Jose Nicolas Fernandez Garcia

8/17/2019 Jose Nicolas Fernandez Garcia

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CENTRO DE INVESTIGACION Y

ESTUDIOS AVANZADOSDepartamento de F́ısica.

ESTUDIO DE RESONANCIAS YTRANSFORMACIONES DE

DARBOUX-GAMOWEN MECANICA CUANTICA.

TESISPARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

JOSE NICOLAS FERNANDEZ GARCIA

MEXICO, D.F. SEPTIEMBRE DE 2008


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Deseo agradecer en forma especial al Dr. José Oscar Rosas Ortiz por su afectuosacolaboración y excelente dirección en la elaboración de esta tesis.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnoloǵıa (CONACyT) por el apoyo econ´omico

recibido para hacer posible la obtenci ón de este grado académico.

Al Centro de Investigací on y de Estudios Avanzados (Cinvestav) por brindarme las

herramientas necesarias para continuar avanzando en el ´ ambito profesional.

A mis sinodales por su amable trato y comentarios respecto a esta tesis, Doctores Alfonso

Mondrag ón Ballesteros, Axel Schulze-Halberg, Mauricio Carbajal Tinoco, Gabriel L´ opez

Castro y Gabino Torres Vega.


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A

mi esposa y a mi hijo,

por estar conmigo y ser mi principal aliciente para seguir adelante.

A

mi madre y a mi hermano David

que siempre me han apoyado,

por su cariño y comprensión muchas gracias.A

mi cuñada Nora y a mis dem ás hermanos Car, Lupi, To˜no y Jorge.


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Contenido

1 Introducci´ on 1

2 Transformaciones de Darboux-Gamow 7

2.1 Factorizaci ón y transformaciones de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Más allá del método de factorizacíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Transformaciones de Darboux-Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ópticos . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Combinacíon Darboux-Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales 31

3.1 Tratamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Comportamiento asint́ otico de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Pozo cuadrado unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Enerǵıas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Método Gr áco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3 Método anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.4 Distribucíon de Fock-Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.5 Dos clases de funciones de transformación . . . . . . . . . . . . . . 44

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iv CONTENIDO

3.5 Barrera cuadrada unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6 Nuevos potenciales reales e imaginarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Pozos y barreras radiales 55

4.1 Importancia de la amplitud de dispersí on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 El conjunto fundamental de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2 Estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.3 Estados de dispersíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Amplitud S (k) y estudio de resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Estados de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Deformaciones de Darboux-Gamow para potenciales radiales . . . . . . . . 64

4.4 Pozos y barreras radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.1 Funciones de Gamow-Siegert para un pozo radial . . . . . . . . . . 67

4.4.2 Estados de Gamow para la barrera radial . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Potenciales unidimensionales truncados 81

5.1 Tratamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 Estados de dispersi ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1 Pozo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Discontinuidad contra resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.1 Espectro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.2 Espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Escalamiento complejo y una alternativa WKB 103

6.1 Aspectos básicos del escalamiento complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Aplicaciones del escalamiento complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 El método BBJS y el potencial de Sukumar . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.4 Método WKB para el estudio de resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4.1 Método WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


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CONTENIDO v

6.4.2 Método WKB extendido para el estudio de resonancias. . . . . . . . 118

7 Conclusiones y Perspectivas 125

Bibliograf́ıa 131


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vi CONTENIDO


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Resumen

Las transformaciones de Darboux son una herramienta poderosa en la soluci´ on de ecuaciones

diferenciales. Aplicadas a la ecuaci´ on de Schr ödinger permiten la construcci´ on de nuevos poten-

ciales exactamente solubles. En este trabajo combinamos el método de Darboux con funciones

del tipo Gamow-Siegert (GS) para construir potenciales complejos de corto alcance cuyo es-

pectro de enerǵıas es real. Los nuevos potenciales se comportan como un dispositivo ´ optico

que emite y absorbe ondas de luz simult´ aneamente. El método es aplicado a potenciales trunca-

dos (caracterizados por una funci´ on suave y un parámetro de corte) tanto lineales como radiales.

Las funciones GS son soluciones de la ecuación de Schr¨ odinger con eigenvalor complejo que

satisfacen la condición de onda puramente saliente y que representan estados de resonancia dela enerǵıa. Aqúı mostraremos que las discontinuidades (truncamiento) de un potencial, cuando

se presentan por pares, inducen la presencia de resonancias. También mostraremos el efecto de

estas discontinuidades en la parte discreta del espectro.

Para el estudio de resonancias asociadas con potenciales suaves en todo el dominio se intro-

duce una generalización del método WKB. Aplicando este método al potencial de Sukumar (que

es un potencial radial muy usado en f́ısica-qúımica) obtenemos resultados que son comparables

con los que se obtienen del escalamiento complejo.

Finalmente discutimos algunos modelos adicionales donde nuestro método representaŕıa una

simplicaci ón en el cálculo y en el estudio de resonancias.


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ii CONTENIDO


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Caṕıtulo 1

Introducción

A principios del siglo pasado se hab́ıan acumulado una serie de experimentos cuyos resul-

tados no se pod́ıan explicar con las teoŕıas existentes. Las leyes fı́sicas conocidas hasta

entonces resultaron aplicables solamente a un cierto tipo de sistemas, y bajo condiciones

muy especı́cas. Entonces se tuvieron que abandonar muchas ideas y cambiar principios

que se creian bien establecidos. En particular, fue necesario convencerse de que la f́ısica

de sistemas tan peque ños como los átomos y los electrones no se ajusta a la mec ánicaNewtoniana. El primer paso para el establecimiento de la nueva teoŕıa fue determinar

los conceptos que deb́ıan ser modicados e identicar cuales seŕıan los sustitutos a estas

ideas. Aśı, el postulado m´as importante result´o ser la ecuación de Schrödinger, que en la

representaci ón de coordenadas es una ecuaci ón diferencial lineal de segundo orden en r y

de primer orden en t:

− 2

2m∇2 + V ( r) ψ( r, t ) = i

∂ ∂t

ψ( r, t ). (1.1)

La ecuación (1.1) es uno de los pilares de la f́ısica contemporánea y corresponde a la “ley

dinámica” que obedecen los sistemas cu ánticos a bajas enerǵıas. Con las funciones de

onda ψ( r, t ) se calculan las densidades de probabilidad ρ( r, t ) = |ψ( r, t )|2 que le dan uncarácter predictivo a la teoŕıa cu´ antica. De esta manera la construcci´ on de las soluciones

de la ecuación (1.1) que correspondan a funciones de área nita tiene enorme vaĺıa para

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2 1. Introduccí on.

el estudio de los sistemas cuánticos. La concordancia entre las predicciones te´ oricas de la

mecánica cuántica y los resultados experimentales es increiblemente alta. De hecho, hastael momento ningún experimento ha puesto en entredicho la efectividad de esta teoŕıa.

A lo largo del tiempo se ha hecho un esfuerzo notable para establecer diversos criterios

de aproximaci ón en la obtención de soluciones a la ecuación (1.1). Entre los más cono-

cidos se encuentran el método variacional y el método semicl´ asico WKB. Por otro lado,

el método de factorización se ha mantenido como una herramienta muy poderosa para

construir soluciones exactas. Este método se introdujo en mec´ anica cuántica para calcularel espectro discreto de enerǵıas del oscilador armónico. Los operadores que factorizan al

Hamiltoniano del oscilador lineal se conocen como operadores de creaci ón y de aniquilación

y son tales que mapean soluciones entre niveles consecutivos del espectro (a un estado

más energético si aplicamos el operador de creaci ón y a un estado menos energético si

aplicamos el operador de aniquilaci ón). Los antecedentes históricos indican que Fock fue

el primero en usar la factorizaci ón del oscilador en términos del producto del aniquilador

y del creador de cuantos de luz. La primera aplicaci ón fue entonces en la cuantizaci ón

del campo electromagnético ‘a la Fock’ (∼1928). Posteriormente, el método aparece enel libro de Dirac (desde la primera edici ón en 1930) como una curiosidad matem ática que

permite determinar las eigenfunciones y el espectro del oscilador armónico (ver Capı́tulo

V, pp 86-88 de [1]). Un poco después, en 1940, Schrödinger usa el método en la soluci ón

de su famosa ecuación para los casos del oscilador y el átomo de Hidr ógeno [2].

Con el art́ıculo de Infeld y Hull en 1951 [3] la factorización extendi ó sus dominios

a una gran diversidad de potenciales al grado que sus aplicaciones siguen vigentes yabarcan temas como supersimetŕıa, teorı́a de solitones, simetrı́as PT y Hamiltonianos no

Hermitianos (la referencia [4] es la revisión más reciente de este t ópico). La razón de la

aplicabilidad de este método subyace en un teorema matem´ atico presentado por Darboux

en 1882 [5]. Dicho teorema permite mapear soluciones entre dos ecuaciones diferenciales

de segundo orden, lo que facilita la investigaci ón de problemas exactamente solubles en


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mecánica cu ántica (una explicación más detallada ser á dada en el Caṕıtulo 2).

En años recientes se han hecho aportes relevantes en F́ısica-Matem´ atica usando este

método. Aunque la lista de investigadores que desarrollan trabajos en este rubro es larga,

entre los autores se pueden identicar nombres, grupos y/o colaboraciones importantes.

Por citar algunos tenemos a la escuela Rusa donde se encuentran autores como A.A. An-

drianov, V. Spiridonov, V.G. Bagrov y B.F. Samsonov. En la escuela India podŕıamos

incluir a C.V. Sukumar, A. Khare, U. Sukhatme y a B. Bagchi. En los dos casos anteriores

el término “escuela” se reere m ás a un estilo que a un trabajo hecho en colaboración.Entre las colaboraciones relevantes podemos mencionar a la del grupo italiano integrado

por F. Cannata, G. Junker y J. Trost, o la del grupo mexicano donde participan estudi-

antes e investigadores del Departamento de F́ısica del Cinvestav con colegas del Depar-

tamento de F́ısica Te´ orica de la Universidad de Valladolid (España) y del Departamento

de Matem áticas del CRM en la Universidad de Montreal (Canad´ a). Además, entre la

lista se pueden encontrar autores como E.D. Filho, R. Junker, C. Quesne, A.A. Stalhofen

y D. Baye. Los detalles sobre y las aportaciones que ha hecho cada uno de los grupos

mencionados se puede encontrar en la referencia [4].

