JOCS MATEMÀTICS

Aina LlorachCristina Pueyo

4t B

ÍNDEX

1. Problemes de lógica.

2. Recreacions numèriques.

3. Quadrats màgics.

4. Activitat 1.

5. Activitat 2.

6. Activitat 3.

PROBLEMES DE LÒGICA

El Pare Noel es va posar de molt mal humor quan va descubrir que algú havia posat al trineu els rens en diferent ordre. Dos dels elfs van dir-li la veritat a la investigació que va descobrir el elf bromista.

Silly: Va ser Puck el qui ho va fer.Stump: No, vaig ser jo.Pip: No, va ser Puck.Puck: Pip menteix.Roly: El culpable només pot ser Stump o Jolly.Poly: Va ser Stump.Jolly: No vam ser ni Stump ni jo. Ninck: Jolly diu la veritat i tampoc va ser Puck.

Qui d’ells va gastar la broma al Pare Noel?

Després d’haver llegit detalladament el problema, hem observat que els elfs només acusen a tres altres com a possible bromista: Puck, Stump i Jolly. A continuació hem fet el plantejament de desenvolupar aquests sospitosos en una taula per a cadascú. Primerament hem triat Puck, però s’ha de comprovar que es confirmi la de norma: dos diuen la veritat i els altres menteixen.

1. Possible bromista: Puck.

Elf Declaració Veritat o mentida?Silly Puck. VeritatStump Stump. MentidaPip Puck. VeritatPuck Pip menteix. MentidaRoly Stump o Jolly. MentidaPoly Stump. MentidaJolly Ni Stump ni Jolly. MentidaNinck Ni Stump ni Jolly ni Puck. Veritat

D’aquesta manera hem pogut observar que Puck no era el bromista. Si hagués estat ell, tres elfs haurien dit la veritat i això no és posible, perquè només poden ser dos.El següent acusat és Stump, però s’ha de tornar a comprovar que es confirmi la norma: dos elfs diuen la veritat i els altres menteixen.

2. Possible bromista: Stump.

Elf Declaració Veritat o mentida?Silly Puck. MentidaStump Stump. VeritatPip Puck. MentidaPuck Pip menteix. VeritatRoly Stump o Jolly. VeritatPoly Stump. VeritatJolly Ni Stump ni Jolly. MentidaNinck Ni Stump ni Jolly ni Puck. Mentida

Així també hem comprovat que l’acusació a Stump com a possible bromista és falsa. Ell no ha pogut ser perquè, llavors, quatre elfs haurien dit la veritat, i només en poden ser dos.El següent i últim acusat és Jolly. Com els altres, comprovem que es confirmi la norma: dos diuen la veritat i els altres menteixen.

3. Possible bromista: Jolly.

Elf Declaració Veritat o mentida?Silly Puck. MentidaStump Stump. MentidaPip Puck. MentidaPuck Pip menteix. VeritatRoly Stump o Jolly. VeritatPoly Stump. MentidaJolly Ni Stump ni Jolly. MentidaNinck Ni Stump ni Jolly ni Puck. Mentida

Amb aquesta taula podem afirmar definitivament que Jolly va ser el bromista del Pare Noel, ja que d’aquesta manera es confirmaria la norma: dos dels elfs haurien dit la veritat, que en aquest cas haurien estat Puck i Roly, i tots els altres haurien dit mentida.

Solució: El bromista del Pare Noel va ser Jolly.

RECREACIONS NUMÈRIQUES

Situa els nombres del 1 al 9 en les caselles del següent dibuix de manera que es verifiquin les igualtats:

1 8 X 9 = 2 7 X 6 = 5 4 X 3

En aquesta activitat on havíem de posar els nombres de l’1 al 9 en els quadrats corresponents a la igualtat, hem pogut observar que els nombres es complementen: els grans amb els petits, i els mitjans agrupats. Tampoc es pot dir que hi hagi una “norma” o “regla” on es pugui explicar el perquè d’aquest ordre. És qüestió, en part, d’anar provant, i veient que el nombre que representa el resultat de la igualació és un bon nombre, o sigui, que sigui real per a una múltiplicació entre els nombres de l’1 al 9. El total de la igualtat és 162.

QUADRATS MÀGICS

Suposo que alguna vegada heu resolt el típic quadrat màgic de 3x3 el qual totes les files, columnes i diagonals sumen la mateixa quantitat. Resoleu-lo per fer memòria.

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Hem pogut deduir la solució pensant primerament que el nombre 5 podria anar al centre perquè és el nombre que, de l’1 al 9, està al mig. Després, en els espais del costat hem pensat que es podrien omplir de tal manera que es complementessin. Per exemple: l’1 amb el 9, el 2 amb el 8, etc. A continuació, ens vam fixar en una fòrmula matemàtica on t’ensenya com saber el resultat que ha de donar com a total en els costats; és la següent:

Aíxí doncs vam poder solucionar aquest quadrat màgic. Vam substituir n per el nombre de columnes del quadrat màgic, és a dir, 3. D’aquesta manera vam descobrir el nombre que havia de sortir com a resultat en totes direccions: 15.

ACTIVITAT 1

Busca o inventat dos jocs matemàtics, dels quals almenys un ha de ser numèric.

