JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA - Ecoe Ediciones...JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas

JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA

Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resulta-dos originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuacio-nes diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira.mail: [email protected].

JUAN EDUARDO BRAVO BOLÍVAR

Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira. Especial-ista en Instrumentación Física de la Universi-dad Tecnológica de Pereira. Posee estudios de posgrado en Ingeniería Eléctrica y en Enseñanza de las Matemáticas. Profesor asistente de la Universidad Tecnológica de Pereira. Desde 1995 ha orientado los cursos de métodos y análisis numérico. E-mail: [email protected]

FERNANDO MESA

Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: [email protected]

CALCULO INTEGRAL EN UNAVARIABLE

Jose Rodrigo Gonzalez G.

Profesor asociado

Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias Basicas

Universidad Tecnologica de Pereira

Juan Eduardo Bravo B.Profesor asistente




Fernando Mesa

Profesor titular




2012

CONTENIDO

Prefacio 1

1 Integral Indefinida 31.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . 191.5 Sobre las integrales que no se pueden expresar en fun-

ciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 Tecnicas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.1 Integracion de varias clases de funciones con ayu-da de transformaciones elementales . . . . . . . 33

1.6.2 Dos formulas de reduccion de orden . . . . . . . 41

i

1.6.3 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.4 Integrales que se llevan a racionales . . . . . . . 52

1.6.5 Funciones racionales de x y√ax2 + bx+ c . . . 60

1.6.6 Integral de funciones irracionales . . . . . . . . 66

1.6.7 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.7 Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Integral Definida 81

2.1 Notacion sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.2 Integral definida como lımite desumas integrales, propiedades yrelacion con la integral indefinida . . . . . . . . . . . . 86

2.3 Interpretacion geometrica de la integral definida . . . . 88

2.4 Formula de Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.5 Propiedades elementales de la integral definida . . . . . 91

2.6 Sustitucion en integrales definidas . . . . . . . . . . . . 93

2.7 Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.8 Integral definida con lımite superior variable . . . . . . 95


3 Aproximacion de la Integral 101

3.1 Regla del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3 Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


4 Aplicaciones de la Integral Definida 109

4.1 Evaluacion de areas de figuras planas . . . . . . . . . . 109

4.2 Area en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3 Volumenes de solidos con seccionconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4 Volumenes de solidos de revolucion . . . . . . . . . . . 122

4.5 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Area de una superficie de revolucion . . . . . . . . . . . 135

4.7 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


II

5 Sucesiones y Series 1535.1 Sucesiones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.1.1 Lımite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . 1545.2 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . 1565.2.2 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2.3 Condicion necesaria para la convergencia de una

serie. Serie armonica. . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.4 Criterios suficientes de convergencia . . . . . . . 165

5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.3.1 Convergencia de una serie de potencias . . . . . 1825.3.2 Intervalo de convergencia y radio de

convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.3.3 Expansion de funciones en series

de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3.4 Expansion de algunas funciones elementales en

series de Taylor (Mclaurin) . . . . . . . . . . . . 1925.4 Ejercicios del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6 Apendices 2056.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2 Coordenadas y graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.2.1 Lugares geometricos . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.2 Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.2.3 Rotacion de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.3 Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 2236.3.1 Relacion entre las coordenadas rectangulares y

polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.3.2 Grafica de ecuaciones en

coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 2256.3.3 Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . 242

6.4 Ejercicios de los apendices . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7 Respuestas 249

III

PREFACIO

Este texto es el fruto de muchos anos de esfuerzo y dedicacion dequienes hoy en dıa entregamos a la comunidad academica este mate-rial. Su proposito inicial es el de servir como soporte a los cursos dematematicas II que se ofrecen en los distintos programas de ingenierıasy tecnologıas, ası como apoyar aquellos programas en donde se estudieel calculo integral en una variable.

Tambien esperamos que sea de gran utilidad para aquellos estudi-antes de licenciaturas en matematicas y fısica que pudieran necesitaren un principio el conocimiento de las tematicas que aquı se tratan,sin caer en el formalismo matematico y llegar a la conceptualizacionde una manera mas practica.

El material que estamos presentando se compone de seis capıtulos,cada uno con su respectiva base teorica, un buen numero de ejemplosy un capıtulo final, el septimo, con respuestas y sugerencias. El textoposee un desarrollo logico y secuencial, ameno y muy facil de leer. Elprimer capıtulo empieza con una breve introduccion a la historia del

1

Calculo diferencial e integral, la nocion de la diferencial de una funcionen una variable, y algunas aplicaciones, ademas se introduce el concep-to de integral indefinida y las principales tecnicas de integracion. Enel segundo capıtulo se estudia la integral definida como un lımite dela suma de Riemann, el teorema fundamental del calculo, entre otros.En el tercer capıtulo se utiliza la geometrıa para aproximar integralesdefinidas. En el cuarto capıtulo se analizan algunas aplicaciones talescomo, areas, volumenes de solidos, longitud de arco, areas de super-ficies de revolucion e integrales impropias. En el quinto capıtulo seestudian las sucesiones, las series numericas y funcionales con sus apli-caciones. En el sexto capıtulo (apendices) se estudian algunas formasindeterminadas, coordenadas y lugares geometricos y se presenta unaintroduccion sencilla a las coordenadas polares. En cada capıtulo sedan los conceptos fundamentales, definiciones y teoremas con sus re-spectivos ejemplos, se proponen algunos ejercicios que serviran parafortalecer y asimilar el material propuesto. Muchos de estos ejerciciosposeen su respectiva respuesta que aparece al final en el capıtulo siete.Por ultimo, se da la bibliografıa complementaria al texto.

