Molti dei fenomeni in cui ci s'imbatte quotidianamente possono essere interpretati in modo semplice alla luce di quello che uno dei concetti unificanti della fisica, il concetto di onda: dalle onde acustiche che si propagano nell'aria a quelle luminose, dalle onde radio alle onde meccaniche dei cristalli di quarzo impiegati per controllare la frequenza dei radiotrasmettitori, dalle onde sismiche alle onde di probabilit studiate dalla meccanica quantistica, fino alle onde del linguaggio comune,

che muovono la superficie dell'acqua.

Facendo ricorso a solo un poco di matematica , secondo le parole dell'autore, e ad alcune leggi elementari di fisica, viene svolta in questo volume una trattazione semplice e rigorosa dei fenomeni ondulatori per arrivare a una visione generale: l'autore infatti non intende tanto fornire le risposte a problemi specifici di una piuttosto che di un'altra disciplina, quanto dare un quadro complessivo che consenta volta a volta di individuare in che modo il problema vada affrontato e inquadrato e di che tipo sia la risposta che ci si deve attendere. Per queste sue caratteristiche il libro di Pierce si propone come uno strumento nuovo non solo per gli studiosi di fisica, ma per chiunque abbia a che fare con la propagazione delle onde, da coloro che operano nel campo delle comunicazioni e delle trasmissioni ai cultori di teoria dell'informazione.

JOHN R. PIER CE nato a Des Moines, Iowa, nel 1910. Laureatosi presso il California Institute of Technology dove attualmente insegna, stato direttore dal 1936 al 1971 delle ricerche sui principi delle comunicazioni ai Beli Telephone Laboratories. Le sue ricerche sulla teoria dell'informazione lo hanno portato a considerarne le applicazioni a campi diversi quali l'elettronica, l'acustica, la teoria della visione, la matematica, l'econometria, la psicologia e la musica. Autore di numerosi libri e articoli di carattere tecnico, fra cui La teoria dell'informazione pubblicato in questa collana, membro di varie associazioni fra cui la National Academy of Sciences e I'Institute of Electrical an d Electron ics Engineers.

quelle

Biblioteca della EST

TUTTO (o quasi) SULLE ONDE di John R. Pierce

EDIZIONI SCIENTIFICHE E TECNICHE

MONDADORI

Biblioteca della EST

Direttore editoriale EDGARDO MACORINI

Redattore ROSSANA ROSSI

Impaginazione BRUNO PAGLIA

ISSN 0303-2752

In copertina: Julio Le Pare, La longue marche LP-4-B (1975) (Galleria Denise Ren).

Titolo originale ALMOST ALL ABOUT WAVES

Traduzione PAOLO BERGAMINI

Prima edizione: aprile 1977

@ 1974 by THE MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY 1977 by ARNOLDO MONDADORI EDITORE, S.p.A., MILANO

Indice

PREMESSA 7 I IL CONCETTO DI ONDA 11

II ONDE SINUSOIDALI: LORO AMPIEZZA E POTENZA 20 III MEZZI E MODI 25 IV VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO 28 v RAPPRESENTAZIONE VETIORIALE E COMPLESSA 42

VI MODI ACCOPPIATI 48 VII MODI ACCOPPIATI: L'ALTRA SOLUZIONE 56

VIII ARMONICHE SPAZIALI E ACCOPPIAMENTO 59 IX ACCOPPIAMENTO E MEZZI A PARAMETRI VARIABILI

CON CONTINUIT 67 x ONDE E FORZE 77

XI ENERGIA E QUANTIT DI MOTO DELLE ONDE IN UN MEZZO IN MOVIMENTO 92

XII ENERGIA E MOMENTO DELLA QUANTIT DI MOTO IN MEZZI ROTANTI 102

XIII AMPLIFICATORI PARAMETRICI 108

XIV POLARIZZAZIONE 115 xv ONDE PIANE E QUASI PIANE 126

XVI ANTENNE E DIFFRAZIONE 141 XVII L'EQUAZIONE DELLE ONDE IN FORMA SCALARE 153

XVIII IRRAGGIAMENTO 161 XIX RETROSPETTIVE E PROSPETTIVE 175

INDICE ANALITICO 180

Premessa

Al giorno d'oggi i fisici e gli ingegneri hanno a loro disposizione due validi strumenti: l'elaboratore e la matematica. Servendosi del primo, una persona che conosca le leggi fisiche che governano il comportamento di un certo dispositivo o sistema, pu calcolare il comportamento di quel dispositivo o sistema in casi particolari, anche se ha limitate conoscenze di matematica. Attualmente il principiante pu ottenere risultati numerici che vanno ben oltre le possibilit del pi esperto matematico del periodo precedente l'avvento dell'elaboratore. Cosa dire, allora, del valore della matematica nel mondo odierno?

Essa affascina oggi come sempre in passato e merita certamente l 'impegno di coloro che ne sono affascinati. Ma che dire della persona che ha un interesse pratico, della persona che desidera usare la matematica?

Oggi l'utente della matematica, fisico o ingegnere che sia, ha bisogno di conoscerne assai poca per ottenere delle risposte numeriche particolari. Forse pu persino fare a meno di quelle funzioni complicate che sono state usate per studiare la struttura della materia. Ma anche solo un po' di matematica pu dare al fisico o all'ingegnere qualche cosa a cui assai duro pervenire con l'elaboratore, e cio una comprensione del problema dall'interno.

Le leggi di conservazione dell'energia meccanica e della quantit di moto si possono desumere semplicemente dalle leggi del moto di Newton. Le leggi sono semplici, la loro applicazione universale. Non vi alcun bisogno dell'elaboratore, che pu invece essere riservato a problemi di maggiore complessit.

7

Allo stesso modo, si pu imparare parecchio sulle onde con un po' di semplice matematica, come spero di dimostrare in queste pagine. Il libro non indica la maniera migliore per ottenere la risposta a un particolare problema complicato. Esso dice di quale tipo la risposta dovr essere: per esempio, che cosa deve succedere quando le onde siano accoppiate e che relazioni devono valere tra energia e quantit di moto delle onde.

Alcuni anni fa, Harald T. Friis ha dato una dimostrazione molto semplice della sua formula di trasmissione delle onde radio, cosa che non era riuscita a matematici e fisici ben pi abili. Ci mi ha portato a credere che molte altre caratteristiche delle onde potessero essere spiegate con poca matematica. Il fascino del tentativo mi ha indotto a scrivere questo libro.

Il libro non stato scritto senza un considerevole sforzo di comprensione di certi argomenti. L'autore particolarmente grato a Hermann A. Hans e a Charles H. Papas per il loro sostanziale aiuto, e specialmente a Tse Chin M o che ha letto due versioni del testo, commentandole e dando preziosi suggerimenti.

8

TUTTO (O QUASI) SULLE ONDE

A Ed e Ann David che mi sono stati preziosi

I

Il concetto di onda

questo uno dei grandi concetti unificanti della fisica. Gli uomini hanno osservato le onde fin dai tempi pi remoti . Nel XV secolo, Leonardo da Vinci scriveva : L'impeto molto pi veloce che l'acqua, perch molte sono le volte che l 'onda fugge i l loco della sua creazione, e l'acqua non si move di sito ; a similitudine dell'onde fatte il maggio nelle biade dal corso de' venti, che si vede correre l 'onde per le campagnie, e le biade non si movano dal loro sito (da Del moto e misura dell'acqua). Chiaramente Leonardo si rendeva conto che, quando un'onda d'acqua si muove da un luogo a un altro, non viene concretamente accompagnata dall'acqua stessa.

La fisica moderna piena di onde : le onde dei terremoti studiate dai sismologi ; le onde e le increspature degli oceani, dei laghi e degli stagni ; le onde sonore che viaggiano attraverso l'aria ; le onde meccaniche nelle funi tese o nei cristalli di quarzo che si usano per controllare le frequenze dei trasmettitori radio ; le onde elettromagnetiche (che costituiscono anche la luce) irradiate dai trasmettitori e ricevute dagli apparecchi radio e infine le onde di . . . che cosa? - forse di probabilit - che vengono usate in meccanica quantistica per predire il comportamento di elettroni, atomi e sostanze complesse.

Che cosa sono le onde? Esse non sono terra, n acqua o.aria, n acciaio o budello o quarzo, e tuttavia si propagano in queste sostanze. I fisici del XIX secolo si sentirono costretti a riempire il vuoto dello spazio con un etere in grado di trasmettere onde elettromagnetiche ; e tuttavia una sostanza

11

cos arbitraria sembra pi una scappatoia per acquietare delle menti turbate che non una spiegazione valida di un fenomeno fisico. Quando si arriva a considerare le onde della meccanica quantistica, i fisici non riescono nemmeno a offrirei un'interpretazione fisica universalmente accettata delle onde di cui essi stessi si occupano, anche se poi sono tutti d'accordo sul modo di servirsene per predire l'andamento di vari esperimenti .

Piuttosto che interrogarsi su che cosa siano le onde, bisognerebbe piuttosto chiedersi che cosa si pu dire delle loro caratteristiche. In questo caso non vi alcuna confusione. Noi riconosciamo nelle onde un tipo di comportamento che pu essere descritto matematicamente in termini che sono sempre gli stessi, anche se vengono applicati a sistemi fisici che possono essere assai differenti. Cos, una volta riconosciuto che un certo fenomeno pu essere descritto in termini di onde, si possono affermare e predire molte cose sul fenomeno stesso, anche se non si compreso chiaramente il meccanismo grazie al quale le onde sono generate e trasmesse. La natura ondulatoria della luce fu compresa (e molte delle importanti conseguenze di tale sua natura furono poste in evidenza) molto prima che si potesse semplicemente immaginare l ' idea di un'onda elettromagnetica nello spazio. Di fatto, quando venne proposta la spiegazione elettromagnetica della natura fisica della luce, molti fisici, che pure avevano chiaramente riconosciuto come la luce dovesse essere un fenomeno di tipo ondulatorio, si rifiutarono di accettarla.

I pi importanti principi riguardanti le onde possono essere studiati per mezzo di esempi semplici e alla portata di tutti . Non appena arrivati a comprendere il comportamento di queste onde, se ne possono astrarre dei concetti che sono validi per tutti i -tipi di onde, ovunque accada di incontrarli .

Una cosa subito evidente a proposito delle onde : come ogni oggetto in moto, le onde in movimento trasportano energia da un punto all 'altro.

Le onde elettromagnetiche, luminose e termiche, che raggiungono la Terra provenienti dal Sole, hanno una potenza di circa l kW j m2 Le celle solari possono convertire in energia elettrica circa un decimo dell'energia solare che incide su di esse, e grazie a queste celle i satelliti per telecomunicazioni e altri veicoli spaziali vengono alimentati da energia solare. Le piante trasformano l 'energia delle onde elettromagnetiche provenienti dal Sole in energia chimica : quando noi bruciamo la legna o il carbone, utilizziamo e liberiamo questa energia. I trasmettitori televisivi irradiano onde elettromagnetiche con potenze dell' ordine di decine di migliaia di Watt. Ogni apparecchio televisivo ricevente raccoglie una minuscola frazione della potenza totale trasmessa. Le onde del mare battono sulle coste

12

IL CONCETTO DI ONDA

con enorme energia : durante una tempesta, il mare pu spostare rocce pesanti diverse tonnellate. La potenza delle onde sonore prodotte dalla voce umana, invece, molto ridotta. In ogni caso, le onde trasportano energia da un punto all'altro, anche se la quantit di energia in gioco pu variare di molto, a seconda del fenomeno considerato.

