JMP V4 による生存時間分析 - ODNckr98160/index1.files/jmpv4.pdf1 JMPV4 による生存時間分析～生存時間分析の実行～於：SAS東京 2000.11.18 （株）リコー

1

ＪＭＰV4 による生存時間分析

～生存時間分析の実行～

於：SAS東京2000.11.18

（株）リコー　ＣＳ・品質本部廣野　元久

Motohisa HIRONO 2/186

１．はじめに

n 今回の生存時間分析のデータでは，　主に工業製品での信頼性試験データを扱う

n 例題は主に実験データ，要因の水準(値)

n 要因は主に制御因子と加速因子


n 生存時間分析の基礎n 生存関数，ハザード関数，故障（死亡）の分類，

Weibull分布，打切りデータ，競合リスク

n 生存時間の分析（一変量の解析）n カプラン・マイヤー法，確率プロット

n 非線形回帰分析（要因解析）n 比例ハザードモデル，加速モデル(Weibull回帰)

　反応論モデル

本セミナーの内容

4

２．生存時間分析の基礎


生存時間分析とはn ある基準となる時刻から，　　　目的の反応が得られるまでの　　　　　(生存)時間データ(Survival Time)を　　　　　　　　対象とした解析手法の総称

n 工業分野では信頼性データ解析と呼ばれる


目的の反応とは

n 観測する個体に対して1度だけ　　　　非再起的に発生する事象(Event)n 例）

n 死亡　癌や循環器系の臨床研究での患者の再発・死亡

n 故障

　システムや機器の信頼性研究での故障


生存時間データの特徴

n 時間データである（非負、長期の観測）n 観測打ち切りデータがある

n 故障や死亡の原因が複数あるn 加速性や比例ハザード性があるn どの分布を仮定するかがあらかじめ不明

n 正規分布の理屈が使いにくいn データ収集に時間とお金がかかる


Time

Start of Study

EndLost

Died

Time

Censor

Censor

Died

Start of Observation

DiedDied

Died

Died

生存時間データ


Start of Study End

Time

Censor

Censor

Died

Start of Observation

Died

Died

生存時間データ


補足；完全データ

Ｘ印が故障時点、横軸が時間


補足；定時打切試験のデータ

時点ｔｃまでは何個故障しても試験をする。この図では、ｒ個故障して、ｔｃを迎えた。


補足；定数打切試験のデータ

Ｘ印が故障時点、０印が試験打切り時点＃ｒとそれ以降とはｔの値は同じだが＃ｒは完全データ、その他は打切りデータである


補足；多重打切りデータ


補足；ﾗﾝﾀﾞﾑ切りデータ


補足；定時観測データ

　（図中の破線のどこかでアイテムは故障したが

定時観測のため時刻が特定できない）


生存時間分析の目的n (目的の)の反応が，ある生存時間区間に

n 集中して発生するか

n 時間に依存しないでランダムに発生するか

n 生存している確率（信頼度）はいくらか

n 制御因子や環境因子の影響により生存時間に違いはあるかn 設計パラメータの決定

n 加速性，比例ハザード性による予測


Survival Time Analysis

生存時間の分布のご利益注目する時点まで生存する確率（Proportion）と生存関数（Survival Function）の記述

製品の信頼性の記述，生存時間データの分布の仮定•例）変圧器が

5000時間まで生存する確率•例）ベアリングの10％が

故障するまでの時間　　　　　　


生存時間データの分布の特徴n 時間データである　　　　　　非負である

n 中には非常に長生きな個体がある　　　　　　分布の裾が右に長い

n 左右対称の単峯分布ではない　　　　　　正規分布の理論が使い辛い

n 対象によって生存時間の分布が異なる対数正規分布，指数分布,Weibull分布などノンパラ手法の活躍


生存関数(Survival Function)

f(t)

t

故障生存

密度関数 f(t)

生存関数S(t)とは時点tまで生存している個体の累積比率(Proportion)を表す関数

分布関数F(t)とは S(t)=1-F(t)


生存関数(Survival Function)

S(t) 1-S(t)=F(t)

t

1

0

故障

故障

生存

生存

1－分布関数を生存関数 S(t)


ハザード関数の導入n ハザード関数(hazard function)とは

　時点ｔまで生存したという条件付きで，

　時点ｔの瞬間にイベントが発生する

　確率 (rate)を表す関数

　　　　　 h(t)＝f(t)/S(t)n 例）40歳死亡率

　　　　40歳で死亡するためには

　　　　40歳まで生きている必要があり，

　　　　その条件の人の中で次の1年間で死亡する確率


ハザード関数と生存関数S(t)

ﾊｻﾞｰﾄﾞは時点ｔのS(t)を１としたときの

S(t)の傾きの絶対値

S(t)

( )dS tdt


分布を表現する関数の関係

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

0

t 0

t 0

Pr

1

,

Pr |lim

log1lim

t

S t ob T t

F t S t

f t F t f u du

ob t T t t T th t

td S tS t S t t dS t

t S t dt S t dt

∆ →

∆ →

= ≥

= −

=

≤ < +∆ ≥=

∆− +∆

= =− = −∆ •

∫

生存関数；

分布関数；

密度関数；

ハザード関数；



( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }0

log

log

exp

t

d S th t

dt

H t h u du S t

S t H t

=−

= =−

= −

∫

ハザード関数；

累積ハザード関数；


n 生存関数、ハザード関数、累積ハザード関数は数学的に等価

n データ解析的には等価でないn ハザード関数は確率的な誤差の影響を受け

やすいn 自動車の瞬間速度の測定が困難であるのと

同じn 臨床では生存関数、信頼性では累積ハザード

関数が好まれる



n ハザード関数が大きな値をとるほど故障のリスクは高く、生存関数は早く０に近づく


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

,

exp exp

exp

aa

t t

a

at

a

h t a h th t a h t a

h t h t

S t a h u du a h u du

h u du S t

•= • = =

= − • = −

= − =

∫ ∫

∫

a倍

a乗


故障（死亡）の分類

n ハザード関数は瞬間死亡率であるからハザード関数の傾向により3つに分類できるn 初期故障型；ハザード関数が単調減少

n 例）乳幼時期の死亡率

n 偶発故障型；ハザード関数が一定n 例）青壮年期の死亡率

n 磨耗故障型；ハザード関数が単調増加n 例）老年期の死亡率　


補足；初期故障型（DFR：decreasing failure rate)

h(t)

t


補足；偶発故障型（CFR：constant failure rate）

h(t)

t


補足；摩耗故障型（ＩFR：increasing failure rate)

h(t)

t


補足；バスタブ曲線(Bath-Tab Curve）

h(t)

t

初期故障型摩耗故障型

偶発故障型

合成曲線

部品･ユニットの故障率は実際には前述の各故障率のパターン

が合成された形で時間の関数として表されることが多い


Weibull分布n 工業では主にWeibull分布を仮定

( )1

expt t

f tβ ββ

α α α

− = • −

( ) ( )1 expt

S t F tβ

α

= − = −

( ) ( )( )