Jose Rodrigo Gonzalez Granada.

2

1 Integral Indefinida

1.1 Introduccion

Las matematicas se han desarrollado y aun continuan haciendo-lo influenciadas por el entorno fısico, haciendo necesario implementarnuevos aparatos matematicos para disenar “modelos matematicos”quesimulen este entorno. Como todas las demas ciencias, las matematicassurgieron de las necesidades practicas de las personas. Las matematicasque se denominan elementales y se estudian en las escuelas y colegiosse formaron hace mucho tiempo y correspondıan a las primeras necesi-dades practicas; la caracterıstica de ellas es que se basan en valoresconstantes. El gran desarrollado que obtuvieron las ciencias naturalesen los siglos XVI-XVII conllevo al estudio de fenomenos y procesos convalores variables. La practica obligo a las matematicas a replantearseen forma fundamental, es decir, encontrar la forma de estudiar es-tos valores variables tales como, la velocidad y la aceleracion. Las

Capıtulo 1 Integral Indefinida

matematicas elementales -las matematicas de valores constantes- nopudieron resolver este tipo de problemas, y se hizo necesario fundaruna nueva rama de las matematicas con nuevos conceptos y nuevasformas de investigacion. Esto se logro como resultado de la ardua inves-tigacion durante los siglos XVI-XVIII. Ası, para cubrir los fenomenosde movimiento, en las matematicas se introdujo el concepto de “valorvariable”. El estudio del movimiento de un cuerpo conllevo al estudiode la razon de cambio de valores variables. Esto a su vez condujo a in-troducir y posteriormente a estudiar nuevos conceptos como la derivaday la diferencial. De esta manera se formo el calculo diferencial comolas matematicas de valores variables.

La busqueda de un metodo general para evaluar areas de figurasplanas, ası como volumenes, superficies, longitudes de arco y la solucionde otros tipos de problemas llevo a la formacion del calculo integral.El exito mas importante de los matematicos de los siglos XVI-XVII,consistio en que se concibio al calculo integral como el proceso in-verso en relacion con el problema del calculo diferencial. Este hechofundamental fue posible cuando el area de una figura, las superficie yel volumen de solidos se consideraron como valores variables. De estaforma el concepto de los valores variables jugo tambien aquı un papelmuy importante. Como principales fundadores del calculo diferencial eintegral se encuentran Newton y Lebnitz, pero no se puede pensar quesolo ellos crearon esta rama tan importante de las matematicas. En lossiglos XVIII-XIX se desarrollo el analisis matematico, el cual conllevaa su vez a formacion de nuevas ramas de las matematicas. Se puedeconsiderar que el primer libro de calculo diferencial e integral se debeal gran academico de la academia de Sankt-Petersburg Leonard Eu-ler. En 1748 con su libro “Introductio en Analysin Infinitorum”dio elimpulso necesario para el desarrollo de las ciencias matematicas mod-ernas. d’Alembert en una de sus cartas a Lagrange denomino a Eulercomo ”ese diablo”, expresando con esto que lo realizado por Euleres superior a la razon humana. Laplace dijo ”Lean a Euler, leanlo-el es nuestro guıa”. Una funcion muy importante en el desarrollo delanalisis matematico se debio al academico de Sank-Petersburg Ostro-gradskii, que obtuvo resultados muy importantes en diferentes ramasde las matematicas y en especial, en las ecuaciones integrales. Uno delos conceptos mas importantes en el analisis matematico -el concepto

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Otros títulos de interés:

∙ Estadística básica aplicada, Ciro Martínez Bencardino

∙ Estadística y muestreo, Ciro Martínez Bencardino

∙ Fundamentos de estadística. Para la investigación en educación, Mireya Ardila Rodríguez

∙ Álgebra lineal y programación lineal Francisco Soler, Fabio Molina y Lucio Rojas.

∙ Didáctica de las matemáticas Robinson Castro Puche y Rubby Castro Puche.

∙ Fundamentos de matemática Francisco Soler Fajardo y Reinaldo Nuñez.

∙ Matemáticas financieras aplicadas Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas financieras empresariales Jhonny de Jesús Meza Orozco

∙ Matemáticas para informática Ismael Gutiérrez García.

Cálculo integralen una variable

Esta obra es resultado del compromiso de los autores con el formalismo que requieren las matemáticas y la simplicidad en la exposición que resulta de muchos años de experiencia en la práctica pedagógica. Se compone de siete capítulos, los seis primeros con su respectiva base teórica y un buen número de ejemplos, y un último capítulo con un extenso número de respuestas y sugerencias. El lector encontrará en cada uno de los temas que se exponen un desarrollo lógico y secuencial. Partiendo de una breve historia del cálculo diferencial, el concepto de integral indefinida y las principales técnicas de integración. Presentamos los teoremas más importantes del cálculo integral en una variable real hasta llegar a diversas aplicaciones de gran uso en los cursos para ingenieros y matemáticos.

Área: Ciencias ExactasColección: Matemáticas

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