queLS prObLemeS A L’ecOLe eT Au cOLLege pOur DeveLOpper …numerisation.irem.univ-mrs.fr/WR/IWR16019/IWR16019.pdf · N° 105 - octobre 2016 connaissances dans tous les domaines

queLS prObLemeS A L’ecOLe eT Au cOLLege pOur

DeveLOpper DeS cOmpeTenceS mAThemATiqueS ?

Christine ChoquEtFormatrice ESPE, académie de nantes

irem de nantes, CrEn 1

reperes - irem. N° 105 - octobre 2016

connaissances dans tous les domaines desmathématiques, elle est également le moyend’en assurer une appropriation qui en garan-tit le sens » (mEn, 2015, p. 198). Cette deman-de n’est pas nouvelle pour les enseignants despremier et second degrés. En effet, la résolu-tion de problèmes était déjà au cœur des pro-

Introduction

En 2015, la réforme du collège en Francepropose de regrouper les niveaux scolaires descours moyens de première et deuxième années(Cm1/Cm2) et de la classe de sixième en unmême cycle 32 (mEn, 2015). Ce regroupementest accompagné d’instructions officielles pourl’enseignement des mathématiques destinées àla fois aux professeurs des écoles et aux pro-fesseurs de mathématiques. Ces programmes offi-ciels centrent l’enseignement des mathéma-tiques sur la résolution de problèmes qui « […]constitue le critère principal de la maîtrise des

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Cet article est également consultable en ligne surle portail des IREM (onglet : Repères IREM) :http://www.univ-irem.fr/ )

1 Centre de recherche en Education de nantes2 Le cycle 2 regroupe les niveaux de la classe préparatoi-re (CP) et des cours élémentaires de première et deuxiè-me années (CE1/CE2) de l’école élémentaire. Le cycle 4regroupe les classes de cinquième, quatrième et troisièmedu collège.

Résumé : Les instructions officielles de l’année 2015 amènent les professeurs des écoles des classesde Cm1/Cm2 et les professeurs de mathématiques des classes de 6ème de collège à travailler dansun même cycle 3. L’enjeu pour les élèves est la construction de connaissances et, surtout, le déve-loppement de six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonneret communiquer. Cet article propose une analyse de différents énoncés de problèmes s’inspirant d’unemême situation (La chèvre, mEn 2011), ces énoncés ayant été relevés dans diverses ressources dis-ponibles. Les résultats montrent qu’ils ne conduisent pas à développer les mêmes compétences chezles élèves, ce qui permet d’attirer l’attention des enseignants des premier et second degrés sur lanécessité d’une analyse a priori des problèmes avant de les choisir pour la classe. une expérimen-tation dans une classe de Cm2 permet d’appuyer ces résultats et de repérer les difficultés rencon-trées par les élèves et leur professeur lors de la résolution d’un problème de ce type.


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DeveLOpper Des cOmpeTeNces mAThemATiques ?

grammes de mathématiques des années 2002 et2008. En revanche, en 2015, l’accent est par-ticulièrement mis sur le développement chez tousles élèves « des six compétences majeures desmathématiques : chercher, modéliser, représenter,calculer, raisonner et communiquer » (Ibid., p.198). Celles-ci sont déclinées sous forme d’uneliste de verbes et sont explicitées pour le cycle3 (Cf. annexe 1) ; il nous semble par ailleurs impor-tant de noter que les mêmes verbes sont utili-sés dans les programmes de mathématiques ducycle 2 aux classes de lycée afin de garantir unecontinuité dans leur développement tout aulong de la scolarité obligatoire (mEn, 2015).

Le développement de ces compétencesliées à l’enseignement des mathématiques est,depuis quelques années, à l’origine de nombreusesrecherches. Plusieurs groupes irem (dont legroupe Ditactic 3 auquel nous participons)travaillent à l’élaboration et à la mise en œuvrede situations permettant de les développer à l’écoleélémentaire comme au collège (Cabassut, 2010 ;Paillet, 2011 ; Le Beller et Lebaud, 2014).

L’objet de cet article est de s’interrogersur des moyens de développer ces compétencesau cycle 3 (mEn, 2015). il s’agit pour nousd’attirer l’attention des professeurs (desécoles et de mathématiques de collège) surl’importance du choix des problèmes per-mettant ce développement et sur leur mise enœuvre en classe. Pour cela, nous avons pour-suivi l’analyse d’éléments présentés dansun atelier 4 lors des journées académiquesde l’irem de nantes (avril 2014) en nousappuyant sur des ressources facilement dis-ponibles pour les enseignants des premier etsecond degrés ainsi que sur une expérimen-tation menée dans une classe de Cm2.

