Jornada de Diagn ostico de Ensayos Tesla...Instrucciones Espec cas: 1. Las guras que aparecen en el ensayo son solo indicativas. 2. Los gr a cos que se presentan en este ensayo est

Jornada de Diagnostico de Ensayos Tesla

1

Instrucciones:

1. Este modelo consta de 65 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, senaladas con lasletras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTASSEA LA MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos pedidos, de acuerdocon las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVARESPONSABILIDAD. Cualquier omision o error en ellos impedira que se entregue susresultados. Se le dara tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba.

3. DISPONE DE 2 HORAS Y 15 MINUTOS PARA RESPONDERLA.

4. Lea atentamente las instrucciones para responder las preguntas de Suficiencia de Datosque estan distribuidas en esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas.

5. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado.Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al numero de la preguntaque esta contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse deella. Hagalo exclusivamente con lapiz de grafito No 2 o portaminas HB.

6. No se descuenta puntaje por respuestas erradas.

7. Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportuna-mente sus respuestas a la hoja de respuestas. Tenga presente que se consideraran parala evaluacion exclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.

8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba enella solo los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Silo hace, lımpiela de los residuos de goma.

9. El numero de serie del folleto no tiene relacion con el numero del codigo de barra queaparece en la hoja de respuestas. Por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.

2

Instrucciones Especıficas:

1. Las figuras que aparecen en el ensayo son solo indicativas.

2. Los graficos que se presentan en este ensayo estan dibujados en un sistema de ejesperpendiculares.

3. Se entendera por dado, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equi-probables de salir, a menos que se indique lo contrario.

4. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos quese indique lo contrario.

5. Los numeros complejos i y −i son las soluciones de la ecuacion x2 + 1 = 0.

6. Si z es un numero complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su modulo.

7. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ∼ N(0, 1) y donde la parte sombreadade la figura representa a P (Z ≤ z), entonces se verifica que:

3

Instrucciones para las preguntas de Suficiencia de Datos:

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solucion al problema, sino que sedecida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y(2) se pueda llegar a la solucion del problema. Es ası, que se debera marcar la opcion:

A) (1) por sı sola, si la afirmacion (1) por sı sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmacion (2) por sı sola no lo es,

B) (2) por sı sola, si la afirmacion (2) por sı sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmacion (1) por sı sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sı sola es suficiente,

D) Cada una por sı sola, (1) o (2), si cada una por sı sola es suficiente para responder a lapregunta,

E) Se requiere informacion adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere informacion adicional para llegar a la solucion.

Sımbolos Matematicos:

< es menor que

> es mayor que

≤ es menor o igual a

≥ es mayor o igual a

∠ angulo

log logaritmo en base 10

ln logaritmo en base e

φ conjunto vacıo

∪ union de conjuntos

∩ interseccion de conjuntos

∼= es congruente con

∼ es semejante

‖ es paralelo a

⊥ es perpendicular a

6= es distinto de

∈ pertenece a

AB trazo AB

|x| valor absoluto de x

x! factorial de x

−→u vector u

4

1.

(4

5− 7

)· 15

7=

A) −31

7

B)31

5

C)93

5

D) −93

7

E) −93

35

Solucion: Notar que: (4

5− 7

)· 15

7=

4− 35

5· 15

7

= −31

5· 15

7

= −31 · 37

= −93

7

Unidad: Numeros

Subunidad: Numeros Racionales

Dificultad: Baja

Habilidad Cognitiva: Aplicacion

Clave: D

5

2. ¿Cual es las siguientes fracciones es equivalente al decimal 9, 124?

A)9033

990

B)9124

90

C)9124

990

D)9033

90

E)933

990

Solucion: Usando el metodo de transformacion de decimal a fraccion:

9, 124 =9124− 91

990=

9033

990

Unidad: Numeros


Dificultad: Baja


Clave: A

6

3. Si x = 5, 78 e y = 5, 79, entonces es verdadero que:

A) x es la aproximacion por redondeo a la milesima de 5, 7894

B) x es la aproximacion por redondeo a la centesima de 5, 7894

C) y es la aproximacion por truncamiento a la milesima de 5, 7894

D) y es la aproximacion por redondeo a la centesima de 5, 7894

E) x es la aproximacion por truncamiento a la decima de 5, 7894

Solucion: Notemos que dado el numero 5, 7894, tenemos que:

A) Su aproximacion por redondeo a la milesima es 5, 789. Falsa.

B) Su aproximacion por redondeo a la centesima de 5, 79. Falsa.

C) Su aproximacion por truncamiento a la milesima de 5, 78. Falsa.

D) Su aproximacion por redondeo a la centesima de 5, 79. Verdadera.

E) Su aproximacion por truncamiento a la decima de 5, 7. Falsa.

Unidad: Numeros


Dificultad: Baja

Habilidad Cognitiva: Compresion

Clave: D

7

4. Julian, Harley y Nicolas obtienen los tres primeros lugares en un concurso de videojuegos,donde el premio a repartir para estos es de $2.000.000. Nicolas recibe las dos quintas

partes de lo de Julian y a Harley le corresponden los3

2de lo que le toca a Nicolas. Si

Julian recibe la mitad del total del premio, entonces Harley recibe:

A) $1.000.000

B) $600.000

C) $400.000

D) $200.000

E) $100.000

Solucion: Como Julian recibe la mitad del total, entonces recibe $1.000.000 y Nicolas

recibe los2

5de esto, es decir:

2

5· 1,000,000 = 400,000

Finalmente a Harley le corresponden los3

2de Nicolas, por ende recibe:

3

2· 400,000 = 600,000

Unidad: Numeros


Dificultad: Media

Habilidad Cognitiva: Comprension

Clave: B

8

5. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La suma entre dos numeros irracionales es irracional.

II) El producto entre un numero irracional y un racional es irracional.

III) El producto entre dos numeros irracionales es irracional.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Ninguna de ellas

Solucion: Analizamos cada afirmacion por separado:

I) Observemos que π y −π son irracionales, pero π + (−π) = 0, que no es irracional.Falsa.

II) Recordemos que 0 es un numero racional y√

2 es irracional, pero 0 ·√

2 = 0, queno es irracional. Falsa.

III) Vemos que√

2 ·√

2 = 2, que no es irracional. Falsa.

Unidad: Numeros

Subunidad: Numeros Irracionales

Dificultad: Media

Habilidad Cognitiva: Analisis, Sıntesis y Evaluacion

Clave: E

9

6.33 + 34

9=

A) 35

B) 33

C) 12

D) 15

E) 1

Solucion: Como no tenemos propiedades para la suma de potencias, debemos separarla fraccion y resolver:

33 + 34

9=

33 + 34

32

=33

32+

34

32

= 3 + 32

= 3 + 9= 12

Unidad: Numeros

Subunidad: Potencias

Dificultad: Media


Clave: C

10

7. La sulfamida es antibiotico que tiene el efecto de reducir la poblacion de bacterias enun organismo a la quinta parte cada 3 horas. Si x es la poblacion inicial de bacteriascuando se aplica la sulfamida, ¿que cantidad de bacterias habra en el organismo al cabode 9 horas?

