricisi kullanılmıstır.Önerilen çizge tabanlı yöntemin önplan, arkaplan ve komsulukiliskilerini uygun sekilde birlestirdigi ve önceki yöntemlere görehedefi gürültüden arınmıs bir bütün seklinde basarıyla tespitedebildigi gözlemlenmistir.
Anahtar Kelimeler—çizge kesit, anomali, spektral imza, hiper-spektral imge
Abstract—The studies on hyperspectral target detection untilnow, has been treated in two approaches. Anomaly detectioncan be considered as the first approach, which analyses thehyperspectral image with respect to the difference between targetand the rest of the hyperspectral image. The second approachcompares the previously obtained spectral signature of the targetwith the pixels of the hyperspectral image in order to localizethe target. A distinctive disadvantage of the aforementionedapproaches is to treat each pixel of the hyperspectral imageindividually, without considering the neighbourhood relationsbetween the pixels. In this paper, we propose a target detectionalgorithm which combines the anomaly detection and signaturebased hyperspectral target detection approaches in a graph based
framework by utilizing the neighbourhood relations between thepixels. Assuming that the target signature is available and thetarget sizes are in the range of anomaly sizes, a novel derivativebased matched filter is first proposed to model the foreground.Second, a new anomaly detection method which models thebackground as a Gaussian mixture is developed. The developedmodel estimates the optimal number of components forming theGaussian mixture by means of utilizing sparsity information.Finally, the similarity of the neighbouring hyperspectral pixels ismeasured with the spectral angle mapper. The overall proposedgraph based method has successfully combined the foreground,background and neighbouring information and improved thedetection performance by locating the target as a whole objectfree from noises.
Keywords—graph cuts, anomaly, spectral signature, hyperspec-tral image
I. GIRIS
Hiperspektral görüntüleme sistemlerindeki gelismelerle bir-likte hiperspektral verilerde hedef tespitine olan ilgi artmıstır.Elektromanyetik spektrum boyunca sık ve bitisik dalga boyuaralıklarında bilgi saglayan hiperspektral sensörler, uzamsalalanda da aranan hedeflerin tespitine olanak verecek çözünür-lüklerde veri saglamaktadır. Uzamsal ve spektral bilgi birlestir-ilerek olusturulan veri küpünün herbir piksel için sagladıgı de-taylı bilgiler hedefin arka plandan ayırt edilebilmesine olanaksaglanmaktadır [1]. Bu gelismeler ile birlikte hiperspektralgörüntüler üzerinde hedef tespiti jeolojik yapıların belirlen-mesinden maden tespitine ve askeri hedef bulmadan tıbbiteshise kadar birçok alanda yer almaya baslamıstır.
Hedef tespit algoritmaları aranan hedefin spektral imza-sının bulunup bulunmamasına baglı olarak degerlendirilebilir.Hedef imza bulunmadıgı takdirde, hedefin görüntüdeki digerpiksellere göre aykırı, yani anomali olmasına dayanan anomalitespit yöntemleri kullanılmaktadır [1]. Anomali, eldeki verisetinin genel özelliklerine uymayan veri olarak tanımlanabilir.
978-1-4799-4874-1/14/$31.00 c©2015 IEEE
Literatürde yer alan yöntemler arasından Reed-Xiaoli (RX)yöntemi basit yaklasımı ile ilgi çekmetedir [2], [3]. Bu yön-temde görüntüdeki tüm pikseller arka plan modellemesindekullanılır. Bütün imzalara bir Gauss modeli oturtulur ve herpikselin bu modelden uzaklıgı Mahalanobis metrigi ile ölçülür,uzak olan pikseller anomali olarak belirlenir. RX yöntemininBölgesel RX ve Çekirdek RX gibi türevleri gelistirilerekbasarımı arttırılmıstır [4]. Ikinci yöntemde, hedefe ait spektralimza, görüntü içindeki piksellerle karsılastırılarak görüntünün,aranan hedefi içerip içermedigine karar verilir. Literatürdespektral uyumlu filtre (SUF) yöntemi olarak adlandırılan yön-tem bu amaçla sıklıkla kullanılmaktadır [5]. Direk olarakarkaplan modellemesi kullanmayan SUF yöntemine karsın,dikgen altuzay belirleme (DAB) ve istenen hedefi bulma vesınıflandırma algoritması (HBSA) gibi yeni yöntemler arkaplan modellemesi yaparak basarımı arttırmaktadır.
