João Barcelos Neto - Calculo Para Entender e Usar

8/20/2019 João Barcelos Neto - Calculo Para Entender e Usar

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JOÃO BARCELOS NETO

Para entender e usar

Editora



João Barcelos Neto

PA R A E N T E N D E R E U S A R

Livrariada

Física

Editora



Sumário

Prefácio..................................................................................................................7Capítulo I - tnfraduçã©..........................................................................................9Antes de começar a estudar funções............................................................................10

Capítulo \\- Funções e limites..............................................................................131. Funções de potência........................................................................................... 142. Limites............................................................................................................... 1 53. Relação binomial.................................................................................................18Exercícios.............................................................................................................. 20

Capítulo SI! - Derivadas.......................................................................................231. Conceito de derivada......................................................................................... 232. Derivada de funções de potência - Caso geral ....................................................... 25

3. Regra da cadeia de derivação............................................................................. 2ó4. Mais algumas regras de derivação......................................................................... 275. Um exemplo para finalizar o capítulo...................................................................... 29Exercícios.............................................................................................................. 29

Capítulo IV - Aplicações de derivada...................................................................311. Um exemplo prático do uso de derivada.................................................................. 31

2. Exemplo de geometria......................................................................................... 343. Um exemplo de Física Básica................................................................................ 3óExercícios..............................................................................................................40



Capítulo V - Integrais........................................................................................ 451. Outra forma de olhar para uma relação diferencial de primeira ordem........................452. Um exemplo de geometria.................................................................................. 493. Um exemplo de Física Básica.............................................................................. 52

4. Propriedades e regras de integração.................................................................... 545. Uma visão geral sobre o processo de integração .................................................... 55ó. Integrais duplas, triplas etc...................................................................................59Exercícios............................................................................................................ 62

Capítulo VI - Funções trigonométricas ............................................................... 671. Relações trigonométricas no triângulo retângulo...................................................... 67

2. Seno, cosseno, tangente etc. como funções........................................................... 723. Alguns valores particulares de seno e cosseno........................................................ 744. Derivada de funções trigonométricas..................................................................... 77

5. Exemplo de aplicação de derivadas de funções trigonométricas.................................81ó. Integrais envolvendo funções trigonométricas.............................................................827. Exemplo de integrais na geometria......................................................................... 888. Exemplo de integrais trigonométricas em física básica................................................ 969. Exemplo de integrais trigonométricas num problema de probabilidades......................... 97Exercícios.......................................................................................................... 101

Capítulo VII - Funções exponenciais e logarítmicas ........................................ 1071. Introdução...................................................................................................... 1072. Derivada das funções exponencial e logarítmica ................................................... 108

3. Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicas........................................1104. Um exemplo de Física Básicas........................................................................... 1105. Função gama ou função fatorial......................................................................... 113Exercícios..........................................................................................................11ó

Apêndice A - Vetores...................................................................................... 1201. Básico...........................................................................................................1202. Produtos escalar e vetorial................................................................................. 1233. Utilização dos produtos escalar e vetorial ............................................................ 125Exercícios

Apêndice B - Uma demonstração d© teorema de Pitágoras ........................... 132

Apêndice C - Exemplo de equação diferencial ................................................ 135

Apêndice D - Expansão de uma função em série de potências .........................138

Apêndice E - Resolução de alguns exercícios.................................................. 141

Apêndice F - Respostas de alguns exercícios.................................................. 1 56



PrefácioQuando dava aulas no ciclo básico sempre preferia turmas em períodos defasados, a fim de que o estudante já viesse sabendo Cálculo. Mesmo assim, notavaque embora ele soubesse derivar e integrar, muitas vezes com certa desenvoltura, não sabia raciocinar com o Cálculo. Geralmente não sabia porque estavaderivando ou o que estava integrando.

/ E esta a finalidade deste livro. Ele contém a minha experiência em procu

rar fazer o estudante raciocinar com o Cálculo. Embora mostre como derivar eintegrar, a ênfase não está bem aí. Não há formulários. Na verdade, há poucasfórmulas. Procurei não usar nada em que não fosse mostrado sua origem. Possoaté ter exagerado em fazer uma demostração do Teorema de Pitágoras numdos apêndices e enfatizar que não há necessidade de saber uma fórmula pararesolver uma equação do segundo grau. Fiz isso com o intuito de não descuidardo principal objetivo do livro, que era priorizar o raciocínio em lugar do usoirracional de fórmulas prontas. Há muitos exemplos, principalmente em Geometria e Mecânica. Neste caso, procurei refazer alguns exemplos do meu livrode Mecânica, porém usando uma linguagem mais simples.

Este livro é organizado da seguinte maneira. No Capítulo I faço uma apresentação geral do que pretendo desenvolver no livro. O Capítulo II contém umabreve introdução da matemática necessária para começar o desenvolvimento dederivadas e integrais, particularizando ao caso de funções de potência. Preferiesse caminho a fim de que a complexidade de outros tipos de função, nestemomento, ao não viesse a obscurecer as propriedades fundamentais do CálculoDiferencial e Integral. Aproveitei a oportunidade para relembrar a relação binominal, que será de grande utilidade durante todo o livro e, particularmente,nesta fase inicial. No Capítulo III é introduzido o conceito de derivada e aplicado ao caso de funções de potência. Aproveito para falar sobre as propriedades gerais da derivação. No Capítulo IV apresento diversas aplicações. Façomenção que resolver uma equação diferencial nem sempre está associado à resolução de uma integral (caso que pretendo deixar claro no Apêndice C). NoCapítulo V introduzo integrais, procurando enfatizar que integrais nada maissão do que olhar de maneira diferente uma equação diferencial de primeira ordem. Aproveito, também, para fazer a generalização para integrais duplas etriplas. Discuto várias aplicações. Acho importante mencionar que, até agora,só funções de potência foram consideradas. Derivadas e integrais envolvendo(ou usando) funções trigonométricas, bem como aplicações, estão no Capítulo

VI, e o correspondente para funções exponenciais e logarítmicas, no Capítulo VII. Há seis apêndices. No Apêndice A é feita uma revisão, contendo tambémvárias aplicações de vetores. No Apêndice B é apresentada uma demonstração



geométrica do teorema de Pitágoras. O Apêndice C contém um exemplo desolução de equação diferencial e no Apêndice D mostro uma forma indutiva daexpansão em série de potências. Nos Apêndices E e F há soluções e respostasde alguns exercícios.

Para finalizar, gostaria de dizer que a oportunidade de escrever este livro estárelacionada, também, aos três anos em que ministrei a disciplina de Cálculo noCurso de Formação de Oficiais do Corpo de Bombeiros do Rio de Janeiro. Estafoi uma experiência muito prazerosa, ocorrida após a minha aposentadoria. Tivea oportunidade de voltar a viver um pouco da minha juventude. O convívio comesses excelentes e simpáticos estudantes motivaram-me a iniciar este trabalho.

Rio de Janeiro, em 24 de dezembro de 2008.

João Barcelos Netowww. j oaobar celos. com. br



Capítulo IIntrodução

Neste capítulo procurarei mostrar no que consiste o Cálculo Diferencial e Integral (derivadas e integrais). Para que tenhamos uma noção clara de seusprincípios básicos, discutirei, resumidamente, sobre os passos que serão seguidos no livro. Com isto, acredito que, mesmo com algumas posíveis dificuldadestécnicas aqui e ali, o fio da meada nunca será perdido.

Considere, então, a Figura 1.1. Ela representa o gráfico de uma certa função f (x) (no Capítulo II falaremos sobre funções com mais detalhes), na qual estátraçada a tangente à curva num ponto genérico P. O ângulo a é chamado deinclinação da curva neste ponto.

Quando conhecemos a função correspondente a um determinado fenômeno,temos uma quantidade importante dc informações sobre ele. Conhecendo-se ainclinação da curva em cada ponto, teremos mais informações sobre este mesmofenômeno. E exatamente este o papel da derivada. Ela nos dá a inclinação dacurva em cada ponto. Como disse, os detalhes, importância e aplicações serãovistos nos passos mais detalhados que daremos.

Uma outra questão, também importante, é justamente o inverso. Isto é,algumas vezes conhecemos a inclinação da curva, mas não a curva. Temos aí



uma equação (que pela sua natureza é chamada de equação diferencial), na quala incógnita é a função. E nesta fase que aparecem (ou podem aparecer) asintegrais.

Pois bem, prestem bastante atenção no que foi dito nestes poucos parágrafosacima, porque o conteúdo básico de tudo que veremos sobre derivadas e integraisestá contido neles. O que iremos ver a seguir nada mais é do que explicações

detalhadas dessas idéias, aplicadas a vários tipos de função e exemplos.

Antes de começar a estudar funçõesComo disse, no capítulo seguinte trataremos das funções, particularmente dasfunções de potência. Vamos aproveitar este final de capítulo para falar umpouco sobre a postura que espero de vocês durante a apresentação dos assuntose, principalmente, na resolução de exercícios

Normalmente, nossa maneira de agir diante de determinado problema é se

guir procedimentos já elaborados, sem muitos questionamentos. E claro, isto éalgo perfeitamente normal e pode economizar tempo e esforço. Entretanto, poroutro lado, pode também nos levar a bloqueios em determinadas situações. Istoacontece quando se trata de algo um pouco diferente do que é considerado comofamiliar, ou algo que, por tradição, possa transparecer dificuldades. Deixe-meapresentar alguns exemplos.

• Vamos supor que você seja apresentado a uma equação do tipo

x 3 + 3 x 2 —x — 3 = 0

e seja pedido a você resolvê-la. Pode haver um bloqueio, pois a fórmula deresolução de uma equação do terceiro grau não é tão familiar como o conhecidocaso do segundo grau. Por outro lado, se você olhar para a equação, sem nenhumbloqueio de fórmulas em sua mente, você poderá notar que suas raízes não sãotão difíceis de serem inferidas. Elas são 1, -1 e -3.

Isto não quer dizer que você sempre conseguirá resolver um problema seguindo caminhos não convencionais. Não é isto. O que acontece é que às vezes, nãonecessariamente na Matemática, você é solicitado a resolver um determinadoproblema (e não todos os problemas). Pode ser que aquele, justamente aqueleque você está diante dele, tenha uma solução simples. Por que, então, nãoestarmos abertos para esta possibilidade?

• Já que falamos acima em equação do segundo grau, vamos supor que vocêtenha sido apresentado a uma delas. Suponha, também, que as raízes não sejamtão simples para serem inferidas e que você não lembre da fórmula.

Este é outro bloqueio a que geralmente somos submetidos. O uso repetidode uma conhecida solução pré-elaborada pode levar à conclusão de que isto sóocorre porque o problema inicial é muito difícil. Será que é este o caso da

Cálculo: para entender e usar



equação do segundo grau, cuja fórmula é uma das mais conhecidas? Realmentenão é, pois

ax2+ bx + c = 0o b c = > x + - x + - = 0a a

í 6 \ 2 b2 c — r + 2^J _ 4 ^ + ã " °

6 . ÍT2 c X + 2Íi~ \ Ã ã ? ~ a

—b ± y/b2 — 4ac

Como vemos, talvez nem fosse necessária uma fórmula para resolver equaçõesdo segundo grau. Procure resolver algumas equações do segundo grau destamaneira, sem recorrer ao uso da fórmula. Você verá que, geralmente, há muitomenos trabalho algébrico. Não custa nada apresentar um exemplo. Consideremos que nos seja pedido para resolver a equação

x2 4- 2x — 15 = 0

Observando os dois primeiros termos, vemos, facilmente, que ela pode ser reescrita como

(z + l )2 —16 = 0

De onde imediatamente conclui-se

£ + 1 = 4 => x = 3

x + 1 = —4 => x = — 5

que são as duas raízes da equação!

• Para concluir, vou citar mais um exemplo que, particularmente, me incomodou durante algum tempo: a forma usual de se medir comprimentos, áreas evolumes é começar especificando um certo padrão de comprimento digamos,lera, Ira, 1 pol etc. A medida de área passa a ser feita com um quadradol2(lera2, Ira2, 1 pol2 etc.) e a de volume com um cubol3 (lera3, Ira3, 1 pol3 etc.).

Vamos utilizar o exemplo de um retângulo de dimesÕes 41por 6L Sua áreaserá, portanto, dada por 24 quadrados Z2, como mostra a Figura 1.2. Obviamente, tudo isto é muito bem conhecido.

Capítulo I - Introdução



Figura 1.2: Retângulo de área 24¿2

Vamos agora olhar o retângulo da Fig. 1.2 de outra forma e chamar cadaquadrado de Q. E claro que a área continua sendo 24Q, mas podemos perfeitamente identificá-lo, olhando para os quadrados da periferia, dizendo que eletem dimensões de 4Q por 6Q (em lugar de 4Z por 6J), isto é, estamos usando opróprio quadrado Q como unidade de comprimento (veja Figura 1.3)!

Esta é a linguagem do mundo digital, na qual o quadrado toma o nome de“pixel” . As imagens numa câmara digital se processam sobre uma placa foto-sensível. Esta placa é um reticulado. Quando maior o número de quadrados darede do reticulado, maior a resolução. Por exemplo, uma imagem de 3 milhõesde pixels (3 mega pixels ou 3MP) pode corresponder a uma imagem retangularde 1.500 por 2.000 pixels.

Levei algum tempo para conseguir ver que um quadrado também pode serusado como uma medida de comprimento (e entender um pouco sobre imagensdigitais). Os professores também têm bloqueios.

Figura 1.3: Retângulo com dimensões 4Q por 6Q

12 Cálculo: para entender e usar



Capítulo II Funções e limites

Neste capítulo discorreremos brevemente sobre funções e concentrar-nos-emosnas funções de potência. Deixaremos funções trigonométricas, exponenciais elogarítmicas para outros capítulos.

Funções são, simplesmente, uma correspondência entre um número real eoutro (funções de variáveis reais). Veja o diagrama abaixo.

/ número \ / / outro n?N\ real ) \ real

Como exemplos de função temos

y = ax + b reta y = ax2 + bx + c parábola

em que a, b e c são parâmetros constantes. Outras funções que correspondem a

figuras geométricas conhecidas são

x 2 + y2 = R2 círculo x2 y2— + — = 1 elipse

b¿ x 2 y2— —— = 1 hipérbolea2 b2

Acredito que vocês estejam familiarizados com o traçado de gráficos. Casoisto não aconteça, não há muita importância. Se for necessário, faremos a representação gráfica das funções que serão apresentadas.



1. Funções de potência Vejamos as funções de potência com um pouco mais de detalhes. Estamoschamando funções de potência as relações em que a variável real está elevada aum número racional (número que pode ser obtido da razão entre dois númerosinteiros). O caso de potências na qual o expoente é um número real qualquer(mesmo irracional) constitui as funções exponenciais.

Comecemos citando a primeira noção de potência que nos é apresentadaem cursos bem elementares. Sen é um número inteiro qualquer, temos que anotação xn representa

(li. í)

Consequentemente,

n vezes m vezes / \ ^ ^ srp , zv» —— T « *T ♦ • • 'T* * T • -T • T • • • "T*tXj Ju Ju Ju Ju Ju Ju du *X j

= xn+m (II.2)

As perguntas que se colocam agora são: Qual o significado de xn quando n não é um número inteiro? Ou quandon não é um número positivo? Ou quandoas duas coisas acontecem?

Fica difícil pensar sobreisto olhando para (II. 1).Entretanto, admitindo(II.2) como ponto de partida (e nãofazendo nenhuma restriçãoquanto aosvalores denem), teremos respostas para as perguntas formuladas. Por exemplo,o significado de x% é facilmente obtido considerando que

i i i i1x 2 •X 2 = X 2 2

= x 1= x (II.3)

Portanto, lembrando do conceito de raiz quadrada, temos

x i = y/x (IL4)

Da mesma maneira, concluímos que xz é a raiz cúbica de x, x* é a raiz quartae assim por diante (x^éa , raiz n-ésima de x).

O significado de x° pode também ser obtido diretamente

= zn+°= zn (II.5)




Logo, concluímos que

z° - 1 (II.6)

Com este resultado obtemos o significado de x n (n inteiro ou não)

xn •z “ n = xn~n

(II-7)

Assim,

= i (IL8) xn

2. Limites Vamos aproveitar os conhecimentos que já temos sobre funções para introduziro conceito de limite, o que será feito de forma bem direta. Tomemos, comoponto de partida, uma função bem simples (uma reta).

f (x ) = 2x + 1

O valor desta função para alguns pontos particulares são

/ ( 1) = 3 /(O) = 1 / ( - ! ) = - !etc. (II. 9)

Podemos introduzir o conceito de limite dizendo simplesmente que o limite de f (x) quando x tende a 1 é 3, que o limite de f(x) quando x tende a 0 é 1 etc.Matematicamente, escrevemos

lim f (x) = 3 x—>1lim f (x ) = 1x—>-0lim f(x) = —1 (11.10)

Há alguma diferença entre as duas notações? Para os casos particularesacima, a resposta é não. Elas poderiam ser usadas indistintamente. Estamosapresentando o conceito de limite (de forma bem simples) como sendo o valor

Capítulo II - Funções e limites



que tende a função quando a variável tende a um certo valor 1. A notação dasexpressões (11.10) torna-se mais apropriada no caso em que a variável e (ou) afunção tendem para um símbolo e não um número. Por exemplo, considerandoa mesma função acima, temos

lim f (x) = oo (11.11)£—00

Como outros exemplos, temos

lim ------- = 00 x—t—l x + 11 4- x lim = 00x-»0 x (11.12)

Consideremos, agora, o seguinte exemplo.

x2 —1 0lim -------— = - (11.13)Œ—►! X - 1 0 v y

A quantidade ^ não pode ser associada, de forma absoluta, a nenhum número.Inadvertidamente, poder-se-ia pensar que é 1, mas não é (ou pode não ser).Observando-a com mais atenção, é fácil perceber o porquê disto. Qualquernúmero (diferente de zero) dividido por zero é infinito, mas zero dividido porqualquer número (também diferente de zero) é zero. ^ é uma quantidade indeterminada e é chamada de símbolo de indeterminação. Adiantemos que existemoutros: ||, Oxoo, 00 —00, 0o, 00 o e I00. A quantidade O00 não é um símbolo deindeterminação (qualquer número menor que 1 elevado a infinito dá zero, logo0 ° ° = 0 ).

Acho também oportuno fazer um comentário sobre o símbolo de indeterminação I00. No caso de

lim lx = l x—*oo

Não há indeterminação. Agora, se tivéssemos

lim g(x)x = I00£—>00

Poderia ser qualquer valor.

Geralmente, diz-se que limites do tipo dado por (11.13) são indeterminados.Esta, talvez, seja uma terminologia não muito apropriada, pois os limites naverdade existem. Acontece que estão escondidos (fato constatado pela presença

do símbolo de indeterminação). No caso particular da relação (11.13), temos

1Isto coincide com a definição rigorosa de limite no caso de funções contínuas. Comosempre lidaremos com esse tipo de função, o que estamos fazendo está correto.




x2 —1lim - ----- -x - > l X — 1

lim x—*1(x + l ) (z - 1)

x —1= lim (x + 1)

x —*T V '

= 2 (11.14)

Como vemos, o limite de fato existe. Ele estava escondido devido ao fator x —1do numerador e denominador. Isto não quer dizer que jíj seja igual a 2. ^ nãoé igual a nada (é uma quantidade indeterminada). O que mostramos é que, nocaso particular de limx_,i XXZ\ ?0 resultado é 2. No caso do limite de uma outrafunção, dando o mesmo símbolo de indeterminação, o resultado pode ser outro.Realmente,

lim 2 - Í | = 5 (11.15)i — 2 i + 2 0

Como -2 é raiz de x 3 + 8, com um pouco de manipulação algébrica podemosescrever x3 + 8 = (x + 2)(x2 — 2x + 4) (procure você mesmo se convencer disto).Então,

(x + 2)(x2 - 2x + 4)hm - ------- —----- ---------- - x—*—2 x “F*2lim (x2 - 2x + 4)cc—t—2

12 (11.16)

, . z 3 + 8lim ------ — x—>—2 X + 2

A maneira como tratamos os exemplos expostos não significa que tenha deser usada em todos os casos. O próprio exemplo da expressão (11.15) admiteum tratamento mais simples (usado em muitos casos). Fazendo x 4- 2 = u narelação (11.15), temos

,. a;3 + 8nm ------ — x—>—2, X “h 2

,. ( u - 2)3 + 8— lim - ------- --------w—>o u.. u3 —6u2 + 12u = lim ----------------------u—>0 u

= lim 12uu — 0 U

= 12

(11.17)

(11.18)

(11.19)

em que na passagem dada por (11.18) desprezaram-se os termosu3 e —6u2 perante 12^, pois quandou — 0 estes termos tendem a zero mais rapidamente que12-u. Poderíamos, também, ter simplificado o u n o numerador e denominadorde (11.17) e, depois, fazeru — 0 no resultado [de fato, foi isto o que fizemosindiretamente, e com mais trabalho algébrico, em (11.16)].

Capítulo II - Funções e limites 17



Usando raciocínio semelhante, podemos resolver o problema de indeter-minação do seguinte limite

?>x2 + 7 oo /TTlim —-------------- = — (11.20)2c-»ooSx2 + ÒX + 2 00

Quando x —>oo os termos quadráticos divergem muito mais rapidamente queos demais termos do numerador e denominador. Podemos então desprezá-los emanter apenas os termos quadráticos. Assim,

lim 3x2 + 7 x—>ooSx2 + hx + 2

3. Relação binomialNos dois últimos exemplos, fizemos algumas simplificações quando vimos serpossível desprezar alguns termos perante outros (ou por não serem muito pequenos ou por não serem tão grandes). Existe uma relação que pode facilitar / sobremaneira procedimentos como este. E a chamada relação binomial, quecorresponde à expansão para (a +b)n.

A dedução da relação binomial para qualquern (em princípio inteiro) podeser feita por indução. Vamos fazer isto. Sem muito trabalho algébrico, podemos

escrever as primeiras relações paran =2, n =3, n=4.

3x2

38

(11.21)

(a + ò)2 — (a + ò)(a + 6)= a2 + 2ab -|- b2

(a + ò)3 = (a +b)(cL + ò)2= (a -f- ò)(o.2 + 2ab -)- 62)= a3 + 3a2ò + 3ab2 + b3

(a + ò)4 = (a +b)(a3 + 3a2ò + 3aò2 +b3)

— a4 + 4a3b + 6a262 + 4ab3 + ò4(11 .22 )

De forma semelhante, calcularíamos (não deixe de verificar você mesmo)

(a -I- ò)5 = a5 + 5a4ò + 10a3b2 + 10a2ò3 + 5ab4 + ò5(a 4- b)6 = a6 + 6a56 + 15a4ò2 + 20a363 + 15a2ò4 + 6aò5 + ò6 (II.23)

O ponto importante, agora, é procurar reescrever os coeficientes dos termosde cada expansão, de forma tal que sejamos capazes de induzir os coeficientes das




próximas expansões. Seja então a última expressão, dada por (11.23). Podemosreescrevê-la como

/ l\6 6 n 5 7 6*5 4 o 6*5 -4 33 6- Õ- 4- 3 o? 4(a, + 6) — <2 + 6(2b H— ——a b H------- —— a b H---------- —----- a b2! 3! 4!

+6 aò5 + ò6 (11.24)

em que 2!=2 ■ 1 (fatorial de 2), 3!=3 - 2 - 1 (fatorial de 3) etc. Com isto eintroduzindo a notação (chamada coeficiente binomial)

0 - (IL25)

vê-se que a relação (11.24) pode ser reescrita como

(a + 6)6 = Q a ® - fcòfc (11.26)

na qual usou-se que 0!=1 2. Notamos que todas as relações da sequência dadapor (11.22) e (11.23) podem ser escritas de forma semelhante, com o 6 substituídopelo coeficiente correspondente. Assim, para um certo valor den teríamos

(a + b)n = Cf] an~kbk (11.27)

fc=0 ''

Para verificar que a relação (11.27), obtida por indução, está correta paraqualquer n (inteiro), temos de ver se ela é válida para n + 1 (exercício 2). Adiantemos, também, que (11.27) é válida mesmo quen não seja inteiro (trataremosdisso no Apêndice D).

Seja, agora, um exemplo de limite do qual faremos uso direto da relaçãobinomial.

10 _ „10 nlim ------------- = H (11.28) X a X —a 0

Como x — a é raiz de £10 —a10, poderíamos tentar o mesmo procedimentoda primeira solução de (11.16). Mas, como o expoente aqui é muito grande, istolevará a um enorme trabalho algébrico. Vamos seguir um processo semelhanteao do desenvolvimento dado por (11.17) - (11.19). A fim de passar para umlimite com a variável tendendo a zero (isto facilitará a eliminação dos termosque tenderão a zero mais rapidamente que outros), substituamos x —a por u.

Assim,2 O conceito de fatorial não é só para números inteiros. Ele pode ser estendido a qualquer

número racional através da função gama ou função fatorial (isto veremos no Capítulo VII).Também, 0!=1 não é uma definição e isto é provado (e também será visto).

Capítulo II - Funções e limites



.. 10a9i¿ +iim ------------uÔ u10o9 (11.29)

Na primeira passagem acima, não escrevi todos os termos do desenvolvimentopois sei que são desprezíveis quandou —>0.

Exemplos envolvendo as outras formas de indeterminação aparecerão quandoestudarmos outros tipos de função.

Exercícios

1. Calcular os seguintes limites 3:

t + 3(a

(b

(c

(d

(e

(/

0

(h

(*

Ü

limt-*-2 t + 2x2 + 5a; + 6

æ + 2

a;2 —5x + 6z - 2

y + 1

limx->2

limx 2

lim y—► »

limt-*-o

lim

y —>oo y 2 + 1

t2 - 2b + 3t->oo 2í2 -b 5£ —3

x2 - 16

limr —+a

lim

limx—»2

lim

X 2 + x - 2 0r3 —ar2 —a2r + a3

r2 —a2 y/3x - V 1 2 - X 2 x - 3V19 - 5x( x - 1)9-1

X - 2t3 --8

t—*2 t2 + 1 —6

3 Os exercícios marcados com asterisco encontram-se resolvidos no Apêndice E. Eles nãosão necessariamente os mais difíceis. Acho importante que você tente resolvê-los antes deolhar a solução.




