Jesús Antonio López Perales

7/24/2019 Jess Antonio Lpez Perales

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tesis doctoral

ResumenEn el mundo de la ingeniera, desde siempre ha habido una gran atraccin por la forma curva del arcoy su fenmeno resistente. Su aparente sencillez y la pureza de la lnea que configura su forma encierrauna estructura que se adapta perfectamente para resistir cargas y vencer grandes luces.

Sin embargo, no es la forma curva la cualidad fundamental del arco, pues lo esencial de estaestructura se encuentra en los esfuerzos longitudinales de contrarresto, que se visualizan en losempujes horizontales sobre los apoyos, pese a que las cargas externas sean verticales.

En edificacin agroindustrial el uso del arco ya denota la bsqueda de una esttica que se aleje de lamediocridad general en el diseo que rige este tipo de estructuras. En arcos de cubierta predominanlas sobrecargas variables frente a las cargas constantes, por lo que el intento de bsqueda de unadirectriz que se adapte al antifunicular de una determinada combinacin de cargas pierde relevanciafrente a otras consideraciones, como la esttica, la singularidad de la edificacin, la facilidad de dobladodel acero bajo radio constante, etc.

La tipologa estudiada se centra en arcos de acero con los extremos empotrados o articulados, con laposibilidad de que los apoyos estn a nivel o, por el contrario, que exista un desnivel entre lasextremidades.

Continuando con parmetros de diseo, otro factor fundamental es el rebajamiento del arco, o relacinentre flecha y luz, que va a tener influencia en el diseo y en los empujes en los apoyos.

Compaginando ambos criterios, se decide estudiar arcos con relaciones comprendidas entre 1/5 y 1/10,recomendando el intervalo 1/6-1/8.

A la hora de estudiar mtodos de clculo, el estudio se inicia con el mtodo de los desplazamientos,que resuelve la cuestin con una perspectiva pedaggica, al seguir las deformaciones el desarrollo del
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fenmeno fsico correspondiente, a diferencia de los mtodos engoblados bajo el nombre deenergticos, que hacen intervenir entidades no tangibles que remiten directamente a las expresionesfundamentales de la flexin, compresin y cortadura.

Especial hincapi se ha realizado en el estudio de los arcos mediante el mtodo de los elementosfinitos. Se desarrolla un modelo, denominado elemento de prtico plano, en el que previamente serealiza una discretizacin del arco en elementos rectos. El elemento de prtico plano se ha determinadosiguiendo los modelos de Timoshenko y de Euler-Bernoulli, obtenindose todas las expresiones que seresumen en la matriz de rigidez completa del elemento.

Por ltimo se analiza el pandeo de estas estructuras, comenzando por estudios empricos para arcosconcretos y continuando con la generalizacin y estudio del pandeo global mediante autovalores,obtenindose la matriz de rigidez geomtrica del arco. Adems se introduce la base matemtica paraanalizar el pandeo no lineal de los arcos.

Todo este anlisis terico se ha plasmado en la realizacin de aplicaciones informticas para el estudiode la tipologa mencionada, realizada en la hoja de clculo Microsoft Excel, con el deseo de que puedaejecutarse sin restricciones en la mayor parte de los ordenadores personales existentes, pues su usopuede calificarse de universal.

As, en cuatro ficheros, Arcos parablicos empotrados, Arcos parablicos biarticulados, Arcoscirculares empotrados y Arcos circulares biarticulados, mediante la introduccin del mnimo nmerode datos posible (luz, flecha, desnivel entre apoyos, caractersticas mecnicas del perfil seleccionado,cargas verticales, horizontales y trmicas) se efecta el clculo del arco correspondiente. Adems de lassolicitaciones mximas y de las reacciones en los extremos, se efecta el clculo del pandeo global delarco, realizado por el mtodo de los autovalores.

De este modo se ha podido comprobar la coincidencia de los resultados obtenidos con estas sencillashojas de clculo con los que proporcionan paquetes de software altamente especializados, en los que lalabor de introduccin de datos puede llegar a convertirse en tediosa, pues la discretizacin del arcodebe realizarse de forma manual, y la definicin de los nudos y de las cargas representa un esfuerzoconsiderable.

Tambin se ha obtenido la carga crtica de pandeo para distintos arcos biarticulados y biempotrados,con directrices circular y parablica, de luces comprendidas entre 20 y 40 m, y con flechas que oscilanentre rebajamientos de 1/5 y 1/10, dimensionados con perfiles IPN 300 e IPN 400. Este modo depandeo corresponde a la situacin ms habitual de carga vertical uniforme distribuida uniformemente alo largo del eje del arco. Tambin se incluyen tablas con los esfuerzos axiles crticos de pandeo en esascircunstancias, con el objeto de comparar los resultados con las expresiones proporcionadas pordistintas normas y autores.

Adems, mediante la aplicacin informtica ANSYS se ha podido calcular el pandeo no lineal de laestructura, lo que ha permitido determinar que los valores que se obtienen aplicando esta metodologa

son un 15-30 por ciento inferiores a los que consiguen aplicando el mtodo lineal de los autovalores.

Summary

In the engineering world, the curved arch shape and its resistant phenomenon have always attractedgreat attention. Its apparent simplicity and the linear purity shaping its form involve a structure that isperfectly adapted to resist loads and overcome big spans.

However, it is not the curved shape the basic quality of the arch. The most important aspect of thisstructure resides in the longitudinal counteracting strengths that are shown in the horizontal reactions

at supports, in spite of the vertical external loads.In agroindustrial construction, the use of the arch already reveals the searching of an aesthetics thatmoves away from the general mediocrity in the design governing this type of structures. In deck archesthe variable overloads prevail over the constant loads, consequently the attempt to search a guidelineadapted to the antifunicular of a determined combination of loads loses relevance if other


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considerations are kept in mind, such as aesthetics, building singularity, easiness of steel folded undera constant radium, etc.

The studied typology is focused on the fixed and two-hinged ended steel arches with the possibility thatthe supports are at level or, on the contrary, with an existing uneven level between the edges.

Continuing with design parameters, other important factor is the lowering of the arch, or theconnection between the rise and the span, which influences the design and the horizontal strengths onthe supports. Complementing both criteria, to study arches with rise-to-span ratios ranging between

1/5 and 1/10 was decided, recommending the 1/6-1/8 interval.

When dealing with calculation methods, the study starts with the displacement method, which solvesthe question with a pedagogical perspective by following the strain of the proper physical phenomenon,unlike the labelled methods under the name of energetics, with intervening non-factual entities thatlead directly to the comprehensive expressions of the bending, compression and transverse shear.

Special emphasis has been placed on the study of the arches through the finite element method. Amodel known as plane frame element has been developed, where previously a discretization of the archin straight elements has been carried out. The plane frame element has been determined following thepattern of Timoshenko and of Euler-Bernoulli, obtaining all the expressions summarised in the stiffnessmatrix of the element.

