Gimnazija Pirot,Pirot

Maturski rad iz matematike na temu

IZVOD FUNKCIJE I PRIMENA IZVODA

Pirot, maja 2011. godine

1

Sadržaj:

ISTORIJAT.....................................................................................................3

IZVOD FUNKCIJE........................................................................................4

PRIRAŠTAJ FUNKCIJE, SREDNJA I TRENUTNA BRZINA. PROBLEM TANGENTE...............................................................................6

IZVOD ZBIRA, PROIZVODA I KOLIČNIKA..........................................8

IZVOD INVERZNE FUNKCIJE..................................................................9

POJAM IZVODA DRUGOG REDA..........................................................10

ISPITIVANJE MONOTONOSTI FUNKCIJA..........................................11

ODREDJIVANJE EKSTREMNIH VREDNOSTI FUNKCIJA...............14

KONVEKSNOST FUNKCIJE. PREVOJNE TAČKE..............................17

PRIMENA IZVODA U STEREOMETRIJI...............................................21

LITERATURA:..............................................................................................23

2

Istorijat

Pojam izvoda nastao je iz problema tangente krive linije I problema

brzine kretanja; prvi problem doveo je Lajbnica (1646-1716), a drugi problem doveo je Njutna (1642-1727), istovremeno do istog pojma, ali nezavisno od Lajbnica.

Mnogi matematičari pre Lajbnica su pokušavali da reše problem tangente; karakteristično za njih je to da su sadržali takve analitičke i geometrijske postupke koji pokazuju da u nastojanju rešavanja ovog problema tangente, nužno se rađao pojam izvoda; u takvim pokušajima se često javlja ideja da se tangenta krive linije shvati kao granična sečica kojoj teži sečica krive, kada se jedna od presečnih tačaka beskrajno približava po krivoj, drugoj presečnoj tački; osnovni problem na koji su prethodnici Lajbnica nailazili, kada su pokušali da reše problem tangente ili kada su ga delimično rešili (kao Dekart za algebarske krive) ležala je u prirodi računa sa beskrajno malim veličinama. Shvativši duboko značaj i smisao Dekartove promenljive, odnosno metode koordinata, a pri tom ovladavši u osnovi prirodnog računa sa beskonačno malim veličinama, Lajbnicu je definitivno pošlo za rukom da reši problem tangente uvodeći pojam izvoda odnosno diferencijala (Nova Methodus pro maximus itenigue tangetibus et singulare pro illis calculi genus 1684). Shvatio je tangentu kao sečicu na način unapred opisan. Istovremeno sa Lajbnicom i Njutn je došao do pojma izvoda studirajući problem brzine kretanja. U svojoj raspravi Metod fluxia i beskrajnih redova, Njutn se najpre bavi rešavanjem problema pronalaženja brzine kretanja u datom trenutku vremena kada je pređeni put poznat kao funkcija vremena. Veličina koja, za njega, neprekidnozavisi od vremena Njutn naziva fluentom (fluere=teći) a brzinu kojom se menja fluenta u toku vremena fluxia (fluxio=strujanje, tečenje) kao tipičan primer, Nutn uzima put pokretne tačke. Dakle, Njutn je došao do pojma fluksije, odnosno izvoda, studirajući problem kretanja, što je odgovaralo razvoju mehanike tokom XVII i XVIII veka.

3

Izvod funkcije

Predpostavimo da je funkcija f (x) definisana u nekom intervalu (a,b) i da je tačka X0 iz intervala (a,b) fiksirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku X1

iz tog intervala (a,b). Ova tačka X1 može da se pomera levo desno, pa ćemo je zvati promenljiva tačka intervala (a,b). Razlika X1 – X0 pokazuje promenu ili priraštaj vrednosti nezavisno promenljive X i najčešće se obeležava sa ΔX = X1 – X0 Razlika f (X1)- f (X0) predstavlja odgovarajuću promenu ili priraštaj funkcije f (x) i obično se obeležava sa Δ f (x)= f (X1)- f (X0) ili ako je funkcija označena sa y=f (x) može se zapisati: Δ y = f (X1)- f (X0).