Bahsedilen iki yaklasımdan anomali tespit yöntemleri imzabilgisi gerektirmediginden dolayı daha genis bir uygulamaalanına sahip olmasına karsın hedef olmayan anomalileri debulaması nedeniyle fazlaca yanlıs alarm verebilmektedir. Imzatabanlı yöntemler ise kullanılan imza bilgisiyle daha kesinsonuçlar üretmesine ragmen esik degeri seçme, gürültüdenarındırma gibi son islemlere ihtiyaç duymaktadır. Bununlaberaber her iki yaklasım da pikselleri bagımsız olarak deger-lendirerek komsuluk iliskilerini göz ardı etmektedir.
Bu makalede anomali tespit ve imza tabanlı tespit yak-lasımlarını, pikseller arası komsuluk iliskilerini de göz önündebulundurarak birlestiren çizge yaklasımına dayalı yeni bir yön-tem önerilmistir. Hedeflerin hem imza bilgisine sahip olunduguhem de anomali sayılabilecek ölçülerde oldugu varsayılarakönerilen çizge yaklasımında önplan için imza bilgisi kullananözgün bir türev tabanlı uyumlu filtre (TTUF) önerilmistir.Arkaplan için ise seyreklik bilgisi kullanarak Gauss karısımbileseni kestirimi yapan yeni bir anomali tespit yöntemi öne-rilmistir. Son olarak komsular arası benzerligi tanımlamak içinise spektral bir benzerlik ölçütü olan spektral açı eslestiricisikullanılmıstır. Önerilen çizge tabanlı yöntemin önplan, arka-plan ve komsuluk iliskilerini uygun sekilde birlestirdigi veönceki yöntemlere göre hedefi gürültüden arınmıs bir bütünseklinde basarıyla tespit edebildigi gözlemlenmistir.
Önerilen çizge kesit yöntemi ve bu yöntemde kullanılanönplan ve arkaplan modeliyle komsuluk iliskisi Bölüm II’deaçıklanmıstır. Deneysel çalısmalar Bölüm III’de ve bunlarınanalizleri Bölüm IV’de verilmistir. En son bölümde ise vargılarsunulmustur.
II. ÇIZGE KESIT YÖNTEMI
Hedef tespiti için istenilen özellikler bir enerji ile formülizeedilip, bütün imge için bu enerji fonksiyonunun enküçültülmesiile de hedef tespiti gerçeklenebilir. Enküçültülecek enerji(E)Denklem 1’de verilmistir. Bu denklemde enerjiyi etkileyen ikiana unsur vardır. Birinci terim, veri terimi (D), verinin öncedenbelirlenmis önplan ve arkaplan modellerine uyumlulugunugöstermektedir. Ikinci terim ise, düzlük terimi (V ) olarakadlandırılıp etiketlemedeki pürüzsüzlügü ifade etmektedir.
E(α, z) = D(α, z) + V (α, z) (1)
arka plan dügümüön plan dügümüpiksel dügümleriarka plan - piksel kenarıön plan - piksel kenarıpiksel - piksel kenarı
Sekil 1. Denklem 1’de ifade edilen enerji fonksiyonunun çizge gösterimi.Yesil, kırmızı ve mavi noktalar sırasıyla piksel, önplan ve arkaplan dügümünü,sarı ve mavi dogrular veri terimini olusturan kenarları, yesil dogrular ise düzlükterimini olusturan kenarı ifade etmektedir.
Denklem 1’de D(·) veri terimini, V (·) düzlük terimini vez piksel spektral imzasını göstermektedir. D(·) fonksiyonunagirdi olarak giren α parametresi ise pikselin arkaplan veyaönplan etiketine sahip olmasına göre sırasıyla 0 veya 1 degerinialmaktadır. Örnegin, D(α = 0, z), z piksel spektral imzasınınarkaplana uyumlulugunu, D(α = 1, z) ise, z piksel spektralimzasının önplana uyumlulugunu göstermektedir.