Dans la première partie de l’article, nousrevenons sur deux problèmes proposés dansdes documents d’accompagnement des pro-grammes du collège (mEn, 2007, 2011) etidentifions les connaissances et compétencesmathématiques en jeu dans leur recherche/réso-lution. La deuxième partie est dédiée à l’étudecomparative de différents énoncés proches deces deux problèmes, repérés dans des manuelspour la classe de 6ème, des sites internet et deuxdocuments pédagogiques destinés aux profes-seurs. La troisième partie présente l’analysed’une expérimentation menée dans une classede Cm2. nous identifions notamment les dif-ficultés rencontrées par les élèves lors de larecherche/résolution du problème ainsi quecelles rencontrées par l’enseignant(e) lors de lamise en commun des productions et la synthè-se de la séance. La conclusion permet de reve-nir sur les compétences mathématiques pré-sentées dans les programmes du cycle 3 (mEn,2015) et de proposer des moyens permettant auxprofesseurs des écoles comme aux professeursde mathématiques de collège de les développerchez des élèves de 8-11 ans.

Un même type de problème dans les instructions officielles

nous avons repéré, dans deux documentsd’accompagnement des programmes de mathé-matiques du collège (mEn, 2007 et 2011),deux problèmes visant sensiblement les mêmesconnaissances et les mêmes compétences mathé-matiques. notre expérience de professeur demathématiques de collège et de formateurd’enseignants des premier et second degrésnous a permis de constater que les professeursdes écoles et les professeurs de mathématiquesde collège les connaissent bien. ils ont, pour beau-coup d’entre eux, eu l’occasion de proposer àleur classe un problème dont l’énoncé est qua-siment analogue à ceux présentés dans les docu-ments d’accompagnement. Cette partie est

3 groupe piloté par m. hersant et associé au CrEn de nantes.4 atelier animé par C. Choquet, S. grau.


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consacrée à une description et une analyse deces deux problèmes en termes de connaissanceset de compétences mathématiques (mEn, 2015).

Le problème Les deux chiens

Ce problème (encadré ci-dessus), intituléLes deux chiens, est proposé dans le docu-ment d’accompagnement des programmesde mathématiques du collège « Ressourcespour les classes de 6ème, 5ème, 4ème et3ème du collège – Géométrie au collège »(mEn, 2007, p. 3).

L’objectif annoncé est « de mettre en placela caractérisation des points d’un cercle ». ilest précisé que ce problème « permet de travaillerune nouvelle conception du cercle illustrée parle passage d’une ligne tracée au compas à unefigure constituée de points ayant une mêmecaractéristique », mais qu’il peut également êtreutilisé lors du « réinvestissement de la même pro-priété (l’ensemble des points équidistants d’unpoint donné est le cercle…) après sa mise enplace » (Ibid., p. 4).

Les connaissances mathématiques abor-dées sont ainsi clairement explicitées. Cepen-

dant, même si l’exemple d’une production d’unélève commentée est donné aux enseignants (Cf.annexe 2), les compétences mathématiquespouvant être développées lors de la recherche/réso-lution de ce problème par un élève de 6ème nesont pas clairement identifiées dans le documentd’accompagnement.

Le commentaire annonce une modélisa-tion envisageable chez des élèves. or, pour yrépondre, cet élève doit également faire preu-ve d’initiative, il doit transformer le problèmede Sophie en celui de la recherche de la zoneparcourue par les deux chiens. Puis, à partir duschéma proposé avec l’énoncé, il doit représenterla situation réelle et la zone parcourue pourenfin conclure en répondant par oui ou non àla question posée. D’après nous, la résolutionde ce problème nécessite de mobiliser cinq dessix compétences mathématiques citées dansles programmes de l’année 2015. il s’agit en effetpour les élèves de : « chercher (s’engager dansune démarche […] en mobilisant des outils oudes procédures mathématiques déjà rencon-trées, en élaborant un raisonnement adapté àune situation nouvelle[…]), modéliser (utiliserles mathématiques pour résoudre quelquesproblèmes issus de situations de la vie quoti-

Sophie doit aller chercher du lait à la ferme dont lacour est représentée par le schéma ci-contre.(Feuille donnée aux élèves).

En A et B sont attachés deux chiens. En A, Azor avec une chaîne de 6 mètres. En B, Balthazar avec une chaîne de 5 mètres.

