中華民國第十三屆海洋工程研討會論文集民國 80年11月

Proc. 13th Conf. on Ocean" Engineering in Republic of China ，Nov. 1991

j醬堤後渦流對自由液面之影響

廖慶堂*

摘

唐啟釗**

要

本文利用流函數 (stream function) 及旋度 (vorticity) 以數值，方法求解由

靜止加速至穩定流量之自由表面黏性流，受二維潛堤之影響引起之流場變化。計算

過程中，應用有限解析法配合以自動格網密度控制 (adaptive grid density con-

tro 1)之移動貼壁座標系統，滿足完全之非線性自由液面條件，以求得時間精度解

O 所得之結果根據水深、福祿數、雷諾數之變化以探討自由表面水位變化及產生渦

流現象之互制作用 o

~一、周 IJ " ;;;

海洋與河川中常有變量流流經潛體之現象，由於低黏滯性流體，譬如水，在經

過鈍形物體常引起渦流 (vortex shedding) 效應，而若在水深與障礙物高度比不

甚大之狀況下，自由表面亦因而產生互制影響 D 渦流使局部區域之流場速度變化，

剪力及壓力分佈改變，使結構物及基礎底床承受不均句負荷而可能導至其變形、沖

蝕、翻轉甚至產生嚴重破壞。而邊界幾何形狀及位置之改變，終使附近流況因而變

化，直接或間接衝擊生態環境，產生不利影響。

本文研究之目的，旨在利用數值分析方法，探討在有限水深下，二維自由表面

流，在瞬變加速入流下，流經潛體時對自由表面以及內部流況之變化，提供實際工

程設計應用及研究參考 D 前人之研究在非穩定自由表面流之數學分析，一般均忽略

*港灣技術研究所助理研究員

州國立成功大學水利及海洋研究所副教授

- 408 一

黏滯性之作用，以勢能流理論加以近似其物理現象。理論解析方面，大多使用微擾

方法對自由表面作不同處理(如 Lamb，1932等) ，亦有利用數值方法求解(詳細回

顧可見 Yeung，1982等) 0 至於而對不含自由表面之黏性流流經障礙物之分離及渦 i

流現象，亦散見甚多文獻，殊不列舉。若以無因次參數而言，含自由表面變化現象

者與福祿數 (Froude number) 有較大關聯，而流經障礙物產生分離及禍流現象者

與雷諾數 (Reynolds number) 有較大關聯。如同在船浪阻力研究，本文所欲探討者

，福祿數與雷諾數則須同時考慮，而除此兩種參數同時重要之情況外，亦須考慮水

深引起之效應 o 由於非穩定之自由表面變化，自由表面不但存在切線方向速度場，

亦有垂直表面分量，故在此狀況下，自由表面不能表為流線，故流函數不為定值，

本文係利用自由表面動力及運動條件，以求出流函數、水位、渦度與其他變數之瞬

時變化關係式 O 因此本文提供了一種以流函數與渦度解析非種態、黏性自由表面流

的數學表式，而再應用電子計算機以數值方法得出整個流場之分佈變化 o

本文所採用之數值方法，在微分方程式離散為代數方程式過程，使用區域性之

解析解以表示各離散點問之關係式，再應用沿線矩陣求聯立解方式，以疊代方式(

L.S.O.R) 滿足控制方程式及相關邊界條件，此即有限解析法 (Chen & Chen，.1982

) 0 由於自由表面存在瞬時移動特性，為方便處理此處邊界條件，故採用移動貼壁

座標。而又因在某些區域因精度不足，導致數值求解有飄移振盪而設慢收斂之現象

，故使用程式自動偵測收斂過程中最大誤差產生處，自行調整格網密度 (arlaptive

grid-densitycontrol) ，可加速其收斂速度。由於在每一時階，均要求滿足所有方

程式及邊界條件，故所得之解為時間精度解。:可

數值解獲得後，本文針對主要參數:水深比、福祿數、雷諾數之影響加以討論

分析，並作出後續研究之建議方向，而實驗之驗証工作，則將於後續研究再繼續進 1

行，以確認目前計算之準確及可信度。

二、基本方程式及邊界起始條件

考慮二維不可壓縮黏性流體流動，如圖 1 ，若定義流函數 w (stream function

U二仇， u二-cþx

- 409 一\

(l)

