Univerzitet u NišuPrirodno-matematički fakultet

Departman za matematiku

Izometrijske transformacijehiperboličkog prostora

master rad

mentor: student:Prof. dr Mića Stanković Marko Dimitrijević

broj indeksa:142.

Niš, 2019.

Sadržaj

1 Uvod 2

2 Izometrijske transformacije apsolutnog prostora 42.1 Izometrija prostora Sn. Osnovni pojmovi i teoreme . . . . . . 42.2 Direktne i indirektne izometrijske

transformacije prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Ravanska refleksija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Pramenovi ravni. Snop ravni. Snop pravih prostora S3 . . . . 192.5 Osna rotacija u S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Osna refleksija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Osnorotaciona refleksija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Centralna refleksija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Translacija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10 Klizajuća refleksija prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11 Zavojno kretanje prostora S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Izometrijske transformacije hiperboličkog prostora 423.1 Uvod u hiperboličku geometriju . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Snop pravih prostora L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Klasifikacija izometrijskih transformacija

prostora L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Poređenje euklidske i neeuklidske geometrije 53

1

Glava 1

Uvod

U ovom radu biće predočeni rezultati vezani za izometrijske transfomacijehiperboličkog prostora.

U drugoj glavi izloženi su osnovni pojmovi i teoreme izometrijskih trans-formacija apsolutnog prostora. Uvodi se pojam izometrije i dokazuje se dakompozicija dveju izometrija takođe predstavlja izometriju. Biće predsta-vljeno razvrstavanje izometrija na direktne i indirektne.

U prvom delu druge glave biće definisane specifične izometrijske trans-formacije apsolutnog prostora, pre svih ravanska refleksija. Dokazaćemo daje ravanska refleksija indirektna izometrija i da su sve tačke njene medijalneravni invarijantne. Uvodi se zatim pojam pramena, snopa ravni i snopa pra-vih. Razvrstaćemo pramene ravni na koaksijalne i orogonalne, i dokazaćemoteoreme koje povezuju pojimove pramen ravni i izometrijske transformacije.Definisanjem gore navedene ravanske refleksije postavljamo odličnu podloguza dalju izgradnju ostalih izometrija: Osne rotacije, Osne refleksije, Osnoro-tacione refleksije, Centralne refleksije, Translacije, Klizajuće refleksije i Za-vojnog kretanja komponujući preslikavanja prethodno navedenih izometrija.Jedna od tvrđenja vredna istaknuti jesu teoreme Dalambera i Ojlera o osnimrotacijama, kao i teorema Šala o osnorotacionim refleksijama. Pored defini-cija i teorema sa dokazima, navedeni su i neki osnovni primeri kako bi čitaocbolje usvojio izložene geometrijske pojimove.

U trećoj glavi obrađene su izometrijske transformacije hiperboličkog pro-stora. Kako je apsolutni prostor koji je obrađivan u drugoj glavi podprostorhiperboličkog prostora, u ovom delu dopunjujemo Hilbertovu aksiomatikuparalelizamom, odnoso aksiomom Lobačevskog i time gradimo novu naučnudisciplinu - neeuklidsku geometriju. Paralelne i hiperparalelne prave bićeosnovni geometrijski objekti ovog poglavlja. Snop pravih biće definisan i u

2

ovom delu, zbog paralelnosti i hiperparalelnosti razlikovaćemo tri vrste sno-pova pravih: Eliptički, Parabolički i Hiperbolički i dokazaćemo neke njihoveosbine. Zbog nemogućnosti definisanja paralelnih pravih u apsoltnoj geo-metriji nije data potpuna klasifikacija izometrijskih transformacija, među-tim to je u hiperboličkoj geometriji moguće, te ćemo razvrstati izometrijsketransformacije na direktne: Koincidencija, Osna rotacija, Oriciklička rotacija,Hiperciklička rotacija i Zavojno kretanje. Indirektne: Ciklička, Oriciklička,Hiperciklička rotaciona refleksija.

Četvrta glava upoređuje euklidsku i neeuklidsku geometriju. Na početkuse poredi paralelnost euklidske i geometrije Lobačevskog što je i fundamen-talna razlika. Slikovito su predočeni neki osnovni geometrijski objekti,kvadrati trougao u euklidskoj i hiperboličkoj ravni, kao i neki specijalni četvorougloviu hiperboličkoj geometriji: Lambertov i Sakerijev. Na kraju su date neke odprimena geometrija u svetu nauke.Napomena: Svi crteži, skice i slike u ovom radu preuzete su iz [1] i [2] odo-brene su od strane autora.

Na ovom mestu koristim priliku da izrazim veliku zahvalnost svom men-toru Mići Stankoviću, za pomoć i stručnim savetima kako pri izradi ovograda, tako i tokom školovanja. Veliko HVALA mojoj porodici na podršci,istrajnosti i razumevanju u životu i tokom studija. Hvala prijateljima i kole-gama.

3

Glava 2

Izometrijske transformacijeapsolutnog prostora

Obrađujući izometriju apsolutnog prostora postavićemo odličnu podloguza kasnije proučavanje izometrijskih transformacija hiperboličkog prostoraodnosno prostora Lobačevksog.

2.1 Izometrija prostora Sn. Osnovni pojmovi iteoreme

U osnovama geometrije, grubo rečeno,izometrija predstavlja preslikavanjekoje čuva rastojanje između tačaka. Ovakvo definisanje pojma izometrijeopravdava i njeno ime, reč izometrija nastala je kao kovanica od dve grčkereči izos-isto i metrein-merenje.

Matematički preciznije definisanje pojma izometrija dato je sledećom de-finicijom.

Definicija 2.1.1. Izometrijskom transformacijom ili geometrijskim kreta-njemprostora Sn (n=1,2,3) nazivamo bijektivno preslikavanje I : Sn → Sn

takvo da za svake dve tačke X, Y ∈ Sn i njihove slike X ′, Y ′ ∈ Sn važi relacija(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′).

Neposredno iz prethodne definicije sledi da je identičnost I koju ćemozvati koincidencijom preslikava svaku tačku prostora u samu sebe, takođeje izometrija. Ako uspešno primenimo nekoliko izometrijskih transformacijatako dobijeni rezultat zvaćemo proizvodom ili kompozicijom transformacije.

4

Narednim teoremama biće dokazana osnovna svojstva izometrija prostoraSn, n = (1, 2, 3...).

Teorema 2.1.1. Kompozicija dveju izometrija prostora Sn je takođe izome-trija tog prostora.

Dokaz. Neka su I1 i I2 bilo koje dve izometrije prostora Sn. Ako obeležimosa X i Y dve tačke prostora, a sa X1 i Y1 tačke koje u izometriji I odgovarajutačkama X i Y, a sa X2 i Y2 tačke koje u izometriji I2 odgovaraju tačkamaX1 i Y1,tada u kompoziciji I2 ◦ I1 tačkama X i Y odgovaraju tačke X2 i Y2.Pri tome je (X, Y ) ∼= (X1, Y1) i (X1, Y1) ∼= (X2, Y2), pa zbog tranzitivnostirelacije ∼=, (X, Y ) ∼= (X2, Y2). Zbog gore navedenog zaključujemo da jekompozicija I2 ◦ I1 takođe izometrija prostora Sn.

Teorema 2.1.2. Inverzna transformacija izometrije prostora Sn je takođeizometrija tog prostora.

Dokaz. Neka je I bilo koja izometrija prostora Sn. Ako obeležimo sa Xi Y proizvoljne tačke tog prostora, a sa X

′ i Y ′ tačke koje u izometriji Iodgovaraju tačkama X i Y , biće (X, Y ) ∼= (X

′, Y

′). Kako je relacija ∼=

simetrična biće (X′, Y

′) ∼= (X, Y ) pa je inverzna transformacija I−1 takođe

izometrija.

Teorema 2.1.3. Skup svih izometrija prostora Sn je grupa u odnosu naproizvod transformacija.

Dokaz. Na osnovu teoreme 2.1.1 kompozicija bilo koje dve izometrije I1 iI2 prostora Sn je takođe izometrija tog prostora, a na osnovu teoreme 2.1.2inverzna izometrija I−1 izometrije I prostora Sn je takođe izometrija togprostora. Budući da su izometrije prostora Sn elementi grupe svih bijektiv-nih transformacija tog prostora, iz navedenih osobina sledi da je skup svihizometrija prostora Sn podgrupa pomenute grupe.

Grupu izometrija prostora Sn obeležavamo sa G(I).

Teorema 2.1.4. Ako izometrija prostora Sn preslikava neke tri tačke A,B,Cu tačke A′, B′, C ′ i ako je F (A,B,C), tada je F (A′, B′, C ′).

Dokaz. Neka se tri tačke A,B,C izometrijom I preslikavaju redom u tačkeA′, B′, C ′ i neka je F (A,B,C). Na osnovu definicije izometrije je tada:(A,C) ∼= (A′, C ′), (A,B) ∼= (A′, B′), (B,C) ∼= (B′, C ′). Sada na osnovuteoreme o podudarnosti parova tačka , kako je (A,C) ∼= (A′, C ′), postoji je-dinstvena tačka B′′ takva da je (A,B) ∼= (A′, B′′) i (B,C) ∼= (B′′, C ′), pričemu je F (A′, B′′, C ′). Na osnovu prethodnog, mora biti B′ = B′′, pa jezaista F (A′, B′, C ′).

5

Teorema 2.1.5. Ako su A i B dve razne tačke neke prave l, A′ i B′ tačkeneke prave l′ takve da je (A,B) ∼= (A′, B′) tada postoji jedno i samo jednoizometrijsko preslikavanje I : l → l′ tako da tačkama A i B respektivnoodgovaraju tačke A′ i B′.

Slika 1.

Dokaz. Ako je C proizvoljna tačka praave l (Slika 1.), postoji tačno jednatačka C ′ prave l′ takva da je (A,B) ∼= (A′, C ′) i (B,C) ∼= (B′, C ′). Poredtoga, poretku tačaka A,B,C na pravoj l odgovara analogni poredak tačakaA′, B′, C ′ na pravoj l′. Na taj način postoji preslikavanje I koje prevodi tačkeprave l na tačke prave l′. Prema tome, postoji bijektivna funkcija I : l→ l′ ukojoj tačkama A i B ogovaraju tačke A′ i B′, a svkoj tački C prave l odgovaratačka C ′ takva da je (A,C) ∼= (A′, C ′) i (B,C) ∼= (B′, C ′). Treba pokazatida je I izometrija. Obeležimo sa D bilo koju tačku prave l, a sa D′ = I(D).Tada tačkama A,B,C,D na pravoj l odgovaraju tačke A′, B′, C ′, D′ na pravojl′. Zbog svega navedenog imamo da je (A,B,C,D) ∼= (A′, B′, C ′, D′) odavdeje i (C,D) ∼= (C ′, D′) pa je preslikavanje I izometrija.

Definicija 2.1.2. Tačka A je fiksna ili invarijantna tačka neke izometrijeI : Sn → Sn , ako je I(A) = A.

Teorema 2.1.6. Ako su A,B,C tri nekomplanarne tačke ravni π i A′, B′, C ′tri nekomplanarne tačke neke druge ravni, recimo π′, tako da je (A,B,C) ∼=(A′, B′, C ′) tada postoji jedno i samo jedno izometrijsko preslikavanje I : π →π′ koje preslikava tačke A,B,C u tačke A′, B′, C ′ respektivno.

6

Slika 2.

Dokaz. Primenom prethodne teoreme zaključujemo da iz nekolinearnosti ta-čaka A,B,C sledi nekolinearnost tačaka A′, B′, C ′. Ako je P proizvoljnatačka ravni π (Slika 2.), tada tačka P pripada nekoj od pravih koje sadržetačku A i neku tačku duži BC ili tačku C i neku tačku duži AB ili tačkuB i neku tačku duži AC. Pretpostavimo da je zadovoljen prvi slučaj bezgubljenja opštosti za ostala dva slučaja. Neka je D tačka duži BC, ana-logna primena i na trougao 4ADC i tačku Q koja leži na pravoj koja sadržitačku A i neku tačku E duži DC. Posmatramo trougao 4A′B′C ′ i odgovara-juće tačke D′, E ′, P ′, Q′ koje respektivno odgovaraju u izometriji I tačkamaD,E, P,Q. Primenjujući na trouglove4ABC i4ADC i njima odgovarajućetrouglove 4A′B′C ′ i 4A′D′C ′ podudarnost, neposredno sledi jedinstvenostizometrijske transformacije I.

Teorema 2.1.7. Izometrijom I pravu slikamo na pravu, poluprava sa teme-nom O se preslikava na polupravu sa temenom I(O), a duž AB se preslikavana duž A′

B′ takvu da je I(A) = A′ i I(B) = B′.

Teorema 2.1.8. Izometrijom I ravan se preslikava na ravan, poluravan saivicom s se preslikava na poluravan sa ivicom I(s), a konveksan ugao ]pq sepreslikava na konveksan ugao ]p′q′, pri čemu je p′ = I(p) i q′ = I(q).

