Ensayo Matemática - Versión Profesor - 387810correccionpsust.cl/mat_pauta_6oct2018.pdf · 1. Las ﬁguras que aparecen en el ensayo son solo indicativas. 2. Los gráﬁcos que se

forma: 9

RESPUESTAS

1 D2 B3 C4 E5 A6 B7 D8 A9 B10 C11 D12 D13 E14 E15 C16 A17 B18 A19 C20 A21 C22 B23 B24 D25 E26 B27 C28 D29 E30 C

31 E32 C33 A34 D35 E36 A37 C38 A39 E40 D41 E42 D43 A44 D45 B46 C47 D48 B49 B50 D51 B52 E53 E54 E55 D56 C57 A58 D59 B60 D

61 A62 D63 D64 A65 C66 E67 E68 B69 A70 B71 C72 B73 C74 E75 D76 D77 C78 B79 E80 C

2

COMPOSICIÓN

Ejes Temáticos abarcados

Números (17 preguntas)

• Números Reales (8 preguntas)• Números Complejos (4 preguntas)• Raíces (4 preguntas)• Logaritmos (1 preguntas)

Álgebra (19 preguntas)

• Expresiones y operatoria algebraica (2 preguntas)• Ecuaciones de primer grado (2 preguntas)• Ecuaciones de segundo grado (4 preguntas)• Función cuadrática (3 preguntas)• Funciones (4 preguntas)• Inecuaciones y sistemas de inecuaciones (1 preguntas)• Sistemas de ecuaciones (3 preguntas)

Geometría (22 preguntas)

• Círculo y circunferencia (2 preguntas)• Cuerpos geométricos (2 preguntas)• Geometría proporcional (3 preguntas)• Puntos, planos y vectores (6 preguntas)• Semejanza (2 preguntas)• Transformaciones isométricas (3 preguntas)• Ecuación de la recta (4 preguntas)

Datos y azar (22 preguntas)

• Datos agrupados en intervalos (3 preguntas)• Medidas de posición (1 preguntas)• Medidas de dispersión (4 preguntas)• Técnicas de conteo (2 preguntas)• Probabilidad frecuencial y teórica (1 preguntas)• Suma y producto de probabilidades (2 preguntas)

3

• Variable aleatoria discreta (4 preguntas)• Variable aleatoria continua (1 preguntas)• Distribución normal (3 preguntas)• Distribución binomial (1 preguntas)

Nivel de contenidos

Primero Medio (24 preguntas)

Segundo Medio (23 preguntas)

Tercero Medio (21 preguntas)

Cuarto Medio (12 preguntas)

Habilidades cognitivas abarcadas

Comprensión (20 preguntas)

Aplicación (38 preguntas)

Análisis, Síntesis y Evaluación (22 preguntas)

4

Instrucciones

ES DE SUMA IMPORTANCIA QUE PRESTE ATENCIÓN A TODAS LASINSTRUCCIONES QUE SE LE ENTREGAN, TANTO EN EL FOLLETO COMO EN LA

HOJA DE RESPUESTAS.

1.- Este modelo consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con lasletras A,B,C,D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTASSEA LA MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos pedidos, de acuerdocon las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVARESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entregue susresultados. Se le dará tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba.

3.- DISPONE DE 2 HORAS y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLO.

4.- Las respuestas a las preguntas se marcan solo en la hoja de respuestas que se le haentregado. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de lapregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de nosalirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito No 2 o portaminas HB.

5.- NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

6.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no se olvide traspasar oportu-namente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluaciónexclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.

7.- Cuide su hoja de respuestas. No la doble ni la manipule innecesariamente. Escriba enella solamente los datos solicitados y las respuestas.

8.- El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra queaparece en la hoja de respuestas; por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.

5

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Las figuras que aparecen en el ensayo son solo indicativas.

2. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un sistema de ejesperpendiculares.

3. Se entenderá por dado, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras sonequiprobables de salir.

4. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menosque se indique lo contrario.

5. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x2 ` 1 “ 0.

6. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.

7. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z „ Np0, 1q y donde la partesombreada de la figura representa a P pZ § zq, entonces se verifica que:

6

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decidasi con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) sepueda llegar a la solución del problema.Es así, que se deberá marcar la opción:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

† es menor que – es congruente con° es mayor que „ es semejante con§ es menor o igual a K es perpendicular a• es mayor o igual a ‰ es distinto de> ángulo Î es paralelo a

log logaritmo en base 10 P pertenece a„ conjunto vacío AB trazo AB

ln logaritmo en base e |x| valor absoluto de xY unión de conjuntos x! factorial de x

Ac complemento del conjunto A X intersección de conjuntosu vector u

7

1.- 0, 0013 ` 0, 0014

0, 1´3 “

A) 0, 0011B) 0, 10001C) 0, 01001D) 0, 000000000001001E) 0, 000010001000

Pregunta ID: 42783Autor:

SOLUCIÓN

0, 0013 ` 0, 0014

0, 1´3 “ p10´3q3 ` p10´3q4

p10´1q´3

“ 10´9 ` 10´12

103

“ 10´9

103 ` 10´12

103“ 10´12 ` 10´15

“ 0, 000000000001 ` 0, 000000000000001“ 0, 000000000001001

8

2.-78 ´ 15

4916

“

A) ´256

B) ´469

C) 712

D) 519

E) 9110


SOLUCIÓN78 ´ 15

4916

“7 ´ 30

8916

“´23

8916

´238 ¨ 16

9´46

9

9

3.- Al ordenar de menor a mayor los números A “ 0, 3 ` 0, 13, B “ 0, 34 ` 0, 1 yC “ 0, 17, se obtiene

A) A<C<B

B) A<B<C

C) C<B<A

D) C<A<B

E) B<C<A


SOLUCIÓN

A “ 0, 3 ` 0, 13 “ 13 ` 13

99 “ 3399 ` 13

99 “ 4699

B “ 0, 34 ` 0, 1 “ 3499 ` 1

9 “ 3499 ` 11

99 “ 4599

C “ 0, 17 “ 17100

Por lo tanto, al ordenar A, B y C de menor a mayor se obtiene:C<B<A

4.- 1, 3 : 0, 3 “A) 2

B) 43

C) 163

D) 3E) 4


SOLUCIÓN

1, 3 : 0, 3 “ 1 ` 13

13

“4313“ 4

10

5.- Martín comprará dos bicicletas con iguales características. ¿Cuál de los siguientesdescuentos es el más conveniente?

A) El 36 % del costo total.B) El 20 % del costo de cada bicicleta.C) La tercera parte del costo total.D) La cuarta parte del costo de cada bicicleta.E) El costo total multiplicado por 0, 1.