Finally the buckling of these structures has been analysed, starting from empirical studies for specificarches and going on with the generalization and global buckling study by means of eigenvalue,obtaining the geometric stiffness matrix of the arch. Apart from that, the mathematical base is shownto analyse the non-linear buckling of the arches.

All these theoretical analyses have been shown in the elaboration of four computing applications for thestudy of the typology mentioned before, done in a spreadsheet called Microsoft Excel, with the aim thatit can be fulfilled without any restrictions in most personal computers, since its use can be consideredas universal.

Therefore, in the files Fixed Parabolic Arches, Two-Hinged Parabolic Arches, Fixed CircularArches and Two-Hinged Circular Arches, through the introduction of the possible minimal number ofdata (span, rise, unlevelled between supports, mechanical characteristics of the selected profile, verticalloads, horizontal and thermal), the proper calculation is done. Besides the maximum strengths and thereactions at supports, the global buckling of the arch has been calculated by means of the eigenvalueanalysis.

In this way, it can be proven the coincidence of the results obtained by means of these four simplespreadsheets with the results provided by highly specialised packages, in which the work of insertingdata can be so tedious, due to the fact that the discretization of the arch must be done manually andthe definition of the nodal points and the load represents a considerable effort.

The critical buckling load for the different two-hinged and fixed ended parabolic and circular archs hasalso been obtained, with spans ranging between 20 and 40 m, and with rise-to-span ratios which varyfrom 1/5 to 1/10, measured with IPN 300 and IPN 400 profiles. This type of buckling corresponds tothe most usual uniform vertical load uniformally distributed along the arch axis. There are also tablesincluded with the critical axial strengths in those circumstances with the object of comparing the resultswith the expressions provided by different rules and authors.

Besides, by means of the computing application ANSYS, it has been possible to calculate the non linearbuckling of the structure, which has allowed to determine that the values obtained applying thismethodology are a 15-30 per cent inferior to those obtained applying the linear eigenvalue analysis.

Captulo 1. El estado del arte.

1.Introduccin.


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1999. Centenario del nacimiento de Eduardo Torroja Miret. La recin creada Escuela de Ingenieros deCaminos, Canales y Puertos logra que la exposicin itinerante organizada para conmemorar el eventorecale en Ciudad Real.

El marco en el que se ubic la exposicin slo consigui reforzar la sensacin de belleza y equilibrio dela obra de Torroja. El rehabilitado edificio del Rectorado de la Universidad de Castilla-La Mancha,antigua Casa de la Caridad de Ciudad Real, y su Paraninfo, albergaban fotografas, cuadros, rplicas dedocumentos y maquetas que, entre los gruesos muros, las amplias ventanas, la deliciosa iluminacin yel suave crepitar de la madera del suelo ante los pasos del visitante, le acercaban a las reflexiones del

rememorado ingeniero.

Figura 1.1. Trptico de la exposicin conmemorativadel centenario del nacimiento de Eduardo Torroja.

Mi conocimiento sobre Torroja hasta ese momento era muy limitado, pues nicamente relacionaba sunombre con el hormign armado, y ms concretamente con el momento tope. Sin embargo, el eventoconmemorativo me present la obra de un Ingeniero, que se recorra a travs de dieciseis proyectos concomentarios del autor, reflexiones que se digeran con fruicin y que invitaban a ms.

Figura 1.2. Maqueta del Hipdromo de la Zarzuela. Proyecto de E. Torroja (1935).

Los enormes paneles de bonito diseo, repletos de facsmiles de proyectos y de fotografas de distintosmomentos en la ejecucin de las obras, dividan la estancia en zonas gobernadas por una idea o unproyecto, de manera que el laberinto artificial creado entre la obra de Torroja acab desembocando enuna profunda atraccin. Atraccin por las formas, por las soluciones y por la persona.

Y quizs, a pesar de la pureza de las lneas de sus estructuras laminares, a pesar de sus avanzadaspropuestas para solucionar los problemas que surgan en sus singulares estructuras, lo que ms llam laatencin al reiterativo visitante fue un pequeo hangar, situado en el aerdromo de Cuatro Vientos.


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Figura 1.3. Maqueta del Hangar de Cuatro Vientos. Proyecto de E. Torroja (1949).

El Ministerio de Fomento, con motivo del centenario del nacimiento del ingeniero, edit Las estructurasde Eduardo Torroja, una obra de 1958 publicada en ingls, con poca difusin en nuestro pas. Con

respecto al Hangar de Cuatro Vientos, Torroja escribe:

Las correas de la cubierta de este hangar apoyan sobre arcos metlicos de 35 metros de luz, que se cruzanentre s formando una bveda reticulada de gran rigidez, capaz de soportar el empuje de viento sobre loscerramientos verticales.

Los arcos descansan sobre mnsulas que arrancan de prticos laterales. Sin embargo, el empuje horizontalde los arcos no es soportado por estos prticos, sino que se transmite a los de los extremos, los cuales,triangulados para tener la rigidez necesaria, son capaces de soportar la suma del empuje horizontal de todosellos. En consecuencia, cada una de las dos mitades de la estructura de cubierta trabaja como una especie deviga triangulada inclinada, apoyada contra su gemela, de gran rigidez a pesar de su ligereza.

Figura 1.4. Hangar de Cuatro Vientos. Proyecto de E. Torroja (1949).

En el Hangar de Cuatro Vientos Torroja logra con estructura metlica el equilibrio entre esttica yresistencia. La aparente sencillez de la estructura, la belleza proporcionada por los arcos cruzados quearrancan del voladizo de los prticos laterales, me seducen. La necesidad de comprender las solucionesconstructivas adoptadas me llevan a contactar con la direccin de AENA, organismo responsable del

aerdromo de Cuatro Vientos, con la intencin de visitar el hangar. La sorpresa por el buen estado deconservacin de la edificacin es grande, destinada en la actualidad a taller de reparaciones dehelicpteros de la Guardia Civil. In situ se pudo realizar una anlisis inicial de la estructura y detectarmodificaciones estructurales respecto a la documentacin conseguida.


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Figura 1.5. Detalle de la cubierta del Hangar de Cuatro Vientos. Proyecto de E. Torroja (1949).

La admiracin creci an ms al profundizar en el clculo, pues la actividad docente del autor le llev acodirigir un proyecto fin de carrera en el cual se adaptaba la estructura del hangar a un polideportivo(Rozaln, 2000), adecuando las soluciones constructivas de Torroja a los condicionantes econmicos

actuales.

Figura 1.6. Proyecto de Polideportivo (Rozaln, 2000).

