Izpitne naloge iz Matematike 2 - mp.feri.um.simp.feri.um.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/izpiti.pdf · Zapi si ena cbo ravnine, ki jo dolo cajo te tri to cke in izra cunaj plo s

Izpitne naloge iz Matematike 2

E-VS izredni, RI-VS izredni

FERI

dr. Iztok Peterin

Maribor 2008

V tej datoteki so zbrane izpitne naloge predmeta Matematika 2 na smerehE-VS in RI-VS za izredni studij na Fakulteti za elektrotehniko, racunalnistvoin informatiko iz solskih let 2002/03-2007/08. Naloge od 2003/04 vsebujejo

tudi resitve. Prosim, da morebitne napake med resitvami posredujete [email protected].

1

1. izpit 2002/03

1. Resi sistem

−5x2 + 6x3 + 11x4 = 16−x1 + 2x4 = 3

3x1 + 3x2 − 6x3 + 9x4 = 3−x1 + 3x2 − 4x3 − x4 = −3.

2. Poisci ekstreme funkcije f (x, y) = 2y3 + 5x2 + y2 + 6xy − 5y + 2x.

3. Izracunaj integrale

(a)∫ √

x−2x+3dx =;

(b)∫ π0

(x− π)2 sinxdx =;

(c)∫

cos 5x cos 2xdx =.

4. (E)Podana je tocka A (3, 1, 2) in premica

p :x− 1

3=y + 2

2=z − 6

4.

(a) Doloci premico, ki je vzporedna premici p in vsebuje tocko A.

(b) Doloci ravnino, ki je pravokotna na premico p in vsebuje tocko A.

5. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′ − 5y′ + 6y = 3e2x.

2

2. izpit 2002/03

1. (25)Resi homogen sistem enacb

2x+ 3y − z + 2t = 0−2x− 5y + 2z + t = 04x+ 10y − 4z + 2t = 0−6x− 5y + z − 11t = 0.

2. (20)Podane so tocke A(2, 1,−1), B(0, 3, 2) in C(5,−1, 2). Zapisi enacboravnine, ki jo dolocajo te tri tocke in izracunaj ploscino trikotnika4ABC.


(a) (10)∫

e2x

ex+1dx =;

(b) (10)∫ π0x2 cos 3xdx =;

(c) (10)∫

2x(x+1)dx =.

4. (25-E)Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = 10(10− x)(10− y)(x+ y − 10).

5. (25-R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′′ + 4y′ = 25xex + 8.

3

3. izpit 2002/03

1. (25)Resi sistem

3x− y + 2z − 2t = 23x− 2y − 6z + 3t = 1−12x+ 4y + 3z − t = 3

6x+ y − z − t = −1.

2. (20)Na kockiABCDEFGH (E je nadA) so bazni vektorji−−→AB = −→a ,

−−→AD =

−→b ,−→AE = −→c . Tocka P lezi na cetrtini daljice AC, tocka R deli daljico BH

v razmerju |BR| : |RH| = 1 : 2. Tocka Q je sredisce kvadrata AEHD.

Izrazi vektorje−→PR,

−−→PQ in

−−→QR ter narisi skico.


(a) (10)∫

sin2 xcos4 xdx =;

(b) (10)∫ π0x2 sin 2xdx =;

(c) (10)∫

2x(x2+1)dx =.

4. (25-E)Poisci definicijsko obmocje in ekstreme funkcije

f(x, y) =√−x2 − y2 + 4x− 6y − 15.

5. (25-R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe y′′ + 2y′ − y = 2xe−x.

4

4. izpit 2002/03

1. (15) Resi sistem

3x+ 4y + z + t = 36x+ 8y + 2z + 5t = 7

9x+ 12y + 3z + 10t = 13.

2. (15) Izracunaj lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = y − xey + x.

3. Izracunaj:

(a) (10)∫xex

2dx =;

(b) (10)∫ π0x cos 3xdx =;

(c) (10) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = −x2 + 5x − 6 iny = −x+ 2.

4. (20-E) Poisci inverzno matriko matrike

A =

2 −3 14 −5 25 −7 3

.5. (20-R) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe x2y′ − xy = e−x.

6. Dane so tocke A(−4,−6, 1), B(−2, 3, 3) in C(4,−3,−2).

(a) (10) Poisci tocko D, da bo ABCD parelogram.

(b) (10) Zapisi enacbo ravnine, na kateri ta paralelogram lezi.

5

5. izpit 2002/03

1. (20) Resi sistem

x+ 2y + 3z = 5−2x− y + z = 1−3x− y + z = 4.

2. (15) Izracunaj lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x sin y.

3. Izracunaj:

(a) (10)∫x2exdx =;

(b) (10)∫

3x2+1x3+x dx =;

(c) (10) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = −x2 − 2x + 3 iny = x+ 3.

4. (20-R) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe xy′ − y = x3 − x2.

5. (15) Doloci enacbo ravnine in ploscino trikotnika, ki ju dolocajo tockeA(5, 2, 1), B(−2, 1, 3) in C(0, 1, 1).

6. (20-E) Resi matricno enacbo AX − 2AT = X, ce je

A =

2 −1 30 2 10 5 4

.

6

1. izpit 2003/04

1. Resi sistem

2x− 3y + z − 2t = 34x+ 2y − 3z − t = 0−6x+ y − z + t = −2

−4x+ 5y + 2z + 2t = 1.

2. (E)Podane so tockeA(4,−2,−5), B(−1, 0, 7) in C(4,−1, 8). Doloci dolzinestranic, notranje kote in ploscino trikotnika 4ABC.

3. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

y − xy′ = y(

lny

x

)2

.

4. Izracunaj

(a)∫

x2+x(x−3)(x2+1)dx = ;

(b)∫

sin 4x cos 7xdx = ;

(c)∫ 4

0dx

3√x−2= .