Sophie pourra-t-elle aller jusqu’à la porte de la fermesans se faire mordre ?


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dienne […]), représenter (utiliser des outilspour représenter un problème : dessins, sché-mas, […], raisonner ([…] en géométrie, […]amorcer des raisonnements s’appuyant uni-quement sur des propriétés des figures et surdes relations entre objets, communiquer (uti-liser progressivement un vocabulaire adéquat[…] pour décrire une situation. […] Expliquersa démarche ou son raisonnement, comprendreles explications de l’autre et argumenter dansl’échange » (mEn, 2015, p. 190).

L’analyse de ce problème en termes deconnaissances et de compétences mathéma-tiques montre qu’il est tout à fait en adéquationavec le travail en classe de cycle 3 encouragépar les instructions officielles de l’année 2015.

Le problème La chèvre

En 2011, une « banque de situationsd’apprentissage et d’évaluation pour la com-pétence 3 » 5 propose, sous forme de fiches, unensemble de problèmes destinés à la construc-

tion et l’évaluation de connaissances et com-pétences issues du socle commun à atteindre partous les élèves du niveau collège (mEn, 2007).une fiche intitulée La chèvre propose le pro-blème ci-dessous…

Le document précise les connaissancesmathématiques abordées par le problème :pour des élèves de 6ème, il s’agit d’une« consolidation du lien entre distance etcercle » et de la définition suivante : « toutpoint situé à une distance donnée d’un pointest sur un cercle ». Des compétences mathé-matiques en jeu sont également précisées : ils’agit d’amener les élèves à « pratiquer unedémarche scientifique », autrement dit à « […]extraire et organiser l’information utile, […],réaliser, manipuler, mesurer, […], raison-ner, […] présenter la démarche suivie, […] ».De plus, l’exemple d’une production d’unélève de 6ème est donné et les commentairesqui l’accompagnent permettent également depréciser des compétences mathématiques enjeu. afin de résoudre ce problème, un élève

Un plan détaillé et commenté de l’enclos de la chèvre.Le schéma ci-dessous représente l’enclos et la zone hachurée correspond au parterre de fleursle long du chemin. La chaîne de la chèvre est attachée à un piquet au point P. Les distances sont exprimées en mètres.

Sachant que la chèvre est attachée à une chaîne de 8 m, détermine la partie de la clôture quele propriétaire doit renforcer et la longueur de celle-ci. Tu expliqueras clairement ta démarche.

5 Disponible à l’adresse :http://eduscol.education.fr/cid55510/banque-situations-apprentissage-competence.html, consulté le 11 février 2016.


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de 6ème doit faire preuve d’initiative en rame-nant l’identification de la partie de la clôtu-re à renforcer au problème de la recherche d’unezone que peut parcourir la chèvre puis, à par-tir du schéma proposé, déterminer et représentercette zone avant de se ramener à la questionsur la clôture. Les compétences mathéma-tiques en jeu sont identiques à celles que nousidentifions dans le problème Les deux chiens :chercher, modéliser, représenter et raisonner.

Ces deux problèmes permettent donc d’envi-sager un travail sur le développement des mêmescompétences mathématiques. ils amènent lesélèves, afin de répondre à la question initiale,à construire un sous-problème, à modéliser lasituation réelle pour en faire un problème mathé-matique. nous considérons alors que ces pro-blèmes amènent les élèves à problématiser unesituation.

Par ailleurs, ces deux problèmes sont pré-sents dans de nombreux manuels destinésaux élèves de 6ème et sur de nombreux sitesinternet, selon des énoncés différents. aprèsavoir repéré dans diverses ressources cesénoncés qui, au premier abord, semblent simi-laires, nous nous sommes interrogés sur leursdifférences. En effet, même si les différentsénoncés s’appuient sur une situation réellequasiment identique, les questions posées auxélèves ne sont pas toujours les mêmes et, dece fait, l’enjeu en termes de développementde compétences mathématiques nous sembleassez différent. nous proposons dans la deuxiè-me partie un recensement et une analyse deces différents énoncés.

Différents énoncés et comparaison

D’un point de vue méthodologique, pourmener à bien cette étude, nous avons réperto-rié diverses ressources facilement disponiblespour des professeurs : dix manuels scolaires des-

tinés aux élèves de 6ème, dix sites internet etdeux documents pédagogiques destinés auxenseignants (et à la formation). Concernant lerepérage des problèmes dans chacun des manuelset dans les deux documents pédagogiques,nous avons regardé tous les problèmes du cha-pitre dédié à l’étude du cercle et concernant lessites internet, nous avons regardé tous les sitesaffichés avec les mots-clés suivants géométriecollège le chien et géométrie collège la chèvre.

afin de comparer les problèmes ainsi repé-rés, nous les avons classés selon l’objectifvisé : amener ou non les élèves à problémati-ser la situation.

nous détaillons ci-après nos résultats.