(«+*)£ (*)o""fc6fc k=0 V y

nf ( r y + k

2*. Mostre que a relação (11.27) é válida paran + 1, isto é, mostre que

(a + ò)(a + ò)n —

Capítulo II - Funções e limites 21



Capítulo IIIDerivadas

1. Conceito de derivadaComo foi dito no Capítulo I, a derivada de uma função está relacionada à in

clinação da curva em cada ponto. Vejamos como a derivada é obtida. Seja aFigura III. 1. Ela corresponde à representação gráfica de uma certa função f(x) versus x. Consideremos a quantidade

A / _ f{x + A s) - f{x)A z A z 1 ;

Figura III. 1: Gráfico de uma certa função de x versus x

Ela nos dá a razão entre a variação de f{x) e a correspondente variação de x. Esta é uma quantidade média, pois, por hipótese, estamos admitindo que f(x ) não varia linearmente com x para todos os pontos do intervalo Ax. Já para areta que vai de P a Q esta variação é constante.



Observe agora a Figura III. 2. O ângulo ft é a inclinação da reta tangenteà curva no ponto P e o ângulo(3 é a inclinação da reta que passa por P eQ. Vemos, então, que a quantidade dada pela expressão (III. 1) é justamente atangente do ângulo /?,

tg /? = A / f (x + Ax) - / ( x) Ax Ax

Se formos aproximando o pontoQ de P, notamos que a reta que passa por PQ vai se aproximando da tangente no ponto P. As duas retas coincidirão no casolimite de Q coincidir com P . Assim, podemos dizer que a tangente do ânguloa é dada por

r Af tg a = lim —— Aæ—>0 Ax (III.3)

Na relação acima não há problemas de divergência com o denominador ten

dendo a zero, pois o numerador tende a zero também (estaremos sempre usandofunções contínuas). Assim, a relação (III.3) dá o símbolo de indeterminação jj.Pela experiência já adquirida no capítulo anterior, não há problema algum nisto.E justamente este limite que é chamado dederivada de f(x) em relação a x. Ela é comumente representada por f ( x ) ou df /dx, onde, nesta última notação,df e dx podem ser vistos como variações infinitesimais. Assim, podemos escreverque a derivada de f{x) em relação a x é

m = f = lim + (III.4)w dx Ax—*o Ax v 1

Vejamos um exemplo. Seja a função

f (x ) = x2 (III. 5)




Usando a relação (III.4), temos

f { x ) =(x + A x)2 — x ‘

Axlim Arr—í-0lim (2x + Ax)

Ax->0 v J = 2x (III .6)

Na primeira linha de (III.6) aparece o símbolo de indeterminação mas nasegunda linha o problema da indeterminação foi resolvido com a simplificação dofator Ax. Assim, 2x é a derivada da função f (x) = x2 em relação a x. Podemosdizer, por exemplo, que no ponto x — \ a derivada da função f (x) = x2 vale1 (o que significa, geometricamente, que a inclinação da curva neste ponto é45°, pois tg 45° = 1). E interessante notar que no ponto x = 0, ponto em quea função passa por um mínimo, a inclinação é zero. E fácil perceber que nospontos de máximo e mínimo da função a derivada é sempre zero. Esta é umaconclusão importante e que será bastante usada nas aplicações. A minha opiniãoé que não é conveniente, agora, partir para as aplicações. Acho que devemosdedicar algum tempo familiarizando-nos com essas novas ideias. Assim, sugiroque vocês façam o exercício 1.

2. Derivada de funções de potência —Caso geralO cálculo da derivada de qualquer função pode ser feito através da sua definição, dada por (III.4) (é este justamente o objetivo do exercício 1 - suge

rido acima). Entretanto, a dedução de algumas relações [para tal usa-se amesma expressão (III.4)] pode facilitar o trabalho algébrico em muitos casos. Eisto que começaremos a ver nesta seção, no qual trataremos do caso geral dasfunções de potência [na seção anterior vimos, como exemplo, o caso particularde f (x) = x2].

Seja, então, a função

f (x) = xn (III.7)

no qual n pode ser qualquer número racional. Assim, pela relação (III.4), temos f i x ) = Um + (III.8) J K J Ax-0 Ax V '

Usaremos aqui a expansão binomial deduzida no Capítulo II, dada por (11.27).Observe que não há necessidade de se escrever todos os termos da expansão.Bastam os dois primeiros pois os outros desaparecerão ao fazer o limite Ax —» 0[veja as passagens para obtenção de (III.6)].

.. X a + n x n ~ 1 A x + ------ xnlim -------------------------------------- Arr—»O Axnxn~l (III.9)

/ ' ( * ) =

Capítulo III - Derivadas



O resultado (III.9) é a derivada do caso geral de uma função de potência,dada por (III.7). Observe como a derivada de f(x) = x2, obtida na seçãoanterior, é um caso particular da expressão acima. Para destacar o resultadoencontrado, deixe-me escrevê-lo novamente de forma isolada

-j -x n = na:” -1 (111.10)dx

Esta será a única fórmula de derivada que usaremos neste e nos dois capítulosseguintes (como disse, neste livro não há muito enfoque para o uso de fórmulas- pelo menos de maneira inconsequente).

3. Regra da cadeia de derivaçãoO que veremos nesta seção não está restrito ao caso de funções de potência.E uma técnica geral e que facilita o processo de derivação (e também de inte

gração) .Tomemos o seguinte exemplo. Suponha que nos seja pedido para calcular a

derivada da função

f(x) = V x ^ + l (III.ll)

Esta é a letra (ò) do exercício 1 que você já deve ter resolvido, usando diretamente a relação (III.4). Vamos tentar, aqui, usar a relação (III. 10) que acabamosde deduzir. Para fazer isto, podemos reescrever (I II.l l) como

f(u) = (111.12)

em que u = x2 + 1. Observando (III. 10) e (III. 12), e tendo em conta que= ti1/2, diretamente calculamos a derivada de f(u) com respeito au. Para

deixar claro sobre qual variável estamos tomando a derivada, vamos usar anotação (geralmente na notação f fica subentendido que a derivada é emrelação a x). Assim,

df 1 i —i— =du 2

1

2 y/u

Í 7 ¿ T T <IIU3)

Embora tenhamos apresentado o resultado final como uma função de x, elenão é a derivada de / em relação ax , é em relação au (o resultado acima nãodeve ter coincidido com o que você encontrou na resolução do exercício lb).

Como calcular então a derivada de / em relação a x? O problema que temosé algo que vai aparecer muitas vezes (mas muitas vezes mesmo). Vamos tratá-lo




de forma geral. Consideremos que se tenha uma função f (u) (não necessariamente o nosso caso particular y/u) e u sendo uma função de x (também, nãonecessariamente x2 + 1). Queremos saber qual é a derivada de / em relação a x. A solução do problema é bem simples.

dx lim i r Ax->0 Axlim

Ax—>0

lim Alt—>0df du du dx

A / Au Au Ax A / r An— lim —— Au Ax->0 Ax

(III. 14)

Na segunda linha multiplicou-se e dividiu-se por Au. Na terceira, usamos o fato

de estarmos sempre considerando funções contínuas (quando Ax — 0, temosque Au —>0 também). A passagem da terceira para a quarta linha correspondeao uso direto da definição de derivada.

A relação (III. 14) está nos dizendo que a derivada de uma função f{u) (naqual u é uma função de a;) em relação a x é a derivada de f em relação a u vezes a derivada deu em relação a x. Esta relação é conhecida comoregra da cadeia.

Aplicando-a ao nosso exemplo inicial, temos que a derivada da função f(x) = y/x2 + 1 em relação aa:é dada por

df 1_i_ — ___ ... 2xdx 2y/x2 + 1

x y/x2 + 1

(III. 15)

Estava faltando multiplicar (III. 13) por~ = 2x (este resultado deve ser o quevocê encontrou ao resolver o exercício lb).

4. Mais algumas regras de derivaçãoExistem ainda algumas outras regras de derivação que são úteis no cálculo dederivadas (também com validade geral para qualquer tipo de função). Voulistá-las a seguir.

/(* ) = f i (x ) + h i x )^ f (x) = f [ (x ) + &(x) (III. 16)

f(x) = constante= f ( x ) = 0 (III. 17)




f ( x ) = g(x) h{x)=> f ' (x) = g'{x)h{x) 4- g(x)h'{x) (III. 18)

/ ( * ) =g(^) / í (íc )

/ ' ( * ) =

ff'(^)fe(^)-g{x)h '{x) 52(®)

(III. 19)

A demonstração da primeira, que temos usado de forma intuitiva, é imediata.E consequência direta das propriedades de limite. A da segunda também, poisse / = constante, A f — 0. Vamos demonstrar a terceira. Temos que A f é dadopor

A / = f (x + Ax) - f(x )

= g(x + A x)h(x -f Ax) — g(x)h(x)

Somemos e subtraiamos a quantidade g(x)h{x + Ax) na relação acima e agrupemos convenientemente os termos

A f = g(x + A x)h(x -f Ax) —^(x)/i(x)± g(x)h(x + Ax)

= [g(x + Ax) —<?(#)]h(x + Ax)+ g(x) [h(x + Ax) —h(x)]

Dividindo ambos os lados por Ax e tomando o limite quando Ax —* 0, vem

lim A / Ax—>0 Ax

■ Kx + A x I - s M Ax—>-0 A x y j

+ g(x) limv Ax—>0h(x 4- Aæ) —h(x)

Ax

= g'{x)h(x) + g(x)h\x)

que é a expressão (III. 18). Fica como um exercício a demonstração de (III. 19)[que pode ser feita diretamente ou considerando (III. 19) como caso particularde (111.18)].




5. Um exemplo para finalizar o capítulo Vamos supor que seja pedido a você para calcular a derivada ^ de x 2 + y2 = 5.Naturalmente, você poderia escrever y = y/b —x2 ou (y = —y/b — x2) e procederao cálculo da derivada seguindo passos semelhantes ao do exemplo (III. 11),apresentado no início da seção 3.

Entretanto, tal procedimento de explicitar y em termos de x não é necessário(às vezes pode não ser conveniente nem mesmo fácil de ser feito). Observeque até no caso do exemplo apresentado, para sermos corretos, teríamos deconsiderar tanto y = y/b —x 2 como y = —y/b —x2, pois ambos estão contidosna expressão inicial.

O cálculo da derivada ^ de x2 + y2 = 5 está sendo pedido na letra (a) doexercício 5. Vou deixá-lo para vocês resolverem. Prefiro considerar um exemplomais geral. Seja a relação

y4 + 5 xy3 + xy + 8x2 = 8 (111.20)

Observe que tentar explicitar y em termos de x neste caso não é das tarefasmais simples. Vamos, então, proceder ao cálculo de partindo diretamente de(111.20). Temos , então (aplicação elementar da regra da cadeia e de algumasrelações vistas nas seções anteriores),

4 y3 f~ + by3 + lbxy2^- + y + x ~ - + 16x = 0dx dx dx

3 + lbxy2 + x ] = —5y3 —y —16x J dx,3dy_ _ by6 + y + 16a;

dx 4 y3 + 15a;y2 + x

Exercícios

1. Usando diretamente a definição de derivada, dada por (III.4), calcular a

derivada das seguintes funções

(a) y = y/x

(&*) y = y/x2 + 1

(d) y = x 3(e) y = x\fx + 1

(g) y = 1X 2 + 1




2. Demonstrar a relação (111.19).

3. Calcular a derivada das funções abaixo com respeito às variáveis indicadas

2 - x(a) y = 1 + 4æ3

... ÿ2 + e(i) < = - ( -

(c) y = x3V§ —4x

(d) s = y j t - ^

, x y/ï -\-~2x^ y = $1 + 3a:2

(/)S= fí

Ü4. Calcular as derivadas do exercício 1 usando as regras de derivação que

estudamos neste capítulo.

5. Calcular das seguintes funções

(a*) x2 + y 2 = 5(6) x 2y2 = x2 + y 2(c) 2xy + y2 = x + y(d) x3 - xy + y3 = 1(e) æs + y i = 1(/) (z + y f + { x - y)3 = X a + yA




Capítulo IV Aplicações de derivada

Sao muitas as possíveis aplicações de derivadas. Neste capítulo veremos algu

mas e deixaremos várias outras para serem feitas como exercícios. Acredito que,ao terminar de estudar o presente capítulo, teremos uma visão bastante amplasobre a importância das derivadas. Isto facilitará também a apresentação de integrais, o que ocorrerá no capítulo seguinte. Esta sequência de apresentação dosassuntos contraria um pouco a ordem usualmente apresentada nos livros textosde Cálculo, nos quais derivadas e integrais são tratadas quase como assuntos distintos. Aliás, ainda aqui mesmo, no presente capítulo, veremos alguns exemplosque normalmente só são apresentados após o estudo formal de integrais.

1. Um exemplo prático do uso de derivadaSuponha que você tenha uma placa quadrada de lado 3m e deseja construir umrecipiente (sem tampa). Para tal, você corta um quadrado de lado x em cadavértice da placa, como mostra a Figura IV. 1, e forma uma caixa como aparecena Figura IV.2. Queremos saber qual deve ser o tamanho do quadrado a sercortado a fim de que a caixa tenha um volume máximo.

Observando a caixa da Figura IV.2, vemos que o seu volume é dado por

V = ( 3 - 2 x ) 2 x (IV.l)

Como podemos ver, a expressão do volume é uma função de x. Daqui para afrente, o tratamento é matemático. Podemos usar o que sabemos sobre funçõessem nenhuma restrição. Assim, como falamos no capítulo anterior, nos pontosde máximo e mínimo a derivada é zero. Então, o que temos de fazer é calculara derivada da função dada por (IV.l), com respeito a x, e igualar a zero.

= 2 (3 —2x)(—2) x + (3 - 2x)2dx = 3 ( 3 - 2 a ) ( l - 2 x )

= 0 (IV.2)



Figura IV. 1: Vista da placa com os pedaços para cortar

Há dois valores de x que satisfazem à relação (IV. 2), # = l , 5 r a e x = 0,5ra.O primeiro corresponde ao mínimo valor de F, pois, como podemos observar,para a; = l , 5 m , 7 = 0. Consequentemente, como depois de um mínimo só podevir um máximo (caso de funções contínuas), o valor que estamos procurando é

o segundo. Ou seja, o recipiente é um paralelepípedo de base quadrada de lado2 m e altura de 0,5m. A questão que pode estar passando pela cabeça de vocês é a seguinte: Não

há dúvidas de que nos máximos e mínimos a derivada é zero (pois a tangente àcurva nesses pontos é paralela ao eixo dos x e, consequentemente, a inclinaçãodessas retas é zero). Entretanto, a identificação de máximos e mínimos, numcaso geral, sempre pode ser feita com essa facilidade?

A resposta é não. Se o nosso objetivo fosse apenas a discussão do exemploacima, o problema estaria totalmente resolvido. Há muitos exemplos em queisto realmente acontece, ou seja, os máximos e mínimos são identificados comfacilidade. Assim, quando este for o caso, não há porque ficar usando aparatosmais complicados. Vamos ver como podemos identificar, num caso geral, se umponto, no qual a derivada é zero, corresponde a máximo ou mínimo.




Há duas maneiras de se fazer isto (que estão relacionadas entre si). É fácilobservar que num ponto de mínimo, a derivada antes do ponto é negativa (ainclinação é maior que 90°) e, depois, é positiva (a inclinação é menor que 90°)(isto para valores não muito distantes do ponto considerado). Para os pontosde máximo, ocorre o contrário (veja Figura IV.3).

Podemos verificar isto no nosso próprio exemplo, olhando para a penúltimalinha de (IV.2). Concentrando no ponto x = 0, 5 (que é o primeiro valor queanula dV/dx), temos que para x < 0, 5; ^ > 0 (de fato, tomando x = 0, porexemplo, temos ^ = 9). Para valores à direita de x — 0, 5; a derivada é negativa (tomando x = 1, temos ^ = —3). Verifique você mesmo que x = 1,5corresponde a mínimo 1.

A outra maneira de verificar se determinado ponto, que anula a derivada,corresponde a máximo ou mínimo está diretamente relacionada ao mesmo processo acima. Consideremos o caso de mínimo. Vimos que na vizinhança antesdo ponto a derivada é negativa, e depois, positiva. Assim, a função derivada (aderivada de uma função é uma outra função) é uma função crescente no entornodo mínimo (revisando - antes do mínimo ela é negativa, no mínimo é zero e depois é positiva). Consequentemente, a derivada da derivada da função (segundaderivada), é uma quantidade positiva no ponto de mínimo. O inverso ocorre nospontos de máximo.

Aqui, novamente, vamos usar esta análise no nosso exemplo. A segunda1 Dissemos acima que nesta análise de máximos e mínimos os pontos considerados não

podem estar muito distantes. Isto é algo mais ou menos claro. No caso do exemplo discutido,para os pontos à direita de x = 0,5, notamos que podemos tomar qualquer ponto desde quenão esteja além de x = 1,5 (que é o outro ponto extremo do problema). Por isto é quetomamos x = 1.

Capítulo IV - Aplicações de derivada



derivada da função (IV. 1), é dada por (na notação, podemos usarV " ou 2

^ = - 6 (1 - 22 ) + ( 3 - 2 a: )( - 6 )

= 24 ( * - 1 ) (IV.3)

De fato, para x = 0,5; V" = —12 < 0 e para x = 1,5; V" = 12 > 0. \

Qual dos dois processos é mais conveniente de ser usado? Depende. As vezesa função inicial é tal, que o cálculo da derivada segunda pode ser muito tedioso.Neste caso, pode ser que a verificação dos sinais da derivada primeira, antes edepois do ponto que corresponde ao extremo da função, seja mais conveniente.Se o cálculo da derivada segunda for algo simples, talvez este seja o processo maisindicado. Entretanto, o melhor critério é verificar, pela natureza do problema,se os máximos e mínimos podem ser identificados com facilidade (como fizemosinicialmente no nosso exemplo).

Para finalizar esta seção, façamos três observações:

(i) A primeira refere-se aos chamadospontos de inflexão. Estes são pontosonde a curva muda de concavidade (eles ficam entre um máximo e um mínimo).Não é difícil perceber que nestes pontos a segunda derivada é zero (por quê?).No caso do nosso exemplo, este ponto está em x = 1.

(ii) É fácil observar que podem existir pontos de inflexão em que a primeiraderivada é também zero.

(iii) Embora tenhamos dito que nos máximos e mínimos a primeira derivadaé zero, isto não quer dizer que o inverso seja verdadeiro. Nos pontos limites doproblema, a função pode tender para um valor máximo ou mínimo sem, necessariamente, que a primeira derivada seja zero. Por exemplo, na expressão daparábola y — x2 (veja o primeiro exemplo discutido no Capítulo anterior), omínimo é em x = 0 (observe que, realmente, y' = 0 para este valor de x). Entretanto, o valor máximo (infinito) ocorre para x —» ±00 (e a primeira derivadanão é zero nesses pontos).

Para você ganhar familiaridade nessa questão de máximos, mínimos e pontosde inflexão, procure resolver todos os itens do exercício 1.

2. Exemplo de geometriaConsideremos um círculo de centro na origem cuja equação é dada por

X2 + y2 = 5 (IV.4)2 2

2A notação para derivada segunda deV (e não ^ r ) faz sentido, pois corresponde aooperador ^ atuando duas vezes sobreV, isto é

■ ^ £ . v = ( ± ) \dx2 dx2 \dxj




O nosso objetivo será calcular as equações das retas tangentes ao círculo nospontos em que x = 1 (é fácil ver que há dois pontos, um com y — 2 e outro com y = —2). Veja Figura IV.4. na qual chamamos de P e Q os pontos de tangencia.

O raciocínio a ser seguido é simples. Os pontos de tangência pertencem àreta e ao círculo, e a inclinação da reta e do círculo, nestes pontos, é a mesma.Com estes dois dados é possível calcular os dois parâmetros da equação datangente.

Seja, então, a equação geral de uma reta (depois especificamos qual dos doispontos estamos considerando),

y = ax + b

A inclinação da reta é o próprio a, pois de (IV.5) temos

dydx —a

(IV.5)

(IV.6)

Para calcular a inclinação do círculo, podemos partir diretamente da expressão(IV.4). Não há necessidade de explicitar y em termos de x, como y = V5 —%2 (veja a Seção 5 do capítulo anterior).

dy

ydLdy xdx y

= 0

(IV.7)




Vamos nos concentrar no ponto P( 1,2). A inclinação vale —\ (que é portantoo valor do parâmetroa da reta tangente). Para calcular ò, usamos o fato de oponto P também satisfazer à equação da reta. Diretamente encontraremos queb = 5/ 2. Portanto, a equação da reta, tangente no ponto P, é dada por

V = - \ * + \ (IV-8)

De forma semelhante calculamos a equação da reta tangente no pontoQ. Oresultado é

y=\x~\ (IV-9)3. Um exemplo de Física BásicaSeja um projétil lançado do topo de um edifício de alturah com velocidadeinicial de módulov0 e fazendo um ângulo0 com a horizontal, como mostra aFigura IV.5. O nosso objetivo será primeiro calcular o alcance A e, depois, falarsobre o ângulo0 para que o alcance seja máximo (se você pensou em 45°, podeesquecer, não é este o caso).

Provavelmente vocês já resolveram exercícios parecidos com este no segundograu e consigam resolver este também (pelo menos para o cálculo do alcance)

com o uso de algumas fórmulas.Este procedimento de substituir a Física por um conjunto de fórmulas (às

vezes de forma exagerada) pode levar a uma visão errada sobre o que seja




realmente o estudo da Física. O correto seria partir não de um conjunto defórmulas (às vezes com dezenas delas), mas das leis físicas correspondentes. Nocaso do nosso exemplo, um problema de mecânica, deveríamos partir das leis deNewton. Entretanto, é justamente aí que reside a grande dificuldade. As leisfísicas são normalmente expressas por equações envolvendo derivadas (equaçõesdiferenciais). E por isso que o estudo da Física no segundo grau acaba sendoum pouco deturpado (às vezes muito), pois não se sabe a matemática necessáriapara fazer o desenvolvimento a partir dessas equações. Como este não é mais onosso caso, vamos resolver o problema proposto partindo diretamente das leisFísicas (faremos isto várias outras vezes neste livro).

Não vamos entrar em detalhes sobre a questão de referenciais inerciais (queestá no conteúdo da primeira lei de Newton) nem na questão das ações e reações(terceira lei). Vamos dizer apenas que o movimento dos corpos (não relativísticosnem quânticos) é regido pela segunda lei de Newton. Vou escrevê-la abaixo numaforma bem conhecida por vocês

F = ma (IV. 10)

É importante destacar que F é a força resultante de todas as forças que atuamsobre o corpo. As demais quantidades são: m, massa do corpo e a, aceleração,definida por

- dV ^ m r 1 i Na = ã = d ê ( I V U )

em que v(t) e f(t) são a velocidade e posição do corpo no instantet (relacionadasa um ponto qualquer da trajetória).

Para se usar a lei de Newton, é necessário, portanto, o conhecimento de todasas forças que atuam sobre o corpo. No presente caso só há a força gravitacional(estamos desprezando a força proveniente do atrito com o ar). A expressão destaforça é conhecida, chamada lei da gravitação (também devida a Newton), e édada por (como ela é a própria resultante, vamos representá-la com a mesmaletra F)

F = mg (IV. 12)

em que g é o campo gravitacional no ponto onde está o corpo. No nosso caso(movimento próximo à superfície da Terra), este valor pode ser tomado comoconstante (cujo módulo dá algo próximo a 10m/s2). Entretanto, devemos estaratentos porque isto só ocorre para regiões onde a altura em relação à superfícieda Terra é desprezível perante o seu raio (o que não é o caso, por exemplo, domovimento de satélites). Considerando a orientação dos unitários especificadosna figura (veja Apêndice A), temos que

F — —mgj (IV. 13)

Não vamos substituir g por nenhum número. Fica apenas subentendido que, nopresente caso, ele é uma quantidade constante.




Combinando (IV. 10) e (IV. 13), e usando a definição de aceleração dada por(IV.ll), vem

d2r

w — 95 (IV-14)

Como r = x i + y j temos que(IV. 14) fornece duas relações (no meu livro deMecânica, este problema é tratado até o finaldentro da notação vetorial)

g - 0 (IV.15)

§ - (IV.16)

Temos acima duas equações em que as incógnitas são x e y. Como as variáveis

aparecem dentro dos sinais de derivação, elas são chamadas de equações diferenciais. A solução dessas equações no presente caso é bem simples. Na primeira,temos que a variável x é algo que derivando duas vezes com respeito at dá zero. A solução geral só pode ser

x = ci t + c2 (IV. 17)

na qual c\ e c2 são quantidades constantes, cujos significados serão vistos maisadiante [o importante a ser observado é que, realmente, x dado por (IV. 17)satisfaz à equação (IV. 15) e não há outra mais geral que ela]. Da mesma forma,não é difícil concluir que a solução de (IV. 16) é

y = - ^ g t 2 + c3t + c 4 (IV.18)

em que C3 e C4 são outras constantes.

Pode ser que algum de vocês já tenha estudado Cálculo e esteja agora coma seguinte dúvida: O que foi feito acima não é uma integração? A resposta énão. O que fizemos acima foi resolver uma equação diferencial. Nem sempre

uma equação diferencial pode ser colocada na forma de uma integral (falaremosmais sobre isto no Capítulo V, quando, de fato, estudaremos as integrais eno Apêndice C, que mostraremos um outro exemplo de solução de equaçãodiferencial).

