Sekcja Analiz Demograficznych Komitet Nauk Demograficznych PAN Al. Niepodległości 164 02-554 Warszawa tel/fax: 646-61-38 e-mail: ewaf@sgh.waw.pl

1/2000

Jolanta Kurkiewicz

EWOLUCJA METOD ANALIZY DEMOGRAFICZNEJ.

TEORIA- PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ.

Zeszyt nr 1. Sekcji Analiz Demograficznych (dokumentacja posiedzeń SAD).

2

Prof. Dr hab. Jolanta Kurkiewicz

Zakład Demografii, Katedra Statystyki

Akademia Ekonomiczna, Kraków.

SPIS TREŚCI str

1. Charakterystyka przedmiotu badań demograficznych. ................................................... 6

2. Ogólne zasady klasycznej analizy demograficznej............................................................ 7

3. Analiza wzdłuŜna ............................................................................................................... 10

3.1 Intensywność, kalendarz i ich charakterystyki przy braku zakłóceń ..................... 10

3.2 Intensywność, kalendarz i ich charakterystyki przy występowaniu zakłóceń ....... 13

4. Analiza przekrojowa .......................................................................................................... 16

4.1 Analiza zjawisk w kohortach hipotetycznych............................................................ 17

4.2 Standaryzacja współczynników demograficznych .................................................... 19

5. Ograniczenia klasycznej analizy demograficznej............................................................ 20

6. WzdłuŜna i przekrojowa analiza zjawisk demograficznych na przykładzie płodności20

7. Literatura ............................................................................................................................ 30

3

Przedmowa

Sekcja Analiz Demograficznych KND PAN została powołana na posiedzeniu

Prezydium Komitetu Nauk Demograficznych Polskiej Akademii Nauk w dniu 23 września

1999 roku. Jest trzecią obok Sekcji Demografii Medycznej i Sekcji Demografii Historycznej

sekcją naukową działającą w ramach Komitetu Nauk Demograficznych Wydziału I. Nauk

Społecznych - Polskiej Akademii Nauk.

Sekcją Analiz Demograficznych SAD prowadzą : dr hab. Ewa Frątczak (kierownik

sekcji) i dr hab. Jolanta Kurkiewicz (z-ca kierownika sekcji).

Głównym zadaniem Sekcji Analiz Demograficznych jest organizowanie spotkań

merytorycznych poświęconych szeroko rozumianym metodom analiz demograficznych,

włączając najnowsze metody i techniki zarówno organizacji badań jak i metod analiz

opisujących zjawiska i procesy demograficzne ich uwarunkowania i konsekwencje. Podstawą

kaŜdej prezentowanej metody w ramach spotkań SAD jest dokładny i gruntowny opis

teoretyczny metody (metod) oparty na moŜliwie wszechstronnej i najnowszej literaturze wraz

z prezentacją zastosowania teorii na danych empirycznych. Prezentacja nowych metod

wymagać będzie od referentów zapoznania się ze stosowną literaturą i niemałego nakładu

pracy. Dość często upowszechnienie nowej metody i jej zastosowanie wymagać będzie

nakładu pracy związanego z zapoznaniem się ze stosownym programem lub pakietem

komputerowym umoŜliwiającym dość sprawną aplikację modelu lub metody. Zatem działania

mające na celu informację o programach komputerowych i organizowanie w przyszłości

warsztatów szkoleniowych to jedno z kolejnych zadań SAD.

Ogranizatorom Sekcji i osobom prowadzącym SAD zaleŜy na integracji środowiska

demograficznego, w tym głownie młodych adeptów nauki wokół zagadnień szeroko

rozumianych analiz demograficznych. Zebrania Sekcji Analiz Demograficznych mogą być

równieŜ poświęcone prezentacji nowych twórczych metod analiz lub zastosowań metod

(modeli) będących wynikami prac doktorskich lub habilitacyjnych ukończonych lub

znajdujących się w fazie przygotowywania, na odpowiednim etapie.

4

Podjęto na pierwszym inauguracyjnym zebraniu Sekcji Analiz Demograficznych, które

odbyło się 18 stycznia 2000 roku dwie inicjatywy:

- pierwsza, polegająca na tym, Ŝe materiały prezentowane na kolejnych posiedzeniach SAD

będą miały formę "Zeszytów Naukowych Sekcji Analiz Demograficznych KND PAN".

KaŜdy zeszyt poświęcony będzie wspólnej tematyce. Zostały podjęte starania o uzyskanie

formalnej zgody na wydawanie zeszytów, które będą miały formę tzw. "working paper";

- druga, polegająca na organizowaniu raz na rok lub co dwa lata "Warsztatów z Analizy

Demograficznej" jako przedsięwzięcia wspólnego Sekcji Analiz Demograficznych KND

PAN i Instytutu Statystyki i Demografii SGH. Stosowna dokumentacja dotycząca

"Warsztatów z Analizy Demograficznej" , w tym dokumentacja kosztorysowa została

zaakceptowana przez Panią Prof. dr hab. J.Jóźwiak Dyrektora Instytutu Statystyki i

Demografii i Przewodniczącą Komitetu Nauk Demograficznych PAN.

Warsztaty z analizy demograficznej pomyślane są jako seminaria szkoleniowe dla młodych

pracowników nauki będących na staŜu lub pracujących na wyŜszych uczelniach i

uniwersytetach w kraju zainteresowanych metodami analiz demograficznych oraz noszących

się z zamiarem przygotowania rozprawy doktorskiej lub habilitacyjnej w obszarze demografii,

szerzej nauk społecznych.

Pierwsze inauguracyjne spotkanie Sekcji Analiz Demograficznych KND PAN miało

miejsce 11 stycznia 2000 w sali 713, budynek F - Instytut Statystyki i Demografii Szkoły

Głównej Handlowej przy Al. Niepodległości 162 w Warszawie, miejsce w którym odbywają

się posiedzenia SAD. Referat wiodący nt. "Ewolucja metod analizy demograficznej" wraz z

wprowadzeniem do dyskusji wygłosiła dr hab. Jolanta Kurkiewicz z Akademii Ekonomicznej

w Krakowie.

Niniejszy, pierwszy numer Zeszytów Sekcji Analiz Demograficznych jest numerem

inauguracyjnym, zawierającym wystąpienie dr hab. Jolanty Kurkiewicz na pierwszym

posiedzeniu SAD. Prezentowane są w nim podstawy teoretyczne analizy demograficznej wraz

z przykładami empirycznymi ilustrującymi metody.

5

Zeszyty SAD przygotowywane są we własnym zakresie, za teksty odpowiedzialni są

Autorzy. Prace techniczne związane z końcową obróbką tekstu zostały wykonane przez mgr

Anetę Ptak-Chmielewską.

Z nadzieją na upowszechnianie informacji o działalności Sekcji Analiz

Demograficznych KND PAN oraz o formie dokumentacji spotkań w postaci serii Zeszytów

Sekcji1.

Kierownik SAD

/ dr hab. Ewa Frątczak /

1Wobec faktu oczekiwania na uzyskanie formalnej zgody na publikowanie Zeszytów SAD, mają one formę

dokumentacji z kolejnych posiedzeń SAD.

6

1. Charakterystyka przedmiotu badań demograficznych.

Zjawiska demograficzne, do których naleŜą zawieranie i rozwiązywanie związków

małŜeńskich, rozrodczość, umieralność oraz ruchy wędrówkowe są rozpatrywane przez

demografów jako procesy masowe i badane w ujęciu ilościowym z zachowaniem

jakościowego aspektu rzeczywistości. Celem podejmowanych badań jest poznawanie

prawidłowości i praw rządzących rozwojem populacji ludzkich, a zdobyta w ten sposób

wiedza stwarza moŜliwości przewidywania i świadomego kształtowania procesów

ludnościowych.