Denklem 1’de ifade edilen enerji fonksiyonları literatürde,Sekil 1’de gösterildigi gibi, çizge olarak ifade edilmistir[6]. Bu çizgede imgenin her pikseli için bir dügüm tanım-lanır. Bunlara ek olarak önplan ve arkaplan baglantılarınıgösteren iki yardımcı dügüm daha tanımlanır. Veri terimi,piksel dügümü ile yardımcı dügümler arası kenarlara, düzlükterimi ise dügümler arası kenarlara karsılık gelmektedir. Buçizgeyi, iki yardımcı dügüm farklı tarafta kalacak sekilde ikiyeayırma kesit olarak ifade edilir. Bu kesitin kopardıgı baglantısiddetlerinin toplamı ise kesit enerjisi olarak adlandırılır. Kesitenerjisi en düsük olan kesit ise enküçük kesit olarak tanımlanır.Enküçük kesit aynı zamanda Denklem 1’de tanımlanan Eenerjisini enküçülten etiketlemeye (α) karsılık gelmektedir.Dolayısıyla enerji enküçültme islemi için literatürde kullanılanenküçük kesit - enbüyük akıs [7] algoritması kullanılmıstır.
Veri terimini olusturan önplan ve arkaplan modellerisırasıyla II-A, II-B altbölümlerinde, düzlük terimi ise II-Caltbölümünde verilmistir.
A. Önplan Modeli
Hiperspektral görüntüler üzerinde hedef tespit islemigerçeklestirilirken, referans spektral imza ile veriye aitimzanın uyumuna bakılmaktadır. Belirli bir hedefe ait spek-tral imzaların karakteristik davranısları, genel ve üzer-ine bindirilmis yerel yönelimlerden olusmaktadır. Ancak,farklı spektrometrelerden edinilen spektral imzaların genelyönelimlerinde farklılıklar bulunabilmektedir ve bu nedenlespektral imzalar arasındaki uyumu ölçen ölçütler hatalıeslestirme yapabilmektedirler [8]. Spektral imzalar arasın-daki genel yönelimin etkisini azaltmak ve yerel karakteristikdavranısları kuvvetlendirmek amacıyla türev bilgisi kullanıl-maktadır. Böylece, spektral imzaların yerel karakteristik yöne-limlerinin daha belirleyici oldugu durumlarda türev bilgisininkullanılması benzer ve farklı sınıflar arasındaki ayrımı kolay-lastırmaktadır.
Spektral imzaların yerel karakteristik degerleri nesneyitanımlayan anlamlı yönelimler ve gürültü etkisi olarak ikifarklı etkeni barındırmaktadır. Türev islemi ile yerel karak-teristik özellikler kuvvetlendirildiginde, gürültü etkisi dekuvvetlendirilmektedir. Bu nedenle, türev islemi öncesinde,
özellikle gürültü oranı yüksek veriler için gürültü giderimigerçeklestirilmesi uygun olacaktır. Bu çalısma kapsamındaDenklem 2 Savitzky-Golay [9] filtresi (SGO) kullanılmıstır.
y =dψ(z, k, I)
dw(2)
Denklem 2’deki esitlikte, x spektral imzayı, ψ(·) SGOfiltresini, k ve l degiskenleri ise SGO filtresinin sırasıyla dereceve pencere boyutu parametrelerini göstermektedir. w dalgaboyunu, y ise filtrelenmis ve türevi alınmıs spektral imzayıtanımlamaktadır. SGO filtresinin derece ve pencere boyutuparametreleri deneysel çalısmalar sonucunda sırasıyla 3 ve 15olarak belirlenmistir.
Veriye ait filtrelenmis türev imzaları ile referans türevimzası arasındaki genlik farkının giderilmesi amacıyla vektörelnormalizasyon islemi, y = y
‖y‖ , uygulanmaktadır. Burada‖·‖ sembolü öklid normunu, y ise normalize edilmis spektralimzayı ifade etmektedir. Normalizasyon sonrasında spektralimzalar üzerinden hedef tespit islemi gerçeklestirilmektedir.Önerilen çizge kesit yönteminde TTUF önplan modellemesiolarak kullanılmıstır. TTUF sonucu, y, Denklem 1’de verilençizge enerjisi denkleminde D(α = 1, z) terimine karsılıkgelmektedir.