Como disse, as soluções dadas por (IV. 17) e (IV. 18) são as soluções geraisde (IV. 15) e (IV. 16) respectivamente. Vamos agora adaptar essas soluções aonosso problema (isto é feito identificando as constantes com os parâmetros doproblema). Primeiramente, notamos que de acordo com a origem dos eixoscoordenados que estamos usando, quandot = 0, x e y são nulos também (o

corpo partiu da origem). Usando esta condição em (IV. 17) e (IV. 18), temos queas constantes c2 e C4 têm de ser zero. Da mesma forma, derivando-se (IV. 17) e(IV. 18) com respeito ao tempo, vemosc\ — v0 cos0 (a componente horizontal davelocidade é constante) e C3 =vQsen 9 (componente vertical da velocidade em




t = 0). Substituindo todos esses valores nas relações iniciais (IV. 17) e (IV. 18),obtemos

x = (v0 cos0) t (IV.19)

(IV.20)

que devem ser relações conhecidas de vocês. Pela Figura IV.4, vemos que x = A (alcance) quando y = —h. Substituindo esses resultados acima e eliminando otempo entre as duas expressões, obtemos (após um pequeno trabalho algébrico)

que é a expressão do alcance. Notamos que ela depende do ângulo6 (como nãopoderia deixar de ser).

Neste caso particular (e só neste caso), o alcance será máximo quando sen 20 formáximo (isto é, igual a 1). Isto corresponde, então, a 2^ = 90° e, consequentemente, a 6 = 45° (um resultado bem conhecido de vocês).

Para o caso do corpo lançado de uma altura /i, a expressão do alcance édada por (IV. 21) e o alcance máximo não acontece mais para6 — 45°. Parasaber qual 9 que corresponde a A máximo, devemos proceder como no cálculode máximos e mínimos de qualquer função, isto é, devemos procurar a condiçãopara que

Este é um daqueles exemplos em que não há dúvidas de que o resultado sópode corresponder a um máximo, pois o valor mínimo para o alcance é zero(que, como podemos ver diretamente na Fig. IV.5, corresponde a0 = 90°).

Entretanto, para desenvolver o cálculo relacionado à expressão (IV.23), precisamos do conhecimento de derivadas de funções trigonométricas (que seráestudado no Capítulo VI). Deixemos, então, para fazer este desenvolvimentoquando chegarmos lá. Caso você já saiba derivada de funções trigonométricas

A = — CQS—v0 sen 0 + \Jv2 sen20 -f 2 gh ^ (IV.21)

Observe que só no caso deh = 0 (que corresponderia ao corpo lançado dasuperfície e não do topo do prédio) é que temos

2v10 sen 6 cos09

= — sen 20 (IV.22)9

(IV.23)




(mais especificamente de seno e cosseno), não precisa esperar pela gente. Procure desenvolver o cálculo acima e mostre que o alcance será máximo quando

sen(9 = " T (1+ ff) 2 (IV'24)

Note, mais uma vez, que sen6 só é igual a V2/2 (que corresponde a0 = 45°) seh = 0.

Exercícios

1. Calcular os pontos de máximo, mínimo e inflexão das seguintes funções

( ) y = 6 — 2x —x 2

(б) y = 12 —12x 4- x3(c) y —x3 —3x2 4- 2(d) y = 2x2 —\x 4- 3(e) y = x4 - 32x + 48t X\ 2 2a3( / ) y = 4 ------

xt v ax(^) 2/ =x2 + a2

2

(ft) y = b + c(a: —a) 3

(i) y = (2 + z)5( l - x ) s

W „ = í £ ^ f c £ )

Em que a, b e c são constantes. Para identificação dos máximos e mínimos useo processo que julgar mais conveniente.

2 . Considere a = t2 —1 a aceleração de uma partícula movimentando-sesobre o eixo x.

(a) Sabendo-se que em t — 0, v = 0 e 2; = 1, calcular v(t) e x(t).(b) Em que pontos a partícula para?(c) Em que regiões ela se movimenta no sentido positivo do eixo x ? Idem

para o sentido negativo.

3. Mostre que a reta y = —x é tangente à curva y = x 3 —6x2 4- 8x. Acharo ponto de tangencia. Idem para a reta y — 9x — 15 e a curva y = x 3 —3x 4-1.

4. Achar dois números cuja soma é 20 e o produto do quadrado de um como triplo do outro dá o maior valor possível.

5. Deseja-se construir um recipiente de forma cilindrica para conter umcerto volume. Qual o relacionamento entre a altura e o raio da base que proporcionarão uma maior economia de material para




(а ) caso sem tampa?(б ) caso com tampa?

6. Considere que você tenha um fio de comprimentol.

(a) Quais as dimensões do retângulo de maior área que é possível formarcom este fio?

(b) Idem para o caso de um triângulo isósceles.(c*) Idem para um triângulo retângulo.

7. Deseja-se construir uma caixa de madeira, sem tampa, com capacidadepara 108 cm3. O fundo deve ser um quadrado. Quais as dimensões da caixapara que o custo seja mínimo? Repetir para o caso com tampa.

8. Obter a equação da reta tangente à curva

pl = 2 ^ <dS“ 5Íde)

no ponto de coordenada x = a.

9. Idem para as curvas

(a) y = x3 —Sx em x = 22x + 1

w y = ------ em x = 23 x(c) 2x2 —xy + y2 = 16 em x = 3(d) y2 4- 2y — 4 x + 4 = 0 em x = 1

x2 y2(e) — + = 1 (elipse) em x =1cr cr

10. Achar os ângulos de interseção entre cada um dos seguintes pares decurva

(a) y2 = x-hl e x2 + y2 = 13(b) y2 = 6 — x2 e 7x2 + y2 = 32

11. Achar as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscritonum círculo de raio 5cm.

12. Achar a altura do cone de máximo volume que pode ser inscrito numaesfera de raio R.

13. O Princípio de Fermat, também chamado de princípio do tempo mínimo,estabelece que a luz, para ir de um ponto a outro, segue o caminho que leva umtempo mínimo. Com isto, pode-se deduzir as leis de reflexão e refração da óticageométrica.




Q

Sejam dois pontos P e Q como mostra a Figura IV.6. Um raio luminosoé emitido em P e deve atingir Q após uma reflexão no espelho. Mostre queo tempo será mínimo quando0 = </> (ângulo de incidência igual ao ângulo dereflexão).

Considere, agora, que os pontos P e Q estejam em meios diferentes, comomostra a Figura IV.7, em que n\ e n2 são os índices de refração de cada meio.Mostre que neste caso o tempo será mínimo sen\ sen 6\ = n2 sen 02

Figura IV. 7: Exercício 13 - segunda parte

14*. Considere um lago na forma de um semi-círculo de 1 km de raio (vejaFigura IV.8). Uma pessoa está inicialmente no ponto P. Ela deseja ir até oponto Q. Primeiro ela nada em linha reta até o ponto R da margem curva e,depois, ela vai andando pela margem do lago até o ponto final. Sabendo-se quesua velocidade nadando é de 2 km/h e andando é de Akm/h , calcule o tempomínimo e máximo que ela pode levar para fazer a travessia.




Figura IV.8: Exercício 14

15. Dois barcos A e B partem do instante t = 0 como mostra a Figura IV.9.Obter a distância de maior aproximação e o instante em que isto ocorre.

EO

20 km/ h

B 60Figura IV.9: Exercício 15

16. Calcular a menor e a maior distância entre o ponto P (3,5) e o círculo x2 + y2 = 4.

17. Obter a equação da reta tangente à curva

(x + y f + ( x - y)3 = x4 + y4

que passa pelos ponto de coordenada x = 1 e y > 0.

18. Calcular a equação das retas que passam pelo ponto (-1,2) e que sãotangentes à curva 4 xy = 1 (hipérbole).

19. Seja o círculo x2 + y2 = 1. Obter as equações das retas tangentespassando pelo ponto (2,0). Idem para o ponto (2,2)

20. O projeto de uma pista de atletismo medindo 600m é mostrado naFigura IV. 10, em que as extremidades são semicírculos de raio 6/2. Deseja-se

Capítulo IV - Aplicações de derivada 43



que o retângulo central seja um campo de futebol com a maior área possível.Calcular as dimensões do campo.

21*. Qual a (menor) distância entre o ponto P de coordenadas (1,1) e areta y = 2x + 3 ?

22*. Considere um corpo de massam sendo lançado da superfície da Terra

com velocidade de módulo V, como mostra a Figura IV. 11. Sabendo-se que aforça de atração gravitacional, que atua sobre o corpo quando ele está numadistância r do centro da Terra, é dada por (módulo)

e está voltada para o centro da Terra (esta é a lei da gravitação de Newton),calcule o valor mínimo da velocidade inicialV para que o corpo consiga selibertar da atração gravitacional terrestre.

a

23*. Calcular as dimensões do trapézio de área máxima inscrito num semicírculo de raio R.

24. Calcular as dimensões do triângulo isósceles de menor área circunscritoa um círculo de raio a.

25. Calcular as dimensões do cone de volume mínimo circunscrito a umaesfera de raio a.




Capítulo V Integrais

1. Outra forma de olhar para uma relação diferencial de primeira ordemSeja uma relação diferencial de primeira ordem, escrita como

*§>./w (v.i)

Ela está nos dizendo que a derivada de uma certa função F (x), em relação a£, dá uma outra função f (x). Na verdade, não há novidade alguma nisso. Jávimos várias e várias vezes que a derivada de uma função leva a outra função.

Vamos reescrever a relação acima de outra forma

dF(x) —f (x) dx (V.2)

Conforme já vimos, ao começar a estudar derivadas, podemos considerardF(x) como sendo a variação infinitesimal da função F(x) entre x e x + dx, isto é,

dF(x) = F(x + dx) - F(x) (V.3)

Sendo dx uma quantidade infinitesimal relacionada ao limite Ax —>0.

Por outro lado, tomando dois pontos quaisquer da variável a;, digamos x = a e x = ò, temos que a variação AF(x) neste intervalo é

AF(x) = F(b) - F(a) (V.4)

Observando (V.3) e (V.4), podemos interpretar A F como sendo a soma dasquantidades infinitesimais djF, desde x = a até x = b. Fazer esta soma é oque chamamos de integrar, palavra que significa juntar , reunir etc. Assim,quando dizemos que integramosdF{x) desde x = a até x = ò, estamos também



dizendo que “juntamos”todos os pequenos pedaços infinitesimaisdF(x) paraformar A F(x). Em Matemática, temos um símbolo especial para dizer isto,

A F(x) = F(b) - F(a) = í dF{x) (V.5) J a

que é o conhecido símbolo de integração.O que foi dito acima é algo bem compreensível. Estamos simplemente di

zendo que A F é a soma das infinitas quantidades dF. Há vários exemplosem que podemos visualizar isto. A Figura V.l mostra um caso no qualdF éum pedaço de uma certa linha. Somando todos os pedaços, desde x = a até x = b, obteremos o comprimento da linha neste intervalo. Esta soma pode serfeita para qualquer outra quantidade, quer de natureza geométrica (como áreas,volumes etc.) ou não.

Figura V.l: Comprimento do trecho de uma linha

Agora vem o ponto importante. Vamos considerar esta soma de infinitasquantidades infinitesimais, mas olhando para o lado direito da relação (V.2).Como sabemos que o lado esquerdo leva à quantidade (V.5), temos, então,

[ bf (x )d x = F ( b ) - F ( a ) (V.6) Ja

/E importante ver, com clareza, o que a expressão acima está nos dizendo. Se

você tem uma quantidade infinitesimal f(x ) dx (válida, portanto, no intervaloentre x e x + dx), podemos somar todas essas quantidades, num certo intervalofinito (no caso, de x = a até x = 6), apenas conhecendo a função cuja derivadadá f(x).

Vamos tomar um exemplo simples. Suponhamos que uma carga elétrica

esteja distribuída ao longo de uma haste de comprimento Z, com uma densidadelinear de cargas dada por

\ = k x2 (V.7)




onde k é um parâmetro constante e x corresponde a pontos sobre a haste.Queremos saber a carga nela contida.

Pela definição de densidade linear de carga, À = ^ , temos que a quantidadede carga dq entre x e x + dx é dada por

dq = kx2dx (V.8)

Logo, pelo que vimos acima, a carga total da haste será a soma (integral) detodas essas quantidades infinitesimais desde x = a até x = b.

rb= k x2dx

J a

= \ k x -3ba

1 c o

r i Ó

1 C OI I - a 3 (V.9)

Na segunda linha, kx3/3 é a função cuja derivada dá a função inicial kx2. Abarra vertical colocada logo depois, contendo os extremosa e b, é uma notaçãoindicando que o resultado da integração é desde x = a até x = b.

Vamos concluir esta seção com algumas observações:(i) Neste momento pode ser que você esteja questionando o porquê de não

termos escrito acima a forma mais geral da função cuja derivada dá kx2, queseria kx3/3 + C, com a presença da constanteC .

Se você estava com essa dúvida, tem toda razão. A função que escrevemosem (V.9) é um caso particular. Entretanto, a constante aqui não desempenhanenhum papel relevante, pois, ao tomar os limites de integração ela desaparece.Para que não haja dúvidas quanto a isto, vamos repetir o desenvolvimento em(V.9) colocando a constante.

,bQ = k x2dx

Ja

Como vemos, a constanteC é cancelada entre os dois termos da penúltima

passagem.(ii) O símbolo de integração pode aparecer sem os limites. Neste caso, o

significado de f . . . dx passa a ser simplesmente: O que derivando em relação a

Capítulo V - Integrais



x dá . . . ? Aqui sim, na resposta, devemos escrever a relação geral com a presençada constante (Como não estamos colocando os limites, não há justificativa paraomiti-la). Se considerássemos isto para a função do exemplo acima, teríamos

k x2dx = - kx3 + Co

(v.10)

(Ui) Embora tenhamos feito o desenvolvimento para chegar à relação (V.6),partindo do fato que a soma dos diversosdF de x = a até x = b fornece arelação (V.5), isto é, que A F = F(b) —F{a) = dF , podemos notar queeste resultado é particularmente compatível com a interpretação dada para aprópria relação (V.6). Olhando para a integral dF , podemos fazer a mesmapergunta do item anterior: O que derivado em relação a F dá 1? Obviamente, oresultado é F (não há necessidade da constante devido aos limites de integração)e, consequentemente,

dF = F

= F(b) — F(a) (V.ll)

(iv) No exemplo que discutimos no item 3 do capítulo anterior (um exemplode Física Básica), vimos que a segunda lei de Newton levou-nos a duas equações,(IV. 15) e (IV. 16). Vou reescrevê-las abaixo.

d2x dt2

d?y dt2

= 0

= -9

Naquela oportunidade, dissemos que estávamos diante de duas equações diferenciais (as incógnitas apareciam dentro do símbolo de derivada) e que não erao caso de transformá-las em integrais. Agora, estamos vendo a razão disto. Aintegral é uma outra forma de olhar para uma equação diferencial de primeiraordem e as relações acima são equações diferenciais de segunda ordem. Casooptássemos em reescrevê-las usando a velocidade (e não a posição), teríamos

dvxdt

dv.

= 0

y _dt ~9

Estas são equações de primeira ordem e, consequentemente, poderíamos usarintegrais para obter vx e vy (depois, ao se conhecer as expressões da velocidade, procedemos da mesma maneira para obter a posição). Faça isto como umexercício.




0 que vimos acima pode estar permitindo a (falsa) indução de que umaequação diferencial de qualquer ordem pode ser tratada sucessivamente comoequações diferenciais de primeira ordem. Seria uma simplificação muito grandese isto fosse verdade, mas não é. As equações do nosso exemplo são casos muitoparticulares de equações diferenciais lineares, cuja forma geral é

dxn . xdxn~1 . . dx . . .. - . .— 4- Q„_i(í)-^— r + .. . 4- Qi(í)— 4-aQ(t) = f(x) (V.12)

que, portanto, tem de ser olhada como uma equação diferencial mesmo. No Apêndice C, mostraremos um exemplo em que uma equação diferencial de segunda ordem é resolvida.

(v) Pode ser que você já tenha ouvido falar em integrais duplas, triplasetc. e se não seriam essas integrais que estariam relacionadas às equações diferenciais de segunda ordem, terceira ordem etc. A resposta é não. Vimos queuma equação diferencial de primeira ordem está relacionada à uma integral,que chamamos também de integral simples. As integrais duplas, triplas etc.são gereralizações diretas das integrais simples. Vimos também que estas sãosomas de quantidades infinitesimais f (x) dx. Uma integral dupla seria umasoma de quantidades infinitesimais dadas por f (x ,y ) dxdy (em que a quantidadeinfinitesimal dxdy é uma pequena área de ladosdx e dy). A soma, neste caso,tem de ser feita nas duas direções x e y. O mesmo ocorre para integrais triplasetc. No final deste capítulo estudaremos um pouco essas extensões da integral.

2. Um exemplo de geometriaDentre os vários exemplos que poderíamos apresentar, vamos escolher um edeixar os outros para serem feitos como exercícios. Usaremos aqui o conceitode integral para calcular o volume de uma esfera de raio R, levando à conhecidarelação | 7t R3.

O que temos de fazer, inicialmente, é identificar a quantidade infinitesimal de\

volume a ser integrada. As vezes, há mais de uma possibilidade para escrevê-la.No presente exemplo, faremos isto de três maneiras diferentes.

Primeiro, consideremos a esfera como sendo formada por infinitos cilindos dealtura dy e raio x como mostra a Figura V.2. O elemento de volume infinitesimaldV é dado por

dV = 7vx2dy (V.13)

Para fazer a integração, temos de escrever o lado direito desta quantidade emtermos de uma só variável. Do jeito que está, fica sem sentido perguntar oque derivando em relação a y dá 7rx2 ? No presente exemplo, este problema éfacilmente contornado. Na vista lateral da esfera que foi apresentada na Figura

V.2, temos x2 + y2 —R2. Assim, substituindo x2 por R2 — y2 em (V.13), vem

dV = 7r(R2 - y 2)dy (V.14)




Figura V.2: Vista lateral de urna esfera de raio R

Agora está tudo pronto para fazer a integração. Podemos ir de y = —R até y = R ou, considerando a simetria do problema, ir de y = 0 até y = R emultiplicar o resultado por 2. Vamos considerar este segundo caso.

V =

3 \ R0

= 2n ( r 3 -

& ~3~ )

= —7 t R 33

Como segunda maneira de tomar o elemento de volume inicial para ser integrado, consideramos a esfera sendo formada por infinitas cascas de raior eespessura dr, como mostra a Figura V.3. O volume da casca é

dV = Anr2dr (V.15)

em que Airr2 é a área da superfície esférica de raio r. Se você não lembrava disso,poderia também usar integrais para obter esta relação (isto será feito como e-xercício). Aqui não há dificuldade alguma com respeito às variáveis (já estátudo em termos de r). Fazendo a integração desder = 0 até r = R, teremos ovolume da esfera

Í RV = / 47tr2dr J o




Figura V.3: Esfera sendo formada por cascas esféricas.

Na terceira alternativa, consideraremos o elemento de volume infinitesimalcomo sendo um cone de altura R e base (infinitesimal)dS sobre a superfícieesférica (veja Figura V.4). O volume deste cone é

d V = \ R d , S (V.16)O

Também podemos mostrar que o volume do cone é um terço da área dabase vezes a altura usando integrais (também está nos exercícios). Integrandoos volumes dados por (V.16), temos

V =47t R 2

01-RdSO

1 47t R 2

-R So

|.rf>

Comparando todos os processos, notamos que o trabalho algébrico em algunsfoi bem menor. Isto às vezes acontece. Devemos estar atentos porque o uso decertas variáveis pode levar a simplificações significativas. No primeiro caso,

Capítulo V - Integrais 51



usamos coordenadas cartesianas retangulares. Embora o trabalho algébrico nãotenha sido tão grande, essas coordenadas podem não ser adequadas a problemasde simetria esférica ou circular. Para citar um argumento em favor do queestou dizendo, temos a equação do círculo. No caso de coordenadas cartesianasretangulares, a equação de um círculo de raio R com centro na origem é dadapor x2+ y2 = R2. Usando coordenadas polares (falaremos mais sobre elas daquia pouco), a equação do mesmo círculo é simplesmenter = R.

3. Um exemplo de Física Básica Vamos tomar como exemplo o exercício 22 do capítulo anterior, de um corpode massa m sendo lançado vericalmente da superfície da Terra com velocidadeV, em que foi solicitado para você resolver usando derivadas (cálculo deV paraque ele se liberte da atração gravitacional da Terra). Veja a Figura V.5, na qualestão todas as quantidades relevantes, v é a velocidade do corpo num pontor da trajetória (retilínea)

Pela segunda lei de Newton e pela lei da gravitação (também devida a Newton), temos

dv Mm ^ m d i = - G — r < v i 7 )

Como o problema é numa dimensão, não há necessidade douso da notação

vetorial. Fazendo a simplificação dem (o problema não depende da massa docorpo), obtemos a relação diferencial de primeira ordem

Í=-H£ c*i8>Cálculo: para entender e usar



Figura V.5: Corpo lançado verticalmente da superfície da Terra

Temos aqui um problema que você deve ter se deparado ao resolver o exercí

cio 22 do capítulo anterior. Do jeito que a relação acima está sendo apresentada,não dá para tentar resolver a equação diferencial nem para transformá-la numaintegral. Deveríamos ter apenas duas variáveis, mas há três (r,v et). No caso,a passagem de três para duas variáveis pode ser feita com o uso da regra dacadeia e da definição de velocidade, pois

dv dv drdt dr dt

= f r v (V.19)

Substituindo este resultado em (V.18), obtemos a seguinte relação infinitesimal

v dv = —-^j-dr (V.20)

Agora está tudo preparado para fazer a integração. Pelos dados do problema, ado lado direito será feita desde r = R até r = oo. No lado esquerdo, os limitescorrespondentes para v são V e 0. Assim,

GM 7— drrj-* Z j

(V.21)

Esta é a expressão da chamada velocidade de escape. Substituindo os valoresnuméricos (G = 6,67 x 10-11m?s~2kg~l, M — 5,98 x 1024/cy e R = 6,37 x106ra), encontramos

7 = 1,1 x 104 m /s ~ 40000 km/h




que é realmente a velocidade aproximada que uma nave espacial deve ter parase libertar do campo gravitacional terrestre.

No caso da Lua, onde M l = 7,35 x 10 22 kg e R l = 1,74 x 106m, estavelocidade seria bem menor.

V = x 103 m /s ~ 8 500 km/h

Você já viu algum filme sobre as viagens do Projeto Apoio? Você reparouna facilidade com que os astronautas saíram da Lua comparativamente com aTerra? Os resultados acima explicam isto. Eles explicam também porque aTerra consegue manter uma atmosfera e a Lua não. No caso da Terra, a velocidade (térmica) das moléculas de ar é menor do que 40000 km/h e no caso daLua seria maior que 8 500 km/h.

4. Propriedades e regras de integração

4a. A integração é uma operação linearDe acordo com as propriedades da derivação (e observando os exemplos deintegrais que fizemos até agora), facilmente concluímos que a integração satisfazà propriedade

J [ c i h ( x ) + C2f 2 ( x )] d x = Cl J f i ( x ) d x + c2 J h { x ) d x (V.22)

em que C\ e C2 são duas constantes. Esta é a relação característica de um

operador linear. Observe que a usamos, indiretamente, em todas as integraçõesque já fizemos.

4b. Integrais de funções simétricas e antissimétricasUma outra propriedade de grande utilidade concerne à integração de funçõessimétricas e antissimétricas. Na Figura V.6 mostramos um exemplo de funçãosimétrica. Vemos que estas funções caracterizam-se por

f ( x ) = f ( ~ x) (v -23)

No caso de integrações deste tipo de função, num intervalo dex = —a até x = a,temos

í f (x )d x — 2 í f ( x ) d x (V.24) J - a J 0

Aliás, já usamos esta propriedade no exemplo da Seção 2, na integração de(V.14).

Consequentemente temos que a integração de uma função antissimétrica,

f (x ) = - / ( - * ) (V.25)

para o mesmo intervalo é zero.




f(x)V V

Figura V.6: Exemplo se função simétrica

4c. Regras de integração

Estas são fórmulas prontas que permitem responder diretamente a perguntabásica da integração (Qual a função cuja derivada dá ...?). Existem longos formulários a respeito (até mesmo livros inteiros apenas sobre tabelas de integrais).Não vamos complicar este ponto nem ocupar nossas mentes decorando fórmulas. Consideraremos, por enquanto, apenas uma (que já foi usada em todos osexemplos discutidos até então), que é a integração de uma função de potência.Tendo em vista a experiência que temos sobre derivadas de funções de potência,não há dificuldade alguma em ver que a relação

7ym + lU m d u = ------ - + C (V.26)

m + 1

é realmente verdadeira, pois a derivada deum+1 com respeito au dá um. Emque m é um número racional qualquer eu é uma variável genérica qualquer.

Vemos que a relação (V.26) não é definida param = — 1, isto é, a função cujaderivada dá l/u não pode ser obtida pela relação acima. Neste caso, temos umoutro tipo de função cuja derivada dál/u (é a função logaritmo que estudaremosno Capítulo VII).

5. Uma visão geral sobre o processo de integraçãoEm resumo, podemos dizer que o uso do processo de integração num determinado problema consiste de três etapas

• Identificar o elemento infinitesimal a ser integrado.

• Preparar este elemento de forma que a integração possa ser feita. Isto é,ele deve ser do tipo f(u) du, em que u, como dissemos, é uma variável genérica

qualquer.• Por fim, após ter preparado o elemento diferencial para ter a forma f(u) du

você tem de saber qual função cuja derivada em relação au dá f(u).




Observe que foram estas as etapas dos exemplos discutidos até então e, o queé importante dizer, é isto que faremos sempre. Apenas para ficar bem claro(e para clarear o que pretendo ainda dizer), deixe-me fazer uma breve análisedesses exemplos à luz do que foi dito acima.

No primeiro exemplo, do cálculo da quantidade de carga contida numa linha desde x = a até x = ò, identificamos o elemento de carga como sendodq = kx2dx. Aqui não foi necessário fazer nenhuma modificação no elementodiferencial, pois ambos os lados da relação já estavam preparados para o processo de integração (que foi realmente feito sem maiores dificuldades).

No segundo caso, vimos que o primeiro elemento diferencial que usamosestava inicialmente na forma dV = nx2dy [veja expressão (V.13)]. Tivemos,entao, de prepará-lo para que o lado direito pudesse ser integado. Fizemos istona expressão seguinte, (V.14), na qual obtivemosdV = 7r(R2 —y2) dy que pôde,então, ser integrado sem problemas. Para os dois outros elementos diferenciaisque usamos, não houve necessidade de nenhuma preparação.

