Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan Kontinu

Jenis Fungsi Distribusi Probabilitas1.      Fungsi Distribusi Diskrit

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak

diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku :

) = Q = 1-P. Jika P = P(A)  tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari

eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.

Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara independen, menghasilkan peristiwa A

dan sisanya  maka peluang terjadinya peristiwa sebanyak  kali di antara , dihitung oleh:

                       

Dimana:

P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .

N    = jumlah kejadian.

R    = jumlah kejadian yang diharapkan

P    = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)                                              

Q  = peluang kegagalan (tidak terjadi) =

, jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu) satuan waktu   dengan Contoh:

Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode  tahun adalah 359m3/det. Tentukan

dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:

a.    Tidak terjadi ?

b.    Terjadi satu kali ?

c.    Terjadi dua kali ?

d.    Terjadi tiga kali ?

e.    Rata-rata dan deviasi standarnya ?

b)     Distribusi Peluang Poisson

Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N

cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga tetap,  distribusi binomial menjadi

distribusi Poisson, dilakukan pendekatan  sedangkan

Dirumuskan menjadi  dimana:

P(R)= peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian

R    = jumlah kejadian yang diharapkan

   =rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.

N   = jumlah kejadian.

      e    = 2,71828

Dengan parameter statistiknya sebagai berikut::

a.       rata-rata hitung (mean)                                          

b.      Variansi                                                                                    

c.       Deviasi standar                                                                        

d.      Kemencengan                                                             

e.       Koefisien Kurtosis

Contoh:

Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun.

Berapa peluang terjadinya banjir 550 m3/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode

umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?

Jawab:

Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah:

             , dan  sehingga:

         =

Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur

tersebut akan terjadi banjir priode 200 tahun dengan peluang

c)      DISTRIBUSI  PELUANG HIPERGEOMETRIK

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek

yang dipilih tanpa pengembalian. Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang berisi 10 buah

kembang gula, kesemuanya narnpak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda

tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa

almond (rasa ini tidak anda suka). Jika anda mengarnbil 5 buah, berapa probabilitas bahwa

anda akan mendapat 3 rasa marshmallow? Ini adalah kasus probabilitas dimana jumlah

keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan hasil. Pertama-tarna kita harus mengetahui

jumlah cara pengarnbilan 5 buah kembang gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula.

Kita dapat menggunakan formula ini:

Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan

rasa marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara

pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah

kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di

dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah

kembang gula rasa marshmallow adalah:

Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:

Peluang Binomial                    perhatian hanya untuk peluang BERHASIL

Peluang Hipergeometrik         untuk kasus di mana peluang BERHASIL  berkaitan 

dengan Peluang GAGAL

ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek      

     (BERHASIL dan GAGAL)

Percobaan hipergeometrik  adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:

1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan        

sebagai    "GAGAL"

Definisi Distribusi Hipergeometrik:

Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya)

termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan

banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

                                             untuk x = 0,1,2,3...,k

Contoh 8 :

Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berapa

peluang diperoleh 3 kartu hati?

N = 52             n = 5                k = 13              x = 3    

           

           (selesaikan sendiri !)

Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :

 Rata-rata =                       Ragam =

Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas

      

dan perhatikan bahwa    dan   

N : ukuran populasi atau ruang contoh

n  : ukuran contoh acak

k  : banyaknya penyekatan atau kelas

xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh

ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi

Contoh 9 :

Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan

motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H".   Jika secara acak diambil 5

orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2

orang merk "H"?

Jawab :

N = 10,            n = 5

a1 = 3,         a2  = 4,           a3= 3

x1 = 1,         x2  = 2,           x3= 2

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial : 

         Binomial untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)

         Hipergeometrik untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)

Contoh 10 :

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah

Putih.  Berapa peluang

a.         terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak dengan

pemulihan?

b.         terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak tanpa 

pemulihan?

Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :

            p = 2/5 = 0.40              n = 4                x = 2

            b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik

            N = 5               n = 4                k = 2                x = 2

            N-k = 3            n-x=2

           

            h(2; 5, 4,2)  =

d)     Distribusi Binomial

Distribusi probabilitas dari vaiabel acak binomial X:

P =  px qn-x

Soal :

100 biji telur berpeluang cacat 5%... .jika diambil 3 biji telur. berapakah peluang satu telur

yang cacat?

