Pembahasan 2.4 4.MisalkanS =C,S terbatas diR . a.0 a > dan {
} : : aS as s S = e-inf( ) aS =ainfSBukti : S terbatas diR , maka
menurut sifat kelengkapanR ,S mempunyai infimum. Misalkaninf v S =
, makav adalah batas bawahS . Jadi, v s s S s e . 0 a > danv s s
, maka, av as s S s e . Jadiav batas bawahaS
...........................................(1) Misalkant sebarang
batas bawahaS , adit :t av s . t sebarang batas bawahaS , berarti,
t as s S s e . 0 a > dant as s , maka,ts s Sa s e . Jadi tabatas
bawahS . inf v S = dan tabatas bawahS , maka menurut definisi tva s
. Karena0 a > , makat av s
..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka
menurut definisiinf( ) aS =av =ainfSJadi inf( ) aS =av =ainfS .
-sup( ) aS =asup SBukti : S terbatas diR , maka menurut sifat
kelengkapanR ,S mempunyai suprimum. Misalkansup u S = , makau
adalah batas atasS . Jadi, s u s S s e . 0 a > dans u s , maka,
as au s S s e . Jadiau batas atasaS
...........................................(1) Misalkant sebarang
batas atasaS , adit :au t s . t sebarang batas bawahaS , berarti,
as t s S s e . 0 a > danas t s , maka,ts s Sas e . Jadi tabatas
atasS . sup u S = dan tabatas atasS , maka menurut definisi tuas .
Karena0 a > , makaau t s
..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka
menurut definisisup( ) aS =au =asupSJadi sup( ) aS =au =asupS . b.0
b < dan { } : : bS bs s S = e-inf( ) bS =bsupSBukti : S terbatas
diR , maka menurut sifat kelengkapanR ,S mempunyai suprimum.
Misalkansup u S = , makau adalah batas atasS . Jadi, s u s S s e .
0 b < dans u s , maka, bs bu s S > e . Jadibu batas bawahbS
...........................................(1) Misalkant sebarang
batas bawahbS , adit :t bu s . t sebarang batas bawahbS , berarti,
t bs s S s e . 0 b < dant bs s , maka,ts s Sb > e . Jadi
tbbatas atasS . sup u S = dan tbbatas atasS , maka menurut definisi
tubs . Karena0 b < , makat bu s
..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka
menurut definisiinf( ) bS =bu =bsupSJadi inf( ) bS =bu =bsupS .
-sup( ) bS =binf SBukti : S terbatas diR , maka menurut sifat
kelengkapanR ,S mempunyai infimum. Misalkaninf v S = , makav adalah
batas bawahS . Jadi, v s s S s e . 0 b < danv s s , maka, bs bv
s S s e . Jadibv batas atasbS
...........................................(1) Misalkant sebarang
batas atasbS , adit :bv t s . t sebarang batas atasbS , berarti, bs
t s S s e . 0 b < danbs t s , maka,ts s Sb> e . Jadi tbbatas
bawahS . inf v S = dan tbbatas bawahS , maka menurut definisi tvb s
. Karena0 b < , makabv t s
..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka
menurut definisisup( ) bS =bv =binfS . Jadi sup( ) bS =bv =binfS .
6.MisalkanA=C, B=C, , A B R _dan, A Bterbatas diR .Misalkan { } : :
, A B a ba A b B + = + e e . Buktikan : a.Sup ( ) A B + =supA+
supBb.Inf ( ) A B + =infA+ infBBukti : , A Bterbatas diR ,
berartiAdanB mempunyai batas atas dan batas bawah. AdanB mempunyai
batas atas dan batas bawah, berartiAdanB mempunyai suprimum dan
infimum. a.Misalkansup u A = , berartiu batas atasA. Jadi, a u a A
s e .......................................(1) Misalkansup v B = ,
berartiv batas atasB . Jadi, b v b B s e
.......................................(2) Dari (1) dan (2)
diperoleh, , a b u v a A b B + s + e e . Jadiu v +adalah batas
atasA B +
......................................................................(*)
Misalkant adalah sebarang batas atasA B + . Adit :u v t + s . t
adalah sebarang batas atasA B + , berarti, , a b t a A b B +s e e .