No último caso, do corpo lançado a partir da superfície da Terra, vimosque usando a segunda lei de Newton e a lei da gravitação (também devida aNewton), fomos levados à relação (V.18), envolvendo as seguites quantidadesdiferenciais

dv M r2

Vemos aqui, devido ao fato de termos três variáveis, que não há jeito de se terem cada lado uma expressão do tipo f{u) du. Ela precisou, então, ser preparada.

O resultado foi a expressão (V.20) A G M Av dv = ------ r-dr

No qual ambos os lados são do tipo f(u) du e puderam ser integrados semproblemas também.

✓

Mais uma vez, digo a vocês que integrar é só isto. E a aplicação dessas trêsetapas. As dificuldades que podem existir (muitas vezes existem mesmo) estãona parte técnica relacionada a cada uma das etapas. Primeiro, dada a naturezado problema, nem sempre é possível identificar o elemento diferencial. Segundo,mesmo após a sua identificação e a sua preparação para se ter a forma f(u) du,pode não ser simples responder a última pergunta [o que derivamos em relaçãoa u que dá f(u)\. As vezes, nem é questão de ser difícil responder, pode ser quea resposta não exista mesmo.

Vamos concluir esta seção falando um pouco mais sobre a resposta à pergunta acima. Quando ela não exite (ou não sabemos respondê-la), o processode integração não está perdido. Podemos obter informações sobre o problema

fazendo a integração por métodos numéricos (depois do advento dos computadores estes métodos ficaram bastante aperfeiçoados). Não é nosso objetivodesenvolver tais métodos aqui. O que vamos fazer agora é se concentar umpouco mais na resposta à pergunta embutida na integração de f(u) du, isto é, o




que derivamos em relação au que dá f(u). O ponto que estou querendo destacaré que muitas vezes esta resposta existe, mas a forma como f(u) du pode estarescrita não permite que a vejamos. Sejam alguns exemplos.

(z) Vamos supor que num determinado problema você tenha identificado oelemento diferencial

x y/l-\-x2 dx (V.27)

Não há dúvidas de que ele é do tipo f (x )d x, em que f(x ) = x \/l + x 2. Entretanto, a reposta à pergunta, o que derivamos em relação a x que dá x V 1 + x2 pode não ser tão direta. Neste caso, para vê-la, basta modificar um pouco aforma do elemento diferencial. De fato, fazendo

1 + x2 = u (V.28)

temos

y/l + x 2 = u i du dx = 2x du = 2 xdx

(V.29)

(V.30)

Substituindo (V.29) e (V.30) em (V.27), o nosso elemento diferencial toma outraaparência

x y/l + x2 dx = i y/l + x2 (2 xdx) At

= ^-u%du (V.31)

Agora, ele possui a forma dada na expressão (V.26) e não é difícil obter aresposta para a pergunta, o que derivamos em relação au que dá \ u 2.

1 3- u i + C

j ( l + i 2) ê + C (V.32)

Portanto, podemos escrever o resultado da integração

/ I —

x y/l + x 2 dx = ~ ( l + x 2 2+ C (V.33)

Confirme, mais uma vez (caso você ainda tenha dúvidas) que isto é realmenteverdade, ou seja, que derivando | ( l - fx 2) 2 com respeito a x obtém-se x y/l + x 2.

1 1¿2+12 | T l




(ii) Vamos apresentar uma outra maneira que pode tornar possível o cálculode algumas integrais. Considere que você não esteja conseguindo ver numcerto elemento diferencial f(x ) dx o que foi derivado em relação a x que deu f{x). Entretanto, suponha que o elemento f{x) dx possa ser reescrito da formau(x) g(x) dx e que você saiba uma parte da resposta, por exemplo, a função quederivada em relação a x dá g(x) . Se isto acontecer, há uma possibilidade de oproblema ser resolvido. Vejamos como.

Considere, então, que seja a função cuja derivada dá g{x)) isto é,

dv j j— = g => dv = g dxdx

Assim, você pode escrever o elemento diferencialu{x) g{x) dx comou(x) dv(x). Considerando a regra da derivação de um produto de funções, a quantidadeudv pode ser reescrita convenientemente como

udv = d(uv) —vdu (V.34)

Como vemos, a expressão inicial, que era f(x ) dx e que, depois, passou au(x)dv{x), agora aparece como a soma de dois termos dados por (V.34). Oprimeiro deles já está na forma simples de uma diferencial, significando que suaintegração é diretamente dada por u(x)v(x) (mais uma constante). O segundotermo é uma outra expressão diferencial. Se for possível integrá-la, o problemainicial estará resolvido! Este procedimento é conhecido comointegração por partes.

Vamos apresentar um exemplo. Seja o seguinte elemento diferencial

x3 y/l + x2 dx (V.35)

Eu escolhi este exemplo porque, de acordo com o que fizemos no item anterior, sabemos integrar parte dele, isto é, sabemos integrar x y/l + x2 dx [vejaexpressão (V.33)]. Assim, seguindo a ideia acima, escrevemos

x3y/l + x2dx = - x2d{ 1 H- x2)*

5 “ X 2 { l + X 2 ) i — -(1 + x2)*dx2 ó (V.36)

Apenas por conveniência, deixei o segundo termo acima comdx2 (é claroque poderia ter escrito, equivalentemente, 2 xdx)

Como vimos, a integral para o primeiro termo do lado direito de (V.36) étrivial. A do segundo, também, não apresenta nenhuma dificuldade e o resulta-d o é —^ ( l+ a :2)2 (mais uma constante). A integral foi resolvida! Formalmente,podemos escrever então

J x 3y/l-\- x2dx — + x<2)^ - + C (V.37)

Deixaremos vários outros exemplos para serem feitos como exercícios.




6. Integrais duplas, triplas etc.Geralmente, este assunto não é tratado no primeiro volume dos livros de Cálculoe, quando o é, deixa-se bem para o final. Entretanto, mesmo não sendo nosso ob

jetivo estudar integrais múltiplas com detalhes, acho bem ilustrativo falar sobreelas aqui, visto serem uma simples generalização do que estamos estudando.

Todas as integrais de que tratamos até então partiam de um elemento diferencial como f (x ) dx (dentro do contexto das integrais múltiplas, elas sãochamadas de integrais simples). As integrais duplas, triplas etc. nada mais sãoque integrais sobre elementos diferenciais do tipo /(# , y) dxdy, f(x , y, z) dxdydz etc., respectivamente. No caso da integral simples, com o elemento diferencial f{x) dx, a integração é feita sobre pontos da linha x. Para as integrais duplas de f (x ,y ) dxdy, os pontos a serem considerados estão sobre o plano xy, e assim pordiante. A Figura V.7 mostra, comparativamente, o funcionamento das integraissimples e duplas (as demais seriam generalizações imediatas destas)

O--------h--------- I—I------------------------ 1 -►a dx b x

Figura V.7: Comparação entre integrais simples e duplas

Para as integrais simples, a soma das quantidades infinitesimais f{x) dx vaide x = a até x = b (isto é, ela está apoiada sobre o eixo x, desde x = a até x = b). Para as integrais duplas, a soma das quantidades f (x ,y ) dxdy é feitasobre pontos de uma certa área (veja Figura V.8). Quando fazemos a soma sobre x, por exemplo, observe que a quantidade y permanece constante (e vice-versa).

Vamos ver num exemplo como isto funciona. Seja o caso da integral duplasobre o seguinte elemento diferencial

dl = 3 x2y dxdy (V.38)




y Âi

o X

Figura V.8: Integração na coordenada x

Consideremos que ela seja feita sobre pontos de um retângulo limitado por x = 0, x = 2, y = l e y = 2. E indiferente a ordem das integrações. Vamoscomeçar integrando sobre x. Formalmente, teríamos

n2 x2ydxdy (V.39)

A convenção é de que a primeira integral a ser feita, no caso em x, fique na partemais interna e, assim, sucessivamente, até a última. Para a ordem estabelecidana expressão (V.39), temos

í2 / x 3 2

' - ( t *

= 8J y dy

, 2= 4 y2

= 12

dy

(V.40)

Para que algumas das particularidades das integrais múltiplas fiquem bemclaras, sejam as observações:

(z) É fácil ver que poderíamos ter feito primeiro a integração em y. Maisdo que isto, no presente exemplo nada impediria que as duas fossem feitas simultaneamente pois os limites de uma não interferem com os da outra. Defato

I = 3J x2 dxJ ydy




(ii) Tomemos, agora, a integração sobre o mesmo elemento diferencial, masconsiderando uma outra região de integração, um semicírculo de raio 1 e cen

trado na origem, como mostra a Figura V.9. Aqui, as duas integrações nãopodem ser feitas simultaneamente. Façamos primeiro a integração em y

1 = 3 ç+l py/l-x2 I x 2 J y dydx

= 3 í x2(l —x 2) dxJ o

25 (V.41)

(m) O resultado de uma integração não depende da ordem em que são feitasmas, em alguns casos, o trabalho algébrico pode depender da ordem considerada.Isto acontece para o exemplo acima, na integração sobre a região da Figura V.9.Caso tivéssemos optado em integrar primeiro sobre £, o trabalho algébrico seriaum pouco maior.

1 = 3 x2 dxdy

dy

= 2 f 3/(1 ~ 3/2)3/2dy J 0




Exercícios

1. Calcule as integrais abaixo (use o processo que julgar mais conveniente)

(a) J (3x2 + 5a;)dx

(*) J (2x + 4)2 dx

(c) J (2x + 4)10dx

(d) J \Ja2 + b2x2 x dx

(e)

( /) f dy

J y/a - by

(3) J t\/2t2 + 3dt

(A) í Ax2 dxJ Vx3 + 8

/ V ü ^ dx\l)

Cf) ! * ix

(*) J í 1/ 3 (1 + i4/3)" 7,

(0 / * J ü ' *

(m)í dr

J V (7 -5 r )2

(n) f ydyJ ^ 2 5 - 4 y 2

(o)r dt

J tV2t

Cp)

J [x2 —y/x) dx

(<?*) J x 3 \/ l + x2 dx




2 . Idem para as integrais abaixo

(a) 1 f (a2x —x3)dx J 0

m j^ da;o V3-2CC

('-0 I Í (y/ã —y/x)2dx j 0

<4 J ^3 ídío Vt2 + 16

W j /*5 dxi \/2íc —1

(/ ) J f 5 rrdxi V2a; - 1

W j i V 2^ ~ l

3*. A esta altura, você não deve ter tem dificuldade alguma para resolvera integral f x2dx. Faça-a, agora, por partes, considerando que x2dx — xxdx = etc.

4. Calcular o volume de um cone de raio R e altura h.5. A equação de uma parábola é dada por

y = 4 —x 2




(а ) Para melhor visualizar o problema, faça o gráfico da parábola.

(б ) Calcule a área da região entre o eixo x e a, parte positiva do eixo y.

(c) Considere o sólido obtido pela revolução da curva acima em torno do eixo y. Calcule o volume deste sólido. Calcule também o volume do sólido obtidopela revolução em torno do eixo x.

6*. Um lago de profundidade de 2m possui uma base dada pela Figura V.10. Em que a curva 1 possui equação y = x 2 e a curva 2, y = 4/(x + l)2.Obtenha o volume do lago.

Figura V.10: Exercício 6

7*. Calcule o comprimento da curva y = xz 2 entre a: = 0ea : = 4

8. Calcule a área limitada pelas curvas mostradas na Figura V .ll.

9. Estude o exemplo discutido na seção 3 do capítulo anterior usando integrais. Faça isto partindo das equações

dtdvv — - = —q dt y

em lugar das relações (IV. 15) e (IV. 16)




Figura V .l l: Exercício 8

10. Considere uma massa M distribuída uniformemente ao longo de umaanel de raio R. Calcule a força gravitacional sobre uma massa pontualm localizada a uma altura h do eixo do anel, como mostra a Figura V.12. Faça,depois, h^> R no resultado que você encontrou. Isto leva você a alguma relação

conhecida?

• m

11. Repita o problema anterior considerando que, em lugar do círculo, vocêtenha a massa M distribuída uniformemente sobre uma placa circular de raio R.

12. Considere agora a massam localizada no exterior de uma esfera de raio R e massa M. Calcule a força gravitacional sobre a massam.




13. Em cada um dos itens abaixo,a é a aceleração de uma partículamovimentando-se sobre o eixo x. Calculev(t) e x( t) considerando que emt = 0, x = x0 e v = v0 (as unidades não foram escritas explicitamente)

(a) a — 5(b) a = t(c) a —t2(d) a = v /2F+T(e) a = (2í + l )“ 3

14. Nas relações abaixo,a é a aceleração do movimento de uma partículasobre o eixo x. Calculev(t) e x( t) em cada caso para as condições indicadas (asunidades também não foram escritas explicitamente)

(a) a = —4x em t = 0, v = 0 e x = 5(b) a = —y/v em t = 0, ?; = 0 e x = 5(c) a = — 3v2 em t = 0 ,v = 6 e x = 0

15*. Um corpo de massam movimenta-se sobre o eixo x sob a ação deuma mola de constante elástica k (a força que a mola exerce sobre o corpo é f = —kxi). Considerando que emt = 0>x = A e v = 0, obtenha v{t).

16*. Calcule a força resultante sobre o vidro de um aquário de 70cm dealtura por 1 m de largura.

17. Calcule as seguintes integrais

(a) Í í ix + 2)dydx J o J o

x y dydx

_ p - 1 n2y

(c) / / xydxdy J 0 J y + l

,2 r y 2n y

(x -f 2 y) dxdy

(e) í í ( x2 + y2)dydx J o J o




Capítulo VIFunções trigonométricas

1. Relações trigonométricas no triângulo retânguloPrimeiramente, relembremos as quantidades seno (sen), cosseno (cos), tangente(tg), secante (sec), cossecante (ese) e cotangente (cotg), baseadas nas relaçõestrigonométricas do triângulo retângulo. Pelos dados da Figura VI. 1, estas quantidades são

sen 0 = - a (V 1.1)Q

cos0 — -a (VI-2)

n sen 0 b tsf,= cosS = c (VI.3)

0018 " “ ts 9 = 5 (VI.4)

A 1 acsc e = = sen 6 b (VI. 5)

ú 1 a sec0 = ----- - = -COS0 c (VI.6)

Figura VI. 1: Triângulo retângulo:a é a hipotenusa, e b e c são os catetos.



Pelo que foi apresentado, podemos tirar algumas conclusões e fazer algumasobservaões.

(i) Vemos, fácilmente, que os valores máximos do seno e cosseno são 1. Poroutro lado, esses são os valores mínimos da secante e cossecante. Já a tangentee a cotangente podem adquirir qualquer valor.

(ii) Através do teorema de Pitágoras,a2 = b2 4 - c2 (no ApêndiceB é feitauma demonstração deste teorema), podemos obter urna das mais importantesrelações trigonométricas

ó2 + c2 =a2 b2 c2

^ 2 2 —a¿ a¿ => sen2# + cos20 = 1 (VI. 7)

Que, na última passagem, usamos as definições de seno e cosseno dadas por(VI. 1) e (VI.2) respectivamente.

(iii) Também, pelo triángulo da Figura VI. 1, vemos diretamente que

sen (90° —6) = —= cos0 a(VI.8)

cos (90° —0) = - = sen9 a

(VI.9)

tg (90° —9) = \ — cotg9 b

(VI. 10)

sec (90° —9) = y = csc9 b

(VI. 11)

(iv) Estamos usando graus para expressar os ângulos de algumas das relaçõesacimas. E também bastante comum o uso de radianos. A definição de um ânguloem radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio (veja Figura VI.2)

Figura VI.2: O arcos é subentendido pelo ângulo9.

o = I (VI. 12)




A relação entre graus e radianos é facilmente obtida considerando, por exemplo, que 90° correspondem a 1/4 do comprimento da circunferência. Assim, oângulo em radianos equivalente a 90° é

\ • 2irR _ 7t

Outros exemplos são

30° ” £ 645° <— * j

et c.

(t>) As grandezas trigonométricas definidas através do triângulo retânguloficam restritas a ângulos menores ou, no máximo, iguais a 90° e são todas positivas. Quando fizermos a extensão para considerá-las como funções, veremosque os ângulos podem adquirir qualquer valor (positivo ou negativo), e elaspodem ser negativas também.

(vi) Podemos mostrar, com a utilização direta do que vimos acima, que numtriângulo qualquer (veja Figura VI.3), temos as seguintes relações (exercício 1)

bFigura VI.3: Exemplo de um triângulo qualquer

sen a sen ß sen 7a b c

a2 = b2 4-c2 — 2bc cosa

(VI. 13)

(VI. 14)

conhecidas como leis dos senos e cossenos, respectivamente.

Capítulo VI - Funções trigonométricas



Tivemos a oportunidade de ver nos itens acima o aparecimento de algumasrelações trigonométricas. Há outras, que veremos oportunamente. No momento,deixe-me citar urna que, talvez, seja bem familiar de vocês

eos (a-\- (3) = eosa eos¡3 — sen a sen f3 (VI. 15)

Há mais de uma maneira de se demonstrar esta expressão, inclusive umamuito simples com o uso de vetores (veja Apêndice A). Vamos demonstrá-laaqui de uma forma não muito usual, talvez um pouco mais trabalhosa, masficando restritos às relações métricas do triângulo retângulo.

Seja a Figura VI.4. Pelos triângulos retânguloO AC e OBC, podemos escrever

cos(a + /?) = OCÕÃ OB cosa

OA

A

B

Figura VI.4: O vérticeC subentende um ângulo de 90°.

Tracemos, agora, as linhas auxiliares (pontilhadas) mostradas na Figura VI.5, em que AF é paralela a OE. Observando os triângulos formados, podemosreescrever a relação anterior da seguinte maneira

cos (a +(3) = ODÕÃ

cos/3cos a

O A - D A

W lcosa cos/3

= cosa cos/3 DAW cosa cos¡3




Pelo triângulo retânguloO A E, temos_ AE _ 1 _ sen(3

s e n ! T ã ^

Substituindo este resultado na expressão anterior, vem

cos (a +(3) = cos a cos(3 DA ÃE sen ¡3 cosa cos/3

Pelo triângulo retângulo AE B, temos

cos a = AE AB

Levando este resultado na expressão anterior, obtemos

~DÃcos (a +¡3) = cosa cos¡3 — ==~ sen / 3 cos / 3

= cosa cos f3 —

AB ÃF sen ¡3 AB

= cosa cos/3— sen a sen /3

Na penúltima passagem acima usamos que DA cosa = AF , e na última usamosque sena = AF/AB.

A outra relação, bastante conhecida,

sen (a + ¡3) = sen a cos/3 + sen¡3 cosa (VI. 16)

pode ser obtida pela combinação direta de (VI.9) e (VI. 15). Entretanto, para tal,precisaríamos saber sobre seno e cosseno de ângulos negativos, o que implicariaconhecimentos dessas quantidades como funções. Vamos ver isto agora.




2. Seno, cosseno, tangente etc. como funçõesya um certo ponto P do plano xy, como mostra a Figura VI.6. Usando

diretamente as definições de seno e cosseno dadas por (VI. 1) e (VI.2), podemosescrever

sen 9 =

cos9 =

y y/x2 + y2 x

\Jx2 + y2

(VI. 17)

(VI.18)

Vamos ficar restritos ao seno e cosseno porque, como vimos, todas as outrasfunções podem ser escritas através delas.

Por questões de semelhança de triângulos, o valor de sen9 e cos9 não dependem da distância OP (obviamente, desde que esta não seja zero). E usualtomá-la como a unidade, pois as funções (VI. 17) e (VI.18) ficam mais simples econvenientemente escritas como

y = sen9 x = cos9

(VI. 19)(VI.20)

Através destas relações (poderia também ser através das relações anteriores)e observando a Figura VI. 6, vemos que os seno e cosseno não ficam restritos aângulos menores ou iguais a 90°, como no caso do triângulo retângulo. Vemosdiretamente que, para 90° < 9 < 180°, sen# > 0 e cos9 < 0. Para 180° <9 < 270°, ambos são negativos; para 270° <9 < 360°, sen# < 0 e cos9 > 0.




É também diretamente visto pelas relações (VI. 19) e (VI.20) e pela Figura VI.6 que

sen (—0) = — sen 9 (VI.21)cos(—9) = cos9 (VI.22)

Agora sim, podemos deduzir a relação (VI. 16), partindo de (VI. 15)

sen (a + (3) — cos [90° —(o; + f3)\= cos [(90° —a) —/3)\= cos (90° —a) cos (—¡3)

- sen (90° —a) sen (- /? )= sena cos / 3 4- sen / 3 cosa

Outras relações podem serobtidas, ou diretamente das funções seno e cos-seno, dadas por (VI. 19) e (VI.20) ou usando-se(VI. 15) e (VI.16). Citemosapenas algumas:

sen (180° —a) = sena (VI.23)sen (90° +a) = cosa (VI.24)cos (180° —a) = — cosa (VI.25)cos (90° +a) = — sen a (VI.26)

etc.Para concluir esta seção, vamos mostrar mais uma expressão trigonométrica

A B A — B /trT r»i-T\sen A + sen B = 2 sen — - — cos — - — (VI.27) Zu Z j

Seja, então, a relação (VI. 16), na qual fazemos as substituiçõesa + f3 = A ea —¡3 = B [=> a = ~(A + B) e /? = \ {A - B)]. Assim

A + B A - B A - B A + Bsen A = sen--------- cos — -- ------h sen — - — cos — - — A Zi A A

A + B A - B A - B A + Bsen B = sen — - — cos — -------- sen — -— cos — -—

2 2 2 2

Somando as duas expressões acima, encontraremos (VI.27). Fica como exercício,mostrar que

A — B A + B , s.sen A — sen B — 2 sen — -— cos — - — (VI.28) Zi z

A + B A — B / xcos A -h cos B = 2 cos — - — cos — - — (VI.29) Zi z

A + B A — B -Tnr\\cos A — cos B = —2 sen-------- sen — -— (VI.30)




3. Alguns valores particulares de seno e cossenoPelo triângulo retângulo da Fig. VI. 1, temos diretamente que

sen 0 = cos 90° = 0sen 90° = cos 0 = 1 (VI.31)

Outros valores particulares são

/õsen 45° = cos 45° = (VI.32)

sen 30° = cos 60° =\ (VI. 33)2 ns

sen 60° = cos 30° =\ Ai

(VI.34)

Esses valores podem ser obtidos através da geometria plana. Para o primeirocaso, consideramos um triângulo retângulo isósceles como mostra a Figura VI.7.

Figura VI.7: Triângulo retângulo isósceles

Usando o teorema de Pitágoras, os catetosb são diretamente obtidos emtermos da hipotenusa

a2 = 2b2 = í>= -7= (VI.35)v 2

Assim, usando a definição de seno, temos

« „ 4 5 ° = * = ^ =a y/2 2




Para os casos (VI.33) e (VI.34), consideremos o triângulo retângulo mostradona Figura VI.8, no qual um dos catetos é a metade da hipotenusa (o nossoobjetivo vai ser justamente mostrar que os ângulos não retos valem 30° e 60°.

C

A vT BT a

Figura VI.8: Triângulo retângulo com um cateto igual à metade da hipotenusa

Marquemos um ponto D no centro da hipotenusa e formemos os triângulos ABD e BC D, como está disposto na Figura VI.9. Vemos que o triângulo BC D é isósceles

Figura VI.9: O ponto D divide a hipotenusa ao meio.

No triângulo ABD, pela lei dos senos, expressão (VI. 13), temos

■ a 12a

sen (180° —a) sen (90° —a)




V3 1=r> ------- = -------sen a cos a=> tg a = Vs

Por outro lado, pelo triângulo retângulo inicial da Figura VI.8, temos que

tgO = Vs

Logo, podemos concluir que0 = a e pelo triângulo BC D temos que0 = a = 60°,como queríamos demonstrar.

Usando esses resultados, podemos determinar os valores de seno e cossenopara alguns outros casos particulares. Por exemplo,

sen 15° = sen (60° —45°)= sen 60°cos 45° —sen 45°cos 60°

V3V2 2 2

\/2 12 2

(VI.36)

A dúvida natural que podemos ter agora é como são obtidos os valoresde seno, cosseno etc. para qualquer ângulo. Por exemplo, como se chegou àconclusão de que sen 40° = 0, 642787609 .. .?

Deixe-me dizer que existe uma expansão para sen x (com x expresso emradianos) que é dada por

rp 3 /v»5 rp 7senz = a:- | r + | - - ^ - + . . . (VI. 3 7)

Esta relação corresponde ao que chamamos de desenvolvimento em série(de potências) da função sen x (veja Apêndice D). Este é um setor da Matemática no qual é mostrado que um conjunto do tipo {x°, x1,ar2, £3, x4, . . .}forma um conjunto completo para qualquer função contínua, isto é, qualquerfunção contínua pode ser escrita em termos desse conjunto

Por enquanto, a título de ilustração, mencionemos alguns outros desenvolvimento em série

/y>2 ~,4 ~,6

COSX = 1 - ¥ + 4 ! - 6 ! + --- (VL38)

-âra entender bem o que seja um conjunto completo, lembremos o caso dos vetores.Sabemos que qualquer vetor tridimensional pode ser escrito em termos dos vetores unitáriosí, j e k. Assim, esses unitários formam um conjunto completo para qualquer vetor do espaçotridimensional.




E e = 2, 71828 . . . é a base do sistema de logaritmos naturais (que estudaremosno capítulo seguinte).

A propósito, verifique você mesmo que substituindo x = §7r = 0, 6981.. .

(40° em radianos) na relação (VI.37) o valor sen 40° = 0, 6428... é obtido (aprecisão do resultado depende, é claro, da precisão inicial usada para x).

4. Derivada de funções trigonométricasPelo que já vimos, basta que saibamos a derivada de uma das quantidadestrigonométricas que todas as outras poderão ser deduzidas através dela. Vamos,então, obter a derivada de sen x. Para tal, como sempre fazemos, usamosdiretamente a definição de derivada dada por (III.4). Assim,

d sen (x + Ax) — sen x — sen x = lirn ------------- - ---------------dx Axô Ax

= lim Ax— ()

sen x cos Ax + sen Ax cos x —sen x Ax

= cos x lim sen Ax Axô Ax (VI. 40)

Na passagem para a segunda linha, usou-se a expansão de sen (x + A x), dada

por (VI. 16), e, na última, limAx-ô cos Ax = 1. O problema que nos resta écalcular o limite de senA x/A x quando Ax — 0. Como vemos, o valor destelimite está oculto pelo símbolo de indeterminação 0/ 0.