Zbiorowość ludzi w danym momencie kalendarzowym tworzą osoby, których

liczebność i struktura według cechy demograficznych, takich jak wiek, płeć i stan cywilny są

wynikiem zdarzeń zaszłych w przeszłości. Zdarzeniami tymi są: małŜeństwa, urodzenia zgony

oraz migracje. Zestawiając struktury populacji w szereg dynamiczny otrzymujemy łańcuch,

który obrazuje wzajemne uwarunkowania procesów i struktur, tak jak to przedstawiono na

rysunku 1.

Rysunek 1

Związki między przemianami strukturalnymi i procesami demograficznymi

→ struktura → proces → struktura → … → proces → struktura →

Źródło: Opracowanie własne

W ustalonych momentach mamy więc obraz stanów populacji jako rezultat kształtujących go

procesów. Obraz ten umoŜliwia wnioskowanie o przebiegu zjawisk demograficznych w

przeszłości oraz nakreślenie ich przyszłych tendencji. Chcąc zrealizować postawione cele

demografowie troszczą się zarówno o jakość informacji, na których opierają swe dociekania,

jak i o metody badań prowadzących do zweryfikowania postawionych hipotez badawczych.

Przedmiotowy zakres demografii został określony bardzo wcześnie. Odnajdujemy go

juŜ w opublikowanej w 1662 roku pracy J.Graunta zatytułowanej “SpostrzeŜenia przyrodnicze

i polityczne na podstawie zapisów zgonów” (Natural and Political Observations made upon

the Bills of Bills of the Mortality). J.Bourgeois-Pichat zwraca uwagę, Ŝe tablice zawarte w

jednym z pierwszych podręczników autorstwa Maheau są zamieszczane we wszystkich

współczesnych podręcznikach demografii. W takiej sytuacji moŜna byłoby odnosić wraŜenie,

Ŝe demografia jest raczej skostniałą dziedziną wiedzy.

7

Celem niniejszego wykładu jest ukazanie jak pomimo niezmienności przedmiotu

badań demografia jest wciąŜ rozwijającą się dyscypliną. Szczególnie wyraźnie odzwierciedla

to ewolucja podejść do rozwaŜanej problematyki. Rozpoczniemy więc od scharakteryzowania

analizy demograficznej w jej ujęciu klasycznym zarówno przekrojowym jak i wzdłuŜnym.

Następnie przedstawimy jak przepływy jednostek między populacjami są rozwiązane w

wieloregionalnej analizie demograficznej, aby z kolei zarysować zasady analizy biografii.

Zastanowimy się przy tym czy współcześnie jesteśmy świadkami zmiany paradygmatu w

demografii.

2. Ogólne zasady klasycznej analizy demograficznej

Celem analizy demograficznej określanej dziś jako klasyczna jest poznanie przebiegu

zjawiska w czystej postaci. Jest to taki jego stan, który mógłby zaistnieć, gdyby nie działały

czynniki zakłócające. Czynnikami tymi są wszelkie oddziaływania mogące przyśpieszać,

opóźniać lub wykluczać realizację zdarzeń za pośrednictwem których dostrzegane jest

zjawisko podlegające analizie. Idealna byłaby sytuacja, w której moŜna byłoby obserwować

tylko jedno zjawisko. Warunki te są niemoŜliwe do spełnienia w sferze zjawisk społecznych.

Konieczne jest więc zastosowanie takich metod badawczych, które przy pewnych załoŜeniach

umoŜliwią oszacowanie czystej ich postaci. W ten sposób problem ten sformułował L.Henry

(1959, 1972) a do literatury angielskiej ujęcie to wprowadzili G.J.Wunsch i M.G.Termote

(1978).

Analizę zjawisk demograficznych moŜna prowadzić w dwóch ujęciach: przekrojowym

(poprzecznym) lub wzdłuŜnym (kohortowym). Relacje między nimi przedstawiono na

rysunku 2 (por.G.Tapinos (1985)).

8

Rysunek 1. Związek między analizą przekrojową i wzdłuŜną

Relacje między przekrojowym i wzdłuŜnym ujęciem zjawisk demograficznych.

analiza

przekrojowa

analiza wzdłuŜna

Przez długi czas analiza przekrojowa była jedynym sposobem ujmowania zjawisk

demograficznych. L.Henry (1976) był zdania, Ŝe na początku demografowie nie odczuwali

potrzeby rozróŜniania ujęcia przekrojowego i wzdłuŜnego. Wynikało to między innymi z

faktu, Ŝe zachowania kolejnych generacji były prawie identyczne. Konieczność rozróŜniania

podejścia poprzecznego i wzdłuŜnego nie była dostrzegana jeszcze w końcu XIX wieku. W

9

okresie międzywojennym dwaj demografowie; a to P.Delaport (umieralność) i P.Depoid

(reprodukcja) prowadzili rozwaŜania z uwzględnieniem generacji. Ujęcia przekrojowego i

wzdłuŜnego nie rozróŜniał natomiast A.Lotka. W jego wypadku jest to zrozumiałe, poniewaŜ

w swoich modelach zakładał on ustaloną umieralność i płodność. W takich warunkach

kolejne generacje mają więc jednakową historię i w konsekwencji tablice przekrojowe i

wzdłuŜne są identyczne.

RóŜnica między ujęciem przekrojowym i wzdłuŜnym w pełni dostrzeŜona została

dopiero po II wojnie światowej. Ujawniły się bowiem sprzeczności właśnie w modelu Lotki.

Mianowicie A.Whelpton obliczając zredukowane sumy urodzeń według ich kolejności

uzyskał wartości przekraczające jedność. Wzbudziło to uzasadniony sprzeciw albowiem do tej

pory ujęcia przekrojowe traktowano jako hipotetyczne wzdłuŜne, a uzyskaną w ten sposób

sumę interpretowano jako prawdopodobieństwo urodzenia przynajmniej jednego dziecka.

Zakłopotanie sprawił takŜe róŜny obraz reprodukcji populacji w Wielkiej Brytanii uzyskany

za pomocą współczynników obliczanych dla kobiet i męŜczyzn. Pomimo to jeszcze w

połowie lat 50. demografowie, a szczególnie ci zajmujący się koniunkturami

demograficznymi, niechętnie przyjmowali analizę wzdłuŜną. Traktowali ją jako nuŜące

zestawianie zdarzeń zachodzących w kaŜdej kohorcie według lat jej trwania. Lata 1970. były

juŜ okresem doskonalenia obydwu ujęć. Wiadomo juŜ było, Ŝe znaczenie ich nie jest

jednakowe (por. L.Henry 1976).

Ośrodkiem, w którym kształtowały się podstawy analizy wzdłuŜnej i uzyskano

największe osiągnięcia był Narodowy Instytut Badań Demograficznych w ParyŜu. Z

osiągnięciami szkoły francuskiej w języku polskim moŜna było zapoznać się między innymi

poprzez pracę R.Pressata (1966). Pierwszym polskim podręcznikiem, w którym wyłoŜono

zasady analizy kohortowej była praca J.Z. Holzera (1963). Kohortowe analizy prowadzono i

doskonalono w poznańskiej WyŜszej Szkole Ekonomicznej (obecnie Akademia

Ekonomiczna) [zob. np. M. Kędelski, J.Paradysz (1990)]. RozróŜnianie analizy przekrojowej i

wzdłuŜnej staje się nieodzowne szczególnie wówczas, gdy brak jest stabilności rozwaŜanych

procesów. Typowym przykładem mogą być okresy szczególne, takie jak wojny i kryzysy, w

których zazwyczaj występują odroczenia małŜeństw i urodzeń dzieci oraz ich kompensacje z

chwilą zaistnienia sprzyjających warunków. Istotne zmiany zachowań następujących po sobie

generacji mogą być równieŜ efektem przeobraŜeń wzorców zawierania małŜeństw i modelu

rodziny oraz oddziaływania ruchów wędrówkowych.