及旋度函數 ω(Vorticity) ，

ω= Vx -uy

則其滿足無因次化之方程式:

ωt+Uωx+V 的=τLMzz+ω1JtJ JIl.e - J J ，

CÞxx+cþyy三一 ω

(2)

(3)

(4)

式中各項含下標者表示對其微分， (u ，v) 表速度向量雷諾數， Re= 手， 0為障礙物寬長度， u為入流穩定均句流速， ν 為流體之運動黏滯係數 o

若曲線座標 (ç ，η) ，與卡氏座標伏， y) 間之關係為一對一且映成，即

則必須滿是 J手 O 即

x二xC~ ，可) Y=YC~. ，η〕

由微分幾何關係，則

T !l伏，y)àC~ ，η) 一

Xt; X η

二 Xt;Yη-X 可Yt;~OYt; Y 可

及

U二仇 =CXt;cþη-Xη 仙d/J

U二一ψz 二一CYηCÞt;-Yt;ψη)/J(5)

V2ω=Re {ωt +CCU-Xt )y 可 /J一CV-Yt)Xη/JJωE

+C-CUt-Xt; )Y/J+Cv-Yt)Xt;/JJωη

V2ψ 二 ω

、δ~ ...L '}"12 ~ ，~22 à2， .C1 à .r. à

V2三gll 友i +2g12 友否可 +g22 否尹+fl有+f2 百7

- 410 一/

(6)

(7)

其中

lZll二(X，/+Y 可 2) / J2

g12三一 (XeYη+YeYη)/ J2

g22三(X/+Ye2)/P

fl 二((Jgll )e+(Jg12)ηJ/J

f2 二((Jg12 )e+(Jg22)ηJ/J

而 (6)式中叭， Yt 表示因座標移動所產生的速度。此處所考量之二控制方程式均以運

動學 (Kinmatics) 觀點描述流場變化，而不直接以作用力平衡之動力學觀點表之

O 此兩式之物理意義， (6)式為接度之傳輸方程式，表示旋度在流場中對流與擴散量

隨時間的變化關係 ;(7)式則為描述流函數與旋度關係的 Poisson 方程式，由於二維

流場定值之流函數為一流線，故可視旋度為一源項( Source) 來改變勢能流場中因

旋轉運動所引起流線擾動分佈狀況 D 總言之，在此二維流場中， cþ 與 ω為聯立方程

式 (6)式及 (7)式求解之主要變數，欲求其唯一解則尚須滿足流場之起始條件與相關之

邊界條件。

本文所研究之初始條件為整個流場為靜止狀態，即

cþ (ç ，刀，0) 二O

ω(ç ，η ，0)=0

其中流場因變數 ψ ，ω以函數 f (ç ，η ，t) 表示 o

至於邊界條件則參考圖 1 ，分述如下:(1)上游邊界條件: (x= 一xo ，~= ~o)

由於計算時上游端之邊界尤其近底床處，並不十分確定，本文採用考慮無自由

表面變化之黏滯流計算結果，作為上游端邊界條件。

首先由靜止以雙曲線正切函數型態均句加速至穩定方式計算，即上游遠端流速

為

I 0U(t) 二 4

I tanh t

t 三三 O

t>o

- 411 一

at X =一(xo+l) (8)

經過不同長度 1之計算至本文研究之上游端 X= - Xo ·確定其中 d 、ω 已達相同

變化時，再採用為上游端邊界條件。

(2)潛體表面及底部邊界條件: (少=0 ，η=ηo )