Evo kako bi to izgledalo na slici:

4

Količnik

naziva se srednjom ili prosečnom brzinom promene funkcije u intervalu [X0,X1] Razmišljamo šta će se dešavati kada se tačka X1 približava tački X0?( то јеst kad X1 teži X0) Ako ta granična vrednost postoji normalno je da nju uzmemo za brzinu promene funkcije u tački X0.

Brzina promene funkcije f (x) u tački X0 u matematici se naziva izvod funkcije i obeležava se sa :f (X0) ili sa y` . Dakle definicija izvoda je (često se umesto tačke X0 stavlja samo X pa definicija je):

Rečima ova definicija bi bila:

Izvod funkcije jednak je graničnoj vrednosti količnika priraštaja funkcije i priraštaja nezavisno promenljive, kad priraštaj nezavisno promenljive teži nuli.

5

Priraštaj funkcije, srednja i trenutna brzina.

Problem tangente

Posmatramo telo (tačku) koja se pravoliniski kreće. Neka je S=S(t) funkcija koja daje zavisnost prećenog puta od vremena. Pod priraštajem puta u vremenskom intervalu [t0 t1 u oznaci ∆S podrazumeva se razlika S(t1)-S(t0) (u stvari pređeni put u tom vremenskom intervalu) . Dakle,imamo oznaku ∆S=S(t1) - S(t0) Ako stavimo da je t1– t0 = Δ t, dobićemo t1=t0 +Δ t, pa je ∆S=S(t0 +∆t)-S(t0) Srednjom brzinom kretanja tela u vremenskom intervalu [t0,t1] naziva se odnos pređenog puta ∆ S, koji odgovara tom vremenskom intervalu, i proteklog vremena t1 – t0 = ∆t sledi:

A potpuno analogno možemo posmatrati i srednju brzinu promena funkcije y =ƒ(x) itervalu [x0, x0+∆x] ( pri čemu ∆x može biti i negativna veličina ) kao količnik priraštaja funkcije (u tački x0) ∆y=f(x0+∆x) –f(x0) i odgovarajućeg priraštaja ∆x nezavisno promenljive:

Međutim vrednost srednje brzine kretanja tela u intervalu [t0, t0+∆t] ne daje dovoljno informacija o karakteru kretanja u pomenutom intervalu . U koliko je vremenski interval veći utoliko je predhodni zaključak jasniji . Zato je bolje posmatrati vrednost srednje brzine za male promene vremena ∆t . Ako dopuštamo da se interval [t0 ,t0+∆t] sužava (za fiksirano t0) to jest ako ∆t 0, tada možemo posmatrati graničnu vrednost.

6

Geometrijska interpretacija izvoda:

Posmatrajmo sečicu S koja prolazi kroz tačke A(x0,f(x0)) i B(x1,f(x1)) . U situaciji kada se Δx smanjuje, odnosno x1 se sve više približava tački x0, ona sve manje i manje seče datu krivu y=f(x) dok u jednom graničnom

trenutku ne postane tangenta t te krive!

Tada količnik priraštaja funkcije i priraštaja nezavisno promenljive predstavlja koeficijent pravca k, to jest tangens ugla koji tangenta zaklapa sa pozitivnim smerom x ose.

7

= tg α

Izvod zbira, proizvoda i količnika

Teorema: Ako svaka od funkcija u i v ima izvod u tački x, tada funkcija Cu(c= const.) i zbir, razlika i količnik funkcija u i v takodje imaju izvod u tački x i pri tom važe formule:

a) [Cu(x)]’ = Cu’(x), C = const.b) [u(x) ± v(x)]’ = u’(x) ± v’(x)c) [u(x)*v(x)]’ = u’(x)*v(x) + u(x)*v’(x)d) [u(x)/v(x)]’ = [u’(x)*v(x) – u(x)*v’(x)] / v²(x); v(x) ≠ 0

Primer 1:

y(x) = 3x³ - 4x5 - 7x2 – 1

y’ = 9x2 – 20x4 – 14x

Primer 2:

y = exsin x

y’ = (ex)’sin x + ex(sin x)’ = exsin x +excos x = ex(sin x + cos x)

Primer 3:

y = tg x

8

Izvod inverzne funkcije

Neka funkcija f ima prvi izvod različit od 0 na nekom intervalu i neka je g njena inverzna funkcija . Tada i g ima izvod i pri tome važi:

Dakle, za postojanje inverzne funkcije postoje 3 uslova:

1. funkcija f ima prvi izvod u tački x0 Є (a,b)2. funkcija f je monotona na intervalu (a,b)3. prvi izvod funkcije f ’(x0) je različit od nule

Tada postoji izvod inverzne funkcije x = f -1(y) u tački y0=f(x0) i jednak je:

Formule su iste samo je drugačiji način zapisivanja.