SOLUCIÓN

costo total “ costo de una bicicleta ` costo de una bicicleta.Entonces:A.El 36B.El 20C.La tercera parte del costo total =costo total ¨ 1

3 “ 0, 3 ¨ costo total

D.La cuarta parte del costo de cada bicicleta = 0, 25 ¨ costo de una bicicleta ` 0, 25 ¨costo de una bicicleta “ 0, 25 ¨ costo total

E.El costo total multiplicado por 0, 1 “ 0, 1 ¨ costo total

Por lo tanto la oferta más conveniente es la A.

11

6.- Sean a y b dos números reales tales que b>a. ¿Cuál de las siguientes alternativas NO

representa un número que se encuentre siempre entre a y b en la recta numérica?

A) a ` b

2

B) a ` b

3

C) a ` b ´ a

4

D) a ` b ´ a

5

E) b ´ b ´ a

5Pregunta ID: 42862Autor:

SOLUCIÓN

Supongamos que a “ 2 y b “ 3. Entonces a ` b

3 “ 2 ` 33 “ 5

3 “ 1, 6Este número no se encuentra entre 2 y 3 en la recta numérica.Por lo tanto, no es posible afirmar que a ` b

3 se encuentre entre a y b en la rectanumérica.

7.- Si el a % de b es igual a 3, ¿qué porcentaje es a de b?

A) a %B) 2a %C) 3 %

D) a2

3

E) 2a

3Pregunta ID: 42841Autor:

SOLUCIÓN

Si el aa

100 ¨ b “ 3

b “ 300a

El porcentaje que es a de b es igual a:a

300a

¨ 100 “ a2

3

12

8.- Se puede afirmar que p NO es un número decimal periódico si se sabe que:

(1) 3 ` p no es un número decimal periódico.(2) 1

pno es un número decimal periódico.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

Al sumar un número entero con un número decimal periódico se obtiene comoresultado un número decimal periódico (Se suman las partes enteras de ambosnúmeros y se conserva la parte periódica del número decimal periódico). Entonces,al sumar un número entero con un número decimal no periódico se obtiene comoresultado un número decimal no periódico.La información (1) es suficiente.19 “ 0, 1 es un número decimal periódico.1p

“ 119

“ 9, no es un número decimal periódico, sin embargo, 19 sí.

La afirmación (2) no es suficiente.

13

9.-?

11 ´ 2?11 ´ 1

“

A) 7 ` 2?

1110

B) 9 ´?

1110

C) 4 ` 3?

115

D) 6 ´?

75

E) ´1 `?

58


SOLUCIÓN?11 ´ 2?11 ´ 1

“?

11 ´ 2?11 ´ 1

¨?

11 ` 1?11 ` 1

“ p?

11 ´ 2qp?

11 ` 1q11 ´ 1

“?

112 `?

11 ´ 2?

11 ´ 2 ¨ 110

“ 11 ´?

11 ´ 210

“ 9 ´?

1110

14

10.- Al ordenar de menor a mayor los números 23

?3,

?5 y 3

2?

2, se obtiene

A)?

5<23

?3<3

2?

2

B) 32

?2<2

3?

3<?

5

C) 23

?3<3

2?

2<?

5

D) 32

?2<

?5<2

3?

3

E) 32

?2<

?5<2

3?

3


SOLUCIÓNˆ23

?3˙2

“ 49 ¨ 3 “ 4

3 “ 1, 3?

5q2 “ 5ˆ32

?2˙2

“ 94 ¨ 2 “ 9

2 “ 4, 5Por lo tanto, al ordenar de menor a mayor se obtiene:23

?3<3

2?

2<?

5

15

11.- logm2?

m “A) ´2B) 4

C) ´18

D) 14

E) 12


SOLUCIÓN

logm2?

m “ logm2m12

logm2m12 “ x

pm2qx “ m12

m2x “ m

12

2x “ 12

x “ 14

12.-9?

257

?5

“

A) 17?

5

B) 72?

59

C) 47?

54

D) 63?

55

E) 51?

53


SOLUCIÓN9?

257

?5

“9?

52

7?

5

“ 5 29

5 17

“ 5 29 ´ 1

7

“ 5 14´963

“ 5 563

“ 63?

55

16

13.- Es posible construir un rectángulo cuyas medidas de sus lados sean números irra-cionales y que corresponda a un número racional la medida de suI. perímetro.II. diagonal.III. área.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Por ejemplo, si los lados miden 3 `?

2 y 3 ´?

2, el perímetro corresponderá a unnúmero racional:

3 `?

2 ` 3 ´?

2 ` 3 `?

2 ` 3 ´?

2 “ 12

La afirmación I. es verdadera.Por ejemplo, si los lados miden

?2 y

?7 la medida de la diagonal corresponderá a

un número racional:b?

22 `?

72 “?

9 “ 3

La afirmación II. es verdadera.Por ejemplo, si los lados miden

?2 y

?8 la medida del área corresponderá a un

número racional:?

2 ¨?

8 “?

2 ¨ 8 “?

16 “ 4

La afirmación III. es verdadera.

17

14.- En el plano complejo se representa el número complejo z. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdaderas?I. z “ 4 ´ 4i

II. z y z forman un ángulo de 90o en el plano complejo.

III. El módulo de z es igual a 4?

2.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III


SOLUCIÓN

La parte real corresponde a la proyección sobre el eje horizontal. La parte imaginariacorresponde a la proyección sobre el eje vertical. Entonces, z “ 4 ´ 4i.La afirmación I. es verdadera.z “ 4 ` 4i

La afirmación II. es verdadera.Determinemos el módulo de z:|z| =

?42 ` 42

“ ?16 ` 16

“?

32“ 4

?2

La afirmación III. es verdadera.

18

15.- El número complejo z es tal que z ` z “ ´10 y z ´ z “ 40i. Entonces z es igual a

A) ´10 ´ 40i

B) ´10 ` 40i

C) ´5 ´ 20i

D) ´5 ` 20i

E) 5 ` 20i


SOLUCIÓN

Supongamos que z “ a ` bi. Entonces:Si z ` z “ ´10:a ` bi ` a ´ bi “ ´102a “ ´10a “ ´5Si z ´ z “ 40i:a ´ bi ´ a ´ bi “ 40i

´2bi “ 40i

b “ ´20Por lo tanto, z “ ´5 ´ 20i

19

16.- Si k es un número entero positivo e i “ ?´1, ¿cuál es el valor de la siguienteexpresión?ik ` i

k`1 ` ik`2 ` i

k`3 “A) 0B) i

C) ´1 ´ i

D) ´1 ` i

E) 1 ` i


SOLUCIÓN

i1 “ i

i2 “ ´1

i3 “ í

i4 “ 1

i5 “ i

i6 “ ´1

i7 “ í

i8 “ 1

...Si sumamos 4 términos consecutivos de esta serie la suma siempre será igual a 0.Como k, k ` 1, k ` 2 y k ` 3 son 3 números enteros positivos:

ik ` i

k`1 ` ik`2 ` i

k`3 “ 0

20

17.- Sean los números complejos z1 “ a ` bi y z2 “ b ` ai. Se puede determinar z1 ¨ z2si se sabe que:

(1) a ` b “ 4(2) el módulo de z1 y z2 es igual a

?10.