Des problèmes permettant de problématiser

— Dans les manuels

Parmi les dix manuels étudiés, trois d’entreeux proposent des problèmes amenant effecti-vement les élèves à problématiser tel que nousl’avons défini dans la première partie. Lesénoncés de ces problèmes, à l’image du premierqui suit, ne demandent pas aux élèves de repré-senter une zone, mais leur demande de réflé-chir aux endroits les plus intéressants pour pla-cer un (ou des) piquet(s) selon les contraintesimposées par l’énoncé. La démarche qui consis-te à se poser la question d’une zone pouvant êtreparcourue et de sa représentation est laissée àl’initiative des élèves.

notre analyse des manuels nous a permisde remarquer également que ces trois pro-blèmes ne sont pas placés parmi les exerciceset problèmes courants du chapitre mais sont repé-rés (pour les enseignants sans doute) comme étantun « défi », un « jeu », un « casse-tête » ou, commepour le problème du chien titan proposé comme« devoir à la maison ».


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— Dans un document pédagogique

Le DVD Enseigner les mathématiques aucycle 3 6 propose aux professeurs des écoles laconstruction d’une séquence sur le cercle, com-posée de huit séances. Le document pédago-gique accompagnant le DVD permet aux ensei-gnants d’avoir accès à une analyse détaillée desséances mises en œuvre et à des extraits vidéode certaines de ces séances. Le problème La man-geoire des chèvres est proposé lors de la qua-trième séance :

il s’agit d’après les auteurs de « faire décou-vrir l’usage du cercle et l’usage du disque pour

résoudre des problèmes d’équidistance […]Le cercle étant un outil pour modéliser dessituations de la réalité » (p. 36).

Comme dans les trois problèmes précé-dents, la démarche est à la charge des élèves.Le problème nécessite de leur part de modéli-ser la situation réelle décrite dans l’énoncé afinde la résoudre, en utilisant les notions de cercleet de disque.

Des problèmes ne permettant pas de problématiser

— Dans les manuels

Dans sept des dix manuels que nous avonsanalysés, les énoncés proposés ne conduisentpas les élèves à problématiser la situation.autrement dit, ils ne conduisent pas à se poserdes questions sur la démarche à utiliser et àconstruire des sous-problèmes permettantd’avancer vers une solution.

L’énoncé leur impose la procédure de réso-lution : tracer une zone de déplacement. Pourimaginer cette zone et la tracer, deux possibi-lités s’offrent à eux : raisonner en restant dansla situation réelle qu’ils réussissent facilementà imaginer ou raisonner en modélisant la situa-tion réelle et utiliser une définition du cercle.il ne s’agit plus de construire cette définition,mais bien de l’utiliser pour représenter unesituation.

il est clair que les compétences mathéma-tiques en jeu ne sont pas les mêmes que dansles énoncés précédents même si la situationréelle décrite est très proche.

nous proposons (voir page suivante)quelques exemples recensés dans les ressourcesétudiées…

6 Le document pédagogique accompagnant le DVD est dis-ponible à l’adresse http://www.ac-grenoble.fr/ien.bour-goin1/img/pdf_sequence.pdf, consulté le 11 février 2016.

Dans un pré, deux chèvres sont attachéeschacune, par une corde, à un piquet dif-férent. Le fermier ne dispose, comme man-geoire, que d’un petit seau pour nourrirses animaux. Il se demande où il pourraitle placer pour que ses deux chèvres puis-sent aller y manger en même temps. Pour-riez-vous l’aider ?

Voici des informations :

Les deux piquets sont espacés de 16 mètres.La corde d’une des chèvres est longue de9 mètres et l’autre corde est longue de 10mètres. En utilisant l’échelle des longueursci-dessous, faire un croquis précis quidonne les emplacements possibles de lamangeoire.


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— Dans un document pédagogique

L’ouvrage Des maths ensemble et pour cha-cun 6ème (2014) propose également un pro-blème analogue intitulé Les aventures deBlanquette la biquette. Ce problème est pro-posé au début d’une séquence dédiée à l’étudede problèmes de distances. Les élèves sont ame-nés à remobiliser des connaissances acquisesprécédemment (à l’école primaire, en Cm1 et/ouCm2). Les auteurs précisent bien qu’il s’agitde « réinstaller (une) propriété caractéris-tique des points d’un disque et d’un cercle »(p. 287). ils ne font mention d’aucune com-pétence mathématique en jeu dans la résolu-tion de ce problème.