5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = ex2+y2

na vezi x2 + y2 = 4x.

7

2. izpit 2003/04

1. Preveri ali so vektorji−→a = (3,−2, 4,−5),−→b = (2, 0,−1, 7), −→c = (1,−1, 4, 8)

in−→d = (1,−1, 3, 1) linearno neodvisni. Izracunaj se kot med vektorjema

−→a in−→b .

[Resitev: vektorji so linearno odvisni; α = arccos(− 1118 ).]

2. (E)Podana je funkcija f(x) = x2 + 2x− 3 + 10x . Izracunaj f(A), ce je

A =

−1 1 3−1 −3 11 −3 1

.

[Resitev: f(A) =

−2 −16 124 −6 −48 0 2

.]

3. (R)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

y′′ − 5y′ + 4y = ex + x.

[Resitev: y = C1e4x + ex(C2 − 1

3x) + 14x+ 5

16 .]

4. Izracunaj

(a)∫

x3√

1−x2 dx = ;

[Resitev: 13 (1− x2)

32 +√

1− x2 + C.]

(b)∫x2 sin 2xdx = ;

[Resitev: ( 14 −

x2

2 ) cos 2x+ x2 sin 2x+ C.]

(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = x2 − 5x+ 4 in y = 4− x2.[Resitev: 125

24 .]

5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = ln(x2y) + 3xy − 2x2.

[Resitev: T1( 12 ,−

32 ) in T2(− 1

2 ,23 ), oba sta maksimuma.]

8

3. izpit 2003/04

1. Podane so tocke A(3,−2, 4), B(2, 0,−1) in C(1,−1, 4).

(a) Izracunaj ploscino 4ABC.[Resitev:

√34.]

(b) Doloci ravnino, ki jo dolocajo A, B in C.[Resitev: 5x+ 10y + 3z = 7.]

(c) Za vektor−→d = (m, 1,m2− 1) doloci m tako, da bo

−→d pravokoten na

vektor−−→AB.

[Resitev: m1 = −1+√

1412 in m2 = −1−

√141

2 .]

2. (e)Resi sistem

3x− 2y + 4z − 5t = 0 (1)2x− z + 7t = 0 (2)

x− y + 4z + 8t = 0x− y + 3z + 3t = 0.

[Resitev: sistem ima le trivialne resitve x = y = z = t = 0.]

3. (r)Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

xy′ − y = x2 sinx.

[Resitev: linearna; y = Cx− x cosx.]

4. Izracunaj

(a)∫

xx2+3dx = ;

[Resitev: 12 ln(x2 + 3) + C.]

(b)∫x coshxdx = ;

[Resitev: x sinhx− coshx+ C.]

(c) volumen vrtenine krivulje y =√

sinx cos 2x.[Resitev: V = 2

3π(√

2− 1).]

5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2y2−y2−2x2y+2y na vezi x2+y2 = 2y.

[Resitev: T1(0, 0), T2(0, 2), T3(1, 1) in T4(−1, 1) so minimumi; T5( 1√2, 1 +

1√2), T6( 1√

2, 1− 1√

2), T7(− 1√

2, 1+ 1√

2) in T8(− 1√

2, 1− 1√

2) so maksimumi.]

9

4. izpit 2003/04

1. Resi matricno enacbo XA−A2 = XB −B2, ce sta

A =

1 −1 20 3 10 0 −1

in B =

2 −1 30 2 −10 0 2

.

[Resitev: X =

3 0 − 113

0 1 − 43

0 0 −1

.]

2. (e)Podane so tocke A(−1, 1, 3), B(2, 1, 0) in C(0, 1,−2).

(a) Zapisi enacbo premice p skozi tocki A in B.[Resitev: p : x+1

3 = z−3−3 , y = 1.]

(b) Zapisi enacbo ravnine π skozi tocke A, B in C.[Resitev: π : y = 1.]

(c) Zapisi enacbo premice q skozi tocko C, ki je pravokotna na ravninoπ.[Resitev: q : x = 0, z = −2, y ∈ R.]


y′′ + 4y = xe2x.

[Resitev: y = C1 sin 2x+ C2 cos 2x+ ( 18x−

116 )e2x.]

4. Izracunaj

(a)∫

arcsinxdx = ;[Resitev: x arcsinx+

√1− x2 + C.]

(b)∫tet

2dt = ;

[Resitev: 12et2 + C.]

(c)∫∞1

x2−1x2(x2+1)dx = .

[Resitev: π2 − 1.]

5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2y2

2 − 3xy2 + 5y2

2 − 3x2y+ 18xy− 15y.

[Resitev: T1(3,−6), T2(5, 6), T3(1, 6), T4(5, 0) in T5(1, 0) so kandidati zaekstreme, nihce pa ni ekstrem.]

10

5. izpit 2003/04

1. Resi sistem:

4x+ 7y − 3z − 2t = 52x+ y − 3z − 2t = 1x− 2y + z − 3t = 2−5x+ y + z + t = 0.

[Resitev: x = − 2418145 , y = − 1214

145 , z = − 35529 in t = − 137

29 .]

2. (e)Poisci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

3 −1 1−1 5 −11 −1 3

.[Resitev: λ1 = 2, λ2 = 3 in λ3 = 6;

−→h1 = (−1, 0, 1),

−→h2 = (1, 1, 1) in

−→h3 = (1,−2, 1).]

3. (r)Poisci posebno resitev y(1) = 1 diferencialne enacbe

(x3 − 3xy2 + 2)dy + (3x2y − y3)dx = 0.

[Resitev: 2 = x3y − xy3 + 2y.]

4. Izracunaj

(a)∫ √

xx−2dx = ;

[Resitev: − ln(√

xx−2 − 1

)+ 1√

xx−2−1

+ ln(√

xx−2 + 1

)+ 1√

xx−2+1

+

C.]