SOLUCIÓN

z1 ¨ z2 “ pa ` biqpb ` aiq“ ab ` a

2i ` b

2i ´ ab

“ a2i ` b

2i

“ pa2 ` b2qi

Si (1) a ` b “ 4, podemos deducir que a2 ` 2ab ` b

2 “ 16, pero no podemos deducirel valor de a

2 ` b2.

Si (2) 2l módulo de z1 y z2 es igual a?

10, entonces:?a2 ` b2 “

?10

Por lo tanto:a

2 ` b2 “ 10

Por lo tanto, la información (2) nos permite resolver el problema.

21

18.- Al despejar x de la ecuación x ` y

4 “ ´x ` y

5 , se obtiene

A) ý

B) y

C) ´2y

D) 43y

E) ´34y


SOLUCIÓNx ` y

4 “ ´x ` y

5 { ¨ 205px ` yq “ ´4px ` yq5x ` 5y “ ´4x ´ 4y

9x “ ´9y

x “ ý

19.- 116p8x ´ 3q2 ´ 25

16 “

A) p2x ` 1qp2x ´ 1qB) p2x ´ 1q2

C) p4x ` 1qpx ´ 1qD) p4x ´ 1qpx ` 1qE) p4x ´ 4qpx ´ 4qPregunta ID: 42914Autor:

SOLUCIÓN116p8x ´ 3q2 ´ 25

16 “ 116p64x

2 ´ 48x ` 9q ´ 2516

“ 4x2 ´ 3x ` 9

16 ´ 2516

“ 4x2 ´ 3x ´ 16

16“ 4x

2 ´ 3x ´ 1“ p4x ` 1qpx ´ 1q

22

20.- Sea la ecuación pa ` bqpax ` bxq “ á2 ´ 2ab ´ b

2, con a ` b ‰ 0. ¿Cuál es el valorde x?

A) ´1B) 0C) 1D) á ´ b

E) a ` b


SOLUCIÓN

pa ` bqpax ` bxq “ á2 ´ 2ab ´ b

2

pa ` bqpa ` bqx “ ´pa ` bq2

pa ` bq2x “ ´pa ` bq2

Como a ` b ‰ 0:x “ ´pa ` bq2

pa ` bq2

x “ ´1

23

21.- En la expresión x2 ´ 3x ´ 4x2 ´ 16 se reemplaza x por a. Si a ‰ 4 y a ‰ ´4 se obtiene

como resultado

A) a ` 1B) a ´ 4

C) a ` 1a ` 4

D) a ´ 4a ` 4

E) pa ´ 4qpa ` 1qPregunta ID: 42889Autor:

SOLUCIÓN

x2 ´ 3x ´ 4x2 ´ 16 “ px ´ 4qpx ` 1q

px ` 4qpx ´ 4qAl reemplazar x por a se obtiene:pa ´ 4qpa ` 1qpa ` 4qpa ´ 4qComo a ‰ 4 y a ‰ ´4 podemos simplificar la expresión anterior obteniedo:

a ` 1a ` 4

24

22.- En una ciudad el transporte público está formado por micros y taxi colectivos.El pasaje en micro vale $500 y el de taxi colectivo $700. Si durante un mes unapersona realizó en total 25 viajes en transporte público y gastó $15.300, ¿cuántosviajes realizó en micro?

A) 7B) 11C) 14D) 16E) 18


SOLUCIÓN

Definamos las siguientes incógnitas:x: número de viajes en micro.y: número de viajes en taxi colectivo.Como la persona realizó en total 25 viajes:x ` y “ 25Como en total gastó $15 300:500x ` 700y “ 15 300Deebemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x ` y “ 25500x ` 700y “ 15 300

Multiplicando por ´700 la primera ecuación obtenemos:´700x ´ 700y “ ´17 500500x ` 700y “ 15 300

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:´200x “ ´2 200“ 11La persona realizó 11 pasajes en micro.

25

23.- El perímetro de un triángulo isósceles es igual a p centímetros y la razón entre ellado basal y un lado no basal es igual a a : b. ¿Cuáles de los siguientes sistemas deecuaciones permite determinar la medida de los lados del triángulo?

A) x ` 2y “ p

ax ´ by “ 0

B) x ` 2y “ p

bx ´ ay “ 0

C) x ` 2y “ p

ax ` by “ 0

D) x ` y “ p

ax ´ by “ 0

E) x ` y “ p

bx ´ ay “ 0


SOLUCIÓN

Supongamos que el lado basal mide x centímetros y los lados no basales miden y

centímetros. Entonces: “El perímetro de un triángulo isósceles es igual a p centí-metros:", se expresa mediante la siguiente ecuación:x ` 2y “ p

"...la razón entre el lado basal y los lados no basales es igual a a : b", se expresamediante la siguiente ecuación:x

y“ a

b

bx “ ay

bx ´ ay “ 0Por lo tanto el sistema de ecuaciones que se debe resolver es:

x ` 2y “ p

bx ´ ay “ 0

26

24.- La figura está formada por la semicircunferencia de centro O y el rectángulo ABCD.Si el área de esta figura es igual a 36 cm

2 y la medida de AB “ 3 cm, ¿cuál es laecuación que permite determinar la medida del radio de la semicircunferencia?

A) fix2 ` 3x “ 6

B) fix2

2 ` 3x “ 36

C) fix2 ` 3x “ 36

D) fix2

2 ` 6x “ 36

E) fix2 ` 6x “ 36


SOLUCIÓN

Si x es la medida del radio de la semicircunferencia, el área de la figura es igual a:fix

2

2 ` 2x ¨ 3 “ fix2

2 ` 6x

Por lo tanto, la ecuación que debemos resolver:fix

2

2 ` 6x “ 36

27

25.- Dada la ecuación x2 ´ 2ax ` a

2 “ 0, es posible afirmar que x es igual a

A) ´?a

B) á

C) 0D)

?a

E) a


SOLUCIÓN

x2 ´ 2ax ` a

2 “ 0px ´ aq2 “ 0x “ a

26.- Sea p un número real tal que 0<p<1. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son)menor(es) que p?I. p

´1

II. p2

III. 3?

p



SOLUCIÓN

p´1 “ 1

p. Como 0<p<1, entonces p<p

´1

Supongamos que p “ 0, 5, entonces p2 “ 0, 25 y , por lo tanto, p<p

2

p3<p{ 3

?p< 3

?p

28

27.- a y b son dos números enteros tales que a2 ` 2ab ` b

2 “ 64 y a2 ´ 2ab ` b

2 “ 4. Sepuede determinar los valores de a y b si se sabe que:(1) a>b

(2) a>´b



SOLUCIÓN

Ya que a2 ` 2ab ` b

2 “ 64 y a2 ´ 2ab ` b

2 “ 4:pa ` bq2 “ 64pa ´ bq2 “ 4(1) Si a>b, entonces a ´ b>0.Entonces, como pa ´ bq2 “ 4, podemos deducir que a ´ b “ 2 (*)(2) Si a>´b, entonces a ` b>0Entonces, como pa ` bq2 “ 64, podemos deducir que a ` b “ 8 (**)Con las ecuaciones (*) y (**) podemos formar un sistema de ecuaciones que nospermite determinar los valores de a y b.Es necesario (1) y (2) para resolver el problema.