Iz prethodne dve teoreme zaključujemo da se izometrijom poligonska linijaslika na poligonsku liniju,oblast na oblast, konveksan lik na konveksan lik,poligonska površ na poligonsku površ, rogljasta površ na rogljastu površ,rogalj na rogalj, poliedarska površ na poliedarsku površ i poliedar na poliedar.

7

2.2 Direktne i indirektne izometrijsketransformacije prostora S3

Pre nego uvedemo i razmatramo specifične vrste izometrijskih transfor-macija prostora S3, sve izometrijske transformacije podelićemo u dve grupe:

� Direktne izometrijske transformacije prostora.

� Indirektne izometrijske transformacije prostora.

Da bismo odredili koje su izometrijske transformacije direktne ili indi-rektne najpre treba formulisati sledeće tvrđenje.

Teorema 2.2.1. Izometrijom prostora istosmerni tetraedri se preslikavaju uistosmerne tetraedre, a suprotnosmerni tetraedri na suprotnosmerne tetrae-dre.

Iz prethodnog tvrđenja neposredno sledi da su direktne izometrijske trans-formacije prostora one transformacije koje ne menjaju orjentaciju prostoraS3 , a indirektne izometrijske transformacije one izometrijske transformacijekoje menjaju orjentaciju istog prostora. Da bismo ustanovili da li je nekaizometrijska transformacija prostora S3 direktna ili indirektna, dovoljno jeustanoviti da li neke dve odgovarajuće četvorke nekomplanarnih tačaka odre-đuju istosmerne ili suprotnosmerne tetraedre.

Slika 3.- Istosmerni i suprotnosmeni tetraedri

8

Na slici 3. levo vidimo da istosmerni podudarni tetraedri ABCD i A′B

′C

′D

′

određuju dierktnu, a na slici desno suprotnosmerni podudarni tetraedri ABCDi A′

B′C

′D

′ određuju indirektnu izometrijsku transformaciju prostora S3.Prirodno, identična izometrijska transformacija predstavlja direktnu izome-trijsku transformaciju.Sledeca teorema daje uslove pod kojima je izometrija prostora jednoznačnoodređena. Ona ima izuzetna značaj u izgadnji teorije izometrija.

Teorema 2.2.2. Ako su A,B,C,D četiri nekomplanarne tačke prostora S3 iA

′, B

′, C

′, D

′ tačke tog prostora takve da je (A,B,C,D) ∼= (A′, B

′, C

′, D

′),

tada postoji jedinstvena izometrija I : S3 → S3 takva da je:

I(A) = A′, I(B) = B′, I(C) = C ′, I(D) = D′.

Posledica 2.2.3. Ako izometrija I : S3 → S3 poseduje četiri nekomplanarnetačke, ona je koincidencija.

Iz prethodne teoreme možemo zaključiti da direktna(indirektna) izome-trija prostora S3 jednoznačno je određena ako su zadata tri para odgovara-jućih nekolinearnih tačaka. Jasno je da je identčna transformacija prostoraS3 direktna izometrija.

Teorema 2.2.4. Ako su ABC i A′B

′C

′ podudarni trouglovi, tada potojetačno dve izometrijske transformacije prostora koji trougao ABC preslikavajuna trougao A′

B′C

′. Jedna je dirktna i jedna indirektna.

Treba napomenuti jos i tvrđenje prema kojem kompozicija sastavljena oddve direktne izometrijske transformacije ili dve indirektne izometrijske trans-formacije prostora S3 uvek predstavlja direktnu izometrisku transformacijutog prostora, dok kompozicija sastavljena iz jedne direktne i jedne indirektnetransformacije prostora S3 uvek predstavlja indirektnu izometrijsku transfor-maciju. Ovo nam omogućuje da ustanovimo skup svih direktnih izometrijskihtransformacia prostora S3 predstavlja nekomutativnu podgrupu grupe G(I )svih izometrijskih transformacija prostora S3. Tu podgrupu zvaćemo grupomdirektnih izometrijskim transformacija prostora S3 i obeležiemo sa G(I+).

9

2.3 Ravanska refleksija prostora S3

Direktne i indirektne izometrijske transformacije prostora S3 predsta-vljaju samo jedan vid razvrstavljanja izometrijskih transformacija tog pro-stora. U narednim odeljcima defenisaćemo neke specifične vrste izometrijskihtransformacija kao i neke njihove značajne osobine. U osnovi daljih razma-tranja predstavićemo upravo neindetične izometrijske transformacije prostoraS3 koje poseduju po tri nekolinearne invarijantne tačke, prema tome po jednuravan kojoj su sve tačke invarijantne. Takve transformacije nazvaćemo ra-vanskim refleksijama.

Definicija 2.3.1. Ravanskom refleksijom ili ravanskom simetrijom prostoraS3 sa osnovom π ⊂ S3 (π -medijalna ravan) nazivamo neidentičnu izometrij-sku transformaciju Sπ : S3 → S3 kojoj je svaka tačka ravni π invarijantna.

Na osnovu teoreme 2.2.2 i poslednje definicije zaključujemo da ravanskarefleksija Sπ prostora S3 van ravni π nema invarijantnih tačaka.Ravansku refleksiju obeležimo sa Sπ , a sa π osnovu ravanske refleksije. Akonekoj tački X u ravanskoj refleksiji odgovara tačka X ′ , tada je ravan π me-dijalna ravan duži XX ′ .

Pre nego damo dokaz za ovo tvrđenje treba prvo navesti sledeće tvrđenje.

Teorema 2.3.1. Tačka A pripada medijalnoj ravni π duži XX ′ ako i samoako je AX ∼= AX

′.

Slika 4.- Medijalna ravan duži XX ′

Ako sa A,B,C obeležimo tri nekolinearne tačke ravni π, imamo relacije:

AX ∼= AX′, BX ∼= BX

′, CX ∼= CX

′ ,

10

pa je svaka od tačaka A,B,C u medijalnoj ravni π′ duži XX ′ . Kako su tačkeA,B,C nekolinearne one određuju samo jednu ravan π = π

′ . Sledi da jeravanska refleksija jednoznačno određena svojom osnovom π ili pak jednimparom odgovarajućih neistovetnih tačaka.

Navešćemo još nekoliko važnih svojstava ravanske refleksije, jedno od njihtvrdi da je ravanska refleksija indirektna izomerija, to ćemo i dokazati.

Teorema 2.3.2. Ravanska refleksija Sπ prostora S3 je indirektna izometrija.

Slika 5.- Ravanska refleksija Sπ je indirektna izometrija

Dokaz. Ako obeležimo sa A,B,C tri nekolinearne tačke ravni π, sa D bilokoju tačku van ravni π i sa D′ tačku takvu da je D′ = Sπ(D), biće D 6= D′ iπ medijana ravan duži DD′ (Slika 5.). Stoga su tačke D i D′ sa raznih stranaravni π te su odgovarajući tetraedri ABCD i ABCD′ suprotnosmerni, prematome ravanska refleksija Sπ je indirektna trasnformacija.

Jedno od bitnih svojstava ravanske refleksije prostora S3 jeste svojstvo invo-lutivnosti.

Definicija 2.3.2. Svaku neidentičku transformaciju f kojoj je kvadrat koin-cidencija zovemo involuciona transformacija tj. f 2 = ε.

11

Teorema 2.3.3. Ravanska refleksija Sπ prostora S3 je involuciona transfor-macija.

Dokaz. Obeležimo sa X proizvoljnu tačku prostora S3, i sa X ′, X ′′ tačke ta-kve da je:

Sπ = X ′ i Sπ = X ′′.

Ako je X ∈ π, tada je X = X ′ i X = X ′′, pa je X = X ′′. Ako je X /∈ π, tadaje X 6= X ′ i X ′ 6= X ′′, pa osnova π ravanske refleksije Sπ medijalna ravansvake od duži XX ′ i X ′X ′′, pa je X = X ′′. Ovim je dokazano da važi relacija

S2π = ε

pa je ravanska refleksija Sπ involuciona transformacija.

Teorema 2.3.4. Ako indirektna izometrijska transformacija I prostora S3

ima dve razne invarijantne tačke A i B, onda ona predstavlja neku ravanskurefleksiju Sπ prostora S3 kojoj osnova π sadrži obe tačke A i B.

Slika 6: Indirektna izometrija I sa dve invarijantne tačke A i B je Sπ

Dokaz. Kako je I indirektna i ε direktna izometrijska transformacija, slediI 6= ε. Prema tome u prostoru S3 postoji tačka P takva da je I(P ) = P ′

i P 6= P ′ pri tome je (P,A) ∼= (P ′, A) i (P,B) ∼= (P ′, B), pa se svakaod tačaka P i B nalazi u medijalnoj ravni π duži PP ′ (Slika 6). Kako suSπ i I indirekte izometrijske transformacije, kompozicija Sπ ◦ I predstavljadirektnu izometrijsku transformaciju prostora S3. Kako ta transformacijasadrži tri invarijantne nekolinearne tačke A,B, P , te prema ranije rečenomona je koincidencija. Prema tome je Sπ ◦ I = ε, odnosno I = Sπ.

12

Teorema 2.3.5. Ako je Sπ ravanska refleksija prostora S3 i prava p koja senalazi u tom prostoru, a ne pripada ravni π, tada je:

Sπ(p) = p ⇐⇒ p⊥π.

Dokaz. ( =⇒ ): Ako je Sπ(p) = p, tada je π ∩ p 6= ∅. Zaista, ako bi važilarelacija π ∩ p 6= ∅ tada bi istovetne prave p i Sπ(p) bile sa raznih stana ravniπ, što je nemoguće. Prema tome je π ∩ p 6= ∅. Iz ove relacije i relacije p /∈ πsledi da pava p prodire rava π u nekoj tački O. Ako je P tačka prave prazličita od O i P ′njena odgovarajuća tačka u ravanskoj refleksiji Sπ, imamoda je P 6= P ′ i P ′ ∈ p, pa je π medijalna ravan duži PP ′ i prema tome p⊥π.

(⇐=): Obratno, ako je p⊥π u nekoj tački O, tada je Sπ = p. Zaista, akoje P tačka prave p različita od O i P ′ njena odgovarajuća tačkau ravanskojrefleksiji Sπ, imamo da je P 6= P ′, pa je π medijalna ravan duži PP ′ te jePP ′⊥π. Prema tome je P ′ ∈ p, dakle i Sπ = p.

Teorema 2.3.6. Ako su Sα i Sβ dve ravanske refleksije prostora S3 sa raz-nim osnovama α i β, a tačka X iz istog prostora, tada je

Sβ ◦ Sα(X) = X ⇐⇒ X ∈ α ∩ β.

Dokaz. ( =⇒ ): Pretpostavimo najpre da je Sβ ◦Sα(X) = X. Ako obeležimosa X ′ tačku takvu da je Sα(X) = X ′ biće i Sβ(X ′) = X. Indirektnimpostupkom pokazaćemo da je X = X ′. Pretpostavimo suprotno, neka jeX 6= X ′, tada postoje dve razne medijalne ravni α i β duži XX ′ što jenemoguće. Prema tome je X = X ′, pa je Sα(X) = X i Sβ(X) = X. Iz ovihjednakosti sledi da je X ∈ α i X ∈ β, pa je X ∈ α ∩ β.

(⇐=): Obratno, ako pretpostavimo da važi X ∈ α ∩ β, tada je X ∈ α iX ∈ β, pa je Sα(X) = X i Sβ(X) = X.

13

Definicija 2.3.3. Neka se izometrijom f : Sn → Sn (n=1,2,3) proizvoljnatačka X prostora Sn preslikava u tačku Y prostora Sn, tj. neka je f(X) = Y ,i neka se X i Y preslikavaju izometrijom u tačke X ′ = g(X) i Y ′ = g(Y )(slika ispod). Tada je f(X) = Y ako i samo ako je g◦f◦g−1(X ′) = Y ′. Na tajnačin, pomoću izometrijske transformacije g svakoj izometrijskoj transforma-ciji f dodeljujemo novu izometrijsku transformaciju g ◦ f ◦ g−1 koju zovemounutrašnjim automorfizmom ili transmutacijom izometrijske transformacijef pomoću transformacije g i oznacavamo g ◦ f ◦ g−1 = f g.

Teorema 2.3.7. Ako je Sπ ravanska refleksija prostora S3 i I proizvoljnaizometrijska transformacija tog prostora tada je:

SIπ = SI(π).

Dokaz. Neka je π′ = I(π) i neka je P ′ ∈ π′ proizvoljna tačka. Tada postojitačka P ravni π takva da je P ′ = I(P ). Tada je,

Sπ ◦ I−1(P ′) = I−1(P ′).

Odavde sledi

I ◦ Sπ ◦ I−1(P ′) = I ◦ I−1(P ′) = ε(P ′) = P ′.

Dakle, sve tačke ravni π′ su invarijantne u kompoziciji

I ◦ Sπ ◦ I−1.