10

Pomimo, Ŝe historycznie wcześniejsze jest ujęcie przekrojowe zasady klasycznej

analizy demograficznej rozpoczniemy od ujęcia wzdłuŜnego. Odnosząc się do kohort

rzeczywistych jest łatwiejsze zarówno ukazanie jak i zrozumienie istoty klasycznej analizy

demograficznej. Nie musimy bowiem odwoływać się do w pewnym sensie konstrukcji

modelowej jaką jest kohorta hipotetyczna.

3. Analiza wzdłuŜna

3.1 Intensywność, kalendarz i ich charakterystyki przy braku zakłóceń

Przebieg analizowanego zjawiska demograficznego jest w pełni rozeznany jeśli uda się

określić jego intensywność i kalendarz. Pojęcia te wprowadził do analizy demograficznej L.

Henry (1972). Odnoszą się one do zjawisk w postaci czystej. Dla zdefiniowania

intensywności i kalendarza niezbędne jest rozróŜnienie zjawisk powtarzalnych i

niepowtarzalnych. Jako powtarzalne rozumiane są takie zjawiska, które realizują się za

pośrednictwem zdarzeń mogących występować wielokrotnie w Ŝyciu danej jednostki. W

demografii takimi są np. zawieranie małŜeństw lub urodzenia dzieci gdy nie wyróŜniana jest ich

kolejność. Zjawiska niepowtarzalne realizują się poprzez zdarzenia, których wielokrotna

realizacja w Ŝyciu jednostki nie jest moŜliwa. Niepowtarzalnością charakteryzuje się przede

wszystkim umieralność. Własność taką mają takŜe małŜeństwa lub urodzenia dzieci

wyróŜnionej kolejności.

Rozpoczniemy od najprostszego abstrakcyjnego przypadku. Przyjmujemy mianowicie,

Ŝe w kohorcie powstałej w momencie (okresie) τ jako jedyne realizuje się powtarzalne

zjawisko A. Przyjmujemy równieŜ, Ŝe jednostką statystyczną jest osoba, a czas trwania

kohorty jest mierzony poprzez jej wiek (x). Interesuje nas natęŜenie zjawiska A w

poszczególnych latach trwania kohorty czyli w zaleŜności od wieku wchodzących w jej skład

osób. NatęŜenie to wyraŜamy liczbowo za pomocą miernika, który przez L.Henry’ego został

określony mianem zdarzeń zredukowanych do początkowej liczebności kohorty2. Jest on dany

wzorem:

W xA x

Kii( , )

( , )

( , )ττττ

ττττ

ττττ====

0, i = 1, 2 ,…, k (1)

2 Na mocy przyjętego załoŜenia tan rozwaŜanej kohorty nie zmienia się przez cały okres obserwacji.

11

gdzie:

τ - data powstania kohorty,

A(xi,τ) - liczba zdarzeń A w kohorcie τ wśród osób w wieku xi ukończonych lat,

K(0, τ) - początkowa liczebność kohorty τ.

Miarą intensywności zjawiska jest suma zdarzeń zredukowanych do początkowej

liczebności kohorty uzyskana jako:

W A W A xii

k( , ) ( , , )ττττ ττττ====

====

∑∑∑∑1

(2)

Intensywność jest więc średnią liczbą zdarzeń A w przeliczeniu na jednego członka tej

kohorty (lub na przyjętą umowną liczebność 100, 1000 itd.) zrealizowanych bez zakłóceń w

kohorcie τ w całym okresie jej trwania, a dokładniej w okresie realizowania się badanego

zjawiska. Okresowi temu odpowiadają granice sumowania <<<< >>>>x xk1; , gdzie x1 oznacza

najniŜszy wiek, w którym obserwowane jest zdarzenie A, zaś xk odpowiada najwyŜszemu

wiekowi, do którego jeszcze występują obserwowane zdarzenia A.

Zdarzenia zredukowane zdefiniowane wzorem (1) przedstawiają rozkład liczebności

zdarzeń A według wieku członków kohorty. Jest to kalendarz rozwaŜanego zjawiska. MoŜna

go sumarycznie scharakteryzować za pomocą miar połoŜenia, zmienności, asymetrii, ekscesu.

Najczęściej stosowany jest średni wiek oraz wariancja (odchylenie standardowe) wieku

członków kohorty w chwili realizacji zdarzenia A, gdzie jako wagi występują zdarzenia

zredukowane dane wzorem (1). Wartości tych miar oblicza się według następujących wzorów:

• średni wiek:

x A

x W A x

W A

i ii

k

( , )

( , , )

( , )ττττ

ττττ

ττττ====

====

∑∑∑∑1 , (3)

• wariancja wieku:

s A

x x W A x

W A

i ii

k

2

2

1( , )

( ) ( , , )

( , )ττττ

ττττ

ττττ====

−−−−

====

∑∑∑∑

. (4)

12

Jeśli natomiast w danej kohorcie jako jedyne realizuje się zjawisko obserwowane w

postaci niepowtarzalnych zdarzeń Ar, to wtedy moŜna rozwaŜać prawdopodobieństwo

występowania tych zdarzeń w według wieku członków kohorty. Jest one dane jako:

p A xA x

Kr ir i( , , )( , )

( , )ττττ

ττττ

ττττ====

0, i = 1, 2 ,…, k (5)

gdzie:

Ar(xi, τ) - liczba zdarzeń Ar w wieku xi, (r moŜe oznaczać kolejność zdarzenia).

W takim ujęciu p(Ar, xi, τ) jest miarą ryzyka zajścia zdarzenia Ar w kohorcie τ wśród osób w

wieku xi. Jeśli Ar jest zdarzeniem nieuchronnym, takim jak zgon, to p A xr i( , , )ττττ

przedstawia jego kalendarz jako rozkład prawdopodobieństwa zdarzeń Ar według wieku. Jeśli

natomiast realizacja zdarzenia Ar zaleŜy od woli jednostki, co wyklucza jego nieuchronność,

to w danej populacji pojawiają się jednostki które nigdy nie doświadczą zdarzenia Ar. Wtedy

kalendarz jest warunkowym rozkładem prawdopodobieństwa zdarzeń Ar według wieku

uzyskanym jako:

p A x Ap A x

p Ar i rr i

r( , , , )

( , , )

( , )ττττ ττττ

ττττ

ττττ==== . (6)

W mianowniku wyraŜenia zdefiniowanego wzorem (6) występuje prawdopodobieństwo

realizacji zdarzenia Ar w jakimkolwiek okresie Ŝycia kohorty. Jest ono miarą intensywności

uzyskaną jako:

p A p A x Ar r ii

k

r( , ) [ ( , , ) , )]ττττ ττττ ττττ==== −−−− −−−−

====

∏∏∏∏1 11

(7)

Przebieg analizowanego zjawiska moŜna przedstawić w postaci tablicy eliminacji (wejścia-

wyjścia) ukazującej porządek zmniejszania się liczebności rozwaŜanej kohorty na skutek

realizacji niepowtarzalnych zdarzeń Ar.