Muy recientemente se ha extendido la aplicabilidad del método para incluir eigen-

valores complejos de la enerǵıa [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20].

Los resultados incluyen sistemas como el oscilador armónico [8] y el átomo de Hidr ógeno

[9]. Estas investigaciones han dado lugar a la construcción de operadores no Hermitianos

que admiten espectro real. A diferencia del método de la simetŕıa-PT investigada por

C. Bender, M. Znojil y G. Lévai, entre otros, los potenciales complejos que se puedengenerar por medio de transformaciones de Darboux no dependen de las simetŕıas del

problema. Por otro lado, el método de factorizaci´ on es tan exible que incluso se pueden

usar funciones divergentes para generar las transformaciones de Darboux. En particu-

lar, las funciones que describen sistemas inestables (donde aparecen resonancias entre sus

estados energéticos) resultan de mucha utilidad para investigar una nueva clase de Hamil-


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tonianos no Hermitianos. Hasta donde sabemos, salvo las referencias [10, 14, 17, 18, 20]

y los aportes de esta tesis ya publicados [11, 15, 16, 19], no hay reportes del uso de es-tados resonantes para generar transformaciones de Darboux. A la combinaci´ on de las

transformaciones de Darboux con las funciones de Gamow-Siegert les llamaremos trans-

formaciones de Darboux-Gamow .

Los eigenvalores complejos del operador de ‘enerǵıa’ H fueron estudiados por primera

vez en mecánica cuántica por G. Gamow en sus art́ıculos concernientes al decaimiento

alfa [21]. En un modelo simple, un núcleo pesado está compuesto en parte por partı́culasalfa (núcleos de 42He) que interact úan con el resto del núcleo via un pozo (obedeciendo

la presencia de fuerzas nucleares) y una barrera de potencial (debida, en parte, a fuerzas

electrost áticas). La primera de estas interacciones genera estados ligados en las partı́culas

y la segunda las mantiene connadas dentro del núcleo. No obstante, las part́ıculas tienen

una pequeña probabilidad de tunelear la barrera de potencial en lugar de permanecer en la

región del pozo. Fuera de la región del pozo ellas tienen un tiempo de vida nito. De este

modo, las part́ıculas alfa en un núcleo deben ser representadas por estados cuasi-ligados

(resonancias). Para tales estados se cumple que, al tiempo t = 0, la probabilidad deencontrar a la part́ıcula dentro del pozo es uno y, en tiempos posteriores, la probabilidad

decrece con el tiempo. No mucho tiempo después del trabajo de Gamow, V.A. Fock de-

mostr ó que la ley de decaimiento de un estado cuasi-ligado depende s ólo de la función de

distribución de energı́as del estado [22]. En su libro de mecánica cuántica, Fock construye

explı́citamente esta distribuci´ on y encuentra que tiene forma de una campana de ancho

Γ, centrada en una enerǵıa E . Varios años después G. Breit y E.P. Wigner obtienen el

mismo comportamiento para la distribuci´ on de enerǵıas asociada con la sección transver-

sal de colisiones de neutrones lentos, raz ón por la que dicha distribuci ón suele llamarse

de Breit-Wigner [23].

Las resonancias pueden denirse como eigensoluciones ψ del Hamiltoniano H con

eigenvalor complejo . Este último corresponde a un polo de primer orden de la ma-


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discreto de este sistema.

En el Caṕıtulo 6 presentamos una generalizaci´ on del método de aproximación semiclásica

WKB para calcular las enerǵıas de resonancia de potenciales radiales suaves. Como sabe-

mos, este método es bastante aceptable para c´ alcular el espectro de enerǵıas pero falla

en la obtenci ón de las funciones de onda. La razón es que con este método las funciones

de onda no quedan bien denidas en los puntos de retorno clásico. Aśı que, una vez que

calculemos las enerǵıas de resonancia mediante nuestra generalizaci´ on del método WKB,

procederemos a obtener las soluciones de la ecuación de Schrödinger en forma numérica.

También discutiremos los pormenores del método de escalamiento complejo, de uso fre-

cuente en f́ısica-qúımica para investigar resonancias en potenciales radiales. Aplicaremos

este y nuestro método al potencial reportado por R.A. Bain, J.N. Barsdey, B.R. Junker

y C.V. Sukumar en la referencia [26] como un caso de prueba para vericar que ambos

métodos producen resultados equivalentes.

En cada uno de los capı́tulos 3-6 se construyen las deformaciones de Darboux-Gamow

(de primer y segundo orden) correspondientes. En el primer caso obtenemos potenciales

complejos que son isoespectrales al potencial de partida o bien incluyen un eigenvalor com-plejo cuya función de onda es de cuadrado integrable. La parte imaginaria de los nuevos

potenciales cambia constantemente de signo por lo que se comportan como un dispositivo

óptico que emite y absorbe luz al mismo tiempo. En el caso de las transformaciones de

Darboux de segundo orden (vistas como una iteración de dos transformaciones de primer

orden) obtenemos potenciales reales cuando la segunda función de transformaci´ on ϕ¯ está

asociada con el complejo conjugado de la primera constante de factorización .

Finalmente, en el Caṕıtulo 7 presentamos algunas conclusiones y perspectivas (en el

corto y mediano plazo) del material contenido en este trabajo.


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Caṕıtulo 2

Transformaciones deDarboux-Gamow

Para sistemas con energı́a E bien denida la función ψ es separable: ψ( r, t ) = ϕ( r)χ (t).

Aśı, la ecuaci ón (1.1) se desacopla en una parte temporal cuya solución es χ (t) = e−iEt/

y en una parte espacial que se puede escribir como

Hϕ( r) ≡ −

2m∇2 + V ( r) ϕ( r) = Eϕ( r). (2.1)

En otras palabras, el problema de calcular las soluciones de la ecuación de Schrödinger

(1.1) para sistemas estacionarios se reduce a resolver la ecuación de eigenvalores (2.1).

Para la correcta identicación de la densidad de probabilidad ρ( r) se requiere imponer la

condición de normalizaci ón

|ϕ( r)

|2 d3r = 1, (2.2)

que corresponde al hecho de que la suma de todas las probabilidades debe ser igual a

uno. A las funciones ϕ que satisfacen la condición (2.2) se les clasica como de cuadrado

integrable. Es del todo interesante resaltar que la condicí on de normalizaci ón es muy

restrictiva y hace que la tarea de encontrar soluciones a la ecuaci´ on (1.1) sea muy dif́ıcil.

De hecho, sólo existen unos cuantos sistemas que admiten solución exacta. Entre ellos se

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8 2. Transformaciones de Darboux-Gamow

pueden mencionar al oscilador armónico, al átomo de hidrógeno y algunas interacciones

modeladas por potenciales muy particulares como el de P¨ oschl-Teller.

Con la formalización de la teoŕıa aparecieron también los primeros métodos de soluci´ on.

En partı́cular, el método de factorizaci´ on introducido por Vladimir A. Fock (1928), Paul

A. M. Dirac (1930) y Erwin Schrödinger (1940), ha mostrado tanto su enorme utilidad

como su vigencia a lo largo de todo el siglo pasado y lo que va de este. Inicialmente

se le introdujo como una forma elegante de resolver el problema espectral del oscilador

arm ónico cuántico [1, 2] pero ya antes hab́ıa resultado fundamental en la cuantizaci´ on

de los campos electromagnéticos (ver [22] y referencias alĺı citadas). La idea involucrada

es bastante simple y consiste en notar que el operador Hamiltoniano H puede expresarse

como el producto de dos operadores lineales, digamos a y b. Considerando que H es un

operador Hermitiano que corresponde a un operador diferencial de segundo orden en la

representaci ón de coordenadas (ver ecuaci ón (2.1)), lo más sencillo es pedir que a y b sean

mut úamente adjuntos (i.e., b = a†).

En el caso del oscilador unidimensional a y a† resultan ser los operadores de aniquilaci óny de creación que se estudian en los cursos convencionales de mecánica cuántica. Equipa-

dos con la interpretación de Fock, estos operadores han mostrado su utilidad en la de-

scripción de la interacci ón de la materia con la radiaci ón electromagnética, lo que dio

lugar a un sinf́ın de aplicaciones tecnológicas, además de avances teóricos en diversas ra-

mas de la f́ısica contemporánea. A lo largo de este caṕıtulo discutiremos algunos de los

pormenores m ás importantes del método de factorizaci´ on y la estrecha relaci ón que éste

guarda con la transformación de Darboux, conocida por los matem áticos desde hace dos

siglos y que, gracias a sus recientes aplicaciones en f́ısica, ha “despertado” de un largo

letargo.