Come la materia in movimento, anche le onde in movimento posseggono una certa quantit di moto. Quando le onde vengono assorbite o riflesse da un oggetto, tendono a esercitare una pressione su di esso . Di norma la quantit di moto delle onde meno evidente della loro energia. Tuttavia nel maggio 1 95 1 , Russell Saunders pubblic un articolo Velieri nello spazio (sulla rivista 'Astounding Science Fiction') in cui si dimostrava che era teoricamente possibile far viaggiare una nave spaziale attraverso il sistema solare sfruttando la pressione esercitata dalla luce su enormi vele. Inoltre, per comprendere le propriet e il comportamento delle sostanze solide, i fisici devono prendere in considerazione la quantit di moto delle onde sonore e luminose.

Da ultimo, un'onda impiega un certo tempo per passare da un punto a un altro : cio, le onde hanno una velocit. Le onde luminose viaggiano molto rapidamente (300 000 km l s) ; le onde sonore, che giungono alle nostre orecchie attraverso l'aria, si muovono pi lentamente (circa 1 200 km l h, o 340 m l s). Nell'acqua e nei solidi il suono viaggia pi rapidamente. Sulla superficie dell'acqua le onde si propagano pi lentamente.

Energia, quantit di moto e velocit sono le principali propriet delle onde. Un'altra, sorprendente, propriet di molte onde la linearit.

Quando si gettano due sassi in uno stagno, i cerchi via via allargantisi non si influenzano reciprocamente : un gruppo di ondine passa imperturbato attraverso l'altro. Il quadro complessivo delle intersezioni pu sembrare complicato ai nostri occhi, ma pu essere visto come formato da due gruppi indipendenti di cerchi in espansione. Quando due persone si parlano, le onde sonore delle loro voci non rimbalzano incontrandosi, ma si attraversano. I deboli raggi delle stelle non vengono influenzati dalla luce del Sole che devono attraversare per raggiungere il nostro cielo notturno.

Quelle onde che non influenzano il passaggio di altre onde sono dette lineari perch l'effetto globale di due tali onde non altro che la loro somma, come se le due onde esistessero indipendentemente l'una dall'altra. Quando due onde lineari, con creste di altezza H1 e H2 si incontrano, l 'altezza massima semplicemente H1 + H2 : cio si ha una relazione lineare. Nel caso di onde lineari , un'onda di altezza 2H identica a due onde di altezza H che esistano nello stesso posto allo stesso istante. Per onde lineari, la velocit non pu dipendere dall'altezza o dall'ampiezza dell 'onda, poich

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un'onda di grande ampiezza pu sempre essere considerata come la somma di un certo numero di onde di ampiezza minore.

Poche onde sono perfettamente lineari. Molte per (ad esempio quelle sonore) si approssimano tanto a questa condizione, almeno entro il normale intervallo di intensit, che, trattate come se fossero lineari, danno risultati quasi perfettamente concordanti" con l'esperienza. In questo libro ci si occuper quasi esclusivamente di onde lineari .

Noi tutti sappiamo che cos' l'eco. Quando gridiamo rivolti verso una superficie verticale (la facciata di un edificio, la parete di una roccia), il suono della voce viene riflesso dalla superficie solida e ritorna indietro. Ci molto simile al rimbalzare di una palla contro un muro ; con alcune differenze, per.

Una differenza l'abbiamo appena vista. Se noi buttassimo contro il muro molte palle simultaneamente, esse potrebbero anche venire 'riflesse' (rimbalzando via) tra di loro oltre che dal muro. Le onde lineari (e le onde sonore di moderata intensit lo sono) passano l'una attraverso l 'altra. Cos se noi gridiamo in una grande stanza a pareti piene, possiamo sentire echi senza fine del suono riflesso dalle pareti, echi che alla fine svaniscono in un rumore debole e confuso. Gli studiosi di acustica parlano di tempo di riverberazione per indicare il tempo nel quale la potenza (o l'energia) iniziale diminuisce di un milione di volte.

La riflessione delle onde presenta un'altra differenza rispetto alla 'riflessione' di oggetti solidi , come le palle. Un oggetto solido ha una sua forma definita, che mantiene anche dopo la riflessione. E un'onda ? La forma di un'onda pu essere molto alterata dalla riflessione. Se essa urta una superficie rugosa pu essere diffusa o riflessa in molte direzioni diverse. Una palla pu ritornare indietro, dopo una riflessione contro una superficie rugosa, lungo una direzione qualsiasi, ma non in tutte le direzioni contemporaneamente. Qui non si tenter di spiegare a fondo il complesso problema della riflessione delle onde. C' tuttavia un caso speciale, molto importante e al tempo stesso molto semplice.

Nella FIG. l rappresentata con una curva un'onda che si avvicina a una superficie. Questa curva pu rappresentare la variazione di pressione, o di campo elettrico, o di spostamento di una fune tesa, in funzione della distanza (lungo la direzione z). Si supponga che la curva viaggi verso destra (nella direzione + z) con velocit v e che urti una superficie perfettamente riflettente. Che forma avr l'onda riflessa ?

Due semplici possibilit sono rappresentate in FIG. 2. In entrambi i casi l 'onda viaggia da destra verso sinistra e la forma dell'onda stata ribaltata da sinistra a destra. Questo ragionevole in quanto la parte dell'onda che

1 4

IL CONCETTO DI ONDA

per prima urta l'ostacolo riflettente deve anche tornare indietro per prima. Inoltre l ' onda pu essere riflessa come in a) o come in b). La riflessione

in b) la versione negativa della riflessione in a) . Se l 'onda originaria rappresentava una pressione superiore alla media, l 'onda riflessa in b) sta a indicare una pressione inferiore alla media. Allo stesso modo per riflessione un campo positivo pu essere variato in uno negativo oppure uno spostamento verso l 'alto di una fune in uno verso il basso. Ci ragionevole ?

Si pensi a un'onda di tensione che viaggi lungo una linea di trasmissione. Se la linea aperta all'estremit, come mostra la FIG . 3 in a), l 'onda viene riflessa, e la riflessione quella di FIG. 2 a). Tuttavia, se la linea cortocircuitata come in FIG. 3 b) l'onda riflessa come in FIG. 2 b). Perch ? Se la

Figura l

Figura 2

Figura 3

linea cortocircuitata nel punto dove avviene la riflessione, la tensione in quel punto deve essere nulla. Quindi, durante il processo di riflessione, la somma della tensione dell'onda incidente pi la tensione dell'onda riflessa

1 5

deve sempre essere uguale a zero. Di conseguenza, istante per istante, durante la riflessione, l 'onda riflessa deve avere segno opposto rispetto all'onda incidente.

Si consideri ora un'onda che rappresenti lo spostamento laterale di una corda tesa. Se quest'onda viene riflessa da un oggetto solido al quale fissata la fune, l 'onda riflessa deve essere la versione negativa dell'onda incidente, come in FIG. 2 b). Quando si pizzica la corda di una chitarra, si genera un'onda che viaggia avanti e indietro tra le estremit della corda stessa. L'onda ripetutamente riflessa a ciascuna estremit, dove la direzione di propagazione viene invertita e dove l 'onda riflessa viene anche resa negativa rispetto a quella incidente. Quando l'onda stata riflessa due volte, una volta per ciascuna estremit della corda, ha ripreso direzione e forma originarie. Se la lunghezza della corda L, l'onda generata dalla perturbazione deve percorrere una distanza 2L per tornare nella posizione iniziale con la stessa forma e direzione di propagazione dopo la riflessione a ciascuna delle due estremit. Se v la velocit dell'onda, l 'onda attra- versa questa distanza (2L) f volte al secondo, con

v f = 2L . ( l )

La frequenza f l'altezza del suono prodotto dalla corda. Se s i pone un dito su un capotasto in modo da dimezzare la lunghezza della corda, l 'altezza viene raddoppiata e la nota sale di un'ottava, ossia si raddoppia la frequenza.

Il rapporto delle altezze di due semitoni la radice dodicesima di due. Questo determina la spaziatura dei capitasti della chitarra. II rapporto delle distanze L1 e L2 di due capitasti successivi dal ponticello sempre pari a

L2 L l

l 212 = 1 ,05946

come si pu vedere nella FIG . 4.

(2)

La velocit con la quale un'onda viaggia lungo una corda tesa (ad esempio in una chitarra, o in un pianoforte) dipende dalla tensione della corda e dalla sua massa per unit di lunghezza. Maggiore la tensione, maggiore la velocit e pi alto il suono ; riguardo alla massa, a un suo aumento corrisponde una diminuzione della velocit e dell'altezza. Le corde per le note basse, in un pianoforte, sono ricoperte di filo attorcigliato per renderle pi massicce e questo diminuisce sia la velocit sia l'altezza del suono.

In questo capitolo si visto un certo numero di caratteristiche delle on-

16

IL CONCETTO DI ONDA

de, considerando in maggiore dettaglio casi speciali di riflessione. Nei capitoli successivi verranno approfonditi alcuni degli argomenti introdotti in questo capitolo. Si vedr che ci sono due tipi di velocit : velocit di

Figura 4

fase e velocit di gruppo; bisogner inoltre considerare molto attentamente la quantit di moto delle onde, per poterla comprendere bene. Si noti che facile definire energia, quantit di moto e velocit solo per un tipo particolarmente semplice di onda, l 'onda sinusoidale. Per fortuna, altri tipi di onde possono venire rappresentati come somme di onde sinusoidali.

Nel seguito si vedranno alcune conseguenze di quelle propriet delle onde che si cominciato a descrivere. I sistemi a microonde e radar si servono di accoppiatori direzionali che trasferiscono parte dell'onda da una guida d'onda a un'altra: vedremo come si possono comprendere le caratteristiche di tali dispositivi senza dover considerare in che modo le onde ele ttromagnetiche differiscano dalle altre.

Alcuni tipi di altoparlanti, come quelli per le alte frequenze (i tweeters), sono forniti di specie di imbuti detti trombe e si vedr l ' importanza della risposta in frequenza di queste trombe. I satelliti per telecomunicazioni e

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molti altri sistemi di comunicazione a microonde si servono di tubi a onda progressiva per amplificare i segnali che trasmettono ; in questi tubi l'energia a microonde in uscita fornita da un fascio di elettroni in movimento. Si pu comprendere il meccanismo di amplificazione studiando l'energia e la quantit di moto delle onde entro un mezzo in movimento senza dovere necessariamente considerare le caratteristiche delle onde entro un fascio di elettroni .

Gli amplificatori parametrici vengono usati frequentemente per amplificare segnali a microonde molto deboli ; in un amplificatore parametri co la sorgente di guadagno un parametro (induttanza, capacit, costante dielettrica, velocit dell'onda) variabile nel tempo. Si arriver a capire in termini semplici come e a quali condizioni un'onda potente e non lineare possa agire su onde lineari deboli e farle crescere in funzione della distanza ; oppure come le onde possano essere irradiate con varie configurazioni direzionali (come avviene con le antenne radio) e si trover la frazione di potenza trasmessa che viene ricevuta da un'antenna a microonde.