— Dans les sites internet

tous les sites internet que nous avonsconsultés, répondant aux mots-clés géométrie


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collège le chien ou géométrie collège la chèvre,proposent des problèmes demandant aux élèvesde représenter une zone. nous donnons iciquelques exemples que le lecteur retrouvera faci-lement sur internet. Dans le problème Lachèvre de M. Seguin issu du site irem Paris-nord7,il est demandé aux élèves de « hachurer lazone… ». Le site Matoumatheux 8 propose dereprésenter des zones parcourues par un chienBébert selon plusieurs niveaux. De nombreuxsites dédiés à des rallyes mathématiques repren-nent également régulièrement ce type de pro-blèmes. Par exemple, le rallye mathématiquedes collèges de Saône et Loire demande auxclasses de début de collège de résoudre le pro-blème suivant :

même si la question 2 concernant une airemaximale à ne pas dépasser permet de faire inter-venir des calculs et un raisonnement permettantde mener à bien ces calculs, la question 1 impo-se aux élèves une démarche passant par le colo-riage d’une zone et ne permet donc pas de leurlaisser l’initiative de celle-ci.

afin d’illustrer nos propos concernantl’étude des ressources disponibles et les diffé-rences observées en termes de compétencesmathématiques en jeu dans la résolution des diversproblèmes, nous avons étudié une séance dédiéeà un problème de ce type choisi par un ensei-gnant de Cm2. Cette expérimentation permetégalement de repérer les difficultés éventuellesde leur mise en œuvre dans des classes de cycle3 (mEn, 2015).

Etude d’une expérimentation en classe de CM2

Dans le cadre d’une étude sur les pratiquesde professeurs des écoles dédiant des séancesde mathématiques à la résolution de problèmesouverts (Choquet, 2014), nous avons observé,dans une classe de 16 élèves de Cm2, une séan-ce dédiée au problème 9 représenté en haut dela page suivante.

Analyse du problème

notre analyse a priori du problème montreque ce problème ne permet pas aux élèves deproblématiser la situation. Les élèves n’ont pasà construire de sous-problèmes. il s’agit pour

7 http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article486,consulté le 14 février 2016.8 http://matoumatheux.ac-rennes.fr/sommaire.php?niv=6,consulté le 14 février 2016.9 Ce problème est extrait du fascicule « Enseigner lesmaths autrement en sixième », irem des Pays de La Loire,1999.


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eux de répondre à une commande « représen-te et colorie ». trois procédures sont pour celaenvisageables pour des élèves de cycle 3. ils peu-vent procéder :

— par intuition, directement en faisant appelà des connaissances de la « vie couran-te », à une conception du cercle acquise de l’expérience quotidienne (artigue etrobinet, 1992).

— par tâtonnements, avec ou sans matériel, enimaginant plusieurs endroits sur la figureoù le chien peut se trouver ; une figureapparaît et est reconnue.

— par modélisation de la situation.

il est donc attendu des élèves qu’ils mobi-lisent des connaissances mathématiques tellesque la notion de distance d’un point par rapportà un autre point ou à un segment, ainsi que différentes conceptions du cercle (artigue et

robinet, 1982) :

— une définition du cercle et du disque en termesd’ensemble de points et de distances,

— une définition du cercle comme circon-férence du disque, comme courbe quireprésente la « frontière », la limite du disque,

— une définition du disque comme l’intérieurdu cercle avant de considérer la circonfé-rence.

Par ailleurs, afin de répondre à la consigne,en plus de faire appel à des connaissances surle cercle et le disque, il est attendu une modé-lisation d’une situation issue de la réalité etune représentation utilisant des outils mathé-matiques tels que le point (représentant le chien,l’extrémité de la chaîne accrochée au poteau ouà la barrière) et le segment (représentant lachaîne tendue).


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Présentation de la séanceet objectifs de l’enseignant

Lors de deux entretiens, avant et après laséance observée, l’enseignant précise que, pourlui, l’enjeu principal de la séance, tout en réuti-lisant ce qui a été vu sur le cercle auparavant,est de mobiliser des capacités de recherchedans un problème qu’il considère comme ouvert.il prévoit donc de faire travailler les élèves enpetits groupes et, surtout, de les laisser chercher,de ne pas intervenir afin d’éviter de leur don-ner des pistes de résolution.