1f t th t

S t

ββα α

− = =

密度関数

生存関数

ハザード関数


Weibull分布のパラメータ

Weibull分布のパラメータはα，β，γの3つ通常は位置パラメータγを0と仮定する形状パラメータβと尺度パラメータαを推定する

形状パラメータは分布の形を決めるものでありWeibull分布では　　　β　＜1　のとき　初期故障型　　　β　＝1　のとき　偶発故障型（指数分布）　　　β　＞1　のとき　磨耗故障型に対応する


補足；Weibull分布

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 t

f(t)

β=.5,α=2

β=1,α=2

β=2,α=2

β=4,α=2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 t

h(t)

β=.5,α=2β=1,α=2β=2,α=2β=4,α=2

α=2 でβを変えたワイブル分布の f(t),h(t)


Weibull分布のパラメータ

尺度パラメータαは　累積の故障割合が63.2％に達するときの時点

注）形状パラメータの表記は　　JMPではβ(Beta) 日本の信頼性データ解析ではｍ　　尺度パラメータの表記は　　JMPではα(Alpha) 日本の信頼性データ解析ではη


n データを読み込むn Weibull分布の確認

n オーバーレイプロットを描くn 1）密度関数を描く

n 2）生存関数と分布関数を描く

n 3）3つのハザード関数を描く

ハンズオン1Weibull.JMPの解析


変数の意味など

n 変数 time が生存時間n α＝10000時間，β＝2.5のWeibull分布

n time，f(t),F(t),S(t)

n βの値を変えてみようn h1(t)…β＝2.5n h2(t)…β＝1.0n h3(t)…β＝0.5n データ件数40件

ﾊｻﾞｰﾄﾞ関数はどう変わる


操作1.1 ｵｰﾊﾞｰレイﾌﾟﾛｯﾄを描く

1.Overlay Plotをｸﾘｯｸすると 2.ｳｲﾝﾄﾞｳが開く


操作1.2 変数の役割を指定

1.Timeを選択し2.Xをｸﾘｯｸする

3.f(t)を選択し

4.Yをｸﾘｯｸする 5.OKを選択


操作1.3 密度関数の描画

1.ConnectThru Missing

をｸﾘｯｸして 2.密度関数が描画される


操作1.4 生存関数と分布関数の描画

同様な操作で，分布関数，生存関数を描画する同様な操作で，ﾊｻﾞｰﾄﾞ関数を描画する


ハンズオン1Weibull.JMPのまとめ

グラフより，ワイブル分布のハザード関数h(t)は形状パラメータβの値によって，

　　単調減少　β＜1　　一定　　　　β＝1　　単調増加　β＞1

することが分かる


ＪＭＰ　Calculatorn メニューのColsでColumn Info.を選ぶn Current Properties がFormulaを確認

n Edit Formula をクリックn 計算式を表示,編集n 2つのリストボックスの役割を理解

n 左；現在登録されているCol Name

n 右；利用する関数群n クリックすると関数を表示


練習問題

n LnNormal.JMPを読み込み,ハザード関数と生存関数を求め,グラフにしてみよう

( )21 1 log

exp22

tf t

tµ

σσ π

− = −

対数正規分布の密度関数


補足；正規分布( )2

2

1( ) exp ,

22

xf x x

µσσ π

− = − − ∞ < < +∞

( )2

2

1( ) exp ,

22

x tF x dt x

µσσ π −∞

− = − − ∞ < < +∞

∫


補足；指数分布故障の発生が時間に依存しない

( ) ( )exp 0, 0f t t tλ λ λ= − ≥ >

( ) ( )1 exp 0, 0F t t tλ λ= − − ≥ >

指数型累積ハザードプロット

f(t)

t


補足；対数正規分布

n ＥＭによる寿命に適用される( )2

2

ln1 1( ) exp 0

22

tf t t

t

µσσ π

− = − >

( ) ( )2

20

ln1 1exp 0

22

t xF t dxt

xµ

σσ π

− = − >

∫

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 3 6 9 12 t

f(t) μ=2,σ=.5

μ=2,σ=1

μ=2,σ=2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 3 6 9 12 t

h(t) μ=2,σ=.5

μ=2,σ=1

μ=2,σ=2

対数正規分布の f(t)と h(t)


補足；寿命に用いられる主な分布

n ゴンぺルツ分布ワイブル分布n 正規分布対数正規分布

n ロジスティック分布対数ロジスティック分布・指数分布＿偶発故障

n ガンマ分布，極値分布，一般化レーリー分布

など

49

３．確率プロットとは


補足；確率プロット

確率紙　　　多くの分布に対応したものが開発されている

確率紙はデータを昇順に並べたとき,データと仮定する分布関数との関係が直線になるように工夫された用紙である


生存時間の分布を調べる方法

n 確率プロットの利用n V4からヒストグラムに各種の確率プロットが追加

されたn 正規分布,対数正規分布

n weibull分布,3パラメータweibull分布

n 極値分布,指数分布

n ガンマ分布,ベータ分布

n Weibullプロットを例にとる


Weibull プロットの原理

両辺に対数をとると

再度，両辺に対数をとると

( ) ( )1 expt

S t F tβ

α

= − = −

( )logt

S tβ

α

= −

( )logt

S tβ

α − =

( ){ }log log logt

S t βα

− =

( ){ }log log log logS t tβ α β− = − +


ハンズオン2Weibull.JMPの解析2

n データを読み込むn Weibullプロットの原理を理解する

n Columnを1つ追加するn ＪＭＰ　Calculatorを使い,-lnS(t)を計算するn AnalyzeのFit Y ｂｙX で,Xにtime,Yに-lnS(t)を