A) x−(

1

5

)3

B) x−(

1

5

)9

C) x ·(

1

5

)9

D) x ·(

1

5

)3

E) x ·(

1

5

)−3Solucion: Si la poblacion inicial es de x bacterias, al cabo de 3 horas quedan x · 1

5,

por lo tanto al cabo de 6 horas quedan x ·(

1

5

)2

, entonces al cabo de 9 horas quedan

x ·(

1

5

)3

Unidad: Numeros

Subunidad: Potencias

Dificultad: Media


Clave: D

11

8. Sean m,n numeros enteros. Se puede determinar que m2 − n2 es un numero par si:

(1) m es par.

(2) n es par.

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sı sola, (1) o (2)

E) Se requiere informacion adicional

Solucion:

De la afirmacion (1) tenemos que m es par, por lo que m2 es par, pero no tenemosinformacion sobre la paridad de n, lo que hace que (1) sea insuficiente.

De la afirmacion (1) tenemos que n es par, por lo que n2 es par, pero no tenemosinformacion sobre la paridad de m, lo que hace que (2) sea insuficiente.

Si juntamos ambas afirmaciones, tenemos que m2 y n2 son ambos pares y la restam2−n2 es par, al ser cada termino un numero par. Por ende ambas afirmaciones juntasson suficientes para resolver el problema.

Unidad: Numeros

Subunidad: Numeros Enteros

Dificultad: Baja


Clave: C

12

9. Sean a, b dos numeros racionales tales que −1 < b < 0 < a < 1. ¿Cual(es) de lassiguientes desigualdades es (son) siempre verdadera(s)?

I) −1 < ab < 0

II) 0 < a2 + b2 < 1

III) a+ b < 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solucion: Analizamos:

I) Claramente ab < 0, al ser a y b de signo distinto. Notemos ahora que a < 1 y b > −1,lo que nos dice que ab > −1, ya que cada vez que se multiplican dos numeros entre −1y 1, el producto sigue estando entre −1 y 1. Por lo tanto −1 < ab < 0. Verdadera.

II) Obviamente a2 > 0 y b2 > 0, por ende a2 + b2 > 0, pero podrıa tenerse que a = 0, 9y b = −0, 9, de ahı a2 = b2 = 0, 81 y a2 + b2 = 0, 81 + 0, 81 = 1, 62 > 1. Falsa.

III) Podrıa ocurrir que a = 0, 5 y b = −0, 5, luego a+ b = 0, 5 +−0, 5 = 0. Falsa.

Unidad: Numeros


Dificultad: Alta


Clave: A

13

10.(√√

6 +√

5−√√

6−√

5)2

=

A)√

5

B)√

6

C)√

6 + 1

D) 2√

6 + 2

E) 2√

6− 2

Solucion: Calculamos directamente:(√√6 +√

5−√√

6−√

5)2

=(√√

6 +√

5)2− 2 ·

√√6 +√

5 ·√√

6−√

5 +(√√

6−√

5)2

=√

6 +√

5− 2 ·√

(√

6 +√

5) · (√

6−√

5) +√

6−√

5

= 2√

6− 2 ·√

(√

6)2 − (√

5)2

= 2√

6− 2 ·√

6− 5

= 2√

6− 2

Unidad: Algebra

Subunidad: Productos Notables

Dificultad: Media


Clave: E

14

11. log

(x2 · 100y

z5

)=

A) 2 log(x) + 10 log(y)− 5 log(z)

B) 2 log(x) + log(y)− 5 log(z)

C) log(x) + 10 log(y)− log(z)

D) 2 log(x) + log(y) + 2− 5 log(z)

E) 2 log(x) + log(y)− 5 log(z)− 2

Solucion: Separamos usando las propiedades del logaritmo:

log

(x2 · 100y

z5

)= log(x2 · 100y)− log(z5)

log(x2) + log(100) + log(y)− log(z5) = 2 log(x) + log(y) + 2− 5 log(z)

Unidad: Algebra

Subunidad: Logaritmos

Dificultad: Media


Clave: D

15

12.2√

5− 2=

A) 2√

5 + 4

B)

√5 + 2

3

C)2√

5 + 4

3

D)2√

5 + 4

5

E)√

5 + 2

Solucion: Racionalizando:

2√5− 2

=2√

5− 2·√

5 + 2√5 + 2

=2(√

5 + 2)

(√

5− 2)(√

5 + 2)

=2√

5 + 4

5− 4

=2√

5 + 4

1= 2

√5 + 4

Unidad: Algebra

Subunidad: Raıces

Dificultad: Baja


Clave: A

16

13. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Entre dos numeros racionales, existen infinitos numeros racionales.

II) Entre dos numeros racionales, existen infinitos numeros irracionales.

III) Entre dos numeros irracionales, no existen numeros racionales.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solucion: La propiedad de densidad de los numeros reales son dice que entre dos nume-ros reales cualesquiera, siempre existe otro numero real. De esta forma, podemos deducirque entre dos numeros reales, siempre existen infinitos numeros reales, por lo tanto po-demos ver claramente que las afirmaciones I) y II) son correctas, pero la afirmacion III)es falsa.

Unidad: Numeros

Subunidad: Numeros Reales

Dificultad: Media


Clave: C

17

14. El valor del numero complejo4− i3 + i

es:

A) 11− 7i

B) 7 + 2i

C) 1 + 2i

D)11

10− 7

10i

E)11

10+

7

10i

Solucion: Usando la division de numeros complejos:

4− i3 + i

=4− i3 + i

· 3− i3− i

=(4− i)(3− i)(3 + i)(3− i)

=12− 7i+ i2

9− i2=

12− 7i− 1

9 + 1

=11− 7i

10

=11

10− 7

10i

Unidad: Algebra

Subunidad: Numeros Complejos

Dificultad: Baja


Clave: D

18

15. Si z1 = 4 − i y z2 = x − 3i, entonces ¿cual es el valor de x de modo que z1 · z2 sea unimaginario puro?

A) 4

B) −4

3

C) −3

4D) 12

E) −12

Solucion: Realizamos la multiplicacion en funcion de x

z1 · z2 = (4− i) · (x+ 3i) = 4x+ 12i− xi− 3i2 = (4x+ 3) + (12− x)i

Como queremos que sea un imaginario puro, su parte real debe ser 0, entonces:

4x+ 3 = 0 =⇒ x = −3

4

Unidad: Algebra

Subunidad: Numeros Complejos

Dificultad: Media


Clave: C

19

16. El valor de x en la ecuacion 2− x− 1

40=

2x− 1

4− 4x− 5

8es:

A) 66

B) 64

C) 46

D) 44

E) 38

Solucion: Multiplicamos por el MCM de los denominadores cada termino de la ecuaciony resolvemos:

2− x− 1

40=

2x− 1

4− 4x− 5

8= 40 · 2− 40 · x− 1

40= 40 · 2x− 1

4− 40 · 4x− 5

8= 80− (x− 1) = 10 · (2x− 1)− 5 · (4x− 5)= 80− x+ 1 = 20x− 10− 20x+ 25= −x+ 81 = 15= −x = −66= x = 66

Unidad: Algebra

Subunidad: Ecuaciones de Primer Grado

Dificultad: Media


Clave: A

20

17. En la ecuacion 4x2 + 3x− 11 = 0, si x1, x2 son sus soluciones, entonces

A) x1, x2 son numeros complejos.

