dtetxjX tj

dejXtx tj

2

1

k

kjj ekxeX

deeXkx kjj

2

1

Tételek

Tétel tx jX kx jeX

Linearitás txctxc 2211 jXcjXc 2211 kxckxc 2211 jj eXceXc 2211

Eltolás ttx tjejX ikx jij eeX

Moduláció tjetx 0 0 jX kjekx 0 0 jeX

Konvolúció txtx 21 jXjX 21 kxkx 21 jj eXeX 21

Konvolúció txtx 21

jXjX 212

1

kxkx 21

jj eXeX 212

1

Derivált txdt

d

jXj 1kx jj eXe

Derivált ttx

jXd

dj

kkx

jeX

d

dj

Skálázás atx

ajX

a

1

Mkx

1

0

21 M

i

iM

j

eXM

Parseval

dttxE

2

djXE

2

2

1

2kxE

deXE j 2

2

1

Jelek frekvenciatartományban

Néhány jel Fourier-transzformáltja

tx jX kx jeX ;

t 1 k 1

1 2 1 2 tje 0 02 kje 0 02

t0cos 2

2 00

k0cos 2

2 00

t0sin j2

2 00

k0sin j2

2 00

ttx 0cos 2

00 XX

kkx 0cos 2

00 XX

tsgn

j2

ksgn

j

j

e

e

1

1

t

j

1

k je

1

1

tet

j1

0

kqk ; 1q jqe1

1

0

dtetxsX st

j

j

stdsesXj

tx1

12

1

Tétel tx sX

Linearitás txctxc 2211 sXcsXc 2211

Eltolás ttxtt tsesX

Csillapítás Moduláció

tetx sX

Konvolúció txtx 21 sXsX 21

Derivált tx , 0 xssX

Integrál

t

dx0

sXs

1

Végérték tételek ssXx

s lim0 0Re s

ssXx

s 0lim

0Re s

Laplace

Jelek komplex frekvenciatartományban

LaplaceNéhány jel Laplace-transzformáltja

tx sX

t 1

t

s

1

tet s

1

tt 0cos 20

2 ss

tt 0sin 20

20

s

tt 2

1

s

ttet

2

1

s

dtetxjX tj

dejXtx tj

2

1

k

kjj ekxeX

deeXkx kjj

2

1

0k

kzkxzX

1

1

2

1

rz

k dzzzXj

kx

0

dtetxsX st

j

j

stdsesXj

tx1

12

1

FI jelek

DI jelek

js

jTjTsT reeeez Tjj ee

jrez

js

je jrez

j FI jelek

DI jelek

Belépő jelek

Tétel kx zX

Linearitás kxckxc 2211 zXczXc 2211

Eltolás rkxrk rzzX 0r

Csillapítás Moduláció

kqkx

q

zX

Konvolúció kxkx 21 zXzX 21

Ált. derivált 1kx 0zxzzX

Késleltetés 1kx 11 xzXz

Független derivált qkx

dq

d, qzX

dq

d,

0k

kzkxzX

1

1

2

1

rz

k dzzzXj

kx

zXxz

lim0 zXzxz

1lim1

Végérték tételek:

kx zX

k 1

k

1zz

kqk qz

z

kk 0cos

1cos2

cos

02

02

zz

zz

kk 0sin

1cos2

sin

02

0

zz

z

1kkqk

2qz

z

kk

21zz

Néhány jel Z-transzformáltja

jrez js

jje

FIDI

k t1r 0

BELÉPŐ

th kh

Jelek leírása frekvenciatartományban

dtetxjX tj

dejXtx tj

2

1

k

kjj ekxeX

deeXkx kjj

2

1

0k

kzkxzX

1

1

2

1

rz

k dzzzXj

kx

0

dtetxsX st

j

j

stdsesXj

tx1

12

1

jjeFIDI

k t

U(j) U(j)H(j)H(j)U( ) U( )H( )H( ) je jejeje

th kh

Rendszerek leírása frekvenciatartományban

jHjUthtu F jjF eHeUkhku

jjeFIDI

k t

jX(j) X(j)X( ) X( )jeje je

djjH T bAEc 1)( deeH jTj bAEc 1)(

th kh

ÁVL frekvenciatartományban

jXjtxdt

d F jjF eXekx 1

jjeFIDI

k t

jnn

jj

jnn

jjj

eaeaea

ebebebbeH

.....1

.....2

21

2210

nnnn

nnnn

ajajaj

bjbjbjbjH

.....