指定するn 縦軸と横軸を対数にするn プロットが直線になることを確認する


ハンズオン2Weibull.JMPのまとめ

n Weibullプロットの原理はtimeとS(time)を変数変換して直線化


練習問題

n Wiring．JMPを読み込み、Timeのヒストグラムを作ってみようn AnalyzeからDistributionを選ぶ

n Fit Distributionを使いWeibull分布を当てはめてみよう

n 他の分布を当てはめたときはプロットはどうなるか調べてみよう


補足；プロットが直線でないときn プロットが直線的でない場合がある

n 寿命分布がWeibull分布に従わない

n 位置パラメータγが予想されるn 打切りデータを考慮していないなど

n 位置パラメータγが存在する場合の解析n 競合リスクモデルの解析

n 混合分布の解析n 複合Weibull分布の解析

57

Part　II　Survival　を使う


補足；信頼性について

劣化状態

故障時点；ｙ（測定）初期特性or

製造条件

ストレス

加速寿命試験

市場データ


補足；製品などの寿命予測の流れスタート

信頼性試験の計画・設計パラメータの決定

・反応速度論モデルなどを仮定して環境因子と水準の決定・寿命分布の仮定・実験計画法を利用した割付と試験計画の立案・故障の定義など


補足；製品などの寿命予測の流れ

信頼性試験の計画

試験の実施

・個々の試料の故障解析・寿命の測定

故障モード決定

データ解析開始

変数変換


補足；製品などの寿命予測の流れ

・寿命分布の確認

多変量解析・残差の検討・加速係数や活性化エネルギーの評価・実寿命予測の妥当性

データ解析開始

1変量解析

変数変換

例）温度因子　　摂氏　→　1/（k BT）

寿命予測モデルの作成

ＯＫ

2変量解析

・曲線関係・加速性　　　のﾁｪｯｸ・時間依存性


補足；工程データ解析との比較

解析ステップ工程データ生存時間ﾃﾞｰﾀ

1 １変量解析基本統計量ヒストグラム箱髯図

Kaplan-Meier推定量生存関数プロット確率紙・累積ハザード紙

2 １因子(質) 分散分析ログランク検定一般化Wilcoxon検定

3 1因子(量) 単回帰分析直交多項式

反応論による加速モデル比例ハザードモデル

4 多因子(質量) 実験計画法重回帰分析

反応論による複合加速モデル複合比例ハザードモデル


Survival メニューn Survival Distribution　

n ノンパラメトリックのKaplan-Meier法n 仮定した分布のパラメータを求める確率プロットn 右側打ち切り，グループの比較，競合リスク

n Parametric Regression　n 生存時間に分布を仮定した非線形回帰n 加速モデル

n Proportional Hazardsn 生存時間に分布を仮定しないCox回帰n 比例ハザードモデル（セミパラメトリック）

n Recurrence　今回は対象外

64

４．打ち切りデータの処理と生存時間分布（Weibull分布）の確認


打ち切り(censor)データn 観測される個体について，正確な生存時

間が測定できるとは限らないので打ち切り(censor)が生じる場合がある

1.時間の原点（測定の開始時点）が不明確な場合

例）製品やシステムなどの信頼性研究では　　納品時点は分かっても，実際のユーザーの　　使用開始時点は正確には分からない

例）デバイスなどでは信頼性試験終了時点に，　　故障していない個体がある

2.反応の発生時点が分からない場合

左側打ち切り左側打ち切り

右側打ち切り右側打ち切り


Censor変数の意味

n ＪＭＰでは，Censor変数にルールがあるn 0；

　　　打ち切りのない完全なデータを意味する

n 1，2，…（0以外）；

　　　打ち切りが生じたデータ


ハンズオン3Wiring.JMPの解析

n データを読み込むn 一変量の解析,分布を確認する

n Survival Disuribution を使うn Survival プロットを描くn Weibullプロットを描くn Weibullプロットに参照線を追加するn Weibull分布のパラメータを推定するn 他の分布（対数正規分布，指数分布）を試す



n 電子デバイス(Al配線)の加速寿命試験における寿命分布を推定する.

n 変数の意味n Time(加速寿命試験による電子デバイスが故

障に至るまでの時間)　　

n Censor(打切り)打切りがあるので、Distributionは使ってはいけない


操作3.1 打切り情報を無視した解析

1.Survival Distribution をクリックして

2.Timeをクリックして 3.Yをクリック 4.OKをクリック


操作3.2 Weibullプロットの実行

Weibull PlotWeibull Fit

を選択


操作3.3 パラメータの推定

Weibull プロットが描画される

打ち切りが考慮されていないので生存時間が短めに推定される


操作3.4 打切り情報を考慮した解析


2.Timeをクリックして

3.Yをクリック

6.OKをクリック

4.Censorをクリックして 5.Censorをクリック


操作3.5 信頼区間の追加

1.Plot OptionsからShow Confid Intervalを選択

2. Kaplan-Meier 法による平均値,標準偏差の推定値95％信頼区間が描画される


操作3.6 Weibullプロットの実行

2.Weibull プロットを描画する

推定値の違いに注目

3.Save Estimatesを選択

1.Weibull Plot,Weibull Fit を選択


操作3.7 推定値の保存と単回帰

推定値の違いに注目


ハンズオン3Wiring.JMPのまとめ

n グラフの下にExtreme-value Parameter Estimates とWeibull Parameter Estimates が表示される

n 表には，Weibull分布のパラメータの推定値の他に，推定値の信頼水準95％の上下限値，および反応数が表示される

n DeltaはWeibullプロットの傾きでBeta=1/Delta n LambdaはWeibullプロットの63.2％点で

Alpha=eLambda

n Weibull分布の他にExponential PlotとLogNormalPlotができる


Kaplan･Meier 推定量

n 故障(イベント)があった時点をとするn ti時点の故障数をdiとするn ti時点の直前までのリスク集合の大きさをniとする

n リスク集合の大きさとは,その直前まで生き残っていた個体数n 故障が発生するリスクにさらされた個体数n リスク集合の大きさは,故障と打切りにより時点ごとに異なる

(時間の経過とともにリスク集合の大きさは小さくなる)

{ } 1

ni i

t=

( ) 1 2

1 2

ˆ 1 1 1 1i

nn i

t tn i

d dd dS t

n n n n<

= − × − × × − = −

∏L


Kaplan･Meier推定量

n カプラン･マイヤー推定量は,各時点の生存率の積になっている

n 対数を取るとn 各項は近似的に独立なので

( ) 1 2

1 2

ˆ 1 1 1 1i

nn i

t tn i

d dd dS t

n n n n<

= − × − × × − = −

∏L

( )1

ˆlog log 1n

i

i i

dS t

n=

= −

∑

1

ˆlog log 1n

i

i i

dV S V

n=

= − ∑


Kaplan-Meier推定量

n テーラー展開の近似により

n 二項分散により

n したがって,

2

1ˆ ˆlog ˆV S V SS

≈ •

( )log 1 i i

i i i i

d dV

n n n d

− = −

( )1

ˆlogn

i

i i i i

dV S

n n d=

= −∑

( )2

1

ˆ ˆn

i

i i i i

dV S S

n n d=

= −∑ グリーンウッドの公式


Kaplan-Meier推定量

n 打切りがない場合は

n 率の分散の公式に一致する

11

1

ˆ

n

ii

n dS

n=

−=

∑

( ) 1ˆ ˆ ˆ1 /V S S S n = −


補足；累積ハザード法n 時点tiにおけるハザード率は､ハザード関

数による表現により､

( ) ( ),,

i ii

i i

t t th t t

t n∆

∆+

× =における故障数

時間以上の寿命を持つ個数Δｔは微小な値で､限りなく0に近づけると

( )1

ik

ik

tH t

=

= ∑ k

k k

における故障数,rt 時間以上の寿命を持つ個数n

タイがないときは1

1( )

t

ik

H t=

= ∑逆順位


補足；データ例

n 39､79，90，115 66，96 （ｈ)完全データ打切データ

から分布関数を推定するn Excel関数を使うと簡単である


補足；計算例

6観測値打切り順位逆順位故障数 λ(ｔ) H(t) F(t)

