Université de RENNES 1 Institut de Recherche sur 1 'Enseignement des Mathématiques

Campus de Beaulieu - Avenue du Général Leclerc 35042 RENNES CEDEX

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I.R.E.M. de RENNES AVRIL 1993

Université de RENNES 1 Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques

Can1pus de Beaulieu - Avenue du Général Leclerc 35042 RENNES CEDEX

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I.R.E.I\t de RENNES AVRIL 1993

La saisie et la mise en page de ce document ont été effectuées par Danièle QUENTIN (IREM­

RENNES).

Le tirage de ce document a été effectué par Françoise LE BESCOND (IREM - RENNES) et la

reliure par Suzanne BOURON (IREM- RENNES).

ISBN 2-85728-003-3

SOMMAIRE

l.OGJICCliJEJL "LIB GJEOMJBTRJE" .................................................... 2

PREMIER EXEMPLE "Un problème de lieu"........................................... 3

DEUXIÈME EXEMPLE "Montrer qu'une droite passe par un point fixe" ...... 9

TROISIÈME EXEMPLE "Une figure difficile à réaliser à la main, mais facile à faire avec le Géomètre et qui peut être modifiée à volonté" ....... ........................ ............................. ............................ 10

QUATRIÈME EXEMPLE "Angles et cocyclicité (en terminale)" ................... 11

CINQUIEME EXEMPLE "Ensemble des points M tels que MF = MH" .......... 12

SIXIÈME EXEMPLE "Point de Torricelli" . . .... ... .. . . . . . ....... ..... ..... ......... ... .. t4

SEPTIÈME EXEMPLE "Le spectaculaire peut motiver les élèves" ............... 15

AUTRES EXEMPLES UTILISANT "Le Géomètre" ...................................... 16

JLJE JLOGliCJIJBJL ~GRAJPJBIJIX" ......................................................... 19

PREMIER EXEMPLE "Variations d'une fonction - Signe de la dérivée" ...... 19

DEUXIÈME EXEMPLE "Reconstitution d'une courbe à partir de ses tangentes" ......................... 21

TROISIÈME EXEMPLE "Courbe paramétrée" ........................................... 22

QUATRIÈME EXEMPLE "Hypocycloïde (rapport des rayons irrationnel)" ... 23

Le travail du groupe a consisté à se demander de quelle manière des logiciels ne

demandant aucune connaissance en informatique, tels que LE GEOMETRE ou GRAPHIX par

exemple, peuvent aider le professeur de mathématiques dans son enseignement

ll nous est apparu que ces logiciels peuvent être utilisés de deux façons. La première

consiste à organiser des séances de travaux dirigés en salle informatique. La deuxième consiste à

amener en cours l'ordinateur associé à un écran rétroprojectable.

C'est dans l'optique de cette deuxième utilisation que nous avons surtout travaillé.

Nous vous proposons ci-dessous quelques exemples où il nous a semblé que

l'ordinateur est un outil dont il serait dommage de se priver.

Le Groupe:

M. CHARPENTIER - L. ECHIV ARD -G. HENRY- Y. KERGOZIEN- Y. LAZAR­

J.P. LE BRAS- B. LEFEUVRE- M. VIALLARD-

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PREMIER EXEMPLE

!un problème de Heu!

Deux cercles (C1) et CC2) de diamètre [AB] et [AC] sont tangents intérieurement.

BE [AC]. Un point M décrit (Cl).

La droite (AM) coupe CC2) en N. Les droites (CM) et (BN) se coupent en!.

Déterminer le lieu du point 1 lorsque M décrit (Cl).

Voici quelques figures obtenues à l'écran.

Elles sont proposées à l'observation sans commentaire.

1 Figure N° tJ

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3

Après avoir fait observer de nombreuses figures, les élèves devinent que ce lieu est un cercle.

On peut alors faire apparaître le lieu.

4

5

COMMENTAIRE

Le problème est posé de façon dynamique et les élèves découvrent tout de suite l'objectif avant de se perdre dans le détail des questions préliminaires.

Cette activité suppose que les élèves aient quelques connaissances sur les homothéties échangeant deux cercles.

Ils peuvent alors être amenés à considérer que I est l'image de M dans une homothétie de centre C.

problème: On peut alors leur proposer l'énoncé détaillé suivant qui leur permettra de résoudre le

1 - Soit h l'honwthétie de centre A qui transforme Ben C. Quel est son rapport en fonction des rayons, R du grand cercle, r du petit cercle.

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Exprimer NC en fonction de MB

2 - Soit h' l'homothétie de centre I qui transforme Men C. Soit k son rapport.

~ __, Exprimer NC en fonction de BM et de k. En déduire k.

__, R ___, 3 - Montrer que CI== R+r CM

4- Conclure.

Variante sur le même thème.

Il est donné à chaque élève un document comportant l'énoncé initial et la figure N° 1. Après un certain temps de réflexion personnelle apparaissent quelques propositions.

En voici quelques exemples :

Quelle conjecture peut-on faire ?