1. Continua la sèrie que tens a continuació.

4,2,3,4,6,4,3,3,4,3,3, … , … , …

Solució

Els nombres següents són 4, 5 i 6. Aquesta sèrie no s’acaba mai perquè aquests nombres signifiquen el nombre de lletres que tenen els números, ordenats. Per això el primer nombre és 4, com a representant del 0 (z-e-r-o), el segon és el 2, com a representant de l’1 (u-n), el 3, com a representant del 2 (d-o-s), i així succesivament. Aquesta sèrie la pots allargar tant com vulguis, és més, no té fi, com els números, que tampoc en tenen.

2. En bloc de pisos un ascensor es troba avariat. Troba quin veí s’ha quedat atrapat dins l’ascensor. S’ha de tenir en compte:

- Hi ha tres plantes, i a cada planta tres apartaments: A, B i C.- A cada apartament només hi viu una persona. - Hi ha tres veïns que no es troben a l’apartament a l’hora de l’accident.- Hi ha dos veins que menteixen.- El porter pregunta als altres veïns què saben.

1ºA: El veí del 1ºB i el del 1ºC no estan a l’apartament.2ºB: El veí del 1ºA diu la veritat.2ºC: El veí del 1ºB i el del 3ºB no són a l’apartament.3ºA: El veí del 2ºC menteix.3ºC: Vaig parlar amb el veí del 3ºB i el del 1ºC abans de l’accident.

Solució

Primerament ens hem de fixar en els veïns que declaren, només en són cinc. Si ens diuen que hi ha tres plantes a l’edifici, i tres apartaments a cada planta, sumen un total de nou habitatges en total. D’aquests nou, en restem cinc, que són les persones que declaren, i per tant, no poden ser qui s’ha quedat atrapat; ens queden quatre veïns com a possible persona que s’ha quedat atrapada. Després comprovem cadascun del possible accidentat: els veïns del 1ºB, 1ºC, 2ºA i 3ºB, i comprovem en cadascun d’ells que es compleixin les normes sobre quants veïns menteixen i quants diuen la veritat.

1. Possible accidentat: veí del 1ºB.

Veí Declaració Veritat o mentida?1ºA 1ºB i 1ºC no estan Mentida2ºB 1ºA diu veritat Mentida2ºC 1ºB i 3ºB no estan Mentida3ºA 2ºC menteix Veritat3ºC 3ºB i 1ºC si estan Mentida

2. Possible accidentat: veí del 1ºC.

Veí Declaració Veritat o mentida?1ºA 1ºB i 1ºC no estan Mentida2ºB 1ºA diu veritat Mentida2ºC 1ºB i 3ºB no estan Veritat3ºA 2ºC menteix Mentida3ºC 3ºB i 1ºC si estan Veritat

3. Possible accidentat: veí del 2ºA.

Veí Declaració Veritat o mentida?1ºA 1ºB i 1ºC no estan Veritat2ºB 1ºA diu veritat Veritat2ºC 1ºB i 3ºB no estan Veritat3ºA 2ºC menteix Mentida3ºC 3ºB i 1ºC si estan Veritat

4. Possible accidentat: veí del 3ºB.

Veí Declaració Veritat o mentida?1ºA 1ºB i 1ºC no estan Veritat2ºB 1ºA diu veritat Veritat2ºC 1ºB i 3ºB no estan Mentida3ºA 2ºC menteix Veritat3ºC 3ºB i 1ºC si estan Mentida

Podem concluir que el veí accidentat és el del 3ºB, ja que d’aquesta manera es compleixen els requisits esmentats.

ACTIVITAT 2

Busca com es construeix un quadrat màgic d’ordre senar.

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

En aquest cas, igual que el quadrat de 3x3, el nombre que es troba al centre és el 13, perquè és el que hi ha al mig. A partir d’aquí es col·loquen el nombres complementàris que sumin 26 al voltant. Hem decidit comprovar si la fòrmula emprada en l’exercici del 3x3 també servia per aquest. I sí, també serveix. En aquest cas, n seria 5, ja que és el nombre de columnes, i el resultat en totes les columnes seria 65. Ho comprovem:

ACTIVITAT 3 – JOC DEL NIM

Es col·loquen 21 fitxes en una taula i dos jugadors agafen per torn 1, 2 o 3 fitxes. Guanya el jugador que agafa la darrera fitxa.

a) Troba una manera de guanyar sempre en aquest joc.b) Canvia el nombre de fitxes i també les que poguem trure. Troba un mètode per

guanyar sempre.

Després de diversos intents, podem concluir el següent: si només un dels dos jugadors coneix el joc (tu), hauràs de triar començar per tal de guanyar sempre. Recorda que quan tu comencis, en el cas de tenir 21 fixes, hauràs d’agafar-ne només una. Aquesta fitxa és el residu de dividir les fitxes que hi ha sobre la taula entre el nombre que li has de deixar a l’oponent per a que tu pugui agafar l’última o últimes fitxes. Posem un exemple per veure-ho més clar.

El 21 és el nombre de fitxes. El 4 és el nombre que has de deixar

a l’oponent per a com a mímim em-portar-te’n l’última.

L’1 és el nombre, anomenat residu,que és el que agafaràs, si comences,per a guanyar.

Quan el nombre de fitxes no sigui 21, i el nombre de fitxes possibles a agafar no sigui 1, 2 o 3, guanyaràs sempre si deixes al teu adversari el nombre que dóna com a divisor. En el cas que tu comencis, agafaràs el nombre que té com a residu per tal de guanyar.