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2.1. FACTORIZACI ÓN Y TRANSFORMACIONES DE DARBOUX 9

2.1 Factorizaci´ on y transformaciones de Darboux

Por sencillez discutiremos el caso de problemas unidimensionales y trabajaremos en una

representaci ón libre de unidades. Con esto en mente el Hamiltoniano asociado con un

sistema sometido a la acci ón de un potencial V (x) se escribe

H = − d2

dx2 + V (x). (2.3)

Buscamos un par de operadores A, B que satisfagan la ecuaci ón

H = BA + , (2.4)

donde es una constante a determinar. Como H es Hermitiano se debe cumplir lo siguiente

A†B† = BA + 2i Im( ). (2.5)

El caso más sencillo consiste en escoger real y tomar operadores de factorizaci´on mut úamente

adjuntos, i.e., B = A†. Asumiendo que A y B son de primer orden podemos escribir

A = ddx

+ β (x), B = − ddx

+ β (x), (2.6)

donde z signica el complejo conjugado de z y β es una función a determinar. Intro-

duciendo (2.6) en (2.4) tenemos:

− + V (x) = −β (x) + |β (x)|2 −2i Im(β (x)) ddx

. (2.7)

Ası́ que Im( β ) = 0 y nuestro problema se reduce a resolver la siguiente ecuaci ón de Riccati:

−β + β 2 = V − (2.8)donde ∈

R y β es una función real. La ecuación (2.8) es, en términos generales, dif́ıcil de

resolver ya que siendo no lineal no existen teoremas de unicidad. Sin embargo, hay una

transformaci´on que permite conectar las soluciones de (2.8) con las de (2.1). Supongamos


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que u es solución estacionaria de la ecuaci ón de Schrödinger para el eigenvalor . Es decir,

u satisface

−u + V u = u. (2.9)Si queremos conectar (2.9) con (2.8) debemos reducir el grado de diferenciaci ón en la

primera ecuaci ón. Como (2.9) es lineal, esto se logra proponiendo una solucíon del tipo

u(x)∝eα (x) , donde α está por determinarse. La ecuación de Schrödinger nos lleva a

−α −(α )2

+ V = . (2.10)Comparando (2.10) y (2.8) notamos que β debe ser un factor integrante de u, es decir:

α(x) = x β (y) dy ⇒ u(x)∝e−R x β (y) dy . (2.11)La relación integral entre u y β dada por esta última ecuaci ón puede invertirse, aśı que

β (x) = − ddx

ln u(x) (2.12)

es una transformaci ón que mapea la ecuación de Riccati (2.8) en la ecuaci ón de Schrödinger(2.9). Con esto queda claro que uno puede trabajar con una o con otra ecuación indis-

tintamente. Es ilustrativo resaltar que la transformaci´ on (2.12) ya hab́ıa sido notada

por Fock en su tratado sobre mecánica cuántica [22], relacionando incluso la ecuaci ón de

Schrödinger con la de Riccati (ver pp 101). Sin embargo, no parece que Fock se hubiese

percatado de la riqueza escondida en esta simple relación.

Tenemos ya impuestas las condiciones para factorizar al Hamiltoniano H en la forma

(2.4). Asumamos ahora que conocemos al menos una soluci ón de (2.7) y que por tanto

tenemos un par de operadores de factorización A y B bien denidos. Si invertimos el

producto (2.4) llegamos a la siguiente expresi ón

AB + = − d2

dx2 + V (x) + 2 β (x) ≡ −

d2

dx2 + V (x) = H (2.13)


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2.1 Factorizaci´ on y transformaciones de Darboux 11

donde

V := V (x) + 2 β (x) (2.14)

es un nuevo potencial que da lugar a un Hamiltoniano H diferente del original siempre queβ (x) = constante. Si esto último no se cumple entonces H diere de H sólo formalmenteporque la presencia de la constante 2 β se reduce a denir una nueva posici ón para el cerode potencial.

La ecuación (2.14) genera una transformación de Darboux en el potencial inicial que,en términos generales, se entiende como una deformación. El enunciado original de Dar-boux puede escribirse como sigue 1:

• Sea φ(x ) una funci´ on que satisface −φ (x ) + [ V (x ) − ]φ(x ) = 0. Si existe θ(x ) tal que −θ (x ) + V (x )θ(x ) = 0 , entonces la funci´ on

φ = − ddx −

θθ

φ (2.15)

resuelve la nueva ecuaci´ on diferencial −φ + ( V (x ) − )φ = 0 , con

V (x ) = V (x ) + θ d2

dx 2θ−1. (2.16)

Un aspecto importante del método es que los Hamiltonianos H y H están entrelazados.Es decir, satisfacen las relacionesHA = AH, HB = B

H. (2.17)

Estas últimas expresiones se derivan f ácilmente de (2.4) y (2.13). Con esto es sencillo

construir las eigenfunciones de H si se conocen las de H y viceversa. Supongamos queϕE es solución de HϕE = EϕE , entonces1 El enunciado que presentamos aqúı est´ a tomado de la referencia [4] que, a su vez, se ciñe al trabajo

original de Darboux que aparece como la referencia [5] de esta tesis


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(AH )ϕE = A(HϕE ) = A(Eϕ E ) = E (AϕE )

= ( HA)ϕE = H (AϕE ). (2.18)Este último resultado muestra que AϕE es eigenfunción de H con eigenvalor E . Aún más,si ϕE está normalizada tendremos:

(AϕE , AϕE ) = (ϕE ,BAϕE ) = (ϕE ,ϕE )(E − ) = E − .Entonces escogemos ϕE = ( E − )−

1/ 2AϕE = cE AϕE . Las nuevas funciones también son

ortogonales entre sı́:

(ϕE , ϕE ) = cE cE (E −E )δ (E, E )donde δ (E, E ) es una delta de Dirac ó una delta de Kroneker dependiendo de que laetiqueta sea continua o discreta. De esta forma encontramos que el espectro de enerǵıas

Sp(H ) del nuevo Hamiltoniano incluye a todo el espectro de enerǵıas Sp( H ) del Hamil-

toniano inicial. Queda, sin embargo, un caso especial por denir. Sea ϕM una funciónortogonal a todo el nuevo conjunto {ϕE }, es decir:(ϕM , ϕE ) = cE (BϕM ,ϕE ) = 0 . (2.19)Como ϕE es arbitrario se debe cumplir que BϕM = 0. La solución es inmediata:ϕM (x) = cM eR

x β (y) dy = cM

u(x)

(2.20)

donde cM es una constante de integraci´on y hemos usado (2.11). De la ecuación (2.13) no-

tamos que H ϕM = ϕM . Entonces, si ϕM es de cuadrado integrable debe incorporarse alconjunto de eigenfunciones de H . De ser esta la situación tendremos Sp( H ) = Sp( H ) {}y diremos que H y H son casi-isoespectrales.


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2.2. TRANSFORMACIONES DE DARBOUX DE ORDEN SUPERIOR 13

A principios de los ochenta Edward Witten present´ o un modelo supersimétrico de la

mecánica cuántica como ejemplo ĺımite de lo que ocurre en teoŕıas de campo [27]. En dichaformulación se discute un Hamiltoniano matricial 2 ×2 que incluye un sector bosónico yuno fermiónico. En el caso más sencillo estos sectores involucran al par de Hamiltonianos

entrelazados H y H del oscilador lineal donde β = x (es decir, la función de transformaciónu es la función del estado base del oscilador). Un poco después Alexander Andrianov ysus colaboradores [7], además de Bogdan Mielnik [28], David J. Fernández [29] y Candadi

V. Sukumar [30] (entre otros) mostraron que usar la eigenfunci´ on del estado base para

transformar al operador de Schrödinger no fue un accidente. Más bien, se encontr ó que el

método tiene raı́ces m´ as profundas, directamente asociados con los resultados de Gustav

Darboux en el siglo XIX. La misma conclusión fue obtenida por M. Luban y D. L. Pursey

[31], quienes sugieren que todos los resultados derivados del método de factorización no

son más que aplicaciones del método de Darboux. Sin embargo, como se indica en [4],

esta última declaraci ón debe tomarse con cuidado ya que, aunque el teorema de Darboux

es punto común para una gran cantidad de resultados, fue el algoritmo de conmutaci´ on

derivado de la factorizaci ón lo que le dió un auge excepcional en el siglo XX.

2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior

En la sección anterior resolvimos el problema de expresar el Hamiltoniano de un determi-

nado sistema como el producto de dos operadores diferenciales de primer orden que son

mut úamente adjuntos. Como indicamos, esta factorizaci´ on es no sólo la más inmediata

sino la más sencilla de implementar. La clave fue asumir que conociamos al menos una

solución para la ecuaci ón de Riccati correspondiente. En términos generales la expresi´ on(2.8) representa una familia de ecuaciones si recordamos que es, en principio, arbitraria.

Desde luego, para hacer la transformación (2.14) debemos vigilar que el término 2 β no

agregue nuevas singularidades al potencial inicial V (x). A lo más, β deberá ser tal que su

derivada incluya singularidades en el mismo punto y del mismo tipo que aquellas que ya

pudiesen estar presentes en V (x). Por ello es que la mayoŕıa de la literatura suele reportar


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transformaciones con las funciones del estado fundamental como el ingrediente principal.

Como ya hemos mencionado, después de los traba jos sobre factorizaci´ on publicados en ladécada de 1980 qued ó claro que esta última restriccí on no es inamovible. A continuaci ón

indicamos los ingredientes fundamentales que se requieren para factorizar un Hamiltoni-

ano en términos de factores de orden superior.

Supóngase que conocemos al menos dos soluciones diferentes de (2.8), denotémoslas

por β (x, 1) y β (x, 2). Cada una de ellas corresponde a una soluci ón de (2.9) con eigen-

valor diferente, u 1 (x) y u 2 (x) respectivamente. Usemos β (x, 1) para hacer una primera

transformaci´on, tendremos

V (x, 1) = V (x) + 2 β (x, 1). (2.21)

Si ahora tomamos a V (x, 1) como el potencial de partida, una transformaci´ on equivalentea (2.21) se leeŕıa de la siguiente maneraV (x, 1, ) =

V (x, 1) + 2 γ (x, 1, ) (2.22)

donde γ (x, 1, ) debeŕıa ser soluci ón de una nueva ecuaci ón de Raccati:

−γ (x, 1, ) + γ 2(x, 1, ) = V (x, 1, ) − . (2.23)Nuestro problema ahora es resolver (2.23). Para ello usamos el algoritmo de diferenciasnitas reportado por el grupo mexicano en [32, 33, 34, 35]. Aśı, podemos escribir γ en

términos de las soluciones de (2.8):

γ (x, 1, ) = −β (x, 1) + Ω(x, 1, ) (2.24)donde

Ω(x, 1, ) := − 1

β (x, ) −β (x, 1). (2.25)

Con esto la ecuación (2.22) se reduce a


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2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior 15

V (x, 1, ) = V (x) + 2 ddx − 1β (x, ) −β (x, 1) . (2.26)El potencial V (x, 1, ) corresponde a una doble transformaci´on de Darboux implemen-tada con las soluciones u 1 (x) y u (x) de la ecuación de Schrödinger original. Obsérvesela simetŕıa del nuevo potencial con respecto a las constantes de factorizaci´ on V (x, 1, ) =V (x, , 1). Esto signica que, como resultado nal, da lo mismo hacer la primera trans-formación con 1 y la segunda con que operando primero con y luego con 1. Los po-

tenciales intermedios, sin embargo, no gozan de esa arbitrariedad ya que

V (x, 1) podrı́a

hacerse irregular en el sentido que involucra puntos singulares, o bien es V (x, ) quienpresenta esta anomaĺıa. La literatura referente a estas propiedades de las deformacionesde Darboux es vasta e incluye muchos resultados del grupo mexicano. Aśı que referimosal lector a los trabajos de revisi ón [4, 36, 37], donde se discuten a detalle los pormenores

técnicos correspondientes.