Pojam izvoda drugog reda

9

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u tački x intervala (a,b) t.j. neka u tački x(a,b) postoji njen izvod

tada je f '(x) u opštem slučaju opet funkcija od x , ako postoji granična vrednost

pa tu graničnu vrednost nazivamo izvodom drugog reda ( drugim izvodom ) funkcije f(x) za razliku od izvoda y'=f '(x) , koji nazivamo izvodom prvog reda funkcije f(x) . Izvod drugog reda

obeležavamo sa y'' i f ''(x) , dakle

Po definiciji , drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda .

Primeri : a) f(x)=x3 → f '(x)=3x2 → f ''(x)=6x

b) f(x)=sin x → f '(x)=cos x → f ''(x)= - sin x

Ispitivanje monotonosti funkcija

Neka je neprekidna funkcija y=f(x) rastuća u intervalu (a , b ) . Tada je , kad x raste u tom intervalu (t.j. kad je ∆x>0 ) odgovarajući priraštaj

10

funkcije uvek pozitivan . ∆y=f(x+∆x) – f(x)>0 za ∆x >0 , tako da je i

>0pa prema tome , ako prvi izvod postoji on kao granična vrednost ovog količnika ne može biti negativan .

y'=

Dakle , ako diferencijabilna funkcija y=f(x) raste u intervalu tada u tom intervalu f ' (x) . Obrnuto,ako je za x(a , b) f '(x) ( jednakost važi samo za pojedinačne tačke intervala),tada je u intervalu (a , b ) funkcija y=f(x) rastuća

Neka je sada neprekidna funkcija y=f(x) opadajuća u intervalu (a,b) Tada je , kad x raste (kad ∆x >0 odgovarajući priraštaj funkcije uvek negativan .

∆y=f (x+∆x) – f(x)<0 za ∆x>0 tako je pa prema tome ako prvi izvod

postoji , on kao granična vrednost ne može biti pozitivan

Dakle , ako diferencijabilna funkcija y=f(x) opada u intervalu (a ,b) tada je u tom intervalu f '(x) .

Obrnuto , ako je za x(a ,b) f ' (x) tada je u intervalu (a,b) funkcija y=f(x) opadajuća .

Primeri : Odredi intervale rastenja i opadanja funkcije:

a) y=x2 y1=2x sada je neosporno jasno da

x>0 y1>0 , što znači da za te vrednosri x funkcija raste

11

x<0 y1<0 , što znači da za te vrednosti x funkcija opada

x=0 y1=0 , t.j. u toj tački funkcija stagnira ( to je dakle stacionarna tačka )

b) y=sin x u intervalu [0,]

y ' =cos x , a za x [0 , ) je cos x>0 dok je za x( ] cos x<0

i cos

data funkcija raste za sve x [0,

stagnira za x=

i opada za x( , ]

c) y=

y1=

x3 –3x2 , x2(x-3) , x[ 3,+)

x-2>0 , x>2 a pošto je x>3 sve je pozitivno i funkcija je rastuća

d) y=xx, x>0

, x=e-1=

12

y'>0 za funkcija raste

y'<0 za funkcija opada

e) y=

y1=

x2-4x+4>0 - (x2-6x+8)=0 , x1=2 x2=4

y' <0 za x(- , funkcija opada

y' >0 za x(2,4) , funkcija raste

Odredjivanje ekstremnih vrednosti funkcija

Funkcija y=f(x) ima u tački x0 maksimum , ako je za sve x ( x0) iz neke dovoljno male okoline tačke x0 f(x0) >f(x), što znači da levo od x0 funkcija raste a desno od te tačke funkcija opada:

Za ∆x<0 je f(x0) - f(x0+∆x)<0

Za ∆x>0 je f(x0+∆x) – f(x0)>0

13

Teorema 1 : Funkcija y=f(x) diferencijabilna u nekoj okolini tačke x0 ima za x=x0 ekstremnu vrednost ako je f '(x0)=0 i u tački x0 prvi izvod , f '(x) menja znak ; i to:

a) f(x) ima za x=x0 maksimum ako je za x<x0 f '(x)>0 , a za x>x0 f '(x)<0b) f(x) ima za x=x0 minimum ako je za x<x0 f ' (x)<0 , a za x>x0 f '(x)>0. Napomena: Neprekidna funkcija y=f(x) ima u tački x0 ekstremnu vrednost ako u toj tački njen prvi izvod f '(x) menja znak . Pritom se karakter ekstremne vrednosti f(x0) odredjuje na osnovu znaka prvog izvoda za x<x0 i x>x0 u okolini tačke x0 . Primeri:

a) funkcija y = x2 +1 ima izvod y' = 2x koji u tački x0 = 0 menja znak , i to za x<0 je y'<0 a za x>0 je y'>0 prema tome u tački x0 =0 funkcija y=x2+1 funkcija ima minimum y(0)=1 .

b) y = y' =

prema tome , u tački x0=0 u kojoj data funkcija nije diferencijabilna , ona ima minimum y (0)=0

Neka je sada y=f(x) funkcija diferencijabilna u intervalu koji sadrži tačku x0 . Za takve funkcije važi sledeće .

Teorema 2: Ako diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u tački x0 ekstremnu vrednost , tada je u toj tački f ' (x0) =0 .

Zaista , ako bi njen izvod bio f ' (x0) 0 tada bi funkcija f(x) bila u tački x0 rastuća , odnosno opadajuća , a to znači da ona tada nebi imala ekstremum u toj tački .

Geometrijski , teorema 2 znači , da ako u tački x0 maksimuma ili minimuma diferencijabilna funkcija f(x) ima izvod f 1 (x0) =0 tada tangenta krive u toj tački paralelno osi Ox . Medjutim obratno tvrdjenje nije uvek tačno

14

, tj. iz tvrdjenja da je f(x) =0 nesledi uvek da je f(x0) ekstremna vrednost funkcije f(x) .

Primeri:

1. Nađi estremne vrednosti funkcija

a) y=x2-5x+6 y1=2x – 5 ,ima samo jednu x0=

za x< , y1(x)<0 y(x) funkcija opada

za x= , y1(x)=0 funkcija stagnira

za x> , y1(x)>0 funkcija raste

zaključujemo da data ima minimum u x0= ; min y (x)=y( )=

b) y=4x4 - 2x2 +3 , y’=16x3 - 4x y'=0 16x3 - 4x=0 4x (4x2 –1)=0 x=0 4x2=1

x=

y min(

y max y(0)=3

c) y=(x-1) e3x

y'=e3x +3e3x(x-1)=e3x(1+3x-3)=e3x(-2x+3x)

e3x(3x-2)=0, x=

y raste za x( y opada za x(

y min , x=

d) Odedi najveću i najmanju vrednost funkcije y= na intervalu [

15

f( f(2)= max

y'=

x=1 , f(1)= , min

Konveksnost funkcije. Prevojne tačke

Definicija 1: neka je funkcija f diferencijabilna u intervalu (a,b). Za funkciju f se kaže da je konveksna nadole (nagore) u intervalu (a,b) ako se deo grafika y=f(x) , koji odgovara tom intervalu , nalazi iznad (ispod) bilo koje svoje tangente .

Npr. funkcija y=x2 je konveksna nadole , a funkcija y= - x2 nagore .

Teorema 1:Ako funkcija f u intervalu (a,b) ima pozitivan drugi izvod , tada je ona u tom intervalu konveksna nadole , a ako je drugi izvod negativan , onda je funkcija konveksna nagore .

16

Konveksna na donju stranu

Definicija 2: Ako za tačku x0 postoji okolina (x0 – δ, x0 + δ) takva da je funkcija f u intervalima (x0 – δ, x0) i (x0, x0 + δ) ima različitu konveksnost, tada se tačka P( x0, f(x0)) naziva prevojna tačka grafika funkcije f .

Teorema 2: Ako je P(x0, f(x0)) prevojna tačka funkcije f, tada je ili f ’’ (x0) =0 ili f ’’ (x0) ne postoji.

Prevojne tačke grafika neke funkcije određujemo tako što najpre odredimo tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili uopšte i ne postoji, a zatim proveravamo da li levo i desno od te tačke funkcija ima različitu konveksnost, u slučaju da je tako onda je to prevojna tačka .