B) x1 + x2 =11

4

C) x1 · x2 =3

4D) x1, x2 son numeros irracionales.

E) x1, x2 son cuadrados perfectos.

Solucion: Analizamos cada alternativa:

A) El discriminante de la ecuacion es 32 − 4 · 4 · −11 = 9 + 176 = 185 > 0, por endex1, x2 son numeros reales. Falsa.

B) La suma de las soluciones es −3

4. Falsa.

C) El producto de las soluciones es −11

4. Falsa.

D) El discriminante de la ecuacion ya vimos que es 185, que no es un cuadrado perfecto,por lo tanto x1, x2 son irracionales. Verdadera.

E) Como vimos anteriormente: x1, x2 son irracionales, por lo tanto no pueden ser cua-drados perfectos. Falsa.

Unidad: Algebra

Subunidad: Ecuaciones Cuadraticas

Dificultad: Alta


Clave: D

21

18. Las soluciones de la ecuacion x2 − 4x− 21 = 0 son:

A) 3 y −7

B) 7 y −3

C) −3 y −7

D) 3 y 7

E) Ninguna de las anteriores

Solucion: Notemos que podemos factorizar la expresion y resolver:

x2 − 4x− 21 = 0 =⇒ (x− 7)(x+ 3) = 0 =⇒ x = 7 o x = −3

Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: B

22

19. En una prueba de 60 preguntas, Kenneth no omite ninguna. Si la quinta parte de laspreguntas que respondio correctamente es igual al numero de las que respondio inco-rrectamente, entonces ¿cuantas preguntas respondio correctamente?

A) 50

B) 40

C) 30

D) 20

E) 10

Solucion: Sea x la cantidad de preguntas que Kenneth respondio correctamente e yla cantidad de preguntas que respondio incorrectamente. Como la quinta parte de laspreguntas que respondio correctamente es igual al numero de las que respondio inco-

rrectamente, entonces y =x

5y como la prueba tenia 60 preguntas, se ve que x+ y = 60.

Luego tenemos el sistema:x+ y = 60

y =x

5

}

Reemplazando la segunda ecuacion en la primera:

x+ y = 60 =⇒ x+x

5= 60 =⇒ 5x+ x = 300 =⇒ 6x = 300 =⇒ x = 50

Por lo tanto contesto 50 pregunta de forma correcta.

Unidad: Algebra

Subunidad: Sistemas de Ecuaciones

Dificultad: Media


Clave: A

23

20. Dado el sistema de ecuacionesax+ y = ax+ ay = 1

}donde a es un real positivo. ¿Cual(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = 1, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

II) Si a 6= 1, entonces el sistema tiene solucion unica.

III) Para cualquier valor de a, el sistema no tiene solucion.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

Solucion: Notemos que:

I) Si a = 1, entonces el sistema se transforma enx+ y = 1x+ y = 1

}. Claramente tenemos

dos ecuaciones equivalentes, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. Verdadera.

II) Para que el sistema tenga solucion unica, debe ocurrir que:

1

a6= a

1=⇒ a2 6= 1 =⇒ a 6= ±1

Es decir, el sistema tiene solucion unica para a 6= 1 y a 6= −1, lo que nos dice que elsistema no tiene solucion unica para a = −1 y este es un valor que cumple que a 6= 1.Falsa.

III) Para que el sistema no tenga solucion, debe cumplirse quea

1=

1

a6= a

1, lo que es

directamente una contradiccion, por lo que no existe un valor de a para que el sistemano tenga solucion. Falsa.

Unidad: Algebra


Dificultad: Media


Clave: A

24

21. Si una de las soluciones de la ecuacion kx2 + 3kx − 5 = 0 es x = −1, entonces el valorde k es:

A) −5

2

B)2

5

C)5

2D) 2

E) 5

Solucion: Reemplazando la solucion dada:

k · (−1)2 + 3 · (−1) · k − 5 = 0 =⇒ k − 3k = 5 =⇒ −2k = 5 =⇒ k = −5

2

Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: A

25

22. ¿Cual es la expresion que representa el cuadrado del sucesor del numero entero t, enfuncion de n, si es que t2 − 1 = n y t > 0?

A) n+ 1

B) n− 1

C) n+ 2 + 2√n+ 1

D) n+ 1 + 2√n+ 1

E) n+ 2− 2√n+ 1


t2 − 1 = n =⇒ t2 = n+ 1 =⇒ t = ±√n+ 1

Pero como t > 0, entonces t =√n+ 1. Luego el cuadrado del sucesor de t es (t+ 1)2 y

reemplazando:

(t+1)2 = (√n+ 1+1)2 = (

√n+ 1)2+2·1·

√n+ 1+12 = n+1+2

√n+ 1+1 = n+2+2

√n+ 1

Unidad: Algebra

Subunidad: Expresiones Algebraicas

Dificultad: Media


Clave: C

26

23. Si la ecuacion x2 + bx+ c = 0 tiene una sola solucion, entonces se cumple que:

A) c = b2

B) c =b2

4

C) c =b2

2D) bc = 1

E) b2 + 4c = 0

Solucion: Como la ecuacion tiene una sola solucion, entonces su discriminante es iguala 0:

b2 − 4c = 0 =⇒ 4c = b2 =⇒ c =b2

4

Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: B

27

24. ¿Cual es la solucion del sistema de inecuaciones2x+ 1 > 02 + x < 0

}?

A) φ

B) R

C)

[−2,−1

2

]D)

[−2,−1

2

[E)

]−2,−1

2

[Solucion: Resolvemos cada inecuacion por separado:

2x+ 1 > 0 =⇒ 2x > −1 =⇒ x > −1

22 + x < 0 =⇒ x < −2

Luego intersectando notamos que la solucion es φ.

Unidad: Algebra

Subunidad: Inecuaciones

Dificultad: Baja


Clave: A

28

25. Si la distancia entre x y 2 no supera 5, entonces la cantidad de numeros enteros quepuede tomar x es:

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Solucion: La distancia entre x y 2 se representa como |x − 2|, y como no supera 5,tenemos que |x− 2| ≤ 5. Luego:

|x− 2| ≤ 5 =⇒ −5 ≤ x− 2 ≤ 5 =⇒ −3 ≤ x ≤ 7

Entonces los entero que cumplen que son mayores o igual que −3 y menores o iguales a7 son 11.

Unidad: Algebra

Subunidad: Inecuaciones

Dificultad: Media


Clave: D

29

26. Considere la funcion f : R→ R tal que f(x) = ax+ b, con a, b numeros reales. Entoncesf es una funcion lineal no nula si:

A) a = 0 y b 6= 0

B) a 6= 0 y b = 0

C) a = 0 y b = 0

D) a 6= 0 y b 6= 0

E) a, b no son numeros reales.

Solucion: Las funciones de la forma f(x) = ax + b se llaman lineales si b = 0, perocomo no debe ser nula, entonces a 6= 0.

