Clasa a V-a

1. Determinaţi numerele naturale nenule care împărţite la 71 dau restul egal cu cubul câtului şi

arătaţi că suma lor se divide cu 81.

INSPECTORATUL ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

2. a) Determinaţi valoarea lui x din: [200 – (64 + x·12 + 2·11)]·(50 – 24·2 + 13·5 – 9·5) = 1980

b) Calculaţi: 1 + 2 + 3 + … + 50 – 5·{[(122 + 5

2 ):13]

2 – 2

7 - 2

0 }: 2

3.

3. a) Determinaţi mulţimea D a divizorilor de trei cifre ai numărului 10

4

b) Determinaţi cifrele a, b, c, d în sistemul de numeraţie zecimal, care verifică relaţia:

.

4. a) Arătaţi că 32015

- 32013

este cub perfect;

b) Scrieţi numărul 62 ca sumă de trei cuburi perfecte nenule;

c) Arătaţi că numărul A = 6·53n

+ 53n+1

+ 53n+2

se poate scrie ca sumă de trei cuburi, oricare ar

fi n ∈ N.

0,5 p [200 – (64 + x·12 + 22)]·22 = 1980

0,5 p 200 – (64 + x·12 + 22) = 90

1 p 64 + x·12 + 22 = 110

1 p x = 2

1 p b) 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50·51:2 = 25·51

1 p {[(144 + 25) : 13]2 – 2

7 - 2

0}: 2

3 = (13

2 – 2

7 – 2

0) : 2

3 =

1 p (169 – 128 – 1) : 8 = 40 : 8 = 5

1 p

25·51 - 5·5 =

25·(51 - 1) = 25·50 = 1250

7 p TOTAL

2.

Barem:

1 p Numerele sunt de forma n = 71 · c + r, cu r 71

1 p r = c3, deci n = 71 · c + c

3, cu c

3 71

2 p c3

71 ⇒ c

2 p

c = 1, = 71·1 + 1 = 72

c = 2, = 71·2 + 8 = 142 + 8 = 150

c = 3, = 71·3 + 27 = 213 + 27 = 240

c = 4, = 71·4 + 64 = 284 + 64 = 348

1 p S = 72 + 150 + 240 + 348 = 810 = 81 · 10 ⇒ S 81

7 p TOTAL

1.

0,5 p a) Avem 104 = 2

4 · 5

4

1,75 p

Divizorii de trei cifre sunt:

54 = 625; 5

3 = 125; 5

3· 2

2= 500; 5

3· 2 = 250; 5

2· 2

2= 100; 5

2· 2

3= 200; 5

2· 2

4= 400

0,25 p D =

0,5 p

b) deci divide 104

adică sau (a + b + c + d)

0,5 p

Dacă ; 100·(1 + 0 + 0 + d) = 104

1 + d = 102 – imposibil

2 p

Dacă relaţia din enunţ este imposibilă

Dacă (a + b + c + d) relaţia din enunţ este imposibilă

0,5 p

Dacă = 625 avem:

625 · (6 + 2 + 5 + d) =

13 + d = 16 d = 3

1 p Cifrele sunt: a = 6; b = 2; c = 5; d = 3

7 p TOTAL

3.

1 p a) 32015

- 32013

= 32013

(32 – 1) = 3

2013· 8

0,5 p 8 = 2

3 şi 3

2013 = 3

3·671 = (3

671)3

0,5 p 3

2013· 8 = (3

671)3 · 2

3 = (2· 3

671)3 – cub perfect

1 p b) 6

2 = 36 = 1 + 8 + 27 = 1

3 + 2

3 + 3

3

1 p c) A = 6·5

3n + 5

3n ·5 + 53n

·52

1 p

= 53n

(6 + 5 + 25)

= 53n

·36

1 p

Ţinând seama de b) avem:

A = 53n

(13 + 2

3 + 3

3) =

1 p = (5n)

3 + (2·5

n)

3 + (3·5

n)

3

7 p TOTAL

4.

Clasa a VI-a

1. Se consideră fracţia F = . Aflaţi câte numere naturale sunt în mulţimea

M = {F; 2·F; 3·F; …; 2014·F}.

INSPECTORATUL ŞCOLAR

JUDEŢEAN SATU MARE

2. Se consideră şirul de numere , , , …, , n N* cu proprietatea că şi este media aritmetică a numerelor şi 2014. Notăm cu Sn suma primilor n termeni ai şirului.

a) Calculaţi şi ;

b) Arătaţi că S2014 + a2014 se poate scrie ca produsul a două numere naturale consecutive.

3. a) Raportul dintre măsura complementului unui unghi şi măsura suplementului său este .

