Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

1

Jednačine i nejednačineJednačine i nejednačineJednačine i nejednačineJednačine i nejednačine

1.1.1.1. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK: Odrediti realan parametar k tako da za svako x bude zadovoljena nejednakostOdrediti realan parametar k tako da za svako x bude zadovoljena nejednakostOdrediti realan parametar k tako da za svako x bude zadovoljena nejednakostOdrediti realan parametar k tako da za svako x bude zadovoljena nejednakost

31

12

2

<<<<++++++++

++++−−−−

xx

kxx (1) (1) (1) (1)

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Nejednačinu možemo pisatiNejednačinu možemo pisatiNejednačinu možemo pisatiNejednačinu možemo pisati

31

13

2

2

<<<<++++++++

++++−−−−<<<<−−−−

xx

kxx

Kako jKako jKako jKako je imenilac pozitivan to možemo pisatie imenilac pozitivan to možemo pisatie imenilac pozitivan to možemo pisatie imenilac pozitivan to možemo pisati

(((( )))) (((( ))))13113222 ++++++++<<<<++++−−−−<<<<++++++++−−−− xxkxxxx

(((( ))))(((( )))) 2320

4340

2

2

++++++++++++<<<<

++++−−−−++++<<<<

xkx

xkx

Obje nejednačine imaju rješenje svako x ako je D<0.Dakle:Obje nejednačine imaju rješenje svako x ako je D<0.Dakle:Obje nejednačine imaju rješenje svako x ako je D<0.Dakle:Obje nejednačine imaju rješenje svako x ako je D<0.Dakle:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))1,51,7

11,5

076

0556

0163

0643

2

2

2

2

−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔

−−−−∈∈∈∈

−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔

<<<<−−−−++++

<<<<−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔

<<<<−−−−++++

<<<<−−−−−−−−x

x

x

kk

kk

k

k

2.2.2.2. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:

Odrediti parametar k tako da izraz Odrediti parametar k tako da izraz Odrediti parametar k tako da izraz Odrediti parametar k tako da izraz 2)3(2

852

2

++++++++−−−−

++++−−−−

xkx

xx bude realan za sv bude realan za sv bude realan za sv bude realan za sve vrijednosti promjenljive x.e vrijednosti promjenljive x.e vrijednosti promjenljive x.e vrijednosti promjenljive x.

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Iz uslova zadatka slijedi za svako xIz uslova zadatka slijedi za svako xIz uslova zadatka slijedi za svako xIz uslova zadatka slijedi za svako x

02)3(2

852

2

≥≥≥≥++++++++−−−−

++++−−−−

xkx

xx

Kako je brojnik uvijek veći od nule to i nazivnik mora biti:Kako je brojnik uvijek veći od nule to i nazivnik mora biti:Kako je brojnik uvijek veći od nule to i nazivnik mora biti:Kako je brojnik uvijek veći od nule to i nazivnik mora biti:

02)3(22 >>>>++++++++−−−− xkx

Sada,da bi nejednačina imala rješenje svako x treba da Sada,da bi nejednačina imala rješenje svako x treba da Sada,da bi nejednačina imala rješenje svako x treba da Sada,da bi nejednačina imala rješenje svako x treba da je:je:je:je: (((( ))))1,7076016)3(0

22 −−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−++++⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−++++⇔⇔⇔⇔<<<< kkkkD

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

2

3.3.3.3. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:

Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu .05

34log

2

2

≥≥≥≥−−−−++++

++++−−−−

xx

xx

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Iz nejednačine slijediIz nejednačine slijediIz nejednačine slijediIz nejednačine slijedi

.15

34

2

2

≥≥≥≥−−−−++++

++++−−−−

xx

xx

Kako je nazivnik pozitivan za svako x to možemo pisatiKako je nazivnik pozitivan za svako x to možemo pisatiKako je nazivnik pozitivan za svako x to možemo pisatiKako je nazivnik pozitivan za svako x to možemo pisati

0354

534

22

22

≤≤≤≤−−−−−−−−++++−−−−−−−−

−−−−++++≥≥≥≥++++−−−−

xxxx

xxxx

Razlikovaćemo tri slučaja:Razlikovaćemo tri slučaja:Razlikovaćemo tri slučaja:Razlikovaćemo tri slučaja: (((( )))) (((( ))))

φφφφ∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤−−−−

≤≤≤≤−−−−−−−−++++++++−−−−

≥≥≥≥⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−

xx

xxxx

xxxx

085

0354

50504)1

22

2

(((( )))) ]]]] ))))[[[[(((((((( ))))

−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤++++

≤≤≤≤−−−−++++−−−−++++−−−−

∪∪∪∪∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−

3

2,023

0354

5,40,0504)2

22

2

xx

xxxx

xxxx

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒≤≤≤≤++++−−−−

≤≤≤≤−−−−++++−−−−−−−−++++

∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−∧∧∧∧<<<<−−−−

2,2

10252

0354

4,00504)3

2

22

2

xxx

xxxx

xxxx

Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je:

∪∪∪∪

−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈ 2,2

1

3

2,x

4.4.4.4. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:

Riješiti nejednačinu

(((( )))) .13log2

43 2 <<<<−−−−++++−−−−++++

xxxx

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Kako je baza logaritma veća od 1 to se nejednačina svodi na:Kako je baza logaritma veća od 1 to se nejednačina svodi na:Kako je baza logaritma veća od 1 to se nejednačina svodi na:Kako je baza logaritma veća od 1 to se nejednačina svodi na:

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

3

xxxx 42

332 −−−−++++<<<<−−−−++++ 0334

22 <<<<−−−−−−−−++++−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔ xxxx

Razlikovati ćemo tri slučaja:Razlikovati ćemo tri slučaja:Razlikovati ćemo tri slučaja:Razlikovati ćemo tri slučaja: (((( )))) (((( ))))

φφφφ∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−

<<<<−−−−−−−−++++++++−−−−

≥≥≥≥⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−

xx

xxxx

xxxx

065

0334

40304)1

22

2

(((( )))) ]]]](((((((( ))))

(((( )0,03

0334

0,0304)2

22

2

∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<

<<<<−−−−++++−−−−++++−−−−

∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−

xx

xxxx

xxxx

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−

<<<<−−−−++++−−−−−−−−++++

∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−∧∧∧∧<<<<−−−−

2

5,0052

0334

4,00304)3

2

22

2

xxx

xxxx

xxxx

Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je:Prema tome rješenje nejednačine (1) je: (((( ))))

∪∪∪∪∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈2

5,00,x

5.5.5.5. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK: Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu Riješiti nejednačinu

.2

1

2

1

3

12log 25,0 >>>>++++

++++++++

x

x

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Kako je baza logaritma manja od 1 to je Kako je baza logaritma manja od 1 to je Kako je baza logaritma manja od 1 to je Kako je baza logaritma manja od 1 to je

2

1

4

125,0

2

1

3

122

1

========<<<<++++++++++++

x

x

2

1

2

1

3

12

2

1

2

1

3

12<<<<++++

++++++++

∧∧∧∧−−−−>>>>++++++++++++

⇔⇔⇔⇔x

x

x

x

03

1201

3

12<<<<

++++++++

∧∧∧∧>>>>++++++++++++

x

x

x

x

>>>>++++

<<<<++++∨∨∨∨

<<<<++++

>>>>++++∧∧∧∧

>>>>

++++++++

⇔⇔⇔⇔03

012

03

0120

3

43

x

x

x

x

x

x

−−−−>>>>

−−−−<<<<∨∨∨∨

−−−−<<<<

−−−−>>>>∧∧∧∧

<<<<++++

<<<<++++∨∨∨∨

>>>>++++

>>>>++++

3

2

1

3

2

1

03

043

03

043

x

x

x

x

x

x

x

x

(((( ))))

−−−−−−−−∈∈∈∈∩∩∩∩

+∞+∞+∞+∞−−−−∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈2

1,3,

3

43, xx

−−−−−−−−∈∈∈∈2

1,3

4x

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

4

6.6.6.6. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK: Riješiti jednadačinu

22222 −−−−−−−−−−−−====−−−−++++ xxxx

(1)(1)(1)(1)

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Razlikovati ćemo četiri slučaja:Razlikovati ćemo četiri slučaja:Razlikovati ćemo četiri slučaja:Razlikovati ćemo četiri slučaja: (((( )))) ]]]](((( ))))[[[[(((( ))))

φφφφ====⇒⇒⇒⇒−−−−====∧∧∧∧====⇒⇒⇒⇒====−−−−

++++++++−−−−====−−−−++++

∞∞∞∞++++∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥−−−−−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−++++

xxxx

xxxx

xxxxx

33062

222

,22,0202)1

212

22

22

(((( )))) [[[[ ))))(((( ))))

1022

222

2,10202)2

22

22

====⇒⇒⇒⇒====−−−−

−−−−−−−−++++====−−−−++++

∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−−−−−∧∧∧∧≥≥≥≥−−−−++++

xx

xxxx

xxxxx

(((( )))) ]]]](((((((( ))))

1022

222

1,20202)3

22

22

−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++

++++++++−−−−====++++−−−−−−−−

−−−−−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥−−−−−−−−∧∧∧∧<<<<−−−−++++

xx

xxxx

xxxxx

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

φφφφ====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−

−−−−−−−−++++====++++−−−−−−−−

−−−−∈∈∈∈⇔⇔⇔⇔<<<<−−−−−−−−∧∧∧∧<<<<−−−−++++

xxxx

xxxx

xxxxx

11022

222

1,10202)4

2

22

22

Prema tome rješenje jednačine (1) je:Prema tome rješenje jednačine (1) je:Prema tome rješenje jednačine (1) je:Prema tome rješenje jednačine (1) je: 11 21 ====∧∧∧∧−−−−==== xx

7.7.7.7. ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:ZADATAK:

Odrediti one vrijOdrediti one vrijOdrediti one vrijOdrediti one vrijednosti promj. x za koje je izraz ednosti promj. x za koje je izraz ednosti promj. x za koje je izraz ednosti promj. x za koje je izraz 42

1log

2 −−−−++++++++−−−−

xx

x realan. realan. realan. realan.

RJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJERJEŠENJE

Logaritamska funkcija je definisana za pozitivne vrijednosti a korjen za Logaritamska funkcija je definisana za pozitivne vrijednosti a korjen za Logaritamska funkcija je definisana za pozitivne vrijednosti a korjen za Logaritamska funkcija je definisana za pozitivne vrijednosti a korjen za nenegativne,dakle:nenegativne,dakle:nenegativne,dakle:nenegativne,dakle:

0402

1 2 ≥≥≥≥−−−−∧∧∧∧>>>>++++−−−−

xx

x

(((( )))) (((( ))))(((( )))) ]]]] ))))[[[[(((((((( ))))(((( )))) ))))[[[[ ∞∞∞∞++++∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈

∞∞∞∞++++∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈∩∩∩∩+∞+∞+∞+∞∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−−∈∈∈∈

,22,

,22,,12,

x

xx

******moguće su štamparske greške**********moguće su štamparske greške**********moguće su štamparske greške**********moguće su štamparske greške************