29

28.- En la función cuadrática fpxq “ x2 ` bx ` c, b y c son números enteros. Si la

gráfica de f no intersecta al eje X, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?I. Si p

2 ` b ¨ p ` c “ 0, entonces p no es un número real.II. b

2 ´ 4c>0.III. No existen dos números reales cuyo producto sea igual a c y suma igual a p´bq.A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Como la parábola asociada a f no intersecta al eje X, entonces la ecuación cuadrá-tica asociada no tiene solución en los números reales. Entonces, si a¨p2 `b¨p`c “ 0,entonces p no es un número real.La afirmación I. es verdadera.Como la ecuación cuadrática asociada no tiene solución en los números reales, eldiscriminate debe ser menor que 0, es decir, b

2 ´ 4c<0.La afirmación II. es falsa.Suponga,os que x1 y x2 son las raíces de la ecuación. Entonces:x

2 ` bx ` c “ px ´ x1qpx ´ x2q´px1 ` x2q “ b

px1 ` x2q “ ´b

x1 ¨ x2 “ c

Como x1 y x2 no son números rales, no existen dos números reales cuyos productosea igual a c y suma igual a ´b.Lo afirmado en III. es verdadero.

30

29.- Las variables p y q2 son directamente proporcionales. ¿Cuál de los siguientes gráficos

representa mejor p(q)?

A)

B)

C)

D)

E)


SOLUCIÓN

Como p y q2 son directamente proporcionales:

p

q2 “ k, donde k es una constante.Entonces:ppqq “ kq

2

La gráfica de esta función corresponde a una de las ramas de una parábola:

31

30.- Sean las funciones definidas en el conjunto de los números reales positivos:

fpxq “ 4x4 ´ 2 y gpxq “ 4

cx ` 2

4¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a gofpxq?A) 0B) 1C) x

D) x ` 12

E) 2x ´ 1


SOLUCIÓN

gofpxq “ gpfpxqq “ 4

cp4x

4 ´ 2q ` 24

“ 4

cp4x

4q4

“ 4?

x4

“ x

32

31.- La duración d, en días, de una batería recargable, depende del tiempo de carga t,en horas, de acuerdo a la función:dptq “ 2, 5

?t

¿Cuánto se debe cargar a batería para dure 40 días?

A) 4

B) 2, 5 ¨?

40

C) 100 ¨?

20D) 125E) 256


SOLUCIÓN

dptq “ 2, 5?

t

40 “ 2, 5?

t

402, 5 “

?t

16 “?

t{pq2

162 “ t

t “ 256

33

32.- La gráfica de la función cuadrática f tiene como vértice al punto pa, bq e intersectaal eje X en el punto pc, 0q. Si c<a, ¿en qué otro punto intersecta al eje X?

A) pć, 0qB) p2c, 0qC) p2a ´ c, 0qD) p2c ´ a, 0qE) pa ` c, 0qPregunta ID: 42826Autor:

SOLUCIÓN

a ` a ´ c “ 2a ´ c

El otro punto que intersecta la gráfica de la función al eje X es p2a ´ c, 0q.

34

33.- Sean las funciones f y g con dominio en el conjunto de los números reales, definidascomo fpxq “ x

2 ´ 6x ` 8 y gpxq “ x2 ´ 4x ` 4. ¿En qué punto se intersectan las

parábolas correspondientes a estas funciones?

A) p2, 0qB) p´1, 1qC) p´3, 7qD) p´5, ´8qE) p6, ´3qPregunta ID: 42849Autor:

SOLUCIÓN

Determinemos el punto de intersección:fpxq “ gpxqx

2 ´ 6x ` 8 “ x2 ´ 4x ` 4

´6x ` 4x “ 4 ´ 8´2x “ ´4x “ 2fp2q “ gp2q “ 22 ´ 6 ¨ 2 ` 8 “ 4 ´ 12 ` 8 “ 0Por lo tanto, las parábolas se intersectan en el punto p2, 0q.

35

34.- Sea f : R Ñ R una función biyectiva. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones SIEM-

PRE corresponde(n) a una función biyectiva?I. g : R Ñ R, tal que gpxq “ ´fpxq.II. h : R Ñ R, tal que hpxq “ 1

hpxq .

III. i : R Ñ R, tal que ipxq “ f´1pxq.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Si la curva roja corresponde a la gráfica de f , entonces la curva azul corresponde ag y lacurva verde a i.Podemos observar que estas dos funciones son biyectivas. Entonces I. y III. sonverdaderas.Como f es biyectiva, existe un número real a tal que fpaq “ 0. Por lo tanto, tambiénexiste un a tal que hpaq “ 1

0 , es decir, que no está definido. Por lo tanto, h no esinyectiva y, por lo tanto, tampoco biyectiva.La opción II. es falsa.

36

35.- Dada la función f : A ›Ñ A, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?I. Si f es biyectiva, entonces es inyectiva.II. Si f es biyectiva, entonces f

´1 también.III. Si A corresponde al conjunto de los números reales y fpxq “ x

3, entonces f esbiyectiva.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III


SOLUCIÓN

Una función biyectiva es aquella que es inyectiva y sobreyectiva. Si una función esbiyectiva, entonces su función inversa también lo es. Por lo tanto, las afirmacionesI y II son verdaderas.La función f : R ›Ñ R definida como fpxq “ x

3 es una función biyectiva:

37

36.- En la ecuación cuadrática ax2 ` bx ` c “ 0, a, b y c son enteros y c>0. Se puede

determinar que a>0 si se sabe que:(1) ambas raíces tienen el mismo signo.(2) b>0



SOLUCIÓN

(1)Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación. Entonces:ax

2 ` bx ` c “ apx ´ x1qpx ´ x2q “ apx2 ´ px1 ` x2qx ` x1 ¨ x2qc “ ax1 ¨ x2>0Como x1 y x2 tienen el mismo signo, a debe ser mayor que 0La afirmación (1) es suficiente.Para que nos fuerea de utilidad la información (2) tendríamos que saber quesigno tiene la suma de las raíces. Por lo tanto, la información (2) por sí sola esindificiente.

38

37.- En la figura O es centro de la circunferencia y AC K BD. Entonces,"BC `

"DA“

A) 90o

B) 100o

C) 180o

D) 200o

E) No se puede determinar.