因潛體表面及流場底邊邊界同為一條流線，令其流函數為零 O

仙二o at η= 刀。

且視潛體表面及底邊邊界為旋度源( VOY 、ticity Source) .因為 φ 在此為常數，

則

CÞr;二o ，先可二 0 ， CÞr;r;二o ，且似二 O

故

ω二_g'?lcþ 可可

(3)下游邊界條件: (x 二爪， ç = Çmax)

下游計算邊界處，假設 y方向速度及旋度沿流向之變化忽略不計，即

(9)

ψE 二O

ωE 二 Oat ç=çmax

位。

(11)

(4) 自由表面邊界條件 :y=Y(x .t).η=ηmax [Ta呵，1991]

(i)運動條件:在自由表面之流體質點永遠保持在自由表面上，即

CÞr;+Xr;Yt 二O

'沿自由表面積分，可得

cþ=cþo- s:。川dç at 句 η=ηmax 吐白

( i i )動力條件:由動量方程式及沿自由表面 η=η 似的壓力變化為零，即

一412 一

。戶_ òp òx . ò戶 Òy_ ^一一一一」一一-..òt; - òxòt; I òyòt; ，-V

Y二丸寺(心V02一(⋯))-Fr2 s;。心川11; )

主(g叫+仰η))dt; 的

其中含下標"。"表上游之自由表面位於~ =豆。之值 o (13)、(14)兩式可分別決定自由表面的流函數與其位置，而自由表面的旋度 ω' 可由剪應力為零推得 [Tang，1987]

òu，ω三-2----"ιrm

at η= 句max (}4)

其中 n為自由表面之正交向量， U 1為表面切線流速，一般應用在自由表面曲率及流

速不是很大狀況下，其邊界層厚度甚薄，可忽略之，而直接以 ω=0 來描述 Q

以連動條絆來求解自由液面的 φ ，以動力條件來求解自由液面的 y ，由於此兩

條件是非線性聯立條件，因而計算自由被面 Y時加入次鬆抽 (under-relaxization)

因子以艦和不安定的情況。

三、數值方法

本文所應用之數值方法係合併貼壁座標生成、控制方程式求解、以及邊界條件

處理三大條件。其中微分方程式離散過程使用有限解析法，邊界條件之微分項以二

次或一次差分法表之，而積分項則以辛普森梯法則行之。以下，僅擇貼壁座標生成

及有限解析法加以討論。

貼壁座標生成

由於自由表面的幾何形狀為一變數，故在求解過程中必須允許變動，以合適該

處之非線性邊界條件，因而座標的選取直接影響求解的安定性與準確性，本文採用

移動瞬時貼壁座標將變動之自由表面對映到計算空間上之固定邊界上，可使得計算

處理上較具彈性而得較佳之結果。

在靠近自由表面處，由於非穩態現象及計算未收斂過程邊界位置隨時變換，且

- 413

描述其上之邊界條件亦須隨之變動，故邊界及內部相鄰格點位置須不斷改變。計算

上可將物理域上改變的格點，對映到計算域上固定位置上，並以微分幾何關係將幾

何參數隨計算過程加以更新，以配合基本方程式及相關邊界及起始條件來求解對映

關係可由 Poisson 方程式來法定 O 在對應關係中，使貼壁座標線一障礙物形狀自動

形成格網密度控制分布，能有效的描述較複雜的幾何形狀邊界 o 故轉換式為:

gIIXEE+2g12xtη+g22x 抑+flX~+f2Xη 三O

gllY ~~+2g12 Y的+g22 y 仰+fly~+f2yη 三O

(]J)

ω

其中伏， y) 系統為物理平面卡氏座標，而 (s 'η) 系統為貼壁曲線座標，在每

一瞬時由其邊界幾何關係確定，而為時間之隱式函數關係。為計算方便，在應用於

所有控制方程式及邊界條件的， η) 面上使用均勻且等單位之的正方形格網，即

6.s=l ，6. η= 1 0

若 (13) 式以豆， η 指數及線性函數分佈(一維 FA解) [Chen & Patel ，1985]

則可在每一計算格點 p上表為

Xp =((gll aeαcsch a)* Xe +(gl1aeαcsch a )*Xw+(g22be-bcsch b) *几

+(g22bebcsch b)*xs+O.5g12(Xne+Xsw-Xse-Xne)J

其中

/ (2g11a coth a+2g22b coth b)

1 fla二一..