Não há muita dificuldade para ver quanto vale este limite. Basta lembrarda definição de um ângulo em radianos, visto na Fig. VI.2. Vamos refazer estafigura, incluindo o seno do ângulo (veja Figura VI. 10). Podemos notar, semprecisar de muito rigor, que ao se fazer ^ 0 o arcos tende a coincidir comh. Assim,

.. sen0 h/R h /Trr ...

lim —T— = lim —r— = lim —= 1 (VI.41)0 ^ 0 0 s—»os/R S O s

Substituindo este resultado em (VI.40), temos a relação que dá a derivada desen x

sen x = cos x (VI.42)dx

Antes de tratarmos da derivada de outras funções trigonométricas, façamos

algumas observações a fim de deixar bem claro o que vimos acima.(i) Primeiramente, note que a substituição de sen 0 por 0, quando 0 — 0,

está compatível com a expansão em série dada por (VI.37).




Figura VI. 10: Arco e seno relativos a6

(ü) A expressão (VI.42) é uma relação fundamental e a mais simples possívelque podemos escrever. Quero dizer o seguinte. Vamos supor que no lugar desen # você tenha senu , em que u = u(x). A derivada de senu em relação a x é dada (como você deve se lembrar) por [veja (111.14) - regra da cadeia]

d ddu — sen u = — sen u —dx du dx

= cosu ~ (VI. 43)dx

Por exemplo,

-7- sen x 2 = (cos x 2) 2# = 2# cos x 2 dx

(in) Considere, agora, que você queira derivar, em relação a #, não sen #, massen4#. Também não há dificuldades. Já vimos isto no Capítulo III (novamentea regra da cadeia).

sen4# = 4 sen3# sen x = 4 sen3# cos x dx dx

Após estas observações, podemos seguir em frente. Passemos ao cálculo daderivada de cos x. Para tal, como já sabemos a derivada de sen #, precisamosde qualquer relação envolvendo sen x e cos x. A primeira que vimos foi sen2# +cos2# = 1, dada por (VI.7). Vamos, então, calcular a derivada de cos x apartir dela. Não é necessário escrever, por exemplo, cos# = y/l — sen2# (casoo fizéssemos, teríamos de considerar também cos# = — sen2#). Vamospartir diretamente da relação inicial e derivar os dois termos em relação a #

sen2# + cos2# = 1d 2 d o ^— sen # H- — cos # = 0dx dx

d d=> 2 sen # — sen # + 2 cos # — cos # = 0dx dxàsen # cos # + cos # — cos # = 0dx

=> cos# = —sen# (VI.44)dx




É claro que poderíamos ter usado qualquer outra relação envolvendo senx e cos x . O resultado tem de ser o mesmo. Por exemplo, se tivéssemos partidode (VI.8), teríamos

7rcosx = sen ( ——x

d d / 7T— cosx = — sen ——x d x d x V2

/7r \ d = COS — — X —

\2 J d x

7r —x

= sen x (—1)

= —senx

Caso usássemos (VI.24), viria

cosx — sen ( —4-x

d_d x

COS X /7 T

C OS ( - + X

C O S ( — + %

d ( 7Tn ( l +x

= — sen x

Fica como exercício mostrar que

- j - t g x = sec2x (VI.45)d x d — cotgx = — csc2x (VI.46)

d x d — secx = secx tg x (VI.47)

d x

— cscx = —cscx cotgx (VL48)d x

Consideremos mais um exemplo. Vamos supor que seja pedido para vocêcalcular a derivada de 0 = arc senx . Também aqui não haverá dificuldadealguma se for lembrado que esta é a forma inversa da funçãox = sen 0 e que

d x

ã =c ose

d 9/d x , éo inverso do resultado acima.




d£ _ 1dx dx/dO

= (VI.49)cos0

Se você quiser que o resultado final seja expresso em termos dex [apenas

por consistência pois sua função inicial era0 ( x ) = arc sen x], tem-se

d arc sen x = d x y/l — sen2#

- 7 r b ( v u o )

que é a forma como é apresentada nas tabelas de derivadas.

Só com o intuito de deixar bem claro este ponto, vamos obter novamente arelação (VI.50), mas partindo diretamente da relaçãox = sen# e derivando osdois lados em relação à variávelx

d d o — x = — sen0d x d x

1 = cos0 — d x

cW _ 1

d x cos0 d0_ _ 1

dx y/l —X2

Deixo também como um exercício, vocês mostrarem que

d 1— arc cosx = ----- ;-----d x V l^ 2d 1

— arctgx = — — 2d x 1 + x 2 d 1

— a r cc ot gx = — — -d x 1 + X 2 d 1 — arc secx = — . =

d x x y / x 2 — 1d 1 — arc cscx = ------ ..=

d x x y / x 2 — 1

(VI.51)

(VI.52)

(VI. 53)

(VI. 54)

(VI.55)




5. Exemplo de aplicação de derivadas de funçõestrigonométricasComo aplicação de derivadas de funções trigonométricas, voltemos ao exemplodiscutido no Capítulo IV, do corpo lançado do topo de um prédio de alturah, com velocidade de módulov0 e fazendo um ângulo # com a horizontal (vejaFigura IV .5). Naquela oportunidade, achamos que o alcance A atingido pelocorpo, medido a partir da base do prédio, era dado por [veja expressão (IV.21)]

A = V° sen 9 + y/v2 sen2# + 2 gh (VI.56)

E o nosso objetivo era calcular9 para que o alcance fosse máximo. Na época,não fizemos os cálculos por falta de conhecimentos da derivada de seno e cosseno.Como isto não é mais problema para nós, vamos fazer os cálculos agora.

O alcance A é uma função de9. Pelo que já vimos sobre máximos e mínimos,no ponto em que A é o máximo, ^ = 0. Aqui, não há dúvidas de que realmente

= 0 leve a um valor de alcance máximo, pois é fácil ver que o caso de alcancemínimo (A = 0) ocorre para9 — 90°.

O que temos que fazer, então, é calcular a derivada ^ e igualar o resultadoa zero. Assim,

cos 29 —sen2# —sen9 ^/sen2# + k 4- sen^ os £_ —q (VI.57)vsen 29-\-k

Em que fizemos ^ = k apenas por questão de simplificação.Para resolver a equação acima, podemos olhar a incógnita como sendo, por

exemplo, sen9. Faça isto você mesmo. Chame sen9 de u e resolva a equaçãoobtida para a variável u. Vamos seguir um outro caminho. Com um pouco deobservação sobre (VI.57), notamos que ela pode ser reescrita como

^sen 9 + y/sen2 9 4- kj sen 9 4- ^ =0(VI.58)

O primeiro fator não pode ser zero porque, pela natureza do problema, sen9 épositivo. Então, para que a equação (VI.58) seja satisfeita, é o segundo fatorque deve se anular,

C O S 2 #—sen6 + ^ 7 = 0 (VL59)

Vsen z6 + k

Resolvendo esta equação, considerando que a variável seja sen #, encontramos

s e n 0 = ^ ( l + § ) ~ 4 (VI.60)

Note que sen# só é igual aV2/2 (que corresponderia a # = 45°) seh = 0.




6. Integrais envolvendo funções trigonométricasPelo que vimos sobre derivadas de funções trigonométricas, principalmente asrelações (VI.42) e (VI.44), podemos escrever diretamente duas integrais básicas

senxáx = —cosx + C (VI.61)

/ cos xdx = sen x + C (VI.62)

Naturalmente, observando (VI.45) - (VI.48), bem como (VI.50) - (VI.55),poderíamos escrever outras, f sec 2xdx = tgx + C; f secxtg xdx = secx + C; f dx/y/1 — x2 = arcsenx + C etc. Aliás, como sabemos, basta conhecer aexpressão de qualquer derivada que podemos escrever uma expressão para a integral correspondente. Há estudantes que, inadvertidamente, julgam necessário

decorar o maior número possível delas. E perd a de tem po e mal uso damente . E claro que, com a prática de se manusear derivadas, podemos saberde cor o resultado de algumas integrais não triviais. Vejo isto apenas comouma questão de prática e não como uma necessidade. Assim como fizemosno Capítulo V, no qual calculamos todas as integrais, envolvendo funções depotência, usando apenas uma como referência, a expressão (V.26), adicionaremos, aqui, aos nossos conhecimentos, apenas as duas integrais acima, (VI.61) e(VI.62), que, mesmo sem muita prática, já são resultados bem familiares.

Vamos a seguir apresentar o cálculo de algumas integrais.

(i) Seja a integral

li = sen2 xdx (VI.63)

Olhando para ela com um pouco de cuidado, você verá que o impulso deusar a relação fundamental do capítulo anterior, f umdu = um+1 4- C, não éapropriado poisdu seria cos xdx e não há nenhum cosseno em (VI.63). Então,a pergunta sobre o que derivamos em relação x que dá sen2 x parece não terresposta tão direta.

Pela experiência adquirida no Capítulo V, no cálculo de integrais, o que faremos é procurar modificar o integrando de tal maneira que a reposta à perguntabásica do cálculo integral possa ter resposta.

Modificaremos, então, o integrando da relação (VI.63). Para tal, usamos(VI. 15), onde fazemosa = (3 = x, isto é,

cos 2x = cos2 x — sen2 x (VI. 64)

e a combinamos com a conhecida relação da trigonometria

1 = sen2 x -f cos2 x (VI. 65)




O resultado é

1 —eos 2x = 2 sen2 x (VI.66)

Como vemos, a relação acima permite a substituição de sen2 x por |(1cos2x). Assim, em lugar de (VI.63), temos a integral equivalente

J l = 2J (l — cos2x)dx (VI.67)

cuja solução é obtida sem dificuldade. Assim, a solução da integral inicial é

/l i

sen2 x d x = - x —- sen 2 x + C (VI.68)

Não deixe de verificar, caso esteja com alguma dúvida, que derivando o ladodireito de (VI.68), obtém-se realmente sen2#.

(ii) E claro que pode haver mais de um meio de se fazer a modificaçãodo integrando para tentar a solução da integral. Uns podem levar a soluçõesmais simples que outras (às vezes, até, pode não levar à solução alguma). Asubstituição que fizemos para resolver (VI.63) permitiu-nos uma solução semmaiores dificuldades. A título de ilustração, vamos resolvê-la através de umaoutra modificação, cujo processo será útil no cálculo de outras integrais.

Façamos, então,

sen2 x dx = sen x sen x dx= —sen x d(cos x)= —<i(sen x cos x) + cos x c!(sen x)= —d (sen x cos x) + cos2 x dx= —d(senx cos#) + (1 —sen2 x) dx= —d(senxcosx) + dx — sen2 xdx

=> sen2 x dx = ^ dx — d(sen x cos x) (VI.69) Zi Lu

Substituindo em (VI.63), obteremos duas integrais (bem triviais)

sen2 xdx = ^ J dx — J d( sen x cos x)

= — x — i sen o: cos x +C (VI.70)

É claro que as soluções (VI.68) e (VI.70) são idêntidas (como não poderia deixarde ser), pois sen xcosx = |sen2# [veja (VI. 16) fazendoa = (3 = x].




A propósito, o que fizemos acima foi uma integração por partes.

(in) Seja a integral

I 2 = í sen 4 xdx (VI.71)

Poderíamos escrever sen4# = sen2# sen2#, usar (YI.66) e tentar um desenvolvimento parecido com o que fizemos no item (á). Vou deixar este caminhopara vocês. Ele funciona. Vou seguir o que fizemos no item(ii).

sen4 xdx = sen3 # sen #dx = —sen3 # <i(cos #)= —d(sen3#cos #)+cos#d (sen3 #)= —d(sen3# cos #)+3 cos2 # sen2dx = —d(sen3# cos #)+ 3(1 —sen2 #) sen2 #dx = —d(sen3# cos #) -f 3sen2#dx — 3sen4#dx

3 1=> sen4# dx = - sen2 xdx — - d( sen3 # cos#) (VI.72)

Pela relação acima, vemos que a integral (VI.71) recairá na integral que vimosanteriormente. Assim, usando aquele resultado, temos

J sen4 xdx = J sen2 xdx — j J d( sen3 # cos#)

3 1 1= - # — - sen#cos#—- sen3 #cos# +C (VI.73)8 8 4

Por este desenvolvimento é fácil perceber que o cálculo de qualquer integraldo tipo f sennxdx (ou f cosnxdx), para n par, sempre recai numa integral f senn~2 xdx (ou f cosn~2 xdx). No caso den ímpar, a solução é mais direta(veja exercícios).

Você se lembra do que falei sobre decorar relações de derivadas para saberqual a integral correspondente? Por exemplo, você poderia decorar que de-rivando-se § # — | sen # cos # —\ sen3 # cos # dá sen4 # e, assim, saber de cor f sen4 #dx. Mesmo que você consiga fazer isto para alguns casos, você não irámuito longe. Há um número infinito delas.

Você pode então perguntar, por exemplo, como vou saber que f sec2 #dx dátg# + C se não lembrar da relação (VI.45)?

Como disse, nada impede que você, com alguma prática, acabe sabendo umcerto número de integrais de cor. E até natural que isto aconteça. Entretanto, por questões didáticas, vamos considerar, pelo menos por enquanto, só astrês integrais que estamos usando, (V.26), (VI.61) e (VI.62). Qualquer integral




correspondente às derivadas (VI.45)-(VI.48) e (VL50)-(VI.55), podem ser feitas com o uso de relações trigonométricas e das integrais acima mencionadas. Veremos alguns exemplos no final desta seção e deixaremos o restante para serfeito como exercício.

(iv) No capítulo anterior, vimos integrais em que apareciam raiz quadradaem termos do tipo xy/l -f x2 e x3y/l + x2. Não vimos nenhuma só com y/l + x2 ou y/l —x2. Isto porque a relação fundamental que estávamos usando, (V.26),não se aplicava nestes casos. Agora, com o conhecimento de algumas relaçõestrigonométricas, é possível fazer modificações nos integrandos correspondentes,de forma tal que as integrais possam ser resolvidas. Vamos ver dois exemplosaqui. Outros serão propostos como exercícios.

Primeiramente, consideremos a integral

Is — J y/l —x 2 dx (VI.74)

Com o uso da relação (VI.7), podemos facilmente mudar o integrando de (VI.74)e cair numa outra integral sem a raiz quadrada. Fazendo, então,

x = sen 9

temos

y/l - x2 ~ y/l - sen2 9 = cos9 e dx = cos9 d9

substituindo estas quantidades em (VI. 74), obtemos

Is = [ cos29 d9 (VI.75)

Como vemos, com a substituição de x por sen#, caímos numa integral quesabemos resolver. E também oportuno dizer que esta substituição está compatível com a natureza da variável x que aparece na expressão inicial, pois y/l — x2 implica que —l < x < l , e x = sen9 (poderia ser x = cos#) só é definida dentrodesta mesma região.

A solução de (VI.75) é similar ao que fizemos para resolver f sen2#d#. Oresultado é

J cos2edO = i e + i sen 26» + C (VI. 76)

Usando novamente x = sen #, podemos voltar à variável inicial. Temos então,

J y / T ^ d x = i arcsen* + y / T ^ 2 + C (VL77)




A outra integral que consideraremos é

_ r dx4 J (1 + æ2)3/ 2

(VI.78)

Agora, a substituição não pode ser a que fizemos no caso anterior (note que avariável x não está mais restrita aos limites ±1). Entretanto, podemos usar amesma relação (VI.7) para fazer uma outra substituição. Dividindo-se ambosos lados de (VI.7) por cos2#, obtemos,

1 + tg2 # = sec2 # (VI.79)

Poderíamos ter dividido por sen2 # também. Neste caso, o resultado seria

1 + cotg29 = csc2 # (VI.80)

Tanto faz usar uma como a outra. Vamos nos apoiar em (VI.79). Assim,substituindo no integrando de (VI.78) x por tg#, temos

1 + x 2 = sec29 e dx = dtg 9 = sec29 d9

Levando essas quantidades na relação inicial (VI.78), a integral I4 fica

h = / ^ Â d esec39

= J cos9d9

= sen 9-hC (VI.81)

Para voltar à variável inicial x, temos de escrever sen9 em termos de tg#.

1sen# =

C S C #

1a/i + cotg20

11/1 + 1/tg29

1

v/ l + 1/z 2, Æ (VI.82)

vTTz2




Portanto,

í dx x(1 + X2)3/ 2 y/l + X 2 + C (VI.83)

(v) Varios outros exemplos serão apresentados nos exercícios. Vamos, agora,para completar esta parte prática de cálculo de integrais envolvendo (também)funções trigonométricas, voltar à pergunta que tinha feito acima, referindo-se àsrelações (VI.45)-(VI.48) e (VI.50)-(VI.55), como vou saber, por exemplo, quea integral de secxtgx ésecx se não souber de cor a relação (VI.47).

Vamos responder esta pergunta em particular (deixaremos as demais respostas para os exercícios). Mostraremos, então, que

J sec x tg x dx = sec x + C (VI.84)

Desenvolvendo convenientemente o integrando da relação acima, temos

1 senx _sec x tg x dx = --------------- dxcosx cosx— cos 2xd cosx

Portanto,

sec x tg x dx = —J cos 2 x d cos x

1 + Ccosx sec x + C

Para finalizar, seja um dos exemplos de (VI.50)-(VI.55) (os demais tambémficarão para os exercícios). Mostraremos aqui que

í dx —arc sen x + C (VI.85)

y/l —x 2

Pelo que já vimos, a solução da integral acima sugere diretamente uma substituição trigonométrica do tipo x = sen6. Assim y/l —x 2 = cos6 e dx = cos 6 dO. Portanto,

dxdO y/l — X 2

= 0 + C = arc sen x + C




Apenas por questão de consistência, para a solução apresentada acima, deixe-me fazer um comentário. Nós substituímos x por sen # no integrando e achamosque o resultado foi arcsenx +C. Naturalmente, poderíamos ter substituído x por cos #. 0 resultado, é claro, tem de ser o mesmo. Vejamos.

A resposta encontrada, embora de aspecto diferente, é igual à anterior, amenos de uma constante (o que, para o resultado da integral, é irrelevante).

Vejamos. Na penúltima passagem acima, podemos, perfeitamente, substituir oresultado encontrado por ~ —#-f(7/. No qualC' é uma outra constante. Comovimos na relação (VI.8), se6 é o arco cujo cosseno vale #, Ç — # é o arco cujoseno vale x. Portanto, como não poderia deixar de ser, as duas respostas sãorealmente equivalentes.

7. Exemplo de integrais na geometriaO que fizemos no item anterior nada mais foi do que praticar o cálculo deintegrais envolvendo (ou usando) funções trigonométricas. Vamos, nesta seção,bem como nas seguintes, voltar nossa atenção para as aplicações.

Acho oportuno relembrar o início da seção 5 do captíulo anterior, quando sintetizamos, em três etapas, o processo de integração, aplicado a um determinadoproblema. Esses itens eram:

• Identificar o elemento infinitesimal a ser integrado.• Preparar este elemento de forma que a integração possa ser feita. Isto

é, ele deve ser do tipo f(ú) du. Em que w, como já dissemos, é uma variávelgenérica qualquer.

• Por fim, após ter preparado o elemento diferencial para ter a forma f(u) du,você tem de saber qual função cuja derivada em relação au dá fin).

(i) Como primeira aplicação, vamos usar a integral para calcular a área deum círculo de raio R e ver como ela nos leva à conhecida relaçãott R2 .

O primeiro passo é identificar no círculo o elemento diferencial que vamosintegrar. Veja Figura VI. 11, na qual identificamos o elemento diferencial comosendo um retângulo de altura y e largura dx. Portanto, o elemento de área é

O próximo passo é prepará-lo, isto é, escrevê-lo da forma f(x ) dx para que aintegração possa ser feita. Como y corresponde a pontos da periferia do círculo,

Se tivéssemos substituído x por cos#, teríamos y/l —x2 = sen# e dx =—sen#d#. Assim,

- # + C

—arc cos x + C

d A — y dx (VI.86)




podemos usar a equação x 2 + y2 = R2 para obter y em função de x, ou seja, y = \/R2 —x2. Substituindo este resultado em (VI.86), temos

d A = \J R2 —x 2 dx (VI.87)

Pronto! o elemento diferencial está em condições de ser integrado. Comoestamos interessados no cálculo da área (um problema que só interessa o módulodos resultados), podemos aproveitar a simetria da figura e integrar apenas noprimeiro quadrante (onde é tudo positivo) e multiplicar o resultado por quatro. Assim, podemos escrever que a área do círculo é dada por

Af R

= 4 / V r 2 - J 0 x2 dx (VI.88)

Esta integral nos é familiar. Ela apareceu nos vários exemplos mostradosna seção anterior. Para calculá-la, fazemos a substituição trigonométrica x =.físen#, o que acarreta y/R2 —x2 = RcosQ e dx = R cos 6 d6. Assim, a integralde (VI.88) transforma-se em

J \J R2 —x 2 dx = R2 J cos20 dO (VI.89)

No final, quando voltarmos à variável inicial, colocaremos novamente os limitesde integração. A substituição trigonométrica aqui nos levou a uma integral decos20 d9. Esta integral também já foi resolvida na seção anterior [veja (VI.76)].O resultado é




Em que, na última passagem, voltamos à variável inicial x. Assim, agora quesabemos o resultado da integral que aparece em (VI.88), podemos substituir oslimites correspondentes e calcular a área do círculo,

= 7T R2

(ii) No capítulo anterior, quando fizemos uma aplicação de integrais nocálculo do volume da esfera, vimos que, dependendo da escolha do elementodiferencial, os cálculos poderiam se tornar mais simples num caso que noutro. Aqui não é diferente. Embora o cálculo acima, para obter a área do círculo, nãotenha sido complicado (pelo contrário, usamos diretamente resultados vistos naseçao anterior) poderia, mesmo assim, ter sido mais simples.

O (pouco) trabalho a mais que tivemos foi porque usamos coordenadas cartesianas retangulares. Poderia haver mais simplicidade se tivéssemos usado umtipo de coordenada mais adequado à geometria do problema. No caso, essas coordenadas seriam as chamadas coordenadas polares. Estas são as coordenadasr e 9 mostradas na Figura VI. 12, na qual vemos que o ponto P, usualmentelocalizado pelas coordenadas cartesianas (x, y), pode também ser perfeitamentelocalizado por elas. Para se ter uma ideia da simplicidade do uso de coordenadaspolares no problema que estudamos, basta lembrar que a equação do círculo deraio R, em coordenadas polares, é dada simplesmente porr = R, comparativamente ao caso de x2 + y2 = R2 das coordenadas cartesianas. Obviamente, sea figura fosse de simetria retangular, as coordenadas cartesianas poderiam sermais adequadas.

(in) Voltemos ao cálculo da área do círculo, mas usando agora coordenadaspolares. Vou começar com o elemento diferencial mostrado na Figura VI. 13(aproximadamente um retângulo infinitesimal de ladosr d9 e dr ) .

d A = rd9 dr= rdrd9 (VI.91)

O fato de haver duas quantidades infinitesimais(dr e d9) nãoé problemapara a gente. Este é um caso (simples) de integração dupla, visto na Seção 6




do capítulo anterior. Os limites são zero e R para r e zéro e2n para 6. Como aintegral de uma variável não interfere com a da outra temos, então, que a áreaé dada por

r R /» 2n= / r d r , [

Jo 01 2= - r

R 0 27r2 0 0

= 7TR2

Figura V .12: Coordenadas cartesianas e polares




(iv) Poderíamos ter calculado a área do círculo usando coordenadas polaressem recorrer à integração dupla? A resposta é sim. As Figuras VI. 14 e VI. 15mostram dois elementos diferenciais em coordenadas polares correspondentes aintegrais simples.

No caso da Figura VI. 14, o elemento de área é uma tira de comprimento 27rr e largura dr. Assim,

d A = 2n r dr (VI. 92)




e o cálculo da área é

A = f R2* J í R27Tr0

7TR*)

Para a Figura VI. 15, o elemento de área é um triángulo de baseds = RdO e altura R. Portanto, neste caso,

dA = -R ? dd2

(VI.93)

O cálculo da área é também muito simples,

1 r*27T

A = - R 2 / d0 2 Jo= 7T R2

Fica como um exercício calcular a área do círculo usando integrais duplas ecoordenadas cartesianas retangulares.

(v) Vamos completar esta seção usando integrais para resolver outro conhecido problema, o perímetro do círculo. Faremos, também, comparações entre ouso de coordenadas cartesianas e polares.

Vamos usar primeiro coordenadas cartesianas. Para tal, tomamos um elemento infinitesimal, ds, sobre o círculo (veja a Figura VI. 16). Vemos que eleé a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos sãodx e dy. Assim,podemos escrever (você já deve ter se deparado com esta expressão na resoluçãodo exercício V.7)

ds = yj (dx)2 + (dy)2

Convenientemente, a reescrevemos como

ds = dx (VI.95)

Devido à simetría do problema, temos que o perímetro p do círculo pode ser

dado por

(VI.94)




Como J é a derivada de y com respeito a x em pontos do círculo, temos,derivando diretamente a equação do círculo.

2a=+2» i dy _ x

dx y

= 0

(VI.97)

vt

Figura VI. 16: Elemento infinitesinal em coordenas cartesianas

Substituindo este resultado em (VI.96), vem

p = 4

= 4

R 1 x21 + -7? dx

o v ydx

io v y

= 4r [ X Í Í J o y

= AR dx(VI.98)

A resolução da integral acima é familiar. Como de praxe, evitamos o problemada raiz quadrada com uma substituição do tipo x = R sen 0 (estou usando umaoutra variável para não dizer que ela tem de ser necessariamente a variável0




das coordenadas polares). Com isto,\JR? —x 2 = Rcoscj) e dx = R cos <j)d<fr. Fazendo essas substituições no elemento diferencial da integral, vemos que elefica proporcional ad<j). A integral é portanto<\>ou arc sen Assim, substituindoesse resultado em (VI.98), temos

x ^ p = 4j R arc sen — R o

= 4 P ( | - 0 )

= 2it R (VI. 99)

que é a conhecida expressão do perímeto do círculo.