Pi avanti si dir qualche cosa anche sulla potenza irradiata da corpi che viaggiano a velocit superiore a quella di un'onda piana, siano essi elettroni che si propagano in un dielettrico oppure imbarcazioni che si muovono sull'acqua.

Nei capitoli seguenti di questo libro si prenderanno in considerazione sia le propriet fondamentali delle onde sia gli effetti di queste propriet su una grande variet di applicazioni pratiche.

Problemi

1.1 Si consideri un'onda avente una semplice forma rettangolare invece di quella curva mostrata in FIG. l. Si rappresenti graficamente l'onda negli stadi successivi della riflessione, assumendo che venga riflessa : a) come in FIG. 2 a) ; b) come in FIG. 2 b). Si mostri anche la sovrapposizione dell'onda incidente su quella riflessa.

1.2 Un'onda acustica che si propaga in un tubo (una canna d'organo, per esempio) viene riflessa, all'estremit, con in FIG. 2 a) se il tubo chiuso, oppure come in FIG. 2 b) se l'estremit del tubo aperta. Si trovi l'espressione dell'altezza del suono in funzione della lunghezza del tubo e della velocit dell'onda nei seguenti casi : a) tubo aperto alle due estremit ; b) tubo aperto da una parte e chiuso dall'altra ; c) tubo chiuso a entrambe le estremit.

1.3 Una canna d'organo aperta a un'estremit e chiusa all'altra. Quale deve essere la lunghezza della canna per produrre un suono di 440 Hz (che corrisponde al /a3)?

1.4 Qual l'altezza a) in una canna lunga 3 m chiusa a entrambe le estremit ; b) in una linea di trasmissione lunga 3 m cortocircuitata all'inizio e alla fine ?

1 8

IL CONCETTO DI ONDA

1.5 Qualche volta si bloccano le corde di una chitarra tra i segnatasti con una specie di molletta, che si chiama capotasto mobile. Che cosa succede se si impostano le dita al disotto della molletta allo stesso modo in cui si impostavano a partire dall'inizio delle corde quando non c'era la molletta ?

1.6 Una torre alta 1 50 m viene utilizzata come antenna radio ; il terreno alla base un buon conduttore: qual l'altezza (cio la frequenza alla quale l'antenna risuona) ?

1.7 In un pianoforte moderno (costruito in base a una scala musicale a temperamento equalizzato, o ben temperata) l 'intervallo di semitono (cio il rapporto fra le altezze

l di un tasto, bianco o nero che sia, e del suo successivo) sempre uguale a 212, cio approssimativamente 1 ,05946. Su un pianoforte ben temperato, gli intervalli di quinta, quarta e terza sono composti rispettivamente da 7, 5 e 4 semitoni. A intervalli 'ideali'

3 4 5 di quinta, quarta e terza corrispondono invece, rispettivamente, i rapporti l' 3' 4 Qual la percentuale di errore dei tre intervalli ben temperati rispetto ai corrispondenti ideali ?

1 9

II

Onde sinusoidali: loro ampiezza e potenza

Basta pensare a un mare in burrasca, per rendersi conto di come le onde possano essere complicate. In generale, conviene partire da esempi semplici per arrivare poi a comprendere i fenomeni pi complessi ; si comincer perci qui con l'analizzare le onde guidate, come le onde meccaniche che si propagano lungo una fune tesa o le onde elettromagnetiche trasmesse in cavi coassiali, piuttosto che le onde sulla superficie del mare, oppure le onde sonore o radio che si propagano in spazi aperti.

Inoltre si considereranno dapprima quelle onde che variano in modo semplice e caratteristico nello spazio e nel tempo durante il loro movimento nel mezzo guida : le onde in questione sono le onde sinusoidali .

Per poterne parlare, bisogna introdurre una grandezza che specifichi l'ampiezza dell'onda in un dato istante e per una particolare posizione : questa ampiezza pu essere il valore di un campo elettrico o magnetico, oppure la tensione o la corrente elettrica in un certo punto a un dato istante ; pu essere la pressione o la velocit associata a un'onda sonora, o anche lo spostamento trasversale di una fune tesa o la velocit con la quale questo spostamento varia nel tempo.

Qualunque sia la natura dell'onda e qualsiasi grandezza stia a indicare l'ampiezza di un'onda in un dato istante di tempo e punto dello spazio, verr adoperato sempre lo stesso simbolo, S, per designare questa ampiezza. Si consideri una qualsiasi onda sinusoidale che si propaghi in una direzione z; se si usa la funzione coseno (come pi comodo, invece della

20

ONDE SINUSOJDALI: LORO AMPIEZZA E POTENZA

funzione seno), l'ampiezza S dell'onda sinusoidale varia in funzione del tempo e della distanza secondo la legge

S = S0 cos (wt - kz +

Figura 5

Figura 6

Se si passa da una cresta di un'onda alla successiva, la distanza percorsa rispetto all'onda di una lunghezza d'onda, cio una distanza . L'angolo w deve variare di 2n rad nel passare da cresta a cresta, per cui si ottiene :

k = 2n, 2n

k = -.-. ( lO)

Se la frequenza f il numero di creste che passano per un punto in l s, il periodo T dell'onda :

l T = /

-.

Dalle (8) e (Il ) si ha: .

v = r

(Il )

( 1 2)

Si ha cio la velocit espressa come il rapporto tra la distanza . e il tempo T che intercorre nel passaggio di due creste successive.

22

ONDE SINUSOIDALI: LORO AMPIEZZA E POTENZA

Le relazioni fin qui trovate si riferiscono alla forma e al comportamento di un'onda descritta in rapporto alla sua ampiezza S; un altro aspetto importante delle onde la potenza. Per generare un'onda radio si deve continuamente fornire una potenza (un certo numero di Watt, o di kilowatt) che l 'onda poi convoglia ; il vento cede potenza alle onde che produce nel mare ; un altoparlante non pu produrre onde sonore senza che gli venga fornita potenza elettrica.

La potenza di un'onda proporzionale al quadrato della sua ampiezza; si consideri l'onda descritta dall'equazione (gi vista) :

S = S0 cos (w t - kz + tp ). (13)

La potenza istantanea, Pi, proporzionale a S2 ; si pu scegliere opportunamente l'unit di misura di S, in modo che sia :

Pi. = 2S2 = 2S cos2 (wt - kz + lP) (14)

che, grazie alla semplice relazione trigonometrica

l cos2 fJ = T ( l + cos 2fJ),

diventa :

pi = s [ l + cos 2 (wt - kz + tp)]. (15) Si pu osservare nella (15) che la potenza istantanea di un'onda varia

nel tempo con una pulsazione 2w ; la potenza massima quando l'ampiezza, data dalla (13), raggiunge il suo valore massimo, positivo o negativo ( + S0 oppure - S0), in quanto

(+ So)2 = S = (- SoP

Dalla (15) si vede che il valor medio di cos 2 (wt- kz + q>) nullo e quindi la potenza media, P, risulta semplicemente :

P = s. (16) Nel seguito la potenza media P sar spesso chiamata brevemente poten

za, senza tener conto del fatto che in realt la potenza oscilla tra O e 2P con frequenza 2w. Bisogna tuttavia tenere presente che la potenza di un'onda varia periodicamente ma con una frequenza doppia di quella dell 'ampiezza.

Pu essere utile riassumere alcune delle relazioni di questo capitolo ; quelle riguardanti pulsazione w, frequenza f, vettore d'onda k, velocit di

23

fase v, lunghezza d'onda ;. e periodo T sono rispettivamente:

s S0 cos D, {} wt - kz + tp,

w ). v = - .l.f, k T w 2nf,

2n k

).

e quelle riguardanti potenza istantanea P1 e potenza media P sono :

Pi = s ( l + cos 2D) , P = s.

Queste ultime due relazioni sono valide so10 se S0 misurata in unit tali che

pi = 2S2.

La potenza una grandezza che ha anche un verso : una potenza P nella direzione + z la stessa che - P nella direzione - z.

Problemi

2.1 Partendo dalla relazione S denti alle (14), ( 15) e ( 1 6).

2.2 Si abbiano due onde tali che

S0 sin (wt- kz + tp) ricavare le relazioni corrispon-

S = S1 COS (wl t- k1z + 'Pl) + S2 COS (w2t- k2z + 'P2); se P1 = 2S2, qual la potenza istantanea e quella media, nell'ipotesi che w1 =1- w2? 2.3 In quale direzione viaggia l'onda S = S0 cos (wt + kz + tp1) ? Quali sono la potenza media e quella istantanea ?

2.4 Quali sono la potenza media e quella istantanea dell'onda

S = S0 [cos (wt + kz) + cos (wt- kz)]?

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III

Mezzi e modi

Una fune tesa un mezzo lungo il quale, o attraverso il quale, si possono propagare delle onde. Ci porta di solito a pensare alle onde trasversali che si ottengono pizzicando o percuotendo la fune ; vi sono per altri tipi di onde che si possono propagare lungo di essa.

Quando si percuote una lunga barra a un'estremit (parallelamente al suo asse), essa 'suona', poich onde longitudinali si propagano avanti e indietro lungo di essa ; se poi la si torce bruscamente, sempre a un'estremit, al suo interno si propagano delle onde torsionali .

Se si considerano delle onde elettromagnetiche viaggianti in un tubo, o guida d 'onda, si possono osservare molte configurazioni di campo differenti, che si propagano nel tubo, ciascuna con una velocit diversa. Alcuni esempi di queste configurazioni sono illustrati in FIG. 7.

D'altra parte, se si fissa l'attenzione sul mezzo materiale che fa da supporto alle onde, ci si imbatte in complicazioni di ogni tipo ; per fortuna, vi un'altra via per accostarsi allo studio delle onde stesse. La maggior parte delle loro caratteristiche di comportamento non dipende dalla natura particolare dell'onda, o dal tipo di disturbo che la costituisce. Si pu gi imparare molto sull'onda stessa definendola semplicemente come un tipo particolare di perturbazione, o modo, del mezzo nel quale essa viaggia. Le equazioni del capitolo precedente descrivevano un'onda, o un modo, particolare tra tutti quelli che si potrebbero propagare in un mezzo.

Cos, per le onde in una fune tesa, si pu caratterizzare l 'onda sinusoi-

25

Figura 7 dale trasversale nel piano verticale come un modo e l'onda nel piano orizzontale come un altro modo. Ma si pu anche andare oltre : un'onda sinusoidale trasversale pu viaggiare lungo la fune in due direzioni : in avanti, con velocit v, o all'indietro, con velocit - v. Queste due onde, pro-

26

MEZZI E MODI

gressiva e regressiva, vengono considerate come due modi distinti, anche se differiscono solo nella direzione di propagazione. D'altra parte, onde sinusoidali simili, ma con diversa frequenza, vengono rappresentate da uno stesso modo se a una piccola variazione di frequenza corrisponde una leggera variazione della forma o della velocit dell'onda.

Se si vuole esprimere qualsiasi possibile perturbazione o eccitazione di un mezzo, bisogna considerare tutti i modi e tutte le frequenze possibili ; per molti fenomeni di pratica utilit possono essere compresi analizzando solamente uno o due modi, e ci certamente pi semplice che non avere a che fare con il problema generale dell'eccitazione del mezzo.