2 g"b=_l f2

2 g22

(15)

(]日

而含下標 e 、w、n 、S、ne 、se 、nw、sw 者均表計算格點在沿豆， η 正負方向移動

1單位之鄰點(參考圖 2 )，而y之分離式與上式類似。有限解析法

將控制方程式與相關邊界條件聯立，以求得流場的數值解時，-通常必須先將偏

微分方程式加以離散化，以求得代數方程式。但在分離的過程常使偏微分方程式所

包含的物理意義及式中各物理量問之平衡受到扭曲而產生誤差。因此選取適當的分

一414 一

字

離化處理，對計算的準確性有訣定性影響。本文應用較嚴謹的分離方法- ---有限解

析法 (Finite-Analytic Method) [Çhen & Chen ， 1982 ]來求解，將 (6)式 .(7) 式表

示為:

其中

ω~*~*+ω抖抖三 2A 凹 ωμ+2B 甜ωη*+S 甜、

科*吉*十�抖抖二2A<pψ~*+2B<p仙η*+S<p

的

a&

ARe ((U-xt)Yη(V-Yt)Xη)/ J_fl一

w- 2*gll**0.5

B ，，， =Re( 一(U-Xt )y~-(v-Yt) X~)/ J_f22* g22 **0.5

S叩二 Re*úJt 一2g12ω 的

A的二_ flT 2*gll**0.5

Bø=- f24。一一 2*g22**0.5

Sψ三一 ω一 2g12ψ 的

ð.f;ð.f;* 二h=-.-. 一一gll **υ.5ð.ηð.r;* 二k 二..一

g""**0.5

(17) • (18) 式中各微分項之係數 A • B及非均句項 s .在計算之格點上均祉為常數，即以上次疊代之結果加以漸近，但常數在不同格點上通常允許有不同的值，故

於收斂後之解在每一格點上均能滿足控制方程式及格網相鄰邊界條件的非線性特性

o 除時間微分項以一次差分表示外，餘則利用解析技巧，於小格網上以數學方法解

此簡化之微分方程式，並將此解析解表為離散化之代數式的 l方法即為有限解析法，

簡言之，可以表示為:

1Jp二三C的札 b-CpS

其中 q;p 表示欲求解格點之變數值，下標的表附近格點之相關變數值. C nb稱為 FA係數且符合 Patankar[1980] 之討論:

1 三三C叫三三 O

- 415 一

2:C耐三 1

各FA係數定義詳見 Chen & Chen，1982

至於邊界條件的處理，理論上應將邊界附近區域以 FA法解控制方程式，配合該

處邊界條件，另求得在邊界處的分離化代數式 J 然對數值方法而言，此並非十分必

要，且益增程式之複雜性 o 故本文直接以內部所得之分離化代數式配合有限差分法

表示之 O 以疊代方式在每次計算過程分別滿足內部之方程式及邊界條件，而得最終

之收斂解。

為了加速收斂性，利用連續鬆抽因子 α(S.O.R.)

φpn+1三φIpn+α(<I>p n+ 1φp n)