6

Lorsque M décrit C1, le point I intersection de [BN] et [MC] est élément du cercle C' de centre B et de rayon [BI].

Quelle conjecture peut-on faire ?

Construction de plusieurs figures quand M est sur C1.

Les différents points I sont sur un cercle de centre B.

Les différents points I décrivent une forme ovale.

Quelle conjecture peut-on faire ?

I est sur un cercle C de centre élément de [AC] et de rayon?

B n'est pas le centre de ce cercle.

7

PHASE 2

Après discussion entre les élèves, on utilise le géomètre pour informer ou confirmer leurs conjectures.

A leur demande, il a été possible de leur montrer que la modification du rapport des rayons n'a pas eu d'effet sur la nature du lieu.

PHASE 3

Donner aux élèves le texte de la page 6.

8

DEUXIEME EXEMPLE

1 Montrer qu'une droite passe par un point fix el

Soit un triangle ABC isocèle enA.

Me (BC). On projette M sur (AB) suivant (AC) en E.

On projette M sur (AC) suivant (AB) en F.

On construit le parallélogramme MFAE.

Montrer que, lorsque M décrit (BC), la médiatrice de [EF] passe par un point fixe 0.

En utilisant des positions particulières de M (en B ou en C) on est amené à conjecturer que ce point est le centre du cercle circonscrit.

9

TROISIEME EXEMPLE

Une figure difficile à réaliser à la main, mais facile à faire avec le Géomètre et qui peut être modifiée à volonté

Théorème de Desargues :

Soit ABC et A'B'C' deux triangles d'un plan P tels que les droites (AA'), (BB') et (CC') soient concourantes en un point I.

On suppose que les droites (BC) et (B'C') se coupent en At, (CA) et (C'A') en Bt, (AB) et (A'B') en Ct.

Prouverl'alignementdespointsAt, Bt et Ct.

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QUATRIEME EXEMPLE

1 Angles et cocyclicité (en terminale)!

Utilisation de la touche mesure du géomètre.

COMMENTAIRE

Illustration du cours qui montre l'égalité d'angles modulo rr.

1 1

"Mathématiqu~s etlnfor171atÎqpe aqLycée".

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CINQUIEME EXEMPLE

ENSEMBLE DES POINTS M TELS QUE MF MH

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13

SIXIEME EXEMPLE

/Point de Torricellij

On construit exterieurement à un triangle ABC les points A', B' etC' tels que:

ABC', BCA' et CAB' soient équilatéraux.

Quelles conjectures peut-on faire sur [AA'] , [BB1 et [CC1 ?

14

·· ..

SEPTIEME EXEMPLE

1 Le spéctaculaire peut motiver les élèves!

Deux droites (D) et (ô) se coupent perpendiculairement en 0.

Un point M décrit un cercle (C) de centre O. M'est un point de _.........__ ce cercle tel que MOM' soit droit.

On projette orthogonalement M et M' sur (D) et (ô) respectivement enH,K,H' etK'.

Les droites (HK) et (H'K') se coupent enI.

Quel est le lieu de I lorsque M décrit (C) ?

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AUTRES EXEMPLES UTILISANT "LE GEOMETRE"

On donne 4points fixes Ao, A1, A2, A3.

Etant donné un point quelconque M, on construit Mo, M 1 , M2, M3, M4 milieux respectifs de [MAo], [MoA1J, [M1Ail, [M~3], [M~o].

a) Déterminer M pour que M4 =M. b) Si M4 -:~: M, poursuivre la construction.

Que se passe-t-il ?

On donne 2 droites parallèles (D) et (D') et 2 points 0 et A non situés sur les droites.

Construire M sur (D) et M' sur (D') tels que AM= AM' et (MM') passe par O.

On donne 2droites sécantes (D) et (D')et 2pointsA et B.

Déterminer M sur (D) et M' sur (D') tels que ABM'M soit un prallélogramme.

Soit un triangle ABC.

Etant donné un point Mo sur [BC], on construit M1, M2 , M3, M4 etc ... ,projetés orthogonaux respectifs de Mo sur [AB] , de M1 sur [AC] , de M 2 sur[BC] etc ...

Conjectures.

i 6

Problème de l'équerre:

Dans la figure ci-dessous le triangle rectangle ABC est indéformable, mais les sommets B et C sont mobiles sur les axes.

y

Quel est le lieu du point A ?

c~

Etant donné 2 points fixes A et B on définit la transformation 1 du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M' délinipar: --t --t --t MM'=2MA+MB

Quelle est la nature de 1 ?

Même problème avec 3 points fixes A, B et Cet --t --t --t --t MM'=2MA+MB+MC

--t --t --t --t puis avec MM'= 2 MA- MB- MC

1 7

Il permet de tracer toutes les courbes du programme et de faire apparaître par exemple en même temps la courbe représentative d'une fonction et de sa dérivée.

PREMIER EXEMPLE

Variations d'une fonction~ Signe de la dérivée!