En esta poca, sumido en el estudio de los arcos, me sorprendi recibir un folleto del Grupo Espaolde IABSE (International Association for Bridge and Structural Engineering) que, sobre una fotografaque transformaba sus grises originales en ocres, anunciaba un seminario sobre Tendencias ennormativa y diseo en estructuras metlicas de edificacin. La imagen recoga un aspecto del montajede la estructura del hangar de Torroja, con lo que comprenda que la seduccin de las formas

resistentes y armnicas de esta estructura de acero sobrepasara con creces el siglo de su creacin.


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Figura 1.7. Trptico del Grupo Espaol de la IABSE anunciando un Seminario sobreTendencias en normativa y diseo en estructuras metlicas de edificacin.

El profundo conocimiento del comportamiento estructural de las formas y materiales de Torrojaprovena de una laboriosidad proporcional a su ingenio. As, se conservan los expedientes de proyectosque no se llevaron a cabo, que ponen de manifiesto el control y el rigor de los estudios realizados porTorroja. Bajo el ttulo de Hangares desmontables, proyectos que se realizaron en los aos cuarentapara la empresa OMES, de la que el propio Eduardo Torroja fue fundador, se proponan procesos deprefabricacin y montaje que anticipaban la solucin adoptada para el Hangar de Cuatro Vientos(Antua y Pedregal, 2002).

De este modo se gest el deseo de estudiar el elemento constructivo responsable del aspecto livianode esta cubierta y de su equilibrada esttica: el arco.

2.El arco.

2.1.Reconocimiento.

Existe una definicin de arco, debida a Cayo Julio Lcer, el ingeniero romano que proyect el puentede Alcntara en el ao 106, grabada en la piedra del templete funerario que domina el puente desde suorilla izquierda, que recoge de una manera escueta el mecanismo resistente de estas estructuras: Ars

ubi materia vincitur ipsa sua (En el arco la materia se vence a s misma).


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Figura 1.8. Inscripcin en el templete funerario del Puente de Alcntara.

Recuperando esta clsica definicin de arco se procura hacer ver que el tema de los arcos no esninguna novedad en el mundo de la ingeniera, pues desde siempre ha habido una gran atraccin porel arco y su fenmeno resistente. Sin embargo, hasta bien entrado el siglo XIX no se aplicarontcnicamente los conceptos elementales de la esttica grfica, equilibrio y antifunicularidad. Decualquier forma, independientemente de la aplicacin prctica de estos modernos conceptos, siemprese reconocer el arco como el mayor invento tensional del arte clsico (Torroja, 1996).

Torroja (1996), en su admiracin por esta sencilla estructura (al menos en apariencia), llega a afirmar:

Si la columna es arquitectura pura, el arco es ingeniera o mejor dicho, -para alejar toda interpretacinprofesional-, si la columna es arte, el arco es tcnica sin que esto quiera decir, ni que a la columna le faltetcnica, ni que el arco sea incapaz de vivsima expresin esttica.

El arco, como antesala de la bveda, tal vez sea la estructura ms brillante que pueda ser concebida(Regalado, 1999).

2.2.La forma curva.

A primera vista aparece como cualidad fundamental del arco su forma curva. Sin embargo, esto resultainsuficiente, pues si se apoya isostticamente una barra arqueada slo se dispondr de una viga curva,no de un arco. Hay que considerar las condiciones de sustentacin y entonces se encontrar lo esencialde la estructura arco, la existencia de esfuerzos longitudinales de contrarresto, que son los quedeterminan su forma (Fernndez Casado, 1955).

Figura 1.9. Carga vertical, componentes horizontales en las reaccionesy esfuerzos longitudinales de contrarresto en un arco.

Es tpico del arco generar empujes horizontales sobre los apoyos. La existencia de estas componentes

horizontales en las reacciones, pese a que las cargas externas sean verticales, es un hecho quecaracteriza a los arcos y los diferencia de las vigas. Los empujes se deben a la imposibilidad dedesplazamiento de los estribos, y no a la forma curva de la pieza, ya que los empujes bajo cargasverticales no aparecen si faltan los estribos que impidan la apertura del arco (Argelles, 1996).


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En esencia, ni siquiera la forma curva es necesaria, pues en sentido amplio empieza por ser arco unpar de barras acodadas, y se podra incluir en el gnero las arcadas, los prticos y otras estructurasreticulares (Fernndez Casado, 1955). Sin embargo, en el estudio que sigue se va a restringir el tipoutilizando precisamente la forma curva, pero no en cuanto se refiere a condiciones puramentegeomtricas, sino en relacin con su adecuacin mecnica.

Figura 1.10. Ausencia de componentes horizontales en las reaccionesbajo carga vertical en una viga curva isosttica.

2.3.En busca de la directriz ptima.

Al contrario que en las estructuras reticulares, cuya morfologa queda determinada por las condicionesfuncionales, en el arco imperan las condiciones estructurales, hasta tal punto que muchas veces laestructura ha de complementarse por exigencias de la funcin a que est destinada. Por consiguiente,como toda estructura lineal con libertad mecnica, el arco tiene la pretensin de ser configuracin deesfuerzos, es decir, funicular de las fuerzas aplicadas. El grado mayor o menor en que esto se logradefine la perfeccin de la estructura. La adecuacin total se consigue en muy pocos casos, pues casi

siempre lo impide el carcter variable de la sobrecarga (Fernndez Casado, 1955).

Para cada conjunto de cargas existe una forma particular (la llamada forma funicular), para la cualtodo el arco trabaja a compresin simple. Esta forma puede determinarse colgando las cargas de uncable e invirtiendo la curva resultante. Los arcos funiculares ocupan un extremo de la escala detensiones, con ausencia de flexin. Cualquier otro elemento estructural curvado hacia abajo resiste lascargas por medio de una combinacin de compresin y flexin. Aunque un arco sea funicular para unsistema determinado de cargas, no puede serlo para todos los sistemas de cargas que pueda estarllamado a resistir: en todo arco existe siempre una combinacin de compresin y flexin (Salvadori yHeller, 1998).

Adems de las cargas permanentes, las estructuras han de soportar otras cargas variables y/o mviles,

por lo que slo es posible hacer coincidir el eje del arco con el funicular de una determinada posicinde la carga exterior y, por consiguiente, no se puede evitar la aparicin de momentos flectores encuanto se modifique la hiptesis de carga (Argelles, 1981).

Mrsch propuso en 1906 que la directriz de los arcos coincidiera con el funicular de los pesospermanentes. El problema estriba en que para adaptarse a esta curva es necesario conocer a priori laforma y dimensiones de la estructura, por lo que slo mediante aproximaciones sucesivas se alcanza lasolucin apropiada.

El peso por metro lineal que carga sobre los arcos aumenta desde la clave a los estribos (figura 1.11 a)y por ello la curvatura de los arcos debera aumentar de forma anloga para ajustarse a la curva

funicular.Si el peso fuese constante, la directriz que se ajustara al funicular sera una parbola cuadrada.