B. Arkaplan Modeli
RX yöntemi gibi geleneksel anomali tespiti yöntemlerihiperspektral verinin heterojen karakteristige sahip oldugudurumlarda basarısız sonuçlar vermektedir. Çok sınıflı bu ver-ilerde Gauss karısım modeli daha basarılı bir arka plan mod-ellemesine olanak saglamaktadır. Verideki her bir sınıfın farklıGauss bileseniyle modellendigi bu durumda ise karsımızabaska kısıtlamalar ve problemler çıkmaktadır. Ilk problem,toplam Gauss bileseni sayısının önceden bilinmemesidir. Birdiger problem ise, yüksek boyutlulukta kompleks karısımmodeli ögrenirken yasanabilecek hesaplama hatasıdır. Gaussbilesen sayısı verideki sınıfların bilinmedigi durumlarda deney-sel olarak tespit edilebilirken, yüksek boyutluluk için boyutindirgeme yöntemlerine basvurulmaktadır. Ancak, boyut in-dirgeme yöntemleriyle spektral karakteristik korunamamak-tadır.
Bu çalısmada, belirtilen problemler göz önünde bulun-durularak spektral ayrıstırma ve Gauss karısım modeli ta-banlı bir anomali tespit yöntemi önerilmistir. Öncelikle yüksekboyutlu spektral veri belirli sayıda düsük boyutlu komsu bantgruplarına ayrılır. Belirlenen her bir bant grubunda spektralayrıstırma yapılarak baskın son elemanlar tespit edilir. Tespitedilen son elemanlar arka plan modellemesi için Gauss bilesensayısının belirlenmesinde kullanılır. Son olarak her bir grupiçin ögrenilen Gauss karısım modelleri birlestirilerek pikselanomali olasılıkları belirlenir. Spektral bant aralıkları seçi-minde deneysel bir yaklasım kullanılmıstır. Spektral imzasıbilinen çesitli malzemelerin farklı bant aralıklarındaki degisin-tileri incelenerek dört spektral bant grubu belirlenmistir.
Spektral bant aralıkları belirlendikten sonra veriye spektralçözümleme uygulanır. Bunun için önceden hazırlanmıs, veridegözlemlenmesi beklenen son eleman imzalarını içeren birspektral kütüphane kullanılmaktadır. Spektral ayrıstırma her
bir pikselin dogrusal karısım ile ifade edilebilecegini varsay-maktadır. Güncel olarak önerilen yöntemlerden biri ise soneleman sayısının önceden bilinmesini gerektirmeyen seyrekayrıstırmadır [10]. Denklem 3’de verilen sekilde formülizeedilen seyrek ayrıstırma probleminde z ∈ RL gözlemlenenpiksel, y ∈ RM piksel bolluk vektörü, A ∈ RLxM spektralkütüphane, ve λ düzenlilestirme (seyreklik) katsayısıdır. Lspektral bant sayısı, M kütüphane imza sayısıdır. Hesaplananbolluk oranları uzamsal görülme sıklıgı ve piksel altı yogun-luguna göre esiklenerek baskın son elemanlar belirlenir.
miny
1
2‖Ay − z‖22 + λ ‖y‖1 kosul: y ≥ 0 (3)
Son adım olarak her bir spektral bant grubunda Gausskarısım modeli ögrenilir. Bilesen sayısı olarak önceki adımdabelirlenen baskın son eleman sayısı kullanılırken, bilesen-lerin baslangıç degerleri, ilgili son elemanları yogun olarakbarındıran piksellerden hesaplanır. Sonuçların birlestirilmesiiçin ise pikseller arası enbüyükleme yapılarak herhangi bir bantgrubunda anomali olarak karsımıza çıkan pikseller belirlenir.Herbir piksel için bu sekilde hesaplanan olasılık degerleriile ters orantılı olarak anomali olasılıgı atanır [11]. Önerilençizge kesit yönteminde gelistirilen anomali tespit yöntemiarkaplan modellemesi için kullanılmıstır. Herbir piksel içinGauss karısım modeli ile elde edilen olasılık degeri Denklem1’de verilen çizge enerjisi denkleminde D(α = 0, z) terimiolarak kullanılmıstır.