Rozkład ten moŜe być sumarycznie opisany za pomocą miar połoŜenia, zmienności,

asymetrii, ekscesu. tego Średni wiek oraz wariancja wieku członków kohorty τ w którym

doznają oni zdarzenia Ar uzyskujemy zgodnie ze wzorami (3) i (4) wstawiając jako wagi w

miejsce zdarzeń zredukowanych prawdopodobieństwa dane wzorem (6).

13

3.2 Intensywność, kalendarz i ich charakterystyki przy występowaniu zakłóceń

W rzeczywistości analizowane zjawisko zawsze współistnieje z innymi zjawiskami

wnoszącymi zakłócenia. W klasycznej analizie demograficznej są one najczęściej

przypisywane zgonom i ruchom wędrówkowym. Zgony powodują zejście z pola widzenia

pewnej części populacji przed zakończeniem obserwacji, a tym samym uniemoŜliwienie

realizacji zdarzeń składających się na badane zjawisko. Migracje mogą przyczyniać się nie

tylko do takiej sytuacji, ale wpływać na odroczenia i rekompensaty zdarzeń, których realizacja

zaleŜy od woli jednostki. Ponadto obydwa te zjawiska poprzez selektywność mogą

powodować deformacje struktury i zakłócać przebieg takich zjawisk jak na przykład

zawieranie małŜeństw.

W tej sytuacji czysta postać zjawiska moŜe być oszacowana przy pewnych załoŜeniach

dotyczących moŜliwych ekstrapolacji. L.Henry (1972) sformułował je w postaci warunków,

które określił mianem niezaleŜności i ciągłości.

Warunek niezaleŜności jest załoŜeniem dotyczącym przebiegu analizowanego

zjawiska w tej części generacji, która wyszła z pola obserwacji przed jej zakończeniem. Jego

spełnienie oznacza, Ŝe tej nieobserwowalnej subpopulacji moŜna przypisać taki sam przebieg

zjawiska w czystej postaci, jak tej części która podlegała obserwacji aŜ do końca czyli

osiągnięcia górnego wieku obserwowania zdarzeń Ar. Warunek niezaleŜności jest

wystarczający do szacowania czystej postaci zjawiska powtarzalnego. W wypadku zjawisk

niepowtarzalnych konieczne jest spełnienie dodatkowego załoŜenia; Jest nim warunek

ciągłości. Jego spełnienie oznacza, Ŝe analizowane zjawisko nie wpływa na zjawisko

zakłócające3.

Sposoby uzyskiwania intensywności i kalendarza zjawiska w populacjach z

zakłóceniami przedstawimy najpierw dla zjawisk niepowtarzalnych. W sytuacji gdy występują

zakłócenia zamiast prawdopodobieństwa uŜywane będzie pojęcie częstość względna

zdarzenia Ar. Definiujemy ją następująco:

v A xA x

K x Ar ir i

i r( , , )

( , )

( , , )′′′′ ====

′′′′

′′′′−−−−ττττ

ττττ

ττττ 1 (8)

gdzie: ′′′′A xr i( , )ττττ - liczba zdarzeń A w wieku xi ukończonych lat w kohorcie τ,

3 Na przykład urodzenie dziecka nie wpływa na umieralność kobiet w wieku zdolności rozrodczej.

14

w której występują zakłócenia,

K x Ai r( , , )ττττ ′′′′−−−−1 - liczebność tej części kohorty τ w której zrealizowało się zdarzenie

Ar-1 warunkujące realizację zdarzenia Ar w dokładnym wieku xi.

Gdyby zakłócenia nie występowały, to liczba zdarzeń Ar, które zrealizowały się w wśród osób

w wieku xi w rozwaŜanej kohorcie wynosiłaby:

A x A x A xr i r i r i( , ) ( , )~( , )ττττ ττττ ττττ==== ′′′′ ++++ (9)

gdzie: ~( , )A xr i ττττ - liczba zdarzeń Ar w kohorcie τ w wieku xi ukończonych lat

niezrealizowanych z powodu występowania zakłóceń. Prawdopodobieństwo występowania

zdarzeń Ar moŜemy wtedy zapisać jako:

p A xA x A x

K x Ar ir i r i

i r( , , )

( , )~( , )

( , , )ττττ

ττττ ττττ

ττττ====

′′′′ ++++

−−−−1 (10)

Konieczne jest więc oszacowanie liczebności nieobserwowalnego zbioru zdarzeń ~( , )A xr i ττττ .

Jeśli spełnione są warunki niezaleŜności i ciągłości, to jednostkom, które nie dotrwały do

końca obserwacji moŜna przypisać tę samą częstość co pozostałym członkom kohorty. Jest

ona dana wzorem (8). Jeśli w przedziale wieku <<<< ++++x xi i h, ) częstość ta liniowo maleje do

zera, to osobom wyeliminowanym moŜna przypisać średnią częstość równą:

v A xv A x

r ir i( , , )

( , , )ττττ

ττττ====

2 (11)

Otrzymujemy zatem:

),,(

),(),,(

),(),,(ˆ

1

2

−−−−

++++

====ri

iir

irir AxK

xZxA

xAxAp

ττττ

ττττττττνννν

ττττ

ττττ (12)

gdzie: $ ( , , )p A xr i ττττ - oszacowanie prawdopodobieństwa zrealizowania się zdarzenia

Ar w kohorcie τ w wieku xi ukończonych lat,

Z xi( , )ττττ - liczba zdarzeń, które zakłóciły przebieg badanego zjawiska

w kohorcie τ w wieku xi ukończonych lat.

15

W rezultacie prostych przekształceń otrzymujemy:

$( , , )( , )

( , , )( , )

p A xA x

K x AZ xr i

r i

i ri

ττττττττ

ττττττττ

====

−−−−−−−−1 2

(13)

Intensywność analizowanego zjawiska będąca prawdopodobieństwem jego wystąpienia w

jakimkolwiek momencie Ŝycia uzyskujemy jako:

$( , ) [ $( , , )]p A p A xr r ii

kττττ ττττ==== −−−− −−−−

====

∏∏∏∏1 11

. (14)

Kalendarz zjawiska podany jako warunkowy rozkład częstości względnych zdarzeń Ar według

wieku generacji przy załoŜeniu, Ŝe wyeliminowano zakłócenia jest dany jako:

$( , , , )$( , , )

$( , )p A x A

p A x

p Ar i rr i

rττττ ττττ

ττττ

ττττ==== (15)

Jednym z najczęściej wykorzystanych parametrów tego rozkładu jest średni wiek oraz

wariancja wieku członków kohorty τ w którym doznają oni zdarzenia Ar. Wartości tych

parametrów uzyskujemy zgodnie ze wzorami (3) i (4) wstawiając jako wagi w miejsce

zdarzeń zredukowanych prawdopodobieństwa dane wzorem (13).

Na podstawie tych prawdopodobieństw konstruujemy równieŜ tablicę eliminacji

przedstawiającą porządek zmniejszania się liczebności kohorty na skutek zachodzenia zdarzeń

Ar w warunkach, w których spełnione są przyjęte załoŜenia.

Podobny tok rozumowania (por. wzory (9)-(12), ale odnoszący się sytuacji

dopuszczającej występowanie zakłóceń w realizacji powtarzalnych zdarzeń A(xi,τ)

doprowadza do następującego miernika:

W A xA x

K xZ xii

ii

( , , )( , )

( , )( , )

ττττττττ

ττττττττ

====

−−−−2

(16)

NaleŜy tutaj zauwaŜyć, Ŝe zdarzenia powtarzalne nie zmieniają stanu liczebnego kohorty.