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Figura 1.11. Eleccin de la directriz del arco.

Si se designa porgk al peso del metro lineal en el estribo, y porgs al peso del metro lineal en la clave,

se puede comprobar que cuanto mayor es gk con respecto ags la curva funicular se levanta. As, para

un arco de luz ly flechaf, en la figura 1.11 c se representan las dos directrices que corresponden a una

carga uniformemente repartida (figura 1.11 b) y a una carga en que la relacin es igual a 10(figura 1.11 a), caso que en la prctica constituye un valor extremo. El arco circular se sita entreambas directrices.

Para realizar los tanteos en la eleccin del eje del arco se comienza eligiendo como directriz una curvacomprendida entre la parbola y el crculo y se calculan los pesos permanentes de los diversos tramosen que queda dividido el arco, trazndose a continuacin el funicular que pase por los puntos A y C(figura 1.11 c). Elegido este funicular como nuevo eje del arco, se vuelven a calcular los pesoscorrespondientes y el funicular que les corresponde. En la mayor parte de los casos este segundofunicular se admite como eje del arco, ya que nuevos tanteos no dan lugar a diferencias apreciables(Argelles, 1986).

Moseley y Mery formularon de forma explcita la condicin de estabilidad de un arco: basta con que lalnea de presiones se encuentre contenida entre las dos lneas que definen el espesor del arco,haciendo trabajar el material a 1/10 de su tensin de rotura.

En el campo de los puentes es donde se puede percibir una mayor inquietud en buscar una ciertaantifunicularidad en el diseo de los arcos, si se observan en paralelo a los construidos en laedificacin, donde prevalecen criterios mucho ms formalistas, sin que ello quiera decir que los puentesse hayan mantenido al margen de las modas arquitectnicas.

Existe abundante literatura sobre la eleccin de la directriz conveniente del arco. Este tema cobraespecial relevancia cuando se trata de grandes luces y fuertes cargas muertas. Aparte delrebajamiento, que suele venir impuesto por condiciones no de tipo resistente, la forma de la directrizviene influida por las cargas muertas y por el tipo de sobrecarga viva que haya de soportar el arco. Losesfuerzos trmicos o de retraccin no influyen sensiblemente en la determinacin de la directriz(Torroja, 1996).

Para pesos propios del arco solamente y con espesor constante, el funicular es la catenaria. Para cargauniformemente repartida a lo largo de la cuerda, la directriz terica es la parbola de segundo grado.En la prctica de puentes, con el peso del tablero, tmpanos ms o menos aligerados y arcos deespesor variable, van bien las parbolas de cuarto o mejor de sexto grado, como suficienteaproximacin a la ley terica en coseno hiperblico segn Strassner. Cuando la sobrecarga mvil esfuerte respecto al peso propio, la forma de la directriz pierde importancia y lo que se puede hacer estantear los funiculares y leyes de tensiones mximas para elegir una directriz apropiada (Torroja,1996).


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Los arcos parablicos tipo Chalos y los arcos tipo Manning tambin tuvieron gran aceptacin en eldiseo de puentes durante gran parte del siglo XX.

En los arcos de cubierta, la solicitacin ms desfavorable para las condiciones de funicularidad de ladirectriz es la actuacin de viento, pues da lugar a una distribucin continua de cargas con presiones ysucciones que se aproxima mucho a la distribucin antimtrica. Como adems stas se invierten alinvertir el sentido de actuacin del viento, se tienen siempre momentos flectores de importancia. Si ladistribucin de cargas del viento fuera perfectamente antimtrica, resultara la directriz msconveniente la que realiza el antifunicular de la carga permanente, pues las lneas de presiones se

desviaran por igual a ambos lados de dicha directriz al actuar el viento en uno u otro sentido. Pero elefecto de las succiones es ms importante que el de las presiones, por lo que conviene peraltar el arcoen su zona central (Fernndez Casado, 1955).

La entrada masiva del acero y del hormign armado como materiales bsicos estructurales produjouna gran revolucin en el arte de disear y construir los arcos. Estos materiales de gran resistencia,capaces de resistir las tracciones, han hecho posible que las estructuras se aligeren considerablementede peso frente a las sobrecargas de uso variable, por lo que el trazado de una curva antifunicularresulta ya muy difcil.

Cuando en edificacin agroindustrial se recurre a la esttica y resistencia del arco, ya denota en el

proyectista la bsqueda de una imagen de calidad que destaque sobre la mediocridad general deldiseo en el mbito agroindustrial. Adems, las dimensiones que se manejan en este tipo deestructuras, por importantes que puedan ser dentro del campo de la edificacin, siempre serndiscretas respecto a la construccin civil, sobre todo si se comparan con el uso del arco que se realizaen el trazado de puentes, pasarelas, etc.

Por ello, y teniendo en cuenta el predominio de las sobrecargas variables frente a las cargasconstantes, la bsqueda de una directriz que satisfaga una determinada hiptesis de carga pierderelevancia frente a otras consideraciones, como la esttica, la singularidad de la edificacin, la facilidaddel doblado del acero bajo radio constante, etc.

De este modo, la bsqueda de una directriz que se ajuste al funicular de una determinada

combinacin de cargas no ha tenido el mismo desarrollo en el campo de la edificacin que en el campode la construccin de puentes, donde el factor de escala y la importancia de la magnitud de las cargas,as como la evolucin en los materiales de construccin, haca aconsejable el intento de minimizar laflexin frente a la compresin.

2.4.Rebajamiento del arco.

En un arco cualquiera se denomina lnea de arranque a la lnea que une los puntos de apoyo del arco,luz(l) a la distancia horizontal entre los apoyos y flecha(f) a la mxima distancia vertical desde la lnea

de arranque a la directriz. Si el arco es simtrico, la flecha ser la distancia entre el punto ms alto dela directriz, la clave, y la lnea de arranque.

Con respecto a este parmetro fundamental en el diseo del arco, el rebajamiento, que determina larelacin entre la flecha del arco y su luz, existen dos caractersticas ntimamente unidas a la decisindel proyectista de fijar esta magnitud: la esttica y el valor del empuje sobre los estribos.

2.4.1. Diseo del arco.

En lo que se refiere a diseo, para determinar una relacin entre la flecha y la luz en los arcos quesirva como tanteo inicial, existe concordancia entre los diversos autores. As, Torroja (1996) considerun intervalo comprendido entre 1/5 y 1/7, valor este ltimo que Regalado (1999) aumenta a 1/8, quees la relacin ms satisfactoria visualmente, mientras que asegura que 1/5 es la ms eficaz.

Por debajo de un rebajamiento de 1/10, los efectos diferidos y accidentales de segundo orden(retraccin, fluencia, temperatura, asientos, etc.) aumentan considerablemente, sobre todo en arcosempotrados y relativamente rgidos. Si el proyectista se mueve en el rango adecuado, dichos efectos noparecen que planteen problemas dignos de consideracin.