Unidad: Algebra

Subunidad: Funcion Lineal y Afın

Dificultad: Baja


Clave: B

30

27. Sean las funciones f, g y h con dominio en los numeros reales y definidas por f(x) =

2x + 1, g(x) = 2 y h(x) = x2 + x + 5 − 3

x3. ¿Cual de las siguientes opciones representa

el resultado de (f ◦ g ◦ h)(1)?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Solucion: Claramente h(1) = 1 + 1 + 5− 3 = 4. Luego calculamos:

(f ◦ g ◦ h)(1) = f(g(4))= f(2)= 5

Unidad: Funciones

Subunidad: Composicion de Funciones

Dificultad: Baja


Clave: E

31

28. Sean f, h : R→ R y g : R→ [5,∞[ tal que

f(x) = 2x+ 5 g(x) = x2 + 5 h(x) = x3 + 5

¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las graficas de f, g y h no intersectan al eje X.

II) Las graficas de f, g y h intersectan en el mismo punto al eje Y .

III) Si todas las graficas se desplazan cinco unidades hacia abajo, entonces todas pa-sarıan por el origen.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

Solucion: Se observa que:

I) Calcularemos los puntos donde f, g y h intersectan al eje X. El punto donde unafuncion intersecta al eje X es el punto donde la funcion se anula. Evaluando obtenemosque:

Para f : 0 = 2x+ 5 =⇒ x = −5

2.

Para g: 0 = x2 + 5 =⇒ x2 = −5, cuya solucion no es un numero real.

Para h: 0 = x3 + 5 =⇒ x = 3√−5.

Luego, solo g no intersecta al eje X. Falsa.

II) El punto donde una funcion intersecta al eje Y es cuando x = 0. Evaluando obtenemosque f(0) = g(0) = h(0) = 5, por lo que intersectan al eje Y en el mismo punto.Verdadera.

III) Si las funciones se desplazan todas cinco unidades hacia abajo, las funciones que-darıan como f1(x) = 2x, g1(x) = x2 y h1(x) = x3. Para ver si pasan por el origen,debemos ver si las funciones evaluadas en 0, dan como resultado 0:

Para f1 : f1(0) = 2 · 0 = 0.

Para g1 : g1(0) = 02 = 0.

Para h1 : h1(0) = 03 = 0.

Finalmente todas las funciones pasan por el origen. Verdadera.

Unidad: Funciones

32

Subunidad: Grafica de Funciones

Dificultad: Alta


Clave: E

33

29. El dominio de la funcion f(x) =x+ 1

x2 − 5x− 6es

A) RB) R+

C) R− {−1}D) R− {6}E) R− {−1, 6}


f(x) =x+ 1

x2 − 5x− 6=

x+ 1

(x+ 1)(x− 6)

Recordemos que debemos preocuparnos que el denominador no se anule, y esto se haceantes de simplificar. Claramente la funcion se indefine para x = −1 y x = 6, por lo queDom(f) = R− {−1, 6}

Unidad: Funciones

Subunidad: Dominio y Recorrido

Dificultad: Baja


Clave: E

34

30. ¿Cual(es) de las siguientes relaciones se puede(n) modelar mediante una funcion cuadrati-ca?

I) La multiplicacion de un numero real cualquier por el mismo.

II) La suma de dos numeros consecutivos cualquiera.

III) La division de un numeros y su cubo.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

Solucion: Notar que:

I) Si f(x) modela la multiplicacion de un numero real cualquier por el mismo, entoncesf(x) = x2, que es cuadratica.

II) Si f(x) modela la suma de dos numeros consecutivos cualquiera, entonces f(x) =x+ x+ 1 = 2x+ 1, que no es cuadratica.

III) Si f(x) modela la division de un numeros y su cubo, entonces f(x) =x

x3=

1

x2, que

no es cuadratica.

Unidad: Funciones

Subunidad: Funcion Cuadratica

Dificultad: Media


Clave: A

35

31. Sea f : R−{

5

4

}→ R−

{1

4

}biyectiva con f(x) =

x− 1

4x− 5, entonces f−1(x) =

A)4x− 5

x− 1

B)4x

x− 1

C)1− 5x

1− 4x

D)1− 4x

1− 5x


Solucion: Para calcular la inversa de f basta con que igualemos f(x) = y y despejamosx:

x− 1

4x− 5= y =⇒ x− 1 = 4xy − 5y

=⇒ x− 4xy = 1− 5y=⇒ x · (1− 4y) = 1− 5y

=⇒ x =1− 5y

1− 4y

Por lo tanto f−1(x) =1− 5x

1− 4x.

Unidad: Funciones

Subunidad: Funcion Inversa

Dificultad: Media


Clave: C

36

32. ¿Cual el capital final que se obtiene al invertir un capital de $200.000 a un 3 % de interessimple bimensual durante un perıodo de un ano?

A) $272.000

B) $236.000

C) $200.000

D) $72.000

E) $36.000

Solucion: Notamos que el capital inicial es $200.000, la taza de interes es 3 % y losperiodos que transcurren son 6, ya que pasa un ano y el interes es bimensual. Luego alser interes simple se tiene que:

x = 200000 ·(

1 +3

100· 6)

= 200000 ·(

1 +18

100

)= 200000 · 118

100= 2000 · 118= 236000

Por ende el capital final pedido es $236.000.

Unidad: Algebra

Subunidad: Interes

Dificultad: Baja


Clave: B

37

33. Sea f : R → R es tal que f(x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0. Se puede determinar laconcavidad del grafico de f si:

(1) El grafico de f corta al eje X en los puntos 1, 3

(2) c = 6

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola




Solucion:

La afirmacion (1) nos entrega los cero de la funcion, por lo tanto podemos deducir quef(x) = k(x − 3)(x − 1) = kx2 − 4kx + 3k, para algun k real. Luego, como no sabemosel signo de k, se ve que (1) es insuficiente.

La afirmacion (2) nos dice que c = 6, lo que no influye directamente en el valor de a, loque hace que (2) sea insuficiente.

Si juntamos ambas afirmaciones, podemos ver que 3k = 6 =⇒ k = 2. Por lo tantof(x) = 2x2 − 8x+ 6 y a = 2 > 0, por lo que la funcion es concava hacia arriba.

Unidad: Algebra

Subunidad: Funcion Cuadratica

Dificultad: Media

Habilidad Cognitiva: Analisis, Sıntesis y Aplicacion

Clave: C

38

34. Al punto (3,−4) se le aplica una traslacion obteniendo el punto (5, 2). Si al punto (1, 4)se le aplica la misma traslacion, entonces se obtiene el punto

A) (2, 6)

B) (2,−6)

C) (3, 10)

D) (10, 3)

E) (−6,−10)

Solucion: Calculamos el vector traslacion (3,−4) + (x, y) = (5, 2) =⇒ (x, y) = (2, 6).Ahora se lo aplicamos a (1, 4), resultando (1, 4) + (2, 6) = (3, 10).

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Transformaciones Isometricas

Dificultad: Baja


Clave: C

39

35. El 4ABC de la figura tiene a CD como altura. Entonces el 4ABC es isosceles si:

A) Es rectangulo en C

B) α : β = 1 : 2

C) AB es el lado mayor del triangulo

D) CD es bisectriz del ∠ACB

E) D divide al trazo AB en la razon 2 : 3

Solucion: Para que 4ABC sea isosceles debe cumplir que tenga dos lados iguales, dosangulos internos iguales, o una recta interior cumpla las funciones de dos elementossecundarios del triangulo. La alternativa D) nos dice que CD es bisectriz y ademas CDes altura por el enunciado, por lo tanto 4ABC es isosceles de base AB.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Triangulos

Dificultad: Media


Clave: D

40

36. Si dos segmentos distintos en el plano tienen al origen como uno de sus extremos,entonces es siempre cierto que:

A) miden lo mismo.