39 0 1 6 1 0.1667 0.1667 0.1535266 1 2 5 0 0 0.166773 0 3 4 1 0.25 0.4167 0.3407690 0 4 3 1 0.3333 0.75 0.5276396 1 5 2 0 0 0.75

115 0 6 1 1 1 1.75 0.82623

=count(データ範囲)

データ､打切り有無､順位を入力

＝A$1-C3+1＝E3/D3

If文を使う累積する

If文を使い完全データだけF(t)を推定する


補足；ジョンソン法

n 打切りを考慮した平均順位を計算してF(t)を推定する

n 打切りがなければ､故障順位と順位は一致

11

1

1 ( 1)j

j j

n MONMON MON

n i−

−

+ −= +

+ − −

打切りがあっても順位を推定できる方法

MON(Mean Order Number)


補足；ジョンソン法6

順位(i) 打切り故障順位(j) k=i-1 MONj1 0 1 0 12 0 2 1 23 0 3 2 34 0 4 3 45 0 5 4 56 0 6 5 6

順位(i) 打切り故障順位(j) k=i-1 MONj' MONj1 0 1 0 1 12 1 1 1 13 0 2 2 2.2 2.24 0 3 3 3.4 3.45 1 3 4 3.46 0 4 5 5.2 5.2


補足；推定方法の比較ジョンソン法と累積ハザード法とK-M法

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

87

５．幾つかの処理の違いの比較


1因子（質的変数）の解析

n 処理の違うグループ間の生存時間の比較n Kaplan-Meier 法の実行

n グループ毎の生存関数の表示

n ノンパラメトリック検定n ログランク検定n 一般化Wilcoxon検定

n パラメトリック検定n 生存時間分布の指定

n パラメトリックモデルの実行


ノンパラメトリック検定

n ログランク検定n 全ての時点で同じウエイトがかかる

n 一般化Wilcoxon検定n ウエイトがその時点のリスク集合の大きさ

n ｔが小さい初期のウエイトが大きい


補足；ログランク検定

封止樹脂 A(群 1)：150，170，220，280 封止樹脂 B(群 2)：221，290，340，390(値は人工データ；データ数は説明を簡便にするためのものであり, このような小さなサンプルサイズを薦めているのではない)


補足；ログランク検定第 j 時点( )1,2, ,j k= L における2×2の分割表を

以下のように表記する.

1 1 1 1 1 1 1 111 11 11 11

2 2 2 2 2 2 2 221 21 21 21

1 1 1 1

1 112 22

j jj

j j j j k k k k

j j j j k k k k

j j j j k k k k

t ttd n d n d n d nd n d nd n d n d n d nd n d nd n d n d n d nd n d n

− −−− −−− −−

L L

時点故障生存計時点故障生存計時点故障生存計第群第群第群第群第群第群計計計

両群の生存時間が同じという条件（期待度数）では,故障数は平均的に

1 1 2 2/ , /j j j j j j j jm d n n m d n n= × = ×


補足；ログランク検定分散は

( )( )

( )( )

1 21 11 2

1 22 22 2

11

11

j j

j-------------------

j j

j-------------------

n -d,

n -1

n -d

n -1

j j j j jj jj j

j j j j

j j j j jj jj j

j j j j

n n d n dn nv d

n n n n

n n d n dn nv d

n n n n

− = − = −

− = − = −

1, /j j jn d p n n= = の二項分布を考え

下線部分の有限母集団修正を加えたものと考えれば良い.


補足；ログランク検定故障数とその平均との差

1 1 1 2 2 2,j j j j j jd m d mδ δ= − = −

が大きくなければ,生存関数に有意な差は認められない

( ) ( )1 1 1 2 2 2,j j j j j jd m d mδ δ= − = −∑ ∑ ∑ ∑

を調べれば良いだろう.この差の二乗を分散で割った値が近似的にχ2分布に従うことを使って検定する.


補足；ログランク検定

同時点での故障がなければ

1

1 11 1 1

1

1 21 2

1 j

jj jj j j j

jj j

j

j j

j

nnn n

d d dnn nn

n nv

n

δ

− = − = − = −

×=

∑ ∑ ∑ ∑

∑

群の故障1

群2の故障


補足；一般化ウィルコクスン検定ログランク検定を少しかき方を変える

( )( )

( )

1 1

11 1

1 21 , 1

1

j j

jj j j j

j

j j j j jj j j

j j

nw d m w d

n

n n d n dv w w

n n

δ

= − = −

−= =

−

∑ ∑ ∑

∑

( )( )

( )

1 1

11 1

1 21 ,

1

j j

jj j j j

j

j j j j jj j j j

j j

nw d m w d

n

n n d n dv w w n

n n

δ

= − = −

−= =

−

∑ ∑ ∑

∑

一般化ウィルコクスン検定では


補足；一般化ウィルコクスン検定

同時点での故障がなければ

( )( )

( )

1 1

1 211 1

1

1 21 1 21

12j j

j j jjj j j j

jj

j j j j jj j j j

j j

n n nnw d n d n

nn

n n d n dv w n n

n n

δ Σ − == − = − = −

−= =

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

群の故障

群の故障


ノンパラメトリック検定の比較


ハンズオン4Rats.JMPの解析

n データを読み込むn 一因子（質的変数）の解析,処理の比較

n Survival Time Modelingを使う

n 2群のSurvival プロットを描く

n ２群の生存時間の違いを検定する

n 推定量を保存する

n ２群をまとめて生存時間を推定する

n 対数正規分布を仮定した検定を試す



n 発癌剤の投与量を変えた2つのグループのラットの生存時間の比較

n 解析に用いる変数n day （ラットの生存日数）

n Group （発癌剤の投与量の違い)n Censor （打ち切りの有無)


操作4.1 役割の指定1.Survival Distribution をクリックして

2.daysをクリックして 3.Yをクリック

8.OKをクリック

4.Censorをクリックして5.Censorをクリック

6.Groupをクリックして 7.Groupingをクリック


操作4.2 ノンパラ検定の実行

5％有意でない

2群のラットの生存日の違いはこのデータからでは分からない


操作4.3 カテゴリの併合カテゴリー(処理の違い)を併合してみる

Plot OptionsからShow Conbinedを

クリックする併合されたときの統計量が出力される


ハンズオン4Rats.JMPのまとめ

n Tests　Between　Groupsに表示されているように，2群の生存関数が等しいという帰無仮説の下での検定結果（Prob>ChiSq）から，いずれの検定でも5％で有意でないことが分かる.

n ウインドウの左下隅にあるﾁｪｯｸボタンをクリックして，Show　Combinedを選ぶと，2群を合併した生存関数がグラフに追加される.