Aflaţi măsura unghiului.

b) Fie unghiul ascuţit şi unghiurile şi astfel încât sunt adiacente

complementare iar sunt adiacente suplementare, [OP semidreapta opusă

semidreptei [OB, [OM – bisectoarea unghiului , [ON – bisectoarea unghiului

Arătaţi că măsura unghiului este de 135°.

prof. Pop Ionela

Şcoala Gimnazială Culciu Mare

4. Pe segmentul (AB) se consideră punctele M1, M2, … ,M2014 astfel încât ;

; ; …; .

a) Exprimaţi AM1, AM2, AM3, …, AM2014 cu ajutorul lui AB;

b) Calculaţi suma S = (AM1+AM2+AM3+ …+ AM2014) + 1 ştiind că AB = 22014.

1 p = ; =

1 p b) (*)

2 p

Scriind relaţia (*) pentru şi ţinând seama că se obţine:

n = 2; n = 3; n = 4; … …

n = 2014

1 p

Însumând pe membri, obţinem:

1 p

sau

( ) +

1 p ⇒

(produs de numere consecutive)

7 p TOTAL

2.

Barem:

2 p Avem F = =

2 p Numărul de numere naturale din M este egal cu numărul multiplilor de 7 din mulţimea {1, 2, 3, …, 2014}

2 p

1 < 7k 2014, k N

< k

⇒ k ∈ {1, 2, 3, …, 287}

1 p M are 287 de numere naturale

7 p TOTAL

1.

1p

a) Fie x măsura unghiului .

Complementul: 90 – x , suplementul 180 – x.

1 p

2 p 4 × (90 – x) = 180 – x, x = 60°

1 p

b)

Notăm măsurile unghiurilor ca în figură:

a + b = 90°

m( )=180°– a

1 p m( =90°–

1 p m( )= = = 45°+ 90° = 135°

7 p TOTAL

3.

2 p

a) ; ; ; ….;

.

2 p

b) S = ( + ) + 1 =

AB = S =

2 p

Fie a =

2a =

2a – a = ( ) – ( )

a = - 1

1 p

Finalizare:

S = – 1 + 1 =

7 p TOTAL

4.

Clasa a VII-a

1. Fie numărul x = (1 + )n · . Determinaţi n N astfel încât

numărul x să aibă 256 de divizori în N.

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN SATU MARE

2. Arătaţi că numărul A = este pătrat

perfect, oricare ar fi n N.

3. În triunghiul isoscel ABC, m( A) = 120 , fie M mijlocul laturii [AB]. Perpendiculara din M pe BC intersectează AC în D şi fie AE^ BC, )(BCEÎ .

Arătaţi că: a) DAMD este echilateral b) DAEM este romb c) CD = 3·AD

prof. Hotca Ana

Şcoala Gimnazială Certeze

4. Fie O punctul de intersecţie a diagonalelor [AC] şi [BD] ale trapezului ABCD cu AB CD. Paralela prin O la baze intersectează laturile [AD] şi [BC] în E şi respective F.

Demonstraţi că:

a) [OE] [OF];

b) ;

c) Dacă AD BC={M}, arătaţi că punctele M, O şi mijloacele bazelor sunt coliniare.

2 p Avem = =

1 p

2 p

Înlocuind obţinem:

A =

=

1 p = 4

1 p

= 9

A = 32 A este pătrat perfect

7 p TOTAL

2

Barem:

1 p

Fie a = 1 +

Folosind 1 + 2 + 3 + … + n = şi avem:

a =

1 p

1 p

1 p x =

1 p 256 = 44; 2010 = 2 · 3 · 5 ·67

1 p Numărul de divizori naturali ai lui x este egal cu (n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + 1) = (n + 1)4

1 p Finalizare: (n + 1)4 = 44 n + 1 = 4 n =3

7 p TOTAL

1.

2 p

a) punctele D, A, C sunt coliniare

oooDAMm 60120180)( =-=< ; {N} = MD BC

( ) ( ) oBMNmMAEmAEDN 60==Þ << (unghiuri corespondente)

( ) ( ) oDMAmBMNm 60== << (unghiuri opuse la varf)

( ) ooooADMm 606060180 =--=<

( ) ( ) ( ) lechilateraDAMMDAmAMDmDAMmo D=DÞ=== 60<<<

3.

3 p

b) în patrulaterul DAEM avem :

( ) oMBNm

cdreptunghiBMN

DMADMA

30

][][][

=

D=D

ºº

<

( isoscelABC D=D cu oAm 120)( =< ⇒

2

BMMN =

[MN]=linie mijlocie în BMMNAEABE =×=ÞD 2 ][][][ AEDMAD ºº

- ][][ AEAMdin º şi lechilateraAMEMAEm o D=DÞ= 60)(<

deci ][][ MEAE º

-avem: ][][][][ MEAEDMAD ººº

2 p c) CD = AC + AD = AB + AD = 2·BM + AD = 2·AD + AD = 3·AD

7 p TOTAL

1 p

a) În : EO (1)

În : OF (2)

DC (3)

1 p Din (1), (2) şi (3) EO = OF

[EO] = [OF]

1 p b) : EO

În : OF

1 p

Adunând relaţiile:

1 p

OF = OE

1 p c) ⇒ [DN] = [NC] ⇒ N mijlocul lui [DC] şi M, N, O coliniare (1)

0,5 p ⇒ [AP] = [PB] ⇒ P mijlocul lui [AB] şi M, O, P coliniare (2)

0,5 p M, N, O, P coliniare

7 p TOTAL

4

Clasa a VIII-a

1. a) Determinaţi numerele reale x, y şi z din relaţia 3x2 + 5y2 + 5z2 – 2xy – 2yz = 0 pentru

care x·y·z = 15 .

b) Arătaţi că dacă a, b, c sunt numere reale pozitive şi a + b + c = 2 atunci .