B) los dos extremos distintos y el origen forman un triangulo.

C) pertenecen al mismo cuadrante.

D) ambos representan lados de un rombo.

E) las rectas que contienen a los segmentos se cortan en el origen.

Solucion: Analizamos:

A) Como solo tienen un extremo en comun, no necesariamente mediran lo mismo. Falsa.

B) Podrıa ser que los dos extremos que no son iguales y el origen sean puntos colineales,por lo que no se podrıa generar un triangulo. Falsa.

C) Los otros extremos podrıan estar en cualquier cuadrante. Falsa.

D) Ni siquiera sabemos si es que ambos segmentos miden lo mismo, por lo que no sepodrıa deducir que son lados de un rombo. Falsa.

E) Los segmentos determinaran rectas y como el origen es un punto comun entre ellos,entonces las rectas se cortaran en el origen. Verdadera.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Ecuacion de la Recta

Dificultad: Media


Clave: E

41

37. En la figura siguiente, se tiene que AB = 3, AE = 5 y DC = 12. Entonces la razonentre las areas de los 4ABE y 4CDE es:

A) 1 : 3

B) 1 : 9

C) 3 : 1

D) 9 : 1


Solucion: Notemos que los ∠DEC y ∠AEB al ser opuestos por el vertice, con loque obtenemos que los ∠BAE y ∠EDC tambien son congruentes, entonces 4ABE ∼

4DCE. Luego, la razon de semejanza seraAB

DC=

3

12=

1

4, por lo tanto la razon entre

las areas sera 1 : 16.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Semejanza de Triangulos

Dificultad: Baja


Clave: E

42

38. Dos vertices de un cuadrado son los puntos (0, 0) y (0,−2). ¿Cual de los siguientespuntos no puede ser otro de los vertices del cuadrado?

A) (−2, 0)

B) (0, 2)

C) (2,−2)

D) (1,−1)

E) (−2,−2)

Solucion:

Para este problema tenemos dos casos: Los puntos dados pueden ser dos vertices conse-cutivos del cuadrado o dos vertices opuestos.

Si (0, 0) y (0,−2) son dos vertices consecutivos del cuadrado, entonces dicho cuadra-do es de lado dos, por lo que los otros cuatro posibles vertices del cuadrado serıan(2, 0); (2,−2) (si el cuadrado se extiende hacia la derecha del eje Y ) y (−2, 0);(−2,−2) (si el cuadrado se extiende hacia la izquierda del eje Y ).

Si (0, 0) y (0,−2) son dos vertices no opuestos del cuadrado, entonces dicho cuadra-do tiene diagonal con medida 2, por lo que su lado serıa

√2 y los posibles vertices

serıan (−1,−1) y (1,−1).

Finalmente, la alternativa B) es un punto que no puede ser vertice del cuadrado enninguno de los dos casos nombrados.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Cuadrilateros

Dificultad: Alta


Clave: B

43

39. Si dos polıgonos son congruentes, ¿cuales de las siguientes afirmaciones se pueden dedu-cir?

I) Los polıgonos son regulares.

II) Los polıgonos tienen los lados homologos congruentes.

III) La razon entre sus areas no puede ser 1.

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas


I) Podrıan ser dos rectangulo, los cuales no son regulares. No se puede deducir.

II) Los polıgonos tienen los lados homologos congruentes. Esta es una consecuenciadirecta de la congruencia de figuras. Se puede deducir.

III) La razon entre sus areas es igual a 1, ya que al ser congruentes, tienen la mismaarea. No se puede deducir.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Congruencia

Dificultad: Baja


Clave: A

44

40. En el rectangulo de la figura se tiene que su largo es el doble de su ancho, G es un puntode AB, AG = 12 y AD = 8. ¿Cual es la medida de FC?

A)√

5

B) 2√

5

C) 4√

5

D) 2

E) 4

Solucion: Como AD = 8 y el largo es el doble de su ancho, entonces AB = 16.Claramente BC = 8 y usando el Teorema de Thales en el 4ABC tenemos que:

AG

GF=AB

BC=⇒ 12

GF=

16

8=⇒ GF = 6

Ahora usamos el Teorema de Pitagoras en el 4ACD:

AD2

+DC2

= AC2

=⇒ 82 + 162 = AC2

=⇒ 320 = AC2

=⇒ AC =√

320 =√

64 · 5 = 8√

5

Luego usando el Teorema de Pitagoras en el 4AGF :

AG2

+GF2

= AF2

=⇒ 122 + 62 = AF2

=⇒ 180 = AF2

=⇒ AF =√

180 =√

36 · 5 = 6√

5

Finalmente CF = AC − AF = 8√

5− 6√

5 = 2√

5.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Teorema de Pitagoras y Thales

Dificultad: Alta


Clave: B

45

41. Al aplicar una homotecia de razon 1 : 3 a un triangulo rectangulo de catetos 1 cm y 3cm cada uno. ¿Cual(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) La hipotenusa del triangulo homotetico mide 3√

10 cm.

II) El cateto menor del triangulo homotetico mide1

3cm.

III) El triangulo homotetico tiene menos area que el triangulo original.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solucion: La homotecia corresponde a una semejanza, entonces el triangulo resultantees semejante al original con razon 1 : 3. Luego analizamos:

I) Usando el Teorema de Pitagoras, podemos calcular la medida de la hipotenusa h deltriangulo original:

12 + 32 = h2 =⇒ 10 = h2 =⇒√

10 = h

Por lo tanto la hipotenusa del triangulo homotetico mide√

10 · 1

3=

√10

3. Falsa.

II) Como el cateto menor del triangulo original mide 1 cm, entonces el cateto menor del

triangulo homotetico mide 1 · 1

3=

1

3cm. Verdadera.

III) Como la razon de homotecia k =1

3cumple que |k| < 1, entonces el triangulo

homotetico es mas pequeno que el original, por ende tiene menor area. Verdadera.

Unidad: Geometrıa

Subunidad: Homotecia

Dificultad: Media


Clave: D

46

42. Si la ecuacion de la recta L1 es y = −5x+ 2, la recta L2 intersecta al eje Y en el punto(0, 6) y L1⊥L2, entonces L2 intersecta al eje X en el punto

A) −30

B) −15

C) −6

D)6

5E) 30

Solucion: Como L1⊥L2 y la pendiente de L1 es −5, entonces la pendiente de L2 debe ser1

5. Luego, como L2 pasa por el punto (0, 6), obtenemos la ecuacion de L2 reemplazando

en la formula:

y − 6 =1

5(x− 0) =⇒ y =

x

5+ 6

Finalmente, para ver done L2 corta al eje X, debemos igualar y = 0 en la ecuacion dela recta:

0 =x

5+ 6 =⇒ −6 =

x

5=⇒ −30 = x

Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: A

47

43. La ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (−4, 0) es

A) 2x+ y − 4 = 0

B) 2x− 4y = 0

C) y = 0

D) x = 0

E) 2x− y + 4 = 0

Solucion: Los puntos tienen la misma ordenada, que es 0, por lo que la recta pedida esy = 0.

Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: C

48

44. Si la distancia entre los puntos P = (1, 3) y Q = (a, 5) es 2, entonces ¿Cual es el valorde a?

A) −1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

Solucion: Como la distancia entre los puntos P = (1, 3) y Q = (a, 5) es 2, tenemos que:√(1− a)2 + (3− 5)2 = 2 =⇒

√a2 − 2a+ 1 + 4 = 2

=⇒ a2 − 2a+ 5 = 4=⇒ a2 − 2a+ 1 = 0=⇒ (a− 1)2 = 0=⇒ a = 1

Unidad: Geometrıa


Dificultad: Media


Clave: C

49

45. Si el punto A = (−2, 5) le aplicamos una traslacion segun el vector T = (2,−3) y luegolo rotamos en 270◦ respecto a A′, el cual es el simetrico de A respecto al eje Y . ¿Cualesson las nuevas coordenadas de A?

A) (5, 7)

B) (−2,−7)

C) (−1, 7)

D) (2, 5)

E) (0,−2)

Solucion: Primero aplicamos la traslacion: (−2, 5) + (2,−3) = (0, 2). Ahora notamosque A′ = (2, 5) y debemos rotar (0, 2) en torno a (2, 5) en 270◦, por lo que debemosrestar (2,5) a ambos puntos, quedando que debemos rotar (−2,−3) en torno al origenen 270◦. Esto hace que el punto (−2,−3) quede ahora en (−3, 2) y para terminar larotacion inicial, debemos sumar el (2,5) que restamos al inicio, por lo que las nuevascoordenadas de A son (−3, 2) + (2, 5) = (−1, 7).

Unidad: Algebra

Subunidad: Transformaciones Isometricas

Dificultad: Media


Clave: C

50

46. ¿Cual de los siguientes sistemas de ecuaciones esta graficado en la figura?

A)3x+ y = 34x+ y = −2

}B)

3x− y = 34x− y = −2

}C)

3x+ y = −34x− y = −2

}D)

3x+ y = 34x− y = 2

}E)

3x+ y = 34x− y = −2

}Solucion: Calcularemos las ecuaciones de ambas rectas graficadas. Para la recta azul,

tenemos que esta intersecta al eje X en

(−1

2, 0

)y al eje Y en (0, 2), por lo que su

pendiente es2− 0

0−−1

2

= 4 y su ecuacion es:

y − 2 = 4(x− 0) =⇒ 4x− y = −2

51

De la misma forma, la recta verde intersecta al eje X en (1, 0) y al eje Y en (0, 3), por

lo que su pendiente es3− 0

0− 1= −3 y su ecuacion es:

y − 3 = −3(x− 0) =⇒ 3x+ y = 3

Por lo tanto el sistema representado en el grafico es3x+ y = 34x− y = −2

}Unidad: Algebra


Dificultad: Baja


Clave: E

52

47. Una recta de ecuacion y = mx+ n intersecta a los ejes coordenados en los puntos (a, 0)y (0, b). Se puede determinar la distancia entre estos puntos si:

(1) a =2

3(2) Se conoce el valor de m

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola




Solucion: Para conocer la distancia pedida, la cual es√a2 + b2, debemos conocer

explıcitamente los valores de a y b.

La afirmacion (1) nos entrega el valor de a =2

3, pero no el de b, por lo que (1) es

insuficiente.

La afirmacion (2) nos entrega el valor de m, que no podemos usar directamente paracalcular el valor de a o de b, entonces (2) es insuficiente.

Si juntamos ambas afirmaciones, tenemos que a =2

3y conociendo el valor dem, podemos

obtener el valor de b, mediante la formula de la pendiente:

m =b− 0

0− 2

3

=⇒ m = −3b

2

Y obteniendo el valor de b, en conjunto con a, podemos calcular la distancia pedida.

Unidad: Algebra


Dificultad: Media


Clave: C

53

48. Suponga que tiene una muestra de 500 datos, donde todos son iguales a 2. Entonces¿cual de las siguientes medidas es distinta de las otras?

A) La varianza.

B) La desviacion estandar.

C) El rango.

D) El rango intercuartılico.

E) La mediana.

Solucion: Si todos los datos son iguales, entonces σ = 0, por lo que σ2 = 0. Obviamenteel rango es 2−2 = 0 y el rango intercuartılico sera 2−2 = 0, ya que al ser todos los datosiguales, el mayor y el menor datos son iguales, ası como todas las medidas de posicion.Finalmente la mediana sera 2 y es distinta a todas las otras.

Unidad: Datos y Azar

Subunidad: Estadıstica

Dificultad: Media


Clave: E

54

49. Todas las posibles muestras distintas, con orden y sin reposicion, de tamano 3 que sepueden formar con un total de 8 elementos, es

A) 58

B) 5!

C) 56

D) 336

E) 40

Solucion: Todas las posibles muestras distintas, con orden y sin reposicion, de tamano

k que se pueden formar con un total de n elementos esn!

(n− k)!y en, para este caso:

n!

(n− k)!=

8!

(8− 3)!=

8!

5!= 8 · 7 · 6 = 336


Subunidad: Combinatoria

Dificultad: Baja


Clave: D

55

50. Dado el conjunto de datos {x1, x2, x3, x4} cuyo promedio es µ y su desviacion estandares σ. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), si k es un real positivo?

I) El promedio del conjunto {x1 + k, x2 + k, x3 + k, x4 + k} es µ+ k

II) La desviacion estandar del conjunto {x1 + k, x2 + k, x3 + k, x4 + k} es σ + k.

III) El promedio y la varianza del conjunto {k ·x1, k ·x2, k ·x3, k ·x4} son k ·µ y k2 ·σ2,respectivamente.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solucion: Analizamos cada afirmacion:

I) Calculamos el promedio:

(x1 + k) + (x2 + k) + (x3 + k) + (x4 + k)

4=x1 + x2 + x3 + x4

4+

4k

4= µ+ k

Entonces el promedio es µ+ k. Verdadera.

II) Si a todos los datos de un conjunto se les suma una constante k, entonces la desviacionestandar del conjunto se mantiene, por ende la desviacion estandar de {x1+k, x2+k, x3+k, x4 + k} es σ. Falsa.

III) Calculamos el promedio:

kx1 + kx2 + kx3 + kx44

=k(x1 + x2 + x3 + x4)

4= k · x1 + x2 + x3 + x4

4= k · µ

Y si a todos los datos de un conjunto se les multiplica una constante k, entonces lavarianza del conjunto es igual a la varianza del conjunto original, multiplicado por k2,por lo que la varianza de {k · x1, k · x2, k · x3, k · x4} es k2 · σ2. Verdadera.



Dificultad: Media


Clave: C

56

51. En el histograma se muestra, en intervalos, el tiempo que los usuarios utilizaron uncomputador de una biblioteca durante un fin de semana.

Segun los datos del grafico, ¿cual de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) Hubo un total de 209 usuarios ese fin de semana.

B) Hubo 158 usuarios que utilizaron un computador menos de 20 minutos.

C) Hubo 96 usuarios que utilizaron un computador 15 o mas minutos.

D) La media es 13,31, aproximadamente.

E) La moda fue usar el computador por 17,5 minutos.