a b t + sekuivalen dengan, a t b a A s eJadit b batas atasA. sup u
A =dant b batas atasA, maka menurut definisi u t b s . u t b s
ekuivalen dengan, b t u b B s e . Jadit u batas atasB . sup v B =
dant u batas atasB , maka menurut definisiv t u s . v t u s
ekuivalen denganu v t + s . Jadiu v t + s untukt adalah sebarang
batas atasA B + ...........................................(**)
Dari (*) dan (**), maka menurut definisi suprimum, Sup ( ) A B + =
u v + = supA+ supBJadi Sup ( ) A B + = supA+ supB . b.Misalkan' inf
u A = , berarti' u batas bawah A. Jadi', a u a A > e
.......................................(1) Misalkan' inf v B = ,
berarti' v batas bawahB . Jadi', b v b B > e
.......................................(2) Dari (1) dan (2)
diperoleh' ', , a b u v a A b B +> + e e . Jadi' ' u v +adalah
batas bawahA B +
......................................................................(*)
Misalkan' t adalah sebarang batas bawah A B + . Adit :' ' ' u v t +
> . ' t adalah sebarang batas bawah A B + , berarti', , a b t a
A b B + > e e . ' a b t +>ekuivalen dengan' , a t b a A >
eJadi' t b batas bawah A. ' inf u A =dan' t b batas bawah A, maka
menurut definisi ' ' u t b > . ' ' u t b > ekuivalen dengan'
', b t u b B > e . Jadi' ' t u batas bawah B . ' inf v B = dan'
' t u batas bawahB , maka menurut definisi' ' ' v t u > . ' ' '
v t u > ekuivalen dengan' ' ' u v t + > . Jadi' ' ' u v t +
> untuk' t adalah sebarang batas bawahA B +
...........................................(**) Dari (*) dan (**),
maka menurut definisi infimum, inf ( ) A B + = ' ' u v + = infA+
infBJadi inf ( ) A B + = inf A+ infB . 1.Tunjukkan sup 11 : 1 n Nn
e = ` ) Jawab : Misalkan 1: S n Nn = e ` ), maka akan ditunjukkan
1sup 1 : 1 sup 1 n N Sn e = + = ` ) Karena 1 1( 1)n n = , kita
misalkan *1: S n Nn = e ` ). Berdasarkan Corollary 2.4.4. inf *0 S
= . 1 0 < , maka menurut soal 4.b, supS = ( ) ( ) ( )*1 inf 1 .0
0 S = = Jadisup0 S = . Berdasarkan contoh 2.4.1, 1sup 1 : 1 sup 1 0
1 n N Sn e = + = + = ` ) 1sup 1 : 1 n Nn e = ` ) 2.Jika 1 1: : , S
nm Nn m = e ` ), tentukan infS dan supS! Jawab :Misalkan 1:nS n Nn
= e ` ), 1:mS m Nm = e ` )dan *1:mS m Nm = e ` ) Berdasarkan
Corollary 2.4.4, makainf0nS = dan inf *0mS =Berdasarkan soal 2.3
no. 3, maka sup *1n mS S = = . Berdasarkan soal no. 4, Inf *(
1).sup ( 1).1 1m mS S = = = Jadi inf1mS = . Berdasarkan soal no. 4,
sup *( 1).inf ( 1).0 0m mS S = = =Jadi sup0mS = . Berdasarkan soal
no. 6, maka infS = inf nS + inf0 ( 1) 1mS = + = . Jadiinf 1 1: : ,
1 S nm Nn m = e = ` ) Berdasarkan soal no. 6, maka supS = sup nS +
sup1 0 1mS = + = . Jadisup1 1: : , 1 S nm Nn m = e = ` )
3.MisalkanS =CdanS R _ . Buktikan jikau R e memenuhi kondisi : (i)
1un bukan batas atas S ,n N e(ii) 1un+batas atasS ,n N e , makasup
u S = . Bukti : -Andaikanu bukan batas atasS , berarti, s S u s - e
< . Akibatnya0 s u > . Berdasarkan Corollary 2.4.5, maka 1,s
us un N s un- e < . 1s us un , maka menurutCorollary 2.4.5, 1, n
Nnccc - e < . Karena1 0 untuk suatun Nc e . Jadi 1S u Sncc- =
esehingga 1u S u Snccc < = e . Maka menurut lemma 2.3.4.sup u S
= . 5.MisalkanX = Cdan: f X R memiliki range yang terbatas diR .