Powoduje to tylko zdarzenie zakłócające Z(xi,τ). Zatem liczebność zbioru tych zdarzeń

moŜemy ustalić jako:

Z x K x K xi i i h( , ) ( , ) ( , )ττττ ττττ ττττ==== −−−− ++++ (17)

W konsekwencji otrzymujemy cząstkowy współczynnik według wieku i kohorty:

16

W A xA x

K x K xii

i i h( , , )

( , )( , ) ( , )

ττττττττ

ττττ ττττ====

++++ ++++

2

(18)

L.Henry (1972) określił go mianem zaobserwowanych zdarzeń zredukowanych do średniej

liczebności kohorty w wieku xi ukończonych lat. Na podstawie tego miernika dochodzimy do

uzyskania intensywności i kalendarza analizowanego zjawiska.

Intensywność jest sumą zaobserwowanych zdarzeń zredukowanych do średniej

liczebności generacji w wieku xi ukończonych lat:

w A w A xii

k( , ) ( , , )ττττ ττττ====

====

∑∑∑∑1

. (19)

Kalendarz podany w postaci średniego wieku w chwili zachodzenia zdarzenia A przy

załoŜeniu eliminacji zakłóceń:

),(

),,(

),(ττττ

ττττ

ττττAw

xAwx

Ax

k

iii∑∑∑∑

====

′′′′

==== 1 (21)

Tak więc dla zrealizowania celu analizy wzdłuŜnej kaŜde zdarzenie demograficzne

musi być rozwaŜone oddzielnie. Konieczne jest wyodrębnienie zdarzenia badanego i zdarzeń

zakłócających jego przebieg. W tym miejscu naleŜy zwrócić uwagę na to, Ŝe przedstawiona

wyŜej analiza zjawisk demograficznych jest przeprowadzana w ramach danego obszaru przy

pewnych załoŜeniach dotyczących ruchów wędrówkowych. Jeśli populacja nie moŜe być

potraktowana jako zamknięta, to migracja występuje jako czynnik zakłócający. Przyjęcie

jednak załoŜenia o spełnieniu warunków niezaleŜności i ciągłości moŜe budzić zastrzeŜenia

ze względu na selektywność ruchów wędrówkowych.

4. Analiza przekrojowa

17

Przekrojowe analizowanie zjawisk demograficznych oznacza badanie ich przebiegu w

zaleŜności od zachowań współistniejących kohort w ustalonym na osi czasu okresie. Oznacza

to rozwaŜanie ich w czasie kalendarzowym. Takie podejście pozwala powiązać realizacje

obserwowanych zdarzeń - między innymi ich odroczenia i rekompensaty - z faktami

historycznymi oraz ustalić momenty zwrotne w kształtowaniu się badanego procesu (por.

L.Henry [1976]). Realizując cele analizy demograficznej w ujęciu przekrojowym naleŜy

wziąć pod uwagę, Ŝe do występujących w analizie wzdłuŜnej czynników zakłócających naleŜy

dołączyć efekty oddziaływania elementów strukturalnych. Spośród nich najbardziej istotny

wpływ wywiera struktura populacji według wieku i płci. Celem uwolnienia się od tych

oddziaływań moŜliwe są dwa podejścia, a to: standaryzacja współczynników

demograficznych oraz analiza rozwaŜanego zjawiska w kohortach hipotetycznych.

4.1 Analiza zjawisk w kohortach hipotetycznych

Kohorta hipotetyczna jest populacją skonstruowaną na podstawie zachowań

zaobserwowanych w danym okresie kalendarzowym przy załoŜeniu, Ŝe warunki wówczas

zaistniałe będą utrzymywać się przez cały czas trwania powstałej wówczas kohorty.

Miernikiem natęŜenia zjawiska w stanie czystym, a więc wolnym od zakłóceń, w roku

(okresie) kalendarzowym t jest współczynnik cząstkowy według wieku. Dochodzimy do niego

w rezultacie rozwaŜań analogicznych do tych przedstawionych dla analizy wzdłuŜnej i

opisanych wzorami (9)-(12). Tutaj odnosimy je do sytuacji dopuszczającej występowanie

zakłóceń w realizacji powtarzalnych zdarzeń A(xi,t) obserwowanych w zbiorowości Ŝyjących

w wieku xi lat w roku kalendarzowym t. Współczynnik ten jest dany wzorem:

W A x tA x t

P x tii

i( , , )

( )

( , ),

==== (22)

gdzie: A x ti( , ) - liczba powtarzalnych zdarzeń A zaobserwowanych w wieku xi

w roku t,

P x ti( , ) - średnia liczba ludności w wieku xi w roku t.

Współczynniki zdefiniowane wzorem (22) są charakterystykami natęŜenia zjawiska w

poszczególnych latach Ŝycia hipotetycznej kohorty. Na ich podstawie intensywność

uzyskujemy jako sumę:

18

W A t W A x tii

k( , ) ( , . )====

====

∑∑∑∑1

(23)

Charakterystyką kalendarza jest średni wiek w chwili realizacji zdarzenia A:

x

x W A x t

W A t

ii

k

====

′′′′

====

∑∑∑∑ ( , , )

( , )1 (24)

Jeśli analizie podlega zjawisko niepowtarzalne (Ar) o nieznanej intensywności, to

mamy do wyboru dwa sposoby postępowania:

1. Posługujemy się współczynnikami pierwszej kategorii mierzącymi ryzyko zajścia

zdarzenia A w populacji w wieku xi w roku t. Definiuje je następujący wzór:

W A x tA x t

P x t Ar ir i

i r( , , )

( , )

( , , )====

−−−−1 (25)

gdzie: A x tr i( , ) - liczba zdarzeń niepowtarzalnych (kolejności r) zaobserwowanych

w zbiorowości w wieku xi lat w roku t,

P x t Ai r( , , )−−−−1 - średnia liczba osób w wieku xi w roku t, które wcześniej

doznały zdarzenia Ar-1 warunkującego zajście zdarzenia Ar.

Współczynniki dane wzorem (25) przekształcone za pomocą odpowiednich formuł na

prawdopodobieństwa realizacji zdarzenia Ar pozwalają na skonstruowanie przekrojowej

tablicy eliminacji typu wejścia-wyjścia. Odzwierciedla ona zachowania hipotetycznej kohorty

spełniającej załoŜenia populacji zastojowej, którą charakteryzują:

a) stała płodność,

b) stała umieralność,

c) zerowy przyrost naturalny,

d) brak ruchów wędrówkowych.

2. Stosujemy współczynniki kategorii drugiej, w których obserwowane zdarzenie są

odnoszone do całej populacji, a więc wchodzą w jej skład równieŜ osoby, które nie mogą

doświadczyć zdarzeń A x tr i( , ) . Współczynniki te uzyskujemy jako:

W A x tA x t

P x tr ir i

i[ ( , )]

( , )

( , )==== (26)

19

Na podstawie tych mierników, za pomocą zdarzeń zredukowanych wyznaczamy:

• intensywność:

W A t W A x tr r ii

k( , ) [ ( , )]====

====

∑∑∑∑1

(27)

• kalendarz:

x A t

x W A x t

W A tr

r ii

k

r( , )

[ ( , )]

( , )====

′′′′

====

∑∑∑∑1 (28)

NaleŜy w tym miejscu zwrócić uwagę na róŜnice w interpretacji rezultatów analizy

uzyskanych w ujęciu wzdłuŜnym i przekrojowym. Charakterystyki przekrojowe są

interpretowane w trybie warunkowym. Tak więc intensywność określa średnią liczbę zdarzeń

przy załoŜeniu, Ŝe przez cały czas trwania kohorty współczynniki cząstkowe według wieku

będą takie jak w roku kalendarzowym t. W tych samych warunkach jako charakterystykę

kalendarza przyjmujemy średni wiek w chwili realizowania się zdarzenia.