La séance observée, d’une durée de cin-quante-cinq minutes, est dédiée à l’étudedes deux énoncés Le chien 1 et Le chien 2.Elle fait suite à deux séances pendant lesquellesle vocabulaire adapté au cercle et l’utilisa-tion du compas pour des tracés simples ontété étudiés.

Cette séance s’organise, comme suit, en deux temps.

— trente minutes sont d’abord consacréesà l’énoncé 1 : l’enseignant présente l’acti-vité et organise une lecture collective del’énoncé (5 min), une recherche individuellepuis en petits groupes de trois élèves estensuite demandée (15 min), une mise encommun (que nous notons mise en com-mun 1) et une discussion autour de deuxproductions sont organisées pendant les-quelles la réponse correcte est donnée(10 min).

— Puis vingt-cinq minutes sont dédiées àl’énoncé 2 selon la même organisation :après une lecture collective de quelquesminutes, les élèves font des recherchesdans les mêmes petits groupes (12 min) etune mise en commun (mise en commun2) autour de la solution d’un élève estmenée (10 min).

Lors de la lecture collective des deux énon-cés, l’enseignant s’assure rapidement que levocabulaire utilisé est connu puis que chaqueélève comprend les situations exposées, notam-ment le fait qu’une extrémité de la chaîne, dansl’énoncé 2, coulisse le long d’une barrière.

Pendant les phases de recherche, individuelleet en petits groupes, il circule entre les élèves.il s’assure ainsi que tous les élèves sont enactivité et, surtout, il observe le travail dechaque groupe afin de repérer les procéduresmises en œuvre et les difficultés rencontrées.il fait le choix pendant cette séance de ne pasintervenir dans les recherches des groupes, dene pas les aider même si certains groupes (et nousle constatons dans certaines productions finales)se trouvent éloignés de la solution attendue. nosentretiens ont permis de préciser que cetteobservation lui permet de préparer (rapide-ment) les deux mises en commun en choisis-sant quelques productions qui sont exposées etdiscutées avec la classe et en repérant les dif-ficultés rencontrées par les élèves.

Productions des élèves (voir page suivante)

Pour l’énoncé 1

afin de résoudre l’énoncé 1, sept élèves surseize ne dépassent pas le dessin naïf, deuxélèves tentent une schématisation et sept élèvessur seize tracent un cercle avec le compas et lecolorie. une hiérarchisation des procédurespermet de les regrouper selon trois produc-tions-types, présentées ci-après : Production 1,Production 2 et Production 3.

Pour l’énoncé 2

Lors de la résolution de l’énoncé 2, sixélèves sur seize en restent au dessin naïf (pro-ductions 4 et 5), trois élèves tracent un seg-ment de huit centimètres représentant la bar-


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Production 1 Production 2





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rière et un cercle de centre le milieu de ce seg-ment (production 6), quatre élèves tracent unsegment de huit centimètres, deux autres seg-ments perpendiculaires au premier en sesdeux extrémités et une zone est coloriée (pro-duction 7), un élève trace une figure quiconvient (production 8).

Analyse de ces productions

L’analyse des productions des élèvesmontre un écart important entre leurs résultatset les solutions attendues. Cet écart révèle desdifficultés non surmontées par la plupart desélèves de cette classe : des difficultés liées, pourdes élèves de cet âge, à la conception du cercle(artigue et robinet, 1982) et des difficultés liéesà la modélisation d’une situation issue de laréalité. En effet, des élèves représentent lasituation telle qu’ils la voient, comme si ellese présentait devant eux et qu’ils y participaient(Productions 1 et 4). D’autres élèves représententla situation vue « de dessus », comme s’ilsl’observaient, en reprenant leurs mots, « d’enhaut » (Productions 2, 5, 6 et 7). un seul élèveréussit à prendre du recul par rapport au contex-te, il réussit à modéliser le chien par un point,la chaîne tendue par un segment et la zone par-courue par le chien par une figure géométrique(Production 8).

Mise en commun des productions des élèves

après les deux temps de recherche engroupes, l’enseignant propose aux élèves de mettreen commun leurs solutions et d’échanger sur leursdifficultés éventuelles.

De l’énoncé 1

il débute la mise en commun 1 en présen-tant à la classe la production 3 comme la solu-tion attendue puis il affiche la production 2afin de revenir sur les difficultés rencontrées par

un nombre important d’élèves. Cependant leséchanges entre lui et les élèves montrent qu’ilne réussit pas à extraire des diverses solutionserronées les éléments importants en termes deconnaissances (sur le cercle) et de compétencesmathématiques (telles que modéliser), élémentsqui auraient pu faire l’objet d’une institution-nalisation en fin de séance.