而收斂控制為:

|φ戶n+lφpn 1<ε

其中 φp 表示 x ' y ，ø 'ω 等變數， α 值因各變數而不同，介於 1----...2 ，本文採用

1.4 。ε 為收斂控制值，以精度的要求而做不同的調整，本研究取 ε= 10 -5 0

由於考慮黏滯性，故無滑移條件使得底部及潛體表面為主要接度源，但因邊界

旋度的指定在應用流函數及旋度數值求解時是一個不穩定的條件，在數值實驗中可

觀察到以線性差分處理旋度條件比二次差分者較為穩定，根據判斷在分離現象後之

再接觸點 (reattachment) 有引起旋度變化太大之可能，而對收斂速度有變緩之影

響，經由最大誤差為加哥格網控制函數 (f 1)之指標下，彈性增加解析度，以提高

精度 O 經由數值計算發頃，對計算收斂有實質幫助。

瞬時自由表面的修正，影響格網生成之效率，因為自由水面高度變化量不大，

因而在格網修正時只修正求解區域之上半部，可以節省壘代時間。

本計算模式在同一時階，採內、外兩層疊代和收斂控制，使自由液面高 y ，流

線函數 ψ ，旋度函數 ω ，同時收斂為收斂 o 故在每一時階穫得之解，均能表示時間

精確 (time accurate) 值。

四、結果與討論

影響本文定義下流場變化的主要參數除福祿數 (Fr) ，雷諾數 (Re) ，上游入

流速度 (U(t)) ，尚有水深及障礙物本身之形狀等。由於障礙物形狀及上游加速流

場形態非本文主要探討主題，故此因素在此不予考慮。本文僅就福祿數及雷諾數之

- 416 一

相互變化，對流場特性之影響，加以探討。本文研究過程所計算之流場甚多，以下

僅就水深為兩倍障礙物高情況擇要繪圖討論之 D

基本上，當時間 t小於 100左右，上游流場尚未趨近穩定流速，在此過程，流線

先是呈現左右對稱於潛體狀態，待 t 大於約 30至 50 (與Re 、Fr有關) ，則堤前後均

開始產生分離現象，而堤後，亦有再接觸現象。而堤後之渦流產生後將沿下游傳遞

。圖 3至圖 4表示在 Re=500 ，Fr=0.15 ，流場之流線函數與英度函數等值線隨時

間之演變圖，圖 5表示各種流況之速度向量圈，圖 2表示各種流況之水位變化圖 O

在顯示圈中，可看出渦流傳遞之演變過程，渦流產生週期約為 30 ，在向下游傳遞過

程，新的渦流現象於堤後再次產生。因此可判定既使上游保持穩定流量狀況下，流

場仍皇非線性變化，而自由液面亦隨之產生變化，尤其是 Fr愈大時，則愈顯著，此乃 Fr-Re 互制影響之結果。

由於自由液面邊界條件之重要性，尤其是動力條件，包含非線性之動量傳遞項

，非穩性項及重力、黏性力之相互卒衡關係，因此，如圖 6 ，將動力條件中各項隨

時間之演變加以量化繪圖表之 o

經數值試驗結果，得知目前之計算模式存在不安定區域，當增加福祿數 Fr ，將使自由液面振盪不安定而無法收敘於預定精度內，在目前水深及 Re下，經觀察產生不安定之 Fr值( 0.時，此亦與潛堤形狀有關係)目前計算使用 Ft=0.15 。類似情況

在 Forbes & Schwartz[1982] 所發表之文獻，對穩定無黏滯性自由液面流經半圓柱

潛體之解析解，亦有無解區域之討論，由於潛體後之渦流現象更增其解之複雜性，

相信更詳細之研究是必須的。在流動初期，遠離物體上下游，非穩項( US) 與重力

項 (GRAV) 相互平衡，而靠近物體，因斷面縮小〉動量傳遞項( CV) 亦顯示相當之

影響，隨著時間繼續進行，則重力項與動量傳遞項(或速度項差)相互平衡，兩者

均以物體上方較為顯著。

綜合計算結果，對於各種參數對結構物之;影響如下:

1.福祿數 (Fr) 對自由液面影響: Fr愈大則水位變化愈大， Fr太小時對自由被面

不會產生影響，但當 Fr太大時，非線性動量傳遞作用。使動力條件之形成不安定，而有產生發散之可能 o

2. 雷諾數 (Re) 對流線函數，旋度函數分佈之影響:當 Re愈大則流線函數與接

度函數分佈愈呈校長變化 D 而堤前分離點有愈往前移之趨勢。

- 417 一

3.處理自由液面條件各項數值平衡關係，初期為非穩項與重力相互平衡，於長時

間後即大部份為對流項和重力項所控制，而非穩項漸趨於零，除非堤後渦流影

響自由表面變化，而呈瞬時週期變化，黏性所指演之角色乃在改變堤後流場，

而問接對液面產生影響。

4. 自由液面計算，剛開始時由起點向終點傾斜，爾後調整潛體附近的水深，此時

終點會逐漸抬高 D 至 t為 100左右，水位大至己穩定且維持一段時間，直至 t為

130 左右，水位最低點往下移至潛體中央上方偏後(在 t = 100之前，最低點均

在潛體中央上方) ，爾後最低點又返回潛體中央上方附近 o 此乃渦流與自由表

面之非線性互制作用 O

5.渦流的生成有週期性現象，當渦流生成而後逐漸往下游帶走而消散 o

又從本研究之數值實驗中，可歸納出對數值方法本身之討論。

l.FA 在不等均勻格點處，亦能合理反應物理現象，在高雷諾數下，自動變為上風(upwi nd) 分佈，而 .6.t之大小亦適足反應瞬時變化。

2. 以逐線疊代法的過程中，採用沿巴方向疊代較為穩定，但需時較久，因為邊界

條件較不易直接反應於內部計算值(指自由液面和底床) ，若使用沿 η 方向疊

代，則較不穩定，但較快收斂(適合較深水流場) ，因為自由液面和底床 ω 均

為不穩定條件，容易產生發散。

3.邊界渦流函數是一很不穩定條件，為使更詳細描述渦流函數在邊界上安化，使用逐時更新格網以增加變化大的地方的精密度，此較固定密度之格網有效率。

4. 本計算使用彈性 (adaptive) 調整格網密度，有助於 reattachment 之解析度，

而增加收斂速度。 ，1

結 5ö.E間

本文介紹一有效率的計算方法以分析黏滯性，非穩性含自由表面流場。由於複

雜的現象，所包含之影響參數甚多，致使計算過程及分析之流況有很大之限制 o 其

最主要原因，非在控制方程式求解問題上，而在於邊界條件之處理。

在較長之計算時間差距，常使非穩定項產生極大誤差，此誤差有極大可能使非

線性自由表面之不安定性變劇而導致發散之結果。另外， Fr為主要影響自由液面條

件之一，在太大 Fr值下非線性對流項與水位變化之相互平衡，變得較為敏感，易造成不穩定。至於水深之效應，在深水時，對自由被面的反應較不顯著;但淺水時，

一418 一

因非線性效應強烈。對水位之修正，易使其超越不安定區，而使 Fr不能相對提高。本文所分析的流場，均有一個共同結論，即水位變化與堤後旋渦的產生，在較高 Fr

下有較明顯的週期性現象。基於本研究之後續研究，有下列之建議:

1.於研究過程中發現，在更新自由液面的水位時，較大之 Fr數流動常有液面收敘至某一較寬大的誤差範圍內(如 5* 10 -.3 )而無法再得到更精確解，隨後經過誤

差振盪現象後，自由表面位置之計算漸漸偏離而有發散可能。由於此現象係出

現在流場下游端處，故相信在此處邊界條件之求解處理方式有導致不安定之機

構，由於觀察之數值實驗尚不足以確定真正原因，故此現象有待進一步研究。

2.福祿數及雷諾數相互影響自由液面求解之收斂過程，故各參數在此現象之敏感度分析，亦有助於數值技巧之改進 o

3.本研究雖有嚴謹的理論分析方法依循，仍應與實驗相驗証，以確讀本模式的計

算結果。

參考文獻

1.Chen C. J. & Chen H. C. 1982 "The Finite-ana1ytic method" IIHR Report

232-IV ，Iowa Institute of Hydrau1ic Research ，The University Of Iowa ，

Iowa City

2.Chen H. C. & Pate1 V. C. 1985 " Ca1cu1ation of Tai1ing-Edge ，Stern and

Wake F10ws by a Time 旬 Marching Solution of the Partia11y-Parabo1ic Equ-

ations" IIHR Report 285 ， Iowa Institute of Hydrau1ic Researrhj The

University Of Iowa ， Iowa City

3.Forbes ，L. K. & Sch~artz ，L. W. 1982 "Free-surface F10w Over A Semici-

rcu1ar Obst~uction" J.F.M. 114 ，pp299

4.Patanker S. V. 1980 "Numerica1 Heat Transfer and F1uid F1ow" MacGraw

-Hi 11

5.Tang ，C.J. ，1987 "Free-surface F10w Phenomena Ahead of a Two-dimensiona1

Body in a VisoUs F1uid" Ph.D. Thesis ，The University of Iowa ，Iowa City

6. 唐啟釗 1990 "二維自由表面種定流計算法在水利學上之應用"第五屆水利工程

研討會

7. 傅文隆 1990 "二維非壓縮性自由液面層流通過半圓柱的數值研究"國立台曹大

學造船工程研究所碩士論文

8. 廖慶堂的 91 "二維淺堤對時變流場之作用"國立成功大學水利及海洋工種研究

所碩士論文

一419 一

圖 l 求解區域示意圖

Fr=0.15Re=500YmaxH=1

-1.00

10-1.05

8

~哥毯，這-叫-

6

童話還

42O

L←→一←一←巴拉向三主主吾國

-21.10

1.05.

---..------

1.00

0.95

0.95

0.90

2 4X

6 80.85

10

圖 2 水位變化歷程圖

- 420 一

士:::5 (L1tjJ=O.05)

0..30

0.20

0.19

O 「一一寸-2 O 2 4 6 8 10

t.=120 ( L:.lJl. =- o. 10 )

108642

一一~一一一一一 ---0.80 - -__ - -0.8 。一-一~ι0.60 0.6。一-一ζ-0 ，40一一一一一一一一一一)一=Õ:4O

一一-一-0.20 士二=一一-一一~一一-一一~一一0.20

OO-2

t ;.130 (L:.<f=O.IO)--- O 呂

一一一古吉心芳布立百

0.00

~l \J r: ~-一〉2 O 2 4 6 8 10

哼，可

i = I言。 (LJl('= 0.1οj

O-2 O 2 4 6 8 10

圖3 流線分佈圖 Re=500 ，Fr=O.15

- 421 一

;83~二三士一三日 13O~2

O

O 2

t=5

4

wω=0.08) .

6 8 10

t = 120 (Llω 穹的

一2.00-2.00

O O

--2.00 一一← l-2.00OL J寸:、J V..........I 1\[ ♂一』 -L-叭，4、 O 2 4 6 8 10

一一一一一一一一-一一-2.0。一一，申\~三二二三;二二三二〉

O'、-ι O 2

亡-==130

4

(6ω= 3 )

-ι00- 一1旦旦~

6 8 10

O-2 。

哥主=/立。

一~一一一一一一一一一一一一一一一:lt:二三三三三一一一一一一一一一一一一一一一=j一~-...;...-.......~.一一----一﹒一--一﹒---一._-~-1:__/'/ / ..-一一一一一一一二一一一一一一一一一斗一哥+---/>三心戶一一一一~-一一一一一一一一一一~一-一一一斗一

.1--_/1 俘-，.-----一-.:;a...... - - - - -一一→一-一---一---i-~+戶戶/71 \.. ~~-...'心、、---------------斗-c:a -!- _ ~ r r I \.. T • .~~ ~ • • • • • • • • • • • • ~ • • _ • _1局~戶--~J \

字三丘→」.-刊﹒:..、:斗:ELgft叫cEEii E-OD 4.DOB ﹒∞ 8. ∞ 10﹒∞

亡=-/30電

室主二二三三三一~一一一~→戶1:__/'/ /'毛←←---_.一←瑋毛一/~/三三三二二----------一一一一一一一一一------←午-".//卉?可、、、、、、-_......，.---戶-----------、、-r-