En fin, el rebajamiento no puede aumentarse excesivamente, no slo por el excesivo aumento de los


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empujes horizontales, sino porque se llegara a un fenmeno de flexin excesiva, e incluso de pandeoayudado por el acortamiento de la directriz, fenmeno que puede agravarse en los puentes dehormign, por efecto de la deformacin lenta. Fueron precisamente los movimientos de este gnero enun arco muy rebajado los que condujeron a Freyssinet a inventar su maniobra de apertura de clave(Torroja, 1996).

Por el contrario, al disminuir el rebajamiento ms all de 1/4, el empuje va disminuyendo mslentamente que aqul y pierde inters el peraltado frente a los inconvenientes que lleva consigo(pandeo lateral, etc). Por ello, no se adoptan normalmente estos peraltes sin otras razones que

induzcan a ello: forma del valle, aspecto esttico, etc. (Torroja, 1996).

2.4.2. Empuje sobre los estribos.

Si la directriz del arco siguiese exactamente el funicular de las cargas, la resultante sobre el arranquedel arco seguira la tangente a la directriz por tanto, en el arranque resulta ms tendida y, al mismotiempo, tanto mayor cuanto ms rebajado sea el arco (Torroja, 1996). Por consiguiente, el valor delempuje en el arco queda acotado entre un mnimo correspondiente a la lnea de presiones msperaltada y un mximo estable asociado a la ms rebajada (Regalado, 1999).

Figura 1.12. Variacin del empuje de un arco en funcin de su flecha.

El empuje es proporcional a la carga y al cuadrado de la luz, e inversamente proporcional a la alturadel arco. Para obtener el empuje mnimo con una determinada luz a cubrir, el arco debe ser lo msliviano posible y su altura, la mayor econmicamente factible (Salvadori y Heller, 1998). Comoaproximacin rpida se puede obtener un orden de magnitud del empuje horizontal, como el valor de lacarga vertical total del arco por el octavo del rebajamiento, o cociente de la luz por la sgita del arco(Torroja, 1996).

Por tanto, la existencia de empujes reduce los momentos flectores del arco con respecto a los queexistiran en la viga de igual luz, creando en aqul un rgimen predominante de compresiones, muchoms favorable que el de flexin simple tpico de las vigas (Garca de Arango, 1971).

Estos empujes requieren una buena cimentacin o unos buenos contrarrestos, que en el caso de arcosde cubierta implica el dimensionar y reforzar adecuadamente los soportes sobre los que arrancan losarcos, por los importantes esfuerzos que transmiten. Podra lograrse el mismo efecto atirantando elarco, pero el hecho de colocar un tirante a un arco conlleva una prdida importante de la esttica queacompaa a estas estructuras, aunque desde el punto de vista mecnico su utilizacin est plenamente

justificada.

2.5.Tipologa objeto de estudio.

En primer lugar, como se vislumbra en el ttulo del trabajo, el acero va a ser el material elegido paradisear los arcos. En edificacin agroindustrial, para luces comprendidas entre 20 y 60 metros, el acerose presenta como el material ms econmico para resistir. En este tipo de edificacin, aunque se quiera

proyectar con formas atrevidas, la limitacin presupuestaria ser casi siempre un parmetrofundamental que reducir las posibilidades de diseo a formas estructurales econmicas.

Por ello se ha hecho poco hincapi en los efectos de la retraccin y de las deformaciones lentas. Sinembargo, las tensiones trmicas son muy importantes, pues siguen con facilidad las variaciones de


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temperatura ambiente y an las superan cuando acta la radiacin solar directamente sobre el metal(Torroja, 1996).

Se van a estudiar arcos biarticulados y biempotrados, con diversas relaciones entre flecha y luz,buscando siempre el aspecto esttico en la estructura, por lo que se recomendarn rebajamientos delorden de 1/6 1/8. Las directrices sern parablicas de segundo grado y circulares, aunque se podrconstatar que en edificacin agroindustrial no existen razones de peso para complicar innecesariamentela ejecucin material del arco de acero con curvas de radio variable, por lo que la directriz circular seruna recomendacin clara a la hora de realizar el diseo de los arcos.

Garca Badell (1999) establece en 1/7 el valor frontera que separa los arcos rebajados y los

arcos peraltados , por lo que tiene inters estudiar un rebajamiento inferior (1/8) y unosuperior (1/6) para comprobar la contribucin de la deformacin debida al esfuerzo axil, sin soslayar laeficacia y la esttica del arco. En cambio, Garca de Arango (1971) determina el valor 1/10 como lmiteentre arcos rebajados y arcos peraltados. Segn su criterio, tanto los rebajamientos 1/6 como 1/8estaran dentro del grupo de arcos peraltados.

3.Bases de clculo.Para el clculo de los diferentes tipos de arcos se admite la hiptesis de proporcionalidad entretensiones y deformaciones, es decir, la ley de Hooke. Asimismo, se supondr que las deformaciones noalteran las lneas de accin de las fuerzas que componen la solicitacin exterior, por lo que se calcula elestado tensional considerando el arco como indeformable, y se admite la validez del principio desuperposicin, que determina que el efecto de un grupo de causas es igual a la suma por separado delas diferentes causas (Oliver y Ortiz, 1970 Argelles, 1996).

Se supone que su plano de curvatura es tambin un plano de simetra para cada una de las seccionestransversales y que las fuerzas externas aplicadas al arco actan solamente en aquel plano de simetra.En tales condiciones, la deformacin tendr lugar en ese plano y el problema de anlisis ser

bidimensional.

Si la seccin transversal del arco no es simtrica con respecto al plano de curvatura, o si las cargas seaplican normalmente a este plano, se producir torsin y entonces la barra no se puede considerarpropiamente como un arco. (Dvila y Pajn, 1997). En todo lo que sigue no se tendrn en cuenta lascondiciones que conducen a la torsin.

Referidas estas bases de clculo, la hiptesis fundamental para el estudio de los arcos es que sucurvatura es pequea en comparacin con las dimensiones transversales de su seccin, o lo que es lomismo, que el radio de curvatura es mucho mayor que el canto de la seccin. Esta simplificacin esaplicable normalmente si la relacin entre el radio de curvatura y el canto es superior a 10 (Argelles,

1986 Celigeta, 1998).


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Figura 1.13. Distribucin de tensiones en una pieza prismtica de directriz curva.

En vigas, piezas prismticas de directriz recta, las tensiones que produce un momento flector Myvienen dadas por la ecuacin:

[1.1]

que representa un reparto lineal de la tensin a lo largo de la seccin transversal. En piezasprismticas de directriz curva, bajo la accin del momentoM, la tensin x, calculada bajo la hiptesis

de Bernoulli (que dicta que la seccin transversal permanece plana despus de la deformacin), no sereparte linealmente sino hiperblicamente (figura 1.13), y la fibra neutra no se sita en el centro de

gravedadGde la seccin sino a una distanciade l.