Lo importante aqúı, adem´ as del algoritmo de diferencias nitas (2.24)-(2.26), son

las relaciones algebraicas que satisfacen los operadores involucrados. Con una notaci´ on

autoconsistente tendremos:

Ak = ddx + β (x, k), Akl = ddx + γ (x, k , l),

H = − d2

dx 2 + V (x, k), H kl = −d2

dx 2 + V (x, k , l)(2.27)

donde k, l = 1, 2 son tales que k = l. Se tienen entonces las siguientes relaciones deentrelazamiento

H kAk = AkH, HB k = Bk H,H kl Akl = Akl H k , H kBkl = Bkl H kl .(2.28)

Por lo que el Hamiltoniano inicial H y el nal H kl también est´an entrelazadosH kl (Akl Ak) = ( Akl Ak)H, H (BkBkl ) = ( BkBkl )H kl . (2.29)


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El espectro de

H kl incluye la totalidad del espectro de H y puede incluso admitir los

nuevos niveles 1 y 2 si las funciones ϕM correspondientes son de cuadrado integrable.

Si denotamos por C al operador que resulta del producto Akl Ak tendremos que las eigen-

funciones de H kl se escriben comoϕkl (x) =

CϕE (x)

(E − k)(E − l) k, l = 1, 2, (2.30)mientras que las funciones faltantes son de la formaϕM ( k)∝

ukW (uk , u l) , k, l = 1, 2. (2.31)

Cabe mencionar que las transformaciones (2.14) y (2.26) representan una base para las

deformaciones de Darboux que se pueden generar en un potencial dado. Con nuestra

notaci ón, el potencial V (x, ) representa la deformaci ón de Darboux para V (x) en “ab-stracto”. Es decir, en tanto no se je el valor de , el potencial V (x, ) no necesariamentees regular (i.e., libre de singularidades que no estén contenidas en el potencial de partida).Además, si la deformación (2.14) ha de entenderse como el resultado nal que nos interesa

entonces

V (x, 1) es regular. Lo mismo ocurre con (2.26): si la doble deformación es lo

que nos interesa entonces 1 y 2 son tales que V (x, 1, 2) es regular, no importando queV (x, 1) y/o V (x, 2) sean o no regulares. Aśı, la combinaci ón de (2.14) y (2.26) puedeelevarse a nivel de un teorema (Teorema 1) para producir deformaciones de Darboux deorden arbitrario. Los detalles y el enunciado espećıco de este teorema pueden encon-

trarse en la p ágina 240 de la referencia [37]. Otro resultado importante en este mismo

sentido est á dado por el siguiente teorema (Teorema 2):

• Sea

{u(x, l)

}nl=1 un conjunto de n diferentes funciones de transformaci ón. El número

total de diferentes deformaciones de Darboux que se pueden producir en V (x) es

igual a 2n −1. El orden de estas deformaciones vaŕıa de 1 hasta n.La demostraci ón puede consultarse en la p ágina 244 de [37]. Para claricar la utilidad

de este teorema pensemos en que contamos con tres funciones de transformaci´on difer-

entes. Entonces podemos construir 7 diferentes deformaciones en el potencial inicial: 3 de


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2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior 17

primer orden, 3 de segundo orden y una m ás, de tercer orden. Por lo que discutimos lı́neas

arriba sabemos que cada uno de estos potenciales podŕıa ser regular o irregular depen-diendo de cómo se escojan las enerǵıas de factorizaci ón correspondientes. La aplicací on

de estos teoremas permite, además, representar los resultados por medio de diagramas

de Bianchi. Estos diagramas son de mucha utilidad en teoŕıa de solitones y su presencia

aqúı no es casual. Cuando el potencial de partida es el de part́ıcula libre, el algoritmo

de diferencias nitas –ecuaciones (2.24) a (2.26)– corresponde a la superposici ón no lineal

satisfecha por la parte espacial de las soluciones a la ecuaci ón de N. Korteweg y G. de

Vries (KdV). La expresi ón (2.26) es entonces la transformaci ón de Bäcklund estudiada

por H. D. Wahlquist y F. B. Estabrook para analizar el comportamiento de los solitones

tipo KdV [38]. Para una discusi ón más detallada de la relaci ón entre la teoŕıa de solitones

y el método de factorizaci ón por medio de las transformaciones de Darboux remitimos al

lector a las referencias [37] y [39].

Un aspecto adicional de las transformaciones generadas con la base compuesta por

(2.14) y (2.16) es que, además del espectro inicial, muchas propiedades del potencial departida se preservan. En partı́cular, cuando las deformaciones son regulares se encuentra

que los coecientes de transmisi ón y reexión son cualitativamente los mismos que los

iniciales. Aśı, el potencial de P öschl-Teller modicado es trasparente ya que este es una

deformación de Darboux regular, de primer orden, del potencial de part́ıcula libre (ver

referencia [35]). Entre las deformaciones de segundo orden para este potencial se encuen-

tran los potenciales cuadráticos de Bargmann (para las deniciones de estos potenciales

ver la referencia [40]), algunos de los cuales son también transparentes.

Por último, el método puede aplicarse incluso si sólo tenemos una función de trans-

formación u(x, ) conocida. Bastar á con tomar el ĺımite → 1 en la función Ω(x, 1, )denida en (2.25). Tendremos


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Ωconf (x, 1) = lim→1

Ω(x, 1, ) = ∂β (x, )∂ = 1−

1

. (2.32)

La etiqueta “conf” denota conuente y signica que como resultado de la doble defor-

mación se obtiene el “traslape” de dos enerǵıas de factorizaci´on en el mismo punto 1. El

nombre obedece a la semejanza de este mecanismo con la conuencia de dos de las singu-

laridades de las funciones hipergeométricas que da lugar a las funciones hipergeométricas

conuentes. El caso conuente fue reportado por B. Mielnik, L. M. Nieto y O. Rosas-Ortiz

[35, 37] aplicándolo en el caso de part́ıcula libre [35] y para un oscilador arm ónico [37].

Estudios posteriores, realizados por D. J. Fern´ andez y E. Salinas-Hern ández, mostraron

la versatilidad del algoritmo para investigar otra clase de potenciales [41].

2.3 Más allá del método de factorizaci´ on

Hasta este momento hemos usado enerǵıas de factorización reales. Este simple hecho dio

lugar a funciones β reales y a operadores de factorización A y B que son uno el adjunto

del otro. Como hemos visto, esta misma estructura se mantiene si los operadores A yB no sólo son de primer orden y les permitimos ser, a su vez, de segundo orden. Un

aspecto importante es que, en este ´ultimo caso, el producto BA no factoriza a H sino a

un polinomio de segundo orden en H . Para ver con claridad este argumento recuperamos

la notaci ón autoconsistente de la secci ón anterior con A ↔C , B ↔C †, y escribimos

C †C = Bk(Bkl Akl )Ak = Bk(H k − l)Ak= BkAk(H − l) = ( H − k)(H − l) (2.33)= H 2 −( k + l)H + k l (2.34)

En forma equivalente tendremos

CC † = ( H kl − k)(H kl − l). (2.35)


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2.3 M ás allá del método de factorizaci´ on 19

Estos resultados pueden generalizarse fácilmente al caso de operadores de factorizaci ón

A y B que sean de orden n ∈ N . De ser aśı, será entonces posible obtener un Hamilto-niano H que depende de n energı́as de factorizaci ón diferentes y cuyo espectro incluyetodo Sp(H ), además de hasta n nuevos niveles de enerǵıa. El producto BA será entoncesun polinomio de grado n en H mientras que AB obedecerá la misma regla polinomial

pero en H . De esta forma se consigue una ingenierı́a espectral ya que los nuevos nivelespueden incrustarse caśı sin restricciones por debajo del estado fundamental del Hamilto-niano inicial, respentando un cierto ritmo de espaciamiento que estaŕıa determinado por

una funci ón espectral E (n). Por ejemplo, para el oscilador lineal E (n) = n +1 / 2 mientras

que en el caso Coulombiano se tiene E (n) = −1/n 2. La regla “equidistante” del espectrodel oscilador se respeta incrustando los nuevos niveles en las posiciones −1/ 3, −3/ 2, etc.Es decir, tomando n ∈ Z antes que n ∈ N + . Algo equivalente vale para el potencial deCoulomb. Por si esto fuera poco, el diseño de los nuevos espectros puede hacerse tal que

existan “huecos” en el ritmo de espaciamiento. Es decir, la construcci´ on de un espectro

de energı́as del tipo −9/ 2, −3/ 2, 1/ 2, 3/ 2,..., estaŕıa asociado con una deformaci´ on deDarboux de al menos segundo orden aplicada al oscilador armónico lineal, donde se in-

crusta un primer nivel en −3/ 2 y después uno más en −9/ 2.