(b)∫ ln 2

0t2e−tdt = ;

[Resitev: − 12 (ln 2)2 − ln 2 + 1.]

(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = x2 − 4 in 3y − 4x = −5[Resitev: 49

24 .]

5. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = arctan(xy) na vezi x2 + y2 = 4.

[Resitev: T1(√

2,√

2) in T2(−√

2,−√

2) sta maksimuma in T3(−√

2,√

2)in T4(

√2,−√

2) sta minimuma.]

11

1. izpit 2004/05

1. Poisci a tako, da bo imel homogen sistem enacb netrivialno resitev insistem tudi resi:

x+ 2y + 3z = 02x− y + 5z = 0

5x+ ay + 3z = 0.

[Resitev: a = −50, x = 13y, z = −5y in y ∈ R.]

2. (e)Podane so tockeA(3,−2, 5), B(0, 2, 1) in C(2, 1,−1). Izracunaj ploscinotrikotnika ABC in poisci ravnino, ki jo dolocajo te tri tocke.

[Resitev: pl4 =√

3652 , 12x+ 14y + 5z = 33.]

3. (r)Poisci robno nalogo y(0) = 0 in y( 3π4 ) = − 1

2 za diferencialno enacbo

y′′ + 4y = 8x3 + 2x2 − 1.

[Resitev: y = 9π32 (3π2 + π − 8) sin 2x+ 1

2 cos 2x+ 2x3 + 12x

2 − 3x− 12 .]

4. Izracunaj:

(a)∫

xdxx3−x2+4x−4 ;

[Resitev: 15 ln |x− 1| − 1

10 ln |x2 + 4|+ 25 arctan x

2 + C.]

(b)∫

sin2 x cosxdx;[Resitev: 1

3 sin3 x+ C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 − 2 in y = −x2 + 4x− 2.

[Resitev:∫ 2

0(−2x2 + 4x)dx = 8

3 .]

5. Na vezi x2 + y2 = 4 poisci ekstreme funkcije

f (x, y) =x2

2.

[Resitev: T1(0, 2) in T2(0,−2) sta minimuma, T3(2, 0) in T4(−2, 0) stamaksimuma.]

12

2. izpit 2004/05

1. Resi sistem:

x+ 3y − 4z + 2t = 13x− y + 2z + t = 0−2x− 5y + z − t = 25x+ 3y − z + 3t = 4.

[Resitev: x = 134, y = −29, z = −102 in t = −227.]

2. (e)Podan je vektor −→a = (x, 3x2, 1− x). Doloci x tako, da bo −→a

(a) pravokoten na vektorju−→b = (2,−1, 2);

[Resitev: x1 =√

32 in x2 = −

√32 .]

(b) vzporeden z vektorjem −→c = (1, 3, 0).[Resitev: x = 1.]


xy′ − y = y2 lnx.

[Resitev: Bernoulijeva, y = xc+x−x ln x .]

4. Izracunaj:

(a)∫ (x5+x2)dxx6+7x3+6 ;

[Resitev: 13 ln |x3 + 6|+ C.]

(b)∫xe3xdx;

[Resitev: e3x(x3 −19 ) + C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x3 in x = y2.

[Resitev:∫ 1

0(√x− x3)dx = 5

12 .]

5. Poisci lokalne ekstreme funkcije

f (x, y) = (x+ y)ex2+y2

.

[Resitev: ni lokalnih ekstremov.]

13

3. izpit 2004/05

1. Resi matricno enacbo 2X +B = AX − 3A, ce sta

A =

5 4 10 1 20 3 3

in B =

4 2 1−1 3 05 2 1

.

[Resitev: X = 17

29 5/3 −56/311 16 142 29 28

.]

2. Podana je ravnina π : 3x − 2y + z = 6 in tocke A(1, 1,−2), B(3, 1, 0)in C(1,−1, 4). Poisci ravnino σ, ki jo dolocajo tocke A,B in C. Ali staravnini π in σ pravokotni? Poisci se premico p, ki je vzporedna z obemaπ in σ in gre skozi tocko D(2, 1, 0).

[Resitev: σ : x−3y−z = 0, π in σ nista pravokotni, p : x−25 = y−1

4 = − z7 .]

3. Izracunaj:

(a)∫ (1+ln2 x)dx

x ;

[Resitev: ln |x|+ 13 (ln |x|)3 + C.]

(b)∫ π−π x

2 sin 2xdx;[Resitev: 0 (integral lihe funkcije na simetricnem intervalu).]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = 2x+ 3, y = −3x+ 5 in y = 0.[Resitev: 611

60 .]

4. Na vezi x2 + y2 = 9 poisci ekstreme funkcije

f (x, y) = 3x+ 8y − 9.

[Resitev: T1

(9√73, 24√

73

)je maksimum in T2

(− 9√

73,− 24√

73

)je minimum.]

14

4. izpit 2004/05

1. Izracunaj f(A), ce sta f(x) = x3 − x2 + 2x in

A =

1 0 12 1 4−3 2 3

.

[Resitev: f(A) =

−13 10 13−54 42 6419 26 53

.]

2. Ali so vektorji −→a = (3, 2, 1,−1),−→b = (−2, 1, 0, 3), −→c = (5, 1, 0,−1) in

−→d = (2, 3, 5, 4) linearno neodvisni?

[Resitev: so linearno neodvisni.]

3. Izracunaj:

(a)∫

dx√−x2−4x

;

[Resitev: arcsin x+22 + C.]

(b)∫ π/2−π/2 sin 2x cos 3xdx;

[Resitev: 0.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y2 = x+ 5, y = x+ 1 in y = 0.

[Resitev: (11+√

17)3/2

3√

2− 13+3

√17

4 .]

4. (e) Na vezi x2 − 4x+ y2 + 2y = 0 poisci ekstreme funkcije

f (x, y) = x2 + y2.