En una pieza de directriz curva sometida a flexin pura por la accin de un momento M positivo, sepuede comprobar cmo el valor de la tensin normal difiere entre la cara convexa y la cara cncava,siendo en esta ltima mayor al ser menor su radio de curvatura que el de la cara convexa. De estemodo, el eje neutro n-n deja de coincidir con la fibra mediag-g que une los centros de gravedad de lasdiversas secciones transversales, y se desplaza hacia la cara cncava una distancia igual a:

siendo rgel radio de la fibra media y rnel radio de la fibra neutra.

La tensin xse puede expresar, para una fibra genrica distante zde la fibra neutra, como

[1.2]

siendoAel rea de la seccin y rel radio de la fibra considerada.

Si la seccin es rectangular, , por lo que cuando la relacin entre el radio de curvatura de la

fibra media y el canto supera el valor de 10, como sucede claramente en los arcos, la diferenciaentre la tensin x obtenida por las expresiones [1.1] y [1.2] es insignificante. De hecho, para una

relacin =10, el error es del 3.2 por mil, y tiende hacia cero rpidamente cuando aumenta la razn


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(Argelles, 1986).

La suposicin de pequea curvatura hace que no sea necesario aplicar una teora especial de piezascurvas, sino que es directamente aplicable la teora convencional de flexin de vigas, considerandonicamente que el dominio de la estructura es curvo. Los primeros trabajos sobre arcos empleandoestas hiptesis se deben a Navier (1826) y a Bresse (1854).

4.Mtodos de clculo. De las mltiples formas en que un ingeniero puede abordar el problema del clculo de los arcos, tressern las que se desarrollen para comprobar las expresiones y los resultados obtenidos.

La exposicin se va a iniciar con el mtodo de los desplazamientos, que resuelve la cuestin con unaperspectiva pedaggica, al seguir en el anlisis de las deformaciones el desarrollo del fenmeno fsicocorrespondiente.

En segundo lugar se van a estudiar las expresiones obtenidas a partir de mtodos que se puedenenglobar bajo el nombre de energticos. Estos mtodos hacen intervenir una entidad fsica como eltrabajo elstico, la energa de deformacin o la energa potencial total, etc, prescindiendo de las

expresiones de las deformaciones elementales que remiten directamente a las frmulas fundamentalesde la flexin, la compresin y la cortadura.

Por ltimo se va a desarrollar la resolucin de arcos por el mtodo de los elementos finitos,herramienta potente que en la actualidad va reemplazando a los sistemas anteriores en el clculo detodo tipo de estructuras.

Existen otros mtodos de clculo que no van a ser desarrollados por estar en desuso en nuestros das,aunque fueron utilizados con profusin en la primera mitad del siglo pasado. Entre ellos cabe citar elmtodo de la analoga de la columna de Hardy Cross y el mtodo de la elipse central de inercia.

4.1.Mtodo de los desplazamientos.

Este mtodo tiene su origen en la aplicacin de las frmulas de Bresse, que permiten calcular loscorrimientos de los puntos de la directriz del arco, as como los giros experimentados por cualquierseccin recta del prisma mecnico.

Si se analiza el problema estructural del arco desde el punto de vista de los deplazamientos y de lasdeformaciones, se manifiesta que al actuar las solicitaciones tienden a desplazar a la estructura enbloque, a lo que se oponen las reacciones de sustentacin, que logran el equilibrio del sistema.

El equilibrio entre acciones y reacciones se logra a travs de la estructura, la cual canaliza losesfuerzos y queda en tensin, producindose deformaciones, que en ltimo trmino representan la

nica realidad patente y sensible (Fernndez Casado, 1955). Las reacciones se calculan a partir de la teora de las deformaciones, expresando analticamente lascondiciones en que han surgido.

Para desarrollar el mtodo de las deformaciones se recurre a la superposicin de dos estados decarga. El primero corresponde a una estructura isosttica virtual obtenida a partir del arco hiperestticooriginal. El segundo estado de carga completa la estructura isosttica con las reacciones hiperestticaspropias del arco inicial.

Dos problemas aparecen a la hora de estudiar un arco hiperesttico. El primero es la transformacinde la estructura en otra isosttica que sirva de punto de partida. El segundo se refiere al modo decalcular las deformaciones de la estructura auxiliar.

Para lograr el isostatismo se puede reducir el arco a viga curva o a voladizo. Conseguir la viga curva apartir del arco hiperesttico es sencillo, pues basta liberar un apoyo de las restriccionessuperabundantes: el empuje en los arcos biarticulados y el empuje y el momento de empotramiento enlos arcos biempotrados. El arco en voladizo o pescante puede conseguirse por cuatro caminos (*)


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(Fernndez Casado, 1955):

Liberando una de las extremidades (figura 1.14)

Figura 1.14. Arco en voladizo obtenido al liberar un apoyo.

Complementando la transformacin anterior mediante la prolongacin del arco con una barra derigidez infinita que termina en el centro elstico (figura 1.15)

Figura 1.15. Arco en voladizo con extremo libre unido al centro elstico.

Cortando el arco por la clave (en general por una seccin cualquiera), con lo que se obtienen dos

voladizos (figura 1.16).

Figura 1.16. Arco biempotrado cortado por la clave.

Si cada uno de estos voladizos se enlaza al centro elstico del arco por una barra de rigidez infinitaobtenemos la ltima variante (figura 1.17).


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Figura 1.17. Variante para obtener arcos en voladizo a partir de un arco biempotrado.

Una vez que se tiene el arco isosttico, se calculan las reacciones mediante las ecuaciones queproporciona la Esttica. Despus se somete a esta estructura virtual a la reaccin de las accioneshiperestticas que se encargan de anular las deformaciones incompatibles con las condiciones desustentacin.

En los arcos hiperestticos las incgnitas son siempre ms de tres, seis en el caso del arcobiempotrado. Por consiguiente, se necesitan otras ecuaciones que expresen las condiciones de

indeformabilidad debidas al sistema de sustentacin.

La primera de estas condiciones es la invariabilidad de la luz[1.3], que es suficiente en el caso delarco de dos articulaciones (slo cuatro incgnitas).

[1.3]

La segunda condicin es la ausencia de desnivelacin entre apoyos que, junto con la anterior,resuelve el problema del arco de una sola articulacin, donde las incgnitas son cinco.

[1.4]

La tercera condicin es que el giro relativo de las dos secciones extremas es nulo, y con ella seobtienen las tres ecuaciones complementarias [1.5] para resolver el problema general del arcoempotrado.