Jawab :

Gunakan rumus di atas , untuk n = 3  dan x = 1

p adalah peluang terambil  telur cacat = 5% =

q adalah peluang terambil  telur baik = 1- 5% =

P =

   =   = 0,135375

e)      Distribusi Multinomial

Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah

eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa  dengan peluang  Terhadap eksperimen ini kita

lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat  peristiwa  peristiwa

peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut :

 

    

Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa  berturut-turut adalah

Variansnya

Contoh :1)      Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1, mata 2,

… mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah

     

2)      Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin

C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut

sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu

disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan

jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.

Jawab :

Jelas bahwa P (dari mesin A)  P (dari mesin B) = dan P (dari mesin C)  Dengan rumus di atas

didapat :

P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

2.      Fungsi Distribusi Kontinu

Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas

himpunan semua bilangan real R, bila:

Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.

b.        dengan a = 3 dan b = ∞,maka:

c.       Untuk x ≥ 0, maka:

Rata-rata masa pakai alat itu selama 2 bulan

Beberapa Distribusi Khusus Kontinu

a)      Fungsi Distribusi Normal

Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada  dengan persamaan umumnya :

=

dengan :

 fungsi densitas peluang normal

  = 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal .

                 = 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal

 = Variabel acak kontinyu

                = parameter, rata-rata untuk distribusi.

               = parameter, simpangan baku untuk distribusi.

untuk - maka dikatakann bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting distribusi normal:

1)      grafiknya selalu ada di atas sumbu datar .

2)      bentuknya simetrik terhadap x = μ.

3)      Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada

 sebesar

4)      Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari  ke kiri.

5)      Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

b)     Distribusi Gamma

Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi

yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma

merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan. Terlebih dahulu akan

diperkenalkan sebuah fungsi gamma.

  Fungsi gamma r () adalah :

r () = , untuk > 0

Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :

1.      Untuk sebuah bilangan bulat positif n,  (n) = (n – 1) !

2.      Didefinisikan =  (1/2) =

  Distribusi gamma

Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter dan , bila padatnya

diberikan oleh :

f(x : , ) =                   = 0 untuk x lainnya Bila > 0 dan > 0

  Distribusi Gamma Standard

Jika parameter skala sebuah distribusi gamma = 1 diperoleh suatu distribusi gamma

standar.

FG = (x : ) = P (X x) =

P (X x) = FG (x ; , ) = FG

Contoh :

Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru  (dalam ribaun

jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu

distribusi gamma dengan = 8 dan = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru

dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran

kerja tersebut!

Jawab :

P (60  x 120) = P (x 120) – P (x 60)

                            = FG (120; 8 , 15)  - FG (60 ; 8, 15 )

                            = FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8)

                            = FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)

                            = 0,5470 – 0,0511 = 0,4959

c)      Distribusi Eksponensial

Distribusi Gamma khususnya dengan = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak

kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter , bila fungsi padatnya diberikan oleh :

1.      fE (x ; )   = e-x/ x 0

                        = 0 untuk x lainnya

      Dengan > 0

2.      FE (x ; ) = P (X x) = = 1 – e-x/

Contoh :

Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan

tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem mulai

memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi eksponensial

dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan

selambat-lambatnya setelah 10 detik.

P (X 10) = F (10 ; ) = 1 – e-10/0,2 = 1 – e-2 = 1 – 0,135 = 0,865

d)     Distribusi Khi-kuadrat (X2)

Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila = V/2, = 2 dan V bilangan bulat

positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan derajat

kebebasan V.

Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V, bila

fungsi padatnya diberikan oleh :

Fx2 (x ; v) =

                  = 0 untuk x lainnya

Teorema :

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah :

= dan 2 = 2

Akibat 1

Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah

= dan 2 = 2

Akibat 2

Rataan dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah

= V dan 2 = 2V

DAFTAR PUSTAKA

Djarwanto, dkk. 1996. Statistik Induktif. BPFE :Yogyakarta

Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga : Jakarta.

Herrhyanto,Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematis.CV.Yrama Widya:Bandung

Diposkan oleh Unknown di 23.55 Kirimkan Ini lewat Email BlogThis! Berbagi ke Twitter Berbagi ke Facebook Bagikan ke PinterestLabel: Matematika

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Posting Lebih Baru Posting Lama Beranda Langganan: Poskan Komentar (Atom) Ada kesalahan di dalam gadget ini Ada kesalahan di dalam gadget ini

Label

Fiksi (3) Kesehatan (2) Matematika (1) Wisata (1)

Clock

Arsip Blog

▼   2013 (5) o ►   November (2) o ▼   Juni (3)

Ngelindur RINDU AYAH #1 Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan Kontinu

►   2012 (7)

►   2011 (1)

Pengikut