[Resitev: T1(0, 0) je minimum in T2(4,−2) maksimum.]

5. (r) Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

y′′ − 3y′ + 2y = 3ex.

[Resitev: y = ex(C1 − 3) + C2.]

15

5. izpit 2004/05

1. Izracunaj lastni vrednosti in lastna vektorja matrike

A =[

3 −34 −5

].

[Resitev: λ1 = −3 in λ2 = 1;⇀

h1 = (1, 2) in⇀

h2 = (3, 2).]

2. (e) Podana je kockaABCDEFGH (E je nadA) in njeni vektorji−→a =−−→AB,

−→b =

−−→AD in −→c =

−→AE. Tocka M je sredisce kvadrata CGHD, tocka N

deli rob BF v razmerju |BN | : |NF | = 4 : 1 in tocka O deli rob EH vrazmerju |EO| : |OH| = 3 : 1. Izrazi vektorje

−−→MN ,

−−→MO in

−−→ON z vektorji

−→a ,−→b in −→c in izracunaj skalarni in vektorski produkt vektorjev

−−→MN in−−→

MO.

[Resitev:−−→MN =

−→a2 −−→b + 3−→c

10 ,−−→MO = −

−→a2 −

−→b4 +

−→c2 in

−−→ON = −→a − 3

−→b4 −

−→c5 ;

−−→MN ·

−−→MO = 3|−→a |

20 in−−→MN ×

−−→MO = − 17−→a

40 −11−→b

20 −3−→c8 .]

3. Izracunaj:

(a)∫

dxx2(x2+1) ;

[Resitev: 1x + arctanx+ C.]

(b)∫ π−π x cos 5xdx;

[Resitev: 0, saj integriramo liho funkcijo na simetricnem intervalu.]

(c) ploscino manjsega obmocja, ki ga omejujejo y = −x2 + 3x − 1, y =−x− 6 in y = 0.[Resitev: pl =

∫ 0

−1(−x2 + 3x− 1 + x+ 6)dx = 8

3 .]


f (x, y) = y ln(x2).

[Resitev: T1(1, 0) in T2(−1, 0) sta kandidata, vendar nista ekstrema; torejfunkcija nima lokalnih ekstremov.]

5. (r) Poisci zacetno nalogo y(1) = 1 diferencialne enacbe

x2y′ − xy = x3 sinx.

[Resitev: y = (1 + cos 1− cosx)x.]

16

6. izpit 2004/05

1. Podane so tocke A(2, 0, 1), B(3, 1, 1) in C(1,−1, 0). Trikotniku 4ABCdoloci dolzine stranic, velikosti kotov in ploscino.

[Resitev: pl =√

22 , a = 3, b =

√3 in c =

√2, α = arccos −

√2√

3, β =

arccos 2√

23 in γ = arccos 5

3√

3.]

2. (e) Resi sistem

x− 3y + 2z − t = 82x− 5y + z + t = 3−3x+ y − 3t = 1−4x+ y − 3z = 2.

[Resitev: x = 856 , y = 1

6 , z = 32918 in t = 125

9 .]

3. Izracunaj:

(a)∫

dx√x2−2x+2

;

[Resitev: ln(x− 1 +

√x2 − 2x+ 2

)+ C.]

(b)∫

1√x

tan√xdx;

[Resitev: −2 ln | cos√x|+ C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = x3 in y = 4x.[Resitev: 8.]


f (x, y) = arctan(xy).

[Resitev: stacionarna tocka je T (0, 0), ki pa ni ekstrem.]


xy′ + xy = y lnx.

[Resitev: locljive spremenljivke, y = 12e

1−x lnx.]

17

1. izpit 2005/06

1. Glede na a resi sistem

x+ y − z − t = 22x+ y + 3z − 5t = 24x+ 3y + z − t = 1

2x+ y + 3z − 2t = a.

[Resitev: za a 6= − 12 ni resitve; za a = − 1

2 je resitev t = − 56 , y = 5z + 9

2 ,x = −4z − 10

3 in z ∈ R.]

2. (e)Podane so tocke A(3, 1, 2), B(4,−1, 1) in C(2, 0, 1). Izracunaj ploscinotrikotnika ABC, dolzine nejgovih stranic in velikosti njegovih kotov.

[Resitev: pl =√

142 , a =

√5, b =

√3 in c =

√6, α = arccos

√2

3 , β =arccos 4√

30in γ = π − α− β.]


2y′ + 4y = e−2x sinx.

[Resitev: linearna, y = e−2x(C − 12 cosx).]

4. Izracunaj:

(a)∫

x2dx(x−2)3

;

[Resitev: ln |x− 2|+ 6−4x(x−2)2 + C.]

(b)∫

arcsinxdx;[Resitev: x arcsinx+

√1− x2 + C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujejo y = x+ 1, y = 2x− 2 in y = 0.

[Resitev: pl =∫ 1

−1(x+ 1)dx+

∫ 3

1(x+ 1− 2x+ 2)dx = 4.]


f (x, y) = x3 + x2y + y2 + 6.

[Resitev: kandidata sta T1(0, 0) in T2(3,− 92 ) vendar noben ni ekstrem.]

18

2. izpit 2005/06

1. Izracunaj lastne vrednosti in lastne vektorje za matriko

A =

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

.[Resitev: λ1 = 0 in λ2,3 = 3;

−→h1 = (1, 1, 1),

−→h3 = (1,−1, 0) in

−→h3 =

(1, 0,−1).]

2. Podana sta vektor −→a = (5m + 2, 3,m2 − 1) in premica p : x−1−2 = y+2

−3 =z −√

3. Doloci m tako, da bosta −→a in p

(a) pravokotna;[Resitev: m = 0.]

(b) vzporedna.[Resitev: m1,2 = 5±

√38.]


y′′ + y′ = x+ e3x.

[Resitev: y = C1 + C2e−x + 1

2x2 − x+ 1

12e3x.]