SOLUCIÓN

Podemos observar en la figura que – ` — “ 90o. Por lo tanto,"BC `

"DA“ 180o

39

38.- u ` 5v ´ 2w “

A) p7, 16qB) p´5, 9qC) p´8, ´5qD) p2, 11qE) p0, ´4qPregunta ID: 42848Autor:

SOLUCIÓN

u ` 5v ´ 2w “ p´2, 4q ` 5 ¨ p3, 2q ´ 2 ¨ p3, ´1q ““ p´2, 4q ` p15, 10q ´ p6, ´2q“ p´2 ` 15 ´ 6, 4 ` 10 ` 2q“ p7, 16q

40

39.- Sean los vectores upá, bq y vpb, aq, con a ‰ 0 y b ‰ 0. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

A) u ` v “ 0B) u “ ´v

C) v se encuentra en el primer cuadrante.D) El módulo de v es mayor que el módulo de u.E) u y v son perpendiculares.


SOLUCIÓN

A.u ` v “ pá, bq ` pb, aq “ pá, b, a ` bqEl vector resultante no es necesariamente igual a 0.B.´v “ ´pb, aq “ p´b, áq ‰ u

C.La posición de los vectores en el plano cartesiano dependerá de si a y b son positivoso negativos.D.Ambos vectores tienen el mismo módulo el cual es igual a

?a2 ` b2.

E.u y v son perpendiculares, ya que el producto de sus pendientes es igual a ´1:b

á¨ a

b“ ´1

41

40.- Al triángulo de vértices Ap´3, 5q, Bp´1, 4q y Cp´2, ´7q se le aplicó una rotacióncentrada en el origen de manera tal que la imagen de A es el punto A

1p5, 3q. ¿Cuáles el ángulo de rotación que se aplicó?

A) 45o

B) 90o

C) 180o

D) 270o

E) 360o


SOLUCIÓN

En la figura podemos observar que el ángulo de rotación fue de 270o.

42

41.- Dados los puntos P px, yq, Qpý, xq y Rp´x, ýq, ¿cuál(es) de las siguientes afir-maciones es(son) verdadera(s)?I. La distancia desde el origen a P , Q y R es la misma.II. PQ “ QR

III. El triángulo cuyos vértices son P , Q y R es rectángulo.



SOLUCIÓN

En la figura podemos observar que las tres afirmaciones son verdaderas.

43

42.- Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos Ap0, 0q y Bp4, 0q, y eltercer vértice es el punto C ubicado en el primer cuadrante. Si el triángulo ABC setraslada de manera que el vértice A queda ubicado en el lugar que ocupa el vérticeC, ¿cuál fue el vector de traslación aplicado?

A) p2, 4qB) p4, 4qC) p

?3, 2q

D) p2, 2?

3qE) p2 `

?3,

?3 ` 2q


SOLUCIÓN

Determinemos la medida de h:h

2 ` 22 “ 42

h2 ` 4 “ 16

h2 “ 12

h “?

12h “ 2

?3

Como luego de la traslación el vector A queda ubicado en la posición del vérticeC, el vector de traslación aplicado fue p2, 2

?3q.

44

43.- El triángulo de vértices Ap3, 2q, Bp1, 3q y Cp1, ´2q se refleja respecto de la rectay “ x. ¿Cuál es la imagen del vértice C?

A) p´2, 1qB) p1, 4qC) p1, 3qD) p´1, 2qE) p3, 2qPregunta ID: 42918Autor:

SOLUCIÓN

Gráficamente podemos observar que la imagen de C es el punto p´2, 1q.

45

44.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas respecto de los triángu-los de la figura?I. Son congruentes.II. El triángulo A

1B

1C se obtiene por una rotación en 90o del triángulo ABC

respecto del punto p´2, ´1qIII. AB{{A1C 1



SOLUCIÓN

En la figura podemos observar que el triángulo A1B

1C se obtiene por una rotación

en 90o del triángulo ABC respecto del punto p´2, ´1q. Entonces, las afirmacionesI. y II. son verdaderas.Como las pendientes de AB y A1C 1 no son iguales l agformación II. es falsa.

46

45.- En la figura BC{{DE, AE “ 2 cm y BE “ 3 cm. ¿A qué parte corresponde elárea del cuadrilátero BCDE del área del triángulo ABC?

A) 35

B) 2125

C) 38

D) 2129

E) 2340


SOLUCIÓN

Como BC{{DE, entonces �ABC „ �AED.Como AE : AB “ 2 : 5, las áreas de los triángulos AED y ABC es 4 : 25.Por lo tanto, el área del cuadrilátero BCDE corresponde a los 21

25 del área deltriángulo ABC.

47

46.- En la figura AB “ 4 cm y CD ¨ BE “ 60 cm2. ¿Cuánto debe medir el segmento

CE para que AB{{CD?

A) 12 cm

B) 12, 5 cm

C) 15 cm

D) 17, 5 cm

E) 20 cm


SOLUCIÓN

Por el teorema recíproco de Tales para que AB{{CD debe cumplirse que:BE

AB“ CE

CD

CE “ BE

AB¨ CD

CE “ BE ¨ CD

ABComo CD ¨ BE “ 60 cm

2:CE “ 60

4CE “ 15 cm

48

47.- En la figura O es centro de la circunferencia, AP=10 cm, AB=8 cm y DP=9 cm.¿Cuánto mide el segmento CD?

A) 9, 5 cm

B) 10, 8 cm

C) 10 cm

D) 11 cm

E) 12 cm


SOLUCIÓN

Aplicando el teorema de las secantes tenemos que:px ` 9q ¨ 9 “ p8 ` 10q ¨ 109x ` 81 “ 1809x “ 180 ´ 819x “ 99x “ 11Entonces, el segmento CD mide 11 cm.

49

48.- En la figura, O es el centro de la circunferencia. Se puede afirmar que>AOB “ >ACD, si se sabe que:

(1) >AOB “ 30˝

(2) 2"BA“

"DA



SOLUCIÓN

La medida del >AOB, al ser un ángulo del centro, es igual a la longitud del"

AB.La medida del >ACD, al ser un ángulo inscrito, es igual a la mitad de la longituddel

"AD. Por lo tanto, para que ambos ángulos sean iguales, la longitud del arco

que subtiende el ángulo inscrito debe ser igual al doble de la longitud del arco quesubtiende el ángulo del centro.Ve el video solución del problema:

50

49.- Al triángulo de vértices Ap´2, 2q, Bp2, 2q y Cp4, 4q se le aplicó una homotecia decentro en el punto P p2, ´4q de manera que la imagen del punto C quedó ubicadoen el eje X. ¿Cuál fue la razón de homotecia aplicada?

A) 0, 25B) 0, 5C) 2D) 2, 5E) 4


SOLUCIÓN

Como la imagen del punto C quedó ubicado en el eje X, C1 “ p3, 0q.

Si k es la razón de homtecia, entonces:kPC “ PC

1

k “ PC1

PC“ 1

2 “ 0, 5

51

50.- Dos de los vértices de un cuadrado son los puntos A “ p1, 2q y B “ p2, 7q. ¿Cuálde las siguientes rectas se intersecta con AB en el punto B?