.....2

21

1

22

110

th kh

Jelfolyam hálózat leírása frekvenciatartományban

b0

u

-a1 -a2

y

b1 b2

jX(j) X(j)X( ) X( )jeje je

Kanonikus realizáció

Normál alak

jjeFIDI

k t

U(j) U(j)H(j)H(j)U( ) U( )H( )H( ) je jejeje

jX(j) X(j)X( ) X( )jeje je

djjH T bAEc 1)( deeH jTj bAEc 1)(

jnn

jj

jnn

jjj

eaeaea

ebebebbeH

.....1

.....2

21

2210

nnnn

nnnn

ajajaj

bjbjbjbjH

.....

.....2

21

1

22

110

th kh

Rendszerek leírása frekvenciatartományban

jHjUthtu F jjF eHeUkhku

jXjtxdt

d F jjF eXekx 1

FIDI

k t

U(s) U(s)H(s)H(s)U(z) U(z)H(z)H(z)

th kh

Rendszerek leírása komplex frekvenciatartományban

sHsUthtu L zHzUkhku Z

jrez js

BELÉPŐ

FIDI

k t

sX(s) X(s)zX(z) X(z)

dssH T bAEc 1)( dzzH T bAEc 1)(

th kh

ÁVL komplex frekvenciatartományban

ssXtxdt

d L zzXkx Z1

jrez js

BELÉPŐ

FIDI

k t

th kh

Jelfolyam hálózat leírása komplex frekvenciatartományban

b0

u

-a1 -a2

y

b1 b2

Kanonikus realizáció

Normál alak

jrez js

BELÉPŐ

sX(s) X(s)zX(z) X(z)

n

n

nn

zazaza

zbzbzbbzH

.....1

.....2

21

1

22

110

nnnn

nnnn

asasas

bsbsbsbsH

.....

.....2

21

1

22

110

FIDI

k t

th kh

Rendszerek leírása komplex frekvenciatartományban

jrez js

BELÉPŐ

n

n

nn

zazaza

zbzbzbbzH

.....1

.....2

21

1

22

110

nnnn

nnnn

asasas

bsbsbsbsH

.....

.....2

21

1

22

110

sX(s) X(s)zX(z) X(z)

dssH T bAEc 1)( dzzH T bAEc 1)(

ssXtxdt

d L zzXkx Z1

U(s) U(s)H(s)H(s)U(z) U(z)H(z)H(z)

sHsUthtu L zHzUkhku Z

jrez js

jje

FIDI

k t

U(z) U(z)H(z)H(z) U(s) U(s)H(s)H(s)

U(j) U(j)H(j)H(j)U( ) U( )H( )H( ) je jejeje

zX(z) X(z) sX(s) X(s)

jX(j) X(j)X( ) X( )jeje je

dzzH T bAEc 1)( dssH T bAEc 1)(

djjH T bAEc 1)( deeH jTj bAEc 1)(

n

n

nn

zazaza

zbzbzbbzH

.....1

.....2

21

1

22

110

jnn

jj

jnn

jjj

eaeaea

ebebebbeH

.....1

.....2

21

2210

n

nnnn

nnn

asasas

bsbsbsbsH

.....

.....2

21

1

22

110

n

nnnn

nnn

ajajaj

bjbjbjbjH

.....

.....2

21

1

22

110

1r 0

BELÉPŐ

th kh

Rendszerek leírása frekvenciatartományokban

jrez js

jje

FIDI

k t

dzzH T bAEc 1)( dssH T bAEc 1)(

djjH T bAEc 1)( deeH jTj bAEc 1)(

n

n

nn

zazaza

zbzbzbbzH

.....1

.....2

21

1

22

110

jnn

jj

jnn

jjj

eaeaea

ebebebbeH

.....1

.....2

21

2210

n

nnnn

nnn

asasas

bsbsbsbsH

.....

.....2

21

1

22

110

n

nnnn

nnn

ajajaj

bjbjbjbjH

.....

.....2

21

1

22

110

1r 0

BELÉPŐ

th kh

Rendszerek stabilitása

iii p 10AE

iii p 10AE iii p 0Re0AE

iii p 0Re0AE

b0

u

-a1

y

b1b3 b2

-a2-a3

Kanonikus realizáció

n

n

nn

aaa

bbbbH

.....1

.....2

21

1

22

110

nnnn

nnnn

aaa

bbbbH

.....

.....2

21

1

22

110

sj ze j

Normál alak

Kanonikus realizáció

u

-a3 b3

-a2 b2

-a1 b1

b0 y

n

n

nn

aaa

bbbbH

.....1

.....2

21

1

22

110

n

nnnn

nnn

aaa

bbbbH

.....

.....2

21

1

22

110

sj

ze j

Normál alak