Como podemos notar el término ingenierı́a espectral es más que apropiado. En cierta

medida se tiene un aparato matem´ atico con un “bot ón de ajuste” que permite sincronizar

el espectro de energı́as, adaptándose a los gustos y necesidades del usuario que bien podŕıa

ser algún colega experimentalista con resultados que se parecen al espectro del oscilador,

al átomo de hidr ógeno, etc, pero que dieren porque hay uno o más niveles muy “rebeldes”

que no se dejan “poner en su lugar”. Cabe mencionar que también puede deformarse el es-

pectro original incrustando, por ejemplo, dos niveles de enerǵıa adicionales entre el quinto

y el sexto estados excitados. La única reserva es que los niveles f́ısicos originales admiten

deformaciones entre ellos siempre que sean de segundo orden, como en el ejemplo anterior.

Las aplicaciones de la ingenieŕıa espectral abarcan desde la construcci´ on de nuevos


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Hamiltonianos exactamente solubles y el estudio de estructuras algebráicas polinomiales

entre operadores hasta la construccí on e investigación de estados coherentes generalizados.El grupo mexicano tiene aportes relevantes en cada una de estas ´ areas de investigacíon y

referimos al lector a los art́ıculos de revisi ón [4, 36, 37].

Recientemente el aparato matem´ atico de la ingenieŕıa espectral se ha extendido para

abarcar energı́as complejas de factorización. En la secci´ on 2.1 argumentamos que la forma

más sencilla de obtener la expresi ón (2.4) corresponde a tomar ∈ R y A† = B. Conestas condiciones encontramos que la funci ón β deberı́a ser real. Si le permitimos a ser

un número complejo entonces β será, en general, una funci ón compleja. Sin embargo, la

denición (2.6) –que corresponde a A† = B– nos complica inecesariamente los cálculos.Con lo que ya hemos aprendido buscamos ahora una forma más apropiada de denir a

los operadores A y B. Esto signica que deseamos preservar la ecuaci ón de Riccati (2.8)

por que ha sido clave en la ingenieŕıa espectral que acabamos de discutir. Para este n

proponemos

A = ddx + β (x), B = − ddx + β (x). (2.36)Primero notemos que A = B†, es decir, A y B ya no son mutúamente adjuntos. Segundo,la introducci ón de (2.36) en (2.4) nos lleva autom áticamente a la ecuación de Riccati

deseada (2.8) con ∈ C . Como de todas formas el Hamiltoniano en (2.4) sigue siendoHermitiano debe vericarse que H = A†B†+¯. Esto último nos lleva a una nueva ecuaci ónde Riccati:

−β̄ + β̄ 2 = V −¯. (2.37)Dado que el potencial inicial V (x) es una función real (de otra forma H no podrı́a ser

autoadjunto) es fácil notar que el complejo conjugado de esta última ecuaci ón no es otra

cosa que la ecuación original de Riccati. Por lo tanto, si (2.8) se cumple entonces (2.37)

también es cierta y la expresión A†B†+ es Hermitiana, no importando que sea complejo


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y que A y B no sean mutuamente adjuntos. Con este resultado procedemos a invertir el

orden en (2.24). Tenemos:

AB + = − d2

dx2 + V (x) + 2 β (x). (2.38)

Obsérvese que esta ecuaci´on es equivalente a (2.13) salvo que y β son complejos además

de que, insistimos, A = B†. Denamos ahora la siguiente funci ón:

v(x) := V (x) + 2 β . (2.39)

Dado que V (x) es real pero β (x) es compleja tenemos que v(x) es una función compleja.

Por la estructura de (2.38) podŕıamos asumir que v(x) es el “potencial” de un nuevo

“Hamiltoniano” h denido por

h := − d2

dx2 + v(x), h = AB + . (2.40)

Este nuevo Hamiltoniano es un operador no Hermitiano ya que no es autoadjunto: h† = h.Para identicar la naturaleza de la información que se puede obtener de él debemos

resolver la ecuación de eigenvalores correspondiente. Primero notamos que hay un par de

relaciones de entrelazamiento entre H y h:

hA = AH, HB = Bh. (2.41)

De esta forma, como sabemos, H comparte sus eigenvalores con el operador h. A diferencia

de las ecuaciones (2.17) notemos que las nuevas relaciones (2.41) no se obtienen una como

el adjunto de la otra (la naturaleza de los operadores de factorizaci´ on inuye fuertemente

en el entralazamiento). A pesar de esto se cumple que, si ϕE es eigenfunción de H con

eigenvalor E , entonces ψE ∝ AϕE es eigenfunción de h con el mismo eigenvalor que ϕE .Expĺıcitamente tenemos

ψE = cte W (u,ϕE )

u , (2.42)


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donde W (∗,∗) denota el Wronskiano de las funciones involucradas. Un cálculo sencillo

(pero tedioso) muestra que estas nuevas funciones son todas de cuadrado integrable siem-pre que ϕE esté normalizada (ver detalles en [8, 9, 14, 42]). De esta manera el espectro

de H es heredado en su totalidad a h en forma tal que a cada elemento E de la parte

puntual de Sp( H ) le corresponde una funci ón de cuadrado integrable ψE que resuleve

la ecuación hψE = Eψ E . Este es un aspecto positivo de los resultados ya que permite

asociar una densidad de probabilidad ρ con cada uno de los vectores ψE dentro de la

interpretación de Born. Sin embargo, es importante notar que el nuevo conjunto {ψE }no es ortogonal [8, 9]. Aśı, el precio que se tiene que pagar por trabajar con un oper-

ador no Hermitiano h es la pérdida en la independencia entre los estados ψE y ψE ya

que, en general, (ψE , ψE ) = 0 (ver la referencia [13] y el “rompe-cabezas” de los estados

auto-ortogonales en [43]). Existen desde luego propuestas de solución para esta anomalı́a.

Entre ellas se ha considerado la construcción de bases bi-ortonormales [42] tanto como la

redenición del producto interno (tal y como se sugiere en la formulaci ón de los espacios

de Hilbert equipados [44, 45, 46, 47, 48]). No obstante, al cambiar a una base de vectores

no convencional, o al cambiar la denición del producto interno, se tiene poca claridad en

la interpretación probabiĺıstica de los resultados.

A sabiendas de que el operador h es no Hermitiano, en este trabajo mantendremos la

estructura del espacio de Hilbert intacta porque nos apegaremos a la denici´ on de Born

para las predicciones de la teoŕıa. En la siguiente sección anaremos todav́ıa más los

criterios que se requieren para construir un operador h más apropiado en el sentido que

permita dar una interpretaci´ on más aceptable a su posible signicado.

Por otro lado, hay un único vector de h que resulta ser ortogonal a todos los elementos

de {ψE }. Sea ψE tal que hψE = EψE , busquemos ψM tal que

(ψM , ψE )∝(ψM , AϕE ) = ( A†ψM ,ϕE ) = 0 . (2.43)

Dado que ϕE es diferente de cero debemos tener que A†ψM = 0, cuya solución es


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ψM ∝eR x β (y) dy = 1uE . (2.44)Ahora bien, si ψM ha de ser eigenfunción de h se tiene:

hψM = −ψM + vψM = (−β −β 2 + v)ψM (2.45)donde hemos usado la ecuaci ón (2.40). Como β satisface una ecuaci ón de Riccati del

tipo (2.8) sabemos que el lado derecho de esta última ecuaci ón es simplemente ψM . Aśı

que tenemos hψM

= M

ψM

. En otras palabras, el inverso multiplicativo de la funci´ on de

transformación uE (x) es eigenfunción de h con eigenvalor complejo . De esta forma, si

ψM es de cuadrado integrable entonces debe agregarse al espectro de h, en este caso

tendremos Sp( h) = Sp( H ) {}.

Para terminar con esta sección hacemos notar que la iteración del procedimiento nos

lleva, en general, a un potencial complejo V (x, 1, 2) con, a lo más, dos eigenvalorescomplejos asociados con funciones de cuadrado integrable. El resultado, en esta ocasi´ on,puede “regularizarse” para tener un operador Hermitiano (real) eliminando la naturalezacompleja del potencial. Esto se logra notando que el algoritmo de diferencias nitas (2.26)

permite escoger como el complejo conjugado de 1. Con esto tenemos un potencial real

V 2(x) = V (x, , )̄ denido porV 2(x) = V (x) + 2

I

β I (2.46)

donde el sub́ındice “I” denota a la parte imaginaria de la variable correspondiente. En

este caso V 2(x) es un potencial real con el mismo espectro que V (x). Además, es sencillovericar que las eigenfunciones correspondientes

Ψ = ( −E )ϕE −I

β I ψE (2.47)

son de cuadrado integrable.


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2.4 Transformaciones de Darboux-Gamow

2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ópticos

En esta sección analizaremos la forma de construir operadores h que sean más apropiados

para modelar alguna situación f́ısica a pesar de ser no Hermitianos. Para ello recordemos

que las soluciones estacionarias de la ecuación (1.1) se escriben como ψ( r, t ) = ϕ( r)χ (t).

De esta forma, siguiendo la interpretación de Born, la densidad de probabilidad no de-

pende del tiempo:

ρ( r, t ) ≡ |ψ( r, t )|2 = |ϕ( r)|2 = ρ( r). (2.48)Esto signica que la probabilidad de hallar a la part́ıcula alrededor del punto r es la

misma en cualquier instante de tiempo (la velocidad del ujo de probabilidad, que es

una velocidad local media de las part́ıculas que conforman el ensemble, es nula). Si

ahora tomamos una eigensolución ω de H , asociada con un eigenvalor complejo =

E −iΓ/ 2, tendremos ω( r, t ) = u( r)η(t), donde η(t) = e−i t/ . La densidad correspondientese comporta como sigue:

ρ( r, t ) = |ω( r, t)|2 = |u( r)|2e−Γt/ = ρ( r)e−Γt/ . (2.49)Esto signica que la probabilidad de hallar a la part́ıcula alrededor del punto r depender á

del momento preciso en que hagamos la medici ón. Si Γ > 0 y ρ( r0) es nita en r0 entonces

la probabilidad decrece exponencialmente con el tiempo en el punto r0. Una justicaci ón

para este comportamiento se obtiene al considerar que la probabilidad se “propaga”,

alejándose del punto r0. Con esto, de la ecuación de continuidad

∂ρ∂t

+ ∇ · j = 0 (2.50)notamos que la expresi ón (2.49) necesariamente implica una densidad de ujo j no trivial

( j = 0). Sin embargo, sabemos que para estados estacionarios se debe cumplir j = 0.