n グラフの軸をダブルクリックするとグラフにグリットを表示できるなどのオプション機能がある


生存関数の推定値の出力n 左端のdaysには，時間の順に反応，打ち切りが

あった日が出力される.n 2番目のSurvivalのカラムは，生存関数の推定

値を示しているn Survival=(At Risk - N Failed)/At Risk

n 3番目のFailureのカラムは，累積のイベントの割合（分布関数）を示しており，Survival+Failure=1　という関係がある

n SurvStdErr(Survival　Standard　Error)のカラムは，得られた生存関数の値を母集団に対する推定値と考えた場合の標準誤差を表示


生存関数の推定値の出力

n N　Failedのカラムは1番目のカラムの時点で発生した反応の数である

n N　Censoredのカラムは 1番目のカラムの時点で打ち切りのあった数である

n 右端のAt Riskのカラムは，リスク集合の大きさ（スタート時の標本数から，その時点までの反応と打ち切りを受けた個体を除いた数）を示している

n Quantilesの表にある，MeanとStdDev（Standard　Deviation）は生存時間の平均の推定値と標準偏差の推定値である


練習問題

n PWB．JMPを読み込み周辺温度の違いが寿命にどのような影響を与えるか考察してみよう．n 各条件の寿命はWeibull分布にしたがってい

ると考えられるか

n 周辺温度の違いが寿命に影響を与えると考えられるか

n 周辺温度は温度にどのくらい影響を与えるか


補足；PWBのデータ

温度条件生存時間

65℃ 180 270 370 430 500 570 620 710 790 960

75℃ 90 170 210 220 270 310 320 360 430 540

85℃ 30 50 60 70 90 100 110 120 130 150


補足；ＩＣのＥＭ寿命のロットによる層別

ロット1生存時間 143 156 178 180 192 206 209 213 216打切り 0 0 0 0 0 0 0 0 0生存時間 216 220 224 227 230 234 246 265 304打切り 1 0 1 0 0 0 0 0 0

ロット2生存時間 163 172 185 198 204 205 222 225 230 233打切り 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0生存時間 233 235 239 240 261 280 280 296 323 344打切り 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

ロット別の EM 寿命


　　　　　　　　　　　χ2値　自由度　　ｐ値ログランク検定　　　2.9414 1 0.0863一般化 Wilcoxon 検定 2.4823 1 0.1151



μ σ L95%μ U95%μ L95%σ U95%σ 故障数ロット1 5.36851 0.18645 5.27724 5.46453 0.13642 0.27642 16ロット2 5.48055 0.20769 5.38403 5.58331 0.15307 0.30443 17

モデル -対数尤度 χ2値自由度ｐ値要因推定値標準誤差モデルの差 1.34425232 2.6885 1 0.1011 ロット1 5.2596613 0.1052976フルモデル -2.8245958 ロット2 5.3695364 0.0657343縮約モデル -1.4803435 σ 0.1976291 0.0245172

対数正規分布を仮定したときのパラメータの推定値

対数正規分布を仮定したときのロット間差の検定


111

６．競合リスクモデル


競合リスクモデル

n イベント(故障,死亡)の原因が複数考えられる場合に発生原因別に解析したい

n 得られたデータはイベントの生起時間のみn イベントは，原因Ａ，Ｂ，Ｃ…でおきるn 原因Ａ，Ｂ，Ｃ，…は背反で生存時間に依

存しない

n 原因Ａでイベントがおきたとき，　　原因Ｂ，Ｃ，…でイベントは起きない


補足；ジャーナル部分の故障

T4:シャフトの変形

T3:疲れ破壊

T２:ジャーナル部の摩耗T１:スプラインの変形

原因別シャフトの故障


競合リスクモデルの解析の仕方

n 着目した原因で故障，死亡が発生した場合はイベントが発生したと考える

n 着目した原因以外で故障，死亡が発生した場合は，観測が打ち切られたと考えて打ち切りデータとして扱う

n 故障の原因が同じようなものは1つにまとめる（群間の検定をおこなう）

　


補足；競合リスクモデルn 競合リスクモデル

n リスクとは故障原因となりうるもの

n リスクが同時に複数存在しているモデル

n 競合リスクモデルの下でのデータn 最小値とその値が観測される原因となったリ

スク対ﾃﾞｰﾀで,ﾗﾝﾀﾞﾑ打切りデータとなる

n 競合リスクモデルの目的n リスクが除去された場合の効果の把握

n 故障原因ごとの寿命特性の解析


補足；故障を層別して解析

n 故障モード(リスク)を層別して解析するn 市場の製品は複数のサブシステムから構成

n 故障のモードも複数ある

n それらは競合リスクモデルでありn ドレニックの定理により,m=1(指数分布)として

推定されるn そこから得られる情報は僅かであり,故障のモー

ドにより層別することが重要である


補足；競合リスクモデルによる打切りデータ

■は故障モードＡ▲は故障モードＢ

1234567

0 50 100 150 200 動作時間アイテム番号

■はモードＡの故障時刻○はモードＡの中途打切り

1234567

0 50 100 150 200 動作時間アイテム番号

故障モードAのみに着目すれば，


補足；競合リスクモデルによる打切りデータ

n データの形式(データ行列的にかくと)

. ;1 1402 170

230

390

( )

V d1: d235 1 050 0 1

40 0 1

50 0 1

No time x

i

n

M M M M M

M M M M M

個体生存時間要因故障原因打切り

電圧コンデンサ：リレー

故障原因ごとに打切りのダミー変数を変えて解析


n データを読み込むn 競合リスクの解析


n Survival プロットを描く

n 競合リスクを調べるn Omitする原因を選ぶ

n 簡便法による当てはまりの評価

ハンズオン5Unit.JMPの解析


補足；Unit.JMPのデータ

n 競合リスクn 故障原因が複数個あり，背反の場合

生存時間 1496 2004 3973 4083 4215 4526 4911 5216

故障原因コンデンサコンデンサリレーコンデンサコンデンサリレーリレーコンデンサ

生存時間 5320 5515 5735 5812 6018 6400 6582 6978

故障原因リレーコンデンサリレーコンデンサリレーコンデンサリレーリレー

生存時間 7198 7442 7841 8030 8760

故障原因コンデンサリレーコンデンサリレーコンデンサ

電装ユニットの生存時間データ



n 電送機器に用いられるプリント基板　　　　の生存時間解析生存時間に依存しない2種類の原因のどちらかにより反応＝故障が起きた場合の競合リスクモデルの解析

n 変数n time （市場での生存時間)