Solucion: En esta pregunta es innecesario calcular todo lo que piden en las alternativas,puesto que la alternativa E) nos habla de la moda, medida que es imposible de calcularen una tabla con intervalos.



Dificultad: Baja


Clave: E

57

52. Se realizo el experimento de lanzar un dado 100 veces, anotando los puntos obtenidos.El resultado en cada lanzamiento se muestra en la tabla adjunta.

Puntos 1 2 3 4 5 6Frecuencia 15 22 18 21 10 14

¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El primer cuartil de los puntos obtenidos es 2.

II) El rango intercuartılico de los puntos obtenidos es 4.

III) El percentil 89 de los puntos obtenidos es 6.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solucion: Primero calculamos las frecuencias acumuladas: Ahora analizamos las afir-

Puntos 1 2 3 4 5 6Frecuencia 15 22 18 21 10 14

Frecuencia Ac. 15 37 55 76 86 100

maciones:

I) El primer cuartil estara en la posicion100 + 1

4= 25, 25, es decir, sera un numero que

este entre los numeros que estan en la posicion 25 y 26, pero dichos numeros son ambos2, por lo que Q1 = 2. Verdadera.

II) El rango intercuartılico es Q3 − Q1, por lo que nos falta calcular el tercer cuartil.

Dicho cuartil estara en la posicion 3 · 100 + 1

4= 75, 75, es decir, sera un numero que

este entre los numeros que estan en la posicion 75 y 76, pero dichos numeros son ambos5, por lo que Q3 = 5 y Q3 −Q1 = 5− 2 = 3. Falsa.

58

III) El percentil 89 (P89)estara en la posicion 89 · 100 + 1

100= 89, 89, es decir, sera un

numero que este entre los numeros que estan en la posicion 89 y 90, pero dichos numerosson ambos 6, por lo que P89 = 6. Verdadera.



Dificultad: Media


Clave: D

59

53. Considere los dıgitos {1, 2, 5, 9}. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verda-dera(s)?

I) Se pueden formar 64 numeros de 3 cifras, con dichos dıgitos.

II) Se pueden formar 12 numeros de 2 cifras distintas, con dichos dıgitos.

III) Se pueden formar 6 numeros pares de 4 cifras distintas, con dichos dıgitos.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solucion: Observando cada afirmacion por separado:

I) Si queremos formar numeros de 3 cifras con los 4 dıgitos dados, entonces el total es43 = 64, ya que los dıgitos se pueden repetir (corresponde a una variacion con repeticion).Verdadera.

II) Si se quieren formar numeros de 2 cifras distintas con los 4 dıgitos dados, entonces nosenfrentamos a una variacion sin repeticion, por lo que la cantidad de numeros pedidos

es4!

(4− 2)!=

4!

2!= 12. Verdadera.

III) Si debemos formar numeros pares de 4 cifras distintas, con los 4 dıgitos dados,notemos que los numeros deben terminar siempre en 2, porque es el unico dıgito par quenos entregan. Solo queda ver de cuantas formas podemos elegir los dıgitos restantes, queserıa 3!, ya que usamos todos los elementos. Finalmente la cantidad pedida de numeroses 3! · 1 = 6. Verdadera.


Subunidad: Tecnicas de Conteo

Dificultad: Alta


Clave: E

60

54. La desviacion estandar de tres enteros pares consecutivos es:

A) 4

B) 2

√2

3

C)8

3

D)√

2

E) 3

Solucion: Escribimos tres enteros pares consecutivos como x− 2, x y x+ 2. Calculando

el promedio de estos obtenemos(x− 2) + x+ (x+ 2)

3=

3x

3= x. Luego reemplazamos

en la formula de la desviacion estandar:

σ =

√(x− (x− 2))2 + (x− x)2 + (x− (x+ 2))2

3

=

√4 + 0 + 4

3

=

√8

3

= 2

√2

3



Dificultad: Media


Clave: B

61

55. Suponga que tiene una poblacion de tamano n y cuyo promedio es s. Si se extraentodas las muestra de tamano k, sin orden y sin reposicion, y a cada una se le calcula elpromedio ¿cual es la suma de todos esos promedios?

A) s

B) s ·(n

k

)C)

(n

k

)D) s · n!

(n− k)!

E) s · nk

Solucion: Recordemos que si extraemos todas las muestras de una poblacion y cadauna de las muestras le calculamos el promedio, entonces el promedio de esos promedioses igual al promedio de la poblacion. En este caso, notemos que tenemos un total de(n

k

)muestras y sean x1, . . . , xm todos los promedios calculados, entonces:

x1 + . . .+ xm(n

k

) = s =⇒ (x1 + . . .+ xm) ·(n

k

)= s ·

(n

k

)

Por lo tanto la suma de los promedios pedida es s ·(n

k

).


Subunidad: Tecnica de Conteo

Dificultad: Alta


Clave: B

62

56. Una poblacion de 1.000 estudiantes de un liceo obtuvo en promedio 675 puntos en unaprueba, con una desviacion estandar de 50 puntos. Si los puntajes de la prueba siguenuna distribucion normal, ¿cual es el numero de estudiantes como maximo 725 puntos?

A) 182

B) 500

C) 841

D) 818

E) 918

Solucion: Las puntajes se modelas mediante la variable aleatoria continua X con X ∼N(675, 50). Para calcular la probabilidad debemos tipificar la variable y calcular lasprobabilidades usando la tabla:

P (X < 725) = P

(X − 675

50<

725− 675

50

)= P (Z < 1)

Donde Z es una variable aleatoria continua tal que Z ∼ N(0, 1). Luego observamos latabla y vemos que P (Z < 1) = 0, 841. Finalmente como el total es de 1.000 estudiantes,el numero pedido es 0, 841 · 1000 = 841.


Subunidad: Distribucion Normal

Dificultad: Media


Clave: C

63

57. Un dado esta cargado de forma que la probabilidad de obtener un numero primo es eltriple que la de obtener un numero no primo. Si lanzamos dos veces este dado, ¿cual esla probabilidad de obtener un numero par en el primer lanzamiento y un numero imparen el segundo?

A)1

2· 1

2

B)5

12· 5

12

C)5

12· 7

12

D)1

2· 5

12E) Ninguna de las anteriores

Solucion: Notemos que si la probabilidad de obtener un numero primo es el triple quela de obtener un numero no primo, tenemos que la probabilidad de obtener un 2, 3 o 5es de 3x cada uno y de obtener 1, 4 o 6 es de x cada uno. Luego como la suma de todaslas probabilidades tiene que ser 1, se ve que:

x+ 3x+ 3x+ x+ 3x+ x = 1 =⇒ 12x = 1 =⇒ x =1

12

Ahora, la probabilidad de obtener un numero par al lanzar el dado, es la suma de las

probabilidades de obtener un 2, 4 o 6, es decir,3

12+

1

12+

1

12=

5

12. De aca, obviamente la

probabilidad de obtener un impar al lanzar el dado es de7

12. Finalmente la probabilidad

pedida es5

12· 7

12, al ser ambos lanzamientos independientes.


Subunidad: Probabilidades

Dificultad: Media


Clave: C

64

58. Se hace una encuesta a un grupo de 50 personas y se les consulta si prefieren beber jugoo bebida. Los resultados obtenidos se resumen en la tabla adjunta.