C. Düzlük Terimi
Düzlük terimi için Denklem 4’de verilen komsu piksellerarası spektral açı eslestiricisi (Spectral Angle Mapper - SAM[12]) kullanılmıstır.
θ = arccos(< x, y >
‖x‖ ‖y‖) (4)
Bu metrik albedo degisimlerine karsı dayanıklı olmasınedeniyle spektral imgelerde imza benzerligi için sıkça kul-lanılmaktadır [13].
III. DENEYLER
Deneylerde yerden 500 m yükseklikten görünür-yakınkızılötesi (VNIR) kamera ile 400-1000 nm arası, 4.9 nmspektral çözünürlük ile çekilen görüntüler kullanılmıstır. Sekil2a’da veri elde etmek için tasarlanan deney ortamı, kul-lanılan malzemeler etiketlenerek gösterilmistir. Algoritmalarınbasarım ölçümü için dogru tespit oranı (DTO) ve yanlısalarm oranı (YAO) kullanılmıstır. DTO, toplam hedefler-den ne kadarının dogru olarak isaretlenebildigini gösterirken,YAO toplam yanlıs örneklerin ne kadarının hedef olarakisaretlendigini gösterir.
Deneyler üç bölümde gerçeklestirilmistir. Ilk bölümde,uyumlu filtre yöntemi ile türev tabanlı uyumlu filte yön-temi karsılastırılmıstır. Görüntüdeki parçalı halıfleks bölgesi,halıfleksin spektrometre ile alınan imzası kullanılarak aran-mıstır. Iki yöntemin basarımı Sekil 3’de verilen DTO - YAOegrisinde karsılastırılmıstır. Önerilen türev tabanlı yöntemin birmiktar olsa da basarımı arttırdıgı gözlemlenmektedir.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Sekil 2. (a) Deney ortamını gösteren imge (b) Parçalı Halıfleks hedefi ve (c) Mavi Strafor hedefi Türev Tabanlı Uyumlu Filtre sonucu, (d) önerilen anomalitespiti sonucu, (e) Komsuluk iliskisi gösteren imge, (f) Parçalı Halıfleks hedefi (yesil) ve Mavi Strafor hedefi (kırmızı) tespit sonucu
Ikinci bölümde, RX algoritması ile önerilen anomali tespityöntemi karsılastırılmıstır. Görüntülenen ortama yerlestirilenmalzemelerin hepsi yer gerçeklik verisine anomali olarakeklenmistir. Karsılastırılan iki yöntemin basarımı Sekil 3’deDTO - YAO egrisi çizilerek gösterilmistir. Önerilen yönteminbasarım farkı sekilde açıkca gözlemlenmektedir.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Yanlis Alarm Orani
Dog
ru T
espi
t Ora
ni
Onerilen Anomali TespitiRX Anomali TespitiUyumlu Filtre (UF)Onerilen Turev Tabanli UF
Sekil 3. Uyumlu Filtre, önerilen türev tabanlı uyumlu filtre, RX ve önerilenanomali tespit yönteminin karsılastırması
Son bölümde önerilen çizge kesit yönteminin basarısı testedilmistir. Deney çalısması için, hazırlanan deney ortamındabulunan ve imzası spektrometre ile elde edilen mavi straforve parçalı halıfleks malzemeleri kullanılmıstır. Sekil 2e’dekomsular arası iliski gözlemlenmektedir. Kırmızı renk kuvvetlibagı, mavi renk ise zayıf bagı temsil etmektedir. Benzerspektral imzalı komsu pikseller arasındaki bag kuvvetliyken,spektral imzaları farklı olan pikseller arası geçislerde bagların,farklılık ile orantılı olarak zayıfladıgı gözlemlenmektedir.