A) 5x ´ y “ 41B) 5x ` y “ 32C) 5x ` 5y “ 11D) x ` 5y “ 37E) x ´ 5y “ 51


SOLUCIÓN

Determinemos la pendiente de AB:m “ 7 ´ 2

2 ´ 1 “ 51 “ 5

Por lo tanto, la pendiente de la recta que se intersecta con AB en el punto B esigual a ´1

5 .Como la recta pasa por el punto p2, 7q su ecuación es:y ´ 7 “ ´1

5px ´ 2q

y ´ 7 “ ´15x ` 2

5{ ¨ 55y ´ 35 “ ´x ` 2x ` 5y “ 37

52

51.- La recta L pasa por los puntos pa, ´bq y pb, ćq. Si la pendiente de L es igual a 1,¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

A) a “ b

B) a “ c

C) a>b

D) a<c

E) a “ b ` c


SOLUCIÓN

Determinemos la pendiente de L:m “ ´b ´ ć

a ´ b“ ´b ` c

a ´ bComo la pendiente de L es igual a 1:´b ` c

a ´ b“ 1

´b ` c “ a ´ b

c “ a

a “ c

53

52.- La recta L tiene ecuación y “ a

bx ` a, con a>b>0. ¿Cuál de la siguientes rectas

representa mejor a L?

A)

B)

C)

D)

E)


SOLUCIÓN

La pendiente de L es a

b. Como con a>b>0, entonces la pendiente es mayor que 1.

Como el coeficiente de posición de la recta es a, intersecta al eje Y en p0, aq:Veamos en qué punto intersecta la recta al eje X.0 “ a

bx ` a

á “ a

bx

x “ ´b

La recta L intersecta al eje X en el punto p´b, 0q.Entonces, como la pendiente de la recta es mayor que 1 e intersecta al los ejes enlos puntos p0, aq y p´b, 0q la recta que mejor representa a L es:

54

53.- El segmento AB es tal que A “ p´7, ´2q y B “ p´1, 2q. Si el punto P divide a AB

de manera tal que AP : BP “ 1 : 3, ¿cuáles son las coordenadas del punto P?

A) p´6, ´3qB) p´6, ´2qC) p´4, ´2qD) p´7, 5; ´2qE) p´5, 5; ´1qPregunta ID: 42789Autor:

SOLUCIÓN

Determinemos el punto medio del segmento AB:C “ p´7`´1

2 ,´2`2

2 qC “ p´4, 0qDeterminemos el punto medio del segmento AC:P “ p´7´4

2 ,´2`0

2 qP “ p´5, 5; ´1q

55

54.- En el cuadrilátero de la figura AD{{BC y AB K BC. Si el cuadrilátero se hacegirar indefinidamente respecto del eje AD, ¿qué cuerpo se obtiene?

A) Un cono.B) Un cilindro.C) Dos cilindros.D) Un cono al cual se le extrae un cilindroE) Un cilindro al cual se le extrae un cono.


SOLUCIÓN

El cuerpo geométrico que se obtiene es un cilindro al cual se le extrae un cono.

56

55.- El triángulo de la figura se hace girar indefinidamente respecto del eje y. ¿Acuántas unidades cúbicas equivale el volumen del cuerpo generado?

A) 3fi

B) 4fi

C) 5fi

D) 9fi

E) 10fi


SOLUCIÓN

El volumen del cuerpo generado es igual al volumen del cono que se obtiene al girarel triángulo CDB, menos el volumen del cono que se obtiene al girar el triánguloADB:VCDB “ fir

2h

3“ fi ¨ 32 ¨ 4

3“ 12fi

VADB “ fir2h

3“ fi ¨ 32 ¨ 1

3“ 3fi

Entonces, el volumen del cuerpo generado es igual a:

12fi ´ ´3fi “ 9fi

57

56.- El centro de una de las bases de un cilindro es el punto p´3, 2, 5q y el centro dela otra base es el punto p´1, ´5, ´1q. ¿A cuántas unidades equivale la altura delcilindro?

A)?

73

B)?

84

C)?

89

D)?

101

E)?

107


SOLUCIÓN

La altura del cilindro corresponde a la distancia de los dos centros:d “

ap´3 ´ ´1q2 ` p2 ´ ´5q2 ` p5 ´ ´1q2

“a

p´3 ` 1q2 ` p2 ` 5q2 ` p5 ` 1q2

“a

p´2q2 ` 72 ` 62

“ ?4 ` 49 ` 36

“?

89La altura del cilindro equivale a

?89 unidades.

57.- El punto p´14, a, bq pertenece a la recta de ecuación vectorial:px, y, zq “ ⁄p´5, 2, ´3q ` p1, ´3, ´1q¿Cuál es el valor de b?

A) ´10B) ´1C) 3D) 5E) 12


SOLUCIÓN

Si ⁄ “ 3 se obtiene un punto perteneciente a la recta cuya primera coordenada esigual a ´14:px, y, zq “ 3 ¨ p´5, 2, ´3q ` p1, ´3, ´1q“ p´15, 6, ´9q ` p1, ´3, ´1q“ p´14, 3, ´10qPor lo tanto, b “ ´10

58

58.- La recta L perteneciente al plano cartesiano tiene ecuación vectorialpx, yq “ ⁄pa, bq ` p2, bq, con a ‰ 0. Se puede determinar el valor de b si sesabe que:

(1) la ecuación cartesiana de L es 3x ` 5y “ 2(2) L pasa por el punto p2, ´4

5q.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


SOLUCIÓN

La información proporcionada en (1) es suficiente ya que como el punto p2, bqpertenece a L se cumple que:

3 ¨ 2 ` 5 ¨ b “ 2Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de b.La información proporcionada en (2) también es suficiente ya que como a ‰ 0 lapendiente de L corresponde a un número real. Por lo tanto, como el punto p2, ´4

5qpertenece a la recta necesariamente b “ ´4

5q.

59

59.- En el histograma se muestra la distribución de las edades de un grupo personas,donde los intervalos son de la forma ra, br, excepto el último que es de la formara, bs. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?I. El grupo está formado por 120 personas.II. 28 personas tienen menos de 15 añosIII. El rango de los datos no puede ser superior a 25.



SOLUCIÓN

El número de personas que conforman el grupo es igual a:

24 ` 28 ` 20 ` 32 ` 16 “ 120

Entonces, la información I. es verdadera.La cantidad de personas que tienen menos de 15 años es igual a:

24 ` 28 “ 52

La afirmación II. es falsa.El menor datos no puede ser menor a 5 y el mayor dato no puede ser superior a30. Por lo tanto, el rango no puede ser mayor a:

30 ´ 5 “ 2560

60.- En la tabla se registran la estaturas de un grupo de personas. ¿Cuál es la media deestas estaturas redondeada a la centésima?