17

Konveksna na gornju stranu

Sa grafika se vidi da je funkcija do tačke a konveksna na donju stranu dok posle tačke a postaje konveksna na gornju stranu iz čega sledi da funkcija u tački a ima prevojnu tačku.

Primer 1 :U pogledu konveksnosti ispitaj funkciju:

y=x3-x2+1

nalazimo da je y' =3x2-2x i y''=6x-2=6(x- )

ako x tada je y'' <0 i u tom intervalu je funkcija konveksna nagore ;

ako je x ( tada je y'' >0 t.j. u intervalu funkcija je konveksna nadole .

Primer 2 : Ispitati konveksnost i odrediti prevojne tačke funkcije:

y=

y'=

f(x)=0 x= x=

f 11(x)

18

Prevojna tačka

f(x) u intervalu od U je konveksna na gornju stranu f(x) u intervalu od U je konveksna na donju stranu

Tačke P1 (- , f (- )) i P2 ( , f ( )) su prevojne tačke jer je u njima fukcija definisana, a levo i desno od njih je razlicita konveksnost funkcije.

Primer 3 : Odrediti prevojne tačke funkcije:

y=x4-6x2+4 y1=4x3-12x

y'' =12x2-12=12(x2-1)

y(x)'' >0 za , a y(x)11<0 za

Prevojne tačke su x1=1 x2=-1, dakle koordinate prevojne tačke P1 su:

x1 =1 i y1= x14-6x1

2+4=1-6+4=-1

a tačkeP2 su:

x2=-1 i y2= x24-6x2

2+4=1-6+4=-1

Primer 4 : Ispitati konveksnost i odrediti prevojne tačke funkcije:

y(x)=ln(1+x2)

y1(x) = y11(x) =

y'(x)' >0 -1<x<1 funkcija konveksna na donju stranu

y''(x)<0 (- ,-1) funkcija konveksna na gornju stranu

Prevojne tačke imaju koordinate P1(-1,f (-1)) a P2(1,f (1)).

Primer 5 : Odrediti prevojne tačke funkcije :

y(x)=arctgx-x y1(x)=

y11(x)= - (

19

- ↔ x=0 , y(0)=arctg0-0=0

y11(x)>0 za x<0 funkcija konveksna na donju stranu

y11(x) za x>0 funkcija konveksna na gornju stranu

U nuli funkcija ima Prevojnu tačku.

Primena izvoda u stereometriji

Stereometrija je deo elementarne geometrije koja izučava svojstva figura smeštenih u prostoru. Izvodi se koriste u stereometriji prilikom upisivanja nekog tela u telo za odredjivanje minimalnih ili maksimalnih karakteristika nekog tela (zapremine, visine, površine)...

Primer 1 : U loptu poluprečnika R upisati kupu maksimalne zapremine:

r2 = R2 – (H-R)2 = R2 - H2 + 2HR – R2

20

R

R

H-R

r

r2 = 2HR – H2

V = 1/3 r2Hπ = π/3 ( 2HR – H2 )H = π/3 (2H2R – H3 ) = f (H)

f ‘ (H) = π/3(4HR – 3H2)

f ‘ (H) = 0 ↔ H(4R – 3H) = 0 H = 0 v 4R – 3H = 0 H=4R/3

r2 = 2*4R2 /3 – (4R/3)2 = 8R2/3 – 16R2/9 = 8R2/9

Primer 2 : Oko lopte poluprečnika R opisati kupu minimalne zapremine:

Δ ABS Δ CDS

AB : CD = BS : DS → r : R = H :

21

R

R

H-R

rA B

C

D

S

f (H)

f ‘ (H) =

f ‘ (H) = 0 ↔ H = 0 v H = 4R

r = RH

V =

Literatura:

1. Dr. Obradović Milutin, Dr. Georgijević Dušan, Matematika sa zbirkom zadataka za IV razred srednje škole, V izdanje, zavod za uđzbenike i nastavna sredstva Beograd 1994 godine

2. http://www.matematiranje.com (http://www.matematiranje.com/Visa%20matematika/izvod_funkcije.pdf)

3. http://www.scribd.com(http://www.scribd.com/doc/32766740/izvod)

22