Sonuçlar Sekil 2f’de verilmistir. Yesil renk parçalı halıflekshedef tespitinin, kırmızı renk ise mavi strafor hedef tespi-tinin sonuçlarını göstermektedir. Çarpı sekli yanlıs tespiti,dörtgen ise dogru tespiti simgelemektedir. Hedef tespitindekaçırma olmamıstır. Kullanılan çizge tabanlı yöntemde önplanve arkaplana uygunluk dısında, yerel komsuluk iliskileri degöz önünde bulunduruldugundan dolayı hedef bir bütün olarak,herhangi bir son isleme ihtiyaç duymadan çıkarılabilmistir.
IV. VARGILAR
Çizge kesit kavramının hiperspektral hedef tespitinde uygu-landıgı bu çalısmamızda vardıgımız vargılar üç maddede
özetlenebilir. Ilk olarak, önerilen türev tabanlı uyumlu filtreyönteminin basarımının literatürde sıklıkla kullanılan uyumlufiltreden daha iyi sonuç verdigi görülmüstür. Ikinci olarak öner-ilen anomali tespit yöntemi kullandıgı Gauss karısım modelinedayalı arkaplan modellemesi ile, geleneksel RX anomali tespityönteminden daha yüksek basarım göstermistir. Son olarak,kullanılan çizge tabanlı yöntemin önplan, arkaplan ve komsu-luk iliskilerinin getirdigi bilgileri uygun sekilde birlestirdigi vebuna dayalı olarak, hedefi bir bütün olarak, gürültüden arınmısbir sekilde, tespit edebildigi gözlemlenmistir.
TESEKKÜR
Yazarlar HAVELSAN A.S.’ne sagladıgı destek içintesekkür eder.
KAYNAKÇA
[1] D. Manolakis et al., “Is there a best hyperspectral detection algorithm?”in SPIE Defense, Security, and Sensing, 2009.
[2] H. Kwon and N. M. Nasrabadi, “Kernel rx-algorithm: a nonlinearanomaly detector for hyperspectral imagery,” Geoscience and RemoteSensing, IEEE Trans. on, vol. 43, no. 2, 2005.
[3] S. M. Schweizer and J. M. Moura, “Efficient detection in hyperspectralimagery,” Image Processing, IEEE Trans. on, vol. 10, no. 4, 2001.
[4] D. Stein et al., “Anomaly detection from hyperspectral imagery,” SignalProcessing Magazine, IEEE, vol. 19, no. 1, Jan 2002.
[5] Q. Du et al., “A comparative study for orthogonal subspace projectionand constrained energy minimization,” DTIC, Tech. Rep., 2003.
[6] V. Kolmogorov and R. Zabin, “What energy functions can be minimizedvia graph cuts?” PAMI, IEEE Trans. on, vol. 26, no. 2, 2004.
[7] Y. Boykov and V. Kolmogorov, “An experimental comparison of min-cut/max-flow algorithms for energy minimization in vision,” PAMI,IEEE Trans. on, vol. 26, no. 9, Sept 2004.
[8] J. Peng et al., “Asymmetric least squares for multiple spectra baselinecorrection,” Analytica Chimica Acta, vol. 683, no. 1, 2010.
[9] A. Savitzky and M. J. E. Golay, “Smoothing and differentiation of databy simplified least squares procedures.” Analytical Chemistry, vol. 36,no. 8, 1964.
[10] M.-D. Iordache et al., “Sparse unmixing of hyperspectral data,” Geo-science and Remote Sensing, IEEE Trans. on, vol. 49, no. 6, June 2011.
[11] A. Erdinç and S. Aksoy, “Anomaly detection with sparse unmixing andgaussian mixture modeling of hyperspectral images,” IGARSS, 2015.
[12] F. Kruse et al., “The spectral image processing system(sips)—interactive visualization and analysis of imaging spectrometerdata,” Remote Sensing of Environment, vol. 44, no. 2–3, 1993, airboneImaging Spectrometry.
[13] P. E. Dennison et al., “A comparison of error metrics and constraintsfor multiple endmember spectral mixture analysis and spectral anglemapper,” Remote Sensing of Environment, vol. 93, no. 3, 2004.