n 基板が故障に至るまでの時間

n failure （故障の原因)n プリント基板の故障の原因は2つだけ

n Condenser コンデンサのショートn Relay リレーの接点溶接不具合


操作5.1 役割の指定


4.OKをクリック2.timeをクリックして3.Yをクリック

5.Competing Causesをクリック

6.Falureを選択


操作5.2 競合リスクモデル

Weibull Plotをクリック

Weibull分布を仮定した競合リスクモデルの推定値


操作5.3 Weibullプロット全体と競合モデルのWeibull直線が描画される

1.Omit Causesをクリック

2.Condenserをクリック 3.OKをクリック


操作5.4 ハザード関数の描画統計量の保存

当てはまりの良さ


ハンズオン5Unit.JMPのまとめ

n ポップアップメニューから，Competing Causes　　　を選ぶと競合リスクモデル下での各故障原因毎のワイブル分布のパラメータ推定が求まる

n 生存関数のプロットにワイブル分布による生存関数が破線で表示される

n 原因コードでcondenserをOmit すると，condenserのショートによる故障は打ち切りデータとしてワイブル分布に基づく生存関数が破線で表示される

n FailureをGrouping に指定した場合の解析とは同じにならないことに注意

127

Part　III　非線形回帰モデル

７．単回帰モデル


1因子（量的変数）の解析n 要因効果をしらべる

n 製品の信頼性評価は実験研究が多いn 設計パラメータを変更したことによる改善効果

n 環境要因の寿命加速性の確認n 加速試験が基本…反応論モデル

n 比例ハザードモデルn ハザード比が一定

n 加速モデルn 生存時間が加速する


加速性と比例ハザード性

加速性 ( )( ) ( ) ( )a

a oo

S ta S t aS t

S t= ⇔ =

比例ハザード性( )( ) ( ) ( )aa

a oo

h ta S t S t

h t= ⇔ =


Weibull分布と比例ハザード性( ) ( )0

aaS t S t= というべき乗の関係があるとき

( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( ){ } ( ){ }

( )

0 0

0 0

ln ln ln ln

ln ln ln ln ln ln

ln ln ln ln ln

a aa a

aa

S t S t S t S t

S t S t a S t

ta a t

β

β α βα

= ⇔ − = −

− = − = −

= − + = − + +

ワイブル分布を仮定すると

二重対数グラフでは,水準間の平均値の差として表現できるこれは,ハザード比(故障率比)が時点に無関係に一定

というモデルになる

ln a


Weibull分布と比例ハザード性二重対数グラフの世界で,両者の差を考えると

( ){ } ( ){ }0ln ln ln ln

ln ln ln ln

aS t S t

t ta a

β β

α α

− − −

= − + − = −

Weibull分布の情報が消える分布がWeibull分布でなくても

両者が平行であれば比例ハザード性が成り立つ


指数分布パレート分布

ゴンペルツ分布ワイブル分布

ｔ ln(ｔ)

Ｈ(t)

lnＨ(t)

縦軸　　横軸

( )H t tβ= ( ) ( )ln /H t tβ α=

( ) tH t eβαβ

= ( ) ( )/H t tβα=

補足；二重対数プロットと分布


比例ハザードモデルn ハザード関数に　を考えるn h0(t)はxが0である基準となるハザード関

数とするn ハザードの比を取ると，共通のh 0(t)が相

殺されるので，未知数はbのみである

( ) ( ) ( )0 expxh t h t bx=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }0

0

expexp

expi i

i jj j

h t h t bxb x x i j

h t h t bx= = − ≠


比例ハザード法の直感的理解n PWB．JMPを読み込むn Survival Distributionを選ぶn YにTime1をGroupingに１/kTを選択n K-M統計量を保存するn Log(Time)とLog(-logS(t))で散布図を描くn Groupに1/kTを選ぶ

信頼性データ解析の累積ハザード紙に対応している


比例ハザード法の直感的理解

３つの条件でほぼ平行

このグラフで直線的なら　　Weibull分布が仮定できる

比例ハザード性が仮定できるlog ( ) 9.326269 2.0330log( )log ( ) 11.76942 2.0537log( )log ( ) 12.98731 2.0451log( )

H t TimeH t TimeH t Time

= − += − += − +



n 1/kT=32.**を基準にして各水準の差(切片の差)を計算すると

勾配を計算して

11.92

kT−

-13

-12

-11

-10

-9

a

32 32.5 33 33.5 34 34.51/kt

Linear Fit

a = 52.101959 - 1.9021121 1/kt

Linear Fit

Bivariate Fit of a By 1/kt

統計的に正確な方法はCOX回帰分析

33.** 32.** 2.44334.** 32.** 3.661

− = −− = −



n COX回帰を行うと1/(kT)Term

-2.1750756Estimate

0.4718532Std Error

.Lower CL

-1.325551Upper CL

Parameter Estimates

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Bas

elin

e Sur

v

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000time1

Baseline Survival at mean

Proportional Hazards Fit

先の直感的な方法と近い値-2.1750が

求められている

つまり,COX回帰は生存時間の分布を考えなくても要因効果が推定できる


補足；最尤法

n 尤度関数Lについてn 母集団を決めるために,仮定したモデルの母数

θが与えられた

n ある標本を得る確率は標本値の関数で表すことができる

n 逆に標本値を固定し,θを変数とする関数を考えたものが尤度関数

n 尤度を最大とするθが求める母数であるn しばしば,尤度の対数をとりθを推定する


補足；最尤法

n 尤度関数の比を尤度比というn 尤度比を用いた検定を尤度比検定と呼ぶn 対数を取れば,尤度関数の差として表現さ

れるn 2倍の対数尤度の差が近似的にχ2分布に

従うことを用いて検定するものを尤度比検定という


反応論モデルと加速モデル

n Arrhenius アレニウスモデル

n θ℃則モデル

n Eyring モデル

n べき(n)乗モデル

　　　　　　

( ){ } 50 1 1

êxp 1/ , 8.62 10aLife b b kT E b k −= + • = = ×

( ){ }0 1 1êxp ln 2 1/Life b b T b θ = + • =

( ){ }0 1 1ˆ/ exp 1/ aLife T b b kT E b= + =

( ){ }0 1 1êxp lnLife b b T n b= + • =


補足；反応速度論

t

x

Log-Normal Distribution

Acceleated


補足；サーミスタの抵抗の温度依存モデル

周辺温度(℃) 30.2 29.7 28.7 32.8 31.1 28.0 48.8 50.2 51.8 50.7

抵抗値(Ω) 27.2 29.6 31.7 28.5 28.0 30.6 19.2 20.0 19.4 20.0

周辺温度(℃) 48.6 48.8 70.1 71.4 70.0 69.6 68.8 70.5 90.7 90.9

抵抗値(Ω) 19.8 18.7 13.3 13.5 13.8 13.4 13.6 12.8 9.9 9.2

周辺温度(℃) 90.6 91.1 90.8 89.0 110.0 109.5 112.3 110.0 108.1 108.1

抵抗値(Ω) 9.7 9.5 9.6 9.9 7.2 7.3 6.9 7.3 7.6 7.4


補足；サーミスタの抵抗の温度依存モデル

1.0

10.0

100.0

0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004周辺温度 1/T (Ｋ)

抵抗

値 logR

(Ω)

周辺温度と抵抗値の関係

log y b b xR T= +0 1

x tT = +1 273/ ( )

00

1 1expR R B

T T

= −

α = = −1

2RdRdT

BT

ˆlog 3.455 7.614log

1ˆ 0.0316exp 2026.1

R T

RT

y x

yx

= − +

→ =


補足；物理化学則と変数変換

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0

周辺温度 t(℃)

抵抗

値 R

(Ω)

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

1.0 10.0 100.0 1000.0周辺温度 t(℃)

抵抗

値 R

(Ω)

変換前の散布図摂氏温度と抵抗値


n 反応論モデルなどによる加速モデルのタイプを技術的に決める

n 試験する水準数と水準値を決め試験実施n 変数変換

n 温度は絶対温度の逆数を考える　など

n 生存時間の分布を想定n 加速モデルで解析

加速モデルの解析の仕方


練習問題

n PWB．JMPを読み込み周辺温度の違いが寿命にどのような影響を与えるか考察してみよう．n 各条件の寿命はWeibull分布にしたがってい

ると考えられるか

n 周辺温度の違いが寿命に影響を与えると考えられるか

n 周辺温度は温度にどのくらい影響を与えるか


補足；PWBのデータ

温度条件生存時間

65℃ 180 270 370 430 500 570 620 710 790 960

75℃ 90 170 210 220 270 310 320 360 430 540

85℃ 30 50 60 70 90 100 110 120 130 150


補足；PWBの解析ちょっとまて,工程データなら?