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2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ´ opticos 25

Esta aparente contradicci´ on se clarica si pensamos que existen fuentes o sumideros de

part́ıculas, aśı que la ecuaci´ on (2.50) debe escribirse:

∂ρ∂t

+ ∇ · j = f ( r, t ). (2.51)Como es natural, la información referente a la fuente (o al sumidero) de part́ıculas debe

incluirse en el potencial. Asumamos por un momento que éste es complejo y escribamos

V = V R + iV I , con V I = cte. Un c álculo sencillo nos muestra que

f ( r, t ) = 2

V I ( r)ρ( r). (2.52)Si N = ρ( r) d3r representa la cantidad total de part́ıculas tendremos

dN dt

= 2

V I ( r)ρ( r)d3r. (2.53)Ası́, cuando V I < 0 se tiene un decremento del número de partı́culas ( dN/dt < 0), por lo

que el potencial V funciona como una esponja que las absorbe. Por otro lado, si V I > 0

el potencial V funciona como una fuente de part́ıculas ( dN/dt > 0). Con esto en mente

la ecuación completa de Schr ödinger para ω( r, t ) se simplica a la siguiente expresión:

− 2

2m∇2 + ( V R + iV I ) u( r) = −i

Γ2

u( r). (2.54)

Entonces, si la parte imaginaria de V está dada por V I = −Γ/ 2 encontramos que laecuación (2.54) se reduce a la forma convencional de la ecuación de Schrödinger para

el caso estacionario. A pesar de eso, como la función de onda completa est á dada por

ω( r, t ) = u( r)e−iEt/ e−Γt/ 2 , encontramos que Γ es una medida de la intensidad de ab-

sorción. Es decir, en un tiempo τ = / Γ la densidad de probabilidad decrece a la fracci ón

1/e de su valor inicial (τ es el tiempo de vida media). El uso de enerǵıas complejas

= E −iΓ/ 2 queda aśı justicado para explicar la absorci´ on de part́ıculas por parte delpotencial (se pueden dar argumentos equivalentes para el caso donde el potencial funciona

como una fuente de part́ıculas). En este modelo el potencial V = V R + iV I , con V I = cte,

recibe el nombre de “potencial óptico”. Los potenciales ópticos han sido estudiados con


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mucho interés en f́ısica nuclear dentro de las interacciones nucle´ on-nucleón a bajas en-

erǵıas (ver por ejemplo [49]). El caso más general donde V I es una función arbitrariade la posición está, hasta donde sabemos, poco reportado en la literatura. M´ as adelante

tendremos oportunidad de mencionar cu´ ales son nuestros aportes en este contexto. De

momento recordemos que nuestro potencial de partida es real.

2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert

Otra forma de justicar la lectura de la ecuaci´on (2.49) es considerando que la funciónρ( r, t ) contiene informaci ón de un connamiento temporal de la part́ıcula. Dicho con-

namiento podŕıa hacerse evidente si, por ejemplo, el potencial est´ a compuesto b ásicamente

de un pozo radial de cierta profundidad V 0, unido en |r| = a con una barrera de altura V 1y ancho b−a nitos. Aśı, una partı́cula dentro del pozo que tenga la enerǵıa apropiadapodŕıa atravezar la barrera por tunelamiento y alcanzar la regi´ on exterior para luego ale-

jarse libremente. Si el punto r0 está localizado dentro de la región de inuencia del pozo

(

|r0

|< a ) es razonable asumir una función u( r) que tome valores nitos alĺı. Con el paso

del tiempo ser á menos probable encontrar a la part́ıcula en el mismo punto dentro del

pozo. Tambíen es razonable asumir que al tiempo inicial (digamos t = 0) sepamos con

certeza que la part́ıcula est´ a ‘atrapada’ en el pozo. Sin embargo, con el paso del tiempo

tiene que ser más probable hallarla en un punto alejado de r0. Es decir, cada vez más

alejada de la inuencia del pozo. Debemos observar que si u( r) se mantiene nita para to-

dos los puntos del dominio de denición entonces, a un tiempo sucientemente grande, no

podremos hallar a la part́ıcula en ning´ un lugar. Por esta raz´on, para que nuestro modelo

sea realista, debemos suponer que u( r) crece conforme |r| → +∞. Aśı, la probabilidadde encontrar a la partı́cula a distancias muy grandes aumenta con el tiempo mientras quees cada vez menos probable encontrarla en la regi ón de inuencia del potencial.

La descripción anterior corresponde al modelo que us ó George Gamow en 1928 para

estudiar en forma sencilla el decaimiento de átomos inestables [21]. Un poco después


39/148

2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert 27

(1939), Siegert formalizó el modelo introduciendo el concepto de la condición de onda

puramente saliente [50]. Dicha condicí on consiste en exigir que las soluciones se com-porten como ondas planas para distancias muy alejadas de la regi´ on de interacci ón. El

término “saliente” indica que la direcci´ on de propagaci ón de tales ondas debe ser siempre

alejándose del potencial. De esta forma, una funci ón de Gamow-Siegert es una solución

de la ecuación de Schrödinger asociada con un eigenvalor complejo de la enerǵıa y que

satisface la condición de onda puramente saliente. La presencia del eigenvalor complejo

= E −iΓ/ 2, por otro lado, est á asociada con el fenómeno de resonancia. Para ilustrareste fenómeno consideremos la mecánica de un columpio. Cuando mecemos a alguien en

uno de estos juguetes sabemos que aplicando un ligero “empujoncito” cada vez que el

columpio se aleja de nosotros será suciente para que éste vaya más lejos y alcance mayor

altura. En otras palabras, aplicando una fuerza en sincronı́a con la frecuencia natural

del columpio lograremos aumentar la amplitud de sus oscilaciones. Un cálculo sencillo

muestra que la enerǵıa del columpio es proporcional a la amplitud de oscilaci´ on, ası́ que

entrando en “complicidad” con su movimiento logramos inyectarle enerǵıa en forma m´ as

eciente. Al suspender los “empujoncitos” las fuerzas de fricci ón del aire y las de fricción

en los soportes del columpio terminar án por frenarlo. Esta descripcí on es precisamentelo que se entiende por resonancia y es una car ácteristica de los sistemas oscilantes. Lo

más relevante aqúı es notar que el modelo matem´ atico correspondiente requiere de usar

amplitudes de oscilaci ón que son funciones complejas de la frecuencia y de un coeciente

de fricción (ver por ejemplo [51, 52]). Aśı, las frecuencias de resonancia del columpio son

aquellas que est́ımulan un incremento de la enerǵıa y corresponden a polos de la ampli-

tud de oscilación. El fenómeno no se restringe a los sistemas clásicos como el columpio,

un oscilador, una copa de cristal o un circuito LRC, sino que está presente en cualquier

sistema que vibre u oscile de alguna manera. De esta forma tenemos resonancias en los

estados de esṕın electrónicos cuando se les aplican campos magnéticos, resonancias en

la interacci ón de la radiaci ón electromagnética con la materia, etc. Con todo esto, una

función de Gamow-Siegert representa un estado cu´ antico resonante (o de resonancia) de

la energı́a del sistema. Lo que oscila aquı́ es la densidad de probabilidad y lo que entra en


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resonancia es la enerǵıa de la part́ıcula con la del potencial. El equivalente al coeciente

de fricción del columpio seŕıa la parte imaginaria de , ya que contiene la informaci ón delatenuamiento (tiempo de vida) de la resonancia.

2.4.3 Combinaci´ on Darboux-Gamow

A lo largo de esta tesis investigaremos la forma de construir las funciones de Gamow-

Siegert asociadas con algunos sistemas cu ánticos. La razón es que las usaremos como

funciones de transformaci ón en las deformaciones de Darboux para varios potenciales de

interés f́ısico. A continuaci´ on daremos una descripci ón somera del comportamiento de las

deformaciones de Darboux generadas con una funci ón de Gamow-Siegert para potenciales

de corto alcance unidimensionales.

Pensemos en un potencial unidimensional, denido en toda la recta real pero carac-

terizado por una regi ón bien localizada donde su inuencia sobre las part́ıculas es efectiva.

De momento no importa si este potencial admite o no estados ligados. Lo que śı es im-portante es que los estados asociados con las enerǵıas de dispersi´on E s tienen funciones

de onda que se comportan, en los extremos del dominio, como sigue:

ϕs< = eiκx + Lse−iκx , ϕs> = S seiκx . (2.55)

Aquı́ el n úmero de onda κ funciona como un parámetro cinético y está denido en términos

de la energı́a de dispersión correspondiente κ = √ E s (estamos asumiendo que el umbralde dispersión está anclado a una enerǵıa positiva que bien podŕıa ser E = 0). Las expre-siones asint óticas (2.55) corresponden al caso de una única fuente de part́ıculas localizada

muy a la izquierda de la región de interacci ón. Los coecientes de transmisi ón T = |S s|2y reexión R = |Ls |2 son tales que R + T = 1.