[1.5]

Como ya se ha indicado, tras conocer las estructuras isostticas que sirven de partida para el anlisisdel arco hiperesttico, el segundo problema bsico para el estudio de un arco es el clculo de lasdeformaciones, y concretando ms, de las deformaciones de una extremidad con respecto a la otra.

Figura 1.18. Esfuerzos en una rebanada de arco bajo carga.

La continuidad geomtrica del arco permite el anlisis diferencial de una rebanada aislada (figura1.18), en cuyas secciones transversales infinitamente prximas se producen los esfuerzos M, Ny Q. Si

se estudia por separado la deformacin que produce cada fuerza de seccin, se tiene que el momentoflector M produce un giro de la seccin, el esfuerzo normal N ocasiona una translacin o

desplazamiento longitudinal y el esfuerzo cortante Q un corrimiento o desplazamiento transversal de la

seccin.

La accin conjunta de estas deformaciones elementales, al superponerse, permite obtener ladeformacin de un punto cualquiera de la directriz, que ser una etapa intermedia para conocer lasdeformaciones relativas de un extremo del arco con respecto al otro, definidas por las expresiones[1.6], que se determinarn en el Captulo 2.


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[1.6]

En estas ecuaciones, E es el mdulo de elasticidad del material, G el mdulo de elasticidad transversaldel material, A el rea de la seccin transversal, I el momento de inercia de la seccin transversal y

el factor de forma de la seccin transversal.

Con posterioridad se calcularn los esfuerzos en cualquier punto de la directriz, y por ltimo sedeterminarn las reacciones de las estructuras hiperestticas estudiadas.

4.2.Mtodos energticos.

Esta denominacin recoge una serie de modos de calcular arcos estticamente indeterminadosmediante la aplicacin de teoremas muy utilizados en el clculo de estructuras, y que tienen comopunto de partida el empleo de entidades no tangibles, tales como la energa de deformacin o eltrabajo elstico. As, entre los principios o teoremas referidos se puede citar el segundo teorema deCastigliano, el teorema del mnimo trabajo, -en ellos se apoyan Timoshenko y Young (1981), y Garcade Arango (1971)-, el principio de los trabajos virtuales, o el teorema de Maxwell-Betti o de lareciprocidad de los recorridos, en los que basan su formulacin Leontovich (1971) o Celigeta (1998).

Si se analiza un elemento diferencial de arco, en el que se designa por M, N y Q los esfuerzos de

cualquier seccin transversal, con los sentidos positivos que se indican en la figura 1.18, por ser elcanto h de la seccin transversal pequeo respecto al radio de curvatura r de la directriz del arco, se

puede emplear para determinar la energa de deformacin por flexin Uf la expresin:

Esta expresin es semejante a la que se emplea en vigas rectas, con la aparicin de la variable s, que

representa la longitud de la directriz del arco.

Del mismo modo se puede determinar la energa de deformacin por cortante Uc mediante la

expresin:

Al ser los arcos esbeltos, esta magnitud es pequea comparada con la debida a la flexin, por lo quees comn despreciarla (Timoshenko y Young, 1981 Celigeta, 1998).

Finalmente, para la energa de deformacin por compresin directa Ut, se tiene:

As, la energa de deformacin total del arco queda definida por:

[1.7]

Si adems se tiene en cuenta los efectos de la temperatura, esta expresin se completa de la forma(Garca de Arango, 1971):


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[1.8]

donde t es el coeficiente de dilatacin trmica, t es el incremento de temperatura respecto a una

situacin de referencia y representa el gradiente de temperatura entre trasds e intrads.

Partiendo de esta expresin y aplicando convenientemente los teoremas adecuados se determinarnlos esfuerzos en cualquier seccin, as como las reacciones buscadas.

4.3.Mtodo de los elementos finitos.

Este mtodo determina el comportamiento de una estructura sometida a acciones exteriores,sustituyendo la solucin continua y exacta de las ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio deun elemento diferencial genrico por una solucin discontinua o discreta, y por tanto, aproximada.

Salvo las estructuras reticulares, la mayor parte de las estructuras en ingeniera son de naturalezacontinua y, por tanto, su comportamiento no puede expresarse en forma precisa en funcin de un

nmero pequeo de variables discretas. Por ello, la exactitud de los resultados slo podr alcanzarse enestructuras de barras.

Aunque las estructuras continuas son tridimensionales, en algunos casos su comportamiento se puededescribir adecuadamente con modelos matemticos uni o bidimensionales, siempre que se pueda haceruso de hiptesis simplificativas.

Para analizar un arco por el mtodo de los elementos finitos a partir de su geometra, apoyos y cargasque actan, es necesario establecer en primer lugar un modelo matemtico apropiado para describir sucomportamiento. En este trabajo dos son los modelos matemticos que se van a utilizar: el modelo quese basa en la teora de la flexin de vigas de Timoshenko (Captulo 4) y el que se funda en la teoraclsica de Euler-Bernoulli (Captulo 5).

Es comn en el mtodo de los elementos finitos denominar con un nombre especfico al elemento basede la discretizacin. As, en cualquier publicacin del mtodo son frecuentes las referencias a elementosde barra, de viga, de placa, de lmina, etc, y dentro de esta denominacin genrica se particulariza enfuncin del modelo matemtico empleado. Por ejemplo, se habla de elementos de viga de Timoshenkoy elementos de viga de Euler-Bernoulli, segn se haya utilizado un modelo u otro.

En esta fase de la aplicacin del mtodo es necesario determinar con detalle las caractersticas delmaterial de la estructura, aspecto sencillo en esta obra al limitarse nicamente a arcos de acero.

En segundo lugar se procede a discretizar la estructura en porciones que no intersecten entre s, que

se denominan elementos finitos. Dependiendo del tipo de problema, el elemento finito ser uni, bi otridimensional, y estar constituido por un nmero discreto de nodos. En general, la malla deelementos finitos puede estar constituida por elementos de diferente geometra.

Una vez comentada la norma general de nombrar un elemento en funcin del tipo de problema y deltipo de modelo matemtico empleado, la forma de discretizar un arco tambin puede ser influyente a lahora de denominar el elemento en cuestin. As, si se decide discretizar el arco plano estudiado enelementos curvos, se acepta el nombre de elemento de viga curvado (Saleeb y Chang, 1987 Benedettiy Trally, 1989 Dorfi y Busby, 1994 Raveendranath y col, 1999) frente al ms simple elemento de arco(Oate, 1995, 2002).

Una manera ms sencilla de discretizar un arco plano consiste en hacerlo mediante elementos rectos.