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN SATU MARE

2. Fie a, b numere reale astfel încât |a| £ 1 şi |b| £ 1. Arătaţi că

G.M. 4/2013

3. Punctele A, B şi C în această ordine, sunt situate pe un cerc de centru O şi de rază R = 12cm. Măsurile arcelor , şi sunt invers proporţionale cu numerele 0,1(6); 0,(1) şi respectiv 0,(3). În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul cercului, cu AM = 6 cm. Calculaţi:

a) măsurile arcelor , şi ; b) perimetrul şi aria triunghiului ABC; c) distanţa de la punctul A la planul (MBC).

4. Pe planul dreptunghiului ABCD cu AB = 6 cm şi AD = 6 cm se ridică, de aceeaşi parte a planului dreptunghiului, perpendicularele AM, BQ şi CP cu AM = 6cm, BQ = 2 cm şi CP = 3 cm. Determinaţi dreapta d de intersecţie a planelor (ABC) şi (MPQ) şi calculaţi distanţa de la punctul M la această dreaptă.

1 p

1 p

2 p Folosim inegalitatea mediilor,

2 p

1 p

7 p TOTAL

2

Barem:

1 p

a) Avem: (3x2 – 2xy ) + (3y2 – 2yz + 5z2)= 0

(x )2 + ( y - z)2 = 0

1 p x = 0 şi y = 0 ⇒ x = şi z =

1 p

Relaţia x·y·z = 15 devine:

y3 = y =

1 p x = = = ; y = = = 3

2 p

b) Folosind inegalitatea mg ma (în cazul nostru mg < ma) avem:

1 1+ a ⇒ ⇒

1 1+ b ⇒ ⇒

1 1+ c ⇒ ⇒

1 p

Prin adunare obţinem:

cum a + b + c = 2 ⇒

7 p TOTAL

1.

0,5 p a) Avem 0,(3) = ; 0,1(6) = ; 0,(1) = şi

1,5 p

= 120

= 180

= 60

3.

1 p

b) = m(∢ACB) =

= m(∢BAC) = BC este diametru BC = 24 cm

= m(∢ABC) =

m(∢ABC) = AC = = 12 cm

AB2 = BC2 – AC2 = 242 – 122 = 122 · 3 AB = 12 (cm)

1 p

= AB + BC + AC = 12 + 12 + 24 = 36 + 12 = 12( ) (cm)

= = 72 (cm2)

1 p

c) Fie D (BC), AD⊥BC şi P (MD), AP⊥MD

Avem MD⊥BC (1)

1 p

Avem:

⇒ d(A, (MBC)) = AP

1 p

Din avem: AD = = (cm)

În , m(∢MAD) = ⇒ MD2 = MA2 + AD2 ⇒ MD2 = 62 + (6 )2 = 36 + 108 = 144

⇒ MD = 12 (cm)

Din cu m(∢MAD) = ⇒ AP = = (cm)

d(A, (MBC)) = (cm) 7 p TOTAL

2 p

Fie AC MP = {R} şi AB MQ = {S}

(ABC) (MPQ) = d

Avem:

⇒ R∈d

⇒ S∈d

⇒ d = RS

⇒ (ABC) (MPQ) = RS

1 p

Fie F (RS), AF

Avem:

⇒ d(M,RS) = d(M,d) = MF

4.

2 p

Lungimea segmentului [RS]:

Din avem: AC = 6 (cm) şi sin unde = m(∢BAC)

În : [PC] linie mijlocie⇒ CR = 6 ⇒AR = 12 (cm)

În : BQ ⇒BS = 3 (cm) ⇒AS = 9 (cm)

Fie E∈AR, SE AR

În , m(∢AES) = 90 ⇒sin ⇒ ⇒SE = = 3 (cm)

AE2 = SA2 – SE2 = ( )2 – ( )2 = 162 – 54 = 108 ⇒AE = (cm) ⇒ER = (cm)

: SR2 = ES2 + ER2 = ( )2 + ( )2 = 54 + 108 = 162 ⇒RS = (cm)

2 p

Calculul lui MF din :

În avem: AR·SE = RS·AF ⇒AF = (cm)

În , m(∢MAF) = 90 ⇒MF2 = MA2 + AF2 = 36 + 144 = 180

MF = = 6 (cm) ⇒ d(M,RS) = 6 (cm) 7 p TOTAL