Kako je ta kompozicija indirektna transformacija prostora S3, to ona pred-stavlja ravansku refleksiju Sπ′ . Pema tome, dobijamo:

I ◦ Sπ ◦ I−1 = SI(π),

a to je i trebalo pokazati.

14

Teorema 2.3.8. Ravanske refleksije Sα i Sβ prostora S3 sa raznim osnovamaα i β komutiraju ako i samo ako su im osnove međusobno upravne.

Dokaz. Pretpostavimo najpre da je Sβ ◦ Sα = Sα ◦ Sβ. Tada je

Sβ ◦ Sα ◦ Sβ = Sα.

Označimo sa α′ ravan određenu sa Sβ(α) = α′. Tada prema prethodnojteoremi imamo:

Sβ ◦ Sα ◦ Sβ = S′α.

Sada iz Sβ ◦Sα ◦Sβ = Sα i Sβ ◦Sα ◦Sβ = S′α sledi da je Sα = S

′α, tj. α = α′,

a odavde α = Sβ(α). Odavde, uzimajući u obzir da je α 6= β zaključujemoda je ravan α upravna na ravan β.Obratno, neka je sada ravan α upravna na ravan β. Odavde sledi da jeSβ(α) = α, te prema prethodnoj teoremi dobijamo:

Sβ ◦ Sα ◦ Sβ = Sα tj. Sβ ◦ Sα = Sα ◦ Sβ.

Primer 2.3.1. Ako su Sπ, Sµ, Sυ ravanske refleksije prostora S3, dokazati daje:

Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sυ ⇐⇒ Sπ(µ) = υ.

Dokaz. ( =⇒ ): Pretpostavimo najpre da je

Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sυ.

Neka je µ′ ravan prostora S3 određena relacijom Sπ(µ) = µ′, prema zakonutransmutacije ravanske refleksije Sµ ravanskom refleksijom Sπ, imamo da je:

Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sµ′ .

Iz Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sυ i Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sµ′ sledi da je Sµ′ = Sυ, pa je µ′ = υ tj.Sπ(µ) = υ.

(⇐=): Pretpostavimo da je Sπ(µ) = υ, te prema zakonu transmutacijeravanske refleksije Sµ ravanskom refleksijom Sπ, nalazimo da je:

Sπ ◦ Sµ ◦ Sπ = Sυ,

što je i trebalo pokazati.

Ravanska refleksija je od fundamentalnog značaja za celu teoriju izome-trija prostora S3 jer pomoću nje možemo predstaviti sve ostale izometrije, asada ćemo i dokazati to tvrđenje.

15

Teorema 2.3.9. Svaka izometrijska transformacija I prostora S3 može seprestaviti kao kompozicija najviše četiri ravanske refleksije tog prostora.

Dokaz. S obzirom na maksimalan broj linearno nezavisnih tačaka invarijant-nih u izometriji I prostora S3 mogu nastupiti sledeća pet slučaja:

(i) Izometrija I ima bar četiri nekomplanarne invarijantne tačke. Nekasu to tačke A,B,C,D. Tada je I(A) = A, I(B) = B, I(C) = C, I(D) = D.Prema definiciji ovakva izometrijska transformacija predsavlja koincidencijuprostora S3. Kako je ravanska refleksija involuciona izometrijska transfor-macija, sledi Sπ ◦ Sπ, tj. izometrijsku transformaciju I predstavljamo kaokompoziciju dve ravanske refleksije.

Slika 7.

(ii) Neka izometrija I raspolaže sa tri nekolinearne invarijantne tačke,neka su to tačke A,B,C. Van ravni određenoj tačkama A,B,C izometrija Inema invarijantnih tačaka. Prema tome postoji tačkaX prostora S3 takva daje I(X) = X ′ iX 6= X ′ (Slika 7.). Neka je π medijalna ravan dužiXX ′. Kakoje AX = AX ′, BX = BX ′, CX = CX ′ sledi da tačke A B i C pripadajuravni π. Kako kompozicija Sπ◦I ima četiri invarijantne nekomplanarne tačkeA,B,C iX pa predstavlja koincidenciju. Dakle imamo da je Sπ◦I = ε odaklesledi da je I = Sπ.

16

Slika 8.

(iii) Izometrija I raspolaže sa dve razne invarijantne tačke, neka su totačke A i B. Van prave određene tačkama A i B izometrija I nema inva-rijantnih tačaka. Prema tome postoji tačka X van prave AB prostora S3

takva da je I(X) = X ′ i X 6= X ′ (Slika 8.). Neka je π medijalna ravan dužiXX ′. Kako je AX = AX ′, BX = BX ′ sledi da tačke A i B pripadaju ravniπ. Kako kompozicija Sπ ◦ I ima tri invarijantne nekolinearne tačke A,B iX pa prema prethodnom slučaju predstavlja neku ravansku refleksiju Sπ′ .Dakle imamo da je Sπ ◦ I = Sπ′ odakle sledi da je I = Sπ ◦ Sπ′ .

Slika 9.

(iv) Izometrija I raspolaže sa jednom invarijantnom tačkom A. Postojitačka X prostora S3 različita od tačke A takva da je I(X) = X ′ i X 6= X ′

(Slika 9.). Neka je π medijalna ravan duži XX ′. Kako je AX = AX ′ sledi datačka A pripada ravni π. Kompozicija Sπ ◦I ima dve razne invarijantne tačkeA i X pa prema prethodnom slučaju predstavlja kompoziciju dve ravanskerefleksije Sπ′ i Sπ′′ . Dakle Sπ ◦ I = Sπ′ ◦ Sπ′′ odakle je:

I = Sπ ◦ Sπ′ ◦ Sπ′′ .

17

(v) Izometrija I nema invarijantnih tačaka. Postoji tačka X prostoraS3 takva da je I(X) = X ′ i X 6= X ′. Neka je i u ovom slučaju π medijalnaravan duži XX ′. Kompozicija Sπ◦I ima invarijantnu tačku X pa prema pret-hodnom slučaju predstavlja kompoziciju tri ravanske refleksije Sπ′ , Sπ′′ , Sπ′′′ .Dakle Sπ ◦ I = Sπ′ ◦ Sπ′′ ◦ Sπ′′′ , odakle je

I = Sπ ◦ Sπ′ ◦ Sπ′′ ◦ Sπ′′′ .

Treba napomenuti još da će važiti i generalizacija ove teoreme za n-dimenzioni prostor pri čemu će svaka izometrija prostora S3 moći da seprikaže kao kompozicija najviše n+1 hiperravanskih refleksija, hiperravan-ska refleksija. Predstavllja neidentičnu izometriju koja čuva invarijantnimn-1 dimenzioni podprostor prostora Sn, tačku po tačku.

Definicija 2.3.4. Reprezentaciju izometrijske transformacije prostora S3 saminimalnim brojem ravanskih refleksija nazivamo minimalnim ili optimal-nom reprezentacijom.

18

2.4 Pramenovi ravni. Snop ravni. Snop pravihprostora S3

Definicija 2.4.1. Skup χ ravni prostora S3 predstavlja pramen ravni akoza tri proizvoljne ravni α, β, γ skupa χ, kompozicija tri ravanske refleksijeSα ◦ Sβ ◦ Sγ predstavlja ravansku refleksiju Sδ.

Slika 10.

Definicija 2.4.2. Pramen ravni u S3 nazivamo koaksijalnim ili eliptičkimako se sve ravni tog pramena seku po jednoj pravoj (Slika 10. levo). Pra-men ravni u S3 nazivamo ortogonalnim ili hiperboličkim ako su sve ravni togpramena upravne na jednoj pravoj (Slika 10. desno).

Definicija 2.4.3. Skup Υ pravih prostora S3 predstavlja snop pravih ako susvake dve prave iz tog skupa komplanarne . Ravni određene parovima pravihnekog snopa nazivamo ravnima tog snopa pravih. Skup svih ravni nekog snopapravih nazivamo snopom ravni.

U apsolutnom prostoru razlikujemo dve vrste snopova pravih.

Definicija 2.4.4. Skup svih pravih koje se seku u istoj tački prostora S3

predstavlja snop koji nazivamo konkurentnim ili eliptičkim snopom. Skupsvih pravih upravnih na istu ravan prostora S3 predstavlja snop koji nazivamoortogonalnim ili hiperboličkim snopom pravih istog prostora.

Iako smo pojam pramena ravni definisali nezavisno od pojma izometrij-skih transformacija, ova dva pojma povezuju sledeća tvrđenja.

19

Teorema 2.4.1. Ako tri ravni α, β, γ prostora S3 pripadaju nekom pramenuχ, tada kompozicija Sγ ◦Sβ ◦Sα predstavlja neku ravansku refleksiju Sδ kojojosnova δ takođe pripada pramenu χ.

Slika 11.

Dokaz. Pretpostavimo da je χ pramen koaksijalnih ravni i s njegova osa(Slika 11.). Kako prava s pripada svakoj od ravni α, β, γ svaka tačka praves invarijantna je u kompoziciji Sγ ◦ Sβ ◦ Sα, tako ova kompozicija posedujedve razne invarijantne tačke te prema ranije pomenutoj teoremi predstavljaneku ravansku refleksiju Sδ. Prema tome je s ⊂ δ odakle sledi da δ ∈ χ

Teorema 2.4.2. Ako kompozicija Sγ ◦ Sβ ◦ Sα sastavljena iz tri ravanskerefleksije prostora S3 predstavlja neku ravansku refleksiju Sδ, tada osnoveα, β, γ, δ tih ravanskih refleksija pripadaju jednom pramenu.

Dokaz. Pretpostavimo da se ravni α i β seku po nekoj pravoj s (Slika 10.).Prema teoremi o kompoziciji, u kompoziciji Sβ ◦ Sα svaka tačka prave s jeinvarijantna. Kako je

Sγ ◦ Sβ ◦ Sα = Sδ,

tj. Sβ ◦ Sα = Sγ ◦ Sδ, i u kompoziciji Sγ ◦ Sδ biće svaka tačka prave sinvarijantna. Prema tome se ravni γ i δ seku po pravoj s, te sve ravniα, β, γ, δ pripadaju jednom pramenu.

20

2.5 Osna rotacija u S3

Počevši sa osnom rotacijom biće obrađene sve vrste složenih izometrijskihtransformacija apsolutnog prostora razmatranjem specifičnih oblika njihovihminimalnih simetrijskih reprezentacija.

Definicija 2.5.1. Neka su Sα i Sβ dve ravanske refleksije prostora S3 čijese osnove α i β seku po nekoj pravoj s. Neka je ω dvostruki orjentisani ugaoizmeđu ravni α i β (Slika 12.). Osnom rotacijom prostora S3 oko prave s zaugao ω nazivamo transformaciju:

Rs,ω = Sβ ◦ Sα

Pravu s zovemo osom rotacije, a orjentisani ugao ω ugao rotacije.

Slika 12.

Ravanska refleksija je indirektna izometrijska transformacija, a kako smoosnu rotaciju definisali kao kompoziciju dveju ravanskih refleksija to je osnarotacija direktna izometrijska transformacija. Kod osnih rotacija nije teškoustanoviti da je invarijantna svala tačka prave s i da van ove prave osnarotacija nema invarijantnih tačaka. Ukoliko ugao ω nije opružen , prava s jejedina invarijantna prava ove transformacije dok su invarijantne jedino ravniupravne na osu s. Ako je u osnoj rotaciji ugao ω opružen, tada sem praves postoji neograničeno mnogo pravih koje su invarijantne i to su prve kojeseku pravu s pod pravim uglom.

S obzirom da su u osnoj rotaciji prostora S3 invarijantne jedino tačke oses, dve osne rotacije istog prostora mogu biti jednake jedino u slučaju akoimaju zajedničku osu.

21

Teorema 2.5.1. Skup Rs koji se sastoji od identične transformacije i svihosnih rotacija prostora S3 koje imaju zajedničku osu s predstavlja grupu.

Dokaz. Neka su Rs,α i Rs,β dve proizvoljne osne rotacije iz skupa Rs. Nekaje π proizvoljna ravan koja sadrži pravu s. Neka su µ i ν ravni određene saRs,α = Sπ ◦ Sµ i Rs,β = Sν ◦ Sπ. Ravni µ i ν seku ravan π po pravoj s. Toznači da ravni µ i ν sadrže pravu s, pa se one poklapaju ili se seku po pravojs. Dakle važi:

Rs,β ◦Rs,α = Sν ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sµ = Sν ◦ Sµ.

U pogledu međusobnog odnosa između ravni µ i ν razmatramo dve mo-gućnosti:

(i) Ravni µ i ν se poklpaju, onda Sν ◦ Sµ = ε.(ii) Ravni µ i ν se seku po pravoj s , onda Sν ◦ Sµ = Rs,γ.