4. Izracunaj:

(a)∫x2dxx3−1 ;

[Resitev: 13 ln |x3 − 1|+ C.]

(b)∫x2e2xdx;

[Resitev: e2x(x2

2 −x2 + 1

4 ) + C.]

(c)∫ 2

02x√4−x2 dx.

[Resitev: 4.]

5. (e)Na vezi x2 + 9y2 = 9 poisci ekstreme funkcije

f (x, y) = 2xy + x2 + y2 + 3.

[Resitev: T1( 9√10, 1√

10) in T2(− 9√

10,− 1√

10) sta maksimuma in T3( 3√

10,− 3√

10)

in T4(− 3√10, 3√

10) sta minimuma.]

19

3. izpit 2005/06

1. Resi sistem:

x+ y − t = 3x+ 2y + z + t = −2

2x+ 3y + 3z − t = −12x+ 4y + 2z + t = −1.

[Resitev: x = − 72 , y = 7

2 , z = − 52 in t = −3.]

2. Zapisi enacbo ravnine Σ, ki vsebuje tockeA(5, 2,−1), B(4,−1, 1) in C(3, 0, 1).Doloci se premico p skozi tocko D(2, 5, 1), ki je pravokotna na Σ.

[Resitev: Σ : x+ y + 2z = 5 in p : x− 2 = y − 5 = z−12 .]

3. Izracunaj

(a)∫

dx√3−2x−x2 ;

[Resitev: arcsin x+12 + C.]

(b)∫x sin 5xdx;

[Resitev: −x5 cos 5x+ 125 sin 5x+ C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 + 2x in y = x3.

[Resitev: pl =∫ 0

−1(x3 − x2 − 2x)dx+

∫ 2

0(x2 + 2x− x3)dx = 29

12 .]

4. Na vezi x2 + y2 = 4y poisci ekstreme funkcije

f (x, y) = 2x2 + y + 3.

[Resitev: minimuma sta T1(0, 0) in T2(0, 4), maksimuma pa sta T3( 3√

74 , 9

4 )in T4(− 3

√7

4 , 94 ).]

20

4. izpit 2005/06

1. Za funkcijo f(x) = x2 − 5x+ 3− 2x izracunaj f(A), ce je

A =

1 2 22 −1 23 2 5

.

[Resitev: f(A) =

3 −10 10− 20

3493

103

353

203

293

.]

2. Podana so ogljisca trikotnikaA(5, 2,−1), B(3,−1, 0) in C(2, 0, 5). Izracunajnjegovo ploscino, dolzine stranic in velikosti kotov.

[Resitev: pl =√

3622 , a =

√27, b = 7 in c =

√14, α = arccos 18

7√

14,

β = arccos −4√14√

27in γ = π − α− β.]

3. (r)Poisci zacetno nalogo y(1) = 0 za diferencialno enacbo

3xyy′ +x

y=x2

y+ xy′ sin y.

[Resitev: locljive spremenljivke, (x− 1)2 = 2y3 + 2 cos y − 2 sin y.]

4. Izracunaj:

(a)∫

sin 3x cos 5xdx;[Resitev: 1

4 cos 2x− 116 cos 8x+ C.]

(b)∫x−

12 arcsin

√xdx;

[Resitev: 2√x arcsin

√x+ 2

√1− x+ C.]

(c) ploscino lika, ki ga omejujejo y = 1, y = −x+ 3 in y = −2x+ 2.

[Resitev: pl =∫ 2

−1(−x+ 3)dx−

∫ 12−1

(−2x+ 2)−∫ 2

1dx = 11

4 .]

5. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije

f (x, y) = x arctan y − x− y.

[Resitev: stacionarna tocka je T (2, 1), vendar v njej ni dosezen ekstrem.]

21

5. izpit 2005/06

1. Resi sistem

x+ z = 52x+ y + z + 3t = −2

3x+ 2y + 2z + 4t = 24x+ 3y − 2z = 1.

[Resitev: x = 23 , y = 7

3 , z = 133 in t = − 10

3 .]

2. Izracunaj lokalne ekstreme funkcije

f(x, y) = y sinx+y2

2.

[Resitev: stacionarne tocke so T1,k(kπ, 0) in T2,k(π2 + kπ, (−1)k); v T1,k niekstrema, v T2,k so lokalni minimumi.]


y′′ − y′ − 6y = sin 3x.

[Resitev: y = C1e3x + C2e

−2x − 572 sin 3x− 1

72 cos 3x.]

4. Izracunaj:

(a)∫x2 lnxdx;

[Resitev: x3

3 lnx− x3

9 + C.]

(b)∫

dx(x+2)(x2+4)dx;

[Resitev: 18 ln |x+ 2| − 1

16 ln(x2 + 4) + 18 arctan x

2 +D.]

(c) ploscino lika, ki ga omejujejo y = x2, y = 2− x in y = 6− x.

[Resitev: p =∫ −2

−3(6− x− x2)dx+

∫ 1

−2(6− x− 2 + x)dx+

∫ 2

1(6− x−

x2)dx = 493 .]

5. (e)V trapezu ABCD, kjer je −→a = AB,−→b = AD in

−−→DC = 3

4−→a deli tocka

M stranico AB v razmerju |AM | : |MB| = 1 : 3 in tocka N stranico DC vrazmerju |DN | : |NC| = 1 : 2. Oznacimo z S presecisce MN z diagonaloAC. Izracunaj razmerje |AS| : |SC|.[Resitev: |AS| : |SC| = 1 : 2.]

22

6. izpit 2005/06

1. Resi matricno enacbo A2X +B = A2 −BX, ce sta

A =

2 5 −10 1 40 0 3

in B =

−1 2 30 1 50 2 2

.

[Resitev: X = (A2 +B)−1(A2 −B) =

5/3 451/30 −173/300 −21/10 13/100 1/5 2/5

.]