En effet, étant donné que l’enseignant et beau-coup d’élèves n’ont pas compris que la production2 vise à représenter la chaîne s’enroulant autourdu poteau, un élève va expliquer à la classe leschéma : « quand il [le chien] tourne, elle [lachaîne] s’entoure autour du poteau, ça faitqu’il y a moins de corde ». L’enseignant ne vapas reprendre ce schéma pour insister, parexemple, sur la nécessité de s’éloigner du vécu(une chaîne qui s’emmêle autour d’un poteau)ou pour faire identifier, par les élèves, les dif-férents points de vue utilisés pour représenterla situation (vue « de côté », « de dessus », etc.).L’enseignant va rapidement clore les échangesen annonçant : « alors, on ne va pas parler deleur explication car de toute façon, c’est pas faci-le à expliquer […]».

De l’énoncé 2

Lors de la mise en commun 2, le seulélève Téo ayant produit une solution correctevient au tableau présenter son raisonnementen refaisant la figure suivante :

a la demande de l’enseignant, il expliquesa construction :


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« […] Après, avec la règle, j’ai mesuré 2 cm.Là, là, là et là. […] Après, j’ai … ça c’était2 cm et là aussi… alors après je les ai reliés…comme ça. »

Puis il affiche sa feuille (production 8) etreprend son explication :

« En fait, je croyais que c’était… c’étaitcomme ça (il montre un demi-cercle) et en fait,… non, c’est… faux que ce soit 2 mètresparce que la laisse fait 2 mètres. Moi, j’ai raté,parce que là ça fait moins de 2 mètres (il montrel’intérieur d’un demi-cercle)… Le chien, il pour-rait pas aller à plus de 2 mètres… il y a undoute : pourquoi ces… tous ces segmentsd’au maximum 2 mètres, ça ferait un cercle ? »

Pendant son explication, téo transforme safigure :

Pour finir avec :

L’enseignant ne réussit pas ici à trouverles arguments pour convaincre la classe du faitque la solution produite initialement par téo (pro-duction 3) est correcte, téo lui-même remettanten cause cette solution. En effet, même si l’ensei-gnant essaie de tendre vers une modélisation dela situation en utilisant le vocabulaire associé aucercle et en demandant par exemple : « est-ce

que vous savez pourquoi Téo a fait un demi-cercle ? ». Les élèves, quant à eux, restent foca-lisés sur le chien et l’imaginent se déplaçant aubout de la barrière : « Téo a fait des bouts de demi-cercles pour savoir la limite du chien, là où ilpeut aller ». ni l’enseignant, ni les élèves ne vontparler, par exemple, de segments représentantla chaîne tendue, d’une distance maximale parrapport à un point situé à l’extrémité de la bar-rière (elle-même représentée par un segment).nous pouvons penser que les difficultés rencontréesici par l’enseignant sont liées à une maîtriseinsuffisante de la caractérisation du cercle miseen jeu dans ce problème.

Conclusion

Nécessité d’une analyse a priori

Les résultats que nous venons de présen-ter concernent l’analyse de différents énoncésinspirés de deux problèmes Les deux chiens etLa chèvre (mEn, 2007 et 2011) et de la séan-ce observée en classe de Cm2. ils montrent quele choix d’un énoncé de problème pour la clas-se est un exercice difficile pour un enseignant.Ce choix nécessite d’être longuement réfléchiet effectué en lien avec les connaissances et lescompétences mathématiques explicitementvisées pour la séance et/ou la séquence. Eneffet, nous avons vu qu’en fonction du choixde la situation et de la tâche confiée aux élèves,les mêmes compétences mathématiques ne sontpas travaillées et les élèves ne sont pas confron-tés aux mêmes mathématiques. De ce fait, uneanalyse a priori du problème choisi est pri-mordiale afin de repérer les éléments sans les-quels la séance risque de ne pas mener lesélèves vers des apprentissages : tout d’abord,il est nécessaire d’identifier avec précision lesconnaissances et les compétences mathéma-tiques en jeu dans sa recherche/résolution.Ensuite, il est important également de repérerles procédures possibles des élèves afin d’anti-


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ciper d’éventuelles difficultés, cette anticipationétant une des garanties d’une séance réussie entermes d’apprentissages pour les élèves.