Usando agora coordenadas polares, temos que o elemento infinitesimalds é dado por (veja Figura VI. 17)

ds = RdO (VI. 100)

O perímetro é então diretamente calculado /»27T

p = R d0 = 2itR J o

Fica patente neste exemplo que a escolha de coordenadas apropriadas pode fazercom que o problema fique extremamente simples.




8. Exemplo de integrais trigonométricas em física básicaNo exercício 15 do Capítulo V, considerou-se um corpo de massa ra, movimentando-se sobre o eixo x sob a ação da força de uma mola de constante elástica k. Foi pedido, naquela oportunidade, para se obter a velocidade do corpo em cada

ponto, v(x), com a condição de que tenha partido do repouso, emt = 0 e x = A. Vamos aqui calcular a posição do corpo em cada instante, x(t).Primeiramente, relembremos o cálculo dev(x). O que temos de fazer, ini

cialmente, é identificar o elemento diferencial característico do problema. Nocaso, ele é obtido usando-se a segunda lei de Newton. Como a resultante dasforças que atuam sobre o corpo é só a força da mola, — kx (o problema é numadimensão, não há necessidade de se usar a notação vetorial - o sentido da forçaé dado pelo sinal da variável x), temos

d?? —kx = m-y- (VI.101)

dt

No elemento diferencial acima há três variáveis envolvidas. Portanto, do jeitoem que está, não há como se escrever um elemento diferencial do tipo f(u) du. Já nos deparamos com uma situação bem semelhante ao ter que manipular arelação (V.18), no exemplo discutido na Seção 3 do capítulo anterior. Aqui, oprocedimento é o mesmo. Usando a regra da cadeia, escrevemos ^ =

Levando este resultado em (VI.101), podemos escrever o elemento diferencial

vdv = - — x dx (VI. 102)m

No qual, como vemos, os dois lados da expressão são do tipo f(u) du. Assim,podemos proceder à integração. O resultado é

(VI. 103)

Vemos que o movimento da partícula sob a ação da força da mola é limitado a

—A < x < A . Vamos calcular agora a posição da partícula em cada instante. Substituindo

v por dx/dt na expressão acima, identificamos o elemento diferencial e não háproblema algum em prepará-lo para a integração. E fácil ver que a forma doelemento diferencial a ser integrado é

------ 2 " - (VL104)V A 2—x2

Escrevendo as integrais e colocando os limites de integração correspondentestemos

'Ad* = ^ f d t (VI.1.05)

VÃ2 - x2 Vm




Observamos que a integral do lado esquerdo é do tipo que pode ser resolvidapor uma substituição trigonométrica. A esta altura, a sua solução já nos ébem familiar. Vamos resolvê-la, não custa nada. Estamos sempre substituindoa variável por uma função seno. Usemos agora cosseno. Fazendo,então, x = A cos9, temos VA2 —x2 = A sen 9 e dx = —A sen 9 d9. Levando essesresultadosna integral que aparece do lado esquerdo de (VI. 105), temos

Í : p :... = - í dd J \JA 2 — x2 J = - 0 + C

x= —arc cos — -fC

A

Substituindo este resultado em (VI. 105), vem

—arc cos -

=> —arc cos -

=> x = A cos

=¿> x = A cos

Sendo que, na última passagem, usou-se a relação trigonométrica (VI.22).

Este é o conhecido resultado do movimento harmônico simples. O importante a ser destacado é que chegamos a ele sem recorrer a nenhuma hipóteseadicional. Só usamos a Física e a Matemática. No Apêndice C, a título deilustração, veremos como este problema pode ser resolvido através da soluçãode equação diferencial (e não por integrais).

9. Exemplo de integrais trigonométricas num problema de probabilidadesQual a probabilidade de uma agulha de comprimento jogada aleatoriamentesobre uma superfície horizontal, contendo linhas paralelas igualmente espaçadasde t , ficar sobre uma das linhas? (veja Figura VI. 18).

Este problema, proposto no século XVIII pelo Comandante Buífon, SirGeorges-Louis Leclere, ficou conhecido como “Agulha de Buffon” . O interessedespertado por ele, como veremos, é que corresponde a uma experiência es

tatística para obtenção do número (irracional)7r.

Antes de começar a tratar do problema diretamente, vamos falar um poucosobre probabilidades. Sem dúvida, todos já viram um juiz, antes do início de




uma competição desportiva, usar uma moeda para decidir quem vai sair primeiro, de que lado vai ficar cada time etc. Pois bem, este simples procedimentoé um exemplo de probabilidade. Há 50% de chance para dar “cara” ou “co-roa” . Podemos dizer, também, que a probabilidade de dar um caso ou outro é1/2. Não é difícil perceber que no caso de dados, a probabilidade de dar umadeterminada face para cima é de 1/ 6.

agulha

- f

Figura VI. 18: Exemplo de quando a agulha cai sobre a linha

Não precisaremos mais do que esses dois objetos (uma moeda e um dado)para entender o fundamento de probabilidade que será apresentado. Supondo,agora, que você jogue o dado e a moeda, qual a probabilidade de dar, porexemplo, “cara” na moeda e o número três no dado? Há doze possibilidades (acada face do dado pode estar associada o lado “cara” ou “coroa” da moeda).Portanto, a probabilidade é de 1/12.

Assim, a probabilidade conjunta desses dois objetos (que são distintos) é oproduto das duas probabilidades individuais, ou seja

A = l X 7 (VI. 107)12 2 6 v ’

Realmente, é só isso de que precisaremos para entender a solução do problema proposto. Entretanto, não custa nada falar mais um pouco sobre o caso dequando os dois objetos são idênticos, por exemplo, duas moedas ou dois dadosiguais. Vamos ficar com as duas moedas. Se você jogar as duas moedas (ou

jogar uma moeda duas vezes - dá no mesmo), você tem quatro possibilidadesde resultado, como mostra a Figura VI. 19.

Vemos que pode dar “cara-cara” , “cara-coroa” , “coroa-cara” e “coroa-coroa” .No caso de dar “cara” numa moeda e “coroa” na outra, há duas possibilidades entre as quatro. Assim, a probabilidade para este caso é de 1/ 2. Para




“cara-cara” (ou “coroa-coroa” ), só há uma possibilidade entre as quatro e aprobabilidade é, portanto, 1/4.

©©(0 )

ôroa^

ãra

©r ^ \í coroa J

Figura VI. 19: Exemplo com duas moedas iguais

“cara”Isto não quer dizer que se você jogar uma moeda para cima uma vez e der

, na outra vez tem de dar “coroa” , ou é mais provável que dê “coroa” .Significa sim que, dentro do conjunto de jogadas das duas moedas, existe umaprobabilidade de 1/4 de dar “cara” duas vezes. Será que é difícil jogar uma moeda para cima 30 vezes e dar 30 “caras” ? Tente você mesmo para experimentar.Caso você consiga em poucas tentativas, posso afirmar que você é uma pessoade muita sorte. Dar seguidamente 30 “caras” (ou 30 “coroas” ) é vinte vezesmais difícil que ganhar sozinho na mega sena, com uma só aposta!

Vamos voltar ao nosso problema. Consideremost > l (isto não muda muitona característica do problema). Seja a; a distância do centro da agulha à linhamais próxima e0 o ângulo entre a linha e a agulha (veja Figura VI.20)

Portanto, em relação à linha mais próxima, x pode estar entre 0 e t/2 e oângulo 0 pode estar entre 0 e 7r. Estes são os valores possíveis de x e #, assimcomo dois eram os valores possíveis das faces de uma moeda e seis eram osvalores possíveis das faces de um dado. A única diferença entre os dois casos éque as variáveis x e 0 são contínuas e lá eram discretas. Raciocinaremos, então,com os elementos diferenciaisdx e d0, que, como sabemos, representam valoresentre x e x + d x , e 0 e 0 -f-d0. Portanto, a probabilidade de a variável x estarentre x e x + d x é f j^ = e a correspondente probabilidade para a variável0 é

Assim como a moeda e o dado, as variáveis x e 0 são independentes,probabilidade conjunta para os dois eventos, que chamaremos dedP é

A




dP = 2dx dOt 7T

= — dx d67r t

(VI. 108)

//]

Figura VI.20: Localização da agulha em relação às linhas

Identificamos o elemento diferencial do problema e ele está pronto para serintegrado (será uma integração dupla bem simples).

O nosso objetivo é saber sobre a probabilidade de a agulha cruzar a linha. Vemos que isto ocorrerá se x < | sen 0. Assim, as integrações que deveremosfazer para achar a probabilidade de a agulha cruzar a linha são

P =•Tv í‘{l / 2 ) s e n 9 c%

/ — dx dOo J o ^2 í n l

— / - sen0 dOTTtJo 2l k

------ cos07rt o21_7rt (VI. 109)

Começamos com a integração em x porque seus limites dependiam de6.

Experimentalmente, joga-se uma agulha N vezes sobre a superfície (quantomaior iV, melhor a questão da estatística). Se desses N eventos,n deles cruzaremuma das linhas, teremos que probabilidade ên/N. Substituindo este resultadoem (VI. 109), temos

N 7Tt




Usualmente considera-set = l. Assim, pode-se escrever um interessante valorestatístico para 7r

2N 7T= ---- (VI.111)n

Este resultado é que levou ao grande interesse pelo problema. Temos umamaneira de relacionar o número irracional 7r com um problema de estatística. Várias e várias experiências foram feitas comprovando o resultado desteinteressante problema. Atualmente, é um exemplo corriqueiro nos projetos deiniciação científica. Você mesmo pode planejar um mecanismo para realizá-lo.Entretanto, há programas que simulam essa experiência no computador. Muitosdeles (um número muito grande) estãoon line. Caso você esteja interessado,basta acessar o Google e procurar por Buffon agulha ou BufFon needle.

Exercícios1. Deduzir as relações (VI. 13) e (VI. 14).

2. Deduzir as relações (VI.28), (VI.29) e (VI.30).

3. Deduzir as relações (VI.51) - (VI.55).

4. Deduzir as relações (VI.45), (VI.46), (VI.47) e (VI.48).

5. Calcular a derivada das seguintes funções em relação à variável corres

pondente

(a) y = sen ax2(b) x = sen V l + 0

(c) s = cos \/l + at2(d) y = sen3 x2

(e) u = cos2V

( / ) y = 2 sen x cos x(5) y = sen 2scosa;

(h)sen#

p ~ e(0 x = tg36

(?) x = ^tg3 0 —tg9 + e

(k) X y = xsen —

(0 0 = arc tg 3x

(m) 0 = arc tg y/x(n) 0 = x arc sen x(o) 0 = x2 arc tg 2x




(p) 0 = arc sen (cos x —x2)(q) 0 = arc sen # + arc cos x

---- rp(r) 6 = x V a2 —x2 + a2 arc sen -a(s) y = y/2 4- cos 2x(t) y2 = sen4 2x 4- cos4 2x

6. Calcular dy/dx das seguintes funções

(a) x = sen y(b) x = sen y2(c) x — sen3 y2

(d) x = arc sen y(e) x = arc tg y

(/) x = arc sen (cos x —x 2)(g) sen3 y + cos3 y = #3m x sen 2y = y cos 2#

(<) y = cos 0 - y)

7. Calcular a derivada segunda de cada uma das funções em relação àvariável correspondente.

(a) y = sen kx(b) u = tg v

(id) y = x cos x

8. Acheos ângulos de interseção de cada um dos pares de curva

(a) y = sen x e y = cos x(b) y = tg x e y = cotg x(c) y = cos x e y = sen 2#

9. Ache o máximo, mínimo e pontos de inflexão nos intervalos indicados

(a) y — \ x ~ sen x (â2yr)(b) y = 2x — tg x (0a 7r)(c) y = tg x —Ax (0a 7r)(d) y = 3 sen # —4 cos x (0 a 27t)(e) y —sen 7nr —cosnx (0 a 2)




10. Calcule o ponto máximo de

y = a sen x + b cos x

11. Calcule as seguintes integrais (use o método que julgar mais apropriado)

(a) / sen2xcosxdx

(b) / cos4 x sen x dx I o

r*7r/2

(c) / xsen(2 x2)dx J 0(d) / sen5 x cos xdx J o(e) J arc sen xdx

( /) J x sen xdx

(g) J xco sx dx

(h) j x2 sen x dx

(i) J x2 cos x dx

( j ) J x3 cos x2 dx

(k) / x2 cos x dx J —7T

(Z) J x2 cos x3 dx

(m) j cos 4xdx

(ri) J cos6xdx

(o) J cos 3xdx

(p) J cos 5xdx

(q) / cos7 x dx

(r) J sen2 x cos3 x dx

I* dxJ V9 — x2(«)

Capítulo VI - Funções trigonométricas 103



(mm)

(nn)

(aa) J cos 4xdxç - k/2

(ibb) / sen3 x cos x dx J o

(cc) / sen2 æcos x dx J o

/7n f 1/ 2 arc sen x _(* 9 / , 9dx

J o v 1 - cc2 f1arctgx

^ J0 i + X2 ^

( // ) / £ sen dx J o

(##) J xarc tgxdx

(hh) J x arc cos £ dx

(ii) / arc sen x dx

m ¡ 7 é ^ ix

m ¡ 7 ^ dx

<“> I v é ^ ixdx

I (1 + x 2)3/ 2r4 dx

l0 (16+ x2)2




(<%>) í X 4 V a2 — X 2 d x Jo

12. Mostre que

I senmx sen nx dx =+7T

0 s e m / n

7T s em = n

13. Calcular a área do círculo, em coordenadas cartesianas, usando integração dupla.

14*. Calcular a área da elipse, cuja equação em coordenas cartesianas édada por (veja Figura VI.21)

(O uso da equação da elipse em coordenadas polares, para o cálculo da área,levaria a uma integral cuja solução estaria fora do que aprendemos aqui.)

15. Calcular o comprimento da curva, em que as coordenas x e y são dadaspor x = cos 31 e y = sen31, entre t = 0 e t = 7r/4.

16*. Achar o comprimento do laço da curvar = a(l + cos0) (dado emcoordenas polares). Calcular também a área da figura.

17. Calcular o comprimento der = cos 0 entre —7r /2 e 7r /2.

yb

ax

Figura VI.21: Elipse com centro na origem

Capítulo VI - Funções trigonométricas 105



18. Ache a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas (dadas emcoordenadas polares)

(a) r = 10 cos6(b) r = 1 —cos0(c) r = V 1 - cos 6(d) r = 2 + sen 20(e) r = 1 —sen0




Capítulo VIIFunções exponenciais elogarítmicas

1. IntroduçãoNo Capítulo II, introduzimos o conceito de funções de potência, que são funçõesdo tipo

no qual o expoenten é um número inteiro ou fracionário. As funções exponenciais, como também dissemos naquela oportunidade, são

uma generalização das funções de potência no qual o expoente, agora, pode ser

qualquer número real. Assim, dizemos que

O logaritmo nada mais é do que uma outra maneira de se reescrever umafunção exponencial (ou uma função de potência num caso particular) em que oexpoente é explicitado. Seja, por exemplo, a própria relação (VII.2). Dizemosque o expoente x é o logaritmo de y na base a. Matematicamente, isto é escritoda seguinte forma

y = x,n (VII.l)

y = a X (VII.2)

é uma função exponencial na basea (também não há restrições quanto aosvalores de a).

Como exemplos de funções exponenciais, temos

y = 5sen* y = 7TX etc.

(VII.3)



Exemplos

3 = log2 82 = log3 9

\ = log4 2

0,30103 = log10 20,47712 = log10 3

Por convenção, não se escreve o valor da base quando ela for 10. Assim, nosdois últimos exemplos acima, é mais comum a notação

log 2 = 0,30103 ...log 3 = 0,47712 ...

A base 10 é uma base usual para se tratar logaritmos. Uma outra base usual éo número irracional e = 2, 718... Falaremos daqui a pouco sobre o porquê dese usar este número irracional como base.

Vamos concluir esta seção relembrando alguns valores particulares de logaritmo bem como suas propriedades (que são facilmente verificadas através dasua relação de definição VII.3).

(i) loga 1 = 0(ii) logaa = 1(in) loga 0 = —oo(m>) log0(MN) = log0 M + log0 N

M (v) loga — = logn M - loga N

(vi) loga N h = h loga N (VII.4)

2. Derivada das funções exponencial e logarítmica Vamos começar com a função logarítmica. Pela definição de derivada temos

i .b g .x = lim + (vn.5)dx a Ax->0 Ax v '

Usando as propriedades (w) e(vi) dos logaritmos, dadas em (VII.4), e fazendopequenas manipulações algébricas, vem




O problema que temos está em determinar um limite do tipo

lim f l + 1 ) = 1°°h ^ Q C \ f l J

(VII. 7)

que não está visível devido ao símbolo de indeterminação 1°°. Para obter esselimite, usamos a expansão binomial (11.27), que tínhamos adiantado ser válidapara qualquer valor do expoente (o que é confirmado no Apêndice D). Assim,

lim f 1 + rh —KX> \ fl

limh —>oo

' ,1 h(h - 1) 11 + '*Ã + - 4 r J i ? +

, , 1 1 11 + 1 + 2! + 3! + 4! + (VIL8)

Mostra-se que esta série é convergente. O resultado é um número irracionalque é chamado de e. Os seus quatro primeiros algarismos significativos são (oque pode ser facilmente verificado somando-se alguns termos de VII.8)

e = 2, 718 (VII. 9)

Substituindo o limite (VII.8) em (VII.6), temos

I < * • * = ; i»8- '(Vll.10)

Agora entendemos porque é comum considerar um sistema de logaritmos noqual a base é o próprio número e (que é representado por In). A derivada dafunção \nx é simplesmente dada por

d , 1— mx = —dx x(VII. 11)

Fica como um exercício mostrar que

d_dx ax = au

!ogae(VII. 12)

Capítulo VII - Funções exponenciais e logarítmicas



e, consequentemente,

<d_dx (VII. 13)

Poderíamos, também, ter iniciado com a dedução de (VII. 12) e, depois, obter(VII. 10), como caso particular. Faça isso também como exercício.

3. Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicasO que estamos vendo aqui, completa a relação (V.26)

Isto é, naquela oportunidade, chamamos a atenção de que m / - l , Agora, pelarelação (VII. 11), temos o caso em quem = — 1

outras integrações serão vistas diretamente nos exercícios.

4. Um exemplo de Física BásicaUm corpo caindo verticalmente sob a ação apenas da força gravitacional é umconhecido problema dos cursos de segundo grau. Geralmente, toma-se como

deturpação dos fundamentos da Mecânica. Ele pode levar o estudante a muitasdúvidas quando do tratamento de problemas um pouco mais complexos, nosquais não seja possível a aplicação dessa “regra” .

Vamos considerar um desses problemas nesta seção, e, para não termosdúvidas, solicito que o estudante esqueça tudo que viu sobre a “regra” acima.

Seja, então, um corpo caindo verticalmente sob a ação da força gravitacional,

mas consideraremos, também, a força de atrito viscoso (causada pelo choquedo corpo com as moléculas de ar). A expressão desta força, para velocidadesnão muito altas, é dada por —bv (o sinal menos indica que ela possui sentidocontrário à velocidadev). b é um parâmetro constante que é característico da

(VII. 14)

Pela relação (VII. 13), também temos que

(VII.15)

regra a substituição de a por g nas também conhecidas relações da cinemáticacom aceleração constante. Isto é feito sem passar pela Segunda Lei de Newtone pela Lei da Gravitação (também devida a Newton). Este procedimento é uma




forma do corpo (por exemplo, uma folha de papel aberta possui umb maior doque a mesma folha amassada) e da densidade do meio (para um mesmo corpo,na água o b é maior do que no ar). A Figura VII. 1 mostra a posição do corponum ponto qualquer da trajetória vertical, com as duas forças atuando sobre ele(a gravitacional e a de atrito viscoso).

- 0

m

bv

v mg

^ yFigura VII. 1: Corpo caindo verticalmente com atrito viscoso

A força resultante que atua sobre o corpo é dada por —*

F = mg —bv (VII. 16)

Como o movimento se processa numa única dimensão, não há necessidade danotação vetorial de forma explícita, pois a linha reta é a direção do movimentoe os sinais mais ou menos caracterizam o seu sentido (de acordo com a orientação convencionada para o eixo). Assim, em lugar de (VII. 16), podemossimplesmente escrever

F = mg —bv (VII. 17)

De acordo com o que estabele a Segunda Lei de Newton, temos que a resultanteé igual a ma. Assim, fazendo esta substituição em (VII. 17), em que não estamosconsiderando explicitamente a notação vetorial, temos

mg —bv = ma (VII. 18)

Usando a definição de aceleração,a = dv/dt , na expressão acima, vem

dvm— = mg —bv (VII. 19)(JLL




em que obtemos o seguinte elemento diferencial, já preparado para integração,

mdvmg —bv = dt (VII. 20)

Para integrar, consideremos que o movimento obedeça às seguintes condiçõesde contorno: t = 0, y = 0 e v = 0 (o corpo parte da origem e em repouso). Assim,

m f v —bdv .= / dt

In

b J q mg —bv mg —bv bt

o

mg mbv _bt=> 1-------- = e mmg

=> v = ( ' l - e - ™) (VII.21)

Notamos que para t —» oo,v = mg/b (constante), significando que a forçade atrito vai aumentando com a velocidade até atingir um valor máximo, queé igual ao peso (isto ocorre, teoricamente, num tempo infinito). A partir daío corpo possui resultante nula e sua velocidade passa a ser, consequentemente,constante (este é o mesmo caso, por exemplo, dos paraquedistas).

É claro que o resultado dado por (VII.21) deve coincidir com o caso particular

conhecido v = gt, se fizermos 6 = 0. Verifiquemos este ponto. Substituindo6 = 0 em (VII.21), obteremos o símbolo de indeterminação jj. Para visualizar oresultado escondido por este símbolo, podemos usar a relação de expansão para ex . Para ver como essa expansão pode ser feita, consulte o Apêndice D. Aqui,citarei apenas o resultado

~2 ~3 4ex = 1 + z + fF + f í + ¥ + --- (VII. 22)

(note que essa expansão é consistente com a expressão da derivada de ex).

Fazendo uso dessa expansão em (VII.21), temos

. . .. bt 1b2t2 1b3t3 \v(t) = - 1 - 1+ ------- ------- Y + «--- 3" ------m 2 m2 6 m6 )

Tomando agora b = 0 na relação acima, obtemos o resultado esperado, isto é,v = gt.




Escrevendo v = dy/dt em (VII.21), podemos extrair o seguinte elementodiferencial (também já preparado para integração)

dy = 1 — e dt (VII. 24)

Fica como exercício fazer a integração (com as condições de contorno acima) e

obter

Verifique, também, que fazendo as aproximaçõest —>oo eb = 0, são obtidos re-

um pouco diferente do que vimos aqui.

5. Função gama ou função fatorial A chamada função gama ou função fatorial é uma extensão do conceito usual defatorial para qualquer número do campo real (e também para variáveis complexas). A sua definição envolve funções exponenciais e é dada por meio de umaintegração

Só a título de esclarecimento, observe que a variável de integraçãot desapareceapós a integral ser feita e os limites de integração serem substituídos. Poderíamos ter usado qualquer outra letra para desempenhar o papel da variávelde integração. O importante a ser observado é que o resultado da integração éuma quantidade dependente de p (que se chama função gama).

Vamos ver agora o porquê do nome função fatorial. Tomemos o integrandode (VII.26) e o modifiquemos convenientemente (nada mais vamos fazer do queusar o conhecido processo de integração por partes)

(VII.25)

sultados conhecidos. Resolva também o exercício 11, que consiste num caminho

(VII.26)

t ^ e ^ d t = —tp~1d (e- t )= —d (íp_1e~*) + e“ td (íp_1)= - d ^ e - ^ + i p - ^ t ^ e ^ d t (VII.27)

Substituindo este resultado na expressão inicial (VII.26), temosoo r°°

r(p ) = - t p- 1e - t + ( p - l ) / ip_2e-*dio Jo

(VII. 28)

O primeiro termo é nulo. No segundo, vemos que / 0°° íp 2etdt é T(p — 1). Assim, podemos reescrever (VII. 28) simplesmente como

r(p) = (p - 1) r(p - 1) (VII. 29)




(VII. 30)

E, assim, sucessivamente. Essa característica da função gama lembra o quevimos sobre fatorial de(p— 1). Vejamos se para valores inteirosáep ela realmentecoincide com(p — 1)!. Seja, inicialmente, p = 1. Usando diretamente a relaçãode definição da função gama, dada por (VII. 26), temos

Este resultado não só mostra que T(l ) = 0! mas, também, que 0! é igual a 1(não é por simples convenção pois este resultado está embutido na definição dafunção gama). Vemos, então, que a funçãoT(p) coincide com a definição de(p —1)! para p inteiro (e positivo). De fato, combinando (VII.29), (VII.30) e(VII.31), temos

Como falamos no início, a função gama permite que se generalize o conceitode fatorial para qualquer número. Por exemplo, para números inteiros negativos,a função gama é divergente. Isto também pode ser visto diretamente. Seja arelação (VII.29), no qual faremos p = 1. Assim,

Vimos acima que T (l) = 0! = 1. Portanto, pela relação (VII.33), isto só fazsentido se T(0) (que é igual a —l!) for infinito. Pelo mesmo motivo temos quer(—1) = —2!, r(—2)= —3! etc. são divergentes também. Isto pode ser vistopartindo-se da própria relação (VII.33)

Para outros valores de p, o processo de obtenção der(p) pode não ser tão

Mencionemos que nem sempre existe uma função cuja derivada dátp 1e *. Naverdade, isso só existe mesmo para casos muito particulares, como p = 1 [veja

oo

0i (VII.31)

r( 2) = ir (i) = i = i!r(3) = 2T(2) = 2 = 2!

r(4) = 3T(3) =3X

2! = 3! etc. (VII.32)

r(i) = or(o) (VII.33)

r(i) = o(-i)r(-i) = 0(-l)(-2)r(-2) etc. (VII.34)

direto, pois fica na dependência de solução da integral que define a função gama.




o cálculo der(l)]. Geralmente, a obtenção deT(p) para p não inteiro (positivoou negativo) requer o uso de cálculo numérico (a integral é obtida de formaaproximada). Antigamente, isto era feito por laboriosos processos. Atualmente,com a facilidade de programas computacionais, é algo facilmente conseguido.