U oba slučaja imamo da je Rs,β ◦Rs,α ∈ Rs.Neka je Rs,ω proizvoljna osna rotacija iz skupa Rs. Označimo sa µ i ν ravniprostora S3 takve da važi Rs,ω = Sν ◦ Sµ. Tada je:

R−1s,ω = (Sµ ◦ Sν)−1 = S−1µ ◦ S−1ν = Sµ ◦ Sν = Rs,−ω.

Dakle, ako Rs,ω ∈ Rs tada i R−1s,ω ∈ Rs.Kako elementi skupa Rs predstavljaju istovremeno i elemente grupe G(I)svih izometrijskih transformacija prostora S3, to je Rs podgrupa grupe G(I).Dakle, Rs predstavlja grupu u odnosu na operaciju kompozicije preslikavanja.

Definicija 2.5.2. Grupu koja se sastoji od identičkog preslikavanja i svihosnih rotacija sa zajedničkom osom rotacije nazivamo grupom osnih rotcijaprostora S3 oko prave s i označavamo sa G(Rs)

Teorema 2.5.2. Grupa G(Rs) je komutativna .

Dokaz. Neka je π ravan koja sadrži pravu s, a µ i ν ravni takve da je Rs,α =Sπ ◦ Sµ i Rs,β = Sν ◦ Spi. Komponovanjem prethodnih relacija dobijamo:

Rs,β ◦Rs,α = Sν ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sµ = Sν ◦ Sµ.

i

Rs,α ◦Rs,β = Sπ ◦ Sµ ◦ Sν ◦ Sπ.

Ravni µ i ν seku ravan π po istoj pravoj s. Što znači da sve tri ravnipripadaju istom koaksijalnom pramenu ravni Ls. Dakle, kompozicija Sπ ◦Sµ◦Sν predstavlja neku ravansku refleksiju, koja je involuciona trnsformacijaprostora S3 pa je njen kvadrat koincidencija. Biće, Sπ ◦ Sµ ◦ Sν ◦ Sπ ◦ Sν = εtj. Sπ ◦ Sµ ◦ Sν ◦ Sπ = Sν ◦ Sµ. Dakle, Rs,α ◦ Rs,β = Rs,β ◦ Rs,α tj. važikomutativnost.

22

Teorema 2.5.3. (Dalamber, 1743) Svaka direktna izometrijska transforma-cija I prostora S3 koja ima jednu invarijantnu tačku O predstavlja koinci-denciju ε ili neku osnu rotaciju Rs,ω čija osa s sadrži tačku O.

Dokaz. Kada je I = Sπ ◦ Sπ = ε dokaz sledi neposredno.Predpostavimo sada da je I 6= ε. Tada u prostoru S3 postoji tačka P takvada je I(P ) = P ′ i P 6= P ′. Neka je π1 medijalna ravan duži PP ′. KompozicijaSπ1 ◦ I direktna izometrijska transfomacija i ima dve invarijantne tačke O iP , O 6= P pa predstavlja neku ravansku refleksiju Sπ2 . Iz Sπ2 = Sπ1 ◦ I sledida je I = Sπ1 ◦ Sπ2 , pri čemu se ravni π1 i π2 seku po pravoj OP . Ako tupravu obeležimo sa s, a dvostruki orjentisani ugao između ravni π1 i π2 sa ω,biće I = Rs,ω.

Teorema 2.5.4. (O transmutaciji osnih rotacija) Ako je Rs,ω osna rotacijaprostora S3 i I prozvoljna izometrijska transformacija istog prostora, tada je:

RIs,ω = RI(s),I(ω).

Teorema 2.5.5. Osna rotacija Rs,ω i ravanska refleksija Sπ prostora S3 sudve komutativne transformacije ako i samo ako je prava s upravna na ravanπ.

Dokaz. (⇒): Neka je Sπ ◦Rs,ω = Rs,ω ◦ Sπ tj.

Sπ ◦Rs,ω ◦ Sπ = Rs,ω.

Ako sa s′ obeležimo pravu koja u ravanskoj refleksiji odgovara pravoj s i saω′ ugao koji u toj istoj refleksiji odgovara uglu ω, prema prethodnoj teoremidobijamo:

Sπ ◦Rs,ω ◦ Sπ = Rs′,ω′ .

Iz prethodne dve jednakosti sledi da je Rs,ω = Rs′,ω′ . Dakle, ose s i s′se poklapaju, a orjentisani uglovi ω i ω′ su podudarni i istosmerni. To jemoguće jedino u slučaju ako s⊥π.

(⇐): Neka je sada s⊥π. Označimo sa s′ pravu za koju važi s′ = Sπ(s), asa ω′ ugao koji je ω′ = Sπ(ω). Tada će se prave s i s′ poklapati , a orjentisaniuglovi ω i ω′ biće podudarni i istosmerni, pa je Rs,ω = Rs′,ω′ . Sada, primenomprethodne teoreme dobijamo da je:

Sπ ◦Rs,ω = Sπ ◦Rs,ω ◦ Sπ ◦ Sπ = Rs′,ω′ ◦ Sπ = Rs,ω ◦ Sπtj. Sπ ◦Rs,ω = Rs,ω ◦ Sπ, što je i trebalo dokazati.

23

Teorema 2.5.6. Dve osne rotacije Ra,α i Rb,β prostora S3, pri čemu ugloviα i β nisu opruženi, su komutativne ako i samo ako se ose a i b tih rotacijapoklapaju.

Dokaz. (⇒): Neka je Rb,β ◦Ra,α = Ra,α ◦Rb,β. Tada je

Rb,β ◦Ra,α ◦R−1b,β = Ra,α.

Ako je Rb,β = a′ i Rb,β = α′ prema teoremi o transmutaciji osnih rotacijaimamo da je

Rb,β ◦Ra,α ◦R−1b,β = Ra′,α′ .

Iz Rb,β ◦Ra,α ◦R−1b,β = Ra,α i Rb,β ◦Ra,α ◦R−1b,β = Ra′,α′ sledi da je Ra,α = Ra′,α′ .Prema tome prave a i a′ se poklapaju, a uglovi α i α′ su podudarni i isto-smerni, što je moguće jedino u slučaju kada se prave a i b poklapaju.Obratno tvrđenje ove teoreme dokazano je već teoremom 2.5.2., ali se onomože dokazati i na sledeći način.

(⇐): Pretpostavimo da se prave a i b poklapaju. Ako je Rb,β(a) = a′ iRb,β(α) = α′, prave a i a′ će se poklapati, a uglovi α i α′ biće podudarni i isto-smerni. Dakle, biće Ra,α = Ra′,α′ . Sada, primenom teoreme o transmutacijiosnih rotacija zaključujemo da je Rb,β ◦Ra,α ◦R−1b,β = Ra,α tj.

Rb,β ◦Ra,α = Ra,α ◦Rb,β,

što je i trebalo dokazati.

Teorema 2.5.7. (Ojler, 1765) Kompoziciju dveju osnih rotacija prostora S3,kojima se ose seku u nekoj tački O, predstavlja osnu rotaciju čija osa sadržitačku O.

Dokaz. Neka su Ra,α i Rb,β dve osne rotacije prostora S3 kojima se ose a i bseku u tački O. Označimo sa π ravan određenu pravama a i b. Neka su zatimµ i ν ravni takve da je Ra,α = Sπ ◦ Sµ i Rb,β = Sν ◦ Sπ. Tada kompozicijuosnih rotacija Ra,α i Rb,β možemo napisati kao:

Rb,β ◦Ra,α = Sν ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sµ = Sν ◦ Sµ.

Kako ravni µ i ν seku ravan π po dvema raznim pravama a i b, sledi da jeµ 6= ν. Dakle, dve razne ravni µ i ν imaju zajedničku tačku O, pa prematome one imaju i zajedničku pravu c. Znači, kompozicija Sν ◦Sµ predstavljaneku osnu rotaciju prostora S3.

*Rešavajući ovaj problem Ojler je dokazao specijalan slučaj Dalamberoveteoreme, ali ne znajući postojanje Dalamberove teoreme.*

24

Primer 2.5.1. Dokazati da je kompozicija satavljena od četiri ravanskih re-fleksija prostora S3, kojima su osnove određene bočnim pljosnima četvoro-strane piramide, osna rotacija tog prostora. Konstruisati osu te rotacije.

Dokaz. Označimo sa α, β, γ, δ ravni određene temenima A,B, S; B,C, S;C,D, S; D,A, S respektivno, četvorostrane piramide SABCD čija je osnovačetvorougao ABCD (Slika 13.)

Slika 13.

Potrebno je dokazati da je kompozicija Sδ ◦ Sγ ◦ Sβ ◦ Sα osna rotacija.

Neka je π ravan određena tačkama B,D, S. Kompozicija Sβ ◦ Sα je osnarotacija(jer ravni α i β imaju zajedničku pravu BS) i ona može biti pred-stavljena kao kompozicija Sπ ◦ Sφ, gde je φ ravan koja sadrži pravu BS iusmereni ugao, koji zahvataju ravni φ i π podudaran je usmerenom uglu µ1

koji zahvataju ravni α i β (jer je Sβ ◦ Sα = RBS,2µ1= Sπ ◦ Sφ).

Kompozicija Sδ ◦ Sγ je osna rotacija (jer ravni γ i δ imaju zajedničku pravuDS) i ona može biti predstavljena kao kompozicija Sψ ◦ Sπ, gde je ψ ravankoja sadrži pravuDS i usmeren ugao µ2 koji zahvataju ravni π i ψ podudaranje usmerenom uglu koji zahvataju ravni γ i δ. Dakle,

Sδ ◦ Sγ ◦ Sβ ◦ Sα = Sψ ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sφ = Sψ ◦ Sφ.

Ravni φ i ψ su različite (jer bi u protivnom obe sadržale prave BS i DS, pa bibile identične sa ravni π) i obe sadržale tačku S, odakle sledi da imaju nekuzajedničku pravu s koja sadrži tačku s. Data kompozicija je, dakle, osnarotacija Sψ ◦Sφ čija je osa prava s, a ugao rotacije jednak je dvostrukom ugluizmeđu ravni φ i ψ.

25

2.6 Osna refleksija prostora S3

Definicija 2.6.1. U prostoru S3 lik Φ raspolaže osnom simetrijom reda n akopostoji osna rotacija R

s,4R

n

(Φ) = Φ pri čemu je n ∈ Z+ ili je n racionalan

broj oblikap

qgde su p i q uzajamno prosti. Prava s predstavlja osu navedene

simetrije reda n.

Definicija 2.6.2. Osnom refleksijom Ss prostora S3 nazivamo kompozicijudveju ravanskih refleksija Sα i Sβ istog prostora kojima osnove α i β zadovo-ljavaju relaciju α ⊥ β i α ∩ β = s. Na taj način imamo da je:

Ss = Sβ ◦ Sα = Sα ◦ Sβ

Pravu s nazivamo osom osne refleksije.

Osna refleksija predstavlja direktnu izometrijsku transformaciju prostoraS3 kojoj su invarijantne tačke ose s, odnosno svaka ravan koja sadrži osu s ,kao i svaka ravan koja je upravna na osu s.

Teorema 2.6.1. Osna refleksija Ss prostora S3 je involuciona transforma-cija.

Dokaz. Ako obeležimo sa α i β ravni prostora S3 koje zadovoljavaju relacijeα ⊥ β i α ∩ β = s biće Ss = Sβ ◦ Sα. Kako su ravni α i β međusobnonormalne zaključujemo da je:

S2s = (Sβ ◦ Sα) ◦ (Sβ ◦ Sα) = (Sβ ◦ Sα) ◦ (Sα ◦ Sβ) = ε.

Teorema 2.6.2. Ravanska refleksija Sπ i osna refleksija Sp prostora S3, ko-jima osa p ne pripada osnovi π, predstavljaju dve komutativne transformacijeako i samo ako je prava p upravna na ravni π tj. biće:

Sπ ◦ Sp = Sp ◦ Sπ ⇐⇒ p ⊥ π.

26

Dokaz. (⇒): Pretpostavimo da je:

Sπ ◦ Sp = Sp ◦ Sπ tj. Sπ ◦ Sp ◦ Sπ = Sp.

Ako obeležimo sa p′ pravu određenu relacijom Sπ(p) = p′, prema zakonutransmutacije osne refleksije Sp ravanskom refleksijom Sπ imamo da je:

Sπ ◦ Sp ◦ Sπ = Sp′ .

Iz Sπ ◦ Sp = Sp ◦ Sπ tj. Sπ ◦ Sp ◦ Sπ = Sp i Sπ ◦ Sp ◦ Sπ = Sp′ , sledi da jeSp = Sp′ pa je p = p′. Kako prava p ne pripada ravni π jednakost Sp = Sp′važi samo u slučaju kada je p ⊥ π.

(⇐): Obratno, predpostavimo da je p ⊥ π. Iz ove relacije sledi da jeSπ(p) = p, te prema zakonu transmutacije osne refleksije Sp ravanskom re-fleksijom Sπ dobijamo:

Sπ ◦ Sp = Sp ◦ Sπ tj. Sπ ◦ Sp ◦ Sπ = Sp,

što je i trebalo pokazati.