2. (e)Na vezi x+ y = 5 izracunaj ekstreme funkcije

f(x, y) = arctanxy.

[Resitev: v T ( 52 ,

52 ) je maksimum.]


x3y′ + 2y = y3/2e−1/(2x2).

[Resitev: Bernoulijava, y = e1/x2

(C+ 14x2 )2

.]

4. Izracunaj:

(a)∫x3 sinx2dx;

[Resitev: − 12x

2 cosx2 + 12 sinx2 + C.]

(b)∫

dxx2−2x−1 ;

[Resitev: 12√

2ln x−1−

√2

x−1+√

2+ C.]

(c) volumen vrtenine y =√

x−1x+3 na intervalu [1, 5].

[Resitev: V = π∫ 5

1x−1x+3dx = 4π(1− ln 2).]

5. Skozi presecisce premic p : x−24 = 2y+1

−2 = z−12 in q : 2x+1

3 = y−1−3 = z+5

15doloci premico, ki je pravokotna na p in q.

[Resitev: r : x6 = y38 = z

7 .]

23

1. izpit 2006/07

1. Resi sistem

x+ y − t = 3x+ 2y + z + t = −2

2x+ 3y + 3z − t = −12x+ 4y + 2z + t = −1.

[Resitev: x = − 72 , y = 7

2 , z = − 52 in t = −3.]

2. Izracunaj:

(a)∫ π/30

x2 sin 3xdx;

[Resitev: π2−427 .]

(b)∫

x2

x3−8dx;

[Resitev: 13 ln |x3 − 8|+ C.]

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = x2 − 2x− 8 in y = −3x− 6.

[Resitev: pl =∫ 1

−2(−x2 − x+ 2)dx = 9

2 .]


y′′ − 5y′ − 14y = x2 − ex.


−2x − 114x

2 + 598x−

391372 + 1

18ex.]

4. (e)Podane so tocke A(2, 1,−1), B(−1, 0, 3) in C(0, 1, 1). Doloci ranino π,ki jo dolocajo te tri tocke in izracunaj obseg in ploscino trikotnika ABC.

[Resitev: π : x+ y + z = 2, pl =√

3 in ob =√

26 +√

2 + 2√

2..]


f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.

[Resitev: stacionarni tocki sta T1(0, 0) (ni ekstrem) in T2(1, 1) (je mini-mum).]

24

2. izpit 2006/07

1. Izracunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

3 2 33 4 50 0 1

.[Resitev: λ1 = 6 in λ2,3 = 1,

−→` 1 = (2, 3, 0),

−→` 2 = (−1, 1, 0) in posplosen

lastni vektor−→` 3 = (−9, 1, 5).]

2. Poisci presecisce premic p : x−12 = y + 1 = z−2

−6 in q : 2− x = y − 1 = z−15

in doloci ravnino, ki vsebuje p in q.

[Resitev: presecisce je T (3, 0,−4) in ravnina je 11x− 4y + 3z = 21.]

3. Izracunaj:

(a)∫

arccosxdx;[Resitev: x arccosx−

√1− x2 + C.]

(b)∫x ln 1

x2+1dx;

[Resitev: − 12 (x2 + 1) ln(x2 + 1) + 1

2 (x2 + 1) + C.]

(c) ploscino, ki je omejena z y = 3, y = −x+ 3 in y = 2x− 6.

[Resitev: pl =∫ 3

0xdx+

∫ 9/2

3(9− 2x)dx = 27

4 .]

4. Poisci lokalne eksteme funkcije f(x, y) = xex−y2

+ y2.

[Resitev: v T (−1, 0) je minimum.]

25

3. izpit 2006/07

1. Izracunaj f(A), ce je f(x) = x2 − 3x+ 2− 4x in je

A =

1 4 −1−5 0 12 2 −1

.

[Resitev: f(A) =

−24 −8 119 −15 5−26 6 26

.]

2. (e)V trapezu ABCD velja−−→DC = 3

4

−−→AB. Doloci v kaksnem razmerju seka

diagonala BD diagonalo AC.

[Resitev: |AE| : |EC| = 4 : 3.]

3. Izracunaj:

(a)∫x5dxx6+1 ;

[Resitev: 16 ln(x6 + 1) + C.]

(b)∫x2e2xdx;

[Resitev: e2x(x2 − x2 + 1

4 ) + C.]

(c) ploscino, ki je omejena z 2y + x = 1 in y = −x2 + 4x− 3.

[Resitev: pl =∫ 7/2

1(−x2 + 9

2x−72 )dx = 181

6 .]

4. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x3y3 na vezi 4x2 + y2 = 1.

[Resitev: T1( 12√

2, 1√

2) in T2(− 1

2√

2,− 1√

2) sta maksimuma in T3( 1

2√

2,− 1√

2)

in T4(− 12√

2− 1√

2) sta minimuma.]


y′′′ + y′ = sin 2x.

[Resitev: y = C1 + C2 sinx+ C3 cosx+ 16 cos 2x.]

26

4. izpit 2006/07

1. Resi sistem:

2x− 4y + 2z − 6t = 3−2x+ 3y − 2z + 3t = 2

3x− 5y + 3z − 6t = −12

5x+ 2y − z + 2t = −1.

[Resitev: x = 16 t+ 1

12 , y = −5− 3t, z = − 10312 −

196 t in t ∈ R.]

2. Tetraeder ABCD je dolocen z vektorji−−→AB = −→a ,

−→AC =

−→b in

−−→AD = −→c .

(a) Izrazi vektor−−→EC, ce je E razpolovisce roba BD.

(b) Izrazi vektor−−→TD, ce je T tezisce trikotnika ABC.

[Resitev:−−→EC = − 1

2−→a +

−→b − 1

2−→c in

−−→TD = − 1

3−→a − 1

3

−→b +−→c .]