A) 1, 67 m

B) 1, 68 m

C) 1, 71 m

D) 1, 72 m

E) 1, 75 m


SOLUCIÓN

Determinemos la marca de clase de cada intervalo:

Calculemos el número total de personas en el grupo:

10 ` 23 ` 12 ` 5 “ 50

Calculemos ahora la media:x “ 1, 6 ¨ 10 ` 1, 7 ¨ 23 ` 1, 8 ¨ 12 ` 1, 9 ¨ 5

50“ 1, 724

61

61.- ¿Cuántas muestras posibles de tamaño 4 se pueden extraer, sin orden y reposición,de una población de tamaño 6?

A) 15B) 21C) 24D) 30E) 36


SOLUCIÓN

El número de muestras posibles de tamaño 4 que se pueden extraer,sin orden y reposición, de una población de tamaño 6 es igual a:ˆ

64

˙“ 6!

4! ¨ p6 ´ 4q!“6!

4! ¨ 2!“1 ¨ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ 5 ¨ 61 ¨ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ 1 ¨ 2“ 15

62

62.- La mediana de un conjunto de 83 datos es igual a 50. Entonces, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?I. El segundo cuartil es igual a 50.II. La mediana ocupa el lugar 42.III. El primer cuartil es igual a 25.



SOLUCIÓN

El segundo cuartil siempre es equivalente la mediana. Por lo tanto, la afirmación I.es verdadera.En el esquema podemos observar que la mediana coupa el lugar 42. Por lo tanto,la afirmación II. es verdadera.

No podemos concluir nada acerca del valor del primer cuartil, sino solo sobre suposición. La afirmación III. es falsa.

63

63.- En la tabla se registran las notas obtenidas por los alumnos en un examen deFísica. ¿A qué intervalo pertenece el tercer cuartil?

A) r2, 3rB) r3, 4rC) r4, 5rD) r5, 6rE) r6, 7rPregunta ID: 42911Autor:

SOLUCIÓN

Determinemos el número total de alumnos:

2 ` 12 ` 9 ` 8 ` 7 ` 5 “ 43

Calculemos el lugar que ocupa el tercer cuartil:

34 ¨ 43 “ 32, 25

Al aproximar este número a un número entero por exceso se obtiene 33. El datoque ocupa el lugar 33 pertenece al intervalo r5, 6r.

64

64.- En la tabla adjunta se muestra la distribución de las edades de un grupo de personas.¿Cuál es el intervalo modal?

A) r20 ´ 25rB) r25 ´ 30rC) r30 ´ 35rD) r35 ´ 40rE) No se puede determinar.


SOLUCIÓN

Como la frecuencia relativa del primer intervalo es igual a 0, 51, implica que ningúnintervalo superará este valor (la suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Porlo tanto, el intervalo modal es el primer intervalo.

65

65.- Una colección de datos está formada por 7 números pares consecutivos. ¿Cuál es ladesviación estándar de estos datos?

A)?

2

B) 2?

2

C)c

1127

D)c

1417

E) No se puede determinar


SOLUCIÓN

Supongamos que los datos son:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7,Como la colección de datos está formada por números pares la media debe ser iguala x4. Entonces, la desviación estándar es igual a:

‡ “c

px1 ´ x4q2 ` px2 ´ x4q2 ` px3 ´ x4q2 ` px4 ´ x4q2 ` px5 ´ x4q2 ` px6 ´ x4q2 ` px7 ´ x4q2

7

‡ “c

p´6q2 ` p´4q2 ` p´2q2 ` p0q2 ` p2q2 ` p4q2 ` p6q2

7

‡ “c

36 ` 16 ` 4 ` 0 ` 4 ` 16 ` 367

‡ “c

36 ` 16 ` 4 ` 0 ` 4 ` 16 ` 367

66

66.- Las notas de Andrea en Matemática son las siguientes:5 ´ 6 ´ 7 ´ 6 ´ 6¿Cuál es la varianza de sus notas?

A) 12

B) 15

C)c

15

D)c

25

E) 25


SOLUCIÓN

Determinemos la media de las notas:x “ 5 ` 6 ` 7 ` 6 ` 6

5x “ 30

5x “ 6Determinemos ahora la desviación estándar:‡

2 “ p5 ´ 6q2 ` p6 ´ 6q2 ` p7 ´ 6q2 ` p6 ´ 6q2 ` p6 ´ 6q2

5‡

2 “ p´1q2 ` 02 ` 12 ` 02 ` 02

5‡

2 “ 1 ` 0 ` 1 ` 0 ` 05

‡2 “ 2

5

67

67.- La variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media igual a 5y desviación estándar igual a 0, 25. ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias sigueuna distribución normal de media igual a 0 y desviación estándar igual a 1?

A)X ´ 1

45

B) X ´ 54

C) 5X ` 4D) 4X ´ 6E) 4X ´ 20


SOLUCIÓN

Si una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media igual a µ

y desviación estándar igual a ‡, la variable aleatoria X ´ µ

‡sigue una distribución

normal de media igual a 0 y desviación estándar igual a 1.Por lo tanto, la siguiente variable aleatoria sigue una distribución normal de mediaigual a 0 y desviación estándar igual a 1:X ´ 50, 25 “ X ´ 5

14

“ 4X ´ 20

68.- En un campeonato de fútbol participarán 9 equipos. Si los equipos jugarán todoscontra todos, ¿cuántos partidos se disputarán en total?

A) 32B) 36C) 64D) 72E) 81


SOLUCIÓN

El enunciado propone 9 equipos y la cantidad de partidos que se disputará de talmodo que cada grupo juege contra todos. De esta forma, se tiene:

8 ` 7 ` 6 ` 5 ` 4 ` 3 ` 2 ` 1 “ 36

68

69.- Una colección de datos esta compuesta por 3 números enteros consecutivos. Sepuede determinar el mayor de los números si se sabe que:(1) la media es igual a 6.

(2) la desviación estándar es igual ac

23 .



SOLUCIÓN

Supongamos que los datos son a ´ 1, a y a ` 1.(1) Si la media es igual a 6, entonces:x “ a ´ 1 ` a ` a ` 1

3 “ a “ 6Esto permite determinar el valor de a y, por lo tanto, también a ` 1.(2) Determinemos la desviación estándar:

‡ “c

pa ´ 1 ´ aq2 ` pa ´ aq2 ` pa ` 1 ´ aq2

3

‡ “c

p´1q2 ` 02 ` 12

3

‡ “c

23

Es decir, la desviación estándar de tres números enteros consecutivos siempre es

igual ac

23 . Por lo tanto, (2) no nos entrega información.

69

70.- En un festival de música popular los niños y los invitados no pagan entrada. Asis-tieron 1.000 personas a galería, de las cuales 200 fueron niños y 250 a platea, de lascuales 50 fueron invitados. Si se escoge a una persona al azar, ¿cuál es la probabi-lidad de que haya entrado gratis al evento?