Um ponto interessante é que para alguns valores de p, mesmo sem existir afunção cuja derivada dá ¿p -1e-£ , é possível o cálculo da integral que define afunção gama (isto se deve à particularidade de os limites de integração serem 0e oo). Este é o caso, por exemplo, de p = Substituindo este valor em (VII.26)temos

rOO

T(l/2)= / Jo

Convenientemente, façamost = x2 na relação acima. Isto nos dá que

r°° 2d x = e~x dx (VII.36)

J — oo

(VII.35)

2Não existe nenhuma função cuja derivada dá e~x , mas a integral pode serresolvida. Vejamos como. Podemos reescrever (VII.36) usando qualquer outravariável de integração, por exemplo y. Assim,

r*oo .21 = e~v dy (VII.37)

J —OO

Multiplicando (VII.36) e (VII.37), temos

1 = 1 e~x dx / e~v dy J —oo J —oo

/ OO pOO

/ e- {x2+y2)dxdy (VII.38)-oo J —oo

Temos acima que12 é dada por uma integração de superfície por todo o plano xy. Em lugar de fazer essa integração usando coordenadas cartesianas, usemos

coordenadas polares (veja a Figura VI. 12). A mudança é simples. Em lugar de x 2 + y2 escrevemosr2 e em lugar do elemento de áreadxdy escrevemos rdrdO (veja Figura VII.2). Os limites de integração parar e 0 (a fim de varrer todoo plano horizontal) são 0 e oo, e 0 e 27r, respectivamente. Assim, temos que aintegração 12 é equivalentemente escrita como

r =*2-7t roo

27r J e r2(—2rdr)

= —7r e= 7r

oo

0

Capítulo VII - Funções exponenciais e logarítmicas 115



Portanto

r(l/ 2) = ! = Vtt (VII. 39)

dy /

1 ^ dx

Figura VII.2: Elementos de área em coordenadas cartesianas e polares

A partir desse resultado particular, podemos obter outros (também particulares)

r(3/2) = |r(i/2) = |i = ^

r(5/2) = ^ T(3/2) = = ete-

Outros mais,

r ( i / 2) = - | r ( - i / 2) = r ( - i / 2) = - 2r ( i / 2) = - 2^

r(—1/2) = r(-3/2) = r(-3/2) = -|r(-l/2) = ^ etc.

Exercícios1. Resolva as equações

(a) e2x + 3ex - 4 = 0 (&*) ex + 2 —35e~x = 0

2. Deduzir as relações (VII. 12) e (VII. 13).

3. Usando diretamente a definição de derivada, obtenha (VII. 12). Depoisobtenha (VII. 10) como caso particular.




4. Calcular a derivada das seguintes funções

(a) y = e sen3x(b) y = sen(ex2)(c) y = log(ex + sen x)

(d) y = ee*(e) y = x

( /) V "

5. Mostrar por indução que(¡Tl

— (xex) = (x + n )ex

6 . Calcular a equação das tangentes às curvas

(a) y = e3x em x = 1(ò) y = xe35 em x —2(c) y = x2e~x em x = 1

7. Calcule as seguintes integrais (use o método que julgar mais apropriado)

(а ) J ex dx

(б) J xe* dx

(c) / I n ** ,

e* - e~x(d) / ------------ dxw J e* + e~*(e) J ex sen ex d#

ex(/) / ------- - dxJ e H l

(p) J exVex + ldx

/* 1 4- e2x(ft) J dx(i) J xe~^x dx

(j) / x3logxdx

Capítulo VII - Funções exponenciais e logarítmicas 117



(k) J \[x log x dx

(l) j ex sen x dx

(m) J In 2xdx

(„) ¡ t f * *

8. A partir do elemento diferencial dado por (VII.24) e usando as condiçõesde contorno t = Q,y = 0 e v = 0, obtenha a relação (VII. 25).

9. Vimos para t —>oo que a velocidadev dada por (VII.21) tendia para ovalor constante v = mg/b. Verifique, então, que fazendot —*•oo na expressão(VII.25), obtém-se y = mgt/b.

10. Usando a expansão para ex, dada por (VII.22), na expressão (VII.25),liverifique que o conhecido resultado do movimento em queda livre y = bgt2 é

obtido.

11. Fazendo na relação (VII. 19) que ^ pode ser escrito como (regra dacadeia) , que é igual a obtenha o elemento diferencial

mvdv-------- t = dymg —bv

Usando as mesmas condições de contorno acima, faça a integração correspondente e obtenha uma expressão parav(y). Depois, tomando quev = dy/dt, obtenha um elemento diferencial envolvendody e dt. Verifique se há consistênciacom o que foi desenvolvido na seção 4.

12. Seja um corpo movendo-se horizontalmente no qual atua sobre ele só aforça de atrito viscoso —bv. Veja a Figura VII.3, onde o corpo está numa certoponto do seu movimento.

(a) Mostre que a Segunda Lei de Newton leva à expressãoma = —bv(b) Use a definição da aceleração na expressão acima e obtenha um elemento

diferencial envolvendodv e dt. Considerando as condições de contornot = 0, x = 0 e v = V, Faça a integração correspondente e obtenha a expressão parav(t).

(c) Fazendov = dx/dt na relação que você obteve no item anterior, escrevauma relação diferencial paradx e dt. Integre esta expressão (considerando asmesmas condições de contorno) e obtenha x(t) . Faça t —> oo e obtenha adistância percorrida pelo corpo.

(d) Volte agora à expressão da Segunda Lei de Newton dada no item (a) euse a mesma substituição vista no exercício 6 . Obtenha uma expressão diferencial envolvendodv e dx. Integre-a convenientemente e obtenha a distânciapercorrida.

11 8 Cálculo: para entender e usar



13. Sejam duas funções sh x e ch x (daqui a pouco veremos o porquê dessa

notação) definidas por

Figura VII.3: Exercício 12.

shx =

chx =

ex —e x2

ex + e~x

(a) Mostre que

d_da d1 sh x = ch x dx

ch x = sh x (VII.40)

e verifique também que

ch2 x — sh2 x = 1

Devido à similaridade dessas relações (a menos de um sinal) com as relaçõesdo seno e cosseno, temos que as notações sh x e ch x significam seno e cossenohiperbólicos de x. O porquê do nome hiperbólico deve-se ao fato de sh x e ch x serem componentes da hipérbole unitária ch2 x - sh2 x = 1, a exemplo de sen x e cos x serem componentes do círculo unitário sen2 x + cos2 x = 1.

Pode-se, também, definir outras funções hiperbólicas similares às correspondentes funções circulares, isto é,

shxthx =

coth^r =chx

1thx

sech x = ——chxcosech x =

shx

(b) Usando diretamente as expressões do item (a) mostre que




— th x = sech2 x dx

— coth x = —cosech2 x etc.dx

(c*) Essas relações são também úteis na resolução de algumas integrais, em

que usamos a relação 1 + sh2a = ch2a no lugar de 1 + tg29 = sec29. Resolvaa integral

1 . f V l T ^ d z

usando substituições por funções hiperbólicas




Apêndice A Vetores

1. Básicola. Adição de vetoresSeja R o resultado da adição entre dois vetores A e 5 , isto é

R = Ã + Ê (A.l)

O vetor R é dito ser a resultante entre os vetores A e B. A Fig. A.l mostra umexemplo de tal soma.

Figura A.l: Adição de vetores

A soma vetorial apresenta as seguintes propriedades:

©Associatividade: (Ã + B) + C = Ã + (B + C)®Comutatividade: Ã + B = B -b Ã

lb . Multiplicação de um vetor por um escalar•*4Seja o produto de um vetorv por um escalar A, dando um vetorV, isto é

V = Xv (A.2)



O vetor V possui a mesma direção do vetorv. Seu sentido será o mesmo se À forpositivo e será contrário se A for negativo. O módulo deV é À vezes o módulode v. Mostramos alguns exemplos na Fig. A.2.

3 v

< ----------- 1-------- — i — -------- 1 - 3 v

Figura A. 2: Multiplicação de um vetor por um escalar

Podemos representar um vetor qualquer através de umvetor unitário (vetorde módulo um). Veja a Fig. A.3.

Ã = A ü (A.3)

em que A é o módulo do vetor A, isto é, A = \Ã\. ü é o vetor unitário (denotaremos vetores unitários com um chapéu). Consequentemente, |â| = 1.

û A

Figura A.3: Vetor unitário

lc. Representação de um vetor através das componentes num sistema de eixos ortogonais

A

Seja um sistema de eixos ortogonais x ,y e z. Consideremos í, j e k os respectivos

unitários. Vamos decompor um vetorV ao longo desses eixos, como mostra aFig. A.4. Pelo que vimos nas subseções acima podemos escrever

V = VX + V y + V X

= Vx %+ Vy3 + Vz k (A.4)

em que

Vx = V sen0 cos(f>Vy = V sen 0 sen (j>Vz = VcosO (A.5)




Figura A.4: Vetor decomposto em eixos ortogonais

—> —f —* —*Como V é a diagonal do paralelepípedo formado porVX) Vy e Vz, podemos

—*

diretamente escrever o módulo deV através dos módulos das componentes.v 2= V2 + V2+ V2 (A.6)

2. Produtos escalar e vetorialSejam A e B dois vetores, fazendo um ângulo0 entre si, como mostra a Fig. A.5.

—* —*Figura A.5: Vetores A e B formando um ângulo0.

Apêndice 123



O produto escalar entre os vetores Ã e B, denotado por Ã • B, é definido por

Ã - B = A B cos6 (A.7)

O resultado do produto escalar é um escalar e é fácil ver que ele apresenta asseguintes propriedades:

©Comutatividade: Ã •B = B • Ã • Distributividade: A* (5 + C ) = -A •J5 + A •C

—* —* —* -jO produto vetorial entre os vetores A e B, denotado por A x B, é um vetor 1

cujo módulo é definido por

\Ãx B\ = A B sen0 (A.8)

e cujo sentido é dado como mostra a Fig A.6. Eleapresentaas seguintes propriedades:

®Ã x B = —B x Ã (não é comutativo)© Ã x {S+ Õ ) = Ã x B - \ - Ã x C (distributivo)

Figura A.6: Produto vetorial

xNa verdade, é um pseudo-vetor pois A x B não muda de sinal quando os eixos coordenadossão invertidos.




3. Utilização dos produtos escalar e vetorial3a. Leis dos senos e cossenosSeja o triângulo da Figura VI.3, que vamos repetí-lo aqui

Figura A. 7: Exemplo de um triângulo qualquer

Com o uso da notação vetorial, podemos deduzir as relações (VI. 13) e(VI. 14), chamadas de leis dos senos e cossenos, respectivamente. Para tal, reescrevamos o triângulo acima colocando vetores em suas arestas (não há regrasquanto à orientação dos vetores). Veja Figura A.8. Pela orientação que escolhemos na figura (como disse, poderia ter escolhido uma outra qualquer), temos

b = ã + c (A.9)

Isto que apresentamos acima será a base para todos os desenvolvimentos quefaremos.

Figura A.8: Sistema de vetores formado com Fig. A.7

Vamos começar deduzindo a lei dos cossenos [na forma como está apresentadana relação (VI. 14)]. Assim, tomemos a relação acima isolando o vetora

a = b —c

Apêndice



e multipliquemos escalarmente ambos os lados pelo mesmo vetora

a •a = (b —c) •a

=> a •a = (b —c) • (b — c)

Usando a definição de produto escalar e suas propriedades, temos

a2 = b2 4- c2 —2 a *ba2 = b2 + c2 —2abcosa (A.10)

(i) Pode ser que você esteja em dúvida e pergunte o seguinte. Vamos supor —*que tivéssemos partido de (A.9) e multiplicado ambos os lados por ò, teríamosobtido a lei dos cossenos corretamente? Vejamos.

b 'b = (d + c) •(a + c)=t> b2 —a2 -f"c2 “h 2a •c

= a2 + c2 + 2 ac cos(jr —¡5)= a2 + c2 —2ac cos/3

Como vemos, o resultado é consistente.

(ii) Vamos supor que você ainda esteja com dúvidas. Poderiamos multiplicara relação inicial (A.9) por qualquer um dos vetores a, òou c? A resposta é sim.

Você vai obter uma relação para a lei dos cossenos compatível com o lado eo ângulo escolhidos. Como exemplo, multipliquemos ambos os lados de (A.9)por c.

—*6 -c = d- c + c- c

=> c •c = (b — d) •c

=> c2 — [b —d) •(ò —d)

= b2 + a2 —2 a •b= b2 a2 —2 ab cos 7

(m) Mesmo assim, você poderia no desenvolvimento acima seguir um outrocaminho algébrico. Consideremos novamente a relaçãob = a + c, multiplicadaescalarmente por c, e façamos um desenvolvimento um pouco diferente do quefoi feito

ò - c = d - c + c - cbc cosa = ac cos (180° —¡3) 4-c2

=> b cosa 4-a cos(3 = c




Como vemos, apesar de a lei dos cossenos não ter sido obtida explicitamente, arelação acima é também consistente, pois ela está dizendo que o lado c é igualàs projeções dos ladosa e b sobre ele.

Estes sao exemplos simples de na Matemática pode-se seguir qualquer caminho. Se ele for (matematicamente) correto, o resultado estará correto também(carecendo apenas, quando for o caso, de interpretação).

Para deduzir a lei dos senos, consideramos novamente a relação (A.9), masa multiplicamos agora vetorialmente, digamos por ò.

b x b = a x b + c x b => 0 = a x ò + c x ò

A

Chamando de k um vetor unitário perpendicular ao plano do papel e, porhipótese, apontando para cima, temos

0 = ab sen 7 k —cb sen a ka sen 7 = c sena

a c=> ------- = --------sen a sen 7 (A.ll)

As outras relações que caracterizan a lei dos senos são obtidas multiplicándose a relação inicial por outros vetores. Verifique isso você mesmo.

3b. Seno e cosseno do arco duplo Vamos começar deduzindo a relação (VI. 15). Seja, então, a Figura A.9, na qual,para facilitar, usamos vetores unitários (o resultado final não seria afetado casousássemos um outro par de vetores quaisquer).

A y

j A0 -k

Figura A.9: Sistema com dois vetores unitários

Apêndice 127



Escrevendo ü e v em termos dos unitários í, j e k, vem

ü = cos + sen a jv = cos [3 í — sen ¡3 j (A.12)

Multiplicando escalarmente um pelo outro e lembrando queü-v = cos (a + /?),temos

ü •v = (cosa i + sena j) (-cos¡3 i — sen f3 j)=> cos (a +(3) = cos a cos /3 —sena sen ¡3

(A.13)

A relação (VI. 16) é obtida fazendo-se a multiplicaçãodeu ev vetorialmente. Verifique isto.

3c. Relação trabalho-energia A definição do trabalho realizado por uma força (não necessariamente a resultante) é dada através de um produto escalar

dW = F •dr (A. 14)

—*em que dW é o trabalho infinitesimal produzido pela força F no deslocamentoinfinitesimal dr. Note que o produto escalar na definição de trabalho englobatodas aquelas propriedades do ângulo formado pela força em relação ao deslocamento.

Vamos considerar, agora, que a força F acima seja uma força resultante. Assim, pela segunda lei de Newton, podemos substituí-la pormdv/dt. Façamos, então, isto na relação acima e desenvolvamos o resultado obtido

dvdW = m — •dr dt

dv ,= m — •v dt dt= mdv •v = m ^ d(v •v)

= - m d ( v 2 ) (A.15)&

Integrando os dois membros do elemento diferencial acima entre duas posiçõesquaiquer 1 e 2, nos quais as velocidades correspondentes sejamv\ e ^2, temos

2: 1 rdW = - m d(v2) 2 J 1

A W = i mv\ —~mvl (A.16)




Exercícios

1. Dados os vetores Ã = %+ 4j —5fc, B = 3i —2j —3k e C = 4i —2j —3k. Determine:

a) i + 5 + C (resultante entre Ã, 5 e C ) ,

b) A — B + C (resultante entre A, —J5 e C ) ,c) o módulo de A,d) o módulo de B,e) o módulo de A + B,f) os ângulos formados por A com os x, y e z, —* -4g) o unitário paralelo à resultante entre A e B.

2 . Usando vetores, calcule a distância entre os pontos P = (4, 5, - 7) e Q =(- 3, 6, 12).

3. Provar que a reta que liga os pontos médios de dois lados de um triânguloqualquer é paralela ao terceiro lado e igual à metade deste.

4. Provar que ligando-se os pontos médios dos lados consecutivos de umquadrilátero qualquer, a figura resultante é um paralelogramo.

Obs: Este problema é mais geral. Verifique que um paralelogramo é obtido mesmo que os quatro pontos não estejam num plano (sejam quatro pontosgenéricos do espaço).

5. Seja O um ponto qualquer no interior de um triângulo A,B,C e sejam P,Q,Ros pontos que dividem ao meio os lados AB, BC e CA, respectivamente.Provar que O A + OB + OC = OP + OQ + OR. Esta igualdade persiste se oponto O for exterior ao triângulo?

6 . Sob que condições o produto escalar é zero?

7. Escreva o módulo de um vetor através do produto escalar.

8. Sendo C a resultante entre os vetores A e B, mostre que C2 = A2 + B 2 + 2 AB cos6, sendo 0 o ângulo formado por A e B.

9. Mostre que para se projetar um vetor numa certa direção basta multiplicá-lo escalarmente pelo unitário característico da direção.

10. Considerando os vetores A, B e C do exercício 1, calcule:

a ) A •B, A - C e verifique a propriedade distributiva.b) o ângulo formado entre A e B e entre B e A + C\c) os módulos de A, de B e de A + C\d) a projeção do vetor A + B sobre o vetorC\e) os ângulos formados por A com x, y e z.

Apêndice 129



11. Determine o valor dea tal que Á = 2%+ aj + k e B = 42 — 2j —2k sejamperpendiculares.

12. Mostre que os vetores Ã = 3i — 23 + k, B = i —3j + 5k e C = 2i + j —Ak formam um triângulo e que este triângulo é retângulo.

13. Provar que as diagonais de um losângo são perpendiculares.

14. Determine o ângulo formado por duas diagonais internas de um cubo.

15. Provar que qualquer triângulo inscrito num semicírculo é retângulo, emque a hipotenusa é o diâmetro do semicírculo.

16. Mostre que o produto vetorial A xB , escrito em termos das componentes,é dado por Ã x B = ( AyBz —A zBy) i + ( AZBX—A xBz)j-\- ( AxB y —AyBx) fc,que também pode ser expresso por um determinante

A x B = det i A Bx

J k x Ay A By B

17. Dados Ã = 3i —j + k e B —i —2j — fc,

a) calcule Ã x B (veja exercício anterior);b) confirme que realmente A x B é perpendicular a A e B, mostrando que

( Ã x B ) - Ã = 0 e { Ã x B ) - B = 0.

18. Mostre que \A x B\ corresponde à área do paralelogramo formado pelosvetores A e B.

19. Multiplique a relação (A.9) por a e c e obtenha as demais relações quecaracterizam a lei dos senos.

20. Repetir a dedução feita para obtenção de cos(a + /?), mas usando doisvetores quaisquer em lugar dos unitárioü e v da Figura A.9. Obter, tambémsen (a + /?), considerando tanto vetores unitários como vetores quaisquer.

22. Se A = 21 + j —3k e B = %—2j + achar um vetor que tenha módulo5 e que seja perpendicular aos vetores A e B.

23. Sejam três pontos do espaço, (1,1,1), (1,-1,2) e (-1,2,-1). Achar um vetorunitário perpendiculares ao plano.

24. Idem para o plano x 4- 2y —z = 3.

25. Achar a equação do plano perpendicular ao vetorV = i + 2 j —k e que

passe pelo ponto P (—1,0, 2).26. Calcular o ângulo formado pelas retas AB e AC em que as coordenadas

dos pontos A, B e C são A (0,0, 2), B (3 ,4, —2) eC (—1,1, 0).




27. Calcular a equação do plano que passa por P (1, 0, 2) e é perpendicularao vetor V = —%+ 2j —k

28. Dos infinitos planos paralelos aos vetores Ã = í+2j—k e B = —i—j+ Ak,achar o que passa por P (1,0, —1)

29. Seja r o vetor posição de urna partícula movimentando-se num plano, e0 o ángulo que o vetorr faz com o eixo dos x. Como vimos, podemos escreverqualquer vetor (e, particularmente, o vetorr) como r = rr. Partindo de r escrito dessa forma, calcule a velocidade e aceleração da partícula em termos der, #, r e em que 6 é um vetor unitário perpendicular a r.

Apéndice



Apêndice B Uma demonstração doteorema de Pitágoras

Vamos fazer uma demonstração do teorema de Pitágoras seguindo mais ou me

nos a linha de raciocínio do próprio Pitágoras. Sejam dois quadrados de ladosb e c, dispostos convenientemente como mostra a Figura B.l

Figura B.l: Quadrados de ladosb e c

Cortemos uma fatia correspondente a um triângulo retângulo de catetosb ec, como está sendo mostrado na Figura B.2, na qual chamamos de a a hipotenusadeste triângulo. Vamos transportar esta fatia para a face superior do quadradode lado b, como está indicado na própria Figura B.2.



Figura B.2: Corte de uma fatia do quadrado de ladob

A Figura B.3 mostra o resultado desta operação, bem como o corte de umoutro triângulo retângulo, idêntico ao primeiro, que será transportado para aposição mostrado na própria figura.

Figura B.3: Corte de uma outra fatia idêntica à primeira

Apêndice 133



Finalmente, com a última transposição indicada na figura anterior, obtemosa Figura B.4, mostrando o quadrado final de ladoa que possui área igual à somadas áreas dos quadrados iniciais de ladosb e c.

b

Figura B.4: Obtenção do quadrado de ladoa




Apêndice C Exemplo de equação diferencial

Consideremos o problema de um corpo de massam movendo-se numa dimensão(eixo x) e sob a ação de uma força de constante elástica k. Nós já fomos apresentados a ele no exercício 15 do Capítulo V, no qual foi pedido para calculara velocidade do corpo em cada ponto. Depois, continuamos tratando desseproblema na Seção 8 do Capítulo VI, no qual foi calculada a posição em cadainstante. Em ambos os casos, as condições iniciais do problema eram que, noinstante t = 0, o corpo partia do repouso e da posição x = A.

Vamos, rapidamente, relembrar o ponto de partida. Sabendo-se que a forçaexercida pela mola sobre o corpo é — kx (sendo o problema unidimensional, nãohá necessidade da notação vetorial explícita, pois a direção é o próprio eixo domovimento e o sentido é apenas questão de um sinal positivo ou negativo). PelaSegunda Lei de Newton (equação fundamental da dinâmica de uma partícula),temos

—kx = ma (C.l)

Só que aqui seguiremos outro caminho. Comoa = dv/dt e v = dx/dt , temosque a = d2x/dt2. Substituindo este resultado na expressão (C.l), obtemos aequação

$ + - * - » (C.2>dt2 m

Como a incógnita (variável x) aparece com derivadas, temos que a equaçãoacima se chama “equação diferencial” de segunda ordem (porque a variável x aparece derivada duas vezes). Apenas as equações diferenciais de primeira ordempodem ser associadas (pelo menos diretamente) ao processo de integração. Nocaso particular de (C.2), se substituirmosdx/dt por v, cairemos, como já vimos,numa equação diferencial de primeira ordem. Entretanto, nem sempre istoacontece (ou melhor quase sempre não acontece) e a solução tem de ser obtida

diretamente da própria equação diferencial. Vamos, então, para exemplificar,ver como a solução x(t) pode ser diretamente obtida da equação (C.2) (sempassar pelos processos intermediários de integração).



Não há uma regra nem uma fórmula geral para solucionar uma equação diferencial. Nem sempre, também, uma equação diferencial possui solução (aliás,isso não é novidade, pois, como sabemos, nem sempre uma integral possuisolução analítica). A solução da equação (quando existe) vai depender do tipode equação. No caso acima, ela é bem fácil de ser obtida. A expressão (C.2) estános dizendo que a função x(t) é tal que derivando-a duas vezes, tem-se de voltarà x com um fator inicial k/m (e com sinal menos para haver o cancelamento).

Não é uma tarefa árdua lembrar que as funções seno e cosseno possuem essacaracterística, isto é, derivando-se o seno e cosseno duas vezes volta-se a elesmesmos e com o sinal trocado. Quanto ao fator k/m , é só uma questão de ajeitaro argumento dessas funções. Assim, temos que a solução de (C.2) tanto podeser sen(y k/mt) como cos(y'kjmt). Verifique você mesmo que substituindo-se x por qualquer uma dessas quantidades em (C.2), a equação é realmente satisfeita. Observe, também, o papel do fator y/k/m, junto a t , para gerar o fatorfinal k/m.

Assim, podemos dizer que a solução geral da equação (C.2) é

x( t) = Ci sen + ^2 cos (C-3)

em que C\ e C2 são duas constantes cujos valores dependerão das condiçõesiniciais do problema. Não é difícil perceber que o número de constantes de umaequação diferencial está diretamente relacionado ao número que caracteriza suaordem (se fosse de terceira ordem, teríamos três constantes e assim por diante).No caso do nosso problema, sabemos que em í = 0, a: = i e ^ = 0. Usandoessas condições na solução acima, vemos que, neste caso particular, o valor dasconstantes são C\ = 0 e C2 = A (verifique isto), o que leva ao resultado obtidona seção 8 do Capítulo VI. Obviamente, para outras condições de contorno,essas constantes teriam outros valores.

Para concluir, vamos fazer duas observações

(¿) É comum, também, apresentar a solução acima, dada por (C.3) de umaforma mais compacta. Para tal, reescrevem-se as constantesC\ e C2 convenientemente como

C \— A cosa C2 —A sen a

(quaisquer pares de númerosC\ e C2 podem sempre ser escritos na forma acima).Fazendo esta substituição em (C.3), temos

x(t) = A cosa sen ( \l —t ) + A sen a senm k_

m

k

AsenU m t + a) (C.4)




(ii) Para obter a solução da equação diferencial (C.2), procuramos funçõescujas derivadas voltavam a elas mesmas e com o sinal trocado (que é o casodo seno e cosseno). As funções exponenciais também possuem essa propriedade(quanto ao sinal menos, é apenas uma questão de introduzir o número imaginárioi = y f - í como fator). Portanto, podemos ver que é1\A/mí e e -'lV klrnt sãosoluções de (C.2) (verifique você mesmo). Assim, a solução geral desta equaçãopode ser dada por

x(t ) = Dx e’ \A7™t + D2 (C.5)

na qual denotei as constantes por D\ e D2 para deixar claro que não são asmesmas C\ e C2 da solução anterior. A equivalência entre essas soluções podeser verificada se lembrarmos de (veja Apêndice D)

- i jk f i l t _ COs( \/ t) — ¿sen ( \j —t] (C.6)

Substituindo essas relações em (C.5) e redefinindo convenientemente as constantes, a forma da solução anterior é diretamente obtida (verifique).

Apêndice 137



Apêndice D Expansão de uma função em série de potências

Vou apresentar o conceito da expansão em série de potências de uma funçãode forma bem direta, baseado no ponto de vista da indução. Seja, então, umacerta função f (x ) (com o desenvolvimento do que será apresentado, veremosque condições ela vai precisas satisfazer). A nossa ideia é fazer uma expansãodessa função em torno de um certo ponto. Consideremos que esse ponto seja x = a. Naturalmente, se substituirmos x por a nessa expansão, deveremos tercomo resultado f(a). Também, se substituirmos x — a na derivada da expansãoo resultado deverá ser f (a) (na qual a notação está significando derivada comrespeito à variável x) . E assim sucessivamente para / ;/(a), etc.

Vamos começar pensando apenas na compatibilidade com os dois primeirostermos, isto é, f(a) e f ( a ) . Não é difícil ver que os termos iniciais da expansãodevem ser

f (x ) = f(a) + (a: - a) f (a ) H----- (D.l)

em que os pontos depois do sinal + representam os termos que iremos colocar. Realmente, substituindo x = a no lado direito, o segundo termo se anula.Também, derivando em relação a x, temos a compatibilidade com o segundotermo.

Extrapolando um pouco esse raciocínio, temos que a inclusão do terceirotermo compatível com f"(a) nos leva a

f (x ) = f(a) + (x - a ) f (a ) + ^ (x - a)2f ' ( a ) + ■■■ (D.2)

Como podemos observar, substituindo x = a no lado direito, obtemos /(a).Derivando os três termos da expansão e substituindo x = a, obtemos f (a ) . Finalmente, derivando duas vezes e fazendo a mesma substituição o resultado f n(a) é obtido.

Agora, acho que já dá para perceber quais são os demais termos da expansão.



Assim, vemos também qual a condição que f(x) deve satisfazer para serexpandida em série de potências, em torno do ponto x = a. Ela deve serdiferenciável em qualquer ordem nesse ponto.

A expansão de uma função em série de potência toma também o nome deSérie de Taylor. No caso particular de a expansão ser em torno do ponto

x = 0, isto é,

em que (a) está representando derivada n-ésima de f ( x ) no ponto x = a.

f (x ) = /(O) 4- f ( a ) X + i / " ( a ) X2 + /'"(<*) z3 +

= x' (D.4)n=0

Ela toma o nome deSérie de Maclaurin.

Como aplicação, relembremos da expansão do binômio de Newton, vista noCapítulo II, que foi deduzida paran inteiro, isto é,

2! 3!+ (D.5)

Naquela oportunidade, tínhamos dito que ela era válida para qualquer n, mesmoque não fosse inteiro. Vejamos isto agora. O resultado é consequência da expansão em série de potências. Para vermos isto, seja a função f(x ) = (a + x)n e façamos uma expansão em torno do ponto x = 0 (série de Maclaurin). Oprimeiro termo é an; o segundo, na71” 1#; o terceiro, n(n — 1 )an-2#2; e assim

sucessivamente. Portanto, podemos escrever que o resultado da expansão é(a + x)n = an + nan~lx + ^ ~ ^ an~2x2 + ■■■ (D.6)

substituindo x = b na expressão acima obteremos a conhecida expansão binomialpara (a + b)n.

Uma outra aplicação direta da expansão em série de potência é a de ex,utilizada no Capítulo VII (veja relação VII.22). E imediato mostrar que

2 S 4rp&eX= 1+ * + ¥ + lF + ¥ + -" ( D ‘ 7 )

Apêndice



Verifique você mesmo. Da mesma forma, verifique que as expansões de sen x ecos x são

rp 3 r p 5 rp 7sena; = :r -- ^ -+ -^ - ^ - H --- (D.8)

r p 2 ~4 ~6cosx = l - - + - - - + --- (D.9)

Agora, de posse dessas expansões, vemos facilmente o porquê da conhecidarelação

elx — cos x -Msenx (D.10)






Vamos trabalhar os dois coeficientes binomiais que aparecem em (E.4).

n\ í n \ n\ n\+ L J = TTT---------- 7T7 + k j \k — 1J k\(n —k)\ (k —1)! (n — k 4- 1)!

n\ n\+ k(k —1)!(n —k)\ (k —1)! (n — k + 1 )(n —k)\

n\ / I 1(k —1)!(ji — k)\ \k n —k + l n\ n 4-1

(k —l)\(n —k)\ k(n —k + l) (n 4- 1)!

k\ (n — k 4- 1)! (E.5)

Em relação aos dois primeiros termos do lado direito de (E.4), também podemosreescrevê-los convenientemente como

a n + l = ( r i + l y n + l bO ( E 6 )

6"+1= (n tl)a°6"+1 ( E ' 7 )

A substituição de (E.5), (E.6) e (E.7) em (E.4) permite escrever o resultadoprocurado, isto é,

71+1

Exercício IlI.l(b)Nós temos para A /

A / = >/(x + A x)24- 1 —V W Í

= [(x4- A x)24-1]* —(x24-1)*

= [x2 + 2xA x 4- (A x)2 4- 1] 2 —(x2 + 1)^= [(x2 4-1) 4- 2xAxH------]i - (x24- l )*

= (x2 4-1 )* 4- ^(x2 4- 1)^_12x A x H--------(x2 4 -l )*

= (x2 4- 1)~ ^ x A x H------




em que usamos a expansão binomial (11.27) e mantivemos apenas os termos em Ax (pois tínhamos em mente o limite Ax —* 0 a ser tomado na etapa seguinte). Assim,

lim A / - X Aa;-*0 Ax yj x2 + 1

Exercício III.5(a)Como foi dito no texto, não é necessário explicitar y em termos de x para fazera derivada. Portanto,

dv dy x 2x + 2y-ft = 0 => / = - -dx dx y

Exercício IV.6 (c)Sejam x e y os catetos de um triângulo retângulo. A sua área é então dada por

xy 2a = x 4

Pela natureza do problema, ^ = 0 corresponderá a um máximo (pois a áreamínima é zero). Assim, não haverá necessidade de verificações adicionais.

Derivando a relação acima e igualando o resultado a zero, encontramosdA dy- = y + x - = o

Como a hipotenusa é dada porl — x —y, temos

(l —x —y)2 = x2 + y2 =>l2 —2lx —2 ly + 2 xy = 0

Desta relação podemos tirar j/ e ^ (em termos de x) para substituir acima.Entretanto, nem vai precisar de muito trabalho. Calculando encontramos

- , - , â i+„ +Iâ ! .o => dJ = — ,dx dx dx x —L

Substituindo este resultado na expressão inicial, temos

i - y « y + x---- = 0 x —l( x - l)y + x{l - y) = 0

=4> xy —ly + xl —xy = 0=4> x = y

Apêndice



Como vemos, o triângulo possui catetos iguais (isósceles). E o valor do catetopode ser diretamente obtido da relação de Pitágoras. O resultado é

Exercício IV.14O tempo para a pessoa ir de P até Q é dado por

t = tpQ + í q r

A primeira parcela da expressão acima é igual à distância PR = 2 cosa (otriângulo PQR é retângulo - veja Figura E.l) dividida pela velocidade (2 km/h). O tempo de R a Q é dado pelo comprimento de arco correspondente (como oraio é unitário, o comprimento de arco é simplesmente0 - em radianos) divididopela velocidade 4 km/h.

P 1 1 Q

Figura E.l: Exercício IV. 14

Levando essas quantidades na expressão inicial, e usando o fato de quea =\0, temos a seguinte expressão parat

9 1t = cos - + -0 2 4

Como vemos, o problema foi transformado numa funçãot(0). Vamos procuraro valor extremo desta função.

d t o 1 /» 1 o 0 1 . 7T_ = 0 * 0 s e n - = - => e . -

Este valor corresponde a um tempo máximo pois = —\ cos | é negativopara o valor de 9 acima encontrado. Portanto,

7T1 7T^ m á x = CO S —- H~ —*— = 1, 13h o 4 o




Como a expressão não fornece mais nenhum outro valor que anule a primeiraderivada, o tempo mínimo deve ser encontrado nas condições de extremo dopróprio problema. Assim, considerando que ele faça o percurso só nadando,temos que o tempo para isso ét = § = lh. Se for só andando, temost = \ =0, 79h. Como podemos observar, o tempo mínimo é

^mín = 79h

Exercício IV.21Seja Q um ponto de coordenadas (#, y) sobre a reta. A distância D entre P eQ é dada por

D2 = ( x - l )2 + (y - l )2

A condição de distância mínima é ^ = 0 (poderia ser, também, = 0).Então, derivando-se a expressão acima em relação a x temos

Como o pontoQ está sobre a reta, as coordenadas deste ponto são satisfeitaspela equação da reta. Assim, podemos substituir na equação acima y por 2x + 3

e, consequentemente, ^ = 2. Fazendo isto, encontramos

D ^ - = 5a: + 3dx

Como D ^ 0, ^ = 0 s e # = —| (é claro que este valor só pode corresponder aum mínimo pois a distância máxima é infinita). Esta é a coordenada x do pontoQ, que está sobre a reta. Portanto, a sua coordenada y pode ser obtida usandoa equação da reta. Diretamente obtemos que y = |. Assim, a distância mínimado ponto P à reta é obtida substituindo esses valores de x e y na expressãoinicial. O resultado é

A n ín =5

Apêndice



Exercício IV.22O movimento ocorre numa dimensão e, portanto, não ná necessidade de se usarnotação vetorial explícita. Precisamos apenas, ao usar a segunda lei de Newton,introduzir um sinal negativo em virtude de a aceleração ser negativa. Assim,

Mm ^ M dv —G — —ma => —G — = —-

Esta é uma equação diferencial. Do jeito que está não é possível explicitara função da velocidade porque na equação aparecem três variáveis(v, r e t). Temos de procurar por alguma transformação que a coloque em termos de duasvariáveis apenas. No caso, o uso direto da regra da cadeia fornece isto.

M dvr2 dt

dv drdr dtdvd ïV

Agora não é difícil inferir a expressão cuja derivada em relação ar levou àrelação acima. O resultado é

GM 1 o ^------ = - v 2 + C

r 2

na qual C é uma constante que será fixada de acordo com as condições de contorno do problema. Sabemos que parar —>oo,v —» 0 (pois estamos procurandoa velocidade inicial mínima). Assim, vemos que a constanteC deve ser zero. Ovalor inicial da velocidade pode então ser calculado substituindo-ser = R naexpressão acima (com oC igual a zero). Fazendo isto, obtemos

2 GM

v = y — Substituindo os valores da constante gravitacional G, da massa e do raio daTerra (veja esses dados na Seção 3 do Capítulo V), encontramos queV é cercade 40.000 km/h.

Exercício IV.23

Considere o trapézio cujas dimensões estão mostradas na Figura E.2. A áreadeste trapézio é dada por

(2 R + b)h A ~ 6




em que as variáveisb e h estão relacionadas por

* ‘ = >? + T 4

Nós temos duas alternativas. Primeiro é combinar as duas expressões e obter A em termos de 6 ou deh. Segundo é trabalhar com as duas separadamente.

Normalmente, o caminho a ser seguido é o primeiro. Vamos aqui seguir osegundo, que dá menos trabalho algébrico. Tomemos, então, a derivada de A com respeito ab (poderia ser em relação ah).

d A 1 1 / T\ dh_ = - f c + - ( 2* + 6) ^

Usando a segunda das duas expressões inciais, temos

d h _ _ _ b _ db ~ 4h

Combinando essas duas relações e fazendo ^ = 0, condição de extremo (nocaso é máximo mesmo pois a área mínima é nula), temos

h- ( 2R+b) í = °=> Ah? —b2 —2Rb = 0

=4- i(R 2 - j ) - b 2 -2 R b = 0

=> b2 + Rb - 2R2 = 0

A solução que nos interessa desta equação éb = R (a outra é negativa).

Figura E.2: Exercício IV.23

Sugiro que você resolva este exercício usando o processo mencionado acima,isto é, de primeiro explicitar a expressão da área em termos de uma variávial(ou b ou h) .

Apêndice 147



Exercício V.l(q)Esta integral foi resolvida no texto por partes. Vamos seguir um outro processo.Façamos a substituição

x 2 + 5 = u2 =» xdx = udu

Substituindo esses dois resultados no integrando da expressão inicial, temos

x 3y/x2 + 5dx = x 2 y/x2 + 5 xdx = (u2 — 5 )u udu= (u4 —5w2)du

Assim,

J x3y/x2 + 5dx = J (u4 —6u2) du

Podemos resolvê-la usando um outro processo (talvez existam mais)

J x 3 y/x2 + 5 dx

Exercício V.3 x2dx = xx dx — ^x dx2 = \-d{xx2) — \-x2 dx z z z

Como vemos, podemos escrever que

3 x 2dx = d(x3)

= ^ J x2y/x2 + 5dx2

= ^ J uy/u + 5du

= \ J ( z - 5 ) z i dz

1 5 5 3= -Z2- -22 4-c5 3l í 2 5

X = u

= s r +5 - 3 ( x2 +5) + C




Portanto,

J x2dx = - J d(x3) = i x 3 -i-C

Exercício V.60 elemento diferencial de área, mostrado na Figura E.3, é dado por

4dA = _(x2 + l )2

— X dx

E o ponto P, que corresponde ao limite de integração, é obtido considerando-sea interseção das duas curvas

x (x2 + l )2 x = 1

Figura E.3: Exercício V.6

A área da base do lago é então dada pela integral

A = 4 í (x + 1 )~2 dx — í x 2 dx = 4 1 x3 1 5x + 1 o 3 = - m

o 3

Como a altura possui 2m, o volume do lago é 10/3=3,3m3.

Apêndice 149



Exercício V.7 / E fácil ver que o comprimento de arco infinitesimalds é a hipotenusa de umtriângulo retângulo cujos catetos sãodx e dy. Assim, podemos escrever que

ds = y/(dx)2 + (dy)2

Como y = x3/2, temosdy = \xx!2dx. Substituindo este valor dedy na expressãoacima, vem

d 8 = y j \ + - x d x

Vemos que o elemento diferencial do problema foi perfeitamente identificado epreparado para a integração . Assim, podemos calcular o comprimento pedidoda curva

l (l+\x) 2 dx =

Exercício V.15Como a força que atua sobre o corpo é a resultante, temos de acordo com aSegunda Lei de Newton,

dv kma = —kx => — = ------- xdt m

Não foi necessário usar a notação vetorial explicitamente porque o problema é

unidimensional. Como podemos observar, do jeito em que está, esta expressãonão permite escrever um elemento diferencial apropriado para ser integrado,pois há três variáveis envolvidas(v, x et).

A maneira de contornar este problema é semelhante ao que fizemos nasolução do Exercício IV.22, isto é (uso da regra da cadeia),

dv _ dv dx _ dv dt dx dt dx

Substituindo este resultado na expressão anterior, podemos obter um elementodiferencial que agora está apropriado para ser integrado.

vdv = —— x dx m




Fazendo a integração de acordo com os limites iniciais especificados, temos

=»

J oV2

v k í xvdv = ----- / xdxm Ia

o k x2 m 2

kV2 = _ ^ ( X2 _ Á; m

v “ ^ O 42-*2)

Exercício V.16 A pressão de uma coluna líquida é dada pela conhecida relação

P = Po + pgy

na qual pc é a pressão atmosférica (que não precisará ser considerada pois elaestá dos dois lados do vidro), p é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m3) e y é a altura medida a partir da superfície do líquido.

A força devido à pressão do líquido sobre um elemento de áread A do vidroé (de acordo com a definição de pressão)

dF = pdA

Como a pressão não varia horizontalmente para uma mesma altura, podemostomar como elemento de áreadA um retângulo de lado horizontal 1m (largurado aquário) e lado verticaldy. Assim, a forma do elemento diferencialdF ,pronto para ser integrado, é

dF = pgydy

Substituindo os valores numéricos(g = lO m /s2) e fazendo a integração deacordo com os limites da altura do aquário, temos

r o, 7 F = 104 / ydy

J o= 2450 Af

Ou seja, a água exerce sobre o vidro uma força equivalente ao peso de umamassa de aproximadamente 250 kilogramas!

Apêndice



Exercício VI.6 (h)

dy dysen 2y + 2x cos 2y — = — cos 2x —2y sen 2x dx dxdy _ sen 2 y 4- 2 y sen 2x

dx cos 2x —2x cos 2 y

Exercício VI.14Tomemos o elemento de área indicado na Figura E.4.

d A = ydx

= -y /a2 ~ x2 dxa

Figura E.4: Exercício VI. 14

O elemento diferencial já está preparado para a integração. Considerando asimetria da figura, temos

A = 4 - f y/ a2 —x2 dx a J o

Como não é muito visível qual é a função cuja derivada dá y/a2 —x2, vamosfazer uma modificação no integrando a fim de procurar uma outra forma dafunção tal que esta resposta possa ser dada. Consideremos, então, a seguintetransformação trigonométrica

x —a sen 0 => dx = a cos0 dO




Substituindo essas quantidades no integrando acima, temos (por enquanto, nãonos preocupemos com os limites de integração - estamos apenas procurando asolução da integral)

y/a2 — x2 dx = a2Ja2 l cos2 OdO 2

= J (1 + cos 20) dO

a2 1= — (# + - sen 20) + C

a2 ( x x I x2 .= — arcsen - +- \ 1 ----- - + G2 V a a a*

Esta é a solução da integral que aparece na expressão inicial. Assim, temos quea área procurada é

46 a2 x x x * A = — •— ( arcsen — |— a/ 1----- -a 2 V a a a*

a= 2ab — = 7t ab

o 2

Exercício V I.16 Vamos trabalhar em coordenadas polares. Neste caso, o comprimento infinitesimal ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos sãodr e rdO. Portanto,

ds = a/ (dr)2 + (rdO)2

Usando a equação da curva, temos

ds = a\J sen2# H- (1 + cosO)2 dO

= V 2 a V l -f cosOdOQ= 2a cos - dO z

Como vemos, o elemento diferencial acima está preparado para ser integrado.O comprimento da curva é então dado por

r Qs = 2 x 2a cos - dO

J o 20 7r= 8a sen

= 8ao

Apêndice 153





Exercício VII. 13(c) Vamos fazer a substituição sugerida. Seja então

x = sh a =4> dx = chad a

Levando esses resultados na expressão inicial, vem

I = J ch2a da

Podemos resolver facilmente esta integral fazendo algumas pequenas transformações

ch 2 a da = cha chada = cha d( sh a)

= d(ch a sh a) —sh a d(ch a)= d(chasha) —sh2a da = d(cha sha) 4-da — ch2ada

Temos, portanto, que a integral pode ser facilmente resolvidao 1 1

ch a da = - sha cha 4- -a + C A z

Escrevendo este resultado em termos da variável inicial x, temos_______ ^ _______ 2

y/l + x2 dx = -xy/ l + x2 + -argsh x 4-C

Podemos reescrever argsh x de forma mais explícita. Seja y = argsh x, ou

ey - e~y2 = X

=> ey - 2x - e~y = 0=£• e2y —2x ev —1 = 0=> (ey —x )2 —x 2 — 1 = 0

=> ey —x = y/l -f x2 => ey = x + y/l + x2

y = In (a: + \ /1 4- x2)

Pelos mesmos motivos do exercício acima, só consideramos a raiz positiva porque ey é positivo. Assim, o resultado da integral é

______ 2 ______ ^ ______

y/l 4- x2 dx = -xy/l-j- x2 4- - ln(x 4- y / l -4 x2) 4- C

Com o intuito de praticar, resolva esta integral fazendo uma substituiçãotrigonométrica.

Apêndice 155



Apêndice F Respostas de alguns exercícios

Durante as aulas, não gosto muito de dar as respostas dos exercícios. Isto porque, infelizmente, muitos estudantes são recém egressos do segundo grau e aindacarregam consigo estigmas do vestibular, no qual, muitas vezes, é apregoado queo importante é se chegar à resposta certa, mesmo que o caminho para tal nãotenha fundamento adequado. Sempre achei que era mais importante o estudante começar a fazer os exercícios, pensar sobre eles e, mesmo sem os terresolvido completamente, voltar à aula seguinte com uma certa familiaridadepara acompanhar (e realmente entender) o desenvolvimento do que seria feito.Suas dificuldades pontuais iriam sendo eliminadas passo a passo.

Agora, na presença de um livro, esta fase intermediária da minha presençafica suprimida. Assim, algumas respostas devem ser dadas. Espero que o estudante não veja esta seção como um conjunto de números e fórmulas que devamser atingidos a qualquer preço. Este é um conjunto apenas para possíveis conferências. Não sou de opinião que se deva dar todas as respostas. É importanteque o estudante adquira confiança e procure resolver também os sem respostase, em caso de dúvida, discuta com seus colegas sobre os desenvolvimentos quefez. Essa troca de opiniões é algo fundamental para o aprendizado em qualquerramo do conhecimento.

Capítulo II1. (a) f ; (c) -1; (d) 0; (g) 0; (h) (i) 9

Capítulo III1. As respostas podem sem facilmente verificadas fazendo as derivações pelasregras usuais de derivação. Aliás, este é justamente o teor do exercício 4.o / „N 8 x 3 - 2 4 g ; 2 - l . / ^ \ ( 1 5 —1 4 a: )x 2 . / f x ____________ 2 1 _________

w (l+ 4 *3 )2 j W v <5= 4 ^ 5 K1) - 3 [ ( 1 - í 2 ) ( i _ í ) ] 1 / 3

5- (a) - § ; (c) (e) - d ) 1/3;



Capítulo IV 1. (a) x = —1 máximo; (d) x = 1 mínimo; (f) x = a mínimo;

2 ab a-\-b(j) x = máximo

2. (a) v(t) = —t e x(t) = —\t2 + 1; (b) x = 1 e x = 0,25(c) Sentido positivo: —1, 7 < í < 0 e ¿ > 1 , 7

Sentido negativo: t < - 1,7 e 0 < t < 1,74 40 20

3 35. (a) h = R; (b) h = 2R

6. (a) quadrado de lado (b) | (triângulo equilátero);(°) (1 “ 7 2 ^ (ca e os iguais)

7. altura = 3 cm e base = 6 cm (sem tampa)

8. y = 2x —a

9. (a) y = 9x —16; (b) y = 7x — 9

10. (a) 109°39'

11. Quadrado de ladoòy/2 cm

12. fj?

14. ¿mín = 0,79 h e = 1,13 h

15. ^ h

17. y = 0,2o; + 2,319. Pelo ponto (2,0), y = & x - ^ e y = - & x +

20. a = 150 m e b = 95, 5 m

21- 7 I

22. V =

23. A base menor vale R.

24. h —3a25. Altura = 4a e raio da base =a\J2

Capítulo V 1. A verificação das respostas é muito fácil, basta derivá-las e ver se coincidemcom as funções iniciais.

4. A = ^ V = 87t (em torno do eixo y) V = (em torno do eixo x)

6. 3,3 m3

7. 20,4

8. 6,7

Apêndice 157



10. F = (fir ^ 3/2 voltada para o centro do anel.i i Z7> 2 GmM íi h \11. ^ - ^2 (1 v/#q^2-J

13. (c) v =v0 + ^t3 x = xQ+ + y í4

14. (b) v x = 5 + ¿ í 3

16. 2450 N

Capítulo VI5* (a) È = 2aarcosaa;2 (e) ^ = —sen 2v (t) ^ = -^ s e n 8x

6 (V ) dy = ser?/ («rl &L = _______ 2*?_______ dy _ sen (a -y)' ' dcc y dx sen 2y (sen y —cos y) ' ' dx se n (x —y) —1

7. (a) = —k2sen kx (d) ^ = -2 sen x - y

8. (a) f 11. Veja por favor o que foi dito na resposta do exercício 1 do Capítulo V.

14. 7rab

15. 0,75

16. 8a e 2na2

Capítulo VII1. e® = 1 => x = 0 ex = —4 => Não existe nenhum valor de x no campo real.

4 - (a) & = 3j/cos3a; (d) = y e x6. (b) y = e2 (3x —4)

7. Veja por favor o que foi dito na resposta do exercício 1 do Capítulo V.

12. (b) v(t) = V e ~ (c) x(t ) = *£ &( l- e -i* ) * -> oo =* D =




Quando dava aulas no ciclo básico sempre preferiaturmas em períodos defasados, a fim de que oestudante já viesse sabendo Cálculo. Mesmo assim,notava que embora ele soubesse derivar e integrar,muitas vezes com certa desenvoltura, não sabiaraciocinar com o Cálculo. Geralmente não sabiaporque estava derivando ou o que estava integrando

E esta a finalidade deste livro. Ele contém aminha experiência em procurar fazer o estudante

raciocinar com o Cálculo. Embora mostre comoderivar e integrar, a ênfase não está bem aí.Não há formulários. Na verdade, há poucas fórmulasProcurei não usar nada em que não fossemostrado sua origem.

Posso até ter exagerado em fazer uma demostraçãod T d Pitág d ê di

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João Barcelos Neto - Calculo Para Entender e Usar