Primer 2.6.1. Dokazati da je kompozicija dveju osnih simetrija Sp i Sqprostora S3, kojima se ose p i q seku u nekoj tački O, osna rotacija togprostora.

Dokaz. Neka su Sp i Sq osne simetrije prostora S3, kojima se ose p i q seku utački O. Ako obeležimo sa π ravan određenu pravama a i b, a sa µ i ν ravnikoje su upravne na ravan π i čiji su preseci sa ravni π prave a i b, redom,imamo da važi:

Sp = Sπ ◦ Sµ i Sq = Sν ◦ Sπ.

Tada važi:

Sq ◦ Sp = Sν ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sµ = Sν ◦ Sµ.

S obzirom na to da ravni µ i ν seku ravan π po dvema raznim pravamap i q, imamo da je µ 6= ν. Na taj način, dve razne ravni µ i ν imajuzajedničku tačku O, prema tome one se seku po nekoj pravoj r. Prema tomeje kompozicija Sν ◦ Sµ neka osna rotacija Rr,γ pa je:

Sq ◦ Sp = Rr,γ.

27

2.7 Osnorotaciona refleksija prostora S3

Još jedna indirektna izometrijska transformacija prostora S3 jeste osno-rotaciona refleksija.

Slika 14.

Definicija 2.7.1. Kompoziciju jedne osne rotacije Rs,ω i jedne ravanske re-fleksije Sπ prostora S3 pri čemu je prava s upravna na ravan π nazivamoosnorotacionom refleksijom prostora S3 i obeležavamo sa Rπ;s,ω. Ravan πzovemo osnovom, a orjentisani ugao ω uglom osnorotacione refleksije, dokpresečnu tačku S prave s sa ravni π nazivamo središtem osnorotacione re-fleksije prostora S3.

Iz definicije sledi da je osnorotaciona refleksija određena osnovom π, osoms i orjentisanim uglom ω. Nije teško pokazati da osnorotaciona refleksijaposeduje samo jednu invarijantnu tačku, to je tačka S. Ako ugao ω nijeopružen, ona poseduje jedinstvenu invarijantnu pravu, osu s, i jedinstvenuinvarijantnu ravan, osnovu π, te osnorotacione refleksije.Iz definicije takođe zaključujemo da su osna rotacija i ravanska refleksijakoje sačinjavaju osnorotacionu refleksiju komutativne su transformacije jerje s upravna na ravan π. Označimo:

X1 = Sπ(X), X ′ = Sπ(X2), X2 = Rs,ω(X), X ′ = Rs,ω(X1).

Tada je:

X ′ = Rπ;s,ω(X) = Sπ ◦Rs,ω(X) = Rs,ω ◦ Sπ(X) (Slika 14.).

Teorema 2.7.1. Svaka indirektna izometrijska transformacija I koja imajedinstvenu invarijantnu tačku S u prostoru S3 predstavlja osnorotacionu re-fleksiju sa središtem S.

28

Dokaz. Neka je I indirektna izometrijska transformacija prostora S3, ε di-rektna izometrijska transformacija istog prostora i I 6= ε. Dakle, postojitačka X prostora S3 takva da je I(X) = X ′ i X 6= X ′. Neka je π1 medijalnaravan duži XX ′. Kompozicija Sπ1 ◦I ima dve invarijantne tačke S i X. Kakoje kompozicija Sπ1 ◦ I direktna izometrijska transformacija to prema Dalam-berovoj teoremi predstavlja koincidenciju ili osnu rotaciju čija osa upravosadrži tačke S i X.Kompozicija Sπ1 ◦ I nije koincidencija jer ako bi bilo Sπ1 ◦ I = ε onda biI = Sπ1 , te bi izometrijska transformacija I predstavljala ravansku reflek-siju i posedovala sem tačke S još invarijantnih tačaka, što je kontradikcija sapretpostavkom teoreme.

Prema tome, Sπ1 ◦ I = Rs,ω, tj. ako je prava s upravna na ravan π1neposredno se zaključuje da je I osnorotaciona refleksija. Ako pak prava snije upravna na ravan π1, tada obeležimo sa π2 ravan koja sadrži pravu s iupravna je na ravan π1, a sa π3 obeležimo ravan takva da je Rs,ω = Sπ2 ◦Sπ3 .U tom slučaju imamo da je I = Sπ1 ◦ Sπ2 ◦ Sπ3 pri čemu je ravan π2 upravnana ravan π1 i seče je po pravoj s1. Obeležimo sa σ1 ravan koja sadrži pravus1 iupravna je na ravan π3, a sa σ2 ravan takvu da je Sπ1 ◦ Sπ2 = Sσ1 ◦ Sσ2 .Kako je Sπ1 ◦ Sπ2 = Rs1,2R biće i Sσ1 ◦ Sσ2 = Rs1,2R odakle sledi da pravas1 pripada ravni σ2 jer je π1 ∩ π2 = s1 i da ravan σ2 upravna na ravan σ1jer uglovi rotacije kod jednakih rotacija moraju biti podudarni. Prema tomevaži I = Sπ1 ◦Sπ2 ◦Sπ3 = Sσ1 ◦Sσ2 ◦Sπ3 . Ravni σ2 i π3 su upravne na ravan σ1i seku se po nekoj pravoj o koja sadrži tačku S i koja je upravna na ravan σ1te kompozicija Sσ2 ◦ Sπ3 predstavlja osnu rotaciju Ro,θ oko prave o pri čemuje θ dvostruki orjentisani ugao između ravni σ2 i π3. Prema tome imamo:

I = Sσ1 ◦Ro,θ = Rσ1;o,θ

čime smo dokazali da izometrija I predstavlja osnorotacionu refleksiju sasredištem S.

Teorema 2.7.2. (Teorema Šala) Svaka direktna izometrijska transformacijaI prostora S3 može se predstaviti kao kompozicija dveju osnih refleksija togprostora.

Dokaz. Ako je I = ε, tada zbog involutivnosti osne refleksije za proizvoljnupravu p prostora S3 je I = Sp ◦ Sp.

Ako je I 6= ε tada postoji tačka X prostora S3 takva da je I(X) = X ′,X 6= X ′. Neka je π1 medijalna ravan duži XX ′. Kako je I direktna, aravanska refleksija Sπ1 indirektna izometrija prostora S3, njihova kompozicijabiće indirektna izometrija prostora S3 pa predstavlja ili ravansku refleksijuili osnorotacionu refleksiju sa središtem X.Neka je kompozicija Sπ1 ◦ I ravanska refleksija. Označimo je sa Sπ2 , odakle

29

sledi I = Sπ1 ◦ Sπ2 . Označimo sa π ravan upravnu na ravni π1 i π2, a sa m in prave po kojima ona seče ravni π1 i π2. Tada je:

I = Sπ1 ◦ Sπ2 = Sπ1 ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sπ2 = Sm ◦ Sn.

Ako kompozicija Sπ1 ◦ I sem tačke X nema drugih invarijantnih tačaka tadaona predstavlja osnorotacionu refleksiju Rπ4;s,ω tj. Sπ1 ◦ I = Rπ4;s,ω kojoj jesredište tačka X. Obeležimo sa π2 ravan koja sadrži pravu s i upravna je naravan π1, a sa π3 ravan takvu da je Rs,ω = Sπ2 ◦ Sπ3 . Tada je:

I = Sπ1 ◦Rπ4;s,ω = Sπ1 ◦ Sπ2 ◦ Sπ3 ◦ Sπ4 .

Kako je prava s u ravni π3 i upravna je na π4, sledi da je ravan π3 upravnana ravan π4. Sem toga je π3 ∩π4 = n, π1 ∩π2 = m i π1⊥π2 odakle sledi da je

I = (Sπ1 ◦ Sπ2) ◦ (Sπ3 ◦ Sπ4) = Sm ◦ Sn,

što je i trebalo pokazati.

Primer 2.7.1. Pokazati da je kompozicija sastavljena iz triju ravanskih re-fleksija, kojima su osnove α, β, γ određene pljosnima nekog triedra O, a, b, cu prostoru S3, osnorotaciona refleksija. Konstruisati osnovu i osu te osno-rotacione refleksije.

Slika 15.

Dokaz. Neka su a, b, c presečne prave ravni γ i α, α i β, β i γ redom. Neka suravni α′ i β′ ravni koje sadrže pravu b (presečnu pravu ravni α i β) takve daje β′⊥γ i da je usmereni ugao između ravni α′ i β′ jednak usmerenom ugluφ između ravni α i β. Tada je Sβ ◦ Sα = Rb,2φ = Sβ′ ◦ Sα′ , pa sledi

I = Sγ ◦ Sβ ◦ Sα = Sγ ◦ Sβ′ ◦ Sα′

30

Neka su ravni β′′ i γ′ ravni koje sadrže presečnu pravu c′ ravni β′ i γ, i takveda je β′′⊥α′ i β′′⊥γ′. Tada važi Sγ ◦ Sβ′ = Sc′ = Sγ′ ◦ Sβ′′ , odakle sledi:

I = Sγ′ ◦ Sβ′′ ◦ Sα′ .

Neka je p presečna prava ravni α′ i γ′ i neka je φ dvostruki usmereni ugaoizmeđu ravni α′ i γ′. Ravni β′′ i γ′ su normalne, pa ravanske refleksije Sβ′′ iSγ′ mogu da komutiraju, odakle sledi:

I = Sβ′′ ◦ Sγ′ ◦ Sα′ = Sβ′′ ◦Rp,ψ.

Kompozicija I je dakle osnorotaciona refleksija sa osnovom β′′, osom p i zaugao ψ.

31

2.8 Centralna refleksija prostora S3

Definicija 2.8.1. Centralnom refleksijom SO prostora S3 nazivamo kompo-ziciju jedne osne refleksije Ss i jedne ravanske refleksije Sπ prostora S3, pričemu je s ⊥ π u tački O. Ako je prava s upravna na ravan π u tački O, biće

SO = Sπ ◦ Ss = Ss ◦ Sπ.

Tačku O nazivamo centrom ili središte centralne refleksije SO.

Teorema 2.8.1. Centralna refleksija SO prostora S3 jednoznačno je odre-đena svojim središtem O.

Slika 16.

Dokaz. Dovoljno je pokazati da za svake dve prave m i n koje se seku u tačkiO i ravni µ i ν koje su u tački O normalne na pravama m i n i važi relacijaSµ ◦ Sm = Sν ◦ Sn (Slika 16.). Ako obeležimo sa π ravan određenu pravamam i n, a sa s pravu po kojoj se seku ravni µ i ν, biće s ⊥ π. Ako zatimobeležimo sa µ′ i ν ′ ravni određene parovima pravih m, s i n, s imamo da je:

Sµ ◦ Sm = Sµ ◦ Sµ′ ◦ Sπ = Ss ◦ Sπ = Sν ◦ Sν′ ◦ Sπ = Sν ◦ Sn.

Teorema 2.8.2. Centralna refleksija SO prostora S3 je involuciona trans-formacija.

Dokaz. Ako obeležimo sa π bilo koju ravan koja sadrži tačku O i sa s pravukoja je u tački O normalna na ravni π, biće SO = Sπ ◦ Ss pa je:

S2O = (Sπ ◦ Ss) ◦ (Sπ ◦ Ss) = (Sπ ◦ Sπ) ◦ (Ss ◦ Ss) = ε.

32

Teorema 2.8.3. (Teorema o transmutaciji) Ako je SO centralna refleksija iI bilo koja izometrijska transformacija prostora S3, zatim O′ tačka takva daje I(O) = O′, tada je:

I ◦ SO ◦ I−1 = SO′.

Dokaz. Neka je p proizvoljna prava koja sadrži tačku O i sa π ravan koja jeu tački O normalna na pravu p. Ako u transformaciji I pravoj p odgovaraprava p′, a ravni π odgovara ravan π′, biće p′ ⊥ π′ u nekoj tački O′. Prematome je:

I ◦SO ◦I−1 = I ◦Sπ ◦Sp ◦I−1 = (I ◦Sπ ◦I−1)◦ (I ◦Sp ◦I−1) = Sπ′ ◦Sp′ = SO′ .

Teorema 2.8.4. Centralna refleksija SO i ravanska refleksija Sπ prostora S3

su dve komutativne transformacije ako i samo ako tačka O pripada ravni πtj. biće:

Sπ ◦ SO = SO ◦ Sπ ⇐⇒ O ∈ π.

Dokaz. (⇒): Neka važi Sπ◦SO = SO◦Sπ′ tj. Sπ◦SO◦Sπ = SO. Ako sa O′ obe-ležimo tačku određenu relacijom Sπ(O) = O′, prema zakonu transmutacijecentralne refleksije SO ravanskom refleksijom Sπ imamo da je Sπ ◦ SO ◦ Sπ =SO′ .Iz Sπ ◦ SO = SO ◦ Sπ′ tj. Sπ ◦ SO ◦ Sπ = SO i Sπ ◦ SO ◦ Sπ = SO′ sledi da jeSO = SO′ , pa je prema tome O = O′, što je moguće jedino kada se tačka Onalazi u ravni π.