Perspectives pour le cycle 3

Les instructions officielles de l’année 2015demandent aux professeurs des écoles deCm1/Cm2 et aux professeurs de mathéma-tiques de sixième de s’associer, en quelquesorte, dans un même cycle 3 pour mener à biendes apprentissages. Des liaisons école-collège,des conseils école-collège existent déjà depuisplusieurs années et un certain nombre d’ensei-gnants du primaire et du secondaire ont l’habi-tude de se rencontrer et de travailler ensemble.nous sommes d’avis que la mise en œuvre desprogrammes de mathématiques (et évidem-ment des autres disciplines) du cycle 3 va êtrel’occasion (ou va nécessiter) de mener un tra-vail spécifique en commun selon deux axes :le premier concerne les connaissances et com-pétences mathématiques, le second les pra-tiques des enseignants.

— Développer des compétences mathématiques

un travail commun autour des connais-sances à acquérir tout au long du cycle et sur-tout des compétences mathématiques sembleincontournable afin qu’on comprenne bien dequels apprentissages il s’agit et afin d’envisa-ger des moyens de les développer. nous pen-sons, notamment suite aux recherches que nousavons réalisées, que des énoncés amenant lesélèves à problématiser des situations sont unmoyen de travailler et d’atteindre le dévelop-pement de ces compétences chez tous les élèvesdu cycle 3 (Choquet, 2014). L’analyse des troisproductions-types permet de repérer, par exemple,ce que les élèves (de cette classe et de cycle 3plus généralement) sont capables de remobili-ser parmi leurs connaissances sur le cercle et

renseigne sur leur difficulté à modéliser une situa-tion issue de la vie courante. il reste aux pro-fesseurs des écoles et aux professeurs de col-lège à s’emparer de ce type de problèmes,ensemble et non de manière isolée. Le profes-seur des écoles doit savoir comment ces com-pétences vont être développées au collège et quelsproblèmes vont être étudiés en classe de 6ème.Et, de même, pour l’enseignant de 6ème, il estnécessaire de connaître les compétences mathé-matiques que les élèves, arrivant d’une classede Cm2, ont appris à développer et quels pro-blèmes ils ont été amenés à résoudre.

— harmoniser des pratiques

Par ailleurs, au-delà du choix des pro-blèmes, notre étude met à jour également desdifficultés rencontrées par l’enseignant lors desmises en commun. Elle montre, par exemple,qu’un travail de réflexion sur les pratiques, surdes manières de développer la compétencemodéliser chez leurs élèves est à mener.

Cette réflexion doit envisager une harmo-nisation des pratiques liées à l’enseignement desmathématiques. Pour être efficace, l’enseignantde Cm1 et/ou Cm2 a besoin de savoir commentle professeur de 6ème s’empare de tel ou tel pro-blème avec une classe et pourquoi il le fait. Demême, le professeur de 6ème a besoin de savoirquels problèmes ont été étudiés en Cm1 et/ouCm2 et comment ce travail a été mené par leprofesseur des écoles. un temps d’échanges surles pratiques de préparation, sur les ressourcesutilisées ainsi que sur des mises en œuvre dansles classes est à envisager.

Ces deux axes peuvent constituer dessujets d’étude lors des conseils école-collègeà venir et surtout lors de formations conti-nues à élaborer mutuellement entre des pro-fesseurs des écoles et des professeurs de mathé-matiques de collège.


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ANNeXe 1 Programmes pour le cycle 3 (mEn, 2015, p. 190)


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ANNeXe 2« Ressources pour les classes de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème

du collège – Géométrie au collège » (mEn, 2007, p. 4)


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ANNeXe 3Extraits de la fiche La chèvre

issue de la banque de situations (mEn, 2011)


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ProductionCet élève a proposé une solution géométrique. il a réalisé un dessin à l’échelle sur papier mil-limétré. La précision de son dessin lui offre une bonne approximation de la solution, au dixiè-me près, obtenue par simple mesure. (Ce qu’il n’a pas expliqué).La démarche experte, utilisant le théorème de Pythagore pour obtenir un résultat exact, n’estpas exigible ici. L’élève s’est inscrit dans une démarche expérimentale. Les items « rechercher,extraire et organiser l’information utile », « réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquerdes consignes », « raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technolo-gique, démontrer » et « géométrie » peuvent être évalués positivement.


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Documents

queLS prObLemeS A L’ecOLe eT Au cOLLege pOur DeveLOpper …numerisation.irem.univ-mrs.fr/WR/IWR16019/IWR16019.pdf · N° 105 - octobre 2016 connaissances dans tous les domaines