4.2 Standaryzacja współczynników demograficznych

Celem standaryzacji jest porównanie przebiegu zjawiska w populacjach róŜniących się

strukturą (demograficzną, społeczną, ekonomiczną). Współczynniki mogą podlegać

standaryzacji bezpośredniej lub pośredniej. W rezultacie bezpośredniego standaryzowania

uzyskuje się natęŜenie zjawiska jakie wystąpiłoby gdyby jego natęŜenie w wyróŜnionych

subpopulacjach było rzeczywiste (zaobserwowane w danym okresie lub na danym obszarze),

a struktury porównywanych zbiorowości zostały ustalone zgodnie z przyjętą dla wszystkich

jednakową strukturą standardową. Procedura standaryzacji pośredniej polega na ustaleniu

natęŜenia analizowanego zjawiska, które wystąpiłoby w badanych zbiorowościach gdyby ich

struktury były takie jak zaobserwowano w danym okresie lub na ustalonym obszarze, a

natęŜenie zjawiska w wyróŜnionych subpopulacjach porównywanych populacji było zgodne z

przyjętym dla wszystkich standardem.

20

5. Ograniczenia klasycznej analizy demograficznej

• KaŜde zdarzenie jest rozwaŜane oddzielnie.

• Konieczne jest ścisłe określenie zdarzenia obserwowanego i badanego w celu określenia

czystej postaci zjawiska.

• Wykorzystuje się źródła danych zagregowanych uzyskanych przede wszystkim ze

statystyki ruchu naturalnego ludności.

• W takim ujęciu nie moŜliwe jest badanie interakcji.

• Konieczna jest obserwacja grup zachowujących swoją jednorodność od początku do końca

okresu obserwacji.

• W takim ujęciu wiele hipotez nie moŜe być zweryfikowanych.

Niektóre ograniczenia analizy klasycznej mogą być przezwycięŜone na bazie analizy

wielostanowej (wieloregionalnej). Ale i tutaj nie zawsze jednak moŜna się uwolnić od

załoŜenia niezaleŜności zdarzeń.

Ograniczeń tych byli świadomi zarówno L.Henry jak i R.Pressat, prekursorzy analizy

wzdłuŜnej. L.Henry (1959) zwrócił uwagę na problem heterogeniczności populacji. Zarówno

L.Henry jak i R.Pressat zwracali uwagę na konieczność badania interakcji, ale z powodu

braku danych nie weryfikowali stawianych hipotez. Rozpoczynając analizę na danym

poziomie agregacji nie moŜemy go zmieniać w tracie badań, gdyŜ nie są te same stosowane

metody.

Przez długi czas w dominował wysoki poziom agregacji. W stosowanych wtedy

załoŜenia, Ŝe populacje są homogeniczne powodowały, Ŝe indywidualne cechy i zachowania

nie musiały być rozwaŜane. Wiele ograniczeń analizy klasycznej moŜna przekroczyć oraz

weryfikować zarówno nowe hipotezy jak i te stawiane dawniej, a obecnie formułowane w

innym kontekście na gruncie analizy biografii jednostek i grup.

6. WzdłuŜna i przekrojowa analiza zjawisk demograficznych na przykładzie płodności Przedstawione wcześniej metody analizy zostaną zilustrowane przykładem dotyczącym

kształtowania się płodności kobiet w Polsce w latach 1960-1990. Dane zaczerpnięto z

odpowiednich Roczników Demograficznych, a przykład został wcześniej opublikowany w

pracy (J. Kurkiewicz (1990)). Wzięto pod uwagę dane z lat kalendarzowych odległych o 5 lat,

21

gdyŜ na podstawie przekrojowych współczynników płodności przeprowadzimy rekonstrukcję

płodności kobiet w ujęciu wzdłuŜnym.

Tablica 1. Współczynniki płodności według wieku kobiet w Polsce w latach 1960-1990

Lata kalendarzowe

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

Wiek

(x) Współczynniki płodności w przeliczeniu na 1000 kobiet

15-19 45 32 30 31 33 35 32

20-24 199 184 165 170 180 183 165

25-29 165 144 126 137 135 141 121

30-34 103 84 71 71 69 70 59

35-39 60 43 36 34 29 30 25

40-44 22 15 11 10 8 7 6

45-49 2 2 1 1 1 1 0

Źródło: Roczniki Demograficzne 1961,1966,1971,1981,1986 oraz Rocznik Statystyczny Demografii 1999.

Przykład wzdłuŜnej analizy płodności bez rozróŜniania kolejności urodzeń w

kohorcie fiskalnej kobiet, które w 1960 roku były w wieku 15-19 lat. Rodziły się one w

latach 1940-1945, a dokładnie w okresie od 1 VII 1940 do 30 VI 1945 roku. Wyodrębniona w

ten sposób zbiorowość jest określana w literaturze mianem kohorty fiskalnej (por. J.Paradysz

(1985, str. 119). RozwaŜaną kohortę fiskalna przedstawiono na rysunku 3. Kobiety, które w

1960 roku były w wieku 15-19 lat, w kolejnych pięcioleciach osiągają wiek określony

odpowiednimi przedziałami klasowymi i w 1990 roku osiągnęły kres zdolności rozrodczej.

Płodność tej kohorty charakteryzują współczynniki płodności na głównej przekątnej tablicy 1.

Dla uzyskania większej przejrzystości zapisano je w tablicy 2.

Tablica 2. Płodność kobiet według wieku w kohorcie fiskalnej 1 VII 1940 – 30 VI 1945

Wiek

Charakterystyki 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

wpł(x) 45 184 126 71 29 7 1

X’ 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5

')( xxwpl ∗∗∗∗ 3937,5 20700,0 17325,0 11537,5 5437,5 1487,5 237,5

Źródło: Obliczenia własne.

22

• Intensywność jako średnia liczba dzieci urodzonych w ciągu okresu rozrodczego przez kobietę z kohorty fiskalnej:

31521000

46355

49

15,)()'( ====

∗∗∗∗====∗∗∗∗==== ∑∑∑∑

====xxwplD ττττ .

• Kalendarz jako średni wiek matek w chwili rodzenia dzieci:

2,26315,2

6625,60

)'(

)('5)'(

49

15 ========

∗∗∗∗∗∗∗∗

====

∑∑∑∑====

ττττττττ

D

xwplxx x .

Intensywności cząstkowe ),'( xD ττττ jako średnia liczba dzieci urodzonych przez

kobietę do wieku x:

Tablica 3. Intensywności cząstkowe płodności kobiet według wieku w kohorcie fiskalnej

1 VII 1940 – 30 VI 1945

Wiek

Charakterystyki 20 25 30 35 40 45 50

),'( xD ττττ 225 1145 1775 2130 2275 2310 2315

%100)'(

),'(∗∗∗∗

ττττ

ττττ

D

xD

9,72% 49,46% 76,67% 92,00% 98,27% 99,78% 100%

Źródło: Obliczenia własne W rozwaŜanej kohorcie fiskalnej 1000 kobiet urodziło 2135 dzieci w ciągu całego

okresu zdolności rozrodczej. Średni wiek matek wynosił 26,2 roku. Blisko 50% płodności

zostało zrealizowane przed ukończeniem 25 roku Ŝycia. Prawie wszystkie dzieci urodziły się

zanim ich matki ukończyły 40 lat.

Przykład wzdłuŜnej analizy płodności z uwzględnieniem kolejności urodzeń w kohorcie

fiskalnej kobiet, które w 1960 roku były w wieku 15-19 lat.