(⇐): Obratno, pretpostavimo sad da je O ∈ π. Odavde sledi da jeSπ(O) = O, prema zakonu transmutacije centralne refleksije SO ravanskomrefleksijom Sπ imamo da je:

Sπ ◦ SO ◦ Sπ = SO tj. Sπ ◦ SO = SO ◦ Sπ.

Teorema 2.8.5. Centralna refleksija SO i osna refleksija Sp prostora S3 sudve komutativne transformacije ako i samo ako tačka O pripada pravoj p tj.biće:

Sp ◦ SO = SO ◦ Sp ⇐⇒ O ∈ p

33

Dokaz. (⇒): Neka važi Sp ◦ SO = SO ◦ Sp tj. Sp ◦ SO ◦ Sp = SO. Ako sa O′obeležimo tačku određenu relacijom Sp(O) = O′, prema zakonu transmutacijecentralne refleksije SO osnom refleksijom Sp imamo da je Sp ◦ SO ◦ Sp = SO′ .Iz Sp ◦ SO = SO ◦ Sp tj. Sp ◦ SO ◦ Sp = SO i Sp ◦ SO ◦ Sp = SO′ sledi da jeSO = SO′ , pa je prema tome O = O′, što je moguće jedino kada se tačka Onalazi na pravoj p.

(⇐): Obratno, pretpostavimo sad da je O ∈ p. Odavde sledi da jeSp(O) = O, prema zakonu transmutacije centralne refleksije SO osnom re-fleksijom Sp imamo da je:

Sp ◦ SO ◦ Sp = SO tj. Sp ◦ SO = SO ◦ Sp.

Teorema 2.8.6. Centralna refleksija prostora S3 može se predstaviti kaokompozicija tri ravanske refleksije kojima su osnove upravne među sobom usredištu te refleksije.

Teorema 2.8.7. Kompozicija neparnog broja centralnih refleksija prostoraS3 čija središta pripadaju nekoj pravoj p predstavlja takođe neku centralnurefleksiju prostora S3 čiji je centar na pravoj p.

Teorema 2.8.8. (Generalisana teorema Hjelmsleva) Središta duži koja spa-jaju odgovarajuće tačke indirektne izometrijske transformacije I prostora S3,ili se poklapaju ili pripadaju jednoj ravni.

Slika 17.

34

Dokaz. Ako transformacija I prostora S3 predstavlja centralnu refleksiju togprostora, tvrđenje sledi neposredno. Razmatramo slučaj kada transformacijaI prostora S3 ne predstavlja centralnu refleksiju tog prostora.

Neka je P proizvoljna tačka prostora S3 i I(P ) = P ′. Neka je O sredi-šte duži PP ′ i X proizvoljna tačka prostora S3 različita od P (Slika 17.).Neka je još SO(X ′) = X ′′. Tada tačka P je invarijanta direktne izometrijsketransformacije SO ◦ I. Prema Dalamberovoj teoremi ona predstavlja nekuosnu rotaciju Rp,ω, pri čemu osa p sadrži tačku P . Kako je Rp,ω(X) = X ′′,medijalna ravan ω duži XX ′. Prava OY određena središtima stranica X ′X ′′i XX ′ trougla 4XX ′X ′′ je upravna medijalnoj ravni ω. Kako je OY⊥ω iravan ω sadrži pravu p to je prava OY upravna na pravu p. Kako su Y iprava p fiksirane to tačka Y pripada ravni π koja sadrži tačku O i upravna jena pravu p. Ravan π sadrži središta duži koja spajaju korespodentne tačkeizometrijske transformacije I.

35

2.9 Translacija prostora S3

Kao što smo osne rotacije predstavili komponujući dve ravanske refleksijeprostora S3 isto ćemo učiniti i sa translacijom, što pokazuje sledeća definicija.

Definicija 2.9.1. Neka su Sµ i Sν dve ravanske refleksije prostora S3 saosnovama µ i ν upravnim na pravoj s u tačkama M i N i neka je M ′ tačkasimetrična tački M u odnosu na ravan ν. Translacijom prostora S3 po pravojs za orjentisanu duž

−−−→MM ′ nazivamo transformaciju:

τ−−−→MM ′ = Sν ◦ Sµ.

Pravu s nazivamo osom te translacije.

Slika 18.

Kako je ravanska refleksija indirektna izometrijska transformacija, trans-lacija je kao kompozicija dveju ravnaskih refleksija direktna izometrijskatransformacija. Nije teško pokazati da translacija nema invarijantnih tačakai da poseduje jednu invarijantnu pravu, osu translacije, određenu tačkamaMi M ′ (Slika 18.). Takođe skup τs koji se sastoji od identičke transformacijeε i svih translacija prostora S3 sa zajedničkom osom s predstavlja Abelovugrupu.

Definicija 2.9.2. Grupu koja se sastoji od identičke transformacije i svihtranslacija prostora S3 sa zajedničkom osom s nazivamo grupom translacijasa osom s i obeležavamo sa G(τs).

Teorema 2.9.1. Izometrijska transformacija I prostora S3 predstavlja trans-laciju tog prostora ako i samo ako se može predstaviti kao kompozicija dvejuraznih centralnih refleksija tog prostora.

36

Dokaz. (⇒): Neka je najpre izometrijska transformacija I prostora S3-translacijaτ−−→PP ′ tog prostora. Neka je tačka Q središte duži PP ′, a s prava određenatačkama P i P ′. Neka su α i β ravni upravne na pravoj c redomu tačkamaP i Q. Sada je:

τ−−→PP ′ = Sβ ◦ Sα = (Sβ ◦ Ss) ◦ (Ss ◦ Sα) = SQ ◦ SP .

(⇐): Obratno, neka I = SQ◦SP . Označimo sa s pravu određenu tačkamaP i Q, a sa α i β ravni koje su u tačkama P i Q upravne na pravoj s. Nekaje P ′ = Sβ(P ). Sada je:

SQ ◦ SP = (Sβ ◦ Ss) ◦ (Ss ◦ Sα) = Sβ ◦ Sα = τ−−→PP ′ ,

što je i trebalo pokazati.

Teorema 2.9.2. (O transmutaciji translacija) Ako je τ−−−→MM ′ translacija i I

bilo koja izometrijska transformacija prostora S3 tada je:

τ I−−−→MM ′ = τ−−−−−−−−→

I(M)I(M ′).

Teorema 2.9.3. Kompozicija parnog broja centralnih refleksija prostora S3

čija središta pripadaju nekoj pravoj p predstavlja translaciju prostora S3 dužprave p.

Teorema 2.9.4. Translacija τ−−−→MM ′ i ravanska refleksija Sπ prostora S3 su

komutativne ako i samo ako M i M ′ pripadaju ravni π.

Teorema 2.9.5. Translacija τ−−→MN

i osna rotacija Rs,ω prostora S3 su komu-tativne ako i samo ako tačke M i N pripadaju pravoj s.

Dokaz. (⇒): Neka je Rs,ω ◦ τ−−→MN= τ−−→

MN◦Rs,ω tj.

Rs,ω ◦ τ−−→MN◦R−1s,ω = τ−−→

MN.

Ako označimo sa M ′ i N ′ tačke koje u osnoj rotaciji Rs,ω odgovaraju redomtačkama M i N , tada prema teoremi otransmutaciji translacija imamo da je:

Rs,ω ◦ τ−−→MN◦R−1s,ω = τ−−−→

M ′N ′

Iz prethodne dve jednakosti sledi da je τ−−→MN

= τ−−−→M ′N ′ , pa su orjentisane

−−→MN

i−−−→M ′N ′ istosmerne i poklapaju se, što je moguće samo ako M,N,M ′, N ′

pripadaju istoj pravoj. To znači da tačkeM,N,M ′, N ′ pripadaju osi rotacijes.

(⇐): Neka sada tačkeM i N pripadaju osi s. Označimo saM ′ = Rs,ω(M)i N ′ = Rs,ω(N), sada će duži MN i M ′N ′ pripadati osi s, biće podudarne iistosmerne pa je τ−−→

MN= τ−−−→

M ′N ′ . Na kraju imamo da je:

37

Rs,ω ◦ τ−−→MN= Rs,ω ◦ τ−−→MN

◦R−1s,ω ◦Rs,ω = τ−−−→M ′N ′ ◦Rs,ω = τ−−→

MN◦Rs,ω,

zaključujemo da osna rotacija Rs,ω i translacija τ−−→MN

prostora S3 su komuta-tivne transformacije.

Primer 2.9.1. Ako su A i B dve razne tačke prostora S3, pokazati da važesledeće relacije:

a) (T−→AB

)−1 = T−→BA

;

b) T−→AB◦ T−→

BA= ε.

Dokaz. a) Na osnovu teoreme 2.9.1. translacija T−→AB

se može predstaviti kaokompozicija dveju centralnih simetrija. Neka je Q središte usmerene duži−→AB. Tada važi:

T−→AB

= SQ ◦ SA,

a odatle

T−1−→AB

= (SQ ◦ SA)−1 = SA ◦ SQ = T−→BA

,

što je i trebalo pokazati.

b) Na osnovu prethodnog primera važi:

T−→AB

= SQ ◦ SA i T−→BA

= SA ◦ SQ.

Sada imamo da je:

T−→AB◦ T−→

BA= (SQ ◦ SA) ◦ (SA ◦ SQ) = SQ ◦ (SA ◦ SA) ◦ SQ = SQ ◦ SQ = ε.

Ovo važi na osnovu svojstva involutivnosti centralne simetrije.

38

2.10 Klizajuća refleksija prostora S3

Definicija 2.10.1. Klizajućom ili translatornom refleksijom Gπ;−−→PP ′ nazi-

vamo kompoziciju sastavljenu od translacije τ−−→PP ′ i ravanske refleksije Sπ, pri

čemu prava PP ′ pripada ravni π. Pravu s određenu tačkama P i P ′ nazivamoosom, a ravan π osnovom klizajuće refleksije (Slika 19.).

Slika 19.

Potrebno je napomenuti da klizajuća refleksija u potpunosti je određena osno-vom π i osom PP ′. Značajno je još i da klizajuća refleksija nema invarijantnihtačaka , ima samo jednu inavarijantnu pravu PP ′ i dve invarijantne ravni:osnovu π i ravan koja sadrži osu PP ′ i upravna je na osnovu π. Klizajućarefleksija je indirektna izometrijska transformacija.

Teorema 2.10.1. Ako je Gπ;−−→PP ′ klizajuća refleksija prostora S3 i q prava

koja u središtu Q duži PP ′ upravna na ravan π, tada je:

Gπ;−−→PP ′ = Sq ◦ SP = SP ′ ◦ Sq.

Dokaz. Prema definiciji klizajuće refleksije, dobijamo da je:

Gπ;−−→PP ′ = Sπ ◦ τ−−→PP ′ = Sπ ◦ SQ ◦ SP = Sq ◦ SP ;

Gπ;−−→PP ′ = τ−−→

PP ′ ◦ Sπ = SP ′ ◦ SQ ◦ Sπ = SP ′ ◦ Sq.

što je i trebalo pokazati.

39

2.11 Zavojno kretanje prostora S3

Definicija 2.11.1. Zavojnim ili helikoidnim kretanjem Z−−→PP ′,ω

prostora S3

nazivamo kompoziciju sastavljenu od jedne translacije τ−−→PP ′ i jedne osne ro-

tacije RPP ′,ω tj.

Z−−→PP ′,ω

= RPP ′,ω ◦ τ−−→PP ′ = τ−−→PP ′ ◦RPP ′,ω.

Orjentisanu pravu−−→PP ′ nazivamo osom, a orjentisani ugao ω uglom za-

vojnog kretanja (Slika 20.). U koliko da je ugao ω opružen, takvo zavojnokretanje zovemo zavojnim poluobrtanjem.

Slika 20.

Kako je zavojno kretanje rezultat kompozicije dve direktne izometrije iono je direktna izometrijska transformacija. Zavojno kretanje nema invari-jantnih tačaka i ima samo jednu invarijantnu pravu PP ′, a u potpunosti jeodređeno ako je zadata duž PP ′ i ugao obrtanja ω.

Teorema 2.11.1. Ako su data ma kakva dva podudarna i suprotno orjenti-sana skupa tačaka prostora S3, tada sredine duži koje spajaju odgovarajućetačke u izometriji koju određuju ti skupovi tačaka pripadaju jednoj ravni.

Teorema 2.11.2. Zavojno kretanje Z−−→PP ′,ω

prostora S3 može se predstavitikao kompozicija dveju osnih refleksija tog prostora, pri čemu su ose tih re-fleksija među sobom mimoilazne.