3. Izracunaj:

(a)∫ (x+2)dx

(x−1)2(x+1) ;

[Resitev: ln(x+1x−1

)1/4

− 32(x−1) +D.]

(b)∫x cos 3xdx;

[Resitev: x3 sin 3x+ 1

9 cos 3x+ C.]

(c) ploscino, ki je omejena z y = x3 in x = y2.

[Resitev:∫ 1

0(√x− x3)dx = 5

12 .]

4. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + y2 sinx.

[Resitev: kandidati so T1(0, 0), Tk((2k−1)π,±√

(4k − 2)π) in T−k(2kπ,±√

4kπ),kjer je k ∈ N, vendar nimamo nobenega ekstrema.]


xy′ + y = cosx.

[Resitev: linearna, y = C+sin xx .]

27

5. izpit 2006/07

1. Resi matricno enacbo AX −B = BX +A, ce sta

A =

5 1 06 2 42 3 −1

in B =

1 4 −1−5 0 12 2 −1

.

[Resitev: X = (A−B)−1 (B +A) =

61 68 −304 5 −2−226 −252 113

.]

2. Podana sta vektorja −→a = (x, 1 − x, 3) in−→b = (1, 2,−3). Doloci x tako,

da bosta −→a in−→b .

(a) pravokotna;[Resitev: x = −7.]

(b) enako dolga;[Resitev: x1 = 2 in x2 = −1.]

(c) vzporedna.[Resitev: ni resitve.]

3. Izracunaj:

(a)∫

dx√−x2+4x−3

;

[Resitev: arcsin(x− 2) + C.]

(b)∫ π/2−π/2 x

2 sin 2xdx;

[Resitev: 0.]

(c) ploscino, ki je omejena z y = x− 4 in y = x2 + 3x− 12.

[Resitev:∫ 2

−4(x− 4− x2 − 3x+ 12)dx = 36.]


f(x, y) = y√x3 + x

√y3.

[Resitev: edini kandidat je T = (0, 0), ki je na robu definicijskega obmocjain ni lokalni ekstrem.]

28

6. izpit 2006/07

1. Resi sistem

5x− 3y + 4z + 2t = −1x− 2y + 3z − 4t = 23x+ y + 2z − t = 1−x+ y + z − 2t = 2.

[Resitev: x = − 35107 , y = 44

107 , z = 67107 in t = − 34

107 .]

2. Izracunaj dolzine stranic, velikosti kotov in ploscino trikotnika ABC, ceso A(1,−1, 2), B(3, 0,−4) in C(2, 1, 1). Poisci se ravnino π, ki jo dolocajote tri tocke.

[Resitev: π : 11x− 4y+ 3z = 21, pl =√

1462 , a =

√41, b =

√6 in c =

√27,

α = arccos 10√41√

6, β = arccos 31√

41√

27in γ = π − α− β.]

3. Izracunaj:

(a)∫

dx4+sin2 x

;

[Resitev: 12√

5arctan

(√5

2 tanx)

+ C.]

(b)∫ π/2−π/2

√2

5−xdx;

[Resitev: −4√

5−x2 + C.]

(c) ploscino, ki je omejena z x-osjo in funkcijama y = sinx in y = cosxna intervalu

[0, π2

].

[Resitev: pl =∫ π/40

sinxdx+∫ π/2π/4

cosxdx = 2−√

2.]

4. (e) Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2+2xy+y2 na vezi 4x2+(y−1)2 =1.

[Resitev: maksimuma sta T1( 12√

2, 1+√

2) in T2(− 12√

2, 1+√

2), minimumapa T3(0, 0) in T4(− 2

5 ,25 ).]


y′′ − 3y′ − 4y = 8x2 − 3.


−x − 2x2 + 3x− 52 .]

29

1. izpit 2007/08

1. Na vezi x+ y = 1 poisci ekstreme funkcije f (x, y) = xy.

[Resitev: v T ( 12 ,

12 ) je maksimum.]

2. (e)Podane so tocke A(1, 2,−1), B(0, 3, 2) in C(2,−1, 1).

(a) Doloci enacbo ravnine π, ki jo dolocajo te tocke.

(b) Izracunaj ploscino M ABC.

(c) Skozi tocko B zapisi premico p, ki je vzporedna premici skozi tockiA in C.

[Resitev: π : 11x+ 5y+ 2z = −19; pl = 12

√150 in p : x− 2 = y+1

−3 = z−12 .]


5y′′ + 3y′ − 8y = −16x2 − 12x+ 69.

[Resitev: y = C1ex + C2e

−8x/5 + 2x2 + 3x− 5.]

4. Izracunaj:

(a) Ia =∫

xdx(x+1)(2x+1) ;

(b) Ib =∫

sin x(1−cos x)2 dx;

(c) ploscino obmocja, ki ga omejujeta y = 2x− x2 in x+ y = 0.

[Resitev: Ia = ln |x + 1| − 12 ln |2x + 1| + C; Ib = 1

cos x−1 + C in pl =∫ 3

0(2x− x2 − (−x))dx = 9

2 .]

5. Resi matricno enacbo AX −B2 = 3X, ce sta

A =

2 0 11 2 11 1 1

.

[Resitev: X = (AT − I)−1(A2 + A) =

1 −1 0−1 1 11 0 −1

7 1 46 7 55 4 4

= 1 −6 −14 10 52 −3 0

.]

30

2. izpit 2007/08

1. Poisci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

3 −1 1−1 5 −11 −1 3

.[Resitev: lastne vrednosti so λ1 = 2, λ2 = 3 in λ3 = 6, pripadajoci lastnivektorji so

−→`1 = (−1, 0, 1),

−→`2 = (1, 1, 1) in

−→`3 = (1,−2, 1).]

2. Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y.

[Resitev: v T (1, 0) je lokalni minimum.]