A) 0, 1B) 0, 2C) 0, 25D) 0, 5E) 0, 75


SOLUCIÓN

200 niños + 50 invitados = 250 personas que entran gratis, entonces:50 personas gratis / 1250 total de asistentes = 1/5esto es, la probabilidad de que al escoger a alguien al azar y esta peronsa hayaentrado gratis al concierto es de 20 %.

70

71.- El gráfico representa la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función de probabilidadacumulada de la variable aleatoria discreta X?

A)

B)

C)

D)

E)


SOLUCIÓN

La alternativa correcta es C, puesto que muestra la probabilidad acumulada deuna variable aleatoria discreta.

71

72.- La variable aleatoria discreta X se define como la suma que se obtiene al lanzardos dados. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I. El recorrido de X es el conjunto de todos los números enteros menores que 13.II. P pX “ 2q “ P pX “ 12q.III. La varianza de X es igual a 0.



SOLUCIÓN

El recorrido de X es t2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12u. Por lo tanto, la afirmación I. esfalsa.El número de casos favorables para que la suma sea igual a 2 es igual a 1: que encada dado se obtenga un üno". El número de casos favorables para que la suma seaigual a 12 también es igual a 1: que en cada dado se obtenga un "seis". Por lo tanto,la afirmación II. es verdadera.Como X puede tomar más de un valor su varianza es distinta de 0. Por lo tanto,la afirmación III. es falsa.

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73.- El recorrido de la variable aleatoria discreta X es el conjunto t´1, 0, 1u y sufunción de distribución de probabilidades se muestra en la siguiente tabla:

¿Cuál es la esperanza de X?

A) ´1B) ´0, 5C) 0D) 0, 5E) 1


SOLUCIÓN

EpXq “ 0, 25 ¨ ´1 ` 0, 5 ¨ 0 ` 0, 25 ¨ 1“ ´0, 25 ` 0 ` 0, 25“ 0

73

74.- Si se lanza 100 veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las vecessalga un “uno”?

A) 56

B) 56 ¨ 100

C) 65 ¨ 100

D)ˆ

15 ¨ 6

˙100

E)ˆ

56

˙100


SOLUCIÓN

Al lanzar una vez un dado, la probabilidad de que no salga un üno.es igual a 56 . Por

lo tanto, si se lanza 100 veces un dado, la probabilidad de que ninguna de las vecessalga un üno.es igual a:

ˆ56

˙100

74

75.- Dado un número irracional p cualquiera, ¿cuál es la probabilidad que dentro de losprimeros 100 dígitos de la parte decimal hayan 10 “ceros” ?

A) 110

B)ˆ

110

˙10

C)ˆ

10010

˙¨ 1

10

D)ˆ

10010

˙ ˆ110

˙10 ˆ910

˙90

E)ˆ

10010

˙ ˆ110

˙10 ˆ910

˙100


SOLUCIÓN

Sea X la variable aleatoria discreta equivalente al número de ceros que hay dentrode los primeros 100 dígitos de la parte decimal de un número irracional cualquiera.La probabilidad de que uno de los dígitos elegido al azar sea igual a 0 es igual a110 . Entonces: PpX “ 10q “

ˆ10010

˙ ˆ110

˙10 ˆ910

˙90

75

76.- Sea X una variable aleatoria discreta y F su función de distribución de probabilidadacumulada. Si F p1q “ 0 y F p4q “ 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdaderas?I. P pX<1q “ 0II. P pX>4q “ 0III. P pX “ 4q “ 1



SOLUCIÓN

Ya que la probabilidad acumulada hasta 1 es igual a 0 (F p1q “ 0), podemos deducirque P pX<1q “ 0.La afirmación I. es verdadera.Ya que la probabilidad acumulada hasta 4 es igual a 1 (F p4q “ 1), podemos deducirque P pX>4q “ 0.La afirmación II. es verdadera.Que F p4q “ 1 significa que la probabilidad acumulada hasta 4 es igual a 1, no queP pX “ 4q “ 1.La afirmación III. es falsa.

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77.- Sea X una variable aleatoria discreta tal que X „ Bpn; 0, 2q. Si la distribución deX es aproximada por una distribución normal con media igual a 10 y desviaciónestándar igual a ‡, ¿cuál es el valor de ‡?

A) 0, 8B) 2

C) 2?

2

D) 100?

2E) 50


SOLUCIÓN

Una distribución normal Bpn, pq se puede aproximar mediante una distribuciónnormal Npnp,

anpp1 ´ pqq. Entonces:

p “ 0, 2np “ 10‡ “

a10p1 ´ 0, 2q

‡ “ ?10 ¨ 0, 8

‡ “?

8‡ “ 2

?2

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78.- Sea la variable aleatoria continua X cuyo recorrido son todos los números realespertenecientes al intervalo r2, 6s. Si la función de distribución de probabilidadcorresponde a la gráfica, ¿cuál es el valor de k?

A) 14

B) 12

C) 1

D) 34

E) 38


SOLUCIÓN

El area gris debe ser igual a 1. Por lo tanto:4k

2 “ 12k “ 1k “ 1

2

78

79.- La estatura de un grupo de personas se modela con una distribución normal demedia igual a 1, 6 m y desviación estándar igual a 0, 1 m. Si se escoge al azar a unapersona de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que mida menos de 1, 8 m?

A) 0, 841B) 0, 875C) 0, 9D) 0, 975E) 0, 977


SOLUCIÓN

Sea X la variable aleatoria continua correspondiente a la estatura de una personadel grupo escogida al azar. Entonces:P pX § 1, 8q “ P

ˆX ´ 1, 6

0, 1 § 1, 8 ´ 1, 60, 1

˙

“ P

ˆZ § 0, 2

0, 1

˙

“ P pZ § 2q

En la tabla podemos observar que P pZ § 2q “ 0, 977.Entonces, la probabilidad de que una persona escogida al azar mida menos de 1, 8m es igual a 0, 977.

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80.- En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Se puede determinar la probabilidadde extraer una bolita negra si se sabe que:(1) si se extrae una ficha al azar sin reposición y, luego, una segunda, la probabilidadde que ambas sean negras es igual a 0, 36.(2) si se extrae una ficha al azar sin reposición y esta es negra y, luego, una segunda,la probabilidad de que esta última sea negra es igual a 0, 72.



SOLUCIÓN

Definamos los siguientes eventos respecto del experimento de extraer dos fichas sinreposición de la bolsa.:A: la primera ficha extraída es negra.B: la segunda ficha extraída es negra.Entonces:P pA X Bq “ P pB{Aq ¨ P pAqP pAq “ P pA X Bq

P pB{AqLo que buscamos es el valor de P pAq.El valor de P pA X Bq se otorga en (1). El valor de P pB{Aq se otorga en (2).Por lo tanto, es necesario saber (1) y (2).

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Ensayo Matemática - Versión Profesor - 387810correccionpsust.cl/mat_pauta_6oct2018.pdf · 1. Las ﬁguras que aparecen en el ensayo son solo indicativas. 2. Los gráﬁcos que se