40

Dokaz. Ako obeležimo sa s pravu određenu tačkama P i P ′, a sa π1, π2 iσ1, σ2 ravni takve da je τ−−→

PP ′ = Sπ2 ◦ Sπ1 i Rs,ω = Sσ2 ◦ Sσ1 biće π1, π2⊥s iσ1 ∩σ2 = s, pa je σ1⊥π1 i σ2⊥π2. Stavimo li da je σ1 ∩π1 = s1 i σ2 ∩π2 = s2nalazimo da je:

Z−−→PP ′,ω

= τ−−→PP ′ ◦Rs,ω = Sπ2 ◦ Sπ1 ◦ Sσ2 ◦ Sσ1 = Sπ2 ◦ Sσ2 ◦ Sπ1 ◦ Sσ1 = Ss2 ◦ Ss1 ,

što je i trebalo dokazati.

41

Glava 3

Izometrijske transformacijehiperboličkog prostora

3.1 Uvod u hiperboličku geometrijuPogled na do tada znanu geometriju menja se u prvoj polovini devetna-

estog veka. Naime, Nikolaj Lobačevski i Janoš Boljaj nezavisno jedan oddrugog dolaze na ideju da peti Euklidov postulat zamene aksiomom koja biga negirala. Na taj način dobijena je nova teorija koja je isto toliko valjanakao i euklidska geometrija.Aksiom Lobačevskog: Postoje prava a i tačka A van prave a tako da unjima određenoj ravni kroz tačku A prolaze dve različite prave a1 i a2 koje sapravom a nemaju zajedničkih tačaka.

Geometrijski sistem zasnovan na prve četiri grupe aksioma, aksiome veze,rasporeda, podudarnosti i neprekidnosti Hilbertovog sistema aksioma i ak-siomi Lobačevskog naziva se geometrija Lobačevskog ili hiperboličkageometrija.

Prostor čije tačke, prave, i ravni stoje u međusobnim odnosima, tako dasu zadovoljeni zahtevi aksioma prve četiri grupe Hilbertovog sistema aksiomai aksioma Lobačevskog, zove se hiperbolički prostor i označićemo sa L3.

Bitno je još napomenuti da sve definicije, teoreme koje su bile valjane uapsolutnoj geometriji tj. apsolutnom prostoru S3, isto tako biće valjane i uhiperboličkoj geometriji, odnosno hiperboličkom prostoru L3.

Navešćemo neke osnovne definicije o odnosu pravih i ravni koje su va-ljane u prostoru L3 kako bi dalja razmatranja i pojimovi u potpunosti bilirazjašnjeni.

42

Definicija 3.1.1. Za pravu p kažemo da je paralelna ili hiperparalelna ravniπ prostora L3 u zavisnosti od toga da li je prava p paralelna ili hiperparalelnapravoj koja sadrži njenu upravnu (ortogonalnu) projekciju.

Definicija 3.1.2. Ako u nekoj tački A ravni α prostora L3 postoji jedinstvenaprava koja je paralelna ravni β, onda kažemo da je ravan α paralelna ravniβ.

Definicija 3.1.3. Ako u ravni α prostora L3 postoji tačka A takva da nijednaprava ravni α kroz tačku A nije paralelna sa ravni β tada kažemo da je ravanα hiperparalelna sa ravni β.

Definicija 3.1.4. Mimoilaznim pravama prostora L3 nazivamo prave za kojene postoji ravan koja ih sadrži.

43

3.2 Snop pravih prostora L3

Definicija 3.2.1. Pod snopom pravih prostora L3 podrazumevamo skup svihpravih χ prostora L3 sa osobinama:

(i) Kroz svaku tačku prostora prolazi jedna i samo jedna prava snopa χ.(ii) Ma koje dve prave snopa χ su komplanarne.

Kako u hiperboličkoj geometriji prave mogu da budu paralelne i hiperpa-ralelne pa razlikujemo tri vrste snopova pravih

Slika 21. Eliptički snop

(i) Skup svih pravih prostora koje sadrže jednu konačnu tačku zove sekonvergentni ili elpitički snop. Tu zajedničku tačku svih pravih snopa zovemovrh ili centar snopa (Slika 21.)

Slika 22. Parabolički snop

44

(ii) Skup svih pravih prostora L3 koje su paralelne sa jednom te istompravom zove se parabolički snop (Slika 22.). Prava sa čijim se pravcem pa-ralelnosti upoređuju ostale prave snopa može biti bilo koja prava tog snopa.

(iii) Skup svih pravih prostora L3 koje su normalne na istu ravan zovemohiperbolički snop (Slika 23.). Tu ravan zovemo osnova snopa.

Slika 23. Hiperbolički snop

Za ravan kažemo da „pripada” snopu ako prolazi jednom njegovom pra-vom. Tada sve prave nekog snopa koje leže u nekoj ravni koja pripada tomsnopu čine pramen i to iste vrste kao i sam snop. Npr. hiperbolički snopsadrži u nekoj ravni koja mu pripada hiperbolički pramen pravih.

U koliko u prostoru L3 imamo dva snopa pravih χ i χ′, razmotrimo sledećeslučajeve:

(i) Ako je jedan od zadatih snopova pravih eliptički, tada postoji jedin-stvena prava koja pripada snopovima χ i χ′, bez obzira da li je drugi snopeliptički,parabolički ili hiperbolički.

(ii) Ako je jedan od zadatih snopova pravih hiperbolički, a drugi parabo-lički, postojiće jedinstvena prava koja pripada tim snopovima pravih ako isamo ako prave paraboličkog snopa nisu paralelne osnovi hiperboličkog snopa,obzirom da postoji jedinstvena prava upravna na zadatoj ravni, a paralelnapolupravoj koja nije paralelna toj ravni.

(iii) Ako su oba snopa hiperbolička, postojaće jedinstvena prava kojapripada tim snopovima pravih ako i samo ako su osnove tih snopova pravihmeđusobno hiperparalelne ravni.

(iv) Ako su oba snopa parabolička, onda važi sledeća teorema.

Teorema 3.2.1. Postoji jedinstvena prava koja pripada dvama ranznim pa-raboličkim snopovima pravih.

45

Teorema 3.2.2. Translacijom duž bilo koje prave koja mu pripada parabo-lički snop se preslikava na sebe.

Teorema 3.2.3. Presek snopa sa ravni koja prolazi kroz jednu pravu snopapredstavlja pramen pravih. Taj pramen pravih je u zavisnosti od prirodesnopa, parabolički, hiperbolički ili eliptički.

Teorema 3.2.4. Ako ravan α seče neki element paraboličkog snopa pravih,onda u tom snopu postoji prava koja ravan seče ortogonalno.

Slika 24.

Dokaz. Pretpostavimo da ravan α seče u tački A pravu AA′ iz paraboličkogsnopa. Razlikujemo dva slučaja:

(i) Prava AA′ je upravna na ravan α (Slika 24.). Tada je dokaz završen.

Slika 25.

(ii) Prava AA′ nije upravna na ravan α (Slika 25.). Tada prava AA′

obrazuje sa svojom ortogonalnom projekcijom AB na ravan α sa jedne stranetačke A oštar ugao, a sa druge strane te tačke A tup ugao. Neka je ]BBA′ <

46

R. Označimo sa C tačku na polupravoj AB, takvu da je ]A′AB = Π(AC).U tački C konstruišemo normalu CC ′ na ravan α. Ona će ujedno biti inormala na AB. Prema konstrukciji sledi da je CC ′ ‖ AA′ tj. prava CC ′pripada posmatranom paraboličkom snopu pravih.

Pokažimo sada da je CC ′ jedina prava oučenog snopa koja je normalnana ravan α. Pretpostavimo da postoji jos jedna takva prava DD′. Kako suCC ′ i DD′ normalne na ravan α, onda su one normalne na svaku pravu teravni koja prolazi kroz tačku C i tačku D (Slika 26. ). Odavde je CD⊥DD′i CD⊥CC ′, pa zaključujemo da prave CC ′ i DD′ imaju zajedničku normalu,te su prema tome hiperparalelne tj. DD′ ne pripada paraboličkom snopupravih. Dakle, prava CC ′ je jedinstvena sa navedenim svojstvom.

Slika 26.

Definicija 3.2.2. Tačka C koja se pominje u dokazu prethodne teoreme na-ziva se središte ravni u odnosu na posmatrani parabolički snop pravih.

Definicija 3.2.3. Za tačku B ∈ b kažemo da je odgovarajuća tački A ∈ a izistog snopa, ako je duž AB sečica jednakog nagiba za prave a i b.

Teorema 3.2.5. U eliptičkom snopu dve odgovarajuće tačke su podjednakoudaljene od središta snopa.

Teorema 3.2.6. U hiperboličkom snopu dve odgovarajuće tačke su podjed-nako udaljene od bazisne ravni snopa.

Teorema 3.2.7. Ako tačke A i B odgovaraju jedna drugoj na pravama a i bsnopa, a tačke B i C odgovaraju jedna drugoj na pravama b i c istog snopa,onda tačke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c.

Dokaz. Razlikujemo tri slučaja u zavisnosti od toga o kakvom snopu pravihje reč:

(i) Posmatramo eliptički snop sa središtem u tački O. kako su A i Bodgovarajuće tačke na elementima a i b tog snopa, to je trougao 4AOB

47

jednakokrak, odakle je AO ∼= OB (Slika 27.). Iz istog razloga, jer su B iC odgovarajuće tačke jedna drugoj na elementima b i c tog snopa, trougao4BOC je jednakokrak, pa je OB ∼= OC. Zaključak, OA ∼= OC. Dakle,4OAC je jednakokrak, dakle sledi da je ]OAC ∼= ]OCA tj. prava ACje sečica jednakog nagiba za prave a i c snopa, odnosno tačke A i C suodgovarajuće tačke tih pravih.

Slika 27.

(ii) Neka je sada snop pravih hiperbolički i neka je α njegova bazisnaravan. Neka su A′, B′, C ′ preseci pravih a, b, c sa ravni α (Slika 28.). Kako suA i B odgovarajuće tačke na pravama a i b toje AA′ ∼= BB′. Takođe je BB′ ∼=CC ′. Na osnovu navedenih podudarnosti zaključujemo da je iz tranzitivnostirelacije ∼= imamo AA′ ∼= CC ′. Prema tome četvorougao AA’C’C je Sakerijev,pa je ]A′AC ∼= ]C ′CA tj. AC je sečica jednakog nagiba za pave a i c, atačke A i C su odgovarajuće tačke na elementima a i c snopa.

Slika 28.

(iii) Na kraju posmatramo parabolički snop pravih (Slika 29.). Neka sua ≡ AA′, b ≡ BB′ i c ≡ CC ′ prave paralelne u istom smeru. Kako pravea, b, c nisu komplanarne, to tačke A,B,C nisu kolinearne. Obeležimo sa Osredište ravni trougla 4ABC u odnosu na uočeni parabolički snop i neka jeOO′ normala te ravni u tački O. Pokazano je već da ako određenu ravan seče

48

neki element paraboličkog snopa, onda u tom snopu postoji prava, koja turavan seče ortogonalno. Prema tome važi:

OO′⊥α(A,B,C) i OO′ ‖ AA′ ‖ BB′ ‖ CC ′.

Konstruišimo iz tačke O normale redom na stranice AB,BC,AC trougla4ABC. Neka su tačke F,D,E redom. Dakle, OF⊥AB, OD⊥BC.

Teorema 3.2.8. *** Ako su a i b dve razne međusobno paralelne prave nekeravni π prostora L3 i C tačka van ravni π, tada se ravni α(a, C) i β(b, C)seku po izvesnoj pravoj c koja sadrži tačku C i paralelna je sa pravama a i bu istom smeru. ***

Ravan α(O′, O, F ) seče ravan β1(A′, A,BB′) po pravoj FF ′. Sada kori-steći teoremu 3.2.8. zaključujemo da su prave FF ′, AA′, BB′, CC ′ paralelnemeđusobno u istom smeru.

Slika 29.

Dakle, FF ′ pripada uočenom paraboličkom snopu. Slično i svaka odpravih DD′ i

−−→EE ′ pripadaju istom paraboličkom snopu pravih. Kako je

OO′⊥α(A,B,C) to je i svaka ravan koja sadrži OO′ normalna na α(A,B,C).Dakle, α1(O

′, O, F )⊥α, α2(O′, O,D)⊥α i α3(O

′, O,E)⊥α.S druge strane je BC⊥OD. Takođe BC ⊂ α, OD ⊂ α2 i α2⊥α. Dakle,

BC ⊂ α pa je u tački prodora normalna na svaku pravu iz ravni α2. Za-ključujemo da je BC⊥α2(O

′, O,D), pa će biti normalna i na svaku pravu teravni. Specijalno, BC⊥DD′. Slično je i FF ′⊥AB i EE ′⊥AC.