Tomemos ahora una funci ón de Gamow-Siegert ϕ , donde = E −iΓ/ 2. En este caso


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Caṕıtulo 3

Pozos cuadrados y barrerascuadradas unidimensionales

Publicaciones relacionadas:

1. Fernández-Garćıa N and Rosas-Ortiz O, “Gamow-Siegert functions and Darboux-

deformed short range potentials”, Ann. Phys. 323 (2008) 1397-1414

2. Fernández Garćıa N, “Darboux-deformed barriers and resonances in quantum me-

chanics”, Rev. Mex. Fis. 53 (Suppl 4) (2007) 42-45

3. Fernández-Garćıa N, “On a class of Hairy Square Barriers and Gamow Vectors”,

AIP Conf. Proc. 885 (2006) 30-33

En este caṕıtulo investigamos la presencia de estados resonantes de la enerǵıa en

sistemas sometidos a potenciales de corto alcance que pueden modelarse como pozos (obarreras) cuadrados unidimensionales. Primero haremos el planteamiento general del

problema asociado con resolver la ecuaci ón de Schrödinger correspondiente. Para la con-

strucción de las funciones de Gamow-Siegert introducimos un método gr´ aco que nos per-

mitir á calcular los eigenvalores complejos del Hamiltoniano. Contrastaremos estos resul-

tados con las expresiones anaĺıticas que derivaremos imponiendo la condici´ on de grandes

31


44/148

32 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales

tiempos de vida. Posteriormente mostraremos c´ omo es que funcionan las deformaciones

de Darboux usando una funci´on de Gamow-Siegert como función de transformaci ón.

3.1 Tratamiento general

Consideremos la ecuaci ón estacionaria de Schr ödinger para un potencial de corto alcance

denido sobre la recta real

Hu (x, ) = −u (x, ) + V (x)u(x, ) = u(x, ). (3.1)De ahora en adelante asumiremos que el potencial V (x) está caracterizado por una inten-

sidad V 0 y por un parámetro de corte ζ > 0 tal que V (x) = 0 si |x| > ζ . En este momentoes apropiado denir a la derivada logarı́tmica de u(x, ) como la función compleja:

β := − ddx

ln u. (3.2)

Ası́, la funci ón u se puede escribir de la siguiente manera

u = ΦeiΞ , (3.3)

donde la amplitud Φ( x, ) y la fase Ξ(x, ) son funciones reales denidas por las expresiones

Φ = Φ0Exp − β R dx , Ξ = − β I dx + Ξ 0, (3.4)con Φ0 y Ξ0 constantes de integraci´on. Entonces, la densidad de corriente

j = i(u u −uu ) (3.5)

puede escribirse como

j = 2Ξ |u|2 = −2β I |u|2 = vρ. (3.6)


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3.2. COMPORTAMIENTO ASINT ÓTICO DE LA SOLUCI ÓN 33

De esta forma −2β I representa a la velocidad de ujo v. Como veremos, v juega unpapel importante tanto en la descripci´ on de las funciones de Gamow-Siegert como en lastransformaciones de Darboux que nos interesa investigar.

3.2 Comportamiento asint´ otico de la soluci´ on

La solución general de (3.1) puede escribirse en términos de ondas planas entrantes y

salientes para |x| > ζ :

u(x < −ζ ) = I eikx + Le−ikx , u(x > ζ ) = N e−ikx + Seikx (3.7)donde los coecientes I , L, N y S dependen de los parámetros ζ , V 0 y de la enerǵıa

k2 = . De entre estas soluciones nos interesan aquellas que satisfacen la condicíon de

onda puramente saliente, la cual puede escribirse de la siguiente manera

limx→±∞

(u ∓iku ) = limx→±∞(−β ∓ik)u = 0. (3.8)

Aśı, el segundo término en cada una de las funciones en (3.7) debe dominar sobre elprimero. Para tales funciones la densidad de corriente (3.5) adquiere la forma:

j = ±(k + k)|u|2, x >< ±ζ. (3.9)Notemos que si tomamos = E ∈R entonces k es o bien un número imaginario (si E < 0)o bien un número real (si E ≥0). Asumiendo que el potencial admite enerǵıas negativastenemos k± = ±i

|E | y la ecuación (3.9) es igual a cero (la velocidad de ujo v es cero

fuera de la zona de interacci ón). Las soluciones ψ(+)

E , asociadas con k+ , no son de nuestrointerés inmediato porque ellas corresponden a estados acotados (En efecto, como veremos,

para valores adecuados de k+ se obtienen funciones de cuadrado integrable). Por otro lado,

los estados no acotados ψ(−)E (también conocidos como estados virtuales o anti-ligados )crecen exponencialmente con |x| →+ ∞ y representan resonancias bajo condiciones muyespeciales (ver por ejemplo [53]). Sin embargo, tales estados no serán considerados en


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esta tesis ya que ellos no existen para potenciales de corto alcance arbitrarios. Por otro

lado, cuando = E > 0 encontramos que la condición de frontera puramente saliente(3.8) elimina el termino de interferencia en la densidad

ρ(x; t) = |N |2 + |S |2 + 2 |NS |cos(2kx + arg[S/N ]), x > ζ, (3.10)(una expresíon similar se obtiene para el caso x < −ζ ) de tal forma que ρ = |S |2 noes una función de área nita ni en todo el espacio ni en el tiempo. Obśervese que la

velocidad de ujo no es cero fuera de la zona de interacción (|v| = 2√ E ). De esta formala condición E > 0 nos permite construir ondas puramente salientes al precio de tenerun ujo neto j = 0. Entonces, si queremos obtener soluciones que sean m´as apropiadasdebemos considerar eigenvalores complejos ∈

C .

3.3 Resonancias

De la discusión anterior se sigue que, en general, debe ser complejo

= E − i2Γ, R = k2R −k2I , I = 2kR kI , (3.11)

donde = ( kR + ikI )2. Entonces la condición de frontera puramente saliente (3.8) se

reduce a lo siguiente:

limx→±∞

[−β ±(kI −ikR )] = 0. (3.12)Como la velocidad de ujo es v+ = 2kR para x > ζ y v− = −2kR para x < −ζ notamosque la dirección de propagaci ón correcta de las ondas salientes est á dada por kR > 0. En

este caso la densidad

ρ(x; t) ≡ |u(x, t )|2 = e−Γt |u(x)|2, limx→±∞= e−Γ( t−x/v ± ) (3.13)

es amortiguada para Γ > 0. Por lo tanto kI = 0 y kR = 0 tienen signos opuestos. Adem´as,dado que kR > 0 tenemos kI < 0. Entonces, las funciones que satisfacen la condicíon de


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48/148


corresponden a resonancias: La onda correspondiente interacciona con el potencial de tal

forma que el tiempo de tr ánsito por la regi ón de interacci ón es máximo. La superposici ónde un conjunto numerable de distribuciones de FBW (cada una de ellas centrada en

una energı́a de resonancia E n , n = 1, 2,...) proporciona una aproximación del coeciente

de transmisi ón. Entre mayor sea el n úmero de resonancias involucradas mejor será la

precisión de la aproximaci ón:

T ≈ωN ( R ) =N

n =1

ω( R , E n , Γn ). (3.18)

La descripción anterior sugiere un método gráco para el cálculo de las enerǵıas de reso-

nancia que ser á discutido m ás adelante.

3.4 Pozo cuadrado unidimensional

Los pozos cuadrados se discuten en todos los libros de mecánica cuántica porque son

una muy buena aproximación para el estudio de potenciales m ás realistas. Por ejemplo,

a pesar de que las fuerzas de interacci ón entre un prot ón y un neutr ón en los núcleos

at ómicos no se conocen exactamente, śı se sabe que son de corto alcance. Es decir, a

diferencia de las fuerzas electrost áticas que mantienen unido al átomo, las interacciones

nucleares se extienden una cierta distancia y luego caen rápidamente a cero. Estas inter-

acciones pueden modelarse mediante un pozo cuadrado nito. Tambíen recordemos que

los pozos cuadrados son utilizados en estado sólido para describir electrones atrapados

en una l ámina delgada de material conductor. Aśı, se pueden mencionar un sinf́ın deinteracciones que son modeladas por pozos o barreras (veáse [10] y las referencias alĺı

citadas). En este caṕıtulo estamos interesados en estudiar las soluciones de la ecuaci´ on

de Schrödinger para estos potenciales, asociadas con eigenvalores complejos y que satis-

facen la condición de onda puramente saliente. Es decir, nos interesan las funciones de

Gamow-Siegert correspondientes.


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3.4.1 Enerǵıas complejas 37

3.4.1 Enerǵıas complejas

Consideremos el siguiente potencial

V (x) = −V 0 Θb2 − |x| , Θ =

1, x ≥00, x < 0

(3.19)

donde V 0 > 0 y b > 0. Asumiremos que la única fuente de part́ıculas est´ a localizada

muy a la izquierda de la zona de interacci ón. La solución general para las enerǵıas de

dispersi ón de la ecuación de Schrödinger (3.1) con el potencial (3.19) se escribe de la

siguiente manera

ψ(x, ) =

eikx + L(k)e−ikx , x < −b2 ,k∆ e−ikb/ 2[i(k cos

qb2 −iq sen qb2 )senqx

+( q cos qb2 −ik sen qb2 ) cosqx], −b2 ≤x ≤ b2 ,S (k)eikx , b2 < x,

(3.20)

donde

L(k) = iV

0 senqb

2∆( k) e−ikb , S (k) = kq ∆( k) e−ikb . (3.21)

Además, k2 = y q 2 = k2 + V 0 son los parámetros cinético y de interacción respectiva-

mente, mientras que la función ∆ est á denida por

∆( k) = k cos qb2 −iq sen

qb2

q cos qb2 −ik sen

qb2

. (3.22)

Para iniciar nuestro análisis notamos que los ceros de ∆( k) corresponden a divergencias

de la amplitud de transmisión S. Como la expresión (3.22) está factorizada, las ráıces de

∆( k) = 0 son, al mismo tiempo, soluciones del sistema

tanqb2

= −ikq

, cotqb2

= ikq . (3.23)

Si k (y consecuentemente q ) es un número real entonces las ecuaciones (3.23) no tienen

solución. Un primer conjunto de ráıces se encuentra si permitimos que k sea un número


50/148


imaginario; tenemos dos casos: k± = ±

|E | ≡ ±iκ . Para estos valores de k en los

extremos del dominio la funci ón (3.20) se comporta como sigue

ψ(±)E (x −b) = e∓κx + L(k±)e±κx , ψ(±)E (x b) = S (k±)e∓

κx .