Jugo BebidaHombres 14 16Mujeres 15 5

Si del grupo se elige una persona al azar, resultando que es hombre y ninguno de losencuestados consume ambos productos, ¿cual es la probabilidad de que prefiera beberjugo?

A)7

15

B)7

30

C)1

2

D)5

7

E)3

4

Solucion: Tenemos dos eventos respecto a la persona elegida al azar: A = Que seahombre y B = Que prefiera consumir jugo. Nos preguntan la probabilidad de A, sabien-do que B ocurrio, entonces corresponde a la probabilidad condicional. Por lo tanto laprobabilidad pedida es:

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B)

Cabe notar que P (A ∩ B) =14

50, porque hay 14 hombres que prefieren tomar jugo y

P (B) =30

50, ya que hay 30 hombres. Por ende:

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B)=

14

5030

50

=14

30=

7

15


Subunidad: Probabilidad Condicional

Dificultad: Media


Clave: A

65

59. Si al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener cara es de p. Entonces a lanzarnuevamente la moneda, la probabilidad de obtener sello es:

A) p

B) p2

C) 2p

D) 1− pE) p(1− p)

Solucion: Si la probabilidad de obtener cara es p, entonces la probabilidad de obtenersello es 1 − p. Luego, como cada lanzamiento es independiente, el primer lanzamientono influye en el segundo, por lo que la probabilidad pedida es 1− p.


Subunidad: Probabilidad Condicional

Dificultad: Baja


Clave: D

66

60. En una fabrica de celulares la probabilidad de que uno de ellos tenga una falla en su

pantalla esa

b. Para un control de calidad se seleccionan al azar 7 de estos cajeros de

manera independiente, ¿cual es la probabilidad de que exactamente 5 de ellos tenganuna falla en su pantalla?

A)

(7

5

)·(ab

)5·(b− ab

)2

B)

(7

5

)·(ab

)7·(b− ab

)5

C)

(12

5

)·(ab

)7D)

(12

5

)·(ab

)5E)(ab

)5Solucion: Esta situacion se puede modelar con una variable aleatoria X con Distribu-

cion Binomial, con n = 7 y p =a

b, ya que se revisaran 7 y la probabilidad de que un

celular tenga una falla en su pantalla esa

b. Por ende tenemos que:

P (X = x) =

(7

x

)·(ab

)x·(

1− a

b

)7−xComo nos piden la probabilidad de que exactamente 5 de ellos tengan una falla en supantalla, simplemente reemplazamos:

P (X = 5) =

(7

5

)·(ab

)5·(b− ab

)2


Subunidad: Distribucion Binomial

Dificultad: Media

Habilidad Cognitiva: Baja

Clave: A

67

61. Se tiene un grupo de 7 mujeres y 3 hombres. Se escogen cuatro personas al azar ydefinimos la variable aleatoria X como la cantidad de mujeres elegidas. ¿Cual es elrecorrido de X?

A) {0, 1, 2, 3}B) {0, 1, 2, 3, 4}C) {1, 2, 3}D) {1, 2, 3, 4}E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Solucion: Como en el grupo hay solo 3 hombres, al elegir cuatro personas al azar, nopodra ocurrir que no elijamos ninguna mujer, por lo que 0 no puede estar en el recorrido.La cantidad mınima de mujeres que se pueden elegir es una y la maxima es 4, por loque el recorrido de X es {1, 2, 3, 4}.


Subunidad: Variable Aleatoria Discreta

Dificultad: Baja


Clave: D

68

62. En la tabla se muestra la funcion de probabilidad f de una variable aleatoria discretaX. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

X 0 1 2 3 4f(x) 0,05 0,2 0,5 0,2 0,05

I) E(X) = 2

II) El recorrido de X es {0, 1, 2, 3, 4, 5}III) Si F representa la funcion de distribucion de X, entonces F (3) = 0, 95

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solucion: Analizamos las afirmaciones:

I) Calculamos E(X):

E(X) = 0 · 0, 05 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 5 + 3 · 0, 2 + 4 · 0, 05= 0 + 0, 2 + 1 + 0, 6 + 0, 2= 2

Luego E(X) = 2. Verdadera.

II) Basta observar los valores que puede tomar X en la tabla, que son {0, 1, 2, 3, 4}.Falsa.

III) Si F representa la funcion de distribucion de X, se ve que:

F (3) = P (X ≤ 3)= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)= 0, 05 + 0, 2 + 0, 5 + 0, 2= 0, 95

Entonces F (3) = 0, 95. Verdadera.


Subunidad: Variable Aleatoria Discreta

Dificultad: Media


Clave: D

69

63. Sea Z una variable aleatoria continua tal que Z ∼ N(0, 1). Entonces el valor de P (−2, 17 <Z < 1, 64) es:

A) 0, 035

B) 0, 935

C) 0, 95

D) 0, 985

E) 1, 935

Solucion: Como Z una variable aleatoria continua tal que Z ∼ N(0, 1), podemos buscarlos valores de las probabilidades en la tabla, por lo tanto:

P (−2, 17 < Z < 1, 64) = P (Z < 1, 64)− P (Z < −2, 17)= P (Z < 1, 64)− (1− P (Z < 2, 17))= P (Z < 1, 64) + P (Z < 2, 17)− 1= 0, 95 + 0, 985− 1= 0, 935



Dificultad: Media


Clave: B

70

64. Sea X una variable aleatoria tal que X ∼ B

(12;

1

6

). Si la distribucion X se aproxi-

ma por una distribucion normal con media µ y desviacion estandar σ. ¿Cuales de lossiguientes valores corresponden a los valores de µ y σ, respectivamente

A) 2 y5

3

B) 2 y

√5

3

C) 12 y√

2

D) 2 y√

2

E) 12 y 2

Solucion: Dada una variable aleatoria X con X ∼ Bin(n, p) si se quiere aproximar poruna normal X ∼ N(µ, σ), entonces µ = np y σ =

√np(1− p), por lo tanto los valores

pedidos son:

µ = 12 · 1

6= 2

σ =

√12 · 1

6· 5

6=

√5

3



Dificultad: Baja


Clave: B

71

65. Se elige un estudiante al azar de una muestra compuesta por estudiantes de primeromedio de un liceo mixto. Se puede determinar la probabilidad de que el estudianteelegido al azar de la muestra sea mujer y use lentes, si se sabe que:

(1) Las tres cuartas partes del curso son mujeres.

(2) Las tres cuartas partes de las mujeres usan lentes.

A) (1) por sı sola

B) (2) por sı sola




Solucion:

La afirmacion (1) es insuficiente, puesto que no tenemos informacion sobre los estudiantesque usan lentes.

La afirmacion (2) es insuficiente, ya que no sabemos que parte del total son las mujeresdel curso.

Si juntamos ambas afirmaciones y tenemos que x es el total de alumnos, entonces las

mujeres corresponden a3x

4. Luego las mujeres que usan lentes serıan

9x

16y la probabilidad

pedida serıa:9x

16x

=9

16


Subunidad: Probabilidades

Dificultad: Media


Clave: C

72

Documents

Jornada de Diagn ostico de Ensayos Tesla...Instrucciones Espec cas: 1. Las guras que aparecen en el ensayo son solo indicativas. 2. Los gr a cos que se presentan en este ensayo est