0

200

400

600

800

1000

Time

60 65 70 75 80 85 90Temp

Linear Fit

Time = 1991.4167 - 22.45 Temp

RSquareRSquare AdjRoot Mean Square ErrorMean of ResponseObservations (or Sum Wgts)

0.5931760.578646157.1318307.6667 30

Summary of Fit

InterceptTemp

Term1991.4167 -22.45

Estimate265.07513.513575

Std Error 7.51 -6.39

t Ratio<.0001<.0001

Prob>¦t¦

Parameter Estimates

Linear Fit

Bivariate Fit of Time By Temp

0

200

400

600

800

1000

Time

.00280 .00285 .00290 .002951/T

Linear Fit

Time = -7508.463 + 2718515.3 1/T


0.5942020.579709156.9335307.6667 30

Summary of Fit

Intercept1/T

Term-7508.4632718515.3

Estimate1221.013424561.4

Std Error -6.15 6.40

t Ratio<.0001<.0001

Prob>¦t¦

Parameter Estimates

Linear Fit

Bivariate Fit of Time By 1/T


補足；PWBの解析水準の分散が違うので対数を取る

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

ln(Time)

.00280 .00285 .00290 .002951/T

Linear Fit

ln(Time) = -25.36191 + 10695.901 1/T


0.6750710.6634660.5183625.390372 30

Summary of Fit

Intercept1/T

Term-25.3619110695.901

Estimate4.0330851402.355

Std Error -6.29 7.63

t Ratio<.0001<.0001

Prob>¦t¦

Parameter Est imates

Linear Fit

Bivar iate Fit of ln(Time) By 1/T

各水準での残差は正規分布

しているか?

そうなら,各点は同じ重みでよい

違うなら重みを変えよう


補足；PWBの解析正規性のチェック

ワイブル分布だ!!!


補足；PWBの解析ワイブル分布による回帰分析

Weibull Distribution

DifferenceFullReduced

Model17.736312820.733353138.4696659

-LogLikelihood 35.4726ChiSquare

1DF

<.0001Prob>Chisq

Whole Model Test

Intercept1/TDelta

Term-25.41005910794.45260.41867433

Estimate3.80464591323.08940.0587065

Std Error-33.083528124.40750.3240504

Lower CL-17.7160613468.5380.5632736

Upper CL

Parameter Estimates

Intercept1/T

Term9.2162e-12 .

Exp(Estimate)2.38849131

Beta=1/Delta

Alternate Parameterization

1/TSource

1Nparm

1DF

35.4726256L-R ChiSquare

0.0000Prob>ChiSq

Effect Likelihood Ratio Tests

Parametric Survival Fit


補足；通常の回帰分析と違うのは

n 誤差の分布が正規分布ではないことが多いn 打ち切りデータがあるかも知れない

n 競合リスクがあるかも知れない正規方程式(最小二乗法)が使えない

n ｙとｘとの間に,反応論モデルなどを物理的モデルを考慮する

n 外挿による実寿命を予測する


ハンズオン6Creep.JMPの解析

n データを読み込むn 1因子(量的変数)の解析,加速モデルの実施


n 比例ハザードモデルの実行

n 生存時間の分布を想定n 加速モデル(Weibull回帰)を実行

n 考察


変数の意味などn プラスチック材料のクリープ破壊による寿命モデル

のパラメータを推定する.n 変数の意味

n temp (試験環境の摂氏)n 1/Ｔ（試験環境の絶対温度の逆数）n time（生存時間）n Censor(打ち切りの有無)

n 反応論モデルとして　Life= exp(b0+b1/(273+temp)) ＝exp(b0+b1/T)を仮定する


補足；プラスチック部材のクリープ破壊

65℃

生存時間 250 350 500 600 650 680 700 850 900 1000

打切り 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1

75℃

生存時間 150 200 280 300 320 390 470 590 630 840

打切り 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

85℃

生存時間 40 60 70 90 120 140 180 220 250 350

打切り 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


補足；プラスチック部材のクリープ破壊の解析

Larson-Miller 則は　　T ( C + log L) = Qであるから L = exp( Q/T - C)

T；絶対温度,L；生存時間 C;物質に対する固有な定数 D;応力と材料に対する固有な定数


補足；Larson-Miller則n 一般に金属･樹脂材料のクリープ現象に適

用される

n クリープ現象n 応力が一定の場合に経時的に歪みや破断が

発生する現象

n 応力が増すほど寿命が短くなる

n 温度が高いほど寿命が短くなる

n Larson-Miller則はマイナー則とｱﾚﾆｳｽ則の複合モデル



生存関数のプロットワイブルプロット


操作6.1 役割の指定1.Proportional Hazards をクリックして

2.timeをクリックして

3.Time to Eventをクリック

8.Run Modelをクリック

4.Censorをクリックして

5.Censorをクリック

6.1/Tをクリックして 7.Addをクリック


操作6.2 比例ハザードモデル

比例ハザードモデルによる生存関数のグラフ

( )( )

( ){ }

75

65

exp 18303.289 0.002874 0.002959

4.74

h tRisk

h t=

= − −

=

℃

℃

温度が65℃から10℃上昇して75℃になったときのハザード比は

4.74倍のリスクに跳ね上がることが分かる


操作6.3 役割の指定1.Parametric Regression をクリックして

2.timeをクリックして


8.Weibullをクリック



6.1/Tをクリックして 7.Addをクリック



操作6.4 Weibull回帰の実行

1ˆ exp 23.42711 10266.8942T

α = − +

βの推定値 1.844

δ=1/β95％信頼区間に1を含まない(1未満)から,摩耗故障


操作6.5 残差の検討1.データテーブルのColumnsで新たに2つのカラムを追加2.変数名を予測値,残差とする3.Formulaにして,計算式

予測値：

残差：

を作る4. Survival Distributionから,Yに残差,CensorにCensorを

指定後,Weibullプロットを行う5.α＝1，β＝1のWeibull分布にしたがっていることを確認する

1ˆ exp 23.42711 10266.8942T

α = − +

( ) ( )ln lnexp

timeres

− =

予測値

δ


操作6.5 残差のWeibullプロット


ハンズオン6Creep.JMPのまとめ

n 比例ハザードモデルn パラメータ推定には分布に関する情報がないこと定数項がモデル

に含まれない点に注意するn Parameter Estimatesには，1/Ｔの回帰係数の推定値，標準誤差，

95％の上下限値が表示される.n RiskRatioは回帰係数の指数(exp(-16603.743))を計算したもので，　　リスク比を表すものである.n Baseline Survival at timeは，要因が平均値である場合の生存関