雲午 ----//1 \ ~、、、-，.."."..- .‧- .‧.‧.‧.‧.‧.‧_.﹒「斗.- -"/"r I \. ~~•- ~•. - . - . . . . . . . --... - • • • t"哥牛⋯ l i:..'.:..-...j

.~I . -司﹒ I . \

10.00...006.00‘.002.000..00

苟

哥

哥E弋-2.00

每←一一-___ -t = (50-f--

!lt:二三三三三ZL 一←二三二二二立下--/'/手-::::---=一-一----.:-一一------一一一↑『

璽 4日 ..-/~拉弓?，...---一~九九九--一一一一一-------一?- .1.._ ..-/1 戶""r"~ ，，__、、、、--------------斗n ..--.........-..-..-------------I戶..-//I \ T T r ..﹒'‘包、、、嘻嘻『可、"、、、、、、~-r____rr I .\可可唔唔.. .‧‧‧‧‧..L- .•• •• •• •• •• ..﹒?

----一一一一一一一一一一一一一一一一t=/å'D哥

哥

哥

2哥

豎立斗;12.00 ‘.00 四 .00 D.OO 10.00

圖5 速度向量圖

....: 423 一

。00'

。002

。'。-0.002

-0.00‘-2

.'、_0.15 、且，u :-C'I..-呵。c.~ : 'tÇl ‘1-0明、 ~.u ﹒υ""﹒'‘u 且" : r;R.Av

X--.----，

10

。03。02。.01

。.0。-0.01

-0.07

-<l.o.J-2

.，﹒。15 u.ru : cl/R..50 。也」旦旦主~ :YCl1-010 0.'-'.1 闊，"_1 也且且且.. : CRI‘v

一一一一一-一一

{一了x

10

0.03

0.02

。010.00

-0.01

-0.02

。0.03

。可。2

。.01

。。。

-0.01

-0.02

F間。..u且 .1 :Cl/R.-S∞ u，..!...，!.!':\'ClT-O~ ......U.I' 峙，H-\ ‘.u..u : ÇR.a，V

-<l.o.J-2

。030.02

。0\。.0。-0.01

-0.02

-<l.o.J-2

。.03

0.02

0.01

0.00 -E

-0.01

-0.02

-<l.o.J-2

x.

x:

，r-O.15 ‘.L'U : r:vR.-500 ~~日: VCl1-\ 耳 _t..u : USlH-l 也.LLU : CRAV

.x

、。

~<暨

3。

t。

-<l.o.J-2

。03。02。01

-0.01

-0.02

-o.OJ-2

。030.02

。01。0&-1-0.01

-0.02

-<l.o.J-2

X

.'司。..、.LLU : r:vRo-SOO ~主~ : Y'ClT-120 -.‘.u : ~店1H-l 包‧‧‧‧且.1 : CRJ，.v

x

，，-0.1' 包且，色 .1 : CI/R.-500u ..u ..: : VCIT-l~ ........LI: USlH_\ 包UM : CRAY

=-

x

10

'。

圖 6 自由液面動力條件各分量分佈圖

- 424 一

Effeets of Vortex Shedding behind A SubmergedObstaele on 七he Free Surfaee

ABSTRACT~"

The viscous free-surface flow past a two-dimensional submerged

obstacle is studied numerically by the stream function-vorticity formul-

ation. In a moving body-fitted coordinate system with the adaptive grid-

density conttol ，the finite-analytic method is applied to obtain time"

accurated sùlutions which satisfy the nonline~r free-surface conditions.

The effects of the depath-obstacle heigh r~tio ，the Froude number and the

Reynoldes number on the càlculated 內 SU1ts are discussed to shed a 119ht

on the interaction of the free-surface eleyation and vortical flow behind

the obstacle.

.

/ι

- 425 一