Dado que cada k± es un polo tanto de L como de S (ver ecuación 3.21) notamos que ψ(+)E

es una función acotada mientras que ψ(−)E es no acotada en los extremos de R . Aunque lassoluciones ψ(−)E podrı́an ser útiles para obtener funciones de Gamow-Siegert, tal y como yamencionamos corresponden a estados anti-ligados que no serán estudiados en este trabajo.

Nos quedamos entonces con las ráıces k+ que viven en el semiplano superior I + del plano

complejo k. Con esto, el sistema (3.23) no es más que el par de ecuaciones trascendentales

que denen soluciones acotadas, pares e impares, dentro de la región de interacci ón. En

otras palabras, las funciones ψ(+)E son soluciones de cuadrado integrable en toda la recta

cuya paridad está denida por las raı́ces de (3.23) que estén localizadas en el eje imaginario

positivo del plano k. De esta forma se hace evidente que S (k) es una función regular en I +excepto en los puntos k+ . Por otro lado, si k está en el cuarto cuadrante del plano k (ver

sección 3.3) no es dif́ıcil vericar que k y −̄k producen los mismos picos en el coecientede transmisi ón. Aśı que se cumple S̄ (k) = S (−k̄). Sin embargo, k y −k̄ están localizadosen el semiplano inferior I − del plano complejo k. Entonces, para tener una función S biendenida debemos hacer una continuación analı́tica al semiplano I −. Para ello notemosprimero que la condición

S (−k)S (k) = 1 (3.24)

se cumple para puntos k tales que qb = nπ . Como −k ∈I + , esta última ecuación denea S (k) = 1 /S (−k) como una función anaĺıtica en I − excepto para los puntos −k que sonceros de S en I + . De la misma manera notamos que S (−k̄) es analı́tica en I − exceptopara los puntos k̄ que son ceros de S en I + . En resumen, si kn es un polo de S en el cuarto

cuadrante del plano complejo k, entonces −k̄n es también un polo, mientras que k̄n y −knson ceros de S . Por lo tanto S es una función meromórca de k, con polos restringidos al


51/148

3.4.2 Método Gr´ aco 39

eje imaginario positivo (estados acotados) y al semiplano inferior (resonancias). Por otro

lado, si S se estudia como una función de la energı́a , entonces será necesario consideraruna supercie de Riemann de dos hojas ( k2 = ) cuyo corte est á a lo largo del eje real

positivo (ver detalles en el Caṕıtulo 6). Adem´ as, los polos simples de S ( ) siempre vienen

en pares (correspondiendo a k y −k̄) mientras que polos sobre el eje real negativo corre-sponden tanto a estados acotados como a estados antiacotados.

En la sección 3.3 hemos señalado que el comportamiento ondulatorio del coeciente de

transmisi ón T sugiere un método gr áco para el cálculo de las enerǵıas de resonancia (cada

uno de los picos de T se puede identicar con una distribución FBW). A continuación

indicamos en qué consiste el método.

3.4.2 Método Gr´ aco

Para potenciales unidimensionales de corto alcance la amplitud de transmisi´ on S puede

interpretarse como una matriz 1 ×1 de dispersión. De esta manera, analizar la secci ónecaz como una función de la enerǵıa de las part́ıculas incidentes corresponde a identicarlos máximos locales del coeciente de transmisión T . Ya hemos visto que los ceros de ∆(k)

son polos de S (k), aśı que estos mismos puntos son tales que el coeciente de transmisión

T = |S (k)|2 =kq

∆( k)

2

(3.25)

alcanza su máximo valor. En otras palabras, la función T presenta una serie de m áximos y

mı́nimos. Esta serie de picos se hace m ás evidente para algunos valores de los par ámetros

que para otros. Como regla general, para obtener una buena correspondencia con lasdistribuciones de Fock-Breit-Wigner eliminaremos de nuestro an´ alisis aquellos picos que

estén acompañados (a su derecha e izquierda) por mı́nimos locales que sean mayores a

1/ 2. El ancho Γ de cada uno de los picos permitidos estará denido por la distancia entre

sus intersecciones derecha e izquierda con la horizontal en 1 / 2 (ver Figura 3.1). El centro

de cada pico, proyectado sobre el eje de las energı́as, dene una resonancia E . La función


52/148


0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.1: A la izquierda tenemos la primera resonancia de un pozo cuadrado con V 0 = 992 .25 yb = 20. La denición gráca del ancho Γ corresponde a la distancia entre las ĺıneas verticales que centran

el pico. A la derecha tenemos a las funciones T y ωN (curva punteada) para los mismos valores de lospar ámetros. En este caso, la suma de distribuciones de Fock-Breit-Wigner pega bastante bien con elcoeciente de transmisi´ on para las primeras cinco resonancias.

ωN ( R ) en (3.17) incluye N de estos picos, contados de izquierda a derecha. En la Figura

3.1 se muestra un caso donde la concordancia entre T y ωN es bastante buena para las

primeras cinco resonancias.

3.4.3 Método anaĺıticoEn esta sección derivaremos expresiones para las resonancias E y sus anchos Γ en términos

de los parámetros del potencial. Asumiremos que el parámetro cinético k es un número

complejo con parte imaginaria no trivial. Puesto que la informaci´ on de un potencial de

corto alcance está necesariamente contenida en el par´ ametro de interacción, muchas de

las aproximaciones ser án hechas sobre q .

Para valores complejos de q 2 = k2 + V 0, las partes real e imaginaria de se escriben

de la siguiente manera

E = q 2R −V 0 −q 2I , Γ

2 = −2q R q I . (3.26)

La combinación de estás dos últimas expresiones nos lleva a

14

Γ2

2

γ 2 −(V 0 + E )γ −1 = 0, (3.27)


53/148


54/148


Tomando qI b2 1 en la segunda de estas ecuaciones y para valores muy grandes de θtenemos:

q R b2 ≈cos−

1 ±1θ

= nπ

2 ± 1θ

+ O 1θ3

(3.35)

donde n debe ser un número impar. Si ahora trabajamos con la ecuación derecha de

(3.23) llegamos a una expresi ón equivalente a (3.35) sólo que para n par. De esta forma

concluimos que la ecuación (3.35) se satisface para n un número natural arbitrario. In-

troduciendo esta expresión en la ecuación (3.32) obtenemos un conjunto discreto de reso

nancias

E ≈nπ2θ

2

−1 V 0, nπ

2 > θ, n∈N . (3.36)

Est á claro que n debe exceder un valor mı́nimo para conseguir una enerǵıa positiva.

Tomemos n := n inf + m, m = 0, 1, 2, .., donde ninf está denido como la función ceilling

de 2θ/π , es decir 2θπ . Aśı, E n inf ≡E 0 es la energı́a positiva m ás pequeña en (3.36). Engeneral tenemos

E m =(n inf + m)π

2θ

2

−1 V 0, m∈Z + . (3.37)

La expresión anaĺıtica de Γ se obtiene en forma equivalente. Partiendo de la ecuaci´ onizquierda en (3.23) llegamos a

kI = ± V 0 cos q R b2 cosh q I b2 . (3.38)Usando qI b2 1 y cos qR b2 ≈∓1θ , esta ecuación se simplica:

−kI b2 ≈1 +

12

q I b2

2

. (3.39)

Con este resultado y (3.32) en (3.26) llegamos a lo siguiente:

kR b2θ

2

=q R b2θ

2

+q I b2θ

2

+ 1θ −1 (3.40)

donde el segundo término aditivo es mucho más pequeño que el primero (ver ecuación

3.33) y θ−1 1, por lo que la ecuación (3.40) se reduce a kR ≈ ±√ E . La sustituci ón de


55/148

3.4.4 Distribuci´ on de Fock-Breit-Wigner 43

estos últimos resultados en la expresión para Γ en (3.26) nos lleva a

Γ2 ≈ 4b√ E = 2v

+

b , (3.41)

donde hemos despreciado los términos que son proporcionales (ó mayores) a (q I b/2)2.

Es notable que Γ sea proporcional a la rapidez de ujo v+ en x > b/ 2. Dado un valor

del punto de corte b (con θ jo), a una partı́cula incidente muy energética le corresponde

un pico muy ancho en T , lo que signica que pasa menos tiempo en la región de interacci ón

(−b, b). Como resultado, los picos centrados en una enerǵıa resonante muy elevada v2+ / 2tienden a perder la forma de una función de Fock-Breit-Wigner porque se traslapan endemaśıa con los picos contiguos. El ĺımite de tiempo de vida largo (Γ →0), aplicado paravalores jos de θ, es de esta forma un buen criterio para seleccionar tanto las velocidades

v+ como los parámetros del potencial que permitan construir las funciones de Gamow-

Siegert apropiadas para los pozos cuadrados.

3.4.4 Distribuci´ on de Fock-Breit-Wigner

En la discusión de la sección anterior asumimos la existencia de un parámetro cinéticocomplejo con parte imaginaria no trivial. Ya hemos visto que las aproximaciones que nos

permiten calcular las energı́as de resonancia también son ´ utiles para obtener el ancho Γ en

el ĺımite de tiempos de vida largos. A continuación vamos a demostrar que los par ámetros

E y Γ aśı obtenidos corresponden al centro y al ancho de una distribuci´ on FBW. Para

esto es conveniente escribir la amplitud de transmisi´ on S (k) de la siguiente manera

S (k) = e−ikb

cos qb[1−ig(k)], donde g(k) =

k2 + q 2

2kq

tan qb. (3.42)

Ahora consideremos un peque ño desplazamiento δE en la enerǵıa de resonancia E m a lo

largo del eje real del plano complejo . Los parámetros k y q se transforman como sigue:

k →k + δk, q →q + 12qδE . Cerca de las enerǵıas de resonancia tenemos qb≈nπ + b2qδE .Aśı

g(k) ≈ 2Γm

δE, (3.43)


56/148


15 10 5 0 5 10 15

10

5

0

5

10

15 10 5 0 5 10 15

15

10

5

0

5

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Jose Nicolas Fernandez Garcia