数のプロットを表示している.

n 加速モデル（weibull回帰）n Parameter Estimatesでは比例ハザードモデルと符号が逆になって

いることに注意（ハザードの単位は1/時間）



{ }5ˆ exp 1.0266 10 / 23.42711Tα = × −

5

1 2

1 1ˆ exp 1.0266 10FAT T

= × −

( )( )

1 5

2 1 2

1 1ˆ exp 1.8303 10h t

HRh t T T

= = − × −

167

８．多変量の解析


多因子の解析；～複合加速モデル

n 実際の試験では要因を複数考えることが多い

n 説明変数が複数ある場合の解析n 説明変数は量的でも質的でもよいn Survival では，fit model（重回帰分析）の

ような変数選択機能はないことに注意


( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii

i TthT

thth /expexp)1

exp( 100100 ββββ =+×=

( ) ( ) )1

exp()/exp( 010i

aiii Tk

EthTth =×= β

E b ka = 1

−=

−=

ji

a

ji TTkE

TTAF

11exp

11exp 1β

補足；反応論モデル


( ) ( ) iiii RHSTz 3210 ln/1 ββββ +++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iiiji RHSTthth 3100 exp/expexp 2 βββ β=

( ){ }jijij

i SSTTS

SAF −

−

= 31 exp

11exp

2

βββ

補足；反応論モデル


ハンズオン7Reliable.JMPの解析

n データを読み込むn 多因子(複合加速モデル)の解析

n Survival を使う

n 生存時間の分布を想定

n 反応論モデルの想定n Weibull回帰分析の実行

n 考察



n 接着剤の寿命試験における寿命モデルのパラメータを推定する. 但し，時間分布として，ワイブル分布を指定する.

n 変数の意味n Glue(接着剤の種類)----処理，Temp(摂氏)n 1/(kＴ)（試験環境の絶対温度とボルツマン常数の積の逆数），n RH(試験環境の相対湿度)n Day（生存日数）n Censor(打ち切りの有無)


操作7.1 役割の指定1.Parametric Regression をクリックして

2.Dayをクリックして


8.Weibullをクリック



6.glue,1/kT,RHをクリックして7.Addをクリック



操作7.2 Weibull回帰の実施


ハンズオン7Reliable.JMPのまとめ

n ワイブル分布の形状パラメータは，　　　β＝1/δ=1.8596と推定できる.n 接着剤の違いは，1％有意で，　　 α＝exp(0.2575423)=1.294であるから，　　Ａの方がＢより1.3倍ほど信頼性が高い.　　 α＝exp(-4.8603917+0.28443285/kT-0.0330083RH)

n 温度の偏回帰係数は反応論モデルでは活性化エネルギーの推定値　　　　　　　Ｅａ＝0.28443285(eV)　　　　　　　　95％信頼区間は，0.1033674～0.4646598(eV)　


練習問題n LnReg.JMPを読み込み,生存時間の要因

解析を行なってみようn 生存時間を表す変数は温度サイクル

n 要因を表す変数は温度差,温度,電流,湿度,配線位置,ロット

n 打切りデータはない1.生存時間の分布に対数正規分布を仮定する2.温度は1/ｋT,温度差,電流は対数変換,その他はそのまま3.変数選択をおこない,モデルを作る4.残差の検討


補足；はんだクリープの破断時間の解析

Becker の実験結果

0 1 2 101 1

exp exp exp logLT T

β β β σ = × ×

Larson-Miller 則

ln logL CT T

= + + +β β σ ε1 2 10

1 1 ε～N(0,σ2)

410

3962.6295 1ˆ 1.0345 10 exp exp 1063.091 logLT T

σ− = × × × −





回帰の逆推定による応力の予測




補足；ワイヤボンディング抵抗の加速寿命試験の解析


( ) ( )exp exp n ka

B

ELA T I

T k T

= × − × ∆ ×

( ) ( )exp exp n ka

B

EL A T I

k T

= × × ∆ ×

temp k T T T I IB→ → →1/ , ln ln∆ ∆



要因　　推定値　標準誤差 95％下限 95％上限自由度　χ2値　ｐ値切片　　17.2358 2.65088 11.8327 22.6054 1/(kBT)　 0.1578 0.04803 0.0609 0.2568　　1 9.24 0.0024 ln(Ｉ) -1.8129 0.51943 -2.8065 -0.7106 1 9.23 0.0024 ln(ΔT) -1.7651 0.23756 -2.2635 -1.3014 1 34.07 0.0000

δ 0.4486 0.05966 0.3501 0.5909　m 2.2292 1.6923 2.8563

( ) ( )1.7651 1.81297 0.1578ˆ 3.0578 10 expB

T Ik T

η − − = × × × ∆ ×



要因　　推定値　標準誤差 95％下限 95％上限自由度　χ2値　ｐ値切片 10.2520 2.65167 4.8473 15.6230 1/(kBT)　 0.1920 0.04807 0.0950 0.2910 　1 12.80 0.0003 ln(Ｉ) -1.8126 0.51949 -2.8064 -0.7103 1 9.23 0.0024 ln(ΔT) -1.7650 0.23759 -2.2635 -1.3013 1 34.07 0.0000δ 0.4486 0.05966 0.3501 0.5909

　m 2.2292 1.6923 2.8563

( ) ( )1.7650 1.81264 0.1920ˆ 2.8338 10 expB

T T Ik T

η − − = × × × × ∆ ×


184

９．調査データの多変量解析


観察データを解析する

n 臨床データでは個体ごとに生存力(体内の危険因子の状態)の条件が違う

n これは実験により作れないn Prentice1974.JMPを読み込み共変量の値

を確認してみようn 共変量はてんでにばらついている

n 興味は生存時間の分布よりも危険因子の評価


練習問題

n サンプルデータの中にあるVA Lung Cancer.JMPのデータの生存時間の解析を行ってみよう.n まずCOX回帰分析を用いてみよう

n ついで,生存時間を仮定した加速モデルを用いてみよう

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JMP V4 による生存時間分析 - ODNckr98160/index1.files/jmpv4.pdf1 JMPV4 による生存時間分析 ～生存時間分析の実行～ 於：SAS東京 2000.11.18 （株）リコー

JMP V4 による生存時間分析 - ODNckr98160/index1.files/jmpv4.pdf1 JMPV4 による生存時間分析～生存時間分析の実行～於：SAS東京 2000.11.18 （株）リコー