De este modo, cuando el elemento finito es una barra recta sometida a cargas externas que provocan,en el caso ms general, una situacin conjunta de compresin y flexin (compresin compuesta oflexin compuesta, dependiendo del predominio de una u otra), la denominacin es ms compleja ytambin ms confusa. Existe la tendencia de designar al elemento finito como elemento de Timoshenkoo elemento de viga de Timoshenko, solicitado nicamente a flexin, acoplando el efecto de la


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compresin mediante un elemento de barra (Bathe, 1996 Hughes, 2000 Zienkiewicz y Taylor, 2000a).En este trabajo se ha optado por la denominacin de elemento de prtico plano. Unicamente en lasreferencias bibliogrficas Arndt (2001), Baresi y col. (2003) y Kattan (2003) aparece este nombre, sinque en ellas se desarrolle la formulacin que define el elemento en su totalidad.

El elemento de prtico plano puede basarse en el modelo de Timoshenko (Captulo 4) o en el de Euler-Bernoulli (Captulo 5), obtenindose formulaciones distintas que se desarrollan en los captulos citados.

En tercer lugar, a partir de la expresin del principio de los trabajos virtuales (Oate, 1995

Zienkiewicz y Taylor, 2000a) o el principio de la energa potencial total (Bathe, 1996 Hughes, 2000,Felippa, 2001a) se obtienen las matrices de rigidez y el vector de cargas para cada elemento finito(matrices y vectores locales, referidas al sistema de coordenadas asociado al elemento).

Posteriormente se procede al ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de cargas equivalentesde todos los elementos de la malla, obtenindose las matrices globales, referidas al sistema decoordenadas general del arco. As, se obtiene el sistema de ecuaciones del arco,

[K]{a}={f} [1.9]

donde [K] es la matriz de rigidez global del arco, {a} el vector de desplazamientos de los nodos y {f}el

vector de cargas de la estructura.

Una vez establecida la ecuacin matricial de gobierno de la estructura, se resuelve el sistema deecuaciones. Una vez calculados los movimientos nodales {a} se pueden calcular las deformaciones y,

posteriormente, las tensiones en cada elemento as como las reacciones en los nodos con movimientosprescritos.

El enorme nmero de ecuaciones que genera el mtodo slo puede ser resuelto con mtodosmatriciales, haciendo uso de la potencia de clculo de los ordenadores. As, el desarrollo del mtodo delos elementos finitos ha ido ntimamente unido al avance de la electrnica digital aplicada a loscomputadores.

5.Pandeo de arcos.

La mayor parte de la informacin disponible sobre el pandeo de arcos se refiere a aqullos cuyadirectriz es el funicular de las cargas, es decir, que no sufren flexiones en ninguno de sus puntosanteriormente al pandeo. Por tanto, se est en un caso similar al del soporte comprimido (Escrig,1985).

Como toda pieza comprimida, el arco sufre los peligros del pandeo, si bien al estar fijos los arranques,el arco tiende a tomar una configuracin de pandeo ms resistente que en el caso de un soporte, cuyosextremos pueden aproximarse al producirse el pandeo. En consecuencia, la esbeltez admisible del arcopuede ser mayor que la del soporte (Torroja, 1996).

El estudio del pandeo de arcos se complica respecto al de la barra recta, pues en sta el esfuerzolongitudinal que da origen al pandeo es, en general, independiente de la solicitacin de flexin de lapieza, mientras que en el arco la compresin longitudinal deriva de la solicitacin principal y viene, portanto, directamente afectada por los momentos flectores complementarios de deformacin (FernndezCasado, 1955).

Son habituales los estudios de pandeo de arcos centrados en una tipologa concreta,fundamentalmente referidos a modelos base de puentes. En la referencia Fernndez Casado (1955)puede encontrarse el anlisis del pandeo de arcos simtricos con carga antimtrica, con carga simtricay diversos tipos de sustentaciones, siguiendo la metodologa que introdujo Dischinger (1937) para elestudio de arcos parablicos con inercia reducida constante.

Sin embargo, esta concrecin en los anlisis de pandeo carecen de la generalidad necesaria parahacerlos extensivos a todos los tipos de arcos y de cargas.

Si se considera un arco como un prtico con un nmero infinito de cortos tramos (Salvadori y Heller,


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1998), se est muy cerca del razonamiento empleado para discretizar el arco en elementos finitosrectos. De este modo, la utilizacin de mtodos de clculo de pandeo para cualquier sistema plano debarras es aplicable en arcos, sin restricciones debidas a la forma de la directriz, a las sustentaciones oal tipo de carga.

De entre los mtodos lineales de clculo, el mtodo matricial es el que permite analizar el pandeoglobal del arco, obteniendo la matriz geomtrica de la estructura y determinando los autovalores. Losautovectores asociados permiten calcular los desplazamientos nodales de los nodos libres del arco aliniciarse el pandeo, definiendo la forma modal de pandeo del arco.

Por ltimo, aprovechando la potencia de clculo de las aplicaciones informticas basadas en el mtodode los elementos finitos, se va a realizar el clculo no lineal del pandeo. La no linealidad puede serdebida a propiedades de los materiales o a problemas de geometra.

Generalmente en la resolucin de problemas lineales se considera que las deformaciones ydesplazamientos en la estructura estudiada son pequeos, tal y como se ha referido en las bases declculo. Fsicamente significa que la geometra de los elementos no vara durante la actuacin de lasfuerzas exteriores, y que las deformaciones pueden aproximarse de forma lineal y asimilarse ainfinitsimos de primer orden (Zienkiewicz y Taylor, 2000b).

En la prctica, dichas hiptesis fallan algunas veces, an cuando las deformaciones reales seanpequeas y no se sobrepasen los lmites elsticos de los materiales que ordinariamente constituyen lasestructuras. Este problema clsico de inestabilidad se va abordar a travs de la aplicacin informtica

ANSYS, empleando el procedimiento iterativo de Newton-Raphson, descrito en Ralston (1970) yPruneda (2003).

(*) Se expresan todas las modalidades posibles de conversin de la estructura hiperesttica para hacerver que el mtodo es extensivo a todo tipo de arco hiperesttico, y no slo a los arcos biarticulados ybiempotrados objeto de estudio.

TESIS en texto completo

Indice

Captulo 1. El estado del arte.

Captulo 2. Clculo de arcos por el mtodo de los desplazamientos.

Captulo 3. Clculo de arcos por mtodos energticos.

Captulo 4. Estudio de arcos por el mtodo de elementos finitos. Elementos de prtico plano de Timoshenko.

Captulo 5. Estudio de arcos por el mtodo de elementos finitos. Elementos de prtico plano de Euler-Bernoulli.

Captulo 6. Pandeo de arcos.

Captulo 7. Aplicacin informtica y validacin de los resultados.

Bibliografa

Fichero en Excel para clculo de arcos circulares biarticulados

Fichero en Excelpara clculo de arcos circulares biempotrados

Fichero en Excelpara clculo de arcos parablicos biarticulados

Fichero en Excelpara clculo de arcos parablicos biempotrados

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Revisado: 26 de septiembre de 2004 .

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Jesús Antonio López Perales