Courbe numéro : 1 1 C;N 1 18/26 1 Insertion 1 Coordonnées Cartésiennes

Ensemble d'étude: [-10;10]

v= x/\3+3*x2-9x+5

unités (cm) Ox: 1 Oy:O.l trait : 1 couleur: 0 hachure: 0 pas: 0.1

Position de l'origine en cm à partir du coin en bas à gauche: xo = 13 YO = 9

Longueur des axes en cm : x positif= 13 x négatif= 13 ypositif = 9 ynégatif = 9

FJ lance Je tracé CTRL N annule paramètres CTRL I paramètres auto

l CTRL B

kO= k 1 = k2= k3= k4=

copie tableau paramètres CTRL K retour tableau des commandes ESC k5= k 10 = k6= kll= k7= k 12 = k8= k 13 = k9= k 14 =

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1 9

Courbe numéro: 2 1 C/N 118/261 Insertion 1 Coordonnées Cartésiennes

Ensemble d'étude: [-10;10]

y= der(x"'3+3*x2·9*x+5)

unités (cm) Ox : 1 Oy: 0.1 trait : 1 couleur: 0 hachure: 0

Position de l'origine en cm à partir du coin en bas à gauche: xo = 13 Yo =9

Longueur des axes en cm : x po si tif = 13 x négatif= 13 ypositif = 9

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DEUXIEME EXEMPLE

!Reconstitution d'une courbe à partir de ses tangentes!

Courbe numéro: 1 1 C/N 118/261 Insertion 1 Coordonnées Cartésiennes

Ensemble d'étude: [-10;10]

y = 2*k(x-k)+k"2-5

unités (cm) Ox: 2 Oy: 0.1 trait : 1 couleur: 0 hachure: 0 pas: 5.00E-02

Position de l'origine en cm à partir du coin en bas à gauche : xo = 13 Yo=9

Longueur des axes en cm : xpositif = 13 x négatif= 13 ypositif = 9 ynégatif= 9

Fl lance le tracé CTRL N annule paramètres CTRL I paramètres auto

CTRL B copie tableau paramètres CTRL K retour tableau des commandes ESC

k 0 = -5 k 5 = -2.5 k 10 = 0 k 15 = 2.5 k20=5

k 1 = -4.5 k 6 = -2 k 11 = 0.5 k 16 = 3 k21 =

k 2 = -4 k7=-1.5 k 12 = 1 k 17 = 3.5 k22=

k 3 = -3.5 k 8 = -1 k 13 = 1.5 k 18 = 4 k23 =

k 4 = -3 k 9 = -0.5 k 14 = 2 k19=4.5 k24=

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21

TROISIEME EXEMPLE

1 Courbe paramétrée!

Construction de la courbe de l'exemple 7 traité dans "LE GEOMETRE"

Entrée des données

Courbe numéro : 2 1 Insertion 1 Coordonnées Cartésiennes

Ensemble d'étude : [0,2*n]

x(t) = sin(t)*cos(t)*(sin(t)-cos(t))

y(t) = sin(t)*cos(t)*(sin(t)-cos(t))

unités (cm) Ox: 6 Oy:9 trait : 1 hachures: 0 pas: 0.1

Position de l'origine en cm à partir du coin en bas à gauche: xo = 12 Yo=7

Longueur des axes en cm : xpositif = 12 x négatif= 12 ypositif = 8 ynégatif = 7

Sortie du dessin

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QUATRIEME EXEMPLE

1 Hypocycloïde (rapport des rayons irrationnel)!

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23

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Ces logiciels sont simples d'emploi. Il n'y a pas de langage informatique à connaître.

S'en servir n'est pas plus difficile qu'utiliser un minitel. Les manipulations sont rapides et simples

ce qui permet leur emploi à la fois en cours par l'enseignant et en travaux dirigés par les élèves.

L'utilisation pédagogique de l'ordinateur en classe n'est pas un objectif en soi, mais un

outil pédagogique en plus.

-n rend les élèves actifs.

- Il est une aide à la réflexion et la recherche pour les élèves.

En utilisant des logiciels tels que le GEOMETRE ou GRAPHIX nous avons là

d'excellents outils de conjecture.

24

Imprimé et édité par l'l.R.E.M. de RENNES

Dépôt Légal : Deuxième Trimestre 1993 N° de Publication : 9304

I.R.E.M. de RENNES - Université de RENNES 1 Campus de Beaulieu • 35042 RENNES CEDEX

Tél : 99 28 63 42

1 FICHE DUBLIREM

TITRE: MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE AU LYCEE

I.R.E.M. RENNES

AUTEUR : Groupe de Recherche "Mathématiques et Informatique au Lycée"

DATE : AVRIL 1993

NIVEAU : Seconde - Première S - Terminale C

PUBLIC CONCERNE : Professeurs de Mathématiques de lycées

MOTS-CLES :

Informatique : Le Géomètre ,· Graphix

RESUME:

Activités en classe utilisant les logiciels Le Géomètre et Graphix dans les

différentes classes du lycée.

FORMAT NOMBRE DE PAGES PRIX TIRAGE

21 x 29,7 24 20,00 F 350

ISBN 2-85728-003-3

Ex.