Tablica 4. Współczynniki płodności kobiet według wieku i kolejności urodzenia dziecka w wybranych latach okresu 1960-1985

Wiek (x) Kolejność

urodzenia

dziecka (k)

15-19 20-

24

25-

29

30-

34

35-

39

40-

44

45-

49

15-

19

20-

24

25-

29

30-

34

35-

39

40-

44

45-

49

Współczynniki płodności (na 1000 kobiet)

1960 1965

1. 39 106 38 12 5 1 28 102 34 10 4 1

2. 6 68 57 22 8 2 4 61 54 20 6 1

3. 21 40 26 11 3 17 33 21 8 2

23

4. 5 19 19 12 4 4 15 15 8 2

5. 8 12 9 3 1 6 9 6 2 1

6. 3 6 6 3 1 5 4 2

7. 3 4 2 1 3 3 1

8 + 2 5 4 1 2 4 3 1

1970 1975

1. 27 104 31 8 3 28 104 36 8 2

2. 3 6 51 19 5 1 3 53 59 22 5

3. 11 27 18 8 2 11 28 19 8 2

4. 2 11 11 7 2 2 10 11 6 2

5. 4 7 5 2 3 6 5 2

6. 4 3 1 1 3 3 2

7. 2 2 1 1 2

8 + 2 3 2 1 1 3 2 1

1980 1985

1. 28 105 37 8 2 30 103 35 9 3

2. 3 59 62 24 6 1 5 63 61 24 6 1

3. 14 26 19 8 1 14 28 21 8 1

4. 2 8 9 5 1 3 8 9 6 1

5. 3 4 3 1 3 4 3 1

6. 2 2 1 2 2 1

7. 1 1 1 1 1

8 + 1 2 1 1 1 1 1

Źródło: Obliczenia własne na podstawie Roczników Demograficznych: 1961, 1966, 1971, 1981, 1986. W tablicy 4 podano współczynniki płodności kobiet według wieku i kolejności urodzenia dziecka. W tablicy podano współczynniki płodności odnoszące się do rozwaŜanej kohorty fiskalnej.

Rekonstrukcję przeprowadzono podobnie jak w przypadku płodności bez rozróŜniania

kolejności urodzeń.

W tablicy 5 wyróŜniono przykładowo rekonstrukcję płodności związana z urodzeniami

pierwszej kolejności.

Tablica 5. Współczynniki płodności kobiet według wieku i kolejności urodzenia dziecka

w wybranych latach okresu 1960-1985

Wiek (x) Kolejność

urodzenia 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

24

Współczynniki płodności (na 1000 kobiet)

1. 39 102 31 8 2

2. 6 61 51 22 6 1

3. 17 27 19 8 1

4. 4 11 11 5 1

5. 4 6 3 1

6. 2 3 2 1

7. 1 1 1

8 i + 1 2 1

Źródło: Obliczenia własne na podstawie tablicy 4. W tablicy 6 podano podstawowe charakterystyki intensywności i kalendarza w rozwaŜanej

kohorcie fiskalnej są to:

• średnia liczba dzieci danej kolejności urodzonych w ciągu całego okresu rozrodczego ( w

przeliczeniu na 1000 kobiet)

∑∑∑∑====

∗∗∗∗====49

15

)',,(5)',(x

kxwplkD ττττττττ

• średni wiek matek w chwili rodzenia dzieci:

)',(

)',,('5)',(

49

15

ττττ

ττττ

ττττkD

kxwplxkx x

∑∑∑∑====

∗∗∗∗

====

Tablica 6. Charakterystyki intensywności i kalendarza w kohorcie fiskalnej 1 VII 1940-

30 VI 1945

Kolejność urodzenia dziecka (k) Charakterystyki 1 2 3 4 5 6 7 8 +

)',( ττττkD 910 735 360 160 70 40 15 0,25 )',( ττττkx 22,82 26,28 28,96 30,63 32,86 33,75 37,50 39,5

Źródło: Obliczenia własne na podstawie tablicy 4. Następnie obliczamy prawdopodobieństwo powiększenia liczby potomstwa według wzorów:

Dla k = 0, 1, …,p-1

)',1(

)',()',(

ττττ

ττττττττ

++++====

kD

kDka

25

Dla k = p +

)',1()',(

)',()',(

ττττττττ

ττττττττ

−−−−++++++++

++++====++++

pDpD

pDpa

a(0, 'ττττ ) = 910

0,910 – prawdopodobieństwo (na 1000 kobiet) powiększenia się rodziny bezdzietnej

(urodzenie pierwszego dziecka)

8081000910

735)',1( ====∗∗∗∗====ττττa

0, 808 – prawdopodobieństwo powiększenia się rodziny z jednym dzieckiem (urodzenie

drugiego dziecka)

4901000735

360)',2( ====∗∗∗∗====ττττa

i odpowiednio: a(2, 'ττττ ) = 444, a(4, 'ττττ ) = 438, a(5, 'ττττ ) = 571, a(6, 'ττττ ) = 375,

a(7, 'ττττ ) = 6251000*1525

25====

++++

0,625 – prawdopodobieństwo powiększenia się rodziny z siedmiorgiem dzieci (urodzenie co

najmniej 8 dziecka).

Prawdopodobieństwo urodzenia przynajmniej k dzieci:

F(0, 'ττττ ) = 1,000

F(1, 'ττττ ) = 0,910

F(2, 'ττττ ) = a(0, 'ττττ )* a(1, 'ττττ ) = F(1, 'ττττ )* a(1, 'ττττ ) = 0,910*0,808 = 0,735

F(3, 'ττττ ) = F(2, 'ττττ )* a(2, 'ττττ ) = 0,735*0,490 = 0,360

F(4, 'ττττ ) = F(3, 'ττττ )* a(3, 'ττττ ) = 0,360*0,444 = 0,160

i odpowiednio: F(5, 'ττττ ) = 0,070, F(6, 'ττττ ) = 0,040, F(7, 'ττττ ) = 0,015, F(8 +, 'ττττ )=0,009.

26

Następnie ustalamy średnią liczbę dzieci urodzonych w kohorcie fiskalnej:

• kolejności od 1 do 7.

29,2)',(7

1

====∑∑∑∑====k

kF ττττ .

• Ostatnią kolejność uwzględnimy przyjmując umownie, Ŝe średnia kolejność w tej klasie

jest równa 9. Wobec tego mamy: 9*F(8 + , 'ττττ ) = 9*0,009) = 0,081.

308,209,07081,029,2)'( ====∗∗∗∗−−−−++++====ττττD

Prawdopodobieństwo urodzenia dokładnie k dzieci:

f(0, 'ττττ ) = 1 - a(0, 'ττττ ) = 1 – 0.910 = 0,09,

f(1, 'ττττ ) = F(1, 'ττττ ) –(1-a(1, 'ττττ )) = 0,910(1-0,8-8) = 0,175,

f(2, 'ττττ ) = F(2, 'ττττ ) –(1-a(2, 'ττττ )) = 0,735(1-0,490)=0,375

i odpowiednio: f(3, 'ττττ ) = 0,200, f(4, 'ττττ ) = 0,090, f(5, 'ττττ ) = 0,030, f(6, 'ττττ ) = 0,025, f(7, 'ττττ ) =

0,006, f(8 +, 'ττττ ) = 0,009.

Następnie ustalamy średnią liczbę dzieci urodzonych w kohorcie fiskalnej:

308,2009,09227,2)',()'(8

1

====∗∗∗∗++++====∗∗∗∗====∑∑∑∑++++

====k

kfkD ττττττττ .