Jikaa R e , buktikan : a. ( ) { } ( ) { }sup : sup : a f x x X a f
x x X + e =+ e b. ( ) { } ( ) { }inf : inf : a f x x X a f x x X +
e =+ eBukti : ( ) { }: f x x X e terbatas diRmaka ( ) { }: f x x X
e mempunyai batas atas , berartiB R - esehingga ( ) , f x B x X s e
.( ) { }: f x x X e terbatas diRmaka ( ) { }: f x x X e mempunyai
batas bawah , berartiC R - esehingga ( ) , f x C x X > e .
Karena ( ) { }: f x x X e mempunyai batas atas dan batas bawah,
maka menurut sifat kelengkapan , R ( ) { }: f x x X e mempunyai
suprimum dan infimum. a.Misalkan ( ) { }sup : B f x x X = e ,
berartiB batas atas ( ) f x . Jadi ( ) , f x B x X s e .Karenaa R
edan ( ) f x B s maka ( ) , a f x a B x X + s+ e . Jadia B + batas
atas ( ) a f x + ............................................(i)
Misalkan' B adalah sebarang batas atas ( ) a f x + , Adit :' a B B
+ s . ' B adalah batas atas ( ) a f x + , berarti ( ) ', a f x B x
X + s e . Karenaa R edan ( ) ' a f x B + s maka ( ) ' , f x B a x X
s e . Jadi' B a adalah batas atas ( ) f x . ( ) { }sup : B f x x X
= e dan' B a adalah batas atas ( ) f xmaka menurut definisi ' B B a
s yang ekuivalen dengan' a B B + s . Jadi' a B B + s untuk' B
sebarang batas atas ( ) a f x + ............(ii) Berdasarkan (i)
dan (ii) maka ( ) { } ( ) { }sup : sup : a f x x X a B a f x x X +
e =+ =+ e . Jadi ( ) { } ( ) { }sup : sup : a f x x X a f x x X + e
=+ e . b.Misalkan ( ) { }inf : C f x x X = e , berartiB batas bawah
( ) f x . Jadi ( ) , f x C x X > e .Karenaa R edan ( ) f x C
> maka ( ) , a f x a C x X + >+ e . Jadia C + batas bawah( )
a f x + ............................................(i) Misalkan' C
adalah sebarang batas bawah ( ) a f x + , Adit :' C a C s + . ' C
adalah batas bawah ( ) a f x + , berarti ( ) ', a f x C x X + >
e . Karenaa R edan ( ) ' a f x C + > maka ( ) ' , f x C a x X
> e . Jadi' C a adalah batas bawah ( ) f x . ( ) { }inf : C f x
x X = e dan' C a adalah batas bawah ( ) f xmaka menurut definisi '
C a C s yang ekuivalen dengan' C a C s + . Jadi' C a C s + untuk' C
sebarang batas bawah ( ) a f x + ............(ii) Berdasarkan (i)
dan (ii) maka ( ) { } ( ) { }inf : inf : a f x x X a C a f x x X +
e =+ =+ e . Jadi ( ) { } ( ) { }inf : inf : a f x x X a f x x X + e
=+ e . 7.MisalkanX = C,f dang fungsi yang didefinisikan diX yang
terbatas diR . Buktikan : a.( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { }sup : sup :
sup : f x g x x X f x x X g x x X + e s e + eb.( ) { } ( ) { } ( )
( ) { }inf : inf : inf : f x x X g x x X f x g x x X e + e s +
eBukti : 8.