Posmatrajmo prave AA′ i FF ′. One su paralelne u istom smeru, a pravaFF ′ je normalna na pravu AF . Zato je ]A′AF = Π(AF ). Prava FF ′ jetakođe paralelna pravoj BB′ u istom smeru, a normalna na pravu BF , pa je]B′BF = Π(BF ). Tačke A i B su odgovarajuće, pa je AB sečica jednakog

49

nagiba za elemente a i b snopa, i zato je ]A′AF = ]B′BF , sledi da jeΠ(AF ) = Π(BF ) što govori da je AF ∼= BF . Slično je Π(BD) = Π(CD)odakle sledi BD = CD. Znači F i D su središta stranica AB i BC trougla4ABC.

Prave OD i OF su simetrale dveju stranica trougla 4ABC i seku se utački O. Kako simetrale stranica trougla pripadaju istom pramenu, to kroztačku O prolazi i simetrala treće strance tog trougla i važi OE⊥AC. Dakle,tačka E je središte stranice AC trougla 4ABC.

Posmatrajmo sada prave AA′ ‖ EE ′ i CC ′ ‖ EE ′. Kako je prava EE ′normalna na pravuAC, to je ]A′AE = Π(AE) i ]C ′CE = Π(CE). Obziromda jednakim dužima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti, to je ]A′AE =]C ′CE, što pokazuje da je AC sečica jednakog nagiba pravih a i c snopa, aA i C odgovarajuće tačke tih pravih.

50

3.3 Klasifikacija izometrijskih transformacijaprostora L3

Teorema 3.3.1. Svaka direktna izometrijska transformacija prostora L3 pred-stavlja koincidenciju, osnu rotaciju, oricikličnu rotaciju, hipercikličnu rota-ciju (translaciju) ili zavojno kretanje.

Dokaz. Kako je I direktna izometrijska transformacija ona se može predsta-viti kao kompozicija dveju osnih refleksija, tj. I = Sn ◦ Sm. U zavisnosti odmeđusobnog položaja pravih m i n razlikujemo pet slučajeva:

(i) Prave m i n se poklapaju. Tada je I = S2m = ε koincidencija.

(ii) Prave m i n se seku u nekoj tački O. U ovom slučaju prave m i nodređuju neku ravan π. Obeležimo sa π1 i π2 ravni koje sadrže prave m i ni upravne su na ravan π. U tom slučaju biće:

I = Sn ◦ Sm = Sπ2 ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sπ1 = Sπ2 ◦ Sπ1 = Rs,ω,

pri čemu je Sπ2◦Sπ = Sn jer je π2⊥π i π2∩π = n. Na isti način je Sπ◦Sπ1 = Smjer je π1⊥π, π1∩π = m. Konačno ravni π1 i π2 imaju zajedničku tačku O paimaju i zajedničku pravu s jer je π1 6= π2. Zato je Sπ2 ◦ Sπ1 = Rs,ω rotacijaoko ose s pri čemu je ω dvostruki ugao između pravih m i n.

(iii) Prave m i n su paralelne i m 6= n. U ovom slučaju prave m i nodređuju neku ravan π. Obeležimo sa π1 i π2 ravni koje sadrže respektivnoprave m n i upravne su na ravni π. Tada će biti:

I = Sn ◦ Sm = Sπ2 ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sπ1 = Sπ2 ◦ Sπ1 = Hπ1,π2

tj. I je oriciklična rotacija jer su prave m i n međusobno paralelne u nekomsmeru, ravni π1 i π2 su među sobom paralelne.

(iv) Prve m i n su hiperparalelne i m 6= n. U ovom slučaju prave mi n poseduju jedinstvenu zajedničku normalu MN . Prave m i n određujuizvesnu ravan π i pripadaju ravnima π1 i π2 redom, koje su upravne na ravanπ te je:

I = Sn ◦ Sm = Sπ2 ◦ Sπ ◦ Sπ ◦ Sπ1 = Sπ2 ◦ Sπ1 = τMM ′ .

Odavde zaključujemo da kompozicijua Sπ1 ◦ Sπ2 je hiperciklična rotacija(translacija) za vektor MM ′ gde je M ′ tačka simetrična tački M uodnosuna pravu n.

(v) Prave m i n se mimoilaze. U ovom slučaju postoji zajednička normalas pravih m i n. Neka je s ∩ m = M i s ∩ n = N . Neka su π1 i π2 ravniupravne na s u tačkama M i N . Budući da su i prave m i n upravne na su tačkama M i N to prava m pripada ravni π1, a prava n ravni π2. Neka

51

su zatim σ1 i σ2 ravni koje sadrže redom parove m, s odnosno n, s. U tomslučaju je:

I = Sn ◦ Sm = Sσ2 ◦ Sπ2 ◦ Sπ1 ◦ Sσ1 = Sσ2 ◦ Sπ2 ◦ Sσ1 ◦ Sπ1 =Sσ2 ◦ Sσ1 ◦ Sπ2 ◦ Sπ1 = Rs,ω ◦ τMM ′

gde je Sσ2 ◦ Sσ1 = Rs,ω rotacija, a Sπ2 ◦ Sπ1 = τMM ′ translacija. Prava s jepresek ravni σ1 i σ2, ω = 2](σ1, σ2) i ravni π1 i π2 su upravne na pravu s, atačke M i M ′ pripadaju pravoj s, te je u ovom slučaju kompozicija Sn ◦ Smzavojno kretanje ZMM ′,ω.

Teorema 3.3.2. Svaka indirektna izometrijska transformacija I : L3 → L3

različita od ravanske refleksije predstavlja cikličku, oricikličku ili hipercikličkurotacionu refleksiju.

Dokaz. Neka je I indirektna izometrijska transformacija različita od ravanskerefleksija. Njena optimalna simetrijska reprezentacija sastoji se od tri ravan-ske refleksije. Neka je I = Sγ ◦Sβ ◦Sα, pri čemu su α, β, γ osnove pomenutihrefleksija. Ove ravni ne pripadaju jednom pramenu ravni jer bi u protivnomI bila ravanska refleksija. Prema tome ove ravni određuju snop ravni χ jersu presečne prave svake dve ravni komplanarne. Kako je I indirektna izome-trijska transformacija bice I 6= ε, pa prema tome postoji tačka P ∈ L3 takvada je I(P ) = P ′ i P 6= P ′. Neka je Q središte duži PP ′, a p i q prave kojeredom sadrže tačke P i Q i pripadaju snopu pravih koji je induciran snopomχ. Kako je kompozicija Sq ◦ I indirektna izometrijska transformacija kojoj jesvaka tačka prave p invarijantna, prema teoremi obrađenoj u drugoj oblastiona predstavlja neku ravansku refleksiju Sµ = Sq◦I pri čemu prava p pripadaravni µ i prema tome µ ∈ χ. Dakle, imamo da je I = Sq ◦Sµ. Ako obeležimosa σ ravan koja sadrži pravu q i upravna je na ravan µ, a sa ν ravan koja jeupravna na ravan σ biće:

I = Sq ◦ Sµ = Sσ ◦ Sn ◦ Sµ = Sσ ◦ Lµ,νgde je sa Lµ,ν označena kompozicija Sν ◦Sµ u kojoj su ravni ν i µ upravne naistoj ravni σ. U zavisnosti od toga da li se µ i ν seku, da li su paralelne ili suhiperparalelne ta kompozicija predstavlja osnu, oricikličku ili hipercikličkurotaciju, te izometrijska transformacija I predstavlja rotacionu, cikličku, ori-cikličku ili hipercikličku rotacionu refleksiju. U skladu sa činjenicom da jehiperciklička rotacija, hiperciklička rotaciona refleksija predstavlja klizajućurefleksiju prostora L3.

52

Glava 4

Poređenje euklidske i neeuklidskegeometrije

Euklidska geometrija je aksiomatski sistem, u kojem su sve teoreme izve-dene iz malog broja jednostavnih aksioma. Do pojave neeuklidske geometrije,ovi aksiomi su se smatrali očigledno istinitim u fizičkom svetu, tako da bi sveteoreme bile jednako tačne. Međutim, Euklidovo razmišljanje od pretpo-stavki do zaključaka ostaje validno nezavisno od njihove fizičke realnosti.

Suštinska razlika između euklidske i neeuklidske geometrije je prirodaparalelnih linija. Euklidov peti postulat, postulat o paralelnosti, ekvivalentanje Plajferovom postulatu, koji kaže da: ”U dvodimenzionalnoj ravni, za bilokoju datu pravu l i tačku A, koja nije na l, postoji tačno jedna prava krozA koja ne seče datu pravu l”. U hiperboličkoj geometriji, nasuprot tome,postoji beskonačno mnogo linija kroz A koje se međusobno ne seku. I uhiperboličkoj geometriji se prva četiri postulata zadržavaju kao važeća.

Drugi način da se opišu razlike između ovih geometrija je da se uzmu uobzir dve prave u dvodimenzionalnoj ravni koje su normalne na treću pravu:

U euklidskoj geometriji, prave ostaju na konstantnoj udaljenosti jedna oddruge (što znači da prava koja je normalna na jednu pravu u bilo kojoj tačkiseče drugu pravu, a dužina segmenta prave koji spaja tačke preseka ostajekonstantna) i poznate su kao paralele.

U hiperboličkoj geometriji, one skreću jedna od druge, povećavajući se udaljini kako se krećemo dalje od tačaka preseka sa zajedničkom normalom.Ove prave se često nazivaju hiperparalelama.

Euklidske i neeuklidske geometrije prirodno imaju mnogo sličnih svoj-stava, naime one koje ne zavise od prirode paralelizma. Ova zajedničkavrednost je predmet apsolutne geometrije. Međutim, osobine koje razlikujujednu geometriju od druge su one koje su istorijski dobile najviše pažnje.

53

Slika 30.- Četvorougao u euklidksoj i hiperboličkoj geometriji

Pored ponašanja pravih, koje su navedena u uvodu, bitno je napomenutida euklidska geometrija je geometrija koja obitava u ravni, dok je hiperboličkageometrija povezana sa zakrivljenim prostorom i karakterišu je pseudo sferniobjekti (Slika 30.).

Slika 31.-Lambertov četvorougao u hiperboličkoj ravni

Lambertov četvorougao je četvorougao koji ima tri prava ugla. Četvrtiugao Lambertovog četvorougla je "oštar"ako je geometrija hiperbolična (Slika31.), pravi ugao ako je geometrija euklidska. Prema tome, postoje samo pra-vougaonici (izjava ekvivalentna paralelnom postulatu) u euklidskoj geome-triji.

Slika 32.- Sakerijev četvorougao u hiperboličkoj ravni

54

Sakerijev četvorougao je četvorougao koji ima dve strane jednake dužine,obe normalne na stranu koja se zove baza. Druga dva ugla Sakerijevog če-tvorougla imaju jednaku meru (Slika 32.). Ugao Sakerijevog četvorougla jeoštar ako je geometrija hiperbolička, pravi ako je geometrija euklidska.

Zbir mera uglova bilo kog trougla je manji od 180◦ ako je geometrijahiperbolička, jednaka 180◦ ako je geometrija euklidska. Defekt trougla jenumerička vrednost (180◦ - suma mera uglova trougla). Ovaj rezultat semože navesti i kao: defekt trouglova u hiperboličkoj geometriji je pozitivan,defekt trouglova u euklidskoj geometriji je nula.

Slika 33.-Trougao u euklidskoj i hiperboličkoj geometriji

Prednost euklidske geometrije je ta što ima veliku primenu u svakodnev-nom životu na primer u premeravanju, gradnji... Sa matematičko-naučnetačke gledišta ima jednostavnu trigonometriju. Dok hiperbolička geometrijanalazi primenu u teoriji relativnosti, posebno u prostoru Minkovskog i žiro-skopskom vektorskom prostoru.

Neeuklidska geometrija je primer naučne revolucije u istorijinauke, u kojoj su matematičari i naučnici promenili način na kojisu posmatrali svoje subjekte. Neki geometri su Lobačevskog na-zvali Kopernik geometrije zbog revolucionarnog karaktera njegovograda.

55

Literatura

[1] M. Stanković, M. Zlatanović, Neeuklidske geometrije, Prirodno matema-tički fakultet, Niš,2014.

[2] M. Stanković, Euklidska geometrija, Prirodno matematički fakultet, Niš,2014.

[3] M. Stanković, Osnovi geometrije, Prirodno matematički fakultet, Niš,2006.

[4] M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, Univerzitet u Novom Sadu, 1974.

[5] D. Lopandić, Geometrija, Naučna knjiga, Beograd, 1979.

[6] www.wikipedia.org

56

Biografija

Marko Dimitrijević rođen je 02.08.1990. godine u Leskovcu. Osnovnuškolu „Bora Stanković” u Bogojevcu završio je 2005. godine. Tehničku školu„Rade Metalac” u Leskovcu završio je 2009. godine.Osnovne akademske studije upisao je 2009. godine na departmanu za ma-tematiku Prirodno - matematičkog fakulteta u Nišu, koje je završio 2014.godine. Iste godine upisuje master akademske studije na Prirodno - mate-matičkom fakultetu u Nišu. U decembru 2018. godine položio je sve ispitena master studijama i time stekao pravo na odbranu master rada.