RóŜnice w porównaniu ze średnią uzyskaną na podstawie współczynników płodności

wynikają z niedokładnego określenia urodzeń najwyŜszej kolejności oraz zaokrągleń

przyjmowanych w trakcie obliczeń.

Przykład przekrojowej analizy płodności bez rozróŜniania kolejności urodzeń na

podstawie informacji dotyczących Polski w 1987 roku.

Tablica 7 . Współczynniki płodności kobiet według wieku i kolejności urodzeń w 1987

roku w Polsce.

Wiek (x)

15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

Kolejność

urodzenia

dziecka (k)

27

1 28 97 33 8 3 0

2 4 58 57 21 5 1

3 14 27 18 7 2

4 3 9 8 5 1

5 3 4 3 1

6 1 2 2 1

7 1 1 0

8 + 1 1

Wpł(x) 32 172 130 62 27 7 0

Źródło: Rocznik Demograficzny 1987.

Podane wyŜej współczynniki płodności są miernikami natęŜenia urodzeń w hipotetycznej

generacji kobiet, których płodność w wyróŜnionych okresach Ŝycia charakteryzują cząstkowe

współczynniki płodności zaobserwowane w 1987 roku.

Na ich podstawie moŜna określić:

• Współczynnik dzietności teoretycznej czyli średnią liczbę dzieci urodzonych przez kobietę

z generacji hipotetycznej w ciągu całego okresu zdolności rozrodczej:

155,21000

4315),(5)(

49

15

====∗∗∗∗

====∗∗∗∗==== ∑∑∑∑====x

txwpltD , a na 1000 kobiet 2155 dzieci.

• Średni wiek matek w chwili rodzenia dzieci:

36,262155

5,56812

)(

)('5)(

49

15 ========

∗∗∗∗∗∗∗∗

====

∑∑∑∑====

tD

xwplxtx x roku.

• Intensywności cząstkowe podane w tablicy 8:

Tablica 8. Intensywności cząstkowe w generacji hipotetycznej w 1987 roku

Wiek(x)

20 25 30 35 40 45 50

Charakterystyki

W przeliczeniu na 1000 kobiet

),( xtD 160 1020 1670 1985 2120 2155 2155

28

%100)(

),(∗∗∗∗

tD

xtD

7,42 47,33 77,49 92,11 98,38 100,00 100,00

Źródło: Obliczenia własne na podstawie tablicy 7.

Porównując powyŜsze rezultaty z wynikami uzyskanymi dla kohorty fiskalnej zauwaŜamy, Ŝe: 1. Dzietność teoretyczna (ujecie przekrojowe) była niŜsza niŜ zrealizowana w kohorcie

fiskalnej.

2. Tempo realizowania płodności w generacji hipotetycznej było niŜsze do momentu

ukończenia 25 roku Ŝycia matek, a po przekroczeniu przewyŜszało tempo jej realizacji w

generacji rzeczywistej.

3. Średni wiek matek w chwili rodzenia dzieci w generacji hipotetycznej jest nieznacznie

wyŜszy niŜ w fiskalnej.

W tablicy 9 podano charakterystyki intensywności i kalendarza płodności z uwzględnieniem

kolejności urodzeń uzyskane zgodnie ze wzorami:

• Średnia liczba dzieci k-tej kolejności urodzonych przez kobietę z generacji hipotetycznej

w ciągu całego okresu zdolności rozrodczej:

∑∑∑∑====

∗∗∗∗====49

15

),,(5),(x

tkxwpltkD

• Średni wiek matek w chwili rodzenia dziecka k-tej kolejności:

),(

),('5),(

49

15

tkD

kxwplxtkx x

∑∑∑∑====

∗∗∗∗

====

Tablica 9. Podstawowe charakterystyki intensywności i kalendarza płodności

z uwzględnieniem kolejności urodzeń

Kolejność urodzenia dziecka (k)

1 2 3 4 5 6 7 8 i +

Charakterystyki

w przeliczeniu na 1000 kobiet

),( tkD 845 730 340 130 55 30 10 10

),( tkx 23,39 26,40 29,26 30,96 33,41 35,00 35,00 40,00

Źródło: Obliczenia własne na podstawie tablicy 7.

29

Następnie obliczamy:

• współczynniki powiększenia liczby potomstwa jako:

),(

),1(),(

tkD

tkDtka

++++====

• udział kobiet posiadających przynajmniej k dzieci jako:

∏∏∏∏−−−−

====

====1

0

),(),(k

j

tjatkF

• udział kobiet posiadających dokładnie k dzieci jako:

),(),(),(1[),(1

0

tkFtjatkatkfk

j∏∏∏∏−−−−

====

−−−−====

Rezultaty obliczeń podano w tablicy 10.

Tablica 10. Podstawowe charakterystyki intensywności i kalendarza płodności

z uwzględnieniem kolejności urodzeń

Kolejność urodzenia dziecka (k)

1 2 3 4 5 6 7 8 i +

Charakterystyki

w przeliczeniu na 1000 kobiet

a(k,t) 845 864 466 382 423 545 333 -

F(k,t) 1000 845 730 340 130 55 30 0,005

f(k,t) 155 115 390 210 75 25 20 0,005

Źródło: Obliczenia własne na podstawie tablicy 9.

Na podstawie F(k,t) oraz f(k,t) obliczamy współczynniki dzietności teoretycznej:

15,2005,0214,2),8(9),()1987()(7

1

====∗∗∗∗++++====++++∗∗∗∗++++======== ∑∑∑∑====k

tFtkFDtD

15,2),()1987()(8

1

====∗∗∗∗======== ∑∑∑∑++++

====k

tkfkDtD

Porównując powyŜsze rezultaty z wynikami uzyskanymi dla kohorty fiskalnej zauwaŜamy, Ŝe

populacja Ŝyjąca w warunkach panujących w Polsce w 1987 roku charakteryzowała się:

30

1. wyŜszą frakcją kobiet bezdzietnych: f(0,1987) = 0,155; f(0,τ’) = 0,09,

2. niŜszymi współczynnikami powiększenia liczby potomstwa kaŜdej kolejności,

3. wyŜszym średnim wiekiem matek w chwili rodzenia dzieci kaŜdej kolejności.

MoŜemy więc przypuszczać, Ŝe w połowie lat 80. w Polsce miały juŜ miejsce zmiany

zachowań prokreacyjnych polegające na odraczaniu rodzenia dzieci.

7. Literatura

Henry L., (1976), Analiza poprzeczna i wzdłuŜna, [w]: Analiza kohortowa i jej zastosowanie

(S.Borowski (red.)), PWN, Warszawa.

Henry L. (1972) Démograhie, analyse et modèles, Libraire Larousse, Paris.

Henry L. (1959), Analyse et measure des phénomenes démographiques par cohortes,

Population nr 3.

Holzer J.Z. (1963), Podstawy analizy demograficznej, PWE, Warszawa.

Kędelski M., Paradysz J., (1990), Demografia, AE, Poznań.

Kurkiewicz J., (1990), Podstawowe metody analizy demograficznej, PWN, Warszawa. Paradysz J. (1985), Wielowymiarowa analiza reprodukcji, Zeszyty Naukowe AE w Poznaniu, seria II: Prace doktorskie i habilitacyjne, z.88. Pressat R. (1966), Analiza demograficzna. Metody wyniki, zastosowania. PWN, Warszawa. Tapinos G., (1985), Eléménts de démographie. Analyse, déterminants sosio-économiques et

histoire des populations, Armand Collin-collection U, Paris.

Wunsch G.J., Termote M.G., (1978), Introduction to demographic Analysis. Principles and

Methods, Plenum Press, New York-London.