3. Izracunaj:

(a) Ia =∫

e2x

1+ex dx;

(b) Ib =∫

sinx sin 2x sin 3xdx;

(c) ploscino lika, ki ga omejuje funkcija y = x(x− 1)2 in x-os.

[Resitev: Ia = 1+ex−ln(1+ex)+C, Ib = 124 cos 6x− 1

16 cos 4x− 18 cos 2x+C,

pl =∫ 1

0x(x− 1)2dx = 1

12 .]

4. Podana sta vektorja −→a = (r2, 4, r− 1) in−→b = (2, r, 5). Ce obstaja, doloci

r tako, da bosta vektorja −→a in−→b

(a) pravokotna;

(b) vzporedna.

[Resitev: za r1 = −5 in r2 = 12 sta vektorja pravokotna, medtem ko za

vsak r nista vzporedna.]

31

3. izpit 2007/08

1. Poisci resitve sistema

−3x+ 4y + 3z + t = 1−x+ y + z + 2t = 2−x+ 2y + z + 3t = −1

2x+ 4y − z − t = 2.

[Resitev: x = 613 , y = − 10

3 , z = 25 in t = 13 .]

2. (e)Poisci presecisce premic p : x−22 = y−3

4 = z+25 in q : x−2

−2 = y−103 = z−7

4in ravnino π, ki jo razpenjata premici p in q.

[Resitev: .presecisce je A(4, 7, 3) in π : x− 18y + 17z = −80.]

3. Izracunaj:

(a) Ia =∫

dxsin x cos x ;

(b) Ib =∫x arctanxdx;

(c) volumen vrtenine funkcije y =√xex na intervalu [0, 1].

[Resitev: Ia = ln | tanx| + C, Ib = 12 (x2 + 1) arctanx − x

2 + C in V =π∫ 1

0xe2xdx = 1

4 (e2 + 1).]

4. Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ex sin y + x.

[Resitev: stacionarne tocke so Tk(0, π2 + (2k − 1)π), vendar v njih ni ek-stremov.]


y′′′ + 9y′′ = 7 cos 2x.

[Resitev: y = C1 + C2x+ C3e−9x − 63

340 cos 2x− 7140 sin 2x.]

32

4. izpit 2007/08

1. Resi matricno enacbo XA = A2 − 2XBT , ce sta

A =

3 2 −40 3 25 1 1

in B =

−1 1 −1−1 −1 02 −2 0

.

[Resitev: X = A2(A+ 2BT )−1 = 13

−85 20 4−66 3 30−35 31 11

.]

2. Poisci ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + y

3 na vezi x2 + y2 = 1.

[Resitev: T1( 3√13, 2√

13) je maksimum in T2(− 3√

13,− 2√

13) je minimum.]

3. Izracunaj:

(a) Ia =∫

dxx2+2x+3 ;

(b) Ib =∫x sin 2xdx;

(c) povrsino rotirajoce ploskve za y = 13x

3 na intervalu [0, 2].

[Resitev: Ia = arctan x+12 + C, Ib = −x2 cos 2x + 1

4 sin 2x + C in S =2π∫ 2

0x3

3

√1 + x4dx = π

9 (173/2 − 1).]

4. Podane so tocke A(4, 7, 3), B(−2, 3, 4) in C(2, 3,−2) ter premica p : x+13 =

y−5−1 = z + 1. Doloci ravnino π, ki jo dolocajo tocke A, B in C ter poisci

presecisce ravnine π in premice p.

[Resitev: π : 3x− 4y + 2z = 10 in π ∩ p = {(6, 83 ,

43 )}.]

33

5. izpit 2007/08

1. Poisci resitve homogenega sistema

2x+ 2y − 3z + 5t = 0−3x− y + z + 2t = 0

x+ y + z − t = 0x− y − 3z + 3t = 0.

[Resitev: x = y = z = t = 0.]

2. (e)Poisci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) = ex(2x+ y2).

[Resitev: v T (−1, 0) je minimum.]

3. Izracunaj:

(a) Ia =∫

ln(x2 + 1)dx;

(b) Ib =∫x2 5√x3 + 2dx;

(c) ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y2 = −8x+16 in y2 = 24x+48.

[Resitev: Ia = x ln(x2 + 1)− 2x+ 2 arctanx+ C, Ib = 518 (x3 + 2)6/5 + C

in p = 8√

63 .]

4. V trikotniku ABC izracunaj dolzine stranic, velikosti kotov in njegovoploscino, ce so A(1,−2, 3), B(3, 1, 2) in C(−1, 1,−3).

[Resitev: a =√

41, b = 7 in c =√

14, α = arccos 117√

14, β = arccos 3√

14√

41

in γ = π − α− β, p = 12

√565.]


y′ − 1xy = x.

[Resitev: linearna, y = Cx+ x2.]

Dodatna literatura• M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladic, Resene naloge iz Analize I, DMFA

1987, Ljubljana.

34

• B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize : z namigi, nasveti in rezultati,DMFA 2000, Ljubljana.

• P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja I. del,Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 2001, Ljubljana.

• P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja II. del,Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 1989, Ljubljana.

• I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/izpiti.pdf

• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletnaizdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/kolokviji.pdf

• I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza2/analiza2.pdf

• I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/izpiti.pdf

• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/kolokviji.pdf

• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2rvs/mat2rvs.pdf

• I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/izpiti.pdf

• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletnaizdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/kolokviji.pdf

• I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/analiza1.pdf

• I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 1, FERI, Maribor 2005, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/izpiti.pdf

• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 1, FERI, Maribor 2005, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/mat1rvs.pdf

• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/kolokviji.pdf

• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/mat2izr.pdf

35

Documents

Izpitne naloge iz Matematike 2 - mp.feri.um.simp.feri.um.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/izpiti.pdf · Zapi si ena cbo ravnine, ki jo dolo cajo te tri to cke in izra cunaj plo s