Il comportamento che verr studiato nei prossimi capitoli caratteristico di molti tipi di onde : onde viaggianti in funi tese, o sonore, o elettromagnetiche. Quando verr usata la parola 'onda', si intender in realt un modo. Come si gi fatto notare, le equazioni del capitolo II descrivono un singolo modo, e ci vale anche per il seguito, a meno che non venga esplicitamente dichiarato che si analizzano pi modi.

Qui il termine 'modo' star a indicare un'onda che viaggia a velocit costante in un mezzo che non cambia propriet con la distanza, anche se la parola ha di solito un significato pi ampio. Nel capitolo IX verranno considerate le onde in un mezzo avente caratteristiche variabili con continuit ; anch'esse si possono assimilare ai modi : verranno infatti risolte come combinazioni di modi di mezzi isotropi.

Il lettore tenga presente che la trattazione svolta in questo libro si riferisce ai modi nel senso stretto di onde viaggianti a velocit costante in un mezzo isotropo. Qualcuna delle conclusioni, ma non tutte, si pu applicare anche ai modi nei mezzi a parametri variabili con continuit.

Problemi

3.1 Quanti modi vi sono in una fune tesa ?

3.2 Una 'linea bifilare schermata' costituita da due fili entro un tubo metallico : quanti modi possiede ?

3.3 Un sistema trifase di trasmissione di potenza formato da tre fili aerei paralleli : quanti modi vi sono i n tale sistema?

3.4 Oltre un certo intervallo di altezze, in un pianoforte vi sono tre corde per nota. Quanti modi vi sono fra queste tre corde ? Quante differenti velocit o altezze possono esservi ?

27

IV

Velocit di fase e velocit di gruppo

Nel capitolo II si visto che la velocit v dell'onda poteva essere espressa in diverse maniere ; dalle equazioni (7) -;- ( 1 2) si ha :

;. w v= J.f = r k.

Onde sinusoidali d i diverse frequenze (o periodi) hanno velocit v o vettori d'onda k differenti ; la relazione tra frequenza (o periodo) e vettore d'onda (o lunghezza d'onda) pu essere espressa graficamente trae-

28

Figura 8 Figura 9

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

ciando l'andamento di w in funzione di k ; questo grafico riportato in FIG . 8. Per un certo punto sulla curva, e cio per un dato valore della pulsazione w e del vettore d'onda k, la velocit v uguale a w j k: questa la pendenza di una retta per l'origine e passante per il punto P (k, w) .

In qualche caso il grafico rappresentante w in funzione di k una linea retta, come si vede dalla FIG. 9; in questo caso la pendenza di una retta che da qualsiasi punto della curva passi per l 'origine costante ed proprio il coefficiente angolare della retta che rappresenta la relazione che intercorre tra w e k. Quando questo avviene, vuoi dire che la velocit v la stessa per onde di qualsiasi frequenza. I modi per i quali v indipendente dalla frequenza vengono detti modi non dispersivi. Perch viene usato tale termine? In FIG. IO sono rappresentate, a un dato istante, le ampiezze di due onde, a) e b), con diverse frequenze e lunghezze d'onda; l'ampiezza dell'onda somma di queste due, sempre in quel dato istante,

Figura 10

29

mostrata in c). Se le due onde componenti a) e b) si propagano verso destra con uguale velocit v, la loro somma c) mantiene la stessa forma che si sposta semplicemente verso destra con velocit v. Se le velocit di a) e di b) fossero differenti, le due onde durante il loro moto slitterebbero l 'una rispetto all'altra e la loro somma cambierebbe forma durante il movimento delle onde stesse.

Un modo pu essere eccitato da un breve impulso (come quello mostrato in FIG. Il), che pu essere considerato come somma di onde sinusoidali di diverse frequenze. Se il modo non dispersivo, cio se le onde sinusoidali di diversa frequenza che costituiscono l' impulso viaggiano tutte

Figura 11

con la stessa velocit, esse si muovono tutte insieme e l'impulso mantiene la propria forma durante il moto ; se la velocit v diversa per le varie frequenze, succede che alcune componenti ritardino o anticipino rispetto ad altre, per cui l ' impulso si allarga o si 'disperde' (nel senso che perde la forma originaria) durante il moto. Quindi un modo dispersivo ,quello per cui la velocit varia con la frequenza e di conseguenza gli impulsi si allargano o disperdono durante il moto ; di contro, se la velocit non varia con la frequenza (cio se la curva w = w (k) una retta passante per l 'origine) il modo non dispersivo e l'impulso mantiene nel tempo la forma iniziale .

Alcuni segnali complicati sono composti da frequenze che differiscono tra loro di molto poco : per esempio, un segnale radio modulato in ampiezza viene prodotto controllando l'ampiezza di un'onda portante ad alta frequenza per mezzo di un segnale che contiene solamente basse frequenze. La FIG. 1 2 mostra in a) l'impulso a bassa frequenza che cresce e diminuisce lentamente nel tempo, in b) il segnale portante sinusoidale ad alta frequenza e in c) il segnale modulato in ampiezza che si ottiene moltiplicando a) per b). Che cosa succede quando un'onda come quella in c) viene trasmessa in un modo dispersivo?

Le frequenze componenti il segnale modulato in ampiezza di FIG 12 c) si possono ottenere moltiplicando separatamente ogni frequenza che com-

30

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

Figura 12

pone il segnale a bassa frequenza per la frequenza dell'onda portante di pulsazione w0 Si prenda per semplicit una sola componente a bassa frequenza di pulsazione q; si chiami Q la parte del prodotto del segnale modulante e della portante data da :

Q = (cos qt) (cos w0t) ( 17) che, tenendo presente una relazione trigonometrica, diventa

l Q = 2 [cos (w0 + q) t + cos (w0 - q) t ] . ( 1 8)

Quando le due frequenze di pulsazione (w0 + q) e (w0 - q) vengono trasmesse secondo un modo dispersivo, una di esse viaggia con velocit leggermente diversa dall'altra. Sia k0 il valore di k corrispondente alla frequenza della parte w0 e s la pendenza della curva w = w (k) per w = w0 ; allora k per la parte w0 + q assume il valore k +, dato da :

q k+ = k0 + -.

s Allo stesso modo, k per w0 - q vale k _ e cio :

k _ q

k - -0 s

( 19)

(20)

3 1

Quando le due componenti hanno raggiunto la distanza z, il loro prodotto Q., che per z = O era dato dalla ( 1 8), diventa :

Q. = +{cos [(w0 + q) t - k0z- :z J + cos [(w0- q) t+

che grazie a un'identit trigonometrica diventa :

(2 1 ) Qui si nota che l 'onda portante ad alta frequenza w0 si propaga alla

velocit v data da :

W o v = k ' o mentre la funzione modulante cos qt, dove q una bassa frequenza, viaggia alla velocit Vg data da :

Vg = S. (22)

Quanto sopra verificato per tutte quelle frequenze della funzione modulante per le quali la pulsazione q sia cos piccola che la pendenza s della curva w = w(k) non cambi apprezzabilmente nel passare da w0- q a w0 + q.

La quantit Vg, cio la pendenza della curva w = w(k), detta velocit di gruppo; essa la velocit con la quale una funzione d'ampiezza sovraimposta a un'onda portante si propaga lungo la direzione z. La funzione d'ampiezza pu essere un impulso come quello di FIG. 12 ; in questo caso, un impulso oscillante, come quello in c) della stessa figura, viaggia lungo la direzione z con velocit vg . A sinistra e a destra dell'impulso non vi energia, che invece localizzata all'interno dell' impulso. Di conseguenza la velocit di gruppo la velocit con la quale l'energia di un'on-

32

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

da si propaga lungo la direzione z; se E l 'energia per unit di lunghezza, la potenza P, cio il flusso di energia per unit di tempo, espressa da :

(23)

Se v g positivo (pendenza positiva) l'energia dell'onda si sposta verso destra ; se v g negativo (pendenza negativa) l'energia va verso sinistra.

La FIG. 1 3 mostra che la velocit di gruppo pu essere sia minore sia maggiore della velocit di fase.

interessante vedere qualche semplice esempio di modi dispersivi : le

.Figura 13

onde elettromagnetiche possono propagarsi attraverso tubi metallici o guide d'onda solo se la loro frequenza maggiore della frequenza di taglio w0 La FIG. 1 4 illustra la relazione tra w e k per due diversi modi di una guida d'onda ; le intercette w01 e w02 sono le frequenze di taglio dei due modi. Si noti che, per la frequenza di taglio, k = O e la pendenza nul-

w la cos come la velocit di gruppo e, in quel punto, la velocit di fase T infinita. Le curve di FIG. 1 4 sono i per boli ; per valori elevati di w e di k,

33

Figura 14

le curve w = w (k) tendono a un asintoto comune, la retta passante per l'origine. La pendenza di questa retta rappresenta la velocit del la luce. In altre parole, se w e k sono grandi sia la velocit di fase v sia la velocit di gruppo vg tendono alla velocit della luce.

Una barra dielettrica lunga e diritta pu guidare un'onda elettromagnetica. Per frequenze molto elevate, la maggior parte dell'energia elettromagnetica si propaga all'interno della barra e il campo elettromagnetico all'esterno diminuisce rapidamente via via che ci si allontana dalla barra stessa ; in questo caso, la velocit di fase molto prossima a quella di un'onda elettromagnetica che viaggi in uno spazio riempito dal dielettrico. Per frequenze basse, la maggior parte dell'energia elettromagnetica si propaga all'esterno della barra dielettrica e quindi la velocit di fase tende a quella di un'onda elettromagnetica viaggiante nel vuoto o i n aria; la curva w = w (k) rappresentata in FIG. 15. Per frequenze molto basse e molto alte, velocit di fase e velocit di gruppo sono uguali ; per frequenze intermedie, la velocit di fase sempre maggiore di quella di gruppo.

La velocit di gruppo, come si visto, quella del flusso di energia ; si immagini ora che un modo trasporti una certa quantit di potenza P; l a (23) dice allora che se la velocit d i gruppo vg elevata, l'energia per unit di lunghezza E piccola e viceversa se Vg bassa. Considerando le onde nella guida d'onda descritte dalla FIG. 1 4, si vede che la velocit di gruppo molto piccola per frequenze appena superiori a quella di taglio w 01 : questo vuoi dire che per un assegnato flusso di potenza si ha un'elevata densit lineare di energia.

34

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

Figura 15

Nel capitolo Il la potenza media P era stata espressa in termini di ampiezza di picco S0 come :

P = S5 ( 1 6) scegliendo le unit di misura dell'ampiezza S in modo tale che tra la potenza istantanea Pi e l'ampiezza istantanea S valesse la relazione :

( 1 4)

Questo corretto se si considerano onde di un'unica frequenza ; se invece si studia lo stesso modo a varie frequenze, bisogna misurare S con unit volta a volta diverse, perch la ( 14) valga ancora. Se si misura S sempre con le stesse unit (siano volt, dine o km j s) bisogna scrivere:

(24)

dove K una grandezza che varia con la frequenza. Si pu anche esprimere l 'energia media unitaria, E, in termini di So con :

E = AS8. (25)

Per un dato modo, se si misura So sempre con le stesse unit, valgono le relazioni (24) e (25), e K e A possono variare con la frequenza ; tuttavia in molti casi So fisicamente meglio correlabile con l'energia per unit di lunghezza E che non con la potenza P e cos, al variare della frequenza, K varia pi di quanto non faccia A e l 'equazione (25) si rivela molto pi illuminante della (24).

35

Assumendo che A , definito dalla (25), rimanga costante o quasi, si ha :

(26)

e si pu affermare che, per una potenza unitaria (P 1 ) , S0 grande se la velocit di gruppo piccola e viceversa.

Si consideri ora un mezzo le cui propriet variano con continuit con la distanza, per esempio una guida d'onda il cui diametro vada gradualmente riducendosi ; in questo caso la frequenza di taglio di un modo particolare, w01, aumenta con la distanza. Se la variazione sufficientemente graduale, un'onda di una data frequenza si propaga nel mezzo quasi come se le sue propriet non cambiassero ; come si comporta l 'onda in questa situazione ?

Si consideri un'onda di potenza unitaria e di pulsazione w che si propaga in un particolare modo al disopra della frequenza di taglio ; via via

w che la guida d'onda si assottiglia, w01 aumenta e il rapporto -- dimi-woi nuisce. Questo vuoi dire che la velocit di gruppo diminuisce e l 'ampiezza massima S0 aumenta al propagarsi dell'onda lungo la guida conica ; per quel che riguarda la guida d'onda, vuoi dire che l 'ampiezza del campo elettrico aumenta.

Se la guida diventa sufficientemente sottile, w01 diventa uguale a w e quell'onda o modo particolare non pu superare quel punto : viene riflessa cos da produrre un'onda con velocit negativa, che torna indietro lungo la guida. Dalla (26) si potrebbe dedurre che So diventa infinito nel punto ove w = w01 ; questo non avviene perch le equazioni non sono rigorosamente valide per valori nulli di vg. Cionondimeno, se noi inviamo un'onda in una guida d'onda che va via via restringendosi, il valore del campo elettrico e la frequenza di taglio aumentano con il restringersi della guida, e lo stesso comportamento si riscontra in altri casi .

La membrana basale dell'orecchio interno un mezzo di trasmissione che convoglia le onde dalla sua estremit pi ampia, dove c' la staffa (vicino al timpano), a quella pi stretta, all 'apice della coclea. In un certo senso il comportamento della membrana basale (che ha sezione variabile) proprio l 'opposto di quello di una guida d'onda e cio essa trasmette fino a una certa distanza al di l del timpano tutte le onde di frequenza inferiore a quella di taglio wc. Questa frequenza di taglio superiore decresce al diminuire della larghezza della membrana stessa, cosicch solamente le onde a bassa frequenza possono percorrere tutto il cammino dall'estremit prossima al timpano a quella pi stretta all'apice. Le onde di quasi tutte le altre frequenze sono riflesse in determinati punti lungo

36

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

Figura 16

la membrana basale con perdite molto elevate : nel processo di riflessione la maggior parte della potenza dell'onda viene assorbita, cos che l 'onda effettivamente riflessa ha ampiezza trascurabile.

La FIG. 1 6, riportata dal libro The speech chain1, illustra l ' inviluppo dell'ampiezza di un'onda sinusoidale che si propaga lungo la membrana basale da sinistra a destra : l ' inviluppo lo spostamento massimo punto per

1 Denes P. B., Pinson E. H., The speech chain, New York ( 1 973).

37

punto al passare dell 'onda. Per una data frequenza w, l 'ampiezza massima nel luogo o ve avviene la riflessione ; all'aumentare della frequenza questo luogo si sposta verso la staffa (cio verso il timpano) e quindi il luogo ove un'onda ha ampiezza massima dipende dalla frequenza. proprio questa dipendenza che entra in gioco nella nostra capacit di distinguere la frequenza delle onde sonore.

Non molto tempo fa mi capit di osservare, mentre mi trovavo a teatro , uno splendido esempio di variazione di ampiezza di un'onda in funzione della velocit di gruppo. Nel New York State Theater, al Lincoln Center, pende dal soffitto una specie di sipario fatto di corde intrecciate di fili nei quali sono infilate delle palline metalliche. Durante un intervallo, trovandomi in un ballatoio vicino all'estremit superiore di queste trecce, provai a pizzicarne casualmente una per studiare la propagazione delle onde. Un'onda, difatti, cominci a viaggiare lungo la filza di palline ; lo spostamento delle palline era a malapena osservabile in cima, vicino al punto dove la fune era stata pizzicata, ma andava aumentando al discendere dell'onda e l'estremit inferiore della fune sferzava a destra e a sinistra come impazzita. Inoltre l'onda ripet pi volte il percorso verso il basso e verso l 'alto, riflettendosi sia all'estremit superiore sia a quella inferiore.

Una fune tesa cosi fatta un mezzo quasi privo di perdite per qualsiasi onda con lunghezza d'onda elevata rispetto alla spaziatura delle palline. Per tali onde, velocit di gruppo e velocit di fase sono uguali ; onde di frequenza diversa si propagano insieme, cosicch l ' impulso eccitato dalla sollecitazione iniziale mantiene la propria forma durante il percorso.

Velocit di gruppo e velocit di fase di un'onda in una fune tesa aumentano all'aumentare della tensione : la tensione delle funi del teatro dipendeva solamente dal peso delle palline, ed era elevata in alto e nulla in basso. Quindi velocit di gruppo e velocit di fase erano alte in cima alla fune e basse in fondo. La perturbazione in una fune varia dalla cima al fondo in quanto in alto debole (come spostamento) ma lunga ; via via che la velocit diminuisce verso il basso, lo spostamento trasversale (visualizzato, nell'esempio ricordato, da quello delle palline) aumenta e la lunghezza del tratto interessato dalla perturbazione diminuisce.

Le onde viaggianti lungo una catena o una fune appesa rappresentano, come ho potuto scoprire, un vecchio problema1. La FIG . 1 7 mostra lo spostamento della fune in un certo istante : mentre facile osservare la

1 Si veda ad esempio Morse P. M., Vibration and sound, New York ( 1 948).

38

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

Figura 17

perturbazione di grande ampiezza e piccola lunghezza d'onda in basso, meno agevole distinguere, in alto, quella di piccola ampiezza e grande lunghezza di onda. Entrambe rappresentano lo stesso flusso di energia ; questa viaggia con piccola velocit di gruppo e di fase in basso, velocit che aumenta procedendo verso l'alto.

Problemi

4.1 Qualche volta la velocit di gruppo viene spiegata in termini di velocit di propagazione dei battimenti tra due onde sinusoidali. Si abbiano due onde di uguale ampiezza e di frequenza w0 e w0 + p, con p molto piccolo rispetto a w0. Si descriva la natura e la velocit della configurazione costituita dall'insieme di queste due onde.

4.2 Per un modo di una guida d'onda :

w v k = - 1 - -c , c w2 dove c la velocit della luce e wc la frequenza di taglio. Quali sono le velocit di gruppo e di fase ?

4.3 Un segnale F(t) cos (wt - kz) viene inviato in una guida d'onda e F(t ) contiene delle frequenze che vanno da O a w0. Che intervallo di frequenze contenuto nel segnale ?

4.4 Se q sufficientemente grande, la ( 19) e la (20) non sono pi valide e si possono sostituire con :

k+ + k_ --- - k 2 - S

k+ -- k_ 2 = kd,

dove k+ e k_ sono i valori di k per w = w0 q, k8 il valore medio di k e kd la semidif-

39

ferenza tra i due valori di k. Si dimostri che, se il segnale originale per z = O dato dalla ( 17), che identica alla (1 8), il segnale in z :

Qz = cos (qt - kdz) cos (w0t - k8z).

Si descriva l'effetto di k8 e kd sul segnale.

4.5 Si pu esprimere la relazione w = w (k) in serie di potenze :

k = ko + ( k ) (w - wo) + _l_ ( 82 ) (w - wo)2 + w 0 2 w 0 + + ( ::: )

o (w - w0)3 + . . .

dove l'indice O indica che le derivate sono calcolate nel punto (wo, ko) . Si esprimano anche ks e kd in funzione di q per mezzo di serie di potenze. Quali termini influenzano la fase del fattore con frequenza q e quali quello con frequenza w0 ?

4.6 Nella ricezione e demodulazione di un segnale, la fase importante quella rispetto a una portante di una certa frequenza w0 Per esempio, se il segnale trasmesso :

cos w0t ( l + a cos qt) il segnale ricevuto in z :

cos (w0t - k0z) + a [cos (qt - kdz) cos (w0t - k8z)] . Se si trascurano tutte le derivate di k di ordine superiore al secondo, si ottiene, per il segnale ricevuto :

cos (w0t - k0z) + a {cos q [t - ( : ) 0

z] cos [< w0t - k0z) +

Si osservi che i due termini in coseno che contengono w0t nell'argomento non sono in fase. Per quale valore di

( 2k ) q2z 2 w2 0 i termini saranno sfasati di 90 ?

4.7 Dato k come nel problema 2, si mostri che :

4.8 In un sistema di comunicazioni a guida d'onda, questa costituita da un tubo circolare di 5 cm di diametro e viene usato un modo chiamato elettrico circolare o TE0 1 . La frequenza di taglio di questo modo 7,5 x 109 Hz. Si supponga di avere un segnale cbn

40

VELOCIT DI FASE E VELOCIT DI GRUPPO

frequenza 30 x l 09 Hz : qual il valore di ( : ) 0 (se si misura z in metri) ?

4.9 Se la guida d'onda del problema 8 lunga 30 km, per quale valore di q lo spostamento di fase

:n;

- _l_ (-82k ) q2z 2 aw2 o

- T rad (cio - 90) ? A quale frequenza ci corrisponde ?

4.10 L'espressione di un segnale modulato in fase sia :

cos (w0t + rp cos qt) ;

si dimostri che, quando rp l , l'espressione pu essere approssimata come : l

cos w0t - 2 rp [sin (wo + q) t + sin (wo - q) t] .

Si supponga che (a causa della trasmissione lungo una linea dispersiva) lo stesso angolo

di fase venga aggiunto agli angoli di fase di (w0 + q) t e (w0 - q) t di ognuno dei termini in seno. Quale diventerebbe l'espressione del segnale ? Che tipo di segnale sarebbe ?

4 1

v

Rappresentazione vettoriale e complessa

Nel capitolo II stata considerata un'onda di ampiezza S variabile secondo la legge :

S = S0 cos {}. (27)

La FIG. 1 8 mostra un vettore di lunghezza S0 inclinato di un angolo {}

Figura 18

42

RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE E COMPLESSA

rispetto all'asse orizzontale ; la proiezione del vettore su quest'asse pari a S0 cos {}.

Quando S varia secondo la (27), l'ampiezza data dalla proiezione sull 'asse orizzontale di un vettore di lunghezza S0 inclinato di un angolo {} rispetto all'asse stesso ; al variare di {} con il tempo o con la distanza, questa proiezione cambia cos da dare sempre S. Se t = z = O, allora {} = rp e quindi la direzione del vettore data dalla fase rp dell'onda. Quando si confrontano varie onde conveniente pensare alle fasi che hanno per z = t = O e rappresentarle con vettori inclinati dei vari angoli rp rispetto all'asse orizzontale.

Grazie a un'identit matematica si pu scrivere :

S0 cos rp = ReS0e1'', (28)

dove ReS0e1'' sta a indicare la parte reale di S0e1'fl, e

i = yCl; (29) si noti che i x i = (V- l) (V- l) = - l .

Un'altra identit matematica ci dice che :

(30)

dove Im S0eirp la parte immaginaria di S0e1'fl. Si pu quindi descrivere un'onda in termini di un vettore So che for-

Figura 19

ma un angolo rp rispetto all'asse orizzontale, e considerarlo giacente nel piano complesso, come si vede in FIG. 1 9 : il vettore spiccato dall 'origine e i l suo estremo si trova nel punto che rappresenta il numero complesso

e1'fl = cos rp + i sin rp. (3 1 )

43

Questo punto a una distanza orizzontale cos cp dall'origine e verticale sin cp ; la proiezione orizzontale del vettore ' la parte reale del numero complesso che rappresenta S per t z = O mentre quella verticale la parte immaginaria.

Si pu definire il vettore di FIG . 1 9 sia per mezzo dell 'ampiezza massima (o modulo) del vettore So e del suo angolo cp, sia con le parti reale e immaginaria del numero complesso che ne localizza l 'estremo, come nelle (28) e (30) .

Nel capitolo II stata descritta un'onda sinusoidale di date frequenza e velocit per mezzo di due numeri, l 'ampiezza massima So e la fase cp. Si visto come si possa esprimere tale onda sinusoidale per mezzo di un solo vettore, dotato di modulo e direzione, oppure con un numero complesso, che formato da una parte reale (la componente orizzontale del vettore) e da una immaginaria (la componente verticale). La scelta dell 'una o dell'altra rappresentazione dipende solo dalla convenienza del momento, in quanto esse sono equivalenti . In entrambi i casi si ha a che fare con due grandezze numeriche che possono essere modulo e fase, o due proiezioni di un vettore, o la parte reale e quella immaginaria di un numero complesso.

Il vantaggio della rappresentazione complessa risulta chiaro quando si rendono necessarie certe operazioni matematiche. Dovendo sommare due grandezze S1 e S2 che sono espresse da numeri complessi, conviene rappresentarle come somme della parte reale e di quella immaginaria, e cio :

a + ib,

c + id.

La somma di S1 e S2 data da :

sl + s2 = (a + c) + i (b + d).

(32)

(33)

(34)

Se si vogliono moltiplicare due grandezze rappresentate da numeri complessi, conviene scriverle in termini di ampiezze o moduli (che sono numeri reali) e fasi, e cio :

con A e B reali . Il prodotto di S1 per S2 allora :

44

(35)

(36)

(37)

RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE E COMPLESSA

secondo le note regole sul prodotto di esponenziali aventi la stessa base ed esponenti diversi, come ad esempio :

(2)2 x (2)3 = 4 x 8 = 32 = 25,

Si noti un utile e interessante caso di prodotto di numeri complessi :

preso il numero e i, dalla (3 1 ) si ottiene :

(38) " ,_

Dalla (37) si vede che moltiplicare un numero complesso per e 2 = i n

vuoi dire aumentare la sua fase di 2, ruotare cio il vettore che corri-n

sponde al numero di T rad (o 90) in senso antiorario. La dimostrazione semplice : rappresentiamo un numero complesso come somma di una parte reale e di una immaginaria

W = a + ib (39)

e supponiamo che esso indichi l'ampiezza di un'onda per t = z = O. Quest'ampiezza pu essere disegnata nel piano complesso come in F I G . 20 : si traccia una linea di lunghezza l W l dall'origine al punto W; l W l il modulo del numero complesso W e vale :

(40)

i W

-b modu lo I W I Figura 20

45

Consideriamo ora cosa avviene moltiplicando W per i : iW = ia + i (ib) = ia - b = - b + ia. (4 1 )

Anche la quantit complessa iW riportata i n FIG. 20. I vettori che rappresentano W e iW sono stati disegnati come segmenti che vanno dall'origine ai punti W e i W, entrambi di lunghezza l W l ; la retta passante per l 'origine e per W inclinata, sull'asse orizzontale, dello stesso angolo che la retta congiungente l'origine con i W forma con l'asse verticale e quindi le due rette sono ortogonali .

Nella rappresentazione complessa, moltiplicare per i un modo sem-n

plice di variare la fase o la direzione di un vettore di 2- rad (o 90) in senso antiorario, senza variare il modulo del numero complesso. Si pu

n vedere facilmente come il prodotto per - i faccia ruotare il vettore di -2 rad (o 90) nella direzione opposta alla precedente, e cio in senso orario, sempre senza alterarne i l modulo.

Avendo definito il modulo di un numero complesso con la (40) , si pu rappresentarne il quadrato in termini del numero stesso, W, e del suo complesso coniugato, che si scrive W*. Il coniugato di un numero complesso si ottiene sostituendo ogni i con - i. Per esempio , se

W = a + ib, allora :

W* = a - ib, e si vede che :

(42)

(43)

WW* = a2 + iba - iab + (i) (- i)b2

Se invece usiamo la notazione :

l w 1 2 (44)

allora :

Ma se W0 un numero reale, un numero cio che non contiene i, Wt = Wo,

e quindi :

46

(45)

RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE E COMPLESSA

In questo caso

WW* = We

VI

M odi accoppiati

La FIG. 2 1 illustra un dispositivo, molto usato nel campo delle microonde, detto accoppiatore direzionale. Una guida d'onda, come si visto, costituita da un tubo metallico attraverso il quale si propaga un'onda elettromagnetica ; se due guide d'onda identiche wl e w2 hanno in comune, per un certo tratto L, una parete nella quale sono stati praticati dei fori in modo che l 'onda in una guida interagisca, o si accoppi, con l 'onda viaggiante nell 'altra, il risultato che una parte a della potenza P1 che fluisce nella guida W1 passa nella guida W2 mentre in W1 rimane la parte (l - a) P1

La frazione, a, di potenza trasferita da una guida d'onda all'altra dipende

Figura 21

48

MODI ACCOPPIA TI

dalla lunghezza del tratto comune e dalla forza dell 'accoppiamento, cio dal diametro dei buchi. Per un particolare tipo di accoppiamento a = l, cio tutta la potenza viene trasferita da una guida all'altra.

Molti altri dispositivi , tra i quali i tubi amplificatori a onda progressiva, sfruttano l 'accoppiamento delle onde, cio dei modi di propagazione ; le conseguenze di tale accoppiamento, come si vedr in questo capitolo, possono essere comprese rapidamente con una semplice analisi in termini matematici.

Si considerino i vettori disegnati in FIG. 22, che rappresentano un'onda durante la sua propagazione mentre passa per punti successivi equispaziati ;

Figura 22

il modulo di tale vettore, che chiameremo S0, sia l S l e si assuma che S sia orientato orizzontalmente e verso destra (& = O) per t = O e z = z0 Nel punto z1 , a piccola distanza da z0 nella direzione del moto dell 'onda, si ha (sempre per t = 0) :

{} = &l = - k (zl - zo).

L'onda rappresentata da un vettore della stessa lunghezza S0, inclinato verso il basso e orientato verso destra ; nel punto z2 si avr, come per z1 :

{} = &2 = - k (z2 - z0) = - k (z1 - z0) - k (z2 - z1).

Procedendo lungo la direzione di propagazione, & aumenta e i vettori che

49

descrivono l 'onda si dispongono come in FIG. 22. Si consideri ora la variazione di S (che definisce l'intensit e la fase dell'onda) nel passare dal punto z a z + dz, dove dz una distanza molto piccola : come si vede anche in FIG. 23, S ha sia in z sia in z + dz lo stesso modulo, l S 1 , che vale S0 ma

Figura 23

ruotato in senso orario di un piccolo angolo. Si pu ottenere il valore di S in z + dz aggiungendo a S relativo al punto z il vettore dS, che forma con esso un angolo retto. Lungo i l tratto dz, l 'angolo che S forma con l 'asse, {}, deve variare di :

- k dz,

che in termini di modulo di dS e di l S l l dS I

1ST per cui

l dS I = Sk dz.

S0 risulta espresso da

Nella rappresentazione complessa, la quantit

Sk dz

rappresenta un vettore di modulo l S l k dz avente la stessa direzione di S. Il piccolo vettore di modulo l dS l che bisogna aggiungere a S nel punto z per ottenere S in z + dz deve essere ruotato di 90 in senso orario rispetto

50

MODI ACCOPPIATI

a S. Nel capitolo V si visto che si poteva ottenere una rotazione oraria di 90 di un vettore moltiplicandolo per - i e quindi si pu scrivere :

dS = - ikS dz (50)

e questa l 'equazione differenziale della propagazione di un modo, che pu essere scritta nella forma :

dS dz

la cui soluzione

- ikS, (5 1 )

(52)

come si pu verificare derivando rispetto a z e sostituendo nella (5 1 ) . L'equazione (5 1 ) indica che la variazione di S con la distanza propor

zionale a S attraverso una costante k, proprio come ipotizzato nella (50). Quando per due modi sono accoppiati, essi interagiscono e quindi . la

variazione di ampiezza di uno influenzata dall 'ampiezza dell'altro. Siano sl e s2 le ampiezze di due modi che interagiscono attraverso un certo accoppiamento ; le equazioni differenziali che le descrivono sono :

dS1 = - ik1S1 - iMS2, (53) dz dS2

= - ik2S2 - iMS1, (54) dz

dove k1 e k2 sono le costanti di propagazione dei due modi in assenza di interazione e M rappresenta l 'accoppiamento o l' interazione tra i modi .

Ci si pu domandare come mai S2 e S1 nelle (53) e (54) siano moltiplicate per la stessa costante M. Se ponessimo S2 = DS3, con D costante, allora le costanti di accoppiamento che moltiplicherebbero S3 e S2 sarebbero diverse ; esse possono essere rese uguali con un'opportuna scelta delle unit di misura di S1 o di S2. Il fatto che k1 , k2 e M nelle (53) e (54) siano grandezze reali ci permette di dire che le equazioni sono conservative, cio che non vi variazione di potenza totale nel passaggio da z a z + dz.

Le soluzioni delle equazioni (53) e (54) sono :

slO e-ikz, s20 e-ikz.

(55)

(56)

5 1

Derivando queste due relazioni si ottiene rispettivamente :

e confrontando con le (53) e (54) si ha :

(k - k1) S1 = MS2, (k - k2) S2 = MS1

(57)

(58)

(59) (60)

Se si moltiplicano membro a membro la (59) e la (60) e si dividono poi entrambi i membri per sls2, si ottiene :

(k - k1) (k - k2) = M2, k2 - (k1 + k2) k + (k1k2 - M2) = O.

La soluzione dell'equazione di secondo grado

kl + k2 V(kl + k2)2 + 4(M2 - klk2) k = 2

k1 + k2 V (k1 - k2)2 + 4 M2

2

(6 1 ) (62)

(63)

Se M = O, se cio non vi accoppiamento, le due radici della (63) sono (come doveva essere) :

k = kl, k = k2 .

Se M diverso da zero, le due radici non sono pi k1 e k2, come si pu rilevare da un semplice esempio. Si abbiano due guide d'onda accoppiate nell'accoppiatore direzionale di FIG. 2 1 ; in questo caso la costante di fase delle due guide la stessa (se si trascura l 'accoppiamento), e si ponga :

(64)

Dalle (63) e (64) si ottengono due costanti di fase (corrispondenti al segno + e al segno -), k. e kr, che valgono :

52

k0 + M, k0 - M.

(65) (66)

MODI ACCOPPIATI

In questo esempio, S1 e S2 rappresentano le ampiezze delle onde nelle due guide. La (59) pu anche essere scritta come :

s2 k - ko -s; = - (67)

Se le onde che si considerano hanno costanti di fase k8 e kr date dalle (65) e (66), avranno dei rapporti d'ampiezze S2. / S18 e S2r / Su dati da :

s2s k0 + M - k0 l , (68) ------ = Sls M s2f k0 - M - k0 - l . (69) = sl f M

In assenza di accoppiamento (M = O) esistono due modi : uno si propaga nella guida l con ampiezza S1 e costante di fase k0, l 'altro nella guida 2 con ampiezza S2 e stessa costante di fase k0 ; quando vi accoppiamento (M =l= O) vi sono ancora due modi, che per sono costituiti ognuno da un'onda per guida. L'onda pi lenta ha una costante di fase k8 e per questo modo le ampiezze nelle due guide sono uguali ; l 'onda pi veloce ha una costante di fase kr e le ampiezze del modo nel le due guide sono uguali e opposte.

Si supponga che in z = O le due onde abbiano uguale ampiezza, pari a s T' nella guida l ; allora, dalle (68) e (69), risulta che le ampiezze so-

no uguali e opposte nella guida 2. Nella guida l l 'ampiezza totale Su :

Su = !()_ (e-i (ko+M)z + e-Hko -M )Z) 2

mentre nella guida 2 l 'ampiezza totale st2 :

st2 = So

(e-i (ko+M)z - e-l (ko-Mlz) 2

(70)

(7 1 )

e per z = O, Su = S0 e S12 = O. Come variano l e ampiezze totali con la distanza ? Se si scrivono le (70) e (7 1 ) in modo diverso

Su = e-ikoZ (eiMz + e-iMz) = So e-ikoz cos Mz, (72) 2

- iS0 e-tkoz sin Mz (73)

5 3

si vede che, all'aumentare di z, l 'ampiezza totale nella guida l diminuisce n

gradualmente mentre aumenta nella seconda guida ; per Mz = 2' l 'am-piezza nella guida l nulla e quella nella guida 2 iS0, cio la stessa della

n guida l per z = O ; ci vuol dire che per Mz = T tutta la potenza stata trasferita dalla guida l alla 2.

Se le costanti di fase delle due guide accoppiate non fossero state uguali, l 'accoppiamento avrebbe ugualmente portato a due modi, ognuno con una certa ampiezza in ogni guida ; ma, per ogni modo, le ampiezze nelle due guide non sarebbero state uguali in modulo . Un modo avrebbe avuto una costante di fase prossima a k1, cio alla costante di fase della guida l , e per questo modo l'ampiezza nella guida l sarebbe stata maggiore di quella nella guida 2. Per l 'altro modo, che avrebbe avuto una costante di fase prossima a k2, l 'ampiezza nella guida 2 sarebbe stata maggiore di quella nella guida l . Quando le costanti di fase delle guide sono diverse, impossibile un trasferimento completo di potenza da una guida all'altra.

Nel capitolo IV si fatto vedere come le costanti di fase possano variare, in funzione della frequenza, in maniera diversa. Si considerino, nella FIG. 24, le rette rappresentative di due modi in assenza di accoppiamento ; si immagini ora che vi sia un certo accoppiamento : alla frequenza w0 le due costanti di fase k1 e k2 hanno lo stesso valore k0 e in questo caso, per quanto visto precedentemente, si hanno due onde con costanti di fase k0 + M e k0 - M.

24

54

Figura

MODI ACCOPPIA TI

Se si applica l'equazione (63) alle varie frequenze, si ottiene la relazione tra w e k per i due modi accoppiati, che riportata in FIG. 24 con curve in colore. Queste curve sono iperboli che hanno per asintoti proprio le rette w = w (k) relative ai modi disaccoppiati .

Problemi

6.1 Posto k1 = k2, si scriva l'espressione delle ampiezze S1 e S2 in due guide d'onda accoppiate ; si dimostri inoltre che la somma delle potenze nelle due guide costante.

6.2 Se tutta la potenza inizialmente in una guida, quale deve essere la lunghezza d'accoppiamento L perch vi sia trasferimento completo di potenza, o del 50 %, o dell' l % ?

6.3 Quale deve essere la relazione tra k1 e k2 perch, se tutta la potenza inizialmente in una guida, la massima quantit trasferita all'altra sia pari al 50 % ?

6.4 Si dimostri che, se i n un sistema M ha una parte immaginaria, l a potenza non pi costante con la distanza.

6.5 Si consideri un dispositivo del tipo illustrato in FIG. 2 1 , per il quale accoppiamento e lunghezza siano tali che esattamente met potenza di un modo sia trasferita all'altro modo. Si supponga inoltre di disporre di un trasmettitore di un ricevitore e di un'antenna e si voglia che la potenza passi dal trasmettitore all'antenna, dall'antenna al ricevitore, ma che non ne passi dal trasmettitore al ricevitore. Come va usato il dispositivo per ottenere questo risultato ? Quale sar il suo rendimento ? Dove andr a finire il resto della potenza ?

5 5

VII

M odi accoppiati: l 'altra soluzione

Nel capitolo VI sono state ricavate le. equazioni per i modi accoppiati :

dS1 dz

dS2 dz

= - ik2S2 - iMS1

Se si cambia un segno in una di esse e si scrive :

dS1 dz

dS2 = - ik2S2 + iMS1 dz

le radici di k diventano

Se

allora k = k0 iM.

56

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

MODI ACCOPPIATI : L'ALTRA SOLUZIONE

Ci vuoi dire che i due modi che si producono attraverso l'accoppiamento variano in funzione della distanza come :

e

cio all'aumentare di z un modo aumenta di ampiezza e l 'altro diminuisce. Questo comportamento pu sembrare poco plausibile : si era assunto che, in assenza di accoppiamento, ogni singolo modo non presentasse perdite ; se per un accoppiamento dei modi si ottengono dei modi la cui ampiezza varia con la distanza, dove va a finire o da dove viene la potenza ?

A questa domanda' si pu rispondere se si immagina che in uno dei modi originali la potenza sia diretta in un verso e nell'altro nel verso opposto (in termini matematici, ci equivale a dire che la potenza in un modo positiva e nell'altro negativa) . Quando i due modi si accoppiano, la potenza che diretta verso destra in un modo viene gradatamente trasferita all'altro

Figura 25

modo e inverte direzione, verso sinistra, cosicch la potenza totale nulla. Questo comportamento schematicamente illustrato in FIG. 25 : la potenza diretta yerso destra in uno dei modi originali e verso sinistra nell 'altro.

Si vede che i modi risultanti dall'accoppiamento hanno potenza globale nulla : ci pu essere maggiore energia per unit di lunghezza dove l 'ampiezza totale S pi elevata, ma parte dell'energia associata alla potenza diretta verso destra (potenza positiva) e parte con quella diretta verso sinistra (potenza negativa), cos da dare una potenza complessiva nulla.

Di fatto un comportamento cos curioso esiste, in natura : nei cristalli, nei filtri elettrici , nei tubi a onda progressiva (questi temi verranno esaminati pi a fondo nei prossimi capitoli) . Vale la pena di considerare la natura della

5 7

relazione w = w (k) per questo tipo di comportamento : nella FIG. 26, le due rette rappresentano queste relazioni per i modi non accoppiati (aventi costanti di fase k1 e k2) mentre le curve in colore danno le costanti di fase

Figura 26

dei modi accoppiati . Ricordando che la pendenza della curva w = w (k) rappresenta la velocit di gruppo Vg, cio la velocit di propagazione dell'energia dell'onda, si vede dalla figura che per uno dei modi originali non accoppiati (k2), la pendenza della w = w (k) negativa, vg negativa e quindi l 'energia dell'onda viaggia verso sinistra ; per l 'altro modo (k1) essa viaggia verso destra. Le condizioni sono proprio quelle precedentemente discusse, per cui era lecito aspettarsi il comportamento descritto in questo capitolo.

Se si esamina pi a fondo la FIG. 26, si nota che per valori di w molto grandi, o molto piccoli, k tende a k1 e a k2, le costanti di fase dei modi in assenza di accoppiamento. Cos, se k1 e k2 sono molto diverse, l'accoppiamento poco efficace e, per frequenze alle quali k1 e k2 sono quasi uguali, k non ha valori reali ; lungo tutto un intervallo di frequenze k complesso e la sua parte reale e quella immaginaria si ottengono dalla (76). L'accoppiamento produce due modi : l 'ampiezza di uno aumenta andando verso destra e viceversa per l 'altro, ma n l 'uno n l'altro modo ha potenza complessiva diversa da zero.

Problema

7.1 Sia k1 k0 : si descrivano i vari modi man mano che M aumenta.

5 8

VIII

Armoniche spaziali e accoppiamento

}, La FIG. 27 rappresenta due onde sinusoidali di lunghezze d'onda J.1 e J.2 = f; l 'onda di lunghezza d'onda J.1 si muove verso destra con velocit v1, quella

J.I . , vl di lunghezza d'onda T viaggia, sempre verso destra, con veloc1ta 2 : un osservatore le distingue facilmente sia per la diversa lunghezza d'onda sia perch una si muove pi rapidamente dell 'altra.

Si immagini ora che le onde possano essere osservate solamente attraverso una fila di sottili aperture W poste a distanza J.1 l 'una dall'altra. Un ciclo dell'onda di lunghezza d'onda J.1 passa attraverso ogni apertura nel

tempo : , mentre l 'altra onda impiega un tempo ( 2!_) l ( i ) = : e cio esattamente lo stesso tempo. ln questo caso l'osservatore non pu pi distinguere l'onda lunga e rapida da quella corta e lenta, e la stessa cosa

l l o ' o o vale per onde con lunghezza d'onda 3-, 4 . . . e con veloc1ta nspettiva-v1 l'I , . mente 3, 4 e cos1 vm.

E questo non tutto : l 'osservatore, costretto a vedere l 'onda solamente attraverso le fessure, non pu nemmeno capire in che direzione essa s i stia muovendo : infatti i l modo con il quale l 'ampiezza di una qualsiasi

59

Figura 27

onda varia nel tempo attraverso la finestrella lo stesso qualunque sia la direzione di propagazione. Una conseguenza di ci che delle onde che si 'vedono' tra di loro, cio che sono accoppiate insieme solamente attraverso una successione di finestre regolarmente spaziate, possono interagire anche quando le loro lunghezze d'onda, e quindi le costanti di fase, siano diverse e persino quando le loro velocit siano di verso opposto. Si rileva immediatamente l'importanza di questo fatto ricordando le equazioni del capitolo VII che descrivevano le interazioni tra onde che trasportavano potenza in direzioni opposte.

Per affrontare questo problema dal punto di vista matematico, si consideri un'onda sinusoidale di frequenza w e costante di fase k ; l'ampiezza dell' onda si pu scrivere :

S = S0 cos (w t - kz + rp ). (79)

Se si suppone che l 'onda venga osservata solo da piccole fessure a distanza L l 'una dall'altra, poich l 'onda si ripete ogni volta che (wt - kz + rp) varia di 2n, nel passare da una fessura a quella successiva non si pu sapere se la fase variata di kL o di kL + 2nn, dove n un intero qualsiasi , positivo

60

ARMONICHE SPAZIALI E ACCOPPIAMENTO

o negativo. Quindi , se si osserva attraverso delle fessure sottili, spaziate di L, un'onda con costante di fase k, questa indistinguibile da una con costante di fase

(80)

infatti tale onda presenta le stesse fasi nella successione di finestrelle spaziate di L l 'una dall'altra. Se si assume che l'onda abbia realmente costante di fase k, le altre costanti di fase 'possibili' kn sono dette armoniche spaziali dell'onda con costante di fase k.

Sin qui sono state considerate solamente armoniche spaziali prodotte o dall'osservazione o dall'accoppiamento attraverso sottili fessure equispaziate ; ma se ne possono generare in molti altri modi. Un'onda produce armoniche spaziali quando osservata o accoppiata attraverso qualsiasi tipo di finestra o apertura le cui dimensioni o trasparenza varino periodicamente con la distanza, oppure quando il mezzo entro il quale viaggia cambia periodicamente caratteristiche con la distanza, cos che durante il suo moto l 'onda alternativamente accelera e rallenta, con regolarit. In ogni caso, se il periodo di variazione dell'accoppiamento o del mezzo L, le armoniche spaziali sono date dalla (80).

Nei vari esempi considerati si ha a che fare con onde che di fatto hanno una costante di fase primaria k, ma che hanno (o sembra che abbiano) a essa associate delle componenti con costanti di fase kn, espresse dalla (80), che possono essere molto pi deboli dell'onda principale. Dalla (80)

2nn si pu notare che, al contrario di k, L non varia con la frequenza ; quindi la forma della curva w = w (k) identica per ogni kn. L'energia dell 'onda si muove con la velocit di gruppo comune, che la pendenza della curva w = w (k), e tutte le componenti armoniche spaziali si muovono, per cos dire, all'unisono con l'onda.

Si consideri ora in maggior dettaglio un caso molto semplice. Le rette in colore della FIG. 28 rappresentano l'andamento di w = w (k) per un'onda non dispersiva : la retta a destra dell'origine si riferisce al modo che si propaga verso destra, quella a sinistra rappresenta la curva w in funzione di k per il modo che viaggia verso sinistra ; le linee nere pi sottili rappresentano

2:n: 4:n: le armoniche spazial i che si ottengono sommando o sottraendo L e L al k dato dalle rette in colore. Nella FIG. 29 tutte le curve w = w (k) della FIG. 28 sono riportate a tratto sottile, e in pi vi sono disegnate le rela-

6 1

zioni w = w (k) ottenute accoppiando i due modi della FIG . 28, quello che si propaga verso destra e quello che va verso sinistra, con le loro armoniche spaziali (questo accoppiamento gi stato visto nel capitolo VII). Le curve w = w (k) per i modi prodotti dall'accoppiamento sono quelle in colore della FIG. 29. Queste curve, nell'intervallo compreso tra k = +

62

:n - - e k L

ARMONICHE SPAZIALI E ACCOPPIAMENTO

:n + L' ci danno tutte le informazioni possibili : infatti , al di

fuori di questo intervallo, esse si ripetono periodicamente e non aggiungono alcuna informazione.

L'effetto dell 'accoppiamento di due modi non dispersivi quello di produrre bande d'arresto in vari intervalli di frequenze : dalla FIG. 29 si pu notare come, in presenza di accoppiamento, non vi trasmissione, se non molto attenuata, tra le coppie di frequenze (O,w1) , (w2, w3) , (w4, w5) e cos via. Questo esempio permette di comprendere il motivo della presenza di bande d'arresto in sistemi pi complicati come, per esempio, guide per onde elettromagnetiche formate da coppie di solenoidi coassiali .1

Un comportamento come quello mostrato nella F I G . 29 viene sfruttato in pratica, per esempio, nella costruzione dei laser, dove vi la necessit di una coppia di specchi che si riflettano l'un l 'altro la luce con perdite minime (perfino la riflessione su superfici d'argento o di alluminio lucidate pu dare perdite eccessive).

Le onde luminose si propagano nei diversi materiali con velocit differenti ; di scelgano due mezzi nei quali le velocit della luce differiscano di poco e se ne dispongano alternativamente, l'uno sull'altro, strati molto sottili e uniformi (ricavati per evaporazione, per esempio) ; si cos ottenuto, se si sufficientemente esperti , un materiale nel quale la velocit della luce varia periodicamente durante la propagazione e ci produce le armo-niche spaziali . Per certi intervalli di frequenza della luce, e cio nelle bande d'arresto, questo mezzo stratificato la rifletter piuttosto che trasmetterla e osservando le FIGG. 28 e 29 si vede che il centro di questa banda si ha alla frequenza per la quale kL = :n, quando cio la disposizione degli strati si ripete ogni mezza lunghezza d'onda. Sia questa lunghezza d'onda, sia i l valore di k in kL = :n sono, naturalmente, una specie di valor medio di k e di lunghezza d'onda media in quanto, per una data frequenza, k e . variano leggermente nei due mezzi trasparenti con i quali sono fatti i vari strati.

Questo materiale stratificato e trasparente uno specchio eccellente per un laser : pu infatti riflettere fino al 99,9% della luce incidente, contro circa il 98 % di una superficie argentata o alluminata. Inoltre esso funziona anche da filtro ottico, poich riflette la luce di alcune frequenze (o lunghezze d'onda o colori) mentre trasparente per altre.

Una successione di discontinuit spaziate con regolarit in una linea di

1 Pierce J. R., Tien P. K., Coupling of modes in helices, in Proceedings of t.!J.e I .R.E. , XLI I , 1 389 ( 1954).

63

trasmissione coassiale o in una guida d'onda pu essere util izzata come un filtro a microonde : che lasci cio passare onde in certi intervalli di frequenze e respinga (rifletta) microonde di altre bande di frequenza. Da quanto esposto sopra si pu avere un'idea del funzionamento di questi filtri ; ma non si pu certo utilizzare l'analisi fatta per progettarli .

I fisici hanno scoperto che gli elettroni qualche volta s i comportano come particelle e qualche volta come onde. In quest'ultimo caso, sono descritti da un'equazione , detta di Schri:idinger, secondo la quale per un elettrone nel vuoto, in assenza di campi elettrici o magnetici, la relazione tra k c w :

w = h 2 -- k

4nm

dove h la costante di Planck e m la massa dell'elettrone : h = 6,63 x w-34 1 ; s , m = 9, 1 1 x 1 0-31 kg.

(8 1 )

L'andamento della (8 1 ) mostrato i n FIG. 30, da cui s i vede che essa rappresenta un'onda dispersiva con velocit di fase

w h v = -- = -- k

k 4nm

e quella di gruppo vg, cio la pendenza della curva w

64

d w dk

h - k. 2nm

(82)

w (k) :

(83)

Figura 30

ARMONICHE SPAZIALI E ACCOPPIAMENTO

Si noti che la velocit di gruppo sempre doppia di quella di fase :

vg = 2v. (84) Secondo la meccanica quantistica, l'energia data dal prodotto hf, la pulsazione w uguale a 2nf e w data dalla (8 1 ) , per cui

E = hf = h w 2n

e dalla (85) e (83) si ha :

l 2 E = 2 mvg

(85)

(86)

che l'espressione solita dell'energia cinetica, considerando vg la velocit di una particella di massa m. La quantit di moto M di un elettrone, secondo la meccanica classica, sarebbe :

2E M = mv = --g Vg (87)

se nella (87) si sostituiscono i valori di E e di vg dati dalla (85) e dalla (83) si ha :

h M = --- k 2n (88)

che proprio l'espressione della quantit di moto dell'elettrone secondo la meccanica quantistica ; come si vede, proporzionale alla costante di fase o vettore d'onda k.

Si fin qui considerato un elettrone che si muove in uno spazio vuoto in assenza di campi ; nel caso di moto attraverso un cristallo, cio attraverso un reticolo regolare di atomi, si pu comprenderne qualitativamente la propagazione in termini di onde accoppiate.

Si considerino, al posto di un reticolo tridimensionale, degli atomi bidimensionali impacchettati in strati distanziati di L ; durante il moto degli elettroni attraverso questo mezzo stratificato le loro onde producono armoniche spaziali .

Nella FIG. 31 sono raffigurate a tratto sottile alcune delle armoniche spaziali della FIG. 30, mentre a tratto colorato sono disegnate le curve w = w (k) risultanti dall'accoppiamento. Grazie alle armoniche spaziali, le onde che rappresentano gli elettroni che si muovono verso sinistra sono accoppiate alle onde relative agli elettroni che viaggiano verso destra e

65

quindi essi possono muoversi liberamente attraverso il cristallo 'stratifcato' solo se le loro frequenze vanno da O a w1 , da w2 a w3, da w4 a una certa frequenza pi elevata (al difuori del grafico) e cos via. Gli intervalli di energia permessi, cio quelli per i quali l 'elettrone pu muoversi liberamente all' interno di un reticolo cristallino ideale, sono detti bande di energia e hanno molta importanza per il funzionamento di di spositivi allo stato solido quali, per esempio, i transistori .

Problemi

8.1 L'ampiezza di un'onda sia S = So cos (wt - kz) e venga 'vista' attraverso un'apertura che varia lentamente con la distanza, cos che l'ampiezza di campo S1 osservata vari secondo la legge AS [l + cos (2nz f L)] . Posto che una seconda onda veda la prima attraverso l'apertura, quali valori di k pu assumere e pu essa accoppiarsi fortemente alla prima onda ?

8.2 Dalle FIGG. 24 e 26 si nota che le curve in colore che danno w = w (k) in presenza di accoppiamento non intersecano le curve w = w (k) in assenza di accoppiamento, mentre ci avviene nelle FIGG. 29 e 3 1 : come si spiega questo fatto ?

8.3 In FIG. 29 la curva w = w (k) non passa per l'origine : questo vuoi dire che un'onda non si propaga lungo linee accoppiate se la sua frequenza non superiore a un certo valore minimo : vera questa affermazione ? Se vera, come deve variare l'accoppiamento con la frequenza e che tipo di accoppiamento potrebbe essere ?

66

IX

Accoppiamento e mezzi a parametri variabili con continuit

Il concetto di accoppiamento pu essere esteso alla propagazione delle onde attraverso un mezzo le cui propriet varino con la distanza : se si esprime l'ampiezza dell'onda in questo mezzo in termini di ampiezze di due modi non accoppiati in un mezzo isotropo, cio il modo pregresso e quello regresso, l'effetto delle variazioni delle sue propriet viene simulato da un accoppiamento, che pu variare con la distanza, fra i due modi. Questo forse pi un espediente matematico che non un mezzo per arrivare a penetrare la sostanza fisica del problema ; e tuttavia, cos si mette in luce un aspetto interessante delle equazioni riguardanti i modi accoppiati .

Dato che si ha a che fare